2014-2015年广东省广州市天河区八年级上学期数学期中试卷与答案

赠送初中数学几何模型【模型三】双垂型：图形特征：60°运用举例：1.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB为底边向外作等腰三角形PAB，连接PC. （1）如图，当∠APB＝90°时，若AC=5，PC＝62，求BC的长；（2）当∠APB＝90°时，若AB=45APBC的面积是36，求△ACB的周长.P 2.已知：如图，B、C、E三点在一条直线上，AB＝AD，BC＝CD.（1）若∠B＝90°，AB＝6，BC＝23，求∠A的值；（2）若∠BAD＋∠BCD＝180°，cos∠DCE＝35，求ABBC的值.3.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠DAB=∠BCD=90°，（1）若AB=3，BC+CD=5，求四边形ABCD的面积（2）若p= BC+CD，四边形ABCD的面积为S，试探究S与p之间的关系。

DBC2014-2015学年广东省广州市天河区八年级（上）期中数学试卷一、选择题．1．（3分）下列图形中，不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．（3分）下列每组数分别表示三根木棒的长度，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是（）A．1，2，6 B．2，2，4 C．1，2，3 D．2，3，43．（3分）七边形外角和为（）A．180°B．360°C．900° D．1260°4．（3分）已知等腰△ABC的边长为3、5，则腰AC的长可能为（）A．5 B．5或3 C．3 D．25．（3分）如图，四边形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足为E，下列结论不一定成立的是（）A．AB=AD B．AC平分∠BCD C．AB=BD D．△BEC≌△DEC6．（3分）如图，△ABC中，AB=AC，∠B=70°，则∠A的度数是（）A．70°B．55°C．50°D．40°7．（3分）如图，已知AE=CF，∠AFD=∠CEB，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ADF≌△CBE的是（）A．∠A=∠C B．AD=CB C．BE=DF D．AD∥BC8．（3分）如图，AB与CD交于点O，OA=OC，OD=OB，∠A=50°，∠B=30°，则∠D的度数为（）A．50°B．30°C．80°D．100°9．（3分）四边形的内角和为（）A．180°B．360°C．540° D．720°10．（3分）如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠A=25°，D是AB上一点．将Rt △ABC沿CD折叠，使B点落在AC边上的B′处，则∠ADB′等于（）A．25°B．30°C．35°D．40°二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）11．（3分）已知点P在线段AB的垂直平分线上，PA=6，则PB=．12．（3分）点P（3，2）关于x轴对称的点的坐标为．13．（3分）如图，在△ABC中，∠C=20°，CA=CB，则△ABC的外角∠ABD=°．14．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，AD=3，BC=10，则△BDC的面积是．15．（3分）在△ABC中，三个内角∠A、∠B、∠C满足∠B﹣∠A=∠C﹣∠B，则∠B=度．16．（3分）一艘海轮位于灯塔P的南偏东70°方向的M处，它以每小时40海里的速度向正北方向航行，2小时后到达位于灯塔P的北偏东40°的N处，则N处与灯塔P的距离为．三、解答题（本大题共9小题，满分102分，解答应写出文字说明，证明过程货演算步骤）17．（9分）如图，在边长为1个单位长度的小正方形所组成的网格中，△ABC 的顶点均在格点上．画出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1（A与A1，B与B1，C 与C1相对应），连接AA1，BB1，并计算梯形AA1B1B的面积．18．（9分）如图，∠B=∠D，∠BAC=∠DAC．求证：AB=AD．19．（10分）如图，点C，F在线段BE上，BF=EC，∠1=∠2，请你添加一个条件，使△ABC≌△DEF，并加以证明．（不再添加辅助线和字母）20．（10分）如图，E、F分别是等边三角形ABC的边AB，AC上的点，且BE=AF，CE、BF交于点P．（1）求证：CE=BF；（2）求∠BPC的度数．21．（10分）如图，BA⊥AD，∠ADB=∠ABD=∠DAO，∠DBC=60°，∠DCO=∠BCO．（1）求证：BD⊥AC；（2）求∠DCO的度数；（3）求证：BC=DC．22．（12分）如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，称满足此条件的三角形为黄金等腰三角形．请完成以下操作：（画图不要求使用圆规，以下问题所指的等腰三角形个数均不包括△ABC）（1）在图1中画1条线段，使图中有2个等腰三角形，并直接写出这2个等腰三角形的顶角度数分别是度和度；（2）在图2中画2条线段，使图中有4个等腰三角形；（3）继续按以上操作发现：在△ABC中画n条线段，则图中有个等腰三角形，其中有个黄金等腰三角形．23．（12分）如图，在△ABC中，AB=AC，D是BA延长线上的一点，点E是AC 的中点．（1）实践与操作：利用尺规按下列要求作图，并在图中标明相应字母（保留作图痕迹，不写作法）；①作∠DAC的平分线AM；②连接BE并延长交AM于点F；（2）猜想与证明：试猜想AF与BC有怎样的位置关系和数量关系，并说明理由．24．（14分）如图，在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C是y轴上的一个动点，且A、B、C三点不在同一条直线上．（1）作点B关于y轴的对称点B′，并写出点B′的坐标．（2）当△ABC的周长最小时，求点C的坐标．25．（16分）在图1、图2、图3、图4中，点P在线段BC上移动（不与B、C 重合），M在BC的延长线上．（1）如图1，△ABC和△APE均为正三角形，连接CE．①求证：△ABP≌△ACE．②∠ECM的度数为°．（2）①如图2，若四边形ABCD和四边形APEF均为正方形，连接CE．则∠ECM 的度数为°．②如图3，若五边形ABCDF和五边形APEGH均为正五边形，连接CE．则∠ECM 的度数为°．（3）如图4，n边形ABC…和n边形APE…均为正n边形，连接CE，请你探索并猜想∠ECM的度数与正多边形边数n的数量关系（用含n的式子表示∠ECM的度数），并利用图4（放大后的局部图形）证明你的结论．2014-2015学年广东省广州市天河区八年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题．1．（3分）下列图形中，不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项正确；B、是轴对称图形，故本选项错误；C、是轴对称图形，故本选项错误；D、是轴对称图形，故本选项错误．故选：A．2．（3分）下列每组数分别表示三根木棒的长度，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是（）A．1，2，6 B．2，2，4 C．1，2，3 D．2，3，4【解答】解：A、1+2＜6，不能组成三角形，故此选项错误；B、2+2=4，不能组成三角形，故此选项错误；C、1+2=3，不能组成三角形，故此选项错误；D、2+3＞4，能组成三角形，故此选项正确；故选：D．3．（3分）七边形外角和为（）A．180°B．360°C．900° D．1260°【解答】解：七边形的外角和为360°．故选：B．4．（3分）已知等腰△ABC的边长为3、5，则腰AC的长可能为（）A．5 B．5或3 C．3 D．2【解答】解：当腰长为3时，三角形的三边为3、3、5，满足三角形的三边关系，则另一腰长为3，当腰长为5时，三角形的三边为5、5、3，满足三角形的三边关系，则另一腰长为5，综上可知腰AC可能为3或5，故选：B．5．（3分）如图，四边形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足为E，下列结论不一定成立的是（）A．AB=AD B．AC平分∠BCD C．AB=BD D．△BEC≌△DEC【解答】解：∵AC垂直平分BD，∴AB=AD，BC=CD，∴AC平分∠BCD，EB=DE，∴∠BCE=∠DCE，在Rt△BCE和Rt△DCE中，，∴Rt△BCE≌Rt△DCE（HL），故选：C．6．（3分）如图，△ABC中，AB=AC，∠B=70°，则∠A的度数是（）A．70°B．55°C．50°D．40°【解答】解：∵AB=AC，∠B=70°，∴∠A=180°﹣2∠B=180°﹣2×70°=40°．故选：D．7．（3分）如图，已知AE=CF，∠AFD=∠CEB，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ADF≌△CBE的是（）A．∠A=∠C B．AD=CB C．BE=DF D．AD∥BC【解答】解：∵AE=CF，∴AE+EF=CF+EF，∴AF=CE，A、∵在△ADF和△CBE中∴△ADF≌△CBE（ASA），正确，故本选项错误；B、根据AD=CB，AF=CE，∠AFD=∠CEB不能推出△ADF≌△CBE，错误，故本选项正确；C、∵在△ADF和△CBE中∴△ADF≌△CBE（SAS），正确，故本选项错误；D、∵AD∥BC，∴∠A=∠C，∵在△ADF和△CBE中∴△ADF≌△CBE（ASA），正确，故本选项错误；故选：B．8．（3分）如图，AB与CD交于点O，OA=OC，OD=OB，∠A=50°，∠B=30°，则∠D的度数为（）A．50°B．30°C．80°D．100°【解答】解：∵OA=OC，OD=OB，∠AOD=∠COB，∴△AOD≌△COB（SAS），∴∠D=∠B=30°．故选：B．9．（3分）四边形的内角和为（）A．180°B．360°C．540° D．720°【解答】解：四边形的内角和=（4﹣2）•180°=360°．故选：B．10．（3分）如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠A=25°，D是AB上一点．将Rt △ABC沿CD折叠，使B点落在AC边上的B′处，则∠ADB′等于（）A．25°B．30°C．35°D．40°【解答】解：∵在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠A=25°，∴∠B=90°﹣25°=65°，∵△CDB′由△CDB反折而成，∴∠CB′D=∠B=65°，∵∠CB′D是△AB′D的外角，∴∠ADB′=∠CB′D﹣∠A=65°﹣25°=40°．故选：D．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）11．（3分）已知点P在线段AB的垂直平分线上，PA=6，则PB=6．【解答】解：∵点P在线段AB的垂直平分线上，PA=6，∴PB=PA=6．故答案为：6．12．（3分）点P（3，2）关于x轴对称的点的坐标为（3，﹣2）．【解答】解：根据轴对称的性质，得点P（3，2）关于y轴对称的点的坐标为（3，﹣2）．故答案为：（3，﹣2）．13．（3分）如图，在△ABC中，∠C=20°，CA=CB，则△ABC的外角∠ABD=100°．【解答】解：∵CA=CB，∠C=20°，∴∠A=∠ABC==80°，∴∠ABD=180°﹣∠ABC=180°﹣80°=100°，故答案为：100．14．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，AD=3，BC=10，则△BDC的面积是15．【解答】解：过D作DE⊥BC于E，∵∠A=90°，∴DA⊥AB，∵BD平分∠ABC，∴AD=DE=3，∴△BDC的面积是×DE×BC=×10×3=15，故答案为：15．15．（3分）在△ABC中，三个内角∠A、∠B、∠C满足∠B﹣∠A=∠C﹣∠B，则∠B=60度．【解答】解：∵∠B﹣∠A=∠C﹣∠B，∴∠A+∠C=2∠B，又∵∠A+∠C+∠B=180°，∴3∠B=180°，∴∠B=60°．故答案为：60．16．（3分）一艘海轮位于灯塔P的南偏东70°方向的M处，它以每小时40海里的速度向正北方向航行，2小时后到达位于灯塔P的北偏东40°的N处，则N处与灯塔P的距离为80海里．【解答】解：如图∠NPM=180°﹣70°﹣40°=70°，∵向北的方向线是平行的，∴∠M=70°，∴∠NPM=∠M，∴NP=MN=40海里×2=80海里，故答案为：80海里．三、解答题（本大题共9小题，满分102分，解答应写出文字说明，证明过程货演算步骤）17．（9分）如图，在边长为1个单位长度的小正方形所组成的网格中，△ABC 的顶点均在格点上．画出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1（A与A1，B与B1，C 与C1相对应），连接AA1，BB1，并计算梯形AA1B1B的面积．【解答】解：△A1B1C1如图所示，梯形AA1B1B的面积=×（2+8）×4=20．18．（9分）如图，∠B=∠D，∠BAC=∠DAC．求证：AB=AD．【解答】证明：在△BAC和△DAC中，，∴△BAC≌△DAC（AAS），∴AB=AD．19．（10分）如图，点C，F在线段BE上，BF=EC，∠1=∠2，请你添加一个条件，使△ABC≌△DEF，并加以证明．（不再添加辅助线和字母）【解答】AC=DF．证明：∵BF=EC，∴BF﹣CF=EC﹣CF，∴BC=EF，在△ABC和△DEF中∴△ABC≌△DEF（SAS）．20．（10分）如图，E、F分别是等边三角形ABC的边AB，AC上的点，且BE=AF，CE、BF交于点P．（1）求证：CE=BF；（2）求∠BPC的度数．【解答】（1）证明：如图，∵△ABC是等边三角形，∴BC=AB，∠A=∠EBC=60°，∴在△BCE与△ABF中，，∴△BCE≌△ABF（SAS），∴CE=BF；（2）解：∵由（1）知△BCE≌△ABF，∴∠BCE=∠ABF，∴∠PBC+∠PCB=∠PBC+∠ABF=∠ABC=60°，即∠PBC+∠PCB=60°，∴∠BPC=180°﹣60°=120°．即：∠BPC=120°．21．（10分）如图，BA⊥AD，∠ADB=∠ABD=∠DAO，∠DBC=60°，∠DCO=∠BCO．（1）求证：BD⊥AC；（2）求∠DCO的度数；（3）求证：BC=DC．【解答】（1）证明：∵BA⊥AD，∴∠BAD=90°，∴∠ABD=∠ADB=45°，∴∠DAO=45°，∴∠AOD=90°，∴BD⊥AC；（2）解：∵∠DCO=∠BCO，且∠DBC=60°，∴∠DCO=∠BCO=30°；（3）证明：由（1）可知O为BD中点，且AC⊥BD，∴AC垂直平分BD，∴BC=DC．22．（12分）如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，称满足此条件的三角形为黄金等腰三角形．请完成以下操作：（画图不要求使用圆规，以下问题所指的等腰三角形个数均不包括△ABC）（1）在图1中画1条线段，使图中有2个等腰三角形，并直接写出这2个等腰三角形的顶角度数分别是108度和36度；（2）在图2中画2条线段，使图中有4个等腰三角形；（3）继续按以上操作发现：在△ABC中画n条线段，则图中有2n个等腰三角形，其中有n个黄金等腰三角形．【解答】解：（1）如图1所示：∵AB=AC，∠A=36°，∴当AE=BE，则∠A=∠ABE=36°，则∠AEB=108°，则∠EBC=36°，∴这2个等腰三角形的顶角度数分别是108度和36度；故答案为：108，36；（2）如图2所示：（3）如图3所示：当1条直线可得到2个等腰三角形；当2条直线可得到4个等腰三角形；当3条直线可得到6个等腰三角形；…∴在△ABC中画n条线段，则图中有2n个等腰三角形，其中有n个黄金等腰三角形．故答案为：2n，n．23．（12分）如图，在△ABC中，AB=AC，D是BA延长线上的一点，点E是AC 的中点．（1）实践与操作：利用尺规按下列要求作图，并在图中标明相应字母（保留作图痕迹，不写作法）；①作∠DAC的平分线AM；②连接BE并延长交AM于点F；（2）猜想与证明：试猜想AF与BC有怎样的位置关系和数量关系，并说明理由．【解答】解：（1）如图所示；（2）AF∥BC，且AF=BC，理由如下：∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，∴∠DAC=∠ABC+∠C=2∠C，由作图可得∠DAC=2∠FAC，∴∠C=∠FAC，∴AF∥BC，∵E为AC中点，∴AE=EC，在△AEF和△CEB中，∴△AEF≌△CEB（ASA）．∴AF=BC．24．（14分）如图，在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C是y轴上的一个动点，且A、B、C三点不在同一条直线上．（1）作点B关于y轴的对称点B′，并写出点B′的坐标．（2）当△ABC的周长最小时，求点C的坐标．【解答】解：（1）点B′的坐标为（﹣3，0）；（2）连接AB′，由轴对称确定最短路线问题，交点即为△ABC的周长最小的点C的位置，设直线AB′的解析式为y=kx+b，则，解得，所以，直线AB′的解析式为y=x+3，令x=0，则y=3，所以，点C的坐标为（0，3）．25．（16分）在图1、图2、图3、图4中，点P在线段BC上移动（不与B、C 重合），M在BC的延长线上．（1）如图1，△ABC和△APE均为正三角形，连接CE．①求证：△ABP≌△ACE．②∠ECM的度数为60°．（2）①如图2，若四边形ABCD和四边形APEF均为正方形，连接CE．则∠ECM 的度数为45°．②如图3，若五边形ABCDF和五边形APEGH均为正五边形，连接CE．则∠ECM 的度数为36°．（3）如图4，n边形ABC…和n边形APE…均为正n边形，连接CE，请你探索并猜想∠ECM的度数与正多边形边数n的数量关系（用含n的式子表示∠ECM的度数），并利用图4（放大后的局部图形）证明你的结论．【解答】解：（1）①证明：如图1，∵△ABC与△APE均为正三角形，∴AB=AC，AP=AE，∠BAC=∠PAE=60°，∴∠BAC﹣∠PAC=∠PAE﹣∠PAC即∠BAP=∠CAE，在△ABP和△ACE中，，∴△ABP≌△ACE （SAS）．②∵△ABP≌△ACE，∴∠ACE=∠B=60°，∵∠ACB=60°，∠ECM=180°﹣60°﹣60°=60°．故答案为：60．（2）①如图2，作EN⊥BN，交BM于点N∵四边形ABCD和APEF均为正方形，∴AP=PE，∠B=∠ENP=90°，∴∠BAP+∠APB=∠EPM+∠APB=90°，即∠BAP=∠NPE，在△ABP和△PNE中，，∴△ABP≌△ANE （AAS）．∴AB=PN，BP=EN，∵BP+PC=PC+CN=AB，∴BP=CN，∴CN=EN，∴∠ECM=∠CEN=45°②如图3，作EN∥CD交BM于点N，∵五边形ABCDF和APEGH均为正五边方形，∴AP=PE，∠B=∠BCD，∵EN∥CD，∴∠PNE=∠BCD，∴∠B=∠PNE∵∠BAP+∠APB=∠EPM+∠APB=180°﹣∠B，即∠BAP=∠NPE，在△ABP和△PNE中，，∴△ABP≌△PNE （AAS）．∴AB=PN，BP=EN，∵BP+PC=PC+CN=AB，∴BP=CN，∴CN=EN，∴∠NCE=∠NEC，∵∠CNE=∠BCD=108°，∴∠ECM=∠CEN=（180°﹣∠CNE）=×（180°﹣108°）=36°．故答案为：45，36．（3）如图4中，过E作EK∥CD，交BM于点K，∵n边形ABC…和n边形APE…为正n边形，∴AB=BC AP=PE∠ABC=∠BCD=∠APE=∵∠APK=∠ABC+∠BAP，∠APK=∠APE+∠EPK∴∠BAP=∠KPE∵EK∥CD，∴∠BCD=∠PKE∴∠ABP=∠PKE，在△ABP和△PKE中，，∴△ABP≌△PKE（AAS）∴BP=EK，AB=PK，∴BC=PK，∴BC﹣PC=PK﹣PC，∴BP=CK，∴CK=KE，∴∠KCE=∠KEC，∵∠CKE=∠BCD=∴∠ECK=．。