一元二次方程章头图导学
数学九年级北师大版 2.1 认识一元二次方程 (共13张PPT)
☞ 做一做
挑战自我
解：如果设所求的宽为xm ,那么教室中间铺设地毯
的长为（8－2x）m,宽为（5－2x）m,根据题意,可得方程：
(8 － 2x) (5 － 2x) = 18.
8
x
x 数学
（8－2x）
x
化5
1
１０２＋１１２＋１２２＝１３２＋１４２
你还能找到其他的五个连续整数，使前三个数的平 方和等于后两个数的平方和吗？
把ax２＋bx＋c＝０(a，b，c为常数,a≠０)称为一元二
次方程的一般形式，其中ax２ ， bx ， c分别称为二次项、
一次项和常数项，a， b分别称为二次项系数和一次项系数．
温馨提醒
• 一元二次方程必须具备:1.只含有一个未知 数；2.未知数的最高次数是2；3.整式方程. （解题时特别注意一般式中的a≠０.）
培养能力之阵地
2.把方程(3x＋2)2＝4x化成一元二次方程的一般形式,并 写出它的二次项系数、一次项系数和常数项． 解：将原方程化简为：
9x2＋12x＋4＝4x 9x2＋12x＋4-4x=0 9x2+8x＋4=0
二次项系数为9，一次项系数为8 ，常数项为4 .
我的 收获
回味无穷
• 本节课你学会了哪些新知识呢？ • １．学习了什么是一元二次方程，以及它的
☞ 小试牛刀
1.下列方程哪些是一元二次方 程?如果是，你能说说各项系数 吗？
(1) 7x2－6x＝0
(2) 2x2－5xy＋6y＝0
(3) 2x2－－31x －1 ＝0 (4) 5x2 ＋6 ＝ 0 (5) x2＋2x－3＝1＋x2 (6) ax２＋bx＋c＝０ (7)2x－3＝6x
解: (1)、 (4)
如果设五个连续整数中的第一个数为x，那么后面四个数依
一元二次方程ppt课件
ax2 称为二次项,a 称为二次项系数. bx 称为一次项, b 称为一次项系数.
c 称为常数项.
知识精讲
思考 为什么一般形式中ax2+bx+c=0要限制a≠0，b、c 可以为 零吗？
当 a=0时
bx＋c = 0
类比一元一次方程的定义，想一想：什么样的方程叫一元二次方程呢？
知识精讲
问题1:有一块矩形铁皮,长100cm,宽50cm,在它的四角各切去一个正方形,然 后将四周凸出部分折起,就能制作一个无盖方盒,如果要制作的方盒的底面 积为3600cm2,那么铁皮各角应切去多大的正方形？
解：设切去的正方形的边长为xcm,则盒底的长 为（100－2x)cm,宽为(50－2x)cm,根据方盒的 底面积为3600cm2,得
5.若a+b+c=0则一元二次方程ax2+bx+c=0必有一解为：__x__=_1____; 若4a-2b+c=0则一元二次方程ax2+bx+c=0必有一解为：_x_=__-_2____;
6.m、n是关于x的一元二次方程x2+2006x-2008=0的根，试 求（m2+2006m-2007）（n2+2006n+2007）的值。
针对练习
已知关于x的方程
.
（1）当m为何值时，此方程为一元二次方程？
（2）当m为何值时，此方程为一元一次方程？并求出此方
程的解.
思考：一元一次方程与一元二次方程有什么区别与联系？
ax=b (a≠0）
ax2+bx+c=0 (a≠0）
章头图一元二次方程
章头图一元二次方程【案例教学背景】“章头图”导学探索课，很多老师和学生不够重视，其实，深入研究教材就会发现，“章头图”导学探索课，是指导学生学好全章的基础，对培养学生学习自信心、好奇心，起着至关重要的作用。
鉴于此，本人在2013年秋季上了一节校级公开课《苏科版教科书九年级上册第四单元章头图一元二次方程》。
【案例教学过程】问题情境1：如图（1）所示，梯子AB从4米高的位置开始下滑，在下滑过程中当α=1350时，梯子的顶端与地面的垂直距离为多少？解：设上端距地面的垂直距离为x米,根据题意可得方程x2 + x2 = 25 ,即2x2-25 = 0 ；问题情境2：如图（2）所示，一梯子的上端在距离地面4米高处，梯子长5米,下端在水平的地面上，如果梯子的顶端下滑1米，那么梯子的底端滑动了多少米？解：设梯子的底端滑动x米，则根据题意得方程(4 -1)2 + (3 + x) 2 = 52，整理得x 2+ 6x -7=0；图（1）图（2）问题情境3：如图（3）所示，如果梯子上端下滑的距离等于下端平移的距离，那么梯子的底端滑动了多少米？解：设梯子下滑了x 米，则根据题意得方程(4 - x)2 + (3+ x)2 = 25 ，整理得2x2 -2 x = 0 。
图（3）图（4）问题情境4：2x2-25=0，2x2-2x=0，x2+6x-7=0 …… 上述整式方程有什么共同点？都含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的整式方程叫一元二次方程；问题情境5：观察2x2– 25 =0，x2– x =0，x2+6x-7=0 ……：请尝试给一元二次方程定义一般式：ax2+bx+c=0 (a、b、c是已知数，a≠0 )；问题情境6：思考m为何值时，方程(m+1)+ 3x +1 = 0 ，是一元一次方程？一元二次方程？问题情境7：能发现一元二次方程的解法吗？请尝试解方程：2x2-25=0 ，请结合解法特征给这种解法取名；问题情境8 ：能发现一元二次方程的解法吗？请尝试(4- x) 2+ (3+ x) 2 = 25, 你会解吗？大家给这种解法取名；问题情境9：方程x 2+ 6x - 7 = 0你会解吗？请结合解法的主要特征给这种解法取名；问题情境10：能发现一元二次方程的一般解法吗？ax2+ bx + c = 0 (a≠0),你会解吗？问题情境11：这尊雕像（如图（4））大家已在美术书上见过，你们能掂量她在世界各国人民心里尊严与智慧，生命与美丽的份量？希望同学们能从数学的视角去欣赏，更期待你们以方程的智慧去点燃这久远的灿烂文化，这雕像与方程x2+x-1=0 根有关系吗？问题情境12：同学们，看到这幅照片（如图（5）），就听到大家嘹亮的歌声。
一元二次方程课件ppt
• 问题1、绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼 房之间，开辟面积为900平方米的一块长方 形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长 和宽各为多少？
（x＋10）
x
问题1、绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间， 开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且 长比宽多10米，那么绿地的长和宽各为多少？
例1．将方程（8-2x）（5-2x）=18化成一元二次 方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次
项系数及常数项．
• 分析：一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a≠0）．因此， 方程（8-2x） （•5-2x）=18必须运用整式运算进行整理，包括 去括号、移项等．
• 解：去括号，得： • 40-16x-10x+4x2=18 • 移项，得：4x2-26x+22=0 • 其中二次项系数为4，一次项系数为-26，常数项为22．
3
你会用描点法画二次函数y=x2的图象吗?
观察y=x2的表达式,选择适当x值,并计算 相应的y值,完成下表：
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=x2 … 9 4 1 0 1 4 9 …
描点,连线 y 10
y=x2
8
6
4
2
?
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x -2
二次函数 y=x2的图象 形如物体抛 射时所经过 的路线,我们 把它叫做抛 物线
方程
二次项 一次项 常数 系数 系数 项
2x2 x 3 0 2
1
－3
3x2 5 0
3
0
－5
x2 3x 0 1
－3
0
2、将下列一元二次方程化为一般形式，并分别 指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项：
一元二次方程知识结构图
一元二次方程知识结构图
1、相关概念：一元二次方程的概念、一元二次方程的一般形式、一元二次方程的解、一元二次方程的根的概念。
2、相关解法：夹逼法、直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法、换元法。
重点是以下三种方法：
(1)配方法首先通过实际问题引出，这样的方程可以化为更为简单的形式，由平方根的概念，可以得到这个方程的解。
进而举例说明如何解方程，引出配方法。
在例题中，涉及二次项系数不是1的一元二次方程，也涉及没有实数根的一元二次方程。
对于没有实数根的一元二次方程，学了“公式法”以后，学生对这个内容会有进一步的理解。
(2)公式法首先借助配方法讨论方程的解法，得到一元二次方程的求根公式。
然后安排运用公式法解一元二次方程的例题。
在例题中，涉及有两个相等实数根的一元二次方程，也涉及没有实数根的一元二次方程。
由此引出一元二次方程的解的三种情况。
(3)在介绍因式分解法时，首先通过实际问题引出易于用因式分解法的一元二次方程，引出因式分解法。
然后安排运用因式分解法解一元二次方程的例题。
最后对配方法、公式法、因式分解法三种解一元二次方程的方法进行小结。
3、根的判别式及韦达定理。
4、相关应用：通过实际问题，使学生进一步体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型。
认识一元二次方程PPT课件
感悟新知
1 方程x2+x－12＝0的两个根为( ) A．x1＝－2，x2＝6 B．x1＝－6，x2＝2 C．x1＝－3，x2＝4 D．x1＝－4，x2＝3
知3－练
感悟新知
知3－练
2 若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有 一个根为1，则下列结论正确的是( ) A．a＋b＋c＝1 B．a－b＋c＝0 C．a＋b＋c＝0 D．a－b＋c＝1
答：小青蛙比大青蛙少吃了__2_6__只虫子。
算一算，说一说。
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70
2．用小棒摆一摆，算一算。
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摆一摆略。
归纳总结：
计算两位数加、减整十数，先把两位数拆分成整十数和 一位数，再把整十数相加、减，最后和一位数相加。
（讲解源于《典中点》）
一共吃了多少只虫子？
易错辨析（选题源于《典中点》）
知2－讲
一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经 过整理，都能化成如下形式：ax²+bx+c=0 (a≠0)这 种形式叫做一元二次方程的一般形式 . 特别提醒： a ≠ 0是方程ax2+bx+c=0 是关于x 的一元二次方程的 前提；反之，如果方程ax2+bx+c=0 是关于x 的一元 二次方程，则必隐含a≠0这一条件.
4．
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作业 请完成《典中点》的“应用提升练”和“思 维拓展练”习题，具体内容见习题课件。
感悟新知
知1－讲
如图，一个长为10 m的梯子斜靠 在墙上，梯子 的顶端A处到地面的距离为8 m. 如果梯子的顶端沿 墙面下滑1 m，那么梯子的底端B在地面上滑动的距 离是多少米？
《一元二次方程》一元二次方程PPT课件
3.如何用判别式 b2 - 4ac 来判断一元二次方程根的情况？
对一元二次方程： ax2 + bx +c = 0(a≠0). b2 - 4ac > 0 时，方程有两个不相等的实数根. b2 - 4ac = 0 时，方程有两个相等的实数根. b2 - 4ac < 0 时，方程无实数根.
学习目标 1.探索一元二次方程的根与系数的关系. 2.不解方程利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题.
新知探究
跟踪训练 把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它们的二次项系
数、一次项系数和常数项．
（1） x 2 2 4；
x2 4x 0 1 -4 0
（2）2 x 3 x 4 x2 10 ；
x2 2x 14 0 1 2 -14
（3）x2 x 1 1． 32
2x2 3x 9 0 2 -3 -9
新知探究 知识点3
x2-(x1+x2)x+x1x2=0.
对接中考
关于 x 的一元二次方程 x2-(a2-2a)x+a-1=0 的两个实数根互为相反数，
则 a 的值为( B )
A.2
B.0
C.1
D.2或0
已知x1，x2是一元二次方程 x2−2x＝0 的两个实数根，下列结论错误的是 (D )
方程两个根的和、积与系数分别有如下关系： x1＋x2＝－p，x1x2＝q.
新知探究
一般的一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 中，二次项系数 a 未必是1，它的两个 根的和、积与系数又有怎样的关系呢？
新知探究
由求根公式知
x1 b
b2 4ac 2a
x2 b
b2 4ac 2a
x1 x2 b
九年级上册第二十一章一元二次方程复习ppt导学课件
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九级上册第二十一章一元二次方程复 习实用 课件（P PT优秀 课件）
九级上册第二十一章一元二次方程复 习实用 课件（P PT优秀 课件）
考点 5 三种思想
9．已知x＝a是2x2＋x－2＝0的一个根，求代数式2a4 ＋a3＋2a2＋2a＋1的值．
解：∵x＝a是2x2＋x－2＝0的一个根， ∴2a2＋a－2＝0，即2a2＋a＝2. ∴原式＝a2(2a2＋a)＋2a2＋2a＋1＝2a2＋2a2＋2a＋1
九级上册第二十一章一元二次方程复 习实用 课件（P PT优秀 课件）
九级上册第二十一章一元二次方程复 习实用 课件（P PT优秀 课件）
(1)BQ＝___2_t____cm，PB＝___(_5_－__t)_cm(用含t的 代数式表示)．
(2)当t为何值时，PQ的长度等于5 cm? 由题意得(5－t)2＋(2t)2＝52， 解得t1＝0(舍去)，t2＝2. 当t＝2时，PQ的长度等于5 cm.
(1)该市的养老床位数从2013年底的2万个增长到2015 年底的2.88万个，求该市这两年(从2013年底到 2015年底)拥有的养老床位数的年平均增长率．
(2)若该市某社区今年准备新建一养老中心，其中规划 建造三类养老专用房间共100间，这三类养老专用 房间分别为单人间(1个养老床位)，双人间(2个养老 床位)，三人间(3个养老床位)，因实际需要，单人 间房间数在10至30之间(包括10和30)，且双人间的 房间数是单人间的2倍，设规划建造单人间的房间 数为t.
∴x＝ (4 2) 0 2.
28
4
∴x1＝x2＝
2 ..
4
(3)3x(2x＋1)＝4x＋2.
原方程可变形为(2x＋1)(3x－2)＝0，
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容易掉进的“陷井题”。
问题情境8： 能发现一元二次方程的解法吗？请尝试。
x x
解方程：2x2-25=0
请结合解法特征给这种解法取名。
问题情境9： 能发现一元二次方程的解法吗？请尝试。
x 4米
4 x 3 x
2
2
25,
x x 0 你会解吗？
2
3
x
请大家给这种解法取名。
问题情境10： 能发现一元二次方程的解法吗？请尝试。
1
4 1 3 x
2
2
5 ,
2
4米
x 6 x 7 0你会解吗？
2
x
请结合解法的主要特征给这种解法取名。
问题情境11： 能发现一元二次方程的解法吗？请尝试。
ax bx c 0 (a≠0)你会解吗？
放歌未来，人生如画，这不一般的矩 形让人倍感智慧灿烂。
3米
请结合以下图示设 计一个一元二次方 程的应用问题，请 尝试。
1米
本章将学习一元二次方程的解法及应用
从一元到二元，从一次到二次，消元、 降次让我们倍感思想的伟大和魅力的无 限。方程，存在于我们美好的生活之中， 人生也如方程，发现和构建人生美好理 想的方程这是现代人的责任，我们只有 用勤劳去解、用汗水去解、用勇敢去解， 那么人生方程的根才是发现和创造，才 是大智与大慧，才是快乐和幸福！
y (m 1) x m mx 1
2
（1）是一元一次方程？ （2）是一次函数？ （3）是反比例函数？ （4）是一元二次方程？
2
b c 因为a≠0， x x 0 a a
2
·· ·· ··
这尊雕像大家已在美术书上见过，你们能掂量 她在世界各国人民心里尊严与智慧，生命与美丽的 份量？希望同学们常从数学的视角去欣赏，更期待 你们以方程的智慧去点燃这久远的灿烂文化。
这雕像与方程x2+x-1=0 有关系吗？
同学们，看到这幅照片，就听到大家 嘹亮的歌声。
“章头导学课”后第1课时“4.1一元二次方程”教学思路 学什么？
<学会题型分类> 1、通过引导，应用题教学。 （找等量关系训练） 2、化一般式、说系数 （1） （2） （3） 3、题型联系 m为何值时
怎么学？
<学会归纳小结> 相应题型的解法与注意点 …… ……
能尝试“编编”教材？
<带领学生走进教材> 1、结合试题研究梳理学 案即教材。 2、下堂课你认为该研究 什么？ 3、课上你带着什么问题？ …… ……
问题情境1：梯子AB在如图所示
4米
梯子
的位置开始下滑， 在下滑过程中当 α=1350时，梯子 的顶端与地面的垂 直距离为多少？
墙
O
解：设上端距地面的垂直距离为x米 根据题意可得方程 整理得
x x 25 2 2 x 25 0
2 2
问题情境2：一梯子的上端在距离地面
4米
4米高处，梯子长5米，下 端在水平的地面上，如果 梯子的顶端下滑1米，那 么梯子的底端滑动了多少 米？
江苏省南通第一中学 符永平
1、“章头图”导学探索课 [适用] 每章开始的学习，是学习每一章开始时对全章全法 的引领。 [作用] 是指导学生学好全章的基础，突显学法训练，重视 学习信心、好奇心的培养，是指导学生学会自学（自主学）
的重要课型。
[操作要义] 从“图” ，（实际问题）中生成知识与方法体
系，感知全章，带着问题走进下面的课堂。
2 x 2 2 x 25 25
整理得 x 2 x 0
问题情境4： 2x2-25=0， x2-x=0， x2+6x-7=0 …… 上述 整式方程中都会有一个未知数，并且 未知数的最高次数是2 这样的方程叫一元二次方程.
问题情境5： 2x2 – 25 =0， x2 – x =0， x2+6x-7=0 …… 请尝试给一元二次方程定义一般式：
ax2+bx+c=0
(a、b、c是已知数，a≠0 )
问题情境6： 用定义设计问题 判断并说明理由：一元二次方程x2-x3-2=0 ,
2 x 2 0 ，xy-x-2=0它们的常数项都是2 x
你知道这道题是怎样设计出来的？
问题情境7：
思考 m为何值时，方程 x 3x 1 0
m
O
设梯子的底端滑动x米 则根据题意可得 4 1 3 x
2 2
52
整理得
x 6x 7 0
2
问题情境3： 如图所示，如果梯子上
4米
端下滑的距离等于下端 平移的距离，那么梯子 的底端滑动了多少米？
O
设梯子下滑了x 米
4 x 2 3 x 2 25 则根据题意可得
[产生背景]
江苏省第十届“五四”杯论文大
赛颁奖大会在无锡举行，我被应邀上“一元二 次方程”第1课时，我尝试了以1课时对全章进 行了学法指导和数学欣赏的任务，并取得成功。 先后在多省市汇报交流，并得到人教社章建跃 主任、陕西师大博士生导师罗增儒教授、南京
市教研室特级老师肖宁元主任等的具体指导和
鼓励。