5.4 二次函数与一元二次方程导学案
一元二次方程、不等式(经典导学案及练习答案详解)
§1.5一元二次方程、不等式学习目标1.会从实际情景中抽象出一元二次不等式.2.结合二次函数图象，会判断一元二次方程的根的个数，以及解一元二次不等式.3.了解简单的分式、绝对值不等式的解法．知识梳理1．二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系判别式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2)有两个相等的实数根x1＝x2＝－b2a没有实数根ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集{x|x<x1，或x>x2}⎩⎨⎧⎭⎬⎫x⎪⎪x≠－b2a Rax2＋bx＋c<0(a>0)的解集{x|x1<x<x2}∅∅2.分式不等式与整式不等式(1)f(x)g(x)>0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0)；(2)f(x)g(x)≥0(≤0)⇔f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.3．简单的绝对值不等式|x|>a(a>0)的解集为(－∞，－a)∪(a，＋∞)，|x|<a(a>0)的解集为(－a，a)．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若方程ax2＋bx＋c＝0无实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R.(×)(2)若不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(x1，x2)，则a<0.(√)(3)若ax 2＋bx ＋c >0恒成立，则a >0且Δ<0.( × ) (4)不等式x －ax －b ≥0等价于(x －a )(x －b )≥0.( × )教材改编题1．若集合A ＝{x |x 2－9x >0}，B ＝{x |x 2－2x －3<0}，则A ∪B 等于( ) A ．R B ．{x |x >－1} C ．{x |x <3或x >9} D ．{x |x <－1或x >3} 答案 C解析 A ＝{x |x >9或x <0}，B ＝{x |－1<x <3}， ∴A ∪B ＝{x |x <3或x >9}．2．若关于x 的不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－12<x <13，则a ＋b ＝________. 答案 －14解析 依题意知⎩⎨⎧－b a ＝－12＋13，2a ＝⎝⎛⎭⎫－12×13，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，b ＝－2，∴a ＋b ＝－14.3．一元二次不等式ax 2＋ax －1<0对一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是________． 答案 (－4,0)解析 依题意知⎩⎪⎨⎪⎧ a <0，Δ<0，即⎩⎪⎨⎪⎧a <0，a 2＋4a <0，∴－4<a <0.题型一 一元二次不等式的解法 命题点1 不含参的不等式例1 (1)不等式－2x 2＋x ＋3<0的解集为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ －1<x <32 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ －32<x <1C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x <－1或x >32 D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x <－32或x >1 答案 C解析 －2x 2＋x ＋3<0可化为2x 2－x －3>0， 即(x ＋1)(2x －3)>0， ∴x <－1或x >32.(2)(多选)已知集合M ＝{}x ||x －1|≤2，x ∈R ，集合N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪5x ＋1≥1，x ∈R ，则( ) A ．M ＝{}x |－1≤x ≤3 B ．N ＝{}x |－1≤x ≤4 C ．M ∪N ＝{}x |－1≤x ≤4 D ．M ∩N ＝{}x |－1<x ≤3 答案 ACD解析 由题设可得M ＝[－1,3]，N ＝(－1,4]， 故A 正确，B 错误；M ∪N ＝{x |－1≤x ≤4}，故C 正确； 而M ∩N ＝{x |－1<x ≤3}，故D 正确． 命题点2 含参的不等式例2 解关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1<0(a >0)． 解 原不等式变为(ax －1)(x －1)<0， 因为a >0，所以⎝⎛⎭⎫x －1a (x －1)<0. 所以当a >1时，解得1a <x <1；当a ＝1时，解集为∅； 当0<a <1时，解得1<x <1a.综上，当0<a <1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1<x <1a ； 当a ＝1时，不等式的解集为∅；当a >1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1a<x <1. 延伸探究 在本例中，把a >0改成a ∈R ，解不等式． 解 当a >0时，同例2，当a ＝0时，原不等式等价于－x ＋1<0，即x >1， 当a <0时，1a<1，原不等式可化为⎝⎛⎭⎫x －1a (x －1)>0， 解得x >1或x <1a.综上，当0<a <1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1<x <1a ， 当a ＝1时，不等式的解集为∅，当a >1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1a<x <1， 当a ＝0时，不等式的解集为{x |x >1}，当a <0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <1a或x >1. 教师备选解关于x 的不等式x 2－ax ＋1≤0. 解 由题意知，Δ＝a 2－4， ①当a 2－4>0，即a >2或a <－2时，方程x 2－ax ＋1＝0的两根为x ＝a ±a 2－42，∴原不等式的解为a －a 2－42≤x ≤a ＋a 2－42.②若Δ＝a 2－4＝0，则a ＝±2.当a ＝2时，原不等式可化为x 2－2x ＋1≤0， 即(x －1)2≤0，∴x ＝1；当a ＝－2时，原不等式可化为x 2＋2x ＋1≤0， 即(x ＋1)2≤0，∴x ＝－1.③当Δ＝a 2－4<0，即－2<a <2时， 原不等式的解集为∅.综上，当a >2或a <－2时，原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪a －a 2－42≤x ≤a ＋a 2－42； 当a ＝2时，原不等式的解集为{1}； 当a ＝－2时，原不等式的解集为{－1}； 当－2<a <2时，原不等式的解集为∅.思维升华 对含参的不等式，应对参数进行分类讨论，常见的分类有 (1)根据二次项系数为正、负及零进行分类．(2)根据判别式Δ与0的关系判断根的个数． (3)有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论．跟踪训练1 (1)(多选)已知关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为{x |x ≤－3或x ≥4}，则下列说法正确的是( ) A ．a >0B ．不等式bx ＋c >0的解集为{x |x <－4}C ．不等式cx 2－bx ＋a <0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <－14或x >13 D ．a ＋b ＋c >0 答案 AC解析 关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为(－∞，－3]∪[4，＋∞)， 所以二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口方向向上，即a >0，故A 正确； 对于B ，方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根分别为－3,4，由根与系数的关系得⎩⎨⎧－ba＝－3＋4，ca ＝－3×4，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－a ，c ＝－12a .bx ＋c >0⇔－ax －12a >0， 由于a >0，所以x <－12，所以不等式bx ＋c >0的解集为{}x |x <－12， 故B 不正确；对于C ，由B 的分析过程可知⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－a ，c ＝－12a ，所以cx 2－bx ＋a <0⇔－12ax 2＋ax ＋a <0⇔12x 2－x －1>0⇔x <－14或x >13，所以不等式cx 2－bx ＋a <0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <－14或x >13，故C 正确； 对于D ，a ＋b ＋c ＝a －a －12a ＝－12a <0，故D 不正确． (2)解关于x 的不等式(x －1)(ax －a ＋1)>0.解 ①当a ＝0时，原不等式可化为x －1>0，即x >1； 当a ≠0时，(x －1)(ax －a ＋1)＝0的两根分别为1,1－1a .②当a >0时，1－1a<1，∴原不等式的解为x >1或x <1－1a .③当a <0时，1－1a >1，∴原不等式的解为1<x <1－1a.综上，当a ＝0时，原不等式的解集为{x |x >1}；当a >0时，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >1或x <1－1a ； 当a <0时，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1<x <1－1a . 题型二 一元二次不等式恒(能)成立问题 命题点1 在R 上恒成立问题例3 (2022·漳州模拟)对∀x ∈R ，不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0恒成立，则a 的取值范围是( ) A ．－2<a ≤2 B ．－2≤a ≤2 C ．a <－2或a ≥2 D ．a ≤－2或a ≥2答案 A解析 不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0对一切x ∈R 恒成立，当a －2＝0，即a ＝2时，－4<0恒成立，满足题意；当a －2≠0时，要使不等式恒成立，需⎩⎪⎨⎪⎧ a －2<0，Δ<0，即有⎩⎪⎨⎪⎧a <2，4(a －2)2＋16(a －2)<0，解得－2<a <2.综上可得，a 的取值范围为(－2,2]． 命题点2 在给定区间上恒成立问题例4 已知函数f (x )＝mx 2－mx －1.若对于x ∈[1,3]，f (x )<5－m 恒成立，则实数m 的取值范围为________． 答案 ⎝⎛⎭⎫－∞，67 解析 要使f (x )<－m ＋5在x ∈[1,3]上恒成立，即m ⎝⎛⎭⎫x －122＋34m －6<0在x ∈[1,3]上恒成立．有以下两种方法： 方法一 令g (x )＝m ⎝⎛⎭⎫x －122＋34m －6， x ∈[1,3]．当m >0时，g (x )在[1,3]上单调递增，所以g (x )max ＝g (3)，即7m －6<0， 所以m <67，所以0<m <67；当m ＝0时，－6<0恒成立； 当m <0时，g (x )在[1,3]上单调递减， 所以g (x )max ＝g (1)，即m －6<0， 所以m <6，所以m <0.综上所述，m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，67. 方法二 因为x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －122＋34>0， 又因为m (x 2－x ＋1)－6<0在x ∈[1,3]上恒成立， 所以m <6x 2－x ＋1在x ∈[1,3]上恒成立．令y ＝6x 2－x ＋1，因为函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝⎛⎭⎫x －122＋34在[1,3]上的最小值为67，所以只需m <67即可． 所以m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，67. 命题点3 给定参数范围的恒成立问题例5 (2022·宿迁模拟)若不等式x 2＋px >4x ＋p －3，当0≤p ≤4时恒成立，则x 的取值范围是( ) A ．[－1,3] B ．(－∞，－1] C ．[3，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(3，＋∞) 答案 D解析 不等式x 2＋px >4x ＋p －3 可化为(x －1)p ＋x 2－4x ＋3>0，由已知可得[(x －1)p ＋x 2－4x ＋3]min >0(0≤p ≤4)， 令f (p )＝(x －1)p ＋x 2－4x ＋3(0≤p ≤4)，可得⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＝x 2－4x ＋3>0，f (4)＝4(x －1)＋x 2－4x ＋3>0，∴x <－1或x >3.教师备选函数f (x )＝x 2＋ax ＋3.若当x ∈[－2,2]时，f (x )≥a 恒成立，则实数a 的取值范围是________． 若当a ∈[4,6]时，f (x )≥0恒成立，则实数x 的取值范围是________________． 答案 [－7,2](－∞，－3－6]∪[－3＋6，＋∞)解析 若x 2＋ax ＋3－a ≥0在x ∈[－2,2]上恒成立， 令g (x )＝x 2＋ax ＋3－a ，则有①Δ≤0或②⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，－a2<－2，g (－2)＝7－3a ≥0.或③⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，－a2>2，g (2)＝7＋a ≥0，解①得－6≤a ≤2，解②得a ∈∅， 解③得－7≤a <－6.综上可得，满足条件的实数a 的取值范围是[－7,2]． 令h (a )＝xa ＋x 2＋3.当a ∈[4,6]时，h (a )≥0恒成立．只需⎩⎪⎨⎪⎧ h (4)≥0，h (6)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ＋3≥0，x 2＋6x ＋3≥0，解得x ≤－3－6或x ≥－3＋ 6.∴实数x 的取值范围是(－∞，－3－6]∪[－3＋6，＋∞)． 思维升华 恒成立问题求参数的范围的解题策略(1)弄清楚自变量、参数．一般情况下，求谁的范围，谁就是参数．(2)一元二次不等式在R 上恒成立，可用判别式Δ，一元二次不等式在给定区间上恒成立，不能用判别式Δ，一般分离参数求最值或分类讨论．跟踪训练2 (1)已知关于x 的不等式－x 2＋4x ≥a 2－3a 在R 上有解，则实数a 的取值范围是( )A ．{a |－1≤a ≤4}B ．{a |－1<a <4}C ．{a |a ≥4或a ≤－1}D ．{a |－4≤a ≤1}答案 A解析 因为关于x 的不等式－x 2＋4x ≥a 2－3a 在R 上有解，即x 2－4x ＋a 2－3a ≤0在R 上有解，只需y ＝x 2－4x ＋a 2－3a 的图象与x 轴有公共点， 所以Δ＝(－4)2－4×(a 2－3a )≥0， 即a 2－3a －4≤0，所以(a －4)(a ＋1)≤0， 解得－1≤a ≤4，所以实数a 的取值范围是{a |－1≤a ≤4}．(2)当x ∈(1,2)时，不等式x 2＋mx ＋4<0恒成立，则m 的取值范围是( ) A ．(－∞，4] B ．(－∞，－5) C ．(－∞，－5] D ．(－5，－4)答案 C解析 令f (x )＝x 2＋mx ＋4， ∴当x ∈(1,2)时，f (x )<0恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧f (1)≤0，f (2)≤0， 即⎩⎪⎨⎪⎧1＋m ＋4≤0，4＋2m ＋4≤0， 解得m ≤－5.课时精练1．不等式9－12x ≤－4x 2的解集为( ) A ．RB ．∅C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝32 D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠32 答案 C解析 原不等式可化为4x 2－12x ＋9≤0， 即(2x －3)2≤0， ∴2x －3＝0，∴x ＝32，∴原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝32. 2．(2022·揭阳质检)已知p ：|2x －3|<1，q ：x (x －3)<0，则p 是q 的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件C ．既不充分也不必要条件D ．必要不充分条件 答案 B解析 ∵p ：|2x －3|<1，则－1<2x －3<1， 可得p ：1<x <2，又∵q ：x (x －3)<0，由x (x －3)<0，可得q ：0<x <3， 可得p 是q 的充分不必要条件．3．(2022·南通模拟)不等式(m ＋1)x 2－mx ＋m －1<0的解集为∅，则m 的取值范围是( ) A ．m <－1 B ．m ≥233C ．m ≤－233D ．m ≥233或m ≤－233答案 B解析 ∵不等式(m ＋1)x 2－mx ＋m －1<0的解集为∅， ∴不等式(m ＋1)x 2－mx ＋m －1≥0恒成立．①当m ＋1＝0，即m ＝－1时，不等式化为x －2≥0， 解得x ≥2，不是对任意x ∈R 恒成立，舍去； ②当m ＋1≠0，即m ≠－1时，对任意x ∈R ， 要使(m ＋1)x 2－mx ＋m －1≥0，只需m ＋1>0且Δ＝(－m )2－4(m ＋1)(m －1)≤0， 解得m ≥233.综上，实数m 的取值范围是m ≥233.4．(2022·合肥模拟)不等式x 2＋ax ＋4≥0对一切x ∈[1,3]恒成立，则a 的最小值是( ) A ．－5 B ．－133 C ．－4 D ．－3答案 C解析 ∵x ∈[1,3]时，x 2＋ax ＋4≥0恒成立， 则a ≥－⎝⎛⎭⎫x ＋4x 恒成立， 又x ∈[1,3]时，x ＋4x ≥24＝4，当且仅当x ＝2时取等号．∴－⎝⎛⎭⎫x ＋4x ≤－4， ∴a ≥－4.故a 的最小值为－4.5．(多选)满足关于x 的不等式(ax －b )(x －2)>0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12<x <2，则满足条件的一组有序实数对(a ，b )的值可以是( )A ．(－2，－1)B ．(－3，－6)C ．(2,4)D.⎝⎛⎭⎫－3，－32 答案 AD解析 不等式(ax －b )(x －2)>0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12<x <2， ∴方程(ax －b )(x －2)＝0的实数根为12和2， 且⎩⎪⎨⎪⎧ a <0，b a ＝12，即a ＝2b <0，故选AD. 6．(多选)(2022·湖南长郡中学月考)已知不等式x 2＋ax ＋b >0(a >0)的解集是{x |x ≠d }，则下列四个结论中正确的是( )A ．a 2＝4bB ．a 2＋1b≥4 C ．若不等式x 2＋ax －b <0的解集为(x 1，x 2)，则x 1x 2>0D ．若不等式x 2＋ax ＋b <c 的解集为(x 1，x 2)，且|x 1－x 2|＝4，则c ＝4答案 ABD解析 由题意，知Δ＝a 2－4b ＝0，所以a 2＝4b ，所以A 正确；对于B ，a 2＋1b ＝a 2＋4a 2≥2a 2·4a 2＝4，当且仅当a 2＝4a 2，即a ＝2时等号成立， 所以B 正确；对于C ，由根与系数的关系，知x 1x 2＝－b ＝－a 24<0，所以C 错误； 对于D ，由根与系数的关系，知x 1＋x 2＝－a ，x 1x 2＝b －c ＝a 24－c ， 则|x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝a 2－4⎝⎛⎭⎫a 24－c ＝2c ＝4， 解得c ＝4，所以D 正确．7．不等式3x －1>1的解集为________．答案 (1,4)解析 ∵3x －1>1， ∴3x －1－1>0，即4－x x －1>0， 即1<x <4.∴原不等式的解集为(1,4)．8．一元二次方程kx 2－kx ＋1＝0有一正一负根，则实数k 的取值范围是________． 答案 (－∞，0)解析 kx 2－kx ＋1＝0有一正一负根，∴⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝k 2－4k >0，1k<0，解得k <0. 9．已知关于x 的不等式－x 2＋ax ＋b >0.(1)若该不等式的解集为(－4,2)，求a ，b 的值；(2)若b ＝a ＋1，求此不等式的解集．解 (1)根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧2－4＝a ，2×(－4)＝－b ， 解得a ＝－2，b ＝8.(2)当b ＝a ＋1时，－x 2＋ax ＋b >0⇔x 2－ax －(a ＋1)<0，即[x －(a ＋1)](x ＋1)<0.当a ＋1＝－1，即a ＝－2时，原不等式的解集为∅；当a ＋1<－1，即a <－2时，原不等式的解集为(a ＋1，－1)；当a ＋1>－1，即a >－2时，原不等式的解集为(－1，a ＋1)．综上，当a <－2时，不等式的解集为(a ＋1，－1)；当a ＝－2时，不等式的解集为∅； 当a >－2时，不等式的解集为(－1，a ＋1)．10．若二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，满足f (x ＋2)－f (x )＝16x 且f (0)＝2.(1)求函数f (x )的解析式；(2)若存在x ∈[1,2]，使不等式f (x )>2x ＋m 成立，求实数m 的取值范围．解 (1)由f (0)＝2，得c ＝2，所以f (x )＝ax 2＋bx ＋2(a ≠0)，由f (x ＋2)－f (x )＝[a (x ＋2)2＋b (x ＋2)＋2]－(ax 2＋bx ＋2)＝4ax ＋4a ＋2b ，又f (x ＋2)－f (x )＝16x ，得4ax ＋4a ＋2b ＝16x ，所以⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝16，4a ＋2b ＝0，故a ＝4，b ＝－8， 所以f (x )＝4x 2－8x ＋2.(2)因为存在x ∈[1,2]，使不等式f (x )>2x ＋m 成立，即存在x ∈[1,2]，使不等式m <4x 2－10x ＋2成立，令g (x )＝4x 2－10x ＋2，x ∈[1,2]，故g (x )max ＝g (2)＝－2，所以m <－2，即m 的取值范围为(－∞，－2)．11．(多选)已知函数f (x )＝4ax 2＋4x －1，∀x ∈(－1,1)，f (x )<0恒成立，则实数a 的取值可能是( )A ．0B ．－1C ．－2D ．－3答案 CD解析 因为f (x )＝4ax 2＋4x －1，所以f (0)＝－1<0成立．当x ∈(－1,0)∪(0,1)时，由f (x )<0可得4ax 2<－4x ＋1，所以4a <⎝⎛⎭⎫1x 2－4x min ，当x ∈(－1,0)∪(0,1)时，1x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)， 所以1x 2－4x ＝⎝⎛⎭⎫1x－22－4≥－4， 当且仅当x ＝12时，等号成立， 所以4a <－4，解得a <－1.12．(2022·南京质检)函数y ＝lg(c ＋2x －x 2)的定义域是(m ，m ＋4)，则实数c 的值为________． 答案 3解析 依题意得，一元二次不等式－x 2＋2x ＋c >0，即x 2－2x －c <0的解集为(m ，m ＋4)，所以m ，m ＋4是方程x 2－2x －c ＝0的两个根，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＋m ＋4＝2，m (m ＋4)＝－c ，解得m ＝－1，c ＝3. 13．若不等式x 2－(a ＋1)x ＋a ≤0的解集是[－4,3]的子集，则a 的取值范围是________．答案 [－4,3]解析 原不等式为(x －a )(x －1)≤0，当a <1时，不等式的解集为[a,1]，此时只要a ≥－4即可，即－4≤a <1；当a ＝1时，不等式的解为x ＝1，此时符合要求；当a >1时，不等式的解集为[1，a ]，此时只要a ≤3即可，即1<a ≤3，综上可得－4≤a ≤3.14．若不等式x 2＋ax －2>0在[1,5]上有解，则a 的取值范围是________．答案 ⎝⎛⎭⎫－235，＋∞ 解析 对于方程x 2＋ax －2＝0，∵Δ＝a 2＋8>0，∴方程x 2＋ax －2＝0有两个不相等的实数根，又∵两根之积为负，∴必有一正根一负根，设f (x )＝x 2＋ax －2，于是不等式x 2＋ax －2>0在[1,5]上有解的充要条件是f (5)>0，即5a ＋23>0，解得a >－235. 故a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－235，＋∞.15．(2022·湖南多校联考)若关于x 的不等式x 2－(2a ＋1)x ＋2a <0恰有两个整数解，则a 的取值范围是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪ 32<a ≤2 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪－1<a ≤－12 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪－1<a ≤－12或32≤a <2 D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪ －1≤a <－12或32<a ≤2 答案 D解析 令x 2－(2a ＋1)x ＋2a ＝0，解得x ＝1或x ＝2a .当2a >1，即a >12时， 不等式x 2－(2a ＋1)x ＋2a <0的解集为{x |1<x <2a }，则3<2a ≤4，解得32<a ≤2； 当2a ＝1，即a ＝12时， 不等式x 2－(2a ＋1)x ＋2a <0无解，所以a ＝12不符合题意； 当2a <1，即a <12时，不等式x 2－(2a ＋1)x ＋2a <0的解集为{x |2a <x <1}， 则－2≤2a <－1，解得－1≤a <－12. 综上，a 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪－1≤a <－12或32<a ≤2. 16．已知f (x )＝2x 2＋bx ＋c ，不等式f (x )<0的解集是(0,5)．(1)若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧f (x )>0，f (x ＋k )<0的正整数解只有一个，求实数k 的取值范围； (2)若对于任意x ∈[－1,1]，不等式t ·f (x )≤2恒成立，求t 的取值范围． 解 (1)因为不等式f (x )<0的解集是(0,5)，所以0,5是一元二次方程2x 2＋bx ＋c ＝0的两个实数根，可得⎩⎨⎧ 0＋5＝－b 2，0×5＝c 2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－10，c ＝0. 所以f (x )＝2x 2－10x .不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ f (x )>0，f (x ＋k )<0， 即⎩⎪⎨⎪⎧2x 2－10x >0，2(x 2＋2kx ＋k 2)－10(x ＋k )<0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x <0或x >5，－k <x <5－k ， 因为不等式组的正整数解只有一个，可得该正整数解为6，可得6<5－k ≤7，解得－2≤k <－1，所以k 的取值范围是[－2，－1)．(2)tf (x )≤2，即t (2x 2－10x )≤2，即tx 2－5tx －1≤0，当t ＝0时显然成立，当t >0时，有⎩⎪⎨⎪⎧ t ·1－5t ·(－1)－1≤0，t ·1－5t ·1－1≤0， 即⎩⎪⎨⎪⎧t ＋5t －1≤0，t －5t －1≤0， 解得－14≤t ≤16， 所以0<t ≤16； 当t <0时，函数y ＝tx 2－5tx －1在[－1,1]上单调递增， 所以只要其最大值满足条件即可，所以t －5t －1≤0，解得t ≥－14， 即－14≤t <0， 综上，t 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－14，16.。
初中数学_二次函数的图象与一元二次方程教学设计学情分析教材分析课后反思
初中数学_二次函数的图象与一元二次方程教学设计学情分析教材分析课后反思《二次函数与一元二次方程》教学设计【课题】九年级下册5.6《二次函数与一元二次方程》（第1课时）一、教材分析本节主要内容是用函数的观念看一元二次方程，探讨二次函数与一元二次方程的关系。
教材从一次函数与一元一次方程的关系入手，通过类比引出二次函数与一元二次方程之间的关系问题，并结合一个具体的实例讨论了一元二次方程的实根与二次函数图象之间的联系。
这一节是反映函数与方程这两个重要数学概念之间的联系的内容。
二、学情分析1、知识掌握上，学生对二次函数的图象及其性质和一元二次方程的解的情况都有所了解，特别的，八年级时学生已经了解到了一次函数和一元一次方程的解之间的关系。
因而，对于本节所要学习的二次函数与一元二次方程之间的关系利用类比的方法让学生在自学的基础上进行交流合作学习应该不是难题。
2、学生学习本节课的知识障碍就是建立二次函数与一元二次方程之间的联系，渗透数形结合的思想。
三、教学目标知识与技能：1.探索二次函数y＝ax2+bx+c及其图象与一元二次方程ax2+bx+c=0的关系2.能根据二次函数y＝ax2+bx+c的系数，判断它的图象与x轴的位置关系3.应用二次函数和一元二次方程的关系解决相关问题过程与方法：经历探索二次函数y＝ax2+bx+c及其图象与一元二次方程ax2+bx+c=0的关系的过程，培养学生分析问题，解决问题的能力。
情感态度和价值观：使学生在数学应用增强自信心，在合作学习中增强集体责任感，加强学生数形结合思想的应用。
四、教学重难点重点：应用二次函数和一元二次方程的关系解决相关问题难点：理解二次函数y＝ax2+bx+c及其图象与一元二次方程ax2+bx+c=0根的关系五、教法学法教法：类比探究法、归纳总结法、讲练结合法学法：合作探究法、小组讨论法六、教学内容与过程（一）、立体式复习检测（1）一次函数y＝－3x＋6的图象与x轴的交点（，）一元一次方程－3x＋6＝0的根为________（2）不解方程，判断方程x2－3x＋3=0根的情况是________（3）解方程： x2－2x－3=0（4）（中考·白银）若关于x的一元二次方程(k-1)x2+4x+1=0有实数根，则k的取值范围是________【师生活动】：同桌提问判别式△与方程实数根的关系，然后请4位同学分别板书以上4个题目，其他同学在导学案完成以上题目。
九年级下册第5章二次函数5、4二次函数与一元二次方程第2课时利用函数图像求一元二次方程根的近似值教学
x2，不妨设x1<x2.先求在0和1之间的根
-2
-3
的近似值，利用计算器进行探索，列
-4
表如下：
-5 -6
-7
二次函数与x轴的交点与一元二次方程根的关系
y
x 0.1 … 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9
4
y＝x2-5x+3 3
y 2.51
…
0.75 0.36 -0.01 -0.36 -0.69
二次函数与x轴的交点与一元二次方程根的关系
练一练：下表是二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数值y的对应值，
判断方程ax2+bx+c=0(a≠0，a，b，c为常数)的一个解x的范围
是( C )
x y=ax2+bx+c
… 6.17 6.18 6.19 6.20 … -0.03 -0.01 0.02 0.04
x
…
－1
0
1
3
…
y
…
－3
1
3
1
…
现给出下列说法：
①该函数图像开口向下；
②该函数图像的对称轴为过点(1，0)且平行于y轴的直线； ③当x＝2时，y＝3； ④方程ax2+bx+c＝－2的正根在3与4之间． 其中正确的说法为___①__③__④____．(只需写出序号)
CONTENTS
4
利用二次函数的图像求-元二次方 程根的近似值的一般步骤: 1.画出二次函数y=ax2 +bx+c的图像; 2.确定函数图像与x轴公共点的位置，看公共点的横坐标介于哪两个 数之间，初步估值；
3.在（2）的范围内，借助计算器并利用缩小范围逐次逼近的方法进 行取值计算；
二次函数和一元二次方程的关系教案
二次函数和一元二次方程的关系教案二次函数和一元二次方程的关系精品教案教学设计一教学设计思路通过小球飞行高度问题展示二次函数与一元二次方程的联系。
然后进一步举例说明，从而得出二次函数与一元二次方程的关系。
最后通过例题介绍用二次函数的图象求一元二次方程的根的方法。
二教学目标1 知识与技能(1).经历探索函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系。
总结出二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，表述何时方程有两个不等的实根、两个相等的实数和没有实根.(2).会利用图象法求一元二次方程的近似解。
2 过程与方法经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系.三情感态度价值观通过观察二次函数图象与x轴的交点个数，讨论一元二次方程的根的情况培养学生自主探索意识，从中体会事物普遍联系的观点，进一步体会数形结合思想.四教学重点和难点重点：方程与函数之间的联系，会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解。
难点：二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系。
五教学方法讨论探索法六教学过程设计(一)问题的提出与解决问题如图，以20m/s的速度将小球沿与地面成30角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线。
如果不考虑空气阻力，球的飞行高度h(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间具有关系h=20t5t2。
考虑以下问题(1)球的`飞行高度能否达到15m?如能，需要多少飞行时间?(2)球的飞行高度能否达到20m?如能，需要多少飞行时间?(3)球的飞行高度能否达到20.5m?为什么?(4)球从飞出到落地要用多少时间?分析：由于球的飞行高度h与飞行时间t的关系是二次函数h=20t-5t2。
所以可以将问题中h的值代入函数解析式，得到关于t的一元二次方程，如果方程有合乎实际的解，则说明球的飞行高度可以达到问题中h的值：否则，说明球的飞行高度不能达到问题中h的值。
解：(1)解方程 15=20t5t2。
5.4二次函数与一元二次方程(2)
第三环节 用心想一想
你能根据函数y＝x2+2x－5的图象，探索方
程x2+2x－5=0的根的取值范围吗 ？
y 3 2 1 -5 -4 -3 -2 -1 0 -1 -2 -3 -4 -5 -6 1 2 3 4 x
第三环节 用心想一想
你能根据函数y＝x2+2x－5的图象，探索方
程x2+2x－5=0的根的取值范围吗 ？
X Y 1.41 -0.1919 1.42 -0.1436 1.43 -0.0951 1.44 -0.0464 1.45 0.0025 1.46 0.0516
你能根据函数y＝x2+2x－5的图象，探索方
程x2+2x－5=0的根的取值范围吗 ？
表1
X Y 1.441 -0.041519 1.442 1.443 1.444 1.445 1.446
似解，一般步骤为：
课堂作业：讲学稿
课堂寄语
利用二次函数的图象求一元二次方程的近
似根，虽然对于我们现在解一元二次方程没有q
多少应用价值，但它体现了我们数学学科中的
“数形结合”这一重要的数学思想方法。也启
示我们只要善于观察和思考，就能发现事物之
间的各种联系，去探索科学的奥秘。
下课了!
你能根据函数y＝x2+2x－5的图象，探索方
程x2+2x－5=0的根的取值范围吗 ？
表1
X Y 1.1 -1.59 1.2 -1.16 1.3 -0.71 1.4 -0.24 1.5 0.25 1.6 0.76
你能根据函数y＝x2+2x－5的图象，探索方
程x2+2x－5=0的根的取值范围吗 ？
表2
初中数学 九年级(下册)
5.4二次函数与一元二次方程讲学稿(2)
课题： 5.4 二次函数与一元二次方程讲学稿（2）班级姓名教学过程第一环节复习回顾1 、若方程ax2+bx+c=0的根为x1=-2和x2=3，则二次函数 y=ax2+bx+c的图象与x轴交点坐标是。
2、判断函数 y＝x2+2x－5与x轴的交点情况是（）A 两个交点B 一个交点C 没有交点D 不能确定3、已知函数y=x2+4x-5求：⑴此函数图象与x轴和y轴的交点坐标；⑵此函数对称轴﹑顶点坐标﹑并说出函数的增减性；⑶思考：根据函数图象直接写出不等式 x2+4x-5 > 0 的解集.第二环节仔细观察、大胆联想问题：函数y = ax2 +bx +c的图象如下图所示，根据图象给出的信息你能得到些什么结论？第三环节新课学习、用心想一想你能根据函数y＝x2+2x－5的图象，探索方程x2+2x－5=0的根的取值范围吗？第四环节大胆尝试、练一练利用二次函数y＝x2+2x－5的图象，探索方程x2+2x－5=0的另一根的近似值（精确到0.1）第五环节归纳提高利用二次函数的图象求相应一元二次方程的近似解，一般步骤为：小结：这节课我学会了课堂作业1、练一练，利用二次函数的图象，探索方程x2+x－3=0的根的取值范围解：⑴列表如下：(2)在平面直角坐标系中描点，连线，画图象（3）观察图象，估算方程的近似解（精确到0.1）.A 、4＜x＜5B 、5＜x＜6C 、6＜x＜7D 、5＜x＜73、已知二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象如下图所示，下列说法错误的是（ ）A 、图象关于直线x=1对称B 、函数ax 2+bx+c （a≠0）的最小值是﹣4C 、﹣1和3是方程ax 2+bx+c （a≠0）的两个根 D 、当x ＜1时，y 随x 的增大而增大4、利用图象法解不等式0342<+-x x 解：先画出函数342+-=x x y 的图象家庭作业1、下列一元二次方程中，必有一根在相邻自然数3与4之间的是（ ）A 、x 2－2x ＋1＝0 B 、x 2－3x ＋1＝0 C 、x 2－4x ＋1＝0D 、x 2－5x ＋1＝02判断方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0，a ，b ，c 为常数）一个解x 的范围是（ ） A 、3＜x ＜3.23B 、3.23＜x ＜3.24C 、3.24＜x ＜3.25D 、3.25＜x ＜3.26 3、★关于方程x 2－2007x ＋1＝0，下列说法错误的是（ ）A 、必有一根满足0＜x 1＜1B 、必有一根满足2006＜x 2＜2007C 、必有一根满足1003＜x 1＜1004D 、两根均满足0＜x ＜2007（第4题） 4、已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的顶点坐标（―1，―3.2）及部分图象如上图，由图象可知关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根分别是x 1＝1.3和x 2＝__________。
《二次函数与一元二次方程、不等式》课件与导学案
{|50 < < 60}
一元二次不等式的应用
例题② 某种汽车在水泥路面上的刹车距离(单位:米)和汽车刹车前的速度(单位:
1
1
km/h)之间有如下关系: = 180 2 + 20 .再一次交通
事故中，测得这种车的刹车距离大于39.5米，那么
下方时，对应的的取值范围的集合；
【例题】求不等式 2 − 5 + 6 > 0的解集.
【分析】因为方程 2 − 5 + 6 = 0的根是函数 = 2 − 5 + 6的零点，所以先求
出 2 − 5 + 6 = 0的根，再根据图像求 2 − 5 + 6 > 0的解集.
【解】对于方程 2 − 5 + 6 = 0，因为Δ > 0，所以它有
于20 m 2，则这个矩形的长和宽应该是多少？
【解】由题意设这个矩形的两条边长分别为米和 12 − 米，则：
12 − > 20，其中 ∈ ȁ0 < < 12 ，
整理得 2 − 12 + 20 < 0， ∈ ȁ0 < < 12 ，
即 − 2 − 10 < 0，ቊ
的图像全部在轴下方.
当 = 0时，−2 − 2 < 0，显然对任意不能恒成立；
当 ≠ 0时，由二次函数图像可知有ቊ
＜0,
△= 4 − 4( − 2)＜0
解得 < 1 − 2
综上可知，解得的取值范围是{| < 1 − 2}
解一元二次不等式的过程
将原不等式化成 + + > > 的形式
《二次函数与一元二次方程》优秀教案
二次函数与一元二次方程导学案1一、学习目标:1、经历探索二次函数与一元二次方程关系的过程，体会方程与函数之间的关系。
2、理解二次函数的图象与轴公共点的个数和相应的一元二次方程根的对应关 系。
3、进一步体验数形结合的数学方法。
4、重点：二次函数的图象与轴公共点的个数和相应的一元二次方程根的对应 关系。
5、难点：二次函数与一元二次方程关系的应用。
二、知识准备：1、一元二次方程的一般形式：2、怎样判断一元二次方程根的情况？当Δ=ac b 42->0时，一元二次方程a 2bc=0的根的情况是 。
当Δ=ac b 42-=0时，一元二次方程a 2bc=0的根的情况是 。
当Δ=ac b 4-<0时，一元二次方程a 2bc=0的根的情况是 。
思考：当Δ= ≥0时，一元二次方程a 2bc=0有实根。
3、二次函数的一般形式：4怎样求二次函数=a 2bc 与轴的交点坐标？如： =2-2-3三、学习过程: （一）、思考与探索：二次函数=2-2-3与一元二次方程2-2-3=0有怎样的关系？1、从关系式看二次函数=2-2-3成为一元二次方程2-2-3=0的条件是什么？2、反应在图象上：观察二次函数=2-2-3的图象，你能确定一元二次方程2-2-3=0的根吗？3、结论：二次函数=2-2-3的图象与轴有两个公共点 ,那么一元二次方程2-2-3=0有两个不相等的实数根。
（二）思考与探索：（1）观察函数= 2-69与= 2-23的图象与轴的公共点的个数。
（2）判断一元二次方程2-69=0和2-23=0的根的情况。
（3）你能利用图象解释一元二次方程的根的不同情况吗？（三）、归纳提高：一般地，二次函数=a2bc图象与一元二次方程a2bc=0的根有如下关系：1、如果二次函数=a2bc图象与轴有两个交点（m,0）、n,0,那么一元二次方程a2bc=0有实数根1= ,2= 。
2、如果二次函数=a2bc图象与轴有一个交点（m,0）,那么一元二次方程a2bc=0有实数根1=2= 。
5.4 二次函数与一元二次方程(2)
益林初中数学集体备课教案主备人 学 科 数 学 主备时间 集体备课时间执教人执教时间执教班级教 时课 题5.4 二次函数与一元二次方程（2）教 学 目 标 1．能够利用二次函数的图像求一元二次方程的近似根，进一步发展估算能力； 2．经历用图像法求一元二次方程的近似根的过程，进一步体会数形结合思想；3．通过利用二次函数的图像估计一元二次方程的根，进一步掌握二次函数图像与x 轴的交点坐标和一元二次方程的根的关系，提高估算能力． 教 学 重 点 1．经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系；2．能够利用二次函数的图像求一元二次方程的近似根．教 具 教 法一次备课集体备课 情境创设回忆：函数322--=x x y 的图像如图1所示，你 能看出方程0322=--x x 的解吗？创设：函数122--=x x y 的图像如图2所示，你能看出方程0122=--x x 的解吗？探究活动从图像上来看，二次函数122--=x x y 的图像与x 轴交点的横坐标一个在－1与0之间，另一个在2与3之间，所以方程0122=--x x 的两个根一个在－1与0之间，另一个在2与3之间．这只是大概范围，究竟接近于哪一个数呢？请大家讨论解决．如右边表格所示，当我们算到－0.5时，还需要算吗？为什么？因为从图像的走势来看，继续往左取自变量的值，所得的函数值将越来越大，所以我们可以判定这个图1图2根一定在－0.4与－0.5之间，那会是多少呢？我们在取值时能不能较快地找到接近它的近似值呢？我们可以取它们中间的值，再看它们的正负情况，它们的根一定在函数值的正负交替之间，这样我们就能较快缩小它的范围了．比如：再进一步取值：则x≈－0.4以此类推，我们还可以进一步缩小这个根的取值范围．你能用同样的方法求方程的另一个根吗？试试看！再进一步取值：以此类推，我们还可以进一步缩小这个根的取值范围．（注：以上二分法的相关内容根据情况适当选用）拓展延伸利用二次函数的图像求一元二次方程x2＋2x－10＝3的近似根．现在我们应该利用什么函数图像求方程x2＋2x－10＝3的根呢？函数y ＝x 2＋2x －13的图像如右图所示：由图可知，图像与x 轴的两个交点的横坐标中，一个在－5与－4之间，一个在2与3之间，因此两个根分别为负4点几和2点几，下面用计算器进行探索．x －4.5－4.6－4.7－4.8 －4.9 y－1.75 －1.04 －0.310.441.21因此x ＝－4.7是方程的一个近似根．另一个根可以类似地求出：x 2.52.62.72.8 2.9 y－1.75 －1.04 －0.310.441.21因此x ＝2.7是方程的另一个近似根．以此类推，我们还可以进一步缩小这个根的取值范围． 练习巩固（1）利用二次函数522-+=x x y 的图像，借助计算器探索方程0522=-+x x 根的近似值（精确到0.01）；（2）补充习题． 作业布置1．（必做题）课本P28习题第3题；2．（选做题）思考（2014年江苏南京改编）已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 中，函数y 与自变量x 的部分对应值如表：x … 0 1 2 3 … y…50.1－0.20.1…（1）当y ＜5时，x 的取值范围是 ； （2）方程的两个根（ ）A ．－1和0，0和1之间．B ．0和1，1和2之间．C ．1和2，2和3之间．D ．2和3，3和4之间．【教学反思】。
二次函数和一元二次方程的关系导学案
26.2.1 二次函数和一元二次方程的关系实际问题以40 m /s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行路线是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，球的飞行高度h (单位:m)与飞行时间t (单位:s)之间具有关系：h= 20 t – 5 t 2考虑下列问题:（1）球的飞行高度能否达到15 m? 若能，需要多少时间?（2）球的飞行高度能否达到20 m? 若能，需要多少时间?（3）球的飞行高度能否达到20.5 m?为什么？（4）球从飞出到落地要用多少时间?归纳：二次函数与一元二次方程的关系（1）已知二次函数，求自变量的值←→解一元二次方程的根探究：下列二次函数的图象与x 轴有交点吗? 若有，求出交点坐标.（1）y = 2x2＋x－3（2）y = 4x2－4x +1（3）y = x2–x+ 1归纳：二次函数与一元二次方程的关系（1）确定二次函数图象与x 轴的位置关系←解一元二次方程的根学生小结：二次函数y=ax2+bx+c 的图象和x轴交点的三种情况与一元二次方程根的关系：二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点一元二次方程ax2+bx+c= 0的根一元二次方程ax2+bx+c= 0根的判别式Δ=b2-4ac典例讲解例题1. （2011年襄阳）已知函数y=（k ﹣3）x 2+2x+1的图象与x 轴有交点，则k 的取值范围是（ ）A 、k ＜4B 、k ≤4C 、k ＜4且k ≠3D 、k ≤4且k ≠3 例题2.关于x 的二次函数 y=(k-1)x 2-3x-1的图像全部位于x 轴的下方，则k 的取值范围是 ；例题3.抛物线y=x 2+x-6 与x 轴交于（-3，0）、（2，0）两点，当x 为何值时，y>0？当x 为何值时，y<0？当堂检查1.不与x 轴相交的抛物线是（ ）A. y = 2x 2 – 3B. y=－2 x 2 + 3C. y= －x 2 – 3xD. y=－2(x+1)2 －32.若抛物线 y = ax 2+bx+c= 0，当 a>0，c<0时，图象与x 轴交点情况是（ ）A. 无交点B. 只有一个交点C. 有两个交点D. 不能确定3. 如果关于x 的一元二次方程 x 2－2x+m=0有两个相等的实数根，则m=＿＿＿，此时抛物线 y=x 2－2x+m 与x 轴有＿＿个交点.4.已知抛物线 y=x 2 – 8x + c 的顶点在 x 轴上，则 c =＿＿.5.若抛物线 y=x 2 + bx+ c 的顶点在第一象限,则方程 x 2 + bx+ c =0 的根的情况是＿＿6.抛物线 y=2x 2－3x －5 与y 轴交于点 ，与x 轴交于点7.一元二次方程 3 x 2+x －10=0的两个根是x 1=－2 ，x 2=5/3，那么二次函数 y= 3 x 2+x －10与x 轴的交点坐标是 8.已知抛物线y = ax 2+bx+c 的图象如图,则关于x 的方程ax 2 + bx + c －3 = 0根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个异号的实数根C. 有两个相等的实数根D. 没有实数根9.根据下列表格的对应值: x 3.23 3.24 3.25 3.26 y=ax 2+bx+c -0.06 -0.02 0.03 0.09 判断方程 ax 2+bx+c =0 (a ≠0,a,b,c 为常数)一个解x 的范围是（ ）A. 3< x < 3.23B. 3.23 < x < 3.24C. 3.24 <x< 3.25D. 3.25 <x< 3.26 10. 已知抛物线 和直线 相交于点P(3，4m)。
二次函数与一元二次方程经典教学案+典型例题
二次函数与一元二次方程教学案经典例题讲解【例1】已知：关于x 的方程23(1)230mx m x m --+-=． ⑴求证：m 取任何实数时，方程总有实数根；⑵若二次函数213(1)21=--+-y mx m x m 的图象关于y 轴对称． ①求二次函数1y 的解析式；②已知一次函数222=-y x ，证明：在实数范围内，对于x 的同一个值，这两个函数所对应的函数值12y y ≥均成立；【例2】关于x 的一元二次方程22(1)2(2)10m x m x ---+=. （1）当m 为何值时，方程有两个不相等的实数根；（2）点()11A --，是抛物线22(1)2(2)1y m x m x =---+上的点，求抛物线的解析式； （3）在（2）的条件下，若点B 与点A 关于抛物线的对称轴对称，是否存在与抛物线只交于点B 的直线，若存在，请求出直线的解析式；若不存在，请说明理由.【例3】已知P （3,m -)和Q （1，m ）是抛物线221y x bx =++上的两点．（1）求b 的值；（2）判断关于x 的一元二次方程221x bx ++=0是否有实数根，若有，求出它的实数根；若没有，请说明理由；（3）将抛物线221y x bx =++的图象向上平移k （k 是正整数）个单位，使平移后的图象与x 轴无交点，求k 的最小值．练习一、选择题1．下列哪一个函数，其图形与x 轴有两个交点？ （ ）A. y =17(x +83)2+2274B. y =17(x -83)2+2274C. y = -17(x -83)2-2274D. y = -17(x +83)2+2274 2．已知二次函数c bx ax y ++=2的y 与x 的部分对应值如下表：x… 1- 0 1 3 … y…3-131…则下列判断中正确的是（ ）A ．抛物线开口向上B ．抛物线与y 轴交于负半轴C ．当x ＝4时，y ＞0D ．方程02=++c bx ax 的正根在3与4之间3. 向空中发射一枚炮弹，经x 秒后的高度为y 米，且时间与高度的关系为y=ax 2+bx+c （a≠0）．若此炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等，则在下列时间中炮弹所在高度最高的是（ ）A ．第8秒B ．第10秒C ．第12秒D ．第15秒 4. 如图，从地面竖立向上抛出一个小球，小球的高度h （单位：m ）与 小球运动时间t （单位：s ）之间的关系式为2530t t h -=，那么小球从抛出至回落到地面所需要的时间是：( )（A ）6s （B ）4s （C ）3s （D ）2s(第4题) (第5题)5. 某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x 轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y=-x 2+4（单位：米）的一部分，则水喷出的最大高度是( )A ．4米B ．3米C ．2米D ．1米6.如图，等腰Rt △ABC （∠ACB ＝90º）的直角边与正方形DEFG 的边长均为2，且AC 与DE 在同一直线上，开始时点C 与点D 重合，让△ABC 沿这条直线向右平移，直到点A 与点E 重合为止．设CD 的长为x ，△ABC 与正方形DEFG 重合部分（图中阴影部分）的面积为y ，则y 与x 之间的函数关系的图象大致是（ ）二.填一填7.已知二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴交于点(20)-，、1(0)x ，，且112x <<，与y 轴的正半轴的交点在(02)，的下方．下列结论：①420a b c -+=；②0a b <<；③210a b -+>．其中正确结论的个数是 个．8. 如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给小明做了一个简易的秋千.拴绳子的地方距地面高都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为 米.(第17题) (第18题)9.如图，在ABC ∆中，90B ∠=，12mm AB =，24mm BC =，动点P 从点A 开始沿边AB 向B 以2mm /s 的速度移动（不与点B 重合），动点Q 从点B 开始沿边BC 向C 以4mm /s 的速度移动（不与点C 重合）．如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，那么经过__________秒，四边形APQC 的面积最小．三、解答题10．某商品现在的售价为每件35元．每天可卖出50件．市场调查反映：如果调整价格．每降价1元，每天可多卖出2件．请你帮助分析，当每件商品降价多少元时，可使每天的销售额最大，最大销售额是多少?11. 已知：如图在Rt △ABC 中，斜边AB ＝5厘米，BC ＝a 厘米，AC ＝b 厘米，a ＞b ，且a 、b 是方程2(1)40x m x m --++=的两根。
《二次函数的图像与一元二次方程》教案
5.6二次函数的图像与一元二次方程教材分析：这节课是在学生学习了二次函数的概念、图象、性质及其相关应用的基础上，让学生继续探索二次函数与一元二次方程的关系，教材通过具体的二次函数的图像与x 轴交点个数的不同创设三个问题，这三个问题对应了一元二次方程有两个不等实根、有两个相等实根、没有实根的三种情况.这样，学生结合图像就能直观地对二次函数与一元二次方程的关系有很好的体会；从而得出用二次函数的图象求一元二次方程的方法.教学设想：本节课主要采用自主学习与小组交流两种学习方式，在整节课的教学过程中，要注意循序渐进的认知规律．以前已经学习了一次函数与一元一次不等式的关系和解一元二次方程的代数方法，对旧知识的复习为本节课的学习奠定基础．学习目标：知识与技能：1.经历图象法求解一元二次方程近似值的过程，并体验用图象法解一元二次方程．2.利用二次函数的图象，求一元二次方程的近似值，提高科学估算的能力．过程与方法：经历利用二次函数的图象求出一元二次方程的近似解的过程，培养学生分析问题，解决问题的能力．情感态度和价值观：使学生在数学应用增强自信心，在合作学习中增强集体责任感，加强学生数形结合思想的应用．学习重难点：重点：正确运用函数的图象求出一元二次方程的近似值.难点：从实际问题中抽象出二次函数的模型.课前准备教具准备教师准备PPT课件教学过程：引入新课：问题：比较二次函数的表达式y=x²-2x-3与一元二次方程x²-2x-3=0，你能说出二者之间有什么关系吗？(4)一元二次方程x²-2x-3=0的实根与二次函数y=x²-2x-3的图像与x轴的交点的横坐标有什么关系？(5)通过以上探索活动，你发现一元二次方程x²-x+1/4=0与二次函数y=x²-x+1/4的图像有什么关系？(6)一般的，如果一元二次方程ax²+bx+c=0有实根，那么该方程的实根与二次函数y=ax²+bx+c的图像与x轴的公共点的横坐标有什么关系？归纳总结：如果一元二次方程ax²+bx+c=0有实根，那么二次函数y=ax²+bx+c的图像与x轴有公共点，且公共点的横坐标是这个一元二次方程的实数根；反之，如果二次函数y=ax²+bx+c的图像与x轴有公共点，那么公共点的横坐标就是一元二次方程ax²+bx+c=0的实数根．【设计意图】：对相应的问题组织学生自己独立完成，然后小组讨论得出结论.例题讲解：例2.利用二次函数的图象讨论一元二次方程x2-2x+3=0的根．解:(1)画出二次函数y=x2-2x+3的图象如图.(2)由于图象与x轴没有公共点，所以一元二次方程x2-2x+3=0 没有实根．【设计意图】：通过例题讲解引导学生再一次经历探索过程，有助于对那点的突破，同时激发学生思维的宽度与广度.当堂检测：1．如图,抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线 x=-1,由图象知,关于x的方程ax2+bx+c=0的两个根分别是x1=1.3 ,x2=＿＿＿2．已知抛物线y=ax2+bx+c的图象如图,则关于x的方程ax2+bx+c-3=0根的情况是( ) A．有两个同号的实数根B．有两个异号的实数根C．有两个相等的实数根D．没有实数根3．已知抛物线y=ax²+bx+c，当a、b、c满足什么条件时，(1)抛物线与x轴有两个公共点？(2)抛物线与x轴只有一个公共点？(3)抛物线与x轴没有公共点？4．根据下列表格的对应值:判断方程ax2+bx+c=0 (a≠0,a,b,c为常数)一个解x的范围是( )A．3< x < 3.23 B．3.23 < x < 3.24C．3.24 <x< 3.25 D．3.25 <x< 3.265．你能利用二次函数的图象解一元二次方程 x2+2x-10=0的根吗？(1)用描点法作二次函数y=x2+2x-10的图象；(2)观察估计二次函数y=x2+2x-10的图象与x轴的交点的横坐标；由图象可知,图象与x轴有两个交点,其横坐标一个在-5与-4之间,另一个在2与3之间,分别约为-4.3和2.3(可将单位长再十等分,借助计算器确定其近似值).(3)确定方程x2+2x-10=0的解;由此可知,方程x2+2x-10=0的近似根为:x1≈-4.3,x2≈2.3.课堂小结:二次函数y=ax²+bx+c与一元二次方程ax²+bx+c=0关系：△=b²-4ac≥0 一元二次方程ax²+bx+c=0有实数根抛物线y=ax²+bx+c与x轴有两个交点△=b²-4ac ＜0一元二次方程ax²+bx+c=0无实数根抛物线y=ax²+bx+c与x轴没有交点作业:课本 P.49第1,2题板书设计:5.6二次函数的图像与一元二次方程引入新课：归纳总结：例1例2。
[+初中数学]二次函数与一元二次方程(1)+学案+北师大版九年级数学下册+
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第五节 二次函数与一元二次方程(1)今日复习1.抛物线 y =ax²+bx +c (a ≠0)与x 轴的交点为(x ₁,0),(x ₂,0),其中x ₁，x ₂是相应一元二次方程 ax²+bx +c =0(a ≠0)的两根，因而抛物线 y =ax²+bx +c 与x 轴的交点情况可以用判别式△=b²-4ac 来判断.若 ，则抛物线与x 轴有两个交点，此时两个交点的距离为 ；若 ，则抛物线与x 轴只有一个交点(即抛物线顶点在x 轴上)；若 ，则抛物线与x 轴无交点.2.抛物线 y =ax²+bx +c (a ≠0)与 y 轴的交点坐标为 ，顶点坐标为 .1.由于二次函数与一元二次方程的关系，我们常常将抛物线与坐标轴或与直线的交点问题转化为一元二次方程或方程组来解决.2.抛物线与x 轴的交点距离公式 d =√b 2−4ac |a|在解答题中经常用到.3.抛物线与x 轴的两个交点关于对称轴对称.A 级 双基过手1.(1)已知抛物线 y =x²−2x +n 与x 轴只有一个公共点，则n= .(2)抛物线 y =a (x −12)2+k 经过A(-3,0),B(m,0)两点,则关于 x 的一元二次方程 a (x −32)2+k =0的解是 .2.(1)二次函数 y =ax²+bx 的图象如图所示，若一元二次方程 ax²+bx +m =0有实数根，则m 的取值范围是 .(2)如图，若关于x 的二次函数 y =ax²+ bx+c 的图象与x 轴交于两点，那么方程 ax²+bx +c=0的解是 .3.(1)如图是二次函数 y₁=ax²+bx +c 和一次函数 y₂=mx +n 的图象，观察图象，当ax²+(b −m)x+c-n≤0时,x 的取值范围是 .(2)已知直线y=-x+1 与抛物线 y =x²+k 的一个交点的横坐标为-2，则k= .4.如图是二次函数 y =ax²+bx +c 的图象的一部分，其对称轴是x=-1，且过点(-3，0)，有下列说法:①abx<0;②2a -b=0;③4a+2b+c<0;④若(-5,y ₁),( 52₂,y ₂是抛物线上两点，则y ₁<y ₂.其中说法正确的是5.已知二次函数 y =(k −3)x²+2x +1的图象与x 轴有交点，则k 的取值范围是 ( )A. k<4B. k≤4C. k<4且k≠3D. k≤4且k≠36.0的一个解 x 的取值范围是 ( )A.6<x<6.17B.6.17<x<6.18C.6.18<x<6.19D.6.19<x<6.207.如图,二次函数 y =ax²+bx +c 的最大值为3，一元二次方程 ax²+bx +c −m =0有实数根，则m 的取值范围是 ( ) A. m≥3 B.m≥-3 C. m≤3 D.m≤-38.如图所示，已知二次函数 y =ax²+bx +c (a≠0)的图象正好经过坐标原点，对称轴为直线 x= −32.给出以下四个结论:①abc=0;②a -b+c>0;③a<b;④4ac -b<0.其中正确的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个9.(1)已知抛物线y=x²+kx−k²的对称轴在y轴右侧，现将该抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度后，得到的抛物线正好经过坐标原点，求k的值.(2)如图,已知抛物线y=x²+bx+c经过A(-1,0),B(3,0)两点.①求抛物线的表达式和顶点坐标；②当0<x<3时,求y的取值范围.10.已知在平面直角坐标系中，二次函数y=x²+2x+2k−2的图象与x轴有两个交点.(1)求k的取值范围；(2)当k取正整数时，请你写出二次函数y=x²+2x+2k-2的表达式，并求出此二次函数图象与x轴的两个交点坐标.B级能力提升11.已知关于x的二次函数y=x²−ax+a−1的图象与坐标轴有且只有2个公共点，则a = .12.已知关于x的二次三项式(m+1)x²−(2m--1)x+m 的值恒为正,则 m 的取值范围是13.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²−2ax+2(a<0)交x轴正半轴于点A，交y轴于点BC则△ABC的面积是 .B，线段BC⊥y轴交此抛物线于点 D，且CD=1314.已知二次函数y=a(x−m)(x−m−6)(a,m为常数，且a≠0)，该函数图象顶点A的纵坐标为-9.(1)求证：该函数的图象与x轴有两个公共点.(2)若该函数图象与y轴交于点B(0，-5)，求该函数的表达式.(3)若该函数图象过点(-6,y₁),(2,y₂),比较 y₁,y₂的大小.C级综合拓展(4≤x≤6)的一部分,其中点 B(4,1-m),C(6,-m),抛物15.如图,曲线 BC 是反比例函数y=kx线y=−x²+2bx的顶点记作A.(1)求k的值.(2)判断点 A 是否可与点 B 重合；(3)若抛物线与 BC有交点，求b的取值范围.第五节二次函数与一元二次方程(2)今日复习1.利用抛物线y=ax²+bx+c(a≠0)解方程ax²+bx+c=0(a≠0)的基本步骤:(1)画出二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象；(2)根据图象确定抛物线y=ax²+bx+c(a≠0)与x轴的交点分别在哪两个整数之间；(3)用计算器探索其解的十分位数字，从而确定方程的近似根.2.已知抛物线y=ax²+bx+c(a≠0)上有两点 A(x₁,y₁),B(x₂,y₂)(x₁<x₂),若 y₁y₂<0，则抛物线与x轴的一个交点的横坐标x₀满足，即3.一元二次方程12x2=x+32的解也可以看作是和的交点的横坐标.4.借助二次函数的图象与x轴交点的坐标与一元二次方程的根的关系，利用图象法可求一元二次方程的近似解.5.利用二次函数的图象，可写出相应一元二次不等式的解集.A级双基过手1.(1)二次函数y=−x²+2x+k的部分图象如图所示，若关于x的一元二次方程−x²+2x+k=0的一个解x₁=3,另一个解.x₂=.(2)二次函数y=x²+bx+5配方后为y=(x−2)²+k,则k= .2.(1)已知抛物线y=ax²−2x+1与x轴没有交点，那么该抛物线的顶点所在的象限是第象限.(2)如图,二次函数y=x²+6x+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴正半轴交于点C，若AB=4，则点 C的坐标是 .3.已知二次函数y=−x²+bx+c的图象经过(-1,0),(5,0)两点,且关于x的方程−x²+bx +c+d=0有两个根，其中一个根是6，则d的值为 .4.已知二次函数y=ax²+bx+c的图象如图所示，对称轴为直线x=1，且过点(3，0)，则下列结论：①abc<0;②方程ax²+bx+c=0的两个根是x₁=−1,x₂=3;③2a+b=0;④4a+2 b+c<0.其中正确结论的序号是 .5.已知二次函数y=ax²+bx+c与自变量x的部分对应值如下表，下列说法错误的是B. 方程ax²+bx+c=−2的正根在4与5之间C.2a+b>0D. 若点((5,y₁),(−32,y2)都在函数图象上，则y₁<y₂6.若x₁,x₂(x₁<x₂);是关于x的方程(x+1)(3−x)+p²=0(p为常数)的两根，下列结论中正确的是 ( )A.x₁<−1<3<x₂B.x₁≤−1<3≤x₂C.−1<x₁<3<x₂D.−1≤x₁<x₂≤37.如图,一次函数 y=-x与二次函数y=ax²+bx+c的图象在同一坐标系下如图所示，则函数 y=ax²+(b+1)x+c的图象可能是 ( )8.已知二次函数y=ax²+bx+c的图象经过(-3,0),(1,0)两点,关于x的方程ax²+bx+ c+m=0(m>0)有两个根，其中一个根是3，则关于x的方程.ax²+ bx+c+n=0(0<n<m)有两个整数根,这两个整数根是( )A.-2或0B.-4或2C.-5或3D.-6或49.已知抛物线y=ax²+bx+c的对称轴为x=−1,且过点(−3,0),(0,−3).(1)求抛物线的表达式；(2)已知点(m,k)和点(n,k)在此抛物线上,其中m≠n,请判断关于t的方程t²+mt+n=0是否有实数根，并说明理由.10.已知抛物线y=−x²+mx+(7−2m)(m为常数).(1)求证：不论m为何值，抛物线与x轴恒有两个不同的交点；(2)若抛物线与x轴的交点A(x₁,0),B(x₂,0)的距离为AB=4(点A 在点B 的左边)，且抛物线交y轴的正半轴于点 C，求抛物线的表达式.B级能力提升11.如图是二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象的一部分，给出下列命题：(①a+b+c=0;②b>2a;③ax²+bx+c=0的两根分别为-3和1;④a-2b+c>0.其中正确的命题的序号是.12.如图是抛物线y₁=ax²+bx+c(a≠0)的图象的一部分，抛物线的顶点坐标是A(1，3)，与x轴的一个交点是B(4,0),直线y₂=mx+n(m≠0)与抛物线交于A,B两点,有下列结论:①2a+b=0;②抛物线与x轴的另一个交点是(-2，0)；③方程ax²+bx+c=3有两个相等的实数根;④当1<x<4时,有 y₂<y₁;⑤若ax²+bx1=ax22+bx2,且x₁≠x₂,则x₁+x₂= 1.上述命题正确的有个.13.若一段抛物线L:y=-x(x-3)+c(0≤x≤3)与直线l:y=x+2有唯一公共点,且c为整数,则c 的值为 .x+4分别与x轴、y轴交于两点A，B，过点A且平14.在平面直角坐标系中，直线y=−45行于y轴的直线与过点B且平行于x轴的直线相交于点C，若抛物线y=ax²−2ax−3a (a≠0)与线段 BC有唯一公共点，求a的取值范围.C级综合拓展15.在平面直角坐标系xOy中,抛物线 y=x²−2bx+b²−2(b⟩0)经过点 A(m,n).(1)用含b的代数式表示抛物线顶点的坐标；(2)若抛物线经过点 B(0,2),且满足0<m<3,求n的取值范围；(3)若3≤m≤5时，n≤2,，结合函数图象，直接写出b的取值范围.。
目标引领经验提升——“二次函数与一元二次方程”教学设计
引导学生从数形两方面结合起来考虑问题 ， 使他们认识到
满 足这个 函数关系的点 （ ｈ ， ｔ ） 一定 在抛物线 图像上 ， 反之 图像上的每一个点的横坐标、 纵坐标分别是小球被抛出的 时间与高度。 ２ ． 前置 呈现 学 习 目 标。
目标 内容 ： 体会二次函数与一元二次方程之间的联系 ； 理解二次
－
从解方程的情形人手 ， 巩固一元二次方程 的根 的判别
式 与解 法 。 活 动 内容 ２ ： 分 小 组 做 出 二 次 函数 ｙ ＝ ｘ Ｚ ＋ ２ ｘ ， ｙ ＝ ｘ ２ － ２ ｘ ＋ ｌ ， ｙ ＝ ｘ ２ － ２ ｘ ＋ ２ 的图像 ； 观察下列二次函数 ｙ ＝ ｘ Ｚ ＋ ２ ｘ ， ｙ ＝ ｘ ２ — ２ ｘ ＋ ｌ ， ｖ ＝ Ｘ ２ — ２ ｘ ＋ ２
想方法 的综合课例 。
．
三、 学情 分 析 在 本 节 之前 学 生 已经 学 习了 一元 二 次 方 程 的知 识 以
及二次函数的图像和代数表达式 ， 从“ 数” 的方面对二次函
数有了比较全面的认识 ，具备了探索本节课 的数学基础； 本节课 通过 目标 引领 、 分组讨论 、 探究式学 习， 让学生从 “ 数” 和“ 形” 两个主要因素出发 ， 用数形结合的思想来认识 和理解二次函数与一元二次方程的关系。
中 Байду номын сангаас分 类号 ： Ｇ ６ ３ ３ ． ６
一
文 献标 志 码 ： Ａ
文章 编 号 ： １ ６ ７ ４ — ９ ３ ２ ４ （ ２ ０ １ ３ ） ０ ７ — ０ １ ７ ６ — ０ ２
、
课程 目标 和教 法解 读
体会数学 的严谨性以及数学结论的确定性。
五、 教 学重 难 点重 点 ：
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.3.1二次函数与一元二次方程
班级 姓名 【学习目标】
1.经历探索二次函数与一元二次方程关系的过程，体会方程与函数之间的联系；
2.理解抛物线与x 轴公共点的个数与相应的一元二次方程根的对应关系；
3.会求抛物线与坐标轴的交点坐标.
【课前自习】
1. 根据c bx ax y ++=2
的图象和性质填表：
函 数
图 象
a
开口
对称轴
顶 点
增 减 性 c
bx ax y ++=2
向上
当x 时，y 随x
的增大而减少. 当x 时，y 随x 的增大而 .
0<a
当x 时，y 随x
的增大而减少. 当x 时，y 随x 的增大而 .
2.二次函数的顶点式是 ，其中顶点坐标是 ，对称轴是 .
3.解下列一元二次方程：
①0322
=--x x ②0962
=+-x x ③0322
=+-x x
4.对于任何一个一元二次方程02
=++c bx ax ，我们可以通过表达式 的值判断方程的根的情况如下：当 >0时，方程有 实数根； 当 =0时，方程有 实数根； 当 <0时，方程 实数根.
x
y
O
x
y
O
x
y
( , )
( , )
O
x
y
( , )
x
y
【课堂助学】
一、探索归纳：
1.观察二次函数的图象，写出它们与x 轴、y 轴的交点坐标： 函数 322--=x x y
962+-=x x y
322+-=x x y
图
象
交 点
与x 轴交点坐标是 与x 轴交点坐标是 与x 轴 与y 轴交点坐标是 与y 轴交点坐标是 与y 轴交点坐标是
2.对比《课前自习》第3题各方程的解，你发现什么？
3.归纳：
⑴一元二次方程02
=++c bx ax 的实数根就是对应的二次函数c bx ax y ++=2
与
x 轴交点的 .
⑵二次函数与一元二次方程的关系如下：（一元二次方程的实数根记为21x x 、）
二次函数c bx ax y ++=2
与
一元二次方程02
=++c bx ax
与x 轴有 个交点 ⇔
ac b 42- 0，方程有 的
实数根是 .
与x 轴有 个交点 这个交点是 点
⇔
ac b 42- 0，方程有 的
实数根是 .
与x 轴有 个交点 ⇔ ac b 42
- 0，方程 实数根. ⑶二次函数c bx ax y ++=2
与y 轴交点坐标是 .
练习.判断下列函数的图象与x 轴是否有公共点，有几个公共点，并说明理由. ⑴x x y -=2
； ⑵962
-+-=x x y ⑶11632
++=x x y
教师 评价
家长 签字
x
y
y=x -6x+9
O
x
y
y=x -2x-3
O
x
y
y=x -2x+3
O
二、典型例题：
例1、已知二次函数342
+-=x x y .求该抛物线的图象与坐标轴的交点坐标.
归纳：⑴求抛物线c bx ax y ++=2与x 轴的交点坐标只要令 ，转化为求对应
方程 的解；若对应方程的实数根为21x x 、，则抛物线与x 轴 的交点坐标是 ，特别当21
x x =时，这个交点就是抛物线的 .
⑵求抛物线c bx ax y ++=2与y 轴的交点坐标只要令 ，该交点坐标是 . 这也是求任意函数的图象与坐标轴交点坐标的一般方法.
【课堂检测】
1.抛物线2
2x x y --=与x 轴的交点坐标是 ，与y 轴的交点坐标是 .
2.抛物线c bx ax y ++=2
的图象都在x 轴的下方，则函数值y 的取值范围是 .
3.抛物线c bx ax y ++=2
与x 轴只有一个交点（-3，0），则它的顶点坐标是 .
4. 若抛物线42
++=bx x y 与x 轴只有1个交点，求b 的值.
. 求抛物线822
--=x x y 与x 轴的交点之间的距离.
【拓展提升】
利用下列平面直角坐标系求例①中抛物线342
+-=x x y 与坐标轴的交点围成的 △ABC 的周长和面积.
x
y
C
B
A
y=x 2-4x+3
抛物线上是否存在点D ，令△ABD 与△ABC 面积相等，如果有，请写出D 点坐标.
【课外作业】
1.判断下列函数的图象与x 轴是否有公共点，有几个公共点，并说明理由. ①252
+-=x x y ②122
-+-=x x y ③322
-+-=x x y
2.二次函数的图象与一元二次方程的根的关系如下：
抛物线与x 轴有 个公共点⇔ac b 42- 0，方程有 实数根； 抛物线与x 轴有 个公共点⇔ac b 42- 0，方程有 实数根； 抛物线与x 轴有 个公共点⇔ac b 42
- 0，方程 实数根. 3.抛物线c bx ax y ++=2
的图象都在x 轴的上方，则函数值y 的取值范围是 . 4.若抛物线92+-=bx x y 与x 轴只有1个交点，则b = . .抛物线c bx ax y ++=2
的顶点是（3，0），则它与x 轴有 个交点. 6.已知二次函数1032
--=x x y .
⑴求该抛物线的图象与坐标轴的交点坐标. ⑵求抛物线与x 轴的交点之间的距离.。