八年级数学图形运动产生的面积问题(方案设计一)(人教版)(含答案)

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人教版八年级数学下册期末复习专题在直角坐标系中求几何图形的面积(含详解)

人教版八年级数学下册期末复习专题训练——在直角坐标系中求几何图形的面积1.如图，四边形OABC是矩形，点A，C在坐标轴上，△ODE是由△OCB绕点O顺时针旋转90∘得到的，点D在x轴上，直线BD交y轴于点F，交OE于点H，线段BC ＝2，OC＝4（1）求直线BD的解析式．（2）求△OFH的面积．2.直线a：y=x+2和直线b：y=﹣x+4相交于点A，分别与x轴相交于点B和点C，与y轴相交于点D和点E．（1）在同一坐标系中画出函数图象；（2）求△ABC的面积；（3）求四边形ADOC的面积；（4）观察图象直接写出不等式x+2≤﹣x+4的解集和不等式﹣x+4≤0的解集．3.如果两个一次函数y=k1x+b1和y=k2x+b2满足k1=k2，b1≠b2，那么称这两个一次函数为“平行一次函数”．已知函数y=﹣2x+4的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，一次函数y=kx+b与y=﹣2x+4是“平行一次函数”（1）若函数y=kx+b的图象过点（3，1），求b的值；（2）若函数y=kx+b的图象与两坐标轴围成的面积是△AOB面积的，求y=kx+b的解析式．4.如图，10个边长为1的正方形如图摆放在平面直角坐标系中，经过原点的一条直线l将这10个正方形分成面积相等的两部分，求该直线l的解析式5.如图1，直线3y分别与y轴、x轴交于点A、点B，点C的坐标为(－3，0)，D为直线AB -=x3+3上一动点，连接CD交y轴于点E(1) 点B的坐标为__________，不等式+3>-x的解集为___________33(2) 若S△COE＝S△ADE，求点D的坐标(3) 如图2，以CD为边作菱形CDFG，且∠CDF＝60°．当点D运动时，点G在一条定直线上运动，请求出这条定直线的解析式.6.在直角坐标系中，一条直线经过A（﹣1，5），P（﹣2，a），B（3，﹣3）三点．（1）求a的值；（2）设这条直线与y轴相交于点D，求△OPD的面积．7.如图，把Rt△ABC放在直角坐标系内，其中∠CAB=90°，BC=10，点A、B的坐标分别为（2，0）、（8，0），将△ABC沿x轴向右平移，当点C落在直线y=x﹣5上时，求线段BC扫过的面积8.已知：如图，已知直线AB的函数解析式为y=﹣2x+8，与x轴交于点A，与y轴交于点B．（1）求A、B两点的坐标；（2）若点P（m，n）为线段AB上的一个动点（与A、B不重合），作PE⊥x 轴于点E，PF⊥y轴于点F，连接EF，若△PAO 的面积为S ，求S 关于m 的函数关系式，并写出m 的取值范围；9. 如图,已知直线343+=x y 与坐标轴交于B,C 两点,点A 是x 轴正半轴上一点,并且15=∆ABC S .点F 是线段AB 上一动点(不与端点重合),过点F 作FE ∥x 轴,交BC 于E.(1) 求AB 所在直线的解析式;(2) 若FD ⊥x 轴于D,且点D 的坐标为)0,(m ,请用含m 的代数式,表示DF 与EF 的长;(3) 在x 轴上是否存在一点P,使得△PEF 为等腰直角三角形,若存在,请直接写出点P 的坐标,若不存在,请说明理由.10.如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y=﹣2x +a 与y 轴交于点C （0，6），与x 轴交于点B ．（1）求这条直线的解析式；（2）直线AD 与（1）中所求的直线相交于点D （﹣1，n ），点A 的坐标为（﹣3，0）．①求n 的值及直线AD 的解析式； ②求△ABD 的面积；③点M 是直线y=﹣2x+a 上的一点（不与点B 重合），且点M 的横坐标为m ，求△ABM 的面积S 与m 之间的关系式．11.已知一次函数的图象经过（1，1）和（﹣1，﹣5）．（1）求这个一次函数的表达式；（2）求这个一次函数的图象与x 轴、y 轴的交点坐标，并求出该图象与两坐标轴围成的三角形的面积．12.如图，边长为5的正方形OABC的顶点0在坐标原点处，点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，点E是0A边上的点(不与点A重合)，EF⊥CE，且与正方形外角平分线AG交于点P．(1)求证：CE=EP；(2)若点E的坐标为(3，O)，在y轴上是否存在点M，使得四边形BMEP是平行四边形?若存在，求出点M的坐标：若不存在，说明理由．13.已知一次函数的图象经过（1，1）和（﹣1，﹣5）．（1）求这个一次函数的表达式；（2）求这个一次函数的图象与x轴、y轴的交点坐标，并求出该图象与两坐标轴围成的三角形的面积．14.直线AB与x轴交于点A(1，0)，与y轴交于点B(0，－2)．(1)求直线AB的解析式；(2)若直线AB上一点C在第一象限且点C的坐标为(2，2)，求△BOC的面积．15.在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx＋4(k≠0)与y轴交于点A.(1)如图，直线y＝－2x＋1与直线y＝kx＋4(k≠0)交于点B，与y轴交于点C，点B的横坐标为－1.①求点B的坐标及k的值；②直线y＝－2x＋1、直线y＝kx＋4与y轴所围成的△ABC的面积等于____________；(2)直线y＝kx＋4(k≠0)与x轴交于点E(x0，0)，若－2＜x0＜－1，求k的取值范围．16.如图，己知直线l：y=x+1（k≠0）的图象与x轴、y轴交于A、B两点.（1）直接写出A、B两点的坐标；（2）若P是x轴上的一个动点，求出当△PAB是等腰三角形时P的坐标；（3）在y轴上有点C（0，3），点D在直线l上.若△ACD面积等于4.请直接写出D的坐标.17.如图①所示，正方形ABCD的边长为6 cm，动点P从点A出发，在正方形的边上沿A→B→C→D运动，设运动的时间为t(s)，三角形APD的面积为S(cm2)，S与t的函数图象如图②所示，请回答下列问题：(1)点P在AB上运动的时间为________s，在CD上运动的速度为________cm/s，三角形APD的面积S的最大值为________cm2；(2)求出点P在CD上运动时S与t之间的函数解析式；(3)当t为何值时，三角形APD的面积为10 cm2?18.已知：如图，已知直线AB的函数解析式为y=﹣2x+8，与x轴交于点A，与y轴交于点B．（1）求A、B两点的坐标；（2）若点P（m，n）为线段AB上的一个动点（与A、B不重合），作PE⊥x轴于点E，PF⊥y轴于点F，连接EF，若△PAO的面积为S，求S关于m的函数关系式，并写出m的取值范围；答案：1. （1） OC=4,BC=2,B(-2,4)∵OD =OC =4，∴D (4,0)．设 BD 解析式为 y =kx +b (k ≠0)， ∴{−2k +b =4,4k +b =0 ∴{k =−23,b =83.∴y =−23x +83．（2） ∵DE =2， ∴E (4,2)． ∴ 直线 OE:y =12x ，∴{y =−23x +83,y =12x, ∴{x =167,y =87, ∴H (167,87)．当 x =0，y =83， ∴F (0,83)， ∴S △OFH =12×83×167=6421． 2.（1）依照题意画出图形，如图所示．（2）令y=x +2中y=0，则x +2=0，解得：x=﹣2，∴点B （﹣2，0）；令y=﹣x +4中y=0，则﹣x +4=0，解得：x=4，∴点C （4，0）；联立两直线解析式得：，解得：，∴点A （1，3）．S △ABC =BC•y A =×[4﹣（﹣2）]×3=9．（3）令y=x +2中x=0，则y=2，∴点D （0，2）．S 四边形ADOC =S △ABC ﹣S △DBO =9﹣×2×2=7．（4）观察函数图形，发现：当x ＜1时，直线a 在直线b 的下方，∴不等式x +2≤﹣x +4的解集为x ≤1；当x ＞4时，直线b 在x 轴的下方，∴不等式﹣x +4≤0的解集为x ≥4．3.（1）∵一次函数y=kx +b 与y=﹣2x +4是“平行一次函数”，∴k=﹣2，即y=﹣2x +b ． ∵函数y=kx +b 的图象过点（3，1），∴1=﹣2×3+b ，∴b=7．（2）在y=﹣2x +4中，令x=0，得y=4，令y=0，得x=2，∴A （2，0），B （0，4），∴S △AOB =OA•OB=4．由（1）知k=﹣2，则直线y=﹣2x +b 与两坐标轴交点的坐标为（，0），（0，b ），于是有|b |•||=4×=1，∴b=±2，即y=kx +b 的解析式为y=﹣2x +2或y=﹣2x ﹣2．4.设直线l 和10个正方形的最上面交点为A ，过A 作AB ⊥OB 于B ，过A 作AC ⊥OC 于C ， ∵正方形的边长为1，∴OB=3，∵经过原点的一条直线l 将这10个正方形分成面积相等的两部分，∴两边分别是5，∴三角形ABO 面积是7，∴OB•AB=7，∴AB=，∴OC=AB=，由此可知直线l 经过（，3），设直线方程为y=kx （k ≠0），则3=k ，解得k=∴直线l 解析式为y=x ．故答案为：y=x ．5.(1) (3，0)、x ＜3(2) ∵S △COE ＝S △ADE ∴S △AOB ＝S △CBD 即33321621⨯⨯=⨯⨯D y ，y D ＝233 当y ＝233时，23233333==+-x x ，∴D (23323，) (3) 连接CF ∵∠CDF ＝60°∴△CDF 为等边三角形连接AC ∵AB ＝AC ＝BC ＝6∴△ABC 为等边三角形∴△CAF ≌△CBD （SAS ）∴∠CAF ＝∠ACB ＝60°∴AF ∥x 轴设D (m ，333+-m )过点D 作DH ⊥x 轴于H ∴BH ＝3－m ，DB ＝6－2m ＝AF∴F (2m －6，33)由平移可知：G (m －9，m 3-)令⎪⎩⎪⎨⎧-=-=m y m x 39∴点G 在直线393--=x y 上6. （1）设直线的解析式为y=kx +b ，把A （﹣1，5），B （3，﹣3）代入，可得：{533=+--=+b k b k ，解得：，所以直线解析式为：y=﹣2x +3，把P （﹣2，a ）代入y=﹣2x +3中，得：a=7；（2）由（1）得点P 的坐标为（﹣2，7），令x=0，则y=3，所以直线与y 轴的交点坐标为（0，3），所以△OPD 的面积=．7.∵点A 、B 的坐标分别为（2，0）、（8，0），∴AB=6，∵∠CAB=90°，BC=10， ∴CA==8，∴C 点纵坐标为：8，∵将△ABC 沿x 轴向右平移，当点C 落在直线y=x ﹣5上时，∴y=8时，8=x ﹣5，解得：x=13，即A 点向右平移13﹣2=11个单位， ∴线段BC 扫过的面积为：11×8=88．故选：B ．8.（1）令x=0，则y=8，∴B （0，8），令y=0，则﹣2x +8=0，∴x=4，∴A （4，0），（2）∵点P （m ，n ）为线段AB 上的一个动点，∴﹣2m +8=n ，∵A （4，0），∴OA=4，∴0＜m ＜4∴S △PAO =OA ×PE=×4×n=2（﹣2m +8）=﹣4m +16，（0＜m ＜4） )3,0(30343)1(,9B y x x y 即时，中，当在==+= ∴OB=3同理OC=4 ∵15)(21=⋅+OB OA OC ,153)4(21=⨯+⨯OA ∴OA=6 即点A 的坐标为(6,0) 设AB 所在直线的解析式为y=kx+b⎩⎨⎧⎩⎨⎧=+=-==213063k b b k b 解得则∴AB 所在直线的解析式为 (2)在中,当,即DF= 在中,当mx m y 32,321-=+-=时mm m EF 35)32(=--= (3)10.（1）∵直线y=﹣2x +a 与y 轴交于点C （0，6），∴a=6，∴该直线解析式为y=﹣2x +6 （2）①∵点D （﹣1，n ）在直线BC 上，∴n=﹣2×（﹣1）+6=8，∴点D （﹣1，8）设直线AD 的解析式为y=kx +b ，将点A （﹣3，0）、D （﹣1，8）代入y=kx +b 中，得：，解得：，∴直线AD 的解析式为y=4x +12．②令y=﹣2x +6中y=0，则﹣2x +6=0，解得：x=3，∴点B （3，0）．∵A（﹣3，0）、D （﹣1，8），∴AB=6．S △ABD =AB•y D =×6×8=24．③∵点M 在直线y=-2x+6上，∴M （m ，-2m+6），当m ＜3时，S=16(26)2m ⨯⨯-+即618S m =-+；当m ＞3时，即S=6m -18．11. （1）设函数解析式为y=kx +b ，由题意将两点代入得：{15=+-=+-b k b k ，解得：{32=-=k b ．∴一次函数的解析式为：y=3x ﹣2；（2）令y=0，得x=32，令x=0，得y=﹣2， 3232221=⨯⨯=∴s 12．（1）在OC 上截取OK =OE .连接EK .∵OC =OA ，∠1=90°，∠OEK =∠OKE =45°，∵AP 为矩形外角平分线，∴∠BAP =45°∴∠EKC =∠PAE =135°.∴CK =EA .∵EC ⊥EP ，∴∠3=∠4.∴△EKC ≌△PAE . ∴EC =EP （2）y 轴上存在点M ，使得四边形BMEP 是平行四边形.如图，过点B 作BM ∥PE 交y 轴于点M ，∴∠5=∠CEP =90°，∴∠6=∠ 4.在△BCM 和△COE 中，⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠,,,46COE BCM OC BC ∴△BCM ≌△COE ，∴BM =CE 而CE =EP ，∴BM =EP .由于BM ∥EP ，∴四边形BMEP 是平行四边形由△BCM ≌△COE可得CM =OE =3，∴OM =CO -CM =2.故点M 的坐标为（0，2）.13.（1）设函数解析式为y=kx +b ，由题意将两点代入得：，解得：．∴一次函数的解析式为：y=3x ﹣2；（2）令y=0，得x=，令x=0，得y=﹣2，∴S=×2×=．14.(1)设直线AB 的解析式为y ＝kx ＋b(k ≠0)．将A(1，0)，B(0，－2)代入解析式，得⎩⎪⎨⎪⎧k ＋b ＝0，b ＝－2.解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，b ＝－2.∴直线AB 的解析式为y ＝2x －2.(2)S △BOC ＝12×2×2＝2.15.（1）32 当x ＝－1时，y ＝－2×(－1)＋1＝3，∴B(－1，3)．将B(－1，3)代入y ＝kx ＋4，得k ＝1.(2)y ＝kx ＋4与x 轴的交点为(－4k ，0)，∵－2＜x 0＜－1，∴－2＜－4k ＜－1，(1) 解得2＜k ＜4.16.（1）当y=0时，x+1=0，解得x=﹣2，则A （﹣2，0），当x=0时，y=x+1=1，则B （0，1）；（2）AB==，当AP=AB 时，P 点坐标为（﹣，0）或（，0）；当BP=BA时，P点坐标为（2，0）；当PA=PB时，作AB的垂直平分线交x轴于P，连结PB，如图1，则PA=PB，设P（t，0），则OA=t+2，OB=t+2，在Rt△OBP中，12+t2=（t+2）2，解得t=﹣，此时P 点坐标为（﹣，0）；（3）如图2，设D（x，x+1），当x＞0时，∵S△ABC+S△BCD=S△ACD，∴•2•2+•2•x=4，解得x=2，此时D点坐标为（2，2）；当x＜0时，∵S△BCD﹣S△ABC=S△ACD，∴•2•（﹣x）﹣•2•2=4，解得x=﹣6，此时D点坐标为（﹣6，﹣2），综上所述，D点坐标为（2，2）或（﹣6，﹣2）.故答案为（﹣2，0），（0，1）；（2，2）或（﹣6，﹣2）.17.略18.（1）令x=0，则y=8，∴B（0，8），令y=0，则﹣2x+8=0，∴x=4，∴A（4，0），（2）∵点P（m，n）为线段AB上的一个动点，∴﹣2m+8=n，∵A（4，0），∴OA=4，∴0＜m＜4∴S△PAO=OA×PE=×4×n=2（﹣2m+8）=﹣4m+16，（0＜m＜4）。

八年级竞赛辅导之图形的面积

八年级数学竞赛辅导之面积问题平面几何学的产生起源于人们对土地面积的测量，面积是平面几何中一个重要的概念，联系着几何图形中的重要元素边与角．计算图形的面积是几何问题中一种常见问题，求面积的基本方法有： 1．直接法：根据面积公式和性质直接进行运算．2．割补法：通过分割或补形，把不规则图形或不易求解的问题转化为规则图形或易于求解的问题． 3．等积法：根据面积的等积性质进行转化求解，常见的有同底等高、同高等底和全等的等积转化．4．等比法：将面积比转化为对应线段的比．熟悉以下基本图形中常见的面积关系：注等积定理：等底等高的两个三角形面积相等．等比定理：同底(或等底)的两个三角形面积之比等于对应高之比，同高(或等高)的两个三角形面积之比等于对应底之比．1．如图，是一个圆形花坛，中间的鲜花构成了一个菱形图案(图中尺寸单位为米)，如果每平方米种植鲜花20株，那么这个菱形图案中共有鲜花株． 2．直角三角形斜边上中线长为1，周长为.3．如图，在四边形ABCD 中，∠A ＝135°，∠B =∠D =90°，BC =23，AD =2，则四边形ABCD 的面积为( )A ．42B ．43C ．4D ．6 (2001年湖北省荆州市中考题) 4．ABCD 是边长为1的正方形，△BPC 是等边三角形，则厶BPD 的面积为( )A ．41B ．413-C ．81D ．8132- (2001年武汉市选拔赛题)5．有一块缺角矩形地皮ABCDE (如图)，其中AB ＝110m ，BC =80m ，CD =90m ，∠EDC =135°．现准备用此块地建一座地基为长方形(图中用阴影部分表示)的教学大楼，以下四个方案中，地基面积最大的是( ) 6．今有一块正方形土地，要在其上修筑两条笔直的道路，使道路将这块土地分成形状相同且面积相等的4部分．若道路的宽度可忽略不计，请设计4种不同的修筑方案．7．如图，已知梯形ABCD 的面积为34cm 2，AE =BF ，CE 与DF 相交于O ，△OCD 的面积为11cm 2，求蝶形(阴影部分)的面积．8．探究规律：如图a ，已知：直线m ∥ n ，A 、B 为直线n 上两点，C 、P 为直线m 上两点． (1)请写出图a 中，面积相等的各对三角形；(2)如果A 、B 、C 为三个定点，点P 在m 上移动，那么，无论P 点移动到任何位置，总有与△ABC 的面积相等．理由是：．解决问题：如图b ，五边形ABCDE 是张大爷十年前承包的一块土地的示意图．经过多年开垦荒地，现已变成如图c 所示的形状，但承包土地与开垦荒地的分界小路(即图c 中折线CDE )还保留着．张大爷想过正点修一条直路，直路修好后，要保持直路左边的土地面积与承包时的一样多，右边的土地面积与开垦的荒地面积一样多．请你用有关的几何知识，按张大爷的要求设计出修路方案．(不计分界小路与直路的占地面积) (1)写出设计方案，并在图c 中画出相应的图形； (2)说明方案设计理由． (2003年河北省中考题)9．如图，从等边三角形内一点向三边作垂线，已知这三条垂线段的长分别为1、3、5，则这个等边三角形的边长为． (全国初中数学联赛试题)10．如图，E 、F 分别是矩形ABCD 的边AB 、BC 的中点，连结AF 、CE ，设AF 与CE 的交点为G ，则AB C D A G C D S S 矩形四边形等于( ) A ．65 B ．54 C ．43 D ．32第9题图第10题图11．已知菱形ABCD 的两条对角线AC 、BD 的乘积等于菱形的一条边长的平方，则菱形的一个钝角的大小是( ) A ．165° D ．135° C ． 150° D ．120° (“希望杯”邀请赛试题)12．如图，设凸四边形ABCD 的一组对边AB 、CD 的中点分别为K 、M ，求证：S 四边形ABCD =S △ABM +S △DCK ．13.如图，设G (也称重心)为△ABC 三条中线AD 、BE 、CF 的交点，则2===GFCGGE BG GD AG ，请读者证明．（14题图）14. 如图，在△ABC 中，已知BD 和CE 分别是两边上的中线，并且BD ⊥CE ，BD ＝4，CE =6，那么△ABC 的面积等于( )A ．12B ．14C ．16D ．18(全国初中数学联赛试题) 15. 如图甲，AB 、CD 是两条线段，M 是AB 的中点，S △DMC 、S △DAC 、S △DBC 分别表示△DMC 、△DAC 、△DBC的面积，当AB ∥CD 时，有S △DMC =2DBCDAC S S ∆∆+·(1)如图乙，若图甲中AB 不平行CD ，①式是否成立?请说明理由；(2)如图丙，若图甲中A 月与CD 相交于点O 时，问S △DMC 和S △DAC 和S △DBC 有何种相等关系?试证明你的结论． (2001年安徽省中考题)16．已知凸四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，且△ABC ，△ACD ，△ABD 的面积分别为S 1=5，S 2=10，S 3=6．求△ABO 的面积17．如图2-129，AD ，BE ，CF 交于△ABC 内的一点P ，并将△ABC 分成六个小三角形，其中四个小三角形的面积已在图中给出．求△ABC 的面积．18.如图1，在直角坐标系中，点A是x 轴正半轴上的一个定点，点B 是双曲线y =（0x >）上的一个动点，当点B 的横坐标逐渐增大时，△OAB 的面积将会（ A ．逐渐增大 B ．不变 C ．逐渐减小 D ．先增大后减小19．(2009·牡丹江)如图2，点A 、B 是双曲线3y x=上的点，分别经过A 、B 两点向x 轴、y 轴作垂线段，若1S =阴影，则12S S += ． 20.（2009莆田）在x 轴的正半轴上依次截取112233445OA A A A A A A A A ====，过点12345A A A A A 、、、、分别作x 轴的垂线与反比例函数()20y x x=≠的图象相交于点12345P P P P P 、、、、，得直角三角形1112233344455OP A A P A A P A A P A A P A 2、、、、，并设其面积分别为12345S S S S S 、、、、，则5S 的值为． 21．在直角三角形ABC 中，∠A =90°，AD ，AE 分别是高和角平分线，且△ABE ，△AED 的面积分别为S 1=30，S 2=6，求△ADC 的面积S ．22．如图，△ABC 的面积为1，分别延长AB 、BC 、CA 到D 、E 、F ，使AB =BD ，BC =CE ，CA =AF ，连DE 、EF 、FD ，求△DEF 的面积。

中考数学图形运动产生的面积问题综合测试卷(含答案)

中考数学图形运动产生的面积问题综合测试卷一、单选题(共6道，每道16分)1.在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=60°,AC=4cm,长为1cm的线段MN在△ABC的边AB上沿AB方向以1(cm/s)的速度向点B运动(运动开始时点M与点A重合,结束时点N与点B重合),过M、N分别作AB的垂线交直角边于P、Q两点(如图),设线段MN运动的时间为t(s)时,四边形MNQP 的面积为y(cm2).(1)线段MN运动过程中,四边形MNQP为矩形时t的值为(),此时矩形的面积为()cm2A. B.C. D.答案：B试题难度：三颗星知识点：矩形的性质2.(2)要求y与t的函数关系式需分()种情况考虑,时间段的划分是()A.3;0<t≦1,1<t≦2,2<t≦8B.2;0<t≦2,2<t≦8C.3;0<t≦1,1<t≦2,2<t≦7D.2;0<t≦2,2<t≦7答案：C试题难度：三颗星知识点：含30°角的直角三角形3.A. B.C. D.答案：D试题难度：三颗星知识点：运动变化型问题4.如图,已知直线与直线相交于点分别交轴于两点.矩形的顶点分别在直线上,顶点都在轴上,且点与点重合.(1)矩形的边与的长分别是()A.4,8B.8,4C.3,6D.6,3答案：A试题难度：三颗星知识点：运动变化型问题5.(2)若矩形从原地出发,沿轴的反方向以每秒1个单位长度的速度平移,设移动时间为秒,矩形与重叠部分的面积为S,要求S关于t的函数关系式需分种情况来考虑,时间段的划分为.()A.3;0≦t≦3,3<t≦7,7<t≦12B.3;0≦t≦3,3<t≦8,8<t≦12C.2;0≦t≦3,3<t≦12D.2;0≦t≦8,8<t≦12答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：运动变化型问题6.A. B.C. D.答案：B试题难度：三颗星知识点：运动变化型问题。

八年级数学竞赛例题专题讲解23：面积的计算含答案

专题23 面积的计算○阅 ○读 ○与 ○思 ○考计算图形的面积是几何问题中一种重要题型，计算图形的面积必须掌握如下与面积有关的重要知识： 1.常见图形的面积公式；2．等积定理：等底等高的两个三角形面积相等； 3.等比定理：(1) 同底（或等底）的两个三角形面积之比等于等于对应高之比；同高（或等高）的两个三角形面积之比等于等于对应底之比.(2) 相似三角形的面积之比等于对应线段之比的平方. 熟悉下列基本图形、基本结论：例题与求解【例1】如图，△ABC 内三个三角形的面积分别为5，8，10，四边形AEFD 的面积为x ，则x ＝________.（黄冈市竞赛试题）解题思路：图中有多对小三角形共高，所以可将面积比转化为线段之比作为解题突破口.【例2】如图，在△ABC 中，已知BD 和CE 分别是两边上的中线，并且BD ⊥CE ，BD ＝4，CE ＝6，那么△ABC 的面积等于 ( ) (全国初中数学联赛)A ．12B ．14C ．16D ．18解题思路：由中点想到三角形中位线，这样△ABC 与四边形BCDE 面积存在一定的关系.例1图C【例3】如图，依次延长四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 至E ，F ，G ，H ，使BE AB ＝CF BC ＝DG CD ＝AHDA ＝m ，若S 四边形EFGH ＝2S 四边形ABCD ，求m 的值.解题思路：添加辅助线将四边形分割成三角形，充分找出图形面积比与线段比之间的关系，建立关于m 的方程.【例4】如图，P ，Q 是矩形ABCD 的边BC 和CD 延长线上的两点，P A 与CQ 相交于点E ，且∠P AD ＝∠QAD ，求证：S 矩形ABCD ＝S △APQ .解题思路：图形含全等三角形、相似三角形，能得到相等的线段、等积式，将它们与相应图形联系起来，促使问题的转化.【例5】如图，在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝8，AC ＝6，若动点D 从点B 出发，沿线段BA 运动到点A 为止，移动速度为每秒2个单位长度. 过点D 作DE ∥BC 交AC 于点E ，设动点D 运动的时间为x 秒，AE 的长为y .(1) 求出y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；(2) 当x 为何值时，△BDE 的面积S 有最大值，最大值为多少？ (江西省中考试题) 解题思路：对于(1)利用△ADE ∽△ABC 可得y 与x 的关系式；对于(2)先写出S 关于x 的函数关系式，再求最大值.例2图C例3图例4图C【例6】如图，设P 为△ABC 内任意一点，直线AP ，BP ，CP 交BC ，CA ，AB 于点D ，E ，F . 求证：(1)PD AD ＋PE BE ＋PFCF＝1； (2)P A AD ＋PB BE ＋PC CF＝2 解题思路：过点A ，P 分别作BC 的垂线，这样既可得到平行线，产生比例线段，又可以与面积联系起来，把P AAD转化为面积比，利用面积法证明.○能 ○力 ○训 ○练A 级1．如图， ABCD 中，AE ∶BE ＝1∶2，S △AEF ＝6cm 2，则S △CDF 的值为________. (济南市中考试题) 2．如图，正六边形ABCDEF 的边长为23cm ，P 为正六边形内任一点，则点P 到各边距离之和为_______.例5图C例6图D3．如图，P 是边长为8的正方形ABCD 外一点，PB ＝PC ，△PBD 的面积等于48，则△PBC 的面积为_____________. (北京市竞赛试题)4．如图，已知△BOF ，△AOF ，△BOD ，△COE 的面积分别为30，40，35，84，则△ABC 的面积为________.(浙江省竞赛试题)5．如图，已知AD 是Rt △ABC 斜边BC 上的高，DE 是Rt △ADC 斜边上的高，如果DC ∶AD ＝1∶2， S △DCE ＝a ，那么S △ABC 等于 ( ) (金华市中考试题)A ．4aB ．9aC ．16aD ．25a6．如图，已知M 是 ABCD 边AB 的中点，CM 交BD 于点E ，则图中阴影部分面积与 ABCD 的面积之比为（）（山西省中考试题）A ．16B ．14C ．13D ．5127．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，DE 分别交AB ，AC 于点D ，E ，若S △ADE ＝2S △DCE ，则S △ADES △ABC等于( )(浙江省宁波市中考试题) A ．14 B ．12 C ．23 D ．498．如图，△ABC 是边长为6cm 的等边三角形，被一平行于BC 的矩形所截，AB 被截成三等分，则图中阴影部分面积面积为（）cm 2. (广东省竞赛试题)A ．4B ．2 3C ．3 3D ．4 3第5题图C第2题图CF第1题图第3题图P第4题图D第6题图C9．如图，平面上有两个边长相等的正方形ABCD 和 A ′B ′C ′D ′，且正方形A ′B ′C ′D ′的顶点A ′在正方形ABCD 的中心，当正方形A ′B ′C ′D ′绕A ′ 转动时，两个正方形重合部分的面积必然是一个定值. 这个结论对吗？证明你的判断. （“希望杯”邀请赛试题）10．如图，设凸四边形ABCD 的一组对边AB ，CD 的中点分别为K ，M .求证：S 四边形ABCD ＝S △ABM ＋S △DCK..11．如图1，AB ，CD 是两条线段，M 是AB 的中点，S △DMC ，S △DAC ，S △DBC 分别表示△DMC ，△DAC ，△DBC 的面积，当AB ∥CD 时，有S △DMC ＝S △DAC ＋S △DBC2………..①.(1) 如图2，若图1中AB 与CD 不平行时，①式是否成立？请说明理由.(2) 如图3，若图1中AB 与CD 相交于点O 时，问S △DMC 与S △DAC 和S △DBC 有何相等关系？试证明第10题图第8题图第7题图C第9题图C'(1) 如图2，若图1中AB 与CD 不平行时，①式是否成立？请说明理由.(2) 如图3，若图1中AB 与CD 相交于点O 时，问S △DMC 与S △DAC 和S △DBC 有何相等关系？试证明你的结论. （安徽省中考试题）图2图1图312．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠ABC ＝30°，将△ABC 绕顶点C 顺时针旋转，旋转角为θ（0°＜θ＜180°），得到△A ′B ′C ′.(1) 如图1，当AB ∥CB ′时，设A ′B ′与CB 相交于点D ，证明：△A ′CD 是等边三角形；(2) 如图2，连接A ′A ，B ′B ，设△ACA ′和△BCB ′的面积分别为S △ACA ′和S △BCB ′.求证：S △ACA ′∶S △BCB ′＝1∶3. (3) 如图3，设AC 的中点为E ，A ′B ′的中点为P ，AC ＝a ，连接EP ，当θ＝_____时，EP 长度最大，最大值是____________. （安徽省中考试题）图2图1图3B 级1．如图，A 在线段BG 上，ABCD 和DEFG 都是正方形，面积分别为7cm 2和11cm 2，则△CDE 的面积等于___________cm 2. （武汉市竞赛试题）2．如图，P 为正方形ABCD 内一点，P A ＝PB ＝10，并且P 到CD 边的距离也等于10，那么正方形ABCD 的面积是_______________. (北京市竞赛试题)3．如图，四边形ABCD 中，点E ，F 分别在BC ，DC 上，DF FC ＝1，CEBE ＝2，若△ADF 的面积为m ，四边形AECF 的面积为n (n ＞m )，则四边形ABCD 的面积为___________. (全国初中数学联赛试题)4．如图，图形ABCD 中，AB ∥CD ，AC 和BD 相交于点O ，若AC ＝5，BD ＝12，中位线长为132，△AOB的面积为S 1，△OCD 的面积为S 2，则S 1＋S 2＝_________. (山东省竞赛试题)5．如图，分别延长△ABC 的三边AB ，BC ，CA 至A ′，B ′，C ′，使得AA ′＝3AB ，BB ′＝3BC ，CC ′＝3AC ，若S △ABC ＝1，则S △A ′B ′C ′等于 ( ).A ．18B ．19C ．24D ．27(山东省竞赛试题) 6．如图，若ABCD 是2×2的正方形，E 是AB 的中点，F 是BC 的中点，AF 与DE 相交于点I ，BD 和AF 相交于点H ，那么四边形BEIH 的面积是 ( )A ．13B ．52 C ．715 D ．815(江苏省竞赛试题)7．如图，矩形ABCD 中，E 是BC 上的一点，F 是CD 上的点，已知S △ABE ＝S △ADF ＝13S ABCD ，则S △AEF S △CEF 的值等于 ( ) (北京市竞赛试题)A ．2B ．3C ．4D ．58．(1) 探究：如图1，在 ABCD 的形外分别作等腰直角三角形ABF 和等腰直角三角形ADE ，∠F AB ＝∠EAD ＝90°，连接AC ，EF. 在图中找一个与△F AE 全等的三角形，并加以证明.第6题图第4题图第3题图B第2题图第1题图F第5题图第7题图A BEF(2) 应用：以 ABCD 的四条边为边，在其形外分别作正方形，如图2，连接EF ，GH ，IJ ，KL ，若 ABCD 的面积为5，则图中阴影部分四个三角形的面积之和为____________. （长春市中考试题）图1图2J9．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝AD ＝DC ＝2cm ，BC ＝4cm ，在等腰△PQR 中，∠QPR ＝120°，底边QR ＝6cm ，点B ，C ，Q ，R 在同一条直线l 上，且C ，Q 两点重合，如果等腰△PQR 以1cm/s 的速度沿直线l 箭头所示方向匀速运动，t 秒时梯形ABCD 与等腰△PQR 重合部分的面积记为S cm 2.(1) 当t ＝4时，求S 的值；(2) 当4≤t ≤10时，求S 与t 的函数关系式，并求出S 的最大值. (广州市中考试题)10．有一根直尺的短边长为2cm ，长边长为10cm ，还有一块锐角为45°的直角三角纸板，它的斜边长为12cm ，如图1将直尺的短边DE 放置与直角三角纸板的斜边AB 重合，且点D 与点A 重合将直尺沿AB 方向平移，如图2，设平移的长为x cm(0≤x ≤10)，直尺与三角形纸板重叠部分（图中阴影部分）的面积S cm 2.(1) 当x ＝0时，S ＝________，当10=x 时，S ＝________； (2) 当0＜x ≤4时，求S 关于x 的函数关系式；(3) 当4＜x ＜10时，求S 关于x 的函数关系式，并求出S 的最大值. (徐州市中考试题)图1图2E11．如图，设H 是等腰三角形ABC 的三边上的高线的交点，在底边BC 保持不变的情况下，让顶点A 至底边BC 的距离变小（仍保持三角形为等腰三角形），这时HBC ABC S S ∆∆⋅的值变大、变小、还是不变?证第9题图B C(Q)R明你的结论. (全国初中数学联赛试题)12．(1) 请你在图1中作一条直线，使它将矩形ABCD 分成面积相等的两部分；(2) 如图2，点M 是矩形ABCD 内一定点，请你在图2中过点M 作一条直线，使它将矩形ABCD 分成面积相等的两部分；(3) 如图3，在平面直角坐标系中，直角梯形OBCD 是某市将要筹建的高新技术开发区用地示意图，其中DC ∥OB ，OB ＝6，BC ＝4，CD ＝4. 开发区综合服务管理委员会(其占地面积不计)设在点P (4，2)处. 为了方便驻区单位，准备过点P 修一条笔直的道路(路的宽不计)，并且使这条路所在的直线l 将直角梯形OBCD 分成面积相等的两部分. 你认为直线l 是否存在?若存在，求出直线l 的表达式；若不存在，请说明理由. (陕西省中考试题)图1图2图3第11题图D。

2018年人教版中考压轴题汇编《因动点产生的面积问题》含答案

1.6 因动点产生的面积问题例1 2017年河南省中考第23题如图1，边长为8的正方形ABCD的两边在坐标轴上，以点C为顶点的抛物线经过点A，点P是抛物线上A、C两点间的一个动点（含端点），过点P作PF⊥BC于点F．点D、E 的坐标分别为(0, 6)、(－4, 0)，联结PD、PE、DE．（1）直接写出抛物线的解析式；（2）小明探究点P的位置发现：当点P与点A或点C重合时，PD与PF的差为定值．进而猜想：对于任意一点P，PD与PF的差为定值．请你判断该猜想是否正确，并说明理由；（3）小明进一步探究得出结论：若将“使△PDE的面积为整数”的点P记作“好点”，则存在多个“好点”，且使△PDE的周长最小的点P也是一个“好点”．请直接写出所有“好点”的个数，并求出△PDE周长最小时“好点”的坐标．图1 备用图如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx－3（a≠0）与x轴交于A(－2, 0)、B(4, 0)两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点P从点A出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向点B运动，同时点Q从点B出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向点C运动．其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动．当△PBQ存在时，求运动多少秒时△PBQ的面积最大，最大面积是多少？（3）当△PBQ的面积最大时，在BC下方的抛物线上存在点K，使S△CBK∶S△PBQ＝5∶2，求点K的坐标．图1如图1，已知抛物线212y x bx c =++（b 、c 是常数，且c ＜0）与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴的负半轴交于点C ，点A 的坐标为(－1,0)．（1）b ＝______，点B 的横坐标为_______（上述结果均用含c 的代数式表示）；（2）连结BC ，过点A 作直线AE //BC ，与抛物线交于点E ．点D 是x 轴上一点，坐标为(2,0)，当C 、D 、E 三点在同一直线上时，求抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，点P 是x 轴下方的抛物线上的一动点，连结PB 、PC ．设△PBC 的面积为S ．①求S 的取值范围；②若△PBC 的面积S 为正整数，则这样的△PBC 共有_____个．图1如图1，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为A(0, 1)、B(2, 0)、O(0, 0)，将此三角板绕原点O逆时针旋转90°，得到三角形A′B′O．（1）一抛物线经过点A′、B′、B，求该抛物线的解析式；（2）设点P是第一象限内抛物线上的一个动点，是否存在点P，使四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在（2）的条件下，试指出四边形PB′A′B是哪种形状的四边形？并写出它的两条性质．图1如图1，在平面直角坐标系中，直线112y x=+与抛物线y＝ax2＋bx－3交于A、B两点，点A在x轴上，点B的纵坐标为3．点P是直线AB下方的抛物线上的一动点（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线交直线AB于点C，作PD⊥AB于点D．（1）求a、b及sin∠ACP的值；（2）设点P的横坐标为m．①用含m的代数式表示线段PD的长，并求出线段PD长的最大值；②连结PB，线段PC把△PDB分成两个三角形，是否存在适合的m的值，使这两个三角形的面积比为9∶10？若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由．图1如图1，直线l经过点A(1，0)，且与双曲线myx=(x＞0)交于点B(2，1)．过点(,1)P p p-(p＞1)作x轴的平行线分别交曲线myx=(x＞0)和myx=-(x＜0)于M、N两点．（1）求m的值及直线l的解析式；（2）若点P在直线y＝2上，求证：△PMB∽△PNA；（3）是否存在实数p，使得S△AMN＝4S△AMP？若存在，请求出所有满足条件的p的值；若不存在，请说明理由．图1如图1，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为(3,0)，(0,1)．点D是线段BC上的动点（与端点B、C不重合），过点D作直线12y x b=-+交折线OAB于点E．（1）记△ODE的面积为S，求S与b的函数关系式；（2）当点E在线段OA上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形O1A1B1C1，试探究四边形O1A1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化？若不变，求出重叠部分的面积；若改变，请说明理由．图11.6 因动点产生的面积问题答案例1 2017年河南省中考第23题如图1，边长为8的正方形ABCD 的两边在坐标轴上，以点C 为顶点的抛物线经过点A ，点P 是抛物线上A 、C 两点间的一个动点（含端点），过点P 作PF ⊥BC 于点F ．点D 、E 的坐标分别为(0, 6)、(－4, 0)，联结PD 、PE 、DE ．（1）直接写出抛物线的解析式；（2）小明探究点P 的位置发现：当点P 与点A 或点C 重合时，PD 与PF 的差为定值．进而猜想：对于任意一点P ，PD 与PF 的差为定值．请你判断该猜想是否正确，并说明理由；（3）小明进一步探究得出结论：若将“使△PDE 的面积为整数” 的点P 记作“好点”，则存在多个“好点”，且使△PDE 的周长最小的点P 也是一个“好点”．请直接写出所有“好点”的个数，并求出△PDE 周长最小时“好点”的坐标．图1 备用图动感体验请打开几何画板文件名“15河南23”，拖动点P 在A 、C 两点间的抛物线上运动，观察S 随P 变化的图像，可以体验到，“使△PDE 的面积为整数” 的点P 共有11个．思路点拨1．第（2）题通过计算进行说理．设点P 的坐标，用两点间的距离公式表示PD 、PF 的长．2．第（3）题用第（2）题的结论，把△PDE 的周长最小值转化为求PE ＋PF 的最小值．满分解答（1）抛物线的解析式为2188y x =-+．（2）小明的判断正确，对于任意一点P ，PD －PF ＝2．说理如下：设点P 的坐标为21(,8)8x x -+，那么PF ＝y F －y P ＝218x ．而FD 2＝22222222111+(86)+(2)(2)888x x x x x -+-=-=+，所以FD ＝2128x +．因此PD －PF ＝2为定值．（3）“好点”共有11个．在△PDE 中，DE 为定值，因此周长的最小值取决于FD ＋PE 的最小值．而PD ＋PE ＝(PF ＋2)＋PE ＝(PF ＋PE )＋2，因此当P 、E 、F 三点共线时，△PDE 的周长最小（如图2）．此时EF ⊥x 轴，点P 的横坐标为－4．所以△PDE 周长最小时，“好点”P 的坐标为(－4, 6)．图2 图3考点伸展第（3）题的11个“好点”是这样求的：如图3，联结OP ，那么S △PDE ＝S △POD ＋S △POE －S △DOE ．因为S △POD ＝1()32P OD x x ⋅-=-，S △POE ＝2111624P OE y x ⋅=-+，S △DOE ＝12，所以 S △PDE ＝21316124x x --+-＝21344x x --+＝21(6)134x -++．因此S 是x 的二次函数，抛物线的开口向下，对称轴为直线x ＝－6．如图4，当－8≤x ≤0时，4≤S ≤13．所以面积的值为整数的个数为10．当S ＝12时，方程21(6)13124x -++=的两个解－8, －4都在－8≤x ≤0范围内．所以“使△PDE 的面积为整数” 的 “好点”P 共有11个．图4例2 2017年昆明市中考第23题如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2＋bx －3（a ≠0）与x 轴交于A (－2, 0)、B (4, 0)两点，与y 轴交于点C ．（1）求抛物线的解析式；（2）点P 从点A 出发，在线段AB 上以每秒3个单位长度的速度向点B 运动，同时点Q 从点B 出发，在线段BC 上以每秒1个单位长度的速度向点C 运动．其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动．当△PBQ 存在时，求运动多少秒时△PBQ 的面积最大，最大面积是多少？（3）当△PBQ 的面积最大时，在BC 下方的抛物线上存在点K ，使S △CBK ∶S △PBQ ＝5∶2，求点K 的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“14昆明23”，拖动点P 从A 向B 运动，可以体验到，当P 运动到AB 的中点时，△PBQ 的面积最大．双击按钮“△PBQ 面积最大”，再拖动点K 在BC 下方的抛物线上运动，观察度量值，可以体验到，有两个时刻面积比为2.5．思路点拨1．△PBQ 的面积可以表示为t 的二次函数，求二次函数的最小值． 2．△PBQ 与△PBC 是同高三角形，△PBC 与△CBK 是同底三角形，把△CBK 与△PBQ 的比转化为△CBK 与△PBC 的比．满分解答（1）因为抛物线与x 轴交于A (－2, 0)、B (4, 0)两点，所以y ＝a(x ＋2)(x －4)．所以－8a ＝－3．解得38a =．所以抛物线的解析式为3(2)(4)8y x x =+-233384x x =--．（2）如图2，过点Q 作QH ⊥x 轴，垂足为H ．在Rt △BCO 中，OB ＝4，OC ＝3，所以BC ＝5，sin B ＝35．在Rt △BQH 中，BQ ＝t ，所以QH ＝BQ sin B ＝35t ．所以S △PBQ ＝211399(63)(1)2251010BP QH t t t ⋅=-⨯=--+．因为0≤t ≤2，所以当t ＝1时，△PBQ 的面积最大，最大面积是910。

人教版八年级数学下册期末复习专题在直角坐标系中求几何图形的面积(含答案)

人教版八年级数学下册期末复习专题训练——在直角坐标系中求几何图形的面积1.如图，四边形是矩形，点，在坐标轴上，是由绕点顺时针旋转得到的，点在轴上，直线交轴于点，交于点，线段＝2，＝4（1）求直线的解析式．（2）求的面积．2.直线a：y=x+2和直线b：y=﹣x+4相交于点A，分别与x轴相交于点B和点C，与y轴相交于点D和点E．（1）在同一坐标系中画出函数图象；（2）求△ABC的面积；（3）求四边形ADOC的面积；（4）观察图象直接写出不等式x+2≤﹣x+4的解集和不等式﹣x+4≤0的解集．3.如果两个一次函数y=k1x+b1和y=k2x+b2满足k1=k2，b1≠b2，那么称这两个一次函数为“平行一次函数”．已知函数y=﹣2x+4的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，一次函数y=kx+b 与y=﹣2x+4是“平行一次函数”（1）若函数y=kx+b的图象过点（3，1），求b的值；（2）若函数y=kx+b的图象与两坐标轴围成的面积是△AOB面积的，求y=kx+b的解析式．4.如图，10个边长为1的正方形如图摆放在平面直角坐标系中，经过原点的一条直线l将这10个正方形分成面积相等的两部分，求该直线l的解析式5.如图1，直线333+-=x y 分别与y 轴、x 轴交于点A 、点B ，点C 的坐标为(－3，0)，D 为直线AB 上一动点，连接CD 交y 轴于点E(1) 点B 的坐标为__________，不等式0333>+-x 的解集为___________(2) 若S △COE ＝S △ADE ，求点D 的坐标(3) 如图2，以CD 为边作菱形CDFG ，且∠CDF ＝60°．当点D 运动时，点G 在一条定直线上运动，请求出这条定直线的解析式.6.在直角坐标系中，一条直线经过A （﹣1，5），P （﹣2，a ），B （3，﹣3）三点．（1）求a 的值；（2）设这条直线与y 轴相交于点D ，求△OPD 的面积．7.如图，把Rt △ABC 放在直角坐标系内，其中∠CAB=90°，BC=10，点A 、B 的坐标分别为（2，0）、（8，0），将△ABC 沿x 轴向右平移，当点C 落在直线y=x ﹣5上时，求线段BC 扫过的面积8.已知：如图，已知直线AB 的函数解析式为y=﹣2x +8，与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ．（1）求A 、B 两点的坐标；（2）若点P （m ，n ）为线段AB 上的一个动点（与A 、B 不重合），作PE ⊥x 轴于点E ，PF ⊥y 轴于点F ，连接EF ，若△PAO 的面积为S ，求S 关于m 的函数关系式，并写出m 的取值范围；9. 如图,已知直线343+=x y 与坐标轴交于B,C 两点,点A 是x 轴正半轴上一点,并且15=∆ABC S .点F 是线段AB 上一动点(不与端点重合),过点F 作FE ∥x 轴,交BC 于E.(1) 求AB 所在直线的解析式;(2) 若FD ⊥x 轴于D,且点D 的坐标为)0,(m ,请用含m 的代数式,表示DF 与EF 的长;(3) 在x 轴上是否存在一点P,使得△PEF 为等腰直角三角形,若存在,请直接写出点P 的坐标,若不存在,请说明理由.10.如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y=﹣2x +a 与y 轴交于点C （0，6），与x 轴交于点B ．（1）求这条直线的解析式；（2）直线AD 与（1）中所求的直线相交于点D （﹣1，n ），点A 的坐标为（﹣3，0）．①求n 的值及直线AD 的解析式； ②求△ABD 的面积；③点M 是直线y=﹣2x+a 上的一点（不与点B 重合），且点M 的横坐标为m ，求△ABM 的面积S 与m 之间的关系式．11.已知一次函数的图象经过（1，1）和（﹣1，﹣5）．（1）求这个一次函数的表达式；（2）求这个一次函数的图象与x 轴、y 轴的交点坐标，并求出该图象与两坐标轴围成的三角形的面积．12.如图，边长为5的正方形OABC 的顶点0在坐标原点处，点A 、C 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，点E 是0A 边上的点(不与点A 重合)，EF ⊥CE ，且与正方形外角平分线AG交于点P．(1)求证：CE=EP；(2)若点E的坐标为(3，O)，在y轴上是否存在点M，使得四边形BMEP是平行四边形?若存在，求出点M的坐标：若不存在，说明理由．13.已知一次函数的图象经过（1，1）和（﹣1，﹣5）．（1）求这个一次函数的表达式；（2）求这个一次函数的图象与x轴、y轴的交点坐标，并求出该图象与两坐标轴围成的三角形的面积．14.直线AB与x轴交于点A(1，0)，与y轴交于点B(0，－2)．(1)求直线AB的解析式；(2)若直线AB上一点C在第一象限且点C的坐标为(2，2)，求△BOC的面积．15.在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx＋4(k≠0)与y轴交于点A.(1)如图，直线y＝－2x＋1与直线y＝kx＋4(k≠0)交于点B，与y轴交于点C，点B的横坐标为－1.①求点B的坐标及k的值；②直线y＝－2x＋1、直线y＝kx＋4与y轴所围成的△ABC的面积等于____________；(2)直线y＝kx＋4(k≠0)与x轴交于点E(x0，0)，若－2＜x0＜－1，求k的取值范围．16.如图，己知直线l：y=x+1（k≠0）的图象与x轴、y轴交于A、B两点.（1）直接写出A、B两点的坐标；（2）若P是x轴上的一个动点，求出当△PAB是等腰三角形时P的坐标；（3）在y轴上有点C（0，3），点D在直线l上.若△ACD面积等于4.请直接写出D的坐标.17.如图①所示，正方形ABCD的边长为6 cm，动点P从点A出发，在正方形的边上沿A→B →C→D运动，设运动的时间为t(s)，三角形APD的面积为S(cm2)，S与t的函数图象如图②所示，请回答下列问题：(1)点P在AB上运动的时间为________s，在CD上运动的速度为________cm/s，三角形APD的面积S的最大值为________cm2；(2)求出点P在CD上运动时S与t之间的函数解析式；(3)当t为何值时，三角形APD的面积为10 cm2?18.已知：如图，已知直线AB的函数解析式为y=﹣2x+8，与x轴交于点A，与y轴交于点B．（1）求A、B两点的坐标；（2）若点P（m，n）为线段AB上的一个动点（与A、B不重合），作PE⊥x轴于点E，PF ⊥y轴于点F，连接EF，若△PAO的面积为S，求S关于m的函数关系式，并写出m的取值范围；答案：1. （1）OC=4,BC=2,B(-2,4)，．设解析式为，．（2），．直线，．当，，，．2.（1）依照题意画出图形，如图所示．（2）令y=x+2中y=0，则x+2=0，解得：x=﹣2，∴点B（﹣2，0）；令y=﹣x+4中y=0，则﹣x+4=0，解得：x=4，∴点C（4，0）；联立两直线解析式得：，解得：，∴点A （1，3）．S △ABC =BC•y A =×[4﹣（﹣2）]×3=9．（3）令y=x +2中x=0，则y=2，∴点D （0，2）．S 四边形ADOC =S △ABC ﹣S △DBO =9﹣×2×2=7．（4）观察函数图形，发现：当x ＜1时，直线a 在直线b 的下方，∴不等式x +2≤﹣x +4的解集为x ≤1；当x ＞4时，直线b 在x 轴的下方，∴不等式﹣x +4≤0的解集为x ≥4．3.（1）∵一次函数y=kx +b 与y=﹣2x +4是“平行一次函数”，∴k=﹣2，即y=﹣2x +b ． ∵函数y=kx +b 的图象过点（3，1），∴1=﹣2×3+b ，∴b=7．（2）在y=﹣2x +4中，令x=0，得y=4，令y=0，得x=2，∴A （2，0），B （0，4），∴S △AOB =OA•OB=4．由（1）知k=﹣2，则直线y=﹣2x +b 与两坐标轴交点的坐标为（，0），（0，b ），于是有|b |•||=4×=1，∴b=±2，即y=kx +b 的解析式为y=﹣2x +2或y=﹣2x ﹣2．4.设直线l 和10个正方形的最上面交点为A ，过A 作AB ⊥OB 于B ，过A 作AC ⊥OC 于C ， ∵正方形的边长为1，∴OB=3，∵经过原点的一条直线l将这10个正方形分成面积相等的两部分，∴两边分别是5，∴三角形ABO 面积是7，∴OB•AB=7，∴AB=，∴OC=AB=，由此可知直线l 经过（，3），设直线方程为y=kx （k ≠0），则3=k ，解得k=∴直线l 解析式为y=x ．故答案为：y=x ．5.(1) (3，0)、x ＜3(2) ∵S △COE ＝S △ADE ∴S △AOB ＝S △CBD 即33321621⨯⨯=⨯⨯D y ，y D ＝233 当y ＝233时，23233333==+-x x ，∴D (23323，) (3) 连接CF ∵∠CDF ＝60°∴△CDF 为等边三角形连接AC ∵AB ＝AC ＝BC ＝6∴△ABC 为等边三角形∴△CAF ≌△CBD （SAS ）∴∠CAF ＝∠ACB ＝60°∴AF ∥x 轴设D (m ，333+-m )过点D 作DH ⊥x 轴于H ∴BH ＝3－m ，DB ＝6－2m ＝AF∴F (2m －6，33)由平移可知：G (m －9，m 3-)令⎪⎩⎪⎨⎧-=-=m y m x 39∴点G 在直线393--=x y 上6. （1）设直线的解析式为y=kx +b ，把A （﹣1，5），B （3，﹣3）代入，可得：{533=+--=+b k b k ，解得：，所以直线解析式为：y=﹣2x +3，把P （﹣2，a ）代入y=﹣2x +3中，得：a=7；（2）由（1）得点P 的坐标为（﹣2，7），令x=0，则y=3，所以直线与y 轴的交点坐标为（0，3），所以△OPD 的面积=．7.∵点A 、B 的坐标分别为（2，0）、（8，0），∴AB=6，∵∠CAB=90°，BC=10， ∴CA==8，∴C 点纵坐标为：8，∵将△ABC 沿x 轴向右平移，当点C 落在直线y=x ﹣5上时，∴y=8时，8=x ﹣5，解得：x=13，即A 点向右平移13﹣2=11个单位， ∴线段BC 扫过的面积为：11×8=88．故选：B ．8.（1）令x=0，则y=8，∴B （0，8），令y=0，则﹣2x +8=0，∴x=4，∴A （4，0），（2）∵点P （m ，n ）为线段AB 上的一个动点，∴﹣2m +8=n ，∵A （4，0），∴OA=4，∴0＜m ＜4∴S △PAO =OA ×PE=×4×n=2（﹣2m +8）=﹣4m +16，（0＜m ＜4） )3,0(30343)1(,9B y x x y 即时，中，当在==+= ∴OB=3同理OC=4 ∵15)(21=⋅+OB OA OC ,153)4(21=⨯+⨯OA ∴OA=6 即点A 的坐标为(6,0) 设AB 所在直线的解析式为y=kx+b⎩⎨⎧⎩⎨⎧=+=-==213063k b b k b 解得则∴AB 所在直线的解析式为 (2)在中,当,即DF= 在中,当m x m y 32,321-=+-=时 mm m EF 35)32(=--= (3)10.（1）∵直线y=﹣2x +a 与y 轴交于点C （0，6），∴a=6，∴该直线解析式为y=﹣2x +6 （2）①∵点D （﹣1，n ）在直线BC 上，∴n=﹣2×（﹣1）+6=8，∴点D （﹣1，8）设直线AD 的解析式为y=kx +b ，将点A （﹣3，0）、D （﹣1，8）代入y=kx +b 中，得：，解得：，∴直线AD 的解析式为y=4x +12．②令y=﹣2x +6中y=0，则﹣2x +6=0，解得：x=3，∴点B （3，0）．∵A （﹣3，0）、D （﹣1，8），∴AB=6．S △ABD =AB•y D =×6×8=24．③∵点M 在直线y=-2x+6上，∴M （m ，-2m+6），时，即S=6m-18．11. （1）设函数解析式为y=kx +b ，由题意将两点代入得：{15=+-=+-b k b k ，解得：{32=-=k b ．∴一次函数的解析式为：y=3x ﹣2；（2）令y=0，得x=32，令x=0，得y=﹣2， 3232221=⨯⨯=∴s 12．（1）在OC 上截取OK =OE .连接EK .∵OC =OA ，∠1=90°，∠OEK =∠OKE =45°，∵AP 为矩形外角平分线，∴∠BAP =45°∴∠EKC =∠PAE =135°.∴CK =EA .∵EC ⊥EP ，∴∠3=∠4.∴△EKC ≌△PAE . ∴EC =EP （2）y 轴上存在点M ，使得四边形BMEP 是平行四边形.如图，过点B 作BM ∥PE 交y 轴于点M ，∴∠5=∠CEP =90°，∴∠6=∠ 4.在△BCM 和△COE 中，⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠,,,46C O E B C M OC BC ∴△BCM ≌△COE ，∴BM =CE 而CE =EP ，∴BM =EP .由于BM ∥EP ，∴四边形BMEP是平行四边形由△BCM ≌△COE 可得CM =OE =3，∴OM =CO -CM =2.故点M 的坐标为（0，2）.13.（1）设函数解析式为y=kx +b ，由题意将两点代入得：，解得：．∴一次函数的解析式为：y=3x ﹣2；（2）令y=0，得x=，令x=0，得y=﹣2，∴S=×2×=．14.(1)设直线AB 的解析式为y ＝kx ＋b(k ≠0)．将A(1，0)，B(0，－2)代入解析式，得⎩⎪⎨⎪⎧k ＋b ＝0，b ＝－2.解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，b ＝－2.∴直线AB 的解析式为y ＝2x －2.(2)S △BOC ＝12×2×2＝2.15.（1）32 当x ＝－1时，y ＝－2×(－1)＋1＝3，∴B(－1，3)．将B(－1，3)代入y ＝kx ＋4，得k ＝1.(2)y ＝kx ＋4与x 轴的交点为(－4k ，0)，∵－2＜x 0＜－1，∴－2＜－4k＜－1，(1)解得2＜k＜4.16.（1）当y=0时，x+1=0，解得x=﹣2，则A（﹣2，0），当x=0时，y=x+1=1，则B（0，1）；（2）AB==，当AP=AB时，P点坐标为（﹣，0）或（，0）；当BP=BA时，P点坐标为（2，0）；当PA=PB时，作AB的垂直平分线交x轴于P，连结PB，如图1，则PA=PB，设P（t，0），则OA=t+2，OB=t+2，在Rt△OBP中，12+t2=（t+2）2，解得t=﹣，此时P点坐标为（﹣，0）；（3）如图2，设D（x，x+1），当x＞0时，∵S△ABC+S△BCD=S△ACD，∴•2•2+•2•x=4，解得x=2，此时D点坐标为（2，2）；当x＜0时，∵S△BCD﹣S△ABC=S△ACD，∴•2•（﹣x）﹣•2•2=4，解得x=﹣6，此时D点坐标为（﹣6，﹣2），综上所述，D点坐标为（2，2）或（﹣6，﹣2）.故答案为（﹣2，0），（0，1）；（2，2）或（﹣6，﹣2）.17.略18.（1）令x=0，则y=8，∴B（0，8），令y=0，则﹣2x+8=0，∴x=4，∴A（4，0），（2）∵点P（m，n）为线段AB上的一个动点，∴﹣2m+8=n，∵A（4，0），∴OA=4，∴0＜m＜4∴S△PAO=OA×PE=×4×n=2（﹣2m+8）=﹣4m+16，（0＜m＜4）第11 页共11 页。

数学人教版八年级下册一次函数中三角形的面积问题

课题：一次函数中的三角形面积问题学科：数学年级：初二时间：姓名：学习目标（一）知识技能：会在直角坐标系中利用一次函数的图象解决与一次函数相关的三角形的面积问题。

（二）数学思考：通过探索与一次函数相关的面积问题的解法，提升一次函数的应用的能力，体会“数形结合思想” “方程思想”、“转化思想”。

（三）问题解决：能综合运用一次函数图象、性质解决函数面积的相关问题，形成解决问题的一些基本策略。

（四）情感与态度：在探究函数面积的活动中，通过一系列富有探究性的问题，形成与他人交流、合作的意识和探究精神。

重点、难点（一）重点：一次函数的图象与坐标轴所形成的三角形面积的求法．（二）难点：利用一次函数的图象与坐标轴所形成的三角形面积确定函数解析式。

教学方法讲练结合，自主探究，小组讨论等教学过程一、课前小测：1、点),(y x P 到x 轴的距离是，到y 轴的距离是。

2、直线y=kx+b 分别交x 轴、y 轴于点A 、B ，则点A 的坐标为，点B 的坐标为。

3、如图，在同一平面直角坐标系中，直线l 1：y=2x 与l 2：y=-x+1相交于点C ，则C 点坐标为 . 二、新知探究探究一：一条直线与两坐标轴围成的三角形面积问题问题1：已知直线y=kx-6与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，且△AOB 的面积是9，求k 的值.总结归纳：第3题一次函数y =k x +b 的图象过点A(3,0)且与两坐标轴围成的三角形的面积是9，求该一次函数的解析式.探究二、两条直线与一坐标轴围成的三角形的面积问题问题2、求直线y=2x-6和直线y =-2x +2与x 轴围成的三角形的面积.变式训练：求直线y=2x-6和直线y =-2x +2与y 轴围成的三角形的面积.拓展练习已知直线l 1： y=2x-6和直线l 2： y =k x +b(k<0)交于点（2，-2）,两直线与x 轴围成的三角形的面积2,求直线l 2的解析中考链接：如图，直线y=-x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C在x轴上，且BC=BA，过C的直线与y 轴交于点D，与线段AB交于点E.求使△OCD与△BDE面积相等时的直线CE的解析式。

图形运动产生的面积问题(二)(含答案)

学生做题前请先回答以下问题问题1：图形运动产生的面积问题的处理思路是什么？1．___________________________．2．分析运动过程，分段，定范围．（需关注四要素）①__________________________；②____________——确定分段，状态转折通常是边与顶点碰撞的时刻；③____________——明确方向．3．___________________________．图形运动产生的面积问题（二）一、单选题(共5道，每道20分)1.如图，直线与x轴交于点C，与y轴交于点A，点B的坐标为，E为线段OC上一动点，以OE为边在第一象限内作正方形OEFG．（1）当正方形的顶点F恰好落在线段AC上时，线段OE的长为( )A.1B.2C.3D.4答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：图形运动产生的面积问题2.（上接第1题）（2）将（1）中的正方形OEFG沿OC向右平移，记平移中的正方形OEFG 为正方形DEFG，当点E和点C重合时停止运动．设平移的距离为t，当正方形DEFG与△ABC 重叠的部分为五边形时，重叠部分的面积S与平移距离t之间的函数关系式及自变量t的取值范围是( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：图形运动产生的面积问题3.如图，直线与直线交于点C，分别与x轴交于点A，B．矩形DEFG的顶点D，E分别在直线上，顶点F，G均在轴上，且点G与点B重合．（1）矩形DEFG的边DE与EF的长分别为( )A.4，8B.8，4C.3，6D.6，3答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：图形运动产生的面积问题4.（上接第3题）（2）若矩形DEFG从点G与点B重合的位置出发，沿x轴的负方向以每秒1个单位长度的速度平移，设移动的时间为t秒，矩形DEFG与△ABC重叠部分的面积为S，要求S与t之间的函数关系式，需分_____种情况来考虑，时间段的划分为______．( )A.3；，，B.3；，，C.2；，D.2；，答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：图形运动产生的面积问题5.（上接第3，4题）（3）试求在第一段中，S与t之间的函数关系式为( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：图形运动产生的面积问题学生做题后建议通过以下问题总结反思问题1：在第2题中，分析运动过程时，如何根据图形的运动找碰撞点？问题2：想一想，将碰撞点及碰撞时刻标注在线段图上有什么用处？。

八年级数学一次函数之面积问题(与坐标轴围成的面积)(人教版)(综合)(含答案)

一次函数之面积问题（与坐标轴围成的面积）（人教版）（综合）一、单选题(共10道，每道10分)1.直线y=2x-4与坐标轴围成的三角形的面积是( )A.2B.4C.8D.16答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：略2.直线y=-2x+4和直线y=x-2与y轴围成的三角形的面积是( )A.6B.8C.10D.12答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：略3.直线y=kx+3与坐标轴所围成的三角形面积为6，则k的值为( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：略4.已知一次函数的图象过点（0，2），且与两坐标轴围成的三角形面积为2，则一次函数的表达式为( )A.y=x+2B.y=-x+2C.y=x+2或y=-x+2D.y=-x+2或y=x-2答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：略5.已知一次函数的图象过点(3，0)，且与两坐标轴围成的三角形面积为3，则一次函数的表达式为( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：略6.已知一次函数y=kx+b的图象经过点B(0，10)，且与正比例函数y=2x的图象相交于点A(2，a)，则这两个函数图象与y轴所围成的三角形的面积是( )A.5B.10C.20D.40答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：略7.已知一次函数y=kx+b的图象经过点(3，-3)，且与直线y=4x-3的交点在x轴上，则此函数的图象与坐标轴围成的三角形的面积为( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：略8.已知一次函数和的图象都经过点A(2，0)，且与y轴分别交于B，C两点，则△ABC的面积是( )A.1B.2C.4D.8答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：略9.若直线y=kx+b与直线y=4x平行，且直线y=kx+b与两坐标轴围成的三角形的面积为2，则直线y=kx+b与x轴的交点坐标是( ).A.(1，0)B.(1，0）或(-1，0)C.(2，0)D.(2，0）或(-2，0)答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：略10.若直线y=2x+b与直线y=-2x的函数图象相交于一点，且两条直线与y轴围成的三角形面积是4，则直线y=2x+b与x轴的交点坐标是( )A.(，0)B.(0，)，(0，)C.(0，)D.(，0)，(，0)答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：略。

中考数学——图形运动产生的面积问题(学案)

l图形运动产生的面积问题（学案）➢ 课前预习按要求解决下列问题：如图，正方形ABCD 的边长为5cm ，在等腰Rt △EFG 中，∠EFG =90°，FG =4cm ，且点F ，G ，B ，C 都在直线l 上．△EFG 从点G 与点B 重合的位置开始，以1cm/s 的速度沿直线l 按图中箭头所示的方向作匀速直线运动，到点F 与点C 重合时停止运动．设移动时间为t 秒，△EFG 与正方形ABCD 重叠部分的面积为S ，尝试画出运动状态分析图，并求出当5≤t ≤9时，S 关于t 的函数关系式．要求：①画运动通道，找碰撞点，计算碰撞时t 的值碰撞点碰撞时t 的值 G （B ） t =0 G （C ） _______， F （B ） _______， F （C ） _______， E （AB ） _______， E （CD ） _______，②根据上述碰撞点对应的碰撞时刻，画出运动状态分析图③画出对应图象④表达后，求解S 关于t 的函数关系式➢ 知识要点1. 研究背景图形．2. 分析运动过程，分段，定范围．（需关注四要素）①根据起始位置、终止位置、速度，确定t 的范围； ②状态转折点——确定分段，状态转折通常是边与顶点碰撞的时刻；③所求目标——明确方向．3. 分段画图，表达，分析形成因素，求解验证．E (N )DFGM C BAQPN E DF G M CBA ➢ 例题精讲1. 如图，在平行四边形ABCD 中，AB =12，BC =6，AD ⊥BD ．以AD 为斜边，在平行四边形ABCD 的内部作Rt △AED ，其中 ∠EAD =30°，∠AED =90°．（1）求△AED 的周长；（2）若△AED 以每秒2个单位长度的速度沿DC 向右平行移动，得到△A 0E 0D 0，当A 0D 0与BC 重合时停止移动．设移动时间为t 秒，△A 0E 0D 0与△BDC 重叠部分的面积为S ，请求出S 与t 之间的函数关系式，并写出t 的取值范围．EDCBAA BCD2. 已知，在矩形ABCD 中，E 为BC 边上一点，AE ⊥DE ，AB =12，BE =16，F 为线段BE 上一点，EF =7，连接AF ．如图1，现有一张硬质纸片△GMN ，∠NGM =90°，NG =6，MG =8，斜边MN 与边BC 在同一直线上，点N 与点E 重合，点G 在线段DE 上．如图2，△GMN 从图1的位置出发，以每秒1个单位长度的速度沿EB 向点B 匀速移动，同时点P 从点A 出发，以每秒1个单位长度的速度沿AD 向点D 匀速移动，点Q 为直线GN 与线段AE 的交点，连接PQ ．当点N 到达终点B 时，△GMN 和点P 同时停止运动．设运动时间为t 秒，解答下列问题：（1）在整个运动过程中，当点G 在线段AE 上时，求t 的值．（2）在整个运动过程中，是否存在点P ，使△APQ 是等腰三角形？若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由．（3）在整个运动过程中，设△GMN 与△AEF 重叠部分的面积为S ．请直接写出S 与t 之间的函数关系式以及自变量t 的取值范围．3. 如图，在△ABC中，∠C =90°，AC =8cm ，BC =6cm ，点P ，Q同时从点C 出发，以1cm/s的速度分别沿CA ，CB 匀速运动，当点Q 到达点B 时，P ，Q 两点同时停止运动．过点PBl RQPQ'C AACB 作AC 的垂线l 交AB 于点R ，连接PQ ，RQ ，并作△PQR 关于直线l 对称的图形，得到△PQ'R ．设点Q 的运动时间为t （s ），△PQ'R 与△P AR 重叠部分的面积为S （cm 2）．（1）当t 为何值时，点Q'恰好落在AB 上？（2）求S 与t 之间的函数关系式，并写出t 的取值范围．4. 如图，在△ABC 中，∠A =90°，AB =2cm ，AC =4cm ，动点P 从点A 出发，沿AB 方向以1cm/s 的速度向点B 运动，动点Q 从点B 同时出发，沿BA 方向以1cm/s 的速度向点A 运动．当点P 到达点B 时，P ，Q 两点同时停止运动．以AP 为边向上作正方形APDE ，过点Q 作QF ∥BC ，交AC 于点F ．设点P 的运动时间为t （s ），正方形APDE 和梯形BCFQ 重叠部分的面积为S （cm 2）．（1）当t =________s 时，点P 与点Q 重合；（2）当t =________s 时，点D 在QF 上；（3）当点P 在Q ，B 两点之间（不包括Q ，B 两点）时，求S 与t 之间的函数关系式．CBA【参考答案】 ➢ 课前预习分析图略；59t ≤≤时，219522S t t =-+-．➢ 精讲精练1. （1）9+（2）22230 239(6) 622296 2t S t t t ⎪⎪⎪=--+<⎨⎪⎪+-<⎪⎪⎩≤≤≤≤（）（）（）．2. （1）t =10；（2）存在，1009t =或253t =或80057t =；（3）22226 07 2571449 710 7533171(7)24 10 35671(17) 6 75≤≤≤≤≤1（）（）（）（）t t t t t S t t t t ⎧⎪⎪⎪-+-<⎪=⎨⎪--+<⎪⎪⎪-<⎩． 3. （1）125t =．（2）223123 0 85912(8) 6 565t t t S t t ⎧-+<⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩≤≤（）（）．4. （1）1；（2）45；（3）22942 1 4394108 2 43≤（）（）t t t S t t t ⎧-<⎪⎪=⎨⎪-+-<<⎪⎩．。

武汉市七一中学八年级数学专题——面积问题(含答案)

武汉市七一中学八年级数学专题——面积问题（含答案）平面几何学的产生起源于人们对土地面积的测量，面积是平面几何中一个重要的概念，联系着几何图形中的重要元素边与角．计算图形的面积是几何问题中一种常见问题，求面积的基本方法有：1．直接法：根据面积公式和性质直接进行运算．2．割补法：通过分割或补形，把不规则图形或不易求解的问题转化为规则图形或易于求解的问题．3．等积法：根据面积的等积性质进行转化求解，常见的有同底等高、同高等底和全等的等积转化．4．等比法：将面积比转化为对应线段的比．熟悉以下基本图形中常见的面积关系：注等积定理：等底等高的两个三角形面积相等．等比定理：(1)同底(或等底)的两个三角形面积之比等于对应高之比，同高(或等高)的两个三角形面积之比等于对应底之比； (2)相似三角形面积之比等于对应线段的平方比．例题求解【例1】在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AC 、BD 相交于点O ，若AC=5，BD=12，中位线长为213，△AOB 的面积为S 1，△COD 的面积为S 2，则21S S += ．(山东省竞赛题)思路点拨本例综合了梯形、面积等丰富的知识，图形中有重要面积的关系：S △AOD =S △BOC =21S S ，S梯形ABCD=S 1+S 2+212S S =221)(S S +(读者证明)，于是将问题转化为求梯形ABCD 的面积．【例2】如图，在△ABC 中，已知BD 和CE 分别是两边上的中线，并且BD ⊥CE ，BD ＝4，CE=6，那么△ABC 的面积等于( ) A ．12 B ．14 C ．16 D ．18 (全国初中数学联赛试题)思路点拨由中点想到三角形中位线，这样△ABC与四边形BCDE 面积存在一定的关系，只要求出四边形BCDE面积即可．【例3】如图，P、Q是矩形ABCD的边BC和CD延长线上的两点，AP与CQ相交于点E，且∠PAD=∠QAD，求证：S矩形ABCD=S△APQ． (重庆市竞赛题)思路点拨把面积用相应的线段表示，面积的证明问题就转化为线段的等积式的证明．注意等线段的代换．【例4】如图甲，AB、CD是两条线段，M是AB的中点，S△DMC、S△DAC、S△DBC分别表示△DMC、△DAC、△DBC的面积，当AB∥CD时，有S△DMC =2DBCDAC SS∆∆+·(1)如图乙，若图甲中AB不平行CD，①式是否成立?请说明理由；(2)如图丙，若图甲中A月与CD相交于点O时，问S△DMC和S△DAC和S △DBC有何种相等关系?试证明你的结论． (安徽省中考题)思路点拨对于(1)，因△DMC 、△DAC 、△DBC 同底，要判断①式是否成立，只需寻找它们的高之间的关系：对于(2)，由于M 为AB 中点，可利用等积变换得到相等的面积关系，通过建立含S △DMC 、S △DAC 、S △DBC 的等式寻找它们的关系．注本例综合了三角形、梯形中位线、等积变形等知识，要求我们在动态型数学情景下进行观察、分析、探索、猜想和论证．通过强化或弱化条件，改变图形的位置等方式进一步探究问题是发展几何问题的重要途径．【例5】如图，设P 为△ABC 内任意一点，直线AP 、BP 、CP 交BC 、CA 、AB 于点D 、E 、F ．求证：（1）1=++CFPF BEPE ADPD ；（2）2=++CFPC BEPB ADPA ．思路点拨过P点、A点分别作BC的垂线，这样既可得到平行线，产生比例线段，又可与面积联系起来，把羔转化为面积比，利用面积法证明．注有些几何问题，虽然题目中没有直接涉及面积，但由于面积关联着边角两个重要元素，所以我们可从面积角度思考问题，这就是常说的面积法．用面积法解题的基本步骤是：(1)用不同方法或从不同角度计算某一图形面积，得到一个含边或舍角的关系式．(2)化简这个面积关系式，直至得到求解或求证的结果．当问题涉及三角形的高、垂线或角平分线时，不妨用面积法试一试．学力训练1．如图，是一个圆形花坛，中间的鲜花构成了一个菱形图案(图中尺寸单位为米)，如果每平方米种植鲜花20株，那么这个菱形图案中共有鲜花株．(第14届“希望杯”邀请赛试题)2．如图，矩形内有两个相邻的正方形面积分别为4和2，那么阴影部分的面积为．(2003年上海市中考题)3．如图，在△ABC 中，∠B=∠CAD ，23=ACBD ，则CADABD S S ∆∆= ．(重庆市竞赛题)4．如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝a ，CD=b(a<b)，对角线AC 与BD 相交于O ，△BOC 的面积为梯形ABCD 的面积的92，则ba = ．5．如图，在四边形ABCD 中，∠A ＝135°，∠B=∠D=90°，BC=23，AD=2，则四边形ABCD 的面积为( ) A ．42B ．43C ．4D ．6 (湖北省荆州市中考题)6．ABCD 是边长为1的正方形，△BPC 是等边三角形，则厶BPD 的面积为( ) A ．41 B ．413- C ．81 D ．8132- (武汉市选拔赛题)7．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AC、AB为边，在△ABC 外作正方形ACEF和正方形AGHB，作CK⊥AB分别交AB和GH于D和K，则正方形ACEF的面积S1与矩形AGKD的面积S2的大小关系为( )AC的大 A．S1=S2 B．S1＞S2 C．S1＜S2 D．不能确定，与AB小有关(2002年8．有一块缺角矩形地皮ABCDE(如图)，其中AB＝110m，BC=80m，CD=90m，∠EDC=135°．现准备用此块地建一座地基为长方形(图中用阴影部分表示)的教学大楼，以下四个方案中，地基面积最大的是( )(2003年广州市中考题)9．今有一块正方形土地，要在其上修筑两条笔直的道路，使道路将这块土地分成形状相同且面积相等的4部分．若道路的宽度可忽略不计，请设计4种不同的修筑方案．(2000年山东省竞赛题)10．如图，已知梯形ABCD的面积为34cm2，AE=BF，CE与DF相交于O，△OCD的面积为11cm2，求蝶形(阴影部分)的面积．11．探究规律：如图a，已知：直线m∥ n，A、B为直线n上两点，C、P为直线m 上两点．(1)请写出图a中，面积相等的各对三角形；(2)如果A、B、C为三个定点，点P在m上移动，那么，无论P点移动到任何位置，总有与△ABC的面积相等．理由是：．解决问题：如图b，五边形ABCDE是张大爷十年前承包的一块土地的示意图．经过多年开垦荒地，现已变成如图c所示的形状，但承包土地与开垦荒地的分界小路(即图c中折线CDE)还保留着．张大爷想过正点修一条直路，直路修好后，要保持直路左边的土地面积与承包时的一样多，右边的土地面积与开垦的荒地面积一样多．请你用有关的几何知识，按张大爷的要求设计出修路方案．(不计分界小路与直路的占地面积)(1)写出设计方案，并在图c 中画出相应的图形； (2)说明方案设计理由． (河北省中考题)12．如图，△ABC 中，AD 与BE 相交于F ，已知S △AFB =12cm 2，S △BFD =9cm 2，S △AFE =6cm 2，那么四边形CDFE 的面积为 cm 2．(我爱数学夏令营竞赛题)13．如图，分别延长△ABC 的三边AB 、BC 、CA 至A ′、B ′、C ′，使得AA ′=3AB ，BB ′=3BC ，CC ′=3AC ，若S △ABC =1，则S △A'B'C'= ． 14．如图，设△ABC 的面积是1，D 是边BC 上一点，且21 DCBD ，若在边AC 上取一点，使四边形ABDE 的面积为54，则ECAE 的值为． (天津市竞赛题)15．如图，从等边三角形内一点向三边作垂线，已知这三条垂线段的长分别为1、3、5，则这个等边三角形的边长为． (全国初中数学联赛试题)16．如图，E 、F 分别是矩形ABCD 的边AB 、BC 的中点，连结AF 、CE ，设AF 与CE 的交点为G ，则ABCDAGCD S S 矩形四边形等于( )A ．65 B ．54 C ．43 D ．32 (全国初中数学竞赛题)17．如图，AE ⊥AB 且AE ＝AB ，BC ⊥CD 且BC=CD ，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积S 是( ) A ．50 B ．62 C ．65 D ．68 (山东省竞赛题)18．如图，在△ADC 中，EF ∥BC ，S △AEF =S △BCE ，若S △ABC =1，则S △CEF 等于( )A ．41 B ．51 C ．25- D ．233-(四川省竞赛题)19．已知菱形ABCD 的两条对角线AC 、BD 的乘积等于菱形的一条边长的平方，则菱形的一个钝角的大小是( )A ．165° D ．135° C ． 150° D ．120° (“希望杯”邀请赛试题)20．如图，在锐角△ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA边上的三等分点，P、Q、R分别是△ADF、△BDE、△CEF的三条中线的交点．(1)求△DEF与△ABC的面积比；(2)求△PDF与△ADF的面积比；(3)求多边形PDQERF与△ABC的面积比．( “希望杯”邀请赛试题)21．如图，设凸四边形ABCD的一组对边AB、CD的中点分别为K、M，求证：S四边形ABCD=S△ABM+S△DCK．22．如图，已知D、E、F分别是锐角△ABC的三边BC、CA、AB上的点，且AD、BE、CF相交于P点，AP=BP=CP=6，设PD =x，PE=y，PF=z，若xy+yz+ z x=28，求xyz的值．23．如图，在△ABC中是否存在一点P，使得过P点的任意一直线都将△ABC分成等积的两部分?为什么?24．如图，以△ABC的三边为边向形外分别作正方形ABDE，CAFG，BCHK，连结EF，GH，KD，求证：以EF，GH，KD为边可以构成一个三角形，并且所构成的三角形的面积等于△ABC 面积的3倍． (北京市竞赛题)思考如图，设G(也称重心)为△ABC 三条中线AD 、BE 、CF 的交点，则2===GFCG GE BG GD AG ，请读者证明．。

八年级(下)数学同步讲义动点产生的面积问题(解析版)

运动变化题是随着图形的某一元素的运动变化，导致问题的结论改变或者保持不变的几何题，它揭示了“运动”与“静止”、“一般”与“特殊”的内在联系．解题的关键是分清几何元素运动的方向和捷径，注意在运动过程中哪些是变量，哪些不是变量，通常要根据几何元素所处的不同位置加以分类讨论，同时，综合运用勾股定理、方程和函数等知识，本节课的内容涉及三角形、特殊的四边形的面积问题．本节主要是在函数背景下求三角形或四边形的面积问题，较复杂的题目可以采取“割补”的思想构造较简单的图形进行求解．动点产生的面积问题内容分析知识结构模块一：面积计算的问题知识精讲2 / 30xy12QPAOCBxyAOB【例1】如图，已知直线l ：22y x =-+与x 轴、y 轴分别交于点B 、C ，将直线y=x向上平移1个单位长度得到直线P A ，点Q 是直线P A 与y 轴的交点，求四边形PQOB 的面积．【答案】65．【解析】由题意可得：直线P A 的解析式为1+=x y令⎩⎨⎧+-=+=221x y x y ，解得：⎪⎩⎪⎨⎧==3431y x ，则⎪⎭⎫ ⎝⎛3431，P ．∵点Q 是直线P A 与y 轴的交点， ∴()01Q ，． ∵直线l ：22y x =-+与x 轴、y 轴分别交于点B 、C ， ∴B （1，0），C （0，2）． ∴65311211221=⨯⨯-⨯⨯=-=CPQ COB PQOB S S S △△四边形．【总结】考察四边形面积的求法，不规则图形的面积用割补法来解决．【例2】如图，已知直线AB ：2y x =+与直线OA ：13y x =交于点A ，与直线OB ：3y x =交于点B 两点．求△AOB 的面积．【答案】4．【解析】令⎪⎩⎪⎨⎧=+=x y x y 312，解得：⎩⎨⎧-=-=13y x ，则()31A --，．令⎩⎨⎧=+=x y x y 32，解得：⎩⎨⎧==31y x ，则()13B ，．设直线AB 与x 轴相交于C ，则C （－2，0），∴412213221=⨯⨯+⨯⨯=+=OCB OAC OAB S S S △△△．【总结】考察三角形面积的求法，不能直接求面积则用割补法来解决，注意交点坐标的求法．例题解析【例3】如图，已知直线3y x =+的图像与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，直线l 经过原点，与线段AB 交于点C ，把△AOB 的面积分为2：1两部分，求直线l 的解析式．【答案】2y x =-或x y 21-=．【解析】∵直线3y x =+的图像与x 轴、y 轴分别交于∴A （－3，0），B （0，3），∴293321=⨯⨯=OAB S △．当OBA OBCS S △△32=时，则2932321⨯=⨯⨯C y ，则2=C y ， ∵C 点在直线AB 上，∴C （－1，2），则直线l 的解析式为：2y x =-；当OBA OBC S S △△31=时，则2931321⨯=⨯⨯C y ，则1=C y ， ∵C 点在直线AB 上，∴C （－2，1），则直线l 的解析式为：x y 21-=．综上直线l 的解析式为2y x =-或x y 21-=．【总结】考察面积的求法，本题中要注意分类讨论．4 / 30【例4】如图，已知，在矩形ABCD 中，AB =10，BC =12，四边形EFGH 的三个顶点E 、F 、H 分别在矩形ABCD 边AB 、BC 、DA 上，AE =2．（1）如图1，当四边形EFGH 为正方形时，求△GFC 的面积；（2）如图2，当四边形EFGH 为菱形，且BF =a 时，求△GFC 的面积．（用含a 的代数式表示）【解析】（1）过点G 作GM ⊥BC 于M ．∵四边形EFGH 为正方形时，∴︒=∠+∠90BEF AEH ∵︒=∠+∠90AHE AEH ，∴BEF AHE ∠=∠ ∵BEF AHE ∠=∠，B A ∠=∠，EF EH =， ∴BEF AHE ≌△△同理可知：BEF MFG ≌△△ ∴2===AE BF GM∴10=-=BF BC FC ，则10=GFC S △；（2）过点G 作GM ⊥BC 于M ，连接HF ∵AD ∥BC ，∴MFH AHF ∠=∠ ∵EH ∥FG ，∴GFH EHF ∠=∠ ∴MFG AHE ∠=∠∵MFG AHE ∠=∠，GMF A ∠=∠，GF EH =， ∴MFG AHE ≌△△∴2==AE GM∴()a a GM FC S GFC -=⨯-=⋅=122122121△．【总结】本题主要考察菱形、正方形的性质和全等三角形的判定和性质．A BCDEF 图1GHABCDE F 图2GHMM【例5】如图1，正方形ABCD 的边长为2，点A (0， 1)和点D 在y 轴正半轴上，点B 、C 在第一象限，一次函数y ＝kx ＋2的图像l 交AD 、CD 分别于E 、F ．（1）若△DEF 与△BCF 的面积比为1∶2，求k 的值；（2）联结BE ，当BE 平分∠FBA 时，求k 的值．【答案】（1）1=k ；（2）2=k ．【解析】（1）∵正方形ABCD 的边长为2，点A (0， 1)和点D 在y 轴正半轴上，点B 、C 在第一象限， ∴B (2， 1)，C (2， 3)，D (0， 3)．∵一次函数y ＝kx ＋2的图像l 交AD 、CD 分别于E 、F ， ∴E (0， 2)．设F (m ， 3)，∵△DEF 与△BCF 的面积比为1∶2， ∴()212221121=⨯-⨯⋅m m ，解得：1=m ，∴F (1， 3) ∵F (1， 3)在直线y ＝kx ＋2上，∴1=k ；（2）延长BE 交CD 的延长线于H ， ∵BE 平分∠FBA ，∴ABE FBE ∠=∠∵CD ∥AB ，∴ABE H ∠=∠，∴FBE H ∠=∠，∴FB=HF ∵AE =1，DE=1，∴AE=DE∵AE=DE ，BAE HDE ∠=∠，BEA HED ∠=∠ ∴△HED ≌△BEA∴HD=AB =2，∴H (－2， 3) 设F (n ， 3) ∵FB=HF ，∴()22222+=+-n n ，解得：21=n ， ∴F (21， 3) ∵F (21， 3)在直线y ＝kx ＋2上， ∴2=k ．【总结】考察等腰三角形的性质和两点之间的距离公式的运用，注意点的坐标与解析式的关系．ABCD EFxyOH6 / 30【例6】如图，在平面直角坐标系中，函数y ＝2x ＋12的图像分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点，过点A 的直线交y 轴正半轴于点M ，且点M 为线段OB 的中点．（1）求直线AM 的表达式；（2）试在直线AM 上找一点P ，使得S △ABP ＝S △AOB ，请求出点P 的坐标；（3）若点H 为坐标平面内任意一点，是否存在点H ，使以A 、B 、M 、H 为顶点的四边形是等腰梯形?若存在，请直接写出点H 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）6+=x y ；（2）P (6， 12)或P (－18，－12)；（3）H (－12， 0)或H (－6， 18)或H (56-， 518)．【解析】（1）∵函数y ＝2x ＋12的图像分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点，∴A (－6， 0)，B (0， 12)∵点M 为线段OB 的中点， ∴M (0， 6)，则直线AM 的表达式为6+=x y ；（2）当点P 在AM 的延长线上时∵S △ABP ＝S △AOB ，∴OP ∥AB ，则可知直线OP 的表达式为x y 2=． ∵P 在直线AM 上，∴令⎩⎨⎧+==62x y x y ，解得：⎩⎨⎧==126y x ， ∴P (6， 12)；当P 在AM 的反向延长线上时，过P 点作PN ⊥OB ，垂足为H 设P (n ， n+6)∵AONP ABO BPN ABP S S S S 梯形△△△--=， S △ABP ＝S △AOB ，()()()()1262166621126216621⨯⨯=--⨯--⨯-⨯⨯----⋅n n n n ，解得：18-=n ，则P (－18，－12)．（3）存在点H ，使以A 、B 、M 、H 为顶点的四边形是等腰梯形．若以AM 为底，BM 为腰，过点B 作AM 的平行线，当点H (－12， 0)时，以A 、B 、M 、H 为顶点的四边形是等腰梯形；若以BM 为底，AM 为腰，过点A 作BM 的平行线，当点H (－6， 18)时，以A 、B 、M 、H 为顶点的四边形是等腰梯形；若以AB 为底，BM 为腰，过点M 作AB 的平行线，当点H (56-， 518)时，以A 、B 、M 、H 为顶点的四边形是等腰梯形．【总结】本题综合性较强，本题一方面考察面积的确定，另一方面考察等腰梯形的性质和分类讨论．ABOMxy【例7】如图1，已知直角坐标平面内点A (2, 0)，P 是函数y ＝x （x ＞0）图像上一点，PQ ⊥AP 交y 轴正半轴于点Q ．（1）试证明：AP ＝PQ ；（2）设点P 的横坐标为a ，点Q 的纵坐标为b ，那么b 关于a 的函数关系式是_______；（3）当S △AOQ ＝23S △APQ 时，求点P 的坐标．【答案】（1）见解析；（2）22-=a b ；（3）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--255255，P 或⎪⎪⎭⎫⎝⎛++255255，P ．【解析】（1）过P 作x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为H 、T ，∵P 是函数y ＝x （x ＞0）图像上一点 ∴PH=PT ，PH ⊥PT∵PQ ⊥AP ，∴QPT APH ∠=∠∵QPT APH ∠=∠，PH=PT ，QTP AHP ∠=∠ ∴△PHA ≌△PTQ ∴AP ＝PQ ；（2）由（1）可得：TQ a AH =-=2 ∵OH OT TQ OQ ==+， ∴a a b =-+2，即22-=a b ；（3）设()P a a ，， ∵2221-=⋅⋅=a OQ OA S AOQ △，222122+-==a a AP S APQ △， ∴()2232222+-=-a a a ，解得：255±=a ． ∴⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--255255，P 或⎪⎪⎭⎫⎝⎛++255255，P ．【总结】本题主要考察全等的运用，及三角形面积的求法，注意利用面积公式确定点的坐标．P QAy O x8 / 30本节主要研究点在运动的背景下，产生的面积与动点之间的关系，关键点是找出决定这个面积变化的几个量是怎样变化的，重点在于思维能力的培养，难度较大．【例8】如图，矩形ABCD 中，AB =1，AD =2，M 是CD 的中点，点P 在矩形的边上沿A B C M →→→运动，试写出△APM 的面积y 与点P 经过的路程x 之间的函数关系，写出定义域，并画出函数图像．【解析】当P 在AB 上运动时，即10≤<x ，y =x AP AD S APM =⋅=21△；当P 在BC 上运动时，即31≤<x ， ∵PCM ABP ABCM APM S S S S △△梯形△--=， ∴y =454432123+-=----=x x x S APM △；当P 在CM 上运动时，即273≤<x ， y =x x S APM -=⨯⎪⎭⎫⎝⎛-=2722721△．函数图像如由图所示．【总结】本题主要考察面积与动点的结合，注意进行讨论．模块二：与面积相关的函数解析式知识精讲例题解析AB CDMP【例9】如图，在梯形ABCD 中，AD //BC ，AB ＝CD ＝AD ＝5cm ，BC ＝11cm ，点P 从点D 出发沿DA 边以每秒1cm 的速度移动，点Q 从点B 出发沿BC 边以每秒2cm 的速度移动（当点P 到达点A 时，点P 与点Q 同时停止移动），假设点P 移动的时间为x （秒），四边形ABQP 的面积为y （cm 2）．（1）求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域；（2）在移动的过程中，求四边形ABQP 的面积与四边形QCDP 的面积相等时x 的值；（3）在移动过程中，是否存在x 使得PQ ＝AB ，若存在，求出所有的x 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）102+=x y （50≤≤x ）；（2）3=x ；（3）35=x 或311=x ．【解析】（1）作AE ⊥BC 于E ，DF ⊥BC 于F ， ∵AB ＝CD ＝AD ＝5cm ，BC ＝11cm ， ∴BE=CF =3，则4=AE ． ∵2DP x BQ x ==，， ∴()10242521+=⨯+-⨯=x x x y （50≤≤x ）；（2）当四边形ABQP 的面积与四边形QCDP 的面积相等时，四边形ABQP 的面积等于四边形ABCD 的面积的一半，∴()41152121102⨯+⨯⨯=+x ，解得：3=x ；（3）∵PQ ＝AB ，AD //BC ，∴四边形ABQP 为平行四边形或等腰梯形．当四边形ABQP 为平行四边形时，则AP ＝BQ ，∴x x 25=-，解得：35=x ；当四边形ABQP 为等腰梯形时，则四边形PQCD 为平行四边形，∴x x 211-=，解得：311=x ；综上所述，当PQ ＝AB 时，x 的值为53或113．【总结】本题主要考察动点背景下的平行四边形和等腰梯形的性质的综合运用．ABCDPQEF10 / 30【例10】已知：如图1，在线段AE 的同侧作正方形ABCD 和正方形BEFG （BE ＜AB ），连结EG 并延长交DC 于点M ，作MN ⊥AB ，垂足为N ，MN 交BD 于P ．设正方形ABCD 的边长为1．（1）证明：△CMG ≌△NBP ；（2）设BE ＝x ，四边形MGBN 的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域；（3）如果按照题设方法作出的四边形BGMP 是菱形，求BE 的长．【解析】（1）∵正方形ABCD 和正方形BEFG ，∴︒=∠45ABD ，︒=∠45BEG ∵CM ∥BE ，∴︒=∠=∠45BEG CMG ∵正方形ABCD ，MN ⊥AB ，∴四边形BCMN 是矩形， ∴CM=NB ． ∵CM=NB ，PNB C ∠=∠，PBN CMG ∠=∠ ∴△CMG ≌△NBP ；（2）∵正方形BEFG ，BE ＝x ，∴x BE BG ==， ∴x CG -=1，∴()()212111212+-=-+=x x x y （10<<x ）；（3）由已知可得：MN ∥BC ，MG ∥BP ， ∴四边形BGMP 是平行四边形．要使四边形BGMP 是菱形，则MG BG =， ∴()x x -=12，解得：22-=x ， ∴当22-=BE 时，四边形BGMP 是菱形．【总结】本题考察正方形的性质和动点背景的下面积问题，解题时注意认真分析题目中的条件．ABC DEFGPMN【例11】已知：在梯形ABCD 中，AD //BC ，∠B ＝90°，AB ＝BC ＝4，点E 在边AB上，CE ＝CD ．（1）如图1，当∠BCD 为锐角时，设AD ＝x ，△CDE 的面积为y ，求y 与x 之间的函数解析式，并写出函数的定义域；（2）当CD ＝5时，求△CDE 的面积．【答案】（1）x x y 4212+-=（40<<x ）；（2）27或252．【解析】（1）过C 作CF ⊥AD 交AD 延长线于F∵AD //BC ，∠B ＝90°，AB ＝BC ＝4， ∴四边形ABCF 是正方形．∵CE ＝CD ，BC=CF ，∴△BCE ≌△FCD ，∴DF=BE ∵AD ＝x ，∴x DF -=4，∴x BE -=4 ∴ADE BEC ABCD y S S S =--△△梯形 ()()1114444222x x x x =+⨯-⋅⋅-⨯⨯- 2142x x =-+，定义域为：40<<x ；（2）当∠BCD 为锐角时， ∵CD ＝5时，CF=4，∴由勾股定理可得：3=DF ，则1=AD代入解析式中可得：27=y ；当∠BCD 为钝角时，易知3DF BE ==． ∴CDEBCEADE ABCD SS SS=--梯形111(47)43417222=⨯+⨯-⨯⨯-⨯⨯ 252=．综上所述，△CDE 的面积为27或252．【总结】考察全等三角形的构造和正方形的性质的综合运用，第（2）问要注意分类讨论．A B CDEFA B CDEF12 / 30【例12】如图1，四边形OABC 是矩形，点A 、C 的坐标分别为（3,0），（0,1），点D是线段BC 上的动点（与端点B 、C 不重合），过点D 作直线12y x m =-+交折线OAB 于点E ．（1）当点E 恰为AB 中点时，求m 的值；（2）当点E 在线段OA 上，记△ODE 的面积为y ，求y 与m 的函数关系式并写出定义域；（3）当点E 在线段OA 上时，若矩形OABC 关于直线DE 的对称图形为四边形O 1A 1B 1C 1，试判断四边形O 1A 1B 1C 1与矩形OABC 的重叠部分的面积是否发生变化，若不变，写出该重叠部分的面积；若改变，写出重叠部分面积S 关于m 的函数关系式．【解析】∵四边形OABC 是矩形，点A 、C 的坐标分别为（3,0），（0,1），∴B （3,1）．（1）当点E 恰为AB 中点时，则E （3，21）∵点E 在直线12y x m =-+上， ∴代入E 点坐标，可得：2=m ；（2）当点E 在线段OA 上，∵直线12y x m =-+交折线OAB 于点E ， ∴E （m 2，0），∴m m y =⋅⋅=1221（312m <≤）；（3）设O 1A 1与CB 相交于点M ，OA 与B 1C 1相交于点N ，则四边形O 1A 1B 1C 1与矩形OABC 的重叠部分的面积为四边形DNEM 的面积． ∵DM ∥NE ，DN ∥ME ，∴四边形DNEM 是平行四边形 ∵NED MED ∠=∠，NED MDE ∠=∠，∴NED MED ∠=∠， ∴ME MD =，∴四边形DNEM 是菱形过D 作DH ⊥OA ，垂足为H ，设菱形DNEM 的边长为a∵D （22-m ，1），E （m 2，0）， ∴DH =1，HE =()2222m m --=，∴2NH EN EH a =-=-，在直角△DHN 中，()22212+-=a a ，解得：45=a ∴菱形DNEM 的面积为：55144⨯=．【总结】本题综合性较强，一方面考查面积与动点的结合，另一方面考查面积的定值，注意进行分析．【例13】如图1，在正方形ABCD 中，点E 在边AB 上（点E 与点A 、B 不重合），过AB C DE Oxy点E 作FG ⊥DE ，FG 与边BC 相交于点F ，与边DA 的延长线相交于点G ．（1）当E 是AB 中点时，求证AG ＝BF ；（2）当E 在边AB 上移动时，观察BF 、AG 、AE 之间具有怎样的数量关系?并证明你所得到的结论；（3）联结DF ，如果正方形的边长为2，设AE ＝x ，△DFG 的面积为y ，求y 与x 之间的函数解析式，并写出函数的定义域．【答案】（1）见解析；（2）AE AG BF =+；（3）2212+=x y （20<<x ）．【解析】（1）当E 是AB 中点时，AE=BE∵AE=BE ，AEG BEF ∠=∠，B EAG ∠=∠ ∴△EAG ≌△EBF ∴AG ＝BF（2）AE AG BF =+过点F 作FH ⊥DA ，垂足为H ，则四边形ABFH 是矩形 ∴FH=AB=AD∵DE ⊥FG ，∴DEA ADE G ∠=∠-︒=∠90 ∵FH=AD ，DEA G ∠=∠，G A ∠=∠ ∴△FHG ≌△DAE ， ∴GH=AE ，即AE AG HA =+ ∵BF=HA ， ∴AE AG BF =+；（3）由（2）可得：FG=DE ∴224+==x DE FG ∴221442122222+=+⋅+=x x x y （20<<x ）【总结】本题主要考察正方形背景下的动点问题，注意对常见辅助线的添加以及线段间的转化．A BCD EF GH14 / 30【例14】如图1，梯形ABCD 中，AD //BC ，∠B ＝90°，AD ＝18，BC ＝21．点P 从点A 出发沿AD 以每秒1个单位的速度向点D 匀速运动，点Q 从点C 沿CB 以每秒2个单位的速度向点B 匀速运动．点P 、Q 同时出发，其中一个点到达终点时两点停止运动，设运动的时间为t 秒．（1）当AB ＝10时，设A 、B 、Q 、P 四点构成的图形的面积为S ，求S 关于t 的函数关系式，并写出定义域；（2）设E 、F 为AB 、CD 的中点，求四边形PEQF 是平行四边形时t 的值．【答案】（1）t S 5105-=（5.100≤≤t ）；（2）23=t ．【解析】（1）由题意可得：AP =t ，CQ =t 2，则()t t t S 51051022121-=⨯-+⨯=（5.100≤≤t ）；（2）过点D 作DH ⊥BC 于H ，取CH 的中点G ，则四边形ABHD 是矩形．∵F 是CD 的中点，G 是CH 的中点，∴DH FG 21=∵AD //BC ，∠B ＝90°，AD ＝18，BC ＝21∴CH =21-18=3，CG =2321=CH∴232-=-=t GC QC QG ∵四边形PEQF 是平行四边形， ∴PE=QF∵AB FG AE 21==，90A FGQ ∠=∠=∴△AEP ≌△GFQ ， ∴QG=AP∴t t =-232，解得：23=t ，即当四边形PEQF 是平行四边形时，t 的值为32．【总结】本题一方面考察梯形背景下的动点结合，另一方面考察中位线及平行四边形的性质的综合运用，注意认真分析．GABC DEF PAB CD Q图1备用图 H【例15】如图1，在菱形ABCD 中，∠B ＝45°，AB ＝4．左右作平行移动的正方形EFGH 的两个顶点F 、G 始终在边BC 上．当点G 到边BC 中点时，点E 恰好在边AB 上．（1）如图1，求正方形EFGH 的边长；（2）设点B 与点F 的距离为x ，在正方形EFGH 作平行移动的过程中，正方形EFGH 与菱形ABCD 重叠部分的面积为y ，求y 与x 的函数解析式，并写出它的定义域；（3）联结FH 、HC ，当△FHC 是等腰三角形时，求BF 的长．【解析】（1）当点G 到边BC 中点时，BG=2，∵∠B ＝45°，正方形EFGH 的两个顶点F 、G 始终在边BC 上． ∴BF=EF=FG ∵BG=2，∴FG=1，即正方形EFGH 的边长为1；（2）当10≤<x 时，()212121122++-=--=x x x y ，当31≤<x 时，1=y ；（3）当FH=HC 时，∵HG ⊥CF ，∴FG=CG=1， ∴2114=--=--=FG GC BC BF ；当FC=HC 时，∵CG CG FG FC +=+=1，2221GC GC GH HC +=+= ∴112+=+GC GC ，解得：0=GC ， ∴3014=--=--=FG GC BC BF ；当FH=FC 时，则2=FC ，此时24-=-=FC BC BF ，综上所述，当△FHC 是等腰三角形时，BF 的长为2或3或42-．【总结】本题主要考察平行四边形与正方形的性质的综合运用，解题时注意对等腰三角形要进行分类讨论．HA B CDEF G16 / 30【例16】如图1，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，四边形OABC 是矩形，A (0，4)，C (5， 0)，点D 是y 轴正半轴上一点，将四边形OABC 沿着过点D 的直线翻折，使得点O 落在线段AB 上的点E 处．过点E 作y 轴的平行线与x 轴交于点N ．折痕与直线EN 交于点M ，联结DE 、OM . 设OD ＝t ，MN ＝s ．（1）试判断四边形EDOM 的形状，并证明；（2）当点D 在线段OA 上时，求s 关于t 的函数解析式，并写出函数的定义域；（3）用含t 的代数式表示四边形EDOM 与矩形OABC 重叠部分的面积．【解析】（1）四边形EDOM 是菱形．∵将四边形OABC 沿着过点D 的直线翻折，使得点O 落在线段AB 上的点E 处， ∴EDM ODM ∠=∠，DE OD =． ∵EM ∥OD ， ∴DME ODM ∠=∠， ∴DME EDM ∠=∠，∴EM DE =，∵DE OD =，∴EM OD =． ∵EM ∥OD ，∴四边形EDOM 是平行四边形， ∵EM DE =，∴平行四边形EDOM 是菱形；（2）由（1）可得：OD ＝EM = t ， ∵EN =OA =4， ∴t s -=4（24t <<）；（3）当点D 在线段OA 上时，∵t EM ED OM OD ====，4=EN ，s t =-4∴()22224816224ON OM MN t t t t =-=--=-=-∴四边形EDOM 与矩形OABC 重叠部分面积为：224224OD ON t t t t ⋅=⋅-=-；当点D 在线段OA 延长上时（如图所示），∵4AD t BD t =-=，， ∴2222(4)224AE BD AD t t t =-=--=-， ∴四边形EDOM 与矩形OABC 重叠部分面积为：2244824AE OA t t ⋅=-⨯=-，综上所述，四边形EDOM 与矩形OABC 重叠部分的面积为224t t -或824t -．【总结】本题主要考察菱形的判定方法和性质的综合运用，解题时注意进行分析．【例17】已知：如图1，梯形ABCD 中，AD //BC ，∠A ＝90°，∠C ＝45°，MA BCDE MNAB C OOxy xyE DNAB ＝AD ＝4．E 是直线AD 上一点，联结BE ，过点E 作EF ⊥BE 交直线CD 于点F ．联结BF ．（1）若点E 是线段AD 上一点（与点A 、D 不重合），（如图1所示） ①求证：BE ＝EF ；②设DE ＝x ，△BEF 的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出此函数的定义域；（2）直线AD 上是否存在一点E ，使△BEF 是△ABE 面积的3倍，若存在，直接写出DE 的长，若不存在，请说明理由．【解析】（1）①在AB 上截取AG=AE ，连接EG ，∵∠A ＝90°，AG=AE ， ∴︒=∠=∠45AEG AGE ， ∴︒=∠135BGE ∵AD //BC ，∠C ＝45°， ∴︒=∠135D ，∴D BGE ∠=∠ ∵AG=AE ，AB ＝AD ， ∴ED=BG∵∠A ＝90°，EF ⊥BE ， ∴DEF ABE ∠=∠∵ED=BG ，D BGE ∠=∠，DEF ABE ∠=∠ ∴△BGE ≌△EDF ， ∴BE ＝EF ；②∵DE ＝x ，∴4AE x =-， ∵∠A ＝90°，∴()222244+-=+=x AB AE BE ，∵BE ＝EF ， ∴()()23284444212122222+-=+-⋅+-=⋅⋅=x x x x EF BE y （40<<x ）；A B CDEFABCD图1备用图备用图ABCDGEF G18 / 30（2）①当点E 在线段AD 上时，∵()11448222ABE S AB AE x x =⨯⨯=⨯⨯-=-△，又3BEFABESS=，∴()23282832+-=-⨯x x x ，解得：522±-=x （负值舍去），∴522+-=DE ；②当点E 在线段DA 延长线上时，延长BA 到G ，使得BG =DE ，连接EG ，则△AGE 是等腰直角三角形．同（1）可证△BGE ≌△EDF ， ∴BE ＝EF ，222222111114(4)83222222BEF S BE EF BE AB AE x x x =⨯⨯=⨯=++--+ ∵()824421-=-⨯⨯=x x S ABE △，又3BEFABES S=，∴()23288232+-=-⨯x x x ，解得：5210±=x ，∴5210±=DE ；③当点E 在线段AD 延长线上时，延长AB 到G ，使得BG =DE ，连接EG ，则△AGE 是等腰直角三角形．同（1）可证△BGE ≌△EDF ， ∴BE ＝EF ，222222111114(4)83222222BEF S BE EF BE AB AE x x x =⨯⨯=⨯=+=++++，∵()144282ABE S x x =⨯⨯+=+△，又3BEFABESS=，∴()28323282x x x ++⨯+=，解得：225x =±，∴225DE =+；综上所述，当△BEF 是△ABE 面积的3倍时，DE 的长为225-+或1025±或225+【总结】本题综合性较强，主要考察全等三角形的构造方法和梯形的性质运用，注意对点在直线上的准确理解，要分多种情况进行讨论．【例18】如图，已知正方形ABCD 的边长为3，菱形EFGH 的三个顶点E 、G 、H 分别在正方形的边AB 、CD 、DA 上，AH ＝1，联结CF ．（1）当DG ＝1时，求证菱形EFGH 为正方形；（2）设DG ＝x ，△FCG 的面积为y ，写出y 关于x 的函数解析式，并指出x 的取值范围；（3）当DG ＝433时，求∠GHE 的度数．【解析】（1）当DG ＝1时，∵AH ＝1，∴DG=AH∵菱形EFGH ， ∴HG=HE ，∵90A D ∠=∠=， ∴△HDG ≌△EAH ， ∴AEH DHG ∠=∠ ∵︒=∠+∠90AEH AHE ，∴︒=∠+∠90DHG AHE ，∴︒=∠90GHE ∴菱形EFGH 是正方形；（2）联结GE ，过F 作FM ⊥DC 交DC 的延长线于M ， ∵CD ∥AB ，∴AEG CGE ∠=∠∵FG ∥HE ，∴HEG FGE ∠=∠，∴HEA FGC ∠=∠ ∵HEA FGC ∠=∠，M A ∠=∠，FG=HE ， ∴△AHE ≌△MFG ， ∴1==FM HA ，∴()x x y 21233121-=-⋅⨯=（30<<x ）；（3）∵正方形ABCD 的边长为3，AH ＝1， ∴DH =2．当DG ＝433时，213233422222=⎪⎭⎫⎝⎛+=+=DG DH GH ， ∴2132=HE ，∴33522=-=HA HE AE ．过G 做GN ⊥AB 于N ，∵DG ＝433，335=AE ， ∴33=NE ， ∴21323332222=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=+=EN GN GE ， ∴HE GE GH ==， ∴△EGH 是等边三角形， ∴︒=∠60GHE ．【总结】本题主要考察正方形的性质及全等三角形的综合运用，注意辅助线的合理添加．ABCD EFG H M N20 / 30【例19】已知：如图，四边形OABC 的四个顶点坐标分别为O (0， 0)，A (8， 0)，B (4，4)，C (0， 4)，直线l ：y ＝x ＋m 保持与四边形OABC 的边交于点M 、N （M 在折线AOC 上，N 在折线ABC 上）．设四边形OABC 在l 右下方部分的面积为S 1，在l 左上方部分的面积为S 2，记S ＝S 1－S 2（S ≥0）．（1）求∠OAB 的大小；（2）当M 、N 重合时，求l 的解析式；（3）当m ≤0时，线段AB 上是否存在点N ，使得S ＝0?若存在，求m 的值；若不存在，请说明理由；（4）求S 与m 的函数关系式．【解析】（1）过B 作BE ⊥x 轴，垂足为E ，则点E (4，0)∵B (4，4)， ∴44==AE BE ，，∴△ABE 为等腰直角三角形， ∴︒=∠45OAB ；（2）∵S ≥0，∴点M 、N 只能重合到点C (0， 4)，此时4=m ，故直线l 的解析式为：y ＝x ＋4；（3）四边形OABC 的面积()2448421=⨯+⨯．∵直线l ：y ＝x ＋m 保持与四边形OABC 边交于点M 、N ， ∴△AMN 为等腰直角三角形．当S ＝0时，则△AMN 的面积为四边形OABC 的面积的一半．过N 做x 轴的垂线NH ，则NH=AH=MH ．设a NH =，则122212==⋅⋅a a a ，解得：32=a ， ∴()82323N -，，∵点N 在直线l ：y ＝x ＋m 上， ∴834-=m ；ABC OxyN ME H（4）∵S ＝S 1－S 2（S ≥0），∴834-≥m ．①当0834<≤-m 时，m OM -=，m AM +=8，经过A (8， 0)，B (4，4)的直线解析式为：8+-=x y ，令⎩⎨⎧+=+-=m x y x y 8，解得：⎪⎩⎪⎨⎧+=-=2828m y m x ∴16441282822121++=+⨯+⨯⨯=m m m m S ，1224S S -=， ∴88212422121++=-=-=m m S S S S ； ②当40≤≤m 时，m OM =，m CM -=4，∴()22421m S -=，1224S S -=，∴882242121++-=-=-=m m S S S S ；综上所述，2218880)288(04)m m m S m m m ⎧++≤<⎪=⎨⎪-++≤≤⎩．【总结】本题综合性较强，主要考察图形的运动，包含了一次函数的性质及解析式的求法．解题时要注意从多个角度分析，特别要清楚动点的移动位置．22 / 30【例20】在边长为4的正方形ABCD 中，点O 是对角线AC 的中点，P 是对角线AC上一动点，过点P 作PF ⊥CD 于点F ，作PE ⊥PB 交直线CD 于点E ，设P A =x ，PCE S y =△．（1）求证：DF =EF ；（2）当点P 在线段AO 上时，求y 关于x 的函数关系式及自变量x 的取值范围；（3）点P 在运动过程中能否使△PEC 为等腰三角形?如果能，请直接写出P A 的长；如果不能，请简单说明理由．【解析】（1）延长FP 交AB 于点G∵正方形ABCD 中，PF ⊥CD 于点F ，∴四边形AGFD 是矩形， ∴DF=AG ，︒=∠90AGF ∵正方形ABCD ， ∴︒=∠45BAC∵︒=∠90AGF ，∴GP AG =，∴GP DF = 同理可得：BG PF CF ==∵PE ⊥PB ，︒=∠90AGF ，∴FPE GBP ∠=∠ ∵FPE GBP ∠=∠，BG PF =，PFE BGP ∠=∠ ∴△GBP ≌△FPE ，∴GP=EF ∵GP DF =，∴EF DF =；（2）∵P A =x ， ∴x GP AG 22==，x EF DF 22==，则x DE 2=，∴x CE 24-=， ∵x PF 224-=， ∴()8232122424212+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=x x x x y （022x ≤≤）（3）点P 在运动过程中能使△PEC 为等腰三角形．当点E 在CD 边上时，∵︒≥∠90CEP ，要使△PEC 为等腰三角形，则︒=∠=∠45ECP CPE ，则PE ⊥CE ． ∵PE ⊥PB ， ∴BP ∥CD ， ∴BP ∥BA ．于是点P 在AB 上，又点P 在AC 上，∴A 与P 重合，此时AP =0．当点E 在DC 延长线上时，要使△PEC 为等腰三角形，只能是PC=CE ， ∴易得P A =4．【总结】本题主要考查正方形的性质的综合运用，注意对等腰的分类讨论．A BCDE F P OGxy BAOC【习题1】如图，直线443y x =-+与y 轴交于点A ，与直线4455y x =+交于点B ，且直线4455y x =+与x 轴交于点C ，求△ABC 的面积．【答案】4．【解析】∵直线443y x =-+与y 轴交于点A ，∴A （0，4）；∵直线443y x =-+与x 轴交于点D ，∴D （3，0）；令⎪⎩⎪⎨⎧+=+-=5454434x y x y ，解得：⎪⎩⎪⎨⎧==223y x ，则322B ⎛⎫⎪⎝⎭，；∵直线4455y x =+与x 轴交于点C ， ∴C （－1，0），∴424214421=⨯⨯-⨯⨯=-=BCD ACD ABC S S S △△△．【总结】考察面积的求法，不规则图形的面积用割补法来解决，注意交点坐标的确定．随堂检测24 / 30【习题2】已知直线2y x =-+与x 轴、y 轴分别交于A 点和B 点，另一条直线(0)y kx b k =+≠经过点C （1，0），且把△AOB 分成两部分．若△AOB 被分成的两部分面积比为1：5，求k 和b 的值．【答案】22k b ==-，或2233k b =-=，．【解析】∵直线2y x =-+与x 轴、y 轴分别交于A 点和B 点，∴A （2，0），B （0，2）．若△AOB 被分成的两部分面积比为1：5，那么直线(0)y kx b k =+≠与y 轴或A B 交点的纵坐标为：326122=⨯⨯．当(0)y kx b k =+≠与直线2y x =-+相交时，交点为D ，当32=y 时，223x =-+，解得：34=x ，∴D （34，32）， ∵点C （1，0），D （34，32）在直线(0)y kx b k =+≠上， ∴22k b ==-，；当(0)y kx b k =+≠与y 轴相交时，交点为E ，当32=y 时，223x =-+，解得：34=x ，∴E （0，32）， ∵C （1，0），E （0，32）在直线(0)y kx b k =+≠上， ∴2233k b =-=，．综上，22k b ==-，或2233k b =-=，．【总结】本题主要考察面积的求法及交点坐标的确定，注意要分类讨论．【习题3】直线364y x =-+与坐标轴分别交与点A 、B 两点，点P 、Q 同时从O 点出发，同时到达A 点，运动停止．点Q 沿线段OA 运动，速度为每秒1个单位长度，点P 沿O B A →→运动．（1）直接写出A 、B 两点的坐标；（2）设点Q 的运动时间为t 秒，△OPQ 的面积为S ，求出S 与t 之间的函数关系；（3）当485S =时，求出点P 的坐标，并直接写出以点O 、P 、Q 为顶点的平行四边形的第四个顶点M 的坐标．【解析】（1）∵直线364y x =-+与坐标轴分别交与点A 、B 两点，∴A （8，0），B （0，6）；（2）∵OA=8，OB=6，∴AB=10．∵点Q 沿线段OA 运动，速度为每秒1个单位长度， ∴运动时间为8秒，∴点P 的运动速度是（6＋10）÷8=2．当点P 在线段OB 上运动时(03)t ≤≤， ∵t OQ =，t OP 2=， ∴2t S =；当点P 在线段BA 上运动时(38)t <≤，t OQ =，t t AP 2162106-=-+=， ∵8t OA OQ S S OPAOPQ ==△△，10216tBA AP S S OBA OPA -==△△， ∴t t t t S t t S OAB OPQ 52453241021681021682+-=⨯-⋅=-⋅=△△，综上所述，S 与t 之间的函数关系为：22(03)324(38)55t t S t t t ⎧≤≤⎪=⎨-+<≤⎪⎩；（3）当485S =时，∵6321548⨯⨯>，∴点P 在AB 上，当485S =时，524524532=+-t t ，解得：4=t ，∴524=PD ，8=AP ，532=AD ， ∴58=OD ，∴P （58，524）， ∴以点O 、P 、Q 为顶点的平行四边形的第四个顶点M 的坐标（528，524）或（512-，524）或（512，524-）ABxy OQ P26 / 30【习题4】如图，已知：过点A （8，0）、B （0，83）两点的直线与直线3y x =交于点C ，平行于y 轴的直线l 从原点O 出发，以每秒1个单位长度的速度沿x 轴向右平移，到C 点时停止；l 分别交线段BC 、OC 于点D 、E ，以DE 为边向左侧作等边△DEF ，设△DEF 与△BCO 重叠部分的面积为S （平方单位），直线l 的运动时间为t （秒）．（1）写出点C 的坐标和t 的取值范围；（2）求s 与t 的函数关系式．【解析】（1）∵直线过点A （8，0）、B （0，83），∴直线AB 的解析式为383+-=x y ．令⎪⎩⎪⎨⎧=+-=x y x y 3383，解得：⎩⎨⎧==344y x ，∴C （4，43）， 40≤≤t ；（2）作EM ⊥y 轴与M ，DG ⊥y 轴于点G∵直线l 的运动时间为t （秒），∴D （t ，383t -+），E （t ，3t ）， ∴t t t DE 32383383-=-+-=， ∴等边△DEF 的DE 边上的高为：()t t DE 31232382323-=-=． ∵E （t ，3t ），∴t ME =，t MN 33=，同理可得：t GH 33= ∴可求梯形上底为：t t 3323238--， ∴当点F 在BO 边上时：t t =-312，∴3=t ．当30<≤t 时，重叠部分为等腰梯形，223783238323383233t S t t t t t ⎛⎫=-+--=-+ ⎪ ⎪⎝⎭；当43≤≤t 时，重叠部分为三角形，()()348324333123238212+-=--=t t t t S ．【总结】本题综合性较强，主要考察一次函数与动点的结合以及图形的运动，解题时一方面要清晰动点的运动轨迹，另一方面要学会表示动点的坐标，第（2）问注意要分类讨论．AB CDEOxy l FPMGxy QPAOC B【作业1】如图，已知直线P A ：(0)y x n n =+>与直线PB ：2()y x m m n =-+>交于点P ．（1）用m 、n 表示出A 、B 、P 点的坐标；（2）若点Q 是直线P A 与y 轴的交点，且四边形PQOB 的面积56，AB=2，试求点P 的坐标，并写出直线P A 与PB 的解析式．【解析】（1）∵直线P A ：(0)y x n n =+>交x 轴与A ，∴A （n -，0），∵直线PB ：2()y x m m n =-+>交x 轴与B ， ∴B （2m，0），令⎩⎨⎧+-=+=m x y n x y 2，解得：323m n x m n y -⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，∴P （3m n -，32nm +）；（2）∵点Q 是直线P A 与y 轴的交点， ∴Q （0，n ）．∵四边形PQOB 的面积56，∴()65321221=-⋅-⋅-⋅⋅=-n m n m m m S S CPQ COB △△． ∵AB=2， ∴23=+n m， ∴21m n ==，． ∴直线P A 的解析式为：1y x =+，直线PB 的解析式为：22y x =-+．【总结】本题主要考察点的坐标的求法及几何图形面积的表示．课后作业28 / 30xy FEO【作业2】如图所示，直线y kx b =+的截距为6，该直线分别交x 轴、y 轴于E 、F ，点E 的坐标为（－4，0）．（1）求直线y kx b =+的表达式；（2）若点P （x ，y ）是该直线第二象限上的一个动点，P A ⊥x 轴，PB ⊥y 轴，垂足分别为点A 、B ，试求四边形OAPB 的面积S 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围．【解析】（1）∵直线y kx b =+的截距为6，该直线分别交x 轴、y 轴于E 、F ，∴点E 的坐标为（－4，0），∴直线y kx b =+的表达式为623+=x y ；（2）∵点P （x ，y ）是该直线第二象限上的一个动点，∴623+=x y ，∴()x x x x S 6236232--=⎪⎭⎫⎝⎛+-=（04<<-x ）．【总结】考察一次函数解析式的求法及图形面积的确定，注意点的坐标与线段长度的关系．【作业3】如图，已知：直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠A =90°，AB =6，AD =4，DC =3，点P 从点A 出发，沿ADCB 方向移动，动点Q 从点A 出发，在AB 边上移动，设点P 移动的路程为x ，点Q 移动的路程为y ，线段PQ 平分梯形ABCD 的周长．（1）求y 关于x 的函数解析式，并写出x 和y 的取值范围；（2）当P 不在BC 边上时，线段PQ 能否平分ABCD 的面积?若能，求出此时x 的值；若不能，说明理由．【解析】（1）过C 做CE ⊥AB 于E ，则CD=AE =3． ∵CE =4， ∴BC =5，∴梯形的周长为18．∵线段PQ 平分梯形ABCD 的周长， ∴9=+y x ． ∵60≤≤y ， ∴93≤≤x ， ∴x y -=9（93≤≤x ）；ABCDP QE（2）∵P 不在BC 边上时，则73≤≤x ．当43<≤x 时，点P 在AD 边上，则xy S APQ 21=△． ∵线段PQ 能否平分ABCD 的面积， ∴921=xy ．由1929xy x y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，解得：，∴36x y =⎧⎨=⎩或63x y =⎧⎨=⎩（舍去）；当74≤≤x 时，P 在CD 边上，此时()y x S ADPQ +-⨯=4421四边形 ∵线段PQ 能否平分ABCD 的面积， ∴()94421=+-⨯y x联立9=+y x ，方程组无解．故当x =3时，线段PQ 平分ABCD 的面积．【总结】本题考察的知识点较多，包含了梯形的性质，面梯形面积及三角形的面积公式，二元二次方程组的解法等，第（1）问注意对解析式的确定，第（2）问注意利用第（1）问的结论，同时要进行分类讨论．【作业4】如图，在平面直角坐标系中，两个函数162y x y x ==-+，的图像交于点A ，动点P 从点O 开始在线段O 向点A 方向以每秒1个单位的速度运动，作PQ ∥x 轴交直线BC 于点Q ，以PQ 为一边向下作正方形PAMN ，设它与△ABO 重叠部分的面积为S ．（1）求点A 的坐标；（2）试求出点P 在线段OA 上运动时，S 与运动的时间t （秒）的关系式．【解析】（1）令⎪⎩⎪⎨⎧+-==621x y x y ，解得：⎩⎨⎧==44y x ，∴A （4，4）；A BCPQO yx30 / 30（2）∵动点P 从点O 开始在线段O 向点A 方向以每秒1个单位的速度运动， ∴t OP =，则P （t 22，t 22）． ∵PQ ∥x 轴，∴Q （t 212-，t 22）， ∴t PQ 22312-=．当t t 2222312=-时， 23=t ．当230≤<t 时，t t t t S 262322312222+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=；当P 到达A 点时，24=t ，当2423<<t 时，144236292231222+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=t t t S ，综上所述，2232(032)29362144(322)2t t t S t t t ⎧-+<≤⎪⎪=⎨⎪-+<⎪⎩．【总结】本题主要考察交点坐标与面积的确定，解题的关键是要能够掌握重叠部分图形的特点，一开始是矩形，后来才是正方形，要找出这个临界点，这样就将问题简化了．。

八年级数学图形运动产生的面积问题(方案设计一)(北师版)(含答案)

学生做题前请先回答以下问题
问题1：图形运动产生的面积问题的处理框架是什么？
图形运动产生的面积问题（方案设计一）（北师
版）
一、单选题(共2道，每道50分)
1.如图，等腰Rt△ABC的直角边长与正方形PQMN的边长均为10，AC与QM在同一条直线上.当点A与点Q重合时，△ABC以每秒2个单位长度的速度沿射线QM的方向匀速运动，
当点C与点M重合时停止运动，设运动的时间为t秒（），△ABC与正方形PQMN重叠部分的面积为S，则S与t之间的函数关系式为( )
A. B.
C. D.
答案：D
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：图形运动产生的面积问题
2.如图，直线与直线相交于点A，且分别与x轴交于B，
C两点.把矩形DEFG放入该坐标系中，边EF在x轴上，且点F与点B重合，DE=，EF=1，矩形DEFG从该位置出发，沿x轴方向自左向右以每秒2个单位长度的速度移动，当点G，A重合时，运动停止.设矩形
DEFG与△ABC重叠部分的面积为S，移动的时间为t秒（），则S与t之间的函数关系
式为( )
A. B.
C. D.
答案：B
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：图形运动产生的面积问题
学生做题后建议通过以下问题总结反思
问题1：图形运动产生的面积问题在分析完运动过程，分段后，接下来该在每一段上画图，画图的时候需要对照___________来找点的位置，然后利用图形的________来画图；
问题2：图形运动产生的面积问题画出符合题意的图形后，需要表达________，应该从__________开始表达。

图形运动产生的面积问题(随堂测试及答案)

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人教版八年级数学下册《从勾股定理到图形面积关系》拓展习题含答案

E C DBFA《从勾股定理到图形面积关系》拓展习题含答案一、选择题.1．如图，阴影部分是一个长方形，它的面积是（）A．3 B.4 C.5 D.62．如图，正方形ABCD的边长为1，则正方形ACEF的面积为（）A．2 B．3 C．4 D．51题图2题图3题图3．如图，以直角三角形a、b、c为边，向外作等边三角形，半圆，等腰直角三角形和正方形，上述四种情况的面积关系满足S1+S2＝S3图形个数有（）A．1 B．2 C．3 D．44．如图所示为一种“羊头”形图案，其作法是：从正方形①开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形②和②‘，…，依此类推，若正方形①的面积为64，则正方形⑤的面积为（）A．2 B．4 C．8 D．165.已知Rt△ABC中，∠C=90，若a+b=14cm，c=10cm，则Rt△ABC的面积是（）A、242c m B、36 2c m C、482c m D、602c m二、填空题.6.如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，分别以它的三边为直径向外作半圆，则图中阴影部分面积是 ____.7.如图，是一些由正方形和直角三角形拼合成的图形，其中最大的正方形的边长为7cm．则正方形A、B、C、D的面积之和是____.8.如图，在四边形ABCD中，∠DAB=∠BCD=90°，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，若S1+S4=100，S3=36，则S2=___ .6题图 7题图 8题图1cm3cm③'④'④③②'②①BCD EA9.如图，直线l 上有三个正方形a ,b ,c ,若a ,c 的面积分别为5和11.则正方形b 的面积是______.10.如图，在直线l 上依次摆放七个正方形，已知S 1+S 4=7,S 2+S 3=4，则1,2,3三个正方形的面积和是_____.9题图 10题图三、解答题.11．如图所示，∠B ＝∠OAF ＝90°，BO ＝3cm ，AB ＝4cm ，AF ＝12cm ，求图中半圆的面积（保留π）.三题图11题图12．如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =8，在△ABE 中，DE 是AB 边上的高，DE =12，S △ABE =60，求BC 的长.12题图13．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝13，BC ＝12，以AC 为斜边向△ABC 内部作Rt △ACD ，且CD ＝3. （1）求AD 的长度；（2）求图中阴影部分图形的面积.13题图D CAB习题答案一、选择题1.C2.A3.D4.B5.A二、填空题6． 6 7. 49 8．64 9. 16 10. 15三、解答题11.解：∵在Rt△ABO中，∠B＝90°，BO＝3cm，AB＝4cm，∴AO＝＝5cm．则在Rt△AFO中，由勾股定理得到：FO＝＝13cm，∴图中半圆的面积＝12π×（2FO）2＝12π×1692＝1692π（cm2）．答：图中半圆的面积是1692πcm2。

人教版初中数学八年级下册第19章《一次函数应用之面积问题》教案

人教版初中数学八年级下册第19章《一次函数应用之面积问题》教案一、核心素养1.会运用一次函数解析式或点的坐标来求图形面积；2.会运用图形面积来求一次函数解析式或点的坐标；3.在问题解决中，体会数形结合，分类讨论，转化的数学思想和方法.二、教学重点、难点教学重点：掌握一次函数与图形面积问题中数形结合分析问题方法教学难点：面积相关的函数问题的分析能力的培养三、学习过程准备练习1.点A（-1，2）到x轴距离___，到y轴距离____任意一点P（x,y）到x轴距离_____，到y轴距离_____2.在x轴上点M(-3,0),点 N(5,0)，则MN的长度____3.在y轴上点M(0,-2),点 N(0,4)，则MN的长度____4.y=-x+2与x轴的交点坐标是______,与y轴的交点坐标是_____5.函数y=3x-2与函数y=2x+1的交点坐标______设计意图：使学生明确学习本节课必要的知识储备题型一：已知解析式或坐标求图形面积引例已知直线y=2x+3与x轴交于点B，与y轴交于点A, 求该直线与坐标轴围成的三角形的面积.教师：如何求一条直线与两坐标轴围成的图形面积呢？两直线与两坐标轴围成的图形面积又该如何来求呢？设计意图：使学生明确一条直线与两坐标轴围成的图形面积的求法例1 已知直线y=2x+3与x轴交于点B，与y轴交于点A, 求该直线与坐标轴围成的三角形的面积.直线y=-2x-1与x轴交于点D，与y轴交于点C,两直线相交于点P,(1)求两直线与y轴围成的三角形的面积；(2)求两直线与x轴围成的三角形的面积；(3)求两直线与两坐标轴围成的图形面积.设计意图：使学生明确两直线与两坐标轴围成的图形面积的求法小结:（1）求两直线与一条坐标轴围成的三角形面积往往选择坐标轴上的线段作为底，用底所对顶点的坐标的绝对值来做高;（2）求复杂图形的面积时，要通过“内切外补”的方法，将面积转化为规则图形的面积的和或差；（3）坐标与线段互相转化时，注意坐标的正负以及线段的非负性.例2一次函数 y=kx+b 的图像过A(-2,-1)，B（1，3）两点,并且交x轴于点C，交y轴于点D,连接OA、OB,(1)求该一次函数解析式；(2)求△AOB的面积.教师：观察图形，三边不在坐标轴上的三角形的面积如何计算？小结:求三边不在坐标轴上的三角形的面积，可以通过切或补的方法，使原三角形转化为底在坐标轴上或者平行于坐标轴的几个三角形的和差，进而求得面积.归纳解题思路已知解析式、坐标图形面积的一般思路：1.确定所求图形，明确是规则图形还是不规则图形2.确定面积的计算方法，是直接运用面积公式计算，还是需要通过切或补来转化图形3.确定所需交点坐标，并将坐标转化为三角形的底或高4.将底，高代入面积公式计算，即可求得图形面积考点精练1.已知直线 y=kx+b经过点A（0，6），且平行于直线y=-2x ,并且经过点P（m，2）（1）求该函数解析式，并画出它的图象；（2）求该直线和直线OP与x轴所围成的图形面积.2.如图，已知点A（2,4），B（-2,2），C（4,0），求△ABC的面积.题型二：利用图形面积求解析式或坐标例3 已知直线y=kx+b与x轴交于点A(3，0) ,函数图象与坐标轴所围成的三角形的面积是6，求直线的解析式.设计意图：使学生明确如何通过面积来求函数解析式的方法，并且学会如何根据题意画出图形的方法小结:没有图形或图形不完整时，首先要根据题意画出草图，通过面积计算，确定符合题意的图形的个数，图形可能不唯一，不要漏解例4 如图，已知直线y=x+3的图象与x轴,y轴交于A，B两点，直线l经过原点，与线段AB交于点C，并把△AOB的面积分为2:1的两部分，求直线l的解析式.设计意图：使学生明确如何通过面积关系来求函数解析式的方法，体会几何问题图形的重要性小结：归纳解题思路图形面积图形面积已知解析式、坐标的一般思路：1.根据题意画出图形，图形可能不唯一2.根据所画图形，由面积计算图形的底或高3.将底或高转化为交点坐标4.用待定系数法即可求得函数解析式考点精练3.已知点P 是一次函数y=-2x+8的图象上一点，如果图象与x 轴交于Q 点，且△OPQ 的面积等于6，求P 点的坐标.4.已知A 、B 分别是x 轴上位于原点左、右两侧的点，点P(2，p)在第一象限，直线PA 交y 轴于点C(0，2)，直线PB 交y 轴于点D, 6.AOP S ∆=(1)求△COP 的面积；(2)求A ，P 两点坐标；（3）若求直线BD 的函数解析式.设计意图：通过练习，巩固已知图形面积求一次函数解析式或坐标的方法课堂小结,BOP DOP S S ∆∆=。