【全程复习方略】(广西专用)版高中数学 单元评估检测(三)课时提能训练 理 新人教A版
【全程复习方略】(广西专用)高中数学 2
【全程复习方略】（广西专用）高中数学 2.7对数、对数函数课时提能训练 理 新人教A 版(45分钟 100分)一、选择题(每小题6分，共36分)1.已知函数f(x)满足f(x 6)＝log 2x ，那么f(32)等于( ) (A)5 (B)8 (C)56 (D)232.(预测题)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧(12)x x≥4f(x ＋1) x ＜4，则f(2＋log 23)的值为( )(A)124 (B)112 (C)16 (D)133.(易错题)若log a (a 2＋1)＜log a (2a)＜0，则a 的取值范围是( ) (A)(0,1) (B)(0，12)(C)(12，1) (D)(0,1)∪(1，＋∞)4.(·重庆高考)设a ＝131log 2，b ＝132log 3，c ＝log 343，则a ，b ，c 的大小关系是( )(A)a ＜b ＜c (B)c ＜b ＜a(C)b ＜a ＜c (D)b ＜c ＜a5.函数f(x)＝1＋log 2x 和g(x)＝21＋x在同一直角坐标系下的图象大致是( )6.若5a ＝2b ＝10c，且abc≠0，则c a ＋c b等于( )(A)4 (B)3 (C)2 (D)1 二、填空题(每小题6分，共18分)7.设a ＝13(lg16＋log 525－lg 15)－lg0.2，b ＝(lg2)2＋lg2lg50＋lg25，则a －b ＝ .8.(·长春模拟)已知f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2t x(x ＜2)log t (x 2－1) (x≥2)，若f(2)＝1，则f(f(5))＝ .9.(·温州模拟)函数f(x)＝12log (x 2－2x －3)的单调递增区间是 .三、解答题(每小题15分，共30分)10.(1)计算32lg5lg8000(lg2)11lg600lg0.036lg0.122⋅+--；(2)已知log a x ＋log c x ＝2log b x 且x≠1， 求证：c 2＝()a log bac .11.已知y ＝f(x)＝log 4(2x ＋3－x 2). (1)求定义域；(2)求f(x)的单调区间；(3)求y 的最大值，并求取得最大值的x 值. 【探究创新】(16分)已知函数f(x)＝lg(a x－b x)(a ＞1＞b ＞0). (1)求y ＝f(x)的定义域；(2)在函数y ＝f(x)的图象上是否存在不同的两点，使得过这两点的直线平行于x 轴；(3)当a ，b 满足什么条件时，f (x)在(1，＋∞)上恒取正值. 答案解析1.【解析】选C.设t ＝x 6，则x ＝16t ，∴f(t)＝log 216t ＝16log 2t.∴f(32)＝16log 232＝56，故选C. 2.【解析】选A.因为2＋log 23＜4，所以f(2＋log 23)＝f(3＋log 23)， 而3＋log 23＞4， 所以f(2＋log 23)＝23+log 31()2＝18×2log 31()2＝18×13＝124. 3.【解析】选C.∵a 2＋1＞2a ，又log a (a 2＋1)＜log a (2a)＜0，∴0＜a ＜1，又log a (2a)＜0，∴⎩⎪⎨⎪⎧0＜a ＜12a ＞1，解得12＜a ＜1.【误区警示】本题易忽视log a (2a)＜0这一条件，而误选A ，致误原因是只保证式子有意义，而未保证不等式的成立. 4.【解题指南】先根据对数运算性质化成同底数的形式，再借助对数函数的性质进行比较.【解析】选B.由对数函数的性质知c ＝log 343＝133log 4，由对数函数的单调性知111333321log <log <log 432，即c ＜b ＜a.【变式备选】若3a ＝log 2sin 13，3b ＝13log b ，(13)c ＝log 3c ，则( )(A)a ＞b ＞c (B)b ＞c ＞a (C)c ＞b ＞a (D)b ＞a ＞c 【解析】选C.∵0＜sin 13＜1，∴log 2sin 13＜0，得a ＜0，由函数y ＝3x和y ＝13log x 的图象可知，在同一坐标系下，其交点的横坐标属于区间(0,1)，即b ∈(0,1)，由函数y ＝(13)x和y ＝log 3 x 的图象可知，在同一坐标系下，其交点的横坐标属于区间(1，＋∞)，即c ＞1，因此c ＞b ＞a.5.【解析】选D.由f(x)的图象过点(1,1)，g(x)的图象过点(－1,1)，可排除A 、B 、C 选项.【变式备选】已知函数f(x)＝log a (x ＋b)的大致图象如图，其中a 、b 为常数，则函数g(x)＝a x＋b 的大致图象是( )【解析】选B.由图象可知，f(x)为减函数且0＜f(0)＜1，故0＜a ＜1,0＜b ＜1，∴g(x)为减函数且g(0)＞1，故选B.6.【解题指南】将指数形式转化为对数形式，将5a＝c210和2b＝c 210两边同时取对数分别求出c a 与cb的值，然后利用对数的运算法则求解.【解析】选C. ∵5a＝c 210，∴lg5a＝c 2lg10，即alg5＝c 2，得ca ＝2lg5.同理cb＝2lg2，∴c a ＋cb＝2lg5＋2lg2＝2lg10＝2. 7.【解题指南】先对a 、b 进行化简再比较大小.由于涉及的是常用对数，且a 、b 中都出现有lg2和lg5，化简中除要用到一般对数的运算性质外，还要特别注意利用常用对数的一个性质lg2＋lg5＝lg10＝1. 【解析】a ＝13(lg16＋log 552－lg5－1)－lg5－1＝13(lg24＋2＋lg5)＋lg5＝13(4lg2＋4lg5＋2)＝13(4lg10＋2)＝2， b ＝(lg2)2＋lg2lg(2×52)＋lg52＝2(l g2)2＋2lg2lg5＋2lg5 ＝2lg2(lg2＋lg5)＋2lg5＝2(lg2＋lg5)＝2. ∴a －b ＝2－2＝0. 答案：0【方法技巧】对数的化简技巧(1)对于同底的对数的化简，常用方法有：①“收”，将同底的两对数的和(差)化成积(商)的对数； ②“拆”，将积(商)的对数拆成对数的和(差).(2)对于常用对数的化简要创设情境，充分利用“lg5＋lg2＝1”来解题. (3)对于有多重对数符号的对数的化简，应从内到外逐层化简求值.(4)在计算真数是“ ± ”的式子时，常用方法是“先平方后开方”或“取倒数”.8.【解析】因2≥2，所以f(2)＝log t (22－1)＝log t 3＝1，解得t ＝3.因为5＞2，所以f(5)＝log 3[(5)2－1]＝log 34，显然log 34＜log 39＝2，故f(f(5))＝f(log 34)＝2×3log 43＝2×4＝8.答案：89.【解析】作出真数对应的函数g(x)＝x 2－2x －3＞0的图象(如图所示)，∵底数12∈(0,1)，∴f(x)＝12log g(x)是减函数，而g(x)的递减区间为(－∞，－1)，∴f(x)＝12log g(x)的单调递增区间是(－∞，－1).答案：(－∞，－1)10.【解析】(1)分子＝lg5(3＋3lg2)＋3(lg2)2＝3lg5＋3lg2(lg5＋lg2)＝3； 分母＝(lg6＋2)－lg361 000×110＝lg6＋2－lg 6100＝4，∴原式＝34.(2)log a x ＋log a x log a c ＝2log a xlog a b ，∵x ≠1，∴log a x ≠0，∴1＋1log a c ＝2log a b ⇒2log a c ＝(log a c ＋1)log a b ，∴log a c 2＝log a (ac)·log a b ＝log a ()a log bac ，∴c 2＝()a log bac .11.【解析】(1)由真数2x ＋3－x 2＞0，解得－1＜x ＜3. ∴定义域是{x|－1＜x ＜3}.(2)令u ＝2x ＋3－x 2，则u ＞0，y ＝log 4u. 由于u ＝2x ＋3－x 2＝－(x －1)2＋4，考虑到定义域，其增区间是(－1,1]，减区间是[1,3).又y ＝log 4u 在u ∈(0，＋∞)上是增函数，故该函数的增区间是(－1,1]，减区间是[1,3). (3)∵u ＝2x ＋3－x 2＝－(x －1)2＋4≤4， ∴y ＝log 4(2x ＋3－x 2)≤log 44＝1.∴当x ＝1，u 取得最大值4时，y 取得最大值1. 【探究创新】【解题指南】(1)利用求函数定义域的方法求解；(2)(3)利用函数的单调性即可判断. 【解析】(1)由a x －b x＞0得(a b )x ＞1，且a ＞1＞b ＞0，得ab ＞1，所以x ＞0，即f(x)的定义域为(0，＋∞).(2)不存在.任取x 1＞x 2＞0，a ＞1＞b ＞0，则12xx a a ＞，12x xb b ＜，所以1xa －1xb ＞2xa －2xb ＞0，即lg(1xa －1xb )＞lg(2xa －2xb )，故f(x 1)＞f(x 2)，所以f(x)在(0，＋∞)上为增函数；假设函数y ＝f(x)的图象上存在不同的两点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，使过这两点的直线平行于x 轴，则x 1≠x 2，y 1＝y 2，这与f(x)是增函数矛盾.故函数y ＝f(x)的图象上不存在不同的两点使过这两点的直线平行于x 轴. (3)因为f(x)是增函数，所以当x ∈(1，＋∞)时，f(x)＞f(1). 这样只需f(1)＝lg(a －b)≥0，即当a ≥b ＋1时，f(x)在(1，＋∞)上恒取正值.。
【全程复习方略】(广西专用)高中数学 小专题复习课 热点总结与强化训练(三)配套课件 理 新人教A版
(1)(2011·北京高考)已知函数f(x)=4cosxsin(x+ )-1.
6
①求f(x)的最小正周期；
上的最大值和最小值. ②求f(x)在区间 ［ , ］ 6 4
(2)(2011·江西高考)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是 a,b,c,已知sinC+cosC=1- sin C .
热点总结与强化训练(三)
热点1
三角恒等变换与解三角形
1.本热点在高考中的地位 三角恒等变换是每年高考中必考的一个知识点，可以直接 考查三角恒等变换，如单纯考查同角三角函数的基本公式、诱 导公式，和角、差角、倍角公式，该类题主要以客观题的形式 出现，也可以和三角函数的图象和性质、解三角形、平面向量 等知识相结合交汇考查，该类题主要以解答题的形式出现，难 度中档.
这部分考查的重要知识，同时还考查了化归、函数与方程等数
学思想的应用.
1.三角恒等变换的关注点
(1)诱导公式的合理选择是解题的关键;
(2)注意两种常见的变形技巧: ①sinθ+cosθ= 2 sin(θ+ );
4
②sinθ+ 3 cosθ=2sin(θ+ ). 3
(3)两种常见的求三角函数最值的形式: ①转化为y=Asin(ωx+φ)+B的形式求最值、周期、单调区 间等. ②转化为y=asin2x+bsinx+c(a≠0)的形式后,用换元法求 最值.
②∵a2+b2=4(a+b)-8, ∴a2+b2-4a-4b+4+4=0⇒(a-2)2+(b-2)2=0⇒a=2,b=2,
又∵cosC 1 sin 2C 7 ,
【全程复习方略】(广西专用)版高中数学 1.1集 合课时提能训练 理 新人教A版
【全程复习方略】（广西专用）2013版高中数学 1.1集 合课时提能训练 理 新人教A 版一、选择题(每小题6分，共36分)1.(2012·柳州模拟)集合P ＝{x|y ＝x ＋1}，集合Q ＝{y|y ＝x －1}，则P 与Q 的关系是( )(A)P ＝Q (B)P Q (C)P Q (D)P∩Q＝Ø2.(2011·辽宁高考)已知M ，N 为集合I 的非空真子集，且M ，N 不相等，若N∩ðI M ＝Ø，则M∪N＝( )(A)M (B)N (C)I (D)Ø3.已知R 是实数集，M ＝{x|2x<1}，N ＝{y|y ＝x －1}，则N∩R ðM 等于( ) (A)(1,2)(B)[0,2] (C)Ø (D)[1,2]4.集合P ＝{1, 4,9,16，…，n 2，…}，若对于运算“*”有：“若a∈P，b∈P，则a*b∈P”，则运算“*”可以是( )(A)加法 (B)减法 (C)除法 (D)乘法5.(预测题)若集合M ＝{y|y ＝3x }，集合S ＝{x|y ＝lg(x －1)}，则下列各式正确的是( )(A)M∪S＝M (B)M∪S＝S (C)M ＝S(D)M∩S＝Ø 6.集合A ＝{(x ，y)|y ＝a}，集合B ＝{(x ，y)|y ＝b x ＋1，b>0，b≠1}，若集合A∩B ＝Ø，则实数a 的取值范围是( )(A)(－∞，1] (B)(－∞，1) (C)(1，＋∞) (D)R二、填空题(每小题6分，共18分)7.已知集合A ＝{(0,1)，(1,1)，(－1,2)}，B ＝{(x ，y)|x ＋y －1＝0，x ，y∈Z}，则A∩B＝ .8.(2011·上海高考)若全集U ＝R ，集合A ＝{x|x≥1}∪{x|x≤0}，则ðU A ＝ .9.若x∈A，1x ∈A，就称A 是伙伴关系集合，集合M ＝{－1,0，13，12，1,2,3,4}的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数为 .三、解答题(每小题15分，共30分)10.(易错题)已知集合P ＝{x|a ＋1≤x≤2a＋1}，Q ＝{x|x 2－3x≤10}(1)若a ＝3，求(R ðP)∩Q.(2)若P ⊆Q ，求实数a 的取值范围.11.已知集合A ＝{x|x 2－6x ＋8<0}，B ＝{x|(x －a)·(x－3a)<0}.(1)若A ⊆B ，求a 的取值范围；(2)若A∩B＝{x|3<x<4}，求a 的值.【探究创新】(16分)已知两个整数集A ＝{a 1，a 2，a 3，a 4}，B ＝{a 12，a 22，a 32，a 42}，其中a 1<a 2<a 3<a 4，当A∩B＝{a 1，a 4}且a 1＋a 4＝10时，试求：(1)a 1、a 4的值各是多少？(2)若A∪B 中所有元素之和为124，你能确定集合A 、B 中所有的元素吗？答案解析1.【解析】选B.∵P ＝{x|y ＝x ＋1}＝{x|x ≥－1}，Q ＝{y|y ≥0}，∴P Q ，故选B.2.【解题指南】结合Venn 图，分析出集合M 、N 之间的关系，利用子集关系求解.【解析】选A.如图，因为N ∩ðI M ＝Ø，所以N ⊆M ，所以M ∪N ＝M.3.【解析】选B.因为M ＝{x|2x<1}＝{x|x>2或x<0}，所以R ðM ＝[0,2]，又N ＝{y|y ＝x －1}＝[0，＋∞)， 故N ∩R ðM ＝[0,2].4.【解析】选D.取a ＝1，b ＝4，则a ＋b ＝1＋4＝5P ，a －b ＝1－4＝－3P ，a ÷b ＝1÷4＝14P ，∴“*”为加法、减法、除法时均不符合题意，选D.5.【解析】选A.∵M ＝{y|y>0}＝(0，＋∞)，S ＝{x|x>1}＝(1，＋∞)，∴M ∪S ＝(0，＋∞)＝M ，M ∩S ＝(1，＋∞)＝S ，故选A.6.【解析】选A.由已知得，集合A 表示直线y ＝a 上的点，集合B 表示函数y ＝b x ＋1(b>0且b ≠1)图象上的点，又∵A ∩B ＝Ø，∴a ≤1.7.【解析】A 、B 都表示点集，A ∩B 即是由A 中在直线x ＋y －1＝0上的所有点组成的集合，代入验证即可.答案：{(0,1)，(－1,2)}8.【解析】全集为U ＝R ，A ＝{x|x ≤0或x ≥1}，故集合A 的补集应该把临界点0和1去掉.答案：{x|0<x<1}9.【解题指南】先找出满足伙伴关系的元素，进行分组，写出对应集合即可.【解析】具有伙伴关系的元素组有－1；1；12、2；13、3共四组，它们中任意选出一组、二组、三组、四组组成集合共有15种方法.故组成15个集合.答案：1510.【解析】(1)当a ＝3时，P ＝{x|4≤x ≤7}，R ðP ＝{x|x ＜4或x ＞7}；又∵Q ＝{x|x 2－3x ≤10}＝{x|－2≤x ≤5}，所以R ðP ∩Q ＝{x|x ＜4或x ＞7}∩{x|－2≤x ≤5}＝{x|－2≤x ＜4}.(2)若P ⊆Q ，则当P ＝Ø时，a ＜0当P ≠Ø时，⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋1≥－22a ＋1≤5，解得－3≤a ≤2.综上所述，若P ⊆Q ，则实数a 的取值范围是{a|a ≤2}.11.【解析】由题意知，A ＝{x|2<x<4}，(1)当a>0时，B ＝{x|a<x<3a}，∵A ⊆B ，∴应满足⎩⎪⎨⎪⎧a ≤23a ≥4，解得43≤a ≤2. 当a<0时，B ＝{x|3a<x<a}，∵A ⊆B ，∴应满足⎩⎪⎨⎪⎧ 3a ≤2a ≥4，此不等式组无解.当a ＝0时，B ＝Ø，显然不符合条件.∴若A ⊆B ，则a 的取值范围为[43，2]. (2)要满足A ∩B ＝{x|3<x<4}，显然a>0，∴B ＝{a<x<3a}.∴a ＝3，B ＝{x|3<x<9}，从而A ∩B ＝{x|3<x<4}，故所求a 的值为3.【方法技巧】集合问题的解题策略(1)具体化策略对于离散的数集或点集等具有明显特征的集合，可以将集合中的元素一一列举出来，使之具体化，然后从中寻找解题方法.(2)直观化策略把抽象型集合或逆向型集合等问题，利用直观图表，如数轴、Venn 图、函数的图象等，化抽象为直观，快速找到解题途径，从而优化解题过程.(3)简单化策略对于连续的数集或含有运算的数集，通常是用简单化的策略，通过化简弄清集合是由什么元素组成，然后再着手解题.(4)整体化策略对于有些集合问题，局部考虑显得极其繁琐，若能利用一些公式、技巧，避开局部分析，进行整体思考，则能轻易地解决问题.如：①ðU M ∩ðU N ＝ðU (M ∪N)；②当集合内含n 个元素时，它有2n个子集等.【变式备选】1.设全集是实数集R ，A ＝{x|2x 2－7x ＋3≤0}，B ＝{x|x 2＋a<0}.(1)当a ＝－4时，求A ∩B 和A ∪B ；(2)若(ðR A)∩B ＝B ，求实数a 的取值范围.【解题指南】(1)首先求出集合A 的解集，将a ＝－4代入到集合B 求出集合B ，然后求解；(2)明确(ðR A)∩B ＝B 时，B ⊆ðR A ，对a 进行讨论求解，切记不要漏掉空集.【解析】(1)∵A ＝{x|12≤x ≤3}， 当a ＝－4时，B ＝{x|－2<x<2}，∴A ∩B ＝{x|12≤x<2}，A ∪B ＝{x|－2<x ≤3}. (2)可得ðR A ＝{x|x<12或x>3}， 当(ðR A)∩B ＝B 时，B ⊆ðR A ，①当B ＝Ø，即a ≥0时，满足B ⊆ðR A ；②当B ≠Ø，即a<0时，B ＝{x|－－a<x<－a}，要使B ⊆ðR A ，需－a ≤12， 解得－14≤a<0. 综上可得，实数a 的取值范围是a ≥－14. 2.设A ＝{x|x 2－ax ＋a 2－19＝0}，B ＝{x|x 2－5x ＋6＝0}，C ＝{x|x 2＋2x －8＝0}.(1)若A∪B＝A∩B，求实数a的值；(2)若A∩B≠Ø，且A∩C＝Ø，求实数a的值；(3)若A∩B＝A∩C≠Ø，求实数a的值.【解析】(1)因为A∪B＝A∩B，所以A＝B，又因为B＝{2,3}，则a＝5且a2－19＝6同时成立，所以a＝5.(2)因为B＝{2,3}，C＝{－4,2}，且A∩B≠Ø，A∩C＝Ø，则只有3∈A，即a2－3a－10＝0，即a＝5或a＝－2，由(1)可知，当a＝5时，A＝B＝{2,3}，此时A∩C≠Ø，与已知矛盾，所以a＝5舍去，经检验a＝－2符合题意，故a＝－2.(3)因为B＝{2,3}，C＝{－4,2}，且A∩B＝A∩C≠Ø，此时有2∈A，即a2－2a－15＝0，得a＝5或a＝－3，由(1)可知，当a＝5时不合题意，经检验a＝－3符合题意，故a＝－3.【探究创新】【解析】(1)由题意知A、B中元素均为整数，又A∩B＝{a1，a4}，∴a1、a4必定为自然数的平方，又a1＋a4＝10且a1<a4，∴a1＝1，a4＝9.(2)由(1)知A＝{1，a2，a3,9}，B＝{1，a22，a32,81}，∵A∩B＝{1,9}，∴9∈B，即3∈A，设另一元素为x∈A，则x2∈B，由题意得(1＋3＋9＋x)＋81＋x2＝124，化简得x2＋x－30＝0，解得x＝5或x＝－6(舍去)，∴能确定A＝{1,3,5,9}，B＝{1,9,25,81}.。
【全程复习方略】(广西专用)高中数学 10.3二项式定理课时提能训练 文 新人教版
【全程复习方略】（广西专用）2013版高中数学 10.3二项式定理课时提能训练文 新人教版(45分钟 100分)一、选择题(每小题6分，共36分)1.(2012·柳州模拟)(2x －1)6＝a 6x 6＋a 5x 5＋a 4x 4＋a 3x 3＋a 2x 2＋a 1x ＋a 0，则a 2＝( ) (A)60 (B)－60 (C)160 (D)152.(2011·重庆高考)(1＋3x)n(其中n∈N 且n≥6)的展开式中x 5与x 6的系数相等，则n ＝( ) (A)6 (B)7 (C)8 (D)93.(x ＋1)2＋(x ＋1)11＝a 0＋a 1(x ＋2)＋a 2(x ＋2)2＋…＋a 10(x ＋2)10＋a 11(x ＋2)11，则a 1＝( ) (A)9 (B)－10 (C)11 (D)－12 4.(预测题)若(3x －132x)n的展开式中含有非零常数项，则这样的正整数n 的最小值是( )(A)3 (B)4 (C)10 (D)125.(1＋ax ＋by)n展开式中不含x 的项的系数绝对值的和为243，不含y 的项的系数绝对值的和为32，则a ，b ，n 的值可能为( ) (A)a ＝2，b ＝－1，n ＝5 (B)a ＝－2，b ＝－1，n ＝6 (C)a ＝－1，b ＝2，n ＝6 (D)a ＝1，b ＝2，n ＝5 6.若(1－2x)2 013＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2 013x2 013(x∈R)，则a 12＋a 222＋…＋20132013a 2的值 为( )(A)2 (B)0 (C)－1 (D)－2 二、填空题(每小题6分，共18分)7.(易错题)(1＋x ＋x 2)(x －1x)6的展开式中的常数项为 .8.(2011·安徽高考)设(x －1)21＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 21x 21，则a 10＋a 11＝ . 9.设(2x －1)5＋(x ＋2)4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5，则|a 0|＋|a 2|＋|a 4|＝ . 三、解答题(每小题15分，共30分) 10.已知(1－2x)7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7.求：(1)a 1＋a 2＋…＋a 7； (2)a 1＋a 3＋a 5＋a 7； (3)a 0＋a 2＋a 4＋a 6；(4)|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|.11.已知f(x)＝(3x 2＋3x 2)n展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992. (1)求展开式中二项式系数最大的项； (2)求展开式中系数最大的项.【探究创新】(16分)若某一等差数列的首项为112n 5n C -－2n 2113n A －－，公差为(52x －253x 2)m 展开式中的常数项，其中m 是7777－15除以19的余数，则此数列前多少项的和最大？并求出这个最大值.答案解析1.【解析】选A.由题可知(2x －1)6＝(1－2x)6∴T 3＝26C 16－2(－2x)2＝60x 2，因此a 2＝60.2.【解题指南】根据二项展开式的相关公式列出x 5与x 6的系数，然后根据系数相等求出n 的值.【解析】选B.x 5的系数为355n C ，x 6的系数为366n C ，由355n C ＝366n C 可得，5n C ＝36n C ，解之得n ＝7.3.【解析】选A. (x ＋1)2＋(x ＋1)11＝(x ＋2－1)2＋(x ＋2－1)11，所以a 1＝－2＋1011C ＝－2＋11＝9.4.【解析】选B.T r ＋1＝r n C (3x)n －r(－132x)r＝r n C (3)n －r·(－1)r(132)r ·xn －r·r3x－＝r n C (3)n －r(－132)r4n r3x－，令n －43r ＝0，得n ＝43r.∴n 取最小值为4.5.【解析】选D.不含x 的项的系数的绝对值为(1＋|b|)n＝243＝35，不含y 的项的系数的绝对值为(1＋|a|)n＝32＝25，∴n ＝5，⎩⎪⎨⎪⎧1＋|b|＝3，1＋|a|＝2.再验证选项知应选D.6.【解析】选C.令x ＝0得a 0＝1；令x ＝12得a 0＋a 12＋a 222＋…＋20132013a 2＝0，故a 12＋a 222＋…＋20132013a 2＝－1. 7.【解题指南】展开式中的常数项只可能是1＋x ＋x 2中的常数项与(x －1x )6中的常数项的积和1＋x ＋x 2中的一次项与(x －1x )6中的x －1项的积以及1＋x ＋x 2中的二次项与(x －1x )6中的x －2项积的和.【解析】(x －1x )6展开式中第k ＋1项为T k ＋1＝k 6k 6C x －·(－1x )k ＝(－1)k k 62k6C x － (k ∈N).因6－2k ≠－1，故(1＋x ＋x 2)(x －1x )6的常数项为1×(－1)336C ＋1×(－1)446C ＝－5. 答案：－58.【解题指南】利用二项展开式的性质，可知第11项和第12项二项式系数最大，从而项的系数互为相反数.【解析】利用二项展开式的性质，可知第11项和第12项二项式系数最大，从而这两项的系数互为相反数，即a 10＋a 11＝0. 答案：09.【解析】由(2x －1)5＋(x ＋2)4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5可得常数项a 0 ＝(－1)5＋24＝15，x 2项的系数为a 2＝35C ×22×(－1)3＋24C ×22＝－16，x 4项的系数为a 4＝15C × 24×(－1)1＋04C ×20＝－79，则|a 0|＋|a 2|＋|a 4|＝15＋16＋79＝110.答案：11010.【解析】令x ＝1，则a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝－1① 令x ＝－1，则a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＋a 6－a 7＝37② (1)∵a 0＝07C ＝1，∴a 1＋a 2＋…＋a 7＝－2. (2)(①－②)÷2得：a 1＋a 3＋a 5＋a 7＝7132--＝－1 094.(3)(①＋②)÷2得：a 0＋a 2＋a 4＋a 6＝－1＋372＝1 093.(4)∵(1－2x)7展开式中，a 0，a 2，a 4，a 6大于零，而a 1，a 3，a 5，a 7小于零， ∴|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|＝(a 0＋a 2＋a 4＋a 6)－(a 1＋a 3＋a 5＋a 7) ＝1 093＋1 094＝2 187.11.【解析】(1)令x ＝1，则二项式各项系数和为 f(1)＝(1＋3)n＝4n，展开式中各项的二项式系数之和为2n. 由题意知4n－2n＝992. ∴(2n )2－2n －992＝0， ∴(2n＋31)(2n－32)＝0，∴2n＝－31(舍)或2n＝32，∴n ＝5.由于n ＝5为奇数，所以展开式中二项式系数最大的项为中间两项，它们是 T 3＝2232235C (x )(3x )＝90x 6，T 4＝2322335C (x )(3x )＝270223x .(2)展开式通项为T r ＋1＝r5C3r ·2(5+2r)3x.假设T r ＋1项系数最大，则有5r r 1r 1r 5r r r 1r 155C 3C 3,C 3C 3.--+-⎧≥⋅⎨≥⋅⎩ ∴⎩⎪⎨⎪⎧5！(5－r)！r ！×3≥5！(6－r)！(r －1)！，5！(5－r)！r ！≥5！(4－r)！(r ＋1)！×3.∴⎩⎪⎨⎪⎧3r ≥16－r ，15－r ≥3r ＋1.∴72≤r ≤92，∵r ∈N ，∴r ＝4. ∴展开式中系数最大的项为2264243355T =C x (3x )=405x .【方法技巧】关于最大项的求解技巧 (1)求二项式系数最大的项：①如果n 是偶数，则中间一项(第(n2＋1)项)的二项式系数最大；②如果n 是奇数，则中间两项(第n ＋12项与第(n ＋12＋1)项)的二项式系数相等并最大.(2)求展开式系数最大的项：如求(a ＋bx)n(a ，b ∈R)的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为A 0，A 1，A 2，…，且第r ＋1项系数最大，应用⎩⎪⎨⎪⎧A r ≥A r －1A r ≥A r ＋1解出r 来，即得系数最大项.【变式备选】在(1＋2x)10的展开式中， (1)求系数最大的项；(2)若x ＝2.5，则第几项的值最大？【解析】(1)设第r ＋1项的系数最大，由通项公式得T r ＋1＝r10C ·2r x r，依题意知T r ＋1项的系数不小于T r项及T r ＋2项的系数.则r r r 1r 11010r r r 1r 11010C 2C 2C 2C 2--++⎧⋅≥⎨⋅≥⎩ 解得⎩⎪⎨⎪⎧2(11－r)≥r r ＋1≥2(10－r)∴193≤r ≤223且r ∈Z ，∴r ＝7， 故系数最大的项为T 8＝710C ·27·x 7＝15 360x 7.(2)设展开式中的第r ＋1项的值最大， 则T r ＋1≥T r ＞0，T r ＋1≥T r ＋2＞0 ∴r 1r T T +≥1，r 2r 1TT ++≤1. ∴()()()()r r 10r 1r 110r 1r 110r r10C 2x 11r 2x 1r C 2x C 2x 10r 2x 1r 1C 2x --++⎧-=⋅≥⎪⎪⎨-⎪=⋅≤⎪+⎩ 将x ＝2.5代入得⎩⎪⎨⎪⎧5(11－r)r ≥15(10－r)r ＋1≤1得496≤r ≤556. ∴r ＝9，即展开式中的第10项的值最大. 【探究创新】【解析】由已知得：⎩⎪⎨⎪⎧11－2n ≤5n2n －2≤11－3n ，又n ∈N ，∴n ＝2，∴112n 2n 272325n 113n 105105C A C A C A ----=-=-＝10×9×83×2－5×4＝100， 所以首项a 1＝100. 7777－15＝(76＋1)77－157717676777776C 76C 76115=+⋅+⋯+⋅+-＝76M －14(M ∈N *)，所以7777－15除以19的余数是5， 即m ＝5.(52x －253x 2)m的展开式的通项 T r ＋1＝r5C (52x )5－r ·(－253x 2)r＝(－1)r 5r C(52)5－2r 5r 53x－ (r ＝0,1,2,3,4,5)，若它为常数项，则53r －5＝0，∴r ＝3，代入上式得T 4＝－4＝d.从而等差数列的通项公式为：a n ＝104－4n ，设其前k 项的和最大，则⎩⎪⎨⎪⎧104－4k ≥0104－4(k ＋1)≤0，解得k ＝25或k ＝26，故此数列的前25项的和与前26项的和相等且最大， S 25＝S 26＝100＋104－4×252×25＝1 300.。
【全程复习方略】(广西专用)高中数学 13.2导数的应用课时提能训练 文 新人教版
【全程复习方略】（广西专用）2013版高中数学 13.2导数的应用课时提能训练文 新人教版(45分钟 100分)一、选择题(每小题6分，共36分)1.函数f(x)＝(x 2－1)2＋2的极值点是( )(A)x ＝1 (B)x ＝－1(C)x ＝1或－1或0 (D)x ＝02.对于R 上可导的任意函数f(x)，若满足(x －1)f′(x)≥0，则必有( )(A)f(0)＋f(2)＜2f(1)(B)f(0)＋f (2)≤2f(1)(C)f(0)＋f(2)≥2f(1)(D)f(0)＋f(2)＞2f(1)3.已知函数f(x)＝ax 3＋3x 2－x ＋2在R 上是减函数，则a 的取值范围是( )(A)(－∞，－3) (B)(－∞，－3](C)(－3,0) (D)[－3,0]4.已知函数f(x)＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 在区间[－1,2]上是减函数，那么b ＋c( )(A)有最大值152 (B)有最大值－152(C)有最小值152 (D)有最小值－1525.已知函数f(x)＝x 3－px 2－qx 的图象与x 轴切于(1,0)点，则f(x)的极大值、极小值分别为() (A)427，0 (B)0，427(C)－427，0 (D)0，－4276.已知函数y ＝f(x)(x∈R)的图象如图所示，则不等式xf′(x)<0的解集为( )(A)(－∞，12)∪(12，2) (B)(－∞，0)∪(12，2) (C)(－∞，12) ∪(12，＋∞) (D)(－∞，12)∪(2，＋∞) 二、填空题(每小题6分，共18分)7.(易错题)已知函数f(x)＝x 3＋3mx 2＋nx ＋m 2在x ＝－1时有极值0，则m ＋n ＝ .8.如果函数f(x)＝ax 3－x 2＋x －5在(－∞，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是 .9.直线y ＝a 与函数f(x)＝x 3－3x 的图象有相异的三个公共点，则a 的取值范围是 .三、解答题(每小题15分，共30分)10.(预测题)设函数f(x)＝－13x 3＋x 2＋(m 2－1)x (1)当方程f(x)＝0只有一个实数解时，求实数m 的取值范围.(2)若m>0且当x∈[1－m,3]时，恒有f(x)≤0，求实数m 的取值范围.11.某商品每件成本9元，售价为30元，每星期卖出432件.如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x(单位：元，0≤x≤21)的平方成正比.已知商品售价降低2元时，一星期多卖出24件.(1)将一个星期内该商品的销售利润表示成x 的函数f(x)；(2)如何定价才能使一个星期该商品的销售利润最大？【探究创新】(16分)某造船公司年最大造船量是20艘，已知造船x 艘的产值函数为R(x)＝3 700x ＋45x 2－10x 3(单位：万元)，成本函数为C(x)＝460x ＋5 000(单位：万元)，又在经济学中，函数f(x)的边际函数Mf(x)定义为Mf(x)＝f(x ＋1)－f(x).(1)求利润函数P(x)及边际利润函数MP(x)；(提示：利润＝产值－成本)(2)问年造船量安排多少艘时，可使公司造船的年利润最大？(3)求边际利润函数MP(x)的单调递减区间，并说明单调递减在本题中的实际意义是什么？答案解析1.【解析】选C.∵f(x)＝x 4－2x 2＋3，∴由f ′(x)＝4x 3－4x ＝4x(x ＋1)(x －1)＝0得x ＝0或x ＝1或x ＝－1，又当x ＜－1时f ′(x)＜0，当－1＜x ＜0时，f ′(x)＞0，当0＜x ＜1时，f ′(x)＜0，当x ＞1时，f ′(x)＞0，∴x ＝0,1，－1都是f(x)的极值点.2.【解题指南】分x>1和x ＜1两种情况讨论单调性.【解析】选C.当x>1时，f ′(x)≥0，若f ′(x)＝0，则f(x)为常数函数，若f ′(x)>0，则f(x)为增函数，总有f(x)≥f(1).当x<1时，f ′(x)≤0，若f ′(x)＝0，则f(x)为常数函数.若f ′(x)<0，则f(x)为减函数，总有f(x)≥f(1)，∴f(x)在x ＝1处取得最小值.即f(0)≥f(1)，f(2)≥f(1)，∴f(0)＋f(2)≥2f(1).3.【解析】选B.∵f(x)＝ax 3＋3x 2－x ＋2在R 上是减函数，∴f ′(x)＝3ax 2＋6x －1≤0在R 上恒成立.∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3a<0Δ＝62＋12a ≤0.∴a ≤－3.4.【解析】选B.由f(x)在[－1,2]上是减函数，知f ′(x)＝3x 2＋2bx ＋c ≤0，x ∈[－1,2]，则⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(－1)＝3－2b ＋c ≤0f ′(2)＝12＋4b ＋c ≤0⇒15＋2b ＋2c ≤0⇒b ＋c ≤－152.5.【解题指南】解答本题的突破口在于由f(x)的图象与x 轴切于(1,0)点得到f ′(1)＝0及f(1)＝0.【解析】选A.f ′(x)＝3x 2－2px －q ，由f ′(1)＝0，f(1)＝0得⎩⎪⎨⎪⎧ 3－2p －q ＝01－p －q ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ p ＝2q ＝－1，∴f(x)＝x 3－2x 2＋x.由f ′(x)＝3x 2－4x ＋1＝0，得x ＝13或x ＝1， 进而求得当x ＝13时，f(x)取极大值427，当x ＝1时， f(x)取极小值0，故选A.6.【解析】选B.由f(x)图象的单调性可得f ′(x)在(－∞，12)和(2，＋∞)上 大于0，在(12，2)上小于0， ∴xf ′(x)<0的解集为(－∞，0)∪(12，2). 7.【解析】∵f ′(x)＝3x 2＋6mx ＋n ，∴由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧ f(－1)＝(－1)3＋3m(－1)2＋n(－1)＋m 2＝0f ′(－1)＝3×(－1)2＋6m(－1)＋n ＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝1n ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝2n ＝9， 当⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝1n ＝3时，f ′(x)＝3x 2＋6x ＋3＝3(x ＋1)2≥0恒成立与x ＝－1是极值点矛盾， 当⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝2n ＝9时，f ′(x)＝3x 2＋12x ＋9＝3(x ＋1)(x ＋3)， 显然x ＝－1是极值点，符合题意，∴m ＋n ＝11.答案：11【误区警示】本题易出现求得m ，n 后不检验的错误.8.【解析】∵y ′＝3ax 2－2x ＋1≥0∴a>0且Δ＝4－12a ≤0，即a ≥13. 答案：[13，＋∞)9. 【解析】令f ′(x)＝3x 2－3＝0，得x ＝±1，可求得f(x)的极大值为f(－1)＝2，极小值为f(1)＝－2，画出函数图象如图所示，可得－2<a<2时，恰有三个不同公共点.答案：(－2,2)【方法技巧】图象的应用对于求函数y ＝f(x)的零点个数或方程f(x)＝0的根的个数的题目，可以转化为求两个函数的图象的交点的个数，利用导数知识可以研究函数的单调性和极值，从而得到函数的图象，通过观察函数图象得到答案.10.【解析】(1)f(x)＝－13x 3＋x 2＋(m 2－1) x ＝x[－13x 2＋x ＋(m 2－1)]， ∵方程f(x)＝0只有一个实数解，∴－13x 2＋x ＋(m 2－1)＝0没有实数解. ∴Δ＝1＋43(m 2－1)<0，解得－12<m<12. 所以，当方程f(x)＝0只有一个实数解时，实数m 的取值范围是(－12，12). (2)由f ′(x)＝－x 2＋2x ＋m 2－1＝－(x －m －1)(x ＋m －1)，因为m>0，所以1＋m>1－m ，所以f(x)在(－∞，1－m)和(1＋m ，＋∞)内单调递减，在(1－m,1＋m)内单调递增.①当3<1＋m ，即m>2时，f(x)在区间[1－m,3]上是增函数，f(x)max ＝f(3)＝3m 2－3，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m>23m 2－3≤0无解.②当1＋m ≤3，即0<m ≤2时，f(x)在区间[1－m ，1＋m]上是增函数，在(1＋m,3)上是减函数，∴f(x)max ＝f(1＋m)＝23m 3＋m 2－13， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 0<m ≤223m 3＋m 2－13≤0，解得0<m ≤12， 综上所述，m 的取值范围为(0，12].【变式备选】已知函数f(x)＝x 3－32ax 2＋b(a ，b 为实数，且a>1)在区间[－1,1]上的最大值为1，最小值为－2.(1)求f(x)的解析式；(2)若函数g(x)＝f(x)－mx 在区间[－2,2]上为减函数，求实数m 的取值范围.【解析】(1)f ′(x)＝3x 2－3ax ，令f ′(x)＝0，得x 1＝0，x 2＝a ，∵a>1，∴f(x)在[－1,0]上为增函数，在[0,1]上为减函数.∴f(0)＝b ＝1，∵f(－1)＝－32a ，f(1)＝2－32a ，∴f(－1)<f(1)， ∴f(－1)＝－32a ＝－2，a ＝43. ∴f(x)＝x 3－2x 2＋1.(2)g(x)＝x 3－2x 2－mx ＋1，g ′(x)＝3x 2－4x －m.由g(x)在[－2,2]上为减函数，知g ′(x)≤0在x ∈[－2,2]上恒成立.∴⎩⎪⎨⎪⎧ g ′(－2)≤0g ′(2)≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 20－m ≤04－m ≤0，∴m ≥20.∴实数m 的取值范围是m ≥20.11.【解析】(1)依题意商品降价x 元，则每个星期多卖的商品数为kx 2，则f(x)＝(30－x －9)(432＋kx 2)＝(21－x)(432＋kx 2)，又由已知条件，24＝k ·22，于是有k ＝6，所以f(x)＝－6x 3＋126x 2－432x ＋9 072，x ∈[0,21].(2)根据(1)，我们有f ′(x)＝－18x 2＋252x －432＝－18(x －2)(x －12).当x 变化时，f ′(x)与f(x)的变化如下表：故x＝12时，f(x)取到极大值.因为f(0)＝9 072，f(12)＝11 664，所以定价为12元能使一个星期的商品销售利润最大.【探究创新】【解析】(1)P(x)＝R(x)－C(x)＝－10x3＋45x2＋3 240x－5 000(x∈N*，且1≤x≤20)；MP(x)＝P(x＋1)－P(x)＝－30x2＋60x＋3 275 (x∈N*，且1≤x≤19).(2)P′(x)＝－30x2＋90x＋3 240＝－30(x－12)(x＋9)，∵x>0，∴P′(x)＝0时，x＝12，当0<x<12时，P′(x)>0，当x>12时，P′(x)<0，∴x＝12时，P(x)有极大值，也是最大值.即年造船量安排12艘时，可使公司造船的年利润最大.(3)MP(x)＝－30x2＋60x＋3 275＝－30(x－1)2＋3 305.所以，当x≥1时，MP(x)单调递减，所以单调减区间为[1,19]，且x∈N*.MP(x)是减函数的实际意义是：随着产量的增加，每艘利润与前一艘比较，利润在减少.。
【全程复习方略】(广西专用)高中数学 阶段滚动检测(三)课时提能训练 文 新人教版
【全程复习方略】（广西专用）2013版高中数学 阶段滚动检测(三)课时提能训练 文 新人教版第一～八章 (120分钟 150分) 第I 卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.(2012·河池模拟)已知圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2－6x ＋6y ＋14＝0关于直线l 对称，则直线l 的方程是( ) (A)x －2y ＋1＝0 (B)2x －y －1＝0 (C)x －y ＋3＝0 (D)x －y －3＝02.(滚动单独考查)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 3＝6，a 2＋a 4＝0，则公差d 为 ( )(A)1 (B)－3 (C)－2 (D)33.(2012·南宁模拟)抛物线y 2＝4x 的焦点坐标为( ) (A)(－1,0) (B)(1,0) (C)(2,0) (D)(－2,0)4.(滚动交汇考查)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线与圆(x －2)2＋y 2＝3相切，则此双曲线的离心率为( )(A) 1.5 (B)2 (C)3.5 (D)45.设椭圆C 1的离心率为56，焦点在x 轴上且长轴长为12.若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C 2的标准方程为( ) (A)x 216－y 29＝1 (B)x 210－y25＝1 (C)x 29－y 216＝1 (D)x 25－y210＝16. (滚动交汇考查)在数列{a n }中，a n ＝2n －7，则当前n 项和取得最小值时的n 的值等于( ) (A)3 (B)4 (C)3或4 (D)4或57.椭圆x 26＋y 22＝1与双曲线x 23－y2b 2＝1有公共的焦点F 1，F 2，P 是两曲线的一个交点，则cosF 1PF 2＝( )(A)34 (B)14 (C)13 (D)238.(滚动交汇考查)若直线ax －by ＋2＝0(a>0，b>0)被圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0截得的弦长为4，则1a ＋1b的最小值是( )(A)2＋32 (B)22＋3(C)3 (D)139.(滚动单独考查)(2012·百色模拟)已知等比数列{a n }的公比q ＝2，其前4项和S 4＝60，则a 2等于( ) (A)8 (B)6 (C)－8 (D)－610.已知点P 在抛物线y 2＝4x 上，那么点P 到点Q(2，－1)的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为( )(A)(14，－1) (B)(14，1)(C)(1,2) (D)(1，－2)11.已知F 1、F 2分别为双曲线x 2a 2－y2b 2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点， M 为双曲线上除顶点外的任意一点，且△F 1MF 2的内切圆交实轴于点N ，则|F 1N|·|NF 2|的值为 ( )(A)b 2(B)a 2(C)c 2(D)a 2－b2a12.设F 1、F 2分别是椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点，若在其右准线上存在点P ，使线段PF 1的中垂线过点F 2，则椭圆离心率的取值范围是( ) (A)(0，22] (B)(0，33] (C)[22，1) (D)[33，1) 第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确答案填在题中横线上) 13.(滚动单独考查)(2012·贵港模拟)已知数列{a n }的前n 项的和为S n ，若S n ＝ 3n －1(n∈N *)，则a 2 009＋a 2 011a 2 010的值为 .14.已知正方形一条边在直线y ＝x ＋4上，顶点A 、B 在抛物线y 2＝x 上，则正方形的边长为 .15.设双曲线x 29－y216＝1的右顶点为A ，右焦点为F ，过点F 平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B ，则△AFB 的面积为 .16.(滚动交汇考查)向量集合M ＝{a |a ＝(1,2)＋λ(2,1)，λ∈R}，N ＝{a |a ＝(2cosθ，0)＋(－1,2sinθ)，θ∈R}，则M∩N＝ .三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，离心率为45，F 1、F 2分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上有一点P ，∠F 1PF 2＝π3，且△PF 1F 2的面积为33，求椭圆的方程.18.(12分)(滚动交汇考查)已知函数f(x)＝1a (x ＋cx )(x≠0，a>0，c>0).当x∈(0，＋∞)时，函数f(x)在x ＝2处取得最小值1.(1)求函数f(x)的解析式；(2)设k>0，解关于x 的不等式(3k ＋1)－4f(x)>2k(k ＋1)－4x.19.(12分)（滚动单独考查）(2012·钦州模拟)已知等差数列{a n }，S n 为其前n 项的和，a 2＝0，a 5＝6，n∈N *. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝n a3，求数列{b n }的前n 项的和.20.(12分)已知可行域⎩⎨⎧y≥0x －3y ＋2≥03x ＋y －23≤0的外接圆C 与x 轴交于点A 1、A 2，椭圆C 1以线段A 1A 2为长轴，离心率e ＝22. (1)求圆C 及椭圆C 1的方程；(2)设椭圆C 1的右焦点为F ，点P 为圆C 上异于A 1、A 2的动点，过原点O 作直线PF 的垂线交直线x ＝22于点Q ，判断直线PQ 与圆C 的位置关系，并给出证明.21.(12分)如图，已知M(m ，m 2)，N(n ，n 2)是抛物线C ：y ＝x 2上两个不同点，且m 2＋n 2＝1，m ＋n≠0.直线l 是线段MN 的垂直平分线.设椭圆E 的方程为x 22＋y2a ＝1(a ＞0，a≠2).(1)当M ，N 在抛物线C 上移动时，求直线l 的斜率k 的取值范围；(2)已知直线l 与抛物线C 交于A ，B 两个不同的点，与椭圆E 交于P ，Q 两个不同的点.设AB 中点为R ，PQ 中点为S ，若OR ·OS ＝0，求椭圆E 的离心率的范围.22.(12分)(2011· 浙江高考)如图，设P 是抛物线C 1：x 2＝y 上的动点，过点P 作圆C 2：x 2＋(y ＋3)2＝1的两条切线，交直线l ：y ＝－3于A ，B 两点.(1)求C 2的圆心M 到抛物线C 1准线的距离；(2)是否存在点P ，使线段AB 被抛物线C 1在点P 处的切线平分，若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由. 答案解析1.【解析】选D.由题意知，直线l 为两圆圆心连线的垂直平分线，两圆圆心分别为O(0,0)，P(3，－3)，则线段OP 的中点Q(32，－32)，直线OP 的斜率k OP ＝－1，则直线l 的斜率为k ＝1，故直线l 的方程为y －(－32)＝x －32，即x －y －3＝0.2.【解析】选C.因为a 2＋a 4＝0，所以2a 3＝0，即a 3＝0，又因为S 3＝(a 1＋a 3)×32＝6，所以a 1＝4，所以公差d ＝a 3－a 13－1＝0－43－1＝－2. 3.【解析】选B.由题意知p ＝2，所以焦点坐标为(p2，0)，即(1,0).4.【解析】选B.双曲线的渐近线方程为bx ±ay ＝0.由题意得，圆心到渐近线的距离等于圆的半径，即 |2b ±0×a|b 2＋a 2＝3，整理得b ＝3a ，故c ＝a 2＋b 2＝a 2＋3a 2＝2a ， 故离心率e ＝ca＝2.5.【解析】选A.由已知得，在椭圆C 1中，a ＝6，c ＝5，由题易知曲线C 2为双曲线，由此可得在双曲线C 2中a ＝4，c ＝5，故双曲线C 2中的b ＝3，双曲线C 2的方程为x 216－y29＝1.6.【解析】选A.令2n －7<0，求得n<72，∵n ∈N *，∴1≤n ≤3，即数列的前3项均为负数，从第4项开始为正，故选A. 7.【解析】选C.由题意知b 2＝1，故双曲线方程为x 23－y 2＝1.设交点P 在第一象限，F 1，F 2分别为左、右焦点，|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，则⎩⎨⎧m ＋n ＝26m －n ＝23，∴m ＝6＋3，n ＝6－3， 在△F 1PF 2中，cosF 1PF 2＝m 2＋n 2－(2c)22mn ＝13，故选C.8.【解析】选A.圆的方程可化为(x ＋1)2＋(y －2)2＝4，其圆心C(－1,2)，半径r ＝2，由弦长为4可知圆心在直线上，即－a －2b ＋2＝0，即a ＋2b ＝2，而1a ＋1b ＝12(a ＋2b)( 1a ＋1b )＝12(3＋2b a ＋a b )≥12(3＋22)＝2＋32，当且仅当2ba ＝ab 时取等号，即a ＝22－2，b ＝2－2时取等号. 9.【解析】选A.设首项为a 1，由已知得：a 1(1－24)1－2＝60，∴15a 1＝60，∴a 1＝4，∴a 2＝4×2＝8，故选A. 10.【解析】选A.如图， ∵点Q(2，－1)在抛物线的内部，由抛物线的定义，点P 到F 的距离等于点P 到直线x ＝－1的距离.过点Q 作x ＝－1的垂线QH ，交抛物线于点K ，则点K 为取最小值时所求的点.当y ＝－1时，得x ＝14.∴满足条件的点P 的坐标为(14，－1).11.【解析】选A.由已知，得|MF 1|－|MF 2|＝±2a ，作图，易知|F 1N|－|NF 2|＝±2a ，又|F 1N|＋|NF 2|＝2c ，∴|F 1N|·|NF 2|＝(2c)2－(±2a)24＝c2－a 2＝b 2.12.【解析】选D.椭圆的右准线方程为x ＝a2c ，F 1(－c,0)，F 2(c,0)，P(a2c ，y)，PF 1的中垂线过F 2， 则|F 1F 2|＝|F 2P|， ∴2c ＝(a 2c －c)2＋y 2⇒y 2＝3c 2＋2a 2－a 4c2. 当y ＝0时，y 2最小，即3c 2＋2a 2－a4c 2最小.此时3e 2－1e 2＋2≥0⇒e ≥33，又e ＜1，∴e 的取值范围是[33，1). 【方法技巧】求解圆锥曲线离心率的取值范围的方法 (1)直接根据题意建立a ，c 的不等关系求解； (2)借助平面几何关系建立a ，c 的不等关系求解； (3)借助数形结合建立a ，c 的不等关系求解；(4)利用圆锥曲线的相关性质建立a ，c 的不等关系求解；(5)运用判别式建立a ，c 的不等关系求解. 13.【解析】∵a 1＝S 1＝2，a n ＝S n －S n －1＝2·3n －1(n ≥2)，又当n ＝1时，2·30＝2＝a 1， ∴a n ＝2·3n －1，∴a 2 009＋a 2 011a 2 010＝2·32008＋2·320102·32 009＝103. 答案：10314.【解析】设正方形的另一边所在的直线方程为y ＝x ＋m ，该直线与抛物线y 2＝x 交于A 、B 两点. ∴(x ＋m)2＝x ⇒x 2＋(2m －1)x ＋m 2＝0， 且(2m －1)2－4m 2＞0，即m ＜14，设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，∴x 1＋x 2＝1－2m ，x 1x 2＝m 2. ∴|AB|＝2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝2(1－4m)＝|4－m|2，即21－4m ＝|4－m|，∴m ＝－2或－6， ∴|AB|＝32或5 2. 答案：32或5 215.【解析】双曲线的右顶点坐标A(3,0)，右焦点坐标F(5,0)，设一条渐近线方程为y ＝43x ，建立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝43(x －5)x 29－y 216＝1，得交点纵坐标y ＝－3215，从而S △AFB ＝12×2×3215＝3215.答案：321516.【解析】集合M ：a ＝(1,2)＋λ(2,1)＝(1＋2λ，2＋λ)，对于集合N ：a ＝(2cos θ，0)＋(－1,2sin θ)＝(2cos θ－1,2sin θ)，因为当且仅当集合M 与N 的元素中，向量的坐标对应相等时，才是M ∩N 的元素，即⎩⎪⎨⎪⎧2cos θ－1＝1＋2λ2sin θ＝2＋λ，消去λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝0cos θ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝45cos θ＝35，所以M ∩N ＝{(－3,0)，(15，85)}.答案：{(－3,0)，(15，85)}17.【解析】设椭圆的方程为x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)，F 1(－c,0)、F 2(c,0).因为点P 在椭圆上，所以|PF 1|＋|PF 2|＝2a.在△PF 1F 2中，由余弦定理，得|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos π3＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－3|PF 1||PF 2|， 即4c 2＝4a 2－3|PF 1|·|PF 2|.又因S △PF 1F 2＝33，所以12|PF 1|·|PF 2|sin π3＝33，得|PF 1|·|PF 2|＝12.所以4c 2＝4a 2－36，得b 2＝9，即b ＝3. 又e ＝c a ＝45，故a 2＝259b 2＝25.所以所求椭圆的方程为x 225＋y29＝1.18.【解析】(1)∵a>0，c>0，∴当x>0时，f(x)＝1a (x ＋c x )≥1a ·2 c.当x ＝c x 即x ＝c 时，函数f(x)取得最小值2ca.由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝22ca＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧c ＝4a ＝4，∴f(x)＝x 2＋44x (x ≠0).(2)(3k ＋1)－4f(x)>2k(k ＋1)－4x ⇒(3k ＋1)－4·x 2＋44x >2k(k ＋1)－4x ⇒ x 2－(3k ＋1)x ＋2k(k ＋1)x <0⇒(x －2k)[x －(k ＋1)]x <0.∵k>0，∴k ＋1>k>0.①当0<k<1时，0<2k<k ＋1，原不等式的解集为(－∞，0)∪(2k ，k ＋1)； ②当k>1时，0<k ＋1<2k ，原不等式的解集为(－∞，0)∪(k ＋1,2k)；③当k ＝1时，0<k ＋1＝2k ， 原不等式的解集为(－∞，0). 综上所述，当0<k<1时， x ∈(－∞，0)∪(2k ，k ＋1)；当k ＝1时，x ∈(－∞，0)；当k>1时，x ∈(－∞，0)∪(k ＋1,2k).19.【解析】(1)依题意⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝0，a 1＋4d ＝6.解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－2，d ＝2.∴a n ＝2n －4.(2)由(1)可知b n ＝32n －4，b n ＋1b n＝9， 所以数列{b n }是首项为19，公比为9的等比数列，19(1－9n )1－9＝172(9n－1).所以数列{b n }的前n 项的和为172(9n－1).【变式备选】在等比数列{a n }中，a n >0(n ∈N *)，公比q ∈(0,1)，且a 1a 5＋2a 3a 5＋a 2a 8＝25，又a 3与a 5的等比中项为2.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 2a n ，求数列{b n }的前n 项和S n ；(3)是否存在k ∈N *，使得S 11＋S 22＋…＋S n n <k 对任意n ∈N *恒成立，若存在，求出k 的最小值；若不存在，请说明理由.【解析】(1)∵a 1a 5＋2a 3a 5＋a 2a 8＝25， ∴a 23＋2a 3a 5＋a 25＝25， ∴(a 3＋a 5)2＝25， 又a n >0，∴a 3＋a 5＝5， 又a 3与a 5的等比中项为2， ∴a 3a 5＝4，而q ∈(0,1)， ∴a 3>a 5，∴a 3＝4，a 5＝1，∴q ＝12，a 1＝16，∴a n ＝16×(12)n －1＝25－n.(2)∵b n ＝log 2a n ＝5－n ，∴b n ＋1－b n ＝－1， b 1＝log 2a 1＝log 216＝log 224＝4，∴{b n }是以b 1＝4为首项，d ＝－1为公差的等差数列， ∴S n ＝n(9－n)2.(3)由(2)知S n ＝n(9－n)2，∴S n n ＝9－n2.当n ≤8时，S n n >0；当n ＝9时，S nn ＝0；当n>9时，S nn<0.∴当n ＝8或9时，S 11＋S 22＋S 33＋…＋S nn有最大值，且最大值为18.故存在k ∈N *，使得S 11＋S 22＋…＋S n n<k 对任意n ∈N *恒成立，k 的最小值为19.20.【解析】(1)由题意可知，可行域是以A 1(－2,0)、A 2(2,0)及点M(1，3)为顶点的三角形， ∵A 1M ⊥A 2M ，∴△A 1A 2M 为直角三角形，∴外接圆C 以原点O 为圆心，线段A 1A 2为直径， 故其方程为x 2＋y 2＝4. ∵2a ＝4，∴a ＝2.又e ＝22，∴c ＝2，可得b ＝ 2. ∴所求椭圆C 1的方程是x 24＋y22＝1.(2)直线PQ 与圆C 相切.设P(x 0，y 0)(x 0≠±2)，则y 02＝4－x 02. ①当x 0＝2时，P(2，±2)，Q(22，0)， k OP ·k PQ ＝－1，∴OP ⊥PQ ，即直线PQ 与圆C 相切. ②当x 0≠2时，k PF ＝y 0x 0－2，∴k OQ ＝－x 0－2y 0，∴直线OQ 的方程为y ＝－x 0－2y 0x.因此，点Q 的坐标为(22，－22x 0－4y 0). ∴k PQ ＝－22x 0－4y 0－y 022－x 02000022x y (x 22)-＝x 0(22－x 0)y 0(x 0－22)＝－x 0y 0，∴当x 0＝0时，k PQ ＝0，∴OP ⊥PQ ；当x 0≠0时，k OP ＝y 0x 0，∴k PQ ·k OP ＝－1，∴OP ⊥PQ.即x 0≠±2时，OP ⊥PQ ，直线PQ 与圆C 相切. 综上可知，直线PQ 始终与圆C 相切.21.【解析】(1)∵直线MN 的斜率k MN ＝m 2－n2m －n ＝m ＋n.又∵l ⊥MN ，m ＋n ≠0，∴直线l 的斜率k ＝－1m ＋n .∵m 2＋n 2＝1，由m 2＋n 2≥2mn ，得 2(m 2＋n 2)≥(m ＋n)2，即2≥(m ＋n)2，∴|m ＋n|≤2，又M ，N 两点不同，∴0＜|m ＋n|＜2，∴|k|＞22，即k ＜－22或k ＞22. (2)∵l 的方程为y －m 2＋n 22＝k(x －m ＋n2)，m 2＋n 2＝1，m ＋n ＝－1k ，y －12＝k(x ＋12k)，∴l ：y ＝kx ＋1，代入抛物线和椭圆方程并整理得：x 2－kx －1＝0……………………………………………………………………① (a ＋2k 2)x 2＋4kx ＋2－2a ＝0……………………………………………………② 知方程①的判别式Δ1＝k 2＋4＞0恒成立，方程②的判别式 Δ2＝8a(2k 2＋a －1)，∵k 2＞12，a ＞0，∴2k 2＋a －1＞a ＞0，∴Δ2＞0恒成立.∵R(k 2，k 22＋1)，S(－2k a ＋2k 2，a a ＋2k2)，由OR ·OS ＝0得：－k 2＋a(k 22＋1)＝0，∴a ＝2k2k 2＋2，∵|k|＞22，∴a ＝2k 2k 2＋2＝2－4k 2＋2＞2－412＋2＝25，∴25＜a ＜2，∵2－a 2＝e ，∴a ＝2－2e 2＞25. e 2＜45，∴0＜e ＜255，∴椭圆E 的离心率的取值范围是(0，255).【方法技巧】求圆锥曲线中参数问题的方法(1)当题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义时，可考虑利用数形结合法求解或构造参数满足的不等式(如双曲线的范围，直线与圆锥曲线相交时Δ＞0等)，通过解不等式(组)求得参数的取值范围；(2)当题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系时，则可先建立目标函数，进而转化为求解函数的值域. 22.【解题指南】(1)利用抛物线的几何性质可直接求解；(2)写出切线方程，求出A ，B ，及抛物线C 1在点P 处的切线与y ＝－3交点的坐标即可找出关于点P 坐标的关系. 【解析】(1)由题意可知，抛物线C 1的准线方程为： y ＝－14，所以圆心M 到抛物线C 1准线的距离为：|－14－(－3)|＝114. (2)设点P 的坐标为(x 0，x 02)，抛物线C 1在点P 处的切线交直线l 于点D. 再设A ，B ，D 的横坐标分别为x A ，x B ，x D ， 在点P(x 0，x 02)的抛物线C 1的切线方程为：y －x 02＝2x 0(x －x 0) ① 当x 0＝1时，过点P(1,1)与圆C 2相切的直线PA 为： y －1＝158(x －1).可得x A ＝－1715，x B ＝1，x D ＝－1，x A ＋x B ≠2x D .当x 0＝－1时，过点P(－1,1)与圆C 2相切的直线PB 为： y －1＝－158(x ＋1)，可得x A ＝－1，x B ＝1715，x D ＝1，x A ＋x B ≠2x D .所以x 02－1≠0.设切线PA ，PB 的斜率为k 1，k 2，则PA ：y －x 02＝k 1(x －x 0)， ② PB ：y －x 02＝k 2(x －x 0)， ③ 将y ＝－3分别代入①，②，③得x D ＝200x 32x -(x 0≠0)；x A ＝x 0－201x 3k +；x B ＝x 0－202x 3k +(k 1，k 2≠0)，从而x A ＋x B ＝2x 0－(x 02＋3)(11k ＋21k ). 又201021|x k x 3|k 1-+++＝1，即(x 02－1)k 12－2(x 02＋3)x 0k 1＋(x 02＋3)2－1＝0. 同理，(x 02－1)k 22－2(x 02＋3)x 0k 2＋(x 02＋3)2－1＝0，所以k 1，k 2是方程(x 02－1)k 2－2(x 02＋3)x 0k ＋(x 02＋3)2－1＝0的两个不相等的根，从而k 1＋k 2＝200202x (x 3)x 1+-，k 1·k 2＝22020(x 3)1x 1+--. 因为x A ＋x B ＝2x D ，所以2x 0－(3＋x 02)(1k 1＋1k 2)＝200x 3x-，即1k 1＋1k 2＝1x 0. 从而2002202(3x )x (3x )1++-＝1x 0， 进而得x 04＝8，x 0＝±48.综上所述，存在点P 满足题意，点P 的坐标为(±48，22).。
【全程复习方略】(广西专用)2013版高中数学 4.3两角和与差的三角函数课时提能训练 理 新人教A版
【全程复习方略】（广西专用）2013版高中数学 4.3两角和与差的三角函数课时提能训练 理 新人教A 版(45分钟 100分)一、选择题(每小题6分，共36分)1.计算cos75°cos15°－sin75°sin15°＝( )(A)0 (B)12 (C)1 (D)－12.已知θ是第一象限角，且sin 4θ＋cos 4θ＝59，则s in2θ＝( )(A)－23 (B)23 (C)223 (D)－2233.(预测题)若α为锐角，且sin(α－π4)＝35，则cos2α＝( )(A)－2425 (B)2425 (C)－725 (D)7254.3－sin70°2－cos 210°＝( )(A)12 (B)22 (C)2 (D)35.(2012·桂林模拟)已知0<θ<π，tan(θ＋π4)＝17，那么sin θ＋cos θ＝() (A)－15 (B)15 (C)－75 (D)75 6.设a ＝12cos6°－32sin6°，b ＝2tan13°1＋tan 213°，c ＝1－cos50°2，则有() (A)a ＜b ＜c (B)a ＜c ＜b(C)a ＞b ＞c (D)a ＞c ＞b二、填空题(每小题6分，共18分) 7.(2012·贺州模拟)已知sin(π2＋α)＝13，则cos(π＋2α)的值为 .8.已知α∈(5π2，3π)，则化简12＋1212＋12cos2α＝ .9.若tan θ2＝2，则cos2θsin2θ＋1的值是 .三、解答题(每小题15分，共30分)10.(易错题)已知α、β∈(3π4，π)，sin(α＋β)＝－35， sin(β－π4)＝1213. (1)求cos(α＋π4)的值. (2)求sin2α的值.11.(2012·玉林模拟)如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作两个锐角α、β，它们的终边分别与单位圆交于A 、B 两点，已知A 、B 的横坐标分别为210、255. (1)求tan(α＋β)的值；(2)求α＋2β的值.【探究创新】(16分)已知向量a ＝(12，32)，b ＝(cosx ，sinx)，x∈(0，π2). (1)若a ∥b ，求sinx 和cos2x 的值；(2)若a ·b ＝2cos(12k π＋13π6＋x)(k∈Z)，求tan(x ＋512π)的值.答案解析1.【解析】选A.原式＝cos(75°＋15°)＝cos90°＝0.2.【解题指南】配方，利用sin 2θ＋cos 2θ＝1及二倍角公式化简.求值时注意角的取值范围.【解析】选C.∵sin 4θ＋cos 4θ＝(sin 2θ＋cos 2θ)2－2sin 2θcos 2θ＝1－12sin 22θ＝59，∴sin 22θ＝89.∵2k π<θ<2k π＋π2(k ∈Z)，∴4k π<2θ<4k π＋π(k ∈Z)，∴sin2θ>0∴sin2θ＝223.3.【解析】选A.由题意，得cos(α－π4) ＝1－sin 2(α－π4)＝45.cos2α＝sin(π2－2α)＝－sin(2α－π2)＝－2sin(α－π4)cos(α－π4)＝－2×35×45＝－2425.4.【解析】选C.原式＝3－cos20°2－1＋cos20°2＝2(3－cos20°)3－cos20°＝2. 5.【解析】选A.∵tan(θ＋π4)＝tan θ＋tan π41－tan θtan π4＝tan θ＋11－tan θ＝17，∴tan θ＝－34，∵θ∈(0，π)，∴sin θ＝35，cos θ＝－45，∴sin θ＋cos θ＝－15.6.【解题指南】运用和、差角的公式，切化弦公式，二倍角公式化简，转化为同名的三角函数.【解析】选B.a ＝12cos6°－32sin6°＝cos(60°＋6°)＝cos66°， b ＝2tan13°1＋tan 213°＝2sin13°cos13°cos 213°＋sin 213°＝sin26°＝cos64°，c ＝1－cos50°2＝sin 225°＝sin25°＝cos65°，∵cos66°＜cos65°＜cos64°，∴a ＜c ＜b.【方法技巧】三角函数式比较大小的技巧(1)利用所学公式对所给三角函数式进行化简，化简的方向是化为同名不同角的三角函数式；(2)利用正、余弦或正切函数的单调性比较大小. 7.【解析】∵sin(π2＋α)＝cos α＝13∴cos(π＋2α)＝－cos2α＝－(2cos 2α－1)＝－(2×19－1)＝79答案：798.【解析】∵α∈(5π2，3π)，∴α2∈(54π，32π) ∴原式＝12＋1212＋12(2cos 2α－1)＝12＋12cos 2α ＝12－12cos α ＝12－12(2cos 2α2－1)＝1－cos 2α2＝sin 2α2＝－sin α2.答案：－sin α29.【解题指南】先由已知条件求tan θ的值，再利用二倍角公式化简求值.【解析】∵tan θ2＝2， ∴tan θ＝2tan θ21－tan 2θ2＝41－4＝－43. 原式＝cos 2θ－sin 2θ2sin θcos θ＋sin 2θ＋cos 2θ＝(cos θ－sin θ)(cos θ＋sin θ)(sin θ＋cos θ)2 ＝1－tan θ1＋tan θ＝1＋431－43＝－7. 答案：－710.【解析】(1)∵α、β∈(3π4，π)， ∴α＋β∈(3π2，2π)，β－π4∈(π2，3π4). 又sin(α＋β)＝－35，sin(β－π4)＝1213. ∴cos(α＋β)＝45，cos(β－π4)＝－513， ∴cos(α＋π4)＝cos[(α＋β)－(β－π4)] ＝cos(α＋β)cos(β－π4)＋sin(α＋β)sin(β－π4) ＝45×(－513)＋(－35)×1213＝－5665. (2)sin2α＝－cos(π2＋2α) ＝－[2cos 2(π4＋α)－1] ＝1－2×(－5665)2 ＝1－6 2724 225＝－2 0474 225. 【变式备选】设α∈(π2，π)，β∈(3π2，2π)，若cos α＝－12，sin β＝－32，求sin(α＋β)的值.【解析】∵α∈(π2，π)，cos α＝－12，∴sin α＝32，∵β∈(3π2，2π)，sin β＝－32，∴cos β＝12.∴sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β ＝32×12＋(－12)×(－32)＝32.11.【解析】(1)由条件得cos α＝210，cos β＝255.∵α、β为锐角，∴sin α＝1－cos 2α＝7210，sin β＝1－cos 2β＝55.∴tan α＝7，tan β＝12.∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝7＋121－7×12＝－3.(2)∵tan2β＝2tan β1－tan 2β＝2×121－(12)2＝43，∴tan(α＋2β)＝tan α＋tan2β1－tan α·tan2β＝7＋431－7×43＝－1.又α、β为锐角，∴0＜α＋2β＜3π2，∴α＋2β＝3π4.【探究创新】【解析】(1)∵a ∥b ， ∴12sinx －32cosx ＝0， ∴sinx ＝3cosx ， 又∵sin 2x ＋cos 2x ＝1， ∴cos 2x ＝14，∵x ∈(0，π2)，∴cosx ＝12， sinx ＝1－cos 2x ＝32，cos2x ＝2cos 2x －1＝12－1＝－12.(2)∵a ·b ＝12cos x ＋32sinx＝sin(x ＋π6)，又2cos(12k π＋13π6＋x)＝2cos(2k π＋2π＋π6＋x)＝2cos(x ＋π6)∴sin(x ＋π6)＝2cos(x ＋π6) ∴tan(x ＋π6)＝2，∴tan(x ＋512π)＝tan[(x ＋π6)＋π4]＝tan(x ＋π6)＋tan π41－tan(x ＋π6)tan π4＝2＋11－2×1＝－3.。
【全程复习方略】(广西专用)版高中数学 9.7球课时提能训练 理 新人教A版
【全程复习方略】（广西专用）2013版高中数学 9.7球课时提能训练 理 新人教A 版(45分钟 100分)一、选择题(每小题6分，共36分)1.表面积为16π的球的一个截面面积为3π，则球心到该截面的距离为( ) (A)32 (B) 3 (C)12(D)1 2.已知过球面上A ，B ，C 三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB ＝BC ＝CA ＝2，则球的表面积是( )(A)169π (B)83π (C)4π (D)649π3.(2012·桂林模拟)在平行四边形ABCD 中， AB ·BD ＝0，且2AB 2＋BD 2－4＝0，沿BD 折成直二面角A －BD －C ，则三棱锥A －BCD 的外接球的表面积是( ) (A)16π (B)8π (C)4π (D)2π4.用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的体积为( ) (A)32π3 (B)8π3 (C)82π (D)82π35.(2012·梧州模拟)长方体的三个相邻面的面积分别为2,3,6，这个长方体的顶点都在同一个球面上，则这个球的面积为( )(A)72π (B)56π (C)14π (D)64π 6.位于北纬x 度的A 、B 两地经度相差90°，且A 、B 两地间的球面距离为π3R(R 为地球半径)，那么x 等于( )(A)30 (B)45 (C)60 (D)75 二、填空题(每小题6分，共18分)7.若正方体的表面积为24 cm 2，它的顶点都在一个球面上，则这个球的表面积是 cm 2.8.正四棱锥P －ABCD 的五个顶点在同一球面上.若正四棱锥的底面边长为4，侧棱长为26，则此球的表面积为 .9.已知A ，B ，C ，D 在同一个球面上，AB⊥平面BCD ，BC⊥CD，若AB ＝6，AC ＝213，AD ＝8，则B ，C 两点间的球面距离是 .三、解答题(每小题15分，共30分)10.如图所示，在棱长为1的正方体内有两个球相外切且又分别与正方体内切.(1)求两球半径之和；(2)两球的半径分别为多少时，两球体积之和最小.11.如图，已知球O的半径为1，P、A、B、C四点都在球面上，PA⊥平面ABC，AB＝AC，∠BAC＝90°.(1)证明：BA⊥平面PAC；(2)若AP＝2，求二面角O－AC－B的大小.【探究创新】(16分)同底的两个正三棱锥内接于半径为R的球，它们的侧面与底面所成的角分别为α1，α2，求：(1)侧面积的比；(2)体积的比；(3)α1＋α2的最大值.答案解析1.【解题指南】注意运用公式r2＝R2－d2.【解析】选D.由题意，球半径R＝2，截面圆半径r＝ 3.则球心O到该截面的距离OO1＝R2－r2＝22－(3)2＝1.2.【解析】选D.如图所示，过A，B，C三点的截面的圆心是O′，球心是O，连结AO′，OO′，则OO′⊥AO′，在△ABC中，AB＝BC＝CA＝2，∴△ABC为正三角形，∴AO ′＝33×2＝233， 设球半径为R ，则OA ＝R ，OO ′＝R2.在Rt △OAO ′中，OA 2＝OO ′2＋AO ′2， 即R 2＝R 24＋(233)2，∴R ＝43，∴球面面积为4πR 2＝649π.3.【解析】选C.折成直二面角后，AC 为外接球直径，(2R)2＝AC 2＝AB 2＋BD 2＋CD 2＝2AB 2＋BD 2＝4，R 2＝1，S ＝4πR 2＝4π.4.【解析】选D.设球的半径为R ，截面圆的半径R 2－1，截面圆的面积S ＝π(R 2－1)2＝(R 2－1)π＝π， ∴R 2＝2⇒R ＝2，球的体积V ＝4π3R 3＝82π3.5.【解析】选C.设长方体的过同一顶点的三条棱长分别为a ，b ，c ，则⎩⎪⎨⎪⎧ ab ＝2bc ＝3ac ＝6，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝1c ＝3，令球的半径为R ，则(2R)2＝22＋12＋32＝14， ∴R 2＝72，∴S 球＝4πR 2＝14π.6.【解析】选B.如图设北纬x 度的纬度圈的半径为r.∵A 、B 两地的球面距离为π3R ，∴∠AOB ＝π3R R ＝π3，∴三角形AOB 为等边三角形， 即AB ＝R ，在Rt △AO 1B 中，r ＝AO 1＝22R ，∴cosx °＝22R R ＝22，∴x °＝45°.7.【解析】设正方体的棱长为a ，球半径为R ，则6a 2＝24,2R ＝3a ，∴a ＝2，R ＝3， ∴球的表面积为4πR 2＝12π cm 2. 答案：12 π8.【解析】如图，因为外接球球心必在四棱锥高PO1所在直线上，PO 1＝(26)2－(22)2＝4，所以设OP ＝R ，BO 1＝22，OO 1＝PO 1－R ＝4－R. 在Rt △BOO 1中，R 2＝OO 12＋BO 12，所以R ＝3， 所以S ＝4π·R 2＝36π. 答案：36π9.【解题指南】寻找过B 、C 两点的截面或确定四点A ，B ，C ，D 与球的特殊关系.【解析】如图①，易得BC ＝(213)2－62＝4，BD ＝82－62＝27，∴CD ＝23，则此球内接长方体的三条棱长为AB 、BC 、CD(CD 的对边与CD 等长)，从而球的直径为2R ＝62＋42＋(23)2＝8，R ＝4，则BC 与球心构成的大圆如图②，因为△OBC 为正三角形，则B ，C 两点间的球面距离是4π3.答案：4π310.【解析】(1)如图，球心O 1和O 2在AC 上，过O 1，O 2分别作AD ，BC 的垂线交AD ，BC 于E 、F ，设球O 1的半径为r ，球O 2的半径为R.则由AB ＝1，AC ＝3得AO 1＝3r ，CO 2＝3R. ∴r ＋R ＋3(r ＋R)＝3， ∴R ＋r ＝33＋1＝3－32. (2)设两球体积之和为V ， 则V ＝43π(R 3＋r 3)＝43π(r ＋R)(R 2－Rr ＋r 2) ＝43π3－32[(R ＋r)2－3rR] ＝43π3－32[(3－32)2－3R(3－32－R)] ＝43π3－32[3R 2－3(3－3)2R ＋(3－32)2] 当R ＝3－34时，V 有最小值.∴当R ＝r ＝3－34时，体积之和有最小值.【方法技巧】有关球的组合体的解题思路解决这类问题的关键是准确分析出组合体的结构特征，发挥自己的空间想象能力，把立体图和截面图对照分析，找出几何体中的数量关系.与球有关的截面问题为了增加图形的直观性，解题时常常画一个截面圆起衬托作用.【变式备选】已知正三棱柱的底面边长为1，侧棱长为2，则这样的三棱柱内能否放进一个体积为π16的小球？【解析】设球半径为R ，则4πR 33＝π16，∴R ＝334.而正三棱柱底面内切圆半径r ＝36，比较R 与r 的大小，R 6＝3246＝273×26×164，r 6＝2766＝2736×26＝273×26×1243， ∴R 6>r 6，∴R>r ，所以不能放进一个体积为π16的小球.11.【解析】(1)∵PA ⊥平面ABC ，BA ⊂平面ABC ， ∴PA ⊥BA ，又∵∠BAC ＝90°，∴BA ⊥AC ， ∵PA ∩AC ＝A ，∴BA ⊥平面PAC. (2)过O 作OO 1⊥平面ABC 于O 1.∵AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，则O 1是截面圆的圆心，且BC 是直径，过O 作OM ⊥PA 于M ，则M 为PA 的中点，连结O 1A ，则四边形MAO 1O 为矩形，∴OO 1＝12PA ＝22.过O 作OE ⊥AC 于E ，连结EO 1， 则∠OEO 1为二面角O －AC －B 的平面角.在Rt △OBO 1中，O 1B ＝22， ∴BC ＝2，AB ＝1，∴O 1E ＝12.在Rt △OO 1E 中，tanOEO 1＝OO 1O 1E ＝2，∴二面角O －AC －B 的大小为arctan 2. 【探究创新】【解析】(1)设O 为球心，O 1为正三棱锥底面ABC 所在圆的圆心，两个三棱锥的顶点分别为P ，Q ，取BC 的中点D ，则PD ⊥BC ，AD ⊥BC ，∴∠PDO 1是侧面与底面所成二面角的平面角，∴∠PDO 1＝α1，同理∠QDO 1＝α2. ∴PD ＝DO 1cos α1，QD ＝DO 1cos α2，∴S P —ABC 侧＝3×12BC ·PD ＝32BC ·DO 1cos α1.S Q —ABC 侧＝3×12BC ·QD ＝32BC ·DO 1cos α2，∴S P —ABC 侧∶S Q —ABC 侧＝cos α2∶cos α1. (2)PO 1＝DO 1·tan α1，QO 1＝DO 1·tan α2， 这两个三棱锥的底都是△ABC ，∴V P —ABC ∶V Q —ABC ＝PO 1∶QO 1＝tan α1∶tan α2.(3)设球心在Q 与O 1之间，△ABC 的边长为a ，OO 1＝h ， 则tan α1＝PO 1DO 1＝R －hDO 1，tan α2＝QO 1DO 1＝R ＋hDO 1，而DO 1＝13AD ＝13·32a ＝36a ，AO 1＝23AD ＝33a.R 2－h 2＝AO 21＝13a 2，∴tan(α1＋α2)＝tan α1＋tan α21－tan α1tan α2＝2R DO 11－R 2－h2DO 21＝2RDO 1－a 23DO 1＝－43R 3a <0. ∵0<α1<π2，0<α2<π2，∴π2<α1＋α2<π，当平面ABC 通过球心O 时，a 最大为3R 时，tan(α1＋α2)取最大值－43，这时α1＋α2也最大，最大值为π－arctan 43.。
【全程复习方略】(广西专用)高中数学 3
①数列1,3,5,7可表示为{1,3,5,7}.( )
②数列1,0，－1，－2与数列－2，－1,0,1是相同的数列.( )
③数列 { n 1 } 的第k项为1＋ 1 .( )
n
k
④数列0,2,4,6,…可记为{2n}.( )
【解析】由数列的定义可知①、②错误；数列{ n 的1 } 第k项为
n
k ＝1 1＋ ，1 故③正确；数列0,2,4,6，…的通项公式为
2.“累乘法”求an
已知a1且 a n =f(n)(n≥2),可以用“累乘法”，
a n1
即 a n =f(n), a n 1 =f(n-1),…, a 3 =f(3), a 2 =f(2)，所有等
a n1
a n2
a2
a1
式左右两边分别相乘，代入a1得an.
【提醒】在求解出通项公式后，记得验证a1是否满足公式.
n
∴an-an-1=ln (1
=1 )
n 1
l(nn≥n 2)，
n 1
∴an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1
=lnn lnn 1 ln 3 ln 2 2
n 1 n 2 2
= 2ln(n n 1=2+l3 nn(2 n)≥2).
n 1 n2 2
又a1=2适合上式，故an=2+lnn(n∈N*).
(2)∵a1=1,nan+1=(n+1)an,
∴ an1n1,(ann≥ 2).n
an n an1 n1
∴ anaann 1
an 1 an2
a3 a2
a2 a1
a1
= n n 1
【全程复习方略】(广西专用)2013版高中数学 12.2总体分布的估计、总体期望值和方差的估计课时提能训练 文
【全程复习方略】（广西专用）2013版高中数学 12.2总体分布的估计、总体期望值和方差的估计课时提能训练 文 新人教版(45分钟 100分)一、选择题(每小题6分，共36分)1.某商贩有600千克苹果出售，有以下两种出售方案：①分成甲级200千克，每千克售价2.40元，乙级400千克，每千克售价 1.20元；②分成甲级400千克，每千克售价2.00元，乙级200千克，每千克售价 1.00元.两种出售方案的平均价格分别为x 1和x 2，则( ) (A)x 1>x 2 (B)x 1＝x 2(C)x 1<x 2 (D)x 1与x 2的大小不确定2.(2012·北海模拟)一组数据中的每一个数据都乘以2，再都减去80，得一组新数据，若求得新数据的平均数是1.2，方差是4.4，则原来数据的平均数和方差分别是( ) (A)40.6,1.1 (B)40.6,4.4 (C)81.2,44.4 (D)78.8,1.13.从某项综合能力测试中抽取100人的成绩，统计如表，则这100人成绩的标准差为( )(A) 3 (B)2105 (C)3 (D)854.从某校高三年级随机抽取一个班，对该班50名学生的高校招生体检表中的视力情况进行统计，其结果的频率分布直方图如图所示：若某高校A专业对视力的要求在0.9以上，则该班学生中能报A专业的人数为( )(A)10 (B)20 (C)8 (D)165.(2012·玉林模拟)某校为了了解学生的课外阅读情况，随机调查了50名学生，得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据，结果用下面的条形图表示，根据条形图可得这50名学生这一天平均每人的课外阅读时间为( )(A)0.6小时 (B)0.9小时 (C)1.0小时 (D)1.5小时6.(预测题)某工厂对一批产品进行了抽样检测.如图是根据抽样检测后的产品净重(单位：克)数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96,106]，样本数据分组为[96,98)，[98,100)，[100,102)，[102,104)，[104,106]，已知样本中产品净重小于100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是( )(A)90 (B)75 (C)60 (D)45二、填空题(每小题6分，共18分)7.电池厂从某日生产的电池中抽取10个进行寿命测试，得到数据如下(小时)：30,35,25,25,30,34,26,25,29,21，则该电池的平均寿命估计为小时.8.如图，从参加奥运知识竞赛的学生中抽出60名，将其成绩(均为整数)整理后作出的频率分布直方图如图：观察图形，估计这次奥运知识竞赛的及格率(大于或等于60分为及格)为.9.(2012·桂林模拟)为了了解“预防禽流感疫苗”的使用情况，温州市卫生部门对本地区9月份至11月份使用疫苗的所有养鸡场进行了调查，根据下列图表提供的信息，可以得出这三个月本地区每月注射了疫苗的鸡的数量平均数为万只.三、解答题(每小题15分，共30分)10.(易错题)为了保护学生的视力，教室内的日光灯使用一段时间后必须更换，已知某校使用的100支日光灯在必须换掉前的使用天数如表所示：(1)试估计这种日光灯的平均使用寿命；(2)若定期更换，可选多长时间更换合适？11.某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名学生，并统计了他们的物理成绩(成绩均为整数且满分为100分)，把其中不低于50分的分成五段[50,60)，[60,70)，…，[90,100]后画出如图部分频率分布直方图.观察图形的信息，回答下列问题：(1)求出物理成绩低于50分的学生人数；(2)估计这次考试物理学科及格率(60分及以上为及格)；(3) 从物理成绩不及格的学生中选两人，求他们的成绩至少有一个不低于50分的概率. 【探究创新】(16分)对某电子元件进行寿命追踪调查，情况如表所示：(1)列出频率分布表；(2)画出频率分布直方图；(3)估计电子元件寿命在100 h～400 h以内的概率；(4)估计电子元件寿命在400 h以上的概率；(5)估计总体的数学期望值.答案解析1.【解析】选C.x1＝1600×(200×2.40＋400×1.20)＝1.60，x2＝1600×(400×2.00＋200×1.00)≈1.67，∴x1＜x2.2.【解析】选A.设原数据的平均数为x ，则2x －80＝1.2，解得x ＝40.6，设原数据的方差为s 2，则4s 2＝4.4，即s 2＝1.1.3.【解题指南】根据图表信息，先求出这100人的平均成绩，然后再根据公式s 2＝1n [(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]求出方差，从而得出标准差. 【解析】选B.x ＝100＋40＋90＋60＋10100＝3，∴s 2＝1n [(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]＝1100[20×22＋10×12＋30×12＋10×22]＝160100＝85， s ＝2105. 4.【解析】选B.视力在0.9以上的频率为(1＋0.75＋0.25)×0.2＝0.4，故能报A 专业的人数为0.4×50＝20.5.【解析】选B.平均每人阅读时间为：150(5×0＋20×0.5＋10×1.0＋10×1.5＋5×2.0)＝0.9(小时) 6.【解题指南】先根据频率分布直方图求出小于100克的频率，然后求出样本总数，进而求出样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数.【解析】选A.样本中产品净重小于100克的频率为(0.050＋0.100)×2＝0.3，频数为36.样本总数为360.3＝120.∵样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的频率为(0.100＋0.150＋0.125)×2＝0.75，∴样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数为120×0.75＝90. 7.【解析】x ＝30＋35＋…＋2110＝28010＝28.答案：288.【解析】频率分布直方图中大于或等于60的面积为(0.015＋0.03＋0.025＋0.005)×10＝0.75，所以及格率为75%. 答案：75%9.【解题指南】本题以统计图表为背景，考查了数学期望值(平均数)的计算问题，正确进行相关数据统计与分析，是解决此类问题的关键.注意养鸡场个数对注射疫苗的鸡的数量的影响，由图表首先计算出三个月内注射疫苗的鸡的总数量，再求其平均数.【解析】∵三个月本地区注射疫苗的鸡的总数量为20×1＋50×2＋100×1.5＝270(万只)，∴每月注射疫苗的鸡的数量平均数为2703＝90(万只).答案：9010.【解题指南】总体的平均数与标准差往往很难求，甚至是不可求的，通常的做法就是用样本的平均数与标准差去估计总体的平均数与标准差，只要样本的代表性好，这种做法就是合理的. 【解析】(1)各组的中值分布为 165,195,225,255,285,315,345,375. 由此可算得平均数为1100×(165＋195×11＋225×18＋255×20＋285×25＋315×16＋345×7＋375×2)＝267.9≈268(天). (2)该组数的方差为1100×[1×(165－268)2＋11×(195－268)2＋18×(225－268)2＋20×(255－268)2＋25×(285－268)2＋16×(315－268)2＋7×(345－268)2＋2×(375－268)2]＝2 128.6， 故标准差为 2 128.6≈46(天).所以估计这种日光灯的平均使用寿命约为268天，标准差约为46天，故可在222天到314天之间统一更换较合适.【方法技巧】总体期望值与方差的解题策略(1)在刻画样本数据的分散程度上，方差与标准差是一样的，但在解决实际问题时，一般多采用标准差. (2)平均数和标准差是工业生产中检测产品质量的重要指标，当样本的平均数或标准差超过界线的时候，说明这批产品的质量可能距生产要求有较大的偏差，应该进行检查，找出原因及时解决问题. 11.【解析】(1)因为各组的频率和等于1，故低于50分的频率为： f 1＝1－(0.015×2＋0.03＋0.025＋0.005)×10＝0.1， 所以低于50分的人数为60×0.1＝6.(2)依题意，成绩60分及以上的分数所在的第三、四、五、六组(低于50分的为第一组)， 频率和为(0.015＋0.03＋0.025＋0.005)×10＝0.75， 所以抽样学生成绩的及格率是75%，于是，可以估计这次考试物理学科及格率约为75%.(3)“成绩低于50分”及“[50,60)”的人数分别是6,9.所以从成绩不及格的学生中选两人，他们的成绩至少有一个不低于50分的概率为：P ＝1－6×515×14＝67.【方法技巧】解决频率分布直方图应用题的方法(1)在频率分布表中，频数的和等于样本容量，频率的和等于1，每一小组的频率等于这一组的频数除以样本容量；(2)在频率分布直方图中，小矩形的高等于每一组的频率/组距，它们与频数成正比，小矩形的面积等于这一组的频率；(3)对于开放性问题的回答，要选择适当的数据特征进行考察，根据数据特征分析得出实际问题的结论. 【变式备选】某校为了了解高一年级学生的体能情况，抽调了一部分学生进行一分钟跳绳测试，将测试成绩整理后作出如图所示统计图，甲同学计算出前两组的频率和是0.12，乙同学计算出跳绳次数不少于100次的同学占96%，丙同学计算出从左至右第二、三、四组的频数比为4∶17∶15，结合统计图回答下列问题：(1)这次共抽调了多少人？(2)若跳绳次数不少于130次为优秀，则这次测试成绩的优秀率是多少？(3)如果这次测试成绩的中位数是120次，那么这次测试中，成绩为120次的学生至少有多少人？【解题指南】(1)根据题意，结合各小组频数之和等于数据总和，各小组频率之和等于1，易得第二组的频率为0.08；再由频率、频数的关系，频率＝频数/数据总和，可得总人数.(2)根据题意：从左至右第二、三、四组的频数比为4∶17∶15，结合(1)的结论，容易求得各组的人数，这样就能求出优秀率.(3)由中位数的意义，作答即可.【解析】(1)第一组的频率为1－0.96＝0.04，第二组的频率为0.12－0.04＝0.08，故总人数为120.08＝150，即这次共抽调了150人.(2)第一组人数为150×0.04＝6，第二组人数为12，第三、四组人数分别为51、45，这次测试的优秀率为150－6－12－51－45150×100%＝24%.(3)前三组的人数为69，而中位数是第75和第76个数的平均数，所在成绩为120次的学生至少有7人. 【探究创新】【解析】(1)频率分布表如表所示：(2)频率分布直方图如图所示：(3)由频率分布表可以看出，寿命在100 h ～400 h 内的电子元件出现的频率为0.65，所以我们估计电子元件寿命在100 h ～400 h 内的概率为0.65.(4)由频率分布表可知，寿命在400 h 以上的电子元件出现的频率为0.20＋0.15＝0.35，故我们估计电子元件寿命在400 h 以上的概率为0.35. (5)样本的期望值为：100＋2002×0.10＋200＋3002×0.15＋300＋4002×0.40＋400＋5002×0.20＋500＋6002×0.15＝15＋37.5＋140＋90＋82.5＝365(h).所以我们估计生产的电子元件寿命的总体期望值(总体均值)为365 h.。
【全程复习方略】(广西专用)2013版高中数学 5.1平面向量的概念及运算课时提能训练 理 新人教A版
【全程复习方略】（广西专用）2013版高中数学 5.1平面向量的概念及运算课时提能训练 理 新人教A 版(45分钟 100分)一、选择题(每小题6分，共36分)1.(2012·柳州模拟)已知命题：①向量AB 与BA 是两平行向量.②若a ，b 都是单位向量，则a ＝b .③若AB ＝DC (A 、B 、C 、D 不重合)，则A ，B ，C ，D 四点构成平行四边形.④若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .其中正确命题的个数为( )(A)1 (B)2 (C)3 (D)42.已知O ，A ，B 是平面上的三个点，直线AB 上有一点C ，满足2AC ＋CB ＝0，则OC 等于( )(A)2OA －OB (B)－OA ＋2OB(C)23OA －13OB (D)－13OA ＋23OB 3.平面上点P 与不共线的三点A 、B 、C 满足关系： PA ＋PB ＋PC ＝AB ，则下列结论正确的是( )(A)P 在CA 上，且CP ＝2PA(B)P 在AB 上，且AP ＝2PB(C)P 在BC 上，且BP ＝2PC(D)P 点为△ABC 的重心4.(2012·宿州模拟)设OB ＝x OA ＋y OC ，x ，y∈R 且A 、B 、C 三点共线(该直线不过点O)，则x ＋y ＝( )(A)－1 (B)1 (C)0 (D)25.若向量a ＝(1,1)，b ＝(－1,1)，c ＝(4,2)，则c ＝( )(A)3a ＋b (B)3a －b(C)－a ＋3b (D)a ＋3b6.(预测题)已知P ＝{ a | a ＝(1,0)＋m(0,1)，m∈R}，Q ＝{ b | b ＝(1,1)＋n(－1,1)，n∈R}是两个向量集合，则P∩Q＝( )(A){(1,1)} (B){(－1,1)}(C){(1,0)} (D){(0,1)}二、填空题(每小题6分，共18分)7.在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，且AC＝λAE＋μAF，其中λ，μ∈R，则λ＋μ＝.8.若平面向量a，b满足|a＋b|＝1，a＋b平行于y轴，a＝(2，－1)，则b＝.9.(2012·济南模拟)如图，在□ABCD中，AB＝a，AD＝b，AN＝3NC，M是BC的中点，则MN＝(用a，b表示).三、解答题(每小题15分，共30分)10.(易错题)如图所示，O为△ABC内一点，若有4OA＋OB＋OC＝0，试求△ABC与△O BC的面积之比.11.若a，b为不共线向量，(1)试证2a－b,2a＋b为平面向量的一组基底；(2)试用2a－b,2a＋b表示3a－b.【探究创新】(16分)已知向量u＝(x，y)，v＝(y,2y－x)的对应关系用v＝f(u)来表示.(1)证明：对于任意向量a，b及常数m，n，恒有f(m a＋n b)＝mf(a)＋nf(b)成立；(2)设a＝(1,1)，b＝(1,0)，求向量f(a)及f(b)的坐标.答案解析1.【解析】选A.AB ＝－BA ，故AB 与BA 是平行向量，①正确；单位向量的方向未确定，故②不正确；AB ＝DC ，A ，B ，C ，D 四点可能共线，③不正确；若b ＝0，a ∥0，0∥c ，但a 与c 不一定平行.故④不正确.2.【解析】选A.OC ＝OB ＋BC ＝OB ＋2AC ＝OB ＋2(OC －OA ).∴OC ＝2OA －OB .3.【解析】选A.PA ＋PB ＋PC ＝AB ⇒PA ＋PC ＝AB －PB ⇒PA ＋PC ＝AP ⇒CP ＝2PA ⇒CP ∥PA ⇒P 在CA 上.4.【解析】选B.如图，设AB ＝λAC ，则OB ＝OA ＋AB ＝OA ＋λAC＝OA ＋λ(OC －OA )＝OA ＋λOC －λOA＝(1－λ)OA ＋λOC ，∴x ＝1－λ，y ＝λ，∴x ＋y ＝1.5.【解题指南】解本题可用待定系数法，设c ＝m a ＋n b ，利用向量相等列出关于m ，n 的方程组.【解析】选B.设c ＝m a ＋n b ，则(4,2)＝(m －n ，m ＋n).∴⎩⎪⎨⎪⎧ m －n ＝4m ＋n ＝2⇒⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝3n ＝－1，∴c ＝3a －b .【一题多解】选B.对于A ，3a ＋b ＝3(1,1)＋(－1,1)＝(2,4)≠c ，故A 不正确；同理选项C 、D 也不正确；对于B ，3a －b ＝(4,2)＝c ，故B 正确.6.【解析】选A.由题意得a ＝(1,0)＋m(0,1)＝(1，m)，b ＝(1,1)＋n(－1,1)＝(1－n,1＋n)，由(1，m)＝(1－n,1＋n)得⎩⎪⎨⎪⎧ 1＝1－n m ＝1＋n ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ n ＝0m ＝1.故P ∩Q ＝{(1,1)}.【方法技巧】利用基底表示向量的方法技巧在求向量时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则，利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解.7.【解析】设BC ＝b ，BA ＝a ，则AF ＝12b －a ，AE ＝b －12a ，AC ＝b －a ， 代入条件得λ＝μ＝23，∴λ＋μ＝43. 答案：43【变式备选】如图，在△ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N ，若AB ＝m AM ，AC ＝n AN ，则m ＋n 的值为 .【解题指南】可以由M 、N 的特殊位置求m 、n 的值.【解析】由MN 的任意性可用特殊位置法：当MN 与BC 重合时知m ＝1，n ＝1，故m ＋n ＝2.答案：28.【解析】设b ＝(x ，y)，则a ＋b ＝(x ＋2，y －1)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ (x ＋2)2＋(y －1)2＝1x ＋2＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2y ＝0或2.所以b ＝(－2,0)或(－2,2).答案：(－2,0)或(－2,2)9.【解析】由题意知MN ＝MC ＋CN＝12BC ＋14CA ＝12BC －14AC ＝12AD －14(AB ＋AD ) ＝12AD －14AB －14AD ＝－14AB ＋14AD ＝－14a ＋14b . 答案：－14a ＋14b 10.【解析】设BC 的中点为点D ，则OB ＋OC ＝2OD ，∴4OA ＋2OD ＝0，∴OA ＝－12OD ， ∴A 、O 、D 三点共线，且|AD |＝3|AO |，∴|AD |＝32|OD |.作AE ⊥BC ，OF ⊥BC ，垂足分别为E 、F ，则|AE |＝32|OF |，∴S △ABC S △OBC ＝1|BC ||AE |21|BC ||OF |2⋅⋅＝32. 【方法技巧】向量在平面几何中的应用技巧平面向量的知识在解决平面几何中的问题时应用非常广泛：利用共线向量定理，可以证明点共线，两直线平行，并进而判定一些特殊图形；利用向量的模，可以说明线段间的长度关系，并进而求解图形的面积.在后续内容中，向量的应用将更广泛.要注意图形中的线段、向量是如何相互转化的.11.【解题指南】(1)利用反证法证明2a －b 与2a ＋b 不共线，(2)可用待定系数法求解.【解析】(1)∵a ，b 不共线，则2a ＋b ≠0,2a －b ≠0，假设(2a －b )∥(2a ＋b )，则2a －b ＝λ(2a ＋b )，整理得：(2－2λ)a ＝(λ＋1)b ，∴a ∥b ，这与a ，b 不共线矛盾.即2a －b ,2a ＋b 为平面向量的一组基底.(2)设3a －b ＝x(2a －b )＋y(2a ＋b )，即3a －b ＝(2x ＋2y)a ＋(y －x)b ，∵a ，b 不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋2y ＝3x －y ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝54y ＝14因此3a －b ＝54(2a －b )＋14(2a ＋b ). 【探究创新】【解析】(1)设a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，则m a ＋n b ＝(ma 1＋nb 1，ma 2＋nb 2)，所以f(m a ＋n b )＝(ma 2＋nb 2,2ma 2＋2nb 2－ma 1－nb 1)，又mf(a )＋nf(b )＝m(a 2,2a 2－a 1)＋n(b 2,2b 2－b 1)＝(ma 2＋nb 2,2ma 2＋2nb 2－ma 1－nb 1)， 所以f(m a ＋n b )＝mf(a )＋nf(b ).(2)f(a )＝(1,2×1－1)＝(1,1)，f(b )＝(0，－1).。
（广西专用）2022版高中数学 1.1集 合课时提能训练 理 新人教A版
【全程复习方略】（广西专用）2022版高中数学集合课时提能训练理新人教A版一、选择题每小题6分，共36分12022·柳州模拟集合，N为集合I的非空真子集，且M，N不相等，若N∩I M＝Ø，则M∪N＝AM BN CI DØ0，b≠1}，若集合A∩B＝Ø，则实数a的取值范围是是实数集，M＝{|错误!RA－∞，1] B－∞，1 C1，＋∞ DR二、填空题每小题6分，共18分＝{0,1，1,1，－1,2}，B＝{，|＋－1＝0，，∈Z}，则A∩B＝82022·上海高考若全集U＝R，集合A＝{|≥1}∪{|≤0}，则U A＝∈A，错误!∈A，就称A是伙伴关系集合，集合M＝{－1,0，错误!，错误!，1,2,3,4}的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数为三、解答题每小题15分，共30分10易错题已知集合2a3a、N之间的关系，利用子集关系求解R【解析】选A如图，因为N∩I M＝Ø，所以N⊆M，所以M∪N＝M0}＝0，＋∞，3【解析】＝{|错误!2或R RS＝{|>1}＝1，＋∞，∴M∪S＝0，＋∞＝M，M∩S＝1，＋∞＝S，故选A6【解析】选A由已知得，集合A表示直线＝a上的点，集合B表示函数＝b＋1b>0且b≠1图象上的点，又∵A∩B＝Ø，∴a≤17【解析】A、B都表示点集，A∩B即是由A中在直线＋－1＝0上的所有点组成的集合，代入验证即可答案：{0,1，－1,2}8【解析】全集为U＝R，A＝{|≤0或≥1}，故集合A的补集应该把临界点0和1去掉3a3a3a3}，答案：{|0R R当R A∩B＝B时，B⊆R A，①当B＝Ø，即a≥0时，满足B⊆R A；②当B≠Ø，即a<0时，B＝{|－错误!<<错误!}，要使B⊆R A，需错误!≤错误!，解得－错误!≤a<0综上可得，实数a的取值范围是a≥－错误!＝{|2－a＋a2－19＝0}，B＝{|2－5＋6＝0}，C＝{|2＋2－8＝0}1若A∪B＝A∩B，求实数a的值；2若A∩B≠Ø，且A∩C＝Ø，求实数a的值；3若A∩B＝A∩C≠Ø，求实数a的值【解析】1因为A∪B＝A∩B，所以A＝B，又因为B＝{2,3}，则a＝5且a2－19＝6同时成立，所以a＝52因为B＝{2,3}，C＝{－4,2}，且A∩B≠Ø，A∩C＝Ø，则只有3∈A，即a2－3a－10＝0，即a＝5或a＝－2，由1可知，当a＝5时，A＝B＝{2,3}，此时A∩C≠Ø，与已知矛盾，所以a＝5舍去，经检验a＝－2符合题意，故a＝－23因为B＝{2,3}，C＝{－4,2}，且A∩B＝A∩C≠Ø，此时有2∈A，即a2－2a－15＝0，得a＝5或a＝－3，由1可知，当a＝5时不合题意，经检验a＝－3符合题意，故a＝－3【探究创新】【解析】1由题意知A、B中元素均为整数，又A∩B＝{a1，a4}，∴a1、a4必定为自然数的平方，又a1＋a4＝10且a1<a4，∴a1＝1，a4＝92由1知A＝{1，a2，a3,9}，B＝{1，a22，a32,81}，∵A∩B＝{1,9}，∴9∈B，即3∈A，设另一元素为∈A，则2∈B，由题意得1＋3＋9＋＋81＋2＝124，化简得2＋－30＝0，解得＝5或＝－6舍去，∴能确定A＝{1,3,5,9}，B＝{1,9,25,81}。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
【全程复习方略】（广西专用）2013版高中数学 单元评估检测(三)课时提能训练 理 新人教A 版(第三章) （120分钟 150分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.设等差数列{a n }的公差为非零常数d ，且a 1＝1，若a 1，a 3，a 13成等比数列，则公差d ＝( ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)52.已知各项均为正数的等比数列{a n }中，lg(a 3a 8a 13)＝6，则a 1a 15的值为( ) (A)100 (B)1 000 (C)10 000 (D)103.(2012·柳州模拟)已知数列{a n }，a n ＝2n＋1，则1a 2－a 1＋1a 3－a 2＋…＋1a n ＋1－a n＝( )(A)1＋12n (B)1－2n(C)1－12n (D)1＋2n4.已知数列{a n }中，a 1＝1，以后各项由公式a n ＝a n －1＋1n(n －1)(n≥2，n ∈N *)给出，则a 4＝( )(A)74 (B)－74 (C)47 (D)－475.已知数列－1，a 1，a 2，－4成等差数列，－1，b 1，b 2，b 3，－4成等比数列，则a 2－a 1b 2的值为( )(A)12 (B)－12 (C)12或－12 (D)146.已知S n 为等比数列{a n }的前n 项和，a 1＝2，若数列{1＋a n }也是等比数列，则S n 等于( ) (A)2n (B)3n (C)2n ＋1－2 (D)3n－17.由a 1＝1，a n ＋1＝a n3a n ＋1得出的数列{a n }的第34项为( )(A)34103(B)100(C)1100 (D)11048.(2012·贺州模拟)若S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 9＝－36，S 13＝－104，则a 5与a 7的等比中项为( ) (A)4 2 (B)±2 2 (C)±4 2 (D)329.已知数列{a n }的前n 项和S n 和通项a n 满足S n ＝12(1－a n )，则数列{a n }的通项公式为( )(A)a n ＝(13)n ＋1 (B)a n ＝(13)n(C)a n ＝(13)n －1 (D)a n ＝3·(13)n －110.已知数列{a n }各项均为正数，若对任意的正整数p 、q ，总有a p ＋q ＝a p ·a q ，且a 8＝16，则a 10＝( ) (A)16 (B)32 (C)48 (D)6411.已知数列{a n }的通项为a n ＝2n －1(n∈N *)，把数列{a n }的各项排列成如图所示的三角形数阵.记M(s ，t)表示该数阵中第s 行的第t 个数，则该数阵中的数2 011对应于( )1 3 5 7 9 11 13 15 17 19…(A)M(45,15) (B)M(45,16) (C)M(46,15) (D)M(46,25)12.(易错题)某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批同意方可投入生产.已知该生产线连续生产n 年的产量为f(n)＝12n(n ＋1)(2n ＋1)吨，但如果年产量超过150吨，将会给环境造成危害.为保护环境，环保部门应给该厂这条生产线的生产期限是( ) (A)5年 (B)6年 (C)7年 (D)8年二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确答案填在题中横线上)13.已知{a n }为等差数列，且a 3＝－6，a 6＝0.等比数列{b n }满足b 1＝－8，b 2＝a 1＋a 2＋a 3，则{b n }的前n 项和S n ＝ .14.(2012·巢湖模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，若n≥2时，a n 是S n 与S n －1的等差中项，则S 5＝ .15.(2012·唐山模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝2a n －1，n∈N *，数列 {(n ＋1)a n }的前n 项和T n ＝ .16.已知函数f(x)对应关系如表所示，数列{a n }满足a 1＝3，a n ＋1＝f(a n )，则a 2 013＝ .三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(10分)(2012·钦州模拟)已知{a n }是公比大于1的等比数列，a 1，a 3是函数f(x)＝x ＋9x －10的两个零点.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b n ＝log 3a n ＋n ＋2，且b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ≥80，求n 的最小值.18.(12分)(预测题)在等比数列{a n }中，a n ＞0(n∈N *)，且a 1a 3＝4，a 3＋1是a 2和a 4的等差中项. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b n ＝a n ＋1＋log 2a n (n ＝1,2,3，…)，求数列{b n }的前n 项和S n .19.(12分)已知正项数列{a n }中，a 1＝1，点(a n ，a n ＋1)(n∈N *)在函数y ＝x 2＋1的图象上，数列{b n }的前n 项和S n ＝2－b n .(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式；(2)设c n ＝－1a n ＋1log 2b n ＋1，求{c n }的前n 项和T n .20.(12分)(探究题)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，对任意的n∈N *，点(a n ，S n )都在直线2x －y －2＝0上. (1)求{a n }的通项公式；(2)是否存在等差数列{b n }，使得a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ＝(n －1)·2n ＋1＋2对一切n∈N *都成立？若存在，求出{b n }的通项公式；若不存在，说明理由.21.(12分)(2012·桂林模拟)设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝8，a n ＋1＝S n ＋ 3n ＋1＋5，n∈N *.(1)设b n ＝a n －2·3n，证明：数列{b n }是等比数列； (2)在(1)的条件下，证明：2a 1＋22a 2＋23a 3＋…＋2na n<1.22.(12分)(2011·山东高考)等比数列{a n }中，a 1，a 2，a 3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且a 1，a 2，a 3中的任何两个数不在下表的同一列.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足：b n ＝a n ＋(－1)nlna n ，求数列{b n }的前n 项和S n .答案解析1.【解析】选B.由题意知，a 23＝a 1·a 13， 即(1＋2d)2＝1＋12d ， 又d ≠0，∴d ＝2.2.【解析】选C.∵lg(a 3a 8a 13)＝6， ∴a 3a 8a 13＝a 38＝106， ∴a 8＝100， ∴a 1a 15＝a 28＝10 000. 3.【解析】选C.a n ＋1－a n ＝2n ＋1＋1－(2n＋1)＝2n ＋1－2n ＝2n，∴1a 2－a 1＋1a 3－a 2＋…＋1a n ＋1－a n＝12＋122＋123＋…＋12n ＝12[1－(12)n ]1－12＝1－(12)n ＝1－12n .4.【解题指南】∵a n －a n －1＝1n －1－1n(n ≥2，n ∈N *)， ∴可采用累加法.【解析】选A.a n －a n －1＝1n －1－1n (n ≥2)，a 2－a 1＝1－12，a 3－a 2＝12－13，a 4－a 3＝13－14，以上各式两边分别相加.∴a 4－a 1＝1－14，∴a 4＝a 1＋34＝1＋34＝74.5.【解析】选A.由题意知3(a 2－a 1)＝－4－(－1)＝－3， ∴a 2－a 1＝－1，又b 22＝(－1)×(－4)＝4，且b 2＜0， ∴b 2＝－2， ∴a 2－a 1b 2＝12. 6.【解析】选A. 设数列{a n }的公比为q ， ∵数列{1＋a n }是等比数列，∴(1＋2q)2＝3(1＋2q 2)⇒q ＝1，∴S n ＝2n. 7.【解析】选C.由a n ＋1＝a n 3a n ＋1得1a n ＋1＝1a n＋3， ∴数列{1a n }是以1为首项，公差为3的等差数列，∴1a 34＝1＋33×3＝100， ∴a 34＝1100.8.【解析】选C.∵S 9＝9(a 1＋a 9)2＝9a 5＝－36，∴a 5＝－4，∵S 13＝13(a 1＋a 13)2＝13a 7＝－104，∴a 7＝－8， ∴a 5·a 7＝32，故a 5与a 7的等比中项为±4 2.【变式备选】在3和9之间插入两个正数，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则这两个数的和是( )(A)454 (B)274 (C)92(D)9【解析】选A.设中间两数为x ，y ，则x 2＝3y,2y ＝x ＋9，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝92y ＝274或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3y ＝3(舍去)，所以x＋y ＝454.9.【解析】选B.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12(1－a n )－12(1－a n －1)＝－12a n ＋12a n －1，化简得2a n ＝－a n ＋a n －1，即a n a n －1＝13.又由S 1＝a 1＝12(1－a 1)，得a 1＝13，所以数列{a n }是首项为13，公比为13的等比数列. 所以a n ＝13×(13)n －1＝(13)n .10.【解析】选B.由a 8＝a 4＋4＝a 24＝16得a 4＝4. 由a 4＝a 2＋2＝a 22＝4得a 2＝2， ∴a 10＝a 2＋8＝a 2·a 8＝2×16＝32.11.【解题指南】先求2 011对应数列{a n }的项数，再求前n 行的项数，找出2 011所在的行数. 【解析】选B.由2n －1＝2 011得n ＝1 006，即2 011是数列{a n }的第1 006项，由数阵的排列规律知，数阵中的前n 行共有1＋2＋3＋…＋n ＝n(n ＋1)2项，当n ＝44时，共有990项，故2 011是第45行的第16个数.12.【解题指南】令第n 年的年产量为a n ，根据题意先求a n ，再解不等式a n ≤150，从而得出答案. 【解析】选C.令第n 年的年产量为a n ，则由题意可知第一年的产量a 1＝f(1)＝12×1×2×3＝3(吨)；第n(n＝2,3，…)年的产量a n ＝f(n)－f(n －1)＝12n(n ＋1)(2n ＋1)－12(n －1)·n ·(2n －1)＝3n 2(吨). 令3n 2≤150，则结合题意可得1≤n ≤5 2. 又n ∈N *，所以1≤n ≤7，即生产期限最长为7年.【变式备选】甲型H1N1流感病毒是寄生在宿主的细胞内的，若该细胞开始时是2个，记为a 0＝2，它们按以下规律进行分裂，1小时后分裂成4个并死去1个，2小时后分裂成6个并死去1个，3小时后分裂成10个并死去1个，…，记n(n ∈N *)小时后细胞的个数为a n ，则a n ＝ (用n 表示).【解析】按规律，a 1＝4－1＝3，a 2＝2×3－1＝5，a 3＝2×5－1＝9，…，a n ＋1＝2a n －1，∴a n ＋1－1＝2(a n －1)，即{a n －1}是等比数列，其首项为2，公比为2，故a n －1＝2n，∴a n ＝2n＋1.(本题也可由a 1＝3＝2＋1，a 2＝5＝22＋1，a 3＝9＝23＋1，…，猜想出a n ＝2n＋1.) 答案：2n＋113.【解析】设等差数列{a n }的公差为d ， 因为a 3＝－6，a 6＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝－6a 1＋5d ＝0，解得a 1＝－10，d ＝2，所以a n ＝－10＋(n －1)·2＝2n －12. 设等比数列{b n }的公比为q ，因为b 2＝a 1＋a 2＋a 3＝－24，b 1＝－8， 所以－8q ＝－24，即q ＝3， 所以{b n }的前n 项和为 S n ＝b 1(1－q n)1－q ＝4(1－3n).答案：4(1－3n )14.【解析】由题意知n ≥2时，2a n ＝S n ＋S n －1， ∴2a n ＋1＝S n ＋1＋S n ， ∴2a n ＋1－2a n ＝a n ＋1＋a n ， ∴a n ＋1＝3a n (n ≥2)，又n ＝2时，2a 2＝S 2＋S 1，∴a 2＝2a 1＝2， ∴数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，a n ＝2×3n －2(n ≥2)，∴S 5＝81. 答案：8115.【解析】∵S n ＝2a n －1，∴S n ＋1＝2a n ＋1－1， ∴a n ＋1＝2a n ＋1－2a n ，即a n ＋1＝2a n . 又∵S 1＝2a 1－1得a 1＝1， ∴a n ＝2n －1，T n ＝2×20＋3×21＋4×22＋…＋(n ＋1)×2n －1，则2T n ＝2×21＋3×22＋…＋n ×2n －1＋(n ＋1)×2n，∴－T n ＝2＋(2＋22＋…＋2n －1)－(n ＋1)×2n＝2＋2(1－2n －1)1－2－(n ＋1)×2n ＝－n ×2n∴T n ＝n ×2n. 答案：n ×2n16.【解题指南】解答此类题目应先找规律，即先求a 2，a 3，a 4，从中找出周期变化的规律. 【解析】由题意知a 2＝f(a 1)＝f(3)＝1，a 3＝f(a 2)＝f(1)＝3，a 4＝f(a 3)＝f(3)＝1， ∴数列{a n }是周期为2的数列， ∴a 2 013＝a 1＝3. 答案：317.【解析】(1)∵a 1，a 3是函数f(x)＝x ＋9x －10的两个零点，∴a 1，a 3是方程x 2－10x ＋9＝0的两根， 又公比大于1，故a 1＝1，a 3＝9，则q ＝3. ∴等比数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －1.(2)由(1)知b n ＝log 3a n ＋n ＋2＝2n ＋1， ∴数列{b n }是首项为3，公差为2的等差数列， ∴b 1＋b 2＋…＋b n ＝n 2＋2n ≥80， 解得n ≥8或n ≤－10(舍)， 故n 的最小值是8.18.【解析】(1)设等比数列{a n }的公比为q.由a 1a 3＝4可得a 22＝4， 因为a n ＞0，所以a 2＝2，依题意有a 2＋a 4＝2(a 3＋1)，得2a 3＝a 4＝a 3q 因为a 3＞0，所以q ＝2， 所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1.(2)b n ＝a n ＋1＋log 2a n ＝2n＋n －1，可得S n ＝(2＋22＋23＋ (2))＋[1＋2＋3＋…＋(n －1)]＝2(1－2n)1－2＋(n －1)n2＝2n ＋1－2＋n(n －1)2.19.【解析】(1)∵点(a n ，a n ＋1)(n ∈N *)在函数y ＝x 2＋1的图象上， ∴a n ＋1＝a n ＋1，∴数列{a n }是公差为1的等差数列.∵a 1＝1，∴a n ＝1＋(n －1)＝n ， ∵S n ＝2－b n ，∴S n ＋1＝2－b n ＋1，两式相减得：b n ＋1＝－b n ＋1＋b n ，即b n ＋1b n ＝12，由S 1＝2－b 1即b 1＝2－b 1，得b 1＝1.∴数列{b n }是首项为1，公比为12的等比数列，∴b n ＝(12)n －1.(2)log 2b n ＋1＝log 2(12)n＝－n ，∴c n ＝1n(n ＋1)＝1n －1n ＋1，∴T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ＝(1－12)＋(12－13)＋(13－14)＋…＋(1n －1n ＋1)＝1－1n ＋1＝nn ＋1.20.【解析】(1)由题意得2a n －S n －2＝0， 当n ＝1时，2a 1－S 1－2＝0得a 1＝2， 当n ≥2时，由2a n －S n －2＝0 ①得 2a n －1－S n －1－2＝0 ②①－②得2a n －2a n －1－a n ＝0即a n ＝2a n －1，因为a 1＝2，所以a n a n －1＝2，所以{a n }是以2为首项，2为公比的等比数列，所以a n ＝2·2n －1＝2n.(2)假设存在等差数列{b n }，使得a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ＝(n －1)·2n ＋1＋2对一切n ∈N *都成立，则当n ＝1时，a 1b 1＝(1－1)·22＋2得b 1＝1， 当n ≥2时，由a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ＝(n －1)·2n ＋1＋2③得a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n －1b n －1＝(n －1－1)·2n＋2④ ③－④得a n b n ＝n ·2n即b n ＝n ， 当n ＝1时也满足条件，所以b n ＝n ，因为{b n }是等差数列，故存在b n ＝n(n ∈N *)满足条件. 【方法技巧】构造法求递推数列的通项公式对于由递推公式所确定的数列的求解，通常可通过对递推公式的变换转化，构造出等差数列或等比数列.一般根据递推式子的特点采取以下方法： (1)递推式为a n ＋1＝qa n (q 为常数)：作商构造；(2)递推式为a n ＋1＝a n ＋f(n)：累加构造；(3)递推式为a n ＋1＝pa n ＋q(p ，q 为常数)：待定系数构造； (4)递推式为a n ＋1＝pa n ＋q n(p ，q 为常数)：辅助数列构造； (5)递推式为a n ＋2＝pa n ＋1＋qa n ：待定系数构造；思路：设a n ＋2＝pa n ＋1＋qa n 可以变形为：a n ＋2－αa n ＋1＝β(a n ＋1－αa n )，就是a n ＋2＝(α＋β)a n ＋1－αβa n ，则可从⎩⎪⎨⎪⎧α＋β＝p α·β＝－q 解得α，β，于是{a n ＋1－αa n }是公比为β的等比数列，就转化为前面的类型.(6)递推式为a n ＋1＝f(n)a n (n ∈N *)：累乘构造；(7)递推式为a n －a n －1＋pa n a n －1＝0(p 为常数)：倒数构造. 21.【解析】(1)∵a n ＋1＝S n ＋3n ＋1＋5，∴a n ＝S n －1＋3n＋5(n ≥2)，∴a n ＋1－a n ＝a n ＋2·3n，即a n ＋1＝2a n ＋2·3n(n ≥2)， 当n ≥2时，b n ＋1b n ＝a n ＋1－2·3n ＋1a n －2·3n＝2a n ＋2· 3n－2·3n ＋1a n －2·3n＝2(a n －2·3n)a n －2·3n ＝2，又∵b 1＝a 1－2·31＝2，b 2＝a 2－2·32＝4，∴b 2b 1＝2，∴数列{b n }是以2为首项，公比为2的等比数列. (2)由(1)知b n ＝2n，∴a n －2·3n＝2n， ∴a n ＝2·3n＋2n，∵2na n ＝2n 2·3n ＋2n ＝12·(32)n ＋1<12·(32)n＝12·(23)n， ∴2a 1＋22a 2＋23a 3＋ (2)a n <12[23＋(23)2＋(23)3＋…＋(23)n ] ＝12·23[1－(23)n]1－23＝[1－(23)n]<1. 22.【解析】(1)由题意可知a 1＝2，a 2＝6，a 3＝18，公比q ＝a 2a 1＝a 3a 2＝3，通项公式为a n ＝2·3n －1；(2)b n ＝a n ＋(－1)nlna n ＝2×3n －1＋(－1)n ln(2×3n －1)＝2×3n －1＋(－1)n[ln2＋(n －1)ln3]当n ＝2k(k ∈N *)时，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b 2k＝2(1＋3＋…＋32k －1)＋{1＋(－2＋3)＋…＋[－(2k －2)＋(2k －1)]}ln3＝2×2k 1313--＋kln3 ＝3n －1＋n 2ln3， 当n ＝2k －1(k ∈N *)时，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b 2k －1＝2(1＋3＋…＋32k －2)＋{(1－2)＋…＋[(2k －3)－(2k －2)]}ln3－ln2＝2×2k 11313---－(k －1)ln3－ln2 ＝3n －1－(n －1)2ln3－ln2 故S n ＝n n n 31ln3n,n 2(n 1)31ln3ln2n n 2⎧-+⎪⎪⎨-⎪---⎪⎩为偶数，为奇数.。