高中数学课时训练(含解析)：不等式
高中数学第1章预备知识3不等式3.2第2课时基本不等式的综合应用学案含解析北师大版第一册
第2课时基本不等式的综合应用学习目标核心素养1.会用基本不等式求函数的最大(小）值问题．（重点）2．能利用基本不等式解决实际应用问题．(难点)1．通过基本不等式求函数最值的应用，提升数学运算素养．2．借助基本不等式在实际问题中的应用，培养数学建模素养．已知x、y都是正数，(1)若x＋y＝s(和为定值），则当x＝y时，积xy取得最大值错误!；（2）若xy＝p（积为定值)，则当x＝y时，x＋y取得最小值2错误!。
上述命题可归纳为：和定积最大，积定和最小．思考：(1）两个非负数的积为定值，它们的和一定可以用基本不等式求最小值吗？（2)两个非负数的和为定值,它们的积一定可以用基本不等式求最大值吗？提示:(1)不一定，例如a2＋2与错误!,它们的积为定值,但等号取不到，因此不能用基本不等式求最小值．(2）不一定，例如1＋a2与1－a2，它们的和为定值，但等号取不到，因此不能用基本不等式求最大值．1．若a＞1，则a＋1a－1的最小值是（）A．2B．a C．错误!D．3D［∵a＞1,∴a－1＞0，∴a＋错误!＝a－1＋错误!＋1≥2 错误!＋1＝3.当且仅当a－1＝错误!，即a＝2时，等号成立．] 2．设x＞0，则y＝3－3x－错误!的最大值是()A．3 B．－3错误!C．3－2错误!D．－1C［∵x＞0，∴y＝3－错误!≤3－2错误!＝3－2错误!。
当且仅当3x＝错误!，且x＞0,即x＝33时，等号成立．］3．某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与到车站的距离成正比,如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元．那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________千米处．5[依题意得y1＝错误!,y2＝错误!x为仓库与车站的距离，∴y1＋y2＝错误!＋错误!≥2错误!＝8,当且仅当x＝5时取等号，所以仓库应建在离车站5千米处．]4．当x<32时，求函数y＝x＋错误!的最大值．[解]y＝错误!（2x－3)＋错误!＋错误!＝－错误!＋错误!，∵当x〈错误!时，3－2x>0，∴3－2x2＋错误!≥2错误!＝4，当且仅当错误!＝错误!，即x＝－错误!时取等号．于是y≤－4＋错误!＝－错误!，故函数有最大值－错误!。
高中数学课时素养评价第3章不等式3..基本不等式的应用含解析苏教版第一册
课时素养评价十二基本不等式的应用（15分钟35分)1.已知a〉b>0,全集为R，集合M=x b<x〈，N={x|<x〈a},P=｛x｜b〈x≤},则M，N，P满足（）A.P=M∩（R N) B。
P=(R M)∩NC.P=M∪N D。
P=M∩N【解析】选A。
由a>b〉0结合基本不等式可得，a>〉〉b,故P=M∩(R N）。
2。
某工厂第一年产量为A,第二年的增长率为a，第三年的增长率为b,这两年的平均增长率为x,则（)A。
x= B.x≤C.x>D.x≥【解析】选B.由条件知A(1+a）（1+b）=A(1+x)2,所以(1+x）2=（1+a)（1+b)≤,所以1+x≤1+,故x≤。
3。
已知a〉0，b〉0,ab=1，且m=b+,n=a+,则m+n的最小值是(）A。
3 B.4 C.5 D。
6【解题指南】利用“1”的代换解题。
【解析】选B。
因为ab=1,所以m=b+=2b，n=a+=2a,所以m+n=2(a+b)≥4=4。
当且仅当a=b=1时，等号成立。
【补偿训练】若实数a，b满足+=,则ab的最小值为（)A.B。
2 C。
2 D.4【解析】选C。
由题意知a>0，b〉0,则+≥2=，当且仅当=，即b=2a时等号成立。
所以≥，即ab≥2.4。
周长为+1的直角三角形面积的最大值为________。
【解析】设直角三角形的两条直角边边长分别为a，b，则+1=a+b+≥2+,解得ab≤,当且仅当a=b=时取等号，所以直角三角形面积S≤,即S的最大值为.答案：5。
某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨,运费为4万元/次,一年的总存储费用为4x万元,要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x=________。
【解析】总运费与总存储费用之和f（x）=4x+×4=4x+≥2=160,当且仅当4x=，即x=20时取等号。
答案：206.设a，b,c均为正数，且a+b+c=1。
2020高二数学人教A必修5练习：3.2 一元二次不等式及其解法 Word版含解析
课时训练16一元二次不等式及其解法一、一元二次不等式的解法1.不等式-x2-5x+6≤0的解集为()A.{x|x≥6或x≤-1}B.{x|-1≤x≤6}C.{x|-6≤x≤1}D.{x|x≤-6或x≥1}答案:D解析:由-x2-5x+6≤0得x2+5x-6≥0,即(x+6)(x-1)≥0,∴x≥1或x≤-6.2.(2015福建厦门高二期末,12)不等式-的解集是.答案:{x|x<2或x>3}解析:因为指数函数y=2x是增函数,所以-化为x2-5x+5>-1,即x2-5x+6>0,解得x<2或x>3.所以不等式的解集为{x|x<2或x>3}.3.解不等式:-2<x2-3x≤10.解:原不等式等价于不等式组---①②不等式①为x2-3x+2>0,解得x>2或x<1.不等式②为x2-3x-10≤0,解得-2≤x≤5.故原不等式的解集为[-2,1)∪(2,5].二、三个二次之间的关系4.(2015山东威海高二期中,8)不等式ax2+bx+2>0的解集是-,则a-b的值为()A.14B.-14C.10D.-10答案:D解析:不等式ax 2+bx+2>0的解集是 - ,可得- 是一元二次方程ax 2+bx+2=0的两个实数根,∴- =- ,- ,解得a=-12,b=-2. ∴a-b=-12-(-2)=-10.故选D .5.如果ax 2+bx+c>0的解集为{x|x<-2或x>4},那么对于函数f (x )=ax 2+bx+c ,f (-1),f (2),f (5)的大小关系是 .答案:f (2)<f (-1)<f (5)解析:由ax 2+bx+c>0的解集为{x|x<-2或x>4}知a>0,且-2,4是方程ax 2+bx+c=0的两实根,所以 - - - 可得 - -所以f (x )=ax 2-2ax-8a=a (x+2)(x-4).因为a>0,所以f (x )的图象开口向上.又对称轴方程为x=1,f (x )的大致图象如图所示,由图可得f (2)<f (-1)<f (5).6.(2015山东潍坊四县联考,11)不等式x 2-ax-b<0的解集是(2,3),则不等式bx 2-ax-1>0的解集是 .答案: - -解析:∵不等式x 2-ax-b<0的解集为(2,3), ∴一元二次方程x 2-ax-b=0的根为x 1=2,x 2=3.根据根与系数的关系可得: -所以a=5,b=-6.不等式bx 2-ax-1>0,即不等式-6x 2-5x-1>0,整理,得6x 2+5x+1<0,即(2x+1)(3x+1)<0,解之得- <x<-. ∴不等式bx 2-ax-1>0的解集是 - - .三、含参不等式的解法7.不等式(x+1)(x-a )<0的解集为{x|-1<x<2},则不等式- >1的解集为 .答案:{x|x<-2或x>1}解析:由已知不等式(x+1)(x-a )<0的解集为{x|-1<x<2}得x=2是(x+1)(x-a )=0的一个根, ∴a=2.∴不等式 - >1可化为 - >1,移项通分得 ->0, ∴(x+2)(x-1)>0,解得x<-2或x>1.∴所求解集为{x|x<-2或x>1}.8.解关于x 的不等式2x 2+ax+2>0.解:对于方程2x 2+ax+2=0,其判别式Δ=a 2-16=(a+4)(a-4).①当a>4或a<-4时,Δ>0,方程2x 2+ax+2=0的两根为:x 1= (-a- - ),x 2= (-a+ - ).∴原不等式的解集为- - - 或 - - . ②当a=4时,Δ=0,方程有两个相等实根,x 1=x 2=-1;当a=-4时,Δ=0,方程有两个相等实根,x 1=x 2=1.∴原不等式的解集为{x|x ≠±1}.四、不等式恒成立问题9.若一元二次不等式x 2-ax+1>0恒成立,则a 的取值范围是 .答案:-2<a<2解析:由Δ=a 2-4<0,解得-2<a<2.10.已知关于x 的不等式(m 2+4m-5)x 2-4(m-1)x+3>0对一切实数x 恒成立,求实数m 的取值范围. 解:(1)当m 2+4m-5=0,即m=1或m=-5时,显然m=1符合条件,m=-5不符合条件;(2)当m 2+4m-5≠0时,由二次函数对一切实数x 恒为正数,得 - - - -解得1<m<19.综合(1)(2)得,实数m的取值范围为[1,19).(建议用时:30分钟)1.不等式-6x2-x+2≤0的解集是()A.-B.-或C.D.-答案:B解析:原不等式等价于6x2+x-2≥0.方程6x2+x-2=0的两根为-,可得原不等式的解集为-,或x≥.2.函数y=--+log2(x+2)的定义域为()A.(-∞,-1)∪(3,+∞)B.(-∞,-1]∪[3,+∞)C.(-2,-1]D.(-2,-1]∪[3,+∞)答案:D解析:要使函数有意义,x的取值需满足解得-2<x≤-1或x≥3.3.已知0<a<1,关于x的不等式(x-a)->0的解集为()A.或B.{x|x>a}C.或D.答案:A解析:∵0<a<1,∴>1,即a<,∴不等式的解集为或.4.在R上定义运算=ad-bc,若-成立,则x的取值范围是()A.{x|x<-4或x>1}B.{x|-4<x<1}C.{x|x<-1或x>4}D.{x|-1<x<4}答案:B解析:由已知-=x2+3x,=4,∴x2+3x<4,即x2+3x-4<0,解得-4<x<1.5.若关于x的不等式ax-b>0的解集为(1,+∞),则关于x的不等式->0的解集为()A.(-1,2)B.(-∞,-1)∪(2,+∞)C.(1,2)D.(-∞,-2)∪(1,+∞)答案:B解析:因为关于x的不等式ax-b>0的解集为(1,+∞),所以a>0,且=1,即a=b,所以关于x的不等式->0可化为->0,其解集是(-∞,-1)∪(2,+∞).6.已知二次方程ax2+bx+c=0的两个根是-2,3,若a>0,那么ax2-bx+c>0的解集是. 答案:{x|x<-3或x>2}解析:由题意知---∴b=-a,c=-6a.∴不等式ax2-bx+c>0,化为ax2+ax-6a>0,又∵a>0,∴x2+x-6>0,而方程x2+x-6=0的根为-3和2,∴不等式的解集是{x|x<-3或x>2}.7.已知关于x的不等式x2-ax+2a>0在R上恒成立,则实数a的取值范围是. 答案:(0,8)解析:由题意得,Δ=(-a)2-4×2a<0.即a2-8a<0,∴0<a<8.8.设0≤α≤π,不等式8x2-(8sin α)x+sin α≥0的解集为R,则α的取值范围是. 答案:πππ解析:由已知不等式的解集为R,∴Δ=64sin2α-32sin α≤0,解得0≤sin α≤.∴由y=sin x的图象知,当0≤α≤π时,解得0≤α≤π或π≤α≤π.9.已知不等式x2-2x-3<0的解集为A,不等式x2+4x-5<0的解集为B,(1)求A∪B;(2)若不等式x2+ax+b<0的解集是A∪B,求ax2+x+b<0的解集.解:(1)解不等式x2-2x-3<0,得A={x|-1<x<3}.解不等式x2+4x-5<0,得B={x|-5<x<1}.∴A∪B={x|-5<x<3}.(2)由x2+ax+b<0的解集为{x|-5<x<3},∴-解得-∴2x2+x-15<0.∴不等式解集为-.。
2021_2022学年新教材高中数学课时过程性评价第二章等式与不等式2.2.3一元二次不等式的解法练
或
1 0<x<a
B．－1a <x<0 或 0<x<－1b
C．x<1b
或
1 x>a
D．－1a <x<－1b
【解析】选
C.因为
1 a>x
>b，所以
ax2>x>bx2(x≠0)，由
ax2>x
可得
x<0
或
1 x>a
，由 x>bx2
可得
x>0
或
1 x<b
，求交集可得，x<1b
或
1 x>a
.
3．(2020·泰安高一检测)某文具店购进一批新型台灯，每盏最低售价为 15 元，若按最 低售价销售，每天能卖出 30 盏；若售价每提高 1 元，日销售量将减少 2 盏，为了使 这批台灯每天获得 400 元以上(不含 400 元)的销售收入，则这批台灯的销售单价 x(单 位：元)的取值范围是( ) A．10<x<20 B．15≤x<20 C．15<x<20 D．10≤x<20 【解析】选 B.由题意，x[30－2(x－15)]>400， 则－2x2＋60x－400>0，即 x2－30x＋200<0， 所以(x－10)(x－20)<0，即 10<x<20， 因为每盏最低售价为 15 元，所以 15≤x<20.
m＋1>0 Δ＝（－m）2－4（m＋1）（m－1）≤0
，
即m3m>2－－14≥0
m>－1 ，所以m≤－2 33或m≥2 33
，
解得
2 m≥3
3，
所以 m 的取值范围是32
高中数学必修一3.2 第1课时 基本不等式
3.2 基本不等式第1课时 基本不等式课后训练·巩固提升A.1≤ab ≤a 2+b 22B.ab<1<a 2+b 22C.ab<a 2+b 22<1D.a 2+b 22<ab<1a ≠b ,所以ab<(a+b 2)2=1,又因为√a 2+b 22>a+b 2=1,所以a 2+b 22>1,故ab<1<a 2+b 22.2.若0<a<1,0<b<1,且a ≠b ,则a+b ,2√ab ,2ab ,a 2+b 2中最大的一个是( )22 B.2√ab C.2ab D.a+b0<a<1,0<b<1,a ≠b ,2>2ab ,a+b>2√ab ,a>a 2,b>b 2,2+b 2,故选D .a 2+1≥2a 中等号成立的条件是( )1 B.a=1 C.a=-1 D.a=0a 2+1-2a=0,得a=1.0,b>0,且a+b ≤4,则有( )A.1ab ≥12 B.1a +1b ≥1C.√ab ≥2D.1a+b ≤14a>0,b>0,a+b ≤4,则根据基本不等式性质,可知a+b 2≥√ab ≥21a +1b ,故1a +1b ≥1成立,而对于A,b=3时不成立,当a=b=1时,选项C,D 错误,故选B .A ,第二年的增长率为a ,第三年的增长率为b ,这两年的平均增长率为x ,则( )A.x=a+b 2B.x ≤a+b 2C.x>a+b 2D.x ≥a+b 2这两年的平均增长率为x ,)2=A (1+a )(1+b ),∴(1+x )2=(1+a )(1+b ),由题设a>0,b>0. ∴1+x=√(1+a )(1+b )≤(1+a )+(1+b )2=1+a+b 2,∴x ≤a+b 2, 1+b ,即a=b 时等号成立.故选B .6.设x>0,求证:x+22x+1≥32.x>0,所以x+12>0,所以x+22x+1=x+1x+12=(x +12)+1x+12−12≥2√(x +12)·1x+12−12=32, 当且仅当x+12=1x+12,即x=12时,等号成立.x>0,y>0,z>0,且x+y+z=1,求证:√x +√y +√z ≤√3.x>0,y>0,z>0, 2√xy ,x+z ≥2√xz ,y+z ≥2√yz ,∴2(x+y+z )≥2(√xy +√xz +√yz ).∵x+y+z=1,∴√xy +√xz +√yz ≤1成立.∴x+y+z+2(√xy +√xz +√yz )≤3,即(√x +√y +√z )2≤3.∴√x +√y +√z ≤√3.1.设a ,b ,c 均为正数,且a+b+c=1,若M=(a -1)(b -1)(c -1),则必有( )A.0≤M<18B.18≤M<1 8 D.M ≥8a+b+c=1,所以M=(a+b+c a -1)·(a+b+c b -1)(a+b+c c -1)=(b+c )(a+c )(a+b )abc ≥2√bc ·2√ac ·2√ab abc=8. 当且仅当a=b=c=13时等号成立.2.已知实数a ,b ,c 满足条件a>b>c ,且a+b+c=0,abc>0,则1a +1b +1c 的值( )A.一定是正数B.一定是负数0 D.正负不确定a>b>c ,且a+b+c=0,abc>0,所以a>0,b<0,c<0,且a=-(b+c ), 所以a +1b +1c =-1b+c +1b +1c , 因为b<0,c<0,所以b+c ≤-2√bc , 所以-1b+c≤2√bc ,又1b +1c ≤-2√1bc , 所以-1b+c +1b +1c ≤2√bc -2√1bc =-2√bc <0,故选B .a>0,b>0,则下列三个结论:①2ab a+b ≤a+b 2;②a+b 2≤√a 2+b 22;③b 2a +a 2b ≥a+b.其中正确的个数为( ) B.1 C.2 D.3=a 2+b 2+2ab 2≥2ab+2ab 2=2ab ,所以2ab a+b ≤a+b 2,故①正确. 所以a 2+b 2+2ab ≤2(a 2+b 2),所以(a+b )24≤a 2+b22, 所以a+b 2≤√a 2+b 22,故②正确; b 2a +a 2b -(a+b )=a 3+b 3-a 2b -ab 2ab =a 2(a -b )+b 2(b -a )ab =(a 2-b 2)(a -b )ab =(a -b )2(a+b )ab , 因为a>0,b>0,所以(a -b )2(a+b )ab ≥0,故b 2a +a 2b ≥a+b ,故③正确.4.已知a>b>c ,则√(a -b )(b -c )与a -c 2的大小关系是 .a>b>c ,所以a-b>0,b-c>0.所以c 2=(a -b )+(b -c )2≥√(a -b )(b -c ), 当且仅当a-b=b-c ,即2b=a+c 时等号成立.(a -b )(b -c )≤a -c 2 a ,b ,c 为互不相等的正实数,且abc=1.求证:√a +√b +√c <1a +1b +1c .a ,b ,c 为互不相等的正实数,所以1a +1b >2√1ab =2√c,1b +1c >2√1bc =2√a,1c +1a >2√1ac =2√b , 所以2(1a +1b +1c)>2(√a +√b +√c ), 即1a +1b +1c >√a +√b +√c . 6.已知a ,b 是正数,求证:(a +1b )(2b +12a )≥92.a ,b 是正数,利用基本不等式,得(a +1b )(2b +12a )=2ab+12+2+12ab =(2ab+12ab )+52≥2+52=92,当且仅当ab=12时,等号成立.。
高二数学人教A必修5练习及解析：3-2 一元二次不等式及其解法
∴a=2.
∴不等式
+1
2+1
+2
>1 可化为
>1,移项通分得 >0,
-1
-1
-1
∴(x+2)(x-1)>0,解得 x<-2 或 x>1.
∴所求解集为{x|x<-2 或 x>1}.
8.解关于 x 的不等式 2x2+ax+2>0.
解:对于方程 2x2+ax+2=0,其判别式 Δ=a2-16=(a+4)(a-4).
【解析】
1
由题意知，一元二次不等式 f(x)>0 的解集为x－1<x<2 .
而 f(10x)>0，
1
∴－1<10x<2，
1
解得 x<lg 2，即 x<－lg 2.
【答案】
D
二、填空题
6．(2015·广东高考)不等式－x2－3x＋4>0 的解集为________．(用区间表示)
①当 a>4 或 a<-4 时,Δ>0,方程 2x2+ax+2=0 的两根为:
1
4
1
4
x1= (-a-√2 -16),x2= (-a+√2 -16).
∴原不等式的解集为
1
4
1
4
{ | < (--√2 -16)或 > (- + √2 -16)}.
②当 a=4 时,Δ=0,方程有两个相等实根,x1=x2=-1;
1
1
∴不等式 bx2-ax-1>0 的解集是(- 2 ,- 3).
新教材高中数学一元二次函数方程和不等式 第1课时基本不等式学案含解析新人教A版必修第一册
2．2 基本不等式第1课时 基本不等式[目标] 1.理解基本不等式的内容及证明；2.能熟练运用基本不等式来比较两个实数的大小；3.能初步运用基本不等式证明简单的不等式．[重点] 基本不等式的内容及证明． [难点] 运用基本不等式证明简单的不等式．知识点 两个不等式[填一填]1．重要不等式：∀a ,b ∈R ,有a 2＋b 2≥2ab ,当且仅当a ＝b 时,等号成立．2．基本不等式：如果a ,b ∈R ＋,那么ab ≤a ＋b 2,当且仅当a ＝b 时,等号成立．其中a ＋b2叫做正数a ,b 的算术平均数,ab 叫做正数a ,b 的几何平均数．所以两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．[答一答]1．下面是基本不等式ab ≤a ＋b2的一种几何解释,请你补充完整． 如图所示,AB 为⊙O 的直径,AC ＝a ,CB ＝b ,过点C 作CD ⊥AB 交⊙O 上半圆于D ,连接OD ,AD ,BD .(1)由射影定理可知,CD ＝ab ,而OD ＝a ＋b2；(2)因为OD ≥CD ,所以a ＋b2≥ab 当且仅当C 与O 重合,即a ＝b 时,等号成立；(3)基本不等式ab ≤a ＋b2的几何意义是半径不小于半弦．2．不等式a 2＋b 2≥2ab 和基本不等式ab ≤a ＋b2成立的条件有什么不同？提示：不等式a 2＋b 2≥2ab 对任意实数a ,b 都成立；ab ≤a ＋b2中要求a ,b 都是正实数．3．(1)基本不等式中的a ,b 可以是代数式吗？ (2)a ＋b 2≥ab 与⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≥ab 是等价的吗？提示：(1)可以．但代数式的值必须是正数,否则不成立． (2)不等价,前者条件是a >0,b >0,后者是a ,b ∈R .类型一 用基本不等式比较大小[例1] 若0<a <1,0<b <1,且a ≠b ,试找出a ＋b ,a 2＋b 2,2ab ,2ab 中的最大者． [解] ∵0<a <1,0<b <1,且a ≠b ,∴a ＋b >2ab ,a 2＋b 2>2ab ,∴四个数中最大的应从a ＋b ,a 2＋b 2中选择． 而a 2＋b 2－(a ＋b )＝a (a －1)＋b (b －1), ∵0<a <1,0<b <1,∴a (a －1)<0,b (b －1)<0, ∴a 2＋b 2－(a ＋b )<0,即a 2＋b 2<a ＋b , ∴a ＋b 最大．利用基本不等式比较实数大小的注意事项(1)利用基本不等式比较大小,常常要注意观察其形式(和与积),同时要注意结合函数的性质.(2)利用基本不等式时,一定要注意条件是否满足a >0,b >0.[变式训练1] (1)已知a ,b ∈R ,且ab >0,则下列结论恒成立的是( D ) A ．a 2＋b 2>2ab B ．a ＋b ≥2ab C.1a ＋1b >2abD.b a ＋a b≥2 解析：对于A,当a ＝b 时,a 2＋b 2＝2ab ,所以A 错误；对于B,C,ab >0只能说明a ,b 同号,当a ,b 都小于0时,B,C 错误；对于D,因为ab >0,所以b a >0,a b >0,所以b a ＋ab ≥2b a ·a b ,即b a ＋ab≥2成立．(2)已知a ,b 是不相等的正数,x ＝a ＋b2,y ＝a ＋b ,试比较x ,y 的大小．解：a ,b 是不相等的正数,由x ＝a ＋b 2得x 2＝a ＋b ＋2ab 2<a ＋b ＋a ＋b2＝a ＋b ,又∵y ＝a ＋b ,即y 2＝a ＋b ,∴x 2<y 2,即x <y . 类型二 用基本不等式证明不等式[例2] (1)已知a ,b ,c 为不全相等的正实数,求证：a ＋b ＋c >ab ＋bc ＋ca . (2)已知a ,b ,c 为正实数,且a ＋b ＋c ＝1, 求证：⎝⎛⎭⎫1a －1⎝⎛⎭⎫1b －1⎝⎛⎭⎫1c －1≥8.[分析] (1)左边是和式,右边是带根号的积式之和,所以用基本不等式,将和变积,并证得不等式．(2)不等式右边数字为8,使我们联想到左边因式分别使用基本不等式,可得三个“2”连乘,又1a －1＝1－a a ＝b ＋c a ≥2bc a,可由此变形入手． [证明] (1)∵a >0,b >0,c >0,∴a ＋b ≥2ab >0,b ＋c ≥2bc >0,c ＋a ≥2ca >0.∴2(a ＋b ＋c )≥2(ab ＋bc ＋ca ), 即a ＋b ＋c ≥ab ＋bc ＋ca .由于a ,b ,c 为不全相等的正实数,故等号不成立． ∴a ＋b ＋c >ab ＋bc ＋ca . (2)∵a ,b ,c 为正实数,且a ＋b ＋c ＝1, ∴1a －1＝1－a a ＝b ＋c a ≥2bc a , 同理1b －1≥2ac b ,1c －1≥2ab c.由上述三个不等式两边均为正,分别相乘,得⎝⎛⎭⎫1a －1⎝⎛⎭⎫1b －1⎝⎛⎭⎫1c －1≥2bc a ·2ac b ·2ab c ＝8. 当且仅当a ＝b ＝c ＝13时,等号成立．利用基本不等式证明不等式的策略与注意事项1．利用基本不等式证明不等式,关键是所证不等式中必须有“和”式或“积”式,通过将“和”式转化为“积”式或将“积”式转化为“和”式,从而达到放缩的效果．2．注意多次运用基本不等式时等号能否取到．3．解题时要注意技巧,当不能直接利用基本不等式时,可将原不等式进行组合、构造,以满足能使用基本不等式的形式．[变式训练2] 已知a ,b ,c 为正数,且a ＋b ＋c ＝1,证明：1a ＋1b ＋1c≥9.证明：1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c ＝3＋(b a ＋a b )＋(c a ＋a c )＋(c b ＋b c )≥3＋2＋2＋2＝9.当且仅当a ＝b ＝c ＝13时,等号成立．1．给出下列条件：①ab >0；②ab <0；③a >0,b >0；④a <0,b <0,其中能使b a ＋ab ≥2成立的条件有( C )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：当b a ,a b 均为正数时,b a ＋ab ≥2,故只须a 、b 同号即可．所以①③④均可以．2．已知x >0,y >0,且2x ＋1y ＝1,若x ＋2y >m 恒成立,则实数m 的取值范围是( D )A ．{m |m <6}B ．{m |m ≤6}C ．{m |m ≤8}D ．{m |m <8}解析：本题考查基本不等式的应用．x ＋2y ＝(x ＋2y )·⎝⎛⎭⎫2x ＋1y ＝4＋4y x ＋x y≥4＋24＝8(当且仅当4y x ＝xy ,即x ＝4,y ＝2时等号成立),所以x ＋2y >m 恒成立,只需(x ＋2y )min >m .所以m <8.故选D.3．设b >a >0,且a ＋b ＝1,则四个数12,2ab ,a 2＋b 2,b 中最大的是( A )A ．bB ．a 2＋b 2C ．2abD.12解析：因为b >a >0,所以a 2＋b 2>2ab .又因为a ＋b ＝1,所以b >12.又b ＝b (b ＋a )＝b 2＋ab >b 2＋a 2,所以b 最大,故选A.4．若a >0,b >0,a ＋b ＝2,则下列不等式对一切满足条件的a ,b 恒成立的是①③⑤(写出所有正确命题的序号)．①ab ≤1；②a ＋b ≤2；③a 2＋b 2≥2；④a 3＋b 3≥3；⑤1a ＋1b ≥2.解析：因为a >0,b >0,a ＋b ＝2,所以ab ≤(a ＋b 2)2＝1,所以①恒成立； a ＋b ≤2(a )2＋(b )22＝2,所以②不恒成立； a 2＋b 2≥(a ＋b )22＝2,所以③恒成立；当a ＝b ＝1时,a 3＋b 3＝2<3,所以④不恒成立； 1a ＋1b ＝12(a ＋b )(1a ＋1b )＝12(2＋a b ＋ba )≥2, 所以⑤恒成立． 5．已知x ,y 都是正数． 求证：(1)y x ＋xy≥2；(2)(x ＋y )(x 2＋y 2)(x 3＋y 3)≥8x 3y 3. 证明：(1)∵x ,y 都是正数,∴x y >0,yx >0,∴y x ＋x y≥2y x ·x y ＝2,即y x ＋x y≥2, 当且仅当x ＝y 时,等号成立． (2)∵x ,y 都是正数,∴x ＋y ≥2xy >0, x 2＋y 2≥2x 2y 2>0,x 3＋y 3≥2x 3y 3>0.∴(x ＋y )(x 2＋y 2)(x 3＋y 3)≥2xy ·2x 2y 2·2x 3y 3＝8x 3y 3,即(x ＋y )(x 2＋y 2)(x 3＋y 3)≥8x 3y 3, 当且仅当x ＝y 时,等号成立．——本课须掌握的两大问题1．两个不等式a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b2≥ab 都是带有等号的不等式,对于“当且仅当…时,取‘＝’”这句话的含义要有正确的理解．一方面：当a ＝b 时,a ＋b 2＝ab ；另一方面：当a ＋b2＝ab 时,也有a ＝b .2．在利用基本不等式证明的过程中,常需要把数、式合理的拆成两项或多项或把恒等式变形配凑成适当的数、式,以便于利用基本不等式．。
最新版高考高三数学小题多维训练原卷含解析——课时09-基本不等式及其应用
课时09 基本不等式及其应用（基础题）一、填空题1．（·上海高三二模）某茶农打算在自己的茶园建造一个容积为500立方米的长方体无盖蓄水池，要求池底面的长和宽之和为20米．若每平方米的池底面造价是池侧壁的两倍，则为了使蓄水池的造价最低，蓄水池的高应该为______________米．2．（·上海交大附中高三期末）若1x>，则函数211x xyx-+=-的最小值为___________.3．（·上海高三其他模拟）已知函数()()3031xxaf x a=+>+的最小值为5，则a=______. 4．（·上海市嘉定区第一中学高三月考）已知正数a，b满足1ab=，则11a bb a+++的最小值为______.5．（·上海高三三模）若正实数,a b满足a b ab+=，则64baa ab++的最小值为__________.二、解答题6．（·上海卢湾高级中学高三月考）某市为了刺激当地消费，决定发放一批消费券，已知每投放(04,)a a a<≤∈R亿元的消费券，这批消费券对全市消费总额提高的百分比y随着时间x(天）的变化的函数关系式近似为()10af xy=，其中302,()3727,xx xf x xx x x+⎧≤≤∈⎪=-⎨⎪-<≤∈⎩RR，若多次投放消费券，则某一时刻全市消费总额提高的百分比为每次投放的消费券在相应时刻对消费总额提高的百分比之和.（1）若第一次投放2亿元消费券，则接下来多长时间内都能使消费总额至少提高40%；（2）政府第一次投放2亿元消费券，4天后准备再次投放m 亿元的消费券，若希望第二次投放后的接下来两天内全市消费总额仍然至少提高40%，试求m 的最小值.（能力题） 一、单选题1．（·上海）若直线l ：212x y b a a b +=++经过第一象限内的点11(,)P a b ，则ab 的最大值为 A ．76B ．422-C ．523-D ．632-2．（2018·上海市控江中学高三开学考试）已知*N k ∈，,,R x y z +∈，若222()5()k xy yz zx x y z ++>++，则对此不等式描述正确的是A ．若5k =，则至少存在．．．．一个以,,x y z 为边长的等边三角形 B ．若6k =，则对任意满足不等式的,,x y z 都存在．．．以,,x y z 为边长的三角形 C ．若7k =，则对任意满足不等式的,,x y z 都存在．．．以,,x y z 为边长的三角形 D ．若8k，则对满足不等式的,,x y z 不存在．．．以,,x y z 为边长的直角三角形3．（2018·上海高三二模）已知长方体的表面积为2452cm ，所有棱长的总和为24cm .那么，长方体的体对角线与棱所成的最大角为（ ）.A ．1arccos 3 B ．2arccos3 C ．3arccos9D ．6arccos9二、填空题4．（·上海市建平中学高三期中）已知二次函数2()2019f x ax bx c =++（0a >），若存在0x ∈Z ，满足01|()|2019f x ≤，则称0x 为函数()f x 的一个“近似整零点”，若()f x 有四个不同的“近似整零点”，则a 的取值范围是________5．（·上海高三一模）已知0a b >>，那么，当代数式216()a b a b +-取最小值时，点(,)P a b 的坐标为________6．（2018·上海高三二模）在直角三角形ABC 中，2A π∠=，3AB =，4AC =，E 为三角形ABC 内一点，且22AE =，若AE AB AC λμ=+，则34λμ+的最大值等于___________.（真题/新题）一、单选题1．（·全国高三其他模拟）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，其中卷第九勾股中记载：“今有邑，东西七里，南北九里，各中开门．出东门一十五里有木．问出南门几何步而见木?”其算法为：东门南到城角的步数，乘南门东到城角的步数，乘积作被除数，以树距离东门的步数作除数，被除数除以除数得结果，即出南门x 里见到树，则11972215x ⎛⎫⎛⎫⨯⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=．若一小城，如图所示，出东门1200步有树，出南门750步能见到此树，则该小城的周长的最小值为（注：1里=300步）（ ）A ．210里B ．410里C ．610里D ．810里二、填空题2．（·上海高考真题）如图，已知正方形OABC ，其中()1OA a a =>，函数23y x =交BC 于点P ，函数12y x -=交AB 于点Q ，当AQ CP +最小时，则a 的值为_______三、解答题3．（·江苏高考真题）某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y 万元与年产量x 吨之间的函数关系可以近似地表示为22420005x y x =-+，已知此生产线的年产量最小为60吨，最大为110吨.（1）年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低?并求最低平均成本; （2）若每吨产品的平均出厂价为24万元，且产品能全部售出，则年产量为多少吨时，可以获得最大利润?并求最大利润.课时10 基本不等式及其应用（基础题）一、填空题 1．（·上海高三二模）某茶农打算在自己的茶园建造一个容积为500立方米的长方体无盖蓄水池，要求池底面的长和宽之和为20米．若每平方米的池底面造价是池侧壁的两倍，则为了使蓄水池的造价最低，蓄水池的高应该为______________米． 【答案】5；【分析】设长方体蓄水池长为y ，宽为x ，高为h ，蓄水池总造价为()W h ，由题意可得500()402W h ah ah=+，然后基本不等式求出()W h 的最小值即可． 【详解】设长方体蓄水池长为y ，宽为x ，高为h ， 每平方米池侧壁造价为a ，蓄水池总造价为()W h ，则由题意可得20500x y xyh +=⎧⎨=⎩，500()2()22()2402W h a xh yh axy ah x y axy ah ah∴=++=++=+， 500()2402400W h ah aa h∴⋅=， ∴当且仅当5h =时，()W h 取最小值，即5h =时，()W h 取最小值. 故答案为：5．2．（·上海交大附中高三期末）若1x >，则函数211x x y x -+=-的最小值为___________. 【答案】3【分析】由2111111x x y x x x -+==-++--，及1x >，利用基本不等式可求出最小值.【详解】由题意，()()()()222211111111111111x x x x x x x y x x x x x -++-+-+-+-+====-++----，因为1x >，所以()1111211311y x x x x =-++≥-⋅+=--，当且仅当111x x -=-，即2x =时等号成立.所以函数211x x y x -+=-的最小值为3.故答案为：3.3．（·上海高三其他模拟）已知函数()()3031x x af x a =+>+的最小值为5，则a =______. 【答案】9【分析】配方得()()303113131x x x x aaf x a =+>=++-++，结合基本不等式即可求解【详解】()()3031121593131x x x x aaf x a a a =+>=++-≥-=⇒=++，当且仅当3log 2x =时等号满足，故答案为：94．（·上海市嘉定区第一中学高三月考）已知正数a ，b 满足1ab =，则11a b b a+++的最小值为______. 【答案】4 【分析】由已知得11a b a ba b b a b a+++=+++，然后利用基本不等式求最值即可.【详解】由题可知，0,0a b >>，且1ab =，所以11224a b a b a b a b a ba b ab b a b a ab b a b a++++=++=+++≥⋅+=， 当且仅当1a b ==等号成立， 故答案为：4.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.5．（·上海高三三模）若正实数,a b 满足a b ab +=，则64b a a ab ++的最小值为__________. 【答案】15【分析】由a b ab +=可得1bb a，将它们替换目标式中的ba、ab ，应用基本不等式求最小值即可. 【详解】由题设知：1bb a +=，即1b b a ，又a b ab +=且0,0a b >>，∴64646412()()116115ba ab a b a ab a b a b++=+-+≥+-=-=++， 当且仅当8a b +=时等号成立. 故答案为：15.二、解答题6．（·上海卢湾高级中学高三月考）某市为了刺激当地消费，决定发放一批消费券，已知每投放(04,)a a a <≤∈R 亿元的消费券，这批消费券对全市消费总额提高的百分比y 随着时间x (天）的变化的函数关系式近似为()10af x y =，其中302,()3727,xx x f x x xx x +⎧≤≤∈⎪=-⎨⎪-<≤∈⎩R R，若多次投放消费券，则某一时刻全市消费总额提高的百分比为每次投放的消费券在相应时刻对消费总额提高的百分比之和.（1）若第一次投放2亿元消费券，则接下来多长时间内都能使消费总额至少提高40%；（2）政府第一次投放2亿元消费券，4天后准备再次投放m 亿元的消费券，若希望第二次投放后的接下来两天内全市消费总额仍然至少提高40%，试求m 的最小值.【答案】（1）5天内；（2）min 2086m =-.【分析】（1）根据题意分段列出不等式组，求解，然后取并集即得x 的取值范围，从而得解；（2）依题意，列出不等式，并分离参数，然后利用换元方法和基本不等式求相应最值，从而得到所求. 【详解】依题意得a=2,321040%4302xx x +⎧⨯≥⨯=⎪-⎨⎪≤≤⎩，解得12x ≤≤， 2(7)1040%427x x ⨯-≥⨯=⎧⎨<≤⎩，解得25x ≤≤， 15x ∴≤≤，即第一次投放2亿元消费券，则接下来5天内都能使消费总额至少提高40%；（2）依题意得3()42[7(4)]43xmf x x m x +≥⇒-++⨯≥-；在[]0,2x ∈上恒成立，3(22)(3)62433x x x x m m x x+---+≥⇒≥-+， 设(28)(6)243[3,5],3202()t t t x x t m t t t--=+∈=-⇒≥=-+ 2086m ≥-，min 2086m ∴=-.【点睛】本题考查分段函数模型的应用，涉及不等式的求解，不等式恒成立问题.注意：（1）不等式恒成立问题，分离参数后所得式子如果不是特别复杂以至于很难处理，一般常用分离参数法解决；（2）对于二次分式函数的最值，若分子或分母中的式子是一次的，一般作换元，用一个字母t 表示这个一次式，二次分式可以表示为t 函数，一般可用基本不等式或者对勾函数的性质求得相应最值；若分子分母都是二次式，则可以通过分离常数，先将分子转化为一次式在进行处理.（能力题） 一、单选题1．（·上海）若直线l ：212x y b a a b +=++经过第一象限内的点11(,)P a b ，则ab 的最大值为 A ．76 B ．422- C ．523- D ．632-【答案】B 【分析】直线2:12x y l b a a b +=++经过第一象限内的点1(P a，1)b ，可得a ，0b >，211(2)()a b a b a b +=++．2211()(2)()121ba ab ab b ba b a b a b a a⨯=+=++++⨯+．令0bt a =>，21()121t g t t t=+++，(0)t >再利用基本不等式计算可得． 【详解】解：直线2:12xyl b a a b +=++经过第一象限内的点1(P a ，1)b ， 则a ，0b >，211(2)()a b a b a b +=++． 22121()(2)()2121bb a a ab ab b ba b a b a b a b a b a a⨯∴=+=+=++++++⨯+．令0bt a =>，()()()()211221()121121t t t t g t t t t t +++=+=++++22214231t tt t ++=++ 21231tt t =+++ 11312t t =+++． 因为1123223322t t t t ++≥⋅+=+，当且仅当12t t =即22t =时取最小值；1114221322213t t∴+≤+=-+++即()max 24222g t g ⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭故选：B ．【点睛】本题考查了直线方程、换元法、基本不等式的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．2．（2018·上海市控江中学高三开学考试）已知*N k ∈，,,R x y z +∈，若222()5()k xy yz zx x y z ++>++，则对此不等式描述正确的是A ．若5k =，则至少存在．．．．一个以,,x y z 为边长的等边三角形 B ．若6k =，则对任意满足不等式的,,x y z 都存在．．．以,,x y z 为边长的三角形C ．若7k =，则对任意满足不等式的,,x y z 都存在．．．以,,x y z 为边长的三角形D ．若8k ，则对满足不等式的,,x y z 不存在．．．以,,x y z 为边长的直角三角形【答案】B【详解】本题可用排除法，由222222222222x y y z z x x y z xy yz zx+++++=++≥++，对于A ，若5k =，可得222xy yz zx x y z ++>++，故不存在这样的,,,x y z A 错误，排除A ；对于,1,1,2C x y z ===时，()()22275xy yz zx xy z ++>++成立，而以,,x y z 为边的三角形不存在，C 错误，排除C ；对于,D 1,1,2x y z ===时，()()22285xy yz zx x y z ++>++成立，存在以,,x y z 为边的三角形为直角三角形，故D 错误，排除,D 故选B.【 方法点睛】本题主要考查不等式的性质、排除法解选择题，属于难题. 用特例代替题设所给的一般性条件，得出特殊结论，然后对各个选项进行检验，从而做出正确的判断，这种方法叫做特殊法. 若结果为定值，则可采用此法. 特殊法是“小题小做”的重要策略，排除法解答选择题是高中数学一种常见的解题思路和方法，这种方法即可以提高做题速度和效率，又能提高准确性，这种方法主要适合下列题型:(1)求值问题（可将选项逐个验证）；（2）求范围问题（可在选项中取特殊值，逐一排除）；（3）图象问题（可以用函数性质及特殊点排除）；（4）解方程、求解析式、求通项、求前n 项和公式问题等等. 3．（2018·上海高三二模）已知长方体的表面积为2452cm ，所有棱长的总和为24cm .那么，长方体的体对角线与棱所成的最大角为（ ）. A ．1arccos 3 B ．2arccos3 C ．3arccos9D ．6arccos9【答案】D【解析】设三条棱a b c ≤≤454ab ac bc ∴++=，6a b c ++=，222272a b c ++=()22222452264a b c a bc a a a ⎡⎤++≥+=+--⎢⎥⎣⎦整理可得2430a a -+≤12a ∴≤≤∴最短棱长为1，体对角线长为36226cos 936θ==故选D点睛：本题以长方体为载体，考查了不等式的运用，根据题目意思给出三边的数量关系，利用基本不等式代入消元，将三元变为二元，二元变为一元，从而求出变量范围，结合问题求出角的最大值二、填空题 4．（·上海市建平中学高三期中）已知二次函数2()2019f x ax bx c =++（0a >），若存在0x ∈Z ，满足01|()|2019f x ≤，则称0x 为函数()f x 的一个“近似整零点”，若()f x 有四个不同的“近似整零点”，则a 的取值范围是________ 【答案】21(0,]2019【分析】设函数的四个“近似整零点”为,1,2,3m m m m +++，再利用绝对值不等式和01|()|2019f x ≤，求得a 的取值范围.【详解】设函数的四个“近似整零点”为,1,2,3m m m m +++， 所以42019()(3)(1)(2)a f m f m f m f m ⨯=++-+-+|()||(3)||(1)||(2)|f m f m f m f m ≤++++++142019≤⨯所以212019a ≤.故答案为21(0,]2019. 【点睛】本题考查“近似整零点”的定义，求解的关键是读懂新定义，且理解“近似整零点”只与图象的开口大小有关，且四个整零点之间的最小距离为3，此时a 可取到最大值.5．（·上海高三一模）已知0a b >>，那么，当代数式216()a b a b +-取最小值时，点(,)P a b 的坐标为________ 【答案】(22,2)【分析】先根据基本不等式得到22()24b a b a b a b +-⎛⎫-=⎪⎝⎭；再利用基本不等式即可求解．【详解】解：因为0:a b >>22()24b a b a b a b +-⎛⎫∴-≤=⎪⎝⎭；所以222166426416()a a b a b a +≥+≥=-．当且仅当464a b a b ⎧=⎨=-⎩，即222a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩时取等号，此时(,)P a b 的坐标为：()22,2．故答案为：()22,2．【点睛】本题考查的知识点：关系式的恒等变换，基本不等式的应用，属于基础题．6．（2018·上海高三二模）在直角三角形ABC 中，2A π∠=，3AB =，4AC =，E 为三角形ABC 内一点，且22AE =，若AE AB AC λμ=+，则34λμ+的最大值等于___________. 【答案】1【分析】先以直角建系,将22AE =转化为221(3)(4)2λμ+=,然后结合基本不等式求最值.【详解】在直角三角形ABC 中,2A π∠=, 故以A 点为原点,以,AB AC 为,x y 轴正方向建系:则(3,0),(0,4)AB AC ==, 所以(3,4)AE AB AC λμλμ=+=, 因为22AE =,所以()()22134(0,0)2λμλμ+=>>, 又2221(3)(4)(34)2342λμλμλμ+=+-⋅⋅= 所以22134(34)2342()22λμλμλμ++-=⋅⋅≤⋅(当且仅当1342λμ==时等号成立), 所以22134(34)2()22λμλμ++-≤⋅, 解得341λμ+≤, 故答案为:1.【点睛】本题主要考查向量,考查基本不等式,需要学生有一定的计算推理能力.一般在向量中遇见直角,垂直等条件时,可以考虑建系应用坐标求解.（真题/新题）一、单选题 1．（·全国高三其他模拟）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，其中卷第九勾股中记载：“今有邑，东西七里，南北九里，各中开门．出东门一十五里有木．问出南门几何步而见木?”其算法为：东门南到城角的步数，乘南门东到城角的步数，乘积作被除数，以树距离东门的步数作除数，被除数除以除数得结果，即出南门x里见到树，则11972215x⎛⎫⎛⎫⨯⨯⨯⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=．若一小城，如图所示，出东门1200步有树，出南门750步能见到此树，则该小城的周长的最小值为（注：1里=300步）（）A．210里B．410里C．610里D．810里【答案】D【分析】根据题意得EF GFGAEB⋅=，进而得4 2.510EF GF EB GA⋅=⋅=⨯=，再结合基本不等式求4()EF GF+的最小值即可.【详解】因为1里=300步，则由图知1200EB=步=4里，750GA=步=2.5里．由题意，得EF GFGAEB⋅=，则4 2.510EF GF EB GA⋅=⋅=⨯=，所以该小城的周长为4()8810EF GF EF GF+≥⋅=，当且仅当10EF GF==时等号成立.故选:D．【点睛】本题以数学文化为背景考查基本不等式，解题的关键在于根据题意，得出对应的边长关系，即：EF GF GA EB⋅=，再代入数据，结合基本不等式求解，同时，在应用基本不等式时，还需要注意“一正”、“二定”、“三相等”.二、填空题 2．（·上海高考真题）如图，已知正方形OABC ，其中()1OA a a =>，函数23y x =交BC 于点P ，函数12y x -=交AB 于点Q ，当AQ CP +最小时，则a 的值为_______【答案】3【分析】通过函数解析式得到,P Q 两点坐标，从而表示出AQ CP +，利用基本不等式得到最值，从而得到取最值时的条件13a a=，求解得到结果.【详解】依题意得：,3a P a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，1,Q a a ⎛⎫⎪⎝⎭ 则4111223333a a a AQ CP a a a +=+=+≥⋅=当且仅当13a a=即3a =时取等号，故3a =本题正确结果：3【点睛】本题考查基本不等式的应用，关键在于能够通过坐标构造出关于a 的基本不等式的形式，从而利用取等条件得到结果.三、解答题 3．（·江苏高考真题）某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y 万元与年产量x 吨之间的函数关系可以近似地表示为22420005x y x =-+，已知此生产线的年产量最小为60吨，最大为110吨.（1）年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低?并求最低平均成本;（2）若每吨产品的平均出厂价为24万元，且产品能全部售出，则年产量为多少吨时，可以获得最大利润?并求最大利润.【答案】（1）年产量为100吨时，平均成本最低为16万元；（2）年产量为110吨时，最大利润为860万元.【分析】（1）列出式子，通过基本不等式即可求得； （2）将式子化简后，通过二次函数的角度求得最大值. 【详解】（1）2000245yxx x=+-，[60,110]x ∈ 2000224165x x≥⋅-= 当且仅当20005xx=时，即100x =取“=”，符合题意；∴年产量为100吨时，平均成本最低为16万元.（2）()()2212424200012088055x L x x x x ⎛⎫=--+=--+ ⎪⎝⎭又60110x ≤≤，∴当110x =时，max ()860L x =.答：年产量为110吨时，最大利润为860万元.。
高二数学复习 课时提升作业(三十二) 6.1《不等关系与不等式》文 新人教A版
课时提升作业(三十二)不等关系与不等式一、选择题(每小题5分,共35分)1.(2015·成都模拟)已知a,b为非零实数,且a<b,则下列不等式一定成立的是( )A.a2<b2B.ab2>a2bC.<D.<【解析】选C.若a<b<0,则a2>b2,故A错;若0<a<b,则>,故D错;若ab<0,即a<0,b>0,则a2b>ab2,故B错.2.(2015·嘉兴模拟)设M=x2,N=-x-1,则M与N的大小关系是( )A.M>NB.M=NC.M<ND.与x有关【解析】选A.M-N=x2+x+1=+>0,所以M>N.3.(2015·广东实验中学模拟)已知0<a<b<1,则( )A.>B.<C.<D.>【解题提示】利用不等式的基本性质和指数函数、对数函数的单调性即可得出.【解析】选D.因为0<a<b<1,所以-=<0,可得<;>;(lga)2>(lgb)2;lga<lgb<0,可得>.综上可知,只有D正确.【加固训练】(2015·富阳模拟)如果a,b,c满足c<b<a,且ac<0,那么下列选项中不一定成立的是( )A.ab>acB.bc>acC.cb2<ab2D.ac(a-c)<0【解析】选C.因为c<b<a,且ac<0,所以a>0,c<0.所以ab-ac=a(b-c)>0,bc-ac=(b-a)c>0,ac(a-c)<0,所以A,B,D均正确.因为b可能等于0,也可能不等于0.所以cb2<ab2不一定成立.4.某同学拿50元钱买纪念邮票,票面8角的每套5张,票面2元的每套4张,如果每种邮票至少买两套,则买票面8角的x套与票面2元的y套用不等式表示为( )A. B.C. D.0.8×5x+2×4y≤50【解析】选A.根据题意直接列出相应的不等式,组成不等式组即可.5.若a>b>c,a+b+c=0,下列不等式恒成立的是( )A.ac>bcB.ab>acC.a|b|>c|b|D.a2>b2>c2【解析】选B.由a>b>c,a+b+c=0,得a>0,c<0,因为b>c,所以ab>ac.6.若-<α<β<,则α-β一定不属于的区间是( )A.(-π,π)B.C.(0,π)D.(-π,0)【解题提示】由-<α<β<可得-<-β<,从而有-π<α-β<0.【解析】选C.因为-<α<β<,所以-<-β<,所以-π<α-β<0,结合选项可知选项C一定不可能,故选C.7.(2015·上海模拟)若a,b为实数,则a>b>0是“a2>b2”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既非充分条件也非必要条件【解题提示】当a,b>0时,由题意解出a2>b2为a>b或a<-b,然后再判断命题的关系.【解析】选A.若a>0,b>0,因为a2>b2,所以a2-b2>0,所以a>b或a<-b,所以a>b>0⇒a2>b2,反之则不成立,所以a>b>0是a2>b2的充分不必要条件,故选A.二、填空题(每小题5分,共15分)8.(2015·北京模拟)已知a+b>0,则+与+的大小关系是.【解析】+-=+=(a-b)=.因为a+b>0,(a-b)2≥0,所以≥0,所以+≥+.答案:+≥+9.(2015·临沂模拟)用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园,墙长18m,要求菜园的面积不小于216m2,靠墙的一边长为xm,其中的不等关系可用不等式(组)表示为. 【解析】矩形的另一边长为(30-x)=15-x,矩形面积为x且0<x<18,则不等式组为答案:10.已知f(x)=ax2+b,若1≤f(1)≤2,2≤f(2)≤3,则f(3)的范围为.【解析】令f(3)=9a+b=m(a+b)+n(4a+b)=(m+4n)a+(m+n)b,则解得即f(3)=-(a+b)+(4a+b).因为1≤a+b≤2,2≤4a+b≤3,所以2≤f(3)≤,即f(3)的范围是.答案:【一题多解】本题还可有以下解法:巧妙换元:令a+b=x,4a+b=y,则a=,b=,1≤x≤2,2≤y≤3.因为f(3)=9a+b=,6≤8y-5x≤19,所以2≤f(3)≤,即f(3)的范围是.【加固训练】(2015·盐城模拟)若-1<a+b<3,2<a-b<4,则2a+3b的取值范围为.【解析】设2a+3b=x(a+b)+y(a-b),则解得又因为-<(a+b)<,-2<-(a-b)<-1,所以-<(a+b)-(a-b)<,即-<2a+3b<答案:(20分钟40分)1.(5分)(2015·资阳模拟)已知a,b为实数,则“a>b>1”是“<”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选A.由a>b>1⇒a-1>b-1>0⇒<,当a=0,b=2时,<,但a>b>1不成立,所以< a>b>1,故选A.2.(5分)(2015·烟台模拟)已知-1<a<0,A=1+a2,B=1-a2,C=,比较A,B,C的大小结果为( )A.A<B<CB.B<A<CC.A<C<BD.B<C<A【解析】选B.方法一:不妨设a=-,则A=,B=,C=2,由此得B<A<C,选B.方法二:由-1<a<0得1+a>0,A-B=(1+a2)-(1-a2)=2a2>0得A>B,C-A=-(1+a2)=-=->0,得C>A,所以B<A<C.3.(5分)(2015·遵义模拟)已知下列结论:①若a>|b|,则a2>b2;②若a>b,则<;③若a>b,则a3>b3;④若a<0,-1<b<0,则ab2>a.其中正确的是(只填序号即可).【解析】对于①,因为a>|b|≥0,所以a2>b2,即①正确;对于②,当a=2,b=-1时,显然不正确;对于③,显然正确;对于④,因为a<0,-1<b<0,ab2-a=a(b2-1)>0,所以ab2>a,即④正确.答案:①③④4.(12分)已知函数f(x)=ax2+bx+c满足f(1)=0,且a>b>c,求的取值范围.【解题提示】用a+c把b表示出来代入a>b>c,利用放缩法求解.【解析】因为f(1)=0,所以a+b+c=0,所以b=-(a+c).又a>b>c,所以a>-(a+c)>c,且a>0,c<0,所以1>->,即1>-1->,所以解得-2<<-.5.(13分)(能力挑战题)某单位组织职工去某地参观学习需包车前往.甲车队说:“如领队买全票一张,其余人可享受7.5折优惠”,乙车队说:“你们属团体票,按原价的8折优惠”.这两车队的原价、车型都是一样的,试根据单位的人数,比较两车队的收费哪家更优惠.【解析】设该单位职工有n人(n∈N*),全票价为x元,坐甲车需花y1元,坐乙车需花y2元,则y1=x+x·(n-1)=x+nx,y2=nx.因为y1-y2=x+nx-nx=x-nx=x,当n=5时,y1=y2;当n>5时,y1<y2;当n<5时,y1>y2.因此当单位去的人数为5人时,两车队收费相同;多于5人时,选甲车队更优惠;少于5人时,选乙车队更优惠.。
高考数学复习课时训练：一元二次不等式的解法
【课时训练】第32节 一元二次不等式的解法一、选择题1．(2018济南一中检测)若一元二次不等式ax 2＋bx ＋2＞0的解集是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，13,则a ＋b 的值是( )A ．10B ．－10C ．14D ．－14【答案】D【解析】因为一元二次不等式ax 2＋bx ＋2＞0的解集是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，13,所以－12,13是一元二次方程ax 2＋bx＋2＝0的两个根,则⎩⎪⎨⎪⎧14a －12b ＋2＝0，19a ＋13b ＋2＝0，解得a ＝－12,b ＝－2,则a ＋b ＝－14.2．(2018山西太原模拟)若关于x 的不等式x 2－4x －2－a ＞0在区间(1,4)内有解,则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞,－2)B ．(－2,＋∞)C ．(－6,＋∞)D ．(－∞,－6)【答案】A【解析】不等式x 2－4x －2－a ＞0在区间(1,4)内有解,所以a ＜x 2－4x －2在区间(1,4)内有解,又函数y ＝x 2－4x －2在(1,2)上单调递减,在(2,4)上单调递增,当x ＝1时,y ＝－5当x ＝4时,y ＝－2,－5<－2,所以a ＜－2,故选A.3．(2018内蒙古呼和浩特模拟)若不等式x 2－2ax ＋a ＞0对一切实数x ∈R 恒成立,则关于t 的不等式at 2＋2t －3＜1的解集为( )A ．(－3,1)B ．(－∞,－3)∪(1,＋∞)C ．∅D ．(0,1) 【答案】B【解析】x 2－2ax ＋a ＞0对一切实数x ∈R 恒成立,所以Δ＝4a 2－4a ＜0,所以0＜a ＜1,所以函数y ＝a x是减函数,由at 2＋2t －3＜1可得t 2＋2t －3＞0,解得t ＜－3或t ＞1,故选B.4．(2018福建闽侯模拟)已知关于x 的不等式x 2－4x≥m 对任意x ∈(0,1]恒成立,则有( ) A ．m≤－3 B ．m≥－3 C ．－3≤m＜0D ．m≥－4【答案】A【解析】∵x 2－4x≥m 对任意x ∈(0,1]恒成立,令f(x)＝x 2－4x,x ∈(0,1],f(x)图象的对称轴为直线x ＝2,∴f(x)在(0,1]上单调递减,∴当x ＝1时f(x)取到最小值为－3,∴实数m 应满足m≤－3,故选A.5．(2018长春质检)若关于x 的不等式ax －b ＞0的解集是(－∞,－2),则关于x 的不等式ax 2＋bxx －1＞0的解集为( )A ．(－2,0)∪(1,＋∞)B ．(－∞,0)∪(1,2)C ．(－∞,－2)∪(0,1)D ．(－∞,1)∪(2,＋∞) 【答案】B【解析】关于x 的不等式ax －b ＞0的解集是(－∞,－2),故a ＜0,x ＜b a ,∴b a ＝－2,b ＝－2a,∴ax 2＋bxx －1＝ax 2－2ax x －1＞0,由于a ＜0,∴x 2－2xx －1＜0,解得x ＜0或1＜x ＜2,故选B.6．(2019郑州质量预测)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x≥0，x 2－2x ，x ＜0.若关于x 的不等式[f(x)]2＋af(x)－b 2＜0恰有1个整数解,则实数a 的最大值是( )A ．2B ．3C ．5D ．8【答案】D【解析】做出函数f(x)的图象如图中实线部分所示,由[f(x)]2＋af(x)－b 2＜0得－a －a 2＋4b 22＜f(x)＜－a ＋a 2＋4b22.若b≠0,则f(x)＝0满足不等式,即不等式有2个整数解,不满足题意,所以b ＝0,所以－a ＜f(x)＜0,且整数解x 只能是3,当2＜x ＜4时,－8＜f(x)＜0,所以－8≤－a ＜－3,即a 的最大值为8.故选D.7．(2018河南南阳模拟)已知函数f(x)＝x 2＋ax ＋b(a,b ∈R)的值域为[0,＋∞),若关于x 的不等式f(x)＜c 的解集为(m,m ＋6),则实数c 的值为( )A ．6B ．7C ．9D ．10【答案】C【解析】由题意知f(x)＝x 2＋ax ＋b ＝0只有一个根,即Δ＝a 2－4b ＝0,则b ＝a24.不等式f(x)＜c 的解集为(m,m ＋6),即x 2＋ax ＋a 24＜c 的解集为(m,m ＋6),则方程x 2＋ax ＋a 24－c ＝0的两个根为m,m ＋6.∴两根之差|m ＋6－m|＝a 2－4⎝ ⎛⎭⎪⎫a 24－c ＝6,解得c ＝9,故选C. 8．(2018安徽五校联考)在关于x 的不等式x 2－(a ＋1)x ＋a ＜0的解集中至多包含2个整数,则a 的取值范围是( )A ．(－3,5)B ．(－2,4)C ．[－3,5]D ．[－2,4]【答案】D【解析】关于x 的不等式x 2－(a ＋1)x ＋a ＜0可化为(x －1)(x －a)＜0.当a ＝1时,不等式的解集为∅；当a ＞1时,不等式的解集为1＜x ＜a ；当a ＜1时,不等式的解集为a ＜x ＜1.要使得解集中至多包含2个整数,则a≤4且a≥－2,所以实数a 的取值范围是[－2,4],故选D.二、填空题9．(2018全国名校大联考联考)不等式x 2－2ax －3a 2＜0(a ＞0)的解集为________． 【答案】{x|－a ＜x ＜3a}【解析】∵x 2－2ax －3a 2＜0⇔(x －3a)·(x＋a)＜0,a ＞0,∴－a ＜3a,则不等式的解集为{x|－a ＜x ＜3a}．10．(2018河南豫北豫南名校联考)不等式x 2－3|x|＋2＞0的解集是________． 【答案】(－∞,－2)∪(－1,1)∪(2,＋∞)【解析】由题意可知原不等式可转化为|x|2－3|x|＋2＞0,解得|x|＜1或|x|＞2,所以不等式的解集为(－∞,－2)∪(－1,1)∪(2,＋∞)．11．(2018湖北武汉武昌调研)已知f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x≥2，－1，x ＜2，则不等式x 2·f(x)＋x －2≤0的解集是________．【答案】{x|x ＜2}【解析】当x≥2时,原不等式可化为x 2＋x －2≤0,解得－2≤x≤1,此时x 不存在；当x ＜2时,原不等式可化为－x 2＋x －2≤0,解得x ∈R,此时x ＜2.综上可得原不等式的解集为{x|x ＜2}．12．(2018吉林辽源五校期末联考)若函数f(x)＝x 2＋ax ＋b 的两个零点是－1和2,则不等式af(－2x)＞0的解集是________．【答案】⎝⎛⎭⎪⎫－1，12 【解析】∵f(x)＝x 2＋ax ＋b 的两个零点是－1,2,∴－1,2是方程x 2＋ax ＋b ＝0的两根,由根与系数的关系知⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2＝－a ，－1×2＝b ，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2，∴f(x)＝x 2－x －2.不等式af(－2x)＞0,即－(4x 2＋2x －2)＞0,则2x 2＋x －1＜0,解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12.三、解答题13．(2018辽宁大连五校联考)已知函数f(x)＝ax 2－(a ＋1)x ＋1(a≠0)． (1)若f(x)≤2在R 上恒成立,求实数a 的取值范围； (2)解关于x 的不等式f(x)＜0.【解】(1)由f(x)≤2在R 上恒成立,可得ax 2－(a ＋1)x －1≤0在R 上恒成立,∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，(a ＋1)2＋4a≤0，解得－3－22≤a≤－3＋2 2. ∴实数a 的取值范围为[－3－22,－3＋22]． (2)由不等式f(x)＝ax 2－(a ＋1)x ＋1＜0得(ax －1)(x －1)＜0. ①当0＜a ＜1时,不等式等价于⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)＜0,解得1＜x ＜1a ；②当a ＝1时,不等式等价于(x －1)2＜0,无解；③当a ＞1时,不等式等价于⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a ·(x－1)＜0,解得1a ＜x ＜1；④当a ＜0时,不等式等价于⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a ·(x－1)＞0,解得x ＜1a 或x ＞1；综上,当0＜a ＜1时,f(x)＜0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1a ；当a ＝1时,f(x)＜0的解集为∅；当a ＞1时,f(x)＜0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，1；当a ＜0时,f(x)＜0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1a ∪(1,＋∞)．。
高考数学大一轮复习配套课时训练：第六篇 不等式 第3节 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
第3节二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题课时训练练题感提知能【选题明细表】A组一、选择题1.(2013青岛市高三模拟)如果实数x、y满足条件那么目标函数z=2x-y的最大值为( B )(A)2 (B)1 (C)-2 (D)-3解析: 做出满足条件的可行域如图所示,由图可知,当目标函数直线经过点D(0,-1)时,直线y=2x-z的截距最小,此时z最大,此时z=2×0-(-1)=1,所以最大值为1,故选B.2.(2013山东省泰安市高三模拟)不等式组所表示的平面区域的面积为( D )(A)1 (B)(C)(D)解析: 做出不等式组对应的区域为△BCD.由题意知x B=1,x C=2.由得y D=,所以S△BCD=×(x C-x B)×=.故选D.3.(2012年高考福建卷)若直线y=2x上存在点(x,y)满足约束条件则实数m的最大值为( B )(A)-1 (B)1 (C)(D)2解析:约束条件表示的可行域如图阴影部分所示.当直线x=m从如图所示的实线位置运动到过A点的位置时,m取最大值.解方程组得A点坐标为(1,2),∴m的最大值为1,故选B.4.(2013华南师大附中高三综合测试)若x,y满足约束条件则2x+y的取值范围是( D )(A) (B)(C)[-,] (D)解析:不等式组表示的可行域如图阴影部分,令z=2x+y,由图知当直线z=2x+y过点A时有最小值.当直线与圆x2+y2=1相切且切点在第一象限时,z有最大值.由得A（-,）,z min=-,若直线z=2x+y与圆相切,则=1,.故选D.∴|z|=,即z5.(2012汕头模拟)若不等式组表示的平面区域是一个三角形,则a的取值范围是( D )(A)a≥ (B)0<a≤1(C)1≤a≤(D)0<a≤1或a≥解析:如图所示,直线x+y=0从原点向右移动,移动到(1,0)时,再往右移,不等式组所表示的平面区域就不能构成三角形了;又从点A向右移动时,不等式组所表示的平面区域为整个阴影部分的三角形.∴0<a≤1或a≥.故选D.6.(2013德州市高三模拟)已知变量x、y满足则z=log2(2x+y+4)的最大值为( D )(A)1 (B)(C)2 (D)3解析:设t=2x+y,则y=-2x+t.做出不等式组对应的可行域如图阴影部分.当直线y=-2x+t经过点C时,直线y=-2x+t的截距最大,此时t最大,对应的z也最大,由得x=1,y=2.即C(1,2)代入t=2x+y得t=4,所以z=log2(2x+y+4)的最大值为log2(4+4)=log28=3.故选D.二、填空题7.(2013河北省重点中学联合考试)设z=2x+y,其中x,y满足若z的最大值为6,则z的最小值为.解析: 不等式组表示的平面区域如图所示,当直线z=2x+y过点A(k,k)时,z取最大值,则z max=3k=6,解得k=2,易知当直线z=2x+y过点B(-k,k)时,z取最小值,则z min=-2.答案:-28.(2013济南高三模拟)已知x和y是实数,且满足约束条件则z=2x+3y的最小值是.解析: 做出不等式对应的可行域如图所示,由z=2x+3y得y=-x+,做直线y=-x,平移直线y=-x,由图象可知当直线经过C点时,直线y=-x+的截距最小,此时z最小,又C（,）,代入目标函数得z=2x+3y=2×+3×=.答案:9.(2013广东高三综合测试)已知函数f(x)=x2-2x,点集M={(x,y)|f(x)+f(y)≤2},N={(x,y)|f(x)-f(y)≥0},则M∩N所构成平面区域的面积为.解析:M={(x,y)|x2-2x+y2-2y≤2}={(x,y)|(x-1)2+(y-1)2≤4},N={(x,y)|x2-2x-(y2-2y)≥0}={(x,y)||x-1|≥|y-1|},M∩N构成平面区域如图阴影部分所示,由图知平面区域的面积为·π·22=2π.答案:2π10.(2013深圳二调)点P(x,y)是以A(4,1),B(-1,-6),C(-3,2)为顶点的三角形及其内部的任一点,则4x-3y的最大值为.解析:令z=4x-3y,由图知当直线z=4x-3y经过点B(-1,-6)时,z有最大值为4×(-1)-3×(-6)=14.答案:1411.(2013咸阳一模)设实数x、y满足则的最大值是.解析: 不等式组确定的平面区域如图阴影部分.设=t,则y=tx,求的最大值,即求y=tx的斜率的最大值.显然y=tx 过A点时,t最大.由解得A（1,）.代入y=tx,得t=.所以的最大值为.答案:三、解答题12.(2013黄山模拟)设x,y满足约束条件(1)求目标函数z=x-y+的最值;(2)若目标函数z=ax+2y仅在点(1,0)处取得最小值,求a的取值范围. 解: (1)作出可行域如图所示,可求得A(3,4),B(0,1),C(1,0).平移初始直线x-y=0,过A(3,4)取最小值-2,过C(1,0)取最大值1. ∴z的最大值为1,最小值为-2.(2)直线ax+2y=z仅在点(1,0)处取得最小值,由图象可知-1<-<2,解得-4<a<2.故所求a的取值范围是(-4,2).B组13.(2012年高考四川卷)某公司生产甲、乙两种桶装产品.已知生产甲产品1桶需耗A原料1千克、B原料2千克;生产乙产品1桶需耗A 原料2千克、B原料1千克.每桶甲产品的利润是300元,每桶乙产品的利润是400元.公司在生产这两种产品的计划中,要求每天消耗A、B原料都不超过12千克.通过合理安排生产计划,从每天生产的甲、乙两种产品中,公司共可获得的最大利润是( C )(A)1800元(B)2400元(C)2800元(D)3100元解析:设每天生产甲种产品x桶,乙种产品y桶,则根据题意得x、y的约束条件为设获利z元,则z=300x+400y.画出可行域如图.画直线l:300x+400y=0,即3x+4y=0.平移直线l,从图中可知,当直线l过点M时,目标函数取得最大值. 由解得即M的坐标为(4,4),∴z max=300×4+400×4=2800(元).故选C.14.(2012广州模拟)已知实数x、y满足若目标函数z=ax+y(a≠0)取得最小值时的最优解有无数个,则实数a 的值为.解析:画出平面区域所表示的图形,如图中的阴影部分所示,平移直线ax+y=0,可知当平移到与直线2x-2y+1=0重合,即a=-1时,目标函数z=ax+y的最小值有无数多个.答案:-115.实数x、y满足(1)若z=,求z的最大值和最小值,并求z的取值范围;(2)若z=x2+y2,求z的最大值与最小值,并求z的取值范围.解:由作出可行域如图中阴影部分所示.(1)z=表示可行域内任一点与坐标原点连线的斜率,因此的取值范围为直线OB的斜率到直线OA的斜率(OA的斜率不存在).而由得B(1,2),则k OB==2.∴z max不存在,z min=2,∴z的取值范围是[2,+∞).(2)z=x2+y2表示可行域内的任意一点与坐标原点之间距离的平方. 因此x2+y2的范围最小为|OA|2(取不到),最大为|OB|2.由得A(0,1),∴|OA|2=()2=1.|OB|2=()2=5.∴z的最大值为5,没有最小值.故z的取值范围是(1,5].16.咖啡馆配制两种饮料,甲种饮料每杯含奶粉9克、咖啡4克、糖3克,乙种饮料每杯含奶粉4克、咖啡5克、糖10克.已知每天原料的使用限额为奶粉3600克、咖啡2000克、糖3000克,甲种饮料每杯能获利润0.7元,乙种饮料每杯能获利润1.2元,每天应配制两种饮料各多少杯能获利最大?解:设每天配制甲种饮料x杯、乙种饮料y杯可以获得最大利润,利润总额为z元.由条件知:z=0.7x+1.2y,变量x、y满足作出不等式组所表示的可行域如图所示.作直线l:0.7x+1.2y=0,把直线l向右上方平移至经过A点的位置时,z=0.7x+1.2y取最大值.由方程组得A点坐标(200,240).答:应每天配制甲种饮料200杯, 乙种饮料240杯方可获利最大.。
新教材高中数学一元二次函数方程和不等式 第1课时不等关系与不等式学案含解析新人教A版必修1
第二章一元二次函数、方程和不等式2．1等式性质与不等式性质第1课时不等关系与不等式[目标] 1.了解现实世界和日常生活中的不等关系；2.理解不等号的意义和不等式的概念,会用不等式和不等式组表示各种不等关系；3.理解实数大小与实数运算的关系,会用作差比较法比较两个实数的大小．[重点] 会用作差比较法比较两个实数的大小．[难点] 用不等式或不等式组表示各种不等关系．知识点一不等式与不等关系[填一填]1．不等式的定义所含的两个要点：(1)不等符号<,≤,>,≥或≠.(2)所表示的关系是不等关系．2．不等式中的文字语言与符号语言之间的转换[答一答]1．不等关系通过什么样的形式表现出来？提示：通过不等式来表现不等关系．2．在日常生活中,我们经常看到下列标志：(1)你知道各图中的标志有何作用？其含义是什么吗？ (2)你能用一个数学式子表示上述关系吗？如何表示？提示：(1)①最低限速：限制行驶时速v 不得低于50公里； ②限制质量：装载总质量G 不得超过10 t ； ③限制高度：装载高度h 不得超过3.5米； ④限制宽度：装载宽度a 不得超过3米； ⑤时间范围：t ∈{t |7.5≤t ≤10}．(2)①v ≥50；②G ≤10；③h ≤3.5；④a ≤3；⑤7.5≤t ≤10. 知识点二 比较两实数a,b 大小的依据[填一填][答一答]3．用作差法比较两个实数的大小时,对差式应如何变形？ 提示：一般地,对差式分解因式或配方． 4．比较x 2＋3与3x 的大小(其中x ∈R )．提示：因为(x 2＋3)－3x ＝x 2－3x ＋3＝[x 2－3x ＋⎝⎛⎭⎫322]＋3－⎝⎛⎭⎫322＝⎝⎛⎭⎫x －322＋34≥34>0,所以x 2＋3>3x .类型一 用不等式(组)表示不等关系[例1] 已知甲、乙两种食物的维生素A,B 含量如下表：食物甲 乙 维生素A/(单位/kg) 600 700 维生素B/(单位/kg)800400设用甲、乙两种食物各x kg,y kg 配成混合食物,并使混合食物内至少含有56 000单位维生素A 和63 000单位维生素B.试用不等式组表示x ,y 所满足的不等关系．[分析] 根据维生素A 和B 分别至少为56 000单位和63 000单位列不等式．[解] x kg 甲种食物含有维生素A 600x 单位,含有维生素B 800x 单位,y kg 乙种食物含有维生素A 700y 单位,含有维生素B 400y 单位,则x kg 甲种食物与y kg 乙种食物配成的混合食物总共含有维生素A(600x ＋700y )单位,含有维生素B(800x ＋400y )单位,则有⎩⎪⎨⎪⎧ 600x ＋700y ≥56 000，800x ＋400y ≥63 000，x ≥0，y ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧6x ＋7y ≥560，4x ＋2y ≥315，x ≥0，y ≥0.1.用不等式(组)表示不等关系的步骤： (1)审清题意,明确条件中的不等关系的个数； (2)适当设未知数表示变量；(3)用不等式表示每一个不等关系,并写成不等式组的形式． 2．常见的文字语言与符号语言之间的转换[变式训练1]《铁路旅行常识》规定：一、随同成人旅行,身高在1.1～1.4米的儿童享受半价客票(以下称儿童票),超过1.4米的应买全价票,每一名成人旅客可免费带一名身高不足1.1米的儿童,超过一名时,超过的人数应买儿童票．……十、旅客免费携带物品的体积和重量是每件物品的外部长、宽、高尺寸之和不得超过160厘米,杆状物品不得超过200厘米,重量不得超过20千克……设身高为h(米),物品外部长、宽、高尺寸之和为P(厘米),请用不等式表示下表中的不等关系.解：由题意可获取以下主要信息：(1)身高用h(米)表示,物体长、宽、高尺寸之和为P(厘米)；(2)题中要求用不等式表示不等关系．解答本题应先理解题中所提供的不等关系,再用不等式表示．身高在1.1～1.4米可表示为1.1≤h≤1.4,身高超过1.4米可表示为h>1.4,身高不足1.1米可表示为h<1.1,物体长、宽、高尺寸之和不得超过160厘米可表示为P≤160.如下表所示：类型二 比较大小[例2] (1)设m ∈R ,x ∈R ,比较x 2－x ＋1与－2m 2－2mx 的大小．(2)甲、乙是同班同学,且住在同一小区,两人同时从小区出发去学校,甲一半路程步行,一半路程跑步,乙一半时间步行,一半时间跑步,如果两人步行速度、跑步速度均相同,且跑步速度大于步行速度,试判断两人谁先到学校．[分析] (1)将两个代数式作差,判断它们差的符号．(2)依据题意求出甲、乙所用时间,作差法进行比较．[解] (1)∵x ∈R ,m ∈R ,∴(x 2－x ＋1)－(－2m 2－2mx )＝x 2＋(2m －1)x ＋(2m 2＋1)＝x 2＋(2m －1)x ＋⎝⎛⎭⎫2m －122－⎝⎛⎭⎫2m －122＋2m 2＋1＝⎝⎛⎭⎫x ＋2m －122＋m 2＋m ＋34＝⎝⎛⎭⎫x ＋2m －122＋⎝⎛⎭⎫m ＋122＋12>0.∴x 2－x ＋1>－2m 2－2mx .(2)设步行速度与跑步速度分别为v 1,v 2,其中0<v 1<v 2,总路程为2s .则甲用的时间为s v 1＋sv 2,乙有的时间为4s v 1＋v 2.因为s v 1＋s v 2－4s v 1＋v 2＝s (v 1＋v 2)2－4s v 1v 2v 1v 2(v 1＋v 2)＝s (v 1－v 2)2v 1v 2(v 1＋v 2)>0,所以sv 1＋s v 2>4sv 1＋v 2,故乙同学先到学校．1.作差法比较两个数大小的步骤及变形方法 (1)作差法比较的步骤：作差→变形→定号→结论.(2)变形的方法：①因式分解；②配方；③通分；④分母或分子有理化；⑤分类讨论. 2.作商法比较大小的步骤,①作商变形；②与1比较大小；③得出结论.[变式训练2] 设x ∈R ,且x ≠－1,比较11＋x 与1－x 的大小．解：∵11＋x －(1－x )＝x 21＋x ,而x 2≥0,(1)当x ＝0时,x 21＋x ＝0,∴11＋x ＝1－x .(2)当1＋x <0,即x <－1时,x 21＋x <0,∴11＋x<1－x . (3)当1＋x >0,且x ≠0,即－1<x <0或x >0时,x 21＋x >0,∴11＋x >1－x .综上可知：当x ＝0时,11＋x ＝1－x ；当x <－1时,11＋x <1－x ；当－1<x <0或x >0时,11＋x>1－x .类型三 不等式的实际应用[例3] 某单位组织职工去某地参观学习,需包车前往．甲车队说：“如领队买全票一张,其余人可享受7.5折优惠．”乙车队说：“你们属团体票,按原价的8折优惠．”这两车队的收费标准、车型都是一样的,试根据此单位去的人数,比较两车队的收费哪家更优惠．[分析] 依据题意表示出两车队的收费,然后比较大小．[解] 设该单位职工有n 人(n ∈N *),全票价为x 元,坐甲车需花y 1元,坐乙车需花y 2元,则y 1＝x ＋34x ·(n －1)＝14x ＋34xn ,y 2＝45xn ,y 1－y 2＝14x ＋34xn －45xn ＝14x －120xn ＝14x ⎝⎛⎭⎫1－n 5. 当n ＝5时,y 1＝y 2； 当n >5时,y 1<y 2； 当n <5时,y 1>y 2.因此,当此单位去的人数为5人时,两车队收费相同；多于5人时,选甲车队更优惠；少于5人时,选乙车队更优惠．(1)“最优方案”问题,首先要设出未知量,搞清楚比较的对象,然后把这个未知量用其他的已知量表示出来,通过比较即可得出结论.(2)这是一道与不等式有关的实际应用问题,解答时要有设有答,步骤完整.[变式训练3] 某蛋糕师制作A ,B 两种蛋糕,原材料中面粉、黄油、牛奶的需求量如下：制作一个A 种蛋糕需要面粉150 g,黄油100 g,牛奶50 mL ；制作一个B 种蛋糕需要面粉200 g,黄油140 g,牛奶70 mL.现有面粉1 000 g,黄油600 g,牛奶350 mL.若分别制作x 个A 种蛋糕,y 个B 种蛋糕．试列出x ,y 满足的不等式组．解：①制作A ,B 两种蛋糕需要的面粉不超过1 000 g,用不等式表示为150x ＋200y ≤1 000； ②制作A ,B 两种蛋糕需要的黄油不超过600 g,用不等式表示为100x ＋140y ≤600； ③制作A ,B 两种蛋糕需要的牛奶不超过350 mL,用不等式表示为50x ＋70y ≤350； ④A ,B 两种蛋糕的制作量都应不少于0,且为整数个,故x ∈N ,y ∈N . 所以x ,y 满足的不等式组为⎩⎪⎨⎪⎧150x ＋200y ≤1 000100x ＋140y ≤60050x ＋70y ≤350x ∈N ，y ∈N .1．李辉准备用自己节省的零花钱买一台学习机,他现在已存60元．计划从现在起以后每个月节省30元,直到他至少有400元,设x 个月后他至少有400元,则关于月数x 的不等式是( B )A ．30x －60≥400B ．30x ＋60≥400C ．30x －60≤400D ．30x ＋60≤400解析：x 月后他至少有400元,可表示成30x ＋60≥400.2．若x ≠－2且y ≠1,则M ＝x 2＋y 2＋4x －2y 的值与－5的大小关系是( A ) A ．M >－5 B ．M <－5 C ．M ≥－5D ．M ≤－5解析：M －(－5)＝x 2＋y 2＋4x －2y ＋5 ＝(x ＋2)2＋(y －1)2, ∵x ≠－2,y ≠1, ∴(x ＋2)2>0,(y －1)2>0, 因此(x ＋2)2＋(y －1)2>0. 故M >－5.3．设a ≥0,b ≥0,A ＝a ＋b ,B ＝a ＋b ,则A ,B 的大小关系是( B ) A ．A ≤B B ．A ≥B C ．A <BD ．A >B 解析：由题意得,B 2－A 2＝－2ab ≤0,因为A ≥0,B ≥0,所以A ≥B .4．b 克糖水中有a 克糖(b >a >0),若再添上m 克糖(m >0),则糖水就变甜了,试根据这个事实提炼一个不等式a ＋m b ＋m >ab(b >a >0,m >0)．解析：由题意ab的比值越大,糖水越甜,若再添上m 克糖(m >0),则糖水就变甜了,说明a ＋mb ＋m >ab. 5．已知a ,b 为正实数,试比较a b ＋ba与a ＋b 的大小． 解：方法1(作差法)：(a b ＋b a )－(a ＋b )＝(a b －b )＋(ba －a )＝a －b b ＋b －a a＝(a －b )(a －b )ab＝(a －b )2(a ＋b )ab.∵a ,b 为正实数,∴a ＋b >0,ab >0,(a －b )2≥0, ∴(a －b )2(a ＋b )ab ≥0,∴a b ＋b a ≥a ＋b .方法2(作商法)：b a ＋ab a ＋b ＝(b )3＋(a )3ab (a ＋b )＝(a ＋b )(a ＋b －ab )ab (a ＋b )＝a ＋b －abab＝(a －b )2＋ab ab ＝1＋(a －b )2ab ≥1.∵b a ＋a b >0,a ＋b >0,∴b a ＋ab≥a ＋b . 方法3(平方后作差)：∵(a b ＋b a )2＝a 2b ＋b 2a ＋2ab ,(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab ,∴(a b ＋b a )2－(a ＋b )2＝(a ＋b )(a －b )2ab .∵a >0,b >0,∴(a ＋b )(a －b )2ab ≥0,又a b ＋ba >0,a ＋b >0, 故a b ＋ba≥a ＋b .——本课须掌握的三大问题1．不等关系强调的是关系,可用符号“>”“<”“≠”“≥”“≤”表示,而不等式则是表示两者的不等关系,可用“a >b ”“a <b ”“a ≠b ”“a ≥b ”“a ≤b ”等式子表示,不等关系是可以通过不等式来体现的．2．不等式中文字语言与符号语言之间的转换 文字大于,高于,超过小于,低于,少于大于或等于,至少,小于或等于,至多,不(1)作差：对要比较大小的两个数(或式子)作差；(2)变形：对差进行变形；(3)判断差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号；(4)作出结论．这种比较大小的方法通常称为作差比较法．其思维过程：作差→变形→判断符号→结论,其中变形是判断符号的前提．。
第2课时等式性质与不等式性质学案)21-22高一数学教材配套学案+课件+练习(人教A版19必修第一册
2.1 等式性质与不等式性质 第2课时 等式性质与不等式性质【学习目标】一．等式的基本性质性质1 如果a ＝b ，那么b ＝a ；性质2 如果a ＝b ，b ＝c ，那么a ＝c ； 性质3 如果a ＝b ，那么a ±c ＝b ±c ； 性质4 如果a ＝b ，那么ac ＝bc ；性质5 如果a ＝b ，c ≠0，那么a c ＝bc . 二．不等式的性质思考2：若a >b ，c >d ，那么ac >bd 成立吗？【小试牛刀】思辨解析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)a ＝b 是a c ＝bc 成立的充要条件．( ) (2) a >b ⇒ ac 2>bc 2．( )(3)若a ＋c >b ＋d ，则a >b ，c >d .( )(4)同向不等式相加与相乘的条件是一致的．( ) (5)设a ，b ⇒R ，且a >b ，则a 3>b 3.( ) 【经典例题】题型一 利用不等式的性质证明简单的不等式 点拨：利用不等式的性质证明不等式注意事项(1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式.解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用.(2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则.例1 若a >b >0，c <0，求证：bc a c 。
【跟踪训练】1 已知a >b ，e >f ，c >0，求证：f －ac <e －bc .题型二 利用不等式的性质求取值范围点拨：利用不等式的性质求取值范围的策略1.建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用一次不等式的性质进行运算，求得待求的范围.2.同向(异向)不等式的两边可以相加(相减)，这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围.注意：求解这种不等式问题要特别注意不能简单地分别求出单个变量的范围，再去求其他不等式的范围.例2 已知1<a<4,2<b<8.试求2a＋3b与a－b的取值范围．【跟踪训练】2 已知1≤a＋b≤5，－1≤a－b≤3，求3a－2b的范围．【当堂达标】1. (多选)若，则下面四个不等式成立的有（）A.|a|>|b|B.a<bC.a＋b<abD.a3>b32.已知a>b，c>d，且c，d不为0，那么下列不等式一定成立的是()A．ad>bc B．ac>bdC．a＋c>b＋d D．a－c>b－d3.若8<x<10，2<y<4，则xy的取值范围为________.4.下列命题中，真命题是________(填序号).⇒若a>b>0，则1a2<1b2；⇒若a>b，则c－2a<c－2b；⇒若a<0，b>0，则－a<b；⇒若a>b，则2a>2b.5.已知1<a<6，3<b<4，求a－b，ab的取值范围.6.若bc－ad≥0，bd>0，求证：a＋bb≤c＋dd.【课堂小结】1.知识点：(1)等式的性质.(2)不等式的性质及其应用.2.方法归纳：作商比较法、乘方比较法.3.常见误区：注意不等式性质的单向性或双向性，即每条性质是否具有可逆性.【参考答案】【自主学习】<>ac>bc ac>bc a＋c>b＋d a＋c>b＋d >思考1：a＋c>b＋d成立，a－c>b－d不一定成立，但a－d>b－c成立.思考2：不一定，但当a>b>0，c>d>0时，一定成立.【小试牛刀】(1)×(2)×(3)×(4)× (5)√【经典例题】例1【跟踪训练】1证明因为a>b，c>0，所以ac>bc，即－ac<－bc.又e>f，即f<e，所以f－ac<e－bc.例2 解⇒1<a<4,2<b<8，⇒2<2a<8,6<3b<24⇒8<2a＋3b<32.⇒2<b<8，⇒－8<－b<－2.又⇒1<a<4，⇒1＋(－8)<a＋(－b)<4＋(－2)，即－7<a－b<2.故8<2a＋3b<32，－7<a－b<2.【跟踪训练】2设x＝a＋b，y＝a－b，则a＝x＋y2，b＝x－y2，⇒1≤x≤5，－1≤y≤3，⇒3a－2b＝12x＋52y.又12≤12x≤52，－52≤52y≤152，⇒－2≤12x＋52y≤10.即－2≤3a－2b≤10.【当堂达标】1.AB 解析：由1a <1b <0可得b <a <0，从而|a |<|b |，A ，B 均不正确； a ＋b <0，ab >0，则a ＋b <ab 成立，C 正确；a 3>b 3，D 正确. 2. C 解析：由a >b ，c >d 得a ＋c >b ＋d ，故选C.3. 2<x y <5 解析：⇒2<y <4，⇒14<1y <12. 又⇒8<x <10，⇒2<x y <5.4.⇒⇒⇒ 解析：⇒⇒a >b >0⇒0<1a <1b1a 2<1b 2；⇒⇒a >b⇒－2a <－2b⇒c －2a <c －2b ；对⇒取a＝－2，b ＝1，则－a <b 不成立.⇒正确. 5.解 ⇒3<b <4，⇒－4<－b <－3. ⇒1－4<a －b <6－3，即－3<a －b <3. 又14<1b <13，⇒14<a b <63， 即14<a b <2.6.证明 ⇒bc －ad ≥0，⇒bc ≥ad ， ⇒bc ＋bd ≥ad ＋bd ， 即b (c ＋d )≥d (a ＋b ).又bd >0，两边同除以bd 得，a ＋b b ≤c ＋dd .。
2020学年新教材高中数学第三章函数3.2函数与方程、不等式之间的关系练习(含解析)新人教B版必修第一册
3.2 函数与方程、不等式之间的关系最新课程标准：运用函数性质求方程近似解的基本方法(二分法)，再结合实例，更深入地理解用函数构建数学模型的基本过程，学习运用模型思想发现和提出问题、分析和解决问题的方法.知识点一函数的零点1．零点的定义一般地，如果函数y＝f(x)在实数α处的函数值等于零，即f(α)＝0，则称α为函数y ＝f(x)的零点．2．方程的根与函数零点的关系状元随笔函数的零点不是一个点，而是一个实数，当自变量取该值时，其函数值等于零．知识点二二次函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系函数零点存在定理如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图像是连续不断的，并且f (a )f (b )<0(即在区间两个端点处的函数值异号)，则函数y ＝f (x )在区间(a ，b )中至少有一个零点，即∃x 0∈[a ，b ]，f (x 0)＝0.状元随笔 定理要求具备两条：①函数在区间[a ，b]上的图像是连续不断的一条曲线；②f(a)·f(b)＜0.[基础自测]1．函数y ＝3x －2的图像与x 轴的交点坐标及其零点分别是( ) A.23；23 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，0；23 C ．－23；－23 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，0；－23 解析：令3x －2＝0，则x ＝23，∴函数y ＝3x －2的图像与x 轴的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫23，0，函数零点为23.答案：B2．函数f (x )＝3x －x 2的定义域为( ) A ．[0,3] B ．(0,3)C ．(－∞，0]∪[3，＋∞) D．(－∞，0)∪(3，＋∞)解析：要使函数f (x )＝3x －x 2有意义，则3x －x 2≥0，即x 2－3x ≤0，解得0≤x ≤3. 答案：A3．函数f (x )＝x 3－x 的零点个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3解析：f (x )＝x (x －1)(x ＋1)，令x (x －1)(x ＋1)＝0，解得x ＝0，x ＝1，x ＝－1，即函数的零点为－1,0,1，共3个．答案：D4．若函数f (x )＝x 2－ax －b 的两个零点是2和3，则函数g (x )＝bx 2－ax －1的零点是________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧22－2a －b ＝0，32－3a －b ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝－6∴g (x )＝－6x 2－5x －1的零点是－12，－13.答案：－12，－13题型一 函数零点的概念及求法例1 (1)下列图像表示的函数中没有零点的是( )(2)不等式－x 2－3x ＋4>0的解集为________．【解析】 (1)由图观察，A 中图像与x 轴没有交点，所以A 中函数没有零点． (2)由－x 2－3x ＋4>0得x 2＋3x －4<0，解得：－4<x <1， 所以不等式－x 2－3x ＋4>0的解集为(－4,1)． 【答案】 (1)A (2)(－4,1)状元随笔 1.由函数图像判断函数是否有零点是看函数的图像与x 轴是否有交点． 2．求函数对应方程的根即为函数的零点． 方法归纳函数零点的求法求函数y ＝f (x )的零点通常有两种方法：其一是令f (x )＝0，根据解方程f (x )＝0的根求得函数的零点；其二是画出函数y ＝f (x )的图像，图像与x 轴的交点的横坐标即为函数的零点．跟踪训练1 若函数f (x )＝x 2＋x －a 的一个零点是－3，求实数a 的值，并求函数f (x )其余的零点．解析：由题意知f (－3)＝0，即(－3)2－3－a ＝0，a ＝6.所以f (x )＝x 2＋x －6. 解方程x 2＋x －6＝0，得x ＝－3或2. 所以函数f (x )其余的零点是2.由函数f(x)的零点是－3，得f(－3)＝0，求a. 题型二 确定函数零点的个数[教材P 111例6]例2 求证：函数f(x)＝x3－2x＋2至少有一个零点．【证明】因为f(0)＝2>0，f(－2)＝－8＋4＋2＝－2<0，所以f(－2)f(0)<0，因此∃x0∈[－2,0]，f(x0)＝0，即结论成立.教材反思判断函数零点个数的三种方法(1)方程法：若方程f(x)＝0的解可求或能判断解的个数，可通过方程的解来判断函数是否存在零点或判定零点的个数．(2)图像法：由f(x)＝g(x)－h(x)＝0，得g(x)＝h(x)，在同一坐标系内作出y1＝g(x)和y2＝h(x)的图像．根据两个图像交点的个数来判定函数零点的个数．(3)定理法：函数y＝f(x)的图像在区间[a，b]上是一条连续不断的曲线，由f(a)·f(b)＜0即可判断函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点．若函数y＝f(x)在区间(a，b)上是单调函数，则函数f(x)在区间(a，b)内只有一个零点．跟踪训练2 (1)函数f(x)＝x－x－2的零点个数为( )A．0 B．1C．2 D．3(2)判断函数f(x)＝x－3＋ln x的零点个数．解析：(1)令f(x)＝0得x－x－2＝0，设t＝x(t≥0)，则t2－t－2＝0，解得t＝2或t＝－1(舍)．故x＝2即x＝4，因此方程f(x)＝0有一个根4，所以函数f(x)有一个零点．(2)令f(x)＝x－3＋ln x＝0，则ln x＝－x＋3，在同一平面直角坐标系内画出函数y＝ln x与y＝－x＋3的图像，如图所示：由图可知函数y＝ln x，y＝－x＋3的图像只有一个交点，即函数f(x)＝x－3＋ln x只有一个零点．答案：(1)B (2)一个状元随笔思路一：解方程求零点，方程f(x)＝0的实数根的个数就是函数f(x)的零点的个数；思路二：画出函数图像，依据图像与x轴的交点的个数来判断函数的零点个数．题型三 判断函数的零点所在的大致区间例3 设x 0是函数f (x )＝ln x ＋x －4的零点，则x 0所在的区间为( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3) D ．(3,4)【解析】 因为f (2)＝ln 2＋2－4＝ln 2－2＜0，f (3)＝ln 3－1＞ln e －1＝0，f (2)·f (3)＜0.由零点存在性定理，得x 0所在的区间为(2,3)．【答案】 C状元随笔 根据零点存在性定理，对照选项，只需验证区间端点函数值的符号，或可借助于图像分析．方法归纳判断函数零点所在区间的三个步骤(1)代入：将区间端点值代入函数求出函数的值． (2)判断：把所得的函数值相乘，并进行符号判断．(3)结论：若符号为正且函数在该区间内是单调函数，则在该区间内无零点，若符号为负且函数连续，则在该区间内至少有一个零点．跟踪训练3 函数f (x )＝2x －1＋x －5的零点所在的区间为( )A.(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3) D ．(3,4) 解析：f (2)＝22－1＋2－5＜0，f (3)＝23－1＋3－5＞0，故f (2)·f (3)＜0，又f (x )在定义域内是增函数，则函数f (x )＝2x －1＋x －5只有一个零点，且零点所在的区间为(2,3)．答案：C利用f(a)·f(b)＜0求零点区间． 题型四 函数零点的应用[经典例题]例4 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x |，x ≤m ，x 2－2mx ＋4m ，x >m ，其中m >0.若存在实数b ，使得关于x 的方程f (x )＝b 有三个不同的根，则m 的取值范围是________． 【解析】 作出f (x )的图像如图所示．当x >m 时，x 2－2mx ＋4m ＝(x －m )2＋4m －m 2， ∴要使方程f (x )＝b 有三个不同的根，则4m－m2<m，即m2－3m>0.又m>0，解得m>3.【答案】(3，＋∞)方法归纳已知函数零点情况求参数的步骤及方法(1)步骤：①判断函数的单调性；②利用零点存在性定理，得到参数所满足的不等式(组)；③解不等式(组)，即得参数的取值范围．(2)方法：常利用数形结合法．跟踪训练4 已知关于x的方程|x2－4x＋3|－a＝0有三个不相等的实数根，则实数a的值是________．解析：如图，由图像知直线y＝1与y＝|x2－4x＋3|的图像有三个交点，则方程|x2－4x＋3|＝1有三个不相等的实数根，因此a＝1.答案：1状元随笔求解这类问题可先将原式变形为f(x)＝g(x)，则方程f(x)＝g(x)的不同解的个数等于函数f(x)与g(x)图像交点的个数，分别画出两个函数的图像，利用数形结合的思想使问题得解．课时作业 19一、选择题1．下列函数不存在零点的是( )A ．y ＝x －1xB ．y ＝2x 2－x －1C ．y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1 (x ≤0)，x －1 (x ＞0) D ．y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1 (x ≥0)，x －1 (x ＜0)解析：令y ＝0，得A 中函数的零点为1，－1；B 中函数的零点为－12，1；C 中函数的零点为1，－1；只有D 中函数无零点．答案：D2．若函数f (x )＝ax ＋b 有一个零点是2，那么函数g (x )＝bx 2－ax 的零点是( ) A ．0,2 B ．0，12C ．0，－12D ．2，－12解析：∵2a ＋b ＝0，∴g (x )＝－2ax 2－ax ＝－ax (2x ＋1)． ∴零点为0和－12.答案：C3．用二分法研究函数f (x )＝x 5＋8x 3－1的零点时，第一次经过计算得f (0)<0，f (0.5)>0，则其中一个零点所在的区间和第二次应计算的函数值分别为( )A ．(0,0.5)，f (0.125)B ．(0.5,1)，f (0.875)C ．(0.5,1)，f (0.75)D ．(0,0.5)，f (0.25) 解析：∵f (x )＝x 5＋8x 3－1，f (0)<0，f (0.5)>0， ∴f (0)·f (0.5)<0，∴其中一个零点所在的区间为(0,0.5)， 第二次应计算的函数值应为f (0.25)，故选D. 答案：D4．已知函数f (x )＝|x |＋1，g (x )＝k (x ＋2)．若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 C ．(1,2) D ．(2，＋∞)解析：作出f (x )，g (x )图像，如图．因为A (0,1)，B (－2,0)，k AB ＝1－00－(－2)＝12，要使方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根，则函数f (x )与g (x )的图像有两个不同的交点，由图可知，12＜k ＜1.答案：B 二、填空题5．函数f (x )＝x 2－3x －18在区间[1,8]上________(填“存在”或“不存在”)零点． 解析：方法一 ∵f (1)＝12－3×1－18＝－20＜0，f (8)＝82－3×8－18＝22＞0，∴f (1)·f (8)＜0，又 f (x )＝x 2－3x －18在区间[1,8]上的图像是连续的， 故f (x )＝x 2－3x －18在区间[1,8]上存在零点． 方法二 令f (x )＝0，得x 2－3x －18＝0， ∴(x －6)(x ＋3)＝0.∵x ＝6∈[1,8]，x ＝－3∉[1,8]，∴f (x )＝x 2－3x －18在区间[1,8]上存在零点． 答案：存在6．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1 x >0x 2－x －2 x ≤0的零点为________．解析：f (x )＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x >0x －1＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0x 2－x －2＝0，∴x ＝1，x ＝－1，x ＝2(舍) 答案：1，－17．已知函数f (x )＝x 2＋x ＋a (a ＜0)在区间(0,1)上有零点，则a 的取值范围为________． 解析：由题意函数f (x )＝x 2＋x ＋a 在区间(0,1)上单调递增，函数f (x )在(0,1)上有零点，可得：f (1)·f (0)＜0.∴a (2＋a )＜0.∴－2＜a ＜0. 答案：(－2,0) 三、解答题8．判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出． (1)f (x )＝x ＋3x； (2)f (x )＝x 2＋2x ＋4. 解析：(1)令x ＋3x＝0，解得x ＝－3， 所以函数f (x )＝x ＋3x的零点是－3. (2)令x 2＋2x ＋4＝0，由于Δ＝22－4×4＝－12＜0，所以方程x 2＋2x ＋4＝0无解，所以函数f (x )＝x 2＋2x ＋4不存在零点.9．已知函数f (x )＝x 2＋3(m ＋1)x ＋n 的零点是1和2，求函数y ＝nx 2＋mx ＋3的零点个数． 解析：由题可知，f (x )＝x 2＋3(m ＋1)x ＋n 的两个零点为1和2. 则1和2是方程x 2＋3(m ＋1)x ＋n ＝0的两根．可得⎩⎪⎨⎪⎧1＋2＝－3(m ＋1)，1×2＝n ，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－2，n ＝2.∴y ＝2x 2－2x ＋3∵Δ＝4－4×2×3＝－20<0 ∴无零点．[尖子生题库]10．已知二次函数f (x )＝x 2－2ax ＋4，在下列条件下，求实数a 的取值范围．(1)零点均大于1；(2)一个零点大于1，一个零点小于1；(3)一个零点在(0,1)内，另一个零点在(6,8)内．解析：(1)因为方程x 2－2ax ＋4＝0的两根均大于1，结合二次函数的单调性与零点存在性定理得⎩⎪⎨⎪⎧(－2a )2－16≥0，f (1)＝5－2a ＞0，a ＞1，解得2≤a ＜52.即a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫2，52. (2)因为方程x 2－2ax ＋4＝0的一个根大于1，一个根小于1，结合二次函数的单调性与零点存在性定理得f (1)＝5－2a ＜0，解得a ＞52.即a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫52，＋∞. (3)因为方程x 2－2ax ＋4＝0的一个根在(0,1)内，另一个根在(6,8)内，结合二次函数的单调性与零点存在性定理得⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＝4＞0，f (1)＝5－2a ＜0，f (6)＝40－12a ＜0，f (8)＝68－16a ＞0，解得 103＜a ＜174.即a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫103，174.。
人教A版高中数学必修一提升训练2.2 基本不等式(解析版)
2.2 基本不等式1. 利用基本不等式比较大小;2. 变形技巧:“1”的代换;3. 证明不等式;4. 不等式的证明技巧—字母轮换不等式的证法;5. 求参数的取值范围问题;6.求最大（小）值;7.均值不等式在实际问题中的应用一、单选题1．（2020·浙江高一单元测试）若0a <b <,则下列结论中不恒成立的是（ ）A ．a b >B ．11a b> C ．222a b ab +> D ．a b +>-【正确答案】D 【详细解析】因为0a <b <,所以0->->a b 所以a b >,11a b -<-即11a b>,故A,B 正确. 因为()20a b -≥,所以222a b ab +≥,所以222a b ab +>故C 正确.当 2,1a b =-=-时, +<-a b 故D 错误. 故选:D2．（2020·全国高一课时练习）若0a b << ,则下列不等式一定成立的是（ ）A ．2a ba b +>>> B ．2a bb a +>>>C ．2a bb a +>>> D ．2a bb a +>>>【正确答案】C 【详细解析】因为0a b <<,所以2b a b >+,又由基本不等式可得:2a b +>所以2a bb +>>,又2ab a >,a >,因此2a bb a +>>>. 故选:C.3．（2020·黑龙江南岗·哈师大附中高一期末）已知x,y ＞0且x+4y=1,则11x y+的最小值为（ ） A ．8B ．9C ．10D ．11【正确答案】B 【详细解析】0x y ，＞ 且41x y += ,∴11114 4?1459x y x y x y x y y x +=++=+++≥+（）（）．当且仅当1136x y ，==时,等号成立． ∴11x y+的最小值为9． 故选:B ．4．（2020·浙江高一单元测试）如图,某汽车运输公司刚买了一批豪华大客车投入营运,据市场详细分析每辆客车营运的总利润y （单位:10万元）与营运年数x （x ∈N ）为二次函数关系,若使营运的年平均利润最大,则每辆客车应营运A ．3年B ．4年C ．5年D ．6年【正确答案】C 【详细解析】可设y=a( x －6)2+11,又曲线过( 4,7),∴7=a( 4－6)2+11 ∴a=－1． 即y=－x 2+12x －25,∴=12－( x+)≤12－2=2,当且仅当x=5时取等号. 故选C ．5．（2020·浙江鄞州·宁波华茂外国语学校高三一模）已知实数0a >,0b >,11111a b +=++,则2+a b 的最小值是（ ）A ．B ．C ．3D ．2【正确答案】B 【详细解析】 ∵0a >,0b >,11111a b +=++ ∴112(1)12(1)2(1)3[(1)2(1)]()3[12]31111b a a b a b a b a b a b +++=+++-=+++⋅+-=+++-++++≥当且仅当2(1)111b a a b ++=++,即a =2b =时取等号.故选B6．（2020·全国高三课时练习（理））已知关于x 的不等式227x x a+≥-在(,)x a ∈+∞上恒成立,则实数a 的最小值为 （ ） A ．1B ．52C ．2D ．32【正确答案】D 【详细解析】 设2()2f x x x a=+-,,0x a x a >∴->,227x x a+≥-在(,)x a ∈+∞上恒成立,需min ()7f x ≥, 22()22()222242f x x x a a a a x a x a=+=-++≥⨯+=+--,当且仅当11x a x a -==-,即1x a =+时等号成立, 3427,2a a ∴+≥≥.故选:D.7．（2020·广西兴宁·南宁三中高一期末）已知0a >,0b >,1ab =,且1m b a =+,1n a b=+,则m n +的最小值是（ ） A ．3B ．4C ．5D ．6【正确答案】B 【详细解析】 由1ab =知,12m b b a =+=,12n a a b=+=,∴()24m n a b +=+≥=,当且仅当1a b ==时取等号. 故m n +的最小值为4 故选:B8．（2020·皇姑·辽宁实验中学高三其他（文））已知实数,x y 满足221x xy y -+=,则x y +的最大值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【正确答案】B 【详细解析】原式可化为:22()1313()2x y x y xy ++=+≤+,解得22x y -≤+≤,当且仅当1x y ==时成立．所以选B. 9．（2020·河南高二期末（理））设,,a b c 为任意正数．则111,,a b c b c a+++这三个数（ ）A ．都大于2B ．都小于2C ．至少有一个不小于2D ．至少有一个不大于2【正确答案】C 【详细解析】假设三个数均小于2,即1112,2,2a b c b c a +<+<+<,故1116a b c a b c+++++<,而1116a b c a b c +++++≥=, 当1a b c ===时等号成立,这与1116a b c a b c+++++<矛盾, 故假设不成立,故至少有一个不小于2,C 正确;取2a b c ===,计算排除BD;取1a b c ===,计算排除A. 故选:C.10．（2020·浙江金华·高一期末）已知x ,0y >,则41x y x y+++的最小值为（ ）A ．B ．6C ．D ．【正确答案】B 【详细解析】因为x ,0y >,由基本不等式可得,416x y x y +++≥=,当且仅当2,1x y ==时等号成立．故选:B ． 二、多选题11．（2020·浙江高一单元测试）已知函数11(0)y x x x=++<,则该函数的（ ）． A ．最小值为3 B ．最大值为3 C ．没有最小值 D ．最大值为1-【正确答案】CD 【详细解析】0x <,∴函数111()12(11()y x x x x x ⎡⎤=++=--++--=-⎢⎥-⎣⎦,当且仅当1x =-时取等号,∴该函数有最大值1-．无最小值．故选:CD ．12．（2020·海南高二期末）已知实数a 、b 满足0a b >>,则下列不等式一定成立的有（ ） A ．22a b < B ．a b -<- C ．2b aa b+> D ．a b ab +>【正确答案】BC 【详细解析】因为0a b >>,于是22a b >,A 项不成立; 由0a b >>得a b -<-,B 项正确;由基本不等式可知2b a a b +≥=,因为a b ,所以等号取不到,所以C 项正确;当3a =,2b =时,D 项不成立. 故选:BC.13．（2020·山东德州·高三二模）若正实数a ,b 满足1a b +=则下列说法正确的是（ ）A ．ab 有最大值14B C ．11a b+有最小值2 D ．22a b +有最大值12【正确答案】AB 【详细解析】对A,2211224a b ab +⎛⎫⎛⎫≤== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,当且仅当12a b ==时取等号.故A 正确.对B, 22a b a b a b =++≤+++=,≤,当且仅当12a b ==时取等号.故B 正确.对C,()1111224b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+⎝= ⎪⎭.当且仅当12a b ==时取等号.所以11a b +有最小值4.故C 错误.对D, ()()2222222121a b a ab b a a bb +=⇒++=≤+++,即2212a b +≥,故22a b +有最小值12.故D 错误. 故选:AB14．（2019·山东泰山·泰安一中高一期中）设0a >,0b >,给出下列不等式恒成立的是（ ）. A ．21a a +> B ．296a a +> C ．()114a b a b ⎛⎫++≥⎪⎝⎭ D ．114a b a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭【正确答案】ACD 【详细解析】 设0a >,0b >,22131024a a a ⎛⎫+-=++> ⎪⎝⎭,A 成立,2296(3)0a a a +-=-,B 不成立()111124b a a b a b a b ⎛⎫++=+++≥+=⎪⎝⎭,当且仅当b a a b =即a b =时取等号,故C 成立,12a a +,12b b +,114a b a b ⎛⎫⎛⎫∴++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,当且仅当1a a =,1b b =即1a b ==时取等号,故D 成立,故选:ACD ． 三、填空题15．（2020·浙江高一单元测试）已知04x <<,则414x x+-的最小值为______．【正确答案】94． 【详细解析】用“1”的代换法配凑出定值,然后用基本不等式得最小值．4144114(4)95444444x x x x x x x x x x +--⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=++ ⎪⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 当且仅当4(4)4x x x x -=-,解得1288,3x x ==, 又因为04x <<,所以83x =时等号成立．故正确答案为:94．16．（2020·全国高一）若0, 0a >b >,则“4a b +≤”是 “4ab ≤”的_____条件 【正确答案】充分不必要 【详细解析】当0,0a b >>时,由基本不等式,可得a b +≥,当4a b +≤时,有4a b ≤+≤,解得4ab ≤,充分性是成立的; 例如:当1,4a b ==时,满足4ab ≤,但此时=5>4a+b ,必要性不成立, 综上所述,“4a b +≤”是“4ab ≤”的充分不必要条件. 故正确答案为充分不必要条件.17．（2020·全国高一）若实数x ,y 满足xy =1,则x 2+4y 2的最小值为______． 【正确答案】4 【详细解析】 若实数,x y 满足1xy=,则2242244x y x y xy +≥⋅⋅==,当且仅当2x y ==,上式取得最小值4 故正确答案为:4 四、双空题18．（2019·全国高一课时练习）若1x >,则1141x x ++-的最小值是______,此时x =______.【正确答案】9 32【详细解析】因为1x >,即10x ->所以1114=4(1)545911x x x x ++-++≥+=-- 当且仅当14(1)1x x -=-即32x =时取等号．故第一空填9,第二空填3219．（2020·浙江鄞州·宁波诺丁汉附中高一期中）用一根长为12m 的铝合金条做成一个“目”字形窗户的框架（不计损耗）,要使这个窗户通过的阳光最充足,则框架的宽为________m ;高为________m . 【正确答案】323 【详细解析】设窗户的宽为x ,则其高为62x -,要使阳光充足,只要面积最大,()()()23962232[]22x x S x x x x +-=-=-≤⨯=,当且仅当32x =时等号成立,这时高为3m .故正确答案为:( 1).32( 2). 3 用基本不等式求最值问题:已知0,0x y >>,则:( 1)如果积xy 是定值p ,那么当且仅当x y =时,x y +有最小值是.( 简记:积定和最小)( 2)如果和x y +是定值p ,那么当且仅当x y =时,xy 有最大值是24p .( 简记:和定积最大)20．（2020·浙江金华·高一期中）已知正数a ,b 满足a +b =1,则1b a b+的最小值等于__________ ,此时a =____________. 【正确答案】3 12【详细解析】根据题意,正数a 、b 满足1a b +=,则1113b b a b b a a b a b a b ++=+=++≥=, 当且仅当12a b ==时,等号成立,故1b a b+的最小值为3,此时12a =.故正确答案为:3;12.21．（2017·北京人大附中高一期中）已知正数x 、y 满足1x y +=,则: （1）22xy +的最小值为________．（2）若14a x y+>恒成立,则实数a 的取值范围是______． 【正确答案】12(),9-∞ 【详细解析】( 1)因为正数x ､y 满足1x y +=,所以21()24x y xy +≤=,当且仅当12x y ==时取等号, 所以2221()2122x y x y xy xy =+-=-≥+;( 2)因为正数x ､y 满足1x y +=,14144()()1459x y x y x y x y y x∴+=++=+++≥+=, 当且仅当4x y y x =,即12,33x y ==时取等号, 所以9a <;故正确答案为:()1;,92-∞ 五、参考解答题22．（2020·全国高一课时练习）已知a ,b ,c 为任意实数,求证:222a b c ab bc ca ++++． 【正确答案】见详细解析 【详细解析】∵222a b ab +,22222,2b c bc c a ca ++,∴()22222()a b cab bc ca ++++．即222a b c ab bc ca ++++．当且仅当a b c ==时,等号成立． 23．（2020·全国）设a ,b ,c 都是正数,求证:bc ca aba b c a b c++++．【正确答案】详见详细解析 【详细解析】证明:∵a ,b ,c 都是正数, ∴由重要不等式可得:2bc ca c a b +≥=①,当且仅当bc ac a b =时等号成立,即a b =;2bc ab b a c +≥=②,当且仅当bc ab a c =时等号成立,即a c =;2ac ab a b c +≥③,当且仅当ac ab b c =时等号成立,即b c =; ∴①+②+③得: 22()bc ca ab a b c a b c ⎛⎫++≥++ ⎪⎝⎭ ∴bc ca ab a b c a b c++++;当且仅当a b c ==时等号成立. 24．（2020·全国高一课时练习）已知a >0,b >0,a ＋b ＝1,求证:11119a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 【正确答案】证明见详细解析 【详细解析】证明:法一:因为a >0,b >0,a ＋b ＝1, 所以1＋1a ＝1＋ab a +＝2＋b a ,同理1＋1b ＝2＋a b, 故11112252549b a b a a b a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=++=++≥+= ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 所以11119a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭（当且仅当12a b ==时取等号）. 法二:111111211111a b a b a b ab ab ab ab+⎛⎫⎛⎫++=+++=++=+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭, 因为a ,b 为正数,a ＋b ＝1,所以ab ≤2124a b +⎛⎫= ⎪⎝⎭,于是14ab ≥,28ab ≥,因此1111189a b ⎛⎫⎛⎫++≥+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭（当且仅当12a b ==时取等号）. 25．（2020·全国高一课时练习）用篱笆围一个面积为2100m 的矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时,所用篱笆最短,最短的篱笆是多少?【正确答案】矩形的长、宽都为10m 时,所用篱笆最短,最短篱笆为40m .【详细解析】设矩形菜园的长为m x ,宽为m y ,则100xy =,篱笆的长为()2x y m +.由基本不等式可得()2240x y +≥⨯=,当且仅当10x y ==时,等号成立,因此,这个矩形的长、宽都为10m 时,所用篱笆最短,最短篱笆为40m .26．（2020·浙江高一单元测试）(1)已知x >3,求y =x +4x−3的最小值,并求取到最小值时x 的值;(2)已知x >0,y >0,x 2+y 3=2,求xy 的最大值,并求取到最大值时x 、y 的值．【正确答案】(1)当x =5时,y 的最小值为7．(2) x =2,y =3时,xy 的最大值为6．【详细解析】(1)已知x >3,则:x −3>0,故:y =x +4x−3=x −3+4x−3+3≥2√(x −3)4(x−3)+3=7,当且仅当:x −3=4x−3,解得:x =5,即:当x =5时,y 的最小值为7．(2)已知x >0,y >0,x 2+y 3=2,则:x 2+y 3≥2√xy 6, 解得:xy ≤6,即:x 2=y 3=1,解得:x =2,y =3时,xy 的最大值为6．27．（2020·浙江高一单元测试）已知0,0x y >>且191x y +=,求使不等式x y m +≥恒成立的实数m 的取值范围．【正确答案】16m .【详细解析】 由191x y +=,则19()x y x y x y ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭910x y y x =++910216y +=． 当且仅当169x y x y y x +=⎧⎪⎨=⎪⎩即412x y =⎧⎨=⎩时取到最小值16． 若x y m +恒成立,则16m ．。
高中数学 课时达标训练(十五)一元二次不等式的解法(含解析)新人教A版必修5-新人教A版高二必修5数
课时达标训练(十五) 一元二次不等式的解法[即时达标对点练]题组1 一元二次不等式的解法1．不等式－x 2－5x ＋6≥0的解集为( ) A ．{x |x ≥6或x ≤－1} B ．{x |－1≤x ≤6} C ．{x |－6≤x ≤1}D ．{x |x ≤－6或x ≥1}解析：选C －x 2－5x ＋6≥0可化为x 2＋5x －6≤0.方程x 2＋5x －6＝0的两根为1，－6，又y ＝x 2＋5x －6的图象开口向上，所以x 2＋5x －6≤0的解集为{x |－6≤x ≤1}．2．若0<t <1，则不等式(x －t )⎝⎛⎭⎪⎫x －1t <0的解集为________．解析：∵0<t <1，∴1t>1，所以(x －t )⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1t <0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪t <x <1t .答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪t <x <1t3．不等式x (3－x )≥x (x ＋2)＋1的解集是________． 解析：原不等式即为3x －x 2≥x 2＋2x ＋1， 可化为2x 2－x ＋1≤0， 由于判别式Δ＝－7<0，所以方程2x 2－x ＋1＝0无实数根， 因此原不等式的解集是∅. 答案：∅4．解下列不等式： (1)2＋3x －2x 2>0； (2)x (3－x )≤x (x ＋2)－1； (3)x 2－2x ＋3>0.解：(1)原不等式可化为2x 2－3x －2<0， ∴(2x ＋1)(x －2)<0，故原不等式的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－12<x <2.(2)原不等式可化为2x 2－x －1≥0. ∴(2x ＋1)(x －1)≥0，故原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≤－12或x ≥1.(3)∵Δ＝(－2)2－4×3＝－8<0， 故原不等式的解集是R.题组2 解含参数的一元二次不等式 5．解关于x 的不等式x 2－x －a (a －1)>0. 解：原不等式可以化为：(x ＋a －1)(x －a )>0， ∴当a >－(a －1)即a >12时，原不等式的解集为{}x |x >a 或x <1－a ； 当a ＝－(a －1)即a ＝12时，由⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122>0，得原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠12.当a <－(a －1)即a <12时，原不等式的解集为{}x |x <a 或x >1－a .6．解关于x 的不等式：ax 2－2≥2x －ax (a <0)． 解：原不等式移项得ax 2＋(a －2)x －2≥0， 化简为(x ＋1)(ax －2)≥0.∵a <0，∴(x ＋1)⎝⎛⎭⎪⎫x －2a ≤0.当－2<a <0时，2a≤x ≤－1；当a ＝－2时，x ＝－1；当a <－2时，－1≤x ≤2a.综上所述，当－2<a <0时，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪2a≤x ≤－1；当a ＝－2时，解集为{}x |x ＝－1；当a <－2时，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－1≤x ≤2a . 题组3 三个“二次”之间的关系问题7．已知不等式ax 2＋3x －2>0的解集为{}x |1<x <b ，则a ，b 的值等于( )A ．a ＝1，b ＝－2B ．a ＝2，b ＝－1C ．a ＝－1，b ＝2D ．a ＝－2，b ＝1解析：选C 因为不等式ax 2＋3x －2>0的解集为{}x |1<x <b ，所以方程ax 2＋3x －2＝0的两个根分别为1和b ，根据根与系数的关系，得1＋b ＝－3a ，b ＝－2a，所以a ＝－1，b ＝2.8．若不等式ax 2＋bx ＋2<0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－12<x <13，则a ＋b 的值为( )A ．14B ．－10C ．10D ．－14 解析：选D 由已知得，ax 2＋bx ＋2＝0的解为－12，13，∴⎩⎪⎨⎪⎧－b a ＝－12＋13，2a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×13，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，b ＝－2，∴a ＋b ＝－14.9．已知ax 2＋2x ＋c >0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－13<x <12，试求a ，c 的值，并解不等式－cx 2＋2x－a >0.解：由ax2＋2x ＋c >0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－13<x <12，知a <0，且方程ax 2＋2x ＋c ＝0的两根为x 1＝－13，x 2＝12，由根与系数的关系知⎩⎪⎨⎪⎧a <0，－13＋12＝－2a ，－13×12＝c a ，解得a ＝－12，c ＝2.此时，－cx 2＋2x －a >0，即2x 2－2x －12<0， 其解集为{}x |－2<x <3.[能力提升综合练]1．不等式x 2－|x |－2<0的解集是( ) A.{}x |－2<x <2 B.{}x |x <－2或x >2 C.{}x |－1<x <1 D.{}x |x <－1或x >1解析：选A 令t ＝|x |，则原不等式可化为t 2－t －2<0，即(t －2)(t ＋1)<0. ∵t ＝|x |≥0，∴t －2<0，∴t <2. ∴|x |<2，得－2<x <2.2．当a <0时，不等式42x 2＋ax －a 2<0的解集为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫a 7，－a 6B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 6，a 7C.⎝ ⎛⎭⎪⎫a7，－2a 7 D ．∅解析：选A 不等式化为(6x ＋a )(7x －a )<0， ∵a <0，∴－a 6>a7，故选A.3．不等式f (x )＝ax 2－x －c >0的解集为{}x |－2<x <1，则函数y ＝f (－x )的图象为下列中的( )解析：选B 由根与系数的关系知1a ＝－2＋1＝－1，－ca＝－2，∴a ＝－1，c ＝－2.∴f (x )＝－x 2－x ＋2.∴f (－x )＝－x 2＋x ＋2，故选B.4．已知一元二次不等式f (x )<0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <－1或x >12，则f (10x)>0的解集为( )A.{}x |x <－1或x >－lg 2B.{}x |－1<x <－lg 2C.{}x |x >－lg 2D.{}x |x <－lg 2解析：选D 由题意知，一元二次不等式f (x )>0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12，即－1<10x <12⇒x <－lg 2，所以选D.5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≥0，1，x <0，则满足不等式f (1－x 2)>f (2x )的x 的取值范围是________．解析：由题意有⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2>0，2x <0或⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2>2x ，2x ≥0， 解得－1<x <0或0≤x <2－1.∴所求x 的取值范围为(－1，2－1)． 答案：(－1，2－1)6．设0<b <1＋a .若关于x 的不等式(x －b )2>(ax )2的解集中的整数解恰有3个，则a 的取值范围为________．解析：原不等式转化为[(1－a )x －b ][(1＋a )x －b ]>0.①当a ≤1时，结合不等式解集形式知不符合题意；②当a >1时，b 1－a <x <b a ＋1，由题意知0<ba ＋1<1，∴要使原不等式解集中的整数解恰有3个，则需－3≤b1－a <－2.整理，得2a －2<b ≤3a －3.结合题意b <1＋a ，有2a －2<1＋a ，∴a <3，从而有1<a <3.综上可得a ∈(1，3)．答案：(1，3)7．已知f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6. (1)解关于a 的不等式f (1)>0；(2)若不等式f (x )>b 的解集为(－1,3)，求实数a ，b 的值． 解：(1)∵f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6， ∴f (1)＝－3＋a (6－a )＋6＝－a 2＋6a ＋3， ∴原不等式可化为a 2－6a －3<0， 解得3－23<a <3＋2 3.∴原不等式的解集为{a |3－23<a <3＋23}．(2)f (x )>b 的解集为(－1,3)等价于方程－3x 2＋a (6－a )x ＋6－b ＝0的两根为－1,3，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1＋3＝a 6－a3，－1×3＝－6－b3，解得⎩⎨⎧a ＝3±3，b ＝－3.8．已知关于x 的不等式ax 2－3x ＋2>0的解集为{x |x <1或x >b }． (1)求a ，b 的值；(2)解关于x 的不等式：ax 2－(ac ＋b )x ＋bx <0.解：(1)∵不等式ax 2－3x ＋2>0的解集为{x |x <1或x >b }， ∴a >0，且方程ax 2－3x ＋2＝0的两个根是1和b . 由根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧1＋b ＝3a，1·b ＝2a ，解得a ＝1，b ＝2.(2)∵a ＝1，b ＝2，∴ax 2－(ac ＋b )x ＋bx <0，即x 2－(c ＋2)x ＋2x <0，即x (x －c )<0. ∴当c >0时，解得0<x <c ； 当c ＝0时，不等式无解； 当c <0时，解得c <x <0.综上，当c >0时，不等式的解集是(0，c )；当c ＝0时，不等式的解集是∅；当c <0时，不等式的解集是(c,0)．。
高中数学 第二章 等式与不等式 2.2 不等式 2.2.1 第1课时 不等式及其性质精品练习(含解析
第1课时 不等式及其性质必备知识基础练进阶训练第一层知识点一用不等式表示不等关系1.下面表示“a 与b 的差是非负数”的不等关系的是( )A ．a －b ＞0B ．a －b ＜0C ．a －b≥0D ．a －b≤02．某隧道入口竖立着“限高4.5米”的警示牌，是指示司机要安全通过隧道，应使车载货物高度h 满足关系为( )A ．h ＜4.5B ．h ＞4.5C ．h≤4.5D ．h≥4.5知识点二作差法比较大小3.设a ＝3x 2－x ＋1，b ＝2x 2＋x ，则( )A ．a>bB ．a<bC ．a≥bD ．a≤b4．若P ＝a ＋6＋a ＋7，Q ＝a ＋5＋a ＋8(a>－5)，则P ，Q 的大小关系为( )A ．P<QB ．P ＝QC ．P>QD ．不能确定5．若A ＝a 2＋3ab ，B ＝4ab －b 2，则A 、B 的大小关系是( )A ．A≤B B ．A≥BC ．A<B 或A>BD ．A>B知识点三用不等式的性质判断或证明6.下列命题正确的是( )A ．若ac ＞bc ，则a ＞bB ．若a 2＞b 2，则a ＞bC ．若1a ＞1b，则a ＜b D ．若a ＜b ，则a ＜b7．给出下列命题： ①若ab>0，a>b ，则1a <1b ；②若a>b ，c>d ，则a －c>b －d ；③对于正数a ，b ，m ，若a<b ，则a b <a ＋mb ＋m .其中真命题的序号是________．8．(1)已知a ＜b ＜0，求证：b a ＜ab ；(2)已知a ＞b ，1a ＜1b ，求证：ab ＞0.关键能力综合练进阶训练第二层一、选择题1．按照神州十一号飞船环境控制与生命保障系统的设计指标，要求神州六号飞船返回舱的温度在(21±4) ℃之间(包含端点)，则该返回舱中温度t(单位：℃)的取值X 围是( )A ．t≤25B ．t≥17C ．17≤t≤25D ．17<t<252．已知a ＋b>0，b<0，那么a ，b ，－a ，－b 的大小关系是( )A ．a>b>－b>－aB ．a>－b>－a>bC ．a>－b>b>－aD ．a>b>－a>－b3．已知a>b ，c>d ，且c ，d 不为0，那么下列不等式一定成立的是( )A ．ad>bcB ．ac>bdC ．a ＋c>b ＋dD ．a －c>b －d4．已知a ，b ，c 均为正实数，若c a ＋b ＜a b ＋c ＜ba ＋c，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c ＜a ＜bB ．b ＜c ＜aC ．a ＜b ＜cD ．c ＜b ＜a5．已知x ＞y ＞z ，x ＋y ＋z ＝0，则下列不等式中成立的是( )A ．xy ＞yzB ．xz ＞yzC ．xy ＞xzD ．x|y|＞z|y|6．已知a ，b∈(0,1)，记M ＝ab ，N ＝a ＋b －1，则M 与N 的大小关系是( )A ．M ＜NB ．M ＞NC ．M ＝ND ．不确定二、填空题7．一辆汽车原来每天行驶x km ，如果该辆汽车每天行驶的路程比原来多19 km ，那么在8天内它的行程就超过2 200 km ，写出不等式为________；如果它每天行驶的路程比原来少12 km ，那么它原来行驶8天的路程就得花9天多的时间，用不等式表示为________．8．已知a ＋b ＞0，则a b 2＋b a 2与1a ＋1b 的大小关系是________．9．(探究题)给定下列命题：①a>b ⇒a 2>b 2；②a 2>b 2⇒a>b ；③a>b ⇒b a <1；④a>b，c>d ⇒ac>bd ；⑤a>b，c>d ⇒a －c>b－d.其中错误的命题是________(填写相应序号)．三、解答题10．(易错题)已知实数x ，y 满足－4≤x－y≤－1，－1≤4x－y≤5，求9x －3y 的取值X 围．学科素养升级练进阶训练第三层1．(多选)给出四个选项能推出1a ＜1b的有( )A ．b ＞0＞aB ．0＞a ＞bC ．a ＞0＞bD ．a ＞b ＞02．已知a ，b ，c 为不全相等的实数，P ＝a 2＋b 2＋c 2＋3，Q ＝2(a ＋b ＋c)，那么P 与Q 的大小关系是( )A ．P>QB ．P≥QC ．P<QD ．P≤Q3．(情境命题—生活情境)甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度、跑步速度均相同，试探究谁先到达教室？2．2.1 不等式及其性质第1课时 不等式及其性质必备知识基础练1．解析：“a 与b 的差是非负数”用不等式表示为a －b ≥0.故选C. 答案：C2．解析：“限高4.5米”即h ＜4.5，故选A. 答案：A3．解析：a －b ＝(3x 2－x ＋1)－(2x 2＋x )＝x 2－2x ＋1＝(x －1)2≥0，所以a ≥b . 答案：C4．解析：P 2＝2a ＋13＋2a ＋6a ＋7，Q 2＝2a ＋13＋2a ＋5a ＋8，因为(a ＋6)(a ＋7)－(a ＋5)(a ＋8)＝a 2＋13a ＋42－(a 2＋13a ＋40)＝2>0， 所以a ＋6a ＋7>a ＋5a ＋8，所以P 2>Q 2，所以P >Q . 答案：C5．解析：因为A －B ＝a 2＋3ab －(4ab －b 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －b 22＋34b 2≥0，所以A ≥B .答案：B6．解析：对于A ，若c ＜0，其不成立；对于B ，若a ，b 均小于0或a ＜0，其不成立；对于C ，若a ＞0，b ＜0，其不成立；对于D ，其中a ≥0，b ＞0，平方后显然有a ＜b .答案：D7．解析：对于①，若ab >0，则1ab>0，又a >b ，所以a ab >b ab ，所以1a <1b，所以①正确； 对于②，若a ＝7，b ＝6，c ＝0，d ＝－10， 则7－0<6－(－10)，②错误； 对于③，对于正数a ，b ，m ， 若a <b ，则am <bm ， 所以am ＋ab <bm ＋ab ， 所以0<a (b ＋m )<b (a ＋m )， 又1bb ＋m >0，所以a b <a ＋m b ＋m，③正确． 综上，真命题的序号是①③. 答案：①③8．证明：(1)证法一：∵a <b <0，∴－a >－b >0， ∴0<－1a <－1b， ①∵0<－b <－a, ② ①②相乘，b a <a b.证法二：b a －a b ＝b 2－a 2ab ＝b ＋a b －aab，∵a ＜b ＜0，∴b ＋a ＜0，b －a ＞0，ab ＞0， ∴b ＋ab －aab ＜0，故b a ＜ab .(2)∵1a ＜1b，∴1a －1b＜0，即b －a ab＜0，又a ＞b ，∴b －a ＜0， ∴ab ＞0.关键能力综合练1．解析：由题意知21－4≤t ≤21＋4，即17≤t ≤25.答案：C2．解析：解法一 ∵a ＋b >0，∴a >－b ， 又b <0，∴a >0，且|a |>|b |， ∴a >－b >b >－a .解法二 设a ＝3，b ＝－2，则a >－b >b >－a . 故选C. 答案：C3．解析：由a >b ，c >d 得a ＋c >b ＋d ，故选C. 答案：C 4．解析：∵ca ＋b ＜ab ＋c，∴c (b ＋c )＜a (a ＋b )，bc ＋c 2＜a 2＋ab ，移项后因式分解得，(a －c )(a ＋b ＋c )＞0，∵a ，b ，c 均为正实数，∴a ＞c ，同理b ＞a .∴c ＜a ＜b ，故选A.答案：A5．解析：因为x ＞y ＞z ，x ＋y ＋z ＝0， 所以3x ＞x ＋y ＋z ＝0,3z ＜x ＋y ＋z ＝0，所以x ＞0，z ＜0.所以由⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，y ＞z ，可得xy ＞xz .故选C.答案：C6．解析：M －N ＝ab －(a ＋b －1)＝ab －a －b ＋1 ＝(a －1)(b －1)．∵a ，b ∈(0,1)，∴a －1<0，b －1<0， ∴M －N >0，∴M >N . 答案：B7．解析：由题意知，汽车原来每天行驶x km,8天内它的行程超过2 200 km ，则8(x ＋19)＞2 200.若每天行驶的路程比原来少12 km ，则原来行驶8天的路程就要用9天多，即8x x －12＞9(x >12)．答案：8(x ＋19)＞2 2008xx －12＞9(x >12) 8．解析：a b2＋b a2－⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b＝a 3＋b 3－ab 2－a 2b a 2b 2.∵a 2b 2＞0，所以只需判断a 3＋b 3－ab 2－a 2b 的符号．a 3＋b 3－ab 2－a 2b＝a 2(a －b )＋b 2(b －a ) ＝(a －b )(a 2－b 2) ＝(a －b )2(a ＋b )≥0， 等号当a ＝b 时成立，所以a b2＋b a2≥1a ＋1b.答案：a b2＋b a2≥1a ＋1b9．解析：由性质7可知，只有当a >b >0时，a 2>b 2才成立，故①②都错误；对于③，只有当a >0且a >b 时，ba<1才成立，故③错误；由性质6可知，只有当a >b >0，c >d >0时，ac >bd 才成立，故④错误；对于⑤，由c >d 得－d >－c ，从而a －d >b －c ，故⑤错误．答案：①②③④⑤10．解析：设9x －3y ＝a (x －y )＋b (4x －y )＝(a ＋4b )x －(a ＋b )y ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋4b ＝9，a ＋b ＝3⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2，∴9x －3y ＝(x －y )＋2(4x －y )，∵－1≤4x －y ≤5，∴－2≤2(4x －y )≤10， 又－4≤x －y ≤－1， ∴－6≤9x －3y ≤9.学科素养升级练1．解析：1a ＜1b ⇔b －aab＜0⇔ab (a －b )＞0，A ．ab ＜0，a －b ＜0，ab (a －b )＞0成立B ．ab ＞0，a －b ＞0，ab (a －b )＞0成立C ．ab ＜0，a －b ＞0，ab (a －b )＜0，不成立，D ．ab ＞0，a －b ＞0，ab (a －b )＞0成立故选ABD. 答案：ABD2．解析：∵P －Q ＝a 2＋b 2＋c 2＋3－2(a ＋b ＋c ) ＝a 2－2a ＋1＋b 2－2b ＋1＋c 2－2c ＋1 ＝(a －1)2＋(b －1)2＋(c －1)2≥0，又∵a ，b ，c 为不全相等的实数，∴等号取不到， ∴P >Q ，故选A. 答案：A3．解析：设寝室到教室的路程为s ，步行速度为v 1，跑步速度为v 2，则甲用时t 1＝12s v 1＋12s v 2，乙用时t 2＝2s v 1＋v 2，t 1－t 2＝s 2v 1＋s 2v 2－2s v 1＋v 2＝s ⎝ ⎛⎭⎪⎫v 1＋v 22v 1v 2－2v 1＋v 2＝v 1＋v 22－4v 1v 22v 1v 2v 1＋v 2·s ＝v 1－v 22·s 2v 1v 2v 1＋v 2>0， ∴甲用时多．∴乙先到达教室．。
2022年高中数学第三章不等式1不等关系与不等式练习含解析新人教A版必修
课时训练15 不等关系与不等式一、不等式性质的直接应用与判断1.若1a <1b<0,则下列结论不正确的是( )A.a2<b2B.ab<b2C.b a +ab>2 D.ba<1答案:D解析:由1a <1b<0可知,b<a<0,所以ba<1不成立,故选D.2.(2015山东威海高二期中,1)已知a>b,则下列不等式中成立的是( )A.a2>b2B.1a <1bC.1a-b>1aD.a3>b3答案:D解析:A.虽然-1>-2,但(-1)2>(-2)2不成立;B.虽然3>-2,但是13<1-2不成立;C.虽然2>-3,但是12-(-3)>12不成立;D.∵a>b,∴a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)>0. (∵a2+ab+b2=(a+12b)2+34b2>0)成立.综上可知,只有D正确.故选D.3.已知下列说法:①若a<b<0,则a2>ab;②若a≥b,ac≥bc,则c≥0;③若a>b>0,c<0,则ca >cb;④若0<a<1,则log a(1+a)>log a(1+1a)其中正确的有 .答案:①③④解析:对于①,由a<b,a<0,可得a2>ab,故①正确;对于②,当a=b时,c可以为负数,故②错误;对于③,当a>b>0时,得0<1a < 1 b,又c<0,∴ca >cb,故③正确;对于④,当0<a<1时,1a >1,则1+a<1+1a,∴log a(1+a)>log a(1+1a),故④正确.二、利用不等式的性质比大小4.(2015山东威海高二期中,2)不等式:①a2+2>2a;②a2+b2≥2(a-b-1);③a2+b2≥ab恒成立的个数是( )A.0B.1C.2D.3答案:D解析:①a2+2-2a=(a-1)2+1≥1,∴a2+2>2a,正确;②∵a2+b2-2(a-b-1)=(a-1)2+(b+1)2≥0,∴a2+b2≥2(a-b-1),正确;③a2+b2-ab=(a-12b)2+34b2≥0,当且仅当a=b=0时取等号,正确.综上可得:①②③都恒成立.故选D.5.若A=a2+3ab,B=4ab-b2,则A,B的大小关系是( )A.A≤BB.A≥BC.A<B 或A>BD.A>B答案:B 解析:∵A-B=a 2+3ab-4ab+b 2=a 2-ab+b 2=(a -b 2)2+34b 2≥0,∴A ≥B.6.(2015河南郑州高二期末,16)现有甲、乙两人相约爬山,若甲上山的速度为v 1,下山的速度为v 2(v 1≠v 2),乙上山和下山的速度都是v 1+v 22(甲、乙两人中途不停歇且下山时按原路返回),则甲、乙两人上下山所用的时间t 1,t 2的大小关系为 .答案:t 1>t 2解析:由题意知,甲用的时间t 1=S v 1+S v 2=S ·v 1+v 2v 1v 2,乙用的时间t 2=2×S v 1+v 22=4S v 1+v 2.∵t 1-t 2=S ·v 1+v 2v 1v 2−4S v 1+v 2=S (v 1+v 2v 1v 2-4v 1+v 2)=S (v 1-v 2)2v 1v 2(v 1+v 2)>0.∴t 1>t 2.7.已知a ,b ,x ,y 均为正实数,且1a >1b ,x>y ,试判断x x +a 与y y +b的大小关系.解:因为x x +a −y y +b =bx -ay (x +a )(y +b ),又1a >1b且a>0,b>0,所以b>a>0.又x>y>0,所以bx>ay ,即bx-ay>0.又x+a>0,y+b>0,所以bx -ay (x +a )(y +b )>0,即x x +a >y y +b.三、利用不等式的性质求代数式范围8.设x ,y 为实数,满足3≤xy 2≤8,4≤x 2y ≤9,则x 3y 4的最大值是 .答案:27解析:∵4≤x 2y ≤9,∴16≤x 4y 2≤81.①∵3≤xy 2≤8,∴18≤1x y 2≤13.②由①②可得2≤x 4y 2·1x y 2≤27,即2≤x 3y 4≤27.∴x 3y 4的最大值为27.9.已知1<a<2,3<b<4,求下列各式的取值范围:(1)2a+b ;(2)a-b ;(3)ab .解:(1)因为1<a<2,所以2<2a<4.又3<b<4,所以5<2a+b<8.(2)因为3<b<4,所以-4<-b<-3.又1<a<2,所以-3<a-b<-1.(3)因为3<b<4,所以14<1b <13.又1<a<2,所以14<ab <23.四、利用不等式的性质证明10.已知a>b>0,c<d<0.求证:3√ad <3√bc .思路分析:解答本题可先比较a d 与b c 的大小,进而判断3√a d <3√bc .证明:∵c<d<0,∴-c>-d>0.∴0<-1c <-1d .又a>b>0,∴-ad >-bc>0.∴3√-a d>3√-b c,即-3√a d>-3√b c.两边同乘以-1,得3√a d<3√b c.(建议用时:30分钟) 1.若a,b∈R,且a>b,则( )A.a2>b2B.ba<1C.lg(a-b)>0D.(12)a<(12)b答案:D解析:∵a>b,无法保证a2>b2,ba<1和lg(a-b)>0,∴排除A与B,C,故选D.2.如果a<b<0,那么下列不等式成立的是( )A.1 a <1bB.ab<b2C.-ab<-a2D.-1a <-1b答案:D解析:当a=-2,b=-1时,检验得A,B,C错误,故D正确.3.若a>b>c,则下列不等式成立的是( )A.1 a-c >1b-cB.1a-c<1b-cC.ac>bcD.ac<bc 答案:B解析:∵a>b>c,∴a-c>b-c>0.∴1 a-c <1 b-c.故选B.4.下列结论正确的是( )A.若a>b>0,a>c,则a2>bcB.若a>b>c,则ac > b cC.若a>b,n∈N*,则a n>b nD.a>b>0,则ln a<ln b答案:A解析:对于B,当c<0时,不成立,对于C,当a=1,b=-2,n=2时,a n>b n不成立.对于D,由对数函数性质得不正确,故选A.5.若α,β满足-π2<α<β<π2,则2α-β的取值范围是( )A.-π<2α-β<0B.-π<2α-β<πC.-3π2<2α-β<π2D.0<2α-β<π答案:C解析:∵-π2<α<π2,∴-π<2α<π.又-π2<β<π2,∴-π2<-β<π2.∴-3π2<2α-β<3π2.又α-β<0,α<π2,∴2α-β<π2.故-3π2<2α-β<π2.6.若实数a≠b,则a2-ab ba-b2(填不等号).答案:>解析:(a2-ab)-(ba-b2)=a2-ab-ba+b2=(a-b)2,∵a≠b,∴(a-b)2>0.∴a2-ab>ba-b2.7.已知2b<a<-b,则ab的取值范围为 .答案:-1<ab<2解析:∵2b<a<-b,∴2b<-b.∴b<0.∴-b b <ab<2bb,即-1<ab<2.8.若m<n,p<q且(p-m)(p-n)<0,(q-m)(q-n)<0,则m,n,p,q从小到大顺序是 . 答案:m<p<q<n解析:∵(p-m)(p-n)<0,∴{p-m>0,p-n<0或{p-m<0,p-n>0.又m<n,∴m<p<n.同理m<q<n,又p<q,∴m<p<q<n.9.甲、乙两位采购员同去一家粮食销售公司买了两次粮食(同一品种),两次粮食的价格不同,两位采购员的购粮方式也不同.其中,甲每次购买1 000 kg,乙每次购粮用去1 000元钱,谁的购粮方式更合算?解:设两次价格分别为a元、b元,则甲的平均价格为m=a+b2元,乙的平均价格为n=20001000a+1000b=2aba+b,∴m-n=a +b 2−2ab a +b =(a -b )22(a +b )>0.∴乙更合算.10.已知函数f (x )=ax 2-c ,-4≤f (1)≤-1,-1≤f (2)≤5,求f (3)的取值范围.解:因为f (x )=ax 2-c ,所以{f (1)=a -c ,f (2)=4a -c .即{a -c =f (1),4a -c =f (2),解得{a =13[f (2)-f (1)],c =13f (2)-43f (1),所以f (3)=9a-c=83f (2)-53f (1).又因为-4≤f (1)≤-1,-1≤f (2)≤5,所以53≤-53f (1)≤203,-83≤83f (2)≤403,所以-1≤83f (2)-53f (1)≤20,即-1≤f (3)≤20.。
高中数学： 基本不等式√ab≤(a+b)2含解析
课时训练 19 基本不等式:
≤ +2
一、对基本不等式的理解及简单应用
( )
1.若 a,b∈R,且 ab>0,则下列不等式中,恒成立的是
A.a+b≥2
1
B.
C.
1
+ >
+
2
≥2
D.a2+b2>2ab
答案:C
解析:因为 ab>0,所以>0,>0,
v>a.故选 A.
9
5.已知函数 y=x-4+ + 1(x>-1),当 x=a 时,y 取得最小值 b,则 a+b=( )
A.-3
B.2
C.3
D.8
答案:C
9
9
解析:y=x-4+ + 1=x+1+ + 1-5,
9
因为 x>-1,所以 x+1>0, + 1>0.
所以由均值不等式得
9
+
y=x+1+ 1-5≥2
6.设 x>0,则
1
y=3-3x-的最 值为 .
答案:大 3-2 3
1
解析:∵x>0,∴3x+≥2 3.
∴-
(3 + 1)≤-2
3.
高中数学
a=b 时取等号.
m 的最大值等于( )
高中数学
1
∴y=3-3x-≤3-2 3.
3
1
∴y 有最大值 3-2 3,当且仅当 3x=时,即当 x= 3 时等号成立.
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【课时训练】第31节 不等关系与不等式
选择题
1．(江西七校联考)若a ,b 是任意实数,且a ＞b ,则下列不等式成立的是( ) A ．a 2＞b 2 B ．⎝ ⎛⎭
⎪⎫13a <⎝ ⎛⎭
⎪⎫13b
C ．lg(a －b )＞0
D ．b a >1
【答案】B
【解析】取a ＝13,b ＝－12,则a 2＝19,b 2＝14,∴a 2＜b 2
,lg(a －b )＝lg 56＜0,b a ＜0＜1,故排除A,C,D 选项,选B.
2．(四川绵阳一诊)若x ＞y ,且x ＋y ＝2,则下列不等式一定成立的是( ) A ．x 2
＜y 2
B ．1x ＜1
y C ．x 2＞1 D ．y 2＜1
【答案】C
【解析】因为x ＞y ,且x ＋y ＝2,所以2x ＞x ＋y ＝2,即x ＞1,则x 2＞1,故选C. 3．(成都五校联考)若a <0,则下列不等式成立的是( )
A ．2a ＞⎝ ⎛⎭⎪⎫12a
＞(0.2)a
B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12a
＞(0.2)a ＞2a
C ．(0.2)a ＞⎝ ⎛⎭
⎪⎫12a
＞2a
D ．2a ＞(0.2)a
＞⎝ ⎛⎭
⎪⎫12a
【答案】C
【解析】若a ＜0,根据指数函数的性质可知(0.2)a
>⎝ ⎛⎭
⎪⎫12a
＞1,又2a ＜0,所以(0.2)a
＞⎝ ⎛⎭
⎪⎫
12a ＞2a .故选C. 4．(浙江宁波模拟)已知a ＞b ,则“c ≥0”是“ac ＞bc ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】B
【解析】当⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝2＞
b ＝1，
c ＝0时,ac ＞bc 不成立,所以充分性不成立;当
⎩⎪⎨⎪⎧
ac ＞bc ，
a ＞b
时,c ＞0成立,c ≥0也成立,所以必要性成立．所以“c ≥0”是“ac ＞bc ”的必要不充分条件,故选B.
5．(全国名校大联考第三次联考)若a ＜b ＜0,则下列不等式中一定不成立的是( )
A.1a ＜1
b B ．－a ＞－b C ．|a |＞－b D ．
1a －b
＞1
b 【答案】A
【解析】∵a ＜b ＜0,∴1a －1b ＝b －a ab ＞0,1a ＞1
b ,A 不正确;－a ＞－b ＞0,－a ＞－b ,B 正确;|a |＞|b |＝－b ,C 正确;当a ＝－3,b ＝－1,1a －b ＝－12,1b ＝－1时,
1a －b ＞1
b ,此时D 成立．故选A.
6．(山东德州模拟)已知a ＜b ＜c 且a ＋b ＋c ＝0,则下列不等式恒成立的是( )
A ．a 2＜b 2＜c 2
B ．ab 2＜cb 2
C ．ac ＜bc
D ．ab ＜ac
【答案】C
【解析】∵a ＋b ＋c ＝0且a ＜b ＜c ,∴a ＜0,c ＞0,∴ac ＜bc ,故选C. 7．(陕西西安二模)如果a ＞b ＞1,c ＜0,在不等式①c a ＞c
b ;②ln(a ＋
c )＞ln(b ＋c );③(a －c )c ＜(b －c )c ;④b e a ＞a e b 中,所有恒成立的序号是( )
A ．①②③
B ．①③④
C ．②③④
D ．①②④
【答案】B
【解析】用排除法,∵a ＞b ＞1,c ＜0,∴可令a ＝3,b ＝2,c ＝－4,此时a ＋c <0,b ＋c <0,∴②错误,排除A,C,D ,故选B.
8．(厦门模拟)对于0＜a ＜1,给出下列四个不等式：①log a (1＋a )＜log a ⎝
⎛
⎭
⎪⎫1＋1a ;
②log a (1＋a )＞log a ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1＋1a ;③a 1＋a ＜a 1＋1a ;④a 1＋a ＞a 1＋1a .其中正确的是( )
A ．①与③
B ．①与④
C ．②与③
D ．②与④
【答案】D
【解析】由于0＜a ＜1,所以函数f (x )＝log a x 和g (x )＝a x 在定义域上都是单调递减函数,而且1＋a ＜1＋1
a ,所以②与④是正确的．
9．(太原模拟)若6＜a ＜10,a
2≤b ≤2a ,c ＝a ＋b ,那么c 的取值范围是( ) A ．[9,18] B ．(15,30) C ．[9,30] D ．(9,30)
【答案】D
【解析】∵a 2≤b ≤2a ,∴3a 2≤a ＋b ≤3a ,即3a
2≤c ≤3a .∵6＜a ＜10,∴9＜c ＜30.故选D.
10．(山东潍坊一模)已知a ,b ,c ∈R ,则下列命题正确的是( ) A ．a ＞b ⇒ac 2
＞bc 2
B ．a c ＞b
c ⇒a ＞b C.
⎭⎪⎬⎪⎫a ＞b ab ＜0⇒1a ＞1
b D ．
⎭⎪⎬⎪⎫a ＞b ab ＞0⇒1a ＞1
b
【答案】C
【解析】当c ＝0时,ac 2＝0,bc 2＝0,由a ＞b 不能得到ac 2＞bc 2,A 错误;当c
＜0时,a c ＞b c ⇒a ＜b ,B 错误;因为1a －1b ＝b －a
ab ＞0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ ab ＞0，a ＜b 或⎩
⎪⎨⎪⎧
ab ＜0，a ＞b ，D 错
误,C 正确．故选C.
11．(贵州贵阳模拟)已知a ,b 为正实数, ①若a 2－b 2＝1,则a －b ＜1; ②若1b －1
a ＝1,则a －
b ＜1; ③若|a －b |＝1,则|a －b |＜1;
④若|a 3－b 3|＝1,则a －b ＜1. 上述命题中正确的是( ) A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①④
【答案】D
【解析】若1b －1a ＝1,不妨取a ＝2,b ＝2
3,此时a －b ＞1,命题②错误,排除A,B 选项;若|a －b |＝1,不妨取a ＝4,b ＝1,此时|a －b |＞1,命题③错误,排除C 选项,故选D.
12．(河南郑州模拟)若1b ＜1
a ＜0,则下列结论不正确的是( ) A ．a 2＜
b 2 B ．ab ＞b 2 C ．a ＋b ＜0 D ．|a |＋|b |＝|a ＋b |
【答案】A
【解析】由1b ＜1
a ＜0可得a ＜
b ＜0,所以a 2＞b 2,故A 错,故选A.
13．(山西质量监测)设a ,b ∈R ,函数f (x )＝ax ＋b (0≤x ≤1),则“f (x )＞0恒成立”是“a ＋2b ＞0成立”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件 【答案】A
【解析】由“f (x )＞0恒成立”可得⎩⎪⎨⎪⎧
f (0)＝b ＞0，
f (1)＝a ＋b ＞0，所以a ＋2b ＞0成立;
反之,当a ＋2b ＞0成立时,则无法得到⎩
⎪⎨⎪⎧
f (0)＝b ＞0，
f (1)＝a ＋b ＞0成立,所以“f (x )＞0恒成
立”是“a ＋2b ＞0成立”的充分不必要条件,故选A.
14．已知a ,b >0且a ≠1,b ≠1,若log a b >1,则( ) A ．(a －1)(b －1)<0 B ．(a －1)(a －b )>0 C ．(b －1)(b －a )<0
D ．(b －1)(b －a )>0
【答案】D
【解析】因为a ,b >0且a ≠1,b ≠1,所以当a >1,即a －1>0时,不等式log a b >1可化为a log a b >a 1,即b >a >1,所以(a －1)(a －b )<0,(b －1)(a －1)>0,(b －1)(b －a )>0.当0<a <1,即a －1<0时,不等式log a b >1可化为a log a b <a 1,即0<b <a <1,所以(a －1)(a －b )<0,(b －1)(a －1)>0,(b －1)(b －a )>0.综上可知,故选D.
15．(豫西南联考)如果a ＞0＞b 且a 2＞b 2,那么以下不等式中正确的个数是( )
①a 2b ＜b 3;②1a ＞0＞1
b ;③a 3＜ab 2. A ．0 B ．1 C ．2 D ．3
【答案】C
【解析】因为a 2>b 2,b <0,所以a 2b <b 3,故①正确;因为a 2>b 2,a >0,所以a 3>ab 2,故③错误;所以正确的个数为2,故选C.
16．(湖北武汉调研)已知x ,y ∈R ,且x ＞y ＞0,若a ＞b ＞1,则一定有( ) A.a x ＞b y B ．sin ax ＞sin by C ．log a x ＞log b y D ．a x ＞b y 【答案】D
【解析】对于A ,当a ＝3,b ＝2,x ＝3,y ＝2时不成立,排除A;对于B ,当a ＝30,b ＝20,x ＝π2,y ＝π
4时不成立,排除B;对于C ,当a ＝3,b ＝2,x ＝3,y ＝2时不成立,排除C ,故选D.。