线性代数练习题(行列式)
线性代数习题行列式(最新整理)
a n (a 1)n (a n)n
a n1 (a 1)n1 (a n)n1
(3) Dn1
;
a
a1 an
1
1
1
提示：利用范德蒙德行列式的结果．
an
bn
0
(4) D2n 0
a1 b1 c1 d1
0;
0
cn
dn
(5) Dn det(aij ),其中aij i j ;
8
1 a1 1
（3）逆序数为 5：3 2，3 1，4 2，4 1,2 1
（4）逆序数为 3：2 1，4 1，4 3
n(n 1)
（5）逆序数为
：
2
32
1个
5 2，5 4
2个
7 2，7 4，7 6
3个
………………
…
(2n 1) 2，(2n 1) 4，(2n 1) 6，…，(2n 1) (2n 2) (n 1)
1
2.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数：
（1）1 2 3 4；
（2）4 1 3 2；
（3）3 4 2 1；
（4）2 4 1 3；
（5）1 3 … (2n 1) 2 4 … (2n) ；
（6）1 3 … (2n 1) (2n) (2n 2) … 2.
解（1）逆序数为 0
（2）逆序数为 4：4 1，4 3，4 2，3 2
a1n ann
n( n1)
n( n1)
n( n1)
D3 (1) 2 D2 (1) 2 (1) 2 D (1)n(n1) D D
7.计算下列各行列式（ Dk为k阶行列式 ）：
a
1
(1) Dn ,其中对角线上元素都是 a ，未写出的元素都是 0；
线性代数第1章行列式试卷及答案
第一章 行列式一、单项选择题1.行列式D 非零的充分条件是( D )(A) D 的所有元素非零 (B) D 至少有n 个元素非零 (C) D 的任何两行元素不成比例(D)以D 为系数矩阵的非齐次线性方程组有唯一解 2．二阶行列式1221--k k ≠0的充分必要条件是（ C ）A ．k ≠-1B ．k ≠3C ．k ≠-1且k ≠3D ．k ≠-1或≠3 3．已知2阶行列式2211b a b a =m ,2211c b c b =n ,则222111c a b c a b ++=（ B ）+n （m+n ）4.设行列式==1111034222,1111304z y x zy x 则行列式（ A ） A.32D.38 5．下列行列式等于零的是(D )A .100123123- B. 031010300- C ． 100003010- D ． 261422613-6．行列式111101111011110------第二行第一列元素的代数余子式21A =（ B ）A ．-2B ．-1C ．1D ．28．如果方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=-=-+0404033232321kx x x x x kx x 有非零解,则 k =（ B ）9．（考研题）行列式0000000a b abc d c d=（ B ） A.()2ad bc -B.()2ad bc --C.2222a d b c -D.2222b c a d -二、填空题1.四阶行列式中带负号且含有因子12a 和21a 的项为 44332112a a a a 。
2. 行列式1112344916中（3，2）元素的代数余子式A 32=___-2___.3. 设7343690211118751----=D ，则5A 14+A24+A 44=_______。
解答：5A 14+A 24+A 44=1501343090211115751-=---4．已知行列式011103212=-a ，则数a =____3______.5．若a ,b 是实数，则当a =___且b =___时，有=---10100a b b a 0。
线性代数章节练习题
b b2 ac
c
a
c2 a2
ab abc
b b2 abc
c c2 abc
abc
111
(a b c) a2 b2 c2 (a b c) a b c
111
a2 b2 c2
(a b c)(b a)(c a)(c b)
246 427 327 1000 427 327 1000 100 327 （2） 1014 543 443 2000 543 443 2000 100 443
D 2 0
2 7
2 0
2 0
5 3 2 2
求第四行各元素的余子式之和的值。
8 计算 n 阶行列式
x y 00 0 0 x y0 0 Dn 0 0 0x y y 0 00 x
3 1 1 9 计算行列式 D 1 5 1 。
1 1 3
3 2 2 10 计算三阶行列式 D k 1 k 。
（C） C PT AP
（D） C PAPT
13 计算
0 1 0 2007 1 2 3 0 1 0 2006 1 0 0 4 5 61 0 0 0 0 1 7 8 9 0 0 1
14 设 A 为 n 阶可逆阵，交换 A 的第 i 行与第 j 行后得到 B。 （1）证明 B 可逆；（2）求 AB-1
（C）当 n m 时，必有 AB 0
（D）当 n m 时，必有 AB 0 18 证明 R( A B) R( A) R(B)
4 1 41 则
R(BA 2A)
19 A 为 m p 矩阵，B 为 p n 矩阵，若 AB=0 证明： R( A) R(B) P
20 设 A 为 n 阶矩阵，且 A2=A，若 R( A) . 证明 R( A E) n r ，其中 E 为 n 阶单位阵
线性代数习题
线性代数习题景德镇陶瓷学院信息工程学院第一章 行列式习题1、若排列x 1 x 2……x n-1 x n 的逆序数为I ，问排列x n x n-1……x 2 x 1的逆序数是多少？2、选择i 与k ，使（1）1274i56k9成偶排列 （2） 1i25k4897成奇排列3、计算排列2K ，1，2K-1，2，2K-2，3……K+1，K 的逆序数，并讨论它的奇偶性。
4、在六阶行列式中，项：a 23a 31a 42a 56a 14a 65，a 32a 43a 14a 51a 66a 25各应带什么符号5、根据行列式定义，计算：()x x x x x x f 111123111212-=中X 4与X 3的系数。
6、计算行列式D=2222222222222222)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a7、计算行列式D=nx x x nx x x nx x x n n n +++++++++ 212121222111注：n 阶行列式计算的常用方法有：（1）按定义展开：直接用定义展开计算；（2）三角化：即利用行列式的基本性质，使行列式主对角线一侧的元素都变为零（如第9题）；（3）拆子列：利用行列式的性质50，将行列式化为两个较简单的行列式来计算。
（如第7、8、10题）；（4）递推法：设法找出n 阶行列式D n 与低阶行列式的关系（往往要用归纳法验证），再递推求出D n 的值。
（如第8题）；（5）降阶法：利用行列式按行（列）展开定理，将行列式降阶后求解； （6）应用范德蒙行列式：将行列式变形，化成范德蒙行列式。
具体计算n 阶行列式时应根据行列式特点单独或综合运用上述方法。
8、证明：6 D n =βαβααββααββα++++10000010001000 =βαβα--++11n n9、计算nD (333)...............3 (33)33...3233 (331)=10、计算行列式yy x x -+-+111111111111111111、求一个二次多项式f(x)，使f(1)=0,f(2)=3,f(-3)=28。
线性代数第一章行列式训练题解
线性代数第一章行列式训练题一、单项选择题1．二阶行列式1221−−k k ≠0的充分必要条件是（ ）A ．k ≠–1B ．k ≠3C ．k ≠–1且k ≠3D ．k ≠–1或≠3答案：C2．设行列式2211b ab a =1，2211c a c a =2，则222111c b a c b a ++=（ ）A ．–3B ．–1C ．1D ．3 注22112211222111c a c a b a b a c b a c b a +=++答案：D3.如果方程组=+=−=−+0404033232321kx x x x x kx x 有非零解,则 k =（ ） A.–2 B.–1C.1D.2 注：使04014013=−−kk答案：B4．设行列式D=333231232221131211a a a a a a a a a =3，D 1=333231312322212113121111252525a a a a a a a a a a a a +++，则D 1的值为（ ） A ．–15 B ．–6 C ．6D ．15答案：C 5．3阶行列式ji a =011101110−−−中元素21a 的代数余了式21A =（ ）A ．–2B ．–1C ．1D ．2 0111)1(12−−+ 答案：C6.已知333231232221131211a a a a a a a a a =3，那么333231232221131211222222a a a a a a a a a −−−=（ ） A.–24 B.–12 C.–6D.12答案：B 7．行列式11110111111110−−−−−−第二行第一列元素的代数余子式21A =（ ）A ．–2B ．–1C ．1D ．2答案：B 8.已知2阶行列式2211b a b a =m ,2211c b c b =n ,则222111c a b c a b ++=（ ）A.m–nB.n–mC.m+nD.–（m+n ）答案：B二、填空题请在每小题的空格中填上正确答案。
线性代数部分练习题
线性代数部分练习题线性代数部分练习题⼀、⾏列式、矩阵的运算 (第⼀、⼆章)1.设a ,b 为实数，且000101ab ba-=--，则（）A.a =0,b =0;B.a =1,b =0;C.a =0,b =1;D.a =1,b =1 2．排列53142的逆序数(53142)τ=（） A ．7 ; B ．6; C ．5 ; D ．43. 计算⾏列式=----32320200051020203（） A.-180; B.-120; C.120; D.1804. 设⾏列式D 1=22221111a c b a a c b a ac b a +++，D 2=222111c b a c b a c b a ，则D 1= ）A ．0;B ．D 2;C ．2D 2;D ．3D 25. 已知⾏列式a52231521-=0，则数a =( )A.-3;B.-2;C.2;D.36. 设⾏列式111213212223313233a a a a a a a a a =2，则111213212223313233232323a a a a a a a a a ------=（） A ．-12; B ．-6; C ．6; D ．12 7. 设⾏列式==1111034222,1111304z y x zy x 则⾏列式( )A.32; B.1; C.2; D.38 8. 设⾏列式01110212=-k k ，则k 的取值为（）A.2;B.-2或3;C.0 ;D.-3或29. 设矩阵A =（1，2），B =?4321，C ???? ??=654321则下列矩阵运算中有意义的是（） A ．ACB; B ．ABC; C ．BAC; D ．CBA 10．设A 为三阶⽅阵，且|A |=2，则|-2A |=（） A ．-16; B ．-4; C ．4; D ．1611．设矩阵123456709??=A ，则*A 中位于第2⾏第3列的元素是（）A ．-14;B ．-6;C ．6;D ．1412．设A 是n 阶矩阵，O 是n 阶零矩阵，且2-=A E O ，则必有（）A ．1-=A A ; B ．=-A E ; C ．=A E ; D ．1=A13．下列等式中正确的是（） A ．()222B BA AB A B A +++=+B ．()T T TB A AB =C ．()()22B A B A B A -=+- D ．()A A A A 233-=-14. 设A =?4321，则|2A *|=（） A.-8; B.-4; C.4; D.815. 设A ，B ，C 均为n 阶⽅阵，AB =BA ，AC =CA ，则ABC =（） A ．ACB; B ．CAB; C ．CBA ; D ．BCA16. 设A 为3阶⽅阵，B 为4阶⽅阵，且⾏列式|A |=1，|B |=-2，则⾏列式||B |A |的值为（） A ．-8; B ．-2; C ．2; D ．817. 设矩阵A =-11，B =（1，1）则AB =（）A ．0;B ．（1，-1）;C ．???? ??-11 ;D ．--111118. 设n 阶矩阵A 、B 、C 满⾜ABC =E ，则C -1=( ) A. AB; B. BA; C. A -1B -1; D. B -1A -119.已知2阶⾏列式第1⾏元素为2和1，对应的余⼦式为-2和3，则该⾏列式的值为__________.20.阶⾏列式011101110---=ij a 中元素a 21的代数余⼦式A 21=____________.21. 在四阶⾏列式中，项a 31a 22a 43a 14的符号是____________.22. 在五阶⾏列式中，项a 21 a 32 a 45 a 14 a 53的符号为_____________.23. 已知四阶⾏列式D 中第三列元素依次为-1，2，0，1，它们的代数余⼦式依次分别为5，-3，-7，-4，则D=_______24. 设⾏列式304222532D =-，其第3⾏各元素的代数余⼦式之和为____________.25. 已知⾏列式333222111c b a c b a c b a =1,则333333222222111111c b a b a a c b a b a a c b a b a a +--+--+--=______________. 26. ⾏列式11124641636=________.27. 已知3阶⾏列式|A|中第3列元素依次为-1，2，0，它们的余⼦式依次为5，3，-7，则|A|=__________.28. 3阶⾏列式767367949249323123=________.29.设矩阵011001000?? ?= ?A ，则A 2=______．30.111,,2(2),16A B A B A A --==-是两个四阶⽅阵，且则|B |=__________. 31.设A ，B 都是3阶矩阵，且|A |=2，B = -2E ，则|A -1B |=_________. 32.设A 、B 均为三阶⽅阵，|A |=4，|B |=5，则|2AB |=__________. 33.排列12453的逆序数为____________.34.已知A 2-2A -8E =0，则(A +E )-1=____________. 35. 设矩阵A =?-2112，E 为2阶单位矩阵，矩阵B 满⾜BA=B +E ，则|B |=___________. 36. 设A =411023, B =,010201则AB =___________. 37. 已知矩阵A =（1，2，-1），B =（2，-1，1），且C =A T B ，则C 2=__________.38. 设矩阵A =100012021，B =????? ??310120001，则A+2B =_____________.40．计算四阶⾏列式1234123412341234------41. 已知3阶⾏列式1120212x x-中元素12a 的代数余⼦式A 12=2，求元素21a 的代数余⼦式A 21的值.43. 求D =012010122101021046. 计算3112513420111533------47. 计算1 1 -1 2-1 -1 -4 12 4 -6 11 2 4 250. 计算422223222222222153. n 阶⾏列式n a b b b b a bb D bb ab b b ba=.56.计算123110311211230123(1)n n n n n nD nn ------=--------. 57. n 阶⾏列式11111 1111111n n n D nn=. 58. 设A ＝210011001??-??，B ＝102101?? ? ? ???，⼜AX ＝B ，求矩阵X.60. 已知矩阵A =111210101??- ? ?，B =100210021?? ? ? ???，求：（1）A T B ；（2）| A T B |.63.2A A A E O --2=设⽅阵满⾜⽅程：，+2A A E 证明：与都可逆，并求它们的逆矩阵。
线性代数行列式部分练习题及答案
《线性代数与解析几何》练习题行列式部分一．填空题：1．已知41132213----=D 用ij A 表示D 的元素ij a 的代数余子式，则21222323______A A A --+=，31323323____A A A --+=，行列式__________333231232221131211=A A A A A A A A A 2．12434003209106412a a a a a 的的代数余子式的值等于________。
3.设512312123122x x x D xxx=，则D 的展开式中3x 的系数为______4.4阶行列式111213142122232414423132333441424344a a a a a a a a D a a a a a a a a a a =展开式中含有因子的项为______和______5.行列式234234234234a a a ab b b b Dc c c c dd d d =＝______6．设xx x x x f 321132213321)(=则(4)_____f = 7．设0112520842111111154115212111111541132111111323232=++-x x xx x xx x x上述方程的解______________________=x8．行列式112233440000000a b a b D b a b a ==__________ 9．若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000321321321x x x x x x x x x λλ 只有零解，则λ应满足_________条件。
10．若方程123123123020kx x x x kx x x x x ++=⎧⎪+-=⎨⎪-+=⎩有非零解，则k ＝_________或k ＝________。
11．行列式xy yyx y yyx＝______ 12.行列式1110110110110111＝______13．行列式000000000ab c de f＝______14．方程组12312321231x x x x x x x x x λλλλλ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ 有唯一解时，对λ的要求是______二．计算题： 1．已知5阶行列式270513422111542131122254321=求434241A A A ++和4544A A +，其中ij A 是元素ij a 的代数余子式。
线性代数—行列式题库
1 x x2 27、方程 1 2 4 = 0 的根的个数是 2 个。（ ）
13 9
28、 n(n > 1) 阶行列式主对角线上的元素全为零，则行列式的值必为零。（ ）
−3 0 4 29、行列式 5 0 3 中元素 3 的代数余子式是-6。（ ）
de
ab
ab
de
（A）
； （B）-
； （C）
； （D）-
gh
gh
gh
gh
12 5
7、若行列式 1 3 −2 =0 ，则 x = （ ）。
25 x
（A）2
（B） − 2
（C）3
8、线性方程组
3xx11
+ 2x2 + 7x2
=3 =4
，则方程组的解
(
x1
,
x2
)
=
（
（A）（13，5） （B）（-13，5） （C）（13，-5）
18、以下哪种情况，行列式的值为零（ ）。
（A）行列式某列元素全部相等
（B）行列式某列元素的余子式全为 0
（C）行列式某行元素全部相等
（D）行列式两行互换
19、下列哪种情况下，行列式的值一定不变（ ）。
2
（A）行列式转置
（B）行列式两列互换
（C）行列式某一列元素全部反号
（D）行列式两行互换
11 1
（C） a1a2b1b2c1c2d1d2
（D） (a1b2 − a2b1)(c1d2 − c2d1)
a1 b1 c1
c1 b1 + 2c1 a1 + 2b1 + 3c1
16、设行列式 D = a2 b2 c2 ，则 c2 b2 + 2c2 a2 + 2b2 + 3c2 = （ ）。
线性代数练习册练习题—第1章 行列式
第1章 行列式及其应用一、填空题1．行列式1221--k k 0≠的充分必要条件是 .2．排列36715284的逆序数是 。
3．已知排列397461t s r 为奇排列，则r = ， s = ，t = . 4．在六阶行列式ij a 中，623551461423a a a a a a 应取的符号为 . 5．若54435231a a a a a j i 为五阶行列式带正号的一项，则 i = , j = .6.设行列式275620513--=D ，则第三行各余子式之和的值为 . 7.行列式=30092280923621534215 .8．行列式=1110110********* .9.多项式0211111)(321321321321=+++++=x a a a a x a a a a x a a a a x f 的所有根是 .10．若方程225143214343314321x x -- = 0 ，则 .11．行列式 ==2100121001210012D12. 行列式122305403-- 中元素3的代数余子式是 . 13. 设行列式4321630*********=D ，设j j A M 44,分布是元素j a 4的余子式和代数余子式，则44434241A A A A +++ = ，44434241M M M M +++= . 14.已知四阶行列D 中第三列元素依次为1-，2，0，1，它们的余子式依次分布为5，3，,7-4，则D = .15. 若方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++=+02020z y kx z ky x z kx仅有零解，则k .二．选择题1．若行列式x52231521- = 0，则=x （ ）.（A ）2 （B ）2- （C ）3 （D ）3-2．线性方程组⎩⎨⎧=+=+473322121x x x x ，则方程组的解),(21x x = （ ）.（A ）（13，5） （B ）（13-，5） （C ）（13，5-） （D ）（5,13--）3．方程093142112=x x 根的个数是（ ）.（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 4．下列构成六阶行列式展开式的各项中，取“+”的有 （ ）. （A ）665144322315a a a a a a （B ）655344322611a a a a a a （C ）346542165321a a a a a a （D ）266544133251a a a a a a5．若55443211)541()1(a a a a a l k l k N -是五阶行列式ij a 的一项，则l k ,的值及该项的符号为（ ）.（A ）3,2==l k ，符号为正 （B ）3,2==l k ，符号为负 （C ）2,3==l k ，符号为正 （D ）2,3==l k ，符号为负6．下列n （n >2）阶行列式的值必为零的是（ ）.(A) 行列式主对角线上的元素全为零 (B) 三角形行列式主对角线上有一个元素为零 (C) 行列式零的元素的个数多于n 个 (D) 行列式非零元素的个数小于等于n 个7．如果133********21131211==a a a a a a a a a D ，3332313123222121131211111232423242324a a a a a a a a a a a a D ---= ，则=1D （ ）. （A ）8 （B ）12- （C ）24- （D ）24 8．如果3333231232221131211==a a a a a a a a a D ，2323331322223212212131111352352352a a a a a a a a a a a a D ---=，则=1D （ ）. （A ）18 （B ）18- （C ）9- （D ）27-9． 2222222222222222)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(++++++++++++d d d d c c c cb b b b a a a a =（ ）. （A ）8 （B ）2 （C ）0 （D ）6- 10．若111111111111101-------=x A ，则A 中x 的一次项系数是 （ ）.（A ）1 （B ）1- （C ）4 （D ）4-11．4阶行列式443322110000000a b a b b a b a 的值等于 （ ）.（A ）43214321b b b b a a a a - （B ）))((43432121b b a a b b a a --（C ）43214321b b b b a a a a + （D ）))((41413232b b a a b b a a -- 12．如果122211211=a a a a ，则方程组 ⎩⎨⎧=+-=+-022221211212111b x a x a b x a x a 的解是（ ）.（A ）2221211a b a b x =，2211112b a b a x = （B ）2221211a b a b x -=，2211112b a b a x = （C ）2221211a b a b x ----=，2211112b a b a x ----= （D ）2221211a b a b x ----=，2211112b a b a x -----=13. 方程0881441221111132=--x x x的根为 （ ）. （A ）3,2,1 （B ）2,2,1- （C ）2,1,0 （D ）2,1,1-14. 已知a a a a a a a a a a =333231232221131211,那么=+++323133312221232112111311222a a a a a a a a a a a a （ ）. （A ）a （B ）a - (C)a 2 （D ）a 2-15. 已知齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-+=++0030z y z y x z y x λλλ仅有零解，则 （ ）.（A ）0≠λ且1≠λ （B ）0=λ或1=λ （C ）0=λ （D ）1=λ三、判断题。
线性代数习题集(带答案)
第一部分 专项同步练习第一章 行列式一、单项选择题1．下列排列是5阶偶排列的是 ( ).(A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)243512．如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k , 则排列12j j j n 的逆序数是( ). (A)k (B)k n - (C)k n -2! (D)k n n --2)1(3. n 阶行列式的展开式中含1211a a 的项共有( )项.(A) 0 (B)2-n (C) )!2(-n (D) )!1(-n4．=0001001001001000( ).(A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 25.=0001100000100100( ).(A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 26．在函数1323211112)(x x xxx f ----=中3x 项的系数是( ).(A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 27. 若21333231232221131211==a a a a a a a a a D ，则=---=323133312221232112111311122222 2a a a a a a a a a a a a D ( ). (A) 4 (B) 4- (C) 2 (D) 2- 8．若a a a a a =22211211，则=21112212ka a ka a ( ).(A)ka (B)ka - (C)a k 2 (D)a k 2-9． 已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为x ,1,5,2-, 则=x ( ).(A) 0 (B)3- (C) 3 (D) 210. 若5734111113263478----=D ，则D 中第一行元的代数余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)011. 若2235001011110403--=D ，则D 中第四行元的余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)012. k 等于下列选项中哪个值时，齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000321321321x x kx x kx x kx x x 有非零解.( )(A)1- (B)2- (C)3- (D)0二、填空题1. n 2阶排列)12(13)2(24-n n 的逆序数是.2．在六阶行列式中项261365415432a a a a a a 所带的符号是.3．四阶行列式中包含4322a a 且带正号的项是.4．若一个n 阶行列式中至少有12+-n n 个元素等于0, 则这个行列式的值等于.5. 行列式=100111010100111.6．行列式=-000100002000010n n .7．行列式=--001)1(2211)1(111n n n n a a a a a a .8．如果M a a a a a a a a a D ==333231232221131211，则=---=323233312222232112121311133333 3a a a a a a a a a a a a D .9．已知某5阶行列式的值为5，将其第一行与第5行交换并转置，再用2乘所有元素，则所得的新行列式的值为.10．行列式=--+---+---1111111111111111x x x x .11．n 阶行列式=+++λλλ111111111.12．已知三阶行列式中第二列元素依次为1,2,3, 其对应的余子式依次为3,2,1，则该行列式的值为.13．设行列式5678123487654321=D ，j A 4)4,3,2,1(=j 为D 中第四行元的代数余子式，则=+++44434241234A A A A .14．已知db c a cc a b b a b c a cb a D =， D 中第四列元的代数余子式的和为.15．设行列式62211765144334321-==D ，j A 4为)4,3,2,1(4=j a j 的代数余子式，则=+4241A A ，=+4443A A .16．已知行列式nn D001030102112531-=，D 中第一行元的代数余子式的和为.17．齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+=++0020232121321x x x kx x x x kx 仅有零解的充要条件是.18．若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+--=+=++0230520232132321kx x x x x x x x 有非零解，则k =.三、计算题1.cb a d b a dc ad c b dcbad c b a d c b a++++++++33332222; 2．yxyx x y x y y x y x +++；3．解方程0011011101110=x x xx ； 4．111111321321221221221----n n n n a a a a x a a a a x a a a a xa a a a x；5. na a a a 111111111111210(n j a j ,,1,0,1 =≠)； 6. bn b b ----)1(1111211111311117. n a b b b a a b b a a a b 321222111111111； 8．xa a a a x a a a a x a a a a x n nn321212121;9.2212221212121111nn n nnx x x x x x x x x x x x x x x +++; 10. 21000120000021001210001211．aa a aa a a a aD ---------=1101100011000110001.四、证明题1．设1=abcd ，证明：011111111111122222222=++++dddd c c c c b b b b a a a a .2．3332221112333332222211111)1(c b a c b a c b a x c b x a x b a c b x a x b a c b x a xb a -=++++++.3．))()()()()()((111144442222d c b a c d b d b c a d a c a b d c b a d c b a d c b a +++------=.4．∏∑≤<≤=----=nj i i jni innn nn nn n nna aa a a a a a a a a a a a a 1121222212222121)(111.5．设c b a ,,两两不等，证明0111333=c b a c ba 的充要条件是0=++cb a .参考答案一．单项选择题A D A C C D ABCD B B 二．填空题1.n ;2.”“-;3.43312214a a a a ;4.0;5.0;6.!)1(1n n --;7.1)1(212)1()1(n n n n n a a a ---; 8.M 3-; 9.160-; 10.4x ; 11.1)(-+n n λλ; 12.2-;13.0; 14.0; 15.9,12-; 16.)11(!1∑=-nk k n ; 17.3,2-≠k ; 18.7=k三．计算题1．))()()()()()((c d b d b c a d a c a b d c b a ------+++-； 2. )(233y x +-； 3. 1,0,2-=x ; 4.∏-=-11)(n k kax5.)111()1(00∑∏==-+-nk k nk k a a ; 6. ))2(()1)(2(b n b b ---+- ;7. ∏=--nk k kna b1)()1(; 8. ∏∑==-+nk k nk k a x a x 11)()(;9. ∑=+nk k x 11; 10. 1+n ;11. )1)(1(42a a a ++-. 四. 证明题 (略)第二章 矩阵一、单项选择题1. A 、B 为n 阶方阵，则下列各式中成立的是( )。
行列式习题答案
线性代数练习题 第一章 行 列 式系 专业 班 学号 第一节 n 阶 行 列 式一．选择题1．若行列式x52231521- = 0，则=x [ C ] （A ）2 （B ）2- （C ）3 （D ）3- 2．线性方程组⎩⎨⎧=+=+473322121x x x x ，则方程组的解),(21x x = [ C ]（A ）（13，5） （B ）（13-，5） （C ）（13，5-） （D ）（5,13--）3．方程093142112=x x根的个数是 [ C ] （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）34．下列构成六阶行列式展开式的各项中，取“+”的有 [ A ] （A ）665144322315a a a a a a （B ）655344322611a a a a a a （C ）346542165321a a a a a a （D ）266544133251a a a a a a 5．若55443211)541()1(a a a a a l k l k N -是五阶行列式ij a 的一项，则l k ,的值及该项的符号为[ B ]（A ）3,2==l k ，符号为正； （B ）3,2==l k ，符号为负； （C ）2,3==l k ，符号为正； （D ）2,3==l k ，符号为负6．下列n （n >2）阶行列式的值必为零的是 [ BD ] (A) 行列式主对角线上的元素全为零 (B) 三角形行列式主对角线上有一个元素为零 (C) 行列式零的元素的个数多于n 个 (D) 行列式非零元素的个数小于n 个 二、填空题 1．行列式1221--k k 0≠的充分必要条件是 3,1k k ≠≠-2．排列36715284的逆序数是 133．已知排列397461t s r 为奇排列，则r = 2,8,5 s = 5,2,8 ，t = 8,5,24．在六阶行列式ij a 中，623551461423a a a a a a 应取的符号为 负 。
(完整word版)线性代数练习题行列式
线性代数练习题 第一章 行 列 式系 专业 班 姓名 学号 第一节 n 阶 行 列 式一．选择题1．若行列式x52231521- = 0,则=x ［ C ] （A ）2 （B ）2- (C ）3 （D ）3-2．线性方程组⎩⎨⎧=+=+473322121x x x x ，则方程组的解),(21x x = [ C ］（A ）（13，5) （B ）(13-,5） (C)(13,5-） （D ）（5,13--）3．方程093142112=x x 根的个数是 ［ C ] （A ）0 （B ）1 (C ）2 （D ）34．下列构成六阶行列式展开式的各项中，取“+”的有 ［ A ] （A ）665144322315a a a a a a （B)655344322611a a a a a a （C ）346542165321a a a a a a (D ）266544133251a a a a a a5．若55443211)541()1(a a a a a l k l k N -是五阶行列式ij a 的一项,则l k ,的值及该项的符号为［ B ］ (A ）3,2==l k ，符号为正; (B)3,2==l k ，符号为负； （C ）2,3==l k ，符号为正； （D ）2,3==l k ，符号为负6．下列n （n 〉2）阶行列式的值必为零的是 ［ BD ] （A ） 行列式主对角线上的元素全为零 (B ） 三角形行列式主对角线上有一个元素为零 （C ） 行列式零的元素的个数多于n 个 （D ） 行列式非零元素的个数小于n 个 二、填空题 1．行列式1221--k k 0≠的充分必要条件是 3,1k k ≠≠-2．排列36715284的逆序数是 133．已知排列397461t s r 为奇排列，则r = 2,8，5 s = 5,2,8 ，t = 8,5，2 4．在六阶行列式ij a 中，623551461423a a a a a a 应取的符号为 负 。
线性代数习题
13、设行列式 D=
3 6 9 12 2 4 6 8 1 2 0 5 6 4 3 3
，则 A41 2 A42 3 A44 =_____.
14.确定排列 217986354 的奇偶性_____（奇排列/偶排列）.
a 15.若 11 a 21
3a11 a12 1 ，则 3a 21 a 22 0
10.求解方程
1 x 1 1 0。 1 1 x 1 1 1 1 x
3
a b
b
b ... b
11.计算行列式 Dn b
b
a b ... b b a ... b ... ... ... ... ... b ... b a
1 10 1 2 12. 计算四阶行列式 3 5 1 2
1 3 6 4
1 1 . 1 1
5. 设 A 为 4 阶方阵，且 A 2 , A =_____. A. 2 C. 8 B. 4 D. 16
6
6. 设 A, B 分别为 n 方阵， 是实数，则下列等式错误的是_____.
A. A B A B C. AT A
B. AB A B D. 2 A 2n A
.
)
1 17.计算 2 1 2 3 _____. 3 1 0 2015 18、设 A ，则 A _________ 1 1 2 1 19、设 A ，则 A =_________ 3 4
二、选择题 1、 A 和 B 均为 n 阶方阵，且 ( A B) 2 A 2 2 AB B 2 ，则必有 （A） A E （B） B E （C） A B （D） AB BA 2、设 A 为方阵，如果有矩阵关系 AB AC ，则必有 。 （A） A 0 （B） B C 时 A 0 （C） A 0 时 B C （D） A 0 时 B C
线性代数1-2章精选练习题
第一章 行列式一、单项选择题1．下列排列是5阶偶排列的是阶偶排列的是( ). (A) 24315 (B) 14325 (C) 41523(D)24351 2．如果n 阶排列nj j j 21的逆序数是k , 则排列12jj j n的逆序数是( ). (A)k (B)k n -(C)k n -2!(D)k n n --2)1(3. n 阶行列式的展开式中含1122a a 的项共有()项. (A) 0 (B)2-n (C) )!2(-n(D) )!1(-n 4．=0001001001001000(). (A) 0 (B)1- (C) 1(D) 2 5.=01100000100100(). (A) 0 (B)1- (C) 1(D) 2 6．在函数1000323211112)(x x x x x f ----=中3x 项的系数是( ). (A) 0 (B)1- (C) 1(D) 2 7.若21333231232221131211==a a a a a a a a a D ，则=---=323133312221232112111311122222 2a a a a a a a a a a a a D ( ). (A) 4 (B) 4- (C) 2 (D) 2- 8．若a a a a a =22211211，则=21112212ka a ka a ( ). (A)ka (B)ka - (C)a k 2(D)a k 2- 9．已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为x ,1,5,2-, 则=x (). (A) 0 (B)3- (C) 3(D) 2 10. 若5734111113263478----=D ，则D 中第一行元的代数余子式的和为(). (A)1- (B)2- (C)3-(D)0 11. 若2235001011110403--=D ，则D 中第四行元的余子式的和为(). (A)1- (B)2- (C)3-(D)0 12.k 等于下列选项中哪个值时，齐次线性方程组ïîïíì=++=++=++000321321321x x kx x kx x kx x x 有非零解. () (A)1- (B)2- (C)3- (D)0二、填空题1.n 2阶排列)12(13)2(24-n n 的逆序数是.2．在六阶行列式中项261365415432a a a a a a 所带的符号是.3．四阶行列式中包含4322a a 且带正号的项是.4．若一个n 阶行列式中至少有12+-n n 个元素等于0, 则这个行列式的值等于.5.行列式=0100111010100111.6．行列式=-0100002000010nn .7．行列式=--0001)1(2211)1(111 n n n n a a a a a a .8．如果M a a a a a a a a a D ==333231232221131211，则=---=323233312222232112121311133333 3a a a a a a a a a a a a D .9．已知某5阶行列式的值为5，将其第一行与第5行交换并转置，再用2乘所有元素，则所得的新行列式的值为.10．行列式=--+---+---1111111111111111x x x x .11．n 阶行列式=+++l l l 111111111.12．已知三阶行列式中第二列元素依次为1,2,3, 其对应的余子式依次为3,2,1，则该行列式的值为. 13．设行列式5678123487654321=D ，j A 4)4,3,2,1(=j 为D 中第四行元的代数余子式，则=+++44434241234A A A A .14．已知db c a c c a b b a b c ac b a D =，D 中第四列元的代数余子式的和为.15．设行列式62211765144334321-==D ，j A 4为)4,3,2,1(4=j a j 的代数余子式，则=+4241A A ，=+4443A A .16．已知行列式n n D001030102112531-=，D 中第一行元的代数余子式的和为.17．齐次线性方程组ïîïíì=+-=+=++0020232121321x x x kx x x x kx 仅有零解的充要条件是.18．若齐次线性方程组ïîïíì=+--=+=++0230520232132321kx x x x x x x x 有非零解，则k =.三、计算题 1.cb a d b a dc a dc b dc b a dc b a dc ba ++++++++33332222; 2．yxy x x y x y yx y x +++；3．解方程0011011101110=x x xx ； 4．111111321321221221221----n n n n a a a a x a a a a x a a a a xa a a a x；5. na a a a111111111111210(n j a j ,,1,0,1 =¹)；6. b n b b ----)1(1111211111311117. n a b b b a a b b a a a b 321222111111111； 8．x a a a a x a a a a x a a a a x n nn 321212121;9. 2212221212121111nn n n nx x x x x x x x xx x x x x x +++; 10. 2112000002101210001211．aa a a a a aa a D ---------=110001100011000110001.四、证明题1．设1=abcd ，证明：011111111111122222222=++++d d d d c c c c b b b b a a a a .2．3332221112333332222211111)1(c b a c b a c b a x c b x a xb ac b x a x b a c b x a xb a -=++++++.3．))()()()()()((111144442222d c b a c d b d b c a d a c a b d c b a d c b a dc b a +++------=.4．Õå£<£=----=nj i i jni in nn nn n n n nn a aa a a a a a a a a a a a a 1121222212222121)(111.5．设c b a ,,两两不等，证明0111333=c b a c b a 的充要条件是0=++c b a .参考答案一．单项选择题 A D A C C D A B C D B B二．填空题 1.n ; 2.”“-; 3.43312214a a a a ; 4.0; 5.0; 6.!)1(1n n --;7.1)1(212)1()1(n n n n n a aa ---; 8.M 3-; 9.160-; 10.4x ; 11.1)(-+n n l l ; 12.2-; 13.0; 14.0; 15.9,12-; 16.)11(!1å=-nk k n ; 17.3,2-¹k ; 18.7=k三．计算题1．))()()()()()((c d b d b c a d a c a b d c b a ------+++-； 2. )(233y x +-； 3. 1,0,2-=x ; 4. Õ-=-11)(n k kax5.)111()1(00åÕ==-+-nk k nk k a a ; 6. ))2(()1)(2(b n b b ---+- ;7. Õ=--n k k k n a b 1)()1(; 8. Õå==-+n k k n k k a x a x 11)()(;9. å=+nk k x 11;10. 1+n ; 11. )1)(1(42a a a ++-. 四. 证明题 (略)第二章 矩阵一、单项选择题 1. A 、B 为n 阶方阵，则下列各式中成立的是阶方阵，则下列各式中成立的是( )( )。
线性代数第一章行列式课后练习
第一章会计算反序数，掌握行列式的性质，会计算行列式，掌握克莱姆法则 第22页 习题一（A 组） 2.计算下列各行列式. （1）|1232121−11|=|132230100|=|323|=−6 （2）307220583 =|307−2201303| =2⋅（−1）2+2⋅|37133| =2(3×3−7×13)=−164. （3）|20000−1000030000−5|=2×(−1)×3×(−5)=30（4）|1111123413610141020|=|11110123013601410|=|1111012300130014|=|1111012300130001|=1 （5）5042111141201121=|5114121301−10010| =|54231−1010|=−|523−1| =11 （6）|11111−11111−11111−1|=|11110−20000−20000−2|=−8（第一行乘-1加到下面各行）4、k 取何值时，下列齐次线性方程组仅有零解？（系数行列式不等于0） （1）{3x +2y −z =0kx +7y −2z =02x −y +3z =0 D =|32−1k7−22−13|=|32−1k −6301150|=-|k −63115|=−(5k −30−33)=−(5k −63)≠0 所以k ≠635(2){kx 1+x 2+x 3=0x 1+kx 2−x 3=02x 1−x 2+x 3=0 D =|k 111k −12−11|=|k 11k +1k +102−k −20|=(k +1)|112−k−2|=(k +1)(−2−2+k )=(k +1)(k −4)≠0 所以k ≠−1并且k ≠−4 第25页习题一（B 组）1.单项选择题（1） 关于行列式，下列命题错误的是（B ）.A. 行列式第一行乘以2，同时第二列除以2，行列式的值不变 B ．互换行列式的第一行和第三行，行列式的值不变 C ．互换行列式的任意两列，行列式仅仅改变符号 D ． 行列式可以按任意一行展开（2） 关于行列式，下列命题正确的是（A ）. A. 任何一个行列式都与它的转置行列式相等B ．互换行列式的任意两行所得到的行列式一定与原行列式相等C ．如果行列式有一行的所有元素都是1，则这个行列式等于零D ． 以上命题都不对（3）下列命题错误的是（ B ）.A. 如果线性方程组的系数行列式不等于零，则该方程组有唯一解 B ．如果线性方程组的系数行列式不等于零，则该方程组无解C ．如果齐次线性方程组的系数行列式等于零，则该方程组有非零解D ．如果齐次线性方程组的系数行列式不等于零，则该方程组只有零解 （4）排列1 6 5 3 4 2的逆序数是（ B ）.0+0+1+2+2+4=9 A. 8 B ．9 C ．7 D ． 6（5）212431235-的代数余子式12A 是（ C ）.A. 2143-- B ．2143- C ．4125--D ． 4125-2.填空题.（1）|1−221|= 5（2）|123045006|=1×4×6=24（3）若52k 74356=，则k =_7_________.（4）212431235-的余子式32M =|22−41|，代数余子式32A =−|22−41|.（5）若a c 3b d=，则2a 2c2b 2d-=--12，a 2cb 2d --=--6，2a 2cb d=---6.（6）已知k341k 000k 1-=，则k =_1或3_________.3、在四阶行列式中，确定下列各项的符号.a 13a 24a 31a 42 t （3412）=2+2=4 所以a 13a 24a 31a 42的符号是正号.a 34a 23a 41a 12 将行标按自然顺序排列a 12a 23a 34a 41 t （2341）=1+1+1=3 所以a 34a 23a 41a 12的符号是负号.4、（1）|21413−12112325062|=|2141506212325062|=0 （将第一行加到第二行后，第二行和第四行元素对应相等）（2）方法一：|1201135001561234|=|100111500156134|=|100111000106134|=3⋅(−1)4+3|101110016|=−3|10101−1016|=−3|1−116|=−21方法二：|1201135001561234|=|1201015−101560033|=|15−1156033|=3|15−1007011|=−21|1501|=−21 （3）a b b bb a b b b b a b b b b a=|a +3b b b b a +3b a b b a +3b b a b a +3b b b a | =|a +3b bb b 0a −b 0000a −b 0000a −b| =(a +3b)(a −b)3（4）x yy xx x y yyx x y+++ =|2x +2y yx 2x +2y x +y y 2x +2y x x +y |=|2(x +y)yx0x y −x 0x −y y| =2(x +y )|xy −x x −y y |=2(x +y )[xy +(x −y )2] =2(x 3+y 3)或者：x yy x x x y y yxx y+++=1213222222x y y x c c x y x y y c c x y x x y+++++++11(22)1(22)010y x y xx y x y y x y xy x xx yx yy=++=+-+- 2233(22)2()()2()x y x x y x y x xy y x y x yy-=+=+-+=+-。
线性代数习题册(答案)
线性代数习题册答案第一章 行列式 练习 一 班级 学号1．按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数： （1）τ （3421）= 5 ; （2）τ （135642）= 6 ;（3）τ （13⋯ （2n-1）（2n ） ⋯42） = 2+4+6+ ⋯ +（2 n-2）= n （n-1）. 2．由数字 1 到 9 组成的排列 1274i56j9 为偶排列，则 i= 8 、 j= 3 3．在四阶行列式中，项 a 12a 23a 34a 41 的符号为 负 .= － 3 ＋ 3 +2= (2 )( 1)21 2 21） 2 1 2 = － 1＋2 2 15．计算下列行列式：－ 8）＋（－ 8 ）－（－ 4 ）或 －（－ 4）―（－ 4） = － 511 2） 111 13＋1＋ 1－（－ ）－（－ ）―（－ ）00 4． 0 421练习班级学号31．已知 3阶行列式det(a ij ) =1，则行列式det( a ij )= －1 . ( 1)3 111 1 1 2．234 = 24 9 161 a b c(1) a 1 b c a b 1 cx y x y (2) y x y xx y x y 1 0 110 0r1 r,rr30 1 1c3 c1 0 1 1a b 1c a b 1c111 a b cb1c0 1 21 0 3,则A41 A421 1 02 5 4113．已知 D=1 1用 1， 1，1，1 替换第4 行4．计算下列行列2 1 5 1 13 0 60 2 1 21 4 7 61 2 1 40 1 2 11 0 1 3 0 1 3 15．计算下列n 阶行列式：每行都加到第一行，并提公因式。
)(2 ) 21M13MLLM11ML1 1 n1a1 b a2 a3 L a n(3 ) a1 a2 b a3 L a n M M M M Ma1 a2 a3 L a n b练习班级学号x3 1x1 x21．设线性方程组x1 x2 x3 1 有惟一解，则满足的条件是什么？x1 x2 x3 11, 0, 1x1 x2 x3 x4 5x1 2x2 x3 4x4 22. 求解线性方程组12x1 3x2 x3 5x4 23x1 x2 2x3 11x4 0x1 x2 x3 03.已知齐次线性方程组x1 x2 x30 有非零解，求的值。
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线性代数练习题（行列式）A
一、填空题
1、-=--362
2
36623
2、
=00010020
03004000
3、_____________)631254
(=N 4、四阶行列式)det(ij a 的反对角线元素之积（即41322314a a a a ）一项的符号为
5. 行列式2
430123
21---中元素0的代数余子式的值为_______
二、选择题 1、
=11
a a
（ ）
----+1111A a B a C a
D a
3、+=-010
111111a
a
（ ） +++-11(1)(1)A a B a C a D a a
5、若≠314
001
0x
x x
，则=x （ ）
≠≠≠≠≠≠020202且或A x x B x x C x D x
6、=111011011011
0111
（ ）
--2331A B C
D
7、=222
111
x
y z x y z （ ） ---+++++()()()()()()A y x z x z y B
xyz C y x z x z y D
x y z
三、设行列式 2
92170216
3332314----=D ，不计算ij A 而直接证明：
444342412A A A A =++
线性代数练习题（行列式）B
一、填空题
1、 设ij A 是n 阶行列式中元素ij a 的代数余子式，则
=∑1
n
ik
jk k a
A =
2、 设=3(1,2,3,4)i A i 是行列式12345678
2348
6789
中元素3i a 的代数余子式，
+++=132********A A A A
3、 各列元素之和为零的n 阶行列式之值等于
4、 设A 为m 阶方阵，B 为n 阶方阵，则
=00
A B
；
=00
A B
5、 设=(,1,2)ij A i j 为行列式=
21
31
D 中元素ij a 的代数余子式，则=1121
12
22A A A A 6、 方程
-+-=
----1321360
1
2
2
14
x x x x 的根为
7、 已知齐次线性方程组λ+-=⎧⎪
+-=⎨⎪-+=⎩1231231
232020340
x x x x x x x x x 有非零解，则λ=
8、 若11223344,,,a a a a 都不等于零，则方程组
+++=⎧⎪++=⎪
⎨
+=⎪⎪=⎩
1111221331441
22223324423333443
3444a x a x a x a x b a x a x a x b a x a x b a x b 有 解。
二、选择题 1、若
=111221220a a a a ，则方程组+=⎧⎨+=⎩111122
2112220
a x a x a x a x （ ） A 无解 B 有无穷多解 C 有唯一解 D 不一定
2、->11
01004a a a
的充分必要条件是（ ）
<>-><2222A a B a C a D a
3、λ
λ=-2
1
2
001
11
的充分必要条件是（ ） λλλλλ==-===-2203,2A B C D
4、4阶行列式
1122334
4
000
0000
a b a b b a b a 的值等于（ ） -+----1234123412341234
1212343423231414()()()()
A a a a a b b b b
B a a a a b b b b
C a a b b a a b b
D a a b b a a b b
5、若==≠11
121321
222331
32
33
0a a a D a a a M a a a ，而∆=11
1213
31
3233212223
222222a a a a a a a a a ，则∆=（ ）
--2244A M B M C M D M
6、如果304050x y z y z x y z λλ+-=⎧⎪
+=⎨⎪--=⎩
有非零解，则λ=（ ）
0113 A B C D
--
7、当k=（）时，
20
20
kx z
ky z
kx y z
+=
⎧
⎪
++=
⎨
⎪-+=
⎩
只有零解
0122 A B C D
--三、计算题
1、101
011
111
110
a
b
c
d
--
---
-
2、
x a a a
b x a a
b b x a
b b b x
答案：A 一、1、343； 2、-4！
二、1、A ；3、B ；5、B ；6、C ；7、A B 一、1、0D i j
i j
=⎧⎨
≠⎩； 2、0；3、0；4、,(1)mn A B A B -，5、-1
6、3,2x =-；
7、令系数行列式等于零，为使第2，3列成比例，4λ=
8、因其行列式11120nn D a a a =≠ ，故有唯一解。
二、1、B ；2、D ；3、D ；4、D ；5、D ；6、C,D ；7、A,B,D 三、1、按行（列）展开，得4D a b d =++
2、将11a x =拆成()b x b +-，第一列其它的b 写成0b +，依第一列拆成两个行列式之和，可得递推公式1()()n n n b x a x b -∆=-+-∆，由此得[()()]/n n n a x b b x a a b ∆=---- 四、证明题
用行列式的性质证明
11122122111211
12
12111221222122
3
4
21
22
0000a a a a a a b b b b a a b b b b =
∙**** 其中(1,2,3,4)i i *=为任意数。