2020版高考数学一轮复习课后限时集训17定积分与微积分基本定理理

课后限时集训(十七) 定积分与微积分基本定理
(建议用时：40分钟) A 组 基础达标
一、选择题
1．(2019·湖北模拟)已知t 是常数，若⎠⎛0
t (2x －2)d x ＝8，则t ＝( )
A ．1
B ．－2
C ．－2或4
D ．4
D [由⎠⎛0
t (2x －2)d x ＝8得，(x 2
－2x )t
0＝t 2
－2t ＝8，解得t ＝4或t ＝－2(舍去)．]
2．(2019·四平模拟)⎠⎛0
1x
－x d x 的值为( )
A.π4
B.
π2
C ．π
D ．2π
A [令y ＝x －x ，则(x －1)2
＋y 2
＝1，(y ＞0)． ∴⎠⎛0
1x
－x
表示由曲线y ＝x
－x ，x ＝0，x ＝1及x 轴围成的
曲边图形的面积，即圆面积的1
4，∴⎠
⎛0
1x
－x ＝
π4
.] 3．(2018·柳州一模)设f (x )＝⎠
⎛－x
x cos t d t ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝( )
A ．1
B ．sin 2
C ．sin 2
D ．2sin 2
D [∵f (x )＝⎠⎛－x
x cos t d t ＝sin t x
－x ＝2sin x ，
∴f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4＝2sin π4＝2，
∴f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2sin 2.]
4．直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3
在第一象限内围成的封闭图形的面积为( ) A ．2 2 B ．4 2 C ．2
D ．4
D [如图，y ＝4x 与y ＝x 3的交点A (2,8)，图中阴影部分即为所求图形面积．
S 阴＝⎠⎛0
2(4x －x 3)d x
＝⎝
⎛⎭⎪⎫2x 2－14x 420
＝8－14
×24
＝4，故选D.]
5．若S 1＝⎠⎛121
x
d x ，S 2＝⎠⎛12(ln x ＋1)d x ，S 3＝⎠⎛1
2x d x ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( )
A ．S 1＜S 2＜S 3
B ．S 2＜S 1＜S 3
C ．S 1＜S 3＜S 2
D ．S 3＜S 1＜S 2
A [如图，分别画出对应图形，比较围成图形的面积，易知选A.] 6．如果1 N 的力能拉长弹簧1 cm ，为了将弹簧拉长6 cm ，所耗费的功为( ) A ．0.18 J
B ．0.26 J
C ．0.12 J
D ．0.28 J
A [设F (x )＝kx ，当x ＝0.01 m 时，F (x )＝1，可知k ＝100. ∴所耗费的功W ＝∫0.06
0100x d x ＝50x 20.06
0＝0.18 J ．] 7．若f (x )＝x 2
＋2⎠⎛01f (x )d x ，则⎠⎛0
1f (x )d x ＝( )
A ．－1
B ．－13
C.13
D ．1
B [由题意知f (x )＝x 2
＋2⎠⎛0
1f (x )d x ，
设m ＝⎠⎛0
1f (x )d x ，∴f (x )＝x 2
＋2m ，
⎠⎛01
f (x )d x ＝⎠⎛
1
(x 2＋2m)d x ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫1
3
x 3＋2m x |10 ＝13＋2m ＝m ，∴m＝－13.] 二、填空题
8.已知二次函数y ＝f (x )的图象如图所示，则它与x 轴所围成的面积为________．
43
[由图可知f (x )＝－x 2
＋1. ∴它与x 轴所围成的面积S ＝⎠
⎛1
－1(1－x 2
)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －13x 31－1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13－⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋13＝23＋23＝43.] 9．汽车以72 km/h 的速度行驶，由于遇到紧急情况而刹车，汽车以等减速度a ＝4 m/s 2
刹车，则汽车从开始刹车到停止走的距离为________m. 50 [先求从刹车到停车所用的时间， 当t ＝0时，v 0＝72 km/h ＝20 m/s ，
刹车后，汽车减速行驶，速度为v (t )＝v 0－at ＝20－4t . 令v (t )＝0，可得t ＝5 s ，
所以汽车从刹车到停车，所走过的路程为：
⎠⎛0
5(20－4t )d t ＝(20t －2t 2)5
0＝50(m)． 即汽车从开始刹车到停止，共走了50 m ．]
10．设函数f (x )＝ax 2
＋b (a ≠0)，若⎠⎛0
3f (x )d x ＝3f (x 0)，x 0＞0，则x 0＝________.
3 [依题意得⎠⎛0
3f (x )d x ＝⎠
⎛0
3(ax 2
＋b )d x ＝a
3x 3＋bx 30＝3(ax 20＋b )，即3ax 20＝9a (a ≠0)，x 2
0＝3(x 0
＞0)，由此解得x 0＝ 3.]
B 组 能力提升
1．已知f (x )＝⎩⎨
⎧
s in x x ∈[－π，0]
1－x 2 x
，1]，则⎠⎛－π1f (x )d x ＝( )
A ．2＋π B.π2 C ．－2＋π
2
D.
π
4
－2 D [⎠⎛－π1f (x )d x ＝⎠⎛－π0sin x d x ＋⎠⎛011－x 2
d x ，
⎠⎛－π
sin x d x ＝－cos x 0
－π＝－2， ⎠⎛0
1
1－x 2d x 的几何意义是以原点为圆心，半径为1的圆的面积的14，故⎠
⎛0
11－x 2
d x ＝π4，所以
⎠⎛
－π
1
f (x )d x ＝π4
－2，故选D.]
2．(2019·合肥一检)在如图所示的正方形中随机投掷10 000个点，则
落入阴影部分(曲线C 的方程为x 2
－y ＝0)的点的个数的估计值为( ) A ．5 000 B ．6 667 C ．7 500
D ．7 854
B [图中阴影部分的面积为⎠
⎛0
1(1－x 2
)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －13x 3|10＝23，又正方形的面
积为1，则10 000个点落入阴影部分个数估计为10 000×2
3
≈6 667，故选B.]
3．设a ＞0，若曲线y ＝x 与直线x ＝a ，y ＝0所围成封闭图形的面积为a 2
，则a ＝________.
4
9
[封闭图形如图所示， 则⎠
⎛0
a x d x ＝23x 32a 0＝23a 32－0＝a 2
，解得a ＝49.]
4．(2019·长春模拟)在平面直角坐标系x O y 中，将直线y ＝x 与直线x ＝1及x 轴所围成的图
形绕x 轴旋转一周得到一个圆锥，圆锥的体积V 圆锥＝⎠
⎛0
1πx 2
d x ＝π3x 3|10＝π3.据此类比：将曲线
y ＝2ln x 与直线y ＝1及x 轴、y 轴所围成的图形绕y 轴旋转一周得到一个旋转体，该旋转体
的体积V ＝________.
π(e －1) [类比已知结论，将曲线y ＝2ln x 与直线y ＝1及x 轴、y 轴所围成的图形绕y 轴旋转一周得到旋转体的体积应为一定积分，被积函数为π(e y
2)2＝πe y
，积分变量为y ，积分区间为[0,1]，即V ＝⎠⎛0
1πe y
d y ＝π
e y |1
0＝π(e －1)．]。