15.3二次根式的加减运算
二次根式的加减法
概念
例子
异类二次根式是指根指数或被开方数不同 的二次根式。
$\sqrt{4}$ 和 $\sqrt{9}$ 是异类二次根式 。
减法运算
加法运算
两个异类二次根式相减，先进行化简，再 进行减法运算。
两个异类二次根式相加，先将它们化成最 简二次根式，再进行加法运算。
运算结果化为最简二次根式
概念
最简二次根式是指被开方数不含分母，被开方数不含能开得尽方的因数或因式 。
乘法运算
$\sqrt{a} \times \sqrt{b}$在$ab \geq 0$ 时成立。
减法运算
$\sqrt{a} - \sqrt{b}$在a=b或ab=0时成立 。
除法运算
$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$在$ab \geq 0$ 且$a \neq 0$时成立。
二次根式的加减法
总结词
掌握含加减法的二次根式混合运算法则，能 够准确进行运算。
详细描述
含加减法的二次根式混合运算涉及到根式和 整式的加减法，运算顺序是先乘方，再乘除 ，最后加减。在运算中，需要注意各项均需 乘以平方数，根式外的数要移到根号内，相
加减时根式部分不变。
复杂二次根式混合运算的步骤和技巧
总结词
掌握复杂二次根式混合运算的步骤和技巧，能够准确 快速地进行运算。
02
同类二次根式的加减法
概念
同类二次根式是指根指数相同且被开 方数相同的二次根式。
例子
$\sqrt{4}$ 和 $\sqrt{9}$ 是同类二 次根式。
减法运算
两个同类二次根式相减，直接进行减 法运算。
加法运算
两个同类二次根式相加，先将它们化 成最简二次根式，再进行加法运算。
15.3 二次根式的加减运算课件(共19张PPT)
二次根式的加减法： 二次根式的加减运算，其实就是将被开方数相同的项进行合并.为此，首先应将每个二次根式化为最并.
一化简二找相同的被开方数三合并.
例2 计算下列各式：
二次根式的加减法运算的步骤：(1)将每个二次根式都化为最简二次根式，若被开方数中含有带分数，则要先化成假分数；若含有小数，则要化成分数，进而化为最简二次根式；(2)原式中若有括号，要先去括号，再应用加法交换律、结合律将被开方数相同的最简二次根式进行合并．
15.3 二次根式的加减运算
第十五章 二次根式
学习目标
1.掌握二次根式加减法法则.2.熟练进行二次根式的加减混合运算.
学习重难点
掌握二次根式加减法法则.
难点
重点
熟练进行二次根式的加减混合运算.
复习巩固
最简二次根式需要满足的条件：（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.
归纳总结：
随堂练习
C
.
6
拓展提升
D
D
归纳小结
1.二次根式的加减运算步骤：一化简二找相同的被开方数三合并.
2.二次根式加减法 首先应将每个二次根式化为最简二次根式，然后将被开方数相同的最简二次根式的项进行合并.
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月15日
新知引入
知识点 二次根式的加减运算
做一做
1.计算下列各式：2.请将你的做法和大家进行交流.
含相同二次根式
合并
就像整式合并同类项那样，被开方数相同的最简二次根式也可以合并.
归纳：
可合并的二次根式的条件：（1）最简二次根式；（2）被开方数相同.
例题解析
例1 计算下列各式：
15.3二次根式的加减运算冀教版八年级数学上册
如果把 ３换成x,不就转化为上面的问题了 吗？（2）（3）先化简再按(1)方法计算
问题三： 满足什么条件二次根式可以合并？ （1）二次根式是最简二次根式。
（2）被开方数相同. （3）与二次根式前面的系数无关
你还能说出几个能与３３ 合并的二次根式呢？
问题四：类比整式的加减运算，你会进行二次根式的加 减运算吗？
谢谢大家 下节课再见
解：（）由题意得 1 {
a b 2 3a b b
, 解得{
a 0 b =2
ab ab ab ab （2）原式= 2 2 a b a b 1 1 ab ( ) ab ab a b ab 3 2 2
回顾交流：
本节课我们学习了那些内容？
小结：这节课，我们学习了二次根式的加减 运算及加减混合运算。通过运算我们知道， 二次根式的运算可类比整式的运算进行，二 次根式相加的实质就是合并被开方数相同的 二次根式。为了确认哪些根式能够进行合并， 我们先要把二次根式都化成最简二次根式， 再按它们的被开方数是否完全相同去判断。
15.3二次根式的加减运算
复习回顾：
计算下列各式
(1)2x 3x (2)2 x 3x 5x
2 2
2
2
2
(3) y 2 y 3 y (3)3a 2a a
2 2
2
问题一：计算
1 （1）5 3+2 3；（2） 12+ 75；（3）6 77
问题二： （1）观察以上计算题，你联想到了什么？ （2）你能试着解决它们吗
例：计算
（） 1 2 12-3 1 - 27 3 1 （2） 48-10 0.2 -3 45- 3
15.3 二次根式的加减运算
归纳： 二次根式加减法的一般过程
(1)先将二次根式化成最简二次根式
(2)再将被开方数相同的二次根式进行合并
想一想： 二次根式计算、化简的结果符合什么要求？
（1）被开方数不含分母；
分母不含根号；
根号内不含小数
（2）被开方数中不含能开得尽 方的因数或因式.
1、下列计算哪些正确，哪些不正确？
15.3
二次根式的加减运算
把下列各式化为最简二次根式：
8 27 18 1 3 1 2
1 2 3
ab
3
a b
解得：
（1 )
82 2 18 3 2 1 1 2 2 2
（2 )
27 3 3 1 1 3 3 3
（3 )
a 3b a ab a 1 ab b b
观察：以上三组二次根式化简后，被开方数有何特征？
一是化 每个二次根式为最简二次根式； 二是看 化简后的二次根式中被开方数是 否相同。
比一比:
1 化简 (1) 3a a 2a 3
(2) 3 2 1 2 2 2
1 (3 2)a 3 14 a 3 1 我们把 3, 3 ,2 看作系数,每一项所含的二次根 式相同( 2 ),化简过程就和合并同类项的
5计算： (1) 75 2 8 200
5(2)2 计算： 20 3 45 80 (1) 2 200 (3)27548 (8 27 243) (2)2 3 4 45 80 (4)(5 20 75 12) (5 108 3 27)
2 5 -9 5 4 5 -3 5
你能归纳出同类二次根式的定义吗？
同类二次根式:
《二次根式的加减法》
学习建议
掌握基础知识
01 了解二次根式的定义
二次根式是一种数学表达式，表示对一个数或式 子进行开方运算。
02 理解平方根和算术平方根的概念
平方根是一个数，可以使得这个数的平方等于1； 算术平方根是一个正数，可以使得这个正数的平 方等于这个正数本身。
03 掌握二次根式的性质和运算法则
二次根式的性质包括被开方数是非负数，算术平 方根具有非负性等；运算法则包括加减法、乘除 法、幂运算等。
03
错题纠正
错题原题
错误题目
计算 $\sqrt{12} + \sqrt{18}$
学生错解
$\sqrt{12} + \sqrt{18} = 6 + 3 = 9$
错题原因分析
• 学生没有掌握二次根式加减法的运算法则，直接将同类二次根式相加，忽略了根号内数值的 合并。
正确解题过程
• 正确解答：$\sqrt{12} + \sqrt{18} = 2\sqrt{3} + 3\sqrt{2}$
随堂练习题目
计算 $\sqrt{32} + \sqrt{20}$。 计算 $\sqrt{49} - 3\sqrt{4}$。
计算 $2\sqrt{2} - \sqrt{3}$。 计算 $2\sqrt{12} + \sqrt{3}$。
随堂练习答案
$\sqrt{32} + \sqrt{20} =
01 4\sqrt{2} + 2\sqrt{5}$。
知识点回顾
二次根式的加减法运算规则
先化简，再合并同类二次根式。
常见错误纠正方法
牢记运算法则，先进行根号内数值的运算，再进行根号的合并。
04
二次根式的加减运算
二次根式的加减运算一、教材分析1、内容分析：本节内容共一课时。
主要内容是学习二次根式的加减运算。
2、地位与作用：二次根式属于“数与代数”领域的内容，它是在学生在学习了勾股定理、平方根、立方根、实数等概念的基础上进行的，是对“实数”“代数式”内容的延伸和补充。
在进行二次根式的加减时，所采用的方法与合并同类项类似；这说明了前后知识之间的内在联系。
同时本部分内容还是后面学习“锐角三角函数”、“一元二次方程”和“二次函数”的基础.二、学情分析学生已经学习了二次根式的概念及性质等知识，已具备了学习二次根式加减运算的知识基础和心理基础，本节课主要是采用类比的思想来学习二次根式的加减运算，难度不大。
班级学生课堂上能积极参与、有一定的自学能力，好奇心、求知欲、表现欲都非常强；在前面学习的基础上，他们具有一定的观察能力、分析能力、归纳能力，学习新知识速度快模仿能力强，具备一定的探索知识自主创新的能力，但经常因为粗心而出错，同时课后复习巩固的效果较差。
结合以上分析，为了加强他们的自学能力，提高课堂学习效率，根据他们的特点，本节课采用启发引导，讲练结合的方式完成学习,选择联系生活中的实际问题，适合学生的习题，由浅入深的引导，注重培养学生的自学能力，通过一定练习，激发学生的求知欲和提高学生的自信心。
三、目标分析1、了解同类二次根式的概念，会辨别同类二次根式。
2、经历探索二次根式的加法和减法运算法则的过程，理解二次根式的加法和减法算理，进一步发展学生的类比推理能力。
3、能熟练地进行二次根式的加法和减法运算。
四、教学重难点【重点】会辨别同类二次根式，熟练掌握二次根式的加减运算。
【难点】探索二次根式加减运算的方法和准确地进行二次根式的加减运算。
五、教具准备多媒体投影、实物展台、课件、学案、六、活动流程《数学课程标准》明确指出：“数学教学是数学活动的教学，学生是数学学习的主人。
”为了向学生提供更多从事数学活动的机会，我将本节课的教学过程设定为以下六个环节：活动3：探索交流活动4：例题分析活动5：随堂练习活动6：课堂小结，活动7：达标测试先独立完成，再探索交流，得出新的概念和法则运用法则进行计算，加深对运算法则的理解通过练习，巩固所学知识学生归纳小结，教师评价，形成系统学生测试，检验本节课的掌握情况教学过程问题与情境师生行为设计意图【活动一】情境引入如图，两个长方形的宽都是a m，它们的长分别是2 m和3 m，用不同的方法求这两个长方形的面积的和。
北师大版八年级数学上册--第二单元 二次根式的加减运算 练习题(含答案)
冀教版初中数学八年级上册第十五章二次根式15.3《二次根式的加减》第一课时一、教学目标知识与技能1．理解二次根式的加减法法则．2．能够正确进行简单的二次根式加减法的运算．过程与方法1．通过整式加减法运算与二次根式加减法运算的比较体会类比思想．2．通过二次根式加减法运算培养学生运算能力．3．通过运算总结运算的一般步骤：用“一化简、二判断、三合并”来总结二次根式的化简过程．情感态度与价值观通过对二次根式加减法的探究，激发学生的探索热情，让学生充分参与到数学学习的过程中来，使他们体验到成功的乐趣．二、教学重点二次根式加减法的运算．★教学难点探讨二次根式加减法运算的方法,必须将二次根式彻底化简，快速准确进行二次根式加减法的运算．★教学方法教师适当引导，学生自主学习，通过阅读教材、与同学讨论获取知识．三、教学过程提出问题，引入新课1．阅读问题．一个运动场要修两块长方形草坪，第一块草坪的长是10米，宽是5米，第二块草坪的长是20米，宽也是5米。
你能告诉运动场的负责人要准备多少面积的草皮吗？教师活动：出示课题并说明今天我们就共同来研究该如何进行二次根式的加减法运算．学生思考：解决这个问题的关键是什么？2．下列3个小题怎样计算? ①5+5； ②5-125； ③5-50+20．教师活动：提出问题（1）53-25还能继续往下合并吗？（2）看来二次根式有的能合并，有的不能合并，通过对以上几个题的观察，你能说说什么样的二次根式能合并，什么样的不能合并吗？解题过程：①设5=a ,类比合并同类项或面积法； ②学生思考，得出先化简，再合并的解题思路：5-125=5-55=-45； ③先化简，再合并：5-50+20=5-25+52=53-25．学生活动：根据解题过程归纳出二次根式加减时,先将二次根式化简成最简二次根式后，再将被开方数相同的进行合并．引出公式，运用公式1．请同学位思考下面一个问题：【思考】我们分析上面的解题过程，发现通过化简把两个二次根式合并成了一个二次根式，有点像我们以前所学的合并同类项．请同学们讨论，如果化简后两个二次根式中的被开方数不相同，能否运用分配律将两个二次根式合并呢？【分析】我们知道：在有理数范围内成立的运算律，在实数范围内仍然成立．如果化简后两个二次根的被开数不相同，我们就不能运用分配律进行合并，它不符合分配律的要求，正因为化简后的被开数是相同的，我们就可以运用分配律将其合并为一个式子．2．根据上面的分析，我们可得到二次根式的加减法运算法则．二次根式加减时，可以先将二次根式化简成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．例1：计算：（1+； （2-学生活动：学生自己先进行运算，再总结解题的经验．解答过程：（1）a a 259+a a a 853=+=；（2）4580-55354=-=．教师活动：教师启发学生总结自己解题的经验，并告诉同学们进行二次根式加减运算的要点．结论：可用“一化简、二判断、三合并”来总结二次根式的化简过程．例2：计算:（1）323814182+-； （2）)7581()31232(--- 学生活动：学生自己先进行运算，再与小组同学交流，选出代表解答此题． 教师活动：教师启发学生总结自己解题的经验，并与其他同学交流．看谁总结的更规范，引导学生思考归纳．解题过程：（1）原式=212226+-=217；（2）原式=+--2413322435=33132415+． 课堂练习1．指出下列每组的二次根式中，哪些是可以合并的二次根式？（字母均为正数）（1）8,12，27；（2）72，7521，501；（3）38ab ，ba 2，5332b a ． 2．计算:（1）()279818-+； （2）()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+6815.024 四、课堂总结．1．二次根式加减法的运算方法和步骤是什么?2．二次根式加减法应注意先化简成最简二次根式，以及运算的准确性．3．在学习过程中运用了类比的学习方法．第二课时一、教学目标知识与技能1．利用二次根式加减法解决一些实际问题．2．能熟练对开方式中含有字母、被开方式中含有分母的二次根式进行化简．3．能进行二次根式的混合运算．过程与方法1．通过学习二次根式的加减运算，体会二次根式的加减与整式中的合并同类项之间的联系．2．培养学生将实际问题抽象为数学问题的能力．把获得把实际问题转化为数学问题的体验．3．对二次根式的混合运算与整式的混合运算及数的混合运算作比较，要注意运算的顺序及运算律在计算过程中的作用．情感态度与价值观1．通过独立思考与小组讨论，培养良好的学习态度，以及自我意识．2．通过本节课的学习培养学生的类比思想．3．在较复杂的解题过程中，培养耐心，养成细心的习惯．二、教学重点1．将实际问题抽象为数学问题．2．混合运算的法则，明确三级运算的顺序，运算律的合理使用．★教学难点1．被开方式中含有字母、被开方式中含有分母的二次根式的化简．2．灵活运用因式分解、约分等技巧，使计算简便．★教学方法教师适当引导，学生自主学习，通过阅读教材、与同学讨论获取知识．通过对比找到适当的解题方法，注意总结解题的经验．三、教学过程提出问题，引入新课复习引入计算:（1）52080+-；（2）101252403--． 数学来源于生活,应用于生活．下面我们研究一下二次根式在实际生活中的应用． 亲自动手，细心体验 1．教师出示例题，同学们解题：例1：要焊接一个如图所示的钢架,大约需要多少米钢材（精确到0．01m ）?教师活动：引导学生由图得数据，再根据数据解题．学生活动：根据图象找出数据，根据数据解答问题，然后小组讨论，看自己还存在哪些不足的地方．解答过程：根据图中尺寸可得：AB =222224+=+BD AD 5220==，BC =5122222=+=+CD BD ，AB+BC+AC+BD =25552+++=≈+7533×2．24+7≈13.7（m ）． 答:要焊接一个如图所示的钢架约需要13．7m 的钢材．2．教师出示例题，体验解过程．例2：计算:（1）； （2）()226324÷-． 教师活动：让学生按照运算规律解答问题．学生活动：参考运算法则和运算律独立解答问题，然后与小组人员内部讨论，选出一人回答老师提问．解答过程：（1）43===-； （2）()226324÷-(2==-= 3．教师总结：通过解题我们可体会到这样一个解题的经验：在有理数范围内成立的运算律，在实数范围内仍然成立．也就是我们在以前所学的整式中的乘法法则和运算律，即是二次根式中的法则和运算律．课堂练习1．计算：（1）()532+；（2）()54080÷+； （3）()375212⨯-；（4）()2363+-．2．计算:（1）()()2535++；（2）()()b a b a 23-+；（3）()()2626-+；（4）()()7474-+；（5）()2252-． 3．如图21．3-2所示,两个圆的圆心相同,它们的面积分别为12．56cm 2和25．12cm 2,请你求圆环的宽度d （π取3．14）．四、课堂总结1．以前学过的运算法则在二次根式的混合运算中依然成立；2．计算结果最后一定要化成最简形式．。
15.3 二次根式的加减运算
=+1223515.3 二次根式的加减运算教学目标1. 类比合并同类项的方法，会合并被开方数相同的最简二次根式。
2.了解二次根式（根号下仅限于数）的加减运算，会进行二次根式的加减运算。
（来自教参106页）教学重点：二次根式的加减运算。
教学难点：熟练进行二次根式的加减运算。
教学方法：类比探究式。
教学过程一、复习旧识 1. 计算=+a a 25二、师生互动，探究新知1.想一想 上式中如果把a 换成3，你能猜想一下结果吗？ =+3235325)(+=37上式中如果把3换成12，122125+能直接进行合并等于127吗？（不能）引导：整式2235∙+∙a a 中不能直接进行合并需要先整理成a a 415+然后再合并成a 19，所以122125+要先整理成最简二次根式得到然后就可以进行合并了，结果是。
2. 做一做引导：这个式子还能进行合并吗？那它们都是最简的二次根式吗？（2不是最简的）那化简成最简二次根式是什么？（）好，那这个时候可以进行合并了吗？（可以了）最后的结果是。
小结：二次根式的加减运算，其实就是将被开方数相同的项进行合并。
为此，首先应将每个二次根式化为最简二次根式，然后将被开方数相同的最简二次根式的项进行合并。
例题解析：（1） 27512332+-；（来自教材98页例1）引导：首先观察算式中都是最简二次根式吗？（不是）那把不是最简的二次根式进行化简。
化简以后有没有被开方数相同的二次根式？（有）那进行合并，得出结果。
解：原式=27512332+- =3153632+- =311板书设计：1、=+a a 25()a a 725=+2、3235+ = ()37325=+3、 122125+ = 127（×） ==4、二次根式的加减运算步骤：① 将算式中每个二次根式化为最简二次根式；② 原式中若有括号，要先去括号，然后将被开方数相同的最简二次根式进行合并。
5、例题解析27512332+-)3212.0(5.08--+ 解： 原式= 3153632+- 解：原式 ()31562+-= =311558221552)81212(2815512212232151218)32151(218-=+++=+-+=+-+=--+=630306536523061661621009665612410096656124-=--+=--+=+-+=）（（2）)3212.0(5.08--+ （来自教材98页例1） 引导：上式中虽然不是最简的二次根式但被开方数都是整数，那这个式子中被开方数是小数了我们应该把小数化成分数 解：原式三、随堂练习1、计算下列各式：495633282+-3579-74+=解：原式 解：原式 =7535-（来自教材99页做一做1）2、课本99页练习1,2四、课堂小测 课本100页练习3。
冀教版数学八年级上册15.3《二次根式的加减运算》教学设计
冀教版数学八年级上册15.3《二次根式的加减运算》教学设计一. 教材分析冀教版数学八年级上册15.3《二次根式的加减运算》是本册教材中的一个重要内容，主要让学生掌握二次根式加减的运算方法，发展学生的逻辑思维能力。
本节内容是在学生已经掌握了二次根式的性质和乘除运算的基础上进行学习的，为以后学习更复杂的数学知识打下基础。
二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经掌握了二次根式的基本性质，能进行二次根式的乘除运算。
但学生在进行二次根式的加减运算时，容易出错，对运算规则理解不深。
因此，在教学过程中，需要教师引导学生理解二次根式加减的运算规则，并通过大量的练习，巩固所学知识。
三. 教学目标1.知识与技能：让学生掌握二次根式的加减运算方法，能正确进行二次根式的加减运算。
2.过程与方法：通过教师的引导和学生的自主探究，培养学生的逻辑思维能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，让学生体验到数学的乐趣。
四. 教学重难点1.重点：二次根式的加减运算方法。
2.难点：理解二次根式加减的运算规则，并能灵活运用。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例，引导学生理解二次根式加减的运算规则。
2.引导发现法：教师引导学生发现二次根式加减的运算规则，培养学生的自主学习能力。
3.练习法：通过大量的练习，巩固所学知识。
六. 教学准备1.教学课件：制作二次根式加减运算的课件，用于课堂演示。
2.练习题：准备适量的练习题，用于课堂练习和课后巩固。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过生活实例，引导学生思考二次根式加减的问题，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（10分钟）教师通过课件，呈现二次根式加减的运算规则，引导学生发现并理解规则。
3.操练（10分钟）教师引导学生进行二次根式加减的运算练习，及时纠正学生的错误，巩固所学知识。
4.巩固（10分钟）教师继续提供练习题，让学生独立完成，检查学生的掌握情况。
5.拓展（10分钟）教师引导学生思考二次根式加减在实际问题中的应用，提高学生的解决问题的能力。
初中数学冀教版八年级上册第15.3二次根式的加减运算练习题-普通用卷
初中数学冀教版八年级上册第十五章15.3二次根式的加减运算练习题一、选择题1.下列各式中，计算正确的是()A. √2+√3=√5B. √(−2)2=−2C. (−√3)2=3D. 2√3×3√3=6√32.下列计算正确的是()A. √(−9)2=−9B. 3√2−2√2=1C. −3√5+√5=−2√5D. √36=±63.下列等式成立的是()A. 3+4√2=7√2B. √6÷√3=√2C. √(−3)2=3D. √3×√2=√54.下列式子变形正确的是()A. (a+b)2=a2+b2B. √a2=aC. (ab)2=a2b2D. √a+b=√a+√b5.下列运算正确的是()A. √81=±9B. 4√3−3√3=1C. √(−8)2=−8D. √332=18√66.如果√a+1与√12的和等于3√3，那么a的值是()A. 0B. 1C. 2D. 37.下列计算：①√2+√3=√5；②(√2)2=2；③5√3−√3=5；④(√2+√3)(√2−√3)=−1其中正确的有()个A. 1B. 2C. 3D. 48.化简2√8−√2−3√50−√12+√18的结果为()A. −√11B. −9√2−2√3C. −7√2D. 2√3−9√2二、填空题9.化简：3√2+2√2=______．10.计算：√8−√18=______．11.已知：√18−√2=a√2−√2=b√2，则ab=______．12.已知m，n是有理数，且(√5+2)m+(3−2√5)n+7=0，则m=n____________。
13.已知三角形三边的长分别为√27cm，√12cm，√48cm，则它的周长为cm．三、计算题14.计算：(1)√8−√12√15+√60√3√45(3)(√7−2)2+(2−√3)(2+√3)(4)√18−√32+14√48−15√13四、解答题15.计算：(1)15√900+12√121；(2)√12+√127−√13；(3)√17+√28−√700；(4)√32−3√12+√8．16.阅读下面的文字，解答问题：√2是一个无理数，而无理数是无限不循环小数，因此√2的小数部分无法全部写出来，但是我们可以想办法把它表示出来．因为√1<√2<√4即1<√2<2，所以√2的整数部分为1，将√2减去其整数部分后，得到的差就是小数部分，于是√2的小数部分为√2−1．(1)√6的整数部分是_____________，小数部分是__________________；(2)1+√3的整数部分是_____________ ，小数部分是_________________；(3)如果2+√5的整数部分是a，小数部分是b，求出a−b的值．17.先化简，再求值：12a −1a−b(a−b2a−a2+b2)，其中a=3−2√2，b=3√2−3．答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了二次根式的加法和乘法运算以及二次根式的化简，熟练掌握二次根式基本运算是解题关键．分别根据二次根式有关的运算法则，化简分析得出即可．【解答】解：A．√2和√3不是同类二次根式，不能合并，无法计算，故A选项错误；B..√(−2)2=2，故B选项错误；C.(−√3)2=3，故C选项正确；D.2√3×3√3=6×3=18，故D选项错误．故选C．2.【答案】C【解析】【分析】此题主要考查了实数的运算.无理数的运算法则与有理数的运算法则是一样的.注意：√a 表示a的算术平方根.在进行根式的运算时要先化简再计算可使计算简便．A、根据二次根式的性质计算即可判定;B、根据合并同类二次根式的法则计算即可判定;C、根据合并同类二次根式的法则计算即可判定;D、根据算术平方根的定义即可判定．【解答】解：A．√(−9)2=9，则A错误；B.3√2−2√2=√2，则B错误；C.−3√5+√5=−2√5，则C正确；D.√36=6，则D错误．故选C．3.【答案】C【解析】略4.【答案】C【解析】解：A、结果是a2+2ab+b2，故本选项不符合题意；B、结果是|a|，故本选项不符合题意；C、结果是a2b2，故本选项符合题意；D、√a+b不一定等于√a+√b，如a=1，b=4时，√a+b=√5，√a+√b=1+2=3，故本选项不符合题意；故选：C．根据完全平方公式，二次根式的性质，积的乘方分别求出每个式子的值，再得出答案即可．本题考查了完全平方公式，二次根式的性质，积的乘方等知识点，能求出每个式子的值是解此题的关键．5.【答案】D【解析】解：A、√81=9，故此选项错误；B、4√3−3√3=√3，故此选项错误；C、√(−8)2=8，故此选项错误；D、√332=√34√2=√68，故此选项正确．故选：D．直接利用二次根式的性质计算得出答案．此题主要考查了二次根式的加减，正确化简二次根式是解题关键．6.【答案】C【解析】解：∵√a+1与√12=2√3的和等于3√3，∴√a+1=3√3−2√3=√3，故a+1=3，则a=2．故选：C．直接利用二次根式的加减运算法则计算得出答案．此题主要考查了二次根式的加减法，正确化简二次根式是解题关键．7.【答案】B【解析】【分析】本题考查了二次根式的运算：涉及了二次根式的加减运算和乘法运算.在二次根式的运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．根据二次根式的性质对①②③进行判断；根据平方差公式对④进行判断．【解答】解：∵√2与√3不是同类二次根式，不能合并，所以①错误；∵(√2)2=2，所以②正确；∵5√3−√3=4√3；所以③错误；∵(√2+√3)(√2−√3)=(√2)2−(√3)2=2−3=−1，所以④正确、故选B．8.【答案】B【解析】解：2√8−√2−3√50−√12+√18=2×2√2−√2−3×5√2−2√3+3√2=−9√2−2√3．故选：B．分别化简二次根式，进而合并同类二次根式得出答案．此题主要考查了二次根式的加减运算，正确化简二次根式是解题关键．9.【答案】5√2【解析】解：3√2+2√2=5√2．直接合并同类二次根式即可．合并同类二次根式实际是把同类二次根式的系数相加，而根指数与被开方数都不变．10.【答案】−√2【解析】解：原式=2√2−3√2=−√2，故答案为：−√2．首先把√8与√18化简，再合并同类二次根式即可．此题主要考查了二次根式的加减，关键是正确把二次根式化简成最简二次根式．11.【答案】6【解析】解：原式=3√2−√2=a√2−√2=b√2，故a=3，b=2，则ab=6．故答案为：6．直接化简二次根式进而得出a，b的值求出答案．此题主要考查了二次根式的加减，正确化简二次根式是解题关键．12.【答案】−12【解析】【分析】本题考查二次根式的加减法.把含√5的项写在一起，剩下的常数项写在一起，因为最后结果等于零，所以√5的系数m−2n=0①，剩余的常数2m+3n+7=0②，然后根据①②解答即可求出m和n的值．【解答】解：由且(√5+2)m+(3−2√5)n+7=0，得√5(m−2n)+2m+3n+7=0，∵m、n是有理数，∴m−2n、2m+3n+7必为有理数，又∵√5是无理数，∴当且仅当m−2n=0、2m+3n+7=0时，等式才成立，∴n=−1，m=−2．∴m n=−1，2故答案为：−1213.【答案】9√3【解析】【分析】本题考查了二次根式的加减，先把每一个二次根式化成最简二次根式，然后合并即可解答．【解答】解：√27+√12+√48，=3√3+2√3+4√3，=9√3(cm)，故答案为9√3．14.【答案】解：(1)原式=2√2−√22=32√2；(2)原式=√5+√20−3√5=√5+2√5−3√5=0；(3)原式=11−4√7+4−3=12−4√7；(4)原式=3√2−4√2+√3−5√3=−√2−4√3．【解析】此题考查的是二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的各种运算法则是关键．(1)先将二次根式化简，再合并同类二次根式即可；(2)先进行二次根式除法运算，再合并同类二次根式即可；(3)根据完全平方公式和平方差公式进行去括号运算，再合并同类二次根式即可；(4)先将二次根式化简，再合并同类二次根式即可．15.【答案】解：(1)15√900+12√121=15×30+12×11=6+112=232；(2)√12+√127−√13=2√3+√39−√33=169√3；(3)√17+√28−√700=√77+2√7−10√7 =−697√7；(4)√32−3√12+√8=4√2−3√22+2√2 =9√22．【解析】分别化简二次根式进而合并得出答案．此题主要考查了二次根式的加减运算，正确化简二次根式是解题关键．16.【答案】解：(1)2，√6−2；(2)2，√3−1．(3)∵√4<√5<√9，即2<√5<3，∴√5的整数部分为2，2+√5的整数部分为4，即a =4， ∴2+√5的小数部分为2+√5−4=√5−2， 即b =√5−2，∴a −b =4−(√5−2)=6−√5．【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加减及二次根式的整数和小数部分．看懂题例并熟练运用是解决本题的关键．(1)仿照题例，可直接求出√6的整数部分和小数部分；(2)先求出√3的整数部分，再得到1+√3的整数部分，1+√3减去其整数部分，即得其小数部分；(3)根据题例，先确定a、b，再计算a−b即可．【解答】解：(1)∵√4<√6<√9，即2<√6<3．∴√6的整数部分为2，√6的小数部分为√6−2；故答案为2，√6−2；(2)∵√1<√3<√4，即1<√3<2，∴√3的整数部分为1，∴1+√3的整数部分为2，∴1+√3小数部分为1+√3−2=√3−1．故答案为2，√3−1；(3)见答案．17.【答案】解：原式=12a −1a−b[a−b2a−(a+b)(a−b)] =12a−12a+(a+b)=a+b，当a=3−2√2，b=3√2−3时，代入得，原式=3−2√2+3√2−3=√2．【解析】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则．先根据分式混合运算顺序和运算法则化简原式，再将a、b的值代入计算可得．第3页，共11页。
冀教版-数学-八年级上册-15.3 二次根式的加减运算 教案
15.3 二次根式的加减运算一、教材分析：二次根式加减法是冀教版第15章第3小节.主要内容是二次根式的加减运算.本节的基础是学生已经掌握了把二次根式化简成最简二次根式的方法.本课地位，既是第15章相关内容的发展，又是后面将学习的解直角三角形、一元二次方程、二次函数等章节的重要基础，起承上启下的作用.二、学情分析：不利因素：我校学生基础较差，两极分化较严重，部分学生对第五章平方根、立方根的知识掌握的不够扎实.有利因素：小组合作学习在我校的全面开展为本节课教学任务的完成打下良好的基础.三、教学目标：知识技能：会进行二次根式的加减法运算.数学思考：学生经历由实际问题引入数学问题的过程，发展学生的抽象概括能力.解决问题：通过加减法运算，培养学生的运算能力.情感态度：通过加减法运算解决生活中实际问题，体会数学知识应用的价值，提高学生学习数学的兴趣.四、教学重点、难点：教学重点：合并被开方数相同的二次根式.教学难点：二次根式加减法的实际应用.五、教学方法：合作、讨论、探究.六、教学媒体：多媒体.七、教学活动过程：活动一问题：1.现有一块长7.5dm、宽5dm的木板，能否采用如图的方式，在这块木板上截出两个面积分别是8dm2和18dm2的正方形木板？师生行为:（1）学生分组讨论，探求方案.（2）教师倾听学生的交流，指导学生探究.=1.5<，可知×1.5 = 7.5答：能够在这块木板上截出两个分别是8dm2和18dm2的正方形木板2.分析188+的计算过程 教师关注：学生能否将8和18化成最简二次根式；能否将分配律运用到计算中. 小结：二次根式加减法时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并.（设计意图：此题贴近学生生活，易激发学生的学习兴趣.采用分组讨论，自主探究的方式解决问题，提高学生的自主学习能力.）3.下列计算是否正确？为什么？ (1)38-=38- (2) 9×16=169⨯ (3) 22223=-(设计意图：使学生掌握被开方数相同的二次根式合并的方法，注意二次根式加减运算与乘除运算的联系与区别，提高解题的准确程度.)活动二例1 计算下列各式：(1)-+(2)+【答案】解：(1)==(2)28==-+=例2 计算下列各式：(1)(2)-【答案】解：(1)0==(2)10-=-==例3计算 (1)483316122+- (2) )53()2012(-++【答案】解：(1)131431232-34483316122=+=+- (2) 5335-35232)53()2012(+=++=-++ 学生思考：(1) 比较二次根式的加减法与整式的加减，你能得出什么结论？ (2) 3与5能合并吗？教师关注：计算中教师要让学生体会到有理式的运算、二次根式的运算以及整式的运算之间的联系，感受数的扩充过程中运算性质和运算律的一致性.（设计意图：使学生熟练掌握二次根式加减法的运算方法，综合运用新旧知识，使知识能融会贯通，提高课堂效率，培养学生及时发现问题并解决问题的习惯，调动学生的主观能动性.）活动3课堂小结本节课你有什么收获？有什么认识？与同学们交流一下.八、课后作业：课本练习题.九、课后反思：在教学设计中，仍然存在着对学情分析不足，主要是过高估计学生的学习能力，对以前学过的知识的复习工作做的不够，导致后续的新知识的学习遇到不少麻烦.在学生自主学习方面还存在着不足.遇到困难有畏难情绪、对老师的依赖性太强.这些都有待于在今后的教学中进行教育和引导.。
二次根式的加减
⼆次根式的加减
◎⼆次根式的加减的定义
⼆次根式加减法法则：
先把式⼦中各项⼆次根式化成最简⼆次根式，然后再合并同类⼆次根式。
1、同类⼆次根式
⼀般地，把⼏个⼆次根式化为最简⼆次根式后，如果它们的被开⽅数相同，就把这⼏个⼆次根式叫做同类⼆次根式。
2、合并同类⼆次根式
把⼏个同类⼆次根式合并为⼀个⼆次根式就叫做合并同类⼆次根式。
3、⼆次根式加减时，可以先将⼆次根式化为最简⼆次根式，再将被开⽅数相同的进⾏合并。
例如：（1）；2+3=5（2）+2=3
4、注意：有括号时，要先去括号。
◎⼆次根式的加减的知识扩展
⼆次根式的加减：先把式⼦中各项⼆次根式化成最简⼆次根式，然后再合并同类⼆次根式。
◎⼆次根式的加减的特性
⼆次根式的加减注意:
①⼆次根式合并同类项与合并同类项类似,因此⼆次根式的加减可以对⽐整式的加减进⾏;
②⼆次根式加减混合运算的是指就是合并同类项⼆次根式,不是同类⼆次根式不能合并。
如+
是最简结果,不能再合并;
③⼆次根式进⾏加减运算时,根号外的系数因式须保留假分数形式,如，不能写成5
④合并同类⼆次根式后若系数为多项式,须添加括号。
◎⼆次根式的加减的教学⽬标
1、知道什么是同类⼆次根式。
2、掌握⼆次根式的加减法运算法则。
3、会进⾏⼆次根式的加减法运算。
4、认识数的拓展过程，感受事物的演绎过程，培养乐学、会学的思想。
◎⼆次根式的加减的考试要求
能⼒要求：理解
课时要求：60
考试频率：常考
分值⽐重：3。
冀教版数学八年级上册15.3《二次根式的加减运算》说课稿
冀教版数学八年级上册15.3《二次根式的加减运算》说课稿一. 教材分析冀教版数学八年级上册15.3《二次根式的加减运算》这一节主要介绍了二次根式加减运算的法则，并通过实例来展示如何运用这些法则进行计算。
本节内容是学生在学习了二次根式的性质和乘除运算后的进一步拓展，对于学生理解和掌握二次根式的运算规律，提高解决实际问题的能力具有重要意义。
二. 学情分析八年级的学生已经掌握了二次根式的基本知识和运算方法，对于本节课的内容，他们需要将已知的知识进行运用和拓展，学会如何进行二次根式的加减运算。
然而，学生在运算过程中可能会遇到一些困难，如根式的合并、系数的选择等，因此，在教学过程中，教师需要引导学生理解运算规律，帮助他们克服这些困难。
三. 说教学目标1.知识与技能：让学生掌握二次根式的加减运算法则，能够熟练地进行二次根式的加减运算。
2.过程与方法：通过实例讲解，让学生学会如何运用运算法则，提高解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的耐心和自信心，使他们在学习过程中感受到数学的美妙。
四. 说教学重难点1.教学重点：掌握二次根式的加减运算法则，能够正确进行二次根式的加减运算。
2.教学难点：理解二次根式加减运算中的系数选择和根式合并的方法。
五. 说教学方法与手段本节课采用讲授法、示范法、练习法等教学方法，结合多媒体课件和黑板，引导学生逐步掌握二次根式的加减运算。
六. 说教学过程1.导入新课：通过复习二次根式的性质和乘除运算，引出本节课的内容——二次根式的加减运算。
2.讲解新课：讲解二次根式的加减运算法则，并通过实例展示如何运用这些法则进行计算。
3.课堂练习：让学生独立完成一些二次根式的加减运算题目，巩固所学知识。
4.总结提升：对本节课的内容进行总结，强调运算法则和注意事项。
5.课后作业：布置一些有关的课后练习，让学生进一步巩固二次根式的加减运算。
七. 说板书设计板书设计如下：15.3 二次根式的加减运算1.同号相加，系数相加，根式不变；2.异号相减，系数相减，根式不变；3.合并同类项，系数相加减，根式不变。
冀教版数学八年级上册(教学设计)15.3《二次根式的加减运算》
《二次根式的加减运算》本小节的基础是学生已经掌握了把一个二次根式化简成最简二次根式的方法。
主要研究二次根式的加减运算法则和进一步完善二次根式的化简，可以对比整式加减法中，合并同类项的法则，将同类二次根式进行合并，加强了知识之间的联系，类比，是整式加减法的再发展，对提高运算能力，理解四则运算有着重要作用。
【知识与能力目标】1.了解二次根式(根号下仅限于数)的加减运算.2.会合并被开方数相同的二次根式,能进行二次根式的加减运算.【过程与方法目标】1.经历探索二次根式的加减运算法则的过程,培养学生的探究精神和合作交流的习惯.2.体会用类比的思想研究二次根式的加减运算法则,体验研究数学问题的常用方法:由特殊到一般,由简单到复杂.【情感态度价值观目标】1.教学中为学生创造大量的操作、思考和交流的机会,关注学生思考问题的过程,鼓励学生在探索规律的过程中从多个角度进行考虑.2.让学生品尝成功的喜悦,激发学生应用数学的热情,培养学生主动探索,敢于实践,善于发现的科学精神以及合作精神,树立创新意识.【教学重点】 二次根式的加减运算法则.【教学难点】 能正确地计算二次根式的加减法.【教师准备】 课件1~6.【学生准备】 复习同类项的有关知识.新课导入导入一:1.复习最简二次根式(1)怎样的二次根式叫做最简二次根式?(2)2与的实质区别是什么?2.复习整式的加减【课件1】计算下列各式.(1)2x+3x; (2)2x2-3x2+5x2; (3)y+2y+3y; (4)3a2-2a2+a2.说明:上面题目的计算,实际上就是我们以前学过的合并同类项,合并同类项的法则是:字母及其指数不变,系数相加减.[设计意图] 复习合并同类项的方法,为学生学习合并被开方数相同的二次根式做好铺垫. 导入二:【课件2】一个运动场要修两块长方形草坪,第一块草坪的长是10米,宽是米,第二块草坪的长是20米,宽也是米.你能告诉运动场的负责人要准备多大面积的草皮吗?问题:10+20等于多少?说明:学生回答,教师出示课题并说明研究该问题就是如何进行二次根式的加法运算.[设计意图] 从实际问题中抽象出二次根式的加法运算,指明本节课的学习内容.导入三:引语:这节课我们先来解决简单的问题,同学们注意抢答.提问:(1)2+3等于几?(2)呢?(3)呢?教师把问题一个一个给出,学生抢答.对于第(2)(3)小题的回答,教师先不要急于评价,让学生讨论、说理.[设计意图] 先抛出一个极其简单老套的问题,引起学生的不屑,但同时也会激发学生的兴趣;第(2)(3)小题,学生会有不同的看法,再度引起争议从而为更好地掌握二次根式的加减法打好基础.自主探究，构建新知活动一:二次根式的加减运算思路一1.试着做做【课件3】计算下列各式.(见课件）2.通过观察以上三道计算题,你联想到了什么?3.你能试着解决它们吗?。
冀教版初中八年级数学上册15-3二次根式的加减运算课件
解析 (1)∵|a-2 2|+ +b(c-53 )2=0,2 ∴a-2 2=0,b-5=0,c-3 =20, 解得a=2 2,b=5,c=3 .2 (2)以a,b,c为三边长能构成三角形.理由如下: 由(1)知a=2 2,b=5,c=3 .2 ∵2 2<3 <25,且5<5 =22 +32 , 2 ∴以a,b,c为三边长能构成三角形. 三角形的周长=5+5 2.
A.大长方形的长为6 3 B.大长方形的宽为5 3 C.大长方形的周长为11 3 D.大长方形的面积为90
解析 ∵小长方形的长为 2=73 ,宽3为 =212, 3 ∴大长方形的长为3 3+3 =36 ,大3 长方形的宽为3 +23 3 =5 3, ∴大长方形的周长是(6 3+5 )3×2=22 ,大3长方形的面积 为6 3×5 =390,故选C.
b与c 的d 差为 ,则3 的值ab为cd
.3 6
解析 因为最简二次根式a b与c 的d 和为5 ,所3以b=d=3, a+c=5,因为a b与c 的d 差为 ,所3以a-c=1,所以a=3,c=2,所 以 a=bcd=3 3. 3 2 3 6
10.(2024陕西榆林横山月考)已知 x是1最简二次根式,且与
5 可以合并,求x的值.
2
解析 5 = 10,由题意可知两个二次根式 与x 1 可以5
22
2
合并,∴x+1=10,∴x=9.
11.(2024贵州贵阳期中)计算: 1+8 + 27. 50 解:原式=3 2+3 +35 …2第1步 =8 2+3 …3 第2步 =(8+3) 2…第3 3步 =11 5.…第4步 (1)以上解答过程中,从 第3步 开始出现错误. (2)请写出本题的正确解答过程. 解析 (1)解答过程中,从第3步开始出现错误. (2)原式=3 2+3 +35 =82 +32 . 3
15.3 二次根式的加减运算 课件 2024-2025学年冀教版数学八年级上册
3. 二次根式的乘除法与二次根式的加减法的区别
知2－讲
运算 系数 被开 方数
化简
二次根式的乘除法 系数相乘除
二次根式的加减法 系数相加减
被开方数相乘除
被开方数不变
结果化为最简二次根式 先化为最简二次根
或整式
式，再合并
特别提醒
知2－讲
1. 化成最简二次根式后被开方数不相同的二次根式不
能合并，但是不能丢弃，它们也是结果的一部分.
第十五章 二次根式
15.3 二次根式的加减运算
感悟新知
知识点 1 可以合并的二次根式
知1－讲
1. 定义 将某些二次根式化成最简二次根式，如果被开方数 相同，那么这样的二次根式称为可以合并的二次根式 .
知1－讲
2. 合并的方法 合并可以合并的二次根式与整式合并同类项 类似，将根号外的因数或因式相加减，根指数和被开方数 不变，合并的依据是乘法分配律的逆向运用，即 a m± b m=(a±b) m( m ≥ 0) . 注意： 合并二次根式时要合并的是二次根式的系 数，而不是根号内的被开方数 .
知1－练
例2 [母题 教材 P98 例 1 ]合并二次根式： (1)3 2 +(－ 2 2 ) +5 2 ；
知1－练
(2)
1 2
3－2
3 +5
3.
解题秘方：合并被开方数相同的二次根式，把系
数相加减，根指数和被开方数不变 .
(1)3 2 +(－ 2 2 ) +5 2
知1－练
解：3 2 +(－ 2 2 ) +5 2 =( 3 － 2+5) 2 = 6 2 .
2. 根号外的因数就是这个二次根式的系数，二次根式
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几个二次根式化成最简二次根式以 后，如果被开方数相同，这几个二 次根式就叫做同类二次根式. 判断同类二次根式的关键是什么？
(1)化成最简二次根式;
(2)被开方数相同,根指数相同(都等于2).
1、下面给出4组根式（其中b＞0)
1 2 与 3 2
2 4ab与 ab 2
3 1 8与 1 2
4 45与 1
15.3 二次根式的加减运算
邱县实验中学 李兰华
学习目标：
❖ 了解同类二次根式的概念，会识别同类 二次根式。
❖ 经历二次根式的加减运算法则的形成过 程，感悟类比思想。
❖会进行二次根式的加减运算 。
一、观察下列单项式有什么共同特征。 -a2b 5a2b 2a2b a2b
所含字母相同，相同字母的指数也相同。
计算：
（1） 2 7 6 7
-4 7
（2） 80- 20+ 5
35
（3） 18+（ 98- 27）
10 2-3 3
（4）（
24 +
0.5）-（
18
6） 3
6+
2 4
练习 2
计算下列各式：
(1) 2 12 3 1 27 3
(2) ( 48 10 0.2) 3( 45 1) 3
解：(1) 2 12 3 1 27
注意:被开方数不相同的二次根式
(如 2 与 3)不能合并
初步应用 巩固知识
判断下列计算是否正确？为什么？ （1） 8- 3= 8-3 ； ×
（2） 4+ 9= 4+9 ；×
（3） 9 16= 9 16 ；√ （4） 75- 3=4 3 ． √
(5) a a b a (a b) a √
学以致用 练习1
称为同类项
二、合并同类项的法则 同类项的系数相加，所得的结果作为系
数，字母和字母的指数不变。
二次根式计算、化简的结果符合 什么要求？
（1）被开方数不含分母； 分母不含根号；
（2）被开方数中不含能开得尽 方的因数或因式.
化简下列二次根式，观察有什么共同特征？
……
经过化简 后，各根 式被开方 数相同。
例（1） 8 18 4 2
2 23 24 2
2 3 4 2
9 2
学以致用
(2)
8 0.5 ( 0.2 1 ) 32
(2) 8 0.5 ( 0.2 1 ) 32
2 2 1 ( 1 1 1) 2 5 42
2 2 2 5 2 258
21 2 5 85
二次根式加减运算的步骤: (1)把各个二次根式化成最简二次根式 (2)再把被开方数相同的二次根式合并.
3 4 3 33 3 0
(2) ( 48 10 0.2) 3( 45 1 ) 3
4 3 10 5 3(3 5 3 )
5
3ห้องสมุดไป่ตู้
4 32 59 5 3
5 3 11 5
创新训练
1、 2、
课堂小结
二次根式加减运算的步骤:
(1)把各个二次根式化成最简二次根式 (2)把各个同类二次根式合并. 注意：不是同类二次根式 的不能合并.
5
其中属于同类二次根式的有 D
A（1）（3） C（2）（4）
B（2）（3） D（1）（4）
合并同类二次根式：
如何合并 同类二次
根式?
2 3 3 3 （2+3）3 =5 3
5 6 6 6 （5-6）6= - 6
与合并同类项类似,把同类二次根式的系 数相加减,做为结果的系数,根号及根号内部 都不变.