金榜名师推荐高中数学北师大必修四同课异构练习 第一章 三角函数 一课时提升作业十一 含答案

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课时提升作业(十一)
函数y=Asin(ωx+φ)的
图像与性质(一)
(25分钟60分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.(2015·淮北高一检测)函数y=3sin的相位和初相分别为( )
A.-x+,
B.x+,
C.x-,-
D.x+,
【解析】选A.函数y=3sin的相位为-x+,初相为.
2.(2015·九江高一检测)由y=f(x)的图像向左平移个单位,再把所得图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到y=2sin的图像,则f(x)为
( ) A.2sin B.2sin
C.2sin
D.2sin
【解析】选B.将y=2sin图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍得到y=2sin,再将图像向右平移个单位,得到y=2sin.
【误区警示】本题容易出现将平移方向、倍数弄反的错误,应将图像逆向变换得到平移前的图像.
【补偿训练】将函数y=sinωx(ω>0)的图像向左平移个单位长度,平移后的图像如图所示,则y=sinωx(ω>0)的解析式是________.
【解析】将函数y=sinωx(ω>0)的图像向左平移个单位长度,
得到y=sin,即y=sin,
由图可知,函数y=sin(ωx+ω)在x=时取得最大值,
所以ω×+ω=2kπ+.
即ω=8k+2(k∈Z),
所以k=0时,ω=2,
所以y=sinωx(ω>0)的解析式是y=sin 2x.
答案:y=2sin2x
3.函数y=sin(ωx+φ)(x∈R,ω>0,0≤φ<2π)的部分图像如图,则( )
A.ω=,φ=
B.ω=,φ=
C.ω=,φ=
D.ω=,φ=
【解析】选C.由题意以及函数的图像,可知T=4×(3-1)=8,因为T=,所以ω=;
因为函数的图像经过(3,0),
所以0=sin,π+φ=π.且0≤φ<2π,
所以φ=.
4.(2015·全国卷Ⅰ)函数f(x)=cos(ωx+φ)的部分图像如图所示,则f(x)的单调递减区间为( )
A.(k∈Z)
B.(k∈z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
【解题指南】根据图像,利用五点法求出ω,φ的值,确定f(x)的解析式,求出f(x)的单调递减区间.
【解析】选D.由五点作图知,
解得ω=π,φ=,
所以f(x)=cos,
令2kπ<πx+<2kπ+π,k∈Z,
解得2k-<x<2k+,k∈Z,故f(x)的单调递减区间为(k ∈Z).
【补偿训练】函数y=sinωx(ω>0)的部分图像如图所示,点A,B是最高点,点C是最低点.若△ABC是直角三角形,则ω的值为( )
A. B. C. D.π
【解析】选A.函数的最大值为1,又△ABC是等腰直角三角形,故三角形AB边上的高为2,A与B的距离为4,即为最小正周期T,由=4得ω=.
5.若曲线y=Asinωx+a(A>0,ω>0)在区间上截直线y=2与y=-1所得的弦长相等且不为0,则下列对a和A的描述正确的是( ) A.a=,A> B.a=1,A>1
C.a=,A≤
D.a=1,A≤1
【解析】选A.由题意曲线y=Asinωx+a(A>0,ω>0)的图像关于直线y=a 对称,
又截直线y=2及y=-1所得的弦长相等,
所以,两条直线y=2及y=-1关于y=a对称,
a==,
又弦长相等且不为0,
故振幅A大于=,
A>,
故有a=,A>.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.将函数f(x)=2sin的图像上各点的横坐标缩小为原来的一半,纵坐标保持不变得到新函数g(x),则g(x)的最小正周期是______. 【解析】将函数f(x)=2sin的图像上各点的横坐标缩小为原来的一半,得到函数g(x)=2sin(2x-),所以g(x)的最小正周期是=π. 答案:π
7.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)的图像如图所示,则f=________.
【解析】由函数f(x)=2sin(ωx+φ)的图像可得·=-,解得ω=3,故f(x)=2sin(3x+φ).
因为正数图像过点,
故3×+φ=kπ,k∈Z,
故φ=-+kπ,k∈Z,
所以φ=,f(x)=2sin.
所以f=2sin=2sin
=2sin=.
答案:
8.在平面直角坐标系xOy中,直线y=1与函数y=3sin x(0≤x≤10)的
图像所有交点的横坐标之和为________.
【解析】因为y=3sin x的周期T==4,
所以当0≤x≤10时,其图像如下:
由图知,直线y=1与正弦曲线y=3sin x(0≤x≤10)相交于A,B,C,D,E,F6个点,其横坐标如图所示,
则x1+x2=2,x3+x4=10,x5+x6=18,
所以所有交点的横坐标之和为2+10+18=30.
答案:30
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.(2015·汉中高一检测)已知函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的最小正周期为,最小值为-2,图像过,求该函数的解析式.
【解析】因为函数的最小正周期为,
所以T==,即ω=3.
又因为函数的最小值为-2,
所以A=2,
所以函数解析式可写为y=2sin,
又因为函数图像过点,
所以有:2sin=0,
解得φ=kπ-.
因为|φ|<π,
所以φ=或-,
所以,函数解析式为:y=2sin或y=2sin(3x-).
10.(2015·湖北高考)某同学用“五点法”画函数f(x)=Asin(ωx+φ)在某一个周期内的图像时,列表并填入了部分数据,如表:
ωx+φ0 π2π
x
Asin(ωx+φ) 0 5 -5 0
(1)请将上表数据补充完整,并直接写出函数f(x)的解析式.
(2)将y=f(x)图像上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度,得到y=g(x)的图像.若y=g(x)图像的一个对称中心为,求θ的最小值.
【解析】(1)根据表中已知数据,得A=5,ω=2,φ=-.数据补全如表: ωx+φ0 π2π
x π
Asin(ωx+φ) 0 5 0 -5 0
且函数表达式为f(x)=5sin.
(2)由(1)知f(x)=5sin,
得g(x)=5sin.
因为y=sinx的对称中心为(kπ,0),k∈Z.
令2x+2θ-=kπ,k∈Z,
解得x=+-θ,k∈Z.
由于函数y=g(x)的图像关于点成中心对称,令+-θ=,k∈Z,
解得θ=-,k∈Z.由θ>0可知,
当k=1时,θ取得最小值.
【补偿训练】已知函数f(x)=sin(ω>0,x∈R)的最小正周期为π.
(1)求f.
(2)在下面给定的平面直角坐标系中,画出函数y=f(x)在区间
上的图像,并根据图像写出其在上的单调递减区间.
【解析】(1)依题意得=π,
解得ω=2,
所以f(x)=sin,
所以f
=sin
=sin cos-cos sin
=×-×
=.
(2)因为x∈,
所以2x-∈,
列表如下:
2x---π-0
x ---
f(x) 0 -1 0 1
画出函数y=f(x)在区间上的图像如下:
由图像可知函数y=f(x)在上的单调递减区间为,.
(20分钟40分)
一、选择题(每小题5分,共10分)
1.(2015·山东高考)要得到函数y=sin的图像,只需将函数y=sin4x的图像( )
A.向左平移个单位
B.向右平移个单位
C.向左平移个单位
D.向右平移个单位
【解题指南】对于y=Asin一类的图像的左右平移问题,一定要将函数变形为y=Asin[ω(x+)]再加以判断,即对x变化了个单位(左加右减).
【解析】选B.要得到y=sin=sin[4(x-)]的图像,只需将y=sin4x的图像向右平移个单位.
2.(2015·潍坊高一检测)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,
<,x∈R)在一个周期内的图像如图所示,则y=f(x)的图像可由函数y=cosx的图像(纵坐标不变),________得到( )
A.先把各点的横坐标缩短到原来的倍,再向左平移个单位长度
B.先把各点的横坐标缩短到原来的倍,再向右平移个单位长度
C.先把各点的横坐标伸长到原来的2倍,再向左平移个单位长度
D.先把各点的横坐标伸长到原来的2倍,再向右平移个单位长度【解析】选B.由图可知A=1,T=4×=π,
故ω=2,则f=sin,
又图像过,故sin=1,
故由+φ=,得φ=,
故f=sin,
又f=sin=cos
=cos,
故将函数y=cosx的图像先把各点的横坐标缩短到原来的倍,再向右平
移个单位长度得到f(x)=sin的图像.
二、填空题(每小题5分,共10分)
3.将函数f(x)=2cos的图像向左平移个单位,再向下平移1个单位,得到函数g(x)的图像,则g(x)的解析式为______.
【解析】将函数f(x)=2cos的图像向左平移个单位,
得到y=2cos=2cos,
再向下平移1个单位,得到函数
g(x)=2cos-1的图像,
所以g(x)的解析式为g(x)=2cos-1.
答案:g(x)=2cos-1
4.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ),x∈R(其中A>0,ω>0,-<φ<),其部分图像如图所示,将f(x)的图像纵坐标不变,横坐标变成原来的2倍,再向右平移1个单位得到g(x)的图像,则函数g(x)的解析式为________.
【解析】由函数图像可知A=1,=2,
所以T=8,
所以ω===,
当x=1时,f(x)得最大值1,
所以1=sin,
又因为-<φ<,
所以φ=,
所以f(x)=sin,将f(x)的图像纵坐标不变,横坐标变成原来的2倍得y=sin,再向右平移1个单位得到g(x)=sin=sin(x+1)的图像.
答案:g(x)=sin(x+1)
三、解答题(每小题10分,共20分)
5.(2015·沈阳高一检测)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图像如图所示.
(1)求函数f(x)的表达式.
(2)若f=,求tanα的值.
【解析】(1)根据题意,得
因为函数的最大值为1,最小值为-1,所以A=1,
因为函数的最小正周期为T,满足=-=,
所以T=π,得=π,
解之得ω=2,
因为当x=时,函数达到最大值为1,
所以f()=sin(+φ)=1,
可得+φ=+2kπ(k∈Z),
因为|φ|<,
所以取k=0,得φ=,
因此,函数f(x)的表达式为f(x)=sin.
(2)因为f(x)=sin,
所以f(α+)=sin(2α+)=,
可得cos2α=,
因为cos2α=cos2α-sin2α=,
cos2α+sin2α=1.
所以cos2α=,sin2α=,
可得tan2α==.
因为α∈(0,),
所以tanα=(舍负).
【补偿训练】已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)在一个周期内的图像如图所示,
(1)求f(x)的解析式.
(2)求f+f+f+…+f的值.
【解题指南】根据图示信息求出解析式,再根据函数在一个周期内的和的情况求和.
【解析】(1)由图像可知A=2,
周期T=2=π,
所以ω===2,
则f(x)=2sin(2x+φ),
由图像过点,
得2sin=2,
即sin=1,
取+φ=得φ=,
故f(x)=2sin.
(2)由(1)可知f(x)的周期为π,
因为f+f+f+f
=1--1+=0,
所以f+f+f+…+f
=0×503+f+f+f
=f+f+f
=1--1=-.
6.将函数y=lgx的图像向左平移一个单位长度,可得函数f(x)的图像;将函数y=cos的图像向左平移个单位长度,可得函数g(x)的图像.
(1)在同一直角坐标系中画出函数f(x)和g(x)的图像.
(2)判断方程f(x)=g(x)解的个数.
【解题指南】解答本题(1)利用平移变换法画出两个函数的图像.(2)根据弦函数的“有界性”及lg10=1确定两个函数图像的交点个数,即为方程f(x)=g(x)解的个数.
【解析】函数y=lgx的图像向左平移一个单位长度,
可得函数f(x)=lg(x+1)的图像,即图像C1;函数y=cos的图像向左平移个单位长度,可得函数g(x)=cos=cos2x的图像,即图像C2.
(1)画出图像C1和C2如图.
(2)因为f(9)=lg10=1,
所以由图像可知:两个图像共有5个交点.
即方程f(x)=g(x)解的个数为5.
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