24.3.4相似三角形的应用1
24.3.4相似三角形的应用(1)
24.3.4相似三角形的应用（1）例1、小军想出了一个测量建筑物高度的方法:在地面上C处平放一面镜子,并在镜子上做一个标记,然后向后退去,直至看到建筑物的顶端A在镜子中的象与镜子上的标记重合.如果小军的眼睛距地面1.65m,BC、CD的长分别为60m、3m,求这座建筑物的高度.ABCDEαα例2、如图，一条河的两岸有一段是平行的，在河的南岸边每隔5米有一棵树，在北岸边每隔50米有一根电线杆．小丽站在离南岸边15米的点处看北岸，发现北岸相邻的两根电线杆恰好被南岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有三棵树，则河宽为 米．例3、如图,甲楼AB高18米,乙楼坐落在甲楼的正北面,已知当地冬至中午12时,物高与影长的比是1: 0.5 ,已知两楼相距21米,那么甲楼的影子落在乙楼上有多高?例4、如图，有一路灯杆AB(底部B不能直接到达)，在灯光下，小明在点D处测得自己的影长DF＝3m，沿BD方向到达点F处再测得自己得影长FG＝4m，如果小明得身高为1.6m，求路灯杆AB的高度。
ADFBCEG例5、如图，两颗树的高度分别为AB＝6m，CD＝8m，两树的根部间的距离AC＝4m，小强沿着正对这两棵树的方向从左向右前进，如果小强的眼睛与地面的距离为1.6m，当小强与树AB的距离小于多少时，就不能看到树CD的树顶D？ACHDBGFEPQ盲区例6、（2011陕西）一天，某校数学课外活动小组的同学们，带着皮尺去测量某河道因挖沙形成的“圆锥形坑”的深度，来评估这些深坑对河道的影响．如图是同学们选择（确保测量过程中无安全隐患）的测量对象，测量方案如下：①先测量出沙坑坑沿圆周的周长约为34.54米；②甲同学直立于沙坑坑沿圆周所在平面上，经过适当调整自己所处的位置，当他位于点B时，恰好他的视线经过沙坑坑沿圆周上的一点A看到坑底S（甲同学的视线起点C与点A、点S三点共线）．经测量：AB=1.2米，BC=1.6米．根据以上测量数据，求“圆锥形坑”的深度（圆锥的高）．（π取3.14，结果精确到0.1米）例7.在中国地理图上，上海、香港、台湾所在的三个点构成一个三角形，大陆和台湾实现直航是两岸人民的共同愿望，但由于种种原因，过去从上海起飞的飞机必须绕道香港，再到台北。
相似三角形的性质和实际应用
相似三角形的性质和实际应用相似三角形是初中数学中一个重要的概念，它有着广泛的实际应用。
本文将介绍相似三角形的性质以及在实际生活中的应用。
一、相似三角形的性质相似三角形是指具有相同的形状但大小不同的三角形。
相似三角形的性质有以下几点：1.对应角相等：如果两个三角形的三个内角分别对应相等，则它们是相似三角形。
例如，如果∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，则△ABC∽△DEF。
2.对应边成比例：相似三角形中，对应边的长度成比例。
即如果两个三角形的两个对应边的比值相等，则它们是相似三角形。
例如，如果AB/DE=BC/EF=AC/DF，则△ABC∽△DEF。
3.周长比例：相似三角形的周长之比等于对应边长度之比。
设两个相似三角形的周长分别为L1和L2，对应边长度之比为k，则有L1/L2=k。
4.面积比例：相似三角形的面积之比等于对应边长度平方的比值。
设两个相似三角形的面积分别为S1和S2，对应边长度之比为k，则有S1/S2=k²。
二、相似三角形的实际应用1.测量高度：相似三角形的性质可以在测量高度时应用。
例如，在测量一座高楼的高度时，可以利用相似三角形的原理，通过测量自己的身高及影子的长度，然后利用身高与影子的长度之比，以及高楼与其影子的长度之比，计算出高楼的高度。
2.影视特技：在电影、电视剧等影视制作中，有时需要通过特技手法来表现出高楼倒塌等场景。
这时，可以利用相似三角形的性质，制作比例缩小的模型，然后通过摄影机的角度选择和镜头拉远，使得模型在电影中看起来像真实的大楼倒塌一样。
3.地图测量：在地图制作和测量工作中，也经常使用相似三角形的原理。
通过测量地面上的一段距离和其在地图上的投影长度，可以得到地面与地图的比例，从而便于进行地图上其他地点的距离估算。
4.影像重建：在计算机视觉和计算机图形学领域，相似三角形的概念也被广泛应用。
通过计算图像中物体的相似三角形关系，可以进行三维模型的重建，实现计算机生成的虚拟现实场景。
相似三角形的应用
相似三角形的应用在几何学中，相似三角形是一种非常重要的概念。
相似三角形是指具有相同形状但大小不同的三角形。
本文将探讨相似三角形的应用，并介绍在现实生活中如何使用相似三角形进行测量和求解问题。
一、地图测量地图是我们在日常生活中常用的工具之一。
地图上的距离和大小都是通过测量获得的。
由于地球是一个球体，所以将其展示在平面地图上会引起形状的改变。
利用相似三角形的性质，我们可以通过测量地图上的两条边和它们对应的实际距离，来计算其他位置的距离。
例如，假设我们知道地图上两个城市之间的距离为10厘米，而实际距离为100公里。
如果我们需要计算其他两个城市之间的距离，可以利用相似三角形的比例关系，设这两个城市之间的距离为x公里，则可以得到以下比例关系：10厘米/100公里 = x厘米/x公里。
通过解这个比例关系，我们就可以计算出实际距离。
二、建筑测量在建筑领域，使用相似三角形可以帮助我们测量高处的物体或建筑物的高度。
如果我们无法直接测量高度，但可以测量到某个位置的斜边长度和水平距离，那么我们可以利用相似三角形的性质来计算物体的高度。
以测量一栋建筑物的高度为例，我们可以在地面上选取一个合适的位置，测量从这个位置到建筑物顶部的斜边长度为10米，而与地面垂直的水平距离为5米。
我们可以设建筑物的高度为h米，则可以得到相似三角形的比例关系：10米/5米= h米/x米。
通过解这个比例关系，我们就可以计算出建筑物的高度。
三、影视特效影视特效制作中，相似三角形也起到了关键的作用。
例如，在拍摄特技镜头时，为了保证画面的连贯性，摄影师和特效制作人员需要准确计算出角色与背景之间的相对位置。
通过利用相似三角形的性质，可以测量出摄影机与角色的距离和角度，进而确定背景的大小和位置。
这样，在特效制作时，就可以根据这些信息来合成或添加特效，使得特技镜头看起来更加真实和自然。
总结：相似三角形的应用非常广泛，不仅限于地图测量、建筑测量和影视特效等领域。
相似三角形的运用
相似三角形的运用
相似三角形是指两个三角形对应角相等，对应边成比例的三角形。
相似三角形的运用在几何学中有广泛的应用，以下是其中的几个例子：
1. 三角形相似的性质：如果两个三角形相似，则它们的对应边成比例。
即如果三角形ABC和DEF相似，则有AB/DE=BC/EF=AC/DF。
2. 相似三角形的性质：相似三角形对应角相等，对应边成比例。
这个性质可以用来证明三角形的相似性，也可以用来求解三角形中的各种量，如角度、边长、面积等。
3. 相似三角形的应用：相似三角形的应用非常广泛。
例如，在建筑设计中，相似三角形的性质可以用来确定建筑物的比例关系；在地图制图中，相似三角形的性质可以用来确定地图上不同地区的比例关系；在物理学中，相似三角形的性质可以用来解决力学问题，如斜面滑动、抛体运动等。
总之，相似三角形是几何学中非常重要的概念，它不仅可以用来证明三角形的相似性，还可以用来解决各种实际问题，是几何学中的重要工具之一。
相似三角形的数学原理与应用
相似三角形的数学原理与应用相似三角形是指具有相似形状的三角形，它们的相应角度相等，而对应边的比例也相等。
相似三角形在几何学和数学中具有重要的原理和广泛的应用。
本文将详细介绍相似三角形的数学原理以及其在实际问题中的应用。
一、相似三角形的数学原理1. AAA相似原理AAA相似原理即两个三角形的对应角度相等，则这两个三角形相似。
2. AA相似原理AA相似原理即两个三角形的一个角的对应边成比例，则这两个三角形相似。
3. SSS相似原理SSS相似原理即两个三角形的对应边成比例，则这两个三角形相似。
二、相似三角形的应用1. 比例问题相似三角形的数学原理中，所涉及的比例关系在实际问题中具有广泛的应用。
比如，在测量高楼的高度时，可以利用相似三角形的原理，通过测量阴影的长度来计算出实际高楼的高度。
2. 图形的放缩相似三角形可以用于图形的放缩。
比如，地图的缩放是一种常见的应用，当我们需要把一张地图缩小或者放大时，可以利用相似三角形的原理来进行比例计算。
3. 几何问题相似三角形在解决几何问题时也起到了重要的作用。
如计算海浪的高度、测量高塔的高度等。
利用相似三角形的原理，可以通过测量一段已知的长度和相应的角度，来计算未知长度的问题。
4. 分形图形分形图形是一种具有自相似性质的图形，相似三角形也常出现在分形图形的构造中。
例如，科赫曲线就是利用相似三角形逐步放大和迭代，构成一个无限细分的曲线。
5. 三角函数的应用相似三角形的概念对于三角函数和三角方程的求解也具有重要意义。
例如，在解决三角方程sin x = cos x时，可以利用相似三角形的原理，将其转化为简化形式进行求解。
三、总结相似三角形的数学原理是几何学中的重要概念，它描述了具有相似形状的三角形之间的比例关系。
通过应用相似三角形，我们可以解决各种实际问题，如测量、图形的放缩、几何问题、分形图形以及三角函数的应用等。
掌握相似三角形的数学原理，对于提高几何学和数学解题能力具有重要意义。
《相似三角形的应用》 讲义
《相似三角形的应用》讲义一、相似三角形的定义和性质相似三角形是指对应角相等，对应边成比例的两个三角形。
如果两个三角形相似，那么它们的对应边的比叫做相似比。
相似三角形具有以下重要性质：1、对应角相等：相似三角形的对应角大小相等。
2、对应边成比例：相似三角形的对应边的长度之比等于相似比。
3、周长比等于相似比：两个相似三角形的周长之比等于它们的相似比。
4、面积比等于相似比的平方：相似三角形的面积之比等于相似比的平方。
这些性质是解决相似三角形应用问题的基础，我们需要熟练掌握并能够灵活运用。
二、相似三角形在测量中的应用1、测量高度在实际生活中，我们经常需要测量一些物体的高度，如大树、高楼等。
当直接测量高度有困难时，可以利用相似三角形的原理来解决。
例如，要测量一棵大树的高度，可以在与大树底部水平的地面上选择一点 A，然后在 A 点处直立一根标杆 CD，测量出标杆的长度 CD 以及标杆顶端 D 与树顶 E 的仰角∠DAE 和∠DBC。
由于标杆与地面垂直，大树也与地面垂直，所以三角形 ADE 和三角形 ABC 相似。
根据相似三角形对应边成比例，可得：AB ／ AD ＝ BC ／ DE已知 AB、AD、BC 的长度，就可以求出大树的高度 DE。
2、测量距离相似三角形还可以用于测量无法直接到达的两点之间的距离。
比如，要测量一条河的宽度。
可以在河的一侧选择一点 A，在对岸选择一点 B，然后在 A 点所在的岸边选择另一点 C，使得 AC 与河岸垂直。
再在 AC 上选择一点 D，使得∠ADB ＝∠ABC。
此时三角形ABD 和三角形 ABC 相似。
通过测量 AC、AD 的长度以及∠ADB 的度数，就可以根据相似三角形的性质求出河的宽度 AB。
三、相似三角形在几何证明中的应用在几何证明题中，常常会遇到需要证明两个三角形相似的情况。
这时，我们需要根据已知条件寻找三角形相似的条件。
常见的证明三角形相似的方法有：1、两角对应相等的两个三角形相似。
24.3.4相似三角形的应用作业3
（第10题）BA8题A 时B 时相似三角形的应用(1)作业 一、选择题1、一根1.5米长的标杆直立在水平地面上,它在阳光下的影长为2.1米；此时一棵水杉树的影长为10.5米,这棵水杉树高为( )A.7.5米B.8米C.14.7米D.15.75米2、晚上，小华出去散步，在经过一盏路灯时，他发现自己的身影是（ ） A.变长 B.变短 C.先变长后变短 D.先变短后变长3、要测量古塔的高度,下面方法不可取的是( )A.利用同一时刻物体与其影长的比相等来求B.利用直升飞机进行实物测量C.利用镜面反射,借助于三角形相似来求D.利用标杆,借助三角形相似来求 4、夜晚在亮有路灯的路上，若想没有影子，你应该站的位置是（ ） A.路灯的左侧 B.路灯的右侧 C.路灯的下方 D.以上都可以 5.趣小组为测量学校旗杆AC 的高度，在点F 处竖立一根长为1.5米的标杆DF ，如图所示，量出DF 的影子EF 的长度为1米，再量出旗杆AC 的影子BC 的长度为6米，那么旗杆AC 的高度为 （ ）（A ）6米 （B ）7米 （C ）8.5米 （D ）9米5题 6题 7题二、填空题6.如图，为了测量某棵树的高度，小明用长为2m 的竹竿做测量工具，移动竹竿，使竹竿、树的顶端的影子恰好落在地面的同一点.此时，竹竿与这一点距离相距6m ，与树相距15m ，则树的高度为_________m.7．如图，小明在A 时测得某树的影长为2m ，B 时又测得该树的影长为8m ，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为_____m.8.小青在校园内发现：旁边一棵树在阳光下的影子和她本人的影子在同一直线上，树顶的影子和她头顶的影子 恰好落在地面的同一点，同时还发现她站立于树影的中点（如图所示）．如果小青的身高为1.65米，由此可推断出树高是_______米． 三、解答题9、小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网5米的位置上，求球拍击球的高度h.(设网球是直线运动)10、为了测量路灯（OS ）的高度,把一根长1.5米的竹竿（AB ）竖直立在水平地面上,测得竹竿的影子（BC ）长为1米,然后拿竹竿向远离路灯方向走了4米（BB'）,再把竹竿竖立在地面上, 测得竹竿的影长（B'C'）为1.8米,求路灯离地面的高度.h S A CB B 'OC 'A '。
课件相似三角形的应用(多场景)
课件相似三角形的应用(多场景)课件：相似三角形的应用一、引言相似三角形是几何学中的重要概念，广泛应用于日常生活和工程实践。
相似三角形的应用不仅体现在数学领域，还涉及物理学、建筑学、地理学等多个领域。
本课件旨在介绍相似三角形的基本概念及其在不同领域的应用，帮助大家更好地理解相似三角形的实用价值。
二、相似三角形的基本概念1.相似三角形的定义：如果两个三角形的对应角相等，且对应边成比例，则这两个三角形相似。
2.相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边成比例，对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都相等。
3.判定相似三角形的方法：AA（角角）相似定理、SAS（边角边）相似定理、SSS（边边边）相似定理。
三、相似三角形在数学领域的应用1.解直角三角形：利用相似三角形的性质，可以求解直角三角形中的未知边长和角度。
2.求解相似多边形：在解决多边形问题时，相似三角形的应用可以帮助我们求解多边形的边长、面积等几何量。
3.解析几何：在解析几何中，相似三角形的应用可以帮助我们求解直线、圆等几何图形的方程。
四、相似三角形在物理学领域的应用1.测量不规则物体的体积：利用相似三角形，可以求解不规则物体的体积，如测量岩石、木材等。
2.测量距离：在物理学实验中，相似三角形的应用可以帮助我们测量不易直接测量的距离，如测量地球到月球之间的距离。
3.解析力学：在解析力学中，相似三角形的应用可以帮助我们求解力的分解、力的合成等问题。
五、相似三角形在建筑学领域的应用1.设计建筑结构：相似三角形的应用可以帮助建筑师设计出稳定、美观的建筑结构。
2.测量建筑物的尺寸：在建筑物的施工过程中，相似三角形的应用可以帮助测量建筑物的尺寸，确保施工质量。
3.求解建筑物的高度：利用相似三角形，可以求解建筑物的高度，如测量塔的高度、建筑物之间的距离等。
六、相似三角形在地理学领域的应用1.测量地球表面距离：相似三角形的应用可以帮助测量地球表面两点之间的距离，如测量城市之间的距离。
初中数学知识归纳相似三角形的应用
初中数学知识归纳相似三角形的应用相似三角形是初中数学中重要的概念和应用之一。
在几何学中，相似三角形是指具有相同形状但大小不同的两个或多个三角形。
本文将归纳相似三角形的应用，以帮助初中数学学习者更好地理解和运用这一知识点。
一、相似三角形的判定在应用相似三角形之前，我们首先需要学习如何判定两个三角形是否相似。
对于两个三角形而言，如果它们对应的内角相等，并且对应的边成比例，那么这两个三角形就是相似三角形。
具体来说，可以利用下列方法判定两个三角形的相似性：1. SSS判定法：如果两个三角形的三条边分别成比例，那么这两个三角形是相似的。
2. SAS判定法：如果两个三角形的一个角相等，并且两个角的对应边成比例，那么这两个三角形是相似的。
3. AA判定法：如果两个三角形的两个角分别相等，那么这两个三角形是相似的。
二、相似三角形的比例关系相似三角形的一个重要性质是对应边的比例关系。
设有两个相似三角形，它们的对应边长度分别为a、b、c和A、B、C，那么可以得到以下比例关系：1. 边比例关系：a/A = b/B = c/C2. 高比例关系：相似三角形的高与对应边成比例，即三角形的高与底边之间的比值相等。
三、相似三角形的应用相似三角形的应用十分广泛，下面将介绍相似三角形在几何学中的常见应用：1. 测量高度和距离：通过相似三角形的高比例关系，可以利用已知的三角形高度和距离，计算出未知的高度和距离。
这在实际生活中的测量和计算中具有重要意义，如测量建筑物的高度、飞机的高度和距离等。
2. 建模和缩放：在建模过程中，我们可以通过相似三角形将现实世界的物体缩小或放大，并保持其形状不变。
这种方法常用于制作模型、设计蓝图和三维计算机图形等领域。
3. 解决实际问题：相似三角形的应用也可以帮助求解实际生活中的问题。
例如，在日常生活中使用地图导航时，我们可以利用地图上的比例尺和相似三角形的原理，推算出实际距离与地图距离之间的比例关系。
4. 定比分点：相似三角形的比例关系还可以用于求解点的定比分点问题。
相似三角形应用举例
相似三角形应用举例在我们的日常生活和学习中，相似三角形的应用无处不在。
相似三角形是指对应角相等，对应边成比例的两个三角形。
通过利用相似三角形的性质，我们可以解决许多实际问题，下面就让我们一起来看看一些具体的例子。
一、测量物体的高度假设我们想要测量一棵大树的高度，但又无法直接测量。
这时候，相似三角形就派上用场了。
我们可以在同一时刻，在大树旁边立一根已知长度的杆子，然后分别测量杆子的影子长度和大树的影子长度。
因为在同一时刻，太阳光线的角度是相同的，所以杆子和它的影子以及大树和它的影子分别构成了两个相似三角形。
假设杆子的高度为h1，杆子影子的长度为 s1，大树影子的长度为 s2，大树的高度为 h2。
根据相似三角形的性质，我们可以得到：h1 ／ s1 ＝ h2 ／ s2通过已知的 h1、s1 和 s2，就可以计算出大树的高度 h2。
例如，杆子高度为2 米，影子长度为15 米，大树影子长度为9 米。
那么：2 ／ 15 ＝ h2 ／ 915h2 ＝ 2 × 915h2 ＝ 18h2 ＝ 12 米所以，这棵大树的高度约为 12 米。
二、计算河的宽度当我们面对一条河流，想要知道它的宽度，但又无法直接跨越测量时，相似三角形同样能帮助我们解决问题。
我们可以在河的一侧选择一个点A，然后在河的对岸选择一个点B，使得 A、B 两点与河岸基本在同一直线上。
接着，在河的这一侧，沿着河岸选定一个点 C，使得 AC 垂直于河岸，并测量出 AC 的长度。
然后，我们再沿着 AC 的方向向前走一段距离，到达点 D，使得点 D、A、B 三点在同一直线上，并且测量出 CD 的长度。
由于三角形 ABC 和三角形 ADC 有一个共同的角∠A，并且∠ACB＝∠ACD ＝ 90°，所以这两个三角形相似。
假设河宽为AB ＝x，AC ＝a，CD ＝b。
根据相似三角形的性质，我们有：AC ／ AB ＝ CD ／ AC即 a ／ x ＝ b ／ a通过已知的 a 和 b，就可以计算出河的宽度 x。
相似三角形的性质及其应用
4.4相似三角形的性质及其应用（1）教学目标：1、经历相似三角形性质“相似三角形对应高线、对应中线、对应角平分线之比等于相似比”“相似三角形的周长之比等于相似比”和“相似三角形的面积之比等于相似比的平方”的探究过程.2、掌握“相似三角形对应高线、对应中线、对应角平分线之比等于相似比”“相似三角形的周长之比等于相似比”和“相似三角形的面积之比等于相似比的平方”的两个性质.3、会运用上述两个性质解决简单的几何问题.重点与难点：1、本节教学的重点是关于相似三角形的周长和面积的两个性质及对应线段的性质.2、相似三角形的性质的证明，要用到相似三角形的判定及性质，过程比较复杂，是本节教学的难点.知识要点：三角形相似的条件：1、相似三角形的对应角相等，对应边成比例.2、相似三角形对应高线、对应中线、对应角平分线之比等于相似比.3、相似三角形的周长比等于相似比；相似三角形的面积比等于相似比的平方. 重要方法：1、相似三角形的相似比等于面积比的算术平方根.2、相似三角形中的相似比和面积比的关系，应注意相似三角形这个前提，否则不成立.教学过程：一、问题情境某施工队在道路拓宽施工时遇到这样一个问题，马路旁边原有一个面积为100平方米，周长为80米的三角形绿化地，由于马路拓宽绿地被削去了一个角，变成了一个梯形，原绿化地一边AB的长由原来的30米缩短成18米.现在的问题是:被削去的部分面积有多大？它的周长是多少？1、如图，4 ×4正方形网格看一看：ΔABC与ΔA′B′CΔABC与ΔA′B′C′的相似比是多少？（ 2ΔABC与ΔA′B′C′的周长比是多少? （ 2想一想：关系？结论：相似三角形的周长比等于相似比；相似三角形的面积比等于相似比的平方验一验：是不是任何相似三角形都有此关系呢？你能加以验证吗？已知：如图4-24,△ABC∽△A′B′C′，且相似比为k.求证：△ABC的周长△A′B ′C ′的周长 ＝k ，△ABC的面积△A′B ′C ′的面积＝k 2 例题已知：如图，△ABC ∽ △A ′B ′′的相似比是k,AD 、A ′D ′是对应高。
相似三角形及其应用
相似三角形及其应用相似三角形是指两个或多个三角形的对应角度相等，并且对应的边长成比例。
在几何学中，相似三角形是一个重要的概念，具有广泛的应用。
本文将介绍相似三角形的性质以及它在实际问题中的应用。
一、相似三角形的性质1. AA相似定理：如果两个三角形的两个角分别相等，则这两个三角形相似。
2. SSS相似定理：如果两个三角形的三条边对应成比例，则这两个三角形相似。
3. SAS相似定理：如果两个三角形的两边成比例，且包含这两边的夹角相等，则这两个三角形相似。
4. 相似三角形中对应边的比例关系：如果三角形ABC与三角形DEF相似，那么AB与DE的比例等于AC与DF的比例，BC与EF的比例等于AC与DF的比例，AB与DE的比例等于BC与EF的比例。
二、相似三角形的应用1. 测量难以直接获取的距离：通过相似三角形的比例关系，可以利用已知的距离和长度来计算无法直接测量的距离和长度。
例如，在实际测绘中，可以通过测量一棵树的阴影以及测量人的身高和阴影长度，来计算树的高度。
2. 解决高空物体的测量问题：在很多时候，无法直接测量高空物体的高度，但可以通过相似三角形的比例关系来间接计算。
比如，在测量高楼的高度时，可以通过测量建筑物的阴影长度以及测量阴影与高楼的投影角度，来计算出高楼的实际高度。
3. 三角测量法的应用：在导航、航海和地理测量等领域，三角测量法是一种常用的测量技术。
这种方法利用相似三角形的性质，通过测量三角形的边长和角度来计算未知的长度和距离。
4. 建筑工程中的应用：在建筑工程中，相似三角形的概念经常被应用于设计、施工和测量。
通过相似三角形的比例关系，可以确定建筑物的尺寸、高度和角度，保证工程的准确性和稳定性。
5. 几何模型的相似：在计算机图形学和动画制作中，相似三角形的概念被广泛应用。
通过构建相似的几何模型，可以实现图形的放大、缩小和形变，从而实现各种特效和动画效果。
总结：相似三角形是几何学中一个重要的概念，用于描述两个或多个三角形的形状和尺寸关系。
《相似三角形的应用》 讲义
《相似三角形的应用》讲义一、相似三角形的定义与性质相似三角形是指对应角相等，对应边成比例的两个三角形。
相似三角形具有以下重要性质：1、对应角相等：如果两个三角形相似，那么它们的对应角大小相等。
2、对应边成比例：相似三角形的对应边长度之比相等。
3、周长比等于相似比：两个相似三角形的周长之比等于它们的相似比。
4、面积比等于相似比的平方：相似三角形的面积之比等于相似比的平方。
二、相似三角形的判定方法1、两角对应相等的两个三角形相似。
2、两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。
3、三边对应成比例的两个三角形相似。
三、相似三角形在实际生活中的应用1、测量高度在测量一些无法直接测量高度的物体时，如大树、高楼等，可以利用相似三角形的原理。
例如，要测量一棵大树的高度，可以在与大树底部水平的位置，立一根已知长度的标杆，然后测量标杆的影子长度和大树的影子长度。
由于太阳光线是平行的，所以标杆和大树与各自影子构成的三角形相似。
设标杆长度为 a，标杆影子长度为 b，大树影子长度为 c，大树高度为 h，则根据相似三角形的性质可得：a/b ＝ h/c，从而可以计算出大树的高度 h ＝ ac/b。
2、测量距离在测量一些无法直接到达的距离时，也可以运用相似三角形。
比如，要测量一条河流的宽度，在河的一侧选择一个点 A，然后在对岸选择一个能够直接到达 A 点的点 B，接着在河的这一侧再选一点 C，使得AC 垂直于河岸。
测量 AC 和 BC 的长度，以及角 BAC 的大小。
因为三角形 ABC 和三角形 ABD（D 为过点 C 作与 AB 平行的线与对岸的交点）相似，所以可以通过相似三角形的性质计算出河流的宽度 BD。
3、计算角度在一些几何问题中，通过相似三角形可以计算出某些角度的大小。
例如，在一个复杂的图形中，如果能够找出相似三角形，根据已知角的大小和相似三角形对应角相等的性质，就可以求出其他角的度数。
4、地图比例尺地图上的比例尺也是基于相似三角形的原理。
相似三角形的应用
相似三角形的应用
怎样测量这些非常 高大物体的高度？ 世界上最高的楼 ——台北101大楼
怎样测量河宽？
世界上最宽的河——亚马孙河
例题
古希腊数学家、天文学 家泰勒斯利用相似三角形的 原理，测量金字塔的高度.
测高
O
O′ B A B′
例题
A′
OAB
O
∽ O ' A ' B '
O′
.
B
B′
A (A ′)
A C
E
A
D BDB来自B DC EE
C
A
课堂小结
1.相似三角形的应用主要有两个方面： （1） 测高 （不能直接使用皮尺或刻度尺量的） 测量不能到达顶部的物体的高度，通常用 “在同一时刻物高与影长成比例”的原理解决. （2） 测距 （不能直接测量的两点间的距离） 测量不能到达两点间的距离,常构造相似三 角形求解.
抢答
怎样测量旗杆的高度?
Ｏ
Ｏ′ 1.6 m
6m Ａ Ｂ Ａ′
1.2m Ｂ′
知识要点
测高的方法
测量不能到达顶部的物体的高度，通 常用“在同一时刻物高与影长成正比例” 的原理解决. 物1高 ：物2高 = 影1长 ：影2长
一题多解
还可以有其他方法测量吗？
B
E
┐ F 平面镜 ┐ O
A
利用三角形相似可以解决一些不能 直接测量的物体的长度的问题.
例题
A
求河宽?
B
C D
E
ABD
∽ ECD
在一边河沿选定一个目 标A，另一边河沿选定B、C, 在河岸选点D、E,使DE⊥AD, 测量DE、BC、BD的长度。 即可求河宽AB的值。
数学相似三角形应用举例
数学相似三角形应用举例相似三角形是指具有相似形状但不一定相等大小的三角形。
数学中，在相似三角形之间存在着各种有意义的关系，这些关系在实际中有广泛的应用。
下面我将为大家举例说明相似三角形的应用。
首先，相似三角形在地图比例尺的确定中起到了重要的作用。
地图上的距离是实际距离的缩放版本，而这个缩放比例就是通过相似三角形来确定的。
我们可以通过测量地图上两个地点的距离，然后测量这两个地点的实际距离，通过相似三角形的比例关系，就可以计算出地图的比例尺，从而准确地测量其他地点的距离。
其次，相似三角形在工程测量中也有广泛的应用。
例如，在建筑设计中，我们常常需要测量高楼大厦的高度。
然而，直接测量高楼大厦的高度是非常困难的，而且也不安全。
这时，我们可以利用相似三角形的原理。
我们可以在地面上选择一个安全的位置，测量出到高楼大厦的距离和自己的高度，然后再测量出到高楼大厦顶部的夹角。
通过相似三角形的比例关系，可以计算出高楼大厦的高度。
此外，相似三角形还可以用于计算塔尖的高度。
在船舶导航中，我们需要确定灯塔的高度，以便进行航行计划。
然而，由于灯塔通常会建在陡峭的悬崖上，直接测量灯塔的高度非常困难。
这时，我们可以借助相似三角形的原理。
我们可以在海面上选择一个远离灯塔的位置，测量出到灯塔的距离和自己的水平高度，然后再测量出到灯塔塔尖的仰角。
通过相似三角形的比例关系，可以计算出灯塔的高度。
最后，相似三角形还在数学教育中有着重要的应用。
通过相似三角形，我们可以对学生进行数学思维的培养和训练。
让学生通过实际问题的解决，去发现数学中的规律和关系，培养学生的逻辑思维能力和创新能力。
总之，相似三角形在地图比例尺确定、工程测量、船舶导航和数学教育中都有广泛的应用。
通过相似三角形的原理，我们可以准确地测量距离、确定高度，并培养学生的数学思维能力。
相似三角形不仅是数学的重要概念，也是实际问题解决的有力工具。
通过深入理解相似三角形的应用，我们可以更好地应用数学知识解决实际问题，为我们的生活和工作带来便利。
24.3相似三角形应用——利用相似三角形测量物体高度
3. △ABC是一块锐角三角形余料，边BC=120毫米，高 AD=80毫米，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在 BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的 边长是多少？
解：设正方形PQMN是符合要求的△ABC的
A
高AD与PN相交于点E.设正方形PQMN的边
长为 x 毫米。
PE N
因为PN∥BC，所以△APN∽ △ABC
所以
AE AD
PN = BC
B Q DM C
因此 80–x = x ，得 x=48（毫米）.
80
120
∴
=
EF DF
∴
OB=
EF·OA =200
DF
因此金字塔的高为200m.
影子形成
2. 要测量我校的旗杆高度，现有皮尺一把、标杆一根、镜 子一面，请你和你的同伴选择其中两种工具，设计一套测量旗 杆的方案，并画出示意图.
△ABO∽△AEF
OB
OABiblioteka =EFAF
OB = OA ·EF AF
旗杆测量
还可以有其他方法测量吗？
当堂练习
1.某一时刻树的影长为8米,同一时刻身高为1.5米的人的影长 为3米,则树高为______米. 2.如图，小亮晚上走在大街上，他发现：当他站在大街两边的两 盏灯之间，并且自己被两边路灯照在地上的两个影子成一直线时， 他自己的影子长为3米，左边的影子长为1.5米，又知自己身高 1.8米，两盏灯的高度相同，且两盏灯之间的距离为12米，求路 灯的高。
24.3 相似三角形的应用 ——利用相似三角形测量物体的高度
华华东东师师大大·●七九年年级级下上册册
如图，如果木杆EF长2m,它的影长FD为3m，测OA长为 300m，求金字塔的高度BO.
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利用相似三角形的判定和性质,
测量一些不能直接测量的
物体的高度或宽度.
夜晚，当人在路？
在阳光下,同一时间段,你站在不 同的位置,影长会有很大的差距吗?
A A’
C
姐姐身高1.6m,妹妹身高1.4m, 她们的身高与影长成比例吗?
如果姐姐的影长1.2m,你知道妹妹的影长吗? 为什么?
B C’
B’
在阳光下，在同一时刻，不同物体 的物高与影长成比例.
1、在某一时刻,有人测得一高为1.8米的 竹竿的影长为3米,某一楼房的影长为60米, 那么楼房的高度是多少米?
2、如图，小明在打网球时，使球恰好能 打过网，而且落在离网5米的位置上， 求球拍击球的高度h.
如果:测得BD=120米,DC=60米,EC=50米, 求:两岸间的大致距离AB.
A
设计方案 如何估算河宽?
B
60 120
D
C
50
E
如果:测得BD=20米,BC=50米, DE=60米, 求:两岸间的大致距离AB.
A
B
20
50 60
C
E
D
1、十一长假期间，阿明到 一景点去游玩，回来后他发现 了自己与古塔的照片，他想知 道古塔的高度。你能给他想想 办法吗？
阿 明
2004年奥运会男子十米气步枪冠军获得者朱启南
准星
靶心
2、如图,步枪在瞄准时,如果偏离准星B的准确位 置1mm,如果眼睛离准星的距离为80cm,那么射出 去的子弹在10m的距离处就要偏离靶心C多少cm? C’ B’
？
C（靶心）
1000cm
眼睛
o
0.1cm 80cm B(准星)
• 3、小明在某一时刻测得1m的竹杆在阳光 下的影长为2m,他想测量电线杆AB的高度, 但其影子恰好落在地面BC和土坡的坡面CD 上,量得CD=2m,BC=10m,CD与地面成45°, 求电线杆的高度.(保留整数)
A
D
2
B
10
C E
F
在阳光下，在同一时刻，不同物体 的物高与影长成比例.
测量一些不能直接测量的物体的高度或宽度.