上机教学二-线性代数综合实例_图文_图文

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2．利用矩阵的分解求解线性方程组
矩阵分解是指：根据一定的原理用某种算法将一 个矩阵分解成若干个矩阵的乘积.常见的矩阵分解 有LU分解、QR分解、Cholesky分解，以及Schur 分解、Hessenberg分解、奇异分解等.
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• 、LU分解
(i)、矩阵的LU分解就是将一个矩阵表示为一个交换下三角 矩阵和一个上三角矩阵的乘积形式.线性代数中已经证明， 只要方阵A是非奇异的，LU分解总是可以进行的. (ii)、 MATLAB提供的lu函数用于对矩阵进行LU分解，其调 用格式为： [L,U]=lu(X)：产生一个上三角阵U和一个变换形式的下三角 阵L(行交换)，使之满足X=LU.注意，这里的矩阵X必须是 方阵. [L,U,P]=lu(X)：产生一个上三角阵U和一个下三角阵L以及 一个置换矩阵P，使之满足PX=LU.当然矩阵X同样必须是方 阵. (iii)、实现LU分解后，线性方程组Ax=b的解x=U\(L\b)或 x=U\(L\Pb)，这样可以3
解： 在Matlab中输入：
故
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二、解线性方程组
• 一、直接解法 • 利用左除运算符的直接解法 • 对于线性方程组Ax=b，可以利用左除运
算符“\”求解： x=A\b
例1 用直接解法求解下列线性方程组. 命令如下： A=[2,1,-5,1;1,-5,0,7;0,2,1,-1;1,6,-1,-4]; b=[13,-9,6,0]'; x=A\b
14375 1375 875
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pie(x3)
%绘出图形
不同年龄段动物所占百分比 17
结果分析: 15年后,农场饲养的动物总数将达到16625头, 其中0 ~ 5岁的有14375头,占总数的86.46%,6 ~ 10 岁的有1375头,占8.27%,11 ~ 15岁的有875头,占 5.226%,15年间,动物总增长13625头,总增长率为 13625/3000=454.16%。
解得：
x=
-66.5556
25.6667
-18.7778
26.5556
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(2) QR分解 对矩阵X进行QR分解，就是把X分解为一个正交 矩阵Q和一个上三角矩阵R的乘积形式.QR分解只 能对方阵进行.MATLAB的函数qr可用于对矩阵 进行QR分解，其调用格式为： [Q,R]=qr(X)：产生一个一个正交矩阵Q和一个 上三角矩阵R，使之满足X=QR. [Q,R,E]=qr(X)：产生一个一个正交矩阵Q、一个 上三角矩阵R以及一个置换矩阵E，使之满足 XE=QR.
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二
《线性代数》综合实例
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上机目的：
一、培养学生运用线性代数的知识解决实际 问题的意识、兴趣和能力 ；
二、掌握常用计算方法和处理问题的方法.
上机内容：
一、求向量组的最大无关组； 二、解线性方程组； 三、解决实际问题举例.
上机软件：Matlab
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一、求向量组的最大无关组 • 例1 求下列矩阵列向量组的一个最大无关组.
用密码传出信息,通常也以字母形式出现.例 如上面收到的回复就是JCFZQC,从表面看就不知 所云了.
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并且编码方法与上面相同.为了解译此码,将上述数 码分为2个3维向量 则有
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解得
按照对应表值得出的信息是WHY NOT.
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数码经矩阵转换后常回出现溢出表值(即超过 25)的情况.例中发出的信息就全都是这样的.对此, 通常是将所得大于25的数以26去除后的余数代替, 就能得到对应的字母.这种以余数进行处理的方法 , 用到所谓模算术,它在密码学中有着重要的作用.
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3、 Hill密码 例3 Hill密码问题：研究秘密信息的编码和 译码的学科,称为密码学.在密码学中,代码称为密码, 未编码的信息称为明文,译成代码的信息称为密文 ,由明文转换成密文的过程称为编码,由密文转换成 的相反过程称为译码.最简单的密码是代用码, 是将字母表中每一字母用不同的字母来代替.这种 类型的码可以容易地由统计分析等方法所破译.克 服这一问题的一种方法是将明文的字母先分组,再 按分组而不是逐个字母进行编码,这通常称为复写 系统.以下简介一种基于矩阵变换的复写系统,称为
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例2 用LU分解求解例1中的线性方程组. 命令如下：
A=[2,1,-5,1;1,-5,0,7;0,2,1,-1;1,6,-1,-4];
b=[13,-9,6,0]';
[L,U]=lu(A);
x=U\(L\b) 或采用LU分解的第2种格式，命令如下：
[L,U ,P]=lu(A);
x=U\(L\P*b)
实现QR分解后，线性方程组Ax=b的解: x=R\(Q\b)或x=E(R\(Q\b)).
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例3 用QR分解求解例1中的线性方程组. 命令如下： A=[2,1,-5,1;1,-5,0,7;0,2,1,-1;1,6,-1,-4]; b=[13,-9,6,0]'; [Q,R]=qr(A); x=R\(Q\b) 或采用QR分解的第2种格式，命令如下： [Q,R,E]=qr(A); x=E*(R\(Q\b))
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2、农场动物数量及总增长率
例2 某农场饲养的动物所能达到的最大年龄 为15岁,将其分为三个年龄组:第一组,0 ~ 5岁;第二 组6 ~ 10岁;第三组11 ~ 15岁。动物从第二年龄组 起开始繁殖后代,经过长期统计,第二年龄组的动 物在其年龄段平均繁殖4个后代,第三组在其年龄 段平均繁殖3个后代,第一年龄组和第二年龄组的 动物能顺利进入下一个年龄组的存活率分别为 1/2和1/4。假设农场现有三个年龄段的动物各 1000头,问15年后农场饲养的动物总数及农场三个 年龄段的动物各将达到多少头?指出15年间,动物 总增长多少头及总增长率.
_1_2__3__4__5_6__7 _8__91_0_1_1_1_2_1_3 _14_1_5_1_6_1_7_18_1_9_2_0_2_1_2_2 _23_2_4_2_5_0
最简单的Hill密码的编码,是将接连的明文字母 两两分组,各数组都构成2维明文向量,再选一个可 逆的整数值2×2矩阵,它将每个明文向量逐一转换 成密文向量.这样的Hill密码称为Hill-2密码.
• 解：在Matlab中输入：
• a=[1,-2,-1,0,2;-2,4,2,6,-6;2,-1,0,2,3;3,3,3,3,4];
• b=rref(a)
• 求得: b =
• 所以
1.0000 0 0 1.0000 00 00
0.3333 0 1.7778
0.6667 0 -0.1111
0 1.0000 -0.3333
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三、解决实际问题举例
1、化肥配方方案 例1 有甲、乙、丙三种化肥,甲种化肥 每千克含氮70g、磷8g、钾2g;乙种化肥每千克含 氮64g、磷10g、钾0.6g; 丙种化肥每千克含氮70g 磷5g、钾1.4g.若把此三种化肥混合,要求总重量 23kg且含磷149g、钾30g,问三种化肥各需多少千克?
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解: 设甲、乙、丙三种化肥分别需 千克,依题意得方程组:
用Matlab解方程组: A=[1 1 1;8 10 5;2 0.6 1.4];b=[23;149;30]; X=inv(A)*b （X=A\b）
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X= 3.0000 5.0000
15.0000 结果分析:
方程组的解为: 即甲、乙、丙三种化肥分别需3kg、5kg、15kg.
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Hill密码,是由L. S. Hill引进的. 先指定每一个明文字母和密文字母按它在字
母__表__中__的__位__置__和__一__个__数__值__相__对__应__._Z_指__定__为__零__值__.___
A B C D E FGH I J K L M N O P Q R S T U V W X YZ
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一般地,可以有Hill-n密码.假如现在要发出STU DYMATH这一信息,使用上表的对应,并按Hill-3码 进行编码.首先查得的信息的数字依次是19,20,21, 4,25,13,1,20,8,将它们组成下面三个明文向量:
选择可逆的三阶矩阵,例如
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将上述信息变为如下三个密文向量:
因而我们发出密码122,81,62,93,55,51,65,37,36. 假如收到的回复信息是114,81,58,104,69,55,
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解 ：年龄组为5岁一段,故将时间周期也取5年。 15年经过3个周期。用k=1，2，3分别表示第一、 二、三个周期， 表示第i个年龄组在第k个周期 的数量。由题意,有如下矩阵递推关系:
即
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利用Matlab计算有
x0=[1000,1000,1000];
L=[0 4 3;1/2 0 0;0 1/4 0]; x3=(L^3)*x0´ x3=