2018-2019学年高中数学人教A版选修2-2学案：第二章2.3数学归纳法-含解析
(全国通用版)2018-2019版高中数学 第二章 推理与证明 2.3 数学归纳法学案 新人教A版选修2-2
§2.3数学归纳法学习目标 1.了解数学归纳法的原理.2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．知识点数学归纳法对于一个与正整数有关的等式n(n－1)(n－2)…(n－50)＝0.思考1 验证当n＝1，n＝2，…，n＝50时等式成立吗？答案成立．思考2 能否通过以上等式归纳出当n＝51时等式也成立？为什么？答案不能，上面的等式只对n取1至50的正整数成立．梳理(1)数学归纳法的定义一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：①(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立；②(归纳递推)假设当n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立．只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．这种证明方法叫做数学归纳法．(2)数学归纳法的框图表示1．与正整数n 有关的数学命题的证明只能用数学归纳法．( × ) 2．数学归纳法的第一步n 0的初始值一定为1.( × ) 3．数学归纳法的两个步骤缺一不可．( √ )类型一 用数学归纳法证明等式例1 用数学归纳法证明：1×4＋2×7＋3×10＋…＋n (3n ＋1)＝n (n ＋1)2，其中n ∈N *. 考点 用数学归纳法证明等式 题点 利用数学归纳法证明等式证明 (1)当n ＝1时，左边＝1×4＝4，右边＝1×22＝4，左边＝右边，等式成立． (2)假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时等式成立， 即1×4＋2×7＋3×10＋…＋k (3k ＋1)＝k (k ＋1)2， 那么当n ＝k ＋1时，1×4＋2×7＋3×10＋…＋k (3k ＋1)＋(k ＋1)[3(k ＋1)＋1] ＝k (k ＋1)2＋(k ＋1)[3(k ＋1)＋1]＝(k ＋1)(k 2＋4k ＋4)＝(k ＋1)[(k ＋1)＋1]2， 即当n ＝k ＋1时等式也成立．根据(1)和(2)可知等式对任何n ∈N *都成立．反思与感悟 用数学归纳法证明恒等式时，一是弄清n 取第一个值n 0时等式两端项的情况；二是弄清从n ＝k 到n ＝k ＋1等式两端增加了哪些项，减少了哪些项；三是证明n ＝k ＋1时结论也成立，要设法将待证式与归纳假设建立联系，并朝n ＝k ＋1证明目标的表达式变形． 跟踪训练1 求证：1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n (n ∈N *)．考点 用数学归纳法证明等式 题点 利用数学归纳法证明等式 证明 (1)当n ＝1时，左边＝1－12＝12，右边＝11＋1＝12，左边＝右边．(2)假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时等式成立， 即1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k＝1k ＋1＋1k ＋2＋ (12)， 则当n ＝k ＋1时，⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12k ＋1－12k ＋2 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12k ＋1－12k ＋2＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋1＋12(k ＋1). 即当n ＝k ＋1时，等式也成立．综合(1)，(2)可知，对一切n ∈N *，等式成立．类型二 用数学归纳法证明不等式 例2 求证：1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n >56(n ≥2，n ∈N *)． 考点 用数学归纳法证明不等式 题点 利用数学归纳法证明不等式证明 (1)当n ＝2时，左边＝13＋14＋15＋16＝5760，故左边>右边，不等式成立．(2)假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，命题成立， 即1k ＋1＋1k ＋2＋…＋13k >56， 则当n ＝k ＋1时，1(k ＋1)＋1＋1(k ＋1)＋2＋…＋13k ＋13k ＋1＋13k ＋2＋13(k ＋1)＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋13k ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13k ＋1＋13k ＋2＋13k ＋3－1k ＋1>56＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13k ＋1＋13k ＋2＋13k ＋3－1k ＋1.(*)方法一 (分析法) 下面证(*)式≥56，即13k ＋1＋13k ＋2＋13k ＋3－1k ＋1≥0， 只需证(3k ＋2)(3k ＋3)＋(3k ＋1)(3k ＋3)＋(3k ＋1)(3k ＋2)－3(3k ＋1)(3k ＋2)≥0， 只需证(9k 2＋15k ＋6)＋(9k 2＋12k ＋3)＋(9k 2＋9k ＋2)－(27k 2＋27k ＋6)≥0， 只需证9k ＋5≥0，显然成立． 所以当n ＝k ＋1时，不等式也成立． 方法二 (放缩法)(*)式>⎝ ⎛⎭⎪⎫3×13k ＋3－1k ＋1＋56＝56， 所以当n ＝k ＋1时，不等式也成立．由(1)(2)可知，原不等式对一切n ≥2，n ∈N *均成立． 引申探究 把本例改为求证：1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋1n ＋n >1124(n ∈N *)． 证明 (1)当n ＝1时，左边＝12>1124，不等式成立．(2)假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，不等式成立， 即1k ＋1＋1k ＋2＋1k ＋3＋…＋1k ＋k >1124， 则当n ＝k ＋1时，1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＝1k ＋1＋1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1>1124＋12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1， ∵12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1＝2(k ＋1)＋(2k ＋1)－2(2k ＋1)2(k ＋1)(2k ＋1)＝12(k ＋1)(2k ＋1)>0， ∴1k ＋1＋1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1>1124＋12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1>1124， ∴当n ＝k ＋1时，不等式成立．由(1)(2)知对于任意正整数n ，不等式成立． 反思与感悟 用数学归纳法证明不等式的四个关键(1)验证第一个n 的值时，要注意n 0不一定为1，若n >k (k 为正整数)，则n 0＝k ＋1. (2)证明不等式的第二步中，从n ＝k 到n ＝k ＋1的推导过程中，一定要用到归纳假设，不应用归纳假设的证明不是数学归纳法，因为缺少归纳假设．(3)用数学归纳法证明与n 有关的不等式一般有两种具体形式：一是直接给出不等式，按要求进行证明；二是给出两个式子，按要求比较它们的大小，对第二类形式往往要先对n 取前几个值的情况分别验证比较，以免出现判断失误，最后猜出从某个n 值开始都成立的结论，常用数学归纳法证明．(4)用数学归纳法证明不等式的关键是由n ＝k 时成立得n ＝k ＋1时成立，主要方法有比较法、分析法、综合法、放缩法等．跟踪训练2 在数列{a n }中，已知a 1＝a (a >2)，a n ＋1＝a 2n 2(a n －1)(n ∈N *)，用数学归纳法证明：a n >2(n ∈N *)．考点 用数学归纳法证明不等式 题点 利用数学归纳法证明不等式 证明 ①当n ＝1时，a 1＝a >2，命题成立；②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，命题成立，即a k >2，则当n ＝k ＋1时，a k ＋1－2＝a 2k2(a k －1)－2＝(a k －2)22(a k －1)>0， ∴当n ＝k ＋1时，命题也成立． 由①②得，对任意正整数n ，都有a n >2.类型三 归纳—猜想—证明例3 已知数列{a n }满足关系式a 1＝a (a >0)，a n ＝2a n －11＋a n －1(n ≥2，n ∈N *)，(1)用a 表示a 2，a 3，a 4；(2)猜想a n 的表达式(用a 和n 表示)，并用数学归纳法证明． 考点 数学归纳法证明数列问题 题点 利用数学归纳法证明数列通项问题 解 (1)a 2＝2a1＋a，a 3＝2a 21＋a 2＝2×2a 1＋a 1＋2a 1＋a＝4a1＋3a，a 4＝2a 31＋a 3＝2×4a 1＋3a 1＋4a 1＋3a＝8a1＋7a.(2)因为a 1＝a ＝20a1＋(20－1)a ， a 2＝21a1＋(21－1)a ，…， 猜想a n ＝2n －1a1＋(2n －1－1)a . 下面用数学归纳法证明． ①当n ＝1时，因为a 1＝a ＝20a1＋(20－1)a ， 所以当n ＝1时猜想成立．②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时猜想成立， 即a k ＝2k －1a1＋(2k －1－1)a ， 所以当n ＝k ＋1时， a k ＋1＝2a k1＋a k ＝2ka 1＋(2k －1－1)a 1＋2k －1a1＋(2k －1－1)a ＝2ka1＋(2k －1－1)a ＋2k －1a＝2k a1＋2×2k－1a－a＝2(k＋1)－1a1＋[2(k＋1)－1－1]a，所以当n＝k＋1时猜想也成立．根据①与②可知猜想对一切n∈N*都成立．反思与感悟“归纳—猜想—证明”的一般步骤跟踪训练3 考察下列各式2＝2×13×4＝4×1×34×5×6＝8×1×3×55×6×7×8＝16×1×3×5×7你能做出什么一般性的猜想？能证明你的猜想吗？考点用数学归纳法证明等式题点等式中的归纳，猜想、证明解由题意得，2＝2×1,3×4＝4×1×3,4×5×6＝8×1×3×5,5×6×7×8＝16×1×3×5×7，…，猜想：(n＋1)(n＋2)(n＋3)…2n＝2n·1·3·5·…·(2n－1)，下面利用数学归纳法进行证明．(1)当n＝1时，猜想显然成立；(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时，猜想成立，即(k＋1)(k＋2)(k＋3)…2k＝2k·1·3·5·…·(2k－1)，那么当n＝k＋1时，(k＋1＋1)(k＋1＋2)(k＋1＋3)·…·2(k＋1)＝(k＋1)(k＋2)·…·2k·(2k＋1)·2＝2k·1·3·5·…·(2k－1)(2k＋1)·2＝2k＋1·1·3·5·…·(2k＋1)＝2k＋1·1·3·5·…·[2(k＋1)－1]所以当n＝k＋1时猜想成立．根据(1)(2)可知对任意正整数猜想均成立.1．已知f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N *)，计算得f (2)＝32，f (4)>2，f (8)>52，f (16)>3，f (32)>72，由此推算：当n ≥2时，有( ) A ．f (2n )>2n ＋12(n ∈N *)B ．f (2n )>2(n ＋1)＋12(n ∈N *)C ．f (2n )>2n ＋12(n ∈N *)D ．f (2n)>n ＋22(n ∈N *)考点 利用数学归纳法证明不等式 题点 不等式中的归纳、猜想、证明 答案 D解析 f (4)>2改写成f (22)>2＋22；f (8)>52改写成f (23)>3＋22；f (16)>3改写成f (24)>4＋22；f (32)>72改写成f (25)>5＋22，由此可归纳得出：当n ≥2时，f (2n )>n ＋22(n ∈N *)． 2．用数学归纳法证明“1＋a ＋a 2＋…＋a 2n ＋1＝1－a2n ＋21－a(a ≠1)”．在验证n ＝1时，左端计算所得项为( ) A ．1＋a B ．1＋a ＋a 2C ．1＋a ＋a 2＋a 3D ．1＋a ＋a 2＋a 3＋a 4考点 数学归纳法定义及原理 题点 数学归纳法第一步：归纳奠基 答案 C解析 将n ＝1代入a2n ＋1得a 3，故选C.3．若命题A (n )(n ∈N *)在n ＝k (k ∈N *)时成立，则有n ＝k ＋1时命题成立．现知命题对n ＝n 0(n 0∈N *)时成立，则有( )A ．命题对所有正整数都成立B ．命题对小于n 0的正整数不成立，对大于或等于n 0的正整数都成立C ．命题对小于n 0的正整数成立与否不能确定，对大于或等于n 0的正整数都成立D ．以上说法都不正确 考点 数学归纳法定义及原理 题点 数学归纳法第二步：归纳递推 答案 C解析 由已知，得n ＝n 0(n 0∈N *)时命题成立，则n ＝n 0＋1时命题成立， 在n ＝n 0＋1时命题成立的前提下，又可推得，n ＝(n 0＋1)＋1时命题也成立， 依此类推，可知选C.4．用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n －1＝2n －1(n ∈N *)的过程如下：(1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，等式成立． (2)假设当n ＝k (k ∈N *)时等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k －1＝2k－1，则当n ＝k ＋1时，1＋2＋22＋…＋2k －1＋2k＝1－2k ＋11－2＝2k ＋1－1.所以当n ＝k ＋1时，等式也成立．由此可知对于任何n ∈N *，等式都成立．上述证明，错误是________． 考点 数学归纳法定义及原理 题点 数学归纳法第二步：归纳递推 答案 未用归纳假设解析 本题在由n ＝k 成立证明n ＝k ＋1成立时， 应用了等比数列的求和公式，而未用上归纳假设，这与数学归纳法的要求不符． 5．用数学归纳法证明：121×3＋223×5＋…＋n 2(2n －1)(2n ＋1)＝n (n ＋1)2(2n ＋1)(n ∈N *)． 考点 用数学归纳法证明等式 题点 利用数学归纳法证明等式 证明 ①当n ＝1时，左边＝121×3＝13，右边＝1×(1＋1)2×(2×1＋1)＝13，左边＝右边，等式成立．②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，等式成立． 即121×3＋223×5＋…＋k 2(2k －1)(2k ＋1)＝k (k ＋1)2(2k ＋1)， 当n ＝k ＋1时，左边＝121×3＋223×5＋…＋k 2(2k －1)(2k ＋1)＋(k ＋1)2(2k ＋1)(2k ＋3)＝k (k ＋1)2(2k ＋1)＋(k ＋1)2(2k ＋1)(2k ＋3)＝k (k ＋1)(2k ＋3)＋2(k ＋1)22(2k ＋1)(2k ＋3)＝(k ＋1)(2k 2＋5k ＋2)2(2k ＋1)(2k ＋3)＝(k ＋1)(k ＋2)2(2k ＋3)，右边＝(k ＋1)(k ＋1＋1)2[2(k ＋1)＋1]＝(k ＋1)(k ＋2)2(2k ＋3)，左边＝右边，等式成立． 即对所有n ∈N *，原式都成立．在应用数学归纳法证题时应注意以下几点：(1)验证是基础：找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定是1.(2)递推是关键：正确分析由n ＝k 到n ＝k ＋1时式子项数的变化是应用数学归纳法成功证明问题的保障；(3)利用假设是核心：在第二步证明中一定要利用归纳假设，这是数学归纳法的核心环节，否则这样的证明就不是数学归纳法证明.一、选择题1．在应用数学归纳法证明凸n 边形的对角线为12n (n －3)条时，第一步应验证n 等于( )A ．1B ．2C ．3D ．4考点 数学归纳法定义及原理 题点 数学归纳法第一步：归纳奠基 答案 C解析 由凸多边形的性质，应先验证三角形，故选C.2．某个命题与正整数有关，如果当n ＝k (k ∈N *)时，该命题成立，那么可推得当n ＝k ＋1时，该命题也成立．现在已知当n ＝5时，该命题成立，那么可推导出( ) A ．当n ＝6时命题不成立 B ．当n ＝6时命题成立 C ．当n ＝4时命题不成立D ．当n ＝4时命题成立 考点 数学归纳法定义及原理 题点 数学归纳第二步：归纳递推 答案 B 3．设S k ＝1k ＋1＋1k ＋2＋1k ＋3＋ (12)，则S k ＋1为( ) A ．S k ＋12k ＋2B ．S k ＋12k ＋1＋12k ＋2C ．S k ＋12k ＋1－12k ＋2D ．S k ＋12k ＋2－12k ＋1考点 数学归纳法定义及原理题点 数学归纳法第二步：归纳递推 答案 C解析 因式子右边各分数的分母是连续正整数， 则由S k ＝1k ＋1＋1k ＋2＋ (12)，① 得S k ＋1＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1＋12(k ＋1).② 由②－①，得S k ＋1－S k ＝12k ＋1＋12(k ＋1)－1k ＋1＝12k ＋1－12(k ＋1). 故S k ＋1＝S k ＋12k ＋1－12(k ＋1).4．一个与正整数n 有关的命题中，当n ＝2时命题成立，且由n ＝k 时命题成立，可以推得n ＝k ＋2时命题也成立，则( ) A ．该命题对于n >2的自然数n 都成立 B ．该命题对于所有的正偶数都成立 C ．该命题何时成立与k 取值无关 D ．以上答案都不对考点 数学归纳法定义及原理 题点 数学归纳法第二步：归纳递推 答案 B解析 由n ＝k 时命题成立，可以推出n ＝k ＋2时命题也成立，且使命题成立的第一个正偶数n 0＝2.故对所有的正偶数都成立．5．设f (x )是定义在正整数集上的函数，且f (x )满足：“当f (k )≥k 2成立时，总可推出f (k＋1)≥(k ＋1)2成立”，那么，下列命题总成立的是( ) A ．若f (3)≥9成立，则当k ≥1时，均有f (k )≥k 2成立 B ．若f (5)≥25成立，则当k ≤5时，均有f (k )≥k 2成立 C ．若f (7)<49成立，则当k ≥8时，均有f (k )<k 2成立 D ．若f (4)＝25成立，则当k ≥4时，均有f (k )≥k 2成立 考点 数学归纳法定义及原理 题点 数学归纳法的定义 答案 D解析 对于D ，∵f (4)＝25≥42， ∴当k ≥4时，均有f (k )≥k 2.6．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n3a n ＋1(n ∈N *)，依次计算a 2，a 3，a 4，归纳推测出a n 的通项表达式为( ) A.24n －3 B.26n －5 C.24n ＋3D.22n－1考点 数学归纳法证明数列问题 题点 利用数学归纳法证明数列通项问题 答案 B解析 结合题意，得a 1＝2，a 2＝27，a 3＝213，a 4＝219，…，可推测a n ＝26n －5，故选B.7．用数学归纳法证明等式(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n ·1·3·…·(2n －1)(n ∈N *)的过程中，从n ＝k 到n ＝k ＋1左端需要增乘的代数式为( ) A ．2k ＋1 B.2k ＋1k ＋1 C ．2(2k ＋1)D.2k ＋3k ＋1考点 数学归纳法定义及原理 题点 数学归纳法的第二步：归纳递推 答案 C解析 当n ＝k ＋1时，左端为(k ＋2)(k ＋3)…[(k ＋1)＋(k －1)]·[(k ＋1)＋k ]·(2k ＋2)＝(k ＋1)(k ＋2)…(k ＋k )(2k ＋1)·2，∴应增乘2(2k ＋1)． 二、填空题8．用数学归纳法证明“对于足够大的自然数n ，总有2n>n 3”时，验证第一步不等式成立所取的第一个值n 0最小应当是________．考点 数学归纳法定义及原理 题点 数学归纳法第一步：归纳奠基 答案 109．证明：假设当n ＝k (k ∈N *)时等式成立，即2＋4＋…＋2k ＝k 2＋k ，那么2＋4＋…＋2k ＋2(k ＋1)＝k 2＋k ＋2(k ＋1)＝(k ＋1)2＋(k ＋1)，即当n ＝k ＋1时等式也成立．因此对于任何n ∈N *等式都成立．以上用数学归纳法证明“2＋4＋…＋2n ＝n 2＋n (n ∈N *)”的过程中的错误为_________． 考点 数学归纳法定义及原理 题点 数学归纳法第二步：归纳递推 答案 缺少步骤归纳奠基10．已知f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n ，n ∈N *，用数学归纳法证明f (2n )>n 2时，f (2n ＋1)－f (2n)＝________________________________________________________________________. 考点 数学归纳法定义及原理 题点 数学归纳法第二步：归纳递推 答案12n＋1＋12n ＋2＋…＋12n ＋1 三、解答题11．用数学归纳法证明⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－19⎝ ⎛⎭⎪⎫1－116·…·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n 2＝n ＋12n (n ≥2，n ∈N *)． 考点 用数学归纳法证明等式 题点 利用数学归纳法证明等式 证明 (1)当n ＝2时，左边＝1－14＝34，右边＝2＋12×2＝34，所以左边＝右边，所以当n ＝2时等式成立． (2)假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时等式成立， 即⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－19⎝ ⎛⎭⎪⎫1－116·…·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1k 2＝k ＋12k，那么当n ＝k ＋1时，⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－19⎝ ⎛⎭⎪⎫1－116·…·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1k 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1(k ＋1)2＝k ＋12k ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1(k ＋1)2 ＝k ＋12k ·k (k ＋2)(k ＋1)2 ＝k ＋22(k ＋1)＝(k ＋1)＋12(k ＋1)，即当n＝k＋1时，等式成立．综合(1)(2)知，对任意n≥2，n∈N*，等式恒成立．12．用数学归纳法证明：122＋132＋142＋…＋1n 2<1－1n (n ≥2，n ∈N *)．考点 用数学归纳法证明不等式 题点 利用数学归纳法证明不等式 证明 (1)当n ＝2时，左式＝122＝14，右式＝1－12＝12.因为14<12，所以不等式成立．(2)假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，不等式成立， 即122＋132＋142＋…＋1k 2<1－1k ， 则当n ＝k ＋1时，122＋132＋142＋…＋1k 2＋1(k ＋1)2<1－1k ＋1(k ＋1)2 ＝1－(k ＋1)2－k k (k ＋1)2＝1－k 2＋k ＋1k (k ＋1)2<1－k (k ＋1)k (k ＋1)2 ＝1－1k ＋1， 所以当n ＝k ＋1时，不等式也成立．综上所述，对任意n ≥2的正整数，不等式都成立． 四、探究与拓展13．用数学归纳法证明“34n ＋1＋52n ＋2(n ∈N *)能被14整除”时，当n ＝k ＋1时，34(k ＋1)＋1＋52(k ＋1)＋2应变形为________________．考点 数学归纳法定义及原理 题点 数学归纳法第二步：归纳递推 答案 34×(34k ＋1＋52k ＋2)－52k ＋2×14×4解析 34(k ＋1)＋1＋52(k ＋1)＋2＝34×34k ＋1＋52×52k ＋2＝34×34k ＋1＋34×52k ＋2＋52×52k ＋2－34×52k ＋2＝34×(34k ＋1＋52k ＋2)－52k ＋2×(34－52)＝34×(34k ＋1＋52k ＋2)－52k ＋2×14×4.14．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝1－na n (n ∈N *)． (1)计算a 1，a 2，a 3，a 4；(2)猜想a n 的表达式，并用数学归纳法证明你的结论． 考点 数学归纳法证明数列问题 题点 利用数学归纳法证明数列通项问题 解 (1)计算得a 1＝12；a 2＝16；a 3＝112；a 4＝120.(2)猜想：a n ＝1n (n ＋1).下面用数学归纳法证明． ①当n ＝1时，猜想显然成立．②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，猜想成立， 即a k ＝1k (k ＋1)，那么，当n ＝k ＋1时，S k ＋1＝1－(k ＋1)a k ＋1， 即S k ＋a k ＋1＝1－(k ＋1)a k ＋1. 又S k ＝1－ka k ＝kk ＋1，所以kk ＋1＋a k ＋1＝1－(k ＋1)a k ＋1，从而a k ＋1＝1(k ＋1)(k ＋2)＝1(k ＋1)[(k ＋1)＋1]，即n ＝k ＋1时，猜想也成立． 故由①和②可知猜想成立．。
人教a版数学【选修2-2】2.3《数学归纳法》ppt课件
数学归纳法 温故知新 回顾复习归纳推理的定义、步骤及其所得结论的正确性如何 ．
新知导学 1．数学归纳法 证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： ①(归纳奠基)证明当n取__________________时命题成立． 第一个值n0(n0 ∈N*) ②(归纳递推)假设___________________ 时命题成立，证明当 n＝k＋1时命题也成立． n＝k(k≥n0，k∈N*)
牛刀小试 1．用数学归纳法证明1＋2＋„＋(2n＋1)＝(n＋1)(2n＋1)时 ，在验证n＝1成立时，左边所得的代数式是( ) A．1 B．1＋3 C．1＋2＋3 D．1＋2＋3＋4 [答案] C [解析] 当n＝1时，2n＋1＝2×1＋1＝3，所以左边为1＋2＋ 3.故应选C.
[ 解析 ]
自变量的取值依次为 2,4 ＝ 22,8 ＝ 23,16 ＝ 24,32 ＝
25，„故为 2n.右边分母全为 2，分子依次为 3,4,5,6,7，„，故 n＋2 n n＋2 右边为 2 ，即 f(2 )> 2 .
典例探究学案
数学归纳法的基本原理及用数学归纳法证 明恒等式
1 1 1 证明： ＋ ＋„＋ ＝ 1×3 3×5 2n－12n＋1 n .(n∈N*) 2n＋1
1 1 1 1 n 2．用数学归纳法证明1· 2＋2· 3＋3· 4＋„＋nn＋1＝n＋1(n ∈N*)，从“n＝k 到 n＝k＋1”时，等式左边需要增添的项是 ( ) 1 A． kk＋1 1 C． k k ＋2 1 1 B． ＋ kk＋1 k＋1k＋2 1 D． k＋1k＋2
1 1 1 127 而 1＋2＋4＋„＋ 8－1> 64 ，故应选 B. 2
1 1 1 4．(2013· 华池一中高二期中)已知 f(n)＝1＋2＋3＋„＋n(n 3 5 7 ∈N )，计算得 f(2)＝2，f(4)>2，f(8)>2，f(16)>3，f(32)>2，由
高中数学选修2-2第2章2.3数学归纳法课件人教A版
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(3)正确寻求递推关系. 我们已经知道数学归纳法的第二步递推是至关重要的,如何寻求 递推关系呢? ①在第一步验证时,不妨多计算几项,并争取正确写出来,这样对 发现递推关系是有帮助的. ②探求数列通项公式要善于观察式子或命题的变化规律,观察n 处在哪个位置. ③在书写f(k+1)时,一定要把包含f(k)的式子写出来,尤其是f(k)中 的最后一项.除此之外,多了哪些项,少了哪些项都要分析清楚.
2
1-
1 (������+1)
2
������ + 1 1 ������ + 1 ������(������ + 2) = 1= · 2 2������ 2������ (������ + 1)2 (������ + 1) ������ + 2 (������ + 1) + 1 = = . 2(������ + 1) 2(������ + 1)
1 3 2+1 3
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(2)假设当 n=k(k≥2,k∈N*)时等式成立,即
1 14 1 19 1 14
· …· 1 1 19
1 ������
2
=
������+1 . 2������
则当 n=k+1 时,利用归纳假设有: · …· 1 1 ������
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【做一做 1】 用数学归纳法证明 1+a+a2+…+an+1=
人教版高中数学选修2-2第二章2.3数学归纳法
(2)第二步——归纳递推
“假设n=k(kN*，k≥n0)时命题成立，证 明当n=k+1时命题也成立”,其本质是证明一个递 推关系，归纳递推的作用是从前往后传递，有了 这种向后传递的关系，就能从一个起点（例如 n=1）不断发展，以至无穷.如果没有它，即使前 面验证了命题对许多正整数n都成立，也不能保 证命题对后面的所有正整数都成立.
这个游戏中，能使所有多米诺 骨牌全部倒下的条件是什么？ 大家想一想，自 己总结出倒下的条件.
动动脑
观看动画：多米诺骨牌
只要满足以下两个条件，所有多 米诺骨牌就都能倒下： （1）第一块骨牌倒下； （2）任意相邻的两块骨牌，前一块 倒下一定导致后一块倒下；
你认为条件（2）的作 用是什么？
可以看出，条件（2）事实上给出 了一个递推关系：当第k块倒下时，相 邻的第k+1块也倒下. 这样，只要第一块骨牌倒 下，其他所有的骨牌就能够相 继倒下.事实上，无论有多少块 骨牌，只要保证(1)(2)成立，那 么所有的骨牌一定可以全部倒 下.
• 培养学生的逻辑思维能力，使思维严谨.
• 递推思想的形成，能够扩展思维.
教学重难点
重点
借助具体实例了解数学归纳法的基本思 想，掌握它的基本步骤，运用它证明一些与 正整数n(n取无限多个值)有关的数学命题.
难点
•理解数学归纳法的思想实质，了解第二个 步骤的作用，根据归纳假设作出证明; •运用数学归纳法时，在“归纳递推”的步 骤中发现具体问题的递推关系.
对于数列{an }，已知a1 = 1， an+1 an = (n = 1， 2， 3， )， 1 + an
1 此数列的通项公式an = . n
大家现在能证明这个猜想吗？ 这个猜想和多米诺骨牌游戏有相 似性吗？你能类比多米诺骨牌游戏解 决这个问题吗？
高二数学 第二章《2.2.3数学归纳法(1)》教案 新人教A版选修2-2
高中数学 第二章《2.2.3数学归纳法（1）》教案 新人教A 版选修2-2 教学目标知识与技能：了解数学归纳法原理，理解数学归纳法的概念；过程与方法: 掌握数学归纳法的证明步骤，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题． 情感、态度与价值观：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。
教学重点: 了解数学归纳法原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．教学难点: 用数学归纳法证明一些简单的数学命题.教具准备：与教材内容相关的资料。
教学设想：并不是所有的正整数问题都是用数学归纳法证明，学习时要具体问题具体分析． 教学过程:学生探究过程：我们已经用归纳法得到许多结论，例如，等差数列{}n a 的通项公式1(1)n a a n d =+-， 自然数平方和公式2222(1)(21)1236n n n n +++++⋅⋅⋅+=．这些命题都与自然数有关，自然数有无限多个，我们无法对所有的自然数逐一验证．怎样证明一个与自然数有关的命题呢？讨论以下两个问题的解决方案：（1）在本章引言的例子中，因为袋子里的东西是有限的，迟早可以把它摸完，这样总可以得到一个肯定的结论．因此，要弄清袋子里究竟装了什么东西是一件很容易的事．但是，当袋子里的东西是无限多个的时候，那怎么办呢？（2）我们有时会做一种游戏，在一个平面上摆一排砖（每块砖都竖起），假定这排砖有无数块，我们要使所有的砖都倒下，只要做两件事就行了．第一，使第一块砖倒下；第二，保证前一块砖倒下后一定能击倒下一块砖．资料1: 费马（Fermat ）是17世纪法国著名的数学家，他是解析几何的发明者之一，是对微积分的创立作出贡献最多的人之一，是概率论的创始者之一，他对数论也有许多贡献．但是，费马曾认为，当n ∈N 时，221n+一定都是质数，这是他对n=0，1，2，3，4时的值分别为3,5,17,257,65537作了验证后得到的．18世纪伟大的瑞士科学家欧拉（Euler ）却证明了当n=5时， 5221+ =4 294 967 297=6 700 417×641，从而否定了费马的推测．有人说，费马为什么不再多算一个数呢？今天我们是无法回答的．但是要告诉同学们，失误的关键不在于多算一个上！资料2：f （n ）=n 2+n+41，当n ∈N 时，f （n ）是否都为质数？f （0）=41，f （1）=43，f （2）=47，f （3）=53，f （4）=61，f （5）=71，f （6）=83，f （7）=97，f （8）=113，f （9）=131，f （10）=151，… f （39）=1 601．但是f （40）=1 681=412是合数算了39个数不算少了吧，但还不行！我们介绍以上两个资料，不是说世界级大师还出错，我们有错就可以原谅，也不是说归纳法不行，不去学了，而是要找出运用归纳法出错的原因，并研究出对策来．对于生活、生产中的实际问题，得出的结论的正确性，应接受实践的检验，因为实践是检验真理的唯一标准．对于数学问题，应寻求数学证明课件展示：多媒体课件(游戏：多米诺骨牌) ,多米诺骨牌游戏要取得成功，必须靠两条：（1）骨牌的排列，保证前一张牌倒则后一张牌也必定倒；（2）第一张牌被推倒．用这种思想设计出来的，用于证明不完全归纳法推测所得命题的正确性的证明方法就是数学归纳法．数学运用例1．用数学归纳法证明：等差数列{}n a 中，1a 为首项，d 为公差，则通项公式为1(1)n a a n d =+-．①证：（1）当1n =时，等式左边1a =，等式右边110a d a =+⨯=，等式①成立．（2）假设当n k =时等式①成立，即1(1)k a a k d =+-，那么，当1n k =+时，有111(1)[(1)1]k k a a d a k d d a k d +=+=+-+=+--．这就是说，当1n k =+时等式也成立．根据（1）和（2），可知对任何*n N ∈，等式①都成立．变式：用数学归纳法证明：等比数列{}n a 中，1a 为首项，q 为公比，则通项公式为11n n a a q -=． 例2．用数学归纳法证明：当*n N ∈时，2135(21)n n +++⋅⋅⋅+-=．证：（1）当1n =时，等式左边1=，等式右边1=，等式成立．（2）假设当n k =时等式成立，即2135(21)k k +++⋅⋅⋅+-=，那么，当1n k =+时，有135(21)[2(1)1]k k +++⋅⋅⋅+-++- 222[2(1)1]21(1)k k k k k =++-=++=+．这就是说，当1n k =+时等式也成立．根据（1）和（2），可知对任何*n N ∈，等式都成立．例3．用数学归纳法证明：当*n N ∈时，2222(1)(21)1236n n n n +++++⋅⋅⋅+=． 证：（1）当1n =时，211=，1(11)(211)16⨯+⨯⨯+=，结论成立． （2）假设n k =时，结论成立，即2222(1)(21)1236k k k k +++++⋅⋅⋅+=， 那么。
2018学年人教A版数学选修2-2课件 第二章 推理与证明 2.3数学归纳法 精品
将 a3＝2b3＋8 代入，得 a4＝ba3＋b4＋(2－b)·23＝3b4 ＋16.(3 分)
(2)由 a2，a3，a4 的结果猜想数列{an}的通项公式为 an＝(n－1)b3＋2n.(5 分)
证明如下： ①当 n＝1 时，a1＝2＝(1－1)b1＋21 成立．(6 分) ②假设当 n＝k 时，ak＝(k－1)bk＋2k，(7 分) 则当 n＝k＋1 时，ak＋1＝bak＋bk＋1＋(2－b)2k ＝(k－1)bk＋1＋b·2k＋bk＋1＋(2－b)2k ＝kbk＋1＋2k＋1＝[(k＋1)－1]bk＋1＋2k＋1.(10 分)
由此可知，当 n＝k＋1 时，猜想成立．(11 分) 由①②可知， an＝(n－1)b3＋2n 对任意 n∈N*都成立．(12 分)
归纳升华 “归纳—猜想—证明”是解数列问题的一种重要思 路，其一般步骤是：先根据已知条件给出的递推关系写出 数列的前几项，然后猜想出通项公式或求和公式，最后用 数学归纳法证明．归纳、猜想得出的结论不一定正确，因 此，必须经过严谨的证明．
[典例 2]
证明不等式
1＋
1＋ 2
1 ＋…＋ 3
1n＜2
n
(n∈N*)．
证明：(1)当 n＝1 时，左边＝1，右边＝2.左边＜右边，
不等式成立．
(2)假设当 n＝k(k≥1，k∈N*)时，不等式成立，
即 1＋ 12＋ 13＋…＋ 1k＜2 k.则当 n＝k＋1 时，
1＋
1 2
＋
1 3
＋
…
＋
1 k
＋
[变式训练] 设 n∈N*，求证：1－12＋13－14＋…＋ 2n1－1－21n＝n＋1 1＋n＋1 2＋…＋21n.
证明：(1)当 n＝1 时，左边＝1－12＝12，右边＝1＋1 1＝ 12.左边＝右边．
高中数学人教A版选修2-2学案第二章 2.3 数学归纳法 Word版含解析
数学归纳法预习课本～，思考并完成下列问题()数学归纳法的概念是什么？适用范围是什么？()数学归纳法的证题步骤是什么？[新知初探]．数学归纳法的定义一般地，证明一个与正整数有关的命题，可按下列步骤进行只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从开始的所有正整数都成立．这种证明方法叫做数学归纳法．．数学归纳法的框图表示[点睛]数学归纳法证题的三个关键点()验证是基础数学归纳法的原理表明：第一个步骤是要找一个数，这个，就是我们要证明的命题对象对应的最小自然数，这个自然数并不一定都是“”，因此“找准起点，奠基要稳”是第一个关键点．()递推是关键数学归纳法的实质在于递推，所以从“”到“＋”的过程中，要正确分析式子项数的变化．关键是弄清等式两边的构成规律，弄清由＝到＝＋时，等式的两边会增加多少项，增加怎样的项．()利用假设是核心在第二步证明＝＋成立时，一定要利用归纳假设，即必须把归纳假设“＝时命题成立”作为条件来导出“＝＋”，在书写(＋)时，一定要把包含()的式子写出来，尤其是()中的最后一项，这是数学归纳法的核心．不用归纳假设的证明就不是数学归纳法．[小试身手]．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)()与正整数有关的数学命题的证明只能用数学归纳法．( )()数学归纳法的第一步的初始值一定为.( )()数学归纳法的两个步骤缺一不可．( )答案：()×()×()√．如果命题()对所有正偶数都成立，则用数学归纳法证明时须先证＝成立．答案：．已知()＝＋＋＋…＋(∈*)，计算得()＝，()＞，()＞，()＞，()＞，由此推测，当＞时，有．答案：()＞[典例]用数学归纳法证明：＋＋…＋＝(∈*)．[证明]()当＝时，＝成立．。
2018-2019学年高中数学人教A版选修2-2学案：第二章 推理与证明 章末复习 Word版含解析
章末复习学习目标 1.整合本章知识要点.2.进一步理解合情推理与演绎推理的概念、思维形式、应用等.3.进一步熟练掌握直接证明与间接证明.4.理解数学归纳法，并会用数学归纳法证明问题．1．合情推理(1)归纳推理：由部分到整体、由个别到一般的推理．(2)类比推理：由特殊到特殊的推理．(3)合情推理：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理．2．演绎推理(1)演绎推理：由一般到特殊的推理．(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：①大前提——已知的一般原理；②小前提——所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．3．直接证明和间接证明(1)直接证明的两类基本方法是综合法和分析法：①综合法是从已知条件推出结论的证明方法；②分析法是从结论追溯到条件的证明方法．(2)间接证明的一种方法是反证法，是从结论反面成立出发，推出矛盾的方法．4．数学归纳法数学归纳法主要用于解决与正整数有关的数学命题．证明时，它的两个步骤缺一不可，它的第一步(归纳奠基)是证当n＝n0时结论成立；第二步(归纳递推)是假设当n＝k时结论成立，推得当n＝k＋1时结论也成立．1．归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确．(×)2．“所有3的倍数都是9的倍数，某数m是3的倍数，则m一定是9的倍数”，这是三段论推理，但其结论是错误的．(√)3．综合法是直接证明，分析法是间接证明．(×)4．反证法是指将结论和条件同时否定，推出矛盾．( × )类型一 合情推理与演绎推理例1 (1)观察下列等式：⎝⎛⎭⎫sin π3－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π3－2＝43×1×2； ⎝⎛⎭⎫sin π5－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π5－2＋⎝⎛⎭⎫sin 3π5－2＋⎝⎛⎭⎫sin 4π5－2 ＝43×2×3； ⎝⎛⎭⎫sin π7－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π7－2＋⎝⎛⎭⎫sin 3π7－2＋…＋⎝⎛⎭⎫sin 6π7－2＝43×3×4； ⎝⎛⎭⎫sin π9－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π9－2＋⎝⎛⎭⎫sin 3π9－2＋…＋⎝⎛⎭⎫sin 8π9－2＝43×4×5； ……照此规律，⎝⎛⎭⎫sin π2n ＋1－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π2n ＋1－2＋⎝⎛⎭⎫sin 3π2n ＋1－2＋…＋⎝⎛⎭⎫sin 2n π2n ＋1－2＝________. 考点 归纳推理的应用题点 归纳推理在数对(组)中的应用答案 43n (n ＋1) 解析 第一个等式中1＝3－12，2＝3＋12； 第二个等式中，2＝5－12，3＝5＋12； 第三个等式中，3＝7－12，4＝7＋12. 由此可推得第n 个等式等于43×2n ＋1－12×2n ＋1＋12＝43n (n ＋1)． (2)根据图(1)的面积关系：S △P A ′B ′S △P AB ＝P A ′P A ·PB ′PB ，可猜想图(2)有体积关系：V 三棱锥P －A ′B ′C ′V 三棱锥P －ABC ＝________.。
人教A版选修2-2第2章2.3.docx
高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作§2.3 数学归纳法课时目标 1.了解数学归纳法的原理.2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．1．由一系列有限的个别事实得出一般结论的推理方法，通常叫做归纳法． 2．用数学归纳法证明一个与正整数n 有关的命题时，其步骤为： (1)归纳奠基：证明当n 取第一个值n 0(n 0∈N *)时命题成立；(2)归纳递推：假设n ＝k (k ∈N *，k ≥n 0)时命题成立，证明当n ＝k ＋1时命题也成立； (3)由(1)(2)得出结论．一、选择题1．用数学归纳法证明1＋a ＋a 2＋…＋a n ＋1＝1－a n ＋21－a(a ≠1，n ∈N *)，在验证n ＝1时，等号左边的项是( ) A ．1 B ．1＋a C ．1＋a ＋a 2 D ．1＋a ＋a 2＋a 32．用数学归纳法证明“2n >n 2＋1对于n ≥n 0的自然数n 都成立”时，第一步证明中的起始值n 0应取( ) A ．2 B ．3 C ．5 D ．63．已知f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N *)，证明不等式f (2n )>n 2时，f (2k ＋1)比f (2k )多的项数是( ) A ．2k－1项 B ．2k＋1项C ．2k 项D ．以上都不对4．用数学归纳法证明(n ＋1)(n ＋2)·…·(n ＋n )＝2n ·1·3·…·(2n ＋1)(n ∈N *)，从“k 到k ＋1”左端需增乘的代数式为( ) A ．2k ＋1 B ．2(2k ＋1) C.2k ＋1k ＋1 D.2k ＋3k ＋15．用数学归纳法证明“当n 为正奇数时，x n ＋y n 能被x ＋y 整除”时，第一步验证n ＝1时，命题成立，第二步归纳假设应写成( )A ．假设n ＝2k ＋1(n ∈N *)时命题正确，再推证n ＝2k ＋3时命题正确B ．假设n ＝2k －1(k ∈N *)时命题正确，再推证n ＝2k ＋1时命题正确C ．假设n ＝k (k ∈N *)时命题正确，再推证n ＝k ＋2时命题正确D ．假设n ≤k (k ∈N *)时命题正确，再推证n ＝k ＋2时命题正确6．用数学归纳法证明不等式“1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n >1324 (n >2)”时的过程中，由n ＝k到n ＝k ＋1时，不等式的左边( ) A ．增加了一项12(k ＋1)B ．增加了两项12k ＋1，12(k ＋1)C ．增加了两项12k ＋1，12(k ＋1)，又减少了一项1k ＋1D ．增加了一项12(k ＋1)，又减少了一项1k ＋1题 号 1 2 3 4 5 6 答 案二、填空题7．用数学归纳法证明：1＋2＋3＋…＋n 2＝n 4＋n 22时，则n ＝k ＋1时的左端应在n ＝k 时的左端加上____________________________．8．用数学归纳法证明：1＋2＋22＋…＋2n －1＝2n －1 (n ∈N *)的过程如下：(1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，等式成立．(2)假设当n ＝k 时等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k －1＝2k －1，则当n ＝k ＋1时，1＋2＋22＋…＋2k －1＋2k＝1－2k ＋11－2＝2k ＋1－1.所以当n ＝k ＋1时等式也成立．由此可知对于任何n ∈N *，等式都成立．上述证明的错误是________________________．9．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，S n ＝n 2a n (n ∈N *)．依次计算出S 1，S 2，S 3，S 4后，可猜想S n 的表达式为________________． 三、解答题10．试比较2n ＋2与n 2的大小(n ∈N *)，并用数学归纳法证明你的结论．11．在数列{a n }中，a 1＝12，a n ＋1＝a n2a n ＋1(n ＝1,2,3，…)(1)求a 2，a 3；(2)猜想数列{a n }的通项公式，并用数学归纳法证明你的结论．能力提升12．已知f (n )＝(2n ＋7)·3n ＋9，存在正整数m ，使得对任意n ∈N *都能使m 整除f (n )， 则最大的m 的值为多少？并证明之．13．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知对任意的n ∈N *，点(n ，S n )均在函数y ＝b x ＋r (b >0且b ≠1，b ，r 均为常数)的图象上． (1)求r 的值；(2)当b ＝2时，记b n ＝2(log 2a n ＋1)(n ∈N *)，证明：对任意的n ∈N *，不等式b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1b n >n ＋1成立．1．数学归纳法在证明与正整数n 有关的等式、不等式、整除问题及数列问题中有广泛的应用．2．在证明n ＝k ＋1时的命题中，怎样变形使之出现n ＝k 时的命题的形式是解决问题的关键，要找清n ＝k ＋1时式子结构或几何量的改变．答案作业设计1．C [当n ＝1时，a n ＋1＝a 2.∴等号左边的项是1＋a ＋a 2.]2．C [当n 取1、2、3、4时2n >n 2＋1不成立，当n ＝5时，25＝32>52＋1＝26，第一个能使2n >n 2＋1的n 值为5.]3．C [观察f (n )的表达式可知，右端分母是连续的正整数，f (2k )＝1＋12＋…＋12k ，而f (2k ＋1)＝1＋12＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋2k .因此f (2k ＋1)比f (2k )多了2k 项．]4．B [当n ＝k 时左端为(k ＋1)(k ＋2)·…·(k ＋k )，当n ＝k ＋1时，左端为(k ＋2)(k ＋3)…(k ＋1＋k －1)(k ＋1＋k )(k ＋1＋k ＋1)，即(k ＋2)(k ＋3)…(k ＋k )·(2k ＋1)(2k ＋2)． 观察比较它们的变化知增乘了(2k ＋1)(2k ＋2)k ＋1＝2(2k ＋1)．]5．B [因n 为正奇数，所以否定C 、D 项；当k ＝1时，2k －1＝1,2k ＋1＝3，故选B.] 6．C [当n ＝k 时，左边＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k .当n ＝k ＋1时，左边＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12(k ＋1)＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ＋⎝⎛⎭⎫12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1.]7．(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋…＋(k ＋1)28．没有用到归纳假设，不是数学归纳法． 9．S n ＝2n n ＋1解析 S 1＝1，S 2＝43，S 3＝32＝64，S 4＝85，猜想S n ＝2nn ＋1.10．证明 当n ＝1时，21＋2＝4>n 2＝1， 当n ＝2时，22＋2＝6>n 2＝4， 当n ＝3时，23＋2＝10>n 2＝9，当n ＝4时，24＋2＝18>n 2＝16， 由此可以猜想， 2n ＋2>n 2 (n ∈N *)成立． 下面用数学归纳法证明：①当n ＝1时，左边＝21＋2＝4，右边＝1， 所以左边>右边，所以原不等式成立． 当n ＝2时，左边＝22＋2＝6， 右边＝22＝4，所以左边>右边；当n ＝3时，左边＝23＋2＝10，右边＝32＝9， 所以左边>右边．②假设n ＝k 时(k ≥3且k ∈N *)时，不等式成立， 即2k ＋2>k 2，那么n ＝k ＋1时， 2k ＋1＋2＝2·2k ＋2＝2(2k ＋2)－2>2k 2－2.要证当n ＝k ＋1时结论成立， 只需证2k 2－2≥(k ＋1)2， 即证k 2－2k －3≥0， 即证(k ＋1)(k －3)≥0. 又∵k ＋1>0，k －3≥0， ∴(k ＋1)(k －3)≥0.所以当n ＝k ＋1时，结论成立． 由①②可知，n ∈N *,2n ＋2>n 2.11．解 (1)a 2＝a 12a 1＋1＝122×12＋1＝14，a 3＝a 22a 2＋1＝142×14＋1＝16.(2)猜想a n ＝12n ，下面用数学归纳法证明此结论正确．证明：①当n ＝1时，结论显然成立．②假设当n ＝k (k ∈N *)时，结论成立，即a k ＝12k ，那么a k ＋1＝a k2a k ＋1＝12k 2×12k＋1＝12k ＋2＝12(k ＋1). 也就是说，当n ＝k ＋1时结论成立．根据①②可知，结论对任意正整数n 都成立， 即a n ＝12n.12．解 ∵f (1)＝36，f (2)＝108＝3×36， f (3)＝360＝10×36，∴f (1)，f (2)，f (3)能被36整除，猜想f (n )能被36整除． 证明：n ＝1,2时，由上得证，假设n ＝k (k ∈N *，k ≥2)时， f (k )＝(2k ＋7)·3k ＋9能被36整除， 则n ＝k ＋1时，f (k ＋1)－f (k )＝(2k ＋9)·3k ＋1－(2k ＋7)·3k＝(6k ＋27)·3k －(2k ＋7)·3k＝(4k ＋20)·3k ＝36(k ＋5)·3k －2(k ≥2)．∴f (k ＋1)能被36整除．因此，对任意n ∈N *，f (n )都能被36整除． 又∵f (1)不能被大于36的数整除， ∴所求最大的m 值等于36. 13．(1)解 由题意：S n ＝b n ＋r ， 当n ≥2时，S n －1＝b n －1＋r .所以a n ＝S n －S n －1＝b n －1(b －1)，由于b >0且b ≠1，所以n ≥2时，{a n }是以b 为公比的等比数列． 又a 1＝b ＋r ，a 2＝b (b －1)， a 2a 1＝b ，即b (b －1)b ＋r ＝b ，解得r ＝－1. (2)证明 当b ＝2时，由(1)知a n ＝2n －1，因此b n ＝2n (n ∈N *)，所证不等式为2＋12·4＋14·…·2n ＋12n >n ＋1.①当n ＝1时，左式＝32，右式＝ 2.左式>右式，所以结论成立， ②假设n ＝k (k ∈N *)时结论成立，即2＋12·4＋14·…·2k ＋12k>k ＋1， 则当n ＝k ＋1时， 2＋12·4＋14·…2k ＋12k ·2k ＋32(k ＋1) >k ＋1·2k ＋32(k ＋1)＝2k ＋32k ＋1.要证当n ＝k ＋1时结论成立， 只需证2k ＋32k ＋1≥k ＋2，即证2k ＋32≥(k ＋1)(k ＋2)，由基本不等式2k ＋32＝(k ＋1)＋(k ＋2)2≥(k ＋1)(k ＋2)成立， 故2k ＋32k ＋1≥k ＋2成立，所以当n ＝k ＋1时，结论成立．由①②可知，n ∈N *时，不等式b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1b n>n ＋1成立．。
人教A版选修2-2 数学归纳法 学案
数学归纳法[学习目标] 1.了解数学归纳法原理.2.掌握数学归纳法的两个步骤，会用数学归纳法证明一些简单的数学命题.知识点一 归纳法及分类由一系列有限的特殊事例得出一般性结论的推理方法，通常叫归纳法，归纳法可以分为完全归纳法和不完全归纳法，完全归纳法所得出的结论是完全可靠的，因为它考察了问题涉及的所有对象；不完全归纳法得出的结论不一定可靠，因为它只考察了某件事情的部分对象，但它是一种重要的思考问题的方法，是研究数学的一把钥匙，是发现数学规律的一种重要手段.用不完全归纳法发现规律，再用完全归纳法证明，是解决问题的一种重要途径.完全归纳法是一种在研究了解事物的所有(有限种)特殊情况后，得出一般结论的推理方法，又叫枚举法.与不完全归纳法不同，用完全归纳法得出的结论是可靠的.通常在事物包括的特殊情况不多时，采用完全归纳法.思考 下面的各列数都依照一定规律排列，请在括号里填上适当的数. (1)1,5,9,13,17，( )；(2)23，1,1 12，2 14，3 38，( )； (3)34，58，12，922，1132，( )； (4)32,31,16,26，( )，( )，4,16,2,11. 答案 (1)21；(2)8116；(3)1344；(4)8 21.知识点二 数学归纳法 1.数学归纳法证明一个与正整数n 有关的命题，可按下列步骤进行： ①(归纳奠基)证明当n 取第一个值n 0(n 0∈N *)时命题成立；②(归纳递推)假设n ＝k (k ≥n 0，k ∈N *)时命题成立，证明当n ＝k ＋1时命题也成立. 2.应用数学归纳法时注意几点：(1)用数学归纳法证明的对象是与正整数n 有关的命题. (2)在用数学归纳法证明中，两个基本步骤缺一不可.(3)步骤②的证明必须以“假设n ＝k (k ≥n 0，k ∈N *)时命题成立”为条件.思考 (1)对于数列{a n }，已知a 1＝1，a n ＋1＝a n1＋a n (n ∈N *)，求出数列前4项，你能得到什么猜想？你的猜想一定是正确的吗？(2)多米诺骨牌都一一倒下只需满足哪几个条件？答案 (1)a 1＝1，a 2＝12，a 3＝13，a 4＝14.猜想数列的通项公式为a n ＝1n .不能保证猜想一定正确，需要严密的证明.(2)①第一块骨牌倒下；②任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下.条件②事实上给出了一个递推关系，换言之就是假设第K 块倒下，则相邻的第K ＋1块也倒下.题型一 用数学归纳法证明恒成立例1 求证：(n ＋1)(n ＋2)·…·(n ＋n )＝2n ·1·3·…·(2n －1)(n ∈N *).证明 (1)当n ＝1时，左边＝1＋1＝2，右边＝21×1＝2，左边＝右边，等式成立. (2)假设当n ＝k (k ∈N *)时等式成立，即(k ＋1)(k ＋2)·…·(k ＋k )＝2k ·1·3·…·(2k －1)， 那么，当n ＝k ＋1时，左边＝(k ＋2)(k ＋3)·…·(k ＋k )(k ＋k ＋1)(k ＋k ＋2) ＝(k ＋1)(k ＋2)(k ＋3)·…·(k ＋k )·(2k ＋1)(2k ＋2)k ＋1＝2k ·1·3·…·(2k －1)(2k ＋1)·2＝2k ＋1·1·3·…·(2k －1)·[2(k ＋1)－1]＝右边.∴当n ＝k ＋1时，等式也成立.由(1)(2)可知，对一切n ∈N *，原等式均成立.反思与感悟 用数学归纳法证明与正整数有关的等式问题，关键在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，项的多少与n 的取值是否有关，由n ＝k 到n ＝k ＋1时，等式两边会增加多少项，增加怎样的项.跟踪训练1 用数学归纳法证明12＋32＋52＋…＋(2n －1)2＝13n (4n 2－1)(n ∈N *).证明 (1)当n ＝1时，左边＝12，右边＝13×1×(4×12－1)＝1，左边＝右边，等式成立.(2)假设当n ＝k (k ∈N *，k ≥1)时，等式成立， 即12＋32＋52＋…＋(2k －1)2＝13k (4k 2－1)，则当n ＝k ＋1时，12＋32＋52＋…＋(2k －1)2＋(2k ＋1)2 ＝13k (4k 2－1)＋(2k ＋1)2＝13k (2k ＋1)(2k －1)＋(2k ＋1)2 ＝13(2k ＋1)[k (2k －1)＋3(2k ＋1)] ＝13(2k ＋1)(2k 2＋5k ＋3) ＝13(2k ＋1)(k ＋1)(2k ＋3) ＝13(k ＋1)(4k 2＋8k ＋3) ＝13(k ＋1)[4(k ＋1)2－1]， 即当n ＝k ＋1时，等式成立. 由(1)(2)知，对一切x ∈N *等式成立. 题型二 证明不等式问题例2 已知{a n }为等比数列且a n ＝2n －1，记b n ＝2(log 2a n ＋1)(n ∈N *)，用数学归纳法证明对任意的n ∈N *，不等式b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1b n ＞n ＋1成立.证明 由已知条件可得b n ＝2n (n ∈N *)， ∴所证不等式为2＋12·4＋14·…·2n ＋12n ＞n ＋1.(1)当n ＝1时，左边＝32，右边＝2，左边＞右边，∴不等式成立.(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时，不等式成立. 即2＋12·4＋14·…·2k ＋12k＞k ＋1，则当n ＝k ＋1时，2＋12·4＋14·…·2k ＋12k ·2k ＋32(k ＋1)＞k ＋1·2k ＋32(k ＋1)＝2k ＋32k ＋1.要证当n ＝k ＋1时，不等式成立，只需证2k ＋32k ＋1≥k ＋2，即证2k ＋32≥(k ＋1)(k ＋2)，由基本不等式，得2k ＋32＝(k ＋1)＋(k ＋2)2≥(k ＋1)(k ＋2)成立，∴2k ＋32k ＋1≥k ＋2成立，∴当n ＝k ＋1时，不等式成立.由(1)(2)可知，对一切n ∈N *，原不等式均成立.反思与感悟 用数学归纳法证明不等式问题时要注意两凑：一凑归纳假设；二凑证明目标，在凑证明目标时，比较法、综合法、分析法都适用.跟踪训练2 用数学归纳法证明对一切n ∈N *,1＋122＋132＋… ＋1n 2≥3n2n ＋1.证明 (1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝3×12×1＋1＝1，不等式成立.(2)假设当n ＝k 时，不等式成立， 即1＋122＋132＋…＋1k 2≥3k 2k ＋1，则当n ＝k ＋1时，要证1＋122＋132＋…＋1k 2＋1(k ＋1)2≥3(k ＋1)2(k ＋1)＋1， 只需证3k 2k ＋1＋1(k ＋1)2≥3(k ＋1)2k ＋3. 因为3(k ＋1)2k ＋3－⎣⎡⎦⎤3k 2k ＋1＋1(k ＋1)2＝34(k ＋1)2－1－1(k ＋1)2＝1－(k ＋1)2(k ＋1)2[4(k ＋1)2－1] ＝－k (k ＋2)(k ＋1)2(4k 2＋8k ＋3)≤0，所以3k 2k ＋1＋1(k ＋1)2≥3(k ＋1)2k ＋3，即1＋122＋132＋…＋1k 2＋1(k ＋1)2≥3(k ＋1)2(k ＋1)＋1，所以当n ＝k ＋1时不等式成立.由(1)(2)知，不等式对一切n ∈N *都成立. 题型三 用数学归纳法证明整除问题 例3 求证n ∈N *时，a n ＋1＋(a ＋1)2n－1能被a 2＋a ＋1整除. 证明 (1)当n ＝1时，a 1＋1＋(a ＋1)2×1－1＝a 2＋a ＋1，命题显然成立.(2)假设当n ＝k (k ∈N *，k ≥1)时，a k ＋1＋(a ＋1)2k－1能被a 2＋a ＋1整除，则当n ＝k ＋1时，a k ＋2＋(a ＋1)2k ＋1＝a ·a k ＋1＋(a ＋1)2·(a ＋1)2k －1＝a [a k ＋1＋(a ＋1)2k －1]＋(a ＋1)2(a ＋1)2k －1－a (a ＋1)2k －1＝a [a k ＋1＋(a ＋1)2k －1]＋(a 2＋a ＋1)(a ＋1)2k －1.由归纳假设，上式中的两项均能被a 2＋a ＋1整除， 故当n ＝k ＋1时命题成立.由(1)(2)知，对任意n ∈N *，命题成立.反思与感悟 用数学归纳法证明数的整除性问题时，关键是从当n ＝k ＋1时的式子中拼凑出当n ＝k 时能被某数整除的式子，并将剩余式子转化为能被该数整除的式子. 跟踪训练3 用数学归纳法证明对于任意非负整数n ，A n ＝11n ＋2＋122n＋1能被133整除.证明 (1)当n ＝0时，A 0＝112＋12＝133，能被133整除. (2)假设当n ＝k (k ≥0)时，A k ＝11k ＋2＋122k＋1能被133整除，那么当n ＝k ＋1时，A k ＋1＝11k ＋3＋122k ＋3＝11·11k ＋2＋122·122k ＋1＝11·11k ＋2＋11·122k ＋1＋(122－11)·122k ＋1＝11·(11k ＋2＋122k ＋1)＋133·122k ＋1，能被133整除.由(1)(2)可知，对于任意非负整数n ，A n 都能被133整除. 题型四 用数学归纳法解决平面几何问题例4 已知n 个平面都过同一点，但其中任何三个平面都不经过同一直线，求证：这n 个平面把空间分成f (n )＝n (n －1)＋2部分.证明 (1)当n ＝1时，1个平面把空间分成2部分，而f (1)＝1×(1－1)＋2＝2(部分)，所以命题正确.(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时，命题成立，即k 个符合条件的平面把空间分为f (k )＝k (k －1)＋2(部分)，当n ＝k ＋1时，第k ＋1个平面和其他每一个平面相交，使其所分成的空间都增加2部分，所以共增加2k 部分，故f (k ＋1)＝f (k )＋2k ＝k (k －1)＋2＋2k ＝k (k －1＋2)＋2＝(k ＋1)[(k ＋1)－1]＋2(部分)， 即当n ＝k ＋1时，命题也成立.根据(1)(2)，知n 个符合条件的平面把空间分成f (n )＝n (n －1)＋2部分.反思与感悟 用数学归纳法证明几何问题的关键是“找项”，即几何元素从k 增加到k ＋1时，所证的几何量增加多少，同时要善于利用几何图形的直观性，建立k 与k ＋1之间的递推关系.跟踪训练4 平面内有n (n ∈N *，n ≥2)条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，求证交点的个数f (n )＝n (n －1)2.证明 (1)当n ＝2时，两条直线的交点只有一个，又f (2)＝12×2×(2－1)＝1，∴当n ＝2时，命题成立.(2)假设当n ＝k (k ∈N *，k ≥2)时命题成立，即平面内满足题设的任何k 条直线的交点个数f (k )＝12k (k －1)， 那么，当n ＝k ＋1时，任取一条直线l ，除l 以外其他k 条直线的交点个数为f (k )＝12k (k －1)，l 与其他k 条直线的交点个数为k ，从而k ＋1条直线共有f (k )＋k 个交点，即f (k ＋1)＝f (k )＋k ＝12k (k －1)＋k ＝12k (k －1＋2)＝12k (k ＋1)＝12(k ＋1)[(k ＋1)－1]，∴当n ＝k ＋1时，命题成立.由(1)(2)可知，对任意n ∈N *(n ≥2)命题都成立.因弄错从n ＝k 到n ＝k ＋1的增加项致误例5 用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋12n ＞n ＋12(n ∈N *).错解 ①当n ＝1时，左边＝1＋12，右边＝1＋12＝1，显然左边＞右边，即n ＝1时不等式成立.②假设n ＝k (k ≥1，且k ∈N *)时不等式成立， 即1＋12＋13＋…＋12k ＞k ＋12.那么，当n ＝k ＋1时，1＋12＋13＋…＋12k ＋12k ＋1＞k ＋12＋12k ＋1＞k ＋12＋12 ＝(k ＋1)＋12，即n ＝k ＋1时，不等式成立.由①②得1＋12＋13＋…＋12n ＞n ＋12(n ∈N *)成立.错因分析 以上用数学归纳法证明的过程是错误的，因为在从n ＝k 到n ＝k ＋1时增加的不止一项，应是12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋2k ，共有2k项，并且k ＋12＋12k ＋1＞k ＋12＋12也是错误的. 正解 ①当n ＝1时， 左边＝1＋12，右边＝1＋12＝1，所以左边＞右边， 即n ＝1时不等式成立.②假设n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时不等式成立， 即1＋12＋13＋…＋12k ＞k ＋12，那么，当n ＝k ＋1时，有1＋12＋13＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋2k ＞k ＋12＋2111...222222k k k k k k k++++++个＝k ＋12＋2k 2k ＋2k ＝k ＋12＋12＝(k ＋1)＋12. 所以n ＝k ＋1时，不等式成立.由①②可知，n ∈N *时1＋12＋13＋…＋12n ＞n ＋12.防范措施 当n ＝k ＋1时，可以写出相应增加的项，然后再结合数学归纳法证明.1.用数学归纳法证明1＋a ＋a 2＋…＋a n＝1－a n ＋11－a(a ≠1，n ∈N *)，在验证当n ＝1时，左边计算所得的式子是( ) A.1 B.1＋a C.1＋a ＋a 2 D.1＋a ＋a 2＋a 4答案 B解析 当n ＝1时，左边的最高次数为1，即最后一项为a ，左边是1＋a ，故选B. 2.用数学归纳法证明不等式1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n ＞1324(n ≥2)的过程中，由n ＝k 递推到n ＝k ＋1时，不等式的左边( ) A.增加了一项12(k ＋1)B.增加了两项12k ＋1，12(k ＋1)C.增加了两项12k ＋1，12(k ＋1)，又减少了一项1k ＋1D.增加了一项12(k ＋1)，又减少了一项1k ＋1答案 C解析 n ＝k 时，左边为1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ，①n ＝k ＋1时，左边为1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1＋12(k ＋1)，②比较①②可知C 正确.3.已知f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N *)，证明不等式f (2n )>n 2时，f (2k ＋1)比f (2k )多的项数是______.答案 2k解析 观察f (n )的表达式可知，右端分母是连续的正整数，f (2k )＝1＋12＋13＋…＋12k ，而f (2k ＋1)＝1＋12＋13＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋2k .因此f (2k ＋1)比f (2k )多了2k 项.4.用数学归纳法证明3n ≥n 3(n ≥3，n ∈N *)第一步应验证________. 答案 n ＝3时是否成立解析 n 的最小值为3，所以第一步验证n ＝3时是否成立.5.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，S n ＝n 2a n (n ∈N *).依次计算出S 1，S 2，S 3，S 4后，可猜想S n 的表达式为________. 答案 S n ＝2nn ＋1解析 S 1＝1，S 2＝43，S 3＝32＝64，S 4＝85，猜想S n ＝2nn ＋1.1.数学归纳法的两个步骤相互依存，缺一不可.有一无二，是不完全归纳法，结论不一定可靠；有二无一，第二步就失去了递推的基础. 2.归纳假设的作用.在用数学归纳法证明问题时，对于归纳假设要注意以下两点：(1)归纳假设就是已知条件；(2)在推证n ＝k ＋1时，必须用上归纳假设. 3.利用归纳假设的技巧.在推证n ＝k ＋1时，可以通过凑、拆、配项等方法用上归纳假设.此时既要看准目标，又要掌握n ＝k 与n ＝k ＋1之间的关系.在推证时，分析法、综合法、反证法等方法都可以应用. 4.数学归纳法的适用范围.数学归纳法是直接证明的一种重要方法，应用十分广泛，主要体现在与正整数有关的恒等式、不等式、数的整除性、几何问题、探求数列的通项及前n 项和等问题中.一、选择题1.某个与正整数有关的命题：如果当n ＝k (k ∈N *)时命题成立，则可以推出当n ＝k ＋1时该命题也成立.现已知n ＝5时命题不成立，那么可以推得( ) A.当n ＝4时命题不成立 B.当n ＝6时命题不成立 C.当n ＝4时命题成立 D.当n ＝6时命题成立 答案 A解析 因为当n ＝k (k ∈N *)时命题成立，则可以推出当n ＝k ＋1时该命题也成立，所以假设当n ＝4时命题成立，那么n ＝5时命题也成立，这与已知矛盾，所以当n ＝4时命题不成立. 2.满足1×2＋2×3＋3×4＋…＋n ×(n ＋1)＝3n 2－3n ＋2的自然数n 等于( ) A.1 B.1或2 C.1,2,3 D.1,2,3,4 答案 C解析 当n ＝1,2,3时满足，当n ＝4时，左边＝1×2＋2×3＋3×4＋4×5＝40，右边＝3×42－3×4＋2＝38.所以左边＞右边，即n ＝4不满足.3.记凸k 边形的内角和为f (k )，则凸k ＋1边形的内角和f (k ＋1)＝f (k )＋( ) A.π2 B.π C.3π2 D.2π 答案 B解析 由凸k 边形变为凸k ＋1边形时，增加了一个三角形，故f (k ＋1)＝f (k )＋π. 4.k (k ≥3，k ∈N *)棱柱有f (k )个对角面，则(k ＋1)棱柱的对角面个数f (k ＋1)为( ) A.f (k )＋k －1 B.f (k )＋k ＋1 C.f (k )＋k D.f (k )＋k －2答案 A解析 三棱柱有0个对角面，四棱柱有2个对角面(0＋2＝0＋(3－1))；五棱柱有5个对角面(2＋3＝2＋(4－1))；六棱柱有9个对角面(5＋4＝5＋(5－1))；….猜想：若k 棱柱有f (k )个对角面，则(k ＋1)棱柱有f (k )＋k －1个对角面.5.用数学归纳法证明不等式1＋12＋14＋…＋12n －1＞12764(n ∈N *)成立，其初始值至少应取( )A.7B.8C.9D.10 答案 B解析 左边＝1＋12＋14＋…＋12n －1＝1－12n1－12＝2－12n －1，代入验证可知n 的最小值是8.6.用数学归纳法证明等式(n ＋1)(n ＋2)·…·(n ＋n )＝2n ·1·3·…·(2n －1)(n ∈N *)，从k 到k ＋1左端需要增乘的代数式为( ) A.2k ＋1 B.2(2k ＋1) C.2k ＋1k ＋1 D.2k ＋3k ＋1 答案 B解析 n ＝k ＋1时，左端为(k ＋2)(k ＋3)·…·[(k ＋1)＋(k －1)]·[(k ＋1)＋k ]·(2k ＋2)＝(k ＋1)(k ＋2)·…·(k ＋k )·(2k ＋1)·2，∴应增乘2(2k ＋1). 二、填空题7.用数学归纳法证明关于n的恒等式，当n＝k时，表达式为1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＝k(k ＋1)2，则当n＝k＋1时，表达式为_______________________________________.答案1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＋(k＋1)(3k＋4)＝(k＋1)(k＋2)28.用数学归纳法证明n3＋5n能被6整除的过程中，当n＝k＋1时，式子(k＋1)3＋5(k＋1)应变形为____________.答案(k3＋5k)＋3k(k＋1)＋6解析(k＋1)3＋5(k＋1)＝k3＋1＋3k2＋3k＋5k＋5＝(k3＋5k)＋3k2＋3k＋6＝(k3＋5k)＋3k(k＋1)＋6.∵k(k＋1)为偶数，∴3k(k＋1)能被6整除，∴(k＋1)3＋5(k＋1)应变形为(k3＋5k)＋3k(k＋1)＋6.9.用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N*)的过程中，第二步假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，则当n＝k＋1时应得到的式子为________.答案1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝2k－1＋2k解析由n＝k到n＝k＋1等式的左边增加了一项.10.用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N*)的过程如下：(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，等式成立.(2)假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k－1＝2k－1，则当n＝k＋1时，1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝1－2k＋11－2＝2k＋1－1.所以当n＝k＋1时等式也成立.由此可知对于任何n∈N*，等式都成立.上述证明的错误是________.答案未用归纳假设解析本题在由n＝k成立，证n＝k＋1成立时，应用了等比数列的求和公式，而未用上假设条件，这与数学归纳法的要求不符.三、解答题11.已知f(n)＝(2n＋7)3n＋9，存在自然数m，使得对任意正整数n，f(n)被m整除，猜测出最大的m的值，并用数学归纳法证明你的猜测是正确的.解∵f(1)＝36，f(2)＝108＝3×36，f(3)＝360＝10×36，∴f(1)，f(2)，f(3)能被36整除，猜想f(n)能被36整除.证明如下：当n＝1,2时，由上得证.假设当n＝k(k≥2)时，f(k)＝(2k＋7)·3k＋9能被36整除，则当n＝k＋1时，f(k＋1)－f(k)＝(2k＋9)·3k＋1－(2k＋7)·3k＝(6k＋27)·3k－(2k＋7)·3k＝(4k＋20)·3k＝36(k＋5)·3k－2(k≥2)，∴f(k＋1)能被36整除.∵f(1)不能被大于36的数整除，∴所求最大的m 的值为36.12.设f (x )＝2x x ＋2，x 1＝1，x n ＝f (x n －1)(n ≥2，n ∈N *). (1)求x 2，x 3，x 4的值；(2)归纳数列{x n }的通项公式，并用数学归纳法证明.解 (1)x 2＝f (x 1)＝23，x 3＝f (x 2)＝2×2323＋2＝12＝24，x 4＝f (x 3)＝2×1212＋2＝25. (2)根据计算结果，可以归纳出x n ＝2n ＋1. 证明：①当n ＝1时，x 1＝21＋1＝1，与归纳相符，归纳出的公式成立. ②假设当n ＝k (k ∈N *)时，公式成立，即x k ＝2k ＋1， 那么，x k ＋1＝2x k x k ＋2＝2×2k ＋12k ＋1＋2＝42k ＋4＝2(k ＋1)＋1， 所以当n ＝k ＋1时，公式也成立.由①②知，当n ∈N *时，x n ＝2n ＋1. 13.在数列{a n }，{b n }中，a 1＝2，b 1＝4，且a n ，b n ，a n ＋1成等差数列，b n ，a n ＋1，b n ＋1成等比数列(n ∈N *)，求a 2，a 3，a 4及b 2，b 3，b 4，由此猜测数列{a n }，{b n }的通项公式，证明你的结论.解 由题意得2b n ＝a n ＋a n ＋1，a 2n ＋1＝b n b n ＋1， 由此可得a 2＝6，b 2＝9，a 3＝12，b 3＝16，a 4＝20，b 4＝25. 猜测a n ＝n (n ＋1)，b n ＝(n ＋1)2，n ∈N *. 用数学归纳法证明如下：①当n ＝1时，由a 1＝2，b 1＝4可得结论成立. ②假设当n ＝k (k ≥2且k ∈N *)时，结论成立， 即a k ＝k (k ＋1)，b k ＝(k ＋1)2，那么当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝2b k －a k ＝2(k ＋1)2－k (k ＋1)＝(k ＋1)(k ＋2)＝(k ＋1)[(k ＋1)＋1]，b k ＋1＝a 2k ＋1b k ＝(k ＋1)2(k ＋2)2(k ＋1)2＝(k ＋2)2＝[(k ＋1)＋1]2. 所以当n ＝k ＋1时，结论也成立.由①②可知，a n ＝n (n ＋1)，b n ＝(n ＋1)2对一切n ∈N *都成立.。
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数学归纳法
预习课本P92～95，思考并完成下列问题
(1)数学归纳法的概念是什么？适用范围是什么？
(2)数学归纳法的证题步骤是什么？
[新知初探]
1．数学归纳法的定义
一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．这种证明方法叫做数学归纳法．
2．数学归纳法的框图表示
[点睛]数学归纳法证题的三个关键点
(1)验证是基础
数学归纳法的原理表明：第一个步骤是要找一个数n0，这个n0，就是我们要证明的命题对象对应的最小自然数，这个自然数并不一定都是“1”，因此“找准起点，奠基要稳”是第一个关键点．
(2)递推是关键
数学归纳法的实质在于递推，所以从“k”到“k＋1”的过程中，要正确分析式子项数的变化．关键是弄清等式两边的构成规律，弄清由n＝k到n＝k＋1时，等式的两边会增加多少项，增加怎样的项．
(3)利用假设是核心
在第二步证明n＝k＋1成立时，一定要利用归纳假设，即必须把归纳假设“n＝k时命题成立”作为条件来导出“n＝k＋1”，在书写f(k＋1)时，一定要把包含f(k)的式子写出来，尤其是f(k)中的最后一项，这是数学归纳法的核心．不用归纳假设的证明就不是数学归纳法．
[小试身手]
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)与正整数n有关的数学命题的证明只能用数学归纳法．()
(2)数学归纳法的第一步n0的初始值一定为1.()
(3)数学归纳法的两个步骤缺一不可．()
答案：(1)×(2)×(3)√
2．如果命题p(n)对所有正偶数n都成立，则用数学归纳法证明时须先证n＝________成立．
答案：2
3．已知f(n)＝1＋1
2＋
1
3＋…＋
1
n(n∈N
*)，计算得f(2)＝3
2，f(4)＞2，f(8)＞
5
2，f(16)＞3，
f(32)＞7
2，由此推测，当n＞2时，有______________．
答案：f(2n)＞n＋2 2。