重庆市江津实验中学2014-2015学年高二下学期第四学月数学试卷(文科) Word版含解析

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2014-2015年重庆市江津中学高二上学期期末数学试卷与解析

2014-2015学年重庆市江津中学高二（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）和直线3x﹣4y+5=0关于x轴对称的直线的方程为（）A．3x+4y﹣5=0B．3x+4y+5=0C．﹣3x+4y﹣5=0D．﹣3x+4y+5=02．（5分）已知F1，F2为平面内两定点，|F1F2|=6，动点M满足||MF1|﹣|MF2||=6，则M的轨迹是（）A．两条射线B．椭圆C．双曲线D．抛物线3．（5分）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D是CC1的中点，F是A1B的中点，且=α+β，则（）A．α=，β=﹣1B．α=﹣，β=1C．α=1，β=﹣D．α=﹣1，β=4．（5分）下列有关命题的说法错误的是（）A．命题“若x2﹣3x+2=0则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”B．“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件C．若p∧q为假命题，则p、q均为假命题D．对于命题p：∃x∈R，使得x2+x+1＜0．则￢p：∀x∈R，均有x2+x+1≥0 5．（5分）圆x2+y2﹣4x=0在点P（1，）处的切线方程为（）A．x+y﹣2=0B．x+y﹣4=0C．x﹣y+4=0D．x﹣y+2=06．（5分）若l、m、n是互不相同的空间直线，α、β是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是（）A．若α∥β，l⊂α，n⊂β，则l∥n B．若α⊥β，l⊂α，则l⊥βC．若l⊥n，m⊥n，则l∥m D．若l⊥α，l∥β，则α⊥β7．（5分）已知双曲线的准线过椭圆的焦点，则直线y=kx+2与椭圆至多有一个交点的充要条件是（）A．K∈[﹣，]B．K∈[﹣∞，﹣]∪[，+∞]C．K∈[﹣，]D．K∈[﹣∞，﹣]∪[，+∞]8．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱线长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF=，则下列结论中错误的是（）A．AC⊥BEB．EF∥平面ABCDC．三棱锥A﹣BEF的体积为定值D．异面直线AE，BF所成的角为定值9．（5分）已知F是抛物线y2=x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|+|BF|=3，则线段AB的中点到y轴的距离为（）A．B．1C．D．10．（5分）设椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为e=，右焦点为F（c，0），方程ax2+bx﹣c=0的两个实根分别为x1和x2，则点P（x1，x2）（）A．必在圆x2+y2=2外B．必在圆x2+y2=2上C．必在圆x2+y2=2内D．以上三种情形都有可能二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案写在答题卡相应位置上11．（5分）k∈R，曲线﹣=1表示双曲线，则k的取值范围为．12．（5分）斜率为的直线l过抛物线y2=4x的焦点且与该抛物线交于A，B两点，则|AB|=．13．（5分）已知非零实数a、b、c成等差数列，直线ax+by+c=0与曲线+=1（m＞0）恒有公共点，则实数m的取值范围为．14．（5分）P是椭圆+=1的上一点，点M，N分别是圆（x﹣3）2+y2=1和（x+3）2+y2=4上的动点，则|PM|+|PN|的最大值为．15．（5分）如图：点P在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的面对角线BC1上运动，则下列四个命题：①三棱锥A﹣D1PC的体积不变；②A1P∥面ACD1；③DP⊥BC1；④面PDB1⊥面ACD1．其中正确的命题的序号是．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16．（13分）如图，SD垂直于正方形ABCD所在的平面，AB=1，SB=．（1）求证：BC⊥SC；（2）设棱SA的中点为M，求异面直线DM与SC所成角的大小．17．（12分）已知，以点C（t，）为圆心的圆与x轴交于O、A两点，与y轴交于O、B两点．（1）求证：S为定值；△AOB（2）设直线y=﹣2x+4与圆C交于点M、N，若OM=ON，求圆C的方程．18．（12分）长方体AC1中，AB=BC=2，AA1=，E、F分别是面A1C1、面BC1的中心．（1）求证：AF⊥BE；（2）求二面角F﹣BC﹣E的余弦值．19．（13分）如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点F1，F2在x轴上，长轴A1A2的长为4，左准线l与x轴的交点为M，|MA1|：|A1F1|=2：1．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若点P在直线l上运动，求∠F1PF2的最大值、20．（13分）如图，四面体ABCD中，O是BD的中点，CA=CB=CD=BD=2，AB=AD=．（1）求证：AO⊥平面BCD；（2）求异面直线AB与CD所成角的余弦值．21．（12分）定义：离心率的椭圆为“黄金椭圆”，已知椭圆的两个焦点分别为F1（﹣c，0）、F2（c，0）（c＞0），P为椭圆E上的任意一点．（1）试证：若a，b，c不是等比数列，则E一定不是“黄金椭圆”；（2）设E为“黄金椭圆”，问：是否存在过点F2、P的直线l，使l与y轴的交点R 满足？若存在，求直线l的斜率k；若不存在，请说明理由；（3）设E为“黄金椭圆”，点M是△PF1F2的内心，连接PM并延长交F1F2于N，求的值．2014-2015学年重庆市江津中学高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）和直线3x﹣4y+5=0关于x轴对称的直线的方程为（）A．3x+4y﹣5=0B．3x+4y+5=0C．﹣3x+4y﹣5=0D．﹣3x+4y+5=0【解答】解：和直线3x﹣4y+5=0关于x轴对称的直线，其斜率与直线3x﹣4y+5=0的斜率相反，设所求直线为3x+4y+b=0，两直线在x轴截距相等，所以所求直线是3x+4y+5=0．故选：B．2．（5分）已知F1，F2为平面内两定点，|F1F2|=6，动点M满足||MF1|﹣|MF2||=6，则M的轨迹是（）A．两条射线B．椭圆C．双曲线D．抛物线【解答】解：（1）如图，M点不在线段F1F2所在直线上或在线段F1F2上（不含端点）时，显然||MF1|﹣|MF2||＜|F1F2|，不满足条件；（2）当M点在线段F1F2的延长线或反向延长线上时，满足||MF1|﹣|MF2||=|F1F2|；∴M的轨迹为两条射线．故选：A．3．（5分）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D是CC1的中点，F是A1B的中点，且=α+β，则（）A．α=，β=﹣1B．α=﹣，β=1C．α=1，β=﹣D．α=﹣1，β=【解答】解：根据向量加法的多边形法则以及已知可得，====，∴α=，β=﹣1，故选：A．4．（5分）下列有关命题的说法错误的是（）A．命题“若x2﹣3x+2=0则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”B．“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件C．若p∧q为假命题，则p、q均为假命题D．对于命题p：∃x∈R，使得x2+x+1＜0．则￢p：∀x∈R，均有x2+x+1≥0【解答】解：命题“若x2﹣3x+2=0则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”故A为真命题；“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件．故B为真命题；若p∧q为假命题，则p、q存在至少一个假命题，但p、q不一定均为假命题，故C为假命题；命题p：∃x∈R，使得x2+x+1＜0．则非p：∀x∈R，均有x2+x+1≥0，故D为真命题；故选：C．5．（5分）圆x2+y2﹣4x=0在点P（1，）处的切线方程为（）A．x+y﹣2=0B．x+y﹣4=0C．x﹣y+4=0D．x﹣y+2=0【解答】解：法一：x2+y2﹣4x=0y=kx﹣k+⇒x2﹣4x+（kx﹣k+）2=0．该二次方程应有两相等实根，即△=0，解得k=．∴y﹣=（x﹣1），即x﹣y+2=0．法二：∵点（1，）在圆x2+y2﹣4x=0上，∴点P为切点，从而圆心与P的连线应与切线垂直．又∵圆心为（2，0），∴•k=﹣1．解得k=，∴切线方程为x﹣y+2=0．故选：D．6．（5分）若l、m、n是互不相同的空间直线，α、β是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是（）A．若α∥β，l⊂α，n⊂β，则l∥n B．若α⊥β，l⊂α，则l⊥βC．若l⊥n，m⊥n，则l∥m D．若l⊥α，l∥β，则α⊥β【解答】解：选项A中，l除平行n外，还有异面的位置关系，则A不正确．选项B中，l与β的位置关系有相交、平行、在β内三种，则B不正确．选项C中，l与m的位置关系还有相交和异面，故C不正确．选项D中，由l∥β，设经过l的平面与β相交，交线为c，则l∥c，又l⊥α，故c⊥α，又c⊂β，所以α⊥β，正确．故选：D．7．（5分）已知双曲线的准线过椭圆的焦点，则直线y=kx+2与椭圆至多有一个交点的充要条件是（）A．K∈[﹣，]B．K∈[﹣∞，﹣]∪[，+∞] C．K∈[﹣，]D．K∈[﹣∞，﹣]∪[，+∞]【解答】解：根据题意，双曲线中，c2=2+2=4，则c=2，易得准线方程是x=±=±1所以c2=a2﹣b2=4﹣b2=1即b2=3所以方程是联立y=kx+2可得（3+4k2）x2+16kx+4=0由△≤0解得k∈[﹣，]故选：A．8．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱线长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF=，则下列结论中错误的是（）A．AC⊥BEB．EF∥平面ABCDC．三棱锥A﹣BEF的体积为定值D．异面直线AE，BF所成的角为定值【解答】解：∵在正方体中，AC⊥BD，∴AC⊥平面B1D1DB，BE⊂平面B1D1DB，∴AC⊥BE，故A正确；∵平面ABCD∥平面A1B1C1D1，EF⊂平面A1B1C1D1，∴EF∥平面ABCD，故B正确；∵EF=，∴△BEF的面积为定值×EF×1=，又AC⊥平面BDD1B1，∴AO为棱锥A﹣BEF的高，∴三棱锥A﹣BEF的体积为定值，故C正确；∵利用图形设异面直线所成的角为α，当E与D1重合时sinα=，α=30°；当F与B1重合时tanα=，∴异面直线AE、BF所成的角不是定值，故D错误；故选：D．9．（5分）已知F是抛物线y2=x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|+|BF|=3，则线段AB的中点到y轴的距离为（）A．B．1C．D．【解答】解：∵F是抛物线y2=x的焦点，F（）准线方程x=，设A（x1，y1），B（x2，y2），根据抛物线的定义抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离|AF|=，|BF|=，∴|AF|+|BF|==3解得，∴线段AB的中点横坐标为，∴线段AB的中点到y轴的距离为．故选：C．10．（5分）设椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为e=，右焦点为F（c，0），方程ax2+bx﹣c=0的两个实根分别为x1和x2，则点P（x1，x2）（）A．必在圆x2+y2=2外B．必在圆x2+y2=2上C．必在圆x2+y2=2内D．以上三种情形都有可能【解答】解：∵e==，∴=，∵x1，x2是方程ax2+bx﹣c=0的两个实根，∴由韦达定理：x1+x2=﹣=﹣，x1x2==﹣，∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=+1=＜2，∴点P（x1，x2）必在圆x2+y2=2内．故选：C．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案写在答题卡相应位置上11．（5分）k∈R，曲线﹣=1表示双曲线，则k的取值范围为（0，16）．【解答】解：曲线﹣=1表示双曲线，由双曲线的标准方程可得：（16﹣k）k＞0，即k（k﹣16）＜0，解得0＜k＜16．即k的取值范围是（0，16）．故答案为：（0，16）．12．（5分）斜率为的直线l过抛物线y2=4x的焦点且与该抛物线交于A，B两点，则|AB|=．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2）抛物线的焦点为（1，0），则直线方程为y=（x﹣1），代入抛物线方程得3x2﹣10x+3=0∴x1+x2=根据抛物线的定义可知|AB|=x1+1+x2+1=故答案为：．13．（5分）已知非零实数a、b、c成等差数列，直线ax+by+c=0与曲线+=1（m＞0）恒有公共点，则实数m的取值范围为．【解答】解：∵非零实数a，b，c成等差数列，∴2b=a+c，∴直线ax+by+c=0恒过定点（1，﹣2）．∵直线ax+by+c=0与曲线恒有公共点，∴定点（1，﹣2）在曲线内或在曲线上，∴，解得．故答案为：．14．（5分）P是椭圆+=1的上一点，点M，N分别是圆（x﹣3）2+y2=1和（x+3）2+y2=4上的动点，则|PM|+|PN|的最大值为13．【解答】解：∵圆（x﹣3）2+y2=1和（x+3）2+y2=4上的动点，两个圆的圆心（﹣3，0），（3，0）两圆圆心F1（﹣3，0），F2（3，0）恰好是椭圆+=1的焦点，∴|PF1|+|PF2|=10，两圆半径r=1，R=2，∴（|PM|+|PN|）max=|PF1|+|PF2|+r+R=10+1+2=13．故答案为：13．15．（5分）如图：点P在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的面对角线BC1上运动，则下列四个命题：①三棱锥A﹣D1PC的体积不变；②A1P∥面ACD1；③DP⊥BC1；④面PDB1⊥面ACD1．其中正确的命题的序号是①②④．【解答】解：对于①，容易证明AD1∥BC1，从而BC1∥平面AD1C，故BC1上任意一点到平面AD1C的距离均相等，所以以P为顶点，平面AD1C为底面，则三棱锥A﹣D1PC的体积不变；正确；对于②，连接A1B，A1C1容易证明A1C1∥AD1且相等，由于①知：AD1∥BC1，所以BA1C1∥面ACD1，从而由线面平行的定义可得A1P∥面ACD1；②正确；对于③由于DC⊥平面BCB1C1，所以DC⊥BC1，若DP⊥BC1，则BC1⊥平面DCP，BC1⊥PC，则P为中点，与P为动点矛盾；错误；对于④，连接DB1，由DB1⊥AC且DB1⊥AD1，可得DB1⊥面ACD1，从而由面面垂直的判定知：④正确．故答案为：①②④三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16．（13分）如图，SD垂直于正方形ABCD所在的平面，AB=1，SB=．（1）求证：BC⊥SC；（2）设棱SA的中点为M，求异面直线DM与SC所成角的大小．【解答】（1）证明：所以，BC⊥SC（2）取SB，CD，BC的中点分别为P，Q，R，连接MP，PQ，QR，PR则，又所以∠RPQ为异面直线DM，SC所成角或其补角计算易得∠RPQ=60°，即异面直线DM，SC所成角为60°17．（12分）已知，以点C（t，）为圆心的圆与x轴交于O、A两点，与y轴交于O、B两点．为定值；（1）求证：S△AOB（2）设直线y=﹣2x+4与圆C交于点M、N，若OM=ON，求圆C的方程．【解答】（1）证明：∵∠AOB=90°，∴C（t，）为AB中点∴A（2t，0），B（0，）=∴S△AOB（2）解：∵OM=ON∴O在线段MN的中垂线上∴OC⊥MN∴k OC•k MN=﹣1∴∴t=±2∴圆心C（2，1）或（﹣2，﹣1），经验证，当圆心C为（﹣2，﹣1）时，直线y=﹣2x+4与圆C相离∴圆C的方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=518．（12分）长方体AC1中，AB=BC=2，AA1=，E、F分别是面A1C1、面BC1的中心．（1）求证：AF⊥BE；（2）求二面角F﹣BC﹣E的余弦值．【解答】（1）证明：以D为坐标原点DA、DC、DD1为x，y，z轴，建立空间直角坐标系．则A（2，0，0），F（1，2，），B（2，2，0），E（1，1，）…（4分）∴=（﹣1，2，），=（﹣1，﹣1，），∴=1﹣2+1=0，∴AF⊥BE．…（6分）（2）解：平面FBC的一个法向量为=（0，1，0）…（7分）设平面EBC的一个法向量为，则，x=0，令z=1，则y=，∴…（10分）∴，∴所求二面角余弦值为．…（12分）19．（13分）如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点F1，F2在x轴上，长轴A1A2的长为4，左准线l与x轴的交点为M，|MA1|：|A1F1|=2：1．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若点P在直线l上运动，求∠F1PF2的最大值、【解答】解：（Ⅰ）设椭圆方程为，半焦距为c，则由题意，得，∴a=2，b=，c=1，故椭圆方程为．（Ⅱ）设P（﹣4，y0），y0≠0设直线PF1的斜率k1=，直线PF2的斜率k2=，∵，∴∠F1PF为锐角．∴．当，即时，tan∠F 1PF2取到最大值，此时∠F1PF2最大，故∠F1PF2的最大值为．20．（13分）如图，四面体ABCD中，O是BD的中点，CA=CB=CD=BD=2，AB=AD=．（1）求证：AO⊥平面BCD；（2）求异面直线AB与CD所成角的余弦值．【解答】解：（1）证明：在三角形ABC中，因为AB=AD=，O是BD中点，所以AO⊥BD，且AC==1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）连结CO，在等边三角形BCD中易得CO=，所以AC2=22=12+（）2=AO2+CO2，所以AO⊥CO﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）因为CO∩BD=O，CO、BD⊂平面BCD所以AO⊥平面BCD﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（2）分别取BC、AC的中点E、F，连结EF、EG因为EF AB，EO CD所以∠FEO或其补角就是异面直线AB、CD所成的角﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）连结FO，因为AO⊥平面BCD，所以AO⊥CO，所以在Rt△ACO中，斜边AC上的中线FO=AC=1，又因为EO==1，EF=，所以在△EFO中，cos∠FEO==因为cos∠FEO＞0，所以异面直线AB、CD所成的角的余弦值是﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）21．（12分）定义：离心率的椭圆为“黄金椭圆”，已知椭圆的两个焦点分别为F 1（﹣c，0）、F2（c，0）（c＞0），P为椭圆E上的任意一点．（1）试证：若a，b，c不是等比数列，则E一定不是“黄金椭圆”；（2）设E为“黄金椭圆”，问：是否存在过点F2、P的直线l，使l与y轴的交点R 满足？若存在，求直线l的斜率k；若不存在，请说明理由；（3）设E为“黄金椭圆”，点M是△PF1F2的内心，连接PM并延长交F1F2于N，求的值．【解答】（1）证明：假设E为黄金椭圆，则，∴．…（1分）∴．…（3分）即a，b，c成等比数列，与已知矛盾，故椭圆E一定不是“黄金椭圆”．…（4分）（2）解：依题意，假设直线l的方程为y=k（x﹣c）．令x=0有y=﹣kc，即点R的坐标为（0，﹣kc）．∵，∴点F2（c，0），∴点P的坐标为（2c，kc）．…（6分）∵点P在椭圆上，∴．∵b2=ac，∴4e2+k2e=1．∴，与k2≥0矛盾．∴满足题意的直线不存在．…（8分）（3）解：连接MF 1，MF 2，设△PF 1F 2的内切圆半径为r ．则=即===∴…（10分）∴∴∴…（12分）赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性①定义及判定方法②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减．（2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，分别在[,0)a -、]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤；（2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性①定义及判定方法yxo②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．。

重庆高二高中数学月考试卷带答案解析

重庆高二高中数学月考试卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.把4封不同的信投进5个不同的邮箱中，则总共投法的种数为（）A．20B．C．D．2.（原创）已知随机变量服从二项分布，若，则（）A．B．C．D．3.（原创）把五个字母进行排列，要求必须在中间，且必须相邻，则满足条件的不同排法数为（）A．24B．12C．8D．44.（原创）为大力提倡“厉行节俭，反对浪费”，重庆一中通过随机询问100名性别不同的学生是否做到“光盘”行动，得到如下列联表及附表经计算：，参考附表，得到的正确结论是（）A.有的把握认为“该学生能否做到光盘行到与性别有关”B.有的把握认为“该学生能否做到光盘行到与性别无关”C.有的把握认为“该学生能否做到光盘行到与性别有关”D.有的把握认为“该学生能否做到光盘行到与性别无关”5.（原创）某区实验幼儿园对儿童记忆能力与识图能力进行统计分析，得到如下数据：记忆能力46810识图能力由表中数据，求得线性回归方程为，当江小豆同学的记忆能力为12时，预测他的识图能力为（）A．9 B．9.5 C． 10 D．11.56.一个几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的体积为（）A．B．C．D．7.在中，若，那么一定是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．形状不确定8.袋中装有标号为1,2,3的三个小球，从中任取一个，记下它的号码，放回袋中，这样连续做三次，若抽到各球的机会均等，事件“三次抽到的号码之和为6”，事件“三次抽到的号码都是2”，则（）A．B．C．D．9.（原创）一直二项式按照的方式展开，则展开式中的值为（）A．90B．180C．360D．40510.（原创）若数列满足规律：则称数列为波浪数列，将1,2,3,4,5这五个数排列成一个无重复数字的波浪数列，则排法种数共有（）A．12B．14C．16D．1811.已知定义在上的函数满足，且，，若有穷数列的前项和等于，则等于（）A．4B．5C．6D．712.已知是双曲线的左焦点，为右顶点，上下虚轴端点为，若交于，且，则此双曲线的离心率为（）A．B．C．D．二、填空题1.的二项展开式的常数项为 .2.设随机变量服从正态分布，若，则的值是 .3.（原创）曲线与直线所围成的封闭图形的面积为 .4.（原创）如图所示是某个区域的街道示意图（每个小矩形的边表示街道），那么从到的最短线路有条.三、解答题1.（原创）清明节放假期间，已知甲同学去磁器口古镇游玩的概率为，乙同学去磁器口古镇游玩的概率为，丙同学去磁器口古镇游玩的概率为，且甲，乙，丙三人的行动互相之间没有影响.（1）求甲，乙，丙三人在清明节放假期间同时去磁器口古镇游玩的概率；（2）求甲，乙，丙三人在清明节放假期间仅有一人去磁器口古镇游玩的概率.2.在中，分别是角的对边，已知.（1）求的值；（2）若的面积，且，求和的值.3.某师范大学志愿者支教团体有6名男同学，4名女同学.在这10名同学中， 3名同学来自数学系，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个系，现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同）.（1）求选出的3名同学来自互不相同的系的概率；（2）设为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量的分布列和数学期望.4.如图，在长方体中，，点在棱上移动.（1）证明：；（2）等于何值时，二面角的大小为.5.已知椭圆的左焦点为，离心率为，点在椭圆上，直线的斜率为，直线被圆截得的线段的长为.（1）求椭圆的方程；（2）设动点在椭圆上，若直线的斜率大于，求直线（为原点）的斜率的取值范围.6.已知函数，其中.（1）讨论的单调性；（2）设曲线与轴正半轴的交点为，曲线在点处的切线方程为，求证：对于任意的正实数，都有；（3）若关于的方程（为实数）有两个正实根，求证：.重庆高二高中数学月考试卷答案及解析一、选择题1.把4封不同的信投进5个不同的邮箱中，则总共投法的种数为（）A．20B．C．D．【答案】D【解析】因为每封信都有种不同的投递方法，所以总共投法的种数为，故选D.【考点】分步计数原理.2.（原创）已知随机变量服从二项分布，若，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意得，根据二项分布的期望与方差的公式可知：，解得，故选A.【考点】二项分布的数字特征.3.（原创）把五个字母进行排列，要求必须在中间，且必须相邻，则满足条件的不同排法数为（）A．24B．12C．8D．4【答案】C【解析】由题意得，要求必须在中间，且必须相邻，先按，共有种不同的排法，在在一侧排，共有种排法，共计中不同的排法，故选C.【考点】排列、组合的应用.4.（原创）为大力提倡“厉行节俭，反对浪费”，重庆一中通过随机询问100名性别不同的学生是否做到“光盘”行动，得到如下列联表及附表经计算：，参考附表，得到的正确结论是（）A.有的把握认为“该学生能否做到光盘行到与性别有关”B.有的把握认为“该学生能否做到光盘行到与性别无关”C.有的把握认为“该学生能否做到光盘行到与性别有关”D.有的把握认为“该学生能否做到光盘行到与性别无关”【答案】C【解析】由题意得，则，所以有的把握认为“该学生能否做到光盘行到与性别有关”，故选C.【考点】独立性检验.5.（原创）某区实验幼儿园对儿童记忆能力与识图能力进行统计分析，得到如下数据：记忆能力识图能力由表中数据，求得线性回归方程为，当江小豆同学的记忆能力为12时，预测他的识图能力为（）A．9 B．9.5 C． 10 D．11.5【答案】B【解析】由题意得，可计算得，即样本中心点，代入回归直线方程得，即回归直线方程为，令，解得，故选B.【考点】回归直线的应用.6.一个几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的体积为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】根据给定的三视图可知，该几何体是底面相同的圆柱与两个圆锥的组合体，且圆柱的底面圆的半径为，高为，圆锥的底面圆的半径为，高为，所以该几何体的体积为，故选B.【考点】空间几何体的三视图及旋转体的体积的计算.【方法点晴】本题主要考查了空间几何体的三视图的应用，着重考查了推理和运算能力及空间想象能力，属于中档试题，解答此类问题的关键是根据三视图的规则“长对正、宽相等、高平齐”的原则，还原出原几何体的形状，本题的解答中，根据给定的三视图可得原几何体为几何体是底面相同的圆柱与两个圆锥的组合体，即可利用体积公式计算几何体的体积.7.在中，若，那么一定是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．形状不确定【答案】B【解析】由，则，所以角都为锐角，又，得，即，又，所以，所以角为钝角，所以三角形为钝角三角形，故选B.【考点】三角函数的基本关系式及三角函数的恒等变换.8.袋中装有标号为1,2,3的三个小球，从中任取一个，记下它的号码，放回袋中，这样连续做三次，若抽到各球的机会均等，事件“三次抽到的号码之和为6”，事件“三次抽到的号码都是2”，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意得，事件“三次抽到的号码之和为”的概率为，事件同时发生的概率为，所以根据条件概率的计算公式.【考点】条件概率的计算.9.（原创）一直二项式按照的方式展开，则展开式中的值为（）A．90B．180C．360D．405【答案】D【解析】由题意得，，所以展开式中的第项为，即，故选D.【考点】二项式定理的应用.10.（原创）若数列满足规律：则称数列为波浪数列，将1,2,3,4,5这五个数排列成一个无重复数字的波浪数列，则排法种数共有（）A．12B．14C．16D．18【答案】C【解析】由题意得，首位是时，，共种；首位为时，，共种；首位为时，，共种；首位为时，，共种，所以共有种，故选C.【考点】分类计数原理的应用.11.已知定义在上的函数满足，且，，若有穷数列的前项和等于，则等于（）A．4B．5C．6D．7【答案】B【解析】因为，所以，即函数单调递减，所以，又，即，解得，即，所以数列是首项为，公比的等比数列，所以，由，解得，故选B.【考点】导数的运算；等比数列求和.【方法点晴】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性及等比数列的通项公式及其前项和公式的应用，属于中档试题，着重考查了学生的推理运算能力和转化与化归的思想方法的应用，本题的解答中，根据题设条件，可得函数单调递减，再根据，求得，即可判定数列是首项为，公比的等比数列，利用等比数列的前和公式即可求解出的值.12.已知是双曲线的左焦点，为右顶点，上下虚轴端点为，若交于，且，则此双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意得，则的方程为，的方程为，联立两个方程解得，即，因为，所以，即，整理得，即，则，故选A.【考点】双曲线的标准方程及其简单的几何性质.【方法点晴】本题主要考查了双曲线的标准方程及其简单的几何性质的应用、双曲线离心率的计算，其中求出直线方程以及的坐标是解得本题的关键，试题运算量较大，综合性较强，属于难题，着重考查了学生的推理、运算能力，本题的解答中，分别求出直线，的方程，联立方程组，求解点的坐标，利用，化简得出的关系式，即可求解双曲线的离心率.二、填空题1.的二项展开式的常数项为 .【答案】【解析】由题意得，的二项展开式，即展开式的常数项为.【考点】二项式定理.2.设随机变量服从正态分布，若，则的值是 .【答案】【解析】由题意得随机变量服从正态分布，即正态分布的图象关于对称，若，则.【考点】正态分布.3.（原创）曲线与直线所围成的封闭图形的面积为 .【答案】【解析】画出曲线与直线所围成的封闭图形，如图所示，则曲线与直线所围成的封闭图形的面积为.【考点】定积分求解曲边形的面积.【方法点晴】本题主要考查了利用定积分求解封闭图形的面积，着重考查了饿数形结合思想方法的应用，同时考查了定积分的的几何意义的应用，此类问题解答的关键在于求出被积函数的圆函数，属于中档试题，本题的解答中根据题意画出围成封闭的曲变形，确定积分的上、下限，写出积分式，找出被积函数的原函数，求解定积分的值，即可得到封闭曲变形的面积.4.（原创）如图所示是某个区域的街道示意图（每个小矩形的边表示街道），那么从到的最短线路有条.【答案】【解析】要使从到的线路最短，只需要每一步都向右或向上，即向上次，向右次；可分为两类：一类是由点经过矩形到达点，然后再由点经过矩形到达点；另一类是由点出发经过矩形到达点，然后再由点经过矩形到达点，易知这两类的方法是一样的，只求成第一类走法即可，由点经过矩形到达点，需要向右走两次，向上走次，共有种；点经过矩形到达点，需要向右走次，向上走次，共有种；由分步计数原理可知，要使从点经过点到达点的线路最短的方法共有种不同的走法；同理要使从点经过点到达点的线路最短的方法也有种；由分类计数原理可知从点达点的线路最短，共有种.【考点】排列组合的实际应用.【方法点晴】本题主要考查了分类计数原理与分步计数原理的应用，其中合理的分类和在每一类中合理分步是解答问题的关键，着重考查了学生分析问题、解答问题的能力，属于中档试题，本题的解答中，要使从到的线路最短，只需要每一步都向右或向上，可分为由点经过矩形到达点，然后再由点经过矩形到达点或由点出发经过矩形到达点，然后再由点经过矩形到达点.三、解答题1.（原创）清明节放假期间，已知甲同学去磁器口古镇游玩的概率为，乙同学去磁器口古镇游玩的概率为，丙同学去磁器口古镇游玩的概率为，且甲，乙，丙三人的行动互相之间没有影响.（1）求甲，乙，丙三人在清明节放假期间同时去磁器口古镇游玩的概率；（2）求甲，乙，丙三人在清明节放假期间仅有一人去磁器口古镇游玩的概率.【答案】(1)；(2).【解析】(1)根据相互独立事件同时发生的概率，利用概率的乘法公式计算；（2）甲，乙，丙三人在清明节放假期间仅有一人去磁器口古镇游玩分为三种情况，分别计算概率，即可求解.试题解析：（1）（2）.【考点】相互独立事件发生的概率.2.在中，分别是角的对边，已知.（1）求的值；（2）若的面积，且，求和的值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）利用余弦定理，可得，即可求解的值；（2）利用三角形的面积公式，求得，再利用余弦定理列方程，即可求解和的值.试题解析：（1）由；（2），又①由余弦定理②，联立①②可得.【考点】余弦定理及三角形的面积公式.3.某师范大学志愿者支教团体有6名男同学，4名女同学.在这10名同学中， 3名同学来自数学系，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个系，现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同）.（1）求选出的3名同学来自互不相同的系的概率；（2）设为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量的分布列和数学期望.【答案】（1）；（2）分布列见解析，.【解析】（1）利用怕了组合求出所有基本事件个数及宣传名同学互不相同学院的基本事件的个数，利用古典概率的概率公式求解；（2）确定随机变量所有可能取得取值，计算出概率，即可得到分布列，求解数学期望.试题解析：（1）设“选出的3名同学来自互不相同的系”为事件（2）随机变量的所有可能为0,1,2,3随机变量的分布列为数学期望.【考点】古典概型及其概率的计算公式；随机变量变量的分布列.4.如图，在长方体中，，点在棱上移动.（1）证明：；（2）等于何值时，二面角的大小为.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】以为坐标原点所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，设，即可写出点，(1)利用数量积只要判断； (2)设平面的法向量，利用法向量的特点求出.试题解析：以为坐标原点，直线分别为轴，建立空间直角坐标系，设，则（1）因为，所以（2）设平面的法向量由，令依题意（不合，舍去），时，二面角的大小为.【考点】直线与平面垂直的判定；二面角的平面角的求法.5.已知椭圆的左焦点为，离心率为，点在椭圆上，直线的斜率为，直线被圆截得的线段的长为.（1）求椭圆的方程；（2）设动点在椭圆上，若直线的斜率大于，求直线（为原点）的斜率的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）通过离心率为，得出，设直线的方程为，由圆心到直线的距离公式，即可计算出的值，得到椭圆的标准方程；（2）设动点的坐标为，分别联立直线、直线与椭圆方程，分和两种情况分类讨论，即可得到结论.试题解析：（1）由已知有，又，可得设直线的方程为，由圆心到直线的距离公式可得故所求的椭圆方程为；（2）设点的坐标为，直线的斜率为，联立消去整理，可解得或.再设直线的斜率为，再联立①当时，故得②当时，故得综上直线的斜率的取值范围.【考点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合应用.【方法点晴】本题主要考查了椭圆的标准方程及其简单的几何性质，直线方程和圆的方程、直线与圆的位置关系、直线与圆锥曲线的位置的综合应用，试题有一点的难度，着重考查了代数方法研究圆锥曲线的性质，以及函数与方程思想和分类讨论思想的应用能力，本题的解答中，设出的坐标为，分别联立直线、直线与椭圆方程，分和两种情况分类讨论，即可得到结论.6.已知函数，其中.（1）讨论的单调性；（2）设曲线与轴正半轴的交点为，曲线在点处的切线方程为，求证：对于任意的正实数，都有；（3）若关于的方程（为实数）有两个正实根，求证：.【答案】（1）①当为奇数时，在和上单调递减，在上单调递增，②当为偶数时，当单调递增，当单调递减；（2）证明见解析；（3）证明见解析.【解析】（1）由，可得，分为奇数和偶数两种情况利用导数即可得到函数的单调性；（2）设点的坐标，则，可得，，由在上单调递减，可求得在单调递增，在单调递减，即可得证；（3）不妨设，方程的根为，可得，设曲线在原点处的切线方程为，可得，设方程的根为，可得在上单调递增，且，由此可得，由，所以，推得，即可作出证明.试题解析：（1）由①当为奇数时，令，解得或当变化时，的变化情况如下表-+-故在和上单调递减，在上单调递增.②当为偶数时，令，解得当单调递增当单调递减（2）证明：设点的坐标，则曲线在点处的切线方程为，即令，即，则又由于在上单调递减，故在上单调递减，又因为，所以当时，，当，故在单调递增，在单调递减即；（3）证明：不妨设，由（2）知，设方程的根为可得当时，在上单调递减，又由（2）知类似的，设曲线在原点处的切线方程为当，即设方程的根为，可得在上单调递增，且，，由此可得因此，所以.【考点】利用导数研究函数的单调性与最值；利用导数研究曲线上某点切线方程；不等关系的证明.【方法点晴】本题主要考查了导数的运算、导数的几何意义、利用导数函数的单调性与极值（最值）、证明不等式的基础知识的综合应用，着重考查了分类讨论思想、函数与方程思想、转化与化归思想的应用，试题有一定的难度，属于压轴题，本题的解答中，通过构造函数，和，利用两个函数的单调性与极值最值，是解得第两问证明的关键.。

2014-2015学年重庆市江津中学高一(下)期末数学复习试卷

2014-2015学年重庆市江津中学高一（下）期末数学复习试卷一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）1．（3分）已知等差数列{a n}中，a2+a8=2，a5+a11=8，则其公差是（）A．6 B．3 C．2 D．12．（3分）学校为了解学生在课外读物方面的支出情况，抽取了n个同学进行调查，结果显示这些同学的支出都在[10，50）（单位：元），其中支出在[30，50）（单位：元）的同学有67人，其频率分布直方图如图所示，则n的值为（）A．100 B．120 C．130 D．3903．（3分）在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图所示．若将运动员按成绩由好到差编为1﹣35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139，151]上的运动员人数是（）A．3 B．4 C．5 D．64．（3分）如图所示的程序的输出结果为S=132，则判断框中应填（）A．i≥10？B．i≥11？C．i≤11？D．i≥12？5．（3分）已知点P（x，y）在不等式组表示的平面区域上运动，则z=x﹣y的取值范围是（）A．[﹣1，2]B．[﹣2，1]C．[﹣2，﹣1]D．[1，2]6．（3分）已知等比数列{a n}满足a1=3，a1+a3+a5=21，则a3+a5+a7=（）A．21 B．42 C．63 D．847．（3分）设{a n}是等差数列，下列结论中正确的是（）A．若a1+a2＞0，则a2+a3＞0 B．若a1+a3＜0，则a1+a2＜0C．若0＜a 1＜a2，则a2D．若a1＜0，则（a2﹣a1）（a2﹣a3）＞0 8．（3分）在△ABC中，a=4，b=5，c=6，则=（）A．1 B．2 C．3 D．49．（3分）袋内装有6个球，每个球上都记有从1到6的一个号码，设号码为n 的球重n2﹣6n+12克，这些球等可能地从袋里取出（不受重量、号码的影响）．若任意取出1球，则其重量大于号码数的概率为（）A．B．C．D．10．（3分）某企业生产甲乙两种产品均需用A，B两种原料，已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为（）A．12万元B．16万元C．17万元D．18万元11．（3分）若实数a，b满足+=，则ab的最小值为（）A．B．2 C．2 D．412．（3分）锐角三角形ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若B=2A，则的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）各题答案必须填写在答题卡相应的位置上.13．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=2，c=3，B=60°．则b=．14．（5分）在区间[﹣5，5]内随机地取出一个数a，使得1∈{x|2x2+ax﹣a2＞0}的概率为．15．（5分）若变量x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最小值为．16．（5分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若C=60°，且3ab=25﹣c2，则△ABC的面积最大值为．三、解答题：（本大题6个小题，共70分）各题解答必须答在答题卡上相应题目指定的方框内（必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程）. 17．（12分）在等比数列{a n}中，a1=1，且4a1，2a2，a3成等差数列．（Ⅰ）求a n；（Ⅱ）令b n=log2a n，求数列{b n}的前n项和S n．18．（12分）在△ABC中，角A，B，C对的边分别为a，b，c，且c=2，C=60°．（1）求的值；（2）若a+b=ab，求△ABC的面积S．△ABC19．（12分）某车间将10名技工平均分成甲、乙两组加工某种零件，在单位时间内每个技工加工的合格零件数，按十位数学为茎，个位数学为叶得到的茎叶图如图所示，已知甲、乙两组数据的平均数都为10．（Ⅰ）求m，n的值；（Ⅱ）别求出甲、乙两组数据的方差S甲2和S乙2，并由此分析两组技工的加工水平；（Ⅲ）质检部门从该车间甲、乙两组技工中各随机抽取一名技工，对其加工的零件进行检测，若两人加工的合格零件数之和大于17，则称该车间“质量合格”，求该车间“质量合格”的概率．（注：为数据x1，x2，…x n的平均数，方差S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x n ﹣）2]）20．（10分）设数列{a n}（n=1，2，3，…）的前n项和S n满足S n=2a n﹣a1，且a1，a2+1，a3成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）记数列{}的前n项和为T n，求使得|T n﹣1|成立的n的最小值．21．（12分）已知函数f（x）=（a、b为常数）．（1）若b=1，解不等式f（x﹣1）＜0；（2）若a=1，当x∈[﹣1，2]时，f（x）＞恒成立，求b的取值范围．22．（10分）已知各项均为正数的数列{a n}，其前n项和为S n，且满足2S n=a n2+a n．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{}的前n项和为T n，求证：当n≥3时，T n＞+．2014-2015学年重庆市江津中学高一（下）期末数学复习试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）1．（3分）已知等差数列{a n}中，a2+a8=2，a5+a11=8，则其公差是（）A．6 B．3 C．2 D．1【解答】解：等差数列{a n}中，∵a2+a8=2，a5+a11=8，∴，解得a1=﹣3，d=1．故选：D．2．（3分）学校为了解学生在课外读物方面的支出情况，抽取了n个同学进行调查，结果显示这些同学的支出都在[10，50）（单位：元），其中支出在[30，50）（单位：元）的同学有67人，其频率分布直方图如图所示，则n的值为（）A．100 B．120 C．130 D．390【解答】解：∵位于10～20、20～30的小矩形的面积分别为S1=0.01×10=0.1，S2=0.023×10=0.23，∴位于10～20、20～30的据的频率分别为0.1、0.23可得位于10～30的前3组数的频率之和为0.1+0.23=0.33由此可得位于30～50数据的频率之和为1﹣0.33=0.67∵支出在[30，50）的同学有67人，即位于30～50的频数为67，∴根据频率计算公式，可得=0.67，解之得n=100故选：A．3．（3分）在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图所示．若将运动员按成绩由好到差编为1﹣35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139，151]上的运动员人数是（）A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：由已知，将个数据分为三个层次是[130，138]，[139，151]，[152，153]，根据系统抽样方法从中抽取7人，得到抽取比例为，所以成绩在区间[139，151]中共有20名运动员，抽取人数为20×=4；故选：B．4．（3分）如图所示的程序的输出结果为S=132，则判断框中应填（）A．i≥10？B．i≥11？C．i≤11？D．i≥12？【解答】解：由题意，S表示从12开始的逐渐减小的若干个整数的乘积，由于12×11=132，故此循环体需要执行两次所以每次执行后i的值依次为11，10由于i的值为10时，就应该退出循环，再考察四个选项，B符合题意故选：B．5．（3分）已知点P（x，y）在不等式组表示的平面区域上运动，则z=x﹣y的取值范围是（）A．[﹣1，2]B．[﹣2，1]C．[﹣2，﹣1]D．[1，2]【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，其中A（2，0），B（2，1），C（0，1）设z=F（x，y）=x﹣y，将直线l：z=x﹣y进行平移，观察x轴上的截距变化，可得当l经过点C时，z达到最小值；l经过点A时，z达到最大值∴z最小值=F（0，1）=﹣1，z最大值=F（2，0）=2即z=x﹣y的取值范围是[﹣1，2]故选：A．6．（3分）已知等比数列{a n}满足a1=3，a1+a3+a5=21，则a3+a5+a7=（）A．21 B．42 C．63 D．84【解答】解：∵a1=3，a1+a3+a5=21，∴，∴q4+q2+1=7，∴q4+q2﹣6=0，∴q2=2，∴a3+a5+a7==3×（2+4+8）=42．故选：B．7．（3分）设{a n}是等差数列，下列结论中正确的是（）A．若a1+a2＞0，则a2+a3＞0 B．若a1+a3＜0，则a1+a2＜0C．若0＜a 1＜a2，则a2D．若a1＜0，则（a2﹣a1）（a2﹣a3）＞0【解答】解：若a1+a2＞0，则2a1+d＞0，a2+a3=2a1+3d＞2d，d＞0时，结论成立，即A不正确；若a1+a3＜0，则a1+a2=2a1+d＜0，a2+a3=2a1+3d＜2d，d＜0时，结论成立，即B 不正确；{a n}是等差数列，0＜a1＜a2，2a2=a1+a3＞2，∴a2＞，即C正确；若a1＜0，则（a2﹣a1）（a2﹣a3）=﹣d2≤0，即D不正确．故选：C．8．（3分）在△ABC中，a=4，b=5，c=6，则=（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：∵△ABC中，a=4，b=5，c=6，∴cosC==，cosA==，∴sinC=，sinA=，∴===1．故选：A．9．（3分）袋内装有6个球，每个球上都记有从1到6的一个号码，设号码为n 的球重n2﹣6n+12克，这些球等可能地从袋里取出（不受重量、号码的影响）．若任意取出1球，则其重量大于号码数的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意，任意取出1球，共有6种等可能的方法．由不等式n2﹣6n+12＞n，得n＞4或n＜3，所以n=1或2，n=5或6，于是所求概率P==故选：D．10．（3分）某企业生产甲乙两种产品均需用A，B两种原料，已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为（）A．12万元B．16万元C．17万元D．18万元【解答】解：设每天生产甲乙两种产品分别为x，y顿，利润为z元，则，目标函数为z=3x+4y．作出二元一次不等式组所表示的平面区域（阴影部分）即可行域由z=3x+4y得y=﹣x+，平移直线y=﹣x+，由图象可知当直线y=﹣x+经过点A时，直线y=﹣x+的截距最大，此时z最大，即经过点（0，4），∴z max=3x+4y=16．即每天生产甲乙两种产品分别为0，4吨，能够产生最大的利润，最大的利润是16万元，故选：B．11．（3分）若实数a，b满足+=，则ab的最小值为（）A．B．2 C．2 D．4【解答】解：∵+=，∴a＞0，b＞0，∵（当且仅当b=2a时取等号），∴，解可得，ab，即ab的最小值为2，故选：C．12．（3分）锐角三角形ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若B=2A，则的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：锐角△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，B=2A，∴0＜2A＜，且B+A=3A，∴＜3A＜π．∴＜A＜，∴＜cosA＜．由正弦定理可得==2cosA，∴＜2cosA＜，故选：B．二、填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）各题答案必须填写在答题卡相应的位置上.13．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=2，c=3，B=60°．则b=．【解答】解：∵a=2，c=3，B=60°，∴由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2accosB=4+9﹣6=7，则b=．故答案为：14．（5分）在区间[﹣5，5]内随机地取出一个数a，使得1∈{x|2x2+ax﹣a2＞0}的概率为0.3．【解答】解：由题意1∈{x|2x2+ax﹣a2＞0}，故有2+a﹣a2＞0，解得﹣1＜a＜2由几何概率模型的知识知，总的测度，区间[﹣5，5]的长度为10，随机地取出一个数a，使得1∈{x|2x2+ax﹣a2＞0}这个事件的测度为3故区间[﹣5，5]内随机地取出一个数a，使得1∈{x|2x2+ax﹣a2＞0}的概率为0.3故答案为0.315．（5分）若变量x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最小值为﹣1．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，由图可知，最优解为A，联立，解得A（0，1）．∴z=2x﹣y的最小值为2×0﹣1=﹣1．故答案为：﹣1．16．（5分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若C=60°，且3ab=25﹣c2，则△ABC的面积最大值为．【解答】解：∵△ABC中，C=60°，∴c2=a2+b2﹣2abcosC=a2+b2﹣ab又∵3ab=25﹣c2，得c2=25﹣3ab∴a2+b2﹣ab=25﹣3ab，移项得（a+b）2=25，可得a+b=5∵△ABC的面积S=absinC=ab，且ab≤=∴当且仅当a=b=时，ab的最大值为，此时△ABC的面积的最大值为故答案为：三、解答题：（本大题6个小题，共70分）各题解答必须答在答题卡上相应题目指定的方框内（必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程）. 17．（12分）在等比数列{a n}中，a1=1，且4a1，2a2，a3成等差数列．（Ⅰ）求a n；（Ⅱ）令b n=log2a n，求数列{b n}的前n项和S n．【解答】解：（Ⅰ）设{a n}的公比为q，∵4a1，2a2，a3成等差数列，∴4a1+a3=4a2．又∵{a n}的公比为q，首项a1=1，∴4+q2=4q，解之得q=2．∴数列{a n}的通项公式为（n∈N*）．（Ⅱ）∵，∴，由此可得b n+1﹣b n=n﹣（n﹣1）=1，b1=0，∴{b n}是首项为0、公差为1的等差数列，因此，数列{b n}的前n项和．18．（12分）在△ABC中，角A，B，C对的边分别为a，b，c，且c=2，C=60°．（1）求的值；（2）若a+b=ab，求△ABC的面积S△ABC．【解答】解：（1）由正弦定理可设，所以，所以．…（6分）（2）由余弦定理得c2=a2+b2﹣2abcosC，即4=a2+b2﹣ab=（a+b）2﹣3ab，又a+b=ab，所以（ab）2﹣3ab﹣4=0，解得ab=4或ab=﹣1（舍去）所以．…（14分）19．（12分）某车间将10名技工平均分成甲、乙两组加工某种零件，在单位时间内每个技工加工的合格零件数，按十位数学为茎，个位数学为叶得到的茎叶图如图所示，已知甲、乙两组数据的平均数都为10．（Ⅰ）求m，n的值；（Ⅱ）别求出甲、乙两组数据的方差S甲2和S乙2，并由此分析两组技工的加工水平；（Ⅲ）质检部门从该车间甲、乙两组技工中各随机抽取一名技工，对其加工的零件进行检测，若两人加工的合格零件数之和大于17，则称该车间“质量合格”，求该车间“质量合格”的概率．（注：为数据x1，x2，…x n的平均数，方差S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x n ﹣）2]）【解答】解：（I）由题意可得=（7+8+10+12+10+m）=10，解得m=3．再由=（n+9+10+11+12）=10，解得n=8．（Ⅱ）分别求出甲、乙两组技工在单位时间内加工的合格零件数的方差，S甲2=[（7﹣10）2+（8﹣10）2+（10﹣10）2+（12﹣10）2+（13﹣10）2]=5.2，S乙2=[（8﹣10）2+（9﹣10）2+（10﹣10）2+（11﹣10）2+（12﹣10）2]=2，并由，S甲2＜S乙2，可得两组的整体水平相当，乙组的发挥更稳定一些．（Ⅲ）质检部门从该车间甲、乙两组技工中各随机抽取一名技工，对其加工的零件进行检测，设两人加工的合格零件数分别为（a，b），则所有的（a，b）有（7，8）、（7，9）、（7，10）、（7，11）、（7，12）、（8，8）、（8，9）、（8，10）、（8，11）、（8，12）、（10，8）、（10，9）、（10，10）、（10，11）、（10，12）、（12，8）、（12，9）、（12，10）、（12，11）、（12，12）、（13，8）、（13，9）、（13，10）、（13，11）、（13，12），共计25个，而满足a+b≤17的基本事件有（7，8）、（7，9）、（7，10）、（8，8）、（8，9），共计5个基本事件，故满足a+b＞17的基本事件个数为25﹣5=20，即该车间“质量合格”的基本事件有20个，故该车间“质量合格”的概率为P==．20．（10分）设数列{a n}（n=1，2，3，…）的前n项和S n满足S n=2a n﹣a1，且a1，a2+1，a3成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）记数列{}的前n项和为T n，求使得|T n﹣1|成立的n的最小值．【解答】解：（Ⅰ）由已知S n=2a n﹣a1，有a n=S n﹣S n﹣1=2a n﹣2a n﹣1（n≥2），即a n=2a n﹣1（n≥2），从而a2=2a1，a3=2a2=4a1，又∵a1，a2+1，a3成等差数列，∴a1+4a1=2（2a1+1），解得：a1=2．∴数列{a n}是首项为2，公比为2的等比数列．故；（Ⅱ）由（Ⅰ）得：，∴．由，得，即2n＞1000．∵29=512＜1000＜1024=210，∴n≥10．于是，使|T n﹣1|成立的n的最小值为10．21．（12分）已知函数f（x）=（a、b为常数）．（1）若b=1，解不等式f（x﹣1）＜0；（2）若a=1，当x∈[﹣1，2]时，f（x）＞恒成立，求b的取值范围．【解答】解：（1）f（x﹣1）＜0即，①当1﹣a＞0，即a＜1时，不等式的解集为：（0，1﹣a）；②当1﹣a=0，即a=1时，不等式的解集为：x∈ϕ；③当1﹣a＜0，即a＞1时，不等式的解集为：（1﹣a，0）．（2）a=1时，f（x）＞，即（※）且x≠﹣b，不等式恒成立，则b∉[﹣1，2]；又当x=﹣1时，不等式（※）显然成立；当﹣1＜x≤2时，，故b＞﹣1．综上所述，b＞﹣1．∵x+b≠0，∴b≠﹣x，又x∈[﹣1，2]，∴﹣x∈[﹣2，1]，综上，b∈（﹣1，+∞）为所求．22．（10分）已知各项均为正数的数列{a n}，其前n项和为S n，且满足2S n=a n2+a n．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{}的前n项和为T n，求证：当n≥3时，T n＞+．【解答】解：（Ⅰ）∵…①，∴，解得a1=1或0（舍），且…②，①﹣②得，化简得（a n﹣a n﹣1﹣1）（a n+a n﹣1）=0，∵数列{a n}各项均为正数，∴a n﹣a n﹣1﹣1=0，即a n=a n﹣1+1，∴{a n}为等差数列，a n=n，经检验，a1=1也符合该式，∴a n=n．…（5分）（Ⅱ）当n≥3时，∴当n≥3时，T n＞+．…（12分）。

重庆市南开中学2014-2015学年高二数学下学期期末考试试题文

重庆南开中学2014—2015学年度高二(下)期末试题数学(文)(I 卷)一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。

1．集合{1,0,1}P =-，{|cos ,}Q y y x x R ==∈，则P Q =（） A ．PB ．QC ．{1,1}-D ．[0,1]2．若点(,27)t 在函数3y x =的图像上，则tan9t π的值为（）A ．0B ．1 CD 3．函数y =的定义域为（）A ．(4,1)--B ．(1,1)-C ．(4,1)-D ．(1,1]-4．函数2sin(2)2y x π=-是（）A ．最小正周期为万的奇函数B ．最小正周期为2π的奇函数 C ．最小正周期为万的偶函数 D ．最小正周期为2π的偶函数5．已知“x k >”是“21xx -+”的充分不必要条件，则k 的取值范围是（） A ．[2,)+∞B ．[1,)+∞C ．(1,)-+∞D ．(,1]-∞-6．设α为第二象限角，若3tan 4α=-，则cos()4πα+=（）A ．10-B ．10C ．10-D ．107．△ABC 的三内角A ，B ，C 的对边边长分别为a ，b ，c ，若A=2B ，a =，则cos B =（）A B C D8．函数228,0()2,0x x x f x x x ⎧+->=⎨--<⎩，()31x g x =-则使不等式(())0f g x ≥成立的区间为（）A ．[1,)+∞B ．[ln 3,)+∞C ．[1,ln 3]D ．[1,ln 3)-9．函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中A ＞0，||2πϕ<）的图像如图所示，为了得到()sin 2g x x =的图像，则只需将()f x 的图像（）A ．向左平移12π个长度单位 B ．向左平移6π个长度单位 C ．向右平移12π个长度单位D ．向右平移6π个长度单位10．若曲线()cos sin f x a x x =+与曲线2()1g x x bx =++在交点(0,)m 处有公切线，则a b +=（）A ．﹣lB ．0C ．1D ．211．己知cos 46cos14sin 46sin14a =-，1tan 351tan 35b +=-，2ln 4c c =-则,,a b c 的大小关系为（） A ．a ＜b ＜cB ．b ＜c ＜aC ．a ＜c ＜bD ．c ＜a ＜b12．已知,x y 均为正数，(,)42ππθ∈，且满足sin cos x y θθ=，222222cos sin 102()x y x y θθ+=+，则x y =（）ABC D (II 卷)二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分。

重庆市江津中学、合川中学等七校高二数学下学期期末考试试题文

2017—2018学年度第二学期期末七校联考高二数学试题（文科）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分. 满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名．准考证号等填写在答题卷规定的位置上. 2．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卷上对应题目的答案标号涂黑.3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卷规定的位置上. 4．考试结束后，将答题卷交回.第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题有12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（原创）已知集合{0,1}M =，则下列关系式中，正确的是（） A ．{0}M ∈B ．{0}M ∉C ．0M ∈D ．0M ⊆2．（原创）已知函数()y f x =在1x =处的切线与直线30x y +-=垂直，则(1)f '=（） A ．2B ． 0C ．1D ．－13．（原创）设i 为虚数单位，则复数221i i+=+（） A ．iB ．i -C ．2i +D ．2i -4．（原创）以复平面的原点为极点，实轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则在极坐标系下的点(2,)3π在复平面内对应的复数为（）A ．1+B ．1-C i +D i -5．（改编）已知a b c R ∈、、，则下列命题中，正确的是（） A ．若a b >，则ac bc > B ．若a b >，c d >，则a c b d ->-C ．若0ab >，a b >，则11a b < D ．若a b >，c d >，则a bc d> 6．某学校举办科技节活动，有甲、乙、丙、丁四个团队参加“智能机器人”项目比赛．该项目只设置一等奖一个，在评奖揭晓前，小张、小王、小李、小赵四位同学对这四个参赛团队获奖结果预测如下：小张说：“甲或乙团队获得一等奖”；小王说：“丁团队获得一等奖”；小李说：“乙、丙两个团队均未获得一等奖”；小赵说：“甲团队获得一等奖”．若这四位同学中只有两位预测结果是对的，则获得一等奖的团队是（） A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁7．（改编）现在，很多人都喜欢骑“共享单车”，但也有很多市民并不认可．为了调查人们对这种交通方式的认可度，某同学从交通拥堵不严重的A 城市和交通拥堵严重的B 城市分别随机调查了20名市民，得到了一个市民是否认可的样本，具体数据如下22⨯列联表：附：22()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++，d c b a n +++=．根据表中的数据，下列说法中，正确的是（）A ．没有95% 以上的把握认为“是否认可与城市的拥堵情况有关”B ．有99% 以上的把握认为“是否认可与城市的拥堵情况有关”C ．可以在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“是否认可与城市的拥堵情况有关”D ．可以在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“是否认可与城市的拥堵情况有关” 8．《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位所著，该书完善了珠算口诀，确立了算盘用法，完成了由筹算到珠算的彻底转变，对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用．如图所示的程序框图的算法思路源于该书中的“李白沽酒”问题，执行该程序框图，若输入的a 值为5，则输出的值为（） A ．19 B ．35 C ．67D ．1989．（原创）函数()f x =a 的取值范围是（） A ．0a ≥ B ．0a > C ．0a ≤D ．0a <10．（原创）函数()sin ([2,2])2xf x x x ππ=-∈-的大致图象为（）A ．B ．C ．D ．11．（改编）若正实数a b c 、、满足22ab bc ac a ++=-，则2a b c ++的最小值为（）A ．2B ．1C D ．12．（改编）函数()y f x =是定义在[0,)+∞上的可导函数，且()()x f x f x '+<，则对任意正实数a ，下列式子恒成立的是（） A ．()(0)af a e f < B ．()(0)af a e f > C ．()(0)ae f a f <D ．()(0)ae f a f >第II 卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题有4个小题，每小题5分，共20分）13．（原创）已知命题“p ：30,3xx x ∀>>”，则p ⌝为__________． 14．（原创）设i 是虚数单位，若复数z 满足3z i i +=-，则z =______．15．我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：====按照以上规律，若=n =_______． 16．（改编）若存在实数(0)a a ≠满足不等式2211ax a a a +≤--+，则实数x 的取值范围是________．三、解答题（本大题有6个小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）（一）必考题：共60分．17．（原创）（12分）已知集合{|3}A x x =>，2{|560}B x x x =--≤，求：（1）AB ；（2）()R C A B ．18．（原创）（12分）已知命题p ：“24x -<<”是“(2)()0x x a ++<”的充分不必要条件；命题q ：关于x 的函数224y x ax =++在[2,)+∞上是增函数．若p q ∨是真命题，且p q ∧为假命题，求实数a 的取值范围．19．（改编）（12分）某小区新开了一家“重庆小面”面馆，店主统计了开业后五天中每天的营业额（单位：百元），得到下表中的数据，分析后可知y 与x 之间具有线性相关关系．（1）求营业额y 关于天数x 的线性回归方程；（2）试估计这家面馆第6天的营业额．附：回归直线方程y bx a =+中，1122211()()()nnii i ii i nniii i xx y y x ynx yb xx xnx ====---⋅==--∑∑∑∑　，a y bx =-．20．（原创）（12分）已知函数2()ln f x x ax bx =+-．（1）若函数()y f x =在2x =处取得极值1ln 22-，求()y f x =的单调递增区间；（2）当18a =-时，函数()()g x f x bxb =++在区间[1,3]上的最小值为1，求()y g x =在该区间上的最大值．21．（原创）（12分）已知函数2()(2)f x x m x n =+++（,m n 为常数）．（1）当1n =时，讨论函数()()x g x e f x =的单调性；（2）当2n =时，不等式()22x f x e x m ≤+++在区间(1,)+∞上恒成立，求m 的取值范围．（二）选考题，共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．（原创）（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线1C的参数方程为121x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数）；以直角坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为ρθ=．（1）求1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（2）若1C 与2C 交于点A B 、，求线段AB 的长．23．（原创）（10分）（1）求关于x 的不等式125x x ++-<的解集；（2）若关于x 的不等式221x x m --≥在x R ∈时恒成立，求实数m 的取值范围．2017—2018学年度第二学期期末七校联考高二数学（文科）答案1—5 CCBAC6—10 DDCDA 11—12 DA13．03000,3xx x ∃>≤ 14．120 16．[2,1]-17．解：{|||3}{|33}A x x x x x =>=<->或 ………3分2{|560}{|16}B x x x x x =--≤=-≤≤ ………6分（1）{|36}A B x x =<≤ ……… 8分（2）{|33}R C A x x =-≤≤ ………10分(){|36}R C A B x x ∴=-≤≤………12分18．解：1）若p 为真，则{|24}x x -<<≠⊂{|(2)()0}x x x a ++<4a ∴->即4a <-………3分2）若q 为真，则24a-≤即8a ≥- ………6分 3） p q ∨为真且p q ∧为假,p q ∴一真一假 ………7分 ①若p 真q 假，则488a a a <-⎧⇒<-⎨<-⎩………9分②若p 假q 真，则448a a a ≥-⎧⇒≥-⎨≥-⎩………11分综上所述，8a <-或4a ≥-………12分19．（1）3x =，5y =， 1.8b =，0.4a =-，所以回归直线为 1.80.4y x =-．………8分（2）当6x =时，10.4y =，即第6天的营业额预计为10.4（百元）． ………12分 20．（1）1()2(0)f x ax b x x'=+->．由已知，得11(2)402810(2)ln 242ln 22f a b a b f a b ⎧'=+-=⎧⎪=-⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪==+-=-⎩⎪⎩………4分1(2)(2) () (0)44x x x f x x x x-+'∴=-=> 由 ()002f x x '>⇒<<∴ 函数的单调递增区间为（0，2） ………6分（2）当18a =-时，21()ln 8g x x x b =-+，1(2)(2)()44x x x g x x x-+'=-=． (1,2)x ∈时，()0g x '>；(2,3)x ∈时，()0g x '<∴ ()g x 在[1，2]单增，在[2，3]单减 ………8分∴ max 1()(2)ln 22g x g b ==-+ 又1(1)8g b =-+，9(3)ln 38g b =-+，(3)(1)ln310g g -=->；∴ min 1()(1)18g x g b ==-+=∴ 98b =∴ 5(2)ln 28g =+∴ 函数()g x 在区间[1，3]上的最大值为5(2)ln 28g =+ ………12分21．（1）当1n =时，2()[(2)1]xg x e x m x =+++．2()[(4)(3)](1)[(3)]x x g x e x m x m e x x m '=++++=+++；令()0g x '=，解得1x =-或(3)x m =-+．∴当1(3)m -<-+，即2m <-时，增区间为(,1),(3,)m -∞---+∞，减区间为(1,3)m ---；当1(3)m -=-+，即2m =-时，增区间为(,)-∞+∞，无减区间；当1(3)m ->-+，即2m >-时，增区间为(,3),(1,)m -∞---+∞，减区间为(3,1)m ---．………6分（2）当2n =时，不等式化为2(2)222xx m x e x m +++≤+++；即21x e x m x -≤-在区间(1,)+∞上恒成立．令2()(1)1x e x h x x x -=>-，则2(2)()()(1)x x e x h x x --'=-．令()xk x e x =-，则()10xk x e '=->在区间(1,)+∞上恒成立．所以()(1)10k x k e >=->．∴ 当12x <<时，()0h x '<，()y h x =单减；当2x >时，()0h x '>，()y h x =单增； ∴2()(2)4h x h e ≥=-． ∴24m e ≤-．………12分22．（1）1:C 1y =-，2:C 220x y +-=． (6)分（2）圆2C 的圆心为，半径为r =2C 到直线1C 的距离为1d =．所以||AB ==．………10分23．（1）原不等式化为：①1125x x x <-⎧⎨---+<⎩ 或 ②12125x x x -≤≤⎧⎨+-+<⎩或③2125x x x >⎧⎨++-<⎩．解得21x -<<-或12x -≤≤或23x <<．∴ 原不等式的解集为{|23}x x -<< (6)分（2）令2()|21|f x x x =--，则只须min ()m f x ≤即可．①当12x≥时，22()21(1)0f x x x x=-+=-≥（1x=时取等）；②当12x<时，22()21(1)22f x x x x=+-=+-≥-（1x=-时取等）．∴ 2m≤-．………10分。

2017-2018学年重庆市江津中学、合川中学等七校联考高二(下)期末数学试卷(文科)(解析版)

2017-2018学年重庆市江津中学、合川中学等七校联考高二（下）期末数学试卷（文科）一、选择题（本大题有12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知集合M＝{0，1}，则下列关系式中，正确的是（）A．{0}∈M B．{0}∉M C．0∈M D．0⊆M2．（5分）已知函数y＝f（x）在x＝1处的切线与直线x+y﹣3＝0垂直，则f'（1）＝（）A．2B．0C．1D．﹣13．（5分）设i为虚数单位，则复数＝（）A．i B．﹣i C．2+i D．2﹣i4．（5分）以复平面的原点为极点，实轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则在极坐标系下的点在复平面内对应的复数为（）A．B．C．D．5．（5分）下列命题中正确的是（）A．若a＞b，则ac＞bc B．若a＞b，c＞d，则a﹣c＞b﹣dC．若ab＞0，a＞b，则D．若a＞b，c＞d，则6．（5分）某学校举办科技节活动，有甲、乙、丙、丁四个团队参加“智能机器人”项目比赛，该项目只设置一个一等奖．在评奖揭晓前，小张、小王、小李、小赵四位同学对这四个参赛团队获奖结果预测如下：小张说：“甲或乙团队获得一等奖”；小王说：“丁团队获得一等奖”；小李说：“乙、丙两个团队均未获得一等奖”；小赵说：“甲团队获得一等奖”．若这四位同学中只有两位预测结果是对的，则获得一等奖的团队是（）A．甲B．乙C．丙D．丁7．（5分）现在，很多人都喜欢骑“共享单车”，但也有很多市民并不认可．为了调查人们对这种交通方式的认可度，某同学从交通拥堵不严重的A城市和交通拥堵严重的B城市分别随机调查了20名市民，得到了一个市民是否认可的样本，具体数据如下2×2列联表：附：，n＝a+b+c+d．根据表中的数据，下列说法中，正确的是（）A．没有95% 以上的把握认为“是否认可与城市的拥堵情况有关”B．有99% 以上的把握认为“是否认可与城市的拥堵情况有关”C．可以在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“是否认可与城市的拥堵情况有关”D．可以在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“是否认可与城市的拥堵情况有关”8．（5分）《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位所著，该书完善了珠算口诀，确立了算盘用法，完成了由筹算到珠算的彻底转变，对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用．如图所示的程序框图的算法思路源于该书中的“李白沽酒”问题，执行该程序框图，若输入的a值为5，则输出的值为（）A．19B．35C．67D．1989．（5分）函数在其定义域内有极值点，则实数a的取值范围是（）A．a≥0B．a＞0C．a≤0D．a＜010．（5分）函数的大致图象为（）A．B．C．D．11．（5分）若正实数a、b、c满足ab+bc+ac＝2﹣a2，则2a+b+c的最小值为（）A．2B．1C．D．212．（5分）函数y＝f（x）是定义在[0，+∞）上的可导函数，且x+f'（x）＜f（x），则对任意正实数a，下列式子恒成立的是（）A．f（a）＜e a f（0）B．f（a）＞e a f（0）C．e a f（a）＜f（0）D．e a f（a）＞f（0）二、填空题（本大题有4个小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知命题“p：∀x＞0，3x＞x3”，则￢p为．14．（5分）设i是虚数单位，若复数z满足z+i＝3﹣i，则|z|＝．15．（5分）我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：，，，，…．按照以上规律，若具有“穿墙术”，则n＝．16．（5分）若存在实数a（a≠0）满足不等式|2ax+a|≤|2a﹣1|﹣|a+1|，则实数x的取值范围是．三、解答题（本大题有6个小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）（一）必考题：共60分．17．（12分）已知集合A ＝{x ||x |＞3}，B ＝{x |x 2﹣5x ﹣6≤0}，求：（1）A ∩B ；（2）（∁R A ）∪B ．18．（12分）已知命题p ：“﹣2＜x ＜4”是“（x +2）（x +a ）＜0”的充分不必要条件；命题q ：关于x 的函数y ＝2x 2+ax +4在[2，+∞）上是增函数．若p ∨q 是真命题，且p ∧q 为假命题，求实数a 的取值范围．19．（12分）某小区新开了一家“重庆小面”面馆，店主统计了开业后五天中每天的营业额（单位：百元），得到下表中的数据，分析后可知y 与x 之间具有线性相关关系．（1）求营业额y 关于天数x 的线性回归方程；（2）试估计这家面馆第6天的营业额．附：回归直线方程y ＝bx +a 中，，．20．（12分）已知函数f （x ）＝lnx +ax 2﹣bx ．（1）若函数y ＝f （x ）在x ＝2处取得极值，求y ＝f （x ）的单调递增区间；（2）当时，函数g （x ）＝f （x ）+bx +b 在区间[1，3]上的最小值为1，求y ＝g （x ）在该区间上的最大值．21．（12分）已知函数f （x ）＝x 2+（m +2）x +n （m ，n 为常数）（1）当n ＝1时．讨论函数g （x ）＝e xf （x ）的单调性；（2）当n ＝2时．不等式f （x ）≤e x +2x +m +2在区间（1，+∞）上恒成立．求m 的取值范围．选考题，共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数）；以直角坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．（1）求C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（2）若C1与C2交于点A、B，求线段AB的长．23．（1）求关于x的不等式|x+1|+|x﹣2|＜5的解集；（2）若关于x的不等式x2﹣|2x﹣1|≥m在x∈R时恒成立，求实数m的取值范围．2017-2018学年重庆市江津中学、合川中学等七校联考高二（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题有12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知集合M＝{0，1}，则下列关系式中，正确的是（）A．{0}∈M B．{0}∉M C．0∈M D．0⊆M【解答】解：∵集合M＝{0，1}，∴{0}⊊M，0∈M．故A，B，D都错误，C正确．故选：C．2．（5分）已知函数y＝f（x）在x＝1处的切线与直线x+y﹣3＝0垂直，则f'（1）＝（）A．2B．0C．1D．﹣1【解答】解：由直线x+y﹣3＝0的斜率为﹣1，函数y＝f（x）在x＝1处的切线与直线x+y﹣3＝0垂直，可得切线的斜率k＝1，即则f'（1）＝1．故选：C．3．（5分）设i为虚数单位，则复数＝（）A．i B．﹣i C．2+i D．2﹣i【解答】解：＝﹣1+．故选：B．4．（5分）以复平面的原点为极点，实轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则在极坐标系下的点在复平面内对应的复数为（）A．B．C．D．【解答】解：∴在极坐标系下的点在直角坐标系中为（1，），∴极坐标系下的点在复平面内对应的复数为1+i．故选：A．5．（5分）下列命题中正确的是（）A．若a＞b，则ac＞bc B．若a＞b，c＞d，则a﹣c＞b﹣dC．若ab＞0，a＞b，则D．若a＞b，c＞d，则【解答】解：A．c＜0时不成立；B．a＞b，c＞d，则a+c＞b+d，因此不正确；C．ab＞0，a＞b，则，正确．D．取a＝2，b＝﹣3，c＝3，d＝﹣3，满足条件a＞b，c＞d，但是不成立．故选：C．6．（5分）某学校举办科技节活动，有甲、乙、丙、丁四个团队参加“智能机器人”项目比赛，该项目只设置一个一等奖．在评奖揭晓前，小张、小王、小李、小赵四位同学对这四个参赛团队获奖结果预测如下：小张说：“甲或乙团队获得一等奖”；小王说：“丁团队获得一等奖”；小李说：“乙、丙两个团队均未获得一等奖”；小赵说：“甲团队获得一等奖”．若这四位同学中只有两位预测结果是对的，则获得一等奖的团队是（）A．甲B．乙C．丙D．丁【解答】解：（1）若甲获得一等奖，则小张、小李、小赵的预测都正确，与题意不符；（2）若乙获得一等奖，则只有小张的预测正确，与题意不符；（3）若丙获得一等奖，则四人的预测都错误，与题意不符；（4）若丁获得一等奖，则小王、小李的预测正确，小张、小赵的预测错误，符合题意．故选：D．7．（5分）现在，很多人都喜欢骑“共享单车”，但也有很多市民并不认可．为了调查人们对这种交通方式的认可度，某同学从交通拥堵不严重的A城市和交通拥堵严重的B城市分别随机调查了20名市民，得到了一个市民是否认可的样本，具体数据如下2×2列联表：附：，n＝a+b+c+d．根据表中的数据，下列说法中，正确的是（）A．没有95% 以上的把握认为“是否认可与城市的拥堵情况有关”B．有99% 以上的把握认为“是否认可与城市的拥堵情况有关”C．可以在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“是否认可与城市的拥堵情况有关”D．可以在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“是否认可与城市的拥堵情况有关”【解答】解：根据2×2列联表，可得：＝≈6.465＞6.635，故可以在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“是否认可与城市的拥堵情况有关”，故选：C．8．（5分）《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位所著，该书完善了珠算口诀，确立了算盘用法，完成了由筹算到珠算的彻底转变，对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用．如图所示的程序框图的算法思路源于该书中的“李白沽酒”问题，执行该程序框图，若输入的a值为5，则输出的值为（）A．19B．35C．67D．198【解答】解：模拟程序的运行，可得a＝5，m＝7，i＝1，m＝11满足条件i≤3，执行循环体，i＝2，m＝19满足条件i≤3，执行循环体，i＝3，m＝35满足条件i≤3，执行循环体，i＝4，m＝67此时，不满足条件i≤3，退出循环，输出m的值为67．故选：C．9．（5分）函数在其定义域内有极值点，则实数a的取值范围是（）A．a≥0B．a＞0C．a≤0D．a＜0【解答】解：f（x）的定义域是[0，+∞）且a≠﹣，f′（x＝，函数在其定义域内有极值点，则﹣a＝有解，即y＝﹣a和y＝有交点，故﹣a≥0而a＝0时，+a＝0，不合题意，故a＜0，故选：D．10．（5分）函数的大致图象为（）A．B．C．D．【解答】解：函数f（x）是奇函数，图象关于原点对称，排除B，Df（2π）＝π﹣sin2π＝π＞0，排除C，故选：A．11．（5分）若正实数a、b、c满足ab+bc+ac＝2﹣a2，则2a+b+c的最小值为（）A．2B．1C．D．2【解答】解：正实数a、b、c满足ab+bc+ac＝2﹣a2，则：a2+ab+bc+ac＝（a+b）（a+c）＝2，所以：2a+b+c＝（a+b）+（a+c）＝2．故选：D．12．（5分）函数y＝f（x）是定义在[0，+∞）上的可导函数，且x+f'（x）＜f（x），则对任意正实数a，下列式子恒成立的是（）A．f（a）＜e a f（0）B．f（a）＞e a f（0）C．e a f（a）＜f（0）D．e a f（a）＞f（0）【解答】解：∵x+f'（x）＜f（x），∴f'（x）﹣f（x）＜﹣x，∴＜﹣≤0，设g（x）＝，∴g′（x）＝＜0，∴g（x）在[0，+∞）单调递减，∴g（a）＜g（0）∴＜，即f（a）＜e a f（0），故选：A．二、填空题（本大题有4个小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知命题“p：∀x＞0，3x＞x3”，则￢p为∃x0＞0，≤”．【解答】解：命题“p：∀x＞0，3x＞x3”，则￢p为：“∃x0＞0，≤”．故答案为：“∃x0＞0，≤”．14．（5分）设i是虚数单位，若复数z满足z+i＝3﹣i，则|z|＝．【解答】解：∵z+i＝3﹣i，∴z＝3﹣2i，∴|z|＝．故答案为：．15．（5分）我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：，，，，…．按照以上规律，若具有“穿墙术”，则n＝120．【解答】解：由已知中：，，，，…．归纳可得：第k个式子中，等式左边根号外的系数，根号内分式的分子，也等式右边根号内分式的分子均为k+1，分母均为（k+1）2﹣1故中，k+1＝11，k＝10，n＝（k+1）2﹣1＝120，故答案为：120．16．（5分）若存在实数a（a≠0）满足不等式|2ax+a|≤|2a﹣1|﹣|a+1|，则实数x的取值范围是[﹣2，1]．【解答】解：若存在实数a（a≠0）满足不等式|2ax+a|≤|2a﹣1|﹣|a+1|，即若存在实数a（a≠0）满足|2x+1|•|a|≤|2a﹣1﹣|a+1|，即|2x+1|≤（|2﹣|﹣|1+|）max，故|2x﹣1|≤|2﹣++1|＝3，解得：﹣2≤x≤1，故答案为：[﹣2，1]．三、解答题（本大题有6个小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）（一）必考题：共60分．17．（12分）已知集合A＝{x||x|＞3}，B＝{x|x2﹣5x﹣6≤0}，求：（1）A∩B；（2）（∁R A）∪B．【解答】解：A＝{x||x|＞3}＝{x|x＜﹣3或x＞3}，………（3分）B＝{x|x2﹣5x﹣6≤0}＝{x|﹣1≤x≤6}；………（6分）（1）A∩B＝{x|3＜x≤6}；………（8分）（2）∵∁R A＝{x|﹣3≤x≤3}，………（10分）∴（∁R A）∪B＝{x|﹣3≤x≤6}．………（12分）18．（12分）已知命题p：“﹣2＜x＜4”是“（x+2）（x+a）＜0”的充分不必要条件；命题q：关于x的函数y＝2x2+ax+4在[2，+∞）上是增函数．若p ∨q 是真命题，且p ∧q 为假命题，求实数a 的取值范围．【解答】解：若p 为真，则{x |﹣2＜x ＜4}⊊{x |（x +2）（x +a ）＜0}，可得﹣a ＞4，即a ＜﹣4；若q 为真，则，即a ≥﹣8；∵p ∨q 为真且p ∧q 为假，∴p ，q 一真一假，①若p 真q 假，则； ②若p 假q 真，则．综上所述，a ＜﹣8或a ≥﹣4．19．（12分）某小区新开了一家“重庆小面”面馆，店主统计了开业后五天中每天的营业额（单位：百元），得到下表中的数据，分析后可知y 与x 之间具有线性相关关系．（1）求营业额y 关于天数x 的线性回归方程；（2）试估计这家面馆第6天的营业额．附：回归直线方程y ＝bx +a 中，，．【解答】解：（1）∵，，∴b ＝1.8，a ＝﹣0.4， ∴回归直线为y ＝1.8x ﹣0.4．（………8分）（2）当x ＝6时，y ＝10.4，即第6天的营业额预计为10.4（百元）．（………12分）20．（12分）已知函数f （x ）＝lnx +ax 2﹣bx ．（1）若函数y＝f（x）在x＝2处取得极值，求y＝f（x）的单调递增区间；（2）当时，函数g（x）＝f（x）+bx+b在区间[1，3]上的最小值为1，求y＝g（x）在该区间上的最大值．【解答】解：（1）．由已知，得………（4分）∴由f'（x）＞0⇒0＜x＜2∴函数的单调递增区间为（0，2）………（6分）（2）当时，，．x∈（1，2）时，g'（x）＞0；x∈（2，3）时，g'（x）＜0∴g（x）在[1，2]单增，在[2，3]单减………（8分）∴又，，g（3）﹣g（1）＝ln3﹣1＞0；∴∴∴∴函数g（x）在区间[1，3]上的最大值为………（12分）21．（12分）已知函数f（x）＝x2+（m+2）x+n（m，n为常数）（1）当n＝1时．讨论函数g（x）＝e x f（x）的单调性；（2）当n＝2时．不等式f（x）≤e x+2x+m+2在区间（1，+∞）上恒成立．求m的取值范围．【解答】解：（1）n＝1时，g（x）＝e x[x2+（m+2）x+1]，定义域为R，则g'（x）＝e x•[x2+（m+2）x+1]+e x•（2x+m+2）＝e x[x2+（m+4）x+m+3]＝e x（x+1）[x+（m+3）]令g'（x）＝0，得到x＝﹣1或x＝﹣（m+3），由于e x＞0恒成立，故借助开口向上的二次函数y＝（x+1）[x+（m+3）]的图象求解如下：①当﹣（m+3）＜﹣1时，即m＞﹣2时，x∈（﹣∞，﹣m﹣3）时，g'（x）＞0，g（x）单调递增，x∈（﹣m﹣3，﹣1）时，g'（x）＜0，g（x）单调递减，x∈（﹣1，+∞）时，g'（x）＞0，g（x）单调递增，②当﹣（m+3）＝﹣1时，即m＝﹣2时，g'（x）≥0恒成立，当且仅当x＝﹣1时取得等号，故g（x）在R上单调递增；③当﹣（m+3）＞﹣1时，即m＜﹣2时，x∈（﹣∞，﹣1）时，g'（x）＞0，g（x）单调递增，x∈（﹣1，﹣m﹣3）时，g'（x）＜0，g（x）单调递减，x∈（﹣m﹣3，+∞）时，g'（x）＞0，g（x）单调递增，综上所述：当m＜﹣2时，函数g（x）的单增区间为（﹣∞，﹣1）和（﹣m﹣3，+∞），单减区间为（﹣1，﹣m﹣3）；当m＝﹣2时，函数g（x）只有单增区间为（﹣∞，+∞）；当m＞﹣2时，函数g（x）的单增区间为（﹣∞，﹣m﹣3）和（﹣1，+∞），单减区间为（﹣m﹣3，﹣1）；（2）n＝2时，将x2+（m+2）x+2≤e x+2x+m+2化简整理为m（x﹣1）≤e x﹣x2，由于x∈（1，+∞），分离参数得到m≤恒成立，令g（x）＝，只需要求g（x）min，以下用导数求解其最小值．g′（x）＝，当x∈（1，2）时，恒有e x﹣x＞0，x﹣2＜0，故g'（x）＜0，g（x）单调递减；当x∈（2，+∞）时，恒有e x﹣x＞0，x﹣2＞0，故g'（x）＞0，g（x）单调递增；故g（x）min＝g（2）＝e2﹣4，故m≤e2﹣4，即m的取值范围（﹣∞，e2﹣4]．选考题，共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数）；以直角坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．（1）求C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（2）若C1与C2交于点A、B，求线段AB的长．【解答】解：（1）∵曲线C1的参数方程为（t为参数），∴C1的普通方程为：，∵曲线C2的极坐标方程为，即ρ2＝2cosθ，∴C2的直角坐标方程：．………（6分）（2）圆C2的圆心为，半径为，圆心C2到直线C1的距离为d＝＝1．∴线段AB的长．………（10分）23．（1）求关于x的不等式|x+1|+|x﹣2|＜5的解集；（2）若关于x的不等式x2﹣|2x﹣1|≥m在x∈R时恒成立，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）原不等式化为：或或，解得﹣2＜x＜﹣1或﹣1≤x≤2或2＜x＜3．∴原不等式的解集为{x|﹣2＜x＜3}；（2）令f（x）＝x2﹣|2x﹣1|，由题意可得只须m≤f（x）min即可．①当时，f（x）＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2≥0（x＝1时取等）；②当时，f（x）＝x2+2x﹣1＝（x+1）2﹣2≥﹣2（x＝﹣1时取等）．可得f（x）的最小值为﹣2，∴m≤﹣2，则m的取值范围是（﹣∞，﹣2]．。

重庆市江津区田家炳中学2015-2016学年高二下学期第一次月考数学试卷(文科) 含解析

2015—2016重庆市江津区田家炳中学高二（下）第一次月考数学试卷(文科）一、选择题，本大题共12小题，每小题5分，满分60分1．若复数z=3﹣i，则z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．若a，b∈R，i为虚数单位，且（a+i）i=b+i则(）A．a=1,b=1 B．a=﹣1，b=1 C．a=1，b=﹣1 D．a=﹣1，b=﹣13．设有一个回归方程为=2﹣2.5x,则变量x增加一个单位时（）A．y平均增加2.5个单位B．y平均增加2个单位C．y平均减少2.5个单位D．y平均减少2个单位4．用三段论推理：“任何实数的平方大于0，因为a是实数，所以a2＞0”，你认为这个推理（）A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误 D．是正确的5．为研究变量x和y的线性相关性,甲、乙二人分别作了研究,利用线性回归方法得到回归直线方程l1和l2，两人计算知相同，也相同，下列正确的是（）A．l1与l2一定重合B．l1与l2一定平行C．l1与l2相交于点(，）D．无法判断l1和l2是否相交6．用反证法证明命题“若a2+b2+c2=0，则a=b=c=0”时，第一步应假设（）A．a≠0且b≠0且c≠0 B．abc≠0C．a≠0或b≠0或c≠0 D．a+b+c≠07．有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中随机抽取一粒，则这粒种子能成长为幼苗的概率为（)A．0。

72 B．C．0。

8 D．0.58．执行两次如图所示的程序框图，若第一次输入的a的值为﹣1.2，第二次输入的a的值为1。

2,则第一次、第二次输出的a的值分别为（)A．0。

2，0.2 B．0。

2，0.8 C．0。

8，0.2 D．0.8,0。

89．如图所示,AD是△ABC的中线，E是CA边的三等分点,BE交AD于点F,则AF:FD为（）A．4：1 B．3：1 C．2：1 D．5:110．数列1，，,，，，，,，，…的前100项的和等于(）A．B．C．D．11．在圆O的直径CB的延长线上取一点A，AP与圆O切于点P，且∠APB=30°，AP=，则CP=（）A．B．2C．2﹣1 D．2+112．如图给出的是计算+++…+的值的一个流程图，其中判断框内应填入的条件是(）A．i＞5 B．i＜5 C．i＞10 D．i＜10二．填空题:本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13．如图所示，有5组(x，y）数据,去掉组数据后，剩下的4组数据的线性相关性最大．14．如图,在△ABC中，MN∥DE∥BC,若AE:EC=7：3，则DB:AB的值为．15．若复数z满足z（1+i）=1﹣i（I是虚数单位），则其共轭复数=．16．从1=1，1﹣4=﹣（1+2），1﹣4+9=1+2+3,1﹣4+9﹣16=﹣(1+2+3+4)，…，推广到第n个等式为．三、解答题（本大题共6小题，满分70分）17．实数m取什么值时,复数z=（m2﹣5m+6）+（m2﹣3m）i是(1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？(4）表示复数z的点在第三象限?18．已知x，y∈R+，且x+y＞2,求证：与中至少有一个小于2．19．调查某桑场采桑员和辅助工患桑毛虫皮炎病的情况,结果如下表:采桑不采桑合计患者人数18 12 30健康人数 5 78 83合计23 90 113利用2×2列联表的独立性检验估计，“患桑毛虫皮炎病与采桑”是否有关？认为两者有关系会犯错误的概率是多少?附表:P（K≥k0） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0。

重庆市江津中学高一数学下学期期末复习试卷(含解析)

2014-2015学年重庆市江津中学高一（下）期末数学复习试卷一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）1．已知等差数列{a n}中，a2+a8=2，a5+a11=8，则其公差是（）A． 6 B． 3 C． 2 D． 12．学校为了解学生在课外读物方面的支出情况，抽取了n个同学进行调查，结果显示这些同学的支出都在上的运动员人数是（）A． 3 B． 4 C． 5 D． 64．如图所示的程序的输出结果为S=132，则判断框中应填（）A．i≥10？B．i≥11？C．i≤11？D．i≥12？5．已知点P（x，y）在不等式组表示的平面区域上运动，则z=x﹣y的取值范围是（）A．B．C．D．6．已知等比数列{a n}满足a1=3，a1+a3+a5=21，则a3+a5+a7=（）A． 21 B． 42 C． 63 D． 847．设{a n}是等差数列，下列结论中正确的是（）A．若a1+a2＞0，则a2+a3＞0 B．若a1+a3＜0，则a1+a2＜0C．若若0＜a 1＜a2，则a2D．若a1＜0，则（a2﹣a1）（a2﹣a3）＞08．在△ABC中，a=4，b=5，c=6，则=（）A． 1 B． 2 C． 3 D． 49．袋内装有6个球，每个球上都记有从1到6的一个号码，设号码为n的球重n2﹣6n+12克，这些球等可能地从袋里取出（不受重量、号码的影响）．若任意取出1球，则其重量大于号码数的概率为（）A．B．C．D．10．某企业生产甲乙两种产品均需用A，B两种原料，已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为（）甲乙原料限额A（吨） 3 2 12B（吨） 2 2 8A． 12万元B． 16万元C． 17万元D． 18万元11．若实数a，b满足+=，则ab的最小值为（）A．B． 2 C． 2D． 412．锐角三角形ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若B=2A，则的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）各题答案必须填写在答题卡相应的位置上.13．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=2，c=3，B=60°．则b= ．14．在区间内随机地取出一个数a，使得1∈{x|2x2+ax﹣a2＞0}的概率为．15．若变量x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最小值为．16．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若C=60°，且3ab=25﹣c2，则△ABC 的面积最大值为．三、解答题：（本大题6个小题，共70分）各题解答必须答在答题卡上相应题目指定的方框内（必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程）.17．在等比数列{a n}中，a1=1，且4a1，2a2，a3成等差数列．（Ⅰ）求a n；（Ⅱ）令b n=log2a n，求数列{b n}的前n项和S n．18．在△ABC中，角A，B，C对的边分别为a，b，c，且c=2，C=60°．（1）求的值；（2）若a+b=ab，求△ABC的面积S△ABC．19．某车间将10名技工平均分成甲、乙两组加工某种零件，在单位时间内每个技工加工的合格零件数，按十位数学为茎，个位数学为叶得到的茎叶图如图所示，已知甲、乙两组数据的平均数都为10．（Ⅰ）求m，n的值；（Ⅱ）别求出甲、乙两组数据的方差S甲2和S乙2，并由此分析两组技工的加工水平；（Ⅲ）质检部门从该车间甲、乙两组技工中各随机抽取一名技工，对其加工的零件进行检测，若两人加工的合格零件数之和大于17，则称该车间“质量合格”，求该车间“质量合格”的概率．（注：为数据x1，x2，…x n的平均数，方差S2=）20．设数列{a n}（n=1，2，3，…）的前n项和S n满足S n=2a n﹣a1，且a1，a2+1，a3成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）记数列{}的前n项和为T n，求使得|T n﹣1|成立的n的最小值．21．已知函数f（x）=（a、b为常数）．（1）若b=1，解不等式f（x﹣1）＜0；（2）若a=1，当x∈时，f（x）＞恒成立，求b的取值范围．22．已知各项均为正数的数列{a n}，其前n项和为S n，且满足2S n=a n2+a n．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{}的前n项和为T n，求证：当n≥3时，T n＞+．2014-2015学年重庆市江津中学高一（下）期末数学复习试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）1．已知等差数列{a n}中，a2+a8=2，a5+a11=8，则其公差是（）A． 6 B． 3 C． 2 D． 1考点：等差数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：利用等差数列的通项公式求解．解答：解：等差数列{a n}中，∵a2+a8=2，a5+a11=8，∴，解得a1=﹣3，d=1．故选：D．点评：本题考查等差数列的公差的求法，解题时要认真审题，是基础题．2．学校为了解学生在课外读物方面的支出情况，抽取了n个同学进行调查，结果显示这些同学的支出都在上的运动员人数是（）A． 3 B． 4 C． 5 D． 6考点：茎叶图．专题：概率与统计．分析：对各数据分层为三个区间，然后根据系数抽样方法从中抽取7人，得到抽取比例为，然后各层按照此比例抽取．解答：解：由已知，将个数据分为三个层次是，，，根据系数抽样方法从中抽取7人，得到抽取比例为，所以成绩在区间中共有20名运动员，抽取人数为20×=4；故选B．点评：本题考查了茎叶图的认识以及利用系统抽样抽取个体的方法；关键是正确分层，明确抽取比例．4．如图所示的程序的输出结果为S=132，则判断框中应填（）A．i≥10？B．i≥11？C．i≤11？D．i≥12？考点：程序框图．专题：操作型．分析：由框图可以得出，循环体中的运算是每执行一次s就变成了s乘以i，i的值变为i﹣2，故S的值是从12开始的逐渐减小的若干个整数的乘积，由此规律解题计算出循环体执行几次，再求出退出循环的条件，对比四个选项得出正确答案．解答：解：由题意，S表示从12开始的逐渐减小的若干个整数的乘积，由于12×11=132，故此循环体需要执行两次所以每次执行后i的值依次为11，10由于i的值为10时，就应该退出循环，再考察四个选项，B符合题意故选B点评：本题考查循环结构，解答本题，关键是根据框图得出算法，计算出循环次数，再由i的变化规律得出退出循环的条件．本题是框图考查常见的形式，较多见，题后作好总结．5．已知点P（x，y）在不等式组表示的平面区域上运动，则z=x﹣y的取值范围是（）A．B．C．D．考点：简单线性规划．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC及其内部，再将目标函数z=x﹣y 对应的直线进行平移，观察x轴上的截距变化，得出目标函数的最大、最小值，即可得到z=x ﹣y的取值范围．解答：解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，其中A（2，0），B（2，1），C（0，1）设z=F（x，y）=x﹣y，将直线l：z=x﹣y进行平移，观察x轴上的截距变化，可得当l经过点C时，z达到最小值；l经过点A时，z达到最大值∴z最小值=F（0，1）=﹣1，z最大值=F（2，0）=2即z=x﹣y的取值范围是故选：A点评：本题给出二元一次不等式组，求目标函数z=x﹣y的范围，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．6．已知等比数列{a n}满足a1=3，a1+a3+a5=21，则a3+a5+a7=（）A． 21 B． 42 C． 63 D． 84考点：等比数列的通项公式．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：由已知，a1=3，a1+a3+a5=21，利用等比数列的通项公式可求q，然后在代入等比数列通项公式即可求．解答：解：∵a1=3，a1+a3+a5=21，∴，∴q4+q2+1=7，∴q4+q2﹣6=0，∴q2=2，∴a3+a5+a7==3×（2+4+8）=42．故选：B点评：本题主要考查了等比数列通项公式的应用，属于基础试题．7．设{a n}是等差数列，下列结论中正确的是（）A．若a1+a2＞0，则a2+a3＞0 B．若a1+a3＜0，则a1+a2＜0C．若若0＜a 1＜a2，则a2D．若a1＜0，则（a2﹣a1）（a2﹣a3）＞0考点：等差数列的性质．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：对选项分别进行判断，即可得出结论．解答：解：若a1+a2＞0，则2a1+d＞0，a2+a3=2a1+3d＞2d，d＞0时，结论成立，即A不正确；若a1+a3＜0，则a1+a2=2a1+2d＜0，a2+a3=2a1+3d＜2d，d＜0时，结论成立，即B不正确；{a n}是等差数列，0＜a1＜a2，2a2=a1+a3＞2，∴a2＞，即C正确；若a1＜0，则（a2﹣a1）（a2﹣a3）=﹣d2＜0，即D不正确．故选：C．点评：本题考查等差数列的通项，考查学生的计算能力，比较基础．8．在△ABC中，a=4，b=5，c=6，则=（）A． 1 B． 2 C． 3 D． 4考点：余弦定理；正弦定理．专题：三角函数的求值．分析：利用余弦定理求出cosC，cosA，即可得出结论．解答：解：∵△ABC中，a=4，b=5，c=6，∴cosC==，cosA==，∴sinC=，sinA=，∴===1．故选：A．点评：本题考查余弦定理，考查学生的计算能力，比较基础．9．袋内装有6个球，每个球上都记有从1到6的一个号码，设号码为n的球重n2﹣6n+12克，这些球等可能地从袋里取出（不受重量、号码的影响）．若任意取出1球，则其重量大于号码数的概率为（）A．B．C．D．考点：等可能事件的概率．专题：概率与统计．分析：任意取出1球，共有6种等可能的方法，要求其重量大于号码数的概率，根据号码为n 的球的重量为n2﹣6n+12克，构造关于n的不等式，解不等式即可得到满足条件的基本事件的个数，代入古典概型公式即可求解．解答：解：由题意，任意取出1球，共有6种等可能的方法．由不等式n2﹣6n+12＞n，得n＞4或n＜3，所以n=1或2，n=5或6，于是所求概率P==故选D．点评：本题考查古典概型概率公式，考查学生的计算能力，属于基础题．10．某企业生产甲乙两种产品均需用A，B两种原料，已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为（）甲乙原料限额A（吨） 3 2 12B（吨） 2 2 8A． 12万元B． 16万元C． 17万元D． 18万元考点：简单线性规划的应用．专题：不等式的解法及应用．分析：设每天生产甲乙两种产品分别为x，y顿，利润为z元，然后根据题目条件建立约束条件，得到目标函数，画出约束条件所表示的区域，然后利用平移法求出z的最大值解答：解：设每天生产甲乙两种产品分别为x，y顿，利润为z元，则，目标函数为 z=3x+4y．作出二元一次不等式组所表示的平面区域（阴影部分）即可行域由z=3x+4y得y=﹣x+，平移直线y=﹣x+，由图象可知当直线y=﹣x+经过点A时，直线y=﹣x+的截距最大，此时z最大，解方程组，解得，即A的坐标为x=4，y=0，∴z max=3x+4y=12．即每天生产甲乙两种产品分别为2，3顿，能够产生最大的利润，最大的利润是12万元，故选：A．点评：本题主要考查线性规划的应用，建立约束条件和目标函数，利用数形结合是解决本题的关键11．若实数a ，b 满足+=，则ab 的最小值为（）A ．B ． 2C ． 2D ． 4考点：基本不等式．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：由+=，可判断a ＞0，b ＞0，然后利用基础不等式即可求解ab 的最小值解答：解：∵+=，∴a＞0，b ＞0， ∵（当且仅当b=2a 时取等号）， ∴，解可得，ab ，即ab 的最小值为2，故选：C ．点评：本题主要考查了基本不等式在求解最值中的简单应用，属于基础试题12．锐角三角形ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若B=2A ，则的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．考点：正弦定理；二倍角的正弦．专题：计算题；解三角形．分析：由题意可得 0＜2A＜，且＜3A＜π，解得A的范围，可得cosA的范围，由正弦定理求得=2cosA，解得所求．解答：解：锐角△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，B=2A，∴0＜2A＜，且B+A=3A，∴＜3A＜π．∴＜A＜，∴＜cosA＜．由正弦定理可得==2cosA，∴＜2cosA＜，故选 B．点评：本题考查正弦定理，二倍角的正弦公式，判断＜A＜，是解题的关键和难点．二、填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）各题答案必须填写在答题卡相应的位置上.13．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=2，c=3，B=60°．则b= ．考点：余弦定理．专题：解三角形．分析：利用余弦定理列出关系式，将a，c及cosB代入计算即可求出b的值．解答：解：∵a=2，c=3，B=60°，∴由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2accosB=4+9﹣6=7，则b=．故答案为：点评：此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．14．在区间内随机地取出一个数a，使得1∈{x|2x2+ax﹣a2＞0}的概率为0.3 ．考点：几何概型．专题：计算题；转化思想．分析：由1∈{x|2x2+ax﹣a2＞0}代入得出关于参数a的不等式，解之求得a的范围，再由几何的概率模型的知识求出其概率．解答：解：由题意1∈{x|2x2+ax﹣a2＞0}，故有2+a﹣a2＞0，解得﹣1＜a＜2由几何概率模型的知识知，总的测度，区间的长度为10，随机地取出一个数a，使得1∈{x|2x2+ax﹣a2＞0}这个事件的测度为3故区间内随机地取出一个数a，使得1∈{x|2x2+ax﹣a2＞0}的概率为0.3故答案为0.3点评：本题考查几何概率模型，求解本题的关键是正确理解1∈{x|2x2+ax﹣a2＞0}的意义，即得到参数a所满足的不等式，从中解出事件所对应的测度15．若变量x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最小值为﹣1 ．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：由约束条件作出可行域，由图得到最优解，求出最优解的坐标，数形结合得答案．解答：解：由约束条件作出可行域如图，由图可知，最优解为A，联立，解得A（0，1）．∴z=2x﹣y的最小值为2×0﹣1=﹣1．故答案为：﹣1．点评：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．16．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若C=60°，且3ab=25﹣c2，则△ABC的面积最大值为．考点：基本不等式；余弦定理．专题：计算题；解三角形．分析：根据余弦定理结合C=60°，算出c2=a2+b2﹣ab，结合题中的等式得a2+b2﹣ab=25﹣3ab，整理得（a+b）2=25，解出a+b=5．由基本不等式，得当且仅当a=b=时ab的最大值为，由此结合正弦定理的面积公式，即可算出△ABC的面积的最大值．解答：解：∵△ABC中，C=60°，∴c2=a2+b2﹣2abcosC=a2+b2﹣ab又∵3ab=25﹣c2，得c2=25﹣3ab∴a2+b2﹣ab=25﹣3ab，移项得（a+b）2=25，可得a+b=5∵△ABC的面积S=absinC=ab，且ab≤=∴当且仅当a=b=时，ab的最大值为，此时△ABC的面积的最大值为故答案为：点评：本题给出三角形ABC的角C和边之间的关系式，求三角形面积的最大值．着重考查了用基本不等式求最值、三角形的面积公式和余弦定理等知识，属于中档题．三、解答题：（本大题6个小题，共70分）各题解答必须答在答题卡上相应题目指定的方框内（必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程）.17．在等比数列{a n}中，a1=1，且4a1，2a2，a3成等差数列．（Ⅰ）求a n；（Ⅱ）令b n=log2a n，求数列{b n}的前n项和S n．考点：等差数列与等比数列的综合；数列的求和．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：（I）设{a n}的公比为q，根据等比数列的通项公式与等差中项的定义，建立关于q的等式解出q=2，即可求出{a n}的通项公式．（II）根据（I）中求出的{a n}的通项公式，利用对数的运算法则算出b n=n﹣1，从而证出{b n}是首项为0、公差为1的等差数列，再利用等差数列的前n项和公式加以计算，可得数列{b n}的前n项和S n的表达式．解答：解：（Ⅰ）设{a n}的公比为q，∵4a1，2a2，a3成等差数列，∴4a1+a3=4a2．又∵{a n}的公比为q，首项a1=1，∴4+q2=4q，解之得q=2．∴数列{a n}的通项公式为（n∈N*）．（Ⅱ）∵，∴，由此可得b n+1﹣b n=n﹣（n﹣1）=1，b1=0，∴{b n}是首项为0、公差为1的等差数列，因此，数列{b n}的前n项和．点评：本题给出等比数列{a n}满足的条件，求它的通项公式并依此求数列{b n}的前n项和．着重考查了等差、等比数列的通项与性质，等差数列的前n项之积公式与对数的运算法则等知识，属于中档题．18．在△ABC中，角A，B，C对的边分别为a，b，c，且c=2，C=60°．（1）求的值；（2）若a+b=ab，求△ABC的面积S△ABC．考点：余弦定理；正弦定理．专题：解三角形．分析：（1）根据正弦定理求出，然后代入所求的式子即可；（2）由余弦定理求出ab=4，然后根据三角形的面积公式求出答案．解答：解：（1）由正弦定理可设，所以，所以．…（6分）（2）由余弦定理得c2=a2+b2﹣2abcosC，即4=a2+b2﹣ab=（a+b）2﹣3ab，又a+b=ab，所以（ab）2﹣3ab﹣4=0，解得ab=4或ab=﹣1（舍去）所以．…（14分）点评：本题考查了正弦定理、余弦定理等知识．在解三角形问题中常涉及正弦定理、余弦定理、三角形面积公式及同角三角函数基本关系等问题，故应综合把握．19．某车间将10名技工平均分成甲、乙两组加工某种零件，在单位时间内每个技工加工的合格零件数，按十位数学为茎，个位数学为叶得到的茎叶图如图所示，已知甲、乙两组数据的平均数都为10．（Ⅰ）求m，n的值；（Ⅱ）别求出甲、乙两组数据的方差S甲2和S乙2，并由此分析两组技工的加工水平；（Ⅲ）质检部门从该车间甲、乙两组技工中各随机抽取一名技工，对其加工的零件进行检测，若两人加工的合格零件数之和大于17，则称该车间“质量合格”，求该车间“质量合格”的概率．（注：为数据x1，x2，…x n的平均数，方差S2=）考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；茎叶图；极差、方差与标准差．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）由题意根据平均数的计算公式分别求出m，n的值．（Ⅱ）分别求出甲、乙两组技工在单位时间内加工的合格零件数的方差S甲2和S乙2，再根据它们的平均值相等，可得方差较小的发挥更稳定一些．（Ⅲ）用列举法求得所有的基本事件的个数，找出其中满足该车间“待整改”的基本事件的个数，即可求得该车间“待整改”的概率．解答：解：（I）由题意可得=（7+8+10+12+10+m）=10，解得 m=3．再由=（n+9+10+11+12）=10，解得 n=8．（Ⅱ）分别求出甲、乙两组技工在单位时间内加工的合格零件数的方差，S甲2==5.2，S乙2==2，并由，S甲2＜S乙2，可得两组的整体水平相当，乙组的发挥更稳定一些．（Ⅲ）质检部门从该车间甲、乙两组技工中各随机抽取一名技工，对其加工的零件进行检测，设两人加工的合格零件数分别为（a，b），则所有的（a，b）有（7，8）、（7，9）、（7，10）、（7，11）、（7，12）、（8，8）、（8，9）、（8，10）、（8，11）、（8，12）、（10，8）、（10，9）、（10，10）、（10，11）、（10，12）、（12，8）、（12，9）、（12，10）、（12，11）、（12，12）、（13，8）、（13，9）、（13，10）、（13，11）、（13，12），共计25个，而满足a+b≤17的基本事件有（7，8）、（7，9）、（7，10）、（8，8）、（8，9），共计5个基本事件，故满足a+b＞17的基本事件个数为25﹣5=20，即该车间“待整改”的基本事件有20个，故该车间“待整改”的概率为P==．点评：本题主要考查方差的定义和求法，古典概型问题，可以列举出试验发生包含的事件和满足条件的事件，列举法，是解决古典概型问题的一种重要的解题方法，属于中档题．20．设数列{a n}（n=1，2，3，…）的前n项和S n满足S n=2a n﹣a1，且a1，a2+1，a3成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）记数列{}的前n项和为T n，求使得|T n﹣1|成立的n的最小值．考点：数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）由已知数列递推式得到a n=2a n﹣1（n≥2），再由已知a1，a2+1，a3成等差数列求出数列首项，可得数列{a n}是首项为2，公比为2的等比数列，则其通项公式可求；（Ⅱ）由（Ⅰ）求出数列{}的通项公式，再由等比数列的前n项和求得T n，结合求解指数不等式得n的最小值．解答：解：（Ⅰ）由已知S n=2a n﹣a1，有a n=S n﹣S n﹣1=2a n﹣2a n﹣1（n≥2），即a n=2a n﹣1（n≥2），从而a2=2a1，a3=2a2=4a1，又∵a1，a2+1，a3成等差数列，∴a1+4a1=2（2a1+1），解得：a1=2．∴数列{a n}是首项为2，公比为2的等比数列．故；（Ⅱ）由（Ⅰ）得：，∴．由，得，即2n＞1000．∵29=512＜1000＜1024=210，∴n≥10．于是，使|T n﹣1|成立的n的最小值为10．点评：本题考查等差数列与等比数列的概念、等比数列的通项公式与前n项和公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．21．已知函数f（x）=（a、b为常数）．（1）若b=1，解不等式f（x﹣1）＜0；（2）若a=1，当x∈时，f（x）＞恒成立，求b的取值范围．考点：函数恒成立问题；其他不等式的解法．专题：综合题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：（1）f（x﹣1）＜0即，按照1﹣a与0的大小关系分三种情况讨论可解不等式；（2）a=1时不等式可化为（※），由x≠﹣b可知b∉，分离出参数b后化为函数的最值即可，由基本不等式可求最值；解答：解：（1）f（x﹣1）＜0即，①当1﹣a＞0，即a＜1时，不等式的解集为：（0，1﹣a）；②当1﹣a=0，即a=1时，不等式的解集为：x∈ϕ；③当1﹣a＜0，即a＞1时，不等式的解集为：（1﹣a，0）．（2）a=1时，f（x）＞即（※）且x≠﹣b，不等式恒成立，则b∉；又当x=﹣1时，不等式（※）显然成立；当﹣1＜x≤2时，，故b＞﹣1．综上所述，b＞﹣1．∵x+b≠0，∴b≠﹣x，又x∈，∴﹣x∈，综上，b∈（1，+∞）为所求．点评：该题考查函数恒成立、分式不等式的解法，考查分类讨论思想，考查学生对问题的转化能力．22．已知各项均为正数的数列{a n}，其前n项和为S n，且满足2S n=a n2+a n．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{}的前n项和为T n，求证：当n≥3时，T n＞+．考点：数列的求和；数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）由已知条件推导出，化简得（a n﹣a n﹣1﹣1）（a n+a n﹣1）=0，由此能求出a n=n．（Ⅱ）当n≥3时，利用放缩法和裂项求和法能证明T n＞+．解答：解：（Ⅰ）∵…①，∴，解得a1=1或0（舍），且…②，①﹣②得，化简得（a n﹣a n﹣1﹣1）（a n+a n﹣1）=0，∵数列{a n}各项均为正数，∴a n﹣a n﹣1﹣1=0，即a n=a n﹣1+1，∴{a n}为等差数列，a n=n，经检验，a1=1也符合该式，∴a n=n．…（5分）（Ⅱ）当n≥3时，∴当n≥3时，T n＞+．…（12分）点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意放缩法和裂项求和法的合理运用．。

重庆市部分区县2014-2015学年度下期期末联考高二数学(文科)试题及答案

重庆市部分区县2014-2015学年度下期期末联考高二（文科）数学试题卷注意事项：1．高二（文科）数学试题卷共4页．满分150分．考试时间120分钟．2．本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上．3．回答第Ⅰ卷选时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．4．回答第Ⅱ卷选时，将答案书写在答题卡规定的位置上，写在本试卷上无效． 5．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）在复平面内，复数52i --对应的点在（A ）第一象限（B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限（2）函数()lg(2)f x x =-的定义域为（A ）(, )-∞+∞ （B ）(2, 2)- （C ）[2, )+∞ （D ）(2, +)∞ （3）若集合{0}A x x x =-=，则（A ）1A ∈ （B ）1A ∕∈ （C ）1A ⊆ （D ）1A Ü（4）用反证法证明命题：“若关于x 的方程220x x a -+=有两个不相等的实数根，则1a <”时，应假设（A ）1a ≥ （B ）关于x 的方程220x x a -+=无实数根（C ）1a > （D ）关于x 的方程220x x a -+=有两个相等的实数根（5）在两个变量y 与x 的回归模型中，分别选择了四个不同的模型，且它们的2R 的值的大小关系为：2222R R R R <<<模型3模型4模型1模型2，则拟合效果最好的是（A ）模型1 （B ）模型2 （C ）模型3 （D ）模型4（6）已知一段演绎推理：“一切奇数都能被3整除，5(21)+是奇数，所以5(21)+能被3整除”，则这段推理的（A ）大前提错误（B ）小前提错误（C ）推理形式错误（D ）结论错误（7）若函数2()f x x mx m =++（R m ∈）在(2, )-+∞上是增函数，则m 的取值范围是（A ）(, 4)-∞ （B ） (, 4]-∞ （C ）(4, +)∞ （D ）[4, +)∞（8）已知函数()ln(2)2f x x x m =++-（R m ∈）的一个零点附近的函数值的参考数据如下表：由二分法，方程ln(1)20x x m ++-=的近似解（精确度0.05）可能是（A ）0.625 （B ）-0.009 （C ）0.5625（D ）0.066（9）已知()f x 是偶函数，若当0x >时，()ln x f x e x =+，则当0x <时，()f x =（A ）ln x e x +（B ）ln()x e x -+- （C ）ln x e x -+ （D ）ln()x e x -+-（10）已知()x f x a =，()log a g x x =，()a h x x =，若01a <<，则(2)f ，(2)g ，(2)h 的大小关系是（A ）(2)(2)(2)f g h >> （B ）(2)(2)(2)g f h >> （C ）(2)(2)(2)h g f >>（D ）(2)(2)(2)h f g >>（11）某镇2008年至2014年中，每年的人口总数y （单位：万）的数据如下表：若t 与y 之间具有线性相关关系，则其线性回归直线ˆˆˆybt a =+一定过点（A ）(4, 11) （B ）(6, 14) （C ）(3, 9)（D ）(9, 3)（12）已知函数()3x f x -=，对任意的1x ，2x ，且12x x <，则下列四个结论中，不一定正确的是（A ）1212()()()f x x f x f x +=⋅ （B ）1212()()()f x x f x f x ⋅=+ （C ）1212()[()()]0x x f x f x --<（D ）1212()()()22x x f x f x f ++< 第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．（13）复数1i -的共轭复数是_____________．（14）若幂函数()f x 的图象过点1(3, )9，则()f x =__________．（15）按下面流程图的程序计算，若开始输入x 的值是4，则输出结果x 的值是________．（16）已知函数1()lg21xf x m nx x-=+++，若3(lg(log 10))9f =，则(lg(lg3))f =________．三、解答题：本大题共6小题，第17题～第21题，每小题12分，第22题10分，共70分．解答应写出字说明、证明过程或演算步骤．（17）（本小题满分12分）设全集R U =，集合{22, R}A x m x m m =-<<+∈，集合{44}B x x =-<<. （Ⅰ）当3m =时，求AB ，A B ；（Ⅱ）若U A B ⊆ð，求实数m 的取值范围.（18）（本小题满分12分）已知函数2()f x x mx n =++（m ，n ∈R ），(0)(1)f f =，且方程()x f x =有两个相等的实数根．（Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）当[0, 3]x ∈时，求函数()f x 的值域．（19）(本小题满分12分)为了调查生活规律与患胃病是否与有关，某同学在当地随机调查了200名30岁以上的人，并根据调查结果制成了不完整的列联表如下：（Ⅰ）补全列联表中的数据；（Ⅱ）用独性检验的基本原理，说明生活无规律与患胃病有关时，出错的概率不会超过多少？参考公式和数表如下:22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++（20）（本小题满分12分）在数列{}n a 中，11a =，121nn n a a a +=+（*N n ∈ ）．（Ⅰ）求2a ，3a ，4a 的值；（Ⅱ）猜想这个数列{}n a 的通项公式，并证明你猜想的通项公式的正确性．（21）（本小题满分12分）某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：对于每位销售人员，均以10万元为基数，若销售利润没超出这个基数，则可获得销售利润的5%的奖金；若销售利润超出这个基数（超出的部分是a 万元），则可获得3[0.5log (2)]a ++万元的奖金．记某位销售人员获得的奖金为y （单位：万元），其销售利润为x （单位：万元）．（Ⅰ）写出这位销售人员获得的奖金y 与其销售利润x 之间的函数关系式；（Ⅱ）如果这位销售人员获得了3.5万元的奖金，那么他的销售利润是多少万元？（22）(本小题满分10分)已知函数()22x xmf x =+（R m ∈）是奇函数．（Ⅰ）求实数m 的值；（Ⅱ）用函数单调性的定义证明函数()f x 在(, )-∞+∞上是增函数；（Ⅲ）对任意的R x ∈，若不等式23(4)02f x x k --+>恒成立，求实数k 的取值范围．重庆市部分区县2014—2015学年度下期期末联考高二（文科）数学参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．（1）C （2）D （3）A （4）A （5）B （6）A （7）D （8）C （9）B （10）D （11）C （12）B 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．（13）1i + （14）2x - （15）105 （16）5-三、解答题：本大题共6小题，第17题～第21题，每小题12分，第22题10分，共70分．（17）（本小题满分12分）解:（Ⅰ）∵{22, R}A x m x m m =-<<+∈,∴当3m =时，{15}A x x =<<．…………………………………………………………………（2分）∵{44}B x x =-<<， ∴{14}A B x x =<<，…………………………………………………………………………（4分）{45}AB x x =-<<，………………………………………………………………………（6分）（Ⅱ）∵{44}B x x =-<<， ∴{4U B x x =≤-ð，或4}x ≥．……………………………………………………………………（8分）∵{22, R}A x m x m m =-<<+∈，且U A B ⊆ð，∴24m +≤-，或24m -≥，……………………………………………………………………（10分）∴6m ≤-，或6m ≥．……………………………………………………………………………（11分）所以实数m 的取值范围是(, 6][6, )-∞-+∞．……………………………………………（12分）（18）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）∵2()f x x mx n =++，且(0)(1)f f =，∴1n m n =++．……………………………………………………………………………………（1分）∴1m =-．…………………………………………………………………………………………（2分）∴2()f x x x n =-+．………………………………………………………………………………（3分）∵方程()x f x =有两个相等的实数根， ∴方程2x x x n =-+有两个相等的实数根．即方程220x x n -+=有两个相等的实数根．……………………………………………………（4分）∴2(2)40n --=．…………………………………………………………………………………（5分）∴1n =．……………………………………………………………………………………………（6分）∴2()1f x x x =-+．………………………………………………………………………………（7分）（Ⅱ）由（Ⅰ），知2()1f x x x =-+．此函数的图象是开口向上，对称轴为12x =的抛物线．…………………………………………（8分）∴当12x =时，()f x 有最小值1()2f ．……………………………………………………………（9分）而21113()()12224f =-+=，(0)1f =，2(3)3317f =-+=．…………………………………（11分）∴当[0, 3]x ∈时，函数()f x 的值域是3[, 7]4．………………………………………………（12分）（19）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）完善列联表中的数据如下：……………………………………………………………………………………………（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）中的列联表可得：22()200(60604040)87.879()()()()100100100100n ad bc k a b c d a c b d -⨯⨯-⨯===>++++⨯⨯⨯．…………………………………………………………………………………………………（10分）所以，有99.5%的把握认为生活无规律与患胃病有关．……………………………………（11分）故认为生活无规律与患胃病有关时，出错的概率不会超过0.5%．………………………（12分）（20）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）∵11a =，且1=21n n n a a a ++*( N )n ∈，∴1211121213a a a ===++， 2321131215213a a a ===+⨯+，3431151217215a a a ===+⨯+．……………………………………（6分）（Ⅱ）猜想数列{}n a 的通项公式为121n a n =-（*N n ∈）．……………………………………（8分）证明如下： ∵1=21n n n a a a ++，∴1211=n n n a a a ++．∴1112n na a +-=． ∴数列1{}na 是公差为2的等差数列．…………………………………………………………（10分）∴111(1)2n n a a =+-⨯． ∵11a =，∴11(1)221nn n a =+-⨯=-． ∴121n a n =-（*N n ∈）．………………………………………………………………………（11分）所以猜想的通项公式是正确的．…………………………………………………………………（12分）（21）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由题意，得30.05, 010,0.5log (8), 10.x x y x x <≤⎧=⎨+->⎩………………………………………………（5分）答：这位销售人员获得的奖金y 与其销售利润x 之间的函数关系式是30.05, 010,0.5log (8), 10.x x y x x <≤⎧=⎨+->⎩………………………………………………………………………………………………………（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ），知30.05, 010,0.5log (8), 10.x x y x x <≤⎧=⎨+->⎩当010x <≤时，0.050.5 3.5y x =≤<． ∴10x >．…………………………………………………………………………………………（8分） ∴30.5log (8) 3.5x +-=． ………………………………………………………………………（9分）解之，得35x =（万元）．………………………………………………………………………（11分）答：如果这位销售人员获得了3.5万元的奖金，那么他的销售利润是35万元．……………（12分）（22）（本小题满分10分）（Ⅰ）解：∵函数()22x xmf x =+（R m ∈）是奇函数， ∴()()f x f x -=-．……………………………………………………………………………（1分）∴2(2)22x xx xm m --+=-+．即1(1)(2)02x xm ++=．…………………………………………………………………………（2分） ∵1202x x +≠． ∴10m +=． ∴1m =-．………………………………………………………………………………………（3分）（Ⅱ）证明：由（Ⅰ），可得1()22x xf x =-． ……………………………………………………（4分）设任意的1x ，2x (, )-∞+∞∈，且12x x <．21212111()()2(2)22x x x x f x f x -=--- 2112112222x x x x =-+- 212112222222x x x x x x -=-+21121(22)(1)2x x x x +=-+．…………………………………………………………………………（6分）∵12x x <，∴1222x x <，∴21220x x ->．又1220x x +>，∴121102x x ++>．∴21121(22)(1)02x x x x +-+>．∴21()()0f x f x ->． ∴12()()f x f x <．所以函数()f x 在(, )-∞+∞上是增函数．……………………………………………………（7分）（Ⅲ）由（Ⅱ），可知1()22x xf x =-． ∴3(1)2f =．……………………………………………………………………………………（8分）∵1()22x x f x =-是奇函数，∴3(1)2f -=-．∴23(4)02f x x k --+>等价于2(4)(1)f x x k f -->-………………………………………（9分）∵函数()f x 在(, )-∞+∞上是增函数． ∴241x x k -->-在(, )-∞+∞上恒成立．即2410x x k --+>在(, )-∞+∞上恒成立． ∴3k <-．………………………………………………………………………………………（10分）注：解答题的其它解法参照本参考答案给分．。

重庆市江津实验中学2014-2015学年高二下学期第二学月月考数学文试题 Word版无答案[ 高考]

实验中学高16级14-15学年度下期第二学月数学（文）试题（出题人：刘家财；时间：120分；总分:150分）一、选择题（每题5分，共12小题）1、{1,2,3,4,8}A =，{4,5,6,8}B =，则A B ⋂＝（）A. {4,8}B. {2,4,6,8}C.{1,3,5,7}D.{1,2,3,5,6}2、已知23Z i =-+，求||Z =（）A. 1B.C.D. 33、命题“2,||x R x x ∀∈+≥0”的否定是（）A 、2,||x R x x ∀∈+＜0B 、2,||x R x x ∀∈+≤0C 、2000,||x R x x ∃∈+＜0D 、2000,||x R x x ∃∈+≥04、“因为四边形ABCD 是矩形，所以四边形ABCD 的对角线相等”，此推理的大前提为（） A 、正方形都是对角线相等的四边形 B 、矩形都是对角线相等的四边形C 、等腰梯形都是对角线相等的四边形D 、矩形都是对边平行且相等的四边形5、设两名射手射击同一目标，命中的概率分别为0.8和0.7，若各射击一次，目标被击中的概率是（） A 、0.56 B 、0.92 C 、0.94 D 、0.966、用反证法证明时，对结论“自然数a ,b ,c 恰有一个偶数”的假设，正确的是（） A 、a ,b ,c 都是奇数 B 、a , b ,c 都是偶数C 、a , b ,c 中至少有两个偶数D 、a , b ,c 中都是奇数或至少有两个偶数 7、执行如图所示的程序框图，则输出的S 值为（）A 、1B 、3C 、7D 、158、设a ，b 是实数，则“a ＞b ”是“2a ＞2b ”的（）A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件9、函数21log (2)y x =-的定义域是（）A 、(,2)-∞B 、(2,)+∞C 、(2,3)(3,)⋃+∞D 、(2,4)(4,)⋃+∞10、下列函数为偶函数的是（）A 、()1f x x =-B 、12)(2++=x x x fC xx x f --=22)( D xx x f -+=22)(11、()23xf x x =+的零点所在的一个区间是（）A 、（-2，-1）B 、（-1，0）C 、（0，1）D 、（1，2）12、已知()f x 是定义在R 上的奇函数，对任意实数x ，(2)(2)f x f x -=+，当(0,2)x ∈时，2()f x x =-，则13()2f ＝（）A 、94-B 、14-C 、14D 、94二、填空题（每题5分，共4小题。

重庆市江津中学2024学年联考数学试题试卷

重庆市江津中学2024学年联考数学试题试卷注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的表面积为（）A ．8B ．83C ．822+D ．842+2．在ABC 中，D 为BC 边上的中点，且||1,|2,120AB AC BAC ==∠=︒，则||=AD （）A ．32B ．12C ．34D ．743．已知函数()cos()f x A x ωϕ=+（0A >，0>ω，||2ϕπ<），将函数()f x 的图象向左平移34π个单位长度，得到函数()g x 的部分图象如图所示，则1()3f x =是32123x g π⎛⎫+= ⎪⎝⎭的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知,a b ∈R ，3(21)ai b a i +=--，则|3|a bi +=（） A 10B ．23C ．3D ．45．已知函数()(0)f x x x x =->，()xg x x e =+，()()ln 0h x x x x =+>的零点分别为1x ，2x ，3x ，则（）A ．123x x x <<B ．213x x x <<C ．231x x x <<D ．312x x x <<6．函数()()1ln 12f x x x=++-的定义域为（） A ．()2,+∞B ．()()1,22,-⋃+∞C ．()1,2-D ．1,27．设集合1,2,6,2,2,4,26{}{}{|}A B C x R x ==-=∈-<<，则()A B C = ( )A ．{}2B ．{1,2,4}C ．{1,2,4,6}D ．{|15}x x ∈-≤≤R8．已知函数()(1)(2)x ef x m x x e -=---（e 为自然对数底数），若关于x 的不等式()0f x >有且只有一个正整数解，则实数m 的最大值为（）A ．32e e+B ．22e e +C ．32e e -D ．22e e -9．函数()3221f x x ax =-+在()0,∞+内有且只有一个零点，则a 的值为（） A ．3B ．－3C ．2D ．－210．已知直线30x y m -+=过双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点F ，且与双曲线C 在第二象限交于点A ，若||||FA FO =（O 为坐标原点），则双曲线C 的离心率为A ．2B ．31+C ．5D ．51-11．已知双曲线)，其右焦点F 的坐标为，点是第一象限内双曲线渐近线上的一点，为坐标原点，满足，线段交双曲线于点.若为的中点，则双曲线的离心率为（）A ．B ．2C ．D ．12．若复数12z i =+，2cos isin ()z ααα=+∈R ，其中i 是虚数单位，则12||z z -的最大值为( ) A 51B 51- C 51D 51+ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

重庆江津实验中学高二数学下月考试题

重庆江津实验中学2014-2015年高二下第四学月数学文测试卷一、选择题（5*12=60）命题：刘家财 2015.6.15 （1）已知集合{0,1,2,3,4}A =，集合{|2,}B x x n n A ==∈，则A B =（A ）{0} （B ）{0,4} （C ）{2,4} （D ）{0,2,4}（2）一支田径队有男女运动员共98人，其中男运动员56人，按男女比例采用分层抽样的办法，从全体运动员中抽取一个容量为28的样本，则应抽取的女运动员人数为（A ）16 （B ）12 （C ）10 （D ）8 （3）已知i 为虚数单位，则1||ii+=（A （B ）2 （C ）2（D ）12（4）因为指数函数(01)x y a a a =>≠且是增函数，而1()2xy =是指数函数，所以1()2xy =是增函数，以上推理错误的是（A ）大前提（B ）小前提（C ）推理形式（D ）以上都错（5）函数ln(1)y x =-（A ）{|0}x x ≥ （B ）{|1}x x ≤ （C ）{|01}x x <≤ （D ）{|01}x x ≤< （6）“1||<x ”是“13<<-x ”成立的( ).A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件（7）.在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，下列说法正确的是（）A.若2k 的观测值为2k =6.635,我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系，那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病；B.从独立性检验可知有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，我们说某人吸烟，那么他有99%的可能患有肺病；C.若从统计量中求出有95% 的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指有5% 的可能性使得推断出现错误；D.以上三种说法都不正确.（8）则24x <命题“若24x ≥，则22x x ≤-≥或”的逆否命题是（）A. 若24x <，则22x -<<B.若22x x <->或，则24x >C.若22x -<<，则24x < D.若22x x <->或（9）执行如题（7）图所示的程序框图，则输出的结果可以是（A ）2ln x （B ）cos x （C ）2x - （D ）||x e（10）观察下列算式：21＝2,22＝4,23＝8,24＝16,25＝32,26＝64,27＝128,28＝256，…用你所发现的规律得出20122的末位数字是( )A ．8B ．6C ．4D ． 2 （11）已知命题2:230p x x +->，命题:q x a >，若q ⌝的一个充分不必要条件是p ⌝，则实数a 的取值范围是（A ）1a ≥ （B ）1a > （C ）3a ≥- （D ）3a >-12.关于函数()(0)af x x a x=->，有下列四个命题：①()f x 的值域是(,0)(0,)-∞+∞；②()f x 是奇函数；③()f x 在(,0)(0,)-∞+∞上单调递增；④()f x 图像关于y 轴对称，其中正确的是( )A. 仅①②B. 仅②④C.仅②③D.仅③④ 二、填空题（5*4=20）（13）设U ＝{1,2,3,4,5}，A ＝{1,2,3}，B ＝{2,3,4}，则A ∩(U C B )=________________；（14）已知复数1Z i =+，则2Z Z-=__________；（15）若命题2:,10p x R x ∀∈+>，则p ⌝是_________；（16）对实数a 和b ，定义运算“⊗”：,1,1a ab a b b a b -≤⎧⊗=⎨->⎩，设函数2()(2)(1)f x x x =-⊗-，若函数()y f x c =-的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是____________.三、解答题（12*5=60，最后一题10分） 17. （本小题满分12分）已知集合{|25}A x x =-≤≤，{|46}B x x =<<，{|}P x x a =<.（1）求A B ；（2）若A B P ⊆，求a 的取值范围.18．（本小题满分12分）在对人们的休闲方式的一次调查中，共调查了124人，其中女性70人，男性54人．女性中有43人主要的休闲方式是看电视，另外27人主要的休闲方式是运动；男性中有21人主要的休闲方式是看电视，另外33人主要的休闲方式是运动．（1）根据以上数据完成下列2×2列联表；（2）判断性别与休闲方式是否有关系？(19) (本小题满分12分）某产品的广告支出x （单位：万元）与销售收入y （单位：万元）之间有如下数据：根据以上数据算得：4411138,418ii i i i yx y ====∑∑(Ⅰ)求出y 对x 的线性回归方程y bx a =+，并判断变量与y 之间是正相关还是负相关；（Ⅱ）若销售收入最少为144万元，则广告支出费用至少需要投入多少万元？（参考公式：1221,ni ii nii x y nx yb a y bx xnx==-==--∑∑）（20）（本小题满分12分）已知二次函数()f x 满足：(0)6f =-，且关于x 的方程()0f x =的两实根是1-和3. (Ⅰ)求()f x 的解析式；（Ⅱ）设()()g x f x mx =-，且()g x 在区间[2,2]-上是单调函数，求实数m 的取值范围.(21) (本小题满分12分）定义在R 上的函数()f x .满足：对任意的实数,m n ，总有()()()f m n f m f n +=⋅，且当0x >时，0()1f x <<(Ⅰ)求(0)f 的值；（Ⅱ）判断()f x 的单调性并证明你的结论；（Ⅲ）若对任意[1,4]x ∈，不等式2(2)()f x f ax +<都成立，求实数a 的取值范围.(22) (本小题满分10分，从以下Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ题中任选一题作答，如果三题都做，则按第(Ⅰ)题计分）(Ⅰ)设542,,22-+≥+∈b a b a R b a 求证：（Ⅱ）已知：a b ∈R ，，且a b ≠，求证：3322a b a b ab +>+．（Ⅲ）已知：9111,1,,,≥++=++∈+cb ac b a R c b a 求证：且。

【数学】重庆市江津中学校2018届高三4月月考数学(文)试题含答案

数学（文史类）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合},0)2)(1(|{},3,2,1{Z x x x x B A ∈<-+==，则=⋃B A （）A ．}1{B ．}2,1{C ．}3,2,1,0{D ．}3,2,1,0,1{-2.记n s 为等差数列}{n a 的前n 项和，若12,45839=+=a a s 则7a 等于（）A ．10B ．9C ．8D ．73.函数]),0[(sin )(π∈=x x x f ，在区间],0[π上任取一点0x ，则21)(0≥x f 的概率为（） A ．32 B ．21 C ．3π D ．6π 4.已知5.0,3ln ,3ln e c e b a ===π，则（） A ．b c a >> B ．a b c >> C. b a c >> D ．c b a >>5.①已知a 是三角形一边的边长，h 是该边上的高，则三角形的面积是ah 21，如果把扇形的弧长1，半径r 分别看出三角形的底边长和高，可得到扇形的面积lr 21；②由22231,11=+= 23531,=++，可得到212531n n =-++++ ，则①、②两个推理依次是（）A ．类比推理、归纳推理B ．类比推理、演绎推理C. 归纳推理、类比推理 D ．归纳推理、演绎推理6.某几何体的三视图如图所示，则其体积为（）A ．207B ．29216π- C. π36216- D ．π18216-7.设y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥12340y x x y x ，则132+++x y x 的取值范围是（） A ．]11,3[ B ．]10,3[ C. ]6,2[ D ．]5,1[8.执行如图所示的程序框图，若输出的88=S ，则判断框内应填入的条件是（）A ．7>kB ．6>k C. 5>k D ．4>k9.在平面直角坐标系xoy 中，圆C 的方程为015822=+-+x y x ，若直线2+=kx y 上至少存在一点，使得以该点为圆心，半径为1的圆与圆C 有公共点，则k 的最小值是（）A ．34-B ．45- C. 53- D ．35- 10.已知函数)0(23cos 3cos sin )(2>+-=w wx wx wx x f 的相邻两个零点差的绝对值为4π，则函数)(x f 的图象（） A ．可由函数x x g 4cos )(=的图象向左平移245π个单位而得 B ．可由函数x x g 4cos )(=的图象向右平移245π个单位而得 C. 可由函数x x g 4cos )(=的图象向右平移247π个单位而得 D ．可由函数x x g 4cos )(=的图象向右平移65π个单位而得11.如图，双曲线的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，21,A A 为双曲线的顶点，21,B B 为双曲线虚轴的端点，2F 为右焦点，延长21A B 与22B F 交于点P ，若21PB B ∠是锐角，则该双曲线的离心率的取值范围是（）A ．)225,1(+B ．),225(+∞+ C. ),215(+∞+ D ．)215,1(+ 12.设函数)(x f y =在区间),(b a 的导函数为)(),(x f x f ''在区间),(b a 的导函数为)(x f ''，若在区间),(b a 上0)(<''x f 恒成立，则称函数)(x f y =在区间),(b a 上为“凸函数”，已知2342361121)(x mx x x f --=，若对任意的实数m 满足2||≤m 时，函数)(x f 在区间),(b a 上为“凸函数”，则a b -的最大值为（）A ．4B ．3 C. 2 D ．1第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若与平面向量)2,1(-=→a 方向相反的单位向量为→b ，则→b 的坐标为．14.已知⎩⎨⎧>≤+-=1,log 1,4)13()(x x a x a x f x a 是),(+∞-∞上的减函数，那么a 的取值范围是．15.已知四面体ABCD 中，32,3,90,60===∠=∠=∠AC AB CAD BAD BAC 其外接球的体积为332π，则该四面体ABCD 的棱=AD ． 16.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≤<+≤≤-+-=20,11ln 02,2)(2x x x x x x f ，若a ax x f x g --=|)(|)(的图象与x 轴有3个不同的交点，则实数a 的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，已知)cos cos (3tan A b B a C c +=.（1）求角C ；（2）若点D 在边BC 上，且ABD CD AD ∆==,4的面积为38，求边c 的长.18. 某机构组织语文、数学学科能力竞赛，按照一定比例淘汰后，颁发一二三等奖.现有某考场的两科考试成绩数据统计如下图所示，其中数学科目成绩为二等奖的考生有12人.（1）求该考场考生中语文成绩为一等奖的人数；（2）用随机抽样的方法从获得数学和语文二等奖的学生中各抽取5人，进行综合素质测试，将他们的综合得分绘成茎叶图，求样本的平均数及方差并进行比较分析；（3）已知本考场的所有考生中，恰有3人两科成绩均为一等奖，在至少一科成绩为一等奖的考生中，随机抽取2人进行访谈，求两人两科成绩均为一等奖的概率.19. 如图，四棱锥ABCD P -的底面ABCD 是直角梯形，26,63,//===PB BC AD BC AD ，点M 在线段AD 上，且⊥⊥=PA AB AD MD ,,4平面ABCD .（1）求证：平面⊥PCM 平面PAD ；（2）当四棱锥ABCD P -体积最大时，求四棱锥ABCD P -的表面积.20. 已知椭圆C 的左右顶点分别为A B A ,,点坐标为P ),0,2(-为椭圆C 上不同于B A ,的任意一点，且满足21-=⋅BP AP k k . （1）求椭圆C 的方程.（2）设为椭圆C 的右焦点，直线PF 与椭圆C 的另一角度为PQ Q ,的中点为M ，若||||QM OM =，求直线PF 的斜率.21. 已知函数1)(--=ax e x f x （e a ,1>是自然对数的底数）的最小值是2ln 21-.（1）求实数a 的值；（2）若存在10>x ，使得不等式03)()21(000<++'-x x f k x 成立，求正整数k 的最小值. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 过点)1,(a P ，其参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧+=+=ty t a x 212（t 为参数，R a ∈），以O 为极点，x 轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为0cos 4cos 2=-+ρθθρ.（1）求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程；（2）求已知曲线1C 和曲线2C 交于B A ,两点，且||2||PB PA =，求实数a 的值.23.选修4-5：不等式选讲已知不等式1|12||52|->-+-ax x x .（1）当1=a 时，求不等式的解集；（2）若不等式的解集为R ，求a 的范围.试卷答案一、选择题1-5:CBACA 6-10:BACAB 11、12：DC二、填空题 13. )552,55(- 14. )31,71[ 15. 2 16. )1,33ln [e 三、解答题17.解：（1）由)cos cos (3tan A b B a C c +=及正弦定理可得)cos sin cos (sin 3tan sin A B B A C C +=，故)sin(3tan sin B A C C +=，而0)sin(sin >+=B A C ，所以3tan =C ，即3π=C（2）由4==CD AD 及3π=C 可得ACD ∆是正三角形.由ABD ∆的面积为38可得3832sin 21=⋅⋅πBD AD ，即3823421=⨯⨯⨯BD ，故8=BD ，在ABD ∆中，由余弦定理可得11232cos 84284222=⨯⨯⨯-+=πc ，即74=c .18.解：（1）由数学成绩为二等奖的考生有12人，可得501.026.04.0112=---，所以语文成绩为一等奖的考生4)16.0238.01(50=-⨯-⨯人（2）设数学和语文两科的平均数和方差分别为222121,,,s s x x --8558786848979,885929093848121=++++==++++=--x x ， 6.11511246,2254254722222222222221=++++==++++=s s ,因为226.11,8588<>,所以数学二等奖考生较语文二等奖考生综合测试平均分高，但是稳定性较差.（3）两科均为一等奖共有3人，仅数学一等奖有2人，仅语文一等奖有1人，设两科成绩都是一等奖的3人分别为321,,A A A ，只有数学一科为一等奖的2人分别是21,B B ,只有语文一科为一等奖的1人是C ，则随机抽取两人的基本事件空间为},,,,,,,,,,,,,,{2121323132221232121113121C B C B B B C A B A B A C A B A B A A A C A B A B A A A A A =Ω,共有15个，而两人两科成绩均为一等奖的基本事件},,{3231211A A A A A A =Ω共3个，所以两人的两科成绩均为一等奖的概率515.13==P . 19. 解：（1）由4,6==DM AD 可得2=AM ，易得四边形 ABCM 是矩形，AD CM ⊥∴，又⊥PA 平面⊂CM ABCD ,平面CM PA ABCD ⊥∴,，又⊂=⋂AD PM M AD PM ,,平面⊥∴CM PAD ,平面PAD ，又⊂CM 平面∴,PAM 平面⊥PCM 平面PAD .（2）四棱锥ABCD P -的体积为PA AB PA AB BC AD V ⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅=34)(2131，要使四棱锥ABCD P -的体积取最大值，只需PA AB ⋅取得最大值.由条件可得AB PA PB AB PA ⋅≥∴==+272,72222，即36≤⋅AB PA ，当且仅当6==AB PA 时，AB PA ⋅取得最大值36，132,26,192===CD PD PC ，19222cos 222=⋅⋅-+=∠PD PC CD PD PC CPD ，则1911sin =∠CPD ， 226sin 21=∠⋅⋅⋅=∴∆CPD PD PC S PCD ，则四棱锥ABCD P -的表面积为)22210(6226262212)6621(6)26(21++=+⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅. 20. 解：(1)设)2)(,(±≠x y x P ，2122,-=-⋅+∴⋅∴x y x y k k BP AP ，整理得：)2(1222±≠=+x y x ，但B A 、两点在椭圆上，∴椭圆C 的方程为1222=+y x . (2)由题可知，斜率一定存在且0≠k ，设过焦点F 的直线方程为1+=my x ， ),(),,(),,(002211y x M y x B y x A ，联立⎪⎩⎪⎨⎧+==+11222m y x y x ，则012)2(22=-++my y m ，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+=∆+-=+-=+∴222,)1(8212220202221221m m y m x m m y y m m y y ， 24||22++=∴m m OM ，而212)22122(21))(2(21||21||22021++=⋅-=+-==m m x x x e a PQ QM , 2,2,21,21224|,|||222222±=∴=∴=∴++=++∴=k k m m m m m QM OM 21.解：（Ⅰ）对)(x f 求导可得a e x f x -=')(，1>a ，于是由0)(>'x f 解得a x ln <，由0)(<'x f 解得a x ln <，)(x f ∴在)ln ,(a -∞上单调递减，在),(ln +∞a 上单调递增，2ln 211ln )(ln )(min -=--==∴a a a a f x f ，令2ln 22ln )(+--=a a a a g ，则a a g ln )(-='，由1>a 知0)(<'a g ，于是函数)(a g 在),1(+∞单调递减，又0)2(=g ，a ∴的值是2．（2）由（1）知2)(,2-='=x e x f a ，故03)2)(21(03)()21(<++--⇔<++'-x e k x x x f k x x，变形得2321-+>x x e xe k ．令函数)1(2321)(>-+=x e xe x h x x ，则2)2()421()(---='x x x e x e e x h ．令函数)1(421)(>--=x x e x x ϕ，则)1(0121)(>>-='x e x x ϕ，又0721)3(,0621)2(32>-=<-=e e ϕϕ， ∴存在)3,2(∈t ，使得0)(=t ϕ．当0)(),,0(<∈x t x ϕ，故)(,0)(x h x h <'在),1(t 单调递减；当0)(),,(>+∞∈x t x ϕ，故)(,0)(x h x h <'在),(+∞t 单调递增．故2321)()(min -+==t t e te t h x h ．又0421)(=--=t e t t ϕ，故82+=t e t ，故)1(21)3(2)3)(1(62342823)82(212321)()(2min +=+++=+++=-+++=-+==t t t t t t t t t t e te t h x h t t ，又)3,2(∈t ，故)2,23()1(21∈+t ，故正整数k 的最小值是2.22.解：（1）1C 的参数方程⎪⎩⎪⎨⎧+=+=ty t a x 212，消参得普通方程为01=+--a y x ， 2C 的极坐标方程为0cos 4cos 2=-+r q q r 两边同乘r 得0cos 4cos 222=-+r q r q r 即x y 42=；（2）将曲线1C 的参数方程标准化为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=t y t a x 22122（t 为参数，R I a ˆ）代入曲线x y C =22: 得0412212=-+-a t t ，由0)41(214)2(2>-⨯--=a D ，得0>a ，设B A ,对应的参数为21,t t ，由题意得||2||21t t =即212t t =或212t t -=，当212t t =时，⎪⎩⎪⎨⎧-==+=)41(2222212121a t t t t t t ，解得361=a ，当212t t -=时，⎪⎩⎪⎨⎧-==+-=)41(2222212121a t t t t t t ，解得49=a ，综上：361=a 或49.23. （1）已知，可得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>-≤<--≤+-=++-=25,442521,621,44|12||52|)(x x x x x x x x f 当1=a 时，若21-≤x ，则144-≥+-x x ，解得21-≤x 若2521≤<-x ，则16-≥x ，解得2521≤<-x 若25>x ，则x x ≥-44，解得25>x . 综上得，所求不等式的解集为R ；（2）不妨设函数1-=ax y ，则其过定点)1,0(-，如图所示，由（1）可得点)6,25(，由此可得02)1(64---<≤-a ，即5144<≤-a . 所以，所求实数a 的范围为)514,4[-.。

2014-2015年重庆市江津二中高一上学期数学期中试卷带答案

2014-2015学年重庆市江津二中高一（上）期中数学试卷一、选择题：（本题共10个小题，每小题5分，共50分，每个小题给出的四个选项中，只有唯一个选项是符合题目要求的，请将正确答案的序号填涂在机读卡上．）1．（5分）已知全集U={0，1，2，3，4}，集合A={1，2，3}，B={2，4}，则（∁A）∪B为（）UA．{1，2，4}B．{2，3，4}C．{0，2，3，4}D．{0，2，4}2．（5分）函数f（x）=的定义域为（）A．[1，+∞）B．（1，+∞）C．[1，3） D．[1，3）∪（3，+∞）3．（5分）下列各对函数中，图象完全相同的是（）A． B．C． D．4．（5分）已知某函数的图象如图所示，则该函数的值域为（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，﹣1]C．[﹣1，0）∪（0，+∞） D．（﹣∞，﹣1]∪（0，+∞）5．（5分）函数y=1+log（x﹣1）的图象一定经过点（）A．（1，1） B．（1，0） C．（2，1） D．（2，0）6．（5分）已知：a=log0.70.9，b=log1.10.7，c=1.10.9，则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．c＜a＜b7．（5分）函数f（x）=的零点个数为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个8．（5分）已知函数f（x）=m+log2x2的定义域是[1，2]，且f（x）≤4，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2]B．（﹣∞，2]C．[2，+∞）D．（2，+∞）9．（5分）已知定义在R上的函数f（x）是偶函数，对于任意x∈R，当x≥0都有f（x+2）=f（x），且当x∈[0，2）时，f（x）=log2（x+1），则f（﹣2013）+f （2014）的值为（）A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣210．（5分）已知函数f（x）=，满足对任意的x1≠x2都有＜0成立，则a的取值范围是（）A．（0，]B．（0，1） C．[，1）D．（0，3）二、填空题：（本题共5个小题，每小题5分，共25分，请把答案填在答题卡上．）11．（5分）若幂函数f（x）的图象过点，则=．12．（5分）函数y=|x﹣a|的图象关于直线x=1对称，则a=．13．（5分）若f（x）=log a（2﹣ax）在[0，1]上是减函数，则a的取值范围是．14．（5分）设α，β分别是关于x的方程log2x+x﹣4=0和2x+x﹣4=0的根，则α+β=．15．（5分）已知下列四个命题；①函数是奇函数；②函数f（x）=log2x满足：对于任意x1，x2∈R，且x1≠x2，都有；③若函数f（x）满足f（x﹣1）=﹣f（x+1），f（1）=2，则f（7）=﹣2；④设x1，x2是关于x的方程|log a x|=k（a＞0，a≠1，k＞0）的两根，则x1x2=1；其中正确的命题的序号是．三、解答题：（本题共6个小题，共75分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或者演算步骤．）16．（12分）计算下列各式．（1）（2）．17．（12分）已知集合A={x|0＜2x+a≤3}，B=．（1）当a=1时，求（∁R B）∪A．（2）若A⊆B，求实数a的取值范围．18．（12分）已知x∈[0，log23•log34]，试求函数的最大值与最小值．19．（12分）某租赁公司拥有汽车100辆．当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出．当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆．租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．（Ⅰ）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？（Ⅱ）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？20．（13分）已知函数f（x）=log a（1﹣x）+log a（x+3）（0＜a＜1）（1）求函数f（x）的定义域；（2）求函数f（x）的零点；（3）若函数f（x）的最小值为﹣4，求a的值．21．（14分）已知f（x）是定义在[﹣1，1]上的奇函数且f（1）=1，若a，b∈[﹣1，1]，a+b≠0，有．（1）判断函数f（x）在[﹣1，1]上是增函数还是减函数，并用定义证明你的结论．（2）解不等式（3）若f（x）≤m2﹣2am+1对所有x∈[﹣1，1]、a∈[﹣1，1]恒成立，求实数m的取值范围．2014-2015学年重庆市江津二中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本题共10个小题，每小题5分，共50分，每个小题给出的四个选项中，只有唯一个选项是符合题目要求的，请将正确答案的序号填涂在机读卡上．）1．（5分）已知全集U={0，1，2，3，4}，集合A={1，2，3}，B={2，4}，则（∁A）∪B为（）UA．{1，2，4}B．{2，3，4}C．{0，2，3，4}D．{0，2，4}【解答】解：∵∁U A={0，4}，∴（∁U A）∪B={0，2，4}；故选：D．2．（5分）函数f（x）=的定义域为（）A．[1，+∞）B．（1，+∞）C．[1，3） D．[1，3）∪（3，+∞）【解答】解：要使函数有意义，则，即，解得x≥1且x≠3，∴函数的定义域为{x|x≥1且x≠3}，即[1，3）∪（3，+∞）．故选：D．3．（5分）下列各对函数中，图象完全相同的是（）A． B．C． D．【解答】解：对于A、∵y=x的定义域为R，的定义域为R．两个函数的对应法则不相同，∴不是同一个函数．对于B、∵的定义域[0，+∞），y=|x|的定义域均为R．∴两个函数不是同一个函数．对于C、∵的定义域为R且x≠0，y=x0的定义域为R且x≠0．对应法则相同，∴两个函数是同一个函数．对于D、的定义域是x≠±1，的定义域是x≠1，定义域不相同，∴不是同一个函数．故选：C．4．（5分）已知某函数的图象如图所示，则该函数的值域为（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，﹣1]C．[﹣1，0）∪（0，+∞） D．（﹣∞，﹣1]∪（0，+∞）【解答】解：由图象可知，当x＞0时，y＞0，当x≤0时，y≤﹣1，综上：y＞0或y≤﹣1．故该函数的值域为（﹣∞，﹣1]∪（0，+∞）．故选：D．5．（5分）函数y=1+log（x﹣1）的图象一定经过点（）A．（1，1） B．（1，0） C．（2，1） D．（2，0）【解答】解：∵函数y=log x恒过定点（1，0），而y=1+log（x﹣1）的图象是由y=log x的图象向右平移一个单位，向上平移一个单位得到，∴定点（1，0）也是向右平移一个单位，向上平移一个单位，∴定点（1，0）平移以后即为定点（2，1），故函数y=1+log（x﹣1）恒过的定点为（2，1）．故选：C．6．（5分）已知：a=log0.70.9，b=log1.10.7，c=1.10.9，则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．c＜a＜b【解答】解：根据对数函数y=log0.7x，y=log1.1x的图象和性质，可知0＜log0.70.8＜1，log1.10.9＜0由指数函数y=1.1x的图象和性质，可知c=1.10.9＞1∴b＜a＜c故选：C．7．（5分）函数f（x）=的零点个数为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：∵函数的零点个数，即为f（x）=0的根的个数，∴=0，即（x﹣1）ln（﹣x）=0，∴x﹣1=0或ln（﹣x）=0，∴x=1或x=﹣1，∵，解得x＜0，∵函数f（x）的定义域为{x|x＜0}，∴x=﹣1，即方程f（x）=0只有一个根，∴函数的零点个数1个．故选：A．8．（5分）已知函数f（x）=m+log2x2的定义域是[1，2]，且f（x）≤4，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2]B．（﹣∞，2]C．[2，+∞）D．（2，+∞）【解答】解：∵函数f（x）=m+log2x2在[1，2]单调递增，∴函数f（x）的值域为[m，2+m]，∵f（x）≤4，∴2+m≤4，解得m≤2，∴实数m的取值范围是（﹣∞，2]．故选：B．9．（5分）已知定义在R上的函数f（x）是偶函数，对于任意x∈R，当x≥0都有f（x+2）=f（x），且当x∈[0，2）时，f（x）=log2（x+1），则f（﹣2013）+f （2014）的值为（）A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2【解答】解：∵函数f（x）是偶函数，∴f（﹣2013）=f（2013）．又∀x∈R都有f（x+2）=f（x）．∴f（﹣2013）+f（2014）=f（2013）+f（2014）=f（2×1006+1）+f（2×1007）=f（1）+f（0）．∵当x∈[0，2）时，f（x）=log2（x+1），∴f（1）+f（0）=log22+log21=1．∴f（﹣2013）+f（2014）=1．故选：B．10．（5分）已知函数f（x）=，满足对任意的x1≠x2都有＜0成立，则a的取值范围是（）A．（0，]B．（0，1） C．[，1）D．（0，3）【解答】解：∵f（x）对任意的x1≠x2都有成立，∴f（x）=为R上的减函数，∴解得0＜a≤．故选：A．二、填空题：（本题共5个小题，每小题5分，共25分，请把答案填在答题卡上．）11．（5分）若幂函数f（x）的图象过点，则=．【解答】解：设幂函数为y=xα，因为图象过点，则，∴，α=﹣2．所以f（x）=x﹣2．==2﹣1=故答案为：．12．（5分）函数y=|x﹣a|的图象关于直线x=1对称，则a=1．【解答】解：设y=f（x）=|x﹣a|，若函数y=|x﹣a|的图象关于直线x=1对称，则f（1﹣x）=f（1+x），即|1﹣x﹣a|=|1+x﹣a|，则1﹣x﹣a=1+x﹣a或1﹣x﹣a=﹣（1+x﹣a）=﹣1﹣x+a，即x﹣a=0（不是常数，舍去）或1﹣a=﹣1+a，∴解得a=1，故答案为：1．13．（5分）若f（x）=log a（2﹣ax）在[0，1]上是减函数，则a的取值范围是1＜a＜2．【解答】解：因为f（x）在[0，1]上是x的减函数，所以f（0）＞f（1），即log a2＞log a（2﹣a）．∴⇔1＜a＜2故答案为：1＜a＜2．14．（5分）设α，β分别是关于x的方程log2x+x﹣4=0和2x+x﹣4=0的根，则α+β= 4．【解答】解：分别作出函数y=log2x，y=2x，y=4﹣x的图象，相交于点P，Q．∵log2α=4﹣α，2β=4﹣β．而y=log2x（x＞0）与y=2x互为反函数，直线y=4﹣x与直线y=x互相垂直，∴点P与Q关于直线y=x对称．∴α=2β=4﹣β．∴α+β=4．故答案为：4．15．（5分）已知下列四个命题；①函数是奇函数；②函数f（x）=log2x满足：对于任意x1，x2∈R，且x1≠x2，都有；③若函数f（x）满足f（x﹣1）=﹣f（x+1），f（1）=2，则f（7）=﹣2；④设x1，x2是关于x的方程|log a x|=k（a＞0，a≠1，k＞0）的两根，则x1x2=1；其中正确的命题的序号是①②③④．【解答】解：①，∵g（﹣x）+g（x）=（1+）+（1+）=2++=++2=﹣2+++2=0，∴g（﹣x）=﹣g（x），即①正确；②，作出f（x）=log2x的图象，由图知，曲线上点P（其横坐标为）的纵坐标大于线段P1P2的中点A的纵坐标，即f（）＞[f（x1）+f（x2）]，②正确；③，∵f（x﹣1）=﹣f（x+1），令t=x﹣1，则f（t+2）=﹣f（t），即f（t+4）=f（t），∴f（x+4）=f（x），∴f（x）是以4为周期的函数，又f（1）=2，f（x﹣1）=﹣f（x+1），∴f（7）=f（3）=﹣f（2﹣1）=﹣f（1）=﹣2，即③正确；④，∵x1，x2是关于x的方程|log a x|=k（a＞0，a≠1，k＞0）的两根，∴log a x1=﹣log a x2=，∴x1=，即x1x2=1，故④正确；综上所述，正确的命题的序号是①②③④，故答案为：①②③④．三、解答题：（本题共6个小题，共75分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或者演算步骤．）16．（12分）计算下列各式．（1）（2）．【解答】解：（1）原式==2+4×27=2+108=110．（2）原式=2lg5+2lg2+2lg5lg2+（lg5）2+（lg2）2=2（lg5+lg2）+（lg5+lg2）2=2+1=3．17．（12分）已知集合A={x|0＜2x+a≤3}，B=．（1）当a=1时，求（∁R B）∪A．（2）若A⊆B，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）当a=1时，集合A中的不等式为0＜2x+1≤3，解得：﹣＜x≤1，即A=（﹣，1]，∵B={y|﹣＜y＜2}=（﹣，2），全集为R，∴∁R B=（﹣∞，﹣]∪[2，+∞），则（∁R B）∪A=（﹣∞，1]∪[2，+∞）；（2）由A中的不等式解得：﹣＜x≤，即A=（﹣，]，由A⊆B，若A=∅时，﹣≥，得到0≥3不成立，得到A≠∅，∴，解得：﹣1＜a≤1，则a的取值范围是（﹣1，1]．18．（12分）已知x∈[0，log23•log34]，试求函数的最大值与最小值．【解答】解：∵已知x∈[0，log23•log34]，即x∈[0，2]，∵，令t=2﹣x，则y=（t﹣）2+．当0≤x≤2时，∵t为减函数，∴，即．再由y=t2﹣t+2的图象可知：当t=时，函数y取得最小值为，当t=1时，函数y取得最大值为2．19．（12分）某租赁公司拥有汽车100辆．当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出．当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆．租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．（Ⅰ）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？（Ⅱ）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？【解答】解：（Ⅰ）当每辆车的月租金定为3600元时，未租出的车辆数为，所以这时租出了88辆车．（Ⅱ）设每辆车的月租金定为x元，则租赁公司的月收益为，整理得．所以，当x=4050时，f（x）最大，最大值为f（4050）=307050，即当每辆车的月租金定为4050元时，租赁公司的月收益最大，最大月收益为307050元．20．（13分）已知函数f（x）=log a（1﹣x）+log a（x+3）（0＜a＜1）（1）求函数f（x）的定义域；（2）求函数f（x）的零点；（3）若函数f（x）的最小值为﹣4，求a的值．【解答】解：（1）要使函数有意义：则有，解之得：﹣3＜x＜1，则函数的定义域为：（﹣3，1）（2）函数可化为f（x）=log a（1﹣x）（x+3）=log a（﹣x2﹣2x+3）由f（x）=0，得﹣x2﹣2x+3=1，即x2+2x﹣2=0，∵，∴函数f（x）的零点是（3）函数可化为：f（x）=log a（1﹣x）（x+3）=log a（﹣x2﹣2x+3）=log a[﹣（x+1）2+4]∵﹣3＜x＜1，∴0＜﹣（x+1）2+4≤4，∵0＜a＜1，∴log a[﹣（x+1）2+4]≥log a4，即f（x）min=log a4，由log a4=﹣4，得a﹣4=4，∴21．（14分）已知f（x）是定义在[﹣1，1]上的奇函数且f（1）=1，若a，b∈[﹣1，1]，a+b≠0，有．（1）判断函数f（x）在[﹣1，1]上是增函数还是减函数，并用定义证明你的结论．（2）解不等式（3）若f（x）≤m2﹣2am+1对所有x∈[﹣1，1]、a∈[﹣1，1]恒成立，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）函数f（x）在区间[﹣1，1]上是增函数．下用定义证明：设﹣1≤x1＜x2≤1，则：，可知f（x1）＜f（x2），∴f（x）在[﹣1，1]上是增函数．（2）由f（x）在[﹣1，1]上是增函数知：不等式等价为：解得，故不等式的解集[]．（3）∵f（x）在[﹣1，1]上是增函数，∴f（x）≤f（1）=1，即f（x）max=1依题意有m2﹣2am+1≥1，对a∈[﹣1，1]恒成立，即m2﹣2am≥0恒成立．令g（a）=﹣2ma+m2，它的图象是一条线段，则，即∴m∈（﹣∞，﹣2]∪{0}∪[2，+∞）．赠送初中数学几何模型【模型一】“一线三等角”模型：图形特征：60°60°60°45°45°45°运用举例：1.如图，若点B 在x 轴正半轴上，点A (4，4)、C (1，－1)，且AB ＝BC ，AB ⊥BC ，求点B 的坐标；2.如图，在直线l 上依次摆放着七个正方形（如图所示），已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是1S 、2S 、3S 、4S ，则14S S += ．ls 4s 3s 2s 13213. 如图，Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC =2，点D 在BC 上运动（不与点B ，C 重合），过D 作∠ADE =45°，DE 交AC 于E ．（1）求证：△ABD ∽△DCE ；（2）设BD =x ，AE =y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（3）当△ADE 是等腰三角形时，求AE 的长．EB4.如图，已知直线112y x =+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线212y x bx c =++与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为 (1，0)。

2020年重庆市江津中学校高考数学诊断试卷(文科)(4月份)(含答案解析)

2020年重庆市江津中学校高考数学诊断试卷(文科)(4月份)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合M={1,3，5}，N={2,3，5}，则M∪N=()A. {3,5}B. {1,2，3}C. {2,3，5}D. {1,2，3，5}2.已知z(1+i)=−1+7i(i是虚数单位)，z的共轭复数为z−，则|z−|等于()A. √2B. 3+4iC. 5D. 73.已知命题p:∀x∈R，x2−x+1≥0，下列¬p形式正确的是()A. ¬p:∃x0∈R，使得x02−x0+1≥0B. ¬p:∃x0∈R，使得x02−x0+1<0C. ¬p:∀x∈R，x2−x+1<0D. ¬p:∀x∈R，x2−x+1≤04.某公司从2015年起每人的年工资主要由三个项目组成并按下表规定实施：若该公司某职工在2017年得到的住房补贴与医疗费之和超过基础工资的25%，到2017年年底这位职工的工龄至少是()A. 2年B. 3年C. 4年D. 5年5.已知公比为正数的等比数列{a n}中，a2a6=8a4，a2=2，则a1=()A. 8B. 4C. 1D. 126.已知a⃗、b⃗ 均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a⃗+b⃗ |=()A. 3B. 2C. 4D. √37.双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的焦点为F1，F2，以F1F2为直径的圆交C的渐近线于点(3,√3)，则C的方程为()A. x23−y29=1 B. x2−y23=1 C. x29−y23=1 D. x23−y2=18. 如图是一个近似扇形的鱼塘，其中OA =OB =r ，AB⏜长为l(l <r)，为方便投放饲料，欲在如图位置修建简易廊桥CD ，其中OC =34OA ，OD =34OB ，已知x ∈(0,12)时，sinx ≈x −x 33!，则廊桥CD 的长度大约为( )A. 34r −r 332l 2B. 34l −l 332r 2C. 32l −l 34r 2D.32r −r 34l 29. 在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c 、若(√3b −c)cosA =acosC ，则cosA =( )A. √33B. −√33C. √23D. −√2310. 函数f(x)=xsinx ，x ∈[−π,π]的大致图象是( )A. B.C. D.11. 已知定义在R 上的函数y =f (x )的图象关于y 轴对称，且在[0,+∞)上是增函数，则下列关系成立的是( )A. f(3)<f(−4)<f(−π)B. f(−π)<f(−4)<f(3)C. f(−4)<f(−π)<f(3)D. f(3)<f(−π)<f(−4)12. 在长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AB =1，BC =2，AA 1=3，点M 是BC 的中点，点P ∈AC 1，Q ∈MD ，则PQ 长度的最小值为( )A. 1B. 43C. 2√33D. 2二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 设函数f(x)={1−log 2(2−x)(x <2)21−x +32(x ≥2)，则f(f(3))=______． 14. 已知实数x ，y 满足{x +y −4≤0y −1≥0x −1≥0，则z =y−1x 的最大值是______ ． 15. 设S n 是数列{a n }的前n 项和，若S n =(−1)n a n +12n ，则S 1+S 2+⋯+S 11=______．16.海上有三个小岛A，B，C，测得∠BAC=135°，AB=6，AC=3√2，若在B，C两岛的连线段之间建一座灯塔D，使得灯塔D到A，B两岛距离相等，则B，D间的距离为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知函数f(x)=tan(3x+π4)(Ⅰ)求f(π9)的值；(Ⅱ)若α∈(π,2π),且f(α3)=2，求cos(α−π4)的值．18.在四棱锥S−ABCD中，AB//CD，AB=BC=2，CD=SD=1，BC⊥CD，M为SB的中点，DS⊥面SAB．(1)求证：CM//面SAD；(2)求证：CD⊥SD；(3)求四棱锥S−ABCD的体积．19.某学校在学期结束，为了解家长对学校工作的满意度，对A，B两个班的100位家长进行满意度调查，调查结果如下：(1)根据表格判断是否有95％的把握认为家长的满意程度与所在班级有关系？(2)用分层抽样的方法从非常满意的家长中抽取5人进行问卷调查，并在这5人中随机选出2人进行座谈，求这2人都来自同一班级的概率？附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)．20.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√22，过右焦点且垂直于x轴的直线l1与椭圆C交于A，B两点，且|AB|=√2，直线l2：y=k(x−m)(m∈R,m>34)与椭圆C交于M，N两点．(1)求椭圆C的标准方程；(2)已知点R(54,0)，若RM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅RN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 是一个与k无关的常数，求实数m的值．21.已知函数f(x)=12x2−ax+lnx(a∈R)(1)讨论f(x)的单调性；(2)若x1，x2是f(x)的两个极值点x1<x2，求2f(x1)−f(x2)的最小值．22.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程是{x=14+12cosα,y=√34+12sinα(α是参数)，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C的极坐标方程；(2)在曲线C上取一点M，直线OM绕原点O逆时针旋转π3，交曲线C于点N，求|OM|·|ON|的最大值．23.已知函数f(x)=|2x+1|−|x−2|，不等式f(x)≤2的解集为M．(1)求M；(2)记集合M的最大元素为m，若a，b，c都是正实数，且1a +12b+13c=m，求证：a+2b+3c≥9．【答案与解析】1.答案：D解析：此题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键，属于基础题．由M与N，求出两集合的并集即可．解：由集合M={1,3，5}，N={2,3，5}，得M∪N={1,2，3，5}，故选D．2.答案：C解析：本题主要考查复数的四则运算及复数的模，属于基础题．根据复数的运算进行化简求解即可．解：由z(1+i)=−1+7i得z=−1+7i1+i =(−1+7i)(1−i)(1+i)(1−i)=6+8i2=3+4i，则z−=3−4i，则|z−|=√32+(−4)2=5，故选：C．3.答案：B解析：解：∵全称量词命题的否定是特称量词命题，∴命题p：∀x∈R，x2−x+1≥0，则￢p：∃x0∈R，使得x02−x0+1<0，故选：B．全称量词命题的否定是特称量词命题，写出结果，并判断真假即可．本题考查命题的否定，特称量词命题与全称量词命题的否定关系，注意量词的变换．4.答案：C解析：本题主要考查函数模型的应用，基础题型．设工龄为x，根据题意列出2017年得到的住房补贴与医疗费用之和为400x+1600，得出400x+ 1600>10000(1+10％)2×25％，即可求出结果．解：设工龄为x年，x∈N，则400x+1600>10000(1+10％)2×25％，解得x>3.5625，故至少4年．故选C．5.答案：C解析：解：设等比数列{a n}的公比为q(q>0)，由a2a6=8a4，得a42=8a4，得a4=8，∴q2=a4a2=82=4，得q=2．∴a1=a2q =22=1．故选：C．设出等比数列的公比，由已知列式求得公比，再由等比数列的通项公式求得首项．本题考查等比数列的通项公式，考查了等比数列的性质，是基础的计算题．6.答案：D解析：解：∵a⃗、b⃗ 均为单位向量，它们的夹角为60°∴|a⃗|=|b⃗ |=1，a⃗⋅b⃗ =12∴|a⃗+b⃗ |2=(a⃗+b⃗ )2=|a⃗|2+|b⃗ |2+2a⃗⋅b⃗=3∴|a⃗+b⃗ |=√3故选：D．由于本题中未给出向量的坐标，故求向量的模时，主要是根据向量数量的数量积计算公式，求出向量模的平方，即向量的平方，再开方求解．求向量的模一般有两种情况：若已知向量的坐标，或向量起点和终点的坐标，则a ⃗ =√x 2+y 2或|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2；若未知向量的坐标，只是已知条件中有向量的模及夹角，则求向量的模时，主要是根据向量数量的数量积计算公式，求出向量模的平方，即向量的平方，再开方求解．7.答案：C解析：解：根据题意，以F 1F 2为直径的圆交C 的渐近线于点(3,√3)，则c =r =√9+3=2√3，则有a 2+b 2=12，又由点(3,√3)在双曲线的渐近线上，则双曲线的渐近线方程为y =±√33x ，则有ba =√33，则a 2=9，b 2=3，则双曲线的方程为x 29−y 23=1；故选：C ．根据题意，由圆的方程分析可得c 的值，即可得a 2+b 2=12，又由点(3,√3)在双曲线的渐近线上，可得a 、b 的关系，联立2个式子分析可得a 、b 的值，将a 、b 的值代入双曲线的方程即可得答案．本题考查双曲线的几何性质，关键是分析a 、b 的值．8.答案：B解析：【试题解析】本题主要考查扇形的弧长公式，以及解三角形的实际应用，属于中档题．求出圆心角，再解三角形，即可得．解：取CD 的中点为E ，如图所示：设扇形的圆心角为x，则x=lr(0<x<1)，在RtΔOCE中，OC=34OA=34r，则CE=OC·sin x2=34r(x2−(x2)36)=34r(x2−x348)=38l−l364r，所以CD=2CE=34l−l332r2．故选B．9.答案：A解析：本题主要考查正弦定理、两角和与差的正弦公式的应用．先根据正弦定理将边的关系转化为角的正弦值的关系，再运用两角和与差的正弦公式化简可得到√3sinBcosA=sinB，进而可求得cos A的值．解：由(√3b−c)cosA=acosC可得(√3sinB−sinC)cosA=sinAcosC，∴√3sinBcosA=sinAcosC+sinCcosA=sin(A+C)=sinB，ΔABC中，0<B<π，∴sinB≠0，∴cosA=√33．故选A．10.答案：A解析：解：f(−x)=(−x)sin(−x)=xsinx=f(x)，所以f(x)为偶函数，即图象关于y轴对称，则排除B，C，当x =π2时，f(π2)=π2sin π2=π2>0，故排除D ，故选：A ．判断函数的奇偶性排除选项，然后利用特殊点的位置判断即可．本题考查函数的图象的判断，函数的奇偶性以及函数的特殊点的位置的应用，考查计算能力．11.答案：D解析：本题考查函数的单调性和奇偶性，属于基础题．利用函数为偶函数，将自变量转化到[0,+∞)上，利用函数的单调性进行比较．解：函数y =f (x )的图象关于y 轴对称，所以函数为偶函数，所以f(−π)=f(π)，f(−4)=f(4)，又f(x)在[0,+∞)上是增函数，3<π<4，所以f(3)<f(π)<f(4)， ∴f(3)<f(−π)<f(−4)，故选D ．12.答案：C解析：本题考查利用空间向量解决空间距离的最值问题，建立适当的坐标系，设P (x 0,2x 0,3−3x 0),Q (x 1,2−x 1,3),x 0∈[0,1],x 1∈[0,1]，所以PQ =√(x 0−x 1)2+(2x 0+x 1−2)2+(3−3x 0−3)2=√2(x 1+x 0−22)2+272(x −29)2+43，即可求出最值，是中档题．根据题意建立如图所示的空间直角坐标系，设P (x 0,2x 0,3−3x 0),Q (x 1,2−x 1,3),x 0∈[0,1],x 1∈[0,1]，所以PQ =√(x 0−x 1)2+(2x 0+x 1−2)2+(3−3x 0−3)2 =√2(x 1+x 0−22)2+272(x −29)2+43，当且仅当x 0=29，x 1=89时，PQ 取得最小值，即PQ min =√43=2√33．故选C ．13.答案：3解析：本题考查函数值的求法，分段函数的应用，考查计算能力．利用分段函数直接求解函数值即可．解：函数f(x)={1−log 2(2−x)(x <2)21−x +32(x ≥2), 则f(f(3))=f(21−3+32)=f(74)=1−log 2(2−74)=1+2=3．故答案为3．14.答案：2解析：解：画出满足条件的平面区域，如图示：由{x +y −4=0x =1，解得：A(1,3)， ∴z =y−1x的最大值是2，故答案为：2．画出满足条件的平面区域，求出角点的坐标，结合z =y−1x的几何意义求出z 的最大值即可．本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，是一道中档题．15.答案：13654096解析：解：S n =(−1)n a n +12n ，当n =1时，a 1=S 1=−a 1+12，解得a 1=14，n≥2时，a n=S n−S n−1，可得S n=(−1)n(S n−S n−1)+12n，当n为偶数时，S n=S n−S n−1+12n ，即有S n−1=12n；当n为奇数(n≥3)时，S n=−(S n−S n−1)+12n，可得S n−1=2S n−12n =2⋅12n+1−12n=0，即有S1+S2+⋯+S11=14+0+116+0+164+0+⋯+1212=14(1−146)1−14=13654096．故答案为：13654096．运用数列的递推式，讨论n为奇数或偶数，结合等比数列的求和公式，即可得到所求和．本题考查数列的求和，注意运用分类讨论思想方法，以及等比数列的求和公式，考查运算能力，属于中档题．16.答案：√10解析：本题考查两点间距离的计算，考查学生利用数学知识解决实际问题的能力，属于中档题．以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AB的垂线为y轴，建立坐标系，求出D的坐标，即可得出结论．解：以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AB的垂线为y轴，建立坐标系，则B(6,0)，C(−3,3)，BC直线方程为y=3−0−3−6(x−6)，即x+3y−6=0，与x=3联立可得D(3,1)，∴|BD|=√(6−3)2+(0−1)2=√10，故答案为√10．17.答案：解：(Ⅰ)f(π9)=tan(π3+π4)=tanπ3+tanπ41−tanπ3tanπ4=√3+11−3=−2−√3(6分)(Ⅱ)由f(α3)=2得tanα=13，(8分)由题可知α是第三象限角．sinα=√10cosα=√10分)故cos(α−π4)=−2√55(12分)．解析：(Ⅰ)直接把x=π9代入函数的表达式，即可求解f(π9)的值；(Ⅱ)通过α∈(π,2π),且f(α3)=2，求出tanα的值，利用同角三角函数的基本关系式求出sinα，cosα的值，然后求cos(α−π4)的值本题考查两角和与差的三角函数，同角三角函数的基本关系式的应用，考查计算能力．18.答案：(1)证明：取SA的中点，∵M为SB的中点，∴MN//AB，MN=12AB，∵AB=2，CD=1，∴MN//CD，MN=DC，∴四边形MNDC为平行四边形，∴CM//ND，ND⊂面SAD，CM⊄面SAD；∴CM//面SAD证明：(2)∵DS⊥面SAB，AB⊂面SAB．∴DS⊥AB，∵AB//DC，∴DS⊥DC，解：(3)V S−ABCD：V S−ABD=S ABCD：S△ABD=3：2，过D作DH⊥AB，交于H，由题意得，BD=AD=√12+22=√5，在Rt△DSA，Rt△DSB中，SA=SB=√(√5)2−1=2．所以，V S−ABD=V D−SAB=13×S△ABS×DS=13×√3×1=√33，四棱锥S−ABCD的体积为：32×√33=√32；解析：(1)利用平行线中的一条直线与令一条直线垂直，推出另一条直线垂直证明CD⊥SD；(2)取SA中点N，连接ND，NM，证明NMCD是平行四边形，通过ND//MC，证明CM//面SAD；(3)利用V S−ABCD：V S−ABD=S ABCD：S△ABD，求出V S−ABD，即可求四棱锥S−ABCD的体积．考查直线与直线垂直，直线与平面平行的证明，几何体的体积的求法，考查空间想象能力，计算能力．19.答案：解：(1)由已知表格中的数据求得K2=100×(30×10−45×15)275×25×45×55=10033≈3.03<3.841．∴没有95%的把握认为家长的满意程度与所在班级有关系；(2)由分层抽样知：分别从A，B班抽取2人，3人，记A班抽取的非常满意的家长为a，b；B班抽取的非常满意的家长为1，2，3．则从5人中任选2人有(a,b)，(a,1)，(a,2)，(a,3)，(b,1)，(b,2)，(b,3)，(1,2)，(1,3)，(2,3)共10种可能．其中来自同一个班级的有(a,b)，(1,2)，(1,3)，(2,3)共4种可能．∴这2人都来自同一班级的概率P=410=25．解析：(1)由已知求得K2的值，与临界值表比较得结论；(2)记A班抽取的非常满意的家长为a，b；B班抽取的非常满意的家长为1，2，3，利用枚举法写出从5人中任选2人的事件总数，得到2人来自同一个班级的事件数，再由古典概型概率计算公式求解．本题考查独立性检验及古典概型概率的求法，考查计算能力，是中档题．20.答案：解：(1)联立x=c和椭圆方程，解得y=±b2a ，故2b2a=√2，又e=ca =√22，a2=b2+c2，联立三式，解得a=√2，b=1，c=1，故椭圆C的标准方程为x22+y2=1；(2)设M(x1,y1)，N(x2,y2)，联立方程y=k(x−m)和椭圆x2+2y2=2，消y得(1+2k2)x2−4mk2x+2k2m2−2=0，△=16m2k4−4(1+2k2)(2k2m2−2)=8(2k2−m2k2+1)>0，∴x 1+x 2=4mk 21+2k2，x 1x 2=2m 2k 2−21+2k 2，RM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅RN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1−54)(x 2−54)+y 1y 2=x 1x 2−54(x 1+x 2)+2516+k 2(x 1−m)(x 2−m)=(1+k 2)x 1x 2−(54+mk 2)(x 1+x 2)+2516+k 2m 2=(3m 2−5m+2)k 21+2k 2−716，又RM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅RN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 是一个与k 无关的常数，∴3m 2−5m +2=0， ∴m 1=1，m 2=23.∵m >34，∴m =1．当m =1时，△>0，直线l 1与椭圆C 交于两点，满足题意．解析：本题考查椭圆方程的求法，注意运用离心率公式和基本量的关系，考查向量数量积的坐标表示，以及联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和化简整理的运算能力，属于中档题． (1)令x =c ，求得A ，B 的纵坐标，可得弦长|AB|，结合离心率公式和a ，b ，c 的关系，解方程可得a ，b ，进而得到所求椭圆方程；(2)设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，联立方程y =k(x −m)和椭圆x 2+2y 2=2，运用韦达定理和向量数量积的坐标表示，化简整理，可得k 的系数为0，解方程，即可得到所求m 的值．21.答案：解：函数f(x)的定义域为(0,+∞)，f ′(x)=x +1x −a =x 2−ax+1x，(1)①当Δ=(−a )2−4≤0，即−2≤a ≤2时，f ′(x)≥0恒成立，则f(x)在(0,+∞)上单调递增；②当a <−2时，令f ′(x)=0，设两根分别为x 1，x 2，因为x 1+x 2=a <0,x 1x 2=1>0，所以x 1<0,x 2<0，所以f(x)在(0,+∞)上单调递增；③当a >2时，令f ′(x)=0，设两根分别为x 1，x 2，解得0<x 1=a−√a2−42<1<x 2=a+√a 2−42，所以f(x)在(0,a−√a2−42)和上单调递增，在(a−√a2−42,a+√a 2−42)上单调递减．综上所述，当a ≤2时，f(x)在(0,+∞)单调递增；当a >2，f(x)在(0,a−√a2−42)，上单调递增，(a−√a2−42,a+√a 2−42)上单调递减；(2)由(1)可知，若f(x)有两极值点x 1，x 2(x 1<x 2)，则a >2，且0<x 1<1，x 2>1，x 1+x 2=a ，x 1x 2=1，，设，x ∈(0,1)，g ′(x)=−(2x 2−1)(x 2−1)x 3，当0<x <√22时，g ′(x )<0，g(x)单调递减；当√22<x <1时，g ′(x )>0，g(x)单调递增，所以x =√22时，g(x)最小值为，所以2f(x 1)−f(x 2)最小值为．解析：本题主要考查函数单调性，极值，最值和导数的关系，求函数的导数，利用构造法是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．(1)求函数的定义域和导数，讨论a 的取值范围，利用函数单调性和导数之间的关系进行求解即可； (2)由题意得，设，x ∈(0,1)，求出函数g(x)的导数，研究其最小值即可求解．22.答案：解：(1)由曲线C 的参数方程是{x =14+12cosα,y =√34+12sinα(α是参数)，消去α得曲线C 的普通方程为x 2+y 2−12x −√32y =0，所以C 的极坐标方程为ρ=√32sinθ+12cosθ，即ρ=sin(θ+π6)．(2)不妨设M(ρ1,θ)，N(ρ2,θ+π3)，θ∈[0,2π]，则|OM|⋅|ON|=sin(θ+π6)sin(θ+π6+π3)=cosθ(√3sinθ+1cosθ)=√34sin2θ+14cos2θ+14=12sin(2θ+π6)+14，当，即当θ=π6时，取得最大值，最大值为34．解析：本题考查参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． (1)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的进行转换． (2)利用极径的应用和三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数性质的应用求出结果．23.答案：解：(1)∵f(x)=|2x +1|−|x −2|⩽2，当x <−12时，解得−5≤x <−12；当−12⩽x ⩽2时，解得−12⩽x ⩽1；当x >2时，不等式无解．故不等式f(x)⩽2的解集为{x|−5⩽x ⩽1} 所以集合M ={x|−5⩽x ⩽1}． (2)由(1)可知m =1， ∴1a +12b +13c=1，由柯西不等式得：√a +2b +3c ⋅√1a +12b +13c≥√a ⋅√a√2b ⋅2b+√3c ⋅√3c=3，整理得a +2b +3c ⩾9，当且仅当a =2b =3c ，即a =3,b =32,c =1时取等号．解析：本题考查了绝对值不等式的解法和柯西不等式的应用，是中档题．(1)由题意得，f(x)=|2x +1|−|x −2|≤2，分类讨论去绝对值，从而得出结果； (2)由柯西不等式，√a +2b +3c ⋅√1a +12b +13c ≥√a ⋅√a+√2b √2b+√3c √3c=3，，从而结论得证．。

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重庆市江津实验中学2014-2015学年高二下学期第四学月数学试卷（文科）一、选择题（5*12=60）命题：刘家财2015.6.151．已知集合A={0，1，2，3，4}，集合B={x|x=2n，n∈A}，则A∩B=（）A．{0} B．{0，4} C．{2，4} D．{0，2，4}2．一支田径队有男女运动员共98人，其中男运动员56人，按男女比例采用分层抽样的办法，从全体运动员中抽取一个容量为28的样本，则应抽取的女运动员人数为（）A．16 B．12 C．10 D．83．已知i为虚数单位，则||=（）A．B．2C．D．4．因为指数函数y=a x（a＞0且a≠1）是增函数，而y=（）x是指数函数，所以y=（）x是增函数，以上推理错误的是（）A．大前提B．小前提C．推理形式D．以上都错5．函数y=ln（1﹣x）+的定义域为（）A．{x|x≥0} B．{x|x≤1} C．{x|0＜x≤1} D．{x|0≤x＜1}6．“|x|＜1”是“﹣3＜x＜1”成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，下列说法正确的是（）A．若K2的观测值为k=6.635，我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系；那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病B．从独立性检验可知有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，我们说某人吸烟，那么他有99%的可能患有肺病C．若从统计量中求出有95% 的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指有5% 的可能性使得推判出现错误D．以上三种说法都不正确8．命题“若x2≥4，则x≤﹣2或x≥2”的逆否命题是（）A．若x2＜4，则﹣2＜x＜2 B．若x＜﹣2或x＞2，则x2＞4C．若﹣2＜x＜2，则x2＜4 D．若x＜﹣2或x＞29．执行如图所示的程序框图，则输出的结果可以是（）A．2lnx B．c osx C．x﹣2D．e|x|10．观察下列算式：21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，27=128，28=256，…用你所发现的规律得出22012的末位数字是（）A．8B．6C．4D．211．已知命题p：x2+2x﹣3＞0，命题q：x＞a，若￢q的一个充分不必要条件是￢p，则实数a 的取值范围是（）A．a≥1 B．a＞1 C．a≥﹣3 D．a＞﹣312．关于函数f（x）=x﹣（a＞0），有下列四个命题：①f（x）的值域是（﹣∞，0）∪（0，+∞）；②f（x）是奇函数；③f（x）在（﹣∞，0）和（0，+∞）上单调递增；④f（x）图象关于y轴对称．其中正确的是（）A．仅①②B．仅②④C．仅②③D．仅③④二、填空题（5*4=20）13．设U={1，2，3，4，5}，A={1，2，3}，B={2，4}，则A∪（C U B）=．14．已知复数z=1+i，则=．15．已知命题p：∀x∈R，x2+1＞0．则¬p是．16．对于实数a和b，定义运算“⊗”：a⊗b=，设函数f（x）=（x2﹣2）⊗（x ﹣1），x∈R，若函数y=f（x）﹣c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是．三、解答题（12*5=60，最后一题10分）17．已知集合A={x|﹣2≤x≤5}，B={x|4＜x＜6}，P={x|x＜a}．（1）求A∩B；（2）若A∪B⊆P，求a的取值范围．18．在对人们的休闲方式的一次调查中，共调查了124人，其中女性70人，男性54人．女性中有43人主要的休闲方式是看电视，另外27人主要的休闲方式是运动；男性中有21人主要的休闲方式是看电视，另外33人主要的休闲方式是运动．（1）根据以上数据建立一个2×2的列联表；（2）判断性别与休闲方式是否有关系．19．某产品的广告支出x（单位：万元）与销售收入y（单位：万元）之间有如下数据：广告支出x（单位：万元） 1 2 3 4销售收入y（单位：万元）12 28 42 56根据以上数据算得：y i=138，x i y i=418（Ⅰ）求出y对x的线性回归方程=x+，并判断变量与y之间是正相关还是负相关；（Ⅱ）若销售收入最少为144万元，则广告支出费用至少需要投入多少万元？（参考公式：=，=﹣）20．已知二次函数f（x）满足：f（0）=﹣6，且关于x的方程f（x）=0的两实根是﹣1和3．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）设g（x）=f（x）﹣mx，且g（x）在区间[﹣2，2]上是单调函数，求实数m的取值范围．21．定义在R上的函数f（x）满足：对任意实数m，n，总有f（m+n）=f（m）•f（n），且当x＞0时，0＜f（x）＜1．（1）试求f（0）的值；（2）判断f（x）的单调性并证明你的结论；（3）若对任意x∈[1，4]时，不等式f（x2+2）＜f（ax）都成立，求a的取值范围．选做题(本小题满分10分，从以下22、23、24题中任选一题作答，如果三题都做，则按第22题计分）22．设a，b∈R，求证：a2+b2≥2a+4b﹣5．23．已知：a，b∈R+，且a≠b，求证：a3+b3＞a2b+ab2．24．已知：a，b，c∈R+，且a+b+c=1，求证：≥9．重庆市江津实验中学2014-2015学年高二下学期第四学月数学试卷（文科）一、选择题（5*12=60）命题：刘家财2015.6.151．已知集合A={0，1，2，3，4}，集合B={x|x=2n，n∈A}，则A∩B=（）A．{0} B．{0，4} C．{2，4} D．{0，2，4}考点：交集及其运算．专题：计算题．分析：由集合B中的元素的属性用列举法写出集合B，直接取交集即可．解答：解：因为集合A={0，1，2，3，4}，所以集合B={x|x=2n，n∈A}={0，2，4，6，8}，所以A∩B={0，1，2，3，4}∩{0，2，4，6，8}={0，2，4}．故选D．点评：本题考查了交集及其运算，属基础题，是会考常见题型．2．一支田径队有男女运动员共98人，其中男运动员56人，按男女比例采用分层抽样的办法，从全体运动员中抽取一个容量为28的样本，则应抽取的女运动员人数为（）A．16 B．12 C．10 D．8考点：分层抽样方法．专题：概率与统计．分析：根据田径队的男女运动员数目和用分层抽样要抽取的数目，得到每个个体被抽到的概率，利用每个个体被抽到的概率乘以女运动员的数目，得到结果．解答：解：∵田径队有男女运动员98人，其中男运动员有56人，∴这支田径队有女运动员98﹣56=42人，用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为28的样本，∴每个个体被抽到的概率是，∵田径队有女运动员42人，∴女运动员要抽取42×=12人．故选：B点评：本题主要考查了分层抽样，在抽样过程中每个个体被抽到的概率相等，这是解决这种问题的依据，属于基础题．3．已知i为虚数单位，则||=（）A．B．2C．D．考点：复数求模．专题：数系的扩充和复数．分析：利用两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，把复数化简到最简形式，利用复数的模的定义求出|z|．解答：解：∵==1﹣i，∴|z|=，故选：A．点评：本题考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，复数的模的定义和求法．4．因为指数函数y=a x（a＞0且a≠1）是增函数，而y=（）x是指数函数，所以y=（）x是增函数，以上推理错误的是（）A．大前提B．小前提C．推理形式D．以上都错考点：演绎推理的基本方法．专题：推理和证明．分析：对于指数函数来说，底数的范围不同，则函数的增减性不同，当a＞1时，函数是一个增函数，当0＜a＜1时，指数函数是一个减函数y=a x是增函数这个大前提是错误的，得到结论解答：解：∵当a＞1时，函数是一个增函数，当0＜a＜1时，指数函数是一个减函数，∴y=a x是增函数这个大前提是错误的，从而导致结论错．故选：A点评：演绎推理的主要形式就是由大前提、小前提推出结论的三段论推理．三段论推理的依据用集合论的观点来讲就是：若集合M的所有元素都具有性质P，S是M的子集，那么S 中所有元素都具有性质P．三段论的公式中包含三个判断：第一个判断称为大前提，它提供了一个一般的原理；第二个判断叫小前提，它指出了一个特殊情况；这两个判断联合起来，揭示了一般原理和特殊情况的内在联系，从而产生了第三个判断结论．演绎推理是一种必然性推理，演绎推理的前提与结论之间有蕴涵关系．因而，只要前提是真实的，推理的形式是正确的，那么结论必定是真实的，但错误的前提可能导致错误的结论．5．函数y=ln（1﹣x）+的定义域为（）A．{x|x≥0} B．{x|x≤1} C．{x|0＜x≤1} D．{x|0≤x＜1}考点：函数的定义域及其求法．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数成立的条件即可求出函数的定义域．解答：解：要使函数有意义，则，即0≤x＜1，故函数的定义域为{x|0≤x＜1}，故选：D点评：本题主要考查函数定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件．6．“|x|＜1”是“﹣3＜x＜1”成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：规律型．分析：结合不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．解答：解：由|x|＜1，得﹣1＜x＜1，∴当﹣1＜x＜1时，﹣3＜x＜1成立．当x=﹣2时，满足﹣3＜x＜1，但﹣1＜x＜1不成立，“|x|＜1”是“﹣3＜x＜1”成立的充分不必要条件．故选：A．点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用不等式的性质是解决本题的关键，比较基础．7．在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，下列说法正确的是（）A．若K2的观测值为k=6.635，我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系；那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病B．从独立性检验可知有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，我们说某人吸烟，那么他有99%的可能患有肺病C．若从统计量中求出有95% 的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指有5% 的可能性使得推判出现错误D．以上三种说法都不正确考点：独立性检验的应用．专题：常规题型；概率与统计．分析：由独立性检验知，概率值是指我们认为我的下的结论正确的概率，从而对四个命题判断．解答：解：若K2的观测值为k=6.635，我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系；而不是在100个吸烟的人中必有99人患有肺病，故不正确；从独立性检验可知有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，是指吸烟与患肺病有关系的概率，而不是吸烟人就有99%的可能患有肺病，故不正确；若从统计量中求出有95% 的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指有5% 的可能性使得推判出现错误，正确；故选C．点评：本题考查了独立性检验的应用，属于基础题．8．命题“若x2≥4，则x≤﹣2或x≥2”的逆否命题是（）A．若x2＜4，则﹣2＜x＜2 B．若x＜﹣2或x＞2，则x2＞4C．若﹣2＜x＜2，则x2＜4 D．若x＜﹣2或x＞2考点：四种命题．专题：简易逻辑．分析：根据命题“若p，则q”的逆否命题是“若￢q，则￢p”，写出它的逆否命题即可．解答：解：命题“若x2≥4，则x≤﹣2或x≥2”的逆否命题是“若﹣2＜x＜2，则x2＜4”．故选：C．点评：本题考查了命题与它的逆否命题的应用问题，是基础题目．9．执行如图所示的程序框图，则输出的结果可以是（）A．2lnx B．c osx C．x﹣2D．e|x|考点：程序框图．专题：函数的性质及应用；算法和程序框图．分析：由已知中的程序框图，可知该程序的功能是输出满足条件：①是偶函数，②有零点的函数，逐一分析函数的奇偶性及零点是否存在可得答案．解答：解：由已知中的程序框图，可知该程序的功能是输出满足条件：①是偶函数，②有零点的函数，A中，f（x）=2lnx，是非奇非偶函数，不满足条件①；B中，f（x）=cosx，是偶函数且存在零点，满足两个条件；C中，f（x）=x﹣2，是偶函数但不存在零点，不满足条件②；D中，f（x）=e|x|，是偶函数但不存在零点，不满足条件②；故选：B点评：本题考查的知识点是程序框图，函数的奇偶性，函数的零点，其中分析出程序的功能是解答的关键．10．观察下列算式：21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，27=128，28=256，…用你所发现的规律得出22012的末位数字是（）A．8B．6C．4D．2考点：归纳推理．专题：规律型．分析：根据等式右边个数数字的规律，利用归纳推理即可得到结论．解答：解：等式右边的个数数字分别为，2，4，8，6，2，4，8，6…，体现数字的重复性，周期为4，∵2012=502×4+4，∴22012的末位数字和24的个位数相同，即为6．故选：B．点评：本题主要考查归纳推理的应用，根据等式右面个数数字的规律得到个位数具备一定的周期性是解决本题的关键．11．已知命题p：x2+2x﹣3＞0，命题q：x＞a，若￢q的一个充分不必要条件是￢p，则实数a 的取值范围是（）A．a≥1 B．a＞1 C．a≥﹣3 D．a＞﹣3考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：由p转化到¬p，求出¬q，然后解出a．解答：解：由p：x2+2x﹣3＞0，知x＜﹣3或x＞1，则¬p为﹣3≤x≤1，¬q为x≤a，又¬p是¬q的充分不必要条件，所以a≥1．故选：A．点评：本题考查了四种命题的转化，二次不等式的解法，充要条件的判定都制约本题结果．12．关于函数f（x）=x﹣（a＞0），有下列四个命题：①f（x）的值域是（﹣∞，0）∪（0，+∞）；②f（x）是奇函数；③f（x）在（﹣∞，0）和（0，+∞）上单调递增；④f（x）图象关于y轴对称．其中正确的是（）A．仅①②B．仅②④C．仅②③D．仅③④考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：不妨令a=1，可得f（x）=x﹣，它的图象如图所示，结合函数的图象特征，函数的奇偶性、单调性以及它的图象的对称性，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．解答：解：对于函数f（x）=x﹣（a＞0），不妨令a=1，可得f（x）=x﹣，它的图象如图所示：显然当x=1时，f（x）=0，故①不正确；显然，f（x）=x﹣为奇函数的，它的图象关于原点对称，故②正确，而④不正确；由于f（x）在（0，+∞）上单调递增，在（﹣∞，0）上单调递增，故f（x）在（﹣∞，0）和（0，+∞）上单调递增，故③正确，故选：C．点评：本题主要考查函数的图象特征，函数的奇偶性、单调性以及它的图象的对称性，属于中档题．二、填空题（5*4=20）13．设U={1，2，3，4，5}，A={1，2，3}，B={2，4}，则A∪（C U B）={1，2，3，5}．考点：交、并、补集的混合运算．专题：计算题．分析：根据U={1，2，3，4，5}，B={2，4}，求出C u B，再根据并集的定义求出A∪（C u B）即可．解答：解：∵U={1，2，3，4，5}，B={2，4}，∴C u B={1，3，5}，∴A∪（C u B）={1，2，3，5}，故答案为：{1，2，3，5}点评：此题是一道集合并集和补集的简单的综合运算题，只要掌握并集和补集的定义和符号就可以得到正确答案．属于基础题．14．已知复数z=1+i，则=﹣2i．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：把复数z=1+I代入要求的式子，应用复数相除的法则化简得到结果．解答：解：=，故答案为﹣2i．点评：本题考查复数代数形式的运算法则．15．已知命题p：∀x∈R，x2+1＞0．则¬p是∃x0∈R，x02+1≤0．考点：命题的否定．专题：阅读型．分析：命题“：∀x∈R，x2+1＞0”是全称命题，其否定应为特称命题，注意量词和不等号的变化．解答：解：命题“：∀x∈R，x2+1＞0”是全称命题，否定时将量词对任意的x∈R变为∃x∈R，再将不等号＞变为≤即可．故答案为：∃x0∈R，x02+1≤0点评：本题考查命题的否定，全称命题和特称命题，属基本知识的考查．注意在写命题的否定时量词的变化．属基础题．16．对于实数a和b，定义运算“⊗”：a⊗b=，设函数f（x）=（x2﹣2）⊗（x﹣1），x∈R，若函数y=f（x）﹣c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是（﹣2，1]∪（1，2]．考点：根的存在性及根的个数判断；函数的图象．专题：计算题；新定义．分析：根据定义的运算法则化简函数f（x）=（x2﹣2）⊗（x﹣1），的解析式，并画出f（x）的图象，函数y=f（x）﹣c的图象与x轴恰有两个公共点转化为y=f（x），y=c图象的交点问题，结合图象求得实数c的取值范围．解答：解：∵a⊗b=，∴函数f（x）=（x2﹣2）⊗（x﹣1）=．由图可知，当c∈（﹣2，﹣1]∪（1，2]，函数f（x）与y=c的图象有两个公共点，∴c的取值范围是（﹣2，﹣1]∪（1，2]，故答案为（﹣2，1]∪（1，2]．点评：本题主要考查方程的根的存在性及个数判断，二次函数的图象特征、函数与方程的综合运用，及数形结合的思想，属于中档题．三、解答题（12*5=60，最后一题10分）17．已知集合A={x|﹣2≤x≤5}，B={x|4＜x＜6}，P={x|x＜a}．（1）求A∩B；（2）若A∪B⊆P，求a的取值范围．考点：交集及其运算；集合的包含关系判断及应用；并集及其运算．专题：计算题．分析：（1）由A与B，求出两集合的交集即可；（2）由A与B，求出两集合的并集，根据A与B的并集为P的子集，求出a的范围即可．解答：解：（1）∵A={x|﹣2≤x≤5}，B={x|4＜x＜6}，∴A∩B={x|4＜x≤5}；（2）∵A={x|﹣2≤x≤5}，B={x|4＜x＜6}，∴A∪B={x|﹣2≤x＜6}，∵A∪B⊆P，P={x|x＜a}，∴a≥6，则a的范围为[6，+∞）．点评：此题考查了交集及其运算，并集及其运算，以及集合的包含关系判断及应用，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．18．在对人们的休闲方式的一次调查中，共调查了124人，其中女性70人，男性54人．女性中有43人主要的休闲方式是看电视，另外27人主要的休闲方式是运动；男性中有21人主要的休闲方式是看电视，另外33人主要的休闲方式是运动．（1）根据以上数据建立一个2×2的列联表；（2）判断性别与休闲方式是否有关系．考点：独立性检验．专题：计算题；概率与统计．分析：（1）根据共调查了124人，其中女性70人，男性54人．女性中有43人主要的休闲方式是看电视，另外27人的休闲方式是运动；男性中有21人主要的休闲方式是看电视，另外33人主要的休闲方式是运动．得到列联表．（2）根据列联表中所给的数据做出观测值，把观测值同临界值进行比较得到有97.5%的把握认为性别与休闲方式有关系解答：解：（1）2×2列联表如下看电视运动总计女性43 27 70男性21 33 54总计64 60 124…（2）k2=所以有97.5%的把握认为性别与休闲方式有关．…．点评：独立性检验是考查两个分类变量是否有关系，并且能较精确的给出这种判断的可靠程度的一种重要的统计方法，主要是通过k2的观测值与临界值的比较解决的．19．某产品的广告支出x（单位：万元）与销售收入y（单位：万元）之间有如下数据：广告支出x（单位：万元） 1 2 3 4销售收入y（单位：万元）12 28 42 56根据以上数据算得：y i=138，x i y i=418（Ⅰ）求出y对x的线性回归方程=x+，并判断变量与y之间是正相关还是负相关；（Ⅱ）若销售收入最少为144万元，则广告支出费用至少需要投入多少万元？（参考公式：=，=﹣）考点：线性回归方程．专题：应用题；概率与统计．分析：（Ⅰ）由表中数据，做出线性回归方程的系数，得到方程．（Ⅱ）由销售收入最少为144万元，建立不等式，即可求出广告支出费用．解答：解：（Ⅰ）由表中数据得，，∴线性回归方程为，变量x与y之间是正相关；（Ⅱ）依题意有，解得x≥10，所以广告支出费用至少需投入10万元．点评：本题考查线性回归方程的写法和应用，本题解题的关键是正确求出线性回归方程的系数，本题是一个基础题．20．已知二次函数f（x）满足：f（0）=﹣6，且关于x的方程f（x）=0的两实根是﹣1和3．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）设g（x）=f（x）﹣mx，且g（x）在区间[﹣2，2]上是单调函数，求实数m的取值范围．考点：二次函数的性质．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：（Ⅰ）设f（x）=ax2+bx+c（a≠0），根据一元二次方程根与系数的关系求得a、b的值，即可求得f（x）的解析式．（Ⅱ）先求出二次函数g（x）的对称轴为x=，根据g（x）在区间[﹣2，2]上是单调函数，可得≥2或≤﹣2，由此求得实数m的取值范围．解答：解：（Ⅰ）设f（x）=ax2+bx+c（a≠0），由题意可知：c=﹣6，﹣1+3=﹣，（﹣1）×3=．解得：a=2，b=﹣4，所以f（x）=2x2﹣4x﹣6．…（Ⅱ）g（x）=f（x）﹣mx=2x2﹣4x﹣6﹣mx=2x2﹣（m+4）x﹣6，它的对称轴x=．因为g（x）在区间[﹣2，2]上是单调函数，所以≥2或≤﹣2，解得m≤﹣12，或m≥4，即实数m的取值范围为{m|m≤﹣12，或m≥4}．…点评：本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，二次函数的性质，用待定系数法求函数的解析式，属于基础题．21．定义在R上的函数f（x）满足：对任意实数m，n，总有f（m+n）=f（m）•f（n），且当x＞0时，0＜f（x）＜1．（1）试求f（0）的值；（2）判断f（x）的单调性并证明你的结论；（3）若对任意x∈[1，4]时，不等式f（x2+2）＜f（ax）都成立，求a的取值范围．考点：函数恒成立问题；函数单调性的判断与证明；函数的值；基本不等式．专题：综合题．分析：（1）令m=1，n=0，得出f（1）=f（1）•f（0 ），再结合当x＞0时，0＜f（x）＜1．得出f（0）=1（2）设x1＞x2，由已知得出f（x1﹣x2+x2）=f（x1﹣x2 ）•f（x2），且能得出0＜f（x1﹣x2）＜1，确定出f（x1）＜f（x2）后即可判断出函数f（x）在R上单调递减．（3）由（2），不等式化为x2+2＞ax，利用分离参数的方法得出即对x∈[1，4]恒成立，求出在[1，4]上的最小值后便可求出a的取值范围．解答：解：（1）令m=1，n=0则f（1）=f（1）•f（0）又0＜f（1）＜1∴f（0）=1（2）设x＜0则﹣x＞0∴0＜f（﹣x）＜1而∴f（x）＞1即对任意x∈R有f（x）＞0设x1＞x2则x1﹣x2＞0，∴0＜f（x1﹣x2）＜1于是，∴f（x1）＜f（x2）所以，函数f（x）在R上单调递减．（3）∵f（x）在R上单调递减∴f（x2+2）＜f（ax）⇔x2+2＞ax则不等式x2﹣ax+2＞0对x∈[1，4]恒成立即对x∈[1，4]恒成立∴而在[1，4]上的最小值为所以，．点评：本题考查抽象函数求函数值、单调性的判定、及单调性的应用，考查转化、分离参数的思想方法．牢牢把握所给的关系式，对式子中的字母准确灵活的赋值，变形构造是解决抽象函数问题常用的思路．选做题(本小题满分10分，从以下22、23、24题中任选一题作答，如果三题都做，则按第22题计分）22．设a，b∈R，求证：a2+b2≥2a+4b﹣5．考点：不等式的证明．专题：证明题；推理和证明．分析：利用作差法、配方法即可得出．解答：证明：左边﹣右边=a2+b2﹣2a+4b+5=（a﹣1）2+（b+2）2≥0，当a=1，b=﹣2时取等号，∴左边≥右边．即a2+b2≥2a+4b﹣5．点评：本题考查了作差法、配方法比较两个数的大小，属于基础题．23．已知：a，b∈R+，且a≠b，求证：a3+b3＞a2b+ab2．考点：不等式的证明．专题：证明题；不等式的解法及应用．分析：法一，分析法：证明使a3+b3＞a2b+ab2成立的充分条件成立．法二，综合法：由条件a≠b推出：a2﹣2ab+b2＞0，通过变形，应用不等式的性质可证出结论．解答：证明：法一：（分析法）a3+b3＞a2b+ab2 成立，只需证（a+b）（a2﹣ab+b2）＞ab（a+b）成立．又因为a＞0，故只需证a2﹣ab+b2＞ab成立，而依题设a≠b，则（a﹣b）2＞0显然成立，由此命题得证．法二：（综合法）∵a≠b，∴a﹣b≠0，∴a2﹣2ab+b2＞0，∴a2﹣ab+b2＞ab（*）．而a，b均为正数，∴a+b＞0，∴（a+b）（a2﹣ab+b2）＞ab（a+b），∴a3+b3＞a2b+ab2 成立．点评：本题主要考查用分析法和综合法证明不等式，此题还可用比较法证明，体会不同方法间的区别联系，属于基础题．24．已知：a，b，c∈R+，且a+b+c=1，求证：≥9．考点：基本不等式．专题：不等式．分析：根据条件可化为++=++，应用基本不等式即可证得结论解答：证明：由题意知++=++=3+（+）+（+）+（+）∴+≥2，+≥2，+≥2．当且仅当a=b=c时，取等号，∴++≥9．点评：本题考查基本不等式，难点在于对条件的合理转化，本题属于中档题．。