有限元 第2讲_数理基础

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矩阵转置、对称矩阵、单位矩阵
矩阵行列式
或
对称方阵
奇异矩阵(方阵)
矩阵的逆
如果方阵A的行列式 则其逆存在，记为
矩阵的微分和积分
A的伴随矩阵
对于：
线性方程组的求解，变为求 解系数矩阵的逆矩阵
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正定二次型
二次型：含有n个变量的二次齐次多项式 利用矩阵及其运算，二次型可表示为
f ( x1 , x2 , , xn ) a11 x12 2a12 x1 x2 2a13 x1 x3 2a1n x1 xn
2 a22 x2 2a23 x2 x3 2a2 n x2 xn

若取
a ji aij
则
2 ann xn
f ( x1 , x2 , , xn ) a11 x12
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2.2 弹性力学基础 关于弹性力学 五个基本假定 外力和内力 应力、应变、位移 指标记法和求和约定 平面问题基本方程及边界条件 三维问题基本方程及边界条件

关于弹性力学

弹性力学是研究弹性体在约束和外载荷作用 下内力和变形分布规律的一门学科。
力学学科各分支的关系
正定二次型：设
an1 xn x1 an 2 xn x2 an 3 xn x3 a x
f ( x1 , x2 , , xn ) xT Ax 为实二次型，如果对于
f xT Ax 0
A: 正定矩阵
任意的非零实向量X，都有
关于正定矩阵
三大类基本方程 在弹性力学中针对微小的单元体建立基本 方程，把复杂形状弹性体的受力和变形分析 问题归结为偏微分方程组的边值问题。 弹性力学的基本方程包括

平衡方程
ab=dx ad=dy
平衡方程：内力和外力的关系 几何方程：应变和位移的关系 物理方程（本构方程）：应力和应变的关系
F 0 F 0 M 0
u v w
应变： x y z xy yz zx 应力： x y z xy yz zx
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几何方程
x、 y、 z、 xy、 yz、 zx
或
1、 2、 3、 12、 23、 31

du dL
dL dL+du
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指标记法和求和约定

与应力的定义类似，物体内任意一点的变形，可 以用六个应变分量表示： x、 y、 z、 xy、 yz、 zx 或 1、 2、 3、 12、 23、 31
正定矩阵是特殊的对称实矩阵 正定矩阵的对角元aii>0 正定矩阵的行列式|A|>0 A为正定矩阵的充要条件是A的所有顺序主 子式皆大于0

二次型的微商
f ( x1 , x2 , , xn ) xT Ax
n
i , j 1
a xx
ij i
n
j
f x 2 a1i xi 1 i 1 a11 a12 a1n x1 f n a a a x f 2 a2i xi 21 22 2n 2 x2 i 1 2 2 Ax x xn an1 an 2 ann f n a x 2 x ni i n i 1 对向量x各元素的偏导数 x
a12 x1 x2 a13 x1 x3 a1n x1 xn a23 x2 x3 a2 n x2 xn
2 nn n
2 a21 x2 x1 a22 x2
a11 a12 a1n x1 a a a x 2n 2 f ( x1 , x2 , , xn ) [ x1 x2 xn ] 21 22 an1 an 2 ann xn T A: 对称矩阵 x Ax

内力—外力作用下，物体内部相连各部分之 间产生的相互作用力。
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位移、应力、应变
对变形体受力和变形进行描述的基本变量 位移——物体变形后的形状 应力——物体的受力状态 应变——物体的变形程度

位移

位移就是位置的移动。物体内任意一点的位 移，用位移在x，y，z坐标轴上的投影u、v 、w表示。
x y o
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几何方程
x yx x y bx 0 y xy b 0 y x y x xy x y bx 0 y yx b 0 y x y
力学学科 中学力学 理论力学 材料力学 结构力学 弹性力学 弹塑性力学 研究对象 质点 质点系及刚体 简单变形体(构件) 数量众多的简单变形体 任意变形体 任意变形体 特征 无变形 无变形 小变形 小变形 小变形 任意变形
五个基本假定

外力和内力 体力—分布在物体体积内的力，例如重力和 惯性力。 面力—分布在物体表面上的力，例如接触压 力、流体压力。
x 1 y 1 2 y y x E 1
x
1 E
2
y xy
x
1 0 x 1 0 y 1 E xy 0 0 2 1
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一点的应力状态

无穷小正六面 体,六面体的各 棱边边平行于 坐标轴

第一个下标表示应力的作用面，第二个下标表示 应力的作用方向。 正应力由于作用表面与作用方向垂直，通常用一 个下标。 应力分量的方向定义 ：

如果某截面上的外法线是沿坐标轴的正方向，这个截面 上的应力分量以沿坐标轴正方向为正； 如果某截面上的外法线是沿坐标轴的负方向，这个截面 上的应力分量以沿坐标轴负方向为正。


连续性：无空隙，能用连续函数描述 均匀性：各个位置物质特性相同 各向同性：同一位置的物质各个方向上具有相同 特性 线弹性：变形和外力的关系是线性的，外力去除 后，物体可恢复原状 小变形：变形远小于物体的几何尺寸，建立基本 方程时可以忽略高阶小量。
分布力：连续分布在表面某一范围内 集中力：分布力的作用面积很小时的简化
按一般写法： 用指标记法，则为
a x
j 1 ij
3
j
bi ,
(i 1, 2,3)
弹性体在满足一定条件时，其变形和应力的 分布规律可以用在某一平面内的变形和应力 的分布规律来代替，这类问题被称为平面问 题。 平面问题可分为平面应力问题和平面应变问 题。

aij x j bi （指标变化范围为1,2,3）
张量指标形式：
矩阵[D]称为二维平面应力状态下的弹性矩阵
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边界条件
位移BC
o x
ds
F F
x y
0 0
力 BC
y
外法线n的方向余弦 l=dy/ds m=dx/ds
张量指标形式：
三维问题基本方程及边界条件
可以将平面问题的基本方程推广到三维问 题。基本变量如下：
位移：
平衡方程
z

y
z

dz
dz O
yz
dx dy y
dx dy
y
(a)
x
O

自由指标：表达式每一项中只出现一次的下标 ，如σij ,其中i,j为自由指标，可以自由变化。三 维问题中， i,j的变化范围为1,2,3，分别和直角 坐标系三个坐标轴x,y,z对应。 重复指标（哑指标）：表达式的每一项中重复 出现的下标，如aijxj=bi ，j为哑指标。 求和约定：哑指标意味着求和。
弹性体受外力后，各点都要产生位移。在直角坐标中的分 量为u，v，w,位移是坐标的单值连续函数。 弹性体受外力后，各点都要产生应变，它们也是坐标的单 值连续函数。
{d } {u v w}T
应 力 — 物体内某一点的内力
F3

N A
应力S在其作用截面上的法向 分量为正应力σ，切向分量称 为剪应力，用τ表示。
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2.1 矩阵算法 线性方程组的表示 行向量和列向量 矩阵加、减、乘法运算 矩阵的转置、对称矩阵、单位矩阵 矩阵行列式 矩阵求逆 矩阵的微分和积分 正定矩阵（正定二次型）
线性方程组的表示
求解方法：高斯消元法、迭代法
行向量和列向量
矩阵加、减、乘法运算
u x x v y y u v xy y x
张量指标形式：
习惯上
张量指标形式：
bi
单位体积力
物理方程
E
平面应力问题：
1 x y E 1 y y x E
平面应变问题：
x
应变


剪应力互等
xy yx , yz zy , zx xz

物体内任意一点的应力状态可以用六个独立的应 力分量来表示
物体的形状改变可以归结为长度和角度的改变。 各线段的单位长度的伸缩，称为正应变，用ε表 示。 两个垂直线段之间的直角的改变，用弧度表示， 称为剪应变，用γ表示。
进度安排 10 材料非线性问题 11 几何非线性问题 12 热传导问题 13 有限元Fortran程序设计 14 ANSYS有限元软件 期末考试
2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8

矩阵算法 弹性力学基础 泛函和变分法 最小势能原理 Ritz法 虚位移原理 微分方程的等效积分形式 加权余量法