有限元分析的力学基础
有限元分析基础(推荐完整)
图1-5 驾驶室受侧向力应力云图
图1-6 接触问题结构件应力云图
10
第一章 概述
图1-7 液压管路速度场分布云图
图1-8 磨片热应力云图
图1-9 支架自由振动云图
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第二章 结构几何构造分析
2.1 结构几何构造的必要性 2.2 结构计算基本知识 2.3 结构几何构造分析的自由度与约束 2.4 自由度计算公式
（1）结点： ① 铰结点；② 刚结点；③ 混合结点。 （2）支座： ① 活动铰支座；② 固定铰支座 ；
③ 固定支座 ；④ 定向支座
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第二章 结构几何构造分析
2.2.2 结构的分类与基本特征
(1) 按结构在空间的位置分 结构可分为平面结构和空间结构两大类
(2) 按结构元件的几何特征分 ① 杆系结构： 梁、拱、桁架、刚架、桁构结构等 。 ② 板壳结构 ③ 实体结构实体结构的长、宽、高三个尺寸都很 大，具有同一量级。 ④ 混合结构
d. 超静定结构中的多余约束破坏后，结构仍然保持 几何不变性，因而仍有一定的承载能力， 不致整个结构 遭受破坏。
e. 超静定结构由于具有多余的约束，因而比相应的 静定结构具有较大的刚度和稳定性， 在载荷作用下，内 力分布也较均匀，且内力峰值也较静定结构为小。
18
第二章 结构几何构造分析
2.2.3 结构对称性的利用
对称结构在正对称载荷下，对称轴截面上只能产生 正对称的位移，反对称的位移为零；对称结构在反对称 载荷下，对称轴截面上只有反对称的位移，正对称的位 移为零。 (1) 具有奇数跨的刚架
① 正对称载荷作用
(a) 对称刚架
（b) 变形状态分析
(c) 对称性利用
图2-22对称性利用示意图
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有限元分析基础知识
2000，4
ANSYS单元分类
1. 杆单元，包括二维杆单元和三维杆单元，线性调节 元，主要包括： LINK1，LINK8，LINK10，LINK11，LINK180等。 2. 弹簧阻尼单元，包括COMBIN系列： COMBIN7,COMBIN14,COMBIN37,COMBIN40等。 3. 质量元，MASS21。
ANSYS/Structural求解功能
ANSYS/Structural求解功能
Static -- 结构静力问题（包括线性和非线性问题） Modal -- 模态振动特性计算分析（结构固有频率和振型） Harmonic -- 谐波分析 Transient -- 瞬态分析 Spectrum -- 谱分析 Eigen Buckling -- 特征值屈曲分析（线性） Substructural -- 子结构分析 。。。。。。
2000，4
有限元分析步骤（续）
• 集合所有单元的平衡方程，集合依据的是所有相邻 单元在公共节点 处的位移相等；建立总体的有限元方程组。 • 引入边界条件 • 求解有限元方程组，得到未知节点位移 • 计算单元应力，对不同的单元，对应力的处理还有不同的方法
2000，4
ANSYS文件结构
二进制文件 Jobname.db （数据库文件） Jobname.dbb （备份文件） Jobname.rst （结构分析结果文件） Jobname.rth （热分析结果文件） Jobname.rmg （电磁场分析结果文件） Jobname.rfl （流体分析结果文件） Jobname.tri （三角化刚度矩阵文件） Jobname.emat （单元矩阵文件） Jobname.esav （单元保存文件）
2000，4
简例（续）
材料力学中的有限元方法分析
材料力学中的有限元方法分析材料力学是研究物质初始状态至最终破坏状态之间的力学行为及其规律的科学。
有限元分析是一种数值计算方法，可以求解各种工程问题的数学模型。
有限元方法在材料力学研究中有着重要的应用，本文将从有限元方法的基本原理、材料力学中的有限元分析、有限元模拟在材料力学中的应用等方面进行分析。
一、有限元方法的基本原理有限元方法是一种通过建立复杂结构的有限元模型，将一个复杂的连续问题转化为离散问题来求解的方法。
其基本思想是将一个连续物体分割成很多小的单元，使用一些简单的解析方法求解每个小单元内的力学问题，然后将所有小单元的解组合在一起来求解整体力学问题。
有限元方法求解的过程分为以下基本步骤：1.建立有限元模型2.离散化3.施加约束4.建立刚度矩阵和荷载向量5.求解未知量二、材料力学中的有限元分析材料力学中的有限元分析是指通过有限元方法对材料力学问题进行分析、计算和评估的方法。
材料力学问题中的目标是通过施加荷载或外界力，来得到物体内部的应力和应变状态，以及其随时间和载荷变化的规律。
在建立材料力学有限元模型时，需要考虑以下因素：1.应力集中和应变集中的位置和程度2.物理边界和几何结构3.材料的力学性质和力学参数材料力学中的有限元分析包含以下几个方面：1.静态分析：研究物体在静态等效荷载下的应力状态，计算物体的静态变形。
2.动态分析：研究物体在动态载荷下的应力和应变状态，计算物体的动力响应。
3.疲劳分析：研究物体在周期性载荷下的损伤状态、损伤机理和寿命预估。
4.热力耦合分析：研究物体在温度场和应力场的共同作用下的应力和应变状态。
5.多物理场分析：研究物体在电、磁、声、液、气、红外、光、辐射等多个物理场的共同作用下的应力和应变状态。
三、有限元模拟在材料力学中的应用有限元模拟在材料力学中的应用范围非常广泛，包括了以下几个方面：1.材料的结构设计和分析2.材料的性质和参数的测试和评估3.材料的制造和加工工艺的模拟4.材料的破坏和损伤机理的研究5.材料的寿命评估和振动疲劳分析最终，有限元分析的结果可以在材料设计、材料优化和制造流程等方面提供准确的数据支持，帮助人们更好地理解材料的力学行为和性质，促进材料科学的发展。
有限元分析的基本原理
有限元分析的基本原理有限元分析法是一种通用的数值分析技术，它利用有限数目的计算元素来对结构的应力、变形以及失效的可能性进行分析，它简化了复杂的工程结构在实际受力情况下的模拟计算，可以预测出构件的性能、变形和可能失效等。
有限元分析是用数学模型来模拟生活用来模拟工程中结构抗压、抗弯、抗剪、抗疲劳等性能。
有限元分析有三个基本原理：结构变形、力学方程和材料本构方程。
首先，有限元分析的基础原理是结构变形。
结构变形是指在施加外力作用下，受力的结构的空间变形和大小的变化，它是有限元分析的基础，该原理说明了满足力学方程的解决方法如何以有限元的形式出现。
通常情况下，我们会把构件的耦合变形分成很多小的计算元(这些计算元之间有连接约束)，减少变形的不确定性，从而提高分析的准确性。
其次，有限元分析的基础原理是力学方程。
满足力学方程条件的解决方案就是有限元分析，也就是把问题分解成很多小的子问题来求解。
力学方程最常见的形式是基于有限元技术的动态和静态结构分析。
动态结构分析是指结构在某个加载下的振动反应，涉及到施加外力、弹性和惯性效应。
静态结构分析则指结构在不同类型外力作用下的变形。
最后，有限元分析的基础原理是材料本构方程。
材料本构方程是指材料受拉力作用而形成变形和应力的关系，它可以用来描述材料在承受外力时的作用。
本构方程有很多不同的形式，最常用的形式是弹性体的本构方程，它说明了当受到外力作用时，材料的拉伸和压缩的反应，从而将其应用于有限元分析技术。
以上就是有限元分析的基本原理，它是构成有限元分析的基础，而且这些基本原理也被广泛应用于工程中对结构性能进行模拟和分析。
有限元分析可以帮助工程师准确地估算出结构在特定加载条件下的变形和应力，也可以帮助他们判断结构在疲劳荷载作用下是否会发生破坏。
有限元分析也可以帮助设计者更好地分析结构在复杂（多变）条件下的性能，以确定结构的最优设计。
所以，有限元分析的基本原理是工程分析的基础，合理的运用可以节约大量的时间和精力，从而达到性能最优的结构设计。
有限元法的力学基础
有限元法的力学基础有限元法是一种数值分析方法，利用数学和计算机技术解决实际工程问题。
其力学基础主要包括材料力学、结构力学和数值分析。
一、材料力学有限元法的首要任务是分析工程结构的受力情况，而这涉及到材料的应力和应变等基本力学问题。
材料力学是有限元法的基础，它研究材料在外力作用下变形和破坏的规律及其数学描述。
在计算中，材料本构方程是将应力和应变联系起来的核心方程式，通过解析材料的物理特性，可以建立精确的应力-应变关系。
应力是物体受力过程中单位面积所受的力。
在研究材料力学问题时，应力通常分为三个方向：轴向应力、切向应力和法向应力。
材料因内部力的作用而使形状改变的现象称之为应变。
应变分为线性应变和非线性应变两种类型。
材料的本构方程则是将应力和应变通过数学公式联系起来，其中最重要的参数是杨氏模量、泊松比、屈服强度等材料力学性质指标。
二、结构力学有限元法主要应用于结构力学中，因为任何实际的结构都受到力的作用，这些力包括静载、动载、温度变化等。
结构力学是研究结构受力和变形状态的学科，它的核心是研究结构刚度和强度等性质。
结构刚度是指结构抵抗外界力的能力，强度则是指结构承受载荷发生破坏前的最大强度。
在有限元法中，将结构划分成有限个小单元，然后使用材料力学原理及结构力学原理计算每个小单元的应力和应变及整个结构的位移。
通过建立坐标系，可以把每个小单元在局部坐标系下的变形通过旋转变换到全局坐标系下。
将各个小单元的变形叠加起来，就可以求得整个结构的位移和变形。
三、数值分析有限元法是一种数值分析方法，因此数值分析对于有限元法的运用也是相当重要的。
数值分析是研究利用数值方法解决科学和工程问题的一门学科。
有限元法可以通过数学公式和计算机程序来模拟物理现象，从而得出求解问题的解。
数值分析中最重要的就是数值计算误差和截断误差的控制，只有通过合理的参数设置和计算方法，才能得到高精度的结果。
总体来看，有限元法的力学基础涉及材料力学、结构力学和数值分析三个方面。
有限元法的理论基础
有限元法的理论基础有限元法是一种离散化的数值计算方法，对于结构分析而言，它的理论基础是能量原理。
能量原理表明，在外力作用下，弹性体的变形、应力和外力之间的关系受能量原理的支配，能量原理与微分方程和定解条件是等价的。
下面介绍有限元法中经常使用的虚位移原理和最小势能原理。
1.虚位移原理虚位移原理又称虚功原理，可以叙述如下：如果物体在发生虚位移之前所受的力系是平衡的(物体内部满足平衡微分方程，物体边界上满足力学边界条件），那么在发生虚位移时，外力在虚位移上所做的虚功等于虚应变能（物体内部应力在虚应变上所做的虚功）。
反之，如果物体所受的力系在虚位移（及虚应变）上所做的虚功相等，则它们一定是平衡的。
可以看出，虚位移原理等价于平衡微分方程与力学边界条件。
所以虚位移原理表述了力系平衡的必要而充分的条件。
虚位移原理不仅可以应用于弹性性力学问题，还可以应用于非线性弹性以及弹塑性等非线性问题。
2.最小势能原理最小势能原理可以叙述为：弹性体受到外力作用时，在所有满足位移边界条件和变形协调条件的可以位移中，真实位移使系统的总势能取驻值，且为最小值。
根据最小势能原理，要求弹性体在外力作用下的位移，可以满足几何方程和位移边界条件且使物体总势能取最小值的条件去寻求答案。
最小势能原理仅适用于弹性力学问题。
2.2有限元法求解问题的基本步骤弹性力学中的有限元法是一种数值计算方法，对于不同物理性质和数学模型的问题，有限元法的基本步骤是相同的，只是具体方式推导和运算求解不同，有限元求解问题的基本步骤如下。
2.2.1问题的分类求解问题的第一步就是对它进行识别分析，它包含的更深层次的物理问题是什么？比如是静力学还是动力学，是否包含非线性，是否需要迭代求解，要从分析中得等到什么结果等。
对这些问题的回答会加深对问题的认识与理解，直接影响到以后的建模与求解方法的选取等。
2.2.2建模在进行有限元离散化和数值求解之值，我们为分析问题设计计算模型，这一步包括决定哪种特征是所要讨论的重点问题，以便忽略不必要的细节，并决定采用哪种理论或数学公式描述结果的行为。
有限元分析的力学基础
.
33
作用在任意平面上该点的应力分量可以由下式表示为：
xxl yx m px xyl y m py
其中
l c o sN ,x,m c o sN ,y
.
34
2.5空间问题的基本力学方程
平衡方程：外力和内力之间的平衡关系 几何方程：描述的是位移和应变之间关系 物理方程：应力和应变之间的关系 边界条件：
按照边界情况，弹性力学问题一般分为三类：
✓ 位移边界问题：在边界面上全部给定位移，即全部是 Su 边界
✓ 应力边界问题：在边界面上全部给定表面力，即全部是应力 边界S。 这时，外力（包括体力和面力）应是平衡力系。
S
✓ 混合边界问题：既有Su 边界，又有应力边界。二者可以分 别在边界表面不同的区域上，或同一区域不同的方向上。
2 u v
xy
yxΒιβλιοθήκη 2 xy xy象发生。
.
29
物理方程
x
E 1 2
x y
x
E 1 2
y x
xy
E
2 1
xy
写成矩阵形式为
D
E称为杨氏模量反映材料对于拉伸或压缩 变形的抵抗能力。
是泊松系数，描写材料横向收缩或膨胀
的特性。
.
30
线应变（相对伸长或压缩）
绝对伸长（或压缩）与原长之比称为相对伸长（或压
.
12
2.3弹性力学基本变量
内力：应力 --外力(或温度)的作用 内力
设作用于 A上的内力为 ,则Q
内力的平均集度,即平均应力, 为 / Q A
lim Q S
A0 A
这个极限矢量S,就是物体在截面
mn上、P点的应力。
有限元分析
单元形函数(续)
二次曲线的线性近 (不理想结果 不理想结果) 不理想结果 DOF值二次分布 值二次分布 真实的二次曲线
.
1
节点 单元 线性近似 (更理想的结果 更理想的结果) 更理想的结果
.
2
真实的二次曲线
.
节点 单元
.
接近于真实的二次近似拟合) 二次近似 (接近于真实的二次近似拟合 接近于真实的二次近似拟合 (最理想结果 最理想结果) 最理想结果
F
(a) 订书钉 F t0 t1 t2 t3
u
(b) 木制书架
u F
b1 (c) 气动带
b2 u
4、静力 / 动力分析
静力求解能否满足你的分析要求？如果不能， 静力求解能否满足你的分析要求？如果不能， 应当进行 那种动力分析？ 那种动力分析 ？动力分析的所有载荷都是随时间变化的 但在许多情况下动力影响可以忽略不计。 ，但在许多情况下动力影响可以忽略不计。
三、有限单元法简介
有限单元法的常用术语：
是真实系统理想化的数学抽象。 有限元模型 是真实系统理想化的数学抽象。
定义
真实系统
有限元模型
自由度（DOFs－ degree of freedoms）
自由度(DOFs) 用于描述一个物理场的响应特性。 自由度
UY ROTY
方向 结构 热 电 流体 磁
自由度 位移 温度 电位 压力 磁位
三、有限单元法简介
随着高速计算机的发展，有限元的应用也以 惊人的速度发展，现在有限元法已经被工程师和 科学家们公认是一种完美和方便的分析工具。 50 50多年来，有限元法的应用已由弹性力学平 面问题扩展到空间问题、板壳问题，由静力平衡 问题扩展到稳定问题、动力问题。分析的对象从 弹性材料扩展到塑性、黏弹性、黏塑性和复合材 料等，从固体力学扩展到流体力学、传热学等连 续介质力学领域。
有限元基本要求
有限元基本要求
有限元分析是一种重要的工程分析方法，它可以模拟复杂的结构和物理现象。
在学习有限元分析之前，需要掌握以下基本要求：
1. 数学基础：有限元分析涉及到大量的数学知识，如线性代数、微积分、偏微分方程等。
因此，需要有扎实的数学基础。
2. 机械力学基础：有限元分析主要用于工程结构力学问题的求解，因此需要了解基本的机械力学知识，如静力学、动力学、材料力学等。
3. 编程基础：有限元分析通常需要使用计算机进行求解，因此需要有一定的编程基础。
常用的有限元软件如ANSYS、ABAQUS等也需要掌握。
4. 有限元方法基础：需要了解有限元方法的基本原理、离散化方法、单元类型、形函数等基本概念。
5. 实践能力：通过实践应用，掌握有限元分析方法的具体操作和应用技巧，能够有效地解决实际工程问题。
以上是学习有限元分析的基本要求，只有掌握了这些基本知识和技能，才能在实践中灵活应用、解决复杂的工程问题。
- 1 -。
有限元-结构静力学分析
COMSOL Multiphysi…
COMSOL Multiphysics是一款多物 理场仿真软件，支持结构、流体、电 磁、热传导等多个领域的模拟。它提 供了直观的图形界面和丰富的物理模 型库。
05
结构静力学有限元分析案例
案例一：简单结构分析
总结词
通过简单的结构分析，可以了解静力学有限元分 析的基本原理和步骤。
求解完成后，有限元软件 将结果以图形、表格等形 式展示给用户，以便用户 进行结果分析和优化设计 。
常用有限元软件介绍及对比
ANSYS
ABAQUS
ANSYS是一款功能强大的有限元分析 软件，广泛应用于机械、电子、土木 等领域。它具有强大的求解器和前后 处理功能，以及丰富的物理模型库。
ABAQUS是一款专业的工程仿真软件 ，尤其在复合材料、生物医学工程等 领域有很好的应用。它提供了丰富的 材料模型库和强大的求解器。
3
力的传递性
当两个刚体通过某一轴线上的支点相连接时， 它们在该轴线上的投影重合，且其作用力大小 相等、方向相反。
结构平衡方程
静力平衡方程
对于一个质点或刚体，其受到的抗力与主动力之和等于零， 即∑F=0。
动力学平衡方程
对于一个质点或刚体，其受到的惯性力与主动力之和等于零 ，即∑M+∑F=0。其中，∑M为物体受到的惯性力的合力矩， ∑F为物体受到的主动力的合力。
VS
约束处理
根据实际问题的边界条件，对模型进行约 束处理，如固定支撑、滑动支撑等。
04
有限元软件在结构静力学中的应用
有限元软件概述
软件起源
有限元软件的起源可以追溯到20世纪70年代，当时工程师们为了解决复杂结构的分析问 题，开始尝试将结构划分为有限个小的单元，并使用计算机进行求解。
FEM_ch2_有限元法的力学基础
z
t zx
有 限 元 分 析
x y 面: z 面:
面:
x t xy t xz y t yx t yz z t zy t zx
负面 z
t xz
t zy x t yz
正面
y
A
应力符号的意义：
t xy
面
第1个下标 x 表示τ所在面的法线方向； 第2个下标 y 表示τ的方向.
t yx t xz t y xy t yx t yz P C t xy t zy x t zx z
1 2
量纲： L MT
合
肥
工
业
大
学
第一节 弹性力学概论
3.形变
物体形状的改变
应变
一点的应变状态： 通过 任一点作三个沿正坐标方向的微分线段， 并以这些微分线段的应变表示该点的应变状态
有 限 元 分 析
正应变 切应变
线段单位长度的改变 两线段间直角的改变
x y z
xy yz zx yx zy xz
有限元第二节平面应力问题与平面应变问题xyyztba3应力特征由于板面上不受力有??????由切应力互等定理有?02???tzzx0?????t2zzzyy????02???tzz0???z???0zx0zytatb????在板内连续合肥工业大学分析0yzzy????0xzzx????平面应力问题只有三个独立应力分量
t
2
zy z t 2
0
z 0 t zx 0 t zy 0
b
y
a
y
0 y
t yx
结 论 ：
x x ( x, y) y y ( x, y ) t xy t yx t xy ( x, y)
05-01车辆结构有限元静力学分析分析
二、汽车驱动桥桥壳的有限元分析
分析结果如下：
三、支架有限元分析
支架用于支撑邮箱、散热器、蓄电池、 工具箱等。支架与车架的连接方式可以通过 螺栓连接，在分析过程中需要用到抽取中面、 简化成板壳结构、螺栓连接等有限元建模技 术。
三、支架有限元分析
如车架有限元分析的建模：
考虑到整个车架基本 上都是由钢板冲压、焊接 而成，这里主要用板壳模 拟车架，只有铰接轴套管、 铰接轴销轴、平衡悬架处 的平衡轴和前悬架的前后 支架采用体来建立模型。
二、汽车驱动桥桥壳的有限元分析
操作步骤： 1.打开软件导入axle_housing.x_t,进行前处理； 2.打开静态分析，设定并分配零部件材料； 3.建立试验块与桥壳总成的接触关系； 4.划分网格（尽量采用Hex_domain); 5一端全约束、另一端放松轴向；在板簧面施加载荷 12000*2.5=30000 N，单边15000 N； 6.求解应力和变形； 7.后处理。
三、支架有限元分析
分析中难点：
三、支架有限元分析
难点2，建立接触
三、支架有限元分析
难点3.约束
三、支架有限元分析
分Hale Waihona Puke 结果三、支架有限元分析解决办法
三、支架有限元分析
改进后的分析结果
一、结构有限元静力学分析基础
汽车零部件的许用应力和安全系数： 3）对于扭转许用应力，安全系数n1≧1.5 则有： [τ]=τs/n1 若τs不能查到，可由下面的公式进行估算： [τ]=0.58σs/n1
二、汽车驱动桥桥壳的有限元分析
驱动桥桥壳是汽车上主要承载结构件， 由于其形状复杂，采用传统的工程力学方法 只能根据经验进行设计，很难确保设计是否 合理。一般需要通过桥壳总成疲劳台架试验 来确认设计的合理性。
有限元分析的力学基础
应用场景：流体 动力学分析广泛 应用于航空航天、 汽车、船舶、能 源等领域如飞机 机翼的气动性能 分析、汽车发动 机的流体动力学 分析等。
优势：有限元分 析能够处理复杂 的几何形状和边 界条件提供高精 度和可靠的分析 结果有助于优化 设计和改进产品 性能。
未来发展：随着 计算技术和数值 方法的不断进步 有限元分析在流 体动力学分析中 的应用将更加广 泛和深入有望在 解决复杂流体动 力学问题方面发 挥更大的作用。
特点：适用于大规模复杂问题的求解但需要设置合适的初值和解的精度要求。
有限元分析的精度与收敛性
精度：有限元分析的精度取决于网格划分的大小和形状以及所选择的近似函数。 收斂性：有限元分析的收敛性是指随着网格的细化解的近似值将逐渐接近真实解。 收敛速度：收敛速度取决于所选择的有限元类型和边界条件。 误差估计：通过误差估计可以确定所需的网格细化程度以确保解的精度。
弹性力学的 应用实例
塑性力学基础
定义：塑性力学是研究材料在达到屈服点后发生不可逆变形时行为规律的学科。 特点：塑性变形过程中外力的大小和方向可以发生变化而材料的内部结构保持不变。 塑性力学的基本方程：包括应力-应变关系、屈服准则、流动法则等。 应用：塑性力学在工程领域中广泛应用于金属成型、压力容器设计等领域。
局限性：塑性力 学模型忽略了材 料在塑性变形过 程中的微观结构 和相变行为因此 对于某些特定材 料或极端条件下 的应用可能存在 局限性。
流体动力学模型
简介：流体动力 学模型是有限元 分析中用于描述 流体运动的数学 模型包括流体压 力、速度、密度
等参数。
方程形式：流体 动力学模型通常 由一组偏微分方 程表示如NvierSkes方程描述了 流体的运动规律。
单元分析： 对每个单元 进行力学分 析包括内力、 外力、位移 等
有限元分析理论基础大全超详细
有限元分析概念有限元法：把求解区域看作由许多小的在节点处相互连接的单元（子域）所构成，其模型给出基本方程的分片（子域）近似解，由于单元（子域）可以被分割成各种形状和大小不同的尺寸，所以它能很好地适应复杂的几何形状、复杂的材料特性和复杂的边界条件有限元模型：它是真实系统理想化的数学抽象。
由一些简单形状的单元组成，单元之间通过节点连接，并承受一定载荷。
有限元分析：是利用数学近似的方法对真实物理系统（几何和载荷工况）进行模拟。
并利用简单而又相互作用的元素，即单元，就可以用有限数量的未知量去逼近无限未知量的真实系统。
线弹性有限元是以理想弹性体为研究对象的，所考虑的变形建立在小变形假设的基础上。
在这类问题中，材料的应力与应变呈线性关系，满足广义胡克定律；应力与应变也是线性关系，线弹性问题可归结为求解线性方程问题，所以只需要较少的计算时间。
如果采用高效的代数方程组求解方法，也有助于降低有限元分析的时间。
线弹性有限元一般包括线弹性静力学分析与线弹性动力学分析两方面。
非线性问题与线弹性问题的区别：1）非线性问题的方程是非线性的，一般需要迭代求解；2）非线性问题不能采用叠加原理；3）非线性问题不总有一致解，有时甚至没有解。
有限元求解非线性问题可分为以下三类：1）材料非线性问题材料的应力和应变是非线性的，但应力与应变却很微小，此时应变与位移呈线性关系，这类问题属于材料的非线性问题。
由于从理论上还不能提供能普遍接受的本构关系，所以，一般材料的应力与应变之间的非线性关系要基于试验数据，有时非线性材料特性可用数学模型进行模拟，尽管这些模型总有他们的局限性。
在工程实际中较为重要的材料非线性问题有：非线性弹性（包括分段线弹性）、弹塑性、粘塑性及蠕变等。
2）几何非线性问题几何非线性问题是由于位移之间存在非线性关系引起的。
当物体的位移较大时，应变与位移的关系是非线性关系。
研究这类问题一般都是假定材料的应力和应变呈线性关系。
它包括大位移大应变及大位移小应变问题。
有限元分析的力学基础
2.1 变形体的描述与变量定义
(1) 变形体
变形体：即物体内任意两点之间可发生相对移动。 有限元方法所处理的对象：任意变形体
38
(2) 基本变量的定义
可以用以下各类变量作为任意变形体的描述
量
因此，在材料确定的情况下，基本的力学变量应该有：
位移、应变、应力
39
目的：对弹性体中的位移、应力、应变进行 定义和表达，进而建立平衡方程、几何方程 和材料物理方程
+
∂τ yz
∂y
dy dxdz
dy 2
+τ
yz dxdz
dy 2
−
τ
zy
+
∂τ zy
∂z
dz dxdy
dz 2
−τ zydxdy
dz 2
=
0
全式除以dxdydz，合并相同的项，得
τ
yz
+
1 2
∂τ yz
∂y
dy
−τ
zy
−
1 2∂τ zy∂z Nhomakorabeadz
=
0
略去微量项，得 τ yz = τ zy
∑ MY = 0 τ zx = τ xz
各个方向上具有相同特性；
(4) 线性弹性假定：物体的变形与外来作用的关系是线性的， 外力去除后，物体可恢复原状；
(5) 小变形假定：物体变形远小于物体的几何尺寸，在建立方 程时，可以高阶小量（二阶以上）。
以上基本假定将作为问题简化的出发点。
41
2.3 基本变量的指标表达
指标记法的约定：
自由指标：在每项中只有一个下标出现，如 σ ij ，i，
∑MZ =0
τ xy = τ yx
有限元分析第3章弹性力学基础知识1
联立得到几何方程，表明应变分量与位移分量之间的关系：
¶u ¶v ¶w ， y ， z ¶x ¶y ¶z ¶u ¶v ¶v ¶w ¶w ¶u + ， yz + ， zx + ¶y ¶x ¶z ¶y ¶x ¶z
弹性力学的基本假定
4、各向同性(Isotropy)
物体的弹性性质在所有各个方向都相同 好处：物体材料常数不随坐标方向改变而改变
像木材，竹子以及纤维增强材料等，属于各向异 性材料。
弹性力学的基本假定
5、小变形假定(Small deformation):
物体的位移和形变是微小的. 即物体的位移 远小于物体原来的尺寸, 而且应变和转角都远小 于1
u+
¶u dy ¶y
C'
D" b D '
D C
A ' B ' AB x AB ¶u (u + dx) u ¶x dx ¶u ¶x
dy
u
v
A
A'
B'
a
v+
¶v dx ¶x
B dx
¶u u + dx ¶x
B"
x
0
¼ Í
1-5
弹性力学的基本方程之几何方程
（2）y方向的相对伸长量
y
¶u dy ¶y
切应力符号 的含义
受力面的法线方向
xy
力的方向
弹性力学的运动与变形
1、位移、形变、正应变、剪应变的概念
位移（displacement）: 是指位置的移动. 它在 x, y and z 轴上的 投影用 u, v 和w。
3 有限元分析矩阵 弹性力学基础
*任何物体可以看成一个质点系；
*如果一个物体在外力作用下处于平衡状态，则可看成是每 个质点都分别承受某个平衡力，形成总平衡力系； *整个物体（质点系），如果各质点 有不同程度的虚位移，则在其上的
所有的力（外力、内力）在虚位移
上所做虚功为零；
虚功原理
作用在i、j……点的外力，在虚位移上所做虚功为:
A的伴随矩阵
对于：
线性方程组的求解，变为 求解系数矩阵的逆矩阵
3.2 弹性力学基础
关于弹性力学 五个基本假定 外力和内力 应力、应变、位移 弹性力学的基本方程 虚功原理
关于弹性力学
弹性力学是研究弹性体在约束和外载荷作用下内力和变形 分布规律的一门学科。
力学学科各分支的关系
线性方程组的表示
行向量和列向量 矩阵加、减、乘法运算
矩阵的转置、对称矩阵、单位矩阵
矩阵行列式 矩阵求逆
线性方程组的表示
求解方法：高斯消元法、迭代法
行向量和列向量
矩阵加、减、乘法运算
矩阵转置、对称矩阵、单位矩阵
对称方阵
Hale Waihona Puke 矩阵行列式或奇异矩阵(方阵)
矩阵的逆
如果方阵A的行列式 则其逆存在，记为
弹性力学的基本方程
1. 位移和应变之间的几何关系（几何变形方程） 位移分量矩阵表达式： u v wT
应变分量矩阵表达式： x
y z xy yz zx
u x x v y y w z z u v xy y x u w yz x y u u zx x z
力学学科
中学力学 理论力学
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2.4平面问题的基本力学方程
平衡方程：外力和内力之间的平衡关系 几何方程：描述的是位移和应变之间关系 物理方程：应力和应变之间的关系 边界条件：
第二章 有限元分析的力学基础
本章主要内容
2.1弹性力学同有限元分析的关系 2.2弹性体的基本假设 2.3弹性力学的基本变量 2.4平面问题的基本力学方程 2.5空间问题的基本力学方程 2.6弹性问题中的能量表达 2.7两大类平面问题
本章要点
变形体的三大类基本变量 变形体的三大类基本方程及两类边界条件 弹性问题中的能量表示 平面应力、平面应变、刚体位移的特征及表达 应力及应变的分解
平面(二维)平衡方程
平面问题的静力学平衡,设微小正六面体,在X,Y方向的尺寸dx,dy,Z方向的尺 寸取一个单位长度.
MC 0
两个对面存在微小差量,通过中心点C,平行与Z轴的直线为轴,列出平衡方程 M c 0
xy
xy x
dx dy 1
dx 2
xydy 1
dx 2
yx
yx y
dx 1
dy 2
方向为负 负面上的应力以沿坐标轴负方向为正，沿坐标轴正
方向为负
正应力以拉应力为正，压应力为负
2.3弹性力学基本变量
剪应力互等定律：作用在两个互相垂直的面上并且垂直于该两面交
线的剪应力是互等的。(大小相等，正负号也相同)。因此剪应力记号的两个 角码可以对调。
yz zy , zx xz xy yx
体所有各点的位移都远小于物体的原有尺寸，因而应变和转角都 远小于1，这样，在考虑物体变形以后的平衡状态时，可以用变形 前的尺寸来代替变形后的尺寸，而不致有显著的误差；并且，在 考虑物体的变形时，应变和转角的平方项或乘积项都可以略去不 计，这就使得弹性力学中的微分方程都成为线性方程。
2.3弹性力学基本变量
化简得
yx
x
yy
y
+ yz
z
+f y
0
Z方向力平衡
zx +
zx
x
dx- zx
dydz
+
zy
zy
y
dy- zy
dxdz
zz +
zz
z
dz- x
dxdy
+ fzdxdydz 0
化简得
zx
x
zy
部边界，即 :
S S S
作用在任意平面上该点的应力分量可以由下式表示为：
xxl yxm px xyl ym py
其中
l cos N, x,m cosN, y
2.5空间问题的基本力学方程
平衡方程：外力和内力之间的平衡关系 几何方程：描述的是位移和应变之间关系 物理方程：应力和应变之间的关系 边界条件：
2.3弹性力学基本变量
位移与应变的关系
ui uio ijdxj wijdxj
位移
刚体 位移
应变 位移
刚体 转动
strain-displacement relations.（几何方程 柯西方程）
x
u x
,y
v y
,z
w z
xy
u y
v x
,
yz
v z
w y
,
zx
w x
u z
应力分量的矩阵表示称为应力列阵或应力向量。
运动(或平衡)规律，它们有时被称为弹性力学三大基本 规律。弹性力学中许多定理、公式和结论等，都可以从 三大基本规律推导出来。
2.1弹性力学同有限元分析的关系
弹性力学同材料力学的比较
1、研究内容：基本上没有什么区别。弹性力学也是研
究弹性体在外力作用下的平衡和运动，以及由此产生的 应力和变形。 2、研究的对象：材料力学基本上只研究杆、梁、柱、轴 等杆状构件，即长度远大于宽度和厚度的构件；弹性力 学虽然也研究杆状构件，但还研究材料力学无法研究的 板与壳及其它实体结构，即两个尺寸远大于第三个尺寸， 或三个尺寸相当的构件。
基本变量
2.3弹性力学基本变量
外力：指其他物体对研究对象（弹性体）的 作用力。可以分为体积力和表面力 1、表面力：是分布于物体表面的力，如静 水压力，一物体与另一物体之间的接触压力 等。 2、体力：是分布于物体体积内的外力，如 重力、磁力、惯性力等。
均为矢量。 弹性体受外力以后，其内部将产生应力（内力）
正应力σ
x y z
剪应力τ
xy xz zy yx zx yz
正应力下标表示作用在垂直于轴的面上同时也沿着轴方向作用的 剪应力加上两个角码，前一个角码表明作用面垂直于哪一个坐标轴，后一个 角码表明作用方向沿着哪一个坐标轴。
2.3弹性力学基本变量
正面（外法线是沿着坐标轴的正方向） 负面（外法线是沿着坐标轴的负方向） 正面上的应力以沿坐标轴正方向为正，沿坐标轴负
的特性。
线应变（相对伸长或压缩）
绝对伸长（或压缩）与原长之比称为相对伸长（或压
缩）。公式：
l
l0
当 0时，为拉伸形变； 时0 ，为压缩形变，因而，
它很好地反映形变程度。如直杆拉伸压缩时，还产生横
向形变，则对应的应变(或形变)为：
1
b b0 b0
b b0
其中：设想直杆横截面是正方形每边长为b,0横向形变后为 。b
x xy xz yx y yz zx zy z
一点的应力状态
x xy xz
yx
y yz
zx zy z
不同的坐标表示
x
xy
xz
ij yx y yz
zx
zy
z
应力张量
2.3弹性力学基本变量
应变和位移
应变——形状的改变（形变）——长度的改变和角度
平衡方程
X方向负面 X方向正面 Y方向负面 Y方向正面 Z方向负面 Z方向正面
xx
+
xx
x
dx
yx
+
yx
x
dx
zx
+
zx
x
dx
xy
xy
y
dy
yy
yy
y
dy
zy
zy
y
dy
xz
+
xz
z
dz
yz
+
yz
z
dz
zz
+
zz
z
dz
X方向力平衡
xx
+
xx
x
dx- x
yxdx 1
dy 2
0
上式两边除dxdy,可得:
xy yx
剪力互等关系
以X轴为投影轴,满足平衡方程: F 0
x
x x
dx
dy
1
x
dy
1
yx
yx y
dy dx 1
yxdx 1
fxdxdy1
0
上式两边除dxdy,可得:
x
x
yx
y
fx
0
同理
y
y
xy
x
fy
0
平面(二维)几何方程
均匀性：也就是说整个物体是由同一种材料组成的。这样，
整个物体的所有各部分才具有相同的物理性质，因而物体的弹性 常 数(弹性模量和泊松系数)才不随位置座标而变。
2.2 弹性力学中关于材料性质的假定
各向同性：也就是说物体内每一点各个不同方向的物理性质
和机械性质都是相同的。
物体的变形是微小的：亦即当物体受力以后，整个物
2.1弹性力学同有限元分析的关系
弹性力学：弹性力学也称弹性理论，主要研究弹性体在 外力作用或温度变化等外界因素下所产生的应力、应变 和位移，从而解决结构或机械设计中所提出的强度和刚 度问题。
是固体力学的重要分支，它研究弹性物体在外力和其它 外界因素作用下产生的变形和内力。
研究对象：包括杆状构件在内的各种形状的弹性体。 弹性力学基本规律：变形连续规律、应力-应变关系和
2.3弹性力学基本变量
内力：应力 --外力(或温度)的作用 内力
设作用于 A上的内力为 ,则Q 内力的平均集度,即平均应力, 为 / Q A
lim Q S
A0 A
这个极限矢量S,就是物体在截面
mn上、P点的应力。
应力就是弹性体内某一点作用于某截面单位面积上的内力
2.3弹性力学基本变量
每一个面上的应力分解为一个 正应力和两个剪应力
2 x 2 y 3u 3v
y2 x2 xy2 yx2
2 xy
u y
v x
2 xy
xy
物理方程
x
E
1 2
x y
x
E
1 2
y x
xy
E
2 1
xy
写成矩阵形式为
D
E称为杨氏模量反映材料对于拉伸或压缩 变形的抵抗能力。
是泊松系数，描写材料横向收缩或膨胀
2.1弹性力学同有限元分析的关系
从几何形状复杂程度来考虑可以分为：
1）简单形状变形体—材料力学 2）任意形状变形体—弹性力学 任意变形体是有限元方法处理的对象，因而，弹性力 学中有关变量和方程的描述是有限元方法的重要基础。 弹性力学的弱点：由于研究对象的变形状态较复杂， 处理的方法又较严谨，因而解算问题时，往往需要冗长 的数学运算。但为了简化计算，便于数学处理，它仍然 保留了材料力学中关于材料性质的假定。
2.1弹性力学同有限元分析的关系
弹性力学同材料力学的比较 3、研究的方法：
相同点：静力学、几何学与物理学三方面进行研究； 不同点：材料力学：