有限元分析的力学基础

正应力σ
x y z
剪应力τ
xy xz zy yx zx yz
正应力下标表示作用在垂直于轴的面上同时也沿着轴方向作用的 剪应力加上两个角码，前一个角码表明作用面垂直于哪一个坐标轴，后一个 角码表明作用方向沿着哪一个坐标轴。
2.3弹性力学基本变量
正面（外法线是沿着坐标轴的正方向） 负面（外法线是沿着坐标轴的负方向） 正面上的应力以沿坐标轴正方向为正，沿坐标轴负
dydz
xy
xy
y
dy- xy
dxdz
+
xz
+
xz
z
dz- xz
dxdy
+ fxdxdydz 0
化简得
xx
x
xy
y
+
xz
z
+f x
0
Y方向力平衡
yx
yx
x
dx- yx
dydz
yy
+
yy
y
dy- y
dxdz+ yz +
yz
z
dz- yz
dxdy
+ fydxdydz 0
2.1弹性力学同有限元分析的关系
从几何形状复杂程度来考虑可以分为：
1）简单形状变形体—材料力学 2）任意形状变形体—弹性力学 任意变形体是有限元方法处理的对象，因而，弹性力 学中有关变量和方程的描述是有限元方法的重要基础。 弹性力学的弱点：由于研究对象的变形状态较复杂， 处理的方法又较严谨，因而解算问题时，往往需要冗长 的数学运算。但为了简化计算，便于数学处理，它仍然 保留了材料力学中关于材料性质的假定。
2 x 2 y 3u 3v
y2 x2 xy2 yx2
2 xy
u y
v x
2 xy
xy
物理方程
x
E
1 2
x y
x
E
1 2
y x
xy
E
2 1
xy
写成矩阵形式为
D
E称为杨氏模量反映材料对于拉伸或压缩 变形的抵抗能力。
是泊松系数，描写材料横向收缩或膨胀
第二章 有限元分析的力学基础
本章主要内容
2.1弹性力学同有限元分析的关系 2.2弹性体的基本假设 2.3弹性力学的基本变量 2.4平面问题的基本力学方程 2.5空间问题的基本力学方程 2.6弹性问题中的能量表达 2.7两大类平面问题
本章要点
变形体的三大类基本变量 变形体的三大类基本方程及两类边界条件 弹性问题中的能量表示 平面应力、平面应变、刚体位移的特征及表达 应力及应变的分解
体所有各点的位移都远小于物体的原有尺寸，因而应变和转角都 远小于1，这样，在考虑物体变形以后的平衡状态时，可以用变形 前的尺寸来代替变形后的尺寸，而不致有显著的误差；并且，在 考虑物体的变形时，应变和转角的平方项或乘积项都可以略去不 计，这就使得弹性力学中的微分方程都成为线性方程。
2.3弹性力学基本变量
2.1弹性力学同有限元分析的关系
弹性力学：弹性力学也称弹性理论，主要研究弹性体在 外力作用或温度变化等外界因素下所产生的应力、应变 和位移，从而解决结构或机械设计中所提出的强度和刚 度问题。
是固体力学的重要分支，它研究弹性物体在外力和其它 外界因素作用下产生的变形和内力。
研究对象：包括杆状构件在内的各种形状的弹性体。 弹性力学基本规律：变形连续规律、应力-应变关系和
平衡方程
X方向负面 X方向正面 Y方向负面 Y方向正面 Z方向负面 Z方向正面
xx
+
xx
x
dx
yx
+
yx
x
dx
zx
+
zx
x
dx
xy
xy
y
dy
yy
yy
y
dy
zy
zy
y
dy
xz
+
xz
z
dz
yz
+
yz
z
dz
zz
+
zz
z
dz
X方向力平衡
xx
+
xx
x
dx- x
2.3弹性力学基本变量
内力：应力 --外力(或温度)的作用 内力
设作用于 A上的内力为 ,则Q 内力的平均集度,即平均应力, 为 / Q A
lim Q S
A0 A
这个极限矢量S,就是物体在截面
mn上、P点的应力。
应力就是弹性体内某一点作用于某截面单位面积上的内力
2.3弹性力学基本变量
每一个面上的应力分解为一个 正应力和两个剪应力
经过弹性体内任一点P,沿X轴和Y轴的方向取两个微小长度的线段 PA=dx,PB=dy见图
tan
tan
x
x
y
y
Baidu Nhomakorabea
xy
x
y
xy
dx
v dx x u dx
u dy y dy v dy
u y
v x
x
y
变形协调条件 它的物理意义是：材料 在变形过程中应该是整 体连续的，不应该出现 “撕裂”和“重叠”现 象发生。
均匀性：也就是说整个物体是由同一种材料组成的。这样，
整个物体的所有各部分才具有相同的物理性质，因而物体的弹性 常 数(弹性模量和泊松系数)才不随位置座标而变。
2.2 弹性力学中关于材料性质的假定
各向同性：也就是说物体内每一点各个不同方向的物理性质
和机械性质都是相同的。
物体的变形是微小的：亦即当物体受力以后，整个物
运动(或平衡)规律，它们有时被称为弹性力学三大基本 规律。弹性力学中许多定理、公式和结论等，都可以从 三大基本规律推导出来。
2.1弹性力学同有限元分析的关系
弹性力学同材料力学的比较
1、研究内容：基本上没有什么区别。弹性力学也是研
究弹性体在外力作用下的平衡和运动，以及由此产生的 应力和变形。 2、研究的对象：材料力学基本上只研究杆、梁、柱、轴 等杆状构件，即长度远大于宽度和厚度的构件；弹性力 学虽然也研究杆状构件，但还研究材料力学无法研究的 板与壳及其它实体结构，即两个尺寸远大于第三个尺寸， 或三个尺寸相当的构件。
的改变 为了分析物体在其某一
点 P 的形变状态, 在这一 点沿着坐标轴x , y , z 的正 方向取三个微小的线段 PA, PB, PC。
2.3弹性力学基本变量
正应变——各线段的每单位长 度的伸缩,即单位伸缩或相对 伸缩。以伸长为正、缩短为负
x y z
剪应变——各线段之间的直角 的改变,用弧度表示。以直角 减小为正、增大为负。
几何边界条件
在S上弹性体的位移已知为 ,,即有: , ,
用矩阵形式表示是
在S上
弹性体V的全部边界为S,一部分边界上已知外力 Tx ,Ty ,Tz
称为力的边界条件，这部分边界用 S表示;另一部分边界上 弹性体的位移 ,已,知，称为几何边界条件与位移边界条 件，这部分边界用 表示S。 这两部分边界构成弹性体的全
x
y
xzy
x
y
z
xy
yz
zx
yz
zx
弹性体在载荷作用下，将产生位移和变形，即弹性体位置
的移动和形状的改变。弹性体内任一点的位移可由沿直角坐标
轴方向的3个位移分量 ,,来表示。它的矩阵形式是：
U
称作位移列阵或位移向量。
基本方程
受外部作用的任意形状变形体，在其微小体元dxdydz中，
x xy xz yx y yz zx zy z
一点的应力状态
x xy xz
yx
y yz
zx zy z
不同的坐标表示
x
xy
xz
ij yx y yz
zx
zy
z
应力张量
2.3弹性力学基本变量
应变和位移
应变——形状的改变（形变）——长度的改变和角度
横向形变和纵向形变之比为泊松系数：
1
边界条件
按照边界情况，弹性力学问题一般分为三类： ✓ 位移边界问题：在边界面上全部给定位移，即全部是 Su 边界 ✓ 应力边界问题：在边界面上全部给定表面力，即全部是应力 边界S。 这时，外力（包括体力和面力）应是平衡力系。
S
✓ 混合边界问题：既有Su 边界，又有应力边界。二者可以分 别在边界表面不同的区域上，或同一区域不同的方向上。
基于位移、应变和应力这三大类变量，可以建立以下三 大类方程 平衡方程：外力和内力之间的平衡关系 几何方程：描述的是位移和应变之间关系 物理方程：应力和应变之间的关系
2.4平面问题的基本力学方程
平衡方程：外力和内力之间的平衡关系 几何方程：描述的是位移和应变之间关系 物理方程：应力和应变之间的关系 边界条件：
yxdx 1
dy 2
0
上式两边除dxdy,可得:
xy yx
剪力互等关系
以X轴为投影轴,满足平衡方程: F 0
x
x x
dx
dy
1
x
dy
1
yx
yx y
dy dx 1
yxdx 1
fxdxdy1
0
上式两边除dxdy,可得:
x
x
yx
y
fx
0
同理
y
y
xy
x
fy
0
平面(二维)几何方程
的特性。
线应变（相对伸长或压缩）
绝对伸长（或压缩）与原长之比称为相对伸长（或压
缩）。公式：
l
l0
当 0时，为拉伸形变； 时0 ，为压缩形变，因而，
它很好地反映形变程度。如直杆拉伸压缩时，还产生横
向形变，则对应的应变(或形变)为：
1
b b0 b0
b b0
其中：设想直杆横截面是正方形每边长为b,0横向形变后为 。b
平面(二维)平衡方程
平面问题的静力学平衡,设微小正六面体,在X,Y方向的尺寸dx,dy,Z方向的尺 寸取一个单位长度.
MC 0
两个对面存在微小差量,通过中心点C,平行与Z轴的直线为轴,列出平衡方程 M c 0
xy
xy x
dx dy 1
dx 2
xydy 1
dx 2
yx
yx y
dx 1
dy 2
基本变量
2.3弹性力学基本变量
外力：指其他物体对研究对象（弹性体）的 作用力。可以分为体积力和表面力 1、表面力：是分布于物体表面的力，如静 水压力，一物体与另一物体之间的接触压力 等。 2、体力：是分布于物体体积内的外力，如 重力、磁力、惯性力等。
均为矢量。 弹性体受外力以后，其内部将产生应力（内力）
2.2 弹性力学中关于材料性质的假定
连续性：亦即物体整个体积内部被组成这种物体的介质填满，
不留任何空隙。这样，物体内的一些物理量，如应力、应变、位 移等等才可以用座标的连续函数来表示。
完全弹性：亦即当使物体产生变形的外力被除去以后，物体
能够完全恢复原形，而不留任何残余变形。这样，当温度不变时， 物 体在任一瞬时的形状完全决定于它在这一瞬时所受的外力 ，与 它过去的受力情况无关。服从虎克定律(应力应变成比例)
2.3弹性力学基本变量
位移与应变的关系
ui uio ijdxj wijdxj
位移
刚体 位移
应变 位移
刚体 转动
strain-displacement relations.（几何方程 柯西方程）
x
u x
,y
v y
,z
w z
xy
u y
v x
,
yz
v z
w y
,
zx
w x
u z
应力分量的矩阵表示称为应力列阵或应力向量。
部边界，即 :
S S S
作用在任意平面上该点的应力分量可以由下式表示为：
xxl yxm px xyl ym py
其中
l cos N, x,m cosN, y
2.5空间问题的基本力学方程
平衡方程：外力和内力之间的平衡关系 几何方程：描述的是位移和应变之间关系 物理方程：应力和应变之间的关系 边界条件：
方向为负 负面上的应力以沿坐标轴负方向为正，沿坐标轴正
方向为负
正应力以拉应力为正，压应力为负
2.3弹性力学基本变量
剪应力互等定律：作用在两个互相垂直的面上并且垂直于该两面交
线的剪应力是互等的。(大小相等，正负号也相同)。因此剪应力记号的两个 角码可以对调。
yz zy , zx xz xy yx
2.1弹性力学同有限元分析的关系
弹性力学同材料力学的比较 3、研究的方法：
相同点：静力学、几何学与物理学三方面进行研究； 不同点：材料力学：
对构件的整个截面建立分析方程，引用一些截面的变形状况 或应力情况的假设，因而得出的结果往往是近似的，不精确。
弹性力学： 对构件采用无限小单元体来建立分析方程的，因而无须引用 那些假设，分析的方法比较严密，得出的结论也比较精确。所以， 可以用弹性力学的解答来估计材料力学解答的精确程度，并确定 它们的适用范围。
xy yz zx
2.3弹性力学基本变量
位移——就是位置的移动。 物体内任意一点的位移,用它在x, y, z三轴上的投
影 ，u ，v 来w表示以正标向为正。
一般而论, 弹性体内任意一点的体力分量、面力分量、 应力分量、应变分量和位移分量,都是随着该点的位置
而变的, 因而都是位置坐标的函数。
u u(x, y, z) v v(x, y, z) w w(x, y, z)
化简得
yx
x
yy
y
+ yz
z
+f y
0
Z方向力平衡
zx +
zx
x
dx- zx
dydz
+
zy
zy
y
dy- zy
dxdz
zz +
zz
z
dz- x
dxdy
+ fzdxdydz 0
化简得
zx
x
zy