洛仑兹力作用下的匀速圆周运动求解方法
圆周运动问题分析
圆周运动问题分析【专题分析】圆周运动问题是高考中频繁考查的一种题型，这种运动形式涉及到了受力分析、牛顿运动定律、天体运动、能量关系、电场、磁场等知识，甚至连原子核的衰变也可以与圆周运动结合（衰变后在磁场中做圆周运动）。
可见，圆周运动一直受到命题人员的厚爱是有一定原因的。
不论圆周运动题目到底和什么知识相联系，我们都可以把它们分为匀速圆周运动和变速圆周运动两种。
同时，也可以把常用的解题方法归结为两条。
1、匀速圆周运动匀速圆周运动的规律非常简单，就是物体受到的合外力提供向心力。
只要受力分析找到合外力，再写出向心力的表达式就可解决问题。
2、竖直面内的非匀速圆周运动物理情景：在重力作用下做变速运动，最高点速度最小，最低点速度最大，所以最高点不容易通过。
特点：在最高点和最低点都满足“合外力等于向心力”， 其他位置满足“半径方向的合外力等于向心力”， 整个过程中机械能守恒。
注意：上面所述“半径方向的合外力等于向心力”实际上适用于一切情况。
另外，涉及的题目可能不仅仅是重力改变速率，可能还有电场力作用，此时，应能找出转动过程中的速率最大的位置和速率最小的位置。
基本解题方法：1、涉及受力，使用向心力方程；2、涉及速度，使用机械能守恒定律或动能定理。
【题型讲解】题型一 匀速圆周运动问题例题1：如图所示，两小球A 、B 在一漏斗形的光滑容器的内壁做匀速圆周运动，容器的中轴竖直，小球的运动平面为水平面，若两小球的质量相同，圆周半径关系为r A >r B ，则两小球运动过程中的线速度、角速度、周期以及向心力、支持力的关系如何？（只比较大小）解析：题目中两个小球都在做匀速圆周运动，其向心力由合外力提供，由受力分析可知，重力与支持力的合力提供向心力，如图3-2-2所示，由几何关系，两小球运动的向心力相等，所受支持力相等。
两小球圆周运动的向心力相等，半径关系为r A >r B ，由公式rvmF 2=向，可得v A >v B ； 由公式2ωmr F =向，可得ωA <ωB ； 由公式ωπ2=T ，可得T A >T B ；A B图3-2-1A B 图3-2-2［变式训练］如图3-3-3所示，三条长度不同的轻绳分别悬挂三个小球A 、B 、C ，轻绳的另一端都固定于天花板上的P 点。
带电粒子在匀强磁场中的匀速圆周运动
洛伦兹力提供向心力，使带电 粒子绕固定点做圆周运动。
运动过程中，带电粒子的速度 方向时刻改变，但速度大小保 持不变。
周期和半径公式
周期公式
$T = frac{2pi m}{qB}$，其中$m$是带电粒子的质量，$q$是带电粒子的电荷 量，$B$是匀强磁场的磁感应强度。
半径公式
$r = frac{mv}{qB}$，其中$v$是带电粒子运动的速度。
偏转方向和速度大小不变
偏转方向
带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运 动时，其偏转方向与磁场方向垂直。
速度大小不变
由于洛伦兹力始终与带电粒子的速度 方向垂直，因此洛伦兹力不做功，带 电粒子的速度大小保持不变。
04 带电粒子在磁场中的运动 规律
周期与速度的关系
总结词
带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动时，其周期与速度无关，即T=恒定值。
域。
核聚变反应
在高温高压条件下，带电粒子在匀 强磁场中高速旋转，可以引发核聚 变反应，为未来的清洁能源提供可 能。
磁流体发电
利用高温导电流体在匀强磁场中做 高速旋转运动，可以将机械能转化 为电能，具有高效、环保的优点。
对未来研究的展望
1 2 3
探索极端条件下的运动特性
随着实验技术的不断发展，未来可以进一步探索 带电粒子在更高温度、更高磁感应强度等极端条 件下的运动特性。
详细描述
带电粒子在匀强磁场中受到洛伦兹力作用，该力提供向心力使粒子做匀速圆周运 动。根据牛顿第二定律和向心力公式，粒子的周期T与速度v无关，只与磁场强度 B和粒子的质量m有关。
周期与磁场强度的关系
总结词
带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运 动时，其周期与磁场强度成正比。
详细描述
洛伦兹力问题及解题策略
祝同学们学习快乐！
练习1.电子质量为m电荷量为q,以速度v0与x轴成θ角射入磁感应强度为B 的匀强磁场中，最后落在x轴上的P点，如图所示，求: （1）的op长度; （2）电子由O点射入到落在P点所需的时间t.
【解析】带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，应根据已知条件首先确定 圆心的位置，画出运动轨迹.所求距离应和半径R相联系，所求时间应和粒子 转动的圆心角θ、周期T相联系.
(2)如图乙所示，图中P为入射点，M为 出射点，已知入射方向和出射点的位置时， 可以通过入射点作入射方向的垂线，连接 入射点和出射点，作其中垂线，这两条垂 线的交点就是圆弧轨道的圆心O。
2.半径、周期的计算：带电粒子垂直磁场方向射入磁场，只受洛伦兹 m v2 R
[解析] 当带电粒子带正电时，轨迹如图中OAC，对粒子，由于 洛伦兹力提供向心力，则
qv0B＝mRv20，R＝mqBv0， T＝2qπBm 故粒子在磁场中的运动时间 t1＝234600°°T＝43πqmB
粒子在 C 点离开磁场 OC＝2R·sin60°＝
3mv0 qB
故离开磁场的位置为(－ 3qmBv0，0) 当带电粒子带负电时，轨迹如图中 ODE 所示，同理求
解得 v1＝B4qmd.
设粒子刚好打在上极板右边缘时，
由图知：R22＝L2＋(R2－d2)2，所以 R2＝4L24＋d d2，
又 R2
＝
mv2，解得 Bq
v2＝Bq44Lm2＋d d2.
综上分析，要使粒子不打在极板上，
其入射速率应满足以下条件：
v<B4qmd或
Bq4L2＋d2 v2> 4md
答案：v<B4qmd或
磁场，离开磁场时速度方向偏转了60°角．试求：
带电粒子在磁场中做圆周运动的分析方法
带电粒子在磁场中做圆周运动的分析方法湖北省郧西县第二中学王兴青带电粒子在有界、无界磁场中的运动类试题在高考试题中出现的几率几乎为l00％，涉及临界状态的推断、轨迹图象的描绘等。
试题综合性强、分值大、类型多，能力要求高，有较强的选拔功能，故平时学习时应注意思路和方法的总结。
解答此类问题的基本规律是“四找”：找圆心、找半径、找周期或时间、找几何关系。
一、知识点：若v⊥B，带电粒子在垂直于磁感线的平面内以入射速度v做匀速圆周运动，如右图所示。
1、轨道半径带电粒子在磁场中受到的洛伦兹力: F=qvB粒子做匀速圆周运动的向心力:v2F向=mrv2粒子受到的洛伦兹力提供向心力: qvB=mrm v所以轨道半径公式: r=Bq带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的半径跟粒子的运动速率成正比．速率越大．轨道半径也越大．2、周期由r=Bqm v 和T=v r π2得：T= qB m π2 带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的周期T 跟轨道半径r 和运动速度v 无关．二、带电粒子在磁场中做圆周运动的分析方法1、圆心的确定带电粒子进入一个有界磁场后的轨道是一段圆弧，如何确定圆心是解决问题的前提，也是解题的关键。
首先，应有一个最基本的思路：即圆心一定在与速度方向垂直的直线上。
在实际问题中圆心位置的确定极为重要，通常有四种情况：(1)已知入射方向和出射方向，通过入射点和出射点分别作垂直于入射方向和出射方向的直线，两条直线的交点就是圆弧轨道的圆心(如图l 所示，图中P 为入射点，M 为出射点)(2)已知入射方向和出射点的位置时，可以通过入射点作入射方向的垂线，连接入射点和出射点，作其中垂线，这两条垂线的交点就是圆弧轨道的圆心(如图2所示，P为入射点，M 为出射点)。
(3)两条弦的中垂线：如图3所示，带电粒子在匀强磁场中分别经过0、A 、B 三点时，其圆心O ’在OA 、OB 的中垂线的交点上. (4)已知入射点、入射方向和圆周的一条切线：如图4所示，过入射点A 做v 垂线A0．延长v 线与切线CD 交于C 点，做∠ACD 的角平分线交A0于0点，0点即为圆心，求解临界问题常用。
安培力和洛伦兹力经典教案
金牌教练助力一生学科教师辅导教案中小学1对1课外辅导专家优学教育学科教师辅导教案讲义编号lch—tzy002学员编号：年级：高二课时数：1学员姓名：田振宇辅导科目：物理学科教师：李晨辉课题安培力、洛伦兹力授课日期及时段2012-12教学目的1.掌握安培力做功的解题思路2.掌握电荷在磁场中做圆周运动的解题思路3.了解电荷在复合场中的运动教学内容一1、安培力、安培力作用下的物体平衡：（1）有安培力参与的物体平衡，此平衡与前面所讲的物体平衡一样，也是利用物体平等条件解题，其中安培力是众多受力中的一个。
（2）与闭合电路欧姆定律相结合的题目。
主要应用：①全电路欧姆定律；②安培力求解公式F＝BIL；③物体平衡条件。
（3）在安培力作用下的物体平衡的解题步骤和前面我们学习的共点力平衡相似，一般也是先进行受力分析，再根据共点力平衡的条件列出平衡方程。
其中重要的是在受力分析过程中不要漏掉了安培力。
安培力作为通电导线所受的外力参与受力分析，产生了通电导体在磁场中的平衡、加速及做功问题，这类问题与力学知识联系很紧，解题时，把安培力等同于重力、弹力、摩擦力等性质力例1如图7，在匀强磁场中放有下列各种形状的通电导线，电流强度为I，磁感应强度为B，求各导线所受到的安培力。
中小学1对1课外辅导专家例2.如右图所示，通电直导线ab质量为m、长为l水平地放置在倾角为的光滑斜面下，通过图示方向的电流，电流强度为I，要求导线ab静止在斜面上。
（1）若磁场的方向竖直向上，则磁感应强度为多大？（2）若要求磁感应强度最小，则磁感应强度如何？例3一根通有电流I的直铜棒用软导线挂在如图4所示匀强磁场中，此时悬线中的张力大于零而小于铜棒的重力．欲使悬线中拉力为零，可采用的方法有A．适当增大电流，方向不变B．适当减小电流，并使它反向C．电流大小、方向不变，适当增强磁场D．使原电流反向，并适当减弱磁场例4如图所示，两平行金属导轨间的距离L=0.40 m，金属导轨所在的平面与水平面夹角θ=37°，在导轨所在平面内，分布着磁感应强度B=0.50 T、方向垂直于导轨所在平面的匀强磁场．金属导轨的一端接有电动势E=4.5 V、内阻r=0.50 Ω的直流电源．现把一个质量m=0.040 kg的导体棒ab放在金属导轨上，导体棒恰好静止．导体棒与金属导轨垂直、且接触良好，导体棒与金属导轨接图14触的两点间的电阻R0＝2.5 Ω,金属导轨电阻不计，g取10 m/s2．已知sin 37°=0.60，cos 37°=0.80，求：（1）通过导体棒的电流；（2）导体棒受到的安培力大小；（3）导体棒受到的摩擦力二、洛仑兹力：磁场对运动电荷的作用力——洛伦兹力电荷的定向移动形成电流，磁场对电流的作用力是对运动电荷作用力的宏观表现。
大学物理八九章部分习题解答
第8章 磁场8-10一均匀密绕直螺线管的半径为 ，单位长度上有 匝线圈，每匝线圈中的电流为 ，用毕奥—萨伐尔定律求此螺线管轴线上的磁场。
分析：由于线圈密绕，因此可以近似地把螺线管看成一系列圆电流的紧密排列，且每一匝圆电流在轴线上任一点的磁场均沿轴向。
解： 取通过螺线管的轴线并与电流形成右旋的方向（即磁场的方向）为x 轴正向，如习题8-10图解（a ）所示。
在螺线管上任取一段微元dx ，则通过它的电流为dI nIdx =，把它看成一个圆线圈，它在轴线上O 点产生的磁感应强度dB 为2022322()R nIdxdB R x μ=+ 由叠加原理可得，整个螺线管在O 点产生的磁感应强度B 的大小为212022322()x Lx R nIdxB dB R x μ==+⎰⎰0212212221221[]2()()nIx x R x R x μ=-++ 由图可知12122212221212cos os ()()x x R x R x ββ==++ c ，代入上式并整理可得 021(cos cos )2nIB μββ=-式中12ββ和分别为x 轴正向与从O 点引向螺线管两端的矢径r 之间的夹角。
讨论：（1）若螺线管的长度远远大于其直径，即螺线管可视为无限长时，20β=，1βπ=，则有nI B 0μ=上式说明，无限长密绕长直螺线管内部轴线上各点磁感应强度为常矢量。
理论和实验均证明：在整个无限长螺线管内部空间里，上述结论也适用。
即无限长螺线管内部空间里的磁场为均匀磁场，其磁感应强度B 的大小为0nI μ，方向与轴线平行；（2）若点O 位于半无限长载流螺线管一端，即12πβ=，20β＝或12πβ=，2βπ＝时，无论哪一种情况均有nI B 021μ=------(8-19) 可见半无限长螺线管端面中心轴线上磁感应强度的大小为管内的一半；综上所述，密绕长直螺线管轴线上各处磁感应强度分布见习题8-10图解（b ）所示，从图中也可看出，长直螺线管内中部的磁场可以看成是均匀的。
洛伦兹力问题及解题策略
判断洛伦兹力的方向可以使用左 手定则，即伸开左手，让大拇指 与四指在同一平面内且互相垂直， 将磁感应强度穿过掌心，四指指 向正电荷的运动方向，大拇指所 指方向即为洛伦兹力的方向。
在解决洛伦兹力问题时，需要对 带电粒子进行受力分析，特别是 分析洛伦兹力的方向和大小，以 便进一步求解问题。
03 解题策略
2
在解题过程中，应注意逻辑的严密性和物理量的 单位统一，避免出现计算错误和单位不统一的情 况。
3
在解题过程中，应注意对题目中的隐含条件进行 挖掘和分析，如磁场方向、粒子的电性等。
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洛伦兹力公式F=qvB只在非匀 强磁场中成立，在匀强磁场中，
洛伦兹力应为F=qvBsinθ。
当带电粒子在磁场中做匀速 圆周运动时，洛伦兹力提供
向心力，即F=mv²/r。
在处理带电粒子在磁场中的运 动问题时，应先分析粒子的受 力情况，再根据牛顿第二定律
列方程求解。
注意解题的逻辑性和严密性
1
在解题过程中，应先明确已知条件和待求量，再 根据物理规律建立方程，最后求解方程得出结果。
洛伦兹力的大小和方向
洛伦兹力的大小公式为：F=qvBsinθ，其中q为粒子电量，v为粒子速度，B为磁感应强度，θ为粒子运动方向与磁场方向的夹角。
洛伦兹力的方向由左手定则确定，伸开左手，让大拇指与其余四指垂直，将左手放入磁场中，让磁感线垂直穿过手心，四指 指向粒子的运动方向，则大拇指所指方向即为洛伦兹力的方向。
05 解题技巧与注意事项
掌握洛伦兹力的基本性质
01
洛伦兹力始终垂直于运动方向，不会改变速度的大小，只改变 速度的方向。
02
洛伦兹力的大小与磁感应强度、电荷量以及速度大小有关，方
洛伦兹力边界以及动态圆
带电粒子在匀强磁场中的运动1．两种方法定圆心方法一：已知入射点、入射方向和出射点、出射方向时，可通过入射点和出射点作垂直于入射方向和出射方向的直线，两条直线的交点就是圆弧轨道的圆心(如图甲所示)。
方法二：已知入射方向和入射点、出射点的位置时，可以通过入射点作入射方向的垂线，连接入射点和出射点，作其中垂线，这两条垂线的交点就是圆弧轨道的圆心(如图乙所示)。
2．几何知识求半径利用平面几何关系，求出轨迹圆的可能半径(或圆心角)，求解时注意以下几个重要的几何特点：(1)粒子速度的偏向角(φ)等于圆心角(α)，并等于AB 弦与切线的夹角(弦切角θ)的2倍(如图所示)，即φ＝α＝2θ＝ωt 。
(2)直角三角形的应用(勾股定理)。
找到AB 的中点C ，连接OC ，则△AOC 、△BOC 都是直角三角形。
3．两个观点算时间观点一：由运动弧长计算，t ＝lv (l 为弧长)； 观点二：由旋转角度计算，t ＝α360°T ⎝⎛⎭⎫或t ＝α2πT 。
4．三类边界磁场中的轨迹特点 (1)直线边界：进出磁场具有对称性。
(2)平行边界：存在临界条件。
(3)圆形边界：等角进出，沿径向射入必沿径向射出。
类型(一)直线边界问题[例1](多选)如图所示，一单边有界磁场的边界上有一粒子源，以与水平方向成θ角的不同速率，向磁场中射入两个相同的粒子1和2，粒子1经磁场偏转后从边界上A点出磁场，粒子2经磁场偏转后从边界上B点出磁场，OA＝AB，则()A．粒子1与粒子2的速度之比为1∶2B．粒子1与粒子2的速度之比为1∶4C．粒子1与粒子2在磁场中运动的时间之比为1∶1D．粒子1与粒子2在磁场中运动的时间之比为1∶2[解析]粒子进入磁场时速度的垂线与OA的垂直平分线的交点为粒子1在磁场中做圆周运动的圆心，同理，粒子进入磁场时速度的垂线与OB的垂直平分线的交点为粒子2在磁场中做圆周运动的圆心，由几何关系可知，两个粒子在磁场中做圆周运动的半径之比为r1∶r2＝1∶2，由r＝m vqB可知，粒子1与粒子2的速度之比为1∶2，A项正确，B项错误；由于粒子在磁场中做圆周运动的周期均为T＝2πmqB，且两粒子在磁场中做圆周运动的轨迹所对的圆心角相同，因此粒子在磁场中运动的时间相同，即C项正确，D项错误。
带电粒子(带电体)在复合场中的运动问题(原卷版)-2023年高考物理压轴题专项训练(新高考专用)
压轴题06 带电粒子（带电体）在复合场中的运动问题目录一，考向分析 (1)二．题型及要领归纳 (1)热点题型一 带电粒子在有界匀强磁场中做匀速圆周运动 (1)热点题型二 借助分立场区考查磁偏转+电偏转问题 (4)热点题型三 利用粒子加速器考电加速磁偏转问题 (7)热点题型四 带电粒子(带电体)在叠加场作用下的运动 (9)三．压轴题速练 (10)一，考向分析1.本专题是磁场、力学、电场等知识的综合应用，高考往往以计算压轴题的形式出现。
2.学习本专题，可以培养同学们的审题能力、推理能力和规范表达能力。
针对性的专题训练，可以提高同学们解决难题、压轴题的信心。
3.复杂的物理问题一定是需要在定性的分析和思考后进行定量运算的，而最终能否解决问题，数理思维能力起着关键作用。
物理教学中有意识地培养学生的数理思维，对学生科学思维的形成具有重要作用。
带电粒子在磁场中的运动正是对学生数理思维的培养与考查的主要问题。
解决本专题的核心要点需要学生熟练掌握下列方法与技巧4.粒子运动的综合型试题大致有两类，一是粒子依次进入不同的有界场区,二是粒子进入复合场与组合场区。
其运动形式有匀变速直线运动、类抛体运动与匀速圆周运动。
涉及受力与运动分析、临界状态分析、运动的合成与分解以及相关的数学知识等。
问题的特征是有些隐含条件需要通过一些几何知识获得,对数学能力的要求较高。
二．题型及要领归纳热点题型一 带电粒子在有界匀强磁场中做匀速圆周运动一．带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的解题方法(1)带电粒子在匀强磁场中运动时，要抓住洛伦兹力提供向心力，即：qvB ＝mv 2R 得R ＝mv Bq，T ＝2πm qB ，运动时间公式t ＝θ2πT ，粒子在磁场中的运动半径和速度有关，运动周期和速度无关，画轨迹，定圆心，找半径，结合几何知识分析解题．(2)如果磁场是圆形有界磁场，在找几何关系时要尤其注意带电粒子在匀强磁场中的“四点、六线、三角”．①四点：入射点B、出射点C、轨迹圆心A、入射速度直线与出射速度直线的交点O.①六线：圆弧两端点所在的轨迹半径r、入射速度直线OB和出射速度直线OC、入射点与出射点的连线BC、圆心与两条速度垂线交点的连线AO.①三角：速度偏转角①COD、圆心角①BAC、弦切角①OBC，其中偏转角等于圆心角，也等于弦切角的两倍．二．带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的思维线索【例1】（2023春·江苏扬州·高三统考期中）如图所示，垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感【例2】（2023春·江苏泰州·高三统考阶段练习）原子核衰变时放出肉眼看不见的射线。
(完整版)带电粒子在匀强磁场中的运动专题
带电粒子在匀强磁场中的运动专题一、带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的程序解题法——三步法1．画轨迹：即画出轨迹，确定圆心，用几何方法求半径。
2．找联系：轨道半径与磁感应强度、运动速度相联系，偏转角度与圆心角、运动时间相联系，在磁场中运动的时间与周期相联系。
3．用规律：即用牛顿第二定律和圆周运动的规律，特别是周期公式、半径公式。
例题1、如图所示，圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，一个带电粒子以速度v从A点沿直径AOB方向射入磁场，经过Δt时间从C点射出磁场，OC与OB成60°角。
现将带电粒子的速度变为v/3，仍从A点沿原方向射入磁场，不计重力，则粒子在磁场中的运动时间变为( )A.12Δt B．2Δt C.13Δt D．3Δt例题2、如图，虚线OL与y轴的夹角θ＝60°，在此角范围内有垂直于xOy平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。
一质量为m、电荷量为q(q>0)的粒子从左侧平行于x轴射入磁场，入射点为M。
粒子在磁场中运动的轨道半径为R，粒子离开磁场后的运动轨迹与x轴交于P点(图中未画出)，且OP＝R。
不计重力。
求M点到O点的距离和粒子在磁场中运动的时间。
二、带电粒子在磁场中运动的多解问题1．带电粒子电性不确定形成多解受洛伦兹力作用的带电粒子，可能带正电，也可能带负电，在相同的初速度的条件下，正、负粒子在磁场中运动轨迹不同，形成多解。
如图甲所示，带电粒子以速率v垂直进入匀强磁场，如带正电，其轨迹为a，如带负电，其轨迹为b。
2．磁场方向不确定形成多解有些题目只告诉了磁感应强度的大小，而未具体指出磁感应强度的方向，此时必须要考虑磁感应强度方向不确定而形成的多解。
如图乙所示，带正电粒子以速率v垂直进入匀强磁场，如B垂直纸面向里，其轨迹为a，如B垂直纸面向外，其轨迹为b。
3．临界状态不唯一形成多解带电粒子在洛伦兹力作用下飞越有界磁场时，由于粒子运动轨迹是圆弧状，因此，它可能穿过去了，也可能转过180°从入射界面这边反向飞出，如图甲所示，于是形成了多解。
洛伦兹力的应用
qvB=mv2/R
B
因粒子经O点时的速度垂直于OP ．
故OP 是直径，l=2R
由此得 q/m=2v／Bl
MP l
v ON
三、高能物理研究重要装置——加速器
应用实例流程图:
低速轻核
高速轻核
重核
新核 中子
镍核 钴核
γ
肿瘤 汽化
1．直线加速器 2．回旋加速器
（一）、直线加速器
由于BEPC成功建造和长期稳定运行，使高能所成为我国最有影响的 加速器科学和技术的研究基地，培养和锻炼了一支加速器科技队伍，具备 了开展加速器理论和技术研究所需要的基本计算和实验条件和设备，为今 后加速器技术的发展打下了良好的基础。
数越多，可见加速电压的高低只影响带电粒子加速的总次 数，并不影响引出时的速度和相应的动能，由
Em
q2B2R2 2m
可知，增强B和增大R可提高加速粒子的最终能量，与
加速电压高低无关．
小结：
回旋加速器利用两D形盒窄缝间的电场使带电粒 子加速，利用D形盒内的磁场使带电粒子偏转，带
电粒子所能获得的最终能量与B和R有关，与U无 关．
（二）、回旋加速器
1.1932年美国物理学家劳伦斯发明了回旋加速器， 实现了在较小的空间范围内进行多级加速．
2.工作原理：利用电场对带电粒子的加速作用和 磁场对运动电荷的偏转作用来获得高能粒子，这
些过程在回旋加速器的核心部件——两个D形盒
和其间的窄缝内完成。
1931年，加利福尼亚大学的劳伦斯斯提出了一个卓越的思想，
就需要磁场了。因为磁场对携带电荷的运动粒子存在洛伦兹力，只要调
节产生洛伦兹力的磁场的强弱和方向，就可以控制带电粒子的运动方向。
洛伦兹力问题及解题策略知识讲解
解：(1)由左手定则可知，正
粒子在匀强磁场中应向 P 点
上方偏，轨迹如右图
(2)由 r＝
mv qB
得
r＝0.2
m
由T＝
2πm qB
得T＝0.126 s.
例3. 如图所示，一束电荷量为e的电子以垂直于磁场方向(磁感应强度为B)并 垂直于磁场边界的速度v射入宽度为d的磁场中，穿出磁场时速度方向和原来 射入方向的夹角为θ＝30°.求电子穿越磁场轨迹的半径和运动的时间．
1、作出带电粒子在磁场中两个位置所受洛仑兹力，沿其方向延长线的交点确定 圆心，从而确定其运动轨迹。
2、作出带电粒子在磁场中某个位置所受洛仑兹力，沿其方向的延长线与圆周上 两点连线的中垂线的交点确定圆心，从而确定其运动轨迹。
3、①圆周上任意两点连线的中垂线过圆心 ②圆周上两条切线夹角的平分线过圆心 ③过切点作切线的垂线过圆心
v0
s
v
vy
例8.如图所示，空间分布着如图所示的匀强电场E（宽度为L）和匀强磁场B（两 部分磁场区域的磁感应强度大小相等，方向相反），一带电粒子电量为q，质量 为m（不计重力），从A点由静止释放，经电场加速后进入磁场穿过中间磁场进 入右边磁场后能按某一路径而返回A点，重复前述过程。求中间磁场的宽度d和 粒子的运动周期。
祝同学们学习快乐！
练习1.电子质量为m电荷量为q,以速度v0与x轴成θ角射入磁感应强度为B 的匀强磁场中，最后落在x轴上的P点，如图所示，求: （1）的op长度; （2）电子由O点射入到落在P点所需的时间t.
【解析】带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，应根据已知条件首先确定 圆心的位置，画出运动轨迹.所求距离应和半径R相联系，所求时间应和粒子 转动的圆心角θ、周期T相联系.
(完整版)洛伦兹力问题及解题策略
洛伦兹力问题及解题策略《磁场》一章是高中物理的重点内容之一．历年高考对本章知识的考查覆盖面大，几乎每个知识点都考查到，纵观历年高考试题不难发现，实际上单独考查磁场知识的题目很少，绝大多数试题的考查方式为磁场中的通电导线或带电的运动粒子在安培力或洛伦兹力作用下的运动，尤其以带电粒子在洛伦兹力作用下在匀强磁场中做匀速圆周运动的问题居多，侧重于知识应用方面的考查，且难度较大，对考生的空间想象能力及物理过程、运动规律的综合分析能力要求较高．从近十年高考物理对洛伦兹力问题的考查情况可知，近十年高考均涉及了洛伦兹力问题，并且1994年、1996年、1999年还以压轴题的形式出现，洛伦兹力问题的重要性由此可见一斑；自1998年以来，此类问题连续以计算题的形式出现，且分值居高不下，由此可见，洛伦兹力问题是高考命题的热点之一，可谓是高考的一道“大餐”．全国高考情况是这样，近年开始实施的春季高考及理科综合能力测试也是这样，甚至对此类问题有“一大一小”的现象，即一个计算题，同时还有一个选择题或填空题，故对洛伦兹力问题必须引起高度的重视．本文将对有关洛伦兹力问题的类型做一大致分类，并指出各类问题的求解策略．一、带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心、半径及周期1.圆心的确定：因为洛伦兹力指向圆心，根据F⊥v，只要画出粒子运动轨迹上的两点(一般是射入和射出磁场的两点)的洛伦兹力方向，沿两个洛伦兹力方向做其延长线，两延长线的交点即为圆心．2.半径和周期的计算：带电粒子垂直磁场方向射入磁场，只受洛伦兹力，将做匀速圆周运动，此时应有qvB=m，由此可求得粒子运动半径R=，周期T=2π m/qB，即粒子的运动周期与粒子的速率大小无关．这几个公式在解决洛伦兹力的问题时经常用到，必须熟练掌握．在实际问题中，半径的计算一般是利用几何知识，常用解三角形的知识(如勾股定理等)求解．[例1]长为L，间距也为L的两平行板间有垂直纸面向里的匀强磁场，如图1所示，磁感强度为B，今有质量为m、带电荷量为q的正离子，从平行板左端中点以平行于金属板的方向射入磁场，欲使离子恰从平行板右端飞出，入射离子的速度应为多少？解析应用上述方法易确定圆心O，则由几何知识有L2+(R-)2=R2又离子射入磁场后，受洛伦兹力作用而做匀速圆周运动，且有qvB=m由以上二式联立解得v=5qBL/4m．[例2]如图2所示，abcd是一个正方形的盒子，在cd边的中点有一小孔e，盒子中存在着沿ad方向的匀强电场，场强大小为E．一粒子源不断地从a处的小孔沿ab方向向盒内发射相同的带电粒子，粒子的初速度为v0，经电场作用后恰好从e处的小孔射出，现撤去电场，在盒子中加一方向垂直于纸面的匀强磁场，磁感应强度大小为B(图中未画出)，粒子仍恰好从e孔射出．(带电粒子的重力和粒子之间的相互作用力均可忽略)(1)判断所加的磁场方向；(2)求分别加电场和磁场时，粒子从e孔射出时的速率；(3)求电场强度E与磁感应强度B的比值．解析(1)根据粒子在电场中的偏转方向，可知粒子带正电，根据左手定则判断，磁场方向垂直纸面向外．(2)设带电粒子的电荷量为q，质量为m，盒子的边长为L，粒子在电场中沿ad方向的位移为L，沿ab方向的位移为，在电场中，有L=，=v0t 由动能定理EqL=mv2-mv02由以上各式解得E=，v=v0．在电场中粒子从e孔射出的速度为v0，在磁场中，由于粒子做匀速圆周运动，所以从e孔中射出的速度为v0．(3)带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，在磁场中v=v0，轨道半径为R，根据牛顿第二定律得qvB=m，解出R=又根据图3所示的几何关系，应有(L-R)2+()2=R2解得轨道半径为R=L故得磁场的磁感应强度B=因此=5v0．二、带电粒子在磁场中的运动时间带电粒子在磁场中做圆周运动，利用圆心角与弦切角的关系，只要设法求出运动轨迹的圆心角大小，由t=T或者t=T即可求出．[例3]一束电子以速度v垂直射入宽为d的匀强磁场B中，穿出磁场时速度方向发生了60°的偏转，求电子穿出磁场所用的时间．解析由几何关系，易求得本题电子在磁场中运动时的圆心角为60°，而非120°，则由图4，得r=而电子在磁场中运动时满足evB=m故可得电子穿出磁场所用时间为t=．[例4]如图5所示一个质量为m电荷量为q的粒子从A孔以速度v0垂直AO进入磁感应强度为B的匀强磁场并恰好从C孔垂直于OC射入匀强电场中，已知电场方向跟OC平行，OC⊥AD，OD=2OC，粒子最后打在D点(不计粒子重力)．求：(1)粒子从A点运动到D点所需的时间t；(2)粒子抵达D点的动能E k．解析(1)由题意可知，带电粒子在磁场中运动了1/4圆周进入电场，则R=OC=OD/2，这时有qv0B=m即R=而t B=T/4=进入电场后，做类平抛运动，到达D点时，用时t E=故粒子从A点运动到D点所需的时间t=t B+t E=m．(2)带电粒子在磁场中运动时洛伦兹力与速度方向垂直，因而不做功．而在电场中运动时电场力要做功，即在整个运动过程中只有电场力做功，所以可用动能定理求解．即有qER=E k-mv02又在电场中OC=()2==R即E=Bv0/2故粒子抵达D点的动能E k=mv02+qER=mv02．三、范围类问题所谓范围类问题，即问题所示的答案属于某一范围，如粒子运动速度的范围、磁场磁感强度的范围及带电粒子荷质比的范围等．在解这类问题时要谨慎考虑限制条件，避免解答的片面性．[例5]如图6所示，在铅板AB上有一个放射源S，可向各个方向射出速率v=2.04×107m/s的β射线．CD为荧光屏(足够大)，AB、CD间距d=10cm，其中存在磁感应强度B=6.0×10-4T的匀强磁场，方向垂直纸面向里．已知β粒子的荷质比e/m=1.7×1011C/kg，试求这时在竖直方向上能观察到荧光屏亮斑区的长度．解析粒子进入匀强磁场后，满足qv0B=m，则R==0.2m由于β粒子可向各个方向射出，容易看出向上方射出的β粒子及向右方射出的β粒子打在荧光屏上的位置P、Q之间即为亮斑区，这是求解本题之关键．由图7知PO=OQ，故在竖直方向上能观察到荧光屏亮斑区的长度为PQ=2PO=2=0.2≈0.35m．四、复合场问题所谓复合场，即重力、电场力、洛伦兹力共存或洛伦兹力与电场力同时存在等．当带电粒子所受合外力为零时，所处状态是匀速直线运动或静止状态，当带电粒子所受合力只充当向心力时，粒子做匀速圆周运动，当带电粒子所受合力变化且速度方向不在同一直线上时，粒子做非匀变速曲线运动．[例6]在某空间同时存在着互相正交的匀强电场和匀强磁场，电场的方向竖直向下，如图8，一带电体A带负电，电荷量为q1，恰能静止于此空间的a点；另一带电体B也带负电，电荷量为q2，正在过a点的竖直平面内做半径为r的匀速圆周运动，结果A、B在a外碰撞并粘合在一起，试分析其后的运动情况．[解析]设A、B的质量分别为m1、m2，B的速率为v，对电荷A q1E=m1g对电荷B q2E=m2g，且Bq2v=m2二者碰撞时系统动量守恒，有m2v=(m1+m2)v′, 且此时总电荷量为q1+q2，总质量为m1+m2, 显然仍有(q1+q2)E=(m1+m2)g故它们将以速率v′在竖直平面内做匀速圆周运动，并且有(q1+q2)v′B=(m1+m2)由以上方程，可得R=q2r/(q1+q2)，此即碰撞后二者共同的运动半径．[例7]有一电子束穿过具有匀强电场和匀强磁场的空间区域，该区域的电场强度和磁感强度分别为E和B，如图9所示．(1)如果电子束的速度为v0，要使电子束穿过上述空间区域不发生偏转，电场和磁场应满足什么条件？(2)如果撤去磁场，电场区域的长度为l，电场强度的方向和电子束初速度方向垂直，电场区域边缘离屏之间的距离为d，要使电子束在屏上偏移距离为y，所需加速电压为多大？解析(1)要使电子不发生偏转，则应有电场力与洛伦兹力相等，即eE=ev0B，则E=v0B．(2)电子在电场中向上偏转量s=t2，且tanθ==，而在加速电场中，有eU=mv02，且l=v0t，又偏移距离y=s+dtanθ，解以上方程得U=．五、带电粒子在电磁场中的动态运动问题顾名思义，在处理带电粒子或带电物体，在电磁场中的动态问题时，要正确进行物体的运动状况分析，找出物体的速度、位置及其变化，分清运动过程，注意正确分析其受力，此乃求解之关键．[例8] 如图10所示，套在很长的绝缘直棒上的小球，其质量为m，带电荷量为＋q，小球可在棒上滑动，将此棒竖直放在互相垂直且沿水平方向的匀强电场和匀强磁场中，电场强度是E，磁感强度是B，小球与棒的动摩擦因数为μ，求小球由静止沿棒下落的最大加速度和最大速度．(设小球带电荷量不变) 解析小球的受力情况如图10所示，且有N=qE+qvB因而F合=mg-μ(qE+qvB)，显然随着v的增大，F合减小，其加速度也减小，即小球做加速度减小的变加速度运动，当a=0时，速度达最大值，故可解得v=0时，a m==g-a=0时，即mg-μ(qE+qvB)=0时，v m=．六、极值问题求极值是物理学中的一类重要问题，可以通过对物理过程准确分析反映学生分析问题的能力，一般地首先要建立合理的物理模型，再根据物理规律确定极端情况而求极值，此即所谓的物理方法求极值．当然根据需要也可以采用其他方法如几何方法、三角方法、代数方法等．[例9]如图11所示，真空的狭长的区域内有宽度为d，磁感强度为B的匀强磁场，质量为m、电荷量为q的带负电的粒子，从边界AB垂直磁场方向以一定的速率v射入磁场，并能从磁场边界CD穿出磁场，则粒子入射速度跟边界AB成角θ=_________时，粒子在磁场中运动时间最短．(不计重力，结果用反三角函数表示)解析带电粒子以一定的速率射入磁场时，其运动半径是一定的．当粒子在磁场中运动时间最短时，圆周的圆心角应最小，即对应的弧长(或弦长)也最短．显然，最短的弦长为磁场宽度d，由图12，则有cosθ=时，即R=，又qvB=m，则有R=，故cosθ=．因此，粒子入射速度跟边界AB成角θ=arccos时，粒子在磁场中运动时间最短．[例10]顶角为2θ的光滑圆锥置于方向竖直向下的匀强磁场中，小球质量为m，带电荷量为q，磁场的磁感强度为B，小球沿圆锥面做匀速圆周运动，则：(1)顺着磁场方向看，小球如何运动？(2)小球运动的最小半径是多少？[解析]小球此时受重力及弹力作用，要使小球能绕圆锥运动，当小球处于图13位置时还须受水平方向向右的洛伦兹力，由左手定则可判知小球由图示位置向外运动，即顺着磁场方向看，小球逆时针运动．在水平方向有qvB-Ncosθ=m在竖直方向有Nsinθ=mg故qvB-mgcotθ=m即mv2-qvBR+m gRcotθ=0当该方程有解时，则必有(qBR)2-4m2gRcotθ≥0解之得R≥4m2g/q2B2tanθ，因此小球运动的最小半径为R=4m2g/q2B2tanθ．七、洛伦兹力在实际中的应用电场可以对带电粒子有电场力的作用，而磁场对运动的带电粒子有洛伦兹力作用．当电场和磁场共同存在时，对带电粒子也会施加影响，这一知识在现代科学技术中有着广泛的应用．1.带电粒子在电场力和洛伦兹力同时作用下的运动主要有三种应用，即速度选择器、磁流体发电机和霍尔效应．2.带电粒子在电场力与洛伦兹力递次作用可交替作用下的运动也有三种应用，即电视显像管、质谱仪和回旋加速器．[例11]质谱仪是一种测定带电粒子质量和分析同位素的重要工具，它的构造原理如图14所示，离子源S产生的一个质量为m电荷量为q的正离子，离子产生时速度很小，可以看作是静止的，离子产生出来后经过电压U加速，进入磁感应强度为B的匀强磁场，沿着半圆周运动而达到记录它的照相底片P上，测得它在P上的位置到入口处S1的距离为x，则下列说法正确的是( )A.若某离子经上述装置后，测得它在P上的位置到入口处S1的距离大于x，则说明离子的质量一定变大；B.若某离子经上述装置后，测得它在P上的位置到入口处S1的距离大于x，则说明加速电压U一定变大C.若某离子经上述装置后，测得它在P上的位置到入口处S１的距离大于x，则说明磁感应强度B一定变大D.若某离子经上述装置后，测得它在P上的位置到入口处S1的距离大于x，则说明离子所带电荷量q可能变小解析离子加速时，有qU=，在匀强磁场中，做圆周运动，有qvB=m，而x=2R，由以上方程，得x2=，可见本题正确选项为D．[例12] 磁流体发电技术是一种目前世界上正在研究的新兴技术，它可以直接把内能转化为电能，同时具有效率高(可达45%～55%，火力发电效率为30%)，污染少等优点．其原理如图15所示，将一束等离子体(高温下电离的气体，含有大量带正电和带负电的微粒)以声速的0.8～2.5倍的速度喷射入磁场中，磁场中有两块金属板A、B，这时A、B上就积聚电荷产生电压，设粒子所带电荷量为q，进入磁场的喷射速度是v，磁场的磁感应强度为B，两块金属板的面积为S，AB间的距离为d．(1)该磁流体发电机的电动势有多大？(2)设磁流体发电机内阻为r，当外电阻R是多少时输出功率最大？并求最大输出功率．(3)为使等离子体以恒定速度v通过磁场必须使通道两端保持一定的压强差，压强差为多大？解析(1)磁流体发电机的电动势即为S断开时，电源两极板间的电势差，在洛伦兹力作用下，等离子体中的正、负电荷分别向上、下板偏转，使两极板间产生电势差，且电势差随着电荷在两极板上的积累而增大，当电荷不偏转时，两极板间电势差达到最大值．此时有qvB=qE=q，则U=Bdv．该磁流体发电机的电动势E=Bdv.(2)发电机的输出功率P=I2R=()2R==显然，当外电阻R=r时输出功率最大，且P m=．(3)当等离子体受到的洛伦兹力与等离子压力差相等时方可以恒定速度通过磁场，即有△p=又F=BId，I==解之得△p=．八、与力学的综合题这类问题是以洛伦兹力为载体，本质上可看作是力学题，故解题中在考虑洛伦兹力的前提下，可以利用解决力学问题的三大方法处理之，即动力学观点，包括牛顿三大定律和运动学规律；动量观点，包括动量定理和动量守恒定律；能量观点，包括动能定理和能量守恒定律．在上述方法中，应首选能量观点和动量观点，对多个物体组成的系统，优先考虑两大守恒定律．[例13]一小球质量为m，带负电，电荷量为q，由长l的绝缘丝线系住，置于匀强磁场中，丝线的另一端固定在A点，提高小球，使丝线拉直与竖直方向成60°角，如图16所示．调节磁场的磁感强度B0，释放小球，球能沿圆周运动，到最低点时，丝线的张力为零，且继续摆动，求：(1)摆球至最低点时的速度；(2)B0的值；(3)小球在摆动过程中丝线受的最大拉力．解析(1)小球在磁场中受到重力、弹力及洛伦兹力作用，但从释放到运动至最低点只有重力做功，由动能定理，则有mgl(1-cos60°)=mv2解之得v=．(2)在最低点时，洛伦兹力与重力的合力提供向心力，即有qvB0-mg=m，由以上二式，解得B0=．(3)由于小球运动方向的不同而使洛伦磁力方向改变，不难判断当小球从右边开始运动时，张力较大，且最低处张力最大，此时有T-qvB0-mg=m 解之得T=4mg．[例14]一带电液滴在互相垂直的匀强电场和匀强磁场中运动，已知E和B，若此液滴在垂直磁场的平面内做半径为R的匀速圆周运动，如图17所示．求：(1)液滴速度的大小，绕行方向；(2)液滴运动到轨道最低点A分裂为质量、电荷量都相等的两液滴，其中一个液滴仍在原运动平面内做半径R1=3R的匀速圆周运动，绕行方向不变，且这个圆周最低点仍为A，则另一个液滴如何运动？解析本题文字叙述较长，但只要理解题意，求解仍是较简单的．(1)据题意，应有qE=mg，由此可判断液滴带负电，且qvB=m，则v=BqR/m=BgR/E，方向为顺时针方向．(2)分裂后，有．则v1=3BqR/m=3BgR/E由动量守恒定律，则有mv=故v2=2v-v1=-BgR/E这说明，另一液滴做反方向的圆周运动，且半径不变．[例15]一个质量m，带有+q电荷量的小球，悬挂在长为L的细线上，放在匀强磁场中，其最大摆角为α，为使摆的周期不受磁场影响，磁感应强度B 应有何限制？解析由左手定则易判断：小球向左摆动时，所受洛伦兹力背离悬点，将使悬线张力增加，但不影响摆的周期，而向右摆动时，如B足够大，小球可能向悬点移动进而破坏其正常摆动．设小球处于图中的位置时摆球速度为v，当周期不受磁场影响时由机械能守恒定律，有=mgL(cosβ-cosα)据牛顿第二定律，有T+qvB-mgcosβ=m由以上二式可求得T=0时的B值，且B=，可见，T=0时B的取值与小球运动的速度v有关．由有关数学方法可以求得当时，B有最小值，即v=时，最小值B min=．这说明了当B=B min时，其他位置上悬线的张力均大于零，故使摆周期不受影响的磁感应强度应满足条件B min≤．[例16]如图19所示，在某一足够大的真空室中虚线PH的右侧是一磁感应强度为B，方向垂直纸面向里的匀强磁场，左侧是一场强为E，方向水平向左的匀强电场．在虚线PH上的一点O处有质量为M，电荷量为Q的镭核()．某时刻原来静止的镭核水平向右放出一个质量为m，电荷量为q的α粒子而衰变为氡核(Rn)，设α粒子与氡核分离后它们之间的作用力可忽略不计，涉及动量问题时，亏损的质量可不计．(1)写出镭核衰变为氡核的核反应方程；(2)经过一段时间α粒子刚好垂直到达虚线PH上的A点，测得OA＝L，求此刻氡核的速度．解析(1)根据核衰变的特点可知，镭核衰变为氡核时满足电荷数守恒和质量数守恒，故有．(2)镭核衰变时遵守动量守恒定律，则(M-m)v0=mvα粒子在匀强磁场做匀速圆周运动，在磁场中运动了圆周，则到达A点需时t=且有qvB=m，R=L/2而氡核在电场中做匀加速直线运动，t时刻速度v t=v0+at，同时满足牛顿第二定律，即(Q-q)E=(M-m)a，联立以上各式解得所求氡核速度为v t=.。
洛伦兹力的计算公式及其实际应用
洛伦兹力的计算公式及其实际应用1. 洛伦兹力的定义洛伦兹力（Lorentz force）是指在磁场中，运动电荷所受到的力。
它是由荷兰物理学家洛伦兹于1892年提出的。
洛伦兹力的计算公式可以描述电荷在磁场中的运动轨迹和受力大小，对于理解和应用电磁学具有重要意义。
2. 洛伦兹力的计算公式洛伦兹力的计算公式为：[ = q( ) ]•( ) 表示洛伦兹力，单位为牛顿（N）；•( q ) 表示电荷量，单位为库仑（C）；•( ) 表示电荷的速度，单位为米每秒（m/s）；•( ) 表示磁场强度，单位为特斯拉（T）；•( ) 表示向量叉乘。
3. 洛伦兹力的方向根据右手定则，当握住带电粒子运动方向的手，将大拇指指向电荷运动方向，四指弯曲的方向即为洛伦兹力的方向。
这个规律可以用来判断洛伦兹力的方向，对于实际应用具有指导意义。
4. 洛伦兹力的实际应用4.1 电动机电动机是洛伦兹力应用最为广泛的一种设备。
在电动机中，电流通过线圈产生磁场，线圈在洛伦兹力的作用下开始旋转，从而驱动电机工作。
电动机的效率和性能很大程度上取决于洛伦兹力的大小和方向。
4.2 发电机发电机原理也是基于洛伦兹力。
在发电机中，通过旋转磁场和线圈之间的相对运动，产生洛伦兹力，从而在线圈中产生电流。
发电机的输出电压和功率与洛伦兹力的大小有关。
4.3 电磁炉电磁炉是利用洛伦兹力加热食物的厨房电器。
在电磁炉中，电流通过线圈产生磁场，磁场与线圈中的洛伦兹力相互作用，使锅底产生热量。
电磁炉的加热效率和功率受到洛伦兹力大小的影响。
4.4 粒子加速器粒子加速器是研究微观物理的重要设备。
在粒子加速器中，带电粒子在磁场中加速，洛伦兹力使粒子沿着螺旋轨迹运动。
通过调整磁场强度和粒子速度，可以控制粒子的运动轨迹和能量。
4.5 磁悬浮列车磁悬浮列车（Maglev）是利用洛伦兹力实现悬浮和推进的交通运输工具。
在磁悬浮列车中，列车和轨道之间的磁场相互作用产生洛伦兹力，使列车悬浮在轨道上方，减小了摩擦力，提高了运行速度。
洛伦兹力做匀速圆周运动时的计算公式
洛伦兹力做匀速圆周运动时的计算公式咱先来说说洛伦兹力做匀速圆周运动时的计算公式，这可是物理学中的一个重要知识点。
同学们，你们想过没有，当一个带电粒子在磁场中运动时，为啥会做匀速圆周运动呢？这背后可藏着洛伦兹力的大秘密。
先给大家讲讲这个公式的形式：F = qvB。
这里的F 就是洛伦兹力，q 表示粒子的电荷量，v 是粒子的速度，B 是磁场的磁感应强度。
那这个公式到底咋用呢？我给大家举个例子。
有一次我在实验室里观察一个带电粒子的运动，那粒子就像个调皮的小精灵，在磁场里到处乱窜。
我就根据这个公式，计算它受到的洛伦兹力大小和方向。
结果发现，只要磁场强度和粒子的速度、电荷量确定了，洛伦兹力的大小就定下来了。
再来说说为啥带电粒子在洛伦兹力作用下会做匀速圆周运动。
想象一下，洛伦兹力总是跟粒子的运动方向垂直，这就意味着它只改变粒子的运动方向，不改变速度的大小。
就好像有个无形的手，一直推着粒子拐来拐去，但就是不让它加速或减速。
所以，粒子就只能乖乖地做匀速圆周运动啦。
咱们再深入点儿，来看看这个匀速圆周运动的半径和周期的计算公式。
半径 r = mv / (qB)，周期T = 2πm / (qB)。
这里的 m 是粒子的质量。
比如说，有一道题是这样的：一个电荷量为 q、质量为 m 的粒子，以速度 v 垂直进入磁感应强度为 B 的匀强磁场中，让我们求它做匀速圆周运动的半径和周期。
这时候，咱们就把上面的公式拿出来，把已知的数值代进去，就能算出答案啦。
我还记得有一次给学生们讲这部分内容，有个学生一脸困惑地问我：“老师，这洛伦兹力咋就这么神奇，能让粒子做这么规则的运动？”我就给他打了个比方，我说：“这洛伦兹力就像是个严格的舞蹈教练，粒子就是那跳舞的学生，教练只让学生按照规定的路线和节奏跳，不许乱套。
”这学生一听，恍然大悟，哈哈大笑起来。
其实啊，学习洛伦兹力做匀速圆周运动的计算公式，不仅仅是为了应对考试，更重要的是能让我们理解自然界中很多神奇的现象。
洛伦兹力的应用
一、直线加速器
＋
－ ＋
－
＋
－
＋
－
m q
·
U 一 级
U 二 级 U
… … U n 级
三 级
粒子获得的能量：E=nqU
思考：有人认为只要使加速电压提高到足够大，就可 以避免因多级加速而使直线加速器长度过长，这种设 想可行吗？
直线加速器可使粒子获得足够大的能 量.但占地面积太大，能否既让带电粒 子多次加速，获得较高能量，又尽可能 减少占地面积呢？
变化2：若初速度与边界成α =60 度角，则初速度有什么要求？
d
B
五：带电粒子在“圆形磁场区域”中的运动
例、圆心为O、半径为r的圆形区域 中有一个磁感强度为B、方向为垂直 于纸面向里的匀强磁场，与区域边 缘的最短距离为L的O’处有一竖直 放置的荧屏MN，今有一质量为m的电 A 子以速率v从左侧沿ＯＯ’方向垂直 射入磁场，越出磁场后打在荧光屏 上的P点，如图所示，求O’P的长度 和电子通过磁场所用的时间．
B
v
时间差为
4m t 3Bq
M
答案为射出点相距
O
N
2 mv s Be
关键是找圆心、找半径和用对称。
三：带电粒子在双边界磁场
例3：一束带电粒子电量为q，以速度V0垂直射入磁感应强 度为B，宽为d的匀强磁场中，穿出磁场时速度方向与电 子原来入射方向成θ角， 求(1)粒子的运动轨迹 (2)粒子运动的轨道半径 (3)粒子离开磁场电的速率 v0 e (4)粒子离开磁场时的偏转角θ (5)粒子在磁场中的运动时间t
B
小结： 1、两洛伦磁力的交点即圆心 2、偏向角：初末速度的夹角。 3、偏向角=圆心角
d
变化4：在上题中若电子的电量e，质量m，磁感应强 度B及宽度d已知，若要求电子不从右边界穿出，则初 速度V0有什么要求？ 小结：临界问题的分析方法 1、理解轨迹的变化（从小到大） 2、找临界状态：
(完整版)洛伦兹力问题及解题策略
洛伦兹力问题及解题策略《磁场》一章是高中物理的要点内容之一．历年高考对本章知识的考察覆盖面大，几乎每个知识点都考察到，纵观历年高考试题不难发现，实质上独自考察磁场知识的题目极少，绝大部分试题的考察方式为磁场中的通电导线或带电的运动粒子在安培力或洛伦兹力作用下的运动，特别以带电粒子在洛伦兹力作用下在匀强磁场中做匀速圆周运动的问题居多，重视于知识应用方面的考察，且难度较大，对考生的空间想象能力及物理过程、运动规律的综合剖析能力要求较高．从近十年高考物理对洛伦兹力问题的考察状况可知，近十年高考均波及了洛伦兹力问题，而且 1994 年、1996 年、1999 年还以压轴题的形式出现，洛伦兹力问题的重要性因而可知一斑；自 1998 年以来，此类问题连续以计算题的形式出现，且分值居高不下，因而可知，洛伦兹力问题是高考命题的热门之一，堪称是高考的一道“大餐”．全国高考状况是这样，最近几年开始实行的春天高考及理科综合能力测试也是这样，甚至对此类问题有“一大一小”的现象，即一个计算题，同时还有一个选择题或填空题，故对洛伦兹力问题一定惹起高度的重视．本文将对相关洛伦兹力问题的种类做一大概分类，并指出各种问题的求解策略．一、带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心、半径及周期1. 圆心确实定 ：因为洛伦兹力指向圆心，依据 F ⊥v ，只需画出粒子运动轨迹上的两点 ( 一般是射入和射出磁场的两点 ) 的洛伦兹力方向，沿两个洛伦兹力 方向做其延伸线，两延伸线的交点即为圆心．2. 半径和周期的计算 ：带电粒子垂直磁场方向射入磁场，只受洛伦兹力，将做匀速圆周运动，此时应有 qvB=m ，由此可求得粒子运动半径 R= ，周期T=2π m/qB ，即粒子的运动周期与粒子的速率大小没关．这几个公式在解决洛伦兹力的问题时常常用到，一定娴熟掌握．在实质问题中，半径的计算一般是利用几何知识，常用解三角形的知识 ( 如勾股定理等 ) 求解．[ 例 1] 长为 L ，间距也为 L 的两平行板间有垂直纸面向里的匀强磁场，如图 1 所示，磁感强度为 B ，今有质量为 m 、带电荷量为 q 的正离子，从平行板左 端中点以平行于金属板的方向射入磁场，欲使离子恰从平行板右端飞出，入射离子的速度应为多少？分析 应用上述方法易确立圆心 O ，则由几何知识有L 2+(R- ) 2+(R- )2= R 2 又离子射入磁场后，受洛伦兹力作用而做匀速圆周运动，且有 qvB=m由以上二式联立解得 v=5qBL/4m ．[ 例 2] 如图 2 所示，abcd 是一个正方形的盒子，在 cd 边的中点有一小孔e，盒子中存在着沿 ad 方向的匀强电场，场强盛小为 E．一粒子源不停地从 a 处的小孔沿 ab 方向向盒内发射同样的带电粒子，粒子的初速度为 v0，经电场作用后恰巧从 e 处的小孔射出，现撤去电场，在盒子中加一方向垂直于纸面的匀强磁场，磁感觉强度大小为 B(图中未画出 ) ，粒子仍恰巧从 e 孔射出． ( 带电粒子的重力和粒子之间的相互作使劲均可忽视 )(1) 判断所加的磁场方向；(2) 求分别加电场和磁场时，粒子从 e 孔射出时的速率；(3) 求电场强度 E与磁感觉强度 B的比值．分析 (1) 依据粒子在电场中的偏转方向，可知粒子带正电，依据左手定章判断，磁场方向垂直纸面向外．(2) 设带电粒子的电荷量为 q，质量为 m，盒子的边长为 L，粒子在电场中沿ad 方向的位移为 L，沿 ab 方向的位移为，在电场中，有 L= ， =v0t由动能定理 EqL= mv2- mv2由以上各式解得 E= ，v= v0．在电场中粒子从 e 孔射出的速度为 v0，在磁场中，因为粒子做匀速圆周运动，所以从 e 孔中射出的速度为 v0．(3) 带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，在磁场中 v=v0，轨道半径为 R，根据牛顿第二定律得qvB=m ，解出 R=又依据图 3 所示的几何关系，应有(L-R) 2+( ) 2= R2解得轨道半径为 R= L故得磁场的磁感觉强度 B=所以 =5v 0．二、带电粒子在磁场中的运动时间带电粒子在磁场中做圆周运动，利用圆心角与弦切角的关系，只需想法求出运动轨迹的圆心角大小，由 t= T 或许 t= T 即可求出．[ 例 3] 一束电子以速度 v 垂直射入宽为 d 的匀强磁场 B 中，穿出磁场时速度方向发生了 6 0°的偏转，求电子穿出磁场所用的时间．分析由几何关系，易求得此题电子在磁场中运动时的圆心角为 60°，而非 120°，则由图 4，得 r=而电子在磁场中运动时知足evB=m故可得电子穿出磁场所用时间为t= ．[ 例 4] 如图 5 所示一个质量为 m电荷量为 q 的粒子从 A 孔以速度 v 0 垂直AO进入磁感觉强度为 B的匀强磁场并恰巧从 C孔垂直于 OC射入匀强电场中，已知电场方向跟 OC平行，O C⊥A D，OD=2O，C粒子最后打在 D点( 不计粒子重力 ) ．求：(1) 粒子从 A点运动到 D点所需的时间 t ；(2) 粒子到达 D点的动能 E k．分析 (1) 由题意可知，带电粒子在磁场中运动了 1/4 圆周进入电场，则R=OC=OD，/2这时有 qv0B=m即 R=而 t B=T/4=进入电场后，做类平抛运动，到达 D点时，用时t E=故粒子从 A点运动到 D点所需的时间t=t B+t E= m．(2) 带电粒子在磁场中运动时洛伦兹力与速度方向垂直，因此不做功．而在电场中运动时电场力要做功，即在整个运动过程中只有电场力做功，所以可用动能定理求解．即有2qER=E k- mv又在电场中 OC= ( ) 2= =R即 E=Bv0/2故粒子到达 D点的动能 E k= mv2+qER=mv2．0 0三、范围类问题所谓范围类问题，即问题所示的答案属于某一范围，如粒子运动速度的范围、磁场磁感强度的范围及带电粒子荷质比的范围等．在解这种问题时要慎重考虑限制条件，防止解答的片面性．[ 例 5] 如图 6 所示，在铅板 AB上有一个放射源 S，可向各个方向射出速率×10 7m/s 的β射线．CD为荧光屏( 足够大) ，AB、CD间距 d=10cm，其中存在磁感觉强度×10 -4 T 的匀强磁场，方向垂直纸面向里．已知β粒子的荷质比×10 11C/kg，试求这时在竖直方向上能察看到荧光屏亮斑区的长度．分析粒子进入匀强磁场后，知足 qv0B=m ，则 R=因为β粒子可向各个方向射出，简单看出向上方射出的β粒子及向右方射出的β粒子打在荧光屏上的地点 P、Q之间即为亮斑区，这是求解此题之关键．由图 7 知 PO=O，Q故在竖直方向上能察看到荧光屏亮斑区的长度为PQ=2PO=2 ≈．四、复合场问题所谓复合场，即重力、电场力、洛伦兹力共存或洛伦兹力与电场力同时存在等．当带电粒子所受合外力为零时，所处状态是匀速直线运动或静止状态，当带电粒子所受协力只充任向心力时，粒子做匀速圆周运动，当带电粒子所受协力变化且速度方向不在同向来线上时，粒子做非匀变速曲线运动．[ 例 6] 在某空间同时存在着相互正交的匀强电场和匀强磁场，电场的方向竖直向下，如图 8，一带电体 A带负电，电荷量为 q1，恰能静止于此空间的 a 点；另一带电体 B也带负电，电荷量为 q2，正在过 a 点的竖直平面内做半径为 r 的匀速圆周运动，结果 A、B在 a 外碰撞并粘合在一同，试剖析后来的运动状况．[ 分析] 设 A、B的质量分别为 m1、m2，B的速率为 v，对电荷 A q1E=m1g对电荷 B q 2E=m2g，且 Bq2v=m2两者碰撞时系统动量守恒，有 m2v=(m1+ m2)v ′, 且此时总电荷量为 q1+q2，总质量为 m1+ m2, 明显仍有(q1+q2)E=(m1+ m2)g故它们将以速率 v′在竖直平面内做匀速圆周运动，而且有(q 1+q2)v ′B=(m1+ m2)由以上方程，可得 R=q2r/(q 1+q2) ，此即碰撞后两者共同的运动半径．[ 例 7] 有一电子束穿过拥有匀强电场和匀强磁场的空间地区，该地区的电场强度和磁感强度分别为 E和 B，如图 9 所示．(1) 假如电子束的速度为 v0，要使电子束穿过上述空间地区不发生偏转，电场和磁场应知足什么条件？(2) 假如撤去磁场，电场地区的长度为 l ，电场强度的方向和电子束初速度 方向垂直，电场地区边沿离屏之间的距离为 d ，要使电子束在屏上偏移距离为 y ， 所需加快电压为多大？分析 (1) 要使电子不发生偏转， 则应有电场力与洛伦兹力相等， 即eE=ev 0B ， 则 E=v 0B ． (2) 电子在电场中向上偏转量 s= t2 ，且 tan θ= = ，而在加快电场 2 中，有eU= mv ，且 l=v0t ，又偏移距离 y=s+dtan θ，解以上方程得 U= ．五、带电粒子在电磁场中的动向运动问题顾名思义，在办理带电粒子或带电物体，在电磁场中的动向问题时，要正确进行物体的运动状况剖析，找出物体的速度、地点及其变化，分清运动过程， 注意正确剖析其受力，此乃求解之要点．[ 例 8] 如图 10 所示，套在很长的绝缘直棒上的小球，其质量为 m，带电荷量为＋ q，小球可在棒上滑动，将此棒竖直放在相互垂直且沿水平方向的匀强电场和匀强磁场中，电场强度是 E，磁感强度是 B，小球与棒的动摩擦因数为μ，求小球由静止沿棒着落的最大加快度和最大速度． ( 设小球带电荷量不变 ) 分析小球的受力状况如图 10 所示，且有N=qE+qvB因此 F 合=mg-μ(qE+qvB)，明显跟着 v 的增大，F合减小，其加快度也减小，即小球做加快度减小的变加快度运动，当 a=0时，速度达最大值，故可解得v=0 时，a m= =g-a=0时，即 mg-μ(qE+qvB)=0 时，v m= ．六、极值问题求极值是物理学中的一类重要问题，能够经过对物理过程正确剖析反应学生剖析问题的能力，一般地第一要成立合理的物理模型，再依据物理规律确立极端状况而求极值，此即所谓的物理方法求极值．自然依据需要也能够采纳其他方法如几何方法、三角方法、代数方法等．[ 例 9] 如图 11 所示，真空的狭长的地区内有宽度为 d，磁感强度为 B的匀强磁场，质量为 m、电荷量为 q 的带负电的粒子，从界限 AB垂直磁场方向以必定的速率 v 射入磁场，并能从磁场界限 CD穿出磁场，则粒子入射速度跟界限AB成角θ=_________时，粒子在磁场中运动时间最短． ( 不计重力，结果用反三角函数表示 )分析带电粒子以必定的速率射入磁场时，其运动半径是必定的．当粒子在磁场中运动时间最短时，圆周的圆心角应最小，即对应的弧长 ( 或弦长) 也最短．明显，最短的弦长为磁场宽度 d，由图 12，则有 cosθ=时，即 R= ，又 qvB=m ，则有R= ，故 cosθ=．所以，粒子入射速度跟界限 AB成角θ=arccos 时，粒子在磁场中运动时间最短．[ 例 10] 顶角为 2θ的圆滑圆锥置于方向竖直向下的匀强磁场中，小球质量为 m，带电荷量为 q，磁场的磁感强度为 B，小球沿圆锥面做匀速圆周运动，则：(1) 顺着磁场方向看，小球怎样运动？(2) 小球运动的最小半径是多少？[ 分析] 小球此时受重力及弹力作用，要使小球能绕圆锥运动，当小球处于图 13 地点时还须受水平方向向右的洛伦兹力，由左手定章可判知小球由图示地点向外运动，即顺着磁场方向看，小球逆时针运动．在水平方向有 qvB- Ncosθ=m在竖直方向有 Nsinθ=mg故 qvB-mgcotθ=m即 mv 2-qvBR+mgRcotθ=0当该方程有解时，则必有 (qBR) 2-4m2gRcotθ≥0解之得 R≥4m2g/q2B2tan θ，所以小球运动的最小半径为 R=4m2g/q 2B2tan θ．2g/q七、洛伦兹力在实质中的应用电场能够对带电粒子有电场力的作用，而磁场对运动的带电粒子有洛伦兹力作用．当电场和磁场共同存在时，对带电粒子也会施加影响，这一知识在现代科学技术中有着宽泛的应用．1. 带电粒子在电场力和洛伦兹力同时作用下的运动主要有三种应用，即速度选择器、磁流体发电机和霍尔效应．2. 带电粒子在电场力与洛伦兹力递次作用可交替作用下的运动也有三种应用，即电视显像管、质谱仪和盘旋加快器．[ 例 11] 质谱仪是一种测定带电粒子质量和剖析同位素的重要工具，它的结构原理如图 14 所示，离子源 S产生的一个质量为 m电荷量为 q 的正离子，离子产生时速度很小，能够看作是静止的，离子产生出来后经过电压 U加快，进入磁感觉强度为 B的匀强磁场，沿着半圆周运动而达到记录它的照相底片 P上，测得它在 P上的地点到进口处 S1 的距离为 x，则以下说法正确的是( )A.若某离子经上述装置后，测得它在 P上的地点到进口处 S1 的距离大于 x，则说明离子的质量必定变大；B.若某离子经上述装置后，测得它在 P上的地点到进口处 S1 的距离大于 x，则说明加快电压 U必定变大C.若某离子经上述装置后，测得它在 P 上的地点到进口处 S１的距离大于 x，则说明磁感觉强度 B必定变大D.若某离子经上述装置后，测得它在 P上的地点到进口处 S1 的距离大于 x，则说明离子所带电荷量 q 可能变小分析离子加快时，有 qU= ，在匀强磁场中，做圆周运动，有 qvB=m ，而 x=2R，由以上方程，得 x 2= ，可见此题正确选项为 D．[ 例 12] 磁流体发电技术是一种当前生界上正在研究的新兴技术，它能够直接把内能转变成电能，同时拥有效率高 ( 可达 45%～55%，火力发电效率为 30%)，污染少等长处．其原理如图 15 所示，将一束等离子体 ( 高温下电离的气体，含有大批带正电和带负电的微粒 )以声速的～倍的速度发射入磁场中，磁场中有两块金属板 A、B，这时 A、B上就聚集电荷产生电压，设粒子所带电荷量为 q，进入磁场的发射速度是 v，磁场的磁感觉强度为 B，两块金属板的面积为S，AB间的距离为 d．(1) 该磁流体发电机的电动势有多大？(2) 设磁流体发电机内阻为 r ，当外电阻 R是多少时输出功率最大？并求最大输出功率．(3) 为使等离子体以恒定速度 v 经过磁场一定使通道两头保持必定的压强差，压强差为多大？分析 (1) 磁流体发电机的电动势即为 S断开时，电源两极板间的电势差，在洛伦兹力作用下，等离子体中的正、负电荷分别向上、下板偏转，使两极板间产生电势差，且电势差跟着电荷在两极板上的累积而增大，当电荷不偏转时，两极板间电势差达到最大值．此时有 qvB=qE=q ，则 U=Bdv．该磁流体发电机的电动势 E=Bdv.(2) 发电机的输出功率P=I 2R=( )2R=2R=( )=明显，当外电阻 R=r 时输出功率最大，且P m= ．(3) 当等离子体遇到的洛伦兹力与等离子压力差相等时方能够恒定速度通过磁场，即有△p=又 F=BId，I= =解之得△p= ．八、与力学的综合题这种问题是以洛伦兹力为载体，实质上可看作是力学题，故解题中在考虑洛伦兹力的前提下，能够利用解决力学识题的三大方法办理之，即动力学看法，包含牛顿三大定律和运动学规律；动量看法，包含动量定理和动量守恒定律；能量看法，包含动能定理和能量守恒定律．在上述方法中，应首选能量看法和动量看法，对多个物体构成的系统，优先考虑两大守恒定律．[ 例 13] 一小球质量为 m，带负电，电荷量为 q，由长 l 的绝缘丝线系住，置于匀强磁场中，丝线的另一端固定在 A点，提升小球，使丝线拉直与竖直方向成 6 0°角，如图 16 所示．调理磁场的磁感强度 B0，开释小球，球能沿圆周运动，到最低点时，丝线的张力为零，且持续摇动，求：(1) 摆球至最低点时的速度；(2)B0的值；(3) 小球在摇动过程中丝线受的最大拉力．分析 (1) 小球在磁场中遇到重力、弹力及洛伦兹力作用，但从开释到运动2至最低点只有重力做功，由动能定理，则有 mgl(1- cos60° )= mv 解之得 v= ．(2) 在最低点时，洛伦兹力与重力的协力供给向心力，即有 qvB0-mg=m ，由以上二式，解得 B0= ．(3) 因为小球运动方向的不一样而使洛伦磁力方向改变，不难判断当小球从右边开始运动时，张力较大，且最低处张力最大，此时有 T-qvB0-mg=m 解之得 T=4mg．[ 例 14] 一带电液滴在相互垂直的匀强电场和匀强磁场中运动，已知 E 和B，若此液滴在垂直磁场的平面内做半径为 R的匀速圆周运动，如图 17 所示．求：(1) 液滴速度的大小，绕行方向；(2) 液滴运动到轨道最低点 A分裂为质量、电荷量都相等的两液滴，此中一个液滴仍在原运动平面内做半径 R1=3R的匀速圆周运动，绕行方向不变，且这个圆周最低点仍为 A，则另一个液滴怎样运动？分析此题文字表达较长，但只需理解题意，求解还是较简单的．(1) 据题意，应有 qE=mg，由此可判断液滴带负电，且 qvB=m ，则v=BqR/m=BgR/E，方向为顺时针方向．(2) 分裂后，有．则 v1=3BqR/m=3BgR/E由动量守恒定律，则有 mv=故 v2=2v-v 1=-BgR/E这说明，另一液滴做反方向的圆周运动，且半径不变．[ 例 15] 一个质量 m，带有+q 电荷量的小球，悬挂在长为 L 的细线上，放在匀强磁场中，其最大摆角为α，为使摆的周期不受磁场影响，磁感觉强度 B 应有何限制？分析由左手定章易判断：小球向左摇动时，所受洛伦兹力背叛悬点，将使悬线张力增添，但不影响摆的周期，而向右摇动时，如 B足够大，小球可能向悬点挪动从而损坏其正常摇动．设小球处于图中的地点时摆球速度为 v，当周期不受磁场影响时由机械能守恒定律，有=mgL(cosβ- cosα)据牛顿第二定律，有T+qvB-mgcosβ=m由以上二式可求得 T=0时的 B 值，且 B= ，可见， T=0时 B的取值与小球运动的速度 v 相关．由相关数学方法能够求适当时，B 有最小值，即 v=时，最小值 B min = ．这说了然当 B=Bmin 时，其余地点上悬线的张力均大于零，故使摆周期不受影响的磁感觉强度应知足条件B min ≤．[ 例 16] 如图 19 所示，在某一足够大的真空室中虚线 PH的右边是一磁感应强度为 B，方向垂直纸面向里的匀强磁场，左边是一场强为 E，方向水平向左的匀强电场．在虚线 PH上的一点 O处有质量为 M，电荷量为 Q的镭核( ) ．某时辰本来静止的镭核水平向右放出一个质量为 m，电荷量为 q 的α粒子而衰变为氡核(Rn) ，设α粒子与氡核分别后它们之间的作使劲可忽视不计，波及动量问题时，损失的质量可不计．(1) 写出镭核衰变成氡核的核反响方程；(2) 经过一段时间α粒子恰巧垂直到达虚线 PH上的 A点，测得 OA＝L，求现在氡核的速度．分析 (1) 依据核衰变的特色可知，镭核衰变成氡核时知足电荷数守恒和质量数守恒，故有．(2) 镭核衰变时恪守动量守恒定律，则 (M-m)v0=mv(完整版)洛伦兹力问题及解题策略α粒子在匀强磁场做匀速圆周运动，在磁场中运动了圆周，则到达 A点需时 t=且有 qvB=m ，R=L/2而氡核在电场中做匀加快直线运动， t 时辰速度 v t =v0+at，同时知足牛顿第二定律，即(Q-q)E=(M-m)a ，联立以上各式解得所求氡核速度为v t = .。
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洛仑兹力作用下的匀速圆周运动求解方法 学习目标：1. 掌握带电粒子在磁场中运动的圆心、半径及时间的确定方法。
2. 掌握洛仑兹力的多解问题。
一．思路方法：明确洛仑兹力提供作匀速圆周运动的向心力
关健：画出运动轨迹图（规范画图，才有可能找准几何关系）。
物理规律方程：向心力由洛伦兹力提供q B v = m R v 2
T = v
R 2π = qB
m 2π 1、找圆心：（圆心的确定）因f 洛一定指向圆心，f 洛⊥v
①任意两个f 洛的指向交点为圆心；
②任意一弦的中垂线一定过圆心；
③两速度方向夹角的角平分线一定过圆心。
2、求半径：①由物理规律求：q B v = m R v 2 ⇒ R =qB
mv ； ②由图得出的几何关系式求 几何关系：速度的偏向角ϕ=偏转圆弧所对应的圆心角(回旋角)α=2倍的弦切角θ； 相对的弦切角相等，相邻弦切角互补；由轨迹画及几何关系式列出：关于半径的几何关系式去求。
3、求粒子的运动时间：偏向角（圆心角、回旋角）α=2倍的弦切角θ，即α=2θ； T t ⨯=)
360(2)(0或回旋角圆心角π
4、圆周运动有关的对称规律：特别注意在文字中隐含着的临界条件
a 、从同一边界射入的粒子，又从同一边界射出时，速度与边界的夹角相等。
b 、在圆形磁场区域内，沿径向射入的粒子，一定沿径向射出。
5、带电粒子在有界磁场中运动的极值问题
(1)刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切．
(2)当速度v 一定时，弧长(或弦长)越长，圆周角越大，则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长．
6、带电粒子在复合场中无约束情况下的运动性质
(1)当带电粒子所受合外力为零时，将做匀速直线运动或处于静止状态．合外力恒定且与初速同向时做匀变速直线运动，常见的情况有：
①洛伦兹力为零(即v ∥B)，重力与电场力平衡，做匀速直线运动；或重力与电场力的合力恒定，做匀变速运动． ②洛伦兹力F 与重力和电场力的合力平衡，做匀速直线运动． (2)带电粒子所受合外力做向心力，带电粒子做匀速圆周运动时．由于通常情况下，重力和电场力为恒力，故不能充当向心力，所以一般情况下是重力恰好与电场力相平衡，洛伦兹力是以上力的合力．
(3)当带电粒子受的合力大小、方向均不断变化时，粒子做非匀变速曲线运动
二．规律方法：
1、带电粒子在磁场中运动的圆心、半径及时间的确定
(1)用几何知识确定圆心并求半径． (2)确定轨迹所对应的圆心角，求运动时间．(3)注意圆周运动中有关对称的规律．
2、洛仑兹力的多解问题
(1)带电粒子电性不确定形成多解．
带电粒子可能带正(或负)电荷，在相同的初速度下，正负粒子在磁场中运动轨迹不同，导致双解．
(2)磁场方向不确定形成多解．若只告知B 大小，而未说明B 方向，则应考虑因B 方向不确定而导致的多解．
(3)临界状态不惟一形成多解．
带电粒子在洛伦兹力作用下飞越有界磁场时，它可能穿过去，也可能偏转1800从入射界面这边反向飞出．
在光滑水平桌面上，一绝缘轻绳拉着一带电小球在匀强磁场中做匀速圆周运动，若绳突然断后，小球可能运动状态也因小球带电电性，绳中有无拉力造成多解．
(4)运动的重复性形成多解．如带电粒子在部分是电场，部分是磁场空间运动时，往往具有往复性，因而形成多解．
三．当堂训练：
1.如图所示，在x 轴的上方(y ≥0)存在着垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感
应强度为B .在原点O 有一个离子源向x 轴上方的各个方向发射出质量为m 、
电量为q 的正离子，速率都为v ，对那些在xy 平面内运动的离子，在磁场中
可能到达的最大x =________，最大y =________.答案:qB 2mv ，qB
2mv
2.如图所示，在y ＜0的区域内存在匀强磁场，磁场方向垂直于xOy 平面并指
向纸面外，磁感臆强度为B ，一带正电的粒子以速度v 0从O 点射入磁场，入射
方向在xOy 平面内，与x 轴正向的夹角为θ.若粒子射出磁场的位置与O 点距离
为1，求该粒子的电量和质量之比q /m . 答案： lB sin 2v 0θ
3.电视机的显像管中，电子束的偏转是用磁偏转技术实现的.电子束经过
电压为U 的加速电场后，进入一圆形匀强磁场区，如图所示.磁场方向垂
直于圆面，磁场区的中心为O ，半径为r .当不加磁场时，电子束将通过O
点而打到屏幕的中心M 点.为了让电子束射到屏幕边缘P ，需要加磁场，
使电于束偏转一已知角度θ，此时磁场的磁感应强度B 应为多大?
答案:2
tan e 2mU r 1θ 4.如图所示，在x 轴上方有垂直于xy 平面向里的匀强磁场，磁场的磁感应强度为
B .在x 轴下方有沿y 轴负方向的匀强电场，场强为E .一质量为m 、电量为-q 的
粒子从坐标原点O 沿着y 轴正方向射出，射出之后，第三次到达x 轴时，它与点
O 的距离为L ，求此粒子射出时的速度v 和运动的总路程s (重力不计).
答案:4m
qBL ，16mE L qB L 2122+π 5.如图所示，足够长的矩形区域abcd 内充满磁感应强度为B 、方向垂直纸
面向里的匀强磁场，现从ad 边的中心O 点处，垂直磁场方向射入一速度为
v 0的带正电粒子，v 0与ad 边的夹角为30°.已知粒子质量为m ，带电量为q ，
ad 边长为L ，不计粒子的重力.
(1)求要使粒子能从ab 边射出磁场，v 0的大小范围.
(2)粒子在磁场中运动的最长时间是多少?在这种情况下，粒子将从什么范围射出磁场?
答案:(1)3m qBL v m qBL 0>≥ (2)3qB
m 5t π=，在O 点上方L /3范围内
6.如图所示，一带电质点，质量为m ，电量为q ，以平行于Ox 轴的速度v 从y 轴上
的a 点射入图中第一象限所示的区域.为了使该质点能从x 轴上的b 点以垂直于Ox 轴的速度v 射出，可在适当的地方加一个垂直于xy 平面、磁感应强度为B 的匀强磁场.若此磁场仅分布在一个圆形区域内，试求这圆形磁场区域的最小半径.重力忽略不计.
答案:
2qB
mv 2。