高考数学大二轮专题复习第二编专题整合突破专题四数列第一讲等差与等比数列适考素能特训理

解得 q＝1 或 q＝－12. 当 q＝1 时，an＝3； 当 q＝－12时，an＝3·－12n－3. (2)证明：若 an＝3，则 bn＝0，与题意不符， 故 an＝3－12n－3， 此时 a2n＋3＝3·－122n，∴bn＝2n，符合题意．
＝31，故选 A.
3．[2016·唐山统考]设 Sn 是等比数列{an}的前 n 项和，
若SS42＝3，则SS64＝(
)
A．2
B.73
3 C.10
D．1 或 2
解析 设 S2＝k，S4＝3k，由数列{an}为等比数列，得 S2，S4－S2，S6－S4 为等比数列，∴S2＝k，S4－S2＝2k，S6 －S4＝4k，∴S6＝7k，S4＝3k，∴SS64＝73kk＝73，故选 B.
适考素能特训
一、选择题
1．[2015·重庆高考]在等差数列{an}中，若 a2＝4，a4＝
2，则 D．6
解析 设数列{an}的公差为 d，由 a4＝a2＋2d，a2＝4， a4＝2，得 2＝4＋2d，d＝－1，∴a6＝a4＋2d＝0.故选 B.
2．[2016·山西四校联考]等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，
三、解答题 10．[2016·蚌埠质检]已知数列{an}是等比数列，Sn 为数 列{an}的前 n 项和，且 a3＝3，S3＝9. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设 bn＝log2a23n＋3，且{bn}为递增数列，若 cn＝bn·b4n＋1， 求证：c1＋c2＋c3＋…＋cn<1.
解 (1) 设 该 等 比 数 列 的 公 比 为 q ， 则 根 据 题 意 有 3·1＋1q＋q12＝9，从而 2q2－q－1＝0，
n＝4 时，m1 ＋9n取最小值141.
6．[2016·吉林长春质量监测]设数列{an}的前 n 项和为
Sn，且 a1＝a2＝1，{nSn＋(n＋2)an}为等差数列，则 an＝( )
n A.2n－1
n＋1 B.2n－1＋1
2n－1 C. 2n－1
n＋1 D. 2n＋1
解析 设 bn＝nSn＋(n＋2)an，则 b1＝4，b2＝8，{bn}为 等差数列，所以 bn＝4n，即 nSn＋(n＋2)an＝4n，Sn＋1＋2n an＝4.
4．[2015·浙江高考]已知{an}是等差数列，公差 d 不为
零，前 n 项和是 Sn.若 a3，a4，a8 成等比数列，则( )
A．a1d>0，dS4 >0 B．a1d<0，dS4<0
C．a1d>0，dS4<0
D．a1d<0，dS4>0
解析 由 a24＝a3a8，得(a1＋2d)(a1＋7d)＝(a1＋3d)2，整 理得 d(5d＋3a1)＝0，又 d≠0，∴a1＝－53d，则 a1d＝－53d2<0， 又∵S4＝4a1＋6d＝－23d，∴dS4＝－23d2<0，故选 B.
∴an＋11－1＝an－1 1－1，∴an－1 1是以a1－1 1为首项，－1 为 公差的等差数列，∴an－1 1＝21－1 1－(n－1)＝－n－1⇒an＝ n＋n 1⇒ann2＝nn1＋1＝1n－n＋1 1，∴a1＋a222＋a332＋a442＋…＋1a010002 ＝1－12＋12－13＋13－14＋14－15＋…＋1100－1101＝110001.
解析 利用等差数列的性质可得 a3＋a7＝a4＋a6＝2a5， 从而 a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝25，故 a5＝5，所以 a2＋a8 ＝2a5＝10.
8．[2016·辽宁质检]设数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 a1 ＝1，an＋1＝2Sn＋3，则 S4＝____6_6___.
解析 依题 an＝2Sn－1＋3(n≥2)，与原式作差得，an＋1 －an＝2an，n≥2，即 an＋1＝3an，n≥2，可见，数列{an}从 第二项起是公比为 3 的等比数列，a2＝5，所以 S4＝1＋ 5×1－1－3 33＝66.
9．[2016·云南统考]在数列{an}中，an>0，a1＝12，如果 an＋1 是 1 与2an4a－n＋a1＋2n 1的等比中项，那么 a1＋a222＋a332＋a442＋… ＋1a010002的值是__11_00_01____．
解析 由题意可得，a2n＋1＝2an4a－n＋a1＋2n 1⇒(2an＋1＋anan＋1 ＋1)(2an＋1－anan＋1－1)＝0，又 an>0，∴2an＋1－anan＋1－1＝0， 又 2－an≠0，∴an＋1＝2－1 an⇒an＋1－1＝a2n－－a1n，又可知 an≠1，
5．正项等比数列{an}满足：a3＝a2＋2a1，若存在 am，
an，使得 am·an＝16a21，m，n∈N*，则m1 ＋9n的最小值为(
)
A．2
B．16
11
3
C. 4
D.2
解析 设数列{an}的公比为 q，a3＝a2＋2a1⇒q2＝q＋2 ⇒q＝－1(舍)或 q＝2，∴an＝a1·2n－1，am·an＝16a21⇒a21·2m＋n －2＝16a21⇒m＋n＝6，∵m，n∈N*，∴(m，n)可取的数值组 合为(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，计算可得，当 m＝2，
当 n≥2 时，Sn－Sn－1＋1＋2nan－1＋n－2 1an－1＝0，所 以2n＋n 1an＝nn＋－11an－1，即 2·ann＝na－n－11，又因为a11＝1，所以 ann是首项为 1，公比为12的等比数列，所以ann＝12n－1(n∈N*)， an＝2nn－1(n∈N*)，故选 A.
二、填空题 7．[2015·广东高考]在等差数列{an}中，若 a3＋a4＋a5 ＋a6＋a7＝25，则 a2＋a8＝___1_0____.
若公比 q>1，a3＋a5＝20，a2a6＝64，则 S5＝( )
A．31
B．36
C．42
D．48
解析 由等比数列的性质，得 a3a5＝a2a6＝64，于是由
aa33＋ a5＝a5＝ 64，20， 且 公 比 q>1 ， 得 a3 ＝ 4 ， a5 ＝ 16 ， 所 以
aa11qq24＝ ＝41， 6， 解得aq1＝＝21，q＝－2舍， 所以 S5＝1×1－1－225