线代习题1-4解答
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习题1-4解答
1. 求行列式1
22
305
4
03
--中元素2和2-的代数余子式。 解：元素2的代数余子式为03
04
0)1(1
3=-+， 元素2-的代数余子式为293
54
3)1(2
3=---+。
2. 已知四阶行列式D 中第3列元素依次为1-，2，0，1，它们的余子式依次为5，3，7-，4，求D 。
解：利用行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和，即
in in i i i i A a A a A a D +++= 2211（n i ,,2,1 =），或 nj nj j j j j A a A a A a D +++= 2211（n j ,,2,1 =）
，所以 1541)7(0325)1(-=⨯--⨯+⨯-⨯-=D 。
3. 按第3列展开下列行列式，并计算其值：
⑴
11111110101d
c b a
------； 解：原式0
111111
1
)1(0111111
10
)
1(323
1-----+-------=++b a 1
111101
1
)1(0111101
1
)1(3433------+----+++d c
()()()()d b a d c b a ++=---+-++---++-=11111111111。
⑵ 000
00000052
51
4241
3231
25
24232221
1514131211a a a a a a a a a a a a a a a a 。 解：原式00
000
0)1(0
0000)
1(52
51
4241323115
141211
233252
51
42413231
25
242221
13
3
1=-+-=++a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a 。
4. 证明：))()()()()()((11114
4442222
d c b a d c d b c b d a c a b a d c b a d c b a d
c b a
+++------=。 证：)
()()(0)()()(00111111112222222224
4
4
4
2222
a d d a c c a
b b a d d a
c c a b b a
d a c a b d c b a d c b a d c b a ---------========
)
()()(1
1
1
)
)()((222a d d a c c a b b d c b a d a c a b +++---= y
x b d b c a d a c a b 001
11))()((-----============，
其中：))(()()()(222c b a b c c ab b ac c c a b bc a c c x ++-=--+=+-+=，
))(()()()(222d b a b d d ab b ad d d a b bd a d d y ++-=--+=+-+=，
故
)
()(1
1)
)((d b a d c b a c b d b c y x b d b c ++++--=-- )]()()[)((c b a c d b a d b d b c ++-++--=
]))()[()((22c d b a c d b d b c -++---=
))()()((d c b a c d b d b c +++---=，
因此，左式=+++------=))()()()()()((d c b a c d b d b c a d a c a b 右式。 5. 用降阶法计算下列行列式：
⑴ y
y x x -+-+1111111111111111；
解：y
y x x y y x y y x x -+-+
--=-+-+11101110111011100100100100011111111111111111 1
22
33
24ar r ar r r a r ---1
22
3)(br r r a b b r -+-
y
y x x y y x xy -+-+-++=110
110
1
11111111112
y
y x y y x
xy -+--+=1111002
2 222222)11(y x y x xy xy =----=。
⑵
000
a b a a a b b a a a b a ； 解：将2c ，3c ，4c 都加到1c ，得：
101011)2(020********a b a a b a a b a
b a a b b a a a b a b a b a a b a b a a b a a a b b a a a b a +=++++=
a
b a a b b a
b b a a b a a b a a b b a
b b a a a
b a b a -------+=-------+=00)2(00
0001)2(
)4())(2(222a b b a
a b a
b a b b a -=-----+=。
⑶ x
y
y x y x y
x
0000000
；
解：原式n n n n y x y
x y x y y x y x y x x 11)1(000
0000)1(0000000++-+=-+= 。
⑷ 1
1
1
1
1
000000
000
2211
n n a a a a a a ---。