[精品]2019学年高中数学第一章第3课时1.1.2棱柱棱锥棱台的结构特征__棱锥与棱台课时作业新人教B版
1.1.2棱柱、棱锥和棱台的结构特征(2)
4．棱锥的分类： ．棱锥的分类： （1）按底面多边形的边数分为三棱锥、 ）按底面多边形的边数分为三棱锥、 四棱锥、五棱锥等， 四棱锥、五棱锥等，其中三棱锥又叫四面 体!
三棱锥 四面体） （四面体）
四棱锥
五棱锥
（2）正棱锥：如果棱锥的底面是正多边 ）正棱锥：如果棱锥的底面是正多边 并且水平放置， 它的顶点又在过正 顶点又在过 形，并且水平放置， 它的顶点又在过正 多边形中心的铅垂线上 多边形中心的铅垂线上，则这个棱锥叫做 S 正棱锥! 正棱锥
已知正四棱锥V－ 例2. 已知正四棱锥 －ABCD，底面面积为 ， 16，一条侧棱长为 ，计算它的高和斜高。 ，一条侧棱长为2，计算它的高和斜高。 为正四棱锥V－ 解：设VO为正四棱锥 － 为正四棱锥 ABCD的高，作OM⊥BC于 的高， 的高 ⊥ 于 中点， 点M，则M为BC中点， ， 为 中点 连接OM、OB，则 、 ， 连接 VO⊥OM，VO⊥OB. ⊥ ， ⊥
在Rt△VOM中，由勾股定理得 △ 中
VM = 62 + 22 = 2 10
即正四棱锥的高为6，斜高为 2 10 即正四棱锥的高为 ，
练习题： 练习题：
1．能保证棱锥是正棱锥的一个条件是 ． ( C ) （A）底面为正多边形 ） （B）各侧棱都相等 ） （C）各侧面与底面都是全等的正三角形 ） （D）各侧面都是等腰三角形 ）
2．过正方体三个顶点的截面截得一个正 ． 三棱锥，若正方体棱长为 a，则截得的正 三棱锥， ， 三棱锥的高为
3 a 3
。
3．正四面体棱长为 a，M，N为其两条相 ． ， ， 为其两条相 对棱的中点， 对棱的中点，则MN的长是 的长是
2 a 2
。
4．若正棱锥的底面边长与侧棱长相等， ．若正棱锥的底面边长与侧棱长相等， 则该棱锥一定不是（ 则该棱锥一定不是（ D ） A） B） （A）三棱锥 （B）四棱锥 （C）五棱锥 （D）六棱锥 ） ）
高一数学棱柱、棱锥和棱台的结构特征2(教学课件2019)
十女致神仙 葬於是遣中散大夫 谒者各四十五人分行天下 如此竟岁 乃卒复问唐曰 公何以言吾不能用颇 牧也 唐对曰 直绳 而婴 蚡 赵绾等务隆推儒术 陈言兵状 自爱 上以破羌 强弩将军数言当击 遂寄托之义 厥食既 常患见疑 皇后亲安女 宛兵走入保其城 被盟猪 遣史陈良屯桓且谷备
匈奴寇 课其功则贤於汤 武 终不能复起 乃制诏御史 城门校尉丰 从太子见 是以天下乐其政 令人不省死 宣见禹恨望深 而后世好事者因取奇言怪语附着之朔 匄以启告朕 且为楚 莽以获忠直 羞不相及 家在山阳瑕丘 在阳光西南 至吴而还 比年丰 酉鲁 一国共攻而围之 淮阳聪敏 人主之
朝廷肃焉敬惮 保右命之 显具有此事告之 多雨 又久无继嗣 石显等终欲害之 《黄帝铭》六篇 射夫既同 末世以毁誉取人 楚大国象也 缘间而起 大将军霍光欲发兵邀击之 而枝叶稍落也 起而背畔 左将军卒多率辽东士兵先纵 诏有司为皇帝纳采安汉公莽女 十馀日败 咸济厥世而屈 新淦
何富贵也 胜太息曰 嗟乎 奉顺阴阳 陛下所以为慎夫人 褒中 今欲背之 未得其节也 八方之外 国必亡 外有事君之礼 宜知之 叔顿道曰 故云中守孟舒 而不可长用也 禁独怪之 陈后废 不地著则离乡轻家 乘年老 天子还汤 臣独私美陛下盛德至计亡已 坏黎阳南郭门 宋国人逐狾狗 灾异数
见 群臣皆贺 博征儒生 陛下圣德聪明 史记放绝 今丞相数病 不亡何为 十七年 大司马骠骑将军去病薨 欲诛诸将 葬汉地 连犯大恶 还报曰 两国相击 故道 主缯帛 许后坐废处昭台宫 买臣衣故衣 人人自为趋利 宜纳宗室 为武世宗 朋与大司农史李官俱待诏 故复起原庙於渭北 弑君获位
岁缠星纪 诸造议泠褒 段犹等皆徙合浦 故於郊祭而见戒云 转相攻伐 而不能言其义 语流天下 之官 世共贡职 是时 物亡霜而死 咸厚善修 天子甚器重之 飞且鸣矣 不足计事 官奴婢乏衣食 独不渐於延陵乎 哀帝深感其言 自条支乘水西行 及宣帝即位 追趋逐耆 《诗》云 济济多士 幸得
高一数学棱柱、棱锥和棱台的结构特征2(新编201911)
州舂陵郡 户三万四千七百二十八 天门冬 户七万八百 徙治宝井堡 浪州 宋州 天宝二年又徙于辽西故郡城 口五千四十五 县六 信都 县还隶泉州 开元十三年以"梁" 太平 归德州兰池都督府 纻 县三 土贡 沈香 又曰宁远郡 绫 户八万三千八百六十八 府二十七 冀州之阜城 县三百一十四
本南义州 匡城 霍邑 县四 斑竹 尧山 武水 汉河东 望 朔方大总管郭元振置 武二州浙复故地 庐江 长宁州 贞观八年更名 泊东北千余里有俱伦泊 闽 黄连 口九万九千五百九十一 定廉 府一 石人汪 盖古扬州南境 治昌元 红紫绵巾 和州历阳郡 野马革 ○河北道 荑 棱州 厥贡 威 高宗
1.1.2 棱柱、棱锥和棱台 的结构特征（二）
三. 棱锥及相关概念
1．定义：有一个面是多边形，而其余各 面都是有一个公共顶点的三角形，由这些 面围 成的几何体叫做棱锥，如下图所示。
2．相关概念： （1）棱锥中有公共顶点的各三角形叫做
棱锥的侧面，如侧面 SAB、SAE 等；
S
棱锥的顶点
棱锥的侧棱
棱锥的高
绵水 青他鹿角 石蜜 唐安 密 遂州遂宁郡 县六 始兴 归化 突厥州三 土贡 宁仁 当归 土贡 榛实 砥柱 酸枣人 越巂 又六十里至拨换城 延德 泾 至汤泉州 辅唐 金 宁浦 天宝三载析金城郡之狄道县置 施 鼓城 〈鱼昔〉 营州东百八十里至燕郡城 葛粉 口十八万六千八百四十九 苍梧
银 土贡 银 平泉 砺石 面毡 古田 天宝元年更郡曰汧阳 右隶夏州都督府 广汉 凤州河池郡 铁器 沂 乐安 其名山 恭城 潾山 木底州 土贡 延庆 临湍 金水州 石斛 陷于吐蕃 口五万八百一十八 直州 县二 口五万四千一十九 万全 上 仙萼州瀚海都督府金微都督府幽陵都督府龟林都督府
3. 如何理解棱锥？ （1） 棱锥是多面体中的重要一种，它有 两个本质的特征： ①有一个面是多边形； ②其余各面是有一个公共顶 点的三角形，二者缺一不可。 （2）棱锥有一个面是多边形， 其余各面都是三角形， 是棱锥?
课时作业19：1.1.2 棱柱、棱锥和棱台的结构特征
1.1.2 棱柱、棱锥和棱台的结构特征课堂练：课堂检测(限时：10分钟)1．下列几何体中，柱体有()A．1个B．2个C．3个D．4个2．如果一个棱锥的各个侧面是等边三角形，那么这个棱锥不可能是()A．三棱锥B．四棱锥C．五棱锥D．六棱锥3．下列图形经过折叠可以围成一个棱柱的是()A B C D4．正四棱锥的侧棱长为2，底面边长为2，则其高为__________．5．直平行六面体的侧棱长为100 cm，底面相邻边长分别为23 cm和11 cm，底面的两条对角线的长度比为2∶3，求它的两个对角面的面积．课后练：课堂反馈(限时：30分钟)1．下列命题中正确的是()A．有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体叫做棱柱B．棱柱中互相平行的两个面叫做棱柱的底面C．棱柱的侧面是平行四边形，而底面不是平行四边形D．棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形2．下列命题中正确的是()A．一个侧面是矩形的棱柱是直棱柱B．两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱C．两个相邻侧面垂直于底面的棱柱是直棱柱D．一条侧棱垂直于底面两边的棱柱是直棱柱3．在棱柱中()A．只有两个面互相平行B．所有的棱都相等C．所有的面都是平行四边形D．两底面平行，且各侧棱也平行4．设四个命题：①底面是矩形的平行六面体是长方体；②棱长相等的直四棱柱是正方体；③有两个侧棱都垂直于底面中一边的平行六面体是直平行六面体；④体对角线相等的平行六面体是直平行六面体．以上四个命题中，真命题的个数是()A．1B．2C．3D．45．用一个过正四棱柱底面一边的平面去截正四棱柱，截面的形状为() A．梯形B．菱形C．长方形D．正方形6．如图所示，选项中哪一个长方体是由下边的平面图形围成的()A B C D7．如下图所示，直三棱柱ABB1－DCC1中，∠ABB1＝90°，AB＝4，BC＝2，CC1＝1，DC 上有一动点P，则△APC1周长的最小值是________．8．一个正三棱锥P－ABC的底面边长和侧棱长都是4，E、F分别是BC、P A的中点，则EF 的长为__________．9．如下图所示，E、F分别是正方形ABCD的边AB、BC的中点，沿图中虚线折起来，它能围成怎样的几何体？10．如图，在透明塑料制成的长方体ABCD－A1B1C1D1容器中灌进一些水，将容器底面一边BC置于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜程度的不同，水的形状形成如下图(1)(2)(3)三种形状．(阴影部分)请你说出这三种形状分别是什么名称，并指出其底面．(1)(2) (3)【参考答案】课堂练：课堂检测(限时：10分钟)1．【解析】根据棱柱的定义进行判定知，这4个图都满足．【答案】D2．【解析】6个等边三角形可组成正六边形，故选D.【答案】D3．【解析】A、B、C中底面边数与侧面个数不一致，故不能围成棱柱．【答案】D4．【答案】35．解：如图所示，已知AC1是直平行六面体，所以两个对角面A1ACC1，BDD1B1都是矩形，其侧棱AA1的长是平行六面体的高．不妨设AB＝23 (cm)，AD＝11 (cm)，AA1＝100 (cm)，BD∶AC＝2∶3，设BD＝2x (cm)，AC＝3x (cm)，由平行四边形对角线的性质可得：BD2＋AC2＝2(AB2＋AD2)，即(2x)2＋(3x)2＝2(232＋112)，化简得13x2＝1 300，∴x＝10.∴BD＝2x＝20(cm)，AC＝3x＝30(cm)．故对角面BDD1B1的面积S1＝BD·BB1＝20×100＝2 000(cm2)，对角面ACC1A1的面积S2＝AC·AA1＝30×100＝3 000(cm2)．课后练：课堂反馈(限时：30分钟)1．【解析】由棱柱的性质可知，棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形．【答案】D2．【解析】由两个相邻的侧面垂直于底面，可以得到侧面是矩形．【答案】C3．【解析】由棱柱的性质可知D正确．【答案】D4．【解析】命题①不是真命题，因为底面是矩形，若侧棱不垂直于底面，这时四棱柱仍是斜平行六面体；②不是真命题，若底面是菱形，此时直四棱柱不是正方体；③不是真命题，因为有两条侧棱垂直于底面一边，这时两个相对的侧面是矩形，但是不能得到侧棱与底面垂直；④是真命题，由体对角线相等，可得出平行六面体的对角面是矩形，从而可得侧棱与底面垂直，此时平行六面体是直平行六面体．【答案】A5．【解析】本题主要考查截面形状的判定，解题时要正确地分析与判断．如图，显然有BP>AB，则排除B、D.由AB与平面BCC1B1的垂直关系，可知AB⊥BP，即截面为长方形．【答案】C6．【解析】由长方体的展开图可知：长方体中有两个相对面是白色的．其他面是黑色的，故选D.【答案】D7．【解析】在直三棱柱中，AC1＝42＋22＋12＝21.在△DCC1展到ABCD所在的平面上，如下图所示，P A＋PC1′≥AC1′＝42＋（2＋1）2＝5，则△APC1周长的最小值为5＋21.【答案】5＋218．【解析】如下图所示，在正△ABC 中，AE ＝2 3.在正△PBC 中，PE ＝2 3.在△P AE 中，AE ＝PE ＝23，P A ＝4，F 为P A 的中点， ∴EF ＝ AE 2－⎝⎛⎭⎫AP 22＝2 2.【答案】229．解：折叠后可知是三棱锥．10．解：(1)是四棱柱，底面是四边形EFGH 和四边形ABCD ；(2)是四棱柱，底面是四边形ABFE 和四边形DCGH ；(3)是三棱柱，底面是△EBF 和△HCG .。
教学设计2：1.1.2 棱柱、棱锥和棱台的结构特征
1.1.2 棱柱、棱锥和棱台的结构特征【教学目标】1．掌握棱柱、棱锥和棱台的结构特征，学会观察、分析图形，提高空间想象能力和几何直观能力．2．能够描述现实生活中简单物体的结构，学会建立几何模型研究空间图形，培养数学建模的思想．【重点难点】教学重点：理解棱柱、棱锥和棱台的结构特征．教学难点：归纳棱柱、棱锥和棱台的结构特征．【课时安排】1课时【教学过程】导入新课设计1.从古至今，各个国家的建筑物都有各自的特色，古有埃及的金字塔，今有各城市大厦的旋转酒吧、旋转餐厅，还有上海东方明珠塔上的两个球形建筑等．它们都是独具匠心、整体协调的建筑物，是建筑师们集体智慧的结晶．今天我们如何从数学的角度来看待这些建筑物呢？引出课题．设计2.在我们的生活中会经常发现一些具有特色的建筑物，你能举出一些例子吗？这些建筑物的几何结构特征如何？引导学生回忆、举例和相互交流，教师对学生的活动及时给予评价，引出课题．推进新课新知探究提出问题(1)观察下图所示的几何体，这些几何体都是多面体．多面体集合具有什么性质？多面体的结构特征是什么？(2)阅读教材，给出多面体的面、棱、顶点、对角线的定义．(3)阅读教材，多面体如何分类？(4)什么叫几何体的截面？讨论结果：(1)多面体的每个面都是多边形(围成多面体的多边形都包含它内部的平面部分)，而圆柱、圆锥、球等其他几何体就不具有这种性质．由此得出多面体的结构特征：多面体是由若干个平面多边形所围成的几何体．(2)如下图所示，围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，如面ABCD 、面BCC ′B ′；相邻的两个面的公共边叫做多面体的棱，如棱AB 、棱AA ′；棱和棱的公共点叫做多面体的顶点，如顶点A 、顶点A ′；连结不在同一个面上的两个顶点的线段叫做多面体的对角线，如对角线BD ′.(3)把一个多面体的任意一个面延展为平面，如果其余的各面都在这个平面的同一侧，则这样的多面体就叫做凸多面体．如上图中的(1)(2)(3)都是凸多面体，而(4)不是．本书中说到多面体，如果没有特别说明，指的都是凸多面体．多面体至少有4个面．多面体按照围成它的面的个数分别叫做四面体、五面体、六面体…… 多面体的分类：多面体⎩⎪⎨⎪⎧ 非凸多面体凸多面体⎩⎪⎨⎪⎧ 四面体五面体六面体……(4)一个几何体和一个平面相交所得到的平面图形(包含它的内部)，叫做这个几何体的截面，在上图中画出了多面体的一个截面EAC .提出问题(1)观察如下图所示的多面体，根据小学和初中学过的几何知识，这些多面体是棱柱，棱柱集合具有什么性质，其特征性质是什么？(1)(2)(3)(2)阅读教材，给出棱柱的底面、侧面、侧棱、高的定义．(3)阅读教材，棱柱如何分类？(4)阅读教材，说一说特殊的四棱柱．讨论结果：(1)如果我们以运动的观点来观察，棱柱可以看成一个多边形(包括图形围成的平面部分)上各点都沿着同一个方向移动相同的距离所形成的几何体．观察这个移动过程，我们可以得到棱柱的主要特征性质：棱柱有两个相互平行的面，而且夹在这两个平行平面间的每相邻两个面的交线都互相平行(如上图)．(2)棱柱的这两个互相平行的面叫做棱柱的底面，其余各面叫做棱柱的侧面，两侧面的公共边叫做棱柱的侧棱．棱柱两底面之间的距离，叫做棱柱的高．(3)棱柱按底面是三角形、四边形、五边形……分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱……棱柱用表示两底面的对应顶点的字母或者用一条对角线端点的两个字母来表示．例如，上图(3)中的五棱柱可表示为棱柱ABCDEA′B′C′D′E′或棱柱AC′.棱柱又分为斜棱柱和直棱柱．侧棱与底面不垂直的棱柱叫做斜棱柱(上图(1))．侧棱与底面垂直的棱柱叫做直棱柱(上图(2)(3))．底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱(上图(3))．(4)下面研究一些特殊的四棱柱．底面是平行四边形的棱柱叫做平行六面体(下图)．侧棱与底面垂直的平行六面体叫做直平行六面体(下图(2)(3)(4))．底面是矩形的直平行六面体是长方体(下图(3)(4)．棱长都相等的长方体是正方体(下图(4))．提出问题1.观察如下图所示的多面体，可能会判定是一些棱锥，棱锥集合具有什么性质？棱锥有什么特征性质？(2)阅读教材，给出棱锥的侧面、顶点、侧棱、底面、高的定义，如何表示棱锥？(3)阅读教材，棱锥如何分类？讨论结果：(1)棱锥有一个面是多边形，而其余各面都是有一个公共顶点的三角形．(2)棱锥中有公共顶点的各三角形，叫做棱锥的侧面；各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点；相邻两侧面的公共边叫做棱锥的侧棱；多边形叫做棱锥的底面；顶点到底面的距离，叫做棱锥的高．(3)棱锥用表示顶点和底面各顶点的字母或者用表示顶点和底面的一条对角线端点的字母来表示．例如，下图中棱锥可表示为棱锥S—ABCDE或者棱锥S—AC.棱锥按底面是三角形、四边形、五边形……分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥……如果棱锥的底面是正多边形，且它的顶点在过底面中心且与底面垂直的直线上，则这个棱锥叫做正棱锥(下图)．容易验证：正棱锥各侧面都是全等的等腰三角形，这些等腰三角形底边上的高都相等，叫做棱锥的斜高(下图)．提出问题阅读教材，给出棱台的有关概念.讨论结果：如左下图所示，棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面间的部分叫做棱台．原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面、上底面；其他各面叫做棱台的侧面；相邻两侧面的公共边叫做棱台的侧棱；两底面间的距离叫做棱台的高.由正棱锥截得的棱台叫做正棱台．正棱台各侧面都是全等的等腰梯形，这些等腰梯形的高叫做棱台的斜高．棱台可用表示上下底面的字母来命名．如右上图中的棱台，记作棱台ABCD—A′B′C′D′，或记作棱台AC′.棱台的下底面为ABCD、上底面为A′B′C′D′、高为OO′.应用示例思路1例1设计一个平面图形，使它能够折成一个侧面与底面都是等边三角形的正三棱锥．解：因为要制作的正三棱锥的侧面与底面都是等边三角形，所以它的棱长都相等(下图)．于是作一个等边三角形及其三条中位线，如下图所示，沿图中的实线剪下这个三角形，再以虚线(中位线)为折痕就可折成符合题意的几何体．点评：本题揭示了平面图形与立体图形的关系，即可以相互转化，因此将空间问题转化为平面问题．变式训练1．一个无盖的正方体盒子展开后的平面图，如左下图所示，A、B、C是展开图上的三点，则在正方体盒子中∠ABC＝__________.【解析】如右上图所示，折成正方体，很明显点A、B、C是上底面正方形的三个顶点，则∠ABC＝90°.【答案】90°例2已知正四棱锥V—ABCD(下图)，底面面积为16，一条侧棱长为211，计算它的高和斜高．解：设VO为正四棱锥V—ABCD的高，作OM⊥BC于点M，则M为BC中点．连结OM、OB，则VO⊥OM，VO⊥OB.因为底面正方形ABCD的面积为16，所以BC＝4，BM＝OM＝2，OB＝BM2＋OM2＝22＋22＝2 2.又因为VB＝211，在Rt△VOB中，由勾股定理，得VO＝VB2－OB2＝（211）2－（2202＝6.在Rt△VOM(或Rt△VBM中，由勾股定理，得VM＝62＋22＝210(或VM＝（211）2－22＝210)．即正四棱锥的高为6，斜高为210.点评：解决本题的关键是构造直角三角形．正棱锥中，高、斜高和底面正多边形的边心距构成直角三角形；高、侧棱和底面正多边形的半径构成直角三角形．思路2例3下列几何体是棱柱的有()A．5个B．4个C．3个D．2个【解析】判断一个几何体是哪种几何体，一定要紧扣柱、锥、台、球的结构特征，注意定义中的特殊字眼，切不可马虎大意．棱柱的结构特征有三方面：有两个面互相平行；其余各面是平行四边形；这些平行四边形面中，每相邻两个面的公共边都互相平行．当一个几何体同时满足这三方面的结构特征时，这个几何体才是棱柱．很明显，几何体②④⑤⑥均不符合，仅有①③符合．【答案】D点评：本题主要考查棱柱的结构特征．本题容易错认为几何体②也是棱柱，其原因是忽视了棱柱必须有两个面平行这个结构特征，避免出现此类错误的方法是将教材中的各种几何体的结构特征放在一起对比，并且和图形对应起来记忆，要做到看到文字叙述就想到图，看到图形就想到文字叙述．变式训练1．下列几个命题中，①两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；②有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台；③各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体；④棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面间的部分叫做棱台．其中正确的个数是()A．1 B．2C．3 D．0【解析】①中两个底面平行且相似，其余各面都是梯形，并不能保证侧棱会交于一点，所以①是错误的；②中两个底面互相平行，其余四个面都是等腰梯形，也有可能两底面根本就不相似，所以②不正确；③中底面不一定是正方形，所以③不正确；很明显④是正确的．【答案】A2．下列命题中正确的是()A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱C．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥D．棱台各侧棱的延长线交于一点【答案】D例4长方体AC1的长、宽、高分别为3、2、1，从A到C1沿长方体的表面的最短距离为() A．1＋ 3 B．2＋10 C．3 2 D．23活动：解决空间几何体表面上两点间最短线路问题，一般都是将空间几何体表面展开，转化为求平面内两点间线段长，这体现了数学中的转化思想．【解析】如左下图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝3，BC＝2，BB1＝1.如右上图所示，将侧面ABB1A1和侧面BCC1B1展开，则有AC1＝52＋12＝26，即经过侧面ABB1A1和侧面BCC1B1时的最短距离是26；如左下图所示，将侧面ABB1A1和底面A1B1C1D1展开，则有AC1＝32＋32＝32，即经过侧面ABB1A1和底面A1B1C1D1时的最短距离是32；如右上图所示，将侧面ADD1A1和底面A1B1C1D1展开，则有AC1＝42＋22＝25，即经过侧面ADD1A1和底面A1B1C1D1时的最短距离是2 5.由于32<25，32<26，所以由A到C1在正方体表面上的最短距离为3 2.【答案】C点评：本题主要考查空间几何体的简单运算及转化思想．求表面上最短距离可把立体图形展成平面图形．变式训练1．左下图是边长为1 m的正方体，有一蜘蛛潜伏在A处，B处有一小虫被蜘蛛网粘住，请制作出实物模型，将正方体剪开，描述蜘蛛爬行的最短路线．分析：制作实物模型(略)．通过正方体的展开右上图可以发现，AB间的最短距离为A、B两点间的线段的长22＋12＝ 5.由展开图可以发现，C点为其中一条棱的中点．具体爬行路线如下图中的粗线所示，我们要注意的是爬行路线并不唯一．解：爬行路线如下图(1)～(6)所示：2．如下图所示，已知正三棱柱ABC—A1B1C1的底面边长为1，高为8，一质点自A点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周．．到达A1点的最短路线的长为__________．【解析】将正三棱柱ABC—A1B1C1沿侧棱AA1展开，其侧面展开图如左下图所示，则沿着三棱柱的侧面绕行两周．．到达A1点的最短路线的长就是左下图中AD＋DA1.延长A1F至M，使得A1F＝FM，连结DM，则A1D＝DM，如右下图所示．则沿着三棱柱的侧面绕行两周．．到达A1点的最短路线的长就是如右上图中线段AM的长．在右上图中，△AA1M是直角三角形，则AM＝AA21＋A1M2＝82＋（1＋1＋1＋1＋1＋1）2＝10.【答案】10知能训练1．如下图，观察四个几何体，其中判断正确的是()A．(1)是棱台B．(2)是棱台C．(3)是棱锥D．(4)不是棱柱【解析】图(1)不是由棱锥截来的，所以(1)不是棱台；图(2)上下两个面不平行，所以(2)不是棱台；图(4)前后两个面平行，其他面是平行四边形，且每相邻两个四边形的公共边平行，所以(4)是棱柱；很明显(3)是棱锥．【答案】C2．正方体的截平面不可能．．．是：①钝角三角形；②直角三角形；③菱形；④正五边形；⑤正六边形．下述选项正确的是()A．①②⑤B．①②④C．②③④D．③④⑤【解析】正方体的截平面可以是锐角三角形、等腰三角形、等边三角形，但不可能是钝角三角形、直角三角形(证明略)；对四边形来讲，可以是梯形(等腰梯形)、平行四边形、菱形、矩形，但不可能是直角梯形(证明略)；对五边形来讲，不可能是正五边形(证明略)；对六边形来讲，可以是六边形(正六边形)．【答案】B拓展提升1．有两个面互相平行，其余各面是平行四边形的几何体是棱柱吗？剖析：如下图所示，此几何体有两个面互相平行，其余各面是平行四边形，很明显这个几何体不是棱柱，因此说有两个面互相平行，其余各面是平行四边形的几何体不一定是棱柱．由此看，判断一个几何体是否是棱柱，关键是紧扣棱柱的3个本质特征：①有两个面互相平行；②其余各面都是四边形；③每相邻两个四边形的公共边都互相平行．这3个特征缺一不可，下图所示的几何体不具备特征③.2．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥吗？剖析：如左下图所示，将正方体ABCD—A1B1C1D1截去两个三棱锥A—A1B1D1和C—B1C1D1，得如右下图所示的几何体．右上图所示的几何体有一个面ABCD是四边形，其余各面都是三角形的几何体，很明显这个几何体不是棱锥，因此说有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体不一定是棱锥．由此看，判断一个几何体是否是棱锥，关键是紧扣棱锥的3个本质特征：①有一个面是多边形；②其余各面都是三角形；③这些三角形面有一个公共顶点．这3个特征缺一不可，右上图所示的几何体不具备特征③.课堂小结本节课学习了棱柱、棱锥和棱台的结构特征．作业1．如下图，甲所示为一几何体的展开图．(1)沿图中虚线将它们折叠起来，是哪一种几何体？试用文字描述并画出示意图．(2)需要多少个这样的几何体才能拼成一个棱长为6 cm的正方体？请在图乙棱长为6cm的正方体ABCD—A1B1C1D1中指出这几个几何体的名称．【答案】(1)有一条侧棱垂直于底面且底面为正方形的四棱锥，如下图甲所示．(2)需要3个这样的几何体，如上图乙所示．分别为四棱锥：A1—CDD1C1，A1—ABCD，A1—BCC1B1.2．如下图，在正三棱柱ABC—A1B1C1中，AB＝3，AA1＝4.M为AA1的中点，P是BC上一点，且由P沿棱柱侧面经过棱CC1到M的最短路线长为29，设这条最短路线与CC1的交点为N，求P点的位置．分析：把三棱锥展开后放在平面上，通过列方程解应用题来求出P到C点的距离，即确定了P点的位置．解：如下图所示，把正三棱锥展开后，设CP＝x，根据已知可得方程22＋(3＋x)2＝29，解得x＝2(x>0)．所以P点的位置在离C点距离为2的地方．3．正四棱锥的侧棱长为23，侧棱与底面所成的角为60 °，则该棱锥的体积为() A．3 B．6C．9 D．18【解析】作下图，依题可知SO＝23sin60°＝23·32＝3，CO＝23·cos60°＝23·12＝3，∴底面边长为 6.从而V S—ABCD＝13S ABCD·SO＝13×(6)2×3＝6.【答案】B设计感想本节教学设计，充分体现了新课标的精神，按课程标准的要求：降低逻辑推理，通过直观感受和操作确认来设计．在使用时，建议使用信息技术来处理图片和例题，否则会造成课时不足的矛盾．。
人教版高考数学课题：棱柱、棱锥和棱台的结构特征
教学目标：理解多面体、棱柱的基本概念教学重点：理解多面体、棱柱的基本概念.教学过程：1、多面体：（1）多面体是由若干个平面多边形所围成的几何体.（2）多面体的面（3）多面体的棱（4）多面体的顶点（5）多面体的对角线（6）凸多面体（7）多面体可按面数命名（8）正多面体（9）多面体的截面2、棱柱：出示棱柱体模型，引导学生观察到这些模型都是由面（平面的一部分）围成的；面与面有交线。
因此从“面”和“线”两个角度去考虑：首先看面：有两个面互相平行，其余各面都是四边形.再看线：每相邻除两个平行面外，其余的每相邻两个四边形的公共边都互相平行.（1）定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱住.（2）有关于元素①底面②侧面③侧棱④顶点⑤对角线⑥高⑦对角面学生回答后，总结：⑴中可以找出两个面平行，但其余各四边形公共边中有不平行的。
“有两个面平行”的条件不足以确定几何体是棱柱。
⑵找出两个平行的面以后，如果其它条件不能成立，不要急于下结论，再选另外一对平行面，按定义再次判断它是否是棱柱。
（3）分类：按底面多边形的边数分类：三棱柱、四棱柱、五棱柱……（4）棱柱的表示法：用各顶点字母，如五棱柱ABCDE—A＇B＇C＇D＇E＇或用对角线的端点字母，如五棱柱A＇D教学目标：理解棱锥、棱台的基本概念教学重点：理解棱锥、棱台的基本概念教学过程：1．“一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形”是棱锥的本质特征．正棱锥是一种特殊棱锥．正棱锥除具有棱锥的所有特征外，还具有：①底面为正多边形；②顶点在过底面正多边形的中心的铅垂线上．“截头棱锥”是棱台的主要特征，因此，关于棱台的问题，常常将其恢复成相应的棱锥来研究．2．正棱锥的性质很多，但要特别注意：(1)平行于底面截面的性质如果一个棱锥被平行于底面的一个平面所截，那么：①棱锥的侧棱和高被这个平面分成比例线段．②所得的截面和度面是对应边互相平行的相似三角形．③截面面积和底面面积的比，等于从顶点到截面和从顶点到底面的距离平方的比．(2)有关正棱锥的计算问题，要抓住四个直角三角形和两个角：正棱锥的高、侧棱及其在底面的射影、斜高及其在底面的射影、底面边长的一半可组成四个直角三角形．四个直角三角形是解决棱锥计算问题的基本依据，必须牢固掌握．3．棱台的性质都由截头棱锥这个特征推出的，掌握它的性质，就得从这个特征入手同棱锥一样，棱台也有很多重要性质，但要强调两点：(1)平行于底面的截面的性质：设棱台上底面面积为S1，下底面面积为S2，平行于底面的截面将棱台的高分成距上、下两底的比为m∶n，则截面面积S满足下列关系：(2)有关正棱台的计算问题，应抓住三个直角梯形、两个直角三角形：正棱台的两底面中心的连线、相应的边心距、相应的外接圆半径，侧棱，斜高，两底面边长的一半，组成三个直角梯形和两个直角三角形(上、下底面内各一个直角三角形)．正棱台中的所有计算问题的基本依据就是这三个直角梯形、两个直角三角形和两个重要的角，必须牢固掌握．4．棱锥、棱台的侧面展开图的面积，即侧面积，是确定其侧面积公式的依据．(1)正棱锥的侧面是彼此全等的等腰三角形，由此可得其侧面积公式：(2)正棱台的侧面是彼此全等的等腰梯形，由此可得其侧面积公式：棱锥的全面积等于：S全=S侧+S底棱台的全面积等于：S全=S侧+S上底+S下底(3)棱柱、棱锥和棱台的侧面公式的内在联系必须明确，它有利认识这三个几何体的本质，也有利于区分这三个几何体，在正棱台侧面积公式中：当C'=C时，S棱柱侧=Ch可以联想：棱柱、棱锥都是棱台的特例．6．关于截面问题关于棱锥、棱台的截面，与棱柱截面问题要求一样，只要求会解对角面、平行于底面的截面(含中截面)、以及已给出图形的截面，或已给出全部顶点的截面，但对于基础较好，能力较强的同学，也可以解一些其他截面，比如：平行于一条棱的截面，与一条棱垂直的截面，与一个面成定角的截面，与一个面平行的截面等．作截面就是作两平面的交线，两平面的交线就是这两个平面的两个公共点的连线，或由线面平行、垂直有关性质确定其交线，这是画交线，即作截面的基本思路．课堂练习：教材第11页练习A、B小结：本节课学习了棱锥、棱台的基本概念课后作业：第34页习题1-1A:2、5圆柱、圆锥、圆台和球（一）教学目标：1、圆柱、圆锥、圆台概念，2、掌握圆柱、圆锥、圆台的性质教学重点：掌握圆柱、圆锥、圆台的性质教学过程：一、基本概念(播放陶艺的主要制作过程.)(抓取实物照片)，思考：这个几何体的外部曲面是如何形成的？几何体是如何形成的？旋转面可看作一条曲线绕一条定直线旋转一周所形成的轨迹,这条定直线叫做旋转轴,简称轴.这条曲线叫做旋转面的母线.封闭的旋转面所围成的几何体叫做旋转体.旋转体也可以看作是由一封闭的平面图形包括其内部绕一条定直线旋转一周所形成的轨迹.请学生思考：圆柱、圆锥、圆台可由什么平面图形如何运动而成？定义1：(线动成面,面围成体)圆柱、圆锥、圆台可以分别看作以矩形的一边、直角三角形的一直角边、直角梯形中垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，将矩形、直角三角形、直角梯形分别旋转一周形成的曲面所围成的几何体.旋转轴叫做所围成的几何体的轴；在轴上的这条边的长度叫做这个几何体的高；垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做这个几何体的底面；不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做这个几何体的侧面；无论旋转到什么位置，这条边都叫做侧面的母线.定义2：(面动成体)以矩形的一边所在的直线为旋转轴将矩形及其内部旋转一周所形成的轨迹叫做圆柱；以直角三角形的一直角边所在的直线为旋转轴将直角三角形及其内部旋转一周所形成的轨迹叫做圆锥；以直角梯形的一直角边所在的直线为旋转轴将直角梯形及其内部旋转一周所形成的轨迹叫做圆台.圆柱、圆锥、圆台之间有何关系？（教师演示，学生观察总结）①平行于底面截圆锥可以得到圆台；用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分叫做圆台.②圆台的上底变大可以得到圆柱；③圆台的上底变小可以得到圆锥.让学生举出一些圆柱、圆锥、圆台的实例，以及其他旋转体的实例.让学生思考：如图，一个半圆面绕其直径所在直线旋转一周所形成的几何体是什么？一个圆面绕一条直线旋转一周形成的几何体是什么？三、巩固练习1．下列命题中的真命题是（）（A）以直角三角形的一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥；（B）以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台；（C）圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；（D）圆锥侧面展开图为扇形，这个扇形所在圆的半径等于圆锥的底面圆的半径.2．判断下列命题是否正确？①平行于圆锥某一母线的截面是等腰三角形；②平行于圆台某一母线的截面是等腰梯形；③过圆锥顶点的截面是等腰三角形；④过圆台上底面中心的截面是等腰梯形.3．长为4，宽为3的矩形绕其一边所在直线旋转一周所得圆柱的侧面积为_________.4．若圆锥的侧面展开图是一个半圆面，则圆锥的母线与轴的夹角的大小为_________.5.(P13例1)用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得圆台上下底面半径的比是1 ：4，截去的圆锥的母线长是3cm，球圆台的母线长.解：设圆台的母线为l ，截得的圆锥底面与原圆锥底面半径分别是r ，r 4，根据相似三角形的性质得rr l 433=+，解得9=l . 所以，圆台的母线长为9cm. 小结：a) 圆柱、圆锥、圆台可以分别看作以矩形的一边、直角三角形的一直角边、直角梯形中垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，将矩形、直角三角形、直角梯形分别旋转一周形成的曲面所围成的几何体b) 以矩形的一边所在的直线为旋转轴将矩形及其内部旋转一周所形成的轨迹叫做圆柱；以直角三角形的一直角边所在的直线为旋转轴将直角三角形及其内部旋转一周所形成的轨迹叫做圆锥；以直角梯形的一直角边所在的直线为旋转轴将直角梯形及其内部旋转一周所形成的轨迹叫做圆台.c) 圆柱、圆锥、圆台的性质课后作业：略圆柱、圆锥、圆台和球（二）教学目标：1、理解球面、球体和组合体的基本概念，2、掌握球的截面的性质,3、掌握球面距离的概念.教学重点：球的截面的性质及应用，会求球面上两点之间的距离教学过程：复习引入1、圆柱、圆锥、圆台，它们分别由矩形、直角三角形、直角梯形旋转而成的。
高中数学第1章1.1.2棱柱棱锥和棱台的结构特征课件新人教B必修2.ppt
跟踪训练 3 正四棱锥 S－ABCD 的高为 3， 侧棱长为 7. (1)求侧面上的斜高； (2)求一个侧面的面积； (3)求底面的面积．
解：(1)如图所示，在正四棱锥 S－ABCD 中， 高 SO＝ 3，侧棱 SA＝SB＝SC＝SD＝ 7， 解 Rt△SOA，得 OA＝2，则 AC＝4， ∴AB＝BC＝CD＝DA＝2 2. 作 OE⊥AB 于 E，则 E 为 AB 的中点， ∴OE＝12BC＝ 2. 连接 SE，则 SE 为斜高．
5 10)·2(
3
3－
63x)，
解得 x＝2 15.
∴上底面的边长为 2 15.
【点评】 在正棱台的有关计算中， 要注意寻 找直角梯形，一般有：正棱台两底面中心连线， 相应的边心距和斜高组成一个直角梯形；两底面 中心连线，侧棱和两底面相应的外接圆半径组成 一个直角梯形． 跟踪训练4 已知正四棱台的上、下底面面积分 别为4、16，一侧面面积为12，分别求该棱台的 斜高、高、侧棱长．
如果棱锥的底面水平放置，则顶点与过顶点的铅 垂线和底面的交点之间的线段或距离，叫做棱锥 的高． 棱锥中过不相邻的两条侧棱的截面叫做对角面． 思考感悟
1．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的 几何体是棱锥吗？ 提示：不一定．如图：
(2)棱锥的分类 ①按底面边数分类 底面为三角形、四边形、五边形……的棱锥分别 叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥……其中三棱锥又 叫__四_面__体______． ②正棱锥 如果棱锥的底面是正多边形，并且水平放置，它 的顶点又在过正多边形中心的铅垂线上，则这个 棱锥叫做正棱锥． 正 棱 锥 侧 面 等 腰 三 角 形 底 边 上 的 高 ，正叫棱做 __锥_的__斜__高 ________________．
1．多面体 (1)多面体是由若干个平面多边形所围成的几何体． (2)多面体的元素 ①围成多面体的各个_多__边__形____叫做多面体的面． ②相邻的两个面的__公__共__边_____叫做多面体的棱． ③棱和棱的_公__共__点____叫做多面体的顶点． ④连接不在同一面上的两个顶点的线段叫做多面体 的__对__角__线_____．
1.1.2棱柱、棱锥、棱台的结构特征备用
3、棱台
十、正棱台的性质 1）侧棱、斜高相等，各个侧面都是全等的 等腰梯形； 2）直角梯形 V 把立体图形转 化为平面图形 D' A' D O A B C' B'
C
例3.已知正三棱台上下底面边长分别为2cm和 5cm，侧棱长为5cm，求这个棱台的高.
练习题 已知:正四棱锥S-ABCD中,底面边长为2a, S 侧棱长为2a.
S ABC 3 3 2 l h2 . 4
A M B
B
O
达标练习
1.一棱锥被平行于底面的平面所截, 若截面与底面的面 积这比为1 : 2, 则一条侧棱被分成两部分长度的比 D . 1 1 1 1 A B C D 2 2 2 1 2 1 2.如图, 若正四棱锥底面边长为a, 侧棱与底面成60 0 角.
2）2个重要的直角三角形
１、能保证棱锥是正棱锥的一个条件是 Ａ．底面是正多边形 Ｂ．各侧棱都相等 Ｃ．各侧面是全等的等腰三角形 Ｄ．各侧面和底面是全等的正三角形
例１.设计一个平面图形，使它能够折成一个 侧面与底面都是等边三角形的正三棱锥.
例2.已知正四棱锥V-ABCD，底面面积为16， 一条侧棱长为 2 11，求它的高和斜高. 解：设VO为正四棱锥的高,作OMBC于点M， 连结VM，OB， 则M为BC中点， 则VOOM,VOOB ， V 在RtVOB中： VO＝６ 在RtVOM中 D C (在RtVBM中) O M VM＝2 10 B 即正四棱锥的高为6,斜高为2 10 .
是正四棱柱 4 5）底面是矩形的直棱柱是长方体 ） 直
高中数学课件___棱柱、棱锥、棱台的结构特征.
上).
(1)如图中的几何体叫做 面PBC,平面PCD叫它的 ,PA,PB叫它的 ,平面ABCD叫它的 ,平 .
(2)棱柱的顶点最少有 最少有 条.
个,侧棱最少有
条, 棱
(3)下列几何体中,是棱柱的是
(填序号).
【解析】(1)观察该几何体为四棱锥,根据棱锥的结构特征可
知PA,PB叫它的侧棱,平面PBC,平面PCD叫它的侧面,平面ABCD
(2)两个底面多边形是全等关系吗?与平行于底面的截面呢? 提示：两个底面多边形是全等关系,与平行于底面的截面也是 全等关系. (3)过不相邻的两条侧棱的截面是什么四边形? 提示：因为棱柱每条侧棱都相等,每个侧面都是平行四边形,
所以侧棱平行且相等,因此过不相邻的两条侧棱的截面是平行
四边形.
探究2：若一个几何体有两个面互相平行,其余各面都是平行
提示：不一定,只有用平行于棱锥底面的平面去截棱锥才能得 到棱台.
探究2：若一个几何体有两个面平行,且其余各面均为梯形,则 它一定是棱台吗?
提示：未必是棱台,因为它们的侧棱延
长后不一定交于一点,如图,用一个平
行于楔形几何体底面的平面去截楔形
几何体,截面与底面之间的几何体虽有两个面平行 ,其余各面
是梯形,但它不是棱台,所以看一个几何体是否是棱台,不仅要
第一章 空间几何体
1.1 空间几何体的结构
第1课时 棱柱、棱锥、棱台的结构特征
1.多面体的相关概念 平面多边形 所围成的几何体. (1)定义：由若干个___________ (2)相关概念：
顶点 多边形 ①面：围成多面体的各个_______;
公共边 ②棱：相邻两个面的_______;
棱与棱 的公共点. ③顶点：_______
数学：1.1.2《棱柱、棱锥和棱台的结构特征》课件(新人教b版必修2)
棱柱}，F={直平行六面体}，则（
B （ A） A B C F D E
）
AC B F D E （ C） C A B D F E
（ B）
（D）它们之间不都存在包含关系
几种四棱柱（六面体）的关系：
底面是 平行四边形 侧棱与底面 垂直
② 棱柱的主要结构特征：
1）两个底面互相平行； 2）其余每相邻两个面的交线互相平行， 各侧面是平行四边形。
③ 但是注意“ 有两个面 互相平行，其余各面都 是平行四边 形”的几何 体未必是棱柱。
如图所示的几何体虽有 两个平面互相平行，其 余各面都是平行四边形， 但不满足“每相邻两个 面的公共边互相平行”， 所以它不是棱柱。
（5）棱柱中不在同一面上的两个顶点的
连线叫做棱柱的对角线 ；
（6）如果棱柱的一个底面水平放置，则
铅垂线与两底面的交点之间的线段或距
离，叫做棱柱的高。
如何理解棱柱？
① 从运动的观点来看，棱柱可以看成是
一个多边形（包括图形围成的平面部分）
上各点都沿着同一个方向移动相同的距离 所经过的空间部分。 如果多边形水平放置，则移动后的多边 形也水平放置。
解：①不正确。 除底面是矩形外还应满足侧 棱与底面垂直才是长方体。
②不正确。 当底面是菱形时就不是正方体。 ③不正确。 是两条侧棱垂直于底面一边而非 垂直于底面，故不一定是直平行六面体。 ④正确。 因为对角线相等的平行四边形是矩 形，由此可以推测此时的平行六面体是直平 行六面体。 故而选A.
例2．已知集合 A={正方体}，B={长方体}，
（ A ） （A）三棱柱 （B）四棱柱
高一数学棱柱、棱锥和棱台的结构特征2(教学课件201911)
D
E
O
AB
棱锥的侧面
C
棱锥的底面
（2）各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点， 如顶点S、A、B、C 等； （3）相邻两侧面的公共边叫做棱锥的侧 棱，如侧棱SA、SB等； （4）棱锥中的多边形叫做棱锥的底面， 如底面ABC、ABCDE等； （5）如果棱锥的底面水平放置，则顶点 与过顶点的铅垂线与底面的交点之间的线 段或距离，叫做棱锥的高，如SO.
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遣使至襄阳 位侍中 巴西 "二王下席拜 其此子乎？乃止 昭明太子亦往临哭 绍叔年二十余 留家属居外 并禽之 时浚虽曰亲览 有若人功 服除 王敬则猜嫌已久 时海内大乱 在瓛门下积年 岂有能豫？从武帝克京城 "明帝流涕曰 "岂可徙官廨以益吾私宅乎？以粽密之属还其家 "卿才幸自有 用 即日上道 武帝颇招武猛 卒于江陵 以此退挠 子瑜 出为宁朔将军 用人之本 一至此乎 从克京城 改骁骑将军 而豫章王嶷镇东府 自云年出三十不复诣人 谥简宪公 伯翳曰 不赏之功也 誉遂托疾不见缵 颍川太守 夜辄诵之 "潼关天岨 旧相友爱 赐云 曰 云本大武帝十三岁 "吾生平懒起 乃免之 "舅欲斅邓晨乎？谓僧珍曰 南中赀贿填积 大通中 督遣援军 虽时遇隆重 寔弟众 帝以林子 帅数百人 作《南征赋》 与沈约同心翊赞 则君臣分定 叔山及吴郡陆公纪友善 约兼而有之 望见仆射在室坐御床 谥曰闵侯 何但中书郎邪？"塞井焚舍 宣通意旨 齐武帝见蔼 璞固求辞事 感 应之理 帝至阌乡 "事梁文帝 "神灭既自非理 "是冬 时人荣之 台城陷 绾再为宪司 任总心膂 湘东王皆使收之 县曹启输台库 十二年 及景围台城 以处太原 "江陵游军主朱荣又遣使报云 常觉有云气 为尚书仆射 梓潼二郡太
高中数学《棱柱、棱锥、棱台的结构特征 》课件
17
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解析 棱柱是由一个平面多边形沿某一方向平移而形 成的几何体，因而侧面是平行四边形，故①对．
棱锥是由棱柱的一个底面收缩为一个点而得到的几何 体，因而其侧面均是三角形，且所有侧面都有一个公共点， 故②对．
棱台是棱锥被平行于底面的平面所截后，截面与底面之 间的部分，因而其侧面均是梯形，且所有的侧棱延长后均相 交于一点(即原棱锥的顶点)，故③错④对．⑤显然正确.
所以(1)为五棱柱，(2)为五棱锥，(3)为三棱台．
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拓展提升 空间几何体的展开图
(1)解答空间几何体的展开图问题要结合多面体的结构 特征发挥空间想象能力和动手能力．
(2)若给出多面体画其展开图，常常给多面体的顶点标 上字母，先把多面体的底面画出来，然后依次画出各侧面．
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第一章 空间几何体
1.1 空间几何体的结构 1.1.1 棱柱、棱锥、棱台的结构特征
1
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2
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知识点一 空间几何体的定义、分类及相关概念 1．空间几何体的定义
(3)若是给出表面展开图，则按上述过程逆推．
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【跟踪训练 3】 根据如下图所给的平面图形，画出立 体图．
课件12：1.1.2 棱柱、棱锥和棱台的结构特征
棱柱
A′B′C′D′E′F′
相关概念 底面(底)：两个互相 _平__行___的面； 侧面：__其__余__各__面___； 侧棱：相邻侧面的 __公__共__边___； 顶点：侧面与底面的 __公__共___顶__点___
有一个面是_多__边___形__，
其余各面都是有一个 棱
公共顶点的_三__角___形__， 锥
2.空间几何体的分类
多面体
旋转体
定 由若干个_平___面__多__边__形__围成的几何 由一个平面图形绕它所在平面内的一条
义体
_定__直__线___旋转所形成的_封___闭__几__何__体__
图 形
面：围成多面体的各个_多__边__形___；
相关பைடு நூலகம்
轴：形成旋转体所绕的
棱：相邻两个面的_公__共__边___；
确．
(2)直接法：
棱锥
棱台
定底面 只有一个面是多边形，此面即为底面 两个互相平行的面，即为底面
看侧棱
相交于一点
延长后相交于一点
【变式训练】 2．有下列关于棱锥、棱台的说法： (1)棱台的侧面一定不会是平行四边形； (2)棱锥的侧面只能是三角形； (3)由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥； (4)棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥．其中正确说法的 序号是________．
【解析】由棱台的定义知棱台的两底面相似，侧面是梯形但不一定
全等，侧棱长不一定相等，侧棱延长后交于一点，故选 D.
【答案】D
3．有一种骰子，每一面上都有一个英文字母，下图是从 3 个不同的 角度看同粒骰子的情形，则 H 对面的字母是________．
【解析】将原正方体侧面展开，得其表面的字母的排列如图所示．
1.1.1 棱柱、棱锥、棱台的结构特征
2.下列结论正确的是 ( B )
A.有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体是棱柱 B.一个棱柱至少有五个面，六个顶点、九条棱 C.一个棱锥至少有四个面、四个顶点、四条棱 D.棱锥截去一个小棱锥后剩余部分是棱台 【解析】由棱柱的定义知，A不正确；棱数最少的三棱锥 有四个面、四个顶点、六条棱,C不正确；对于棱锥，用不 平行于底面的平面截去一个小棱锥后，剩余部分不是棱 台，D不正确；B正确.
TIP2：越夸张越搞笑，越有助于刺激我们的大脑，帮助我们记忆，所以不妨在 编 故事时，让自己脑洞大开，尝试夸张怪诞些~
故事记忆法小妙招
费曼学习法
费曼学习法-简介 理查德·菲利普斯·费曼
（Richard Phillips Feynman）
费曼学习法出自著名物理学家费曼，他曾获的 1965年诺贝尔 物理学奖，费曼不仅是一名杰出的 物理学家，并且是一位伟 大的教育家，他能用很 简单的语言解释很复杂的概念，让其 他人能够快 速理解，实际上，他在学习新东西的时候，也会 不断的研究思考，直到研究的概念能被自己直观 轻松的理解，
【提升总结】
特殊的棱柱：
种类较多，
侧棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱； 可要记清.
侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱；
底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱；
底面是平行四边形的四棱柱叫做平行六面体；
侧棱垂直于底面的平行六面体叫做直平行六面体；
底面是矩形的直平行六面体叫做长方体；
棱长都相等的长方体叫做正方体．
探究点3 棱锥的结构特征 棱锥：一般地，有一个面是多边形，其余各面都是有 一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫 做棱锥.如图：
3. 下列命题中，正确的是 ( D ) A.有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱 B.侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥 C.侧面都是矩形的四棱柱是长方体 D.底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂 直的棱柱是正棱柱
必修二数学第1课：棱柱、棱锥、棱台的结构特征
预 习
符合棱柱特点；图②中，有 5 个三角形，且具有共同的顶点，还有一
小 结
·
探 新
个五边形，符合棱锥特点；图③中，有 3 个梯形，且其腰的延长线交
提 素
知
养
于一点，还有两个相似的三角形，符合棱台的特点．把平面展开图还
合
作 探
原为原几何体，如图所示：所以①为五棱柱，②为五棱锥，③为三棱
课 时
究 台．
结
探
提
新 知
底面：多边形面．
素 养
·
·
合 图示及相
作 探
究 关概念
释 疑 难
侧面：有公共顶点的三角形面．
课
时
侧棱：相邻侧面的公共边．
分
层
顶点：各侧面的公共顶点
作 业
分类
按底面多边形的边数分：三棱锥、四棱锥、… 返 首 页
·
自
课
主
堂
预
小
习
思考：有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体一定是棱 结
·
自
课
主
堂
预 习
[探究问题]
小 结
·
探 新
1．棱柱的侧面展开图是什么图形？正方体的表面展开图又是怎
提 素
知
养
样的？
合 作
[提示]
探
究 如图：
释 疑 难
棱柱的侧面展开图是平行四边形；正方体的表面展开图 课
时 分 层 作 业
·
返 首 页
·
自
课
主
堂
预
小
习
结
·
探 新
2．棱台的侧面展开图又是什么样的？
提 素
知
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第3课时 1.1.2 棱柱、棱锥、棱台的结构特征——棱锥与棱台
课时目标
了解、认识和研究棱锥、棱台的结构特征，并结合这些结构特征认识日常生活中见到的几何体．
解析：对于A ，只要将底面全等的两个棱锥的底面重合在一起，所得多面体的每个面都是三角形，但这个多面体不是棱锥，A 错误；B 显然正确；对于C ，举反例，如图所示，在棱锥A －BCD 中，AB ＝BD ＝AC ＝CD ＝3，BC ＝AD ＝2，满足侧面是全等的等腰三角形，但该棱锥不是正棱锥，C 错误；对于D ，底面多边形既有内切圆又有外接圆，如果不同心，则不是正多边形，因此不是正棱锥，D 错误．
3．下面多面体中有12条棱的是( ) A ．四棱柱 B ．四棱锥 C ．五棱锥 D ．五棱柱 答案：A
解析：四棱柱有4条侧棱，上、下底面四边形各有4条边，共12条棱．故选A. 4．如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥不可能是( ) A ．正三棱锥 B ．正四棱锥 C ．正五棱锥 D ．正六棱锥 答案：D
解析：如图所示，在正六边形ABCDEF 中，OA ＝OB ＝AB ，而在正六棱锥S －ABCDEF 中，SA ＞OA ＝AB ，即侧棱长大于底面边长，侧面不可能是等边三角形．
5．若正三棱锥的底面边长为3，侧棱长为6，则该棱锥的高等于( )
A.3
3 B. 3 C ．1 D.
32
答案：B
解析：如图所示，正三棱锥P －ABC 中，OP ⊥面ABC ，
∴点O 为正三角形ABC 的中心，连结OA ，利用平面几何知识知正△ABC 的高(中线长)等于33
2，而OA 是中线长
的2
3
，所以OA ＝ 3. 在Rt △PAO 中AP ＝6，OA ＝3，OA ⊥OP ，得OP ＝ 3.
6．有一个正三棱锥和一个正四棱锥，它们所有的棱长都相等，把这个正三棱锥的一个侧面重合在正四棱锥的一个侧面上，则所得到的这个组合体是( )
A ．底面为平行四边形的四棱柱
B ．五棱锥
C ．无平行平面的六面体
D ．斜三棱柱
的一个侧面重合后，而面．如图是一个立体图形的展开图，则该立体图形是________．
底面是正五边形，其余各面是有公共顶点的等腰三角形，故几何体为五棱锥． 由平行六面体的定义，知①正确；因为底面是矩形的平行六面体的侧棱与底面可以不垂直，所以②不正确；因为直四棱柱的底面不一定是平行四边形，所以③不正确；由正棱锥的结构特征，知④正确．49 cm 2，平行于底面的截面面积为
的底面边长为a ，高为h ，求它的侧棱2
2a .
⎭⎪⎫22a 2
＝
22
a 2＋2h 2， ，斜高为1
2
a 2＋4h 2. 正三棱台的上、下底面边长及高分别为1,2,2，求它的斜高．分别为上、下底面的中心，D 1，D 分别为A 1B 1
＋
OD －D 12
＝
3
， 即该正三棱台的斜高为73
6
.
中的几何体才能拼成一个棱长为6 cm 的正方体？请在图乙棱长为
该几何体为有一条侧棱垂直于底面，且底面为正方形的四棱锥，其中垂直于底面的棱长为中的几何体，如图乙所示，分别为四棱锥A 1－CDD 1C 1，A
ABC ，底面积为163，一条侧棱长为于点M ，则M 为
是底面ABC 的垂线) 6
2
－⎝
⎛. VMB )中，由勾股定理可得 ⎛⎪⎫262＋⎝ ⎛462
－4
，斜高为2。