高中数学必修5不等式训练(含详细答案)教学文案
高中数学必修5基本不等式精选题目(附答案)
高中数学必修5基本不等式精选题目(附答案）1．重要不等式当a ，b 是任意实数时，有a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立． 2．基本不等式(1)有关概念：当a ，b 均为正数时，把a ＋b2叫做正数a ，b 的算术平均数，把ab 叫做正数a ，b 的几何平均数．(2)不等式：当a ，b 是任意正实数时，a ，b 的几何平均数不大于它们的算术平均数，即ab ≤a ＋b2，当且仅当a ＝b 时，等号成立．(3)变形：ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22，a ＋b ≥2ab (其中a ＞0，b ＞0，当且仅当a＝b 时等号成立)．题型一：利用基本不等式比较大小1.已知m ＝a ＋1a －2(a >2)，n ＝22－b 2(b ≠0)，则m ，n 之间的大小关系是( ) A ．m >n B ．m <n C ．m ＝nD ．不确定2.若a >b >1，P ＝lg a ·lg b ，Q ＝12(lg a ＋lg b )，R ＝lg a ＋b 2，则P ，Q ，R 的大小关系是________．题型二：利用基本不等式证明不等式3.已知a ，b ，c 均为正实数， 求证：2b ＋3c －a a ＋a ＋3c －2b 2b ＋a ＋2b －3c3c ≥3.4.已知a ，b ，c 为正实数， 且a ＋b ＋c ＝1，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1≥8.题型三：利用基本不等式求最值5.已知lg a ＋lg b ＝2，求a ＋b 的最小值．6.已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋3y ＝6，求xy 的最大值．7.已知x ＞0，y ＞0，1x ＋9y ＝1，求x ＋y 的最小值．8．已知a >0，b >0，2a ＋1b ＝16，若不等式2a ＋b ≥9m 恒成立，则m 的最大值为( )A ．8B ．7C ．6D ．5题型四：利用基本不等式解应用题9.某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元，求：(1)仓库面积S 的最大允许值是多少？(2)为使S 达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？巩固练习：1．下列结论正确的是( ) A ．当x >0且x ≠1时，lg x ≥2 B ．当x >0时，x ＋1x≥2 C ．当x ≥2时，x ＋1x 的最小值为2 D ．当0<x ≤2时，x －1x 无最大值2．下列各式中，对任何实数x 都成立的一个式子是( ) A ．lg(x 2＋1)≥lg(2x ) B ．x 2＋1>2x C.1x 2＋1≤1 D ．x ＋1x ≥23．设a ，b 为正数，且a ＋b ≤4，则下列各式中正确的一个是( ) A.1a ＋1b <1 B.1a ＋1b ≥1 C.1a ＋1b <2D.1a ＋1b ≥24．四个不相等的正数a ，b ，c ，d 成等差数列，则( )A.a＋d2>bc B.a＋d2<bcC.a＋d2＝bc D.a＋d2≤bc5．若x>0，y>0，且2x＋8y＝1，则xy有()A．最大值64B．最小值1 64C．最小值12D．最小值646．若a>0，b>0，且1a＋1b＝ab，则a3＋b3的最小值为________．7．(2017·江苏高考)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是________．8．若对任意x>0，xx2＋3x＋1≤a恒成立，则a的取值范围是________．9．(1)已知x<3，求f(x)＋x的最大值；参考答案：1.解：因为a>2，所以a－2>0，又因为m＝a＋1a－2＝(a－2)＋1a－2＋2，所以m≥2(a－2)·1a－2＋2＝4，由b≠0，得b2≠0，所以2－b2<2，n＝22－b2<4，综上可知m>n.2.解：因为a>b>1，所以lg a>lg b>0，所以Q＝12(lg a＋lg b)>lg a·lg b＝P；Q＝12(lg a＋lg b)＝lg a＋lg b＝lg ab<lga＋b2＝R.所以P<Q<R.3.[证明]∵a，b，c均为正实数，∴2b a ＋a2b ≥2(当且仅当a ＝2b 时等号成立)， 3c a ＋a3c ≥2(当且仅当a ＝3c 时等号成立)， 3c 2b ＋2b3c ≥2(当且仅当2b ＝3c 时等号成立)，将上述三式相加得⎝ ⎛⎭⎪⎫2b a ＋a 2b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3c a ＋a 3c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3c 2b ＋2b 3c ≥6(当且仅当a ＝2b ＝3c时等号成立)，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫2b a ＋a 2b －1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3c a ＋a 3c －1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3c 2b ＋2b 3c －1≥3(当且仅当a ＝2b ＝3c 时等号成立)，即2b ＋3c －a a ＋a ＋3c －2b 2b ＋a ＋2b －3c 3c ≥3(当且仅当a ＝2b ＝3c 时等号成立)．4.证明：因为a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝1， 所以1a －1＝1－a a ＝b ＋c a ≥同理，1b －1≥2ac b ，1c －1≥2abc . 上述三个不等式两边均为正，相乘得⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1≥2bc a ·2ac b ·2abc ＝8，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，取等号.5.解：由lg a ＋lg b ＝2可得lg ab ＝2， 即ab ＝100，且a ＞0，b ＞0，因此由基本不等式可得a ＋b ≥2ab ＝2100 ＝20， 当且仅当a ＝b ＝10时，a ＋b 取到最小值20. 6.解：∵x ＞0，y ＞0,2x ＋3y ＝6，∴xy ＝16(2x ·3y )≤16·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3y 22＝16·⎝ ⎛⎭⎪⎫622＝32，当且仅当2x ＝3y ，即x ＝32，y ＝1时，xy 取到最大值32. 7.解：∵1x ＋9y ＝1， ∴x ＋y ＝(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋9y＝1＋9x y ＋y x ＋9＝y x ＋9xy ＋10，又∵x ＞0，y ＞0， ∴y x ＋9xy ＋10≥2y x ·9xy ＋10＝16，当且仅当y x ＝9xy ，即y ＝3x 时，等号成立．由⎩⎨⎧y ＝3x ，1x ＋9y ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝12，即当x ＝4，y ＝12时，x ＋y 取得最小值16.8.解析：选C 由已知，可得6⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ＝1，∴2a ＋b ＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ·(2a ＋b )＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋2a b ＋2b a ≥6×(5＋4)＝54，当且仅当2a b ＝2b a 时等号成立，∴9m ≤54，即m ≤6，故选C.9.[解] (1)设铁栅长为x 米，一堵砖墙长为y 米，而顶部面积为S ＝xy ，依题意得，40x ＋2×45y ＋20xy ＝3 200，由基本不等式得3 200≥240x ×90y ＋20xy＝120xy ＋20xy ， ＝120S ＋20S .所以S ＋6S －160≤0，即(S －10)(S ＋16)≤0， 故S ≤10，从而S ≤100，所以S 的最大允许值是100平方米，(2)取得最大值的条件是40x ＝90y 且xy ＝100， 求得x ＝15，即铁栅的长是15米． 练习：1.解析：选B A 中，当0<x <1时，lg x <0，lg x ＋1lg x ≥2不成立；由基本不等式知B 正确；C 中，由对勾函数的单调性，知x ＋1x 的最小值为52；D 中，由函数f (x )＝x －1x 在区间(0,2]上单调递增，知x －1x 的最大值为32，故选B.2.解析：选C 对于A ，当x ≤0时，无意义，故A 不恒成立；对于B ，当x ＝1时，x 2＋1＝2x ，故B 不成立；对于D ，当x <0时，不成立．对于C ，x 2＋1≥1，∴1x 2＋1≤1成立．故选C. 3.解析：选B 因为ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤⎝ ⎛⎭⎪⎫422＝4，所以1a ＋1b ≥21ab ≥214＝1.4.解析：选A 因为a ，b ，c ，d 成等差数列，则a ＋d ＝b ＋c ，又因为a ，b ，c ，d 均大于0且不相等，所以b ＋c >2bc ，故a ＋d2>bc .5.解析：选D 由题意xy ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋8y xy ＝2y ＋8x ≥22y ·8x ＝8xy ，∴xy ≥8，即xy 有最小值64，等号成立的条件是x ＝4，y ＝16.6.解析：∵a >0，b >0，∴ab ＝1a ＋1b ≥21ab ，即ab ≥2，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，∴a 3＋b 3≥2(ab )3≥223＝42，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，则a 3＋b 3的最小值为4 2.7.解析：由题意，一年购买600x 次，则总运费与总存储费用之和为600x ×6＋4x ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫900x ＋x ≥8900x ·x ＝240，当且仅当x ＝30时取等号，故总运费与总存储费用之和最小时x 的值是30.8.解析：因为x >0，所以x ＋1x ≥2.当且仅当x ＝1时取等号，所以有x x 2＋3x ＋1＝1x ＋1x＋3≤12＋3＝15， 即x x 2＋3x ＋1的最大值为15，故a ≥15. 答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫15，＋∞(2)已知x ，y 是正实数，且x ＋y ＝4，求＋3y 的最小值． 9.解：(1)∵x <3， ∴x －3<0， ∴f (x )＝4x －3＋x ＝4x －3＋(x －3)＋3 ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤43－x ＋(3－x )＋3≤－243－x·(3－x )＋3＝－1， 当且仅当43－x ＝3－x ，即x ＝1时取等号， ∴f (x )的最大值为－1. (2)∵x ，y 是正实数，∴(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋3y ＝4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ＋3x y ≥4＋2 3.当且仅当y x ＝3xy ，即x ＝2(3－1)，y ＝2(3－3)时取“＝”号． 又x ＋y ＝4， ∴1x ＋3y ≥1＋32， 故1x ＋3y 的最小值为1＋32.。
必修五不等式专题附加答案解析
不等式专题一共分为6部分 1.不等关系与不等式 2.一元二次不等式及其解法 3.二元一次不等式组与平面区域 4.线性规划与实际应用 5.线性规划与基本不等式 6.不等式综合复习第一部分不等关系与不等式实数的符号：任意x R ∈，则0x >（x 为正数）、0x =或0x <（x 为负数）三种情况有且只有一种成立。
两实数的加、乘运算结果的符号具有以下符号性质： ①两个同号实数相加，和的符号不变 符号语言：0,00a b a b >>⇒+>；0,00a b a b <<⇒+<②两个同号实数相乘，积是正数 符号语言：0,00a b ab >>⇒>；0,00a b ab <<⇒>③两个异号实数相乘，积是负数 符号语言：0,00a b ab ><⇒< ④任何实数的平方为非负数，0的平方为0 符号语言：20x R x ∈⇒≥，200x x =⇔=. 比较两个实数大小的法则： 对任意两个实数a 、b ①0b a b a ->⇔>； ②0b a b a -<⇔<； ③0b a b a -=⇔=.对于任意实数a 、b ,a b >,a b =,a b <三种关系有且只有一种成立。
要点诠释：这三个式子实质是运用实数运算来比较两个实数的大小关系。
它是本章的基础，也是证明不等式与解不等式的主要依据。
1、某人有楼房一幢，室内面积共2180m ，拟分割成大、小两类房间作为旅游客房，大房间面积为218m ，可住游客5人，每名游客每天住宿费40元；小房间每间面积为215m ，可住游客3人，每名游客每天住宿费50元；装修大房间每间需要1000元，装修小房间每间需要600元，如果他只能筹款8000元用于装修，试写出满足上述所有不等关系的不等式.【解析】假设装修大、小客房分别为x 间，y 间，根据题意，应由下列不等关系：（1） 总费用不超过8000元 （2） 总面积不超过2180m ；（3） 大、小客房的房间数都为非负数且为正整数. 即有：**1800(0(100060080001815))x x N y y N x y x y ≤≥∈≥∈+≤⎧⎪+⎪⎨⎪⎪⎩ 即**600(0(534065))x x N y y N x y x y ≤≥∈≥∈+≤⎧⎪+⎪⎨⎪⎪⎩此即为所求满足题意的不等式组1、某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本。
高中数学必修5（人教A版）第三章不等式3.4知识点总结含同步练习及答案
描述：例题：高中数学必修5(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案第三章 不等式 3.4 基本不等式一、学习任务掌握基本不等式 （）；能用基本不等式证明简单不等式（指只用一次基本不等式即可解决的问题）；能用基本不等式求解简单的最大（小）值问题（指只用一次基本不等式即可解决的问题）．二、知识清单均值不等式的含义均值不等式的应用 均值不等式的实际应用三、知识讲解1.均值不等式的含义均值定理如果 ，，那么 ．当且仅当 时，等号成立．对任意两个正实数，，数 叫做 ， 的算术平均值，数 叫做 ， 的几何平均值．均值不等式可以表达为：两个正实数的算术平均值大于或等于它的几何平均值．均值不等式也称为基本不等式 ．两个正数的积为常数时，它们的和有最小值；两个正数的和为常数时，它们的积有最大值．⩽ab −−√a +b2a >0,b >0a b ∈R +⩾a +b2ab −−√a =b a b a +b2a b ab −−√a b 设 ，，下列不等式中不成立的是（ ）A． B．C． D．解：D，故 A 中不等式成立；，所以，所以 B 中不等式成立；，， ，所以不等式两边同时平方可得 ，故 C 中不等式成立．因为 的符号不确定，当时，不等式不成立.a >0b >0+⩾2b a a b+⩾2ab a 2b2ab ⩽()a +b22a −b +⩾21a −b+⩾2=2b a ab ⋅b a ab −−−−−−√(a −b ⩾0)2+⩾2aba 2b 2a >0b >0⩽a +b 2ab −−√⩾ab ()a +b 22a −b a ⩽b 已知 ，，且 ，求 的最大值．解：由均值不等式可得 ，当且仅当 时等号成立，所以 ，当且仅当 ， 时等号成立，所以 的最大值为 ．x y ∈R +x +4y =1xy x +4y ⩾2x ⋅4y −−−−−√x =4y xy ⩽116x =12y =18xy 116描述：例题：2.均值不等式的应用基本不等式的应用非常广泛，如求函数最值，证明不等式，比较大小，求取值范围，解决实际问题等．其中，求最值是其最重要的应用 ．利用均值不等式求最值时应注意“一正，二定，三相等”，三者缺一不可．求函数 (x>3)\) 的最小值．解：因为 ，所以，所以当且仅当，即 时，取 “” 号，所以 ．y =+x 1x −3x >3x −3>0y =+x =+(x −3)+3⩾5,1x −31x −3x −3=1x −3x =4==5y min （1）求函数的最小值；（2）求函数 的最大值．解：（1）当，所以，，所以当且仅当 ，即 时， 取得最小值 ．（2）当，所以 ，，所以当且仅当 ，即 时， 取得最大值 ．f (x )=+3x (x >0)12x f (x )=+3x (x <0)12x x >0>012x3x >0f (x )=+3x ⩾2=12,12x ⋅3x 12x−−−−−−√=3x 12xx =2f (x )12x <0−>012x−3x >0f (x )=+3x 12x=−[(−)+(−3x )]12x ⩽−2(−)⋅(−3x )12x −−−−−−−−−−−−−√=−12,−=−3x 12xx =−2f (x )−12求函数的最大值．解：因为 ，所以 ，所以f (x )=x (1−3x )(0<x <)130<x <130<1−3x <1描述：例题：3.均值不等式的实际应用利用基本不等式解决实际问题的一般步骤：①正确理解题意，设出变量，一般可以把要求最大（小）值的变量定为函数；②建立相应的函数关系式，把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题；③在定义域内，求出函数的最大值或最小值；④正确写出答案．当且仅当 ，即 时， 取得最大值 ．f (x )=x (1−3x )=×3x (1−3x )13⩽13()3x +1−3x 22=,1123x =1−3x x =16f (x )112设 ，求证：．证明：因为 ，，，所以当且仅当 时，等号成立，所以 ．a ,b ,c ∈R ++⩾ab +bc +ca a 2b 2c 2+⩾2ab a 2b 2+⩾2bc b 2c 2+⩾2ca c 2a 2(+)+(+)+(+)⩾2ab +2bc +2ca ,a 2b 2b 2c 2c 2a 2a =b =c ++⩾ab +bc +ca a 2b 2c 2建造一个容积为 ，深为 的长方形无盖水池，如果池底的造价是每平方米 元，池壁的造价是每平方米 元，求这个水池的最低造价．解：设水池的造价为 元，池底的长为 ，则宽为．所以当且仅当 ，即 时，等号成立．所以当 时，．答：水池的最低造价为元．8m 32m 12080y x m 4xm y =4×120+2(2x +)×808x=480+320(x +)4x ⩾480+320×2x ⋅4x−−−−−√=1760,x =4xx =2x =2=1760y min 1760某种汽车，购车费用是 万元，每年使用的保险费、汽油费约为 万元，年维修费第一年是 万元，以后逐年递增 万元．问这种汽车使用多少年时，它的年平均费用最少？解：设使用 年时，年平均费用 最少．由于“年维修费第一年是 万元，以后逐年递增 万元”，可知汽车每年维修费构成以 万元为首项， 万元为公差的等差数列．因此汽车使用 年的总维修费用为万元，所以100.90.20.2x y 0.20.20.20.2xx (0.2+0.2x )2四、课后作业 （查看更多本章节同步练习题，请到快乐学）当且仅当 ，即 时， 取得最小值．答：汽车使用 年时年平均费用最少．y =10+0.9x +x (0.2+0.2x )2x =10+x +0.1x 2x =1++10x x 10⩾1+2⋅10x x10−−−−−−−√=3=10xx 10x =10y 10答案：1. 若 ，下列不等式中总能成立的是 A ．B ．C ．D ．Ca >b >0()>>2aba +ba +b2ab −−√>>a +b 22ab a +b ab−−√>>a +b 2ab −−√2ab a +b>>2ab a +bab −−√a +b 2答案：2. 下列各式中最小值是 的是 A ．B ．C ．D ．D2()+x y y x+5x 2+4x 2−−−−−√tan x +cot x+2x 2−x答案：解析：3. 已知 ，则函数 的最大值是A ．B ．C ．D ．C ，由 可得 ，根据基本不等式可得，当且仅当 即 时取等号，则 ．x <12y =2x +12x −1()21−1−2y =−[(1−2x )+]+111−2x x <121−2x >0(1−2x )+⩾211−2x 1−2x =11−2x x =0=−1y max 答案：4. 如果正数 满足 ，那么 A ． ，且等号成立时 的取值唯一B ． ，且等号成立时 的取值唯一C ． ，且等号成立时 的取值不唯一D ． ，且等号成立时 的取值不唯一Aa ,b ,c ,d a +b =cd =4()ab ⩽c +d a ,b ,c ,d ab ⩾c +d a ,b ,c ,d ab ⩽c +d a ,b ,c ,d ab ⩾c +d a ,b ,c ,d高考不提分，赔付1万元，关注快乐学了解详情。
高中数学必修五第三章不等式导学案及课后作业加答案
【学习要求】
1．了解不等式(组)的实际背景． 2．掌握比较两个实数大小的方法． 3．掌握不等式的八条性质．
不等关系与不等式
如果 a－b 是正数，那么 ；
如果 a－b 是负数，那么
；
【学法指导】
1．不等关系广泛存在于现实生活中，应用不等式(组)表示不等关系实质是将“自然语言”或“图形语言”转化成 “数学语言”，是用不等式知识解决实际问题的第一步．只需根据题意建立相应模型，把模型中的量具体化即 可． 2．作差法是比较两个数(或式)大小的重要方法之一，可简单概括为“三步一结论”，其中关键步骤“变形”要彻 底，当不能“定号”时注意分类讨论． 3．不等式的基本性质是解决不等式的有关问题的依据，应用时每步都要做到等价变形．
如果 a－b 等于零，那么
.
【知识要点】
1．不等式：用数学符号<，≤，>，≥或≠表示 式子叫做不等式． 2．不等式中文字语言与符号语言之间的转换 大于 > 小于 < 大于等于 ≥ 小于等于 ≤ 的
至多 ≤
至少 ≥
不少于 ≥
不多于 ≤ ，那么 a<b，
3．比较实数 a，b 大小的依据 （1）文字叙述：如果 a－b 是 ，那么 a>b；如果 a－b 等于 ，那么 a＝b；如果 a－b 是 反过来也对． （2）符号表示:a－b>0⇔ ;a－b＝0⇔ ;a－b<0⇔ . 4．常用的不等式的基本性质 （1）a>b⇔b a(对称性)； （2）a>b，b>c⇒ a c(传递性)； （3）a>b⇒ a＋c b＋c(可加性)； （4）a>b，c>0⇒ ac bc；a>b，c<0⇒ ac bc； （5）a>b，c>d⇒ a＋c b＋d； （6）a>b>0，c>d>0⇒ ac bd； （7）a>b>0，n∈N，n≥2⇒ an bn； （8）a>b>0，n∈N，n≥2⇒ n a n b.
高中数学必修5不等式解答题专项练习附答案学生版
淇淋供不应求．
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（1）求冰淇淋店进一次货，经加工售卖后所得净利润 w 与车速 v 和进货量 x 之间的关系式； （2）每次至少进货多少千克，才能使得销售后不会亏本（净利润 w≥0）？ （3）当一次进货量 x 与车速 v 分别为多少时，能使得冰淇淋店有最大净利润？并求出最大值．（提示：
（I）用 x，y 列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域； （II）问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？
19.已知动点 到定点
和到直线
2 的距离之比为 2 ，设动点 的轨迹为曲线 ，过点作
2
垂直于 轴的直线与曲线 相交于两点，直线
ā 与曲线 交于 h 两点，与 相交于
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18.电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告．已知每次播放甲、乙两套连续剧时， 连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：
连续剧播放时长（分钟） 广告播放时长（分钟） 收视人次（万）
甲
70
5
60
乙
60
5
25
已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于 600 分钟，广告的总播放时间不少于 30 分钟， 且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的 2 倍．分别用 x，y 表示每周计划播出的甲、乙两套连续 剧的次数．（13 分）
一点（交点位于线段 上，且与 不重合）.
（1）求曲线 的方程；值？若有，求出其最大值及对
应的直线的方程；若没有，请说明理由.
20.已知函数
2
（1）若
，求关于
（2）若不等式 ⩽
2
2
的不等式
对任意实数
高二数学必修5第三章《基本不等式基本不等式及其变形公式的应用(第三课时)》新授课详细教案
第三章 不等式3.4基本不等式2a bab +≤（第三课时）【创设情景 引入新知】前一节课我们学习了利用基本不等式解一些简单的实际应用问题，求一些简单的最值问题，在应用的过程中，我们对基本不等式2ba ab +≤的结构特征已是充分认识，并能够灵活把握.基本不等式不仅应用广泛，而且由基本不等式还可以推导出许多变形公式，为下一步的学习好应用提供了更多的思路和方法，那么你知道基本不等式有哪些变通形式？怎么灵活应用呢？另外，有一些代数式的积或和都不是定值，应该怎么求最值呢？对一些不等式我们能否利用基本不等式进行证明呢？本节课，我们将对基本不等式展开一些在求有关函数值域、最值的应用，更重要的是对基本不等式展开一些实际应用.【探索问题 形成概念】基本不等式的变通公式： 变式1：将基本不等式2a bab +≥两边平方可得22()a b ab +≥； 变式2：在不等式222a bab +≥两边同加上22a b +，再除以4，可得，22222()a b a b ++≥； 变式3：将不等式2(0,0)a b ab a b +≥>>两边同乘以ab ，可得2abab a b≥+，再让我再想想吧？将2ab a b+的分子、分母同除ab ，得211ab a b≥+.综合上述几种变式得出，2222211a b a b ab a b++≥≥≥+.（一）利用基本不等式求积或和都不是定值的函数的最值问题利用基本不等式求最值时，如果无定值，要先配、凑出定值，再利用基本不等式求解. 【例题】（1）已知3x <，求43()f x x x =+-的最大值；（2）已知01x << ，求 21x x -的最大值.【思路】（1）用基本不等式求最值时,构造积为定值，各项必须为正数,若为负数,则添负号变正.（2）构造和为定值，利用基本不等式求最值. 【解答】（1）330,.x x <∴-<4433334433233331()()()()f x x x x x x x x x ∴=+=+-+--⎡⎤=-+-+≤-⨯-+⎢⎥--⎣⎦=-当且仅当433()x x =--，即x ＝1时取等号．()f x ∴的最大值为－1.（2）2222201111122,()x x x x xx x <<+-∴-=-≤=当且仅当221xx =-，即22x =时取等号． ()f x ∴的最大值为12.【反思】对于某些问题,从形式上看不具备应用基本不等式的条件,可设法变形拼凑出应用基本不等式的条件,然后用基本不等式求解.（二）形如0()by at t t=+>型函数无法使用基本不等式求最值思考两个正数的积为定值，它们的和一定有最小值吗？不一定．应用基本不等式求最值时还要求等号能取到． 【例题】求函数2232x y x +=+的最小值.【思路】由于分子变量的次幂是分母变量次幂的2倍，因此可化为1y t t=+型函数求解. 【错误解法】22223122222min,.x y x x x y +==++≥++∴=但是22x +与212x +不可能相等，即“＝”取不到，因此最小值不是2.【正确解法】222231222x y x x x +==++++，令22t x =+，则2t ≥，所以原式为12()y t t t=+≥.而函数1y t t=+在01(,)t ∈上为减函数，在1(,)t ∈+∞上为增函数，2t ≥，则当2t =时，y 取最小值，且132222min y =+=，此时0x =，故当0x =时，y 取最小值322.【反思】当形如0()by at t t=+>型函数无法使用基本不等式求最值时，可用函数的单调性求解，而函数0()b y at t t =+>在0,b a ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭上为减函数，在,b a ⎛⎫+∞⎪ ⎪⎝⎭上为增函数.（三）利用基本不等式证明不等式证明不等式是均值不等式的一个基本应用,注意分析不等式的左右两边的结构特征,通过拆(添)项创设一个应用均值不等式的条件.在解决本类问题时注意以下几点: （1）均值不等式成立的前提条件;（2）通过加减项的方法配凑成算术平均数、几何平均数的形式; （3）注意“1”的代换;（4）灵活变换基本不等式的形式并注意其变形式的运用.【例题】已知,,a b c 为不全相等的正实数．求证222a b cab bc ac ++>++.【思路】先构造基本不等式的条件，再运用基本不等式证明，不要忘记判断等号成立的条件. 【证明】22222222200022222,,,,,,()(),a b c a b ab b c bc a c ac a b c ab bc ac >>>∴+≥+≥+≥∴++≥++ 即222,a b cab bc ac ++≥++又,,a b c 为不全等的正实数，故等号不成立． ∴222a b cab bc ac ++>++【反思】对要证明的不等式作适当变形，变出基本不等式的形式，然后利用基本不等式进行证明．如果本例条件不变，求证a b c ab bc ac ++>++.则可以类似的证明000,,,a b c >>>222,,,a b ab b c bc a c ac ∴+≥+≥+≥∴22()()a b c ab bc ac ++≥++即a b c ab bc ac ++≥++.由于,,a b c 为不全相等的正实数，故等号不成立． ∴a b c ab bc ac ++>++.【解疑释惑 促进理解】难点一、如何利用基本不等式求条件最值在条件最值中，一种方法是消元转化为函数最值，另一种方法是将要求最值的表达式变形，然后用基本不等式将要求最值的表达式放缩为一个定值． 【例题】已知x >0，y >0，且1x ＋9y ＝1，求x ＋y 的最小值；【错误解法】0,0x y >>，且191x y +=，∴()1992212x y x y xy x y xy ⎛⎫+=++≥= ⎪⎝⎭故 ()min 12x y += 。
高中数学必修5基本不等式精选题目(附答案)
高中数学必修5基本不等式精选题目(附答案）1．重要不等式当a ，b 是任意实数时，有a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立． 2．基本不等式(1)有关概念：当a ，b 均为正数时，把a ＋b2叫做正数a ，b 的算术平均数，把ab 叫做正数a ，b 的几何平均数．(2)不等式：当a ，b 是任意正实数时，a ，b 的几何平均数不大于它们的算术平均数，即ab ≤a ＋b2，当且仅当a ＝b 时，等号成立．(3)变形：ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22，a ＋b ≥2ab (其中a ＞0，b ＞0，当且仅当a＝b 时等号成立)．题型一：利用基本不等式比较大小1.已知m ＝a ＋1a －2(a >2)，n ＝22－b 2(b ≠0)，则m ，n 之间的大小关系是( ) A ．m >n B ．m <n C ．m ＝nD ．不确定2.若a >b >1，P ＝lg a ·lg b ，Q ＝12(lg a ＋lg b )，R ＝lg a ＋b 2，则P ，Q ，R 的大小关系是________．题型二：利用基本不等式证明不等式3.已知a ，b ，c 均为正实数， 求证：2b ＋3c －a a ＋a ＋3c －2b 2b ＋a ＋2b －3c3c ≥3.4.已知a ，b ，c 为正实数， 且a ＋b ＋c ＝1，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1≥8.题型三：利用基本不等式求最值5.已知lg a ＋lg b ＝2，求a ＋b 的最小值．6.已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋3y ＝6，求xy 的最大值．7.已知x ＞0，y ＞0，1x ＋9y ＝1，求x ＋y 的最小值．8．已知a >0，b >0，2a ＋1b ＝16，若不等式2a ＋b ≥9m 恒成立，则m 的最大值为( )A ．8B ．7C ．6D ．5题型四：利用基本不等式解应用题9.某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元，求：(1)仓库面积S 的最大允许值是多少？(2)为使S 达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？巩固练习：1．下列结论正确的是( ) A ．当x >0且x ≠1时，lg x ＋1lg x ≥2 B ．当x >0时，x ＋1x≥2 C ．当x ≥2时，x ＋1x 的最小值为2 D ．当0<x ≤2时，x －1x 无最大值2．下列各式中，对任何实数x 都成立的一个式子是( ) A ．lg(x 2＋1)≥lg(2x ) B ．x 2＋1>2x C.1x 2＋1≤1 D ．x ＋1x ≥23．设a ，b 为正数，且a ＋b ≤4，则下列各式中正确的一个是( ) A.1a ＋1b <1 B.1a ＋1b ≥1 C.1a ＋1b <2D.1a ＋1b ≥24．四个不相等的正数a ，b ，c ，d 成等差数列，则( ) A.a ＋d2>bcB.a ＋d2<bcC.a＋d2＝bc D.a＋d2≤bc5．若x>0，y>0，且2x＋8y＝1，则xy有()A．最大值64B．最小值1 64C．最小值12D．最小值646．若a>0，b>0，且1a＋1b＝ab，则a3＋b3的最小值为________．7．(2017·江苏高考)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是________．8．若对任意x>0，xx2＋3x＋1≤a恒成立，则a的取值范围是________．9．(1)已知x<3，求f(x)＝4x－3＋x的最大值；参考答案：1.解：因为a>2，所以a－2>0，又因为m＝a＋1a－2＝(a－2)＋1a－2＋2，所以m≥2(a－2)·1a－2＋2＝4，由b≠0，得b2≠0，所以2－b2<2，n＝22－b2<4，综上可知m>n.2.解：因为a>b>1，所以lg a>lg b>0，所以Q＝12(lg a＋lg b)>lg a·lg b＝P；Q＝12(lg a＋lg b)＝lg a＋lg b＝lg ab<lga＋b2＝R.所以P<Q<R.3.[证明]∵a，b，c均为正实数，∴2ba＋a2b≥2(当且仅当a＝2b时等号成立)，3c a＋a3c≥2(当且仅当a＝3c时等号成立)，3c 2b ＋2b3c ≥2(当且仅当2b ＝3c 时等号成立)，将上述三式相加得⎝ ⎛⎭⎪⎫2b a ＋a 2b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3c a ＋a 3c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3c 2b ＋2b 3c ≥6(当且仅当a ＝2b ＝3c时等号成立)，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫2b a ＋a 2b －1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3c a ＋a 3c －1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3c 2b ＋2b 3c －1≥3(当且仅当a ＝2b ＝3c 时等号成立)，即2b ＋3c －a a ＋a ＋3c －2b 2b ＋a ＋2b －3c 3c ≥3(当且仅当a ＝2b ＝3c 时等号成立)．4.证明：因为a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝1， 所以1a －1＝1－a a ＝b ＋c a ≥2bc a . 同理，1b －1≥2ac b ，1c －1≥2abc . 上述三个不等式两边均为正，相乘得⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1≥2bc a ·2ac b ·2abc ＝8，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，取等号.5.解：由lg a ＋lg b ＝2可得lg ab ＝2， 即ab ＝100，且a ＞0，b ＞0，因此由基本不等式可得a ＋b ≥2ab ＝2100 ＝20， 当且仅当a ＝b ＝10时，a ＋b 取到最小值20. 6.解：∵x ＞0，y ＞0,2x ＋3y ＝6， ∴xy ＝16(2x ·3y )≤16·⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋3y 22＝16·⎝ ⎛⎭⎪⎫622＝32，当且仅当2x ＝3y ，即x ＝32，y ＝1时，xy 取到最大值32. 7.解：∵1x ＋9y ＝1， ∴x ＋y ＝(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋9y＝1＋9x y ＋y x ＋9＝y x ＋9xy ＋10， 又∵x ＞0，y ＞0， ∴y x ＋9xy ＋10≥2y x ·9xy ＋10＝16，当且仅当y x ＝9xy ，即y ＝3x 时，等号成立． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x ，1x ＋9y＝1，得⎩⎨⎧x ＝4，y ＝12，即当x ＝4，y ＝12时，x ＋y 取得最小值16.8.解析：选C 由已知，可得6⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ＝1，∴2a ＋b ＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ·(2a ＋b )＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋2a b ＋2b a ≥6×(5＋4)＝54，当且仅当2a b ＝2b a 时等号成立，∴9m ≤54，即m ≤6，故选C.9.[解] (1)设铁栅长为x 米，一堵砖墙长为y 米，而顶部面积为S ＝xy ，依题意得，40x ＋2×45y ＋20xy ＝3 200，由基本不等式得3 200≥240x ×90y ＋20xy ＝120xy ＋20xy ， ＝120S ＋20S .所以S ＋6S －160≤0，即(S －10)(S ＋16)≤0， 故S ≤10，从而S ≤100，所以S 的最大允许值是100平方米，(2)取得最大值的条件是40x ＝90y 且xy ＝100， 求得x ＝15，即铁栅的长是15米． 练习：1.解析：选B A 中，当0<x <1时，lg x <0，lg x ＋1lg x ≥2不成立；由基本不等式知B 正确；C 中，由对勾函数的单调性，知x ＋1x 的最小值为52；D 中，由函数f (x )＝x －1x 在区间(0,2]上单调递增，知x －1x 的最大值为32，故选B.2.解析：选C 对于A ，当x ≤0时，无意义，故A 不恒成立；对于B ，当x ＝1时，x 2＋1＝2x ，故B 不成立；对于D ，当x <0时，不成立．对于C ，x 2＋1≥1，∴1x 2＋1≤1成立．故选C. 3.解析：选B 因为ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤⎝ ⎛⎭⎪⎫422＝4，所以1a ＋1b ≥21ab ≥214＝1.4.解析：选A 因为a ，b ，c ，d 成等差数列，则a ＋d ＝b ＋c ，又因为a ，b ，c ，d 均大于0且不相等，所以b ＋c >2bc ，故a ＋d2>bc .5.解析：选D 由题意xy ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋8y xy ＝2y ＋8x ≥22y ·8x ＝8xy ，∴xy ≥8，即xy 有最小值64，等号成立的条件是x ＝4，y ＝16.6.解析：∵a >0，b >0，∴ab ＝1a ＋1b ≥21ab ，即ab ≥2，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，∴a 3＋b 3≥2(ab )3≥223＝42，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，则a 3＋b 3的最小值为4 2.7.解析：由题意，一年购买600x 次，则总运费与总存储费用之和为600x ×6＋4x ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫900x ＋x ≥8900x ·x ＝240，当且仅当x ＝30时取等号，故总运费与总存储费用之和最小时x 的值是30.8.解析：因为x >0，所以x ＋1x ≥2.当且仅当x ＝1时取等号， 所以有xx 2＋3x ＋1＝1x ＋1x ＋3≤12＋3＝15， 即x x 2＋3x ＋1的最大值为15，故a ≥15. 答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫15，＋∞(2)已知x ，y 是正实数，且x ＋y ＝4，求1x ＋3y 的最小值． 9.解：(1)∵x <3， ∴x －3<0，∴f (x )＝4x －3＋x ＝4x －3＋(x －3)＋3 ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤43－x ＋(3－x )＋3≤－243－x·(3－x )＋3＝－1， 当且仅当43－x＝3－x ， 即x ＝1时取等号， ∴f (x )的最大值为－1. (2)∵x ，y 是正实数，∴(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋3y ＝4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ＋3x y ≥4＋2 3.当且仅当y x ＝3xy ，即x ＝2(3－1)，y ＝2(3－3)时取“＝”号． 又x ＋y ＝4， ∴1x ＋3y ≥1＋32， 故1x ＋3y 的最小值为1＋32.。
人教版高中数学必修五 基本不等式的应用课时练 详细答案解析版
基本不等式的应用1.已知,p q R ∈,100pq =,则22p q +的最小值是（ ）A.200B.100C.50D.20【解析】222200p q pq +≥=,当且仅当10p q ==或10p q ==-时,等号成立.【答案】A2.设a ,b 是实数,且a+b=3,则2a +2b 的最小值是（ ）A.6B.C.D.8【解析】22a b +≥===,当且仅当22a b =,即32a b ==时,等号成立.∴2a +2b 的最小值是故选B.【答案】B3.已知0,0a b ≥≥,且2a b +=,则（ ） A.12ab ≤ B.12ab ≥ C.222a b +≥ D.223a b +≤ 【解析】取1,1a b ==,则1ab =,排除A 项;取0,2a b ==,则0ab =,224a b +=,排除B,D 两项,故选C . 【答案】C4.建造一个容积为8 m 3,深为2 m 的长方体无盖水池,如果池底和池壁的造价每平方米分别为180元和80元,那么水池的最低总造价为（ ）A.1 000元B.2 000元C.2 720元D.4 720元【解析】设水池底面一边长为x m ,则另一边为4m x, 总造价1644180480320720y x x x x ⎛⎫⎛⎫=⨯++⨯=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12807202000≥+=, 当且仅当0x >且4x x=,即x=2时,等号成立.∴水池的最低总造价为2000元. 【答案】B5.在三棱锥O ABC -中,OA ,OB ,OC 两两垂直,OC=1,OA=x ,OB=y ,x+y=4,则三棱锥O ABC -体积的最大值是（ ）A.23B.13C.1D.3 【解析】1111111332326OBC V OA S OA OB OC x y xy ∆⎛⎫=⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅= ⎪⎝⎭.因为4,0,0x y x y +=>>,所以4x y =+≥,所以4xy ≤. 所以1263V xy =≤,当且仅当2x y ==时,等号成立.∴积的最大值为23. 【答案】A6.将一根铁丝切割成三段做一个面积为2 m 2、形状为直角三角形的框架,在下列四种长度的铁丝中,选用最合理(够用且浪费最少)的是（ ）A.6.5 mB.6.8 mC.7 mD.7.2 m【解析】设直角三角形框架的两直角边分别为,a m b m ,则ab=4.所用铁丝长度4 6.828l a b =+++≈,当且仅当a=b=2时取等号.【答案】C7.有一块半径为2 m 的半圆形钢板,裁成矩形的钢板,则矩形钢板的最大面积为 m 2.【解析】设垂直于直径的边长为x m,则另一边长为则2S =()22222244442x x S x x ⎛⎫+-=-≤⨯ ⎪⎝⎭24216=⨯=, 当且仅当224x x =-,即x ,等号成立,故当x =,S=4,即S 的最大值为4.【答案】48.某公司租地建仓库,每月租金1y 与仓库到车站的距离成反比,而每月库存货物的运费2y 与到车站的距离成正比.如果在距离车站10千米处建仓库,这两项费用1y 与2y 分别为2万元和8万元,那么,要使这两项费用之和最小,仓库应建在离车站 千米处.【解析】设仓库建在离车站d 千米处,设1122,k y y k d d ==, 由11210k y ==,得120k =,∴ 120y d=. 由22810y k ==,得245k =,∴ 245y d =.∴1220485d y y d +=+≥, 当且仅当2045d d =,即d=5时,两项费用之和最小. 【答案】5 9.一批货物随17列货车从A 市以v 千米/时匀速直达B 市,已知两地铁路线长400千米,为了安全,两列货车的间距不得小于220v ⎛⎫ ⎪⎝⎭千米,那么这批货物全部运到B 市,最快需要 小时(不计货车的身长).【解析】设这批货物从A 市全部运到B 市的时间为t ,则24001640016208400v v t v v ⎛⎫+ ⎪⎝⎭==+≥=(小时),当且仅当40016400v v =,即v=100时等号成立,此时t=8小时. 【答案】8 ★10.某种汽车的购车费用为10万元,每年的保险费、养路费、汽油费约为0.9万元,年维修费第一年是0.2万元,以后逐年递增0.2万元.求这种汽车使用多少年时,它的年平均费用最少.【解析】设汽车使用x 年时,它的年平均费用最少.由于“年维修费第一年是0.2万元,以后逐年递增0.2万元”,可知汽车每年维修费构成以0.2万元为首项,0.2万元为公差的等差数列,因此,汽车使用x 年时总的维修费用为()0.20.22x x +万元.设汽车的年平均费用为y 万元,则()20.20.2100.9100.12x x x x x y x x +++++==10110x x =++13≥+=, 当且仅当1010x x =,即x=10时,y 取得最小值. 故这种汽车使用10年时,它的年平均费用最少.11.(1)已知,,0a b c >,求证:222a b c a b c b c a++≥++; (2)已知0,0a b >>,1a b +=,求证:1118a b ab++≥. 【证明】(1)∵222,,,,,a b c a b c b c a均大于0,∴22a b a b +≥=,当且仅当2a b b=,即a=b 时等号成立; 22b c b c +≥=,当且仅当2b c c=,即b=c 时等号成立; 22c a c a +≥,当且仅当2c a a=,即a=c 时等号成立. 以上三式相加得222222a b c b c a a b c b c a+++++≥++, 当且仅当a=b=c 时等号成立. ∴222a b c a b c b c a++≥++. (2)11111112a b a b ab a b ab a b +⎛⎫++=++=+ ⎪⎝⎭. ∵a+b=1,a>0,b>0, ∴112224a b a b a b a b a b b a+++=+=++≥+=, ∴1118a b ab ++≥(当且仅当12a b ==时等号成立).12.如图,公园想建一块面积为144平方米的矩形草地,一边靠墙,另外三边用铁丝网围住,现有44米铁丝网可供使用(铁丝网可以剩余),若利用x 米墙,(1)求x 的取值范围;(2)求最少需要多少米铁丝网.(精确到0.1米)【解析】(1)由于矩形草地的面积是144平方米,一边长是x 米, 则另一边长为144x 米,则矩形草地所需铁丝网长度为1442y x x =+⨯. 令()1442440y x x x=+⨯≤>,解得836x ≤≤,故x 的取值范围是[8,36].(2)由基本不等式,得288y x x =+≥当且仅当288x x=,即17.0x ≈时,等号成立,则min 34.0y =≈,故最少需要约34.0米铁丝网.。
必修五不等式练习题和参考答案
必修五《不等式》习题一、选择题。
1．一元二次不等式220ax bx ++>的解集是11(,)23-，则a b +的值是（ ）。
A. 10B. 10-C. 14D. 14- 2．下列各函数中，最小值为2的是 ( )A ．1y x x =+B ．1sin sin y x x =+，(0,)2x π∈ C．2y = D．1y x =+3、一元二次不等式02>++n mx mx 的解集是{}12|<<-x x ，则m ，n 的值分别是（ ）A 、3,23=-=n mB 、3,23==n mC 、3,23-==n mD 、3,23-=-=n m4、不等式0322>-+x x 的解集是（ ）A.{x|-1＜x ＜3}B.{x|x ＞3或x ＜-1}C.{x|-3＜x ＜1}D.{x|x>1或x ＜-3} 5、若对于任何实数，二次函数y=a x 2-x+c 的值恒为负，那么a 、c 应满足（ ）A 、a ＞0且a c ≤41 B 、a ＜0且a c ＜41 C 、a ＜0且a c ＞41D 、a ＜0且a c ＜0 6、在坐标平面上，不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≥+≤020,3y x y x x 所表示的平面区域的面积为（ ）A ．28B ．16C ．439 D ．1217、不等式6)23)(5(-≥-+x x 的解集是（ ）A 、}29,1|{≥-≤x x x 或B 、}291|{≤≤-x xC 、}1,29|{≥-≤x x x 或D 、}129|{≤≤-x x8．如果实数,x y 满足221x y +=,则(1)(1)xy xy +-有 ( )A ．最小值21和最大值 1 B ．最大值1和最小值43 C ．最小值43而无最大值 D ．最大值2而无最小值 9、不等式1213≥--xx 的解集是（ ） A ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤243|x x B ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧<≤243|x x C ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤>432|x x x 或 D ．{}2|<x x 10、关于x 的方程ax 2＋2x －1＝0至少有一个正的实根,则a 的取值范围是（ ）A ．a ≥0B ．－1≤a ＜0C ．a ＞0或－1＜a ＜0D ．a ≥－111、、对于任意实数x ，不等式04)2(2)2(2<----x a x a 恒成立，则实数a 取值范围是( ) A 、()2,∞- B 、(]2,∞- C 、（－2,2） D 、(]2,2-12、的取植范围是的两侧，则）在直线，）和（，点（a a y x 0236413=+--（ ） A ．24,7>-<a a 或 B. 24,7=-=a a 或 C. 247<<-a D. 724<<-a 二填空题。
高中必修5不等式练习题及答案
［基础训练A组］一、选择题1.若一2/+5兀一2>0,则丁4/-4・丫 + 1+2卜-2|等于（）A. 4x —5B. — 3C. 3D. 5 —4兀2.函数y=log丄（x+古+1）（x > 1）的最大值是（）A. —2B. 2C. —3D. 33人一13.不等式一的解集是（）2—x3 3 3A. {x|—WxW2}B. {x| —Wx V2}C・ {x|x>2 或x W —} D. {x|xV2}4 4 44.设a>l>b>-l,则下列不等式中恒成立的是（）A. — < —B. — > —C・ a>b* D・ £>2ba h a b5.如果实数x，y 满足x2 3+y J=l,则（1—xy）（1+xy）有（）1 3A.最小值一和最大值1B.最大值1和最小值二2 43C.最小值；而无最大值D.最大值1而无最小值46.二次方程/+ （a s+l）x+a-2=0,有一个根比1尢另一个根比一1小,则a的取值范围是（)A・一3 <a<l B. -2<a<0 C. -l<a<0 D. 0<a<2二、填空题（五个小题，每题6分，共30分）x > -21.不等式组、r的负整数解是______________________O兀>一3■2.一个两位数的个位数字比十位数字大2,若这个两位数小于30,则这个两位数为__________ oV2 +13.不等式一<0的解集是 _______________________ o2-x4.当尤= ____________ 时，函数y =，（2-小）有最_______值，其值是___________ 。
5・若f（n） = V«2+l 一亿g（n）=舁一J宀1,0（〃）=丄⑺已N）,用不等号连结起来为______2n2 不等式---------- ----------- V0的解集为R,求实数m的取值范围。
人教版数学高二必修五不等式练习
不等式（一）不等式与不等关系1、应用不等式（组）表示不等关系； 不等式的主要性质：(1)对称性：a b b a <⇔> (2)传递性：c a c b b a >⇒>>, (3)加法法则：c b c a b a +>+⇒>；d b c a d c b a +>+⇒>>,(同向可加) (4)乘法法则：bc ac c b a >⇒>>0,； bc ac c b a <⇒<>0,bd ac d c b a >⇒>>>>0,0(同向同正可乘)(5)倒数法则：ba ab b a 110,<⇒>> (6)乘方法则：)1*(0>∈>⇒>>n N n b a b a n n 且 (7)开方法则：)1*(0>∈>⇒>>n N n b a b a n n且2、应用不等式的性质比较两个实数的大小：作差法（作差——变形——判断符号——结论）3、应用不等式性质证明不等式 （二）解不等式1、一元二次不等式的解法一元二次不等式()00022≠<++>++a c bx ax c bx ax 或的解集：设相应的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的两根为2121x x x x ≤且、，ac b 42-=∆，则不等式的解的各种情况如下表： 0>∆0=∆0<∆二次函数c bx ax y ++=2（0>a ）的图象c bx ax y ++=2c bx ax y ++=2c bx ax y ++=2一元二次方程()的根002>=++a c bx ax有两相异实根 )(,2121x x x x <有两相等实根abx x 221-==无实根的解集)0(02>>++a c bx ax{}21x x x x x ><或⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠a b x x 2R的解集)0(02><++a c bx ax{}21x x xx <<∅∅2、分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并将分子分母分解因式，恒为正或恒为负时可去分母。
高中数学必修五《不等式的基本性质》教案
不等式的基本性质教学设计教学设计思想本节主要学习了不等式的三个基本性质，重点是不等式的基本性质，难点是不等式性质3的探索及运用，讲解时要将不等式的基本性质与等式的基本性质加以对比，弄清它们之间的相同点与不同点，这样有助于加深理解不等式的基本性质。
对于不等式的基本性质3，采用通过学生自己动手实践、观察、归纳猜想结论、验证等环节来突破的。
并在理解的基础上加强练习，以期达到学生巩固所学知识的目的.教学目标（一）教学知识点1.探索并掌握不等式的基本性质；2.理解不等式与等式性质的联系与区别．（二）能力训练要求通过对比不等式的性质和等式的性质，培养学生的求异思维，提高大家的辨别能力．（三）情感与价值观要求通过大家对不等式性质的探索，培养大家的钻研精神，同时还加强了同学间的合作与交流．教学重点探索不等式的基本性质，并能灵活地掌握和应用．教学难点能根据不等式的基本性质进行化简．教学方法类推探究法即与等式的基本性质类似地探究不等式的基本性质．教具准备投影片两张第一张：（记作§1.2 A）第二张：（记作§1.2 B）课时安排1课时教学过程Ⅰ．创设问题情境，引入新课［师］我们学习了等式，并掌握了等式的基本性质，大家还记得等式的基本性质吗？［生］记得．等式的基本性质1：在等式的两边都加上（或减去）同一个数或整式，所得的结果仍是等式．基本性质2：在等式的两边都乘以或除以同一个数（除数不为0），所得的结果仍是等式．［师］不等式与等式只有一字之差，那么它们的性质是否也有相似之处呢？本节课我们将加以验证．Ⅱ.新课讲授1．不等式基本性质的推导［师］等式的性质我们已经掌握了，那么不等式的性质是否和等式的性质一样呢？请大家探索后发表自己的看法．［生］∵3＜5∴3+2＜5+23－2＜5－23+a＜5+a3－a＜5－a所以，在不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变．［师］很好．不等式的这一条性质和等式的性质相似.下面继续进行探究．［生］∵3＜5∴3×2＜5×23×a＜5×b．所以，在不等式的两边都乘以同一个数，不等号的方向不变．［生］不对．如3＜53×（－2）＞5×（－2）所以上面的总结是错的．［师］看来大家有不同意见，请互相讨论后举例说明．［生］如3＜43×3＜4×33×5＜4×53×（－3）＞4×（－3）3×（－4）＞4×（－4）3×（－5）＞4×（－5）由此看来，在不等式的两边同乘以一个正数时，不等号的方向不变；在不等式的两边同乘以一个负数时，不等号的方向改变．［师］非常棒，那么在不等式的两边同时除以某一个数时（除数不为0），情况会怎样呢？请大家用类似的方法进行推导．［生］当不等式的两边同时除以一个正数时，不等号的方向不变；当不等式的两边同时除以一个负数时，不等号的方向改变．［师］因此，大家可以总结得出性质2和性质3，并且要学会灵活运用．2．用不等式的基本性质解释(l/4)2＞π?(l/2π)2的正确性．［师］在上节课中，我们知道周长为l的圆和正方形，它们的面积分别为(l/4)2和π?(l/2π)2，且有(l/4)2＞π?(l/2π)2存在，你能用不等式的基本性质来解释吗？［生］∵4π＜16∴1/4π＞1/16根据不等式的基本性质2，两边都乘以l 2得(l/4)2＞π?(l/2π)23．例题讲解将下列不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式：（1）x－5＞－1；（2）－2x＞3；（3）3x＜－9．［生］（1）根据不等式的基本性质1，两边都加上5，得x＞－1+5即x＞4；（2）根据不等式的基本性质3，两边都除以－2，得x＜－2/3；（3）根据不等式的基本性质2，两边都除以3，得x＜－3．说明：在不等式两边同时乘以或除以同一个数（除数不为0）时，要注意数的正、负，从而决定不等号方向的改变与否．4．议一议投影片（§ 1.2 A）讨论下列式子的正确与错误．（1）如果a＜b，那么a+c＜b+c；（2）如果a＜b，那么a－c＜b－c；（3）如果a＜b,那么ac＜bc；（4）如果a＜b,且c≠0,那么ac＞bc．［师］在上面的例题中，我们讨论的是具体的数字，这种题型比较简单，因为要乘以或除以某一个数时就能确定是正数还是负数，从而能决定不等号方向的改变与否.在本题中讨论的是字母，因此首先要决定的是两边同时乘以或除以的某一个数的正、负．本题难度较大，请大家全面地加以考虑，并能互相合作交流．.［生］（1）正确∵a＜b，在不等式两边都加上c，得a+c＜b+c；∴结论正确．同理可知（2）正确．（3）根据不等式的基本性质2，两边都乘以c，得ac＜bc；所以正确．（4）根据不等式的基本性质2，两边都除以c，得ac＜bc．所以结论错误．［师］大家同意这位同学的做法吗？［生］不同意．［师］能说出理由吗？［生］在（1）、（2）中我同意他的做法，在（3）、（4）中我不同意，因为在（3）中有a＜b,两边同时乘以c时，没有指明c的符号是正还是负，若为正则不等号方向不变，若为负则不等号方向改变，若c=0，则有ac=bc,正是因为c的不明确性，所以导致不等号的方向可能是变、不变，或应改为等号．而结论ac＜bc．只指出了其中一种情况，故结论错误．在（4）中存在同样的问题，虽然c≠0,但不知c是正数还是负数，所以不能决定不等号的方向是否改变，若c＞0,则有ａ＜b ,若 c＜0，则有a＞b ,而他只说出了一种情况，所以结果错误．［师］通过做这个题，大家能得到什么启示呢？［生］在利用不等式的性质2和性质3时，关键是看两边同时乘以或除以的是一个什么性质的数，从而确定不等号的改变与否．［师］非常棒.我们学习了不等式的基本性质，而且做过一些练习，下面我们再来研究一下等式和不等式的性质的区别和联系，请大家对比地进行．［生］不等式的基本性质有三条，而等式的基本性质有两条．区别：在等式的两边同时乘以或除以同一个数（除数不为0）时，所得结果仍是等式；在不等式的两边同时乘以或除以同一个数（除数不为0）时会出现两种情况，若为正数则不等号方向不变，若为负数则不等号的方向改变．联系：不等式的基本性质和等式的基本性质，都讨论的是在两边同时加上（或减去），同时乘以（或除以，除数不为0）同一个数时的情况.且不等式的基本性质1和等式的基本性质1相类似．Ⅲ.课堂练习1.将下列不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式．（1）x－1＞2（2）－x＜３［生］解：（1）根据不等式的基本性质1，两边都加上1，得x＞3（2）根据不等式的基本性质3，两边都乘以－1，得x＞－３．2．已知x＞y,下列不等式一定成立吗？（1）x－6＜y－6；（2）3x＜3y；（3）－2x＜－2y．解：（1）∵x＞y,∴x－6＞y－6．∴不等式不成立；（2）∵x＞y,∴3x＞3y∴不等式不成立；（3）∵x＞y,∴－2x＜－2y∴不等式一定成立．投影片（§ 1.2 B）3．设a＞b,用“＜”或“＞”号填空．（1）a+1 b+１；（2）a－3 b－3；（3）3a 3b；（4）a/4 b/4；（5）－1/2a－1/2b；（6）－a－b．分析：∵a＞b根据不等式的基本性质1，两边同时加上1或减去3，不等号的方向不变，故（1）、（2）不等号的方向不变；在（3）、（4）中根据不等式的基本性质2，两边同时乘以3或除以4，不等号的方向不变；在（5）、（6）中根据不等式的基本性质3，两边同时乘以－１／2或－1，不等号的方向改变．解：（1）a+1＞b+1；（2）a－3＞b－3；（3）3a＞3b；（4） a/4＞；（5）－1/2＜－1/2；（6）－a＜－b．Ⅳ．课时小结1．本节课主要用类推的方法探索出了不等式的基本性质．2．利用不等式的基本性质进行简单的化简或填空．Ⅴ．课后作业习题1.2Ⅵ．活动与探究1．比较a与－a的大小．解：当a＞0时，a＞－a；当a=0时，a=－a；当a＜0时，a＜－a．说明：解决此类问题时，要对字母的所有取值进行讨论.2．有一个两位数，个位上的数字是a，十位上的数是b，如果把这个两位数的个位与十位上的数对调，得到的两位数大于原来的两位数，那么a与b哪个大哪个小？解：原来的两位数为10b+a．调换后的两位数为10a+b．根据题意得10a+b＞10b+a．根据不等式的基本性质1，两边同时减去a，得9a+b＞10b两边同时减去b，得9a＞9b根据不等式的基本性质2，两边同时除以9，得a＞b．板书设计§1.2不等式的基本性质1．不等式的基本性质的推导．2．用不等式的基本性质解释＞．3．例题讲解.4．议一议练习小结作业备课资料参考练习1.根据不等式的基本性质，把下列不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式：（1）x－2＜3；2）6x＜5x－1；（3） x＞5；（4）－4x＞3．2.设a＞b.用“＜”或“＞”号填空.（1）a－3 b－3；（2）；（3）－4a－4b；（4）5a 5b；（5）当a＞0，b 0时，ab＞0；（6）当a＞0，b 0时，ab＜0；（7）当a＜0，b 0时，ab＞0；（8）当a＜0，b 0时，ab＜0．参考答案：1.（1）x＜5;（2）x＜－1；（3）x＞10;（4）x＜－．2.（1）＞（2）＞（3）＜（4）＞（5）＞（6）＜（7）＜（8）＞．。
高中数学必修5不等式训练(含详细答案)
高中数学必修5不等式训练(含详细答案)第三章 不等式一、选择题.1. 若 a ∈R ，则下列不等式恒成立的是( )．A. a 2 + 1＞aB.112+a ＜1C. a 2 + 9＞6aD. lg (a 2 +1)＞lg|2a |2. 下列函数中，最小值为 2 是( )．A. y =xx 55+，x ∈R ，且 x ≠0 B. y = lg x+x lg 1，1＜x ＜10C. y = 3x + 3-x ，x ∈RD. y = sin x+x sin 1，2π0＜＜x3. 不等式组 表示的平面区域的面积等于( )．A. 28B. 16C.439 D. 1214. 不等式 lg x 2＜lg 2x 的解集是( )．x ≤3 x + y ≥0 x - y + 2≥0A. ⎪⎭⎫⎝⎛11001， B. (100，＋∞)C.⎪⎭⎫⎝⎛11001，∪(100，＋∞)D. (0，1)∪(100，＋∞)5. 不等式(x 4 - 4)-(x 2 - 2)≥0 的解集是( )．A. x ≥2，或 x ≤-2B. -2≤x ≤2C. x ＜-3，或 x ＞3D. -2＜x ＜2 6. 若 x ，y ∈R ，且 x + y = 5，则 3x + 3y 的最小值是( )．A. 10B.C.D. 7. 若 x ＞0，y ＞0，且 281x y+=，则 xy 有( )．A. 最大值 64B. 最小值164C. 最小值12D. 最小值648. 若 ，则目标函数 z = 2x + y 的x ≤2 y ≤2x + y ≥1取值范围是( )．A. [0，6] B . [2，4] C. [3，6] D. [0，5] 9. 若不等式 ax 2 + bx + c ＞0 的解是 0＜α＜x ＜β，则不等式 cx 2 - bx + a ＞0 的解为( )．A. α1＜x ＜β1B. -β1＜x ＜-α1C. -α1＜x ＜-β1D. β1＜x ＜α110. 若 a ＞0，b ＞0 ，且1a b +=，则⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-111122b a 的最小值是( )．A. 9B. 8C.7D. 6二、填空题. 1. 函数y 的定义域是 ．2. 若 x ，y 满足 ，则x y 的最大值为____________________，最小值x + 2y - 5≤0x ≥1y ≥0 x + 2y - 3≥0为_________________．3. 函数y=的最大值为．4. 若直角三角形斜边长是1，则其内切圆半径的最大值是．5. 若集合A = {(x，y)| |x| + |y|≤1}，B = {(x，y)|(y-x)(y+x)≤0}，M = A∩B，则M的面积为___________．6. 若不等式2x - 1＞m(x2 - 1)对满足-2≤m≤2 的所有m都成立，则x的取值范围是．三、解答题．1. 若奇函数f(x)在其定义域(-2，2)上是减函数，且f(1 - a)+ f(1 - a2)＜0，求实数a的取值范围．2. 已知 a ＞b ＞0，求216()a b a b +-的最小值．3. 设实数 x ，y 满足不等式组 ．（1）作出点(x ，y )所在的平面区域； （2）设 a ＞-1，在（1）所求的区域内，求f (x ，y )= y – ax 的最大值和最小值．1≤x + y ≤4y + 2≥|2x - 3|4. 某工厂拟建一座平面图形为矩形，且面积为200 m2 的三级污水处理池（平面图如右）. 如果池外圈周壁建造单价为每米400 元，中间两条隔墙建筑单价为每米248 元，池底建造单价为每平方米80 元，池壁的厚度忽略不计. 试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低造价．参考答案一、选择题． 1. A【解析】A ：a 2 - a + 1 = a 2- a +4341+=221⎪⎭⎫ ⎝⎛-a +43＞0. a 2 + 1＞a 恒成立．B ：当 a = 0 时，左 = 右．C ：当 a = 3 时，左 = 右．D ：当 a = ±1 时，左 = 右． 2. C【解析】A ：y 没有最小值． B ：∵ 1＜x ＜10， ∴ 0＜lg x ＜1． ∴ y ≥2．lg x =1，即x =10时，y min = 2． 此时不符合1＜x ＜10． C ：∵ 3x ＞0， ∴ y = 3x +x31≥2．x = 0时，y min = 2． D ：∵ 0＜x ＜2π， ∴ sin x ＞0． ∴ y ≥2．当 sin x =xsin 1时，此时 sin x = 1，x =2π，不符合 0＜x ＜2π． 3. B【解析】由不等式组，画出符合条件的平面区域（下图阴影部分）.解两两直线方程组成的方程组，可得 A (3，5)，B (3，-3)， C (-1，1)．∴ S 阴 =21· |AB | · |x A - x c | = 21×8×4 = 16． 4. D 【解析】∵∴ x ＞0． ∵ lg x 2＜lg 2x ， ∴ lg 2x - 2lg x ＞0． ∴ lg x ＞2 ，或 lg x ＜0， ∴ x ＞100 ，或 0＜x ＜1． 5. A【解析】∵（x 4 - 4）-（x 2 - 2）≥ 0，∴ x 4 - x 2 - 2≥0，∴（x 2 - 2）（x 2 + 1）≥0.x 2＞0，x ＞0，∴ x 2≥2．∴ x ≥2，或 x ≤-2． 6. D【解析】 3x + 3y ≥2yx33⋅= 2yx +3，∴ 3x + 3y ≥2×9×3= 183，当 x = y =25时，等号成立．7. D 【解析】 yx 82+≥2yx 82⋅= 8xy 1，当yx 82=，即 时，8xy1取最大值，即 xy取最小值 64． 8. A【解析】 据不等式组画出可行域．易知 A (-1，2)，B (2，2)．将 y = -2x 进行平移，当直线过 A 点时，z min = 0，当直线过 B 点时，z max = 6． 9. Cx = 4， y = 16【解析】由题知， 且 a ＜0.∴ b = -a (α + β )， c = a (αβ )．∴ 所求不等式可代为 a (αβ )x 2 + a (α + β )x + a ＞0．∴(αβ )x 2 +(α + β )x + 1＜0． ∴(αx + 1)(βx + 1)＜0． ∵ 0＜α＜β，∴ -α1＜-β1． ∴ -α1＜x ＜-β1． 10. A 【解析】⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-111122b a =22221b a b a --+ 1 =22222)(b a b a b a --++ 1=ab 2+1≥222⎪⎭⎫⎝⎛+b a + 1 = 9．∴ 当 a = b=21时，原式取最小值 9．二、填空题． 1. （-8，8）．【解析】∵ 64 - x 2＞0 ∴ x 2＜64，-8＜xα + β = ab- α β = ac＜8，即(-8，8)．2. 2，0.【解析】 据不等式组画出可行域．由图可知，2max=⎪⎭⎫⎝⎛xy ，=⎪⎭⎫ ⎝⎛m inxy 0．3. 21． 【解析】设 x = cos ， ∈[0，π]． ∴ y = cos sin =21sin 2 ． ∵ ∈[0，π]，∴ 2 ∈[0，2π]，∴ y max =21，此时 =4π，x = cos 4π=22． 4. 21-．【解析】如图，r =21-+b a =212-+b a ≤21222-+b a =2122-=212-. 当且仅当 a = b =22时， r max =212-．5. 1．【解析】如图，M 为阴影部分. M 的面积为()2221⨯= 1．6. 271+-＜x ＜231+． 【解析】令 f (m )= m (x 2 - 1)-(2x - 1)(x ≠±1)，把它看作关于 m 的一次函数．由于 -2≤m ≤2 时，f (m )＜0 恒成立，x 2 - 1＞0 x 2 - 1＜0 ∴ 或f （2）＜0 f （-2）＜0解得 1＜x ＜231+，或271+-＜x ＜1，又x = 1 时，亦符合题意．∴ 271+-＜x ＜231+． 三、解答题．1. 由f (1 - a )+ f (1 - a 2)＜0，得 f (1 - a )＜- f (1 - a 2). 又因为函数f （x ）为奇函数，所以- f (1 - a 2) = f (a 2 - 1)．∴ f (1 - a )＜ f (a 2 - 1). 又∵ 函数 f (x ) 在其定义域(-2，2)上是减函数，1 - a ＞a2 – 1 -2＜a ＜1 ∴ -2＜1 - a ＜2 解得 -1＜a ＜3-2＜a 2 - 1＜2 -3＜a ＜3∴ a ∈（-1，1）．2. 由 a ＞b ＞0 知，a - b ＞0，∴ b （a - b ）≤4222a b a b =⎪⎭⎫⎝⎛-+．∴ a 2 +)(16b a b -≥a 2 +264a ≥22264a a ⋅= 16．当且仅当 a 2 =264a，b = a - b ， 即当 a = 22，b =2时，a 2 +)(16b a b -取得最小值 16．3. （1）（-3，7） 【解析】（2） 最大值为7+3a ，最小值为4. 【解】设污水池总造价为 y 元，污水池长为 x m. 则宽为x200m ，水池外圈周壁长2x + 2 · x 200（m ），中间隔墙长2 · x200（m ），池底面积200（m 2）．∴ y = 400⎪⎭⎫⎝⎛+⋅x x 20022+ 248 · x 200 · 2 + 80×200 = 800⎪⎭⎫⎝⎛+x x 324+ 16 000- 1- 2a , -1＜a ≤2 1 - 3a , a ＞2≥1 600xx 324+ 16 000 = 44 800．当且仅当 x =x324，即 x = 18，x 200=9100时，y min = 44 800．答：当污水池长为 18 m ，宽为9100m 时，总造价最低，最低为 44 800元．。
高中数学必修5(人教A版)第三章不等式3.2知识点总结含同步练习及答案
（2）因为
为整式不等式
解得 x <
3 或 x > 4，所以原不等式的解集为 2 3 ∣ {x ∣ x < 或x > 4} . ∣ 2
4.高次不等式的解法 描述： 高次不等式的解法 解一元高次不等式一般利用数轴穿根法（或称根轴法）求解，其步骤是： （1）将 f (x) 最高次项系数化为正数； （2）将 f (x) 分解为若干个一次因式的乘积或二次不可分因式的乘积； （3）求出各因式的零点，并在数轴上依次标出； （4）从最右端上方起，自右至左依次通过各根画曲线，遇到奇次重根要一次穿过，遇到偶次重根 要穿而不过； （5）记数轴上方为正，下方为负，根据曲线显现出的 f (x) 的值的符号变化规律，写出不等式 的解集． 例题： 解不等式 (x + 2)(x + 1)2 (x − 1)3 (x − 2) < 0 ． 解：不等式中各因式的实数根为 −2，−1，1 ，2 ． 利用根轴法，如图所示．
2 )(x − a) ⩽ 0 ． a 2 2 ① 当 < a ，即 a > √2 时，原不等式的解集为 {x| ⩽ x ⩽ a}． a a 2 2 ② 当 > a ，即 0 < a < √2 时，原不等式的解集为 {x|a ⩽ x ⩽ }． a a 2 ③ 当 = a ，即 a = √2 时，原不等式的解集为 {x|x = √2 } ． a 2 （3）当 a < 0 时，原不等式化为 (x − )(x − a) ⩾ 0 ． a 2 2 ① 当 < a ，即 −√2 < a < 0 时，原不等式的解集为 {x|x ⩽ 或x ⩾ a} ． a a 2 2 ② 当 > a ，即 a < −√2 时，原不等式的解集为 {x|x ⩽ a或x ⩾ }． a a 2 ③ 当 = a ，即 a = −√2 时，原不等式的解集为 R． a
高中数学必修5不等式精选题目(附答案)
高中数学必修5不等式精选题目（附答案）一、一元二次不等式(1)确定ax 2＋bx ＋c >0(a >0)或ax 2＋bx ＋c <0(a >0)在判别式Δ>0时解集的结构是关键．在未确定a 的取值情况下，应先分a ＝0和a ≠0两种情况进行讨论．(2)若给出了一元二次不等式的解集，则可知二次项系数a 的符号和方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根，再由根与系数的关系就可知a ，b ，c 之间的关系．(3)解含有参数的一元二次不等式，要注意对参数的取值进行讨论：①对二次项系数与0的大小进行讨论；②在转化为标准形式的一元二次不等式后，对判别式与0的大小进行讨论；③当判别式大于0，但两根的大小不确定时，对两根的大小进行讨论．1. (1)已知不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集为{x |－1<x <2}，则不等式2x 2＋bx ＋a <0的解集为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x －1<x <12B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫xx <－1或x >12 C ．{x |－2<x <1} D ．{x |x <－2或x >1}(2)解关于x 的不等式ax 2－2ax ＋a ＋3＞0.1.[解析] (1)由题意知x ＝－1，x ＝2是方程ax 2＋bx ＋2＝0的根．由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧ －1＋2＝－b a ，(－1)×2＝2a ⇒⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝1. ∴不等式2x 2＋bx ＋a <0，即2x 2＋x －1<0.解得－1<x <12.[答案] A(2)解：当a ＝0时，解集为R ；当a ＞0时，Δ＝－12a ＜0，∴解集为R ；当a ＜0时，Δ＝－12a ＞0，方程ax 2－2ax ＋a ＋3＝0的两根分别为a ＋－3a a ，a －－3a a ，∴此时不等式的解集为x a ＋－3a a ＜x ＜a －－3a a. 综上所述，当a ≥0时，不等式的解集为R ；a ＜0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ a ＋－3a a ＜x ＜a －－3a a . 注：解一元二次不等式时，当二次项系数为负时要先化为正，再根据判别式符号判断对应方程根的情况，然后结合相应二次函数的图象写出不等式的解集．2．函数f (x )＝1ln (－x 2＋4x －3)的定义域是( ) A ．(－∞，1)∪(3，＋∞) B ．(1,3)C ．(－∞，2)∪(2，＋∞)D ．(1,2)∪(2,3) 解析：选D 由题意知⎩⎨⎧ －x 2＋4x －3>0，－x 2＋4x －3≠1， 即⎩⎨⎧ 1<x <3，x ≠2，故函数f (x )的定义域为(1,2)∪(2,3)．3．若关于x 的不等式ax 2－6x ＋a 2<0的解集是(1，m )，则m ＝________.解析：根据不等式与方程之间的关系知1为方程ax 2－6x ＋a 2＝0的一个根，即a 2＋a －6＝0，解得a ＝2或a ＝－3，当a ＝2时，不等式ax 2－6x ＋a 2<0的解集是(1,2)，符合要求；当a ＝－3时，不等式ax 2－6x ＋a 2<0的解集是(－∞，－3)∪(1，＋∞)，不符合要求，舍去．故m ＝2.答案：24．已知不等式ax 2－3x ＋6>4的解集为{x |x <1或x >b }．(1)求a ，b 的值；(2)解不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0.解：(1)因为不等式ax 2－3x ＋6>4的解集为{x |x <1或x >b }，所以x 1＝1与x 2＝b 是方程ax 2－3x ＋2＝0的两个实数根，b >1且a >0.由根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋b ＝3a ，1×b ＝2a .解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝2. (2)不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0，即x 2－(2＋c )x ＋2c <0，即(x －2)(x －c )<0.当c >2时，不等式(x －2)(x －c )<0的解集为{x |2<x <c }；当c <2时，不等式(x －2)(x －c )<0的解集为{x |c <x <2}；当c ＝2时，不等式(x －2)(x －c )<0的解集为∅.所以，当c >2时，不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0的解集为{x |2<x <c }；当c <2时，不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0的解集为{x |c <x <2}；当c ＝2时，不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0的解集为∅.二、简单的线性规划问题1．确定二元一次不等式表示平面区域的方法与技巧确定二元一次不等式表示的平面区域时，经常采用“直线定界，特殊点定域”的方法．2．利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是(1)在平面直角坐标系内作出可行域．(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．(3)确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解．(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值．5.(1)设变量x ，y 满足约束条件：⎩⎨⎧ x ＋y ≥3，x －y ≥－1，2x －y ≤3，则目标函数z ＝y ＋1x 的最小值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 (2)某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的23倍，且对每个项目的投资不能低于5万元．对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润，对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润，该公司正确规划投资后，在这两个项目上共可获得的最大利润为( )A ．36万元B ．31.2万元C ．30.4万元D ．24万元5.[解析] (1)不等式组所表示的平面区域如图中的△ABC ，目标函数的几何意义是区域内的点与点P (0，－1)连线的斜率，显然图中AP 的斜率最小．由⎩⎨⎧x ＋y ＝3，2x －y ＝3解得点A 的坐标为(2,1)，故目标函数z ＝y ＋1x 的最小值为1＋12＝1.(2)设对项目甲投资x 万元，对项目乙投资y 万元， 则⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ≤60，x ≥23y ，x ≥5，y ≥5.目标函数z ＝0.4x ＋0.6y .作出可行域如图所示，由直线斜率的关系知目标函数在A 点取最大值，代入得z max ＝0.4×24＋0.6×36＝31.2，所以选B.[答案] (1)A (2)B注：(1)求目标函数最值的一般步骤为：一画、二移、三求．其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义．(2)在约束条件是线性的情况下，线性目标函数只有在可行域的顶点或者边界上取得最值．在解答选择题或者填空题时也可以根据可行域的顶点直接进行检验．6．不等式组⎩⎨⎧ 2x ＋y －6≤0，x ＋y －3≥0，y ≤2表示的平面区域的面积为( ) A ．4B ．1C ．5D ．无穷大解析：选B 不等式组⎩⎨⎧ 2x ＋y －6≤0，x ＋y －3≥0，y ≤2表示的平面区域如图所示(阴影部分)，△ABC 的面积即为所求．求出点A ，B ，C 的坐标分别为(1,2)，(2,2)，(3,0)，则△ABC 的面积为S ＝12×(2－1)×2＝1.7．已知实数x ，y 满足⎩⎨⎧ x ≥0，y －x ＋1≤0，y －2x ＋4≥0，若z ＝y －ax 取得最大值时的最优解(x ，y )有无数个，则a ＝________. 解析：依题意，在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域，如图所示．要使z ＝y －ax 取得最大值时的最优解(x ，y )有无数个，则直线z ＝y －ax 必平行于直线y －x ＋1＝0，于是有a ＝1.答案：18．某公司用两种机器来生产某种产品，第一种机器每台需花3万日元及人民币50元的维护费；第二种机器则需5万日元及人民币20元的维护费．第一种机器的年利润每台有9万日元，第二种机器的年利润每台有6万日元，但政府核准的外汇日元为135万元，并且公司的总维护费不得超过1 800元，为了使年利润达到最大值，第一种机器应购买________台，第二种机器应购买________台．解析：设第一种机器购买x 台，第二种机器购买y 台，总的年利润为z 万日元，则⎩⎨⎧ 3x ＋5y ≤135，50x ＋20y ≤1 800，x ，y ∈N ，目标函数为z＝9x ＋6y . 不等式组表示的平面区域如图阴影部分中的整点．当直线z ＝9x ＋6y 经过点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫63019，13519，即到达l 1位置时，z 取得最大值，但题目要求x ，y 均为自然数，故进行调整，调整到与M 邻近的整数点(33,7)，此时z ＝9x ＋6y 取得最大值，即第一种机器购买33台，第二种机器购买7台获得年利润最大．答案：33 7三、基本不等式基本不等式的常用变形(1)a ＋b ≥2ab (a >0，b >0)，当且仅当a ＝b 时，等号成立；(2)a 2＋b 2≥2ab ，ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R)，当且仅当a ＝b 时，等号成立； (3)b a ＋a b ≥2(a ，b 同号且均不为零)，当且仅当a ＝b 时，等号成立；(4)a ＋1a ≥2(a >0)，当且仅当a ＝1时，等号成立；a ＋1a ≤－2(a <0)，当且仅当a ＝－1时，等号成立．9.(1)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是( )A.245B.285 C ．5 D ．6(2)若正数x ，y 满足4x 2＋9y 2＋3xy ＝30，则xy 的最大值是( )A.43B.53 C ．2 D.54[解析] (1)由x ＋3y ＝5xy 可得15y ＋35x ＝1，∴3x ＋4y ＝(3x ＋4y )⎝ ⎛⎭⎪⎫15y ＋35x ＝95＋45＋3x 5y ＋12y 5x ≥135＋125＝5当且仅当3x 5y ＝12y 5x ，即x ＝1，y ＝12时，等号成立， ∴3x ＋4y 的最小值是5.(2)由x >0，y >0，得4x 2＋9y 2＋3xy ≥2×(2x )×(3y )＋3xy (当且仅当2x ＝3y 时等号成立)，∴12xy ＋3xy ≤30，即xy ≤2，∴xy 的最大值为2.[答案] (1)C (2)C注：条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值．10．已知2x ＋2y ＝1(x >0，y >0)，则x ＋y 的最小值为( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析：选D ∵x >0，y >0，∴x ＋y ＝(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2y ＝4＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＋y x ≥4＋4 x y ·yx ＝8.当且仅当x y ＝y x ，即x ＝y ＝4时取等号．11．设x ，y ∈R ，且xy ≠0，则⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1y 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋4y 2的最小值为________． 解析：⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1y 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋4y 2＝5＋1x 2y 2＋4x 2y 2≥5＋21x 2y 2·4x 2y 2＝9，当且仅当x 2y 2＝12时“＝”成立．答案：912．某种商品原来每件售价为25元，年销售8万件． (1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2 000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？(2)为了扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x 元．公司拟投入16(x 2－600)万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入15x 万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品明年的销售量a 至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时每件商品的定价．解：(1)设每件定价为t 元，依题意，有[8－(t －25)×0.2]t ≥25×8，整理得t 2－65t ＋1 000≤0，解得25≤t ≤40.因此要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元．(2)依题意，x >25时，不等式ax ≥25×8＋50＋16(x 2－600)＋15x 有解，等价于x>25时，a≥150x＋16x＋15有解．∵150x＋16x≥2150x·16x＝10(当且仅当x＝30时，等号成立)，∴a≥10.2.因此当该商品明年的销售量a至少应达到10.2万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的定价为每件30元．巩固练习：1．若1a＜1b＜0，则下列不等式不正确的是()A．a＋b＜ab B.ba＋ab＞0C．ab＜b2D．a2＞b2解析：选D由1a＜1b＜0，可得b＜a＜0，故选D.2．已知不等式x2－2x－3＜0的解集为A，不等式x2＋x－6＜0的解集为B，不等式x2＋ax＋b＜0的解集是A∩B，那么a＋b等于()A．－3 B．1C．－1 D．3解析：选A由题意：A＝{x|－1＜x＜3}，B＝{x|－3＜x＜2}．A∩B＝{x|－1＜x＜2}，由根与系数的关系可知：a＝－1，b＝－2，∴a＋b＝－3.3．函数y＝x2＋2x－1(x＞1)的最小值是()A．23＋2 B．23－2 C．2 3 D．2解析：选A∵x＞1，∴x－1＞0.∴y＝x2＋2x－1＝x2－2x＋2x＋2x－1＝x2－2x＋1＋2(x－1)＋3x－1＝(x－1)2＋2(x－1)＋3x－1＝x －1＋3x －1＋2≥23＋2当且仅当x －1＝3x －1，即x ＝3＋1时等号成立． 4．(2017·浙江高考)若x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧ x ≥0，x ＋y －3≥0，x －2y ≤0，则z ＝x ＋2y 的取值范围是( )A ．[0,6]B ．[0,4]C ．[6，＋∞)D ．[4，＋∞) 解析：选D 作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，由z ＝x ＋2y ，得y ＝－12x ＋z 2，∴z 2是直线y ＝－12x ＋z 2在y 轴上的截距，根据图形知，当直线y ＝－12x ＋z 2过A 点时，z 2取得最小值．由⎩⎨⎧ x －2y ＝0，x ＋y －3＝0，得x ＝2，y ＝1，即A (2,1)，此时，z ＝4，∴z ＝x ＋y 的取值范围是[4，＋∞)．5．已知圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝1，平面区域Ω：⎩⎨⎧ x ＋y －7≤0，x －y ＋3≥0，y ≥0.若圆心C∈Ω，且圆C 与x 轴相切，则a 2＋b 2的最大值为( )A ．5B ．29C ．37D ．49解析：选C 由已知得平面区域Ω为△MNP 内部及边界．∵圆C 与x 轴相切，∴b ＝1.显然当圆心C 位于直线y＝1与x ＋y －7＝0的交点(6,1)处时，a max ＝6.∴a 2＋b 2的最大值为62＋12＝37.故选C.6．设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，则当xy z 取得最大值时，2x ＋1y －2z 的最大值为( )A ．0B ．1C.94 D ．3 解析：选B 由x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，得z ＝x 2－3xy ＋4y 2， ∴xy z ＝xy x 2－3xy ＋4y 2＝1x y ＋4yx －3. 又x ，y ，z 为正实数，∴x y ＋4y x ≥4，即xy z ≤1，当且仅当x ＝2y 时取等号，此时z ＝2y 2.∴2x ＋1y －2z ＝22y ＋1y －22y2 ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1y 2＋2y ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1y －12＋1， 当1y ＝1，即y ＝1时，上式有最大值1.7．若x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧ x －1≥0，x －y ≤0，x ＋y －4≤0，则y x 的最大值为________．解析：画出可行域如图阴影部分所示， ∵y x 表示过点(x ，y )与原点(0,0)的直线的斜率，∴点(x ，y )在点A 处时y x 最大．由⎩⎨⎧ x ＝1，x ＋y －4＝0，得⎩⎨⎧ x ＝1，y ＝3.∴A (1,3)．∴y x 的最大值为3.答案：38．设正数a ，使a 2＋a －2>0成立，若t >0，则12log a t ________log a t ＋12(填“>”“≥”“≤”或“<”)．解析：因为a 2＋a －2>0，所以a <－2或a >1，又a >0，所以a >1，因为t >0，所以t ＋12≥ t ，所以log a t ＋12≥log a t ＝12log a t .答案：≤9．(2017·全国卷Ⅲ)若x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧ x －y ≥0，x ＋y －2≤0，y ≥0，则z ＝3x －4y 的最小值为________．解析：作出约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示，作出直线l ：3x －4y ＝0，平移直线l ，当直线z ＝3x －4y 经过点A (1,1)时，z 取得最小值，最小值为3－4＝－1.答案：－110．某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5 min ，生产一个骑兵需7 min ，生产一个伞兵需4 min ，已知总生产时间不超过10 h ．若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元．(1)用每天生产的卫兵个数x 与骑兵个数y 表示每天的利润W (元)．(2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？解：(1)依题意每天生产的伞兵个数为100－x －y ，所以利润W ＝5x ＋6y ＋3(100－x －y )＝2x ＋3y ＋300.(2)约束条件为：⎩⎨⎧ 5x ＋7y ＋4(100－x －y )≤600，100－x －y ≥0，x ∈N ，y ∈N ，整理得⎩⎨⎧ x ＋3y ≤200，x ＋y ≤100，x ∈N ，y ∈N ，目标函数为W ＝2x ＋3y ＋300，如图所示，作出可行域．初始直线l 0：2x ＋3y ＝0，平移初始直线经过点A 时，W 有最大值，由⎩⎨⎧x ＋3y ＝200，x ＋y ＝100，得⎩⎨⎧x ＝50，y ＝50.最优解为A (50,50)，所以W max ＝550(元)．故每天生产卫兵50个，骑兵50个，伞兵0个时利润最大，为550元．11．某外商到一开发区投资72万美元建起一座蔬菜加工厂，第一年各种经费12万美元，以后每年增加4万美元，每年销售蔬菜收入50万美元．设f (n )表示前n 年的纯利润总和．(注：f (n )＝前n 年的总收入－前n 年的总支出－投资额)(1)从第几年开始获利？(2)若干年后，外商为开发新项目，有两种处理方案：①年平均利润最大时以48万美元出售该厂；②纯利润总和最大时，以16万美元出售该厂；问哪种方案最合算？为什么？解：由题意知，每年的经费是以12为首项，4为公差的等差数列，∴f (n )＝－2n 2＋40n －72.(1)获利就是要求f (n )>0，所以－2n 2＋40n －72>0，解得2<n <18.由n ∈N 知从第三年开始获利．(2)①年平均利润＝f (n )n ＝40－2⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋36n ≤16. 当且仅当n ＝6时取等号．故此方案共获利6×16＋48＝144(万美元)，此时n ＝6.②f (n )＝－2(n －10)2＋128.当n ＝10时，f (n )max ＝128.故第②种方案共获利128＋16＝144(万美元)，故比较两种方案，获利都是144万美元．但第①种方案只需6年，而第②种方案需10年，故选择第①种方案最合算．12．已知α，β是方程x 2＋ax ＋2b ＝0的两根，且α∈[0,1]，β∈[1,2]，a ，b ∈R ，求b －3a －1的最大值和最小值． 解：设f (x )＝x 2＋ax ＋2b ，由题意f (x )在[0,1]和[1,2]上各有一个零点，∴⎩⎨⎧ f (0)≥0，f (1)≤0，f (2)≥0，即⎩⎨⎧ b ≥0，a＋2b ＋1≤0，a ＋b ＋2≥0，建立平面直角坐标系aOb ，则上述不等式组表示的平面区域如图．由⎩⎨⎧ a ＋2b ＋1＝0，a ＋b ＋2＝0，解得⎩⎨⎧ a ＝－3，b ＝1，即C (－3,1)．令k ＝b －3a －1，可以看成动点P (a ，b )与定点A (1,3)的连线的斜率．又B (－1,0)，C (－3,1)，则k AB ＝32，k AC ＝12，∴12≤b －3a －1≤32.故b －3a －1的最大值是32，最小值是12.。
高中数学(人教版必修五)教师文档第三章 §3.4 基本不等式 (一) Word版含答案
学习目标.理解基本不等式的内容及证明.能熟练运用基本不等式来比较两个实数的大小.能初步运用基本不等式证明简单的不等式．知识点一算术平均数与几何平均数思考如图，是圆的直径，点是上任一点，＝，＝，过点作垂直于，连接，.如何用，表示，的长度？答案＝＝.易证△∽△，那么＝·，即＝.为，的算术梳理一般地，对于正数，，平均数，几何平均数．两个正数的算术平均数为，的不小于它们的几何平均数，即≤.其几何意义如上图中的≥.知识点二基本不等式及其常见推论思考如何证明不等式≤(>，>)?答案∵＋－＝()＋()－·＝(－)≥，当且仅当＝时，等号成立，∴＋≥，∴≤，当且仅当＝时，等号成立．梳理≤(>，>)．当对正数，赋予不同的值时，可得以下推论：()≤()≤(，∈)；()＋≥(，同号)；()当>时，＋≥；()＋＋≥＋＋(，，∈)．类型一常见推论的证明例证明不等式＋≥(，∈)．证明∵＋－＝(－)≥，∴＋≥.引申探究证明不等式()≤(，∈)．证明由例，得＋≥，∴(＋)≥＋＋，两边同除以，即得()≤，当且仅当＝时，取等号．反思与感悟()本例证明的不等式成立的条件是，∈，与基本不等式不同．()本例使用的作差法与不等式性质是证明中常用的方法．跟踪训练已知，，为任意的实数，求证：＋＋≥＋＋.证明∵＋≥；＋≥；＋≥，∴(＋＋)≥(＋＋)，即＋＋≥＋＋，当且仅当＝＝时，等号成立．类型二用基本不等式证明不等式例已知、都是正数．求证：()＋≥；()(＋)(＋)(＋)≥.证明()∵，都是正数，∴>，>，∴＋≥＝，即＋≥，当且仅当＝时，等号成立．()∵，都是正数，∴＋≥>，＋≥>，＋≥>.∴(＋)(＋)(＋)≥··＝，即(＋)(＋)(＋)≥，当且仅当＝时，等号成立．反思与感悟利用基本不等式证明不等式的策略与注意事项()策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”．()注意事项：。
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第三章 不等式一、选择题.1. 若 a ∈R ，则下列不等式恒成立的是( )． A. a 2 + 1＞a B.112+a ＜1 C. a 2 + 9＞6aD. lg (a 2 + 1)＞lg|2a |2. 下列函数中，最小值为 2 是( )． A. y =xx 55+，x ∈R ，且 x ≠0 B. y = lg x +xlg 1，1＜x ＜10 C. y = 3x + 3-x ，x ∈R D. y = sin x +x sin 1，2π0＜＜x3. 不等式组表示的平面区域的面积等于( )．A. 28B. 16C.439D. 1214. 不等式 lg x 2＜lg 2x 的解集是( )． A. ⎪⎭⎫ ⎝⎛11001，B. (100，＋∞)C. ⎪⎭⎫⎝⎛11001，∪(100，＋∞) D. (0，1)∪(100，＋∞)5. 不等式(x 4 - 4)-(x 2 - 2)≥0 的解集是( )． A. x ≥2，或 x ≤-2 B. -2≤x ≤2 C. x ＜-3，或 x ＞3D. -2＜x ＜26. 若 x ，y ∈R ，且 x + y = 5，则 3x + 3y 的最小值是( )． A. 10B.C. D.7. 若 x ＞0，y ＞0，且 281x y+=，则 xy 有( )． A. 最大值 64 B. 最小值164C. 最小值12D. 最小值 648. 若 ，则目标函数 z = 2x + y 的取值范围是( )．x ≤3x + y ≥0 x - y + 2≥0 x ≤2y ≤2 x + y ≥1A. [0，6]B. [2，4]C. [3，6]D. [0，5]9. 若不等式 ax 2 + bx + c ＞0 的解是 0＜α＜x ＜β，则不等式 cx 2 - bx + a ＞0 的解为( )．A. α1＜x ＜β1B. -β1＜x ＜-α1C. -α1＜x ＜-β1D.β1＜x ＜α1 10. 若 a ＞0，b ＞0 ，且 1a b +=，则⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-111122b a 的最小值是( )．A. 9B. 8C.7D. 6二、填空题. 1. 函数y =的定义域是 ．2. 若 x ，y 满足，则x y的最大值为____________________，最小值为_________________．3. 函数 y =的最大值为 ．4. 若直角三角形斜边长是 1，则其内切圆半径的最大值是 ．5. 若集合 A = {(x ，y )| |x | + |y |≤1}，B = {(x ，y )|(y - x )(y + x )≤0}，M = A ∩B ，则 M 的面积为___________．6. 若不等式 2x - 1＞m (x 2 - 1)对满足 -2≤m ≤2 的所有 m 都成立，则 x 的取值范围是 ．三、解答题．1. 若奇函数 f (x )在其定义域(-2，2)上是减函数，且 f (1 - a )+ f (1 - a 2)＜0，求实数 a 的取值范围．x + 2y - 5≤0x ≥1 y ≥0 x + 2y - 3≥02. 已知 a ＞b ＞0，求216()a b a b +-的最小值．3. 设实数 x ，y 满足不等式组．（1）作出点(x ，y )所在的平面区域；（2）设 a ＞-1，在（1）所求的区域内，求f (x ，y )= y – ax 的最大值和最小值．4. 某工厂拟建一座平面图形为矩形，且面积为 200 m 2 的三级污水处理池（平面图如右）. 如果池外圈周壁建造单价为每米 400 元，中间两条隔墙建筑单价为每米 248 元，池底建造单价为每平方米 80 元，池壁的厚度忽略不计. 试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低造价．1≤x + y ≤4y + 2≥|2x - 3|参考答案一、选择题． 1. A【解析】A ：a 2- a + 1 = a 2- a +4341+=221⎪⎭⎫ ⎝⎛-a +43＞0. a 2 + 1＞a 恒成立．B ：当 a = 0 时，左 = 右．C ：当 a = 3 时，左 = 右．D ：当 a = ±1 时，左 = 右． 2. C【解析】A ：y 没有最小值． B ：∵ 1＜x ＜10， ∴ 0＜lg x ＜1． ∴ y ≥2．lg x =1，即x =10时，y min = 2． 此时不符合1＜x ＜10． C ：∵ 3x ＞0， ∴ y = 3x +x31≥2． x = 0时，y min = 2． D ：∵ 0＜x ＜2π， ∴ sin x ＞0． ∴ y ≥2． 当 sin x =xsin 1时，此时 sin x = 1，x =2π，不符合 0＜x ＜2π．3. B【解析】由不等式组，画出符合条件的平面区域（下图阴影部分）.解两两直线方程组成的方程组，可得 A (3，5)，B (3，-3)， C (-1，1)．∴ S 阴 =21· |AB | · |x A - x c | = 21×8×4 = 16．4. D【解析】∵∴ x ＞0．∵ lg x 2＜lg 2x ， ∴ lg 2x - 2lg x ＞0． ∴ lg x ＞2 ，或 lg x ＜0， ∴ x ＞100 ，或 0＜x ＜1． 5. A【解析】∵（x 4 - 4）-（x 2 - 2）≥ 0，∴ x 4 - x 2 - 2≥0，∴（x 2 - 2）（x 2 + 1）≥0. ∴ x 2≥2．∴ x ≥2，或 x ≤-2． 6. D【解析】 3x + 3y ≥2y x 33⋅= 2y x +3， ∴ 3x + 3y ≥2×9×3= 183，当 x = y = 25时，等号成立． 7. D【解析】 y x 82+≥2y x 82⋅= 8xy 1，当y x 82=，即 时，8xy 1取最大值，即 xy 取最小值 64． 8. A【解析】 据不等式组画出可行域． 易知 A (-1，2)，B (2，2)．将 y = -2x 进行平移，当直线过 A 点时，z min = 0， 当直线过 B 点时，z max = 6． 9. Cx 2＞0， x ＞0，x = 4，y = 16精品文档【解析】由题知，且 a ＜0.∴ b = -a (α + β )， c = a (αβ )．∴ 所求不等式可代为 a (αβ )x 2 + a (α + β )x + a ＞0． ∴(αβ )x 2 +(α + β )x + 1＜0． ∴(αx + 1)(βx + 1)＜0． ∵ 0＜α＜β， ∴ -α1＜-β1．∴ -α1＜x ＜-β1．10. A【解析】 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-111122b a =22221b a ba --+ 1 =22222)(b a b a b a --++ 1 =ab 2+1≥222⎪⎭⎫⎝⎛+b a + 1 = 9．∴ 当 a = b=21时，原式取最小值 9． 二、填空题． 1. （-8，8）．【解析】∵ 64 - x 2＞0 ∴ x 2＜64，-8＜x ＜8，即(-8，8)． 2. 2，0.【解析】 据不等式组画出可行域．由图可知，2max =⎪⎭⎫ ⎝⎛x y ，=⎪⎭⎫⎝⎛m inx y 0．α + β = ab -α β = ac3.21．【解析】设 x = cos ， ∈[0，π]． ∴ y = cos sin=21sin 2 ． ∵ ∈[0，π]，∴ 2 ∈[0，2π]， ∴ y max =21，此时 =4π，x = cos 4π=22．4.． 【解析】如图，r =21-+b a =212-+b a ≤21222-+b a =2122-=212-. 当且仅当 a = b = 22时， r max =212-． 5. 1．【解析】如图，M 为阴影部分. M 的面积为()2221⨯= 1．6.271+-＜x ＜231+． 【解析】令 f (m )= m (x 2 - 1)-(2x - 1)(x ≠±1)，把它看作关于 m 的一次函数． 由于 -2≤m ≤2 时，f (m )＜0 恒成立，x 2 - 1＞0 x 2 - 1＜0 ∴ 或f （2）＜0 f （-2）＜0解得 1＜x ＜231+，或271+-＜x ＜1，又x = 1 时，亦符合题意． ∴271+-＜x ＜231+． 三、解答题．1. 由f (1 - a )+ f (1 - a 2)＜0，得 f (1 - a )＜- f (1 - a 2). 又因为函数f （x ）为奇函数，所以- f (1 - a 2) = f (a 2 - 1)．∴ f (1 - a )＜ f (a 2 - 1). 又∵ 函数 f (x ) 在其定义域(-2，2)上是减函数，1 - a ＞a2 – 1 -2＜a ＜1 ∴ -2＜1 - a ＜2 解得 -1＜a ＜3-2＜a 2 - 1＜2 -3＜a ＜3∴ a ∈（-1，1）．2. 由 a ＞b ＞0 知，a - b ＞0， ∴ b （a - b ）≤4222a b a b =⎪⎭⎫ ⎝⎛-+． ∴ a 2 +)(16b a b -≥a 2 +264a≥22264a a ⋅= 16．当且仅当 a 2 =264a ，b = a - b ，即当 a = 22，b =2时，a 2 +)(16b a b -取得最小值 16．3. （1）（-3，7） 【解析】（2） 最大值为7+3a ，最小值为4. 【解】设污水池总造价为 y 元，污水池长为 x m. 则宽为x200m ，水池外圈周壁长2x + 2 ·x 200（m ），中间隔墙长2 · x200（m ），池底面积200（m 2）． ∴ y = 400⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅x x 20022+ 248 · x 200· 2 + 80×200 = 800⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 324+ 16 000- 1- 2a , -1＜a ≤2 1 - 3a , a ＞2≥1 600xx 324+ 16 000 = 44 800．当且仅当 x =x324，即 x = 18，x 200=9100时，y min = 44 800．答：当污水池长为 18 m ，宽为9100m 时，总造价最低，最低为 44 800元．。