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九年级下册数学测试卷九年级下册第二单元测试卷(B卷)

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(必考题)初中数学九年级数学下册第二单元《二次函数》测试卷(有答案解析)

(必考题)初中数学九年级数学下册第二单元《二次函数》测试卷(有答案解析)

一、选择题1．关于二次函数22y x x =-+的最值，下列叙述正确的是（ ） A ．当2x =时，y 有最小值0. B ．当2x =时，y 有最大值0． C ．当1x =时，y 有最小值1D ．当1x =时，y 有最大值12．已知关于x 的二次三项式()()2121m x m x m +--+的值恒为正，则m 的取值范围是（ ） A ．18m >B ．1m >-C ．118m -<<D ．1m 18<<3．如图，现要在抛物线y ＝x （﹣x +2）上找点P （m ，n ），针对n 的不同取值，所找点P 的个数，四人的说法如下，甲：若n ＝﹣1，则点P 的个数为2；乙：若n ＝0，则点P 的个数为1；丙：若n ＝1，则点P 的个数为1；丁：若n ＝2，则点P 的个数为0．其中说法正确的有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个4．如图是二次函数y ＝mx 2+nx +k 图象的一部分且过点P （3，0），二次函数图象的对称轴是直线x ＝1，下列结论正确的是（ ）A ．n 2﹣4mk ＜0B ．mk ＞0C ．n ＝2mD ．m ﹣n +k ＝05．二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ，b ，c 为常数，且a ≠0）中的x 与y 的部分对应值如表： x ﹣1 0 1 3 y ﹣1353则代数式﹣2a（4a +2b +c ）的值为（ ） A ．92 B ．152C ．9D ．156．已知二次函数2(2)1y mx m x =+--（m 为常数，且0m ≠），（ ）A ．若0m >，则1x <，y 随x 的增大而增大B ．若0m >，则1x >，y 随x 的增大而减小C ．若0m <，则1x <，y 随x 的增大而增大D ．若0m <，则1x >，y 随x 的增大而减小7．如图，抛物线y ＝ax 2+bx +c 的对称轴是x ＝1，下列结论：①abc ＞0；②b 2﹣4ac ＞0； ③8a +c ＜0； ④5a +b +2c ＞0，正确的是（ ）A ．①②③B ．②③④C ．①②④D ．②③8．如图，抛物线22y x x m =-+交x 轴于点(),0A a ，(),0B b ，交y 轴于点C ，抛物线的顶点为D ，下列四个结论：①无论m 取何值，2CD =恒成立；②当0m =时，ABD △是等腰直角三角形；③若2a =-，则6b =；④()11,P x y ，()22,Q x y 是抛物线上的两点，若121x x ，且122x x +>，则12y y <．正确的有（ ）A ．①②③④B ．①②④C ．①②D ．②③④9．对于抛物线22()1y x =-+，下列说法错误的是（ ） A ．抛物线的开口向上 B ．抛物线与x 轴有两个交点 C ．抛物线的对称轴是2x =D ．抛物线的顶点坐标是(2,1)10．二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，对称轴是直线1x =，下列结论：①0ab <；②24b ac >；③20a b c ++<；④30a c +<．其中正确的是（ ）A ．①②④B ．②④C ．①②③D ．①②③④11．如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于,A B 两点，与y 轴交于点(0,1)C -，点A 在(4,0)-与(3,0)-之间（不包含这两点），抛物线的顶点为,D 对称轴是直线2x =-．有下列结论：①0abc <；②若点()1283,;,3M y N y ⎛--⎫ ⎪⎝⎭是抛物线上两点，则12y y >；③13a >-；④若1,a =-则ABD △是等边三角形．其中正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．412．将抛物线()2214y x =--+向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线的解析式为（ ） A ．()2241y x =-++ B ．()2221y x =--+ C ．()2246y x =--+D ．()2242y x =--+二、填空题13．如图所示，二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图像与x 轴交于点()3,0，对称轴为直线1x =．则方程20cx bx a ++=的两个根为_____．14．已知函数y b =的图象与函数23|1|43y x x x =----的图象恰好有四个交点，则b 的取值范围是______．15．抛物线()20y ax bx c a =++≠的部分图象如图所示，其与x 轴的一个交点坐标为()4,0-，对称轴为1x =-，则0y >时，x 的取值范围________．16．有五张正面分别标有数字32112---，，，，的卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，记卡片上的数字为a ，则使关于以x为自变量的二次函数22(1)2y x a x a =-++-的图象不经过点(1,0)的概率是____．17．抛物线212133y x x =-++与x 轴交于点A B 、，与y 轴交于点C ，则ABC 的面积为 _______．18．二次函数224y x x =-++的最大值是______．19．抛物线2y ax bx c =++上部分点的横坐标x ，纵坐标y 的对应值如表所示，下列说法：x··· 3-2-1- 0 1 ··· y···6-466···①抛物线与轴的交点为0,6；②抛物线的对称轴是在轴右侧；③在对称轴左侧，y 随x 增大而减小；④抛物线一定过点()3,0．上述说法正确的是____（填序号）．20．已知A （0，y 1），B （1，y 2），C （4，y 3）是抛物线y =x 2﹣3x 上的三点，则y 1，y 2，y 3的大小关系为____．（用“＜”符号连接）三、解答题21．已知抛物线239y x kx k =-+-．求证：无论k 为何值，该二次函数的图象与x 轴都有交点．22．某跳水运动员在进行跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示的一条抛物线．已知跳板AB 长为2米，跳板距水面CD 高BC 为3米，训练时跳水曲线在离起跳点水平距离1米时达到距水面最大高度4米，现以CD 为横轴，CB 为纵轴建立直角坐标系．（1）求这条抛物线的解析式； （2）求运动员落水点与点C 的距离．23．如图，已知矩形ABCD 的周长为36cm ，矩形绕它的一条边CD 旋转形成一个圆柱．设矩形的一边AB 的长为cm(0)x x >，旋转形成的圆柱的侧面积为2cm S ．（1）用含x 的式子表示：矩形的另一边BC 的长为______cm ；旋转形成的圆柱的底面圆的周长为______cm ． （2）求S 关于x 的函数解析式及自变量x 的取值范围； （3）求当x 取何值时，矩形旋转形成的圆柱的侧面积最大；（4）若矩形旋转形成的圆柱的侧面积等于218cm π，则矩形的长是______cm ，宽是______cm ．24．已知函数()()1210,()y x m x m y ax m a =+--=+≠在同一平面直角坐标系中．（1）若1y 经过点()12-，，求1y 的函数表达式； （2）若2y 经过点()1,1m +，判断1y 与2y 图象交点的个数，说明理由；（3）若1y 经过点1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭，且对任意x ，都有12y y >，请利用图象求a 的取值范围． 25．如图，抛物线223y x x =--与x 轴交于A 、B 两点．（1）抛物线与x 轴的交点坐标为______； （2）求抛物线与坐标轴围成的ABC 的面积；（3）设（1）中的抛物线上有一个动点P ，当点P 在该抛物线上滑动到什么位置时，满足6PAB S =△，并求出此时P 点的坐标．26．如图，在平面直角坐标系中，二次函数25y ax bx =++的图象交x 轴于点A ，B （点A 在点B 的左侧），交y 轴于点C ，//CD x 轴交抛物线于点D ．已知点A 的横坐标为1-，4CD =．（1）求该二次函数的表达式．（2）已知点E 在抛物线上且位于直线CD 的上方，//EF CD 交抛物线于点F （点F 在点E 的右侧），FG x ⊥轴于点G ，交CD 于点H ，4EF HD =，求点E 的坐标．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】先将二次函数配方成()211y x =--+，即可求解． 【详解】解：()()2221221y x x x x x =-+=----+=，二次函数的图象开口向下，当1x =时，y 有最大值1， 故选：D ． 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，将二次函数解析式化为顶点式是解题的关键．2．A解析：A 【分析】根据二次三项式()()2121m x m x m +--+的值恒为正，可设()()2121m x x y m m +--+=，从而得到1m +＞0且∆＜0，进而即可求得m 的取值范围． 【详解】解：设()()2121m x x y m m +--+=，∵关于x 的二次三项式()()2121m x m x m +--+的值恒为正，∴()()2121m x m x m +--+＞0，∴在函数()()2121m x x y m m +--+=中，1m +＞0，且()()22141m m m ∆=--⎡⎤-+⎣⎦＜0，解得：m ＞18故选：A 【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想，熟练掌握二次函数的性质．3．D解析：D 【分析】把P 点的坐标代入函数的解析式，再根据根的判别式或解方程逐个判断即可． 【详解】解：甲：当n ＝﹣1时，m （﹣m +2）＝﹣1， 整理得：m 2﹣2m ﹣1＝0，△＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）＝8＞0， 方程有两个不相等的实数根，即此时点P 的个数为2，故甲的说法正确； 乙：当n ＝0时，m （﹣m +2）＝0， 解得：m ＝0或2，即此时点P 的个数为2，故乙的说法错误； 丙：当n ＝1时，m （﹣m +2）＝1， 整理得：m 2﹣2m +1＝0， △＝（﹣2）2﹣4×1×1＝0， 方程有两个相等的实数根，即此时点P 的个数为1，故丙的说法正确； 丁：当n ＝2时，m （﹣m +2）＝2， 整理得：m 2﹣2m +2＝0， △＝（﹣2）2﹣4×1×2＝﹣4＜0， 方程没有实数根，即此时点P 的个数为0，故丁的说法正确； 所以正确的个数是3个， 故选：D ． 【点睛】本题考查了二次函数的图象上点的坐标特征和一元二次方程的根的判别式、解一元二次方程，能熟记根的判别式的内容是解此题的关键．4．D解析：D 【分析】根据抛物线与x 轴有两个交点可对A 进行判断；由抛物线开口向上得m ＞0，由抛物线与y 轴的交点在x 轴下方得k ＜0，则可对B 进行判断；根据抛物线的对称轴是x ＝1对C 选项进行判断；根据抛物线的对称性得到抛物线与x 轴的另一个交点为（−1，0），所以m−n ＋k ＝0，则可对D 选项进行判断． 【详解】解：A ．∵抛物线与x 轴有两个交点， ∴n 2﹣4mk ＞0，所以A 选项错误； B ．∵抛物线开口向上， ∴m ＞0，∵抛物线与y 轴的交点在x 轴下方， ∴k ＜0，∴mk ＜0，所以B 选项错误；C ．∵二次函数图象的对称轴是直线x ＝1， ∴﹣2nm＝1， ∴n ＝﹣2m ，所以C 选项错误；D ．∵抛物线过点A （3，0），二次函数图象的对称轴是x ＝1， ∴抛物线与x 轴的另一个交点为（﹣1，0）， ∴m ﹣n +k ＝0，所以D 选项正确； 故选：D ． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a≠0）的图象为抛物线，当a ＞0，抛物线开口向上；对称轴为直线2bx a=-；抛物线与y 轴的交点坐标为（0，c ）；当b 2−4ac ＞0，抛物线与x 轴有两个交点；当b 2−4ac ＝0，抛物线与x 轴有一个交点；当b 2−4ac ＜0，抛物线与x 轴没有交点．5．B解析：B 【分析】由当x=0和x=3时y 值相等，可得出二次函数图象的对称轴为直线x=32，进而可得出2b a -的值，由x=1时y=5，可得出当x=2时y=5，即4a+2b+c=5，再将2b a -=32及4a+2b+c=5代入2ba-（4a+2b+c ）中即可求出结论． 【详解】解：∵当x ＝0和x ＝3时，y 值相等，∴二次函数图象的对称轴为直线x ＝32， ∴3=22b a -． ∵当x ＝1时，y ＝5，∴当x ＝2×32﹣1＝2时，y ＝5， ∴4a +2b +c ＝5．∴2b a -（4a +2b +c ）＝32×5＝152． 故选：B ． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的性质，利用二次函数的性质及二次函数图象上点的坐标特征，找出2ba-和（4a+2b+c ）的值是解题的关键． 6．D解析：D 【分析】先求出二次函数图象的对称轴，然后根据m 的符号分类讨论，结合图象的特征即可得出结论． 【详解】该二次函数图象的对称轴为直线21122m x m m-=-=-+， 若0m >，对于22m x m-=-无法判断其符号，故A 、B 选项不一定正确； 若0m <，则202m x m -=-<，即22m m--<1，且抛物线的开口向下， ∴当1x >时，y 随x 的增大而减小，故选：D ． 【点睛】此题考查的是二次函数的图象及性质，解决此题的关键是分类讨论确定对称轴的位置，再结合开口方向进行综合分析．7．B解析：B 【分析】由函数图像与对称轴的方程结合可判断①，由抛物线与x 轴有两个交点，可判断②，由抛物线的对称轴为：1,2bx a=-= 可得2,b a =-结合图像可得当2x =-时，42y a b c =-+＜0, 可判断③，由图像可得当2x =时，4+2y a b c =+＞0，当1x =-时，y a b c =-+＞0，两式相加可得：52a b c ++＞0，可判断④，从而可得答案． 【详解】 解：图像开口向下， a ∴＜0，12bx a==-＞0, b ∴＞0，函数图像与y 轴交于正半轴，c ∴＞0，abc ∴＜0，故①不符合题意； 抛物线与x 轴有两个交点，24b ac ∴-＞0, 故②符合题意； 抛物线的对称轴为：1,2bx a=-= 2,b a ∴=-当2x =-时，42y a b c =-+＜0,()422a a c ∴-⨯-+＜0,8a c ∴+＜0,故③符合题意；当2x =时，4+2y a b c =+＞0，当1x =-时，y a b c =-+＞0，两式相加可得：52a b c ++＞0，故④符合题意； 故选：.B 【点睛】本题考查的是抛物线的图像与系数之间的关系，二次函数的性质，掌握以上知识是解题的关键．8．B解析：B 【分析】①先求出C 、D 的坐标，再根据两点距离公式求得CD ，便可判断； ②当m=0时，可得抛物线与x 轴的两个交点坐标和顶点坐标即可判断； ③根据抛物线与x 轴的一个交点坐标和对称轴即可得另一个交点坐标即可判断； ④根据二次函数图象当x 1＜1＜x 2，且x 1+x 2＞2，根据离对称越远的点的纵坐标就越大得出结论． 【详解】解：①∵y=x 2-2x+m=（x-1）2+m-1， ∴C （0，m ），D （1，m-1）， ∴，②当m=0时，抛物线与x 轴的两个交点坐标分别为A （0，0）、B （2，0），顶点D （1，-1），∴，∴△ABD 是等腰直角三角形，故②正确；③当a=-2时，抛物线与x 轴的一个交点坐标为（-2，0），∵对称轴x=1，∴另一个交点坐标为（4，0），∴b=4，故③错误；④观察二次函数图象可知：当x 1＜1＜x 2，且x 1+x 2＞2，则1-x 1＜x 2-1∴y 1＜y 2．故④正确．故选：B ．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征、抛物线与x 轴的交点、等腰直角三角形，解决本题的关键是综合利用以上知识．9．B解析：B【分析】根据抛物线的性质逐条判断即可．【详解】解：抛物线22()1y x =-+是二次函数的顶点式，由此可知，抛物线开口向上，对称轴是2x =，顶点坐标是(2,1)，故A 、C 、D 正确，不符合题意；∵抛物线顶点在第一象限，开口向上，∴抛物线与x 轴没有交点，故B 错误，符合题意；故选：B ．【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，解题关键是熟知抛物线顶点式的意义，根据顶点位置和开口确定与x 轴是否有交点． 10．C解析：C【分析】根据函数的图像分别确定各项系数的正负,再由对称轴和与x 轴的交点即可解题.∵抛物线开口向上，∴a>0，∵抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，∴c<0，抛物线的对称轴为直线x=-b 2a =10>，即02<b a0a >0b ∴<∴ab<0，所以①正确；∵抛物线与x 轴有2个交点，∴△=b 2-4ac>0，所以②正确；∵x=1时，y<0，∴a+b+c<0，而c<0，∴a+b+2c<0，所以③正确；∵抛物线的对称轴为直线x=-b 2a =1， ∴b=-2a ，而x=-1时，y>0，即a-b+c>0，∴a+2a+c>0，即30a c +>所以④错误．故选C ．【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质,属于简单题,熟悉二次函数的图像性质是解题关键. 11．B解析：B【分析】根据二次函数的图象与系数的关系即可求出答案．【详解】解：①由开口可知：a ＜0，∴对称轴22b x a=-=-， ∴b<0，由抛物线与y 轴的交点可知：c<0，∴abc ＜0，故①正确；②∵对称轴22b x a =-=-，a ＜0， 在对称轴左边，y 随x 的增大而增大，∵8323-<-<-， ∴12y y <，故②错误；③当1x =-，20y ax bx c a b c =++=-+>，∵对称轴22b x a=-=-，抛物线与y 轴的交点C(0，-1)， ∴4b a =，1c =-，∴410a a -->，解得：13a <-，故③错误；④∵1a =-，1c =-，∴44b a ==-，∴抛物线的解析式为()224123y x x x =---=-++， ∴顶点D 的坐标为(-2，3)，解方程()2230x -++=得：23x =-±，∴23AB =，根据抛物线的对称性，BE=3，DE=3，∴DB=()223323+=，∴DB=AD=AB=23，∴ABD △是等边三角形．故④正确；故选：B ．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数解析式的求法、等边三角形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象与性质，属于中考常考题型．12．D解析：D【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．【详解】解：将抛物线y=-2（x-1）2+4向右平移3个单位，再向下平移2个单位长度后得到抛物线的解析式为：y=-2（x-1-3）2+4-2，即y=-2（x-4）2+2；故选：D ．【点睛】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．二、填空题13．【分析】根据题意和二次函数的性质可以得到二次函数的图像与轴的另一个交点然后得到的解然后再变形即可得到方程的两个根；【详解】∵二次函数的图象与x 轴交于点对称轴为直线∴该函数与x 轴的另一个交点为∴当时可 解析：11x =-，213x =【分析】根据题意和二次函数的性质，可以得到二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图像与x 轴的另一个交点，然后得到20ax bx c ++=的解，然后再变形，即可得到方程的两个根；【详解】∵二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象与x 轴交于点()3,0，对称轴为直线1x =， ∴该函数与x 轴的另一个交点为()1,0-，∴当0y =时，20ax bx c =++，可得：11x =-，23x =，当20ax bx c ++=，0x ≠时，可得2110a b c x x ⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 设1t x=，可得20ct bt a ++=， ∴11t =-，213t =， 由上可得，方程20cx bx c++=的两个根为11x =-，213x =； 故答案为：11x =-，213x =． 【点睛】本题主要考查了二次函数与一元二次方程的应用，准确分析计算是解题的关键． 14．【分析】根据绝对值的意义分两种情形化简绝对值后根据图像确定b 的范围即可【详解】当x≥1时y=；当x ＜1时y=；∴二图像的交点为（1-6）y=的最小值为画图像如下根据图像可得直线与之间的部分有个交点∴解析：2564b -<<- 【分析】 根据绝对值的意义，分两种情形化简绝对值，后根据图像确定b 的范围即可.【详解】当x≥1时，y=27x x -；当x ＜1时，y=26x x --；∴227(1)6(1)x x x y x x x ⎧-≥=⎨--<⎩， 二图像的交点为（1，-6）, y=26x x --的最小值为254-， 画图像如下，根据图像，可得直线6y =-与254y =-之间的部分有4个交点， ∴b 的取值范围为254-＜b ＜-6， 故填254-＜b ＜-6. 【点睛】 本题考查了图像的交点问题，利用分类思想，数形结合思想，最值思想画出图像草图是解题的关键.15．或【分析】根据抛物线与x 轴的一个交点坐标和对称轴由抛物线的对称性可求抛物线与x 轴的另一个交点再根据抛物线的增减性可求当y ＜0时x 的取值范围【详解】解：∵抛物线y=ax2+bx+c （a≠0）与x 轴的一解析：4x <-或2x >【分析】根据抛物线与x 轴的一个交点坐标和对称轴，由抛物线的对称性可求抛物线与x 轴的另一个交点，再根据抛物线的增减性可求当y ＜0时，x 的取值范围．【详解】解：∵抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）与x 轴的一个交点坐标为（-4，0），对称轴为x=-1， ∴抛物线与x 轴的另一个交点为（2，0），由图象可知，当y ＞0时，x 的取值范围是x ＜-4或x ＞2．故答案为：x ＜-4或x ＞2．【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点，二次函数的性质，关键是得到抛物线与x 轴的另一个交点．16．【分析】把点的坐标代入解析式转化为a 的一元二次方程确定方程的根从给出的数字中扣除方程的根就是符合题意的a 值计算概率即可【详解】当二次函数的图象经过点时得解得所以符合题意的a 值有-3-12共三个所以二 解析：35【分析】把点的坐标代入解析式，转化为a 的一元二次方程，确定方程的根，从给出的数字中扣除方程的根就是符合题意的a 值，计算概率即可.【详解】当二次函数22(1)2y x a x a =-++-的图象经过点(1,0)时，得 220a a +-=，解得 122,1a a =-=，所以符合题意的a 值有-3，-1,2，共三个，所以二次函数22(1)2y x a x a =-++-的图象不经过点(1,0)的概率是35， 故答案为：35. 【点睛】 本题考查了简单事件的概率计算、二次函数，利用二次函数的图象过点的意义，判定符合题意的a 值是解题的关键．17．2【分析】由与x 轴交于点AB 即y=0求出x 即得到图象与x 轴的交点坐标与y 轴交于点C 即x=0求出y 得到与y 轴的交点坐标得出ABAC 的长度从而得出△ABC 的面积；【详解】∵与x 轴交于点AB 则解得：即交点解析：2【分析】由212133y x x =-++与x 轴交于点A 、B ，即y=0，求出x ，即得到图象与x 轴的交点坐标，与y 轴交于点C ，即x=0，求出y ，得到与y 轴的交点坐标，得出AB 、AC 的长度，从而得出△ABC 的面积；【详解】 ∵212133y x x =-++与x 轴交于点A 、B ， 则2121=033x x -++， 解得：11x =- ，23x = ，即交点坐标分别为(-1，0)，(3，0)； ∵212133y x x =-++与y 轴交于点C ， 将x=0代入得y=1，∴ 点C(0，1)，∴ △ABC 的面积为：1141222AB OC ⨯⨯=⨯⨯= ， 故答案为：2．【点睛】本题主要考查了二次函数与坐标轴的交点坐标求法，进而得出有关三角形的面积，正确得出有关坐标是解题的关键． 18．【分析】利用二次函数的配方法确定最值即可【详解】∵∵a=-1＜0∴二次函数有最大值且最大值为5；故答案为：5【点睛】本题考查了二次函数的最值问题熟练运用配方法确定二次函数的最值是解题的关键解析：【分析】利用二次函数的配方法确定最值即可.【详解】∵224y x x =-++2(24)x x =---2[(1)14]x =----2(1)5x =--+，∵a= -1＜0，∴二次函数224y x x =-++有最大值，且最大值为5；故答案为：5.【点睛】本题考查了二次函数的最值问题，熟练运用配方法确定二次函数的最值是解题的关键. 19．①②④【分析】由表格中数据x=0时y=6x=1时y=6；可判断抛物线的对称轴是x=05根据函数值的变化判断抛物线开口向下再由抛物线的性质逐一判断【详解】解：由表格中数据可知x=0时y=6x=1时y=解析：①②④．【分析】由表格中数据x=0时，y=6，x=1时，y=6；可判断抛物线的对称轴是x=0.5，根据函数值的变化，判断抛物线开口向下，再由抛物线的性质，逐一判断．【详解】解：由表格中数据可知，x=0时，y=6，x=1时，y=6，①抛物线与y轴的交点为（0，6），正确；②抛物线的对称轴是x=0.5，对称轴在y轴的右侧，正确；③由表中数据可知在对称轴左侧，y随x增大而增大，错误．④根据对称性可知，抛物线的对称轴是x=0.5，点（-2，0）的对称点为（3，0），即抛物线一定经过点（3，0），正确；正确的有①②④．故答案为①②④．【点睛】主要考查了二次函数的性质．要熟练掌握函数的特殊值对应的特殊点．解题关键是根据表格中数据找到对称性以及数据的特点求出对称轴，图象与x，y轴的交点坐标等．20．y2＜y1＜y3【分析】根据二次函数的解析式得出图象的开口向上对称轴是直线x=根据x＞时y随x的增大而增大即可得出答案【详解】解：∵y=x2﹣3x∴图象的开口向上对称轴是直线x=∵A（0y1）B（1解析：y2＜y1＜y3【分析】根据二次函数的解析式得出图象的开口向上，对称轴是直线x=32，根据x＞32时，y随x的增大而增大，即可得出答案．【详解】解：∵y=x2﹣3x，∴图象的开口向上，对称轴是直线x=32．∵A（0，y1），B（1，y2），C（4，y3）是抛物线y=x2﹣3x上的三点，且0＜1＜32＜4，∴y2＜y1＜y3．故答案为：y2＜y1＜y3．【点睛】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用二次函数的性质进行推理是解此题的关键．三、解答题21．证明见详解．【分析】令y=0，构造一元二次方程239=0x kx k -+-，由1,,39a b k c k ==-=-，判别式()22123660k k k ∆=-+=-≥即可．【详解】解：令y=0，239=0x kx k -+-，∵1,,39a b k c k ==-=-， ()()()222=4139123660k k k k k ∴∆--⨯⨯-=-+=-≥，∴二次函数的图象与x 轴都有交点．【点睛】本题考查二次函数与x 轴的交点问题，掌握二次函数与x 轴交点问题转化为y=0时，一元二次方程有实根问题，理解二次函数和一元二次方程之间的关系式解此题的关键，此题是一个比较典型的题目．22．（1）y ＝﹣（x ﹣3）2＋4；（2）5米【分析】（1）建立平面直角坐标系，列出顶点式，代入点A 的坐标，求得a 的值，则可求得抛物线的解析式；（2）令y =0，得关于x 的方程，求得方程的解并根据题意作出取舍即可．【详解】解：（1）如图所示，建立平面直角坐标系，由题意可得抛物线的顶点坐标为（3，4），点A 坐标为（2，3），设抛物线的解析式为y ＝a （x ﹣3）2＋4，将点A 坐标（2，3）代入得：3＝a （2﹣3）2＋4，解得：a ＝﹣1，∴这条抛物线的解析式为y ＝﹣（x ﹣3）2＋4；（2）∵y ＝﹣（x ﹣3）2＋4，∴令y ＝0得：0＝﹣（x ﹣3）2＋4，解得：x 1＝1，x 2＝5，∵起跳点A 坐标为（2，3），∴x 1＝1，不符合题意，∴x ＝5，∴运动员落水点与点C 的距离为5米．【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合并熟练掌握运用待定系数法求抛物线的解析式是解题的关键．23．（1）(18)x -，2(18)x π-；（2）2=236(018)S x x x ππ-+<<；（3）9x =；（4）(9+，(9-【分析】（1）根据矩形的性质，圆的周长公式求解即可．（2）根据圆柱的侧面积公式求解即可．（3）利用二次函数的性质求解即可．（4）构建方程求解即可．【详解】解：（1）BC=12（36-2x ）=（18-x ）cm ， 旋转形成的圆柱的底面圆的周长为2π（18-x ）cm ．故答案为：(18)x -，2(18)x π-；（2）22(18)236(018)S x x x x x πππ=-⋅=-+<<（3）222362(9)162S x x x ππππ=-+=--+∵-2π＜0，∴当9x =时，矩形旋转形成的圆柱的侧面积最大：（4）由题意：-2πx 2+36πx=18π，∴x 2-18x+9=0，解得或（舍弃），∴矩形的长是（）cm ，宽是（）cm ．故答案为：(9+，(9-．【点睛】本题考查圆柱的计算，二次函数的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．24．（1）212y x x =--；（2）当1m =-时，图像1y 与2y 有一个交点；当1m ≠-时，图像1y 与2y 有两个交点，理由：见详解；（3）01a <<或10a << 【分析】（1）将()1,2-代入1y ，解关于m 的方程即可求解；（2）将点()1,1m +代入2y 求出a ，由解析式1y 和2y 联立方程组消去y 得到关于x 的一元二次方程，根据一元二次方程根的情况判断1y 与2y 交点的个数即可；（3）将1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭代入1y 求出m 的值，把m 的值代入1y 与2y ，结合图像，根据对任意x ，都有12y y >即可求解．【详解】解：（1）将()1,2-代入1y ，得()()2111m m -=+--，解得，122,1m m =-= ，()()121y x x ∴=-+，即 212y x x =--；（2）当1m =-时，图像1y 与2y 有一个交点；当1m ≠-时，图像1y 与2y 有两个交点． 理由如下：2y 经过点()1,1m +，1m a m ∴+=+，1a ，()()121,y x m x m y x m =+--=+∴联立方程组()()1y x m x m y x m ⎧=+--⎨=+⎩，消去y ，得()2202x x m m -+=- ()()222242484410m m m m m =++=++=+≥△∴方程()2202x x m m -+=-有实数根据，当1m =-时，0=， 方程()2202x x m m -+=-有两个相等的实数根，1y 与2y 有一个交点；当1m ≠-时，0>，方程()2202x x m m -+=-有两个不相等的实数根，1y 与2y 有两个交点；综上所术，当1m =-时，图像1y 与2y 有一个交点；当1m ≠-时，图像1y 与2y 有两个交点；（3）1y 经过点1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭， ∴ 110122m m =+--⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 解得，12m =-， 2121,122y x y ax ⎛⎫ ⎪⎝⎭∴=-=-联立方程组2 121212y xy ax⎧⎛⎫=-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎪=-⎪⎩，消去y得，()2314x a x++=-，若方程有两个相等的实数根，图像1y与2y有一个交点，则()231404a=+-⨯=△，解，得31a=±-，如图所示，对任意x，都有12y y>，031a∴<<或310a<<，【点睛】本题是二次函数与一次函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，二次函数与一次函数图像的交点与一元二次方程根的判别式的关系及利用图像求不等式的解集，关键在于正确理解二次函数与一次函数图像的交点与一元二次方程的关系以及数形结合的思想．25．（1）()1,0-或()3,0；（2）6；（3）点P的坐标为()17,3、()17,3、()0,3-、()2,3-．【分析】（1）令y=0，转化为一元二次方程，方程的根就是与x轴交点的横坐标；（2）求出AB的长度，OC的长度，按公式计算即可；（3）利用面积公式，抛物线的解析式转化成一元二次方程求解即可．【详解】解：（1）当0y=时，2230x x--=，解得11x=-，23x=，∴抛物线与x 轴的交点坐标为()1,0-或()3,0，故答案为：()1,0-或()3,0．（2）由（1）点()1,0A -，()3,0B ，()0,3C-， ∴()314AB =--=，3OC =， ∴14362ABC S =⨯⨯=△． （3）∵点()1,0A -，点()3,0B ，()222314y x x x =--=--，∴此抛物线有最小值，此时4y =-，()314AB =--=，∵6PAB S =△，抛物线上有一个动点P ，∴点P 的纵坐标的绝对值为6234⨯=， ∴2233x x --=或2233x x --=-， 解得，117x =，217x =，30x =，42x =，∴点P 的坐标为()17,3、()17,3-、()0,3-、()2,3-．【点睛】本题考查了二次函数与坐标轴的交点，抛物线上的内接三角形的面积，动点问题，熟练掌握性质，并能灵活运用是解题的关键．26．（1）245y x x =-++；（2）265,39E ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 【分析】（1）根据抛物线的对称性，可得22b a -=，把()1,0A -代入函数解析式，进而即可得到答案；（2）设点()2,45F m m m -++，则4HD m =-，24EF m =-，结合4EF HD =，列出方程，即可得到答案．【详解】（1）∵4CD =，由对称性得：抛物线对称轴为：直线22b x a=-=， 把()1,0A -代入得，50a b -+=， 解得：14a b =-⎧⎨=⎩， ∴二次函数的表达式为：245y x x =-++；（2）设点()2,45F m m m -++，则4HD m =-， 由二次函数图象的对称性可得：()2224EF m m =-=-，∵4EF HD =，∴()2444m m -=-，解得103m =， ∴8243EF m =-=， ∴42233E x =-=．把23E x =代入，得2226545339E y ⎛⎫=-+⨯+= ⎪⎝⎭． ∴265,39E ⎛⎫ ⎪⎝⎭． 【点睛】本题主要考查二次函数的图像和性质，掌握待定系数法，二次函数图像的对称性以及函数图像上点的坐标特征，是解题的关键．。

人教版初中数学九年级数学下册第二单元《相似》测试卷(有答案解析)

人教版初中数学九年级数学下册第二单元《相似》测试卷(有答案解析)

一、选择题1．下列判断正确的是（ ）A ．对角线相等的四边形是矩形B ．将一个矩形风景画的四周镶上宽度相等的金边后得到的新矩形与原矩形相似C ．如果两个相似多边形的面积比为16：9，那么这两个相似多边形的周长比可能是4：3D ．若点C 是AB 的黄金分割点，且AB ＝6cm ，则BC 的长约为3.7cm2．如图，在平行四边形ABCD 中，以对角线AC 为直径的圆O 分别交BC ，CD 于点M ，N ，若13AB =，14BC =，9CM =，则线段MN 的长为（ ）A ．18013B ．10C ．12613D ．13．下列各组线段能成比例的是（ ）A ．1.5cm ，2.5cm ， 3.5cm ，4.5cmB ．1cm ，2cm ，3cm ，4cmC ．3cm ， 6cm ， 4cm ， 8cmD ．2cm ，10cm ，5cm ，15cm 4．如图，点D 在ABC 的边AC 上，添加下列哪个条件后，仍无法判定ABC ADB ∽△△（ ）A ．C ABD ∠=∠B ．CBA ADB ∠=∠C ．AB AD AC AB = D ．AB BC AC BD = 5．如图，在四边形ABCD 中，对角线BD 平分∠ABC ，∠DBC ＝30°，∠BAD ＝∠BDC ＝90°，E 为BC 的中点，AE 与BD 相交于点F ，若CD ＝2，则BF 的长为（ ）A 23B 23C 63D 436．如图，在ABC ∆中，,D E 分别是边,BC AC 上的点，且11,BD BC AE AC n m ==，连接,AD BE 交于点F ，则AF AD的值为（ ）A ．1m n -B ．1m m n +-C ．1n m n +-D ．1n m - 7．大自然巧夺天工，一片小心树叶也蕴含着“黄金分割”．如图，P 为AB 的黄金分割点（AP >PB ），如果AP 的长度为8cm ，那么AB 的长度是（ ）A ．45-4B ．12-45C ．12+45D ．45+48．已知P ，Q 是线段AB 的两个黄金分割点，且AB=10，则PQ 长为（ ） A ．5(5-1) B ．5(5+1) C ．10(5-2) -D ．5(3-5) 9．如图，正方形ABCD 中，ABC 绕点A 逆时针旋转到AB C ''△，AB '、AC '分别交对角线BD 于点E 、F ，若4AE =，则EF ED ⋅的值为（ ）A ．4B ．6C ．8D ．1610．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，垂足为D ，延长至点G ，连接BG ，过点A 作AF ⊥BG ，垂足为F ，AF 交CD 于点E ，则下列错误的是（ ）A ．AD AC AC AB = B ．AD CD CD BD =C ．DE CD CD DG = D ．EG BD EF BG = 11．如图，菱形ABCD 的边长为10，面积为80，∠BAD ＜90°，⊙O 与边AB ，AD 都相切菱形的顶点A 到圆心O 的距离为5，则⊙O 的半径长等于（ ）A ．2.5B ．5C ．22D ．312．如图，要使ABC ACD ∆∆，需补充的条件不能是（ ）A ．ADC ACB ∠=∠B ．ABC ACD ∠=∠ C ．AD AC AC AB= D ．AD BC AC DC ⋅=⋅ 二、填空题13．如图，在平行四边形ABCD 中，E 在AD 上，21AE ED =，CE 交BD 于F ，则:BCF DCF S S =△△__________．14．如图，BD 、CE 是锐角ABC 的两条高线，则图中与BOE △相似三角形有______个．15．已知5a=6b （a≠0），那么-a a b 的值为_______． 16．如图，在△ABO 的顶点A 在函数k y x=（x ＞0）的图像上∠ABO=90°，过AO 边的三等分点M 、N 分别作x 轴的平行线交AB 于点P 、Q ．若四边形MNQP 的面积为3，则k 的值为________．17．如图，在四边形ABCD 中，点E 在AD 上，EC//AB ，EB//DC ，若△ABE 面积为5 ， △ECD 的面积为1，则△BCE 的面积是________．18．若()0a b a c b c k k c b a+++===≠， 则k 的值为______． 19．在ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，AB=12，AC=16，AE=4，若ABC 与ADE 相似，则AD=__________．20．如图，90A B ∠=∠=︒，AB a ，AD BC <，在边AB 上取点P ，使得PAD △，PBC 与PDC △两两相似，则AP 长为___________．（结果用含a 的代数式表示）三、解答题21．如图，在平面直角坐标系中，一次函数122y x =-的图象分别交x 、y 轴于点A 、B ，抛物线2y x bx c =++经过点A 、B ，点P 为第四象限内抛物线上的一个动点．（1）求此抛物线的函数解析式．（2）过点P 作//PM y 轴，分别交直线AB 、x 轴于点C 、D ，若以点P 、B 、C 为顶点的三角形与以点A 、C 、D 为顶点的三角形相似，求点P 的坐标．（3）当2PBA OAB ∠=∠时，求点P 的坐标．22．如图，王华同学在晚上由路灯AC 走向路灯BD ，当他走到点P 时，发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯AC 的底部，当他向前再步行12 m 到达Q 点时，发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯BD 的底部．已知王华同学的身高是1.6 m ，两个路灯的高度都是9.6 m(1)求两个路灯之间的距离；(2)当王华同学走到路灯BD 处时，他在路灯AC 下的影子长是多少？23．下图是由边长为1的小正方形组成的5×4网格，A 、B 、C 、D 、E 、F 、P 、Q 均为网格格点，请用无刻度直尺作图，保留作图痕迹，不写画法. （1）在线段AB 上找到一点M ，使△AQM ≌△BPM.（2）在线段CD 上找点N ，使△ECN ∽△FDN.24．如图，ABC 内接于⊙O ，AB AC =，过点C 作AB 的垂线CD ，垂足为点E ，交O 于点F ，连接AD ，并使AD BC ∥．（1）求证：AD 为O 的切线；（2）若5AC =，2BE =，求AD 的长．25．△ABC 在边长为1的正方形网格中如图所示．（1）以点C 为位似中心，作出△ABC 的位似图形△A 1B 1C 1，使其位似比为1：2．且△A 1B 1C 1位于点C 的异侧，并表示出A 1的坐标．（2）作出△ABC 绕点C 顺时针旋转90°后的图形△A 2B 2C 2．26．黄金分割为“最美丽”的几何比率，广泛应用于图案设计，下图是一个包装盒的俯视图，线段AB 是这个俯视图的中轴线．某公司想在中轴线AB 上找到黄金分割点，安装视频播放器．（1）请你用尺规作图的方式找出这个点（作出一点即可，保留作图痕迹）；（2）请证明你找到的点是黄金分割点．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】A．利用矩形的判定定理对角线相等的平行四边形可判断；B．一个矩形风景画的四周镶上宽度相等的金边后得到的新矩形与原矩形相似应满足长与宽相等时可以，而矩形的长与宽一般不等；C.利用相似图形的性质即可；D．利用黄金分割法可求出BC有两个值即可．【详解】解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，故此选项错误；B、将一个矩形风景画的四周镶上宽度相等的金边后得到的新矩形与原矩形不一定相似，故此选项错误；C、如果两个相似多边形的面积比为16：9，则两个相似多边形的相似比为4:3，那么这两个相似多边形的周长比等于相似比是4：3，故此选项正确；D、若点C是AB的黄金分割点，且AB＝6cm，则BC的长约为3.7cm或2.3cm，故此选项错误；故选择：C．【点睛】本题综合性考查矩形，矩形相似，相似多边形的性质，黄金分割问题，掌握矩形的判定方法，矩形相似的判定方法，相似多边形的性质，会求黄金分割中线段的长是解题关键．2．A解析：A【分析】连结AM，AN，根据圆周角定理可知△ABM是直角三角形，利用勾股定理即可求出AC的长；易证△AMN∽△ACD，根据相似三角形的性质即可求出MN的长．【详解】解：连结AM，AN，∵AC是⊙O的直径，∴∠AMC=90°，∠ANC=90°，∵AB=13，BM=5，∴22，AB BM∵CM=9，∴AC=15，∵∠MCA=∠MNA，∠MCA=∠CAD，∴∠MNA=∠CAD，∵∠AMN=∠ACN，∴∠AMN=∠ACN，∵△NMA∽△ACD，∴AM：MN=CD：AC，∴12：MN=13：15，∴MN=180．13故选：A．【点睛】本题考查了圆周角定理运用、勾股定理的运用、相似三角形的判定和性质，题目的综合性较强，难度中等，解题的关键是添加辅助线构造相似三角形．3．C解析：C【分析】根据比例线段的概念：如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．【详解】解：A、1.5×4.5≠2.5×3.5，故本选项错误；B、1×4≠2×3，故本选项错误；C、3×8＝4×6，故本选项正确；D≠，故本选项错误．故选：C．【点睛】此题考查了比例线段的概念．注意在相乘的时候，最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等．4．D解析：D【分析】根据三角形相似的判定方法一一判断即可．【详解】解：A、根据两角对应相等两三角形相似，可以判定△ABC∽△ADB；B、根据两角对应相等两三角形相似，可以判定△ABC∽△ADB；C、根据两边成比例夹角相等两三角形相似即可判定△ABC∽△ADB；D、无法判断三角形相似．故选：D．本题考查相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 5．C解析：C【分析】连接DE ，根据直角三角形的性质求出BC ，根据勾股定理求出BD ，再求出AB ，根据DE ∥AB ，得到B DE AB DF F =，把已知数据代入计算，得到答案． 【详解】解：连接DE ，∵∠BDC ＝90°，∠CBD ＝30°，CD ＝2， ∴BC ＝2CD ＝4，由勾股定理得，BD 22BC CD -2242-23∵E 是BC 的中点，∴DE ＝12BC ＝BE ＝2， ∴∠BDE ＝∠CBD ＝30°，∵对角线BD 平分∠ABC ，∴∠ABD ＝∠CBD ＝∠BDE ，∴DE ∥AB ，∴BDE AB DF F =， 在Rt △ABD 中，∠ABD ＝30°， ∴AD ＝12BD 3 ∴AB 22BD AD -3， ∴23DF FB =， 2332BF =-， 解得，BF 63 故选：C ．本题考查的是勾股定理、角平分线的性质、直角三角形30度角的性质、解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题．6．C解析：C【分析】过D作DG∥AC交BE于G，易证△BDG∽△BCE，△DGF∽△AEF,利用三角形相似的性质即可解答．【详解】解：过D作DG∥AC交BE于G，则△BDG∽△BCE，∴DG BDCE BC=，∵1BD BCn=，∴1DG BDCE BC n==，∵1AE ACm=，∴1mCE ACm-=,∴DG=11mCE ACn mn-⋅=∵DG∥AC，∴△DGF∽△AEF，∴111mACDF DG mmnAF AE nACm--===，∴1AD m nAF n+-=，即1AF nAD m n=+-，故选：C．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、比例性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质，添加辅助线构造相似三角形是解答的关键．7．D解析：D【分析】根据黄金分割的定义得到AP=512-AB ，然后把AP=8代入后可求出AB 的长． 【详解】∵P 为AB 的黄金分割点（AP ＞PB ），∴AP=512-AB ， ∴AB=()845145451⨯=+=+-（cm ）， 故选：D ． 【点睛】 本题考查了黄金分割以及分母有理化．把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC ＞BC ），且使AC 是AB 和BC 的比例中项（即AB ：AC=AC ：BC ），叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点．其中AC=51-AB ．并且线段AB 的黄金分割点有两个． 8．C解析：C【分析】画出图像，根据黄金分割的概念写出对应线段的比值，求出AQ 、PB 的长度，再根据PQ =AQ +PB －AB 即可求出PQ 的长度．【详解】解：如图，根据黄金分割点的概念，可知51PB AQ AB AB -== ∴AQ =PB ，AB =10，∴AQ =PB =51105552⨯=， ∴PQ =AQ +PB －AB =555555101052010(52)+-==．故选：C ．【点睛】本题主要考查黄金分割的概念，熟记黄金分割的概念并根据黄金分割的比值列式是解题关键．9．D解析：D【分析】先根据正方形的性质、旋转的性质可得45EAF EDA ∠=∠=︒，再根据相似三角形的判定与性质即可得．【详解】四边形ABCD 是正方形，45BAC EDA ∴∠=∠=︒，由旋转的性质得：B AC BAC ''∠=∠，B AC EDA ''∴∠=∠，即EAF EDA ∠=∠，在AEF 和DEA △中，EAF EDA AEF DEA ∠=∠⎧⎨∠=∠⎩， AEF DEA ∴~，EF AE AE DE ∴=，即44EF DE=， 16EF DE ∴⋅=，故选：D ．【点睛】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．10．D解析：D【分析】通过证明△ACD ∽△ABC ，可得AD AC AC AB =，通过证明△ACD ∽△CBD ，可得AD CD CD BD =，通过△ADE ∽△GDB ，△ACD ∽△CBD ，可得DE CD CD DG=，通过证明△GEF ∽△GBD ，可得=EG BG EF BD，即可求解． 【详解】解：∵CD ⊥AB ，∴∠ADC ＝∠CDB ＝90°，∴∠BCD +∠ABC ＝90°，∵∠ACB ＝90°，∴∠ACD +∠BCD ＝90°，∴∠ACD ＝∠ABC ，又∵∠ACB ＝∠ADC ＝90°，∴△ACD ∽△ABC ， ∴AD AC AC AB=， 故A 选项不合题意；∵∠ACD ＝∠ABC ，∠ADC ＝∠BDC ，∴△ACD ∽△CBD ， ∴AD CD CD BD= 故B 选项不合题意；∵AF ⊥BG ，∴∠AFB ＝90°，∴∠FAB +∠GBA ＝90°，∵∠GDB ＝90°，∴∠G +∠GBA ＝90°，∴∠G ＝∠FAB ，又∵∠ADE ＝∠GDB ＝90°，∴△ADE ∽△GDB ， ∴=AD DE GD BD， ∴AD •BD ＝DE •DG ，∵△ACD ∽△CBD ， ∴=AD CD CD BD， ∴CD 2＝AD •BD ，∴CD 2＝DE •DG ， ∴DE CD CD DG=， 故C 选项不合题意；∵∠G ＝∠G ，∠EFG ＝∠GDB ＝90°，∴△GEF ∽△GBD ， ∴=EG BG EF BD故D 选项符合题意，故选：D ．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定及其性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法及其性质．11．B解析：B如图，连接AO ，作DH ⊥AB 于H ，连接BD ，延长AO 交BD 于E ．利用菱形的面积公式求出DH ，再利用勾股定理求出AH ，BD ，由△AOF ∽△DBH ，可得=OA OF BD BH，即可解决问题．【详解】解：如图，连接AO ，作DH ⊥AB 于H ，连接BD ，延长AO 交BD 于E ．∵菱形ABCD 的边AB=10，面积为80，∴AB•DH=80，∴DH=8，在Rt △ADH 中，226AH AD DH =-=， ∴HB=AB-AH=4，在Rt △BDH 中，2245BD DH BH +=， 设⊙O 与AB 相切于F ，与AD 相切于J ，连接OF ，OJ ，则OF ⊥AB ，OJ ⊥AD ，OF=OJ ， ∴OA 平分∠DAB ，∵AD=AB ，∴AE ⊥BD ，∵∠OAF+∠ABE=90°，∠ABE+∠BDH=90°，∴∠OAF=∠BDH ，∵∠AFO=∠DHB=90°，∴△AOF ∽△DBH ，∴=OA OF BD BH ， ∴445OF ， ∴5故选：B ．【点睛】本题考查切线的性质、菱形的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．12．D解析：D【分析】要使两三角形相似，已知有一组公共角，则可以再添加一组角相等或添加该角的两边对应【详解】∵∠DAC=∠CAB∴当∠ACD=∠ABC 或∠ADC=∠ACB 或AD ：AC=AC ：AB 时，△ABC ∽△ACD ．故选：D【点睛】本题考查相似三角形的判定方法的开放性的题，相似三角形的判定方法：①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．平行于三角形一边的直线截另两边或另两边的延长线所组成的三角形与原三角形相似．二、填空题13．3【分析】证明可得结合三角形面积公式即可求得结果【详解】在平行四边形ABCD 中∵∴∵∴故答案为：3【点睛】本题考查了三角形相似的性质与判定解答本题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定解析：3【分析】证明DEF BCF ，可得31BF CB DF ED ==，结合三角形面积公式即可求得结果． 【详解】在平行四边形ABCD 中，AD BC =，//AD BC ， ∵21AE ED =，AE ED AD +=，∴13ED AD = ∵//AD BC ，13DF ED ED BF BC AD ∴===． ∴3BCF DGF S BF S DF==． 故答案为：3．【点睛】本题考查了三角形相似的性质与判定，解答本题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定．14．3【分析】根据∠BEO=∠CDO=90°可证同理可证从而得出答案；【详解】是的高又∵综上与相似的三角形有3个故答案为：3【点睛】本题考查了相似三角形的判定解题的关键是找出两个对应角相等即可；解析：3【分析】根据∠BEO=∠CDO=90°，BOE COD ∠=∠可证BOE COD ∽△△，同理可证BOE CAE ∽△△，BOE BAD ∽△△，从而得出答案；【详解】 BD ，CE 是ABC 的高，90BEO CEA BDC BDA ∴∠=∠=∠=∠=︒，BEO CDO ∠=∠，BOE COD ∠=∠，BOE COD ∴∽△△，90EBO A ∠+∠=︒，90ACE A ∠+∠=︒，EBO ECA ∴∠=∠，又∵BEO CEA ∠=∠，BOE CAE ∴∽△△，BEO BDA ∠=∠，∠=∠OBE ABD ，BOE BAD ∴∽△△，综上与BOE △相似的三角形有3个．故答案为：3．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是找出两个对应角相等即可；15．6【分析】由等式可用a 表示出b 代入求值即可【详解】解：∵5a=6b （a≠0）∴b=a ∴故答案为：6【点睛】本题主要考查比例的性质由已知等式用a 表示出b 是解题的关键解析：6【分析】由等式可用a 表示出b ，代入求值即可．【详解】解：∵5a=6b （a≠0），∴b=56a ， ∴1651--66a ab a a a ===， 故答案为：6．【点睛】本题主要考查比例的性质，由已知等式用a 表示出b 是解题的关键．16．【分析】易证△ANQ ∽△AMP ∽△AOB 由相似三角形的性质：面积比等于相似比的平方可求出△ANQ 的面积进而可求出△AOB 的面积则k 的值也可求出【详解】∵NQ ∥MP ∥OB ∴△ANQ ∽△AMP ∽△AOB解析：18【分析】易证△ANQ ∽△AMP ∽△AOB ，由相似三角形的性质：面积比等于相似比的平方可求出△ANQ 的面积，进而可求出△AOB 的面积，则k 的值也可求出．【详解】∵NQ ∥MP ∥OB ，∴△ANQ ∽△AMP ∽△AOB ，∵M 、N 是OA 的三等分点， ∴11,23AN AN AM AO ==， ∴14ANQ AMP SS =， ∵四边形MNQP 的面积为3， ∴314ANQ ANQ S S =+， ∴S △ANQ ＝1，∵2119AOB AN S AO ⎛⎫== ⎪⎝⎭， ∴S △AOB ＝9，∴k ＝2S △AOB ＝18，故答案为：18．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质以及反比例函数k 的几何意义，正确的求出S △ANQ ＝1是解题的关键．17．【分析】由EC ∥ABEB ∥DC 可得∠A=∠CED ∠AEB=∠D 证得△ABE 与△ECD 相似由△ABE 的面积为5△CDE 的面积为1可得AB ：CE=：1又由EC ∥AB 可得△ABE 与△BCE等高然后由等高三【分析】由EC ∥AB ，EB ∥DC ，可得∠A=∠CED ，∠AEB=∠D ，证得△ABE 与△ECD 相似，由△ABE 的面积为5，△CDE 的面积为1，可得AB ：1又由EC ∥AB ，可得△ABE 与△BCE 等高，然后由等高三角形的面积比等于对应底的比，求得△BCE 的面积．【详解】∵EC ∥AB ，∴∠A=∠CED ，∵EB ∥DC∴∠AEB=∠D ，∴△ABE ∽△ECD ，∴22ABE ECD 551S BE AB CD CES ⎛⎫⎛⎫==== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ∴AB CE =AB =， ∵△ABE 以AB 为底边的高与△BCE 以CE 为底的高相等，∴ABEBCE S AB S CE ==BCE S ∴==【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质．注意相似三角形的面积比等于相似比的平方、等高三角形面积的比等于其对应底的比．18．或2【分析】根据等式的性质可得2（a+b+c ）=k （a+b+c ）根据因式分解可得a+b+c=0或k=2根据分式的性质可得答案【详解】解：由得b+c=ak①a+c=bk②a+b=ck③①+②+③得2（ 解析：1-或2【分析】根据等式的性质，可得2（a+b+c ）=k （a+b+c ），根据因式分解，可得a+b+c=0或k=2，根据分式的性质，可得答案．【详解】解：由()0a b a c b c k k c b a+++===≠,得 b+c=ak ①，a+c=bk ②，a+b=ck ③，①+②+③，得2（a+b+c ）=k （a+b+c ），移项，得2（a+b+c ）-k （a+b+c ）=0，因式分解，得（a+b+c ）（2-k ）=0a+b+c=0或k=2，当0a b c ++=时，a b c +=-， 1a b c k c c+-===-， ∴1k =-或2．故答案为：1-或2．【点睛】本题考查了比例的性质，利用等式的性质得出2（a+b+c ）=k （a+b+c ）是解题关键，又利用了分式的性质．19．或【分析】分类讨论：当△ADE∽△ABC和当△AED∽△ABC根据相似的性质得出两种比例式进而解答即可【详解】如图∵∠DAE=∠BAC∴当△ADE∽△ABC∴即解得：AD=3∴当△AED∽△ABC∴解析：163或3【分析】分类讨论：当△ADE∽△ABC和当△AED∽△ABC，根据相似的性质得出两种比例式进而解答即可．【详解】如图∵∠DAE=∠BAC，∴当△ADE∽△ABC，∴AB ADAC AE=，即12164AD=，解得：AD=3，∴当△AED∽△ABC，∴AB AE AC AD=，即12416AD=，解得：AD=163，故答案为：163或3【点睛】本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等． 20．或【分析】根据△PAD △PBC 都是直角三角形△PAD △PBC △PDC 两两相似利用相似三角形性质分类讨论即可；【详解】∵△PAD △PBC 都是直角三角形△PAD △PBC △PDC 两两相似∴△PDC 是直角三 解析：12a 或13a 【分析】 根据△PAD ，△PBC 都是直角三角形，△PAD ，△PBC ，△PDC 两两相似，利用相似三角形性质分类讨论即可；【详解】∵△PAD ，△PBC 都是直角三角形，△PAD ，△PBC ，△PDC 两两相似，∴△PDC 是直角三角形，当90DPC ∠=︒时，∴90APD BPC ∠+∠=︒，∵90BPC BCP ∠+∠=︒，∴APD BCP ∠=∠，∵90A B ∠=∠=︒，∴△△APD BCP ，当△△APD PDC 时，∴APD PDC ∠=∠，此时CD ∥AB ，90ADC ∠=︒，四边形ABCD 是矩形，∴AD=BC ，与题意矛盾，故不存在这种情况；当△△APD PCD 时，∴ADP PDC ∠=∠，APD PCD ∠=∠，∴PCD BCP ∠=∠，过点P 作PM CD ⊥于M ，∴90PMD A ∠=∠=︒，90PMC B ∠=∠=︒，在△PAD 和△PMD 中，A PMD ADP MDP PD PD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△△PAD PMD ≅，∴PA=PM ，在△PBC 和△PMC 中，B PMC BCP MCP CP CP ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△△PBC PMC ≅，∴PB=PM ， ∴12PA PB AB ==， ∵AB a ， ∴12AP a =； 当90PDC ∠=︒时， 当△△△ADPDCP BCP 时，60APD DPC BPC ∠=∠=∠=︒，∴30ADP ∠=︒， ∴12AP PD =， 在△DPC 和△BPC 中，PDC B DPC BPC PC PC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△△DPC BPC ≅，∴PD=PB ， ∴12AP PB =， ∴1133AP AB a ==； ∴AP 的长为12a 或13a ． 【点睛】 本题主要考查了相似三角形的性质应用，结合全等三角形证明求解是解题的关键．三、解答题21．（1）2722y x x =--；（2）3,52⎛⎫- ⎪⎝⎭或7,22⎛⎫- ⎪⎝⎭；（3）73,2⎛⎫- ⎪⎝⎭． 【分析】（1）本题所求二次函数的解析式含有两个待定字母，一般需要两个点的坐标建立方程组，现在可求A 、B 点坐标，代入列方程组可解答；（2）根据∠ADC=90°，∠ACD=∠BCP ，可知相似存在两种情况：①当∠CBP=90°时，如图1，过P 作PN ⊥y 轴于N ，证明△AOB ∽△BNP ，列比例式可得结论；②当∠CPB=90°时，如图2，则B 和P 是对称点，可得P 的纵坐标为-2，代入抛物线的解析式可得结论；（3）设点A 关于y 轴的对称点为A′，求出直线A′B 的解析式，再联立抛物线的解析式解答即可．【详解】解：（1）令0x =，得1222y x =-=-，则()0,2B -， 令0y =，得1022x =-，解得4x =， 则()4,0A ，把()4,0A ，()0,2B -代入()20y ax bx c a =++≠中， 得16402b c c ++=⎧⎨=-⎩， 解得722b c ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，∴抛物线的解析式为：2722y x x =--． （2）∵//PM y 轴，∴90ADC ∠=︒，∵ACD BCP ∠=∠，∴以点P 、B 、C 为顶点的三角形与以点A 、C 、D 为顶点的三角形相似，存在两种情况：①当90CBP ∠=︒时，如图，过P 作PN y ⊥轴于N ，∵90ABO PBN ABO OAB ∠+∠=∠+∠=︒，∴PBN OAB ∠=∠，∵90AOB BNP ∠=∠=︒，∴Rt PBNRt BAO △△， ∴PN BN BO AO=． 设27,22P x x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭．∴2722224x xx⎛⎫----⎪⎝⎭=，化简得232x x-=．解得0x=（舍去）或32x=．当32x=时，2273732252222y x x⎛⎫=--=-⨯-=-⎪⎝⎭．∴3,52P⎛⎫-⎪⎝⎭；②当90CPB∠=︒时，如下图，则//PB x轴，所以B和P是对称点，所以当2y=-时，27222x x--=-，解得0x=（舍去）或72x=．∴7,22P⎛⎫-⎪⎝⎭．综上，点P的坐标是3,52⎛⎫-⎪⎝⎭或7,22⎛⎫-⎪⎝⎭．（3）设点A关于y轴的对称点为'A，则'A B AB=．∴'BAO B AO∠=∠．直线'A B交抛物线于P．∴'2PBA BAO BA O BAO∠=∠+∠=∠．∵()4,0A，∴()'4,0A-．设直线'A B 的解析式为()0y kx b k =+≠．∵()0,2B -．∴4002k b k b -+=⎧⎨⋅+=-⎩． 解得122k b ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩．∴直线'A B 的解析式为122y x =--， 由方程组2122722y x y x x ⎧=--⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，得230x x -=． 解得0x =（舍去）或3x =．当3x =时，117232222y x =--=-⨯-=-． 所以点P 的坐标是73,2⎛⎫- ⎪⎝⎭． 【点睛】此题是二次函数的综合题，是中考的压轴题，难度较大，计算量也大，主要考查了待定系数法求解析式，还考查了三角形的面积，相似三角形的性质与判定，并学会构造相似三角形解决问题．22．（1）18；（2）3.6【分析】（1）依题意得到△APM ∽△ABD ，得到MP AP BD AB=再由它可以求出AB ； （2）设王华走到路灯BD 处头的顶部为E ，连接CE 并延长交AB 的延长线于点F 则BF 即为此时他在路灯AC 的影子长，容易知道△EBF ∽△CAF ，再利用它们对应边成比例求出现在的影子．【详解】解：(1)由对称性可知AP ＝BQ ，设AP ＝BQ ＝x m ，∵MP ∥BD ，∴△APM ∽△ABD ， ∴MP AP BD AB = ， ∴1.69.6＝212x x +， 解得x ＝3，∴AB ＝2x ＋12＝18(m)，即两个路灯之间的距离为18米(2)设王华走到路灯BD 处头的顶部为E ，连接CE 并延长交AB 的延长线于点F ，则BF 即为此时他在路灯AC 下的影子长，设BF ＝y m ，∵BE ∥AC ，∴△FEB ∽△FCA ， ∴BE BF AC FA = ，即1.69.6＝18y y +， 解得y ＝3.6，当王华同学走到路灯BD 处时，他在路灯AC 下的影子长3.6米．【点睛】此题主要考查相似三角形的应用，两个问题都主要利用了相似三角形的性质：对应边成比例．23．（1）见解析（2）见解析【分析】（1）连接PQ,AB 交点即为所求；（2）找到F 点关于CD 的对称点F’，连接CD,EF’，交点即为所求．【详解】（1）如图，M 点为所求；（2）如图，N 点为所求．【点睛】此题主要考查网格中作图，解题的关键是熟知熟知网格的特点、对称性、全等三角形与相似三角形的判定方法．24．（1）证明见解析；（2）35【分析】（1）连接AO 后交DC 于点H ，交BC 于点G ，由垂径定理可知AG ⊥BC ，然后根据互余关系得到∠HAE=∠HCG，然后利用平行关系得到∠ADE=∠HCG=∠HAE，等量代换后可得∠HAE +∠EAD=90°；（2）根据AC和BE可算出AE，然后在Rt△AEC中算出EC，然后证明△AED∽△BEC，然后利用比例关系算出DE，在Rt△AED中计算AD即可．【详解】解：（1）如图，连接AO交DC于点H，交BC于点G，则AG⊥BC∵AG⊥BC，AB⊥DC，∠AHE=∠CHG∴∠HAE=∠HCG∵AB⊥DC∴∠ADE+∠EAD=90°∵AD∥BC∴∠ADE=∠HCG=∠HAE∴∠HAE +∠EAD=90°∴AD为O的切线（2）∵AC=AB，AC=5，BE=2∴AE=3在Rt△AEC由勾股定理可得：22-=EC AC AE=4∵AD∥BC∴△AED∽△BEC∴BE EC=AE DE∴DE=6在Rt△AED由勾股定理可得：22+=DE AEAD=35【点睛】本题主要考查圆的相关定理，掌握切线的证明方法，灵活转化角关系是证明切线的关键，在圆中计算线段长度，找准相似三角形，结合勾股定理，是解题的关键．25．（1）图见解析；（3，﹣3）；（2）图见解析．【分析】（1）首先找到A、B、C点对应点A1、B1、C1，然后连接即可；（2）利用网格特点和旋转的性质画出A、B的对应点A2、B2即可【详解】解：（1）如图，△A 1B 1C 1所作，点A 1的坐标为（3，﹣3）；（2）如图，△A 2B 2C 2为所作．【点睛】本题考查了作图-位似变换：先确定位似中心；再分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；接着根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；然后顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．也考查了旋转变换．26．（1）图见解析；（2）见解析【分析】（1）过点B 作AB 的垂线，并用圆规在垂线上截取BC ，使BC=12AB ，连接AC ，以C 为圆心，BC 为半径画弧，交AC 于点D ，以A 为圆心，AD 为半径画弧，交AB 于E ，则点E 即为线段AB 的黄金分割点；（2）设BC=a ，则AB=2a ，AC=225AB BC a +=，通过计算证明2AE BE AB =⋅即可解决问题．【详解】（1）如图：点E 即为所求；（2）设BC=a ，则AB=2a ，∴225AB BC a +=，∵CD=BC=a ，∴5a -a ，∵2222=-=-，222(2)6AB BE a a a a⋅=⋅+=-，aAE a6)∴2=⋅，AE BE AB∴点E是线段AB的黄金分割点．【点睛】此题考查黄金分割，黄金分割的作图，勾股定理，正确掌握黄金分割的知识并熟练应用解决问题是解题的关键．。

浙教新版九年级下册数学《第2章 直线与圆的位置关系》单元测试卷(有答案)

浙教新版九年级下册数学《第2章 直线与圆的位置关系》单元测试卷(有答案)

浙教新版九年级下册数学《第2章直线与圆的位置关系》单元测试卷一．选择题（共8小题,满分24分）1．如图,⊙O内切于四边形ABCD,AB＝10,BC＝7,CD＝8,则AD的长度为（）A．8B．9C．10D．112．如图,若⊙O的直径为6,点O到某条直线的距离为6,则这条直线可能是（）A．l1B．l2C．l3D．l43．如图所示,直线l与半径为5cm的⊙O相交于A、B两点,且与半径OC垂直,垂足为H,AB ＝8cm,若要使直线l与⊙O相切,则l应沿OC方向向下平移（）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm4．如图,△ABC内接于⊙O,BD切⊙O于点B,AB＝AC,若∠CBD＝40°,则∠ABC等于（）A．40°B．50°C．60°D．70°5．如图,四边形ABCD是圆的内接四边形,AB、DC的延长线交于点P,若C是PD的中点,且PD＝6,PB＝2,那么AB的长为（）A．9B．7C．3D．6．如图,PA、PB是圆O的切线,切点分别为A、B,若OA＝2,∠P＝60°,则的长为（）A．B．πC．D．7．如图,⊙O的半径为2,弦AB向上平移得到CD（AB与CD位于点O两侧）,且CD与⊙O 相切于点E．若的度数为120°,则AD的长为（）A．4B．2C．D．38．如图,⊙O内切于△ABC,若∠AOC＝110°,则∠B的度数为（）A．40°B．60°C．80°D．100°二．填空题（共8小题,满分24分）9．如图,P是圆O外的一点,点B、D在圆上,PB、PD分别交圆O于点A、C,如果AP＝4,AB＝2,PC＝CD,那么PD＝．10．如图,PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、C,DE分别交PA,PB于D、E,已知P到⊙O的切线长为8cm,那么△PDE的周长为．11．已知：如图,在⊙O中,AB是直径,四边形ABCD内接于⊙O,∠BCD＝130°,过D点的切线PD与直线AB交于点P,则∠ADP的度数为．12．如图,已知⊙P的半径是1,圆心P在抛物线y＝x2﹣x﹣上运动,当⊙P与x轴相切时,圆心P的坐标为．13．如图,在△ABC中,∠A＝60°,BC＝6,△ABC的周长为19．若⊙O与BC,AC,AB三边分别相切于点E,F,D,则DF的长为．14．Rt△ABC的斜边为13,其内切圆的半径等于2,则Rt△ABC的周长等于．15．在下图中,AB是⊙O的直径,要使得直线AT是⊙O的切线,需要添加的一个条件是．（写一个条件即可）16．如图,在Rt△ABC中,∠C＝90°,AC＝5,BC＝12,⊙O的半径为3,当圆心O与点C重合时,⊙O与直线AB的位置关系为；若⊙O从点C开始沿直线CA移动,当OC＝时,⊙O与直线AB相切？三．解答题（共7小题,满分72分）17．已知AB是⊙O的直径,BD为⊙O的切线,切点为B．过⊙O上的点C作CD∥AB,交BD 点D．连接AC,BC．（Ⅰ）如图①,若DC为⊙O的切线,切点为C．求∠BCD和∠DBC的大小；（Ⅱ）如图②,当CD与⊙O交于点E时,连接BE．若∠EBD＝30°,求∠BCD和∠DBC的大小．18．如图,AB是⊙O的直径,点M是△ABC的内心,连接BM并延长交AC于点F交⊙O于点E,连接OE与AC相交于点D．（1）求证：OD＝BC；（2）求证：EM＝EA．19．如图,PA,PB分别与⊙O相切于点A,B,AC为弦,BC为⊙O的直径,若∠P＝60°,PB＝2cm．（1）求证：△PAB是等边三角形；（2）求AC的长．20．如图,在△ABC中,AB＝BC,D是AC中点,BE平分∠ABD交AC于点E,点O是AB上一点,⊙O过B、E两点,交BD于点G,交AB于点F．（1）判断直线AC与⊙O的位置关系,并说明理由；（2）若EB⊥BC,ED＝3,求BG的长．21．已知：AB是⊙O的直径,BD是⊙O的弦,延长BD到点C,使AB＝AC,连结AC,过点D作DE⊥AC,垂足为E．求证：DE为⊙O的切线．22．如图,AB是⊙O的直径,点C、点D在⊙O上,AC＝CD,AD与BC相交于点E,点F在BC 的延长线上,且∠FAC＝∠D．（1）求证：AF是⊙O的切线；（2）若EF＝12,sin D＝,求⊙O的半径．23．如图,给定锐角三角形ABC,BC＜CA,AD,BE是它的两条高,过点C作△ABC的外接圆的切线l,过点D,E分别作l的垂线,垂足分别为F,G．试比较线段DF和EG的大小,并证明你的结论．参考答案与试题解析一．选择题（共8小题,满分24分）1．解：∵⊙O内切于四边形ABCD,∴AD+BC＝AB+CD,∵AB＝10,BC＝7,CD＝8,∴AD+7＝10+8,解得：AD＝11．故选：D．2．解：∵若⊙O的直径为6,∴圆O的半径为3,∵点O到某条直线的距离为6,∴这条直线与圆相离,故选：A．3．解：连接OB,∴OB＝5cm,∵直线l⊙O相交于A、B两点,且与AB⊥OC,AB＝8cm,∴HB＝4cm,∴OH＝3cm,∴HC＝2cm．故选：B．4．解：∵BD切⊙O于点B,∴∠DBC＝∠A＝40°,∵AB＝AC,∴∠ABC＝∠C,∴∠ABC＝（180°﹣40°）÷2＝70°．故选：D．5．解：∵C是PD的中点,PD＝6,∴PC＝CD＝PD＝3,由切割线定理得,PC•PD＝PB•PA,即3×6＝2×PB,解得,PB＝9,∴AB＝PA﹣PB＝7,故选：B．6．解：连接AB,∵PA、PB是圆O的切线,∴OB⊥BP,OA⊥PA,∵∠P＝60°,∴∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣60°＝120°,∴的长＝＝,故选：C．7．解：∵的度数为120°,∴∠AOB＝120°,连接OE,OE的反向延长线交AB于F,连接OA,OB,如图,∵CD与⊙O相切于点E,∴EF⊥CD,由平移的性质得：CD∥AB,CD＝AB,∴EF⊥AB,∵OA＝OB,∴∠AOF＝∠BOF＝∠AOB＝60°,AF＝BF＝AB＝DE,∴∠OAF＝30°,四边形BDEF是矩形,∴OF＝OA＝×2＝1,BD＝EF,∴EF＝2+1＝3,∴BD＝3,在Rt△AOF中,OA＝2,OF＝1,∴AF＝＝＝,∴AB＝2,∴AD＝＝＝,故选：C．8．解：∵⊙O内切于△ABC,∴AO,CO分别平分∠BAC,∠BCA,∠AOC＝110°,∴∠BAC+∠BCA＝2（∠OAC+∠OCA）＝2（180°﹣∠AOC）＝140°,∴∠B＝180°﹣（∠BAC+∠BCA）＝40°．故选：A．二．填空题（共8小题,满分24分）9．解：如图,∵AP＝4,AB＝2,PC＝CD,∴PB＝AP+AB＝6,PC＝PD．又∵PA•PB＝PC•PD,∴4×6＝PD2,则PD＝4．故答案是：4．10．解：∵PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、C,∴PA＝PB,DA＝DC,EC＝EB；∴C＝PD+DE+PE＝PD+DA+EB+PE＝PA+PB＝8+8＝16cm；△PDE∴△PDE的周长为16cm．故答案为16cm．11．解：连接BD,则∠ADB＝90°,又∠BCD＝130°,故∠DAB＝50°,所以∠DBA＝40°；又因为PD为切线,故∠PDA＝∠ABD＝40°,即∠PDA＝40°．12．解：设点P（x,y）,∵⊙P与x轴相切,∴|y|＝1,∴y＝±1,当y＝1时,1＝x2﹣x﹣,解得：x1＝3,x2＝﹣1,∴点P（3,1）,（﹣1,1）,当y＝﹣1时,﹣1＝x2﹣x﹣,解得：x1＝x2＝1,∴点P（1,﹣1）,故答案为：（3,1）或（﹣1,1）或（1,﹣1）．13．解：∵⊙O与BC,AC,AB三边分别相切于点E,F,D,∴AD＝AF,BD＝BE,CE＝CF,∵△ABC的周长为19．∴AD+BD+BE+CE+CF+AF＝19,即2AD+2BE+2CE＝19,∴AD+BC＝9.5,而BC＝6,∴AD＝9.5﹣6＝3.5,∵∠A＝60°,AD＝AF,∴△ADF为等边三角形,∴DF＝AD＝3.5．故答案为：3.5．14．解：如图,Rt△ABC三边分别切圆O于点D,E,F,得四边形ODBE是正方形,∴BE＝BD＝OD＝OE,∴AF＝AD＝AB﹣2,CF＝CE＝BC﹣2,∴AC＝AF+CF＝AB﹣2+BC﹣2＝AB+BC﹣4,∴AB+BC＝AC+4＝13+4＝17,∴AB+BC+AC＝17+13＝30．∴Rt△ABC的周长等于30．故答案为：30．15．解：∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB＝90°,∴∠B+∠BAC＝90°,当∠TAC＝∠B时,∠TAC+∠BAC＝90°,即∠OAT＝90°,∵OA是圆O的半径,∴直线AT是⊙O的切线,故答案为：∠TAC＝∠B（答案不唯一）．16．解：如图1,过O作OD⊥AB于D,由勾股定理得：AB＝＝＝13,由三角形的面积公式得：AC×BC＝AB×CD,∴5×12＝13×CD,∴CD＝＞3,∴⊙O与AB的位置关系是相离．①如图2,过O作OD⊥AB于D,当OD＝3时,⊙O与AB相切,∵OD⊥AB,∠C＝90°,∴∠ODA＝∠C＝90°,∵∠A＝∠A,∴△ADO∽△ACB,∴＝,即＝,∴AO＝,∴OC＝5﹣＝,②如图3,过O作OD⊥BA交BA延长线于D,则∠C＝∠ODA＝90°,∠BAC＝∠OAD,∴△BCA∽△ODA,∴,∴,∴OA＝,∴OC＝5+＝,答：若点O沿射线CA移动,当OC等于或时,⊙O与AB相切．故答案为：相离,或．三．解答题（共7小题,满分72分）17．解：（Ⅰ）∵AB是⊙O的直径,DB为⊙O的切线,切点为B,∴DB⊥AB,∴∠DBA＝90°,∵DC为⊙O的切线,切点为C,∴DC＝DB,∵CD∥AB,∴∠D+∠DBA＝180°,∴∠D＝90°,∴∠BCD＝∠DBC＝45°；（Ⅱ）∵AB是⊙O的直径,DB为⊙O的切线,切点为B,∴DB⊥AB,∴∠DBA＝90°,∵CD∥AB,∴∠D+∠DBA＝180°,∴∠D＝90°,∴∠DEB＝∠EBA,∵∠EBD＝30°,∴∠DEB＝60°,∴∠EBA＝60°,∴∠ACE＝120°,∵AB是⊙O的直径,∴∠BCA＝90°,∴∠BCD＝30°,∴∠DBC＝60°．18．（1）证明：∵点M是△ABC的内心,∴∠ABE＝∠CBE,∴,∴CD＝DA,又∵OA＝OB,∴OD＝BC；（2）证明：连接AM,∵M是△ABC的内心,∴∠BAM＝∠CAM,∠ABE＝∠CBE,∵∠EMA＝∠ABE+∠BAM,∠EAM＝∠CAE+∠CAM,∠CBE＝∠CAE,∴∠EMA＝∠EAM．∴EM＝EA．19．解：（1）∵PA,PB分别与⊙O相切于点A,B,∴PA＝PB,且∠P＝60°,∴△PAB是等边三角形；（2）∵△PAB是等边三角形；∴PB＝AB＝2cm,∠PBA＝60°,∵BC是直径,PB是⊙O切线,∴∠CAB＝90°,∠PBC＝90°,∴∠ABC＝30°,∴tan∠ABC＝＝,∴AC＝2×＝cm．20．解：（1）AC与⊙O相切．理由如下：连接OE,如图,∵AB＝BC,D是AC中点,∴BD⊥AC,∵BE平分∠ABD,∴∠OBE＝∠DBE,∵OB＝OE,∴∠OBE＝∠OEB,∴∠OEB＝∠DBE,∴OE∥BD,∴OE⊥AC,而OE为⊙O的半径,∴AC为⊙O的切线；（2）过O作OM⊥BD于M,则四边形OBEM是矩形,∴OM＝ED＝3,BM＝BG,∵EB⊥BC,∴∠C+∠CEB＝90°,同理∠2+∠CEB＝90°,∴∠2＝∠C,∵AB＝BC,∴∠2＝∠A,∴∠1＝∠2＝∠A＝30°,在Rt△OBM中,tan∠OBM＝,∴＝,∴BM＝,∴BG＝2BM＝2．21．证明：如图,连接OD．∵AB是⊙O的直径,∴∠ADB＝90°,∵AB＝AC,∴CD＝BD,∵OA＝OB,∴OD∥AC．∴∠ODE＝∠CED．∵DE⊥AC,∴∠CED＝90°．∴∠ODE＝90°,∴OD⊥DE,∵OD是⊙O的半径,∴DE是⊙O的切线．22．（1）证明：∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB＝90°,∴∠B+∠CAB＝90°,∵∠FAC＝∠D．∵∠D＝∠B,∴∠FAC＝∠B,∴∠FAC+∠CAB＝90°∴AF是⊙O的切线；（2）解：∵AC＝CD,∴∠D＝∠CAD,∴∠FAC＝∠CAD,又∵∠ACB＝90°,∴FC＝CE,∵EF＝12,∴CE＝6,∴,∴AE＝10,AC＝8,∵在Rt△ACB中,,∴,∴,∴⊙O的半径长为．23．解：结论是DF＝EG．∵∠FCD＝∠EAB,∠DFC＝∠BEA＝90°,∴Rt△FCD∽Rt△EAB,∴＝,∴,同理可得,又∵,∴BE•CD＝AD•CE,∴DF＝EG．。

(常考题)人教版初中数学九年级数学下册第二单元《相似》检测卷(包含答案解析)

(常考题)人教版初中数学九年级数学下册第二单元《相似》检测卷(包含答案解析)

一、选择题1．如图，在平行四边形ABCD 中，点E ，F 分别为,AB BC 的中点，则三角形BEF 与多边形EFCDA 的面积之比为（ ）A ．1∶4B ．1∶5C ．1∶7D ．1∶8 2．如图，在平行四边形ABCD 中，:2:1AE BE =，F 是AD 的中点，射线EF 与AC 交于点G ，与CD 的延长线交于点P ，则AG GC 的值为（ ）．A ．5:8B ．3:8C ．3:5D ．2:5 3．如图，ABC 和CDE △都是等边三角形，点G 在CA 的延长线上，GB GE =，若10BE CG +=，32AG BE =，则AF 的长为（ ）A ．1B ．43C ．95D ．24．如图，点D 在ABC 的边AC 上，添加下列哪个条件后，仍无法判定ABC ADB ∽△△（ ）A ．C ABD ∠=∠B ．CBA ADB ∠=∠C ．AB AD AC AB = D ．AB BC AC BD = 5．如图，点D 、E 分别在CA 、BA 中的延长线上，若DE ∥BC ，AD =5，AC =10，DE =6，则BC 的值为（ ）A ．10B ．11C ．12D ．13 6．若点C 为线段AB 的黄金分割点，且AC BC >，则下列各式中不正确的是（ ）． A ．::AB AC AC BC =B ．352BC AB -= C ．51AC AB +=D ．0.618AC AB ≈7．如图，比例规是伽利略发明的一种画图工具，使用它可以把线段按一定比例伸长或缩短，它是由长度相等的两脚AD 和BC 交叉构成的．如果把比例规的两脚合上，使螺丝钉固定在刻度3的地方（即同时使3OA OD =，3OB OC =），然后张开两脚，使A 、B 两个尖端分别在线段I 的两个端点上．若12AB cm =，则CD 的长是（ ）A ．3cmB ．4cmC ．6cmD ．8cm8．如图，已知△ABC 和△EDC 是以点C 为位似中心的位似图形，且△ABC 和△EDC 的周长之比为1：2，点C 的坐标为（﹣2，0），若点A 的坐标为（﹣4，3），则点E 的坐标为（ ）A ．（52，﹣6）B ．（4，﹣6）C ．（2，﹣6）D ．3(,6)2- 9．如图，AB 为⊙O 的直径，AC 交⊙O 于E 点，BC 交⊙O 于D 点，CD ＝BD ，∠C ＝70°，现给出以下四个结论：①∠A ＝45°；②AC ＝AB ；③AE =BE ；④2CE •AB ＝BC 2，其中正．确．结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10．如图，在ABC ，AB AC a ==，点D 是边BC 上的一点，且BD a =，1AD DC ==，则a 等于（ ）A ．51+ B ．51- C ．1 D ．2 11．如图，四边形ABCD 是正方形，E 是BC 的中点，连接AE 与对角线BD 相交于点G ，连接CG 并延长，交AB 于点F ，连接DE 交CF 于点H ．以下结论：①CDE BAE ∠=∠；②CF DE ⊥；③AF BF =；④22CE CH CF =⋅．其中正确结论的个数有（ ）A ．1B ．2C ．3D ．412．如图，△ABC 中，DE ∥BC ，25AD AB =，DE ＝3，则BC 的长为（ ）A ．7.5B ．4.5C ．8D ．6二、填空题13．如图，D 是AC 上一点，//BE AC ，BE AD =，AE 分别交BD 、BC 于点F 、G ，12∠=∠．若8DF =，4FG =，则GE =________．14．如图，矩形ABCD 中，2AB =，E 为CD 的中点，连接AE 、BD 交于点P ，过点P 作PQ BC ⊥于点Q ，则PQ =________．15．如图，在△ABO 的顶点A 在函数k y x=（x ＞0）的图像上∠ABO=90°，过AO 边的三等分点M 、N 分别作x 轴的平行线交AB 于点P 、Q ．若四边形MNQP 的面积为3，则k 的值为________．16．如图，⊙O 的直径为5，在⊙O 上位于直径AB 的异侧有定点C 和动点P ，已知BC ：CA ＝4：3，点P 在半圆弧AB 上运动（不与A ，B 重合），过C 作CP 的垂线CD 交PB 的延长线于D 点．则△PCD 的面积最大为______________．17．如图，已知△ABC 中，∠B ＝90°，BC ＝3，AB ＝4，D 是边AB 上一点，DE ∥BC 交AC 于点E ，将△ADE 沿DE 翻折得到△A ′DE ，若△A ′EC 是直角三角形，则AD 长为_____．18．如图，AB 是⊙O 的直径，AB ＝20cm ，弦BC ＝12cm ，F 是弦BC 的中点．若动点E 以2cm/s 的速度从A 点出发沿着AB 方向运动，设运动时间为t （s ）（0≤t≤10），连接EF ，当△BEF 是直角三角形时，t （s ）的值为_______．19．如果23a c b d ==，其中20b d +≠，那么22a c b d +=+________． 20．如图，P 为△ABC 的重心，连结AB 并延长BC 于点D ，过点P 作EF ∥BC 分别交AB ，AB 于点E ，F ．若△ABC 的面积为36，则△AEF 的面积为____．三、解答题21．已知，如图1在矩形ABCD 中，8AB =，6BC =，点E 是线段AB 上的动点，连接CE ，作FC CE ⊥，交AD 的延长线于点F ，连接EF 交CD 于G ，设BE m =． （1）求证：FDC EBC ∽△△．（2）若EGC 是等腰三角形，求m 的值．（3）取EF 的中点O ，连接OA ，若//OA CE ，求CEF △的面积．（4）如图2作AEF 的外接圆，点A 关于EF 的对称点A '落在圆上，当A '恰好落在CEB △内部（不包括边界），直接写出m 的取值范围______．22．如图，在平面直角坐标系xoy 中，直线2y x b =+经过点()2,0A -，与y 轴交于点B ，与反比例函数()0k y x x =>的图象交于点C(m ，6)，过B 作BD y ⊥轴，交反比例函数()0k y x x=>的图象于点D ，连接AD ，CD ． （1）求b ，k 的值；（2）求△ACD 的面积；（3）在坐标轴上是否存在点E(除点O 外)，使得△ABE 与△AOB 相似，若存在，请求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．23．在平面直角坐标系中，ABC 的三个顶点坐标分别为()1,2A -，()2,1B -，()4,3C -． （1）画出ABC 关于x 轴对称的111A B C △；（2）以点O 为位似中心，在网格中画出111A B C △的位似图形222A B C △，使222A B C △与111A B C △的相似比为2:1；（3）设点(),P a b 为ABC 内一点，则依上述两次变换后点P 在222A B C △内的对应点2P 的坐标是______．24．如图，正方形ABCD 的边长为4，E 是CD 中点，点P 在射线AB 上，过点P 作线段AE的垂线段，垂足为F ．（1）求证：PAF AED △∽△；（2）连接PE ，若存在点P 使PEF 与AED 相似，直接写出PA 的长____．25．如图，点F 是ABC 中AC 边的中点，//AD BC ，DF 交AB 于点E ，交BC 延长线于点G ．（1）若:3:1BE AE =，8BC =，求BG 的长；（2）若12∠=∠，求证：2FC EF FD =⋅．26．四边形ABCD 内接于,O AB 是直径，延长AD BC 、交于点E ；若AB BE =．（1）求证：DC DE =（2）若6,43DE CE ==，求AB 的长．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】连接AC ，根据中位线定理得//EF AC ，12EF AC =，即可由BEF BAC ，根据相似比求出面积比，设BEF Sk =，则4BAC S k =，再用k 表示出多边形EFCDA 的面积，即可求出结果．【详解】解：如图，连接AC ，∵E 、F 分别是AB 和BC 的中点，∴//EF AC ，12EF AC =， ∴BEF BAC ， ∴221124BEF BAC S EF S AC ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 设BEF S k =，则4BAC Sk =， ∴3AEFC BAC BEF S SS k =-=， ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴4ACD BAC S S k ==，∴7EFCDA AEFC ACD S S S k =+=， ∴::71:7BEF EFCDA S S k k ==．故选：C ．【点睛】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形面积比等于相似比的平方的性质．2．D解析：D【分析】证明AFE △≌△()DFP AAS ，推出=AE DP ，由:2:1AE BE =，设BE k =，2AE k =，推出3AB CD k ==，5PC k =，由//AE BC ，可得AG AE GC CP=的值． 【详解】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴//AB PC ，AB CD =，∴AEF P ∠=∠，∵AFE DFP ∠=∠，AF DF =，∴AFE △≌△()DFP AAS ，∴=AE DP ，∵:2:1AE BE =，设BE k =，2AE k =，∴3AB CD k ==，5PC k =，∵//AE BC ， ∴2255AG AE k GC CP k ===， 故选：D ．【点睛】 本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会利用已知条件证明三角形全等、利用参数解决问题，属于中考常考题型．3．C解析：C【分析】过点G 作GH ⊥BE ，垂足为点H ，设BE ＝2x ，进而可表示出相关线段长，再根据CH ＝12CG 列出方程求得x ＝1，最后再根据GAF GDE △∽△可得AF AG DE DG=，进而可求得AF 的长．【详解】解：过点G 作GH ⊥BE ，垂足为点H ，设BE ＝2x ，∵10BE CG +=，32AG BE =， ∴CG ＝10－2x ，AG ＝3x ，∴AC ＝CG －AG ＝10－5x ， ∵ABC 和CDE △都是等边三角形，∴BC ＝AC ＝10－5x ，CD ＝DE ＝CE ＝BC －BE ＝10－7x ，∠ABC ＝∠DEC ＝∠C ＝60°， ∵GB ＝GE ，GH ⊥BE ，∴BH ＝HE ＝x ，∴CH ＝CE ＋HE ＝10－6x ，∵∠GHC ＝90°，∠C ＝60°，∴∠HGC＝30°，∴CH＝12CG，∴10－6x＝12（10－2x），解得：x＝1，∴AG＝3x＝3，CG＝10－2x＝8，CD＝DE＝10－7x＝3，∴GD＝CG－CD＝5，∵∠ABC＝∠DEC，∴AB//DE，∴GAF GDE∽，∴AF AGDE DG=，即3 35 AF=，解得95 AF=，故选：C．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，含30°的直角三角形的性质，相似三角形的判定及性质，设BE＝2x，利用含30°的直角三角形的性质列出方程是解决本题的关键．4．D解析：D【分析】根据三角形相似的判定方法一一判断即可．【详解】解：A、根据两角对应相等两三角形相似，可以判定△ABC∽△ADB；B、根据两角对应相等两三角形相似，可以判定△ABC∽△ADB；C、根据两边成比例夹角相等两三角形相似即可判定△ABC∽△ADB；D、无法判断三角形相似．故选：D．【点睛】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．5．C解析：C【分析】根据平行线的性质得出∠E=∠B，∠D=∠C，根据相似三角形的判定定理得出△EAD∽△BCA，根据相似三角形的性质求出即可【详解】解：∵DE ∥BC ，∴∠E=∠B ，∠D=∠C ，∴△EAD ∽△CAB ，∴AC ：AD=BC ：DE ，∵AD =5，AC =10，DE =6，∴10：5=BC ：6．∴BC=12．故选：C ．【点睛】本题考查了平行线的性质，相似三角形的性质和判定的应用，能推出△EAD ∽△BAC 是解此题的关键．6．C解析：C【分析】根据黄金分割点的定义逐项排除即可．【详解】解：∵点C 为线段AB 的黄金分割点，且AC BC >，∴2AC BC AB =⋅，∴::AB AC AC BC =，则选项A 正确；∵点C 为线段AB 的黄金分割点，且AC BC >，∴0.618AC AB =≈，则选项C 错误；选项D 正确；1322BC AB AC AB AB AB =-=-=，则选项B 正确. 故选：C ．【点睛】 本题考查了成比例线段，熟练掌握黄金分割的定义成为解答本题关键．7．B解析：B【分析】首先根据题意利用两组对边的比相等且夹角相等的三角形是相似三角形判定相似，然后利用相似三角形的性质求解.【详解】∵OA =3OD ，OB =3OC ， ∴3OA OB OD OC==， ∵AD 与BC 相交于点O ，∴∠AOB =∠DOC ，∴△AOB ∽△DOC ，∴3AB OA DC OD==， ∵12AB cm =∴CD=12433AB ==cm, 故选B.【点睛】 本题考查相似三角形的应用，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法，学会利用相似三角形的性质解决问题，属于中考常考题型.8．C解析：C【分析】先利用位似的性质得到△ABC 和△EDC 的位似比为1：2，然后利用平移的方法把位似中心平移到原点解决问题．【详解】∵△ABC 和△EDC 是以点C 为位似中心的位似图形，而△ABC 和△EDC 的周长之比为1：2，∴△ABC 和△EDC 的位似比为1：2，把C 点向右平移2个单位到原点，则A 点向右平移2个单位的对应点的坐标为（-2，3）， 点（-2，3）以原点为位似中心的对应点的坐标为（4，-6），把点（4，-6）向左平移2个单位得到（2，-6），∴E 点坐标为（2，-6）．故选：C ．【点睛】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k ，那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或-k ．也考查了转化的思想．9．B解析：B【分析】连结AD 、BE ，DE ，如图，根据圆周角定理得∠ADB=90°，则AD ⊥BC ，加上CD=BD ，根据等腰三角形的判定即可得到AC ＝AB ；再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可计算出∠BAC=40°；由AB 为直径得到∠AEB=90°，则∠ABE=50°，根据圆周角定理可判断AE BE ≠；接着证明△CED ∽△CBA ，利用相似比得到CD CE AC BC=，然后利用等线段代换即可判断④．【详解】解：连接AD ，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°．∵CD=BD，∴AD是BC的垂直平分线，∴AC=AB，故②正确；∵AC=AB，∴∠ABC=∠C=70°，∴∠BAC=40°，故①错误；连接BE，DE，∵AB为⊙O的直径，∴∠AEB=90°，∵∠BAC=40°，∴∠ABE=50°，∴∠BAC≠∠ABE，∴AE≠BE，∴AE BE≠，故③错误；∵四边形ABDE是圆内接四边形，∴∠CDE=∠CAB，∴△CDE∽△CAB，∴CD CE=，AC BC∴CE•AC=CD·BC，∴CE•AB=1BC·BC，2∴2CE•AB＝BC2，故④正确．故选B．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，圆周角定理，根据题意作出辅助线，构造出圆周角是解题的关键．10．A解析：A【分析】证明△ABC ∽△DAC 得AB BC DA AC=，然后列方程求解即可． 【详解】 解：∵AB AC a ==，∴∠B=∠C又∵1AD DC ==，∴∠C=∠DAC∴△ABC ∽△DAC ∴AB BC DA AC= ∴11a a a +=解得，a =152a （舍去） 故选：A【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 11．D解析：D【分析】证明△ABE ≌△DCE ，可得结论①正确；由正方形的性质可得AB=AD=BC=CD ，BE=CE ，∠DCE=∠ABE=90°，∠ABD=∠CBD=45°，可证△ABE ≌△DCE ，△ABG ≌△CBG ，可得∠BCF=∠CDE ，由余角的性质可得结论②；证明△DCE ≌△CBF 可得结论③，证明△CHF ∽△CBF 即可得结论④正确．【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形，点E 是BC 的中点，∴AB=AD=BC=CD ，BE=CE ，∠DCE=∠ABE=90°，∠ABD=∠CBD=45°，∴△ABE ≌△DCE （SAS ）∴∠DEC=∠AEB ，∠BAE=∠CDE ，DE=AE ，故①正确，∵AB=BC ，∠ABG=∠CBG ，BG=BG ，∴△ABG ≌△CBG （SAS ）∴∠BAE=∠BCF ，∴∠BCF=∠CDE ，且∠CDE+∠CED=90°，∴∠BCF+∠CED=90°，∴∠CHE=90°，∴CF ⊥DE ，故②正确，∵∠CDE=∠BCF ，DC=BC ，∠DCE=∠CBF=90°，∴△DCE ≌△CBF （ASA ），∴CE=BF ，∵CE=12BC=12AB ， ∴BF=12AB ， ∴AF=BF ，故③正确，∵∠BCF+∠BFC=90°，∠DEC=∠BFC∴∠BCF+∠DECC=90°，∴∠CHE=90°∴∠CHE=∠FBC又∠DEC=∠BFC∴△CHF ∽△CBF ∴CH CE BC CF= ∵BC=2CE ， ∴2BC CE CE CE CH CF CF== ∴22CE CH CF =⋅故选：D ．【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键．12．A解析：A【分析】先判断△ADE ∽△ABC ，然后利用相似比求BC 的长．【详解】解：∵DE ∥BC ， ∴△ADE ∽△ABC ，∴25DE AD BC AB ==， ∴5515.3222BC DE ==⨯=． 故选：A ．【点睛】 本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形，灵活运用相似三角形的性质表示线段之间的关系；也考查了等腰三角形的性质．二、填空题13．12【分析】利用AAS 判定△FEB ≌△FAD 得BF=DF 根据有两组角对应相等的两个三角形相似可得到△BFG ∽△EFB 根据相似三角形的对应边成比例即可得到BF2=FG•EF 由条件可求出EF 长则GE 长可解析：12【分析】利用AAS 判定△FEB ≌△FAD ，得BF=DF ，根据有两组角对应相等的两个三角形相似，可得到△BFG ∽△EFB ，根据相似三角形的对应边成比例即可得到BF 2=FG•EF ，由条件可求出EF 长，则GE 长可求出．【详解】解：∵AD//BE ，∴∠1=∠E ．在△FEB 和△FAD 中1E EFB AFD BE AE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△FEB ≌△FAD ；∴BF=DF ，∵∠1=∠E ，∠1=∠2，∴∠2=∠E ．又∵∠GFB=∠BFE ，∴△BFG ∽△EFB ， ∴BF FG EF BF=， ∴BF 2=FG•EF ，∴DF 2=FG•EF ，∵DF=8，FG=4，∴EF=16，∴GE=EF-FG=16-4=12．故答案为：12．【点睛】本题考查了三角形全等、相似的性质和判定，熟练掌握全等三角形的判定及相似三角形的判定是关键．14．【分析】根据矩形的性质得到AB ∥CDAB=CDAD=BC ∠BAD=90°根据线段中点的定义得到DE=CD=AB 根据相似三角形的性质即可得到结论【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形∴AB ∥CDAB=CD解析：43 【分析】 根据矩形的性质得到AB ∥CD ，AB=CD ，AD=BC ，∠BAD=90°，根据线段中点的定义得到DE=12CD=12AB ，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ∥CD ，AB=CD ，AD=BC ，∠BAD=90°，∵E 为CD 的中点，∴DE=12CD=12AB ， ∴△ABP ∽△EDP ，∴AB PB DE PD =， ∴21PB PD = ， ∴23PB BD = ， ∵PQ ⊥BC ，∴PQ ∥CD ，∴△BPQ ∽△DBC ，∴23PQ BP CD BD ==， ∵CD=2， ∴PQ=43， 故答案为：43．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，正确的识别图形是解题的关键． 15．【分析】易证△ANQ ∽△AMP ∽△AOB 由相似三角形的性质：面积比等于相似比的平方可求出△ANQ 的面积进而可求出△AOB 的面积则k 的值也可求出【详解】∵NQ ∥MP ∥OB ∴△ANQ ∽△AMP ∽△AOB解析：18【分析】易证△ANQ ∽△AMP ∽△AOB ，由相似三角形的性质：面积比等于相似比的平方可求出△ANQ 的面积，进而可求出△AOB 的面积，则k 的值也可求出．【详解】∵NQ ∥MP ∥OB ，∴△ANQ ∽△AMP ∽△AOB ，∵M 、N 是OA 的三等分点， ∴11,23AN AN AM AO ==， ∴14ANQ AMP SS =， ∵四边形MNQP 的面积为3， ∴314ANQ ANQ S S =+， ∴S △ANQ ＝1，∵2119AOB AN S AO ⎛⎫== ⎪⎝⎭， ∴S △AOB ＝9，∴k ＝2S △AOB ＝18，故答案为：18．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质以及反比例函数k 的几何意义，正确的求出S △ANQ ＝1是解题的关键．16．【分析】由圆周角定理可知再由可证明最后根据相似三角形对应边成比例及已知条件BC ：CA ＝4：3结合三角形面积公式解题即可【详解】为直径又BC ：CA ＝4：3当点P 在弧AB 上运动时当PC 最大时取得最大值而解析：503【分析】由圆周角定理可知A P ∠=∠，再由90ACB PCD ∠=∠=︒可证明~ACB PDC ，最后根据相似三角形对应边成比例，及已知条件BC ：CA ＝4：3，结合三角形面积公式解题即可．【详解】AB 为直径，90ACB ∴∠=︒PC CD ⊥，90PCD ∴∠=︒又CAB CPD ∠=∠~ACB PDC ∴AC BC CP CD∴= BC ：CA ＝4：3，43CD PC ∴= 当点P 在弧AB 上运动时， 12PCD S PC CD =⋅△ 2142233PCD S PC PC PC ∴=⨯⋅= 当PC 最大时，PCD S 取得最大值而当PC 为直径时最大，22505=33PCD S ∴=⨯． 【点睛】本题考查圆周角定理、三角形面积、相似三角形的判定与性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．17．或【分析】先根据勾股定理得到AC ＝5再根据平行线分线段成比例得到AD ：AE ＝AB ：AC ＝4：5设AD ＝x 则AE ＝A′E ＝xEC ＝5﹣xA′B ＝2x ﹣4在Rt △A′BC 中根据勾股定理得到A′C 再根据△ 解析：78或258 【分析】 先根据勾股定理得到AC ＝5，再根据平行线分线段成比例得到AD ：AE ＝AB ：AC ＝4：5，设AD ＝x ，则AE ＝A ′E ＝54x ，EC ＝5﹣54x ，A ′B ＝2x ﹣4，在Rt △A ′BC 中，根据勾股定理得到A ′C ，再根据△A ′EC 是直角三角形，根据勾股定理得到关于x 的方程，解方程即可求解．【详解】解：在△ABC 中，∠B ＝90°，BC ＝3，AB ＝4，∴AC ＝5，∵DE ∥BC ，∴AD ：AB ＝AE ：AC ，即AD ：AE ＝AB ：AC ＝4：5，设AD ＝x ，则AE ＝A ′E ＝54x ，EC ＝5﹣54x ，A ′B ＝24x ﹣， 在Rt △A ′BC 中，A ′C ＝22(24)3x -+，∵△A ′EC 是直角三角形，∴①当A '落在边AB 上时，∠EA ′C ＝90°，∠BA ′C ＝∠ACB ，A ′B ＝3×cot ∠ACB ＝39344⨯=， ∴AD ＝1974248⎛⎫-= ⎪⎝⎭；②点A 在线段AB 的延长线上（22(24)3x -+）2+（5﹣54x ）2＝（54x ）2， 解得x 1＝4（不合题意舍去），x 2＝258．故AD 长为78或258． 故答案为：78或258． 【点晴】 本题考查了勾股定理和平行线等分线段成比例定理，掌握相关知识是解决问题的关键． 18．5或82【分析】求出BF 和AO 的长分为两种情况①∠EFB=90°②∠FEB=90°分别利用三角形中位线的性质以及相似三角形的判定和性质求出AE的长再求出t即可【详解】∵AB是⊙O的直径∴∠C=90°解析：5或8.2【分析】求出BF和AO的长，分为两种情况，①∠EFB=90°，②∠FEB=90°，分别利用三角形中位线的性质以及相似三角形的判定和性质求出AE的长，再求出t即可．【详解】∵AB是⊙O的直径，∴∠C=90°，∵AB=20cm，弦BC=12cm，F是弦BC的中点，∴BF=1BC=6cm，2有两种情况：①当∠EFB=90°时，如图：∵AB是⊙O的直径，∴∠C=90°，∵∠EFB=90°，∴AC∥EF，∵F为BC的中点，∴E为AB的中点，即E和O重合，∵AB=20cm，∴AE=AO=1AB=10cm，2∴105t==；2②当∠FEB=90°时，如图：∵∠B=∠B，∠FEB=∠C=90°，∴△FEB∽△ACB，∴BE BF BC AB =， ∴61220BE =， 解得：BE=3.6（cm ），∵AB=20cm ，∴AE=AB-BE=16.4cm ， ∴16.48.22t ==； 故答案为：5或8.2．【点睛】本题考查了圆周角定理，三角形中位线定理，相似三角形的性质和判定等知识点，分类讨论是解此题的关键．19．【分析】根据已知条件得出再根据b+2d≠0即可得出答案【详解】解：∵∴∵b+2d≠0∴；故答案为：【点睛】本题考查了比例的性质熟练掌握比例的性质是解题的关键 解析：23【分析】 根据已知条件得出2223a c b d ==，再根据b+2d≠0，即可得出答案． 【详解】解：∵23a c b d ==， ∴2223a cb d ==， ∵b+2d≠0， ∴2223a cb d +=+； 故答案为：23． 【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．20．16【分析】先根据重心性质得再证明最后根据相似三角形的性质求解即可【详解】解：∵P 为△ABC 重心∴∵∴∴∴故答案为16【点睛】本题考查了三角形的重心的性质和相似三角形的判定与性质重心到顶点的距离与重 解析：16【分析】先根据重心性质得223AP AP PD AD ==，，再证明AEF ABC ∽，最后根据相似三角形的性质求解即可．【详解】 解：∵P 为△ABC 重心， ∴223AP AP PD AD ==， ∵//EF BC∴AEF ABC ∽ ∴23AE AF AB AC == ∴22()163AEF ABC S S ==△△ 故答案为16．【点睛】 本题考查了三角形的重心的性质和相似三角形的判定与性质，重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1是解答本题的关键．三、解答题21．（1）见解析；（2）3m =；（3）30；（4）744m << 【分析】（1）由四边形ABCD 为矩形，易知FDC EBC ，△△为Rt △，由FC CE ⊥，得出∠FCD+∠DCD=90°，从而得出∠FCD=ECB ，有两个角相等证明相似．（2）过点E 作EH ⊥CD ，由等腰三角形EGC 易知CH=BE=m ，AE=8-m ，由（1）得FDC EBC ∽△△，求出43FD m =．再由FAE EHG ∽△△找到对应边的比值列出等量关系，求出m 即可． （3）由平行边形的判定得出四边AOCE 为平行四边形，得出OA=CE ，在Rt △△AEF 中，由斜边的中线等于斜边的一半得出12OA EF OE ==，由（2）中得出m=3，分别求出CE 、CF 的值即可求出CEF △的面积．（4）有A 关于EF 对称点为A '，得出8AE EA m '==-，因为∠FAE=∠FCE=90°，所有由直径所对的圆周角为90°得出EF 为圆的直径，要使A '恰好落在CEB △内部得出EB EA EC '<<，解除关于m 的不等式即可．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 为矩形，∴∠DCB=∠DCE+∠BCE=90°，∵FC CE ⊥∴∠FCD+∠DCD=90°∴∠FCD=ECB又∵∠FDC=∠B=90°∴FDC EBC ∽△△（2）过点E 作EH ⊥CD 交CD 于点H ，如图∵EGC 是等腰三角形，∴GH=HC∵GE=m∴HC=HG=m ，AE=8-m∠AFE=∠GEH∠A=∠DHE∴FAE EHG ∽△△∵FDC EBC ∽△△ ∴68BE m FD FD == ∴43FD m = ∴FAE EHG ∽△△∴GH HE AE AF= ∴64863m m m =-+ 整理的()()1230m m +-=112m =-（舍去），23m =∴m 的值为3．（3）∵OA//CE ，OC//AE∴四边AOCE 为平行四边形，OA=CE∵O 为EF 的中点，△AEF 为直角三角形 ∴12OA EF OE == ∴OE=CE ，△OEC 为等腰三角形由（2）问可知，m=3∴FD=4，22166445CF FD CD =+=+= 2293635CE BE CB =+=+= ∴13545302CEF S ∆=⨯⨯= （4）连接EA '∵A 关于EF 对称点为A '，∴8AE EA m '==-∵∠FAE=∠FCE=90°∴FE 为圆的直径∴C 始终在圆上，要使A '落在CEB △内部∴EB EA EC '<<即2286m m m <-<+解得：744m << 故答案为：744m << 【点睛】 本题考查了相似三角形性质和判定、等腰三角形的性质、平行四边形的判定、矩形的性质、勾股定理以及圆的相关知识，熟悉相关知识并能灵活运用是解题关键．22．（1）4，6；（2）4.5；（3）存在，理由见解析．【分析】（1）把A(－2，0)，代入y ＝2x ＋b 得到b 的值，再把C(m ，6)代入y ＝2x ＋b ，求出m 的值，进而即可得到答案；（2）先求出B 的坐标，再求出点 D 的纵坐标，根据S △ACD ＝S △ABD ＋S △BCD ，进而即可求解；（3）分两种情况①△AOB ∽△EAB ，②△AOB ∽△ABE ，分别列出比例式，进而即可求解【详解】（1）∵直线y ＝2x ＋b 经过点A(－2，0)，∴－4＋b ＝0，∴b ＝4，∴直线y ＝2x ＋4．把C(m ，6)代入y ＝2x ＋4中，得6＝2m ＋4，解得m ＝1，∴C(1，6)．把C(1，6)代入反比例函数()0k y x x=>中，得k ＝6． （2）令x ＝0，得y ＝2x ＋4＝4，∴B(0，4)．∵BD ⊥y 轴于B ，∴D 点的纵坐标为4，把y ＝4代入反比例函数y ＝6x 中，得x ＝32， ∴D （32，4）， ∴BD ＝32， ∴S △ACD ＝S △ABD ＋S △BCD ＝4.5；（3）存在．当∠BAE ＝90°时，如图①，∵∠BAE ＝∠BOA ＝90°，∠ABE ＝∠OBA ，∴△AOB ∽△EAB ， ∴AB BO EB BA=， ∵=∴BE ＝5，∴OE ＝1，∴E(0，－1)；当∠ABE ＝90°时，如图②，∵∠ABE ＝∠AOB ＝90°，∠OAB ＝∠BAE ，∴△AOB ∽△ABE ， ∴AB AO AE BA= ∴AE ＝2AB AO＝10， ∴OE ＝AE －AO ＝10－2＝8，∴E(8，0)．∴存在点E(除点O 外)，使得△ABE 与△AOB 相似，其坐标为(8，0)或(0，－1)．① ②【点睛】本题主要考查一次函数与反比例函数的综合以及相似三角形的判定和性质，掌握待定系数法以及相似三角形的性质，是解题的关键．23．（1）见解析；（2）见解析；（3）()2,2a b -．【分析】（1）先根据关于x 轴对称的点的坐标特征描出A 1、B 1、C 1，然后再顺次连接即可； （2）先根据关于原点为位似中心的对应点的坐标之间的关系，把点A 1、B 1、C 1的横纵坐标都扩大2倍得到A 2、B 2、C 2的坐标，然后描点，最后顺次连接即可；（3）利用（1）、（2）中的坐标变换规律求解即可．【详解】解：（1）如图，△A 1B 1C 1即为所求图形；（2）如图，△A 2B 2C 2即为所求图形；（3）根据（1）（2）的变换规律可得：2P （2a ，-2b ）．【点睛】本题主要考查了轴对称变换和位似变换，掌握作轴对称图形和位似图形的的步骤成为解答本题的关键．24．（1）见解析；（2）2或5【分析】（1）根据两角对应相等两三角形相似证明即可．（2）分两种情形：当PA=PB=2时，易知PE ∥AD ，此时∠DAE=∠PEF ，∠D=∠PFE=90°，可得△PEF ∽△EAD ．当∠AED=∠PEF ，∠D=∠PFE 时，△ADE ∽△PFE ，分别求解即可．【详解】（1）证明：在正方形ABCD 中，90D ∠=︒，//CD AB ，∴DEA PAE ∠=∠．∵PF AE ⊥，∴D AFP ∠=∠．∴PAF AED △∽△．（2）当PA=PB=2时，∵DE=EC ，AP=PB ，∴PE ∥AD ，此时∠DAE=∠PEF ，∠D=∠PFE=90°，可得△PEF ∽△EAD ．当∠AED=∠PEF ，∠D=∠PFE 时，△ADE ∽△PFE ，∵CD ∥AB ，∴∠AED=∠EAP=∠AEP ，∴PA=PE ，∵PF ⊥AE ，∴AF=FE ，∵AD=4，DE=EC=2，∠D=90°， ∴===AE ∴AF =∵△PAF ∽△AED ， ∴PA AF AE DE =，∴= ∴PA=5，综上所述，满足条件的PA 的值为2或5．故答案为：2或5．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，正方形的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．25．（1）BG=12,；（2）证明见解析【分析】（1）根据AD ∥BC ，点F 是AC 边上的中点，可证△ADF ≌△CGF ，得AD=CG ，再由BE ：AE=3：1及AD ∥BC ，得BG=3AD ，BC=2AD=8，得AD=4，可求BG ；（2）由∠1=∠2，根据邻补角的性质得∠AEF=∠FCG ，又对顶角∠AFE=∠GFC ，可证△AFE ∽△GFC ，利用相似比证题．【详解】(1)解：∵AD ∥BC ，∴∠D=∠G ，又∠AFD=∠CFG ，AF=FC ，在△ADF 和△CGF 中D G AFD CFG AF FC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADF ≌△CGF(AAS)，∴AD=CG ，FG=FD ，又∵AD ∥BC∴△ADE ∽△BGE ∴BE BG AE DA= 又BE ：AE=3：1，∴BG=3AD ，又AD=CG∴BC=2AD=8，解得AD=4，∴BG=3AD=12；（2）证明：∵∠1=∠2，∴180°-∠1=180°-∠2，即∠AEF=∠FCG ，又∵∠AFE=∠GFC ，∴△AFE ∽△GFC ，EF AF FC FG=， 又AF=CF ，DF=GF ，即EF CF CF FD=， ∴FC 2=FE•FD ．【点睛】本题考查了相似三角形的判断与性质，全等三角形的判定与性质．关键是利用平行线，中点，等角的补角相等，推出全等和相似三角形．26．（1）见详解；（2）63【分析】（1）根据四边形ABCD 内接于O ，∠BCD+∠ECD=180°，得出∠BAD=∠ECD ，再根据AB=EB，可得∠BED=∠ECD，即可得证；（2）连接OD，先求出AE，然后证明△BAE∽△DCE，根据CEAE=DEBE，即CE AE =DEBC+CE，求出BC，即可求出答案．【详解】（1）∵四边形ABCD内接于O，∴∠BAD+∠BCD=180°，∵∠BCD+∠ECD=180°，∴∠BAD=∠ECD，∵AB=EB，∴∠BAD=∠BED，∴∠BED=∠ECD，∴DC=DE；（2）连接OD，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA，又∵∠BAE=∠E，∴∠ODA=∠E，∴OD∥BE，∵O是AB中点，∴D为AE中点，∴DA=DE=6，∴AE=12，∵∠BAD=∠ECD，∠E=∠E，∴△BAE∽△DCE，∴CEAE =DE BE，∴CEAE =DEBC+CE，43BC+43解得BC=23∴BE=BC+CE=∴AB=BE=【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，圆的内接四边形的性质，相似三角形的判定和性质，中位线的性质，掌握这些知识点灵活运用是解题关键．。

(必考题)初中数学九年级数学下册第二单元《二次函数》检测卷(含答案解析)

(必考题)初中数学九年级数学下册第二单元《二次函数》检测卷(含答案解析)

一、选择题1．如图，Rt △ABC 中，AC ＝BC ＝2，正方形CDEF 的顶点D 、F 分别在AC 、BC 边上，设CD 的长度为x ，△ABC 与正方形CDEF 重叠部分的面积为y ，则下列图象中能表示y 与x 之间的函数关系的是（ ）A ．B ．C ．D ．2．在同一坐标系中，函数y ax b =+与2(0)y ax bx a =+≠的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．3．二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则函数值y 0>时，x 的取值范围是（ ）A ．x 2<-B ．x 5>C ．2x 5-<<D ．x 2<-或x 5>4．如图在平面直角坐标系中，点A 在抛物线245y x x =-+上运动.过点A 作AC x ⊥轴于点C ，以AC 为对角线作矩形ABCD ，则对角线BD 的最小值为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．15．二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图，给出下列四个结论：①20ac b -<；②320b c +<；③()m am b b a ++≤；④22()a c b +<；其中正确结论的个数有（ ）A ．1B ．2C ．3D ．46．下列函数中，当0x >时，y 随x 增大而增大的是（ ） A ．2y x=B ．22y x =+C ． 1y x =-+D ．22 y x =--7．已知抛物线24y x bx =++的顶点在x 轴上，则b 的值为（ ） A ．2B ．4C ．-4D ．8．抛物线23y x =向左平移5个单位，再向下平移1个单位，所得到的抛物线是（ ） A ．23(5)1y x =-+ B ．23(-5)1y x =- C ．23(5)1y x =+-D ．23(5)1y x =++9．二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象如图所示，给出下列四个结论：①240b ac -<；②0a b c ++<；③2a b >；④0abc >，其中正确的结论是（ ）． A ．①②B ．②④C ．③④D ．②③④10．已知函数223y x x =+-及一次函数y x m =-+的图象如图所示，当直线y x m =-+与函数223y x x =+-的图象有2个交点时，m 的取值范围是（ ）A ．3m <-B ．31m -<<C ．134m >或3m <- D ．31m -<<或134m >11．已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则下列结论正确的个数有（ ） ①0c >；②240b ac -<；③0a b c -+>；④当1x >时，y 随x 的增大而减小A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个12．如图，二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴交于,A B 两点，与y 轴负半轴交于点C ，它的对称轴为直线12x =，则下列选项中正确的是（ ）A ．0abc <B ．0a b -=C ．40a c ->D ．当2(1x n n =+为实数）时，y c ≤二、填空题13．将抛物线243y x x =-+沿y 轴向下平移3个单位，则平移后抛物线的顶点坐标为_____．14．如图，二次函数2y x mx =-+的图象与x 轴交于坐标原点和()4,0，若关于x 的方程20x mx t -+=(t 为实数）在14x <<的范围内有解，则t 的取值范围是_______．15．如图，在平面直角坐标系中，点A 从点(0,5)M 出发向原点O 匀速运动，与此同时点B 从点(3,0)N 出发，在x 轴正半轴上以相同的速度向右运动，当点A 到达终点O 时，两点同时停止运动．连接AB ，以线段AB 为边在第一象限内作正方形ABCD ，则正方形ABCD 面积的最小值为____________．16．抛物线y ＝a （x ﹣2）（x ﹣2a）（a 是不等于0的整数）顶点的纵坐标是一个正整数，则a 等于_____． 17．将抛物线2112y x =+绕原点O 旋转180︒，得到的抛物线解析式为__________． 18．二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象如图所示，其对称轴为直线1x =-，与x 轴的交点为()()12,0,0x x ，其中201x <<，有下列结论：①240b ac ->；②421a b c -+>-；③132x -<<-；④当m 为任意实数时，2a b am bm -≤+；⑤30a c +<．其中，正确结论的序号是（________）19．在平面直角坐标系中，把抛物线22y x =+先绕其顶点旋转180︒后，再向右平移2个单位，向下平移3个单位后的抛物线解析式为__________．20．如图，已知点()6,0A ，O 为坐标原点，P 是线段OA 上任意一点（不含端点O ，A ），过P 、O 两点的二次函数1y 和过P 、A 两点的二次函数2y 的图像开口均向下，它们的顶点分别为B 、C ，射线OB 与AC 相交于点D ．当5OD AD ==时，这两个二次函数的最大值之和等于________．三、解答题21．如图，在平面直角坐标系中，(0,1)A ，(2,0)B ，将线段AB 绕原点O 逆时针旋转90°，得到线段A B ''，且点A '，B '，B 均在抛物线上．（1）求该抛物线的函数表达式．（2）该抛物线的对称轴上有一点Q ，使ABQ △是以AB 为直角边的直角三角形，求Q 点的坐标．22．一个二次函数图像上部分点的横坐标x ，纵坐标y 的对应值如下表： x … 0 1 2 3 4 … y…m﹣13…的值为 ；（2）在给定的直角坐标系中，画出这个函数的图像； （3）根据图像，写出当y ＞0时，x 的取值范围．23．已知抛物线y ＝x 2﹣bx +c （b ，c 为常数）的顶点坐标为（2，﹣1）． （1）求该抛物线的解析式；（2）点M （t ﹣1，y 1），N （t ，y 2）在该抛物线上，当t ＜1时，比较y 1与y 2的大小；（3）若点P （m ，n ）在该抛物线上，求m ﹣n 的最大值．24．某商店销售一种商品，每件进价为40元，对销售情况作了调查，结果发现月最大销售是y （件）与销售单价x （元）(5090)x ≤≤之间的函数关系如图中的线段AB ．（月最大销售量指进货量足够的情况下最多售出件数）（1）求出y 与x 之间的函数表达式．（2）该商品每月的总利润w （元），求w 关于x 的函数表达式，并指出销售单价x 为多少元时利润w 最大，该月进货数量应定为多少？（3）若该商店进货350件，如果销售不完，就以亏本36元/件计入总利润，则销售单价定为多少，当月月利润最大？25．在二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a≠0）中，函数y 与自变量x 的部分对应值如表： x … 0 1 23 4…y … 3 0 ﹣1 0 m …m 的值；并利用所给的坐标网格，画出该函数图象； （2）将这个二次函数向左平移2个单位，再向上平移1个单位，求平移后的函数解析式．26．如图，已知一次函数2y kx =-的图象与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，二次函数2y x bx c =++经过点B ，且与一次函数2y kx =-的图象交于点()6,4C ．（1）求一次函数与二次函数的解析式．（2）在y 轴上是否存在点M ，使得以点B ，M ，C 为顶点的三角形与BAO 相似？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】分类讨论：当0＜x≤1时，根据正方形的面积公式得到2yx ；当1＜x≤2时，ED 交AB 于M ，EF 交AB 于N ，利用重叠的面积等于正方形的面积减去△MNE 的面积得到()2221y x x =--，配方得到()222y x =--+，然后根据二次函数的性质对各选项进行分析判断即可． 【详解】解：当0＜x≤1时，2yx ，当1＜x≤2时，ED 交AB 于M ，EF 交AB 于N ，如图，CD=x ，则2AD x =-， ∵Rt △ABC 中，AC=BC=2， ∴△ADM 为等腰直角三角形， ∴2DM x =-，∴()222EM x x x =--=-， ∴S △ENM ()()22122212x x =-=-， ()()2222214222y x x x x x =--=-+-=--+∴()()()22012212y x x y x x ⎧=≤⎪⎨=--+≤⎪⎩﹤﹤， 故选：A ． 【点睛】本题考查动点问题的函数图象：通过看图获取信息，考查学生问题分析能力，解题的关键是分两种情况考虑：当0＜x≤1和当1＜x≤2．2．A解析：A 【分析】根据二次函数的c 值为0，确定二次函数图象经过坐标原点，再根据a 值确定出二次函数的开口方向与一次函数所经过的象限即可得解． 【详解】 解：2(0)y ax bx a =+≠，0c，∴二次函数经过坐标原点，故B 、C 选项错误；A 、根据二次函数开口向上0a >，对称轴bx 02a=->， 所以，0b <，一次函数经过第一三象限，0a >，与y 轴负半轴相交， 所以，0b <，符合，故本选项正确；D 、二次函数图象开口向下，0a <，一次函数经过第一三象限，0a >，矛盾，故本选项错误．故选：A ． 【点睛】本题考查了二次函数的图象，一次函数的图象，熟练掌握函数解析式的系数与图象的关系是解题的关键．3．C解析：C 【分析】根据函数图象求出与x 轴的交点坐标，再由图象得出答案． 【详解】解：有函数图象观察可知，当25x -<<时，函数值0y >． 故选：C ． 【点睛】本题考查二次函数与不等式．掌握数形结合思想是解题关键．4．D解析：D 【分析】先利用配方法得到抛物线的顶点坐标为（2，1），再根据矩形的性质得BD ＝AC ，由于AC 的长等于点A 的纵坐标，所以当点A 在抛物线的顶点时，点A 到x 轴的距离最小，最小值为2，从而得到BD 的最小值． 【详解】解：∵y ＝x 2﹣4x +5＝（x ﹣2）2+1， ∴抛物线的顶点坐标为（2，1）， ∵四边形ABCD 为矩形， ∴BD ＝AC ， 而AC ⊥x 轴，∴AC 的长等于点A 的纵坐标，当点A 在抛物线的顶点时，点A 到x 轴的距离最小，最小值为1， ∴对角线BD 的最小值为1． 故选：D ． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了矩形的性质．5．D解析：D 【分析】利用二次函数图象的相关知识与函数系数的联系，需要根据图形，逐一判断． 【详解】解：∵抛物线开口向下，所以a<0，与y 轴交于正半轴，所以c ＞0，∴ac<0，∵b²≥0，∴20ac b -<，∴①正确；∵把x=1代入抛物线得：y=a+b+c ＜0，∴2a+2b+2c ＜0，∵-2b a-=-1， ∴b=2a ， ∴3b+2c ＜0，∴②正确；∵抛物线的对称轴是直线x=-1，∴y=a-b+c 的值最大，即把x=m 代入得：y=am 2+bm+c≤a -b+c ，∴am 2+bm+b≤a ，即m （am+b ）+b≤a ，∴③正确；∵a+b+c ＜0，a-b+c ＞0，∴（a+c+b ）（a+c-b ）＜0，则（a+c ）2-b 2＜0，即（a+c ）2＜b 2，故④正确；故选：D ．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，在解题时要注意二次函数的系数与其图象的形状，对称轴，特殊点的关系，也要掌握在图象上表示一元二次方程ax 2+bx+c=0的解的方法，同时注意特殊点的运用．6．B解析：B【分析】根据二次函数、一次函数、反比例函数的增减性，结合自变量的取值范围，逐一判断．【详解】解：A 、2y x=，反比例函数，k=2＞0，分别在一、三象限，在每一象限内，y 随x 的增大而减小，不符合题意； B 、22y x =+，a=1＞0，开口向上，对称轴为y 轴，故当图象在对称轴右侧，y 随着x 的增大而增大，符合题意；C 、1y x =-+，一次函数，k=-1＜0，故y 随着x 增大而减小，不符合题意；D 、22y x =--，a=-1＜0，开口向下，对称轴为y 轴，故当图象在对称轴右侧，y 随着x 的增大而减小，不符合题意．故选：B ．【点睛】本题考查一次函数，二次函数及反比例函数的增减性，掌握函数图像性质利用数形结合思想解题是本题的解题关键．7．D解析：D【分析】抛物线的顶点在x 轴上，则顶点的纵坐标为0，根据顶点纵坐标公式，列方程求解．【详解】解：抛物线24y x bx =++的顶点纵坐标为241441b ⨯⨯-⨯， ∵顶点在x 轴上， ∴241441b ⨯⨯-⨯=0， 解得b 2=16，b=±4．故选：D ．【点睛】本题考查了二次函数的性质，抛物线y=ax 2+bx+c 的顶点在x 轴上，则顶点坐标的纵坐标为0．8．C解析：C【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．【详解】解：将抛物线y=3x 2向左平移5个单位所得直线解析式为：y=3（x+5）2；再向下平移1个单位为：y=3（x+5）2-1．故选：C ．【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键． 9．B解析：B【分析】根据抛物线与x 轴交点可判断①；根据x=1时，y ＜0，可判断②；对称轴x=-1可判断③；根据抛物线开口方向、对称轴、与y 轴交点可判断④．【详解】解：①由抛物线图象与x 轴有两个交点可知240b ac ->，故①错误；②由图象知，当x=1时，y=a+b+c ＜0，故②正确；③抛物线对称轴x=-1，即-2b a=-1＜0，即b=2a ＜0，即③错误； ④由抛物线图象得：开口向下，即a ＜0；c ＞0，b ＜0，∴abc ＞0，故④正确；所以正确的有：②④，故选：B ．【点睛】主要考查图象与二次函数系数之间的关系，掌握二次函数y=ax 2+bx+c 系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y 轴的交点、抛物线与x 轴交点的个数确定是解题的关键． 10．D解析：D【分析】 作出函数223y x x =+-及一次函数y x m =-+的图象，根据图象性质讨论即可求出． 【详解】解：如图：函数223y x x =+-，当0y =时，1x =或3-， ()()3010A B ∴-，，，，当31x -<<时，223y x x =--+，当直线过点A 时，1个交点，此时()03m =--+，即3m =-，当3m >-时，有2个交点，当直线过点B 时，有3个交点，此时01m =-+，即1m =， ∴1m <时有2个交点，31m ∴-<<，当直线与抛物线相切时，有3个交点，223y x x y x m⎧=--+∴⎨=-+⎩， 由()1430m =--+=，解得：134m =， 134m ∴>时有2个交点，综上所述，31m -<<或134m >． 【点睛】 本题考查了一次函数与二次函数的交点问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 11．B解析：B【分析】根据二次函数的图象与y 轴的交点判断c 的正负；根据二次函数的图象与x 轴交点个数，判断②的正确性；根据1x =-时，y 取值的正负，判断③的正确性；根据图象中函数的增减性判断④的正确性．【详解】解：∵二次函数的图象与y 轴的交点在正半轴，∴0c >，故①正确；∵二次函数的图象与x 轴有两个交点，∴方程20ax bx c ++=有两个不相同的实数根，∴240b ac ->，故②错误；当1x =-时，0y >，即0a b c -+>，故③正确；根据图象，当1x >时，y 随x 的增大而减小，故④正确．故选：B ．【点睛】本题考查二次函数，解题的关键是根据二次函数的图象分析解析式中系数的关系． 12．D解析：D【分析】根据二次函数的图像和性质，分别对每个选项进行判断，即可得到答案．【详解】解：由图象开口向上，可知a<0，与y 轴的交点在x 轴的下方，可知c<0， 又对称轴方程为12x =，所以122b a -=>0，所以b ＞0， ∴abc ＞0，故A 错误； ∵122b a -= ∴=-a b ， ∴0a b +=，故B 错误； 当12x =时，则11042y a b c =++>， ∵=-a b ，∴11042a a c -+>， ∴104a c -+>， ∴40a c -<，故C 错误；当21x n =+时，222(1)(1)y a n b n c =++++4222an an a an a c =++--+42an an c =++22(1)an n c =++；∵n 为实数，∴20an ≤，211n +≥，∴22(1)an n c c ++≤，即y c ≤，故D 正确；故选：D ．【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质．熟练掌握图象与系数的关系以及二次函数与方程的关系是解题的关键．第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题13．（2-4）【分析】首先根据二次函数解析式写成顶点式可得顶点坐标再根据平移得性质得出平移后得顶点坐标即可【详解】∵y=x2-4x+3=（x-2）2-1∴顶点坐标为（2-1）∵将抛物线y=x2-4x+3解析：（2，-4）【分析】首先根据二次函数解析式写成顶点式，可得顶点坐标，再根据平移得性质得出平移后得顶点坐标即可．【详解】∵y=x 2-4x+3=（x-2）2-1，∴顶点坐标为（2，-1），∵将抛物线y=x 2-4x+3沿y 轴向下平移3个单位，∴平移后得抛物线得顶点坐标为（2，-4），故答案为：（2，-4）【点睛】本题考查了抛物线的平移与抛物线解析式的关系，关键是把抛物线的平移转化为顶点的平移．14．【分析】求出函数解析式求出函数值取值范围把t 的取值范围转化为函数值的取值范围【详解】先由已知可得二次函数y=−x2+mx 的图象与x 轴交于坐标原点和(40)所以对称轴x==所以m=4代入方程y=−x2解析：04t <≤【分析】求出函数解析式，求出函数值取值范围，把t 的取值范围转化为函数值的取值范围.【详解】先由已知可得，二次函数 y=−x 2+mx 的图象与 x 轴交于坐标原点和 (4,0)所以对称轴 x=2b a-=()221m -=⨯-， 所以m=4，代入 方程y=−x 2+mx 得，y=-x 2+4x ，当x=2时，y=4即顶点坐标是（2，4）当x=1时，y=3，当x=4时，y=0由x 2−mx+t=0得 t=-x 2+4x=y因为当 1<x<4 时， 0<y≤4，所以在 1<x<4 范围内有实数解，则 t 的取值范围是0<t≤4，故答案为：0<t≤4 ．【点睛】本题考查了二次函数和一元二次方程数形结合分析问题，注意函数的最低点和最高点. 15．32【分析】根据题意可以得到OA+OB 的关系再根据勾股定理和二次函数的性质即可得到正方形ABCD 面积的最小值【详解】解：由题意可得NB=MA 则AO+OB=8设AO=x 则OB=8-x ∵S 正方形ABCD解析：32【分析】根据题意，可以得到OA+OB 的关系，再根据勾股定理和二次函数的性质，即可得到正方形ABCD 面积的最小值．【详解】解：由题意可得，NB=MA ，则AO+OB=8，设AO=x ，则OB=8-x ，∵S 正方形ABCD =AB 2=AO 2+OB 2=x 2+（8-x ）2=2（x-4）2+32，∴当x=4时，正方形ABCD 的面积取得最小值32，故答案为：32．本题考查了正方形的性质、坐标与图形的性质、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．16．-1【分析】令y=0时则有则有进而可得对称轴为直线然后可求抛物线顶点纵坐标为由此可得当a 不为±1时纵坐标不为整数进而可求解a 的值【详解】解：由题意得：令y=0时则有解得：∴抛物线与x 轴交点的坐标为由解析：-1【分析】令y=0时，则有()220a x x a ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，则有122,2x x a==，进而可得对称轴为直线11x a =+，然后可求抛物线顶点纵坐标为12a a--+，由此可得当a 不为±1时，纵坐标不为整数，进而可求解a 的值．【详解】解：由题意得：令y=0时，则有()220a x x a ⎛⎫--= ⎪⎝⎭， 解得：122,2x x a==， ∴抛物线与x 轴交点的坐标为()2,0,2,0a ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 由抛物线的对称性可得对称轴为直线11x a =+， ∴把11x a =+代入抛物线解析式得顶点纵坐标为12y a a=--+， ∵顶点的纵坐标是一个正整数且a 是不等于0的整数，∴1a =±，当1a =时，y=0（不符合题意，舍去）；当1a =-时，y=4，（符合题意）∴1a =-；故答案为-1．【点睛】本题主要考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．17．【分析】先确定抛物线线的顶点坐标为（01）再利用关于原点对称的点的坐标特征得到点（01）变换后所得对应点的坐标为（0-1）然后利用顶点式写出旋转后抛物线【详解】解：抛物线的顶点坐标为（01）点关于原 解析：2112y x =--先确定抛物线线2112y x =+的顶点坐标为（0，1），再利用关于原点对称的点的坐标特征得到点（0，1）变换后所得对应点的坐标为（0，-1），然后利用顶点式写出旋转后抛物线．【详解】 解：抛物线2112y x =+的顶点坐标为（0，1），点关于原点O 的对称点的坐标为（0，-1），此时旋转后抛物线的开口方向相反，所以旋转后的抛物线的解析式为2112y x =--． 故答案为：2112y x =--． 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换：抛物线绕某点旋转180°得到旋转后的抛物线开口相反，抛物线的开口大小不变． 18．①③④【分析】根据函数图象与x 轴有两个交点即可判断①正确；根据对称性可得：故③正确；x=0与x=-2时的函数值相等即可判断②错误；根据对称轴为直线得到当x=-1时函数值最小故当x=m 时函数值大于等于解析：①③④【分析】根据函数图象与x 轴有两个交点即可判断①正确；根据对称性可得：132x -<<-，故③正确；x=0与x=-2时的函数值相等，即可判断②错误；根据对称轴为直线1x =-，得到当x=-1时，函数值最小，故当x=m 时，函数值大于等于x=-1时的函数值，即2a b c am bm c -+≤++，即可判断④正确；由对称轴为直线1x =-，得到b=2a ，由图象可得：当x=1时，y>0，故a+b+c>0，代入得到3a+c>0，由此判断⑤错误．【详解】∵函数图象与x 轴的交点为()()12,0,0x x ，∴240b ac ->，故①正确；∵对称轴为直线1x =-，与x 轴的交点为()()12,0,0x x ，其中201x <<，∴132x -<<-，故③正确；根据抛物线的对称性得到：x=0与x=-2时的函数值相等，∵图象与y 轴的交点纵坐标小于-1，∴421a b c -+<-，故②错误；∵对称轴为直线1x =-，∴当x=-1时，函数值最小，故当x=m 时，函数值大于等于x=-1时的函数值，即2a b c am bm c -+≤++，∴2a b am bm -≤+，故④正确；∵对称轴为直线1x =-， ∴12b a-=-，得b=2a ， 由图象可得：当x=1时，y>0，∴a+b+c>0，∴3a+c>0，故⑤错误，故答案为：①③④．【点睛】此题考查二次函数的图象，函数图象与x 轴交点问题，利用图象判断式子的正负，函数最值，根据图象得到相关的信息是解题的关键．19．【分析】先求出抛物线绕其顶点旋转后解析式再根据平移规律即可求解【详解】解：抛物线先绕其顶点旋转后解析式为将抛物线向右平移个单位向下平移个单位后的抛物线解析式为故答案为：【点睛】本题考查了抛物线图象与 解析：2(2)1=---y x【分析】先求出抛物线22y x =+绕其顶点旋转180︒后解析式，再根据平移规律即可求解．【详解】解：抛物线22y x =+先绕其顶点旋转180︒后解析式为22y x =-+，将抛物线22y x =-+向右平移2个单位，向下平移3个单位后的抛物线解析式为()212y x =---．故答案为：2(2)1=---y x【点睛】本题考查了抛物线图象与几何变换，熟知二次函数图象旋转与平移规律是解题关键． 20．4【分析】过B 作BF ⊥OA 于F 过D 作DE ⊥OA 于E 过C 作CM ⊥OA 于M 则BF+CM 是这两个二次函数的最大值之和BF ∥DE ∥CM 求出AE=OE=3DE=4设P （2x0）根据二次函数的对称性得出OF=P解析：4【分析】过B 作BF ⊥OA 于F ，过D 作DE ⊥OA 于E ，过C 作CM ⊥OA 于M ，则BF+CM 是这两个二次函数的最大值之和，BF ∥DE ∥CM ，求出AE=OE=3，DE=4．设P （2x ，0），根据二次函数的对称性得出OF=PF=x ，推出△OBF ∽△ODE ，△ACM ∽△ADE ，得出BF OF DE OE =，CM AM DE AE=，代入求出BF 和CM ，相加即可求出答案． 【详解】解：过B 作BF ⊥OA 于F ，过D 作DE ⊥OA 于E ，过C 作CM ⊥OA 于M ，∵BF ⊥OA ，DE ⊥OA ，CM ⊥OA ，∴BF ∥DE ∥CM ，∵OD=AD=5，DE ⊥OA ，∴OE=EA=12OA=3， 由勾股定理得：DE=4．设P （2x ，0），根据二次函数的对称性得出OF=PF=x ，∵BF ∥DE ∥CM ，∴△OBF ∽△ODE ，△ACM ∽△ADE ， ∴BF OF DE OE =，CM AM DE AE=， ∵AM=PM=12（OA-OP ）=12（6-2x ）=3-x ， 即43BF x =，343CM x -=， 解得：BF=43x ，CM=4-43x ， ∴BF+CM=4．故答案为4．【点睛】 此题考查了二次函数的最值，勾股定理，等腰三角形的性质，以及相似三角形的性质和判定的应用，题目比较好，但是有一定的难度，属于综合性试题．三、解答题21．（1）22y x x =-++；（2）（12，-3）或（12，2） 【分析】（1）利用旋转的性质得出A′（-1，0），B′（0，2），再利用待定系数法求二次函数解析式即可；（2）分AQ 是斜边、BQ 是斜边两种情况，利用勾股定理分别求解即可．【详解】解：（1）线段AB 绕原点O 逆时针旋转90°，得到线段A B ''，又A （0，1），B （2，0），∴A′（-1，0），B′（0，2），∵A′（-1，0），B′（0，2），B （2，0），设抛物线的解析式为：y=a （x+1）（x-2）将B′（0，2）代入得出：2=a （0+1）（0-2），解得：a=-1，故满足条件的抛物线的解析式为y=-（x+1）（x-2）=-x 2+x+2；（2）由抛物线的表达式知，函数的对称轴为x=12，故设点Q （12，m ）， 则()222112AQ m ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，222122BQ m ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，AB 2=22+1=5， 当AQ 是斜边时， 则()22221112522m m ⎛⎫⎛⎫+-=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 解得m=-3，当BQ 是斜边时，()22221115222m m ⎛⎫⎛⎫+-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 解得m=2，故点Q 的坐标为（12，-3）或（12，2）． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，坐标和图形的变换-旋转，其中（2），利用勾股定理得出方程求出m 是解题关键．22．（1）3；（2）见解析；（3）x ＜1或x ＞3．【分析】（1）利用抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线x=2，则x=4和x=0时的函数值相等，从而得到m 的值；（2）利用描点法画出二次函数图象；（3）结合函数图象，写出抛物线在x 轴上方所对应的自变量的范围．【详解】解：（1）∵抛物线经过点（1，0），（3，0），∴抛物线的对称轴为直线x=2，顶点坐标为（2，-1），∴x=4和x=0时的函数值相等，∴m=3；故答案为：3；（2）描点，连线，二次函数图象如图所示，（3）观察图象，0y 时，x＜1或x＞3．【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x 轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．23．（1）y＝x2﹣4x+3；（2）y1＞y2；（3）m＝52时，m﹣n有最大值，最大值为134【分析】（1）利用顶点式直接写出抛物线的解析式；（2）根据二次函数的性质判断y1与y2的大小；（3）先用m表示m﹣n得到m﹣n＝﹣m2+5m﹣3，然后配成顶点式，从而得到m﹣n的最大值．【详解】解：（1）∵抛物线y＝x2﹣bx+c（b，c为常数）的顶点坐标为（2，﹣1），∴抛物线的解析式为y＝（x﹣2）2﹣1，即y＝x2﹣4x+3；（2）∵抛物线的对称轴为直线x＝2，而t＜1，∴点M（t﹣1，y1），N（t，y2）对称轴的左侧的抛物线上，∵抛物线开口向上，在对称轴的左侧y随x增大而减小，∵t﹣1＜t，∴y1＞y2；（3）∵点P（m，n）在该抛物线上，∴n＝m2﹣4m+3，∴m﹣n＝m﹣（m2﹣4m+3）＝﹣m2+5m﹣3＝﹣（m﹣52）2+134，∴当m＝52时，m﹣n有最大值，最大值为134．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质．24．（1）()1010005090y x x =-+；（2）当销售单价为70元时，总利润w 最大，进货数量为300件；（3）此时销售单价定为68元时，当月月利润最大．【分析】（1）利用待定系数法即可求出y 与x 之间的函数表达式；（2）根据“总利润=单件利润×销售件数”列出函数关系式，配成顶点式，根据二次函数性质即可求解；（3）设当月月利润为m ，根据“总利润=总盈利-总亏损”得到m 与x 函数关系式，根据二次函数性质即可求解．【详解】解：（1）设y 与x 之间函数关系式为()0y kx b k =+≠，将点A （50,500），B （90,100）代入函数关系式得5050090100k b k b +=⎧⎨+=⎩， 解得101000k b =-⎧⎨=⎩， ∴求出y 与x 之间的函数表达式为()1010005090y x x =-+；（2）由题意得()()10100040w x x =-+-21014004000x x =-+-()210709000x =--+，∴当销售单价为70元时，总利润w 最大，此时该月进货数量应为-10×70+1000=300件； （3）设当月月利润为m ， ()()()()210100040403635010001010136037400m x x x x x =-+----+=-+-， ∵-10＜0，∴当136068220b x a =-==-时，m 最大， 答：此时销售单价定为68元时，当月月利润最大．【点睛】本题为一次函数、二次函数综合题，综合性较强，熟练掌握待定系数法和求总利润的数量关系，二次函数性质是解题关键．25．（1）y ＝x 2﹣4x ＋3，m 的值为3，见解析；（2）y ＝x 2【分析】（1）由二次函数图象经过点（1，0），（3，0），设出交点式，利用待定系数法求函数解析式，进一步代入点得出m 的值；然后利用表中的点描点，画出函数图象即可；（2）将抛物线解析式化为顶点式，再根据“上加下减、左加右减”的原则进行解答即可．【详解】解：（1）抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a≠0）过点（1，0），（3，0），可设抛物线解析式为y ＝a （x ﹣1）（x ﹣3）∵过点（0，3），∴3＝3a ，解得a ＝1，∴y ＝（x ﹣1）（x ﹣3）＝x 2﹣4x ＋3，当x ＝4时，y ＝16﹣16＋3＝3，∴抛物线的解析式为y ＝x 2﹣4x ＋3，m 的值为3，函数图象如下：（2）∵y ＝x 2﹣4x ＋3＝（x ﹣2）2﹣1，∴将函数y ＝x 2﹣4x ＋3向左平移2个单位，再向上平移1个单位，得y ＝（x ﹣2＋2）2﹣1＋1，即y ＝x 2，所以平移后的函数解析式为y ＝x 2．【点睛】本题考查了待定系数法、抛物线的平移和画函数图象，解题关键是熟练运用待定系数法，掌握抛物线平移规律．26．（1）一次函数解析式为2y x =-，二次函数解析式为：252y x x =--；（2）存在，点M 的坐标为（0，4）或（0，10）．【分析】（1）由一次函数2y kx =-的图象与y 轴交于点B ，可求B （0，-2），由一次函数2y kx =-的图象过点()6,4C ，可求1k =，一次函数解析式为2y x =-，由2y x bx c =++经过点B ，点()6,4C ，代入得36642b c c ++=⎧⎨=-⎩，解方程组求出52b c =-⎧⎨=-⎩即可；（2）存在，先求出OA=2,OB=2,∠AOB=90°，由勾股定理2222OA +OB =2+2=22()()22604262-++=M 为直角顶点时，当点C 为直角顶点时，利用相似三角形及其性质，可求BM=6或12，即可求出点M 的坐标．【详解】解：（1）∵一次函数2y kx =-的图象与y 轴交于点B ，∴当x=0时，y=-2，B （0，-2），∵一次函数2y kx =-的图象过点()6,4C ，∴462k =-，∴1k =，∴一次函数解析式为2y x =-，∵2y x bx c =++经过点B ，点()6,4C ，代入得36642b c c ++=⎧⎨=-⎩， 解方程组得52b c =-⎧⎨=-⎩， ∴二次函数解析式为：252y x x =--；（2）存在，理由如下，∵已知一次函数2y x =-的图象与x 轴交于点A ，∴y=0，x=2，∴A(2,0),B(0,-2),∴OA=2,OB=2,∠AOB=90°，在Rt △AOB 中，由勾股定理由勾股定理= ①当点M 为直角顶点时，CM ⊥y 轴，CM ∥OA ，∴∠MCB=∠OAB ，∠MBC=∠OBA ， ∴△CMB ∽△AOB ，∴BM BC =BO BA 即BM 2， ∴BM=6，∴OM=MB-OB=6-2=4，∴M （0，4），②当点C 为直角顶点时，∴CM ⊥BC ，∴∠MCB=∠AOB=90°，∠MBC=∠ABO ， ∴△MCB ∽△AOB ，∴BC BM =BO BA 即2 ∴BM=12，∴OM=MB-OB=12-2=10，∴M（0，10），∴以点B，M，C为顶点的三角形与BAO相似点M的坐标为M（0，4）或（0，10）．【点睛】本题考查一次函数解析式与二次函数解析式，等腰直角三角形，勾股定理，相似三角形的性质与判定，掌握一次函数解析式与二次函数解析式，等腰直角三角形，勾股定理，相似三角形的性质与判定，解题关键是分类考虑以点C与点M为直角时的相似三角形．。

北师大版九年级数学下册第二单元测试卷(B卷)(附答案)

北师大版九年级数学下册第二单元测试卷(B卷)(附答案)

北师大版九年级数学下册第二单元测试卷（B卷）说明：请将答案或解答过程直接写在各题的空白处.本卷满分100分.考试时间90分钟一、选择题：（每小题3分，共36分）1．下列函数中不是二次函数的有（）A．y=x（x﹣1）B．y=﹣1 C．y=﹣x2D．y=（x+4）2﹣x22．如果抛物线y=x2﹣6x+c﹣2的顶点到x轴的距离是3，那么c的值等于（）A．8 B．14 C．8或14 D．﹣8或﹣143．用配方法将y=x2﹣6x+11化成y=a（x﹣h）2+k的形式为（）A．y=（x+3）2+2 B．y=（x﹣3）2﹣2C．y=（x﹣6）2﹣2 D．y=（x﹣3）2+24．二次函数图象如图所示，则其解析式是（）A．y=﹣x2+2x+4 B．y=x2+2x+4C．y=﹣x2﹣2x+4 D．y=﹣x2+2x+35．一次函数y=ax+b（a≠0）与二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．6．二次函数y=ax2+bx+c，自变量x与函数y的对应值如表：x …﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 …y … 4 0 ﹣2 ﹣2 0 4 …下列说法正确的是（）A．抛物线的开口向下B．当x＞﹣3时，y随x的增大而增大C．二次函数的最小值是﹣2 D．抛物线的对称轴是x=﹣7．如图，已知二次函数y1=x2﹣x的图象与正比例函数y2=x的图象交于点A（3，2），与x轴交于点B（2，0），若y1＜y2，则x的取值范围是（）A．0＜x＜2 B．0＜x＜3C．2＜x＜3 D．x＜0或x＞38．心理学家发现：学生对概念的接受能力y与提出概念的时间x（min）之间是二次函数关系，当提出概念13min 时，学生对概念的接受力最大，为59.9；当提出概念30min时，学生对概念的接受能力就剩下31，则y与x满足的二次函数关系式为（）A．y=﹣（x﹣13）2+59.9 B．y=﹣0.1x2+2.6x+31 C．y=0.1x2﹣2.6x+76.8 D．y=﹣0.1x2+2.6x+439．如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x=1．下列结论：①abc＞0 ；②4a+2b+c＞0 ；③4ac﹣b2＜8a ；④＜a ＜；⑤b＞c．其中含所有正确结论的选项是（）A．①③B．①③④C．②④⑤D．①③④⑤10．在平面直角坐标系中，把一条抛物线先向上平移3个单位长度，然后绕原点旋转180°得到抛物线y=x2+5x+6，则原抛物线的解析式是（）A．y=﹣（x ﹣）2﹣B．y=﹣（x +）2﹣C．y=﹣（x ﹣）2﹣D．y=﹣（x +）2+11．已知A（x1，2019）、B（x2，2019）是二次函数y=ax2+bx+8（a≠0）的图象上两点，则当x=x1+x2时，二次函数的值为（）A ．+8 B．2019 C．8 D．无法确定12．某种电缆在空中架设时，两端挂起的电缆下垂都近似抛物线y=x2的形状．今在一个坡度为1：5的斜坡上，沿水平距离间隔50米架设两固定电缆的位置离地面高度为20米的塔柱（如图），这种情况下在竖直方向上，下垂的电缆与地面的最近距离为（）A．12.75米B．13.75米C．14.75米D．17.75米二、填空题（每小题3分，共12分）13．当m=时，函数y=（m2﹣4）x +3是二次函数．14．形状与抛物线y=2x 2﹣3x+1的图象形状相同，但开口方向不同，顶点坐标是（0，﹣5）的抛物线的关系式为．15．当﹣1≤x≤2时，二次函数y=x 2+2kx+1的最小值是﹣1，则k的值可能是．16．如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C，且OA=OC，则下列结论：①abc＜0；②；③ac﹣b+1=0；④OA•OB=﹣．其中正确结论的序号是．三、解答题（本部分共6题，合计52分）17．如图，已知抛物线y=﹣x2+mx+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为（3，0）（1）求m的值及抛物线的顶点坐标．（2）点P是抛物线对称轴l上的一个动点，当PA+PC的值最小时，求点P的坐标．18．我们规定：若=（a，b），=（c，d），则•=ac+bd．如=（1，2），=（3，5），则=1×3+2×5=13．（1）已知=（2，4），=（2，﹣3），求；（2）已知=（x﹣a，1），=（x﹣a，x+1），求y=，问y=的函数图象与一次函数y=x﹣1的图象是否相交，请说明理由．19．已知：抛物线y=x2+bx+c经过点A（2，﹣3）和B（4，5）．（1）求抛物线的表达式及顶点坐标；（2）将抛物线沿x轴翻折，得到图象G1，求图象G1的表达式；（3）设B点关于对称轴的对称点为E，抛物线G2：y=ax2（a≠0）与线段EB恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．20．九年级（3）班数学兴趣小组经过市场调查整理出某种商品在第x天（1≤x≤90，且x为整数）的售价与销售量的相关信息如下．已知商品的进价为30元/件，设该商品的售价为y（单位：元/件），每天的销售量为p（单位：件），每天的销售利润为w（单位：元）．时间x（天） 1 30 60 90每天销售量p（件）198 140 80 20（1）求出w与x的函数关系式；（2）问销售该商品第几天时，当天的销售利润最大？并求出最大利润；（3）该商品在销售过程中，共有多少天每天的销售利润不低于5600元？请直接写出结果．21．自主学习，请阅读下列解题过程．解一元二次不等式：x2﹣5x＞0．解：设x2﹣5x=0，解得：x1=0，x2=5，则抛物线y=x2﹣5x与x轴的交点坐标为（0，0）和（5，0）．画出二次函数y=x2﹣5x的大致图象（如图所示），由图象可知：当x＜0，或x＞5时函数图象位于x轴上方，此时y ＞0，即x2﹣5x＞0，所以，一元二次不等式x2﹣5x＞0的解集为：x＜0，或x＞5．通过对上述解题过程的学习，按其解题的思路和方法解答下列问题：（1）上述解题过程中，渗透了下列数学思想中的和．（只填序号）①转化思想②分类讨论思想③数形结合思想（2）一元二次不等式x2﹣5x＜0的解集为．（3）用类似的方法解一元二次不等式：x2﹣2x﹣3＞0．22．如图1，抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）与x轴、y轴分别交于点A（﹣1，0）、B（3，0）、点C三点．（1）试求抛物线的解析式；（2）点D（2，m）在第一象限的抛物线上，连接BC、BD．试问，在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P，满足∠PBC=∠DBC？如果存在，请求出点P点的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）如图2，在（2）的条件下，将△BOC沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度向右平移，记平移后的三角形为△B′O′C′．在平移过程中，△B′O′C′与△BCD重叠的面积记为S，设平移的时间为t秒，试求S与t之间的函数关系式？北师大版九年级数学下册第二单元测试卷（B卷）答案一、选择题1-5 DCDAC 6—10 DBDDA 11-12 CB10.【解析】∵抛物线的解析式为：y=x2+5x+6，设原抛物线上有点（x，y），绕原点旋转180°后，变为（﹣x，﹣y），点（﹣x，﹣y）在抛物线y=x2+5x+6上，将（﹣x，﹣y）代入y=x2+5x+6得﹣y=x2﹣5x+6，所以原抛物线的方程为y=﹣x2+5x﹣6=﹣（x ﹣）2+，∴向下平移3个单位长度的解析式为y=﹣（x ﹣）2+﹣3=﹣（x ﹣）2﹣．故选A．11.【解析】∵A（x1，2019）、B（x2，2019）是二次函数y=ax2+bx+8（a≠0）的图象上两点，∴a+bx1+8=0，a+bx2+8=0，两式相减可得a （﹣）+b（x1﹣x2）=0，∵A、B两点不同，∴x1﹣x2≠0，∴a（x1+x2）+b=0，∴当x=x1+x2时，y=a（x1+x2）2+b（x1+x2）+8=（x1+x2）[a（x1+x2）+b]+8=8，故选C．12.【解析】如图，以点D为原点，DC方向为x轴建立直角坐标系，设抛物线的解析式为y=x2+bx+c，易知：A（0，20），B（50，30），代入解析式可求得：b=﹣，c=20，∴抛物线的解析式为y=x2﹣x+20，∵斜坡的坡度为1：5，∴斜坡所在直线的解析式为：y=x，设一条与x轴垂直的直线x=m与抛物线交于M，与斜坡交于G，则MG=m2﹣m+20﹣m=（m﹣25）2+13.75，即下垂的电缆与地面的最近距离为13.75m；故选B．二、填空题13.3 14. y=﹣2x2﹣5 15. ﹣或﹣ 16.①③④15.【解析】∵﹣1≤x≤2时，二次函数y=x2+2kx+1的最小值为﹣1，∴最小值可能在x=﹣1或2时得到，或最小值=，①当x=﹣1取得最小值，1﹣2k+1=﹣1，解得：k=，此时对称轴x=﹣=﹣，当x ＞﹣时，y随x的增大而增大，故x=﹣1时有最小值﹣1．∴当﹣1≤x≤2时，二次函数y=x2+2kx+1的最小值是﹣1②当x=2取得最小值，4+4k+1=﹣1，解得：k=﹣，y=x2﹣3x+1，此时对称轴x=﹣=，当x ＞时，y随x的增大而增大，当x=时，y小=﹣，∴当﹣1≤x≤2时，二次函数y=x2+2kx+1的最小值是﹣，不符合题意．③最小值===﹣1，∴k=±，当k=时，y=x2+2x+1=（x +）2﹣1，∴当x时，y随x增大而增大，∴当x=﹣时，y小=﹣1，不符合题意；当k=﹣时，y=x2﹣2x+1=（x ﹣）2﹣1，∴当x时，y随x增大而增大，∴当x=时，y小=﹣1，∴当﹣1≤x≤2时，二次函数y=x2+2kx+1的最小值是﹣1，综上所述：k=或﹣；故答案为：k=或﹣．三、解答题17.【解析】（1）m=2，∴y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，∴顶点坐标为：（1，4）．（2）连接BC交抛物线对称轴l于点P，则此时PA+PC的值最小，点P的坐标为：（1，2）．18. 【解析】（1）∵=（2，4），=（2，﹣3），∴=2×2+4×（﹣3）=﹣8；（2）∵=（x﹣a，1），=（x﹣a，x+1），∴y==（x﹣a）2+（x+1）=x2﹣（2a﹣1）x+a2+1∴y=x2﹣（2a﹣1）x+a2+1联立方程：x2﹣（2a﹣1）x+a2+1=x﹣1，化简得：x2﹣2ax+a2+2=0，∵△=b2﹣4ac=﹣8＜0，∴方程无实数根，两函数图象无交点．19. 【解析】（1）抛物线的表达式为：y=x2﹣2x﹣3．∵y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4．∴顶点坐标为（1，﹣4）．（2）∵将抛物线沿x轴翻折，得到图象G1与原抛物线图形关于x轴对称，∴图象G1的表达式为：y=﹣x2+2x+3．（3）∵B（4，5），对称轴：x=1∴B点关于对称轴的对称点E点坐标为（﹣2，5），当G2过E点时，代入E（﹣2，5），则a=，当G2过B点时，代入B（4，5），则a=；所以a 的取值范围为≤a ＜．20. 【解析】（1）当1≤x≤50时，设商品的售价y与时间x的函数关系式为y=kx+b（k、b为常数且k≠0），∵y=kx+b经过点（0，40）、（50，90），∴，解得：，∴售价y与时间x的函数关系式为y=x+40；当50＜x≤90时，y=90．∴售价y与时间x的函数关系式为y=．由数据可知每天的销售量p与时间x成一次函数关系，设每天的销售量p与时间x的函数关系式为p=mx+n（m、n为常数，且m≠0），∵p=mx+n过点（60，80）、（30，140），∴，解得：，∴p=﹣2x+200（0≤x≤90，且x为整数），当1≤x≤50时，w=（y﹣30）•p=（x+40﹣30）（﹣2x+200）=﹣2x2+180x+2000；当50＜x≤90时，w=（90﹣30）（﹣2x+200）=﹣120x+12000．综上所示，每天的销售利润w与时间x的函数关系式是w=．（2）当1≤x≤50时，w=﹣2x2+180x+2000=﹣2（x﹣45）2+6050，∵a=﹣2＜0且1≤x≤50，∴当x=45时，w取最大值，最大值为6050元．当50＜x≤90时，w=﹣120x+12000，∵k=﹣120＜0，w随x增大而减小，∴当x=50时，w取最大值，最大值为6000元．∵6050＞6000，∴当x=45时，w最大，最大值为6050元．即销售第45天时，当天获得的销售利润最大，最大利润是6050元．（3）当1≤x≤50时，令w=﹣2x2+180x+2000≥5600，即﹣2x2+180x﹣3600≥0，解得：30≤x≤50，50﹣30+1=21（天）；当50＜x≤90时，令w=﹣120x+12000≥5600，即﹣120x+6400≥0，解得：50＜x≤53，∵x为整数，∴50＜x≤53，53﹣50=3（天）．综上可知：21+3=24（天），故该商品在销售过程中，共有24天每天的销售利润不低于5600元．21. 【解析】（1）上述解题过程中，渗透了下列数学思想中的①和③；故答案为：①，③；（2）由图象可知：当0＜x＜5时函数图象位于x轴下方，此时y＜0，即x2﹣5x＜0，∴一元二次不等式x2﹣5x＜0的解集为：0＜x＜5；故答案为：0＜x＜5．（3）设x2﹣2x﹣3=0，解得：x1=3，x2=﹣1，∴抛物线y=x2﹣2x﹣3与x轴的交点坐标为（3，0）和（﹣1，0）．画出二次函数y=x2﹣2x﹣3的大致图象（略），由图象可知：当x＜﹣1，或x＞3时函数图象位于x轴上方，此时y＞0，即x2﹣2x﹣3＞0，∴一元二次不等式x2﹣2x﹣3＞0的解集为：x＜﹣1，或x＞3．22. 【解析】（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）代入抛物线y=ax2+bx+3（a≠0），，解得：a=﹣1，b=2．故抛物线解析式为：y=﹣x2+2x+3．（2）存在将点D代入抛物线解析式得：m=3，∴D（2，3），令x=0，y=3，∴C（0，3），∴OC=OB，∴∠OCB=∠CBO=45°，如下图，设BP交y轴于点G，∵CD∥x轴，∴∠DCB=∠BCO=45°，在△CDB和△CGB 中：∵∠∴△CDB≌△CGB（ASA），∴CG=CD=2，∴OG=1，∴点G（0，1），设直线BP：y=kx+1，代入点B（3，0），∴k=﹣，∴直线BP：y=﹣x+1，联立直线BP和二次函数解析式：，解得：或（舍），∴P （﹣，）．（3）直线BC：y=﹣x+3，直线BD：y=﹣3x+9，当0≤t≤2时，如下图：设直线C′B′：y=﹣（x﹣t）+3联立直线BD求得F （，），S=S△BCD﹣S△CC′E﹣S△C′DF=×2×3﹣×t×t ﹣×（2﹣t）（3﹣）整理得：S=﹣t2+3t（0≤t≤2）．当2＜t≤3时，如下图：H（t，﹣3t+9），I（t，﹣t+3）S=S△HIB =[（﹣3t+9）﹣（﹣t+3）]×（3﹣t）整理得：S=t2﹣6t+9（2＜t≤3）综上所述：S=．。

人教版初中数学九年级数学下册第二单元《相似》检测卷(有答案解析)

人教版初中数学九年级数学下册第二单元《相似》检测卷(有答案解析)

一、选择题1．如图，在四边形ABCD 中，//AD BC ，如果添加下列条件，不能使得△ABC ∽△DCA 成立的是（ ）A ．∠BAC ＝∠ADCB ．∠B ＝∠ACDC ．AC 2＝AD •BC D ．DC AB AC BC = 2．如图，AB 为半圆O 的直径，10AB =，AC 为O 的弦，8AC =，D 为AB 的中点，DM AC ⊥于M ，则DM 的长为（ ）A ．42B ．2C ．1D ．3 3．如图，在▱ABCD 中，M 、N 为BD 的三等分点，连接CM 并延长交AB 与点E ，连接EN 并延长交CD 于点F ，则DF ：FC 等于（ ）．A ．1：2B ．1：3C ．2：3D ．1：44．如图，在ABC 中，AB AC ≠，AC 3AD =，3AB AE =，点F 为边BC 上一点，则下列条件不能保证FDB △与ADE 相似的是（ ）A ．A BFD ∠=∠B ．//DF AC C ．BD DF DE AD = D ．BD BF AE DE = 5．如图所示，一电线杆AB 的影子分别落在了地上和墙上，某一时刻，小明竖起1米高的直杆，量得其影长为0.5米，此时，他又量得电线杆AB 落在地上的影子BD 长3米，落在墙上的影子CD 的高为2米，小明用这些数据很快算出了电线杆AB 的高，请你计算，电线杆AB 的高为（ ）A ．5米B ．6米C ．8米D ．10米6．如图，ABC 中，DE ∥BC ，AD:BD=1:3，则OE ：OB=（ ）A ．1:3B ．1:4C ．1:5D ．1:67．如图所示，在矩形ABCD 中，AB＝2，BC ＝2，对角线AC 、BD 相交于点O ，过点O 作OE 垂直AC 交AD 于点E ，则AE 的长是（ ）A ．2B ．3C ．1D ．1.58．如图，在Rt △ABC 中，∠B=90⁰，34BC AB =，D 是AB 边上一点，过D 作DE ⊥AB 交AC 于点E ，过D 作DF ∥AC 交BC 于点F ，连接BE 交DF 于H ．若DH=DE ，则DEH FBH S S ∆∆为（ ）A．23B．34C．49D．9169．如图，在四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，∠DBC＝30°，∠BAD＝∠BDC＝90°，E为BC的中点，AE与BD相交于点F，若CD＝2，则BF的长为（）A．235B．233C．635D．43510．下列条件中，不能判断△ABC与△DEF相似的是（）A．∠A=∠D，∠B=∠F B．BC ACEF DF=且∠B=∠DC．AB BC ACDE EF DF==D．AB ACDE DF=且∠A=∠D11．如图，直线l1//l2//l3，分别交直线m、n于点A、B、C、D、E、F．若AB∶BC＝5∶3，DE＝15，则EF的长为（）A．6 B．9 C．10 D．2512．已知P是线段AB的黄金分割点，且51AB=+，则AP的长为（）．A．2 B．51-C．2或51-D．35-二、填空题13．如图，△ABC中，∠C＝90°，BC＝8cm，AC＝6cm，点P沿BC边以2cm/s的速度从点B向点C移动，同时点Q沿CA边以1cm/s的速度从点C向点A移动．若以点C、P、Q构成的三角形与△ABC相似，则运动时间为____________秒．14．如图圆内接正六边形ABCDEF中，AC、BF交于点M．则:ABM AFM S S =△△___________．15．如图，矩形ABCD 中，2AB =，E 为CD 的中点，连接AE 、BD 交于点P ，过点P 作PQ BC ⊥于点Q ，则PQ =________．16．如图，△ABC 中，D 在AC 上，且AD ：DC=1:n ，E 为BD 的中点，AE 的延长线交BC 于F ，那么FC:BF 的值为______（用含有n 的代数式表示）．17．如图，为了估算河的宽度，小明采用的办法是：在河的对岸选取一点A ，在近岸取点D ，B ，使得A ，D ，B 在一条直线上，且与河的边沿垂直，测得10m BD =，然后又在垂直AB 的直线上取点C ，并量得30m BC =．如果20m DE =，则河宽AD 为_________m ．18．大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”．如图，P 为AB 的黄金分割点()AP PB >，如果AB 的长度为8cm ，那么AP 的长度是_____________．19．如图4，我国现代数学著作《九章算术》中有“井深几何”问题如下：今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？它的题意可以由如图所示获得，井深BC 为_________尺．20．在同一时刻两根木竿在太阳光下的影子如图所示，其中木竿AB ＝2m ，它的影子BC ＝1.5m ，木竿PQ 的影子有一部分落在了墙上，PM ＝1.2m ，MN ＝0.8m ，则木竿PQ 的长度为_______m ．三、解答题21．如图，在边长为1的55 的正方形网格上有两个三角形，它们顶点都在格点上．（1）ABC 与DEF 是否相似？请说明理由．（2）请在空白网格上画出MNP ABC △∽△，并指出相似比．（要求MNP △三个顶点都在格点上，并与ABC ，DEF 都不全等）MNP ABC △∽△，相似比为__________．22．如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，ABC 的顶点都在格点上．（1）以原点O 为位似中心，在第三象限内画出将ABC 放大为原来的2倍后的位似图形111A B C △．（2）已知ABC 的面积为72，则111A B C △的面积是_________． 23．如图1，点()8,1A 、(),8B n 都在反比例函数()0m y x x=>的图象上，过点A 作AC x ⊥轴于C ，过点B 作BD y ⊥轴于D ．（1）求m 的值和直线AB 的函数关系式；（2）动点P 从O 点出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段OD 向点D 运动，同时动点Q 从O 点出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段OC 向C 点运动，当动点P 运动到点D 时，点Q 也停止运动，设运动的时间为t 秒．如图2，当点P 运动时，如果作OPQ △关于直线PQ 的对称图形'O PQ △，是否存在某时刻t ，使得点'O 恰好落在反比例函数的图象上？若存在，求'O 的坐标和t 的值﹔若不存在，请说明理由．24．如图所示，在△ABC 中，BA ＝BC ＝20cm ，AC ＝30cm ，点P 从A 点出发，沿着AB 以每秒4cm 的速度向B 点运动；同时点Q 从C 点出发，沿CA 以每秒3cm 的速度向A 点运动，设运动时间为x 秒．（1）当x 为何值时，PQ //BC ；（2）当13BCQABC S S ∆∆=时，求S △BPQ ：S △ABC 的值； （3）△APQ 能否与△CQB 相似？若能，求出时间x 的值；若不能，说明理由． 25．将ABC 绕点A 逆时针方向旋转θ，并使各边长变为原来的n 倍，得到AB C ''△，我们将这种变换记为[],n θ．（1）问题发现如图①，对ABC 作变换603⎡⎤︒⎣⎦得AB C ''△，则:AB C ABC S S ''=△△______；直线BC 与直线B C ''所夹的锐角度数为______．（2）拓展探究如图②，ABC 中，35BAC ∠=︒且:2AB AC =，连结BB '，CC '．对ABC 作变换603⎡︒⎣得AB C ''△，求:ABB ACC S S ''△△的值及直线BB '与直线CC '相交所成的较小角的度数，并就图②的情形说明理由．（3）问题解决如图③，ABC 中，30BAC ∠=︒，90ACB ∠=︒，对ABC 作变换[],n θ得AB C ''△，使点B 、C 、C '在同一直线上，且四边形ABB C ''为矩形，请直接写出n 的值．26．如图，已知矩形ABCD 的顶点A ，D 分别落在x 轴、y 轴上，OD ＝2OA ＝6，AD ：AB ＝3：1，CE 垂直y 轴于点E ．（1）求证：CDE DAO ∽△△；（2）直接写出点B 和点C 的坐标．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】利用相似三角形的判定定理，在AD ∥BC ，得∠DAC ＝∠BCA 的前提下，需添加一角或夹这角的两边对应成比例进行排查即可．【详解】解：A ．∵AD ∥BC ，∴∠DAC ＝∠BCA ，当∠BAC ＝∠ADC 时，则△ABC ∽△DCA ；B ．∵AD ∥BC ，∴∠DAC ＝∠BCA ，当∠B ＝∠ACD 时，则△ABC ∽△DCA ；C ．∵AD ∥BC ，∴∠DAC ＝∠BCA ，由AC 2＝AD •BC 变形为AC AD BC AC =，则△ABC ∽△DCA ； D ．∵AD ∥BC ，∴∠DAC ＝∠BCA ，当DC AB AC BC=时，不能判断△ABC ∽△DCA ． 故选择：D ．【第讲】本题考查三角形相似问题，掌握相似三角形的判定定理，会根据判定定理进行添加条件使三角形相似解题关键． 2．C解析：C【分析】如图，连接OD 交AC 于H ，连接BC ．利用勾股定理求出BC ，再利用相似三角形的性质求出OH ，AH ，DH ，证明△DMH ∽△AOH ，构建关系式即可解决问题．【详解】解：如图，连接OD 交AC 于H ，连接BC ．∵AB 是直径，∴∠ACB=90°， ∴226BC AB AC -=，∵AD DB =，∴OD ⊥AB ，∵∠OAH=∠CAB ，∠AOH=∠ACB=90°，∴△AOH ∽△ACB ， ∴OH OA AH BC AC AB== ∴56810OH AH == ∴1525,44OH AH ==， ∵DH=OD-OH=155544-=， ∵DM ⊥AC ，∵∠DMH=∠AOH=90°，∠DHM=∠AHO ，∴△DMH ∽△AOH ， ∴DM DH AO AH=， ∴542554DM =， ∴DM=1，故选：C ．【点睛】本题考查勾股定理，圆周角定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．3．B解析：B【分析】由题意可得DN=NM=MB ，据此可得DF ：BE=DN ：NB=1：2，再根据BE ：DC=BM ：MD=1：2，AB=DC ，故可得出DF ：FC 的值．【详解】解：由题意可得DN=NM=MB ，AB//CD ，AB//BC∴△DFN ∽△BEN ，△DMC ∽△BME ，∴DF ：BE=DN ：NB=1：2，BE ：DC=BM ：MD=1：2，又∵AB=DC ，∴DF ：AB=1：4，∴DF ：FC=1：3故选：B ．【点睛】本题考查相似三角形的性质，两相似三角形对应线段成比例，要注意比例线段的应用． 4．C解析：C【分析】先根据已知条件可证得ADE ACB ∽，由此可得AED B ∠=∠，再利用相似三角形的判定对选项逐个判断即可．【详解】解：∵AC 3AD =，3AB AE =， ∴AD AE 1AC AB 3==， 又∵A A ∠=∠，∴ADE ACB ∽， ∴AED B ∠=∠，A 选项：∵A BFD ∠=∠，B B ∠=∠，∴BFD BAC ∽，故选项A 正确；B 选项：∵//DF AC ，∴C BFD ∠=∠，∠=∠A BDF ，∴BFD BCA △∽△，故选项B 正确；C 选项：BD DF DE AD=无法证明FDB △与ADE 相似； D 选项：∵BD BF AE DE=， AED B ∠=∠， ∴BFD EDA △∽△，故选项D 正确；故选：C ．【点睛】 本题考查了相似三角形的判定及性质，熟练掌握相似三角形的判定是解决本题的关键． 5．C解析：C【分析】根据同一时刻，物体的实际高度和影长成正比例列出比例式即可解答．【详解】解：如图，假设没有墙，电线杆AB 的影子落在E 处，∵同一时刻，物体的实际高度和影长成正比例，∴CD ：DE=1：0.5=2：1，∴AB ：BE=2：1，∵CD=2，BE=BD+DE ，∴BE=3+1=4，∴AB ：4=2：1，∴AB=8，即电线杆AB 的高为8米，故选：C ．【点睛】本题考查了相似三角形的应用、比例的性质，解答的关键是理解题意，将实际问题转化为相似三角形中，利用同一时刻，物体的实际高度和影长成正比例列出方程求解． 6．B解析：B【分析】先根据DE ∥BC ，得出ADE ∽ABC ，进而得出1=4AD DE AB BC = ，再根据DE ∥BC ，得到ODE ∽OCB ，进而得到1=1:44OE DE OB CB ==． 【详解】解：∵DE ∥BC ， ∴ADE ∽ABC ， ∴=AD DE AB BC， 又∵1=3AD BD ， ∴1=4AD DE AB BC =， ∵DE ∥BC ， ∴ODE ∽OCB ，∴1=1:44OE DE OB CB ==． 故选：B ．【点睛】 本题主要考查了相似三角形的判定与性质，平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．7．D解析：D【分析】先求出AC ，进而求出OA ，再证明△AOE ∽△ADC ，得到AE OA AC AD =，即可求解． 【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ABC ＝∠ADC ＝90°，AD ＝BC ＝2，CD ＝ABOA ＝OC ＝12AC ，∴AC=∴OA ＝2， ∵OE ⊥AC ， ∴∠AOE ＝90°，∴∠AOE ＝∠ADC ，又∵∠OAE ＝∠DAC ，∴△AOE ∽△ADC ， ∴AE OA AC AD=，22AE =， ∴AE ＝1.5．故选：D ．【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的性质与判定等知识，能根据已知条件判定△AOE ∽△ADC 是解题关键．8．C解析：C【分析】易证DE ∥BC ，可得34BC DE AB AD ==，因为DH=DE ，得35DE DH AE AE ==，又因为DF ∥AC ，所以35BH DH BE AE ==，所以32BH HE =，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求得． 【详解】∵DE ⊥AB ，∴∠ADE=90°，∵∠B=90°，∴∠ADE=∠B ，∴DE ∥BC ∴34BC DE AB AD ==，△DEH ∽△FBH ∴35DE AE = 又∵DH=DE ∴35DE DH AE AE == ∵DF ∥AC ∴35BH DH BE AE == ∴32BH HE = ∴4=9DEH FBH S S ∆∆ 故选C【点睛】本题考查相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题关键．9．C解析：C【分析】连接DE ，根据直角三角形的性质求出BC ，根据勾股定理求出BD ，再求出AB ，根据DE ∥AB ，得到BDE AB DF F =，把已知数据代入计算，得到答案． 【详解】解：连接DE ，∵∠BDC ＝90°，∠CBD ＝30°，CD ＝2，∴BC ＝2CD ＝4，由勾股定理得，BD 22BC CD -2242-23∵E 是BC 的中点，∴DE ＝12BC ＝BE ＝2， ∴∠BDE ＝∠CBD ＝30°，∵对角线BD 平分∠ABC ，∴∠ABD ＝∠CBD ＝∠BDE ，∴DE ∥AB ， ∴BDE AB DF F =， 在Rt △ABD 中，∠ABD ＝30°， ∴AD ＝12BD 3 ∴AB 22BD AD -3， ∴23DF FB =， 即2332BF BF =， 解得，BF ＝35故选：C ．【点睛】 本题考查的是勾股定理、角平分线的性质、直角三角形30度角的性质、解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题．10．B解析：B【分析】直接根据三角形相似的判定方法分别判断得出答案．【详解】解：A 、A D ∠=∠，B F ∠=∠，根据有两组角对应相等的两个三角形相似，可以得出ABC DFE ∽△△，故此选项不合题意；B 、BC AC EF DF=，且B D ∠=∠，不是两边成比例且夹角相等，故此选项符合题意； C 、AB BC AC DE EF DF ==，根据三组对应边的比相等的两个三角形相似，可以得出ABC DEF ∽△△，故此选项不合题意；D 、AB AC DE DF=且A D ∠=∠，根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，可以得出ABC DEF ∽△△，故此选项不合题意；故选：B ．【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定，关键是掌握三角形相似的判定方法：（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似． 11．B解析：B【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入计算得到答案．【详解】解：∵l 1∥l 2∥l 3，DE=15， ∴53DE AB EF BC ==，即1553EF =， 解得，EF=9，故选：B ．【点睛】 本题考查了平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 12．C解析：C【分析】若点P 是靠近点B 的黄金分割点，则AP AB =，然后代入数据计算即可；若点P 是靠近点A 的黄金分割点，先求出BP ，再利用线段的和差即可求出AP ．【详解】解：若P 是靠近点B 的黄金分割点，则)12AP AB ===；若P 是靠近点A 的黄金分割点，则)12BP AB ===，∴121AP AB BP =-=-=；故选：C ．【点睛】本题主要考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割比为12是解题的关键． 二、填空题13．或【分析】首先设点P 移动t 秒时△CPQ 与△ABC 相似然后分别从当即时△CPQ ∽△CBA 与当即时△CPQ ∽△CAB 去分析求解即可求得答案【详解】设点P 移动t 秒时△CPQ 与△ABC 相似∵点P 从点B 以2c 解析：125或3211【分析】 首先设点P 移动t 秒时△CPQ 与△ABC 相似，然后分别从当CP CQ CB CA =，即8286t t -=时，△CPQ ∽△CBA ，与当CQ CP CB CA =，即8286t t -=时，△CPQ ∽△CAB ，去分析求解即可求得答案．【详解】设点P 移动t 秒时△CPQ 与△ABC 相似，∵点P 从点B 以2cm/s 的速度向点C 移动，点Q 以1cm/s 的速度从点C 向点A 移动， ∴BP ＝2tcm ，CQ ＝tcm ，则CP ＝CB−BP ＝8−2t （cm ），∵∠C 是公共角，∴当CP CQ CB CA=，即8286t t -=时，△CPQ ∽△CBA ， 解得：t ＝125； 当CQ CP CB CA=，即8286t t -=时，△CPQ ∽△CAB ， 解得：t ＝3211， ∴点P 移动125s 或3211s 时△CPQ 与△ABC 相似． 故答案为：125或3211【点睛】此题考查了相似三角形的判定．此题难度适中，注意掌握数形结合思想、分类讨论思想以及方程思想的应用．14．【分析】根据正六边形的性质判断出△AMB ∽△BAF 再根据相似三角形的性质求解即可【详解】由题意可知∠AFB=∠ABF=∠CAB=30°则△AMB ∽△BAF 且在△BAF 中∠BAF=120°∴△BAF 是 解析：12 【分析】 根据正六边形的性质，判断出△AMB ∽△BAF ，再根据相似三角形的性质求解即可．【详解】由题意，可知∠AFB=∠ABF=∠CAB=30°，则△AMB ∽△BAF ，且在△BAF 中，∠BAF=120°，∴△BAF 是顶角为120°的等腰三角形，作AP ⊥BF ，∵∠ABF=30°，∴AB=2AP ，BP=3AP ，BF=2BP=23AP ，∴3AB BF =， ∴△AMB ∽△BAF ，相似比为：3， ∴:1:3ABM AFB S S =△△∴1:1:22ABM AFM S S ==， 故答案为：12．【点睛】本题考查正多边形的性质及相似三角形的判定与性质，准确推断出相似三角形，且注意相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题关键．15．【分析】根据矩形的性质得到AB ∥CDAB=CDAD=BC ∠BAD=90°根据线段中点的定义得到DE=CD=AB 根据相似三角形的性质即可得到结论【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形∴AB ∥CDAB=CD解析：43【分析】根据矩形的性质得到AB ∥CD ，AB=CD ，AD=BC ，∠BAD=90°，根据线段中点的定义得到DE=12CD=12AB ，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】 解：∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ∥CD ，AB=CD ，AD=BC ，∠BAD=90°，∵E 为CD 的中点，∴DE=12CD=12AB ， ∴△ABP ∽△EDP ，∴AB PB DE PD =， ∴21PB PD = ， ∴23PB BD = ， ∵PQ ⊥BC ，∴PQ ∥CD ，∴△BPQ ∽△DBC ，∴23PQ BP CD BD ==， ∵CD=2， ∴PQ=43， 故答案为：43．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，正确的识别图形是解题的关键． 16．n+1【分析】作DG 平行于AF 交BC 于G 由平行线分线段成比例定理比例的性质求得；然后根据三角形中位线的定义知BF=FG 所以由等量代换证得结论【详解】证明：如图作交BC 于G ∵AD ：DC=1：n ∴AD ：解析：n+1【分析】作DG 平行于AF 交BC 于G ．由平行线分线段成比例定理、比例的性质求得1AC FC n AD FG==+；然后根据三角形中位线的定义知BF=FG ，所以由等量代换证得结论． 【详解】证明：如图，作//DG AF 交BC 于G∵AD ：DC=1：n ，∴AD ：AC=1：（n+1）．∵//DG AF ，∴AC FC CD GC=， 根据比例的性质知，1AC FC n AD FG ==+， 又E 是BD 的中点，∴EF 是△BGD 的中位线，∴BF=FG ．∴FC:BF=FC BF =1FC n FG=+． 故填：n+1．【点睛】 本题考查了平行线分线段成比例．列比例式时，一定要找准对应线段，以防错解． 17．20【分析】证出ADE 和ABC 相似然后根据相似三角形对应边成比例列式求解即可【详解】解：∵AB ⊥DEBC ⊥AB ∴DE ∥BC ∴ADE ∽ABC ∴即解得：AD ＝20m 故答案为：20【点睛】本题考查了相似三解析：20【分析】证出ADE 和ABC 相似，然后根据相似三角形对应边成比例列式求解即可． 【详解】解：∵AB ⊥DE ，BC ⊥AB ，∴DE ∥BC ，∴ADE ∽ABC ， ∴AD DE AB BC =， 即201030AD AD =+， 解得：AD ＝20m ．故答案为：20．【点睛】本题考查了相似三角形的应用，利用相似三角形对应边成比例列出比例式是解题的关键． 18．（）cm 【分析】利用黄金分割的定义计算出AP 【详解】为的黄金分割点故答案为：（）cm 【点睛】此题考查黄金分割的定义黄金分割物体的较大部分等于与整体的解析：（4）cm【分析】利用黄金分割的定义计算出AP .【详解】 P 为AB 的黄金分割点()AP PB >，()118422AP AB cm ∴==⨯=故答案为：（4）cm.【点睛】. 19．575【分析】由题意可得△AFB ∽△ADC 根据相似三角形的性质和已知条件即可得到井深尺寸【详解】解：由题意可知：△AFB ∽△ADC ∴可设BC=x 则有解之可得：BC=575（尺）故答案为575【点睛】解析：57.5【分析】由题意可得△AFB ∽△ADC ，根据相似三角形的性质和已知条件即可得到井深尺寸．【详解】解：由题意可知：△AFB ∽△ADC ，∴AB FB AC DC =， 可设BC=x ，则有50.455x =+，解之可得：BC=57.5（尺）， 故答案为57.5．【点睛】本题考查相似三角形的应用，熟练掌握三角形相似的判定和性质是解题关键 ． 20．24【分析】过N 点作ND ⊥PQ 于D 先根据同一时刻物高与影长成正比求出QD 的影长再求出PQ 即可【详解】解：如图过N 点作ND ⊥PQ 于D ∴又∵AB=2BC=15DN=PM=12NM=08∴∴QD=16∴P解析：2.4【分析】过N 点作ND ⊥PQ 于D ，先根据同一时刻物高与影长成正比求出QD 的影长，再求出PQ 即可．【详解】解：如图，过N 点作ND ⊥PQ 于D ，∴BC DN AB QD=， 又∵AB=2，BC=1.5，DN=PM=1.2， NM=0.8， ∴1.5 1.22QD=， ∴QD=1.6，∴PQ=QD+DP=QD+NM=1.6+0.8=2.4（m ）．故答案为：2.4．【点睛】在运用相似三角形的知识解决实际问题时，要能够从实际问题中抽象出简单的数学模型，然后列出相关数据的比例关系式，从而求出结论．三、解答题21．（1）ABC DEF ∽△，理由见解析；（221【分析】（1）先根据勾股定理求得每条边的长度，再根据相似三角形的判定定理即可证明； （2）先画出MNP △，再根据似三角形的判定即可证明，由此可得答案．【详解】解：（1）ABC DEF ∽△，理由如下：∵在边长为1的55⨯的正方形网格上，有两个三角形，它们顶点都在格点上． ∴22112AB =+=2AC =，221310BC ，22125DE =+=221310DF =+=5EF =， ∴21055AB DE ==，10510AC DF ==105BC EF =， ∴AB AC BC DE DF EF ==， ∴ABC DEF ∽△；（2）如图，MNP ABC △∽△，理由如下：由题意可知：222222MP =+=，2MN =，224225NP =+=， ∴222MP AC ==，22MN AB ==，25210NP BC ==， ∴2MP MN NP AC AB BC===， ∴MNP ABC △∽△， 且相似比为2：1，故答案为：2：1．【点睛】本题考查了相似三角形的判定及勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定方法是解决本题的关键．22．（1）画图见解析；（2）14【分析】（1）给A 、B 、C 三点坐标乘以-2，得到A 1、B 1、C 1的坐标，再描点连接即得到111A B C △；（2）给ABC 的面积乘以4即得111A B C △的面积．【详解】（1）如图，111A B C △为所作．（2）ABC 的面积为72，位似比为2：1， ∴111A B C △的面积是272142⨯=． 故答案为：14．【点睛】此题考查位似图形和坐标变换．当位似中心为坐标原点时，位似图形的对应点之坐标比（即横坐标与横坐标之比，纵坐标与纵坐标之比）的绝对值等于位似比．当比值为负时，图形分居原点两侧；当比值为正时，图形在原点一侧．23．（1）直线AB 的解析式为9y x =-+；（2）存在，()'4,2O ，52t =，见解析； 【分析】 （1）由于点A （8，1）、B （n ，8）都在反比例函数m y x=的图象上，根据反比例函数的意义求出m ，n ，再由待定系数法求出直线AB 的解析式；（2）①由题意知：OP=2t ，OQ=t ，由三角形的面积公式可求出解析式；②通过三角形相似，用t 的代数式表示出O′的坐标，根据反比例函数的意义可求出t 值．【详解】 解：（1）∵点()8,1A 、(),8B n 都在反比例函数m y x =的图象上， ∴818=⨯=m ，∴8y x =， ∴88n=，即1n =． 设AB 的解析式为y kx b =+，把()8,1、()1,8B 代入上式得：818k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：19k b =-⎧⎨=⎩． ∴直线AB 的解析式为9y x =-+．（2）存在．当'O 在反比例函数的图象上时，作PE y ⊥轴，'O F x ⊥轴于F ，交PE 于E ，则90E ∠=︒，'2PO PO t ==，'QO QO t ==．由题意知：'PO Q POQ ∠=∠，'90'QO F PO E ∠=︒-∠，'90'EPO PO E ∠=︒-∠，∴''PEO O FQ △△， ∴''''PE EO PO O F QF QO ==， 设QF b =，'O F a =，则PE OF t b ==+，'2O E t a =-， ∴22t b t a a b+-==， 解得：45a t =，35b t =， ∴84',55O t t ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 当'O 在反比例函数的图象上时，84855t t ⋅=， 解得：52t =±， ∵反比例函数的图形在第一象限，∴0t >， ∴52t =， ∴()'4,2O ， 当52t =秒时，'O 恰好落在反比例函数的图象上． 【点睛】 本题主要考查了反比例函数的意义，利用图象和待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定和性质，熟练掌握反比例函数的意义和能数形结合是解决问题的关键．24．（1）103x =；（2）29；（3）109x =或x=5. 【分析】（1）当PQ ∥BC 时，根据平行线分线段成比例定理，可得出关于AP ，PQ ，AB ，AC 的比例关系式，我们可根据P ，Q 的速度，用时间x 表示出AP ，AQ ，然后根据得出的关系式求出x 的值．（2）我们先看当13BCQABC S S ∆∆=时能得出什么条件，由于这两个三角形在AC 边上的高相等，那么他们的底边的比就应该是面积比，由此可得出CQ ：AC=1：3，那么CQ=10cm ，此时时间x 正好是（1）的结果，那么此时PQ ∥BC ，由此可根据平行这个特殊条件，得出三角形APQ 和ABC 的面积比，然后再根据平行得出 AP ：PB 的值，从而得出三角形PBQ 与三角形APQ 的面积，即可求解．（3）本题要分两种情况进行讨论．可以证明∠A 和∠C 相等，那么就要分成AP 和CQ 对应成比例以及AP 和BC 对应成比例两种情况来求x 的值．【详解】（1）当AP AQ PB QC=时，PQ//BC 43032043x x x x-∴=- 180600x ∴= 解得：103x =（2）当13BCQABC S S ∆∆=时 13CQ AC = 13CQ AC ∴= 13303x =⨯ 103x ∴= 由（1）得103x =时， 20,10AQ CQ ==202303AQ AC == AQP ACB ∆∆49AQPACB S S ∆∆∴= 设4AQP S a ∆=则9ACB S a ∆=2AP PB =122BPQ AQP S S a ∆∆∴== 22:99BPQ ABC a S S a ∆∆∴==． （3）当APQ CQB ∠=∠时∵AB=BC,∴∠A=∠C,∴APQ CQB ∆∆AQ AP BC CQ ∴= 3034203x x x-∴= 解得109x =当CBQ APQ ∠=∠时 ∵AB=BC,∴∠A=∠C,∴CBQ APQ ∆∆CQ BC AQ AP ∴= 3203034x x x∴=- 解得：125,10x x ==-(舍去)经检验，x=5是原分式方程的解． 综上所述，当109x =或x=5时相似. 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，根据三角形相似得出线段比或面积比是解题的关键．25．（1）3:1，60；（2）35︒，理由见解析；（3）2n =．【分析】（1）利用新定义得出[],n θ的意义，利用旋转的性质得到AB C ''△∽ABC ，且相似比，60BAB '∠=︒，进而求出面积比，通过外角的性质得到DEB '∠即可求出直线BC 与直线B C ''所夹的锐角度数；（2）利用新定义得出[],n θ的意义，得到::AB AB AC AC ''==35BAC B AC ''∠=∠=︒，进而可以得到BAB CAC ''∠=∠，下证BAB '△∽CAC '△，通过题中给的相似比即可求出面积之比，延长CC '交BB '于D ，通过DEB AEC ''∠=∠，BB A CC A ''∠=∠，可以证得DEB '△∽AEC '，从而得到C DB ''∠的度数，即可得直线BB '与直线CC '相交所成的较小角的度数；（3）由四边形ABB C ''为矩形，得到90BAC '∠=︒，进而求出CAC '∠的度数，利用含30角的直角三角形的性质即可得到AC AC'的值，进而求出n 的值． 【详解】解：（1）由题意可知：对ABC 作变换60⎡︒⎣得AB C ''△，∴AB C ''△∽ABC ，且相似比为3:1，60BAB '∠=︒，∴B B '∠=∠，∴()2:3:13:1AB C ABC S S ''==， ADE B BAB '∠=∠+∠，ADE B DEB ''∠=∠+∠，∴60DEB BAB ''∠=∠=︒，即直线BC 与直线B C ''所夹的锐角度数为：60︒．故答案为：3:1，60．（2）根据题意得：::1:3AB AB AC AC ''==，35BAC B AC ''∠=∠=︒， ∴BAC B AC B AC B AC ''''∠+∠=∠+∠，∴BAB CAC ''∠=∠，∴BAB '△∽CAC '△，∴相似比AB k AC=，BB A CC A ''∠=∠， :2AB AC =，∴()2:22ABB ACC S S ''==，延长CC '交BB '于D ，如图，设CC '交AB '于E ．DEB AEC ''∠=∠，BB A CC A ''∠=∠，∴DEB '△∽AEC '，∴35C DB B AC ''''∠=∠=︒，∴:2ABB ACC S S ''=△△，直线BB '与直线CC '相交所成的较小角的度数为35︒． （3）四边形ABB C ''为矩形，∴90BAC '∠=︒，30BAC ∠=︒，∴60CAC BAC BAC ''∠=∠-∠=︒，90ACB ∠=︒，∴90ACC '∠=︒，在Rt ACC '△中，12AC AC '=，∴21AC AC '=， ∴2AC n AC'==， 即n 的值为2．【点睛】本题考查了图形的旋转，相似三角形的判定和性质，新定义运算，三角形的外角性质以及含30角的直角三角形的性质，解题的关键是根据题意得出[],n θ的意义．26．（1）见解析；（2）B(5，1)，C(2，7)【分析】（1）由题意易得∠DCE=∠ADO ，根据判定定理可得结论（2）利用相似三角形的性质求得DE 、CE 可得C 点坐标，从而可得B 点的坐标【详解】解：（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴CD=AB ，∠ADC=90°，∴∠ADO+∠CDE=∠CDE+∠DCE=90°，∴∠DCE=∠ADO ，∴△CDE ∽△ADO ．（2）解：∵△CDE ∽△DAO ，∴CE OD =DE OA =CD AD， ∵OD=2OA=6，AD ：AB=3：1， ∴OA=3，CD ：AD=13， ∴CE=13OD=2，DE=13OA=1， ∴OE=7，∴C （2，7），利用平移的性质可得B （5，1）．．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定及性质，熟练掌握三角形相似的判定定理及性质是解决本题的关键。

北师大版数学九年级下册 第二章 全章测试题 含答案

北师大版数学九年级下册 第二章 全章测试题 含答案

北师大版数学九年级下册 第二章 全章测试题一、选择题(3分×10＝30分)1．(2013，益阳)抛物线y ＝2(x －3)2＋1的顶点坐标是( )A ．(3，1)B ．(3，－1)C ．(－3，1)D ．(－3，－1)2．若二次函数y ＝x 2＋bx ＋4配方后为y ＝(x －2)2＋k ，则b 、k 的值分别为( )A ．0，5B ．0，1C ．－4，5D ．－4，03．(2013，衢州)抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 的图象先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得图象的函数解析式为y ＝(x －1)2－4，则b ，c 的值分别为( )A ．b ＝2，c ＝－6B ．b ＝2，c ＝0C ．b ＝－6，c ＝8D ．b ＝－6，c ＝24．已知二次函数y ＝－12x 2－7x ＋152，若自变量x 分别取x 1、x 2、x 3，且0＜x 1＜x 2＜x 3，则对应的函数值y 1、y 2、y 3的大小关系正确的是( )A ．y 1＞y 2＞y 3B ．y 1＜y 2＜y 3C ．y 2＞y 3＞y 1D ．y 2＜y 3＜y 15．已知抛物线y ＝x 2－2x ＋m ＋1与x 轴有两个不同的交点，则函数y ＝m x 的大致图象是( )6．某市烟花厂为该市4.18烟花三月经贸旅游特别设计制作一种新型礼炮，这种礼炮的升空高度h(m)与飞行时间t(s)的关系式是h ＝－52t 2＋20t ＋1.若这种礼炮点火开空到最高点处引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为( )A ．3sB ．4sC ．5sD ．6s7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝12x 2经过平移得到抛物线y ＝12x 2－2x ，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为( )A ．2B ．4C ．8D ．168．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图，则下列叙述正确的是( )A ．abc ＜0B ．－3a ＋c ＜0C ．b 2－4ac≥0D．将该函数图象向左平移2个单位后所得到抛物线的解析式为y＝ax2＋c9．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，若|ax2＋bx＋c|＝k(k≠0)有两个不相等的实数根，则k的取值范围是( )A．k＜－3 B．k＞－3 C．k＜3 D．k＞310．如图，正方形ABCD的边长为4cm，动点P、Q同时从点A出发，以1cm/s的速度分别沿A→B→C和A→D→C的路径向点C运动，设运动时间为x(单位：s)，四边形PBDQ的面积为y(单位：cm2)，则y与x(0≤x≤8)之间的函数关系可以用图象表示为( )二、填空题(3分×10＝30分)11．某厂今年一月份新产品的研发资金为a元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年三月份新产品的研发资金y(元)关于x的函数关系式为____________12．如图，对称轴平行于y轴的抛物线与x轴交于(1，0)、(3，0)两点，则它的对称轴为____________________．13．已知下列函数：①y＝x2；②y＝－x2；③y＝(x－1)2＋2.其中图象通过平移可以得到函数y＝x2＋2x－3的图象的有_____________(填写所有正确选项的序号)．14．二次函数y＝x2－(m－4)x－m的图象与x轴的两个交点关于y轴对称，则其顶点坐标为___________．15．小汽车刹车距离s(m)与速度v(km/h)之间的函数关系式为s＝1100v2，一辆小汽车速度为100km/h，在前方80m处停放一辆故障车，此时刹车_______(填“会”或“不会”)有危险．16．已知二次函数y＝－x2＋4，当－2≤x≤3时，函数的最小值是_____，最大值是____．17．开口向下的抛物线y＝(m2－2)x2＋2mx＋1的对称轴经过点(－1，3)，则m＝_____．18．请选择一组你喜欢的a、b、c的值，使二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象同时满足下列条件：(1)开口向下；(2)当x＜2时，y随x的增大而增大；当x＞2时，y随x的增大而减小，这样的二次函数的解析式可以是__________________________________________.19．2013年5月26日，中国羽毛球队蝉联苏迪曼杯团体赛冠军，成就了首个五连冠霸业．比赛中羽毛球的某次运动路线可以看作是一条抛物线(如图)，若不考虑外力因素，羽毛球行进高度y(米)与水平距离x(米)之间满足关系y＝－29x2＋89x＋109，则羽毛球飞出的水平距离为__________米．20．如图，抛物线y＝x2在第一象限内经过的整数点(横坐标、纵坐标都为整数的点)依次为A1、A2、A3…A n，….将抛物线y＝x2沿直线L：y＝x向上平移，得一系列抛物线，且满足下列条件：①抛物线的顶点M1、M2、M3、…M n，…都在直线L：y＝x上；②抛物线依次经过点A1、A2、A3…A n、….则顶点M2014的坐标为______________．三、解答题(共60分)21．(7分)二次函数y＝x2＋bx＋c的图象经过点(4，3)，(3，0)．(1)求b、c的值；(2)求出该二次函数图象的顶点坐标和对称轴；(3)画出二次函数y＝x2＋bx＋c的图象．22．(8分)已知函数y＝mx2－6x＋1(m是常数)．(1)求证：不论m为何值，该函数的图象都经过y轴上的一个定点；(2)若该函数的图象与x轴只有一个交点，求m的值．23．(8分)如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A的坐标是(－2，4)，过点A 作AB⊥y轴，垂足为B，连接OA.(1)求△OAB的面积；(2)若抛物线y＝－x2－2x＋c经过点A.①求c的值；②将抛物线向下平移m个单位长度，使平移后得到的抛物线顶点落在△OAB的内部(不包括△OAB的边界)，求m的取值范围(直接写出答案即可)．24．(8分)某商场购进一种每件价格为100元的新商品，在商场试销发现：销售单价x(元/件)与每天销售量y(件)之间满足如图所示的关系：(1)求出y与x之间的函数关系式；(2)写出每天的利润W与销售单价x之间的函数关系式；若你是商场负责人，会将售价定为多少，来保证每天获得的利润最大，最大利润是多少？25．(8分)如图，矩形ABCD的两边长AB＝18cm，AD＝4cm.点P、Q分别从A、B同时出发，P在边AB上沿AB方向以每秒2cm的速度匀速运动，Q在边BC上沿BC方向以每秒1cm的速度匀速运动，设运动时间为x秒，△PBQ的面积为y(cm2)．(1)求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；(2)求△PBQ的面积的最大值．26．(9分)某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元，试营销阶段发现：当销售单价是25元时，每天的销售量为250件，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件．(1)写出商场销售这种工具，每天所得的销售利润w(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式；(2)求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大；(3)商场的营销部结合上述情况，提出了A、B两种营销方案：方案A：该文具的销售单价高于进价且不超过30元；方案B：每天销售量不少于10件，且每件文具的利润至少为25元．请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由．27．(12分)如图，已知抛物线y＝38x2－34x－3与x轴的交点为A、D(A在D的右侧)，与y轴的交点为C.(1)直接写出A、D、C三点的坐标；(2)若点M在抛物线上，使得△MAD的面积与△CAD的面积相等，求点M的坐标；(3)设点C关于抛物线对称轴的对称点为B，在抛物线上是否存在点P，使得以A、B、C、P四点为顶点的四边形为梯形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．答案:一、1---10 ADBAA BBBDB二、11. y＝a(1＋x)212. 直线x＝213. ①③14. (0，－4)15. 会16. －5 417. －118. 答案不唯一，只要满足b＝－4a，a＜0即可，如y＝－x2＋4x＋3，y＝－2x2＋8x －3等．19. 520. (4027，4027)三21. 解：(1)b＝－4，c＝3(2) (2，－1)，x＝2(3)画图略22. 解：(1)当x＝0时，y＝1.所以不论m为何值，函数y＝mx2－6x＋1的图象都经过y轴上的一个定点(0，1)(2)①当m＝0时，函数y＝－6x＋1的图象与x轴只有一个交点；②当m≠0时，若函数y＝mx2－6x＋1的图象与x轴只有一个交点，则方程mx2－6x＋1＝0有两个相等的实数根，所以(－6)2－4m＝0，m＝9.综上可知，若函数y＝mx2－6x＋1的图象与x轴只有一个交点，则m的值为0或9.23. 解：(1)4(2)①c＝4；②∵y＝－x2－2x＋4＝－(x＋1)2＋5，∴抛物线顶点D的坐标是(－1，5)，AB的中点E的坐标是(－1，4)，OA的中点F的坐标是(－1，2)，∴m的取值范围为1＜m＜324. 解：(1)y＝－x＋180(2)W＝(x－100)y＝(x－100)(－x＋180)＝－x2＋280x－18000＝－(x－140)2＋1600；当x＝140，W最大＝1600，∴售价定为140元/件时，每天最大利润W＝1600元．25. 解：(1)y＝－x2＋9x(0＜x≤4)(2)y＝－(x－92)2＋814，∵当0＜x≤92时，y随x的增大而增大，而0＜x≤4，∴当x＝4时，y最大值＝20，即△PBQ的面积的最大值是20cm2.26. 解：(1)w＝(x－20)[250－10(x－25)]＝－10(x－20)(x－50)＝－10x2＋700x－10000 (2)∵w＝－10x2＋700x－10000＝－10(x－35)2＋2250，∴当x＝35时，w取到最大值2250.即销售单价为35元时，每天销售利润最大，最大利润为2250元 (3)∵w ＝－10(x －35)2＋2250，∴函数图象是以x ＝35为对称轴且开口向下的抛物线．∴对于方案A ，20＜x ≤30，此时w 随x 的增大而增大，∴x ＝30时，w 取到最大值2000.∴当采用方案A 时，销售单价为30元可获得最大利润为2000元；对于方案B ，则有⎩⎨⎧250－10（x －25）≥10，x －20≥25.解得45≤x ≤49.此时w 随x 的增大而减小．故当x ＝45时，w 取到最大值1250，∴当采用方案B 时，销售单价为45元可获得最大利润为1250元．两者比较，还是方案A 的最大利润更高．27. 解：(1)∵y ＝38x 2－34x －3，∴当y ＝0时，38x 2－34x －3＝0，解得x 1＝－2，x 2＝4.当x ＝0，y ＝－3.∴A 点坐标为(4，0)，D 点坐标为(－2，0)，C 点坐标为(0，－3) (2)∵y＝38x 2－34x －3，∴对称轴为直线x ＝342×38＝1.∵AD 在x 轴上，点M 在抛物线上，∴当△MAD 的面积与△CAD 的面积相等时，分两种情况：①点M 在x 轴下方时，根据抛物线的对称性，可知点M 与点C 关于直线x ＝1对称，∵C 点坐标为(0，－3)，∴M 点坐标为(2，－3)；②点M 在x 轴上方时，根据三角形的等面积法，可知M 点到x 轴的距离等于点C 到x 轴的距离3.当y ＝3时，38x 2－34x －3＝3，解得x 1＝1＋17，x 2＝1－17，∴M 点坐标为(1＋17，3)或(1－17，3)．综上所述，所求M 点坐标为(2，－3)或(1＋17，3)或(1－17，3)(3)结论：存在．如图所示，在抛物线上有两个点P 满足题意：①若BC ∥AP 1，此时梯形为ABCP 1.由点C 关于抛物线对称轴的对称点为B ，可知BC ∥x 轴，则P 1与D 点重合，∴P 1(－2，0)．∵P 1A ＝6，BC ＝2，∴P 1A≠BC ，∴四边形ABCP 1为梯形；②若AB ∥CP 2，此时梯形为ABCP 2.∵A 点坐标为(4，0)，B 点坐标为(2，－3)，∴直线AB 的解析式为y ＝32x －6，∴可设直线CP 2的解析式为y ＝32x ＋n ，将C 点坐标(0，－3)代入，得n ＝－3，∴直线CP 2的解析式为y ＝32x －3.∵点P 2在抛物线y ＝38x 2－34x －3上，∴38x 2－34x －3＝32x －3，化简得：x 2－6x ＝0，解得x 1＝0(舍去)，x 2＝6，∴点P 2横坐标为6，代入直线CP 2解析式求得纵坐标为6，∴P 2(6，6)．∵AB ∥CP 2，AB≠CP 2，∴四边形ABCP 2为梯形．综上所述，在抛物线上存在一点P ，使得以点A 、B 、C 、P 四点为顶点所构成的四边形为梯形；点P 的坐标为(－2，0)或(6，6)．。

(北师版)九年级数学下册 第二章 二次函数 达标测试(B卷)

(北师版)九年级数学下册 第二章 二次函数 达标测试(B卷)

（北师版）九年级数学下册第二章二次函数达标测试（B卷）一．选择题（共20小题，满分60分，每小题3分）1．（3分）二次函数y＝﹣2（x+1）2﹣4，下列说法正确的是（）A．开口向上B．对称轴为直线x＝1C．顶点坐标为（1，4）D．当x＜﹣1时，y随x的增大而增大2．（3分）抛物线y＝﹣x2+2的对称轴为（）A．x＝2B．x＝0C．y＝2D．y＝03．（3分）若二次函数y＝ax2﹣2ax﹣1的图象和x轴两交点间的距离为4，则a为（）A．B．C．D．﹣14．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，顶点（﹣2，﹣7a），下列结论：①ax2+bx+c＞0；②5a﹣b+c＝0；③若方程a（x+5）（x﹣1）＝﹣1有两个根x1和x2，且x1＜x2，则﹣5＜x1＜x2＜1；④若方程|ax2+bx+c|＝2有四个根，则这四个根的和为﹣4，其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个5．（3分）在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，现给出以下结论：①abc ＞0；②b+2a＝0；③9a﹣3b+c＝0；④a﹣b+c≤am2+bm+c（m为实数）．其中结论正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个6．（3分）二次函数y＝ax2+bx的图象如图所示，若一元二次方程ax2+bx＝﹣m有实数根，则m最大值为（）A．3B．﹣3C．﹣6D．97．（3分）在同一直角坐标系中，一次函数y＝ax﹣b和二次函数y＝﹣ax2﹣b的大致图象是（）A．B．C．D．8．（3分）在平面直角坐标系中，将抛物线y＝﹣x2+（m﹣1）x+m绕原点旋转180°，在旋转后的抛物线上，当x＞4时，y随x的增大而增大，则m的范围是（）A．m＞﹣7B．m≥﹣7C．m＜﹣7D．m≤﹣79．（3分）抛物线y＝﹣（x﹣2）2+3，下列说法正确的是（）A．开口向下，顶点坐标（2，3）B．开口向上，顶点坐标（2，﹣3）C．开口向下，顶点坐标（﹣2，3）D．开口向上，顶点坐标（2，﹣3）10．（3分）二次函数y＝（x﹣1）（x﹣m+1）（m是常数），当﹣2≤x≤0时，y＞0，则m的取值范围为（）A．m＜0B．m＜1C．0＜m＜1D．m＞111．（3分）已知抛物线y＝ax2﹣2ax+b（a＞0）的图象上三个点的坐标分别为A（﹣1，y1），B（2，y2），C （4，y3），则y1，y2，y3的大小关系为（）A．y3＞y1＞y2B．y3＞y2＞y1C．y2＞y1＞y3D．y2＞y3＞y112．（3分）函数y＝ax2+2ax+m（a＜0）的图象过点（2，0），则使函数值y＞0成立的x的取值范围是（）A．x＜﹣4或x＞2B．﹣4＜x＜2C．x＜0或x＞2D．0＜x＜213．（3分）平移抛物线y＝﹣（x﹣1）（x+3），下列哪种平移方法不能使平移后的抛物线经过原点（）A．向左平移1个单位B．向上平移3个单位C．向右平移3个单位D．向下平移3个单位14．（3分）如右图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，函数图象经过点（2，0），x＝﹣1是对称轴，有下列结论：①2a﹣b＝0；②9a﹣3b+c＜0；③若（﹣2，y1），（，）是抛物线上两点，则y1＜y2，④a﹣b+c＝﹣9a；其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个15．（3分）如图，函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）经过点（﹣1，0）、（m，0），且1＜m＜2，下列结论：①abc＜0；②0＜＜；③若点A（﹣2，y1），B（2，y2）在抛物线上，则y1＜y2；④a（m﹣1）+b＝0．其中结论正确的有（）个A．1B．2C．3D．416．（3分）若抛物线y＝﹣x2+2x+m+1（m为常数）交y轴于点A，与x轴的一个交点在2和3之间，顶点为B．①抛物线y＝﹣x2+2x+m+1与直线y＝m+2有且只有一个交点；②若点M（﹣2，y1）、点N（，y2）、点P（2，y3）在该函数图象上，则y1＜y2＜y3；③将该抛物线向左平移2个单位，再向下平移2个单位，所得的抛物线解析式为y＝﹣（x+1）2+m；④点A关于直线x＝1的对称点为C，点D、E分别在x轴和y轴上，当m＝1时，四边形BCDE周长的最小值为3++．其中错误的是（）A．①③B．②C．②④D．③④17．（3分）已知二次函数y＝x2﹣2ax+a2﹣2a﹣4（a为常数）的图象与x轴有交点，且当x＞3时，y随x 的增大而增大，则a的取值范围是（）A．a≥﹣2B．a＜3C．﹣2≤a＜3D．﹣2≤a≤318．（3分）对于函数y＝x2﹣2|x|﹣3，下列说法正确的有（）个①图象关于y轴对称；②有最小值﹣4；③当方程x2﹣2|x|﹣3＝m有两个不相等的实数根时，m＞﹣3；④直线y＝x+b与y＝x2﹣2|x|﹣3的图象有三个交点时，﹣＜b≤﹣3．A．1B．2C．3D．419．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的y与x的部分对应值如表：x﹣1013y﹣3131下列结论：①抛物线的开口向下；②其图象的对称轴为直线x＝1；③当x＜2时，函数值y随x的增大而增大；④方程ax2+bx+c＝0有一个根大于4．其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个20．（3分）抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴有两个交点，且交点位于y轴两侧，则下列关于这个二次函数的说法中不正确的是（）A．a＞0B．若b＞0，则当x＞0时，y随x的增大而增大C．a+b＜3D．一元二次方程ax2+bx﹣1＝0的两根异号二．填空题（共15小题，满分45分，每小题3分）21．（3分）已知，抛物线y＝ax2+bx+c的部分图象如图，由图可知不等式ax2+bx+c＞0的解集为．22．（3分）如图，李大爷要借助院墙用篱笆围成一个矩形菜园ABCD，用篱笆围成的三边总长为24m，则矩形菜园ABCD的最大面积为m2．23．（3分）如图，若被击打的小球飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有的关系为h＝20t﹣5t2，则小球从飞出到落地所用的时间为s．24．（3分）抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴有两个交点，则原点左侧交点坐标为．25．（3分）已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴交点的坐标分别为（﹣1，0），（3，0），则一元二次方程x2+bx+c ＝0的根为．26．（3分）若二次函数y＝x2﹣6x+3a的图象与x轴有且只有一个交点，则a的值为．27．（3分）已知抛物线y＝x2+mx+9的顶点在x轴上，则m的值为．28．（3分）若二次函数y＝（2﹣m）x m2﹣3的图象开口向下，则m的值为．29．（3分）已知抛物线y＝2（x﹣1）2+1，当0＜x＜3时，y的取值范围是．30．（3分）抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为直线x＝1，且经过点（﹣1，0）．若关于x的一元二次方程x2+bx+c ﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有实数根，则t的取值范围是．31．（3分）如图所示，某建筑物有一抛物线形的大门，小明想知道这道门的高度，他先测出门的宽度AB ＝8m，然后用一根长为4m的小竹竿CD竖直的接触地面和门的内壁，并测得AC＝2m，则门高OE 为．32．（3分）当﹣3≤x≤2时，函数y＝ax2﹣4ax+2（a≠0）的最大值是8，则a＝．33．（3分）二次函数y＝x2+2x﹣4的图象的对称轴是，顶点坐标是．34．（3分）如图，已知顶点为（﹣3，﹣6）的抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣1，﹣4），下列结论：①b2＞4ac；②ax2+bx+c≥﹣6；③若点（﹣2，m），（﹣5，n）在抛物线上，则m＞n；④关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝﹣4的两根为﹣5和﹣1，其中正确的是．35．（3分）若二次函数y＝x2+mx的对称轴是x＝1，则关于x的方程x2+mx＝3的解为．三．解答题（共5小题，满分45分，每小题9分）36．（9分）每年5月的第二个星期日即为母亲节，“父母恩深重，恩怜无歇时”，许多市民喜欢在母亲节为母亲送花，感恩母亲，祝福母亲．今年节日前夕，某花店采购了一批康乃馨，经分析上一年的销售情况，发现这种康乃馨每天的销售量y（支）是销售单价x（元）的一次函数，已知销售单价为7元/支时，销售量为16支；销售单价为8元/支时，销售量为14支．（1）求这种康乃馨每天的销售量y（支）关于销售单价x（元/支）的一次函数解析式；（2）若按去年方式销售，已知今年这种康乃馨的进价是每支5元，商家若想每天获得42元的利润，销售单价要定为多少元？（3）在（2）的条件下，当销售单价x为何值时，花店销售这种康乃馨每天获得的利润最大？并求出获得的最大利润．37．（9分）商城某种商品平均每天可销售20件，每件盈利30元，为庆元旦，决定进行促销活动，经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．设该商品每件降价x元，请解答下列问题．（1）用含x的代数式表示：①降价后每售一件盈利元；②降价后平均每天售出件；（2）在此次促销活动中，商城若要获得最大盈利，每件商品应降价多少元？获得最大盈利多少元？38．（9分）已知抛物线经过点（4，3），且当x＝2时，y有最小值﹣1．（1）求这条抛物线的解析式．（2）写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围．39．（9分）在篮球比赛中，东东投出的球在点A处反弹，反弹后球运动的路线为抛物线的一部分（如图1所示建立直角坐标系），抛物线顶点为点B．（1）求该抛物线的函数表达式．（2）当球运动到点C时被东东抢到，CD⊥x轴于点D，CD＝2.6m．①求OD的长．②东东抢到球后，因遭对方防守无法投篮，他在点D处垂直起跳传球，想将球沿直线快速传给队友华华，目标为华华的接球点E（4，1.3）．东东起跳后所持球离地面高度h1（m）（传球前）与东东起跳后时间t （s）满足函数关系式h1＝﹣2（t﹣0.5）2+2.7（0≤t≤1）；小戴在点F（1.5，0）处拦截，他比东东晚0.3s 垂直起跳，其拦截高度h2（m）与东东起跳后时间t（s）的函数关系如图2所示（其中两条抛物线的形状相同）．东东的直线传球能否越过小戴的拦截传到点E？若能，东东应在起跳后什么时间范围内传球？若不能，请说明理由（直线传球过程中球运动时间忽略不计）．40．（9分）如图，已知二次函数y＝﹣x2+2mx+3m2（m＞0）的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为点D．（1）点B的坐标为，点D的坐标为；（用含有m的代数式表示）（2）连接CD，BC．①若CB平分∠OCD，求二次函数的表达式；②连接AC，若CB平分∠ACD，求二次函数的表达式．参考答案与试题解析一．选择题（共20小题，满分60分，每小题3分）1．D．2．B．3．B．4．A．5．B．6．A．7．A．8．B．9．A．10．D．11．A．12．B．13．B．14．B．15．B．16．C．17．D．18．B．19．A．20．C．二．填空题（共15小题，满分45分，每小题3分）21．x＜﹣3或x＞1．22．72．23．4．24．（﹣1，0）．25．﹣1或3．26．3．27．±6．28．．29．1≤y＜9．30．﹣4≤t＜5．31．m．32．或﹣．33．直线x＝﹣1，（﹣1，﹣5）．34．①②④．35．3或﹣1．三．解答题（共5小题，满分45分，每小题9分）36．（1）这种康乃馨每天的销售量y（支）关于销售单价x（元/支）的一次函数解析式为y＝﹣2x+30．（2）商家若想每天获得42元的利润，销售单价要定为8元或12元．（3）当销售单价10元时，花店销售这种康乃馨每天获得的利润最大，最大利润为50元．37．（1）答案为（30﹣x）、（20+2x）；（2）每件商品应降价10元，获得最大盈利为800元．38．（1）y＝（x﹣2）2﹣1或y＝x2﹣4x+3；（2）y随x的增大而减小的自变量x的取值范围是x＜2．39．（1）抛物线的函数表达式为y＝﹣2（x﹣0.4）2+3.32．（2）①把y＝2.6代入y＝﹣2（x﹣0.4）2+3.32，化简得（x﹣0.4）2＝0.36，解得x1＝﹣0.2（舍去），x2＝1，∴OD＝1m．②东东的直线传球能越过小戴的拦截传到点E．由图1可得，当0≤t≤0.3时，h2＝2.2．当0.3＜t≤1.3时，h2＝﹣2（t﹣0.8）2+2.7．当h1﹣h2＝0时，t＝0.65（s），东东在点D跳起传球与小戴在点F处拦截的示意图如图2，设MD＝h1，NF＝h2，当点M，N，E三点共线时，过点E作EG⊥MD于点G，交NF于点H，过点N作NP⊥MD于点P，∴MD∥NF，PN∥EG，∴∠M＝∠HNN，∠MNP＝∠NEH，∴△MPN∽△NHE，∴，∵PN＝0.5，HE＝2.5，∴NH＝5MP．（Ⅰ）当0≤t≤0.3时，MP＝﹣2（t﹣0.5）2+2.7﹣2.2＝﹣2（t﹣0.5）2+0.5，NH＝2.2﹣1.3＝0.9．∴5[﹣2（t﹣0.5）2+0.5]＝0.9，整理得（t﹣0.5）2＝0.16，解得（舍去），（s），当0≤t≤0.3时，MP随t的增大而增大，∴．（Ⅱ）当0.3＜t≤0.65时，MP＝MD﹣NF＝﹣2（t﹣0.5）2+2.7﹣[﹣2（t﹣0.8）2+2.7]＝﹣1.2t+0.78，NH＝NF﹣HF＝﹣2（t﹣0.8）2+2.7﹣1.3＝﹣2（t﹣0.8）2+1.4，∴﹣2（t﹣0.8）2+1.4＝5×（﹣1.2t+0.78），整理得t2﹣4.6t+1.89＝0，解得，（舍去），（s），当0.3＜t≤0.65时，MP随t的增大而减小，∴．（Ⅲ）当0.65＜t≤1时，h1＜h2，不可能．综上所述，东东在起跳后传球的时间范围为．40．（1）（3m，0），（m，4m2）；（2）①如图1，过点D作DH⊥AB，交BC于点E，则DH∥OC，∴∠DEC＝∠OCE，∵BC平分∠OCD，∴∠OCE＝∠DCE，∴∠DEC＝∠DCE，∴CD＝DE，由（1）知，C（0，3m2），A（﹣m，0），B（3m，0），∴OC＝3m2，OB＝3m，∵，∴HE＝2m2，∴DE＝DH﹣HE＝4m2﹣2m2＝2m2，∵CD＝DE，∴CD2＝DE2，∴m2+m4＝4m4，解得：m1＝，m2＝﹣（舍去），∴二次函数的关系式为：；②如图2，过点D作DH⊥AB，交BC于点E，过点C作y轴的垂线CK，过点B作x轴的垂线交CK于点K，连接AE，∵tan∠DCG＝＝m，tan∠KCB＝＝m，∴∠DCG＝∠KCB，∴CK∥AB，∴∠KCB＝∠EBA，由对称性知，DH垂直平分AB，∴EA＝EB，∴∠EAB＝∠EBA，∴∠DCG＝∠KCB＝∠EBA＝∠EAB，∵∠AEC＝∠EAB+∠EBA，∠DCB＝∠DCG+∠KCB，CB平分∠ACD，∴∠DCB＝∠AEC＝∠ACE，∴AC＝AE，∴AC2＝AE2＝EH2+AH2，∴m2+9m4＝4m4+4m2，解得：m1＝，m2＝﹣（舍去），∴二次函数的关系式为：．。

(北师大版)郑州市九年级数学下册第二单元《二次函数》检测卷(包含答案解析)

(北师大版)郑州市九年级数学下册第二单元《二次函数》检测卷(包含答案解析)

一、选择题1．把二次函数243y x x =-+化成2()y a x h k =++的形式是（ ）A ．2(2)1y x =++B ．2(2)7y x =++C ．2(2)1y x =--D ．2(2)7y x =-- 2．已知y 是x 的二次函数，y 与x 的部分对应值如表所示，若该二次函数图象向左平移后通过原点，则应平移（ ） x… 1- 0 1 2 … y … 0 3 4 3 …A ．1个单位B ．2个单位C ．3个单位D ．4个单位 3．一次函数y ＝ax +b 与二次函数y ＝ax 2+bx +c 在同一坐标系中的图象可能是（ ） A ． B ．C ．D ．4．某广场有一个小型喷泉，水流从垂直于地面的水管OA 喷出，OA 长为1.5m ．水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落到地面上，某方向上抛物线路径的形状如图所示，落点B 到O 的距离为3m ．建立平面直角坐标系，水流喷出的高度()ym 与水平距离()x m 之间近似满足函数关系()20y ax x c a =++≠，则水流喷出的最大高度为（ ）A ．1mB ．32mC ．138mD ．2m5．如图，二次函数()20y ax bx c a =++≠图象的顶点为D ，其图像与x 轴的交点A 、B 的横坐标分别为-1，3，与y 轴负半轴交于点C ．在下面四个结论中：①0a b c ++<； ②13a c =-； ③只有当12a =时，ABD △是等腰直角三角形； ④使ACB △为等腰三角形的a 值可以有两个．其中正确的结论有 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个6．如图为二次函数y ＝ax 2+bx+c 的图象，其对称轴为x ＝1，在下列结论中：①abc ＞0；②若方程ax 2+bx+c ＝0的根是x 1、x 2，则x 1+x 2＜0；③4a+2b+c ＜0；④当x ＞1时，y 随x 的增大而增大．正确的有（ ）A ．1B ．2C ．3D ．47．二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象如图所示，下列结论中正确的有①abc ＞0；②b 2﹣4ac ＜0；③2a ＞b ；④（a +c ）2＜b 2；⑤a ﹣2b +4c ＞0．（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8．如图是抛物线y 1＝ax 2＋bx ＋c （a≠0）的一部分，抛物线的顶点坐标A （1，3），与x 轴的一个交点为B （4，0），直线y 2＝mx ＋n （m≠0）与抛物线交于A 、B 两点，结合图象分析下列结论：①2a ＋b ＝0；②abc ＞0；③方程ax 2＋bx ＋c ＝3有两个相等的实数根；④当1＜x ＜4时，有y 2＜y 1；⑤抛物线与x 轴的另一个交点是（﹣1，0）．其中正确的是（ ）A ．①②③B ．②④C ．①③④D ．①③⑤ 9．已知二次函数y ＝x 2﹣4x +m 2+1（m 是常数），若当x ＝a 时，对应的函数值y ＜0，则下列结论中正确的是（ ）A ．a ﹣4＜0B ．a ﹣4＝0C ．a ﹣4＞0D ．a 与4的大小关系不能确定10．某商场经营一种小商品，已知进购时单价是20元．调查发现：当销售单价是30元时，月销售量为240件，而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件，但每件商品的售价不能高于40元．当月销售利润最大时，销售单价为（ ）A ．35元B ．36元C ．37元D ．36或37元 11．对于抛物线22()1y x =-+，下列说法错误的是（ ）A ．抛物线的开口向上B ．抛物线与x 轴有两个交点C ．抛物线的对称轴是2x =D ．抛物线的顶点坐标是(2,1)12．二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，对称轴是直线1x =，下列结论：①0ab <；②24b ac >；③20a b c ++<；④30a c +<．其中正确的是（ ）A ．①②④B ．②④C ．①②③D ．①②③④二、填空题13．将抛物线243y x x =-+沿y 轴向下平移3个单位，则平移后抛物线的顶点坐标为_____．14．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的图象如图所示，若关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝m 有实数根，则m 的取值范围是_____．15．如图，抛物线2y ax bx c =++的对称轴是x ＝1，下列结论：①abc ＞0；②240b ac ->；③8a+c ＜0；④5a+b+2c ＞0，正确的有___（填序号）．16．二次函数y=ax 2+c 的图象与y=3x 2的图象形状相同，开口方向相反，且经过点(1，1)，则该二次函数的解析式为________________ ．17．教练对小明推铅球的录像进行技术分析，如图，发现铅球行进高度()y m 与水平距离()x m 之间的关系为()21184105y x =--+ ，由此可知铅球推出的距离_____ m ．18．将抛物线243y x x =-+沿x 轴向左平移2个单位，则平移后抛物线的解析式是__． 19．在平面直角坐标系中，抛物线y ＝x 2的图象如图所示．已知A 点坐标为（1，1），过点A 作AA 1∥x 轴交抛物线于点A 1，过点A 1作A 1A 2∥OA 交抛物线于点A 2，过点A 2作A 2A 3∥x 轴交抛物线于点A 3，过点A 3作A 3A 4∥OA 交抛物线于点A 4……，依次进行下去，则点A 2021的坐标为____．20．如图，抛物线()()1244y x x =+-与x 轴交于A B 、两点，P 是以点()0,3C 为圆心，2为半径的圆上的动点，Q 是线段PA 上靠近点A 的三等分点，连结OQ ，则线段OQ 的最大值是__________．三、解答题21．抛物线y ＝2x 2＋4mx ＋m －5的对称轴为直线x ＝1，求m 的值及抛物线的顶点坐标． 22．如图，在矩形ABCD 中，AB =6cm ，BC =12cm ，点P 从点A 出发沿着AB 以每秒1cm 的速度向点B 移动；同时点Q 从点B 出发沿着BC 以每秒2cm 的速度向点C 运动．设△DPQ 的面积为S ，运动时间为t 秒．（1）用含t 的代数式表示出BP 的长为 cm ，CQ 的长为 cm ；（2）写出S 与t 之问的函数关系式；（3）当△DPQ 的面积最小时，请判断线段PQ 与对角线AC 的关系，并说明理由．23．某公司在市场销售“国耀2020”品牌手机，第一年售价定为4500元时，销售量为14百万台，根据以往市场调查经验，从第二年开始，手机每降低500元，销售量就增加2百万台，设该手机在市场销售的年份为x 年（x 为整数）． （1）根据题意，填写下表：第x 年1 2 3 … x 售价（元） 4500 4000 …销售量（百万台） 1416 … （百万元），试问该公司销售“国耀2020”手机在第几年的年销售额可以达到最大？最大值为多少百万元？（3）若生产一台“国耀2020”手机的成本为3000元，如果你是该公司的决策者，要使公司的累计总利润最大，那么“国耀2020”手机销售 年就应该停产，去创新新的手机． 24．在平面直角坐标系中，抛物线212y x bx c =++经过点(4,0)A -，点M 为抛物线的顶点，点B 在y 轴上，且OA OB =，直线AB 与抛物线在第一象限交于点()2,6C ，如图．（1）求抛物线的解析式；（2）求直线AB 的函数解析式、点M 的坐标和ABO ∠的余弦值．（3）连接OC ，若过点O 的直线交线段AC 于点P ，将AOC △的面积分成1:2的两部分，求点P 的坐标为______．25．如图，已知某二次函数的顶点坐标是(1,4)-，且经过点(4,5)A（1）求该二次函数的表达式；（2）点(,)P m n 是该二次函数图象上一点，若点P 到y 轴的距离不大于4，请根据图象直接写出n 的取值范围．26．某超市经销一种商品，每千克成本为50元．试销发现该种商品每天销售量y （千克）与销售单价x （元/千克）满足一次函数关系，其每天销售单价、销售量的四组对应值如表所示：（2）为保证某天获得600元的销售利润，则该天的销售单价应定为多少？（3）当销售单价定为多少时，才能使当天的销售利润最大？最大利润是多少？【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】利用配方法先提出二次项系数，在加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，即可把一般式转化为顶点式．【详解】解：()()22243443421y x x x x x =-+=-++-=--． 故选：C ．【点睛】此题考查了二次函数的顶点式，掌握利用配方法将二次函数一般式转化为顶点式是解题的关键．2．C解析：C【分析】由表格可得点()0,3与点()2,3是关于二次函数对称轴对称的，则有二次函数的对称轴为直线0212x +==，进而可得点()1,4是二次函数的顶点，故设二次函数解析式为()214y a x =-+，然后代入点()1,0-可得二次函数解析式，最后问题可求解．【详解】解：由表格可得点()0,3与点()2,3是关于二次函数对称轴对称的，则有二次函数的对称轴为直线0212x +==， ∴点()1,4是二次函数的顶点，设二次函数解析式为()214y a x =-+，代入点()1,0-可得：1a =-， ∴二次函数解析式为()214y x =--+， ∵该二次函数图象向左平移后通过原点，∴设平移后的解析式为()214y x b =--++， 代入原点可得：()2014b =--++，解得：123,1b b ==-(舍去)，∴该二次函数的图象向左平移3个单位长度；故选C ．【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质及平移，熟练掌握二次函数的图象与性质及平移是解题的关键． 3．B解析：B【分析】先由一次函数y ax b =+的图象得到a 、b 的正负，再与二次函数2y ax bx c =++的图象的开口方向、对称轴位置相比较即可做出判断．【详解】解：A 、由抛物线可知，a ＜0，x ＝﹣2b a ＜0，得b ＜0，由直线可知，a ＞0，b ＞0，故本选项错误；B 、由抛物线可知，a ＜0，x ＝﹣2b a ＜0，得b ＜0，由直线可知，a ＜0，b ＜0，故本选项正确；C 、由抛物线可知，a ＞0，x ＝﹣2b a ＞0，得b ＜0，由直线可知，a ＞0，b ＞0，故本选项错误；D 、由抛物线可知，a ＜0，x ＝﹣2b a＜0，得b ＜0，由直线可知，a ＜0，b ＞0，故本选项错误．故选：B ．【点睛】本题主要考查一次函数的图象、二次函数2y ax bx c =++的图象与性质，熟练掌握两函数图象与解析式的系数的关系是解答的关键．4．D解析：D【分析】由题意可得，抛物线经过点（0，1.5）和（3，0），把上述两个点坐标代入二次函数表达式，可求出a 和c 的值，则抛物线的解析式可求出，再把抛物线解析式化为顶点式即可求出水流喷出的最大高度．【详解】解：由题意可得，抛物线经过点（0，1.5）和（3，0），把上述两个点坐标代入二次函数表达式得：1.5930c a c =⎧⎨++=⎩， 解得：1232a c ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴函数表达式为：22131(1)2222y x x x =-++=--+， ∵a ＜0，故函数有最大值，∴当x=1时，y 取得最大值，此时y=2，答：水流喷出的最大高度为2米．故选：D ．【点睛】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用，要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．5．D解析：D【分析】先根据图象与x 轴的交点A ，B 的横坐标分别为﹣1，3确定出AB 的长及对称轴，再由抛物线的开口方向判断a 与0的关系，由抛物线与y 轴的交点判断c 与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【详解】解：①由抛物线的开口方向向上可推出a ＞0，∵图像与x 轴的交点A 、B 的横坐标分别为-1，3，∴对称轴x ＝1，∴当x ＝1时，y ＜0，∴a +b +c ＜0；故①正确；②∵点A 的坐标为（﹣1，0），∴a ﹣b +c ＝0，又∵b ＝﹣2a ，∴a ﹣（﹣2a ）+c ＝0，∴c ＝﹣3a ， ∴13a c =-∴结论②正确．③如图1，连接AD ，BD ，作DE ⊥x 轴于点E ， ，要使△ABD 是等腰直角三角形， 则AD ＝BD ，∠ADB ＝90°，∵DE ⊥x 轴，∴点E 是AB 的中点，∴DE ＝BE ，即|244ac b a -|()312--==2，又∵b ＝﹣2a ，c ＝﹣3a ，∴|()()24324a a a a⨯---|＝2，a ＞0， 解得a 12=， ∴只有当a 12=时，△ABD 是等腰直角三角形， 结论③正确 ④要使△ACB 为等腰三角形，则AB ＝BC ＝4，AB ＝AC ＝4，或AC ＝BC ， Ⅰ、当AB ＝BC ＝4时，在Rt △OBC 中，∵OB ＝3，BC ＝4，∴OC 2＝BC 2﹣OB 2＝42﹣32＝16﹣9＝7， 即c 2＝7，∵抛物线与y 轴负半轴交于点C ， ∴c ＜0，c 7=-，∴a 33c =-=． Ⅱ、当AB ＝AC ＝4时，在Rt △OAC 中，∵OA ＝1，AC ＝4，∴OC 2＝AC 2﹣OA 2＝42﹣12＝16﹣1＝15，即c 2＝15，∵抛物线与y 轴负半轴交于点C ，∴c ＜0，c=，∴a 33c =-=． Ⅲ、当AC ＝BC 时，∵OC ⊥AB ，∴点O 是AB 的中点，∴AO ＝BO ，这与AO ＝1，BO ＝3矛盾，∴AC ＝BC 不成立．∴使△ACB 为等腰三角形的a ． 结论④正确．故答案选：D【点睛】二次函数y ＝ax 2+bx +c 系数符号的确定：（1）a 由抛物线开口方向确定：开口方向向上，则a ＞0；否则a ＜0；（2）b 由对称轴和a 的符号确定：由对称轴公式x 2b a=-判断符，（3）c 由抛物线与y 轴的交点确定：交点在y 轴正半轴，则c ＞0；否则c ＜0；（4）b 2﹣4ac 由抛物线与x 轴交点的个数确定：①2个交点，b 2﹣4ac ＞0；②1个交点，b 2﹣4ac ＝0；③没有交点，b 2﹣4ac ＜0．6．C解析：C【分析】根据开口方向、对称轴、抛物线与y 轴的交点，确定a 、b 、c 的符号，根据抛物线对称轴确定x 1+x 2的符号，根据当x=2时，判断4a+2b+c 的符号，根据二次函数的增减性对④进行判断．【详解】解：①∵开口向上，∴a ＞0，∵对称轴在y 轴的右侧，b ＜0，抛物线与y 轴交于负半轴，c ＜0，∴abc ＞0，∴①正确；②从图象可知，抛物线对称轴为直线x=122x x +=1，则x 1+x 2=2>0，∴②错误； ③抛物线对称轴是x=1，根据抛物线得对称性可知当x=2和x=0时函数值相等， ∴y=4a+2b+c ＜0，∴③正确；④抛物线开口向上，对称轴是x=1，当x ＞1时，y 随x 的增大而增大，∴④正确； 故选：C【点睛】本题考查的是二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的性质、灵活运用数形结合思想是解题的关键，解答时，要熟练运用抛物线的对称性和抛物线上的点的坐标满足抛物线的解析式．7．C解析：C【分析】由函数图象可知a ＜0，对称轴﹣1＜x ＜0，图象与y 轴的交点c ＞0，函数与x 轴有两个不同的交点；即可得出b ﹣2a ＞0，b ＜0；△＝b 2﹣4ac ＞0；再由图象可知当x ＝1时，y ＜0，即a +b +c ＜0；当x ＝﹣1时，y ＞0，即a ﹣b +c ＞0；当x ＝﹣12时，y ＞0，即14a ﹣12b +c ＞0，即可求解．【详解】解：由函数图象抛物线开口向下，对称轴﹣1＜x ＜0，图象与y 轴的交点c ＞0， ∴a ＜0，2b a -＜0，c ＞0， ∴b ＜0，∴abc ＞0，故①正确；∵函数与x 轴有两个不同的交点，∴△＝b 2﹣4ac ＞0，故②错误； ∵2b a-＞﹣1， ∴2a ＜b ，故③错误；当x ＝1时，y ＜0，即a +b +c ＜0；当x ＝﹣1时，y ＞0，即a ﹣b +c ＞0；∴（a +b +c ）（a ﹣b +c ）＜0，即（a +c ）2＜b 2；故④正确；∵x ＝﹣12时，y ＞0， ∴14a ﹣12b +c ＞0，即a ﹣2b +4c ＞0，故⑤正确； 故选：C ．【点睛】此题考查二次函数的图象，根据图象确定式子的正负，正确理解函数图象，由图象得到相关信息，掌握二次函数的性质，根的判别式与图象的关系是解题的关键．8．C解析：C【分析】根据抛物线对称轴方程对①进行判断；由抛物线开口方向得到a ＜0，由对称轴位置可得b ＞0，由抛物线与y 轴的交点位置可得c ＞0，于是可对②进行判断；根据顶点坐标对③进行判断；根据函数图象得当1＜x ＜4时，一次函数图象在抛物线下方，则可对④进行判断；根据抛物线的对称性对⑤进行判断．【详解】∵抛物线的顶点坐标A （1，3），∴抛物线的对称轴为直线x ＝2b a-＝1， ∴2a ＋b ＝0，所以①正确；∵抛物线开口向下，∴a ＜0，∴b ＝﹣2a ＞0，∵抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，∴c ＞0，∴abc ＜0，所以②错误；∵抛物线的顶点坐标A （1，3），∴x ＝1时，二次函数有最大值，∴方程ax 2＋bx ＋c ＝3有两个相等的实数根，所以③正确；∵抛物线y 1＝ax 2＋bx ＋c 与直线y 2＝mx ＋n （m≠0）交于A （1，3），B 点（4，0）， ∴当1＜x ＜4时，y 2＜y 1，所以④正确．∵抛物线与x 轴的一个交点为（4，0），而抛物线的对称轴为直线x ＝1，∴抛物线与x 轴的另一个交点为（﹣2，0），所以⑤错误；故选：C ．【点睛】本题主要考查了二次函数的图像、一次函数图像、二次函数的图象与系数的关系等知识，考查知识点较多，解答的关键在于读懂图象信息，掌握二次函数知识，灵活运用所学知识解决问题． 9．A解析：A【分析】画出函数图象，利用图象法解决问题即可；【详解】解：∵抛物线的对称轴为422x -=-=，抛物线与x 轴交于点A 、B ．如图，设点A 、B 的横坐标分别为12x x 、，124x x +=，2121x x m =+，∴()()()22212121241641x x x x x x m -=+-=-+， ∵210m +>，∴()212x x -的最小值为16， ∴AB ＜4，∵当自变量x 取a 时，其相应的函数值y ＜0，∴可知a 表示的点在A 、B 之间，∴40a -<，故选：A ．【点睛】本题考查了二次函数的性质，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键． 10．C解析：C【分析】根据利润=数量×每件的利润就可以求出关系式，根据（1）的解析式，将其转化为顶点式，根据二次函数的顶点式的性质就可以求出结论．【详解】解：依题意得：y=（30-20+x ）（240-10x ）y=-10x 2+140x+2400．∵每件首饰售价不能高于40元．∴0≤x≤10．∴求y 与x 的函数关系式为：y=-10x 2+140x+2400，x 的取值范围为0≤x≤10；∴y=-10（x-7）2+2890．∴a=-10＜0．∴当x=7时，y 最大=2890．∴每件首饰的售价定为：30+7=37元．∴每件首饰的售价定为37元时，可使月销售利润最大，最大的月利润是2890元． 故选C ．【点睛】本题考查了二次函数的解析式的运用，根据解析式的函数值求自变量的值的运用，二次函数的顶点式的性质的运用，解答时求出二次函数的解析式是关键．11．B解析：B【分析】根据抛物线的性质逐条判断即可．【详解】解：抛物线22()1y x =-+是二次函数的顶点式，由此可知，抛物线开口向上，对称轴是2x =，顶点坐标是(2,1)，故A 、C 、D 正确，不符合题意；∵抛物线顶点在第一象限，开口向上，∴抛物线与x 轴没有交点，故B 错误，符合题意；故选：B ．【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，解题关键是熟知抛物线顶点式的意义，根据顶点位置和开口确定与x 轴是否有交点． 12．C解析：C【分析】根据函数的图像分别确定各项系数的正负,再由对称轴和与x 轴的交点即可解题.【详解】∵抛物线开口向上，∴a>0，∵抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，∴c<0，抛物线的对称轴为直线x=-b 2a =10>，即02<b a0a >0b ∴<∴ab<0，所以①正确；∵抛物线与x 轴有2个交点，∴△=b 2-4ac>0，所以②正确；∵x=1时，y<0，∴a+b+c<0，而c<0，∴a+b+2c<0，所以③正确；∵抛物线的对称轴为直线x=-b=1，2a∴b=-2a，而x=-1时，y>0，即a-b+c>0，a c+>所以④错误．∴a+2a+c>0，即30故选C．【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质,属于简单题,熟悉二次函数的图像性质是解题关键.二、填空题13．（2-4）【分析】首先根据二次函数解析式写成顶点式可得顶点坐标再根据平移得性质得出平移后得顶点坐标即可【详解】∵y=x2-4x+3=（x-2）2-1∴顶点坐标为（2-1）∵将抛物线y=x2-4x+3解析：（2，-4）【分析】首先根据二次函数解析式写成顶点式，可得顶点坐标，再根据平移得性质得出平移后得顶点坐标即可．【详解】∵y=x2-4x+3=（x-2）2-1，∴顶点坐标为（2，-1），∵将抛物线y=x2-4x+3沿y轴向下平移3个单位，∴平移后得抛物线得顶点坐标为（2，-4），故答案为：（2，-4）【点睛】本题考查了抛物线的平移与抛物线解析式的关系，关键是把抛物线的平移转化为顶点的平移．14．m≥﹣3【分析】由于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝m有实数根可得y＝ax2＋bx＋c（a≠0）和y=m有交点由此即可解答【详解】解：∵二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的顶点的纵坐标为－3∴解析：m≥﹣3【分析】由于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝m有实数根，可得y＝ax2＋bx＋c（a≠0）和y=m有交点，由此即可解答．【详解】解：∵二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的顶点的纵坐标为－3，∴当关于x的方程ax2＋bx＋c＝m有实数根时，即抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）和直线y=m有交点，∴m≥﹣3故答案为：m≥﹣3【点睛】本题考查了一元二次方程与二次函数，根据一元二次方程有实数根可得y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）和y=m 有交点是解决问题的关键．15．②③④【分析】由抛物线的性质和对称轴是分别判断abc 的符号即可判断①；抛物线与x 轴有两个交点可判断②；由得令求函数值即可判断③；令时则令时即可判断④；然后得到答案【详解】解：根据题意则∵∴∴故①错误解析：②③④【分析】由抛物线的性质和对称轴是1x =，分别判断a 、b 、c 的符号，即可判断①；抛物线与x轴有两个交点，可判断②；由12b x a=-=，得2b a =-，令2x =-，求函数值，即可判断③；令2x =时，则420y a b c =++>，令1x =-时，0y a b c =-+>，即可判断④；然后得到答案．【详解】解：根据题意，则0a <，0c >， ∵12b x a=-=， ∴20b a =->， ∴0abc <，故①错误；由抛物线与x 轴有两个交点，则240b ac ->，故②正确；∵2b a =-，令2x =-时，420y a b c =-+<，∴80a c +<，故③正确；在2y ax bx c =++中，令2x =时，则420y a b c =++>，令1x =-时，0y a b c =-+>，由两式相加，得520a b c ++>，故④正确；综上，正确的结论有：②③④；故答案为：②③④．【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，熟练判断各个式子的符号． 16．y=-3x2+4【分析】根据二次函数的性质利用待定系数法求解【详解】解：由题意可设所求函数为：∵所求函数经过点(11)∴∴c=4∴所求函数为：故答案为【点睛】本题考查二次函数的应用熟练掌握利用待定系解析：y=-3x 2+4【分析】根据二次函数的性质，利用待定系数法求解．【详解】解：由题意可设所求函数为：23y x c =-+，∵所求函数经过点(1，1)，∴2131c =-⨯+，∴c=4，∴所求函数为：234y x =-+，故答案为234y x =-+．【点睛】本题考查二次函数的应用，熟练掌握利用待定系数法求二次函数解析式是解题关键． 17．10【分析】根据铅球落地时高度y=0实际问题可理解为当y=0时求x 的值即可【详解】解：令函数式中y=00=解得x1=10x2=-2（舍去）即铅球推出的距离是10m 故答案为：10【点睛】本题考查了二次解析：10【分析】根据铅球落地时，高度y=0，实际问题可理解为当y=0时，求x 的值即可．【详解】 解：令函数式()21184105y y x ==--+中，y=0， 0=()21184105x --+， 解得x 1=10，x 2=-2（舍去），即铅球推出的距离是10m ．故答案为：10．【点睛】本题考查了二次函数的应用，取函数或自变量的特殊值列方程求解是解题的关键． 18．y=x2-1【分析】先把抛物线写成顶点式再写出平移后的顶点根据顶点式可求平移后抛物线的解析式【详解】解：∴原抛物线顶点坐标为(2-1)向左平移2个单位平移后抛物线顶点坐标为(0-1)∴平移后抛物线解解析：y=x 2-1【分析】先把抛物线写成顶点式，再写出平移后的顶点，根据顶点式可求平移后抛物线的解析式．【详解】解：()22-4+3-2-1y x x x ==，∴原抛物线顶点坐标为(2，-1)，向左平移2个单位，平移后抛物线顶点坐标为(0，-1)， ∴平移后抛物线解析式为：21y x =-，故答案为：21y x =-．【点睛】本题考查了抛物线的平移与抛物线解析式的关系，关键是把抛物线的平移转化为顶点的平移，运用顶点式求抛物线的解析式． 19．（-101110112）【分析】根据二次函数性质可得出点A1的坐标求得直线A1A2为y=x+2联立方程求得A2的坐标即可求得A3的坐标同理求得A4的坐标即可求得A5的坐标根据坐标的变化找出变化规律即解析：（-1011，10112）【分析】根据二次函数性质可得出点A 1的坐标，求得直线A 1A 2为y=x+2，联立方程求得A 2的坐标，即可求得A 3的坐标，同理求得A 4的坐标，即可求得A 5的坐标，根据坐标的变化找出变化规律，即可找出点A 2021的坐标．【详解】解：∵A 点坐标为（1，1），∴直线OA 为y=x ，A 1（-1，1），∵A 1A 2∥OA ，∴直线A 1A 2为y=x+2，解22y x y x +⎧⎨⎩＝＝ 得11x y -⎧⎨⎩＝＝或24x y ⎧⎨⎩＝＝， ∴A 2（2，4），∴A 3（-2，4），∵A 3A 4∥OA ，∴直线A 3A 4为y=x+6，解26y x y x +⎧⎨⎩＝＝， 得24x y -⎧⎨⎩＝＝或39x y ⎧⎨⎩＝＝， ∴A 4（3，9），∴A 5（-3，9）…，∴A 2021（-1011，10112），故答案为（-1011，10112）．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、一次函数的图象以及交点的坐标，根据坐标的变化找出变化规律是解题的关键．20．【分析】当BCP 三点共线且C 在BP 之间时BP 最大连接PB 此时△OAQ ∽△BAP 且相似比为1:3由此即可求得求出BP 的最大值即可求解【详解】解：如下图所示连接BP 当BCP 三点共线且C 在BP 之间时BP 最 解析：73【分析】当B 、C 、P 三点共线，且C 在BP 之间时，BP 最大，连接PB ，此时△OAQ ∽△BAP ，且相似比为1:3，由此即可求得13=OQ BP ，求出BP 的最大值即可求解． 【详解】 解：如下图所示，连接BP ，当B 、C 、P 三点共线，且C 在BP 之间时，BP 最大，令()()12404=+-=y x x ，求得1224，==x x ， ∴B(4,0)，A(-2,0)， ∵21===63AO AQ AB AP，且∠QAO=∠PAB ， ∴△OAQ ∽△BAP ， ∴13=OQ BP ，故只要BP 最大，则OQ 就最大， 此时BP 最大值为：224327++=BC CP ， ∴OQ 的最大值为：73． 【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点坐标，相似三角形的性质和判定，本题的关键是根据圆的基本性质，确定BP 的最大值，进而求解．三、解答题21．m 的值是－1，抛物线的顶点坐标是(1，－8)．【分析】根据y=2x 2+4mx+m-5的对称轴为直线x=1，可以求得m 的值，然后代入原来的解析中，将解析式化为顶点式即可解答本题．【详解】解：∵y ＝2x 2＋4mx ＋m －5的对称轴为直线x ＝1，∴－422m ＝1， 解得m ＝－1， ∴y ＝2x 2－4x －6＝2(x －1)2－8，∴此抛物线的顶点坐标为(1，－8)，∴m 的值是－1，抛物线的顶点坐标是(1，－8)．【点睛】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是知道抛物线的对称轴是直线x=-2b a ，由二次函数的顶点式可以写出它的顶点坐标．22．（1）(6-t)，(12-2t)；（2）S=t 2-6t+36；（3）PQ ∥AC ，理由见解析【分析】（1）由题意可得出答案；（2）根据△PQD 的面积=矩形ABCD 的面积-△APD 的面积-△PBQ 的面积-△CDQ 的面积可得出答案；（3）由二次函数的性质及中位线定理可得出答案．【详解】解：（1）根据题意得：AP=t(cm)，BQ=2t(cm)，则BP=(6-t)cm ，CQ=(12-2t)cm ，故答案为：(6-t)，(12-2t)；（2）∵BP=6-t(cm)，CQ=12-2t(cm)，∴△PQD 的面积=矩形ABCD 的面积-△APD 的面积-△PBQ 的面积-△CDQ 的面积 =12×6-12×12t-12×2t×(6-t)-12×6(12-2t) =t 2-6t+36，∴S=t 2-6t+36；（3）∵S=t 2-6t+36=(t-3)2+27，且1＞0，∴当t=3时，S 最小；即经过3s 时，△PQD 的面积最小，此时，PQ ∥AC ．理由：∵t=3，∴AP=PB=3(cm)，CQ=BQ=6(cm)，∴PQ ∥AC ．．【点睛】本题考查了矩形的性质，二次函数的最值，中位线定理，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．23．（1）见解析；（2）第二年销售额最大，为64000百万元；（3）四【分析】（1）根据题意填写表格即可；（2）由题意得：W ＝（2x ＋12）（﹣500x ＋5000）＝﹣1000（x ﹣2）2＋64000，进而求解；（3）由题意得：（2x ＋12）（﹣500x ＋5000﹣3000）＝0，通过解方程即可求解．【详解】（1）根据题意，填写下表： 第x 年1 2 3 … x 售价（元）4500 4000 3500 … ﹣500x ＋5000 销售量（百万台） 14 16 18 …2x ＋12 ∵﹣1000＜0，故抛物线开口向下，W 有最大值，当x ＝2（年）时，W 最大值为64000（百万元），第二年销售额最大，为64000百万元；（3）由题意得：（2x ＋12）（﹣500x ＋5000﹣3000）＝0，﹣1000（x ＋1）2＋25000＝0，∴x 1＝4，x 2＝﹣6（舍），∴第四年该手机应该停产，【点睛】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用，解题关键是读懂题意，确定变量，建立函数模型，利用函数的增减性来解答．24．（1）2122y x x =+；（2）4y x =+，()2,2M --，2cos 2ABO ∠=；（3）(2,2)P -或(0,4)【分析】（1）将点A 、C 的坐标代入抛物线表达式，求出b 、c 的值，即可求解抛物线的解析式； （2）点A （−4，0），OB ＝OA ＝4，故点B （0，4），利用待定系数法求出AB 的表达式，并根据二次函数关系式，可求得点M 的坐标，并由函数关系式得ABO ∠的度数，即可求出ABO ∠的余弦值；（3）OP 将△AOC 的面积分成1：2的两部分，则可利用高相等时，面积比等于底之比得13AP AC =或23AC ，得出13p c y y =或23p c y y =，即可求解． 【详解】解：（1）将点A 、C 的坐标代入抛物线表达式得：11640214262b c b c ⎧⨯-+=⎪⎪⎨⎪⨯++=⎪⎩， 解得20b c =⎧⎨=⎩， 故抛物线的解析式为：2122y x x =+． （2）点(4,0)A -，4OB OA ==，故点(0,4)B ，设直线AB 的解析式为y ＝kx ＋4，将点A 坐标代入得，−4k ＋4＝0，∴k ＝1．∴直线AB 的表达式为：y ＝x ＋4． 对于2122y x x =+，函数的对称轴为2x =-，故点()2,2M --， 则45ABO ∠=︒，故cos ABO ∠=（3）∵OP 将AOC △的面积分成1:2的两部分， ∴13OAP OAC S S =△△或23OAP OAC S S =△△， 则13AP AC =或23AP AC =． ①13AP AC =，则13p c y y =， 即163p y =．解得2p y =．当2p y =时，42x +=解得2x =-， ②23AP AC =，则23p c y y =， 即236py =． 解得4p y =．当4p y =时，44x +=，解得0x =，故点(2,2)P -或(0,4)．故答案为：(2,2)P -或(0,4)．【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法求函数的解析式、二次函数的图象与性质、面积的计算等，掌握待定系数法、二次函数的图象与性质等相关知识并能灵活应用其解决问题是解题的关键．25．（1）223y x x =--；（2）421n -．【分析】（1）设二次函数的解析式是y=a （x-h ）2+k ，先代入顶点A 的坐标，再把B 的坐标代入，即可求出a ，即可得出解析式；（2）由点P 到y 轴的距离不大于4，得出 ，结合二次函数的图象可知，请根据图象直接写出n 的取值范围．【详解】解：（1）某二次函数的顶点坐标是(1,4)-，且经过点(4,5)A ，设二次函数的解析式为2(1)4y a x =--，把(4,5)A 代入得：25(41)4a =--解得：1a =，所以函数表达式为：223y x x =--．（2）点P 到y 轴的距离为||m ，∴||m ≤4，∴44m -，∵2223(1)4y x x x =--=--，在44m -时，当m=1时，有最小值n=-4；当m=-4时，有最大值n=21，∴421n -．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的表达式，二次函数求最值，二次函数图象和性质的应用，求二次函数的取值范围，掌握二次函数的图象和性质的应用是解题的关键． 26．（1）2180y x =-+；（2）60元或80元；（3）70元，最大利润800元【分析】（1）利用待定系数法来求一次函数的解析式即可；（2）依题意可列出关于销售单价x 的方程，然后解一元二次方程组即可；（3）利用每件的利润乘以销售量可得总利润，然后根据二次函数的性质来进行计算即可．【详解】解：（1）设y 与x 之间的函数表达式为y=kx+b （k≠0），将表中数据（55，70）、（70，40）代入得：55707040k b k b +⎧⎨+⎩＝＝， 解得：2180k b -⎧⎨⎩＝＝． ∴y 与x 之间的函数表达式为y=-2x+180．（2）由题意得：（x-50）（-2x+180）=600，整理得：x 2-140x+4800=0，解得x 1=60，x 2=80．答：为保证某天获得600元的销售利润，则该天的销售单价应定为60元/千克或80元/千克．（3）设当天的销售利润为w 元，则：w=（x-50）（-2x+180）=-2（x-70）2+800，∵-2＜0，∴当x=70时，w 最大值=800．答：当销售单价定为70元/千克时，才能使当天的销售利润最大，最大利润是800元．【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式、一元二次方程和二次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系是解题的关键．。

新人教版初中数学九年级数学下册第二单元《相似》检测卷(有答案解析)

新人教版初中数学九年级数学下册第二单元《相似》检测卷(有答案解析)

一、选择题1．在ABC 中，D ，E 分别为,BC AC 上的点，且2AC EC =，连结,AD BE ，交于点F ，设:,:x CD BD y AF FD ==，则（ ）A ．1y x =+B ．1x y x += C ．413yx =+ D ．21x y x -=- 2．如图，一次函数y ＝﹣2x +10的图象与反比例函数y ＝k x（k ＞0）的图象相交于A 、B 两点（A 在B 的右侧），直线OA 与此反比例函数图象的另一支交于另一点C ，连接BC 交y 轴于点D ，若52BC BD =，则△ABC 的面积为（ ）A ．12B ．10C ．9D ．83．如图，在ABC 中，中线BE ，CD 相交于点O ，连接DE ，下列结论：①12DE BC =；②12S S =△DOE △COB ；③AD OE AB OB=；④16ODE ADC S S =△△．其中结论正确的是（ ）．A ．①②B ．①③C ．①②③D ．①③④ 4．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO 的边CO 、OA 分别在x 轴、y 轴上，点E 在边BC 上，将该矩形沿AE 折叠，点B 恰好落在边OC 上的F 处.若()0,8A ，4CF =，则点E 的坐标是（ ）A ．()8,4-B ．()10,3-C ．()10,4-D ．()8,3- 5．如图，练习本中的横格线都平行且相邻两条横格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点A ，B ，C 都在横格线上．若线段AB ＝6，则线段AC 的长为（ ）A ．12B ．18C ．24D ．306．若点C 为线段AB 的黄金分割点，且AC BC >，则下列各式中不正确的是（ ）． A ．::AB AC AC BC =B ．35BC AB -= C ．512AC AB +=D ．0.618AC AB ≈7．如图△BCD 中，BE ⊥CD ，AE ＝CE=3，BE ＝DE=4．BC=5，DA 的延长线交BC 于F ，则AF=（ ）A ．1B ．0.6C ．1.2D ．0.88．有下列四种说法：其中说法正确的有（ ）①两个菱形相似；②两个矩形相似；③两个平行四边形相似；④两个正方形相似． A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个9．下列条件中，不能判断△ABC 与△DEF 相似的是（ ）A ．∠A =∠D ，∠B =∠FB ．BC AC EF DF =且∠B =∠D C ．AB BC AC DE EF DF== D ．AB AC DE DF =且∠A =∠D10．如图，AB 为⊙O 的直径，AC 交⊙O 于E 点，BC 交⊙O 于D 点，CD ＝BD ，∠C ＝70°，现给出以下四个结论：①∠A ＝45°；②AC ＝AB ；③AE =BE ；④2CE •AB ＝BC 2，其中正．确．结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个11．大自然巧夺天工，一片小心树叶也蕴含着“黄金分割”．如图，P 为AB 的黄金分割点（AP >PB ），如果AP 的长度为8cm ，那么AB 的长度是（ ）A ．45-4B ．12-45C ．12+45D ．45+4 12．如图，D 、E 分别是△ABC 的边AB 、BC 上的点，且DE ∥AC ，AE 、CD 相交于点O ，若S △DOE ：S △COA =1：9，则S △BDE ：S △CDE 的值是（ ）．A ．1：2B ．1：3C ．1：4D ．2：5二、填空题13．如图，D 是AC 上一点，//BE AC ，BE AD =，AE 分别交BD 、BC 于点F 、G ，12∠=∠．若8DF =，4FG =，则GE =________．14．如图，△ABC 中，D 在AC 上，且AD ：DC=1:n ，E 为BD 的中点，AE 的延长线交BC 于F ，那么FC:BF 的值为______（用含有n 的代数式表示）．15．如图，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点A ，在近岸取点B ，C ，D ，使得AB BC ⊥，CD BC ⊥，点E 在BC 上，并且点A ，E ，D 在同一条直线上．若测得20BE m =，10EC m =，20CD m =，则河的宽度AB 等于_______．16．如图，在ABC 纸片中，13AB AC ==，24BC =，D 是BC 边上任意一点，将ABD △沿AD 折叠得到AED ，AE 交BC 于点F ，当DEF 是直角三角形时，则BD 的长为________．17．目前，某市正积极推进“五城联创”，其中扩充改造绿地是推进工作计划之一．现有一块直角三角形绿地，量得两直角边长分别为a=3米和b=4米，现要将此绿地扩充改造为等腰三角形，且扩充部分为含以b 为直角边的直角三角形，则扩充后等腰三角形的周长为____________米18．已知⊙O 的半径为2，A 为圆上一定点，P 为圆上一动点，以AP 为边作等腰Rt △APG ，P 点在圆上运动一周的过程中，OG 的最大值为____．19．如图，在ABC 中，点D 是线段BC 的黄金分割点（DC BD >），若ABD △的面积是252，则ABC 的面积是_______．20．如图，已知△ABC 中，∠B ＝90°，BC ＝3，AB ＝4，D 是边AB 上一点，DE ∥BC 交AC 于点E ，将△ADE 沿DE 翻折得到△A ′DE ，若△A ′EC 是直角三角形，则AD 长为_____．三、解答题21．在如图所示的12个小正方形组成的网格中，ABC 的三个顶点都在小正方形的顶点上．仅用无刻度的直尺按要求完成下列作图．（1）在图1网格中找格点D ，作直线BD ，使直线BD 与AC 的交点P 是AC 的中点． （2）在图2网格中找格点E ，作直线BE 交AC 于点Q ，使得CQ CB =．22．如图，在边长为1的55⨯的正方形网格上有两个三角形，它们顶点都在格点上．（1）ABC 与DEF 是否相似？请说明理由．（2）请在空白网格上画出MNP ABC △∽△，并指出相似比．（要求MNP △三个顶点都在格点上，并与ABC ，DEF 都不全等）MNP ABC △∽△，相似比为__________．23．如图，在1010⨯的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，建立如图所示的坐标系，ABC 的三个顶点均在格点上．（1）若将ABC 沿x 轴对折得到111A B C △，则1C 的坐标为________．（2）以点B 为位似中心，将ABC 各边放大为原来的2倍，得到22A BC ，请在这个网格中画出22A BC ．（3）在（2）的条件下，求22A BC 的面积是多少？24．已知平行四边形ABCD 中6AB =，AE 与BC 延长线相交于E 、与CD 相交于F ，2EF AF =，求FD 的长度．25．阅读下面材料（问题情境）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图①．在△ABC 中，若AB =8，AC =6，求BC 边上的中线AD 取值范围，小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD 到点E ，使DE =AD ，请根据小明方法思考：（1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是（）A．SSS B．SAS C．AAS D．HL（2）由三角形三边的关系可求得AD长的取值范围是（）A．6＜AD＜8B．6≤AD≤8C．1＜AD＜7D．1≤AD≤7（解后感悟）解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到一个三角形中．（灵活运用）如图②，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF若EF=4，EC=3，求线段BF的长．26．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是边长为2的正方形，顶点A，C分别，连接CQ并延长CQ交边在x，y轴的正半轴上．点Q在对角线OB上，且QO OCAB于点P．求点P的坐标．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【分析】过D作DG∥AC交BE于G，可得△BDG∽△BCE，△DGF∽△AEF，根据相似三角形的性质可得x 与y 的数量关系.【详解】解：如图，过D 作DG ∥AC 交BE 于G ，∴△BDG ∽△BCE ，△DGF ∽△AEF ， ∴BD DG BC CE =，DG DF AE AF =， ∵AC ＝2EC ，∴AE ＝CE ，则BD DF BC AF = ∴BD DF BD CD AF =+， ∴BD CD AF BD DF+=， ∵x ＝CD ：BD ，y ＝AF ：FD ，∴1+x ＝y ，∴y ＝x +1，故选：A ．．【点睛】本题考查相似三角形的性质和应用，恰当作辅助线构建相似三角形是解题的关键． 2．B解析：B【分析】过点B 作BM y ⊥轴于M ，过点C 作CN y ⊥轴于N ，连接AD ，则//BM CN ，可证得23BM BC CN CD ==，设点2,2k B x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，点3,3k C x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭．根据对称性可得点3,3k A x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由已知可求得A 、B 、C 的坐标，则可求得直线BC 的解析式，进而求得点D 、F 的坐标，由ABD ADF BDF S S S -=△△△及:2:5ABD ABC S S =△△可求得ABC S．【详解】 过点B 作BM y ⊥轴于M ，过点C 作CN y ⊥轴于N ，连接AD ，如图，则有//BM CN ，∴BMD CND ∽，又52BC BD = ∴23BM BD CN CD ==， 设点2,2k B x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，点3,3k C x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭．根据对称性可得点3,3k A x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭． ∵点A ，B 在直线AB 上， ∴2210223103k x x k x x⎧=-⨯+⎪⎪⎨⎪=-⨯+⎪⎩ ∴解得：112x k =⎧⎨=⎩， ∴点()3,4A ，点()2,6B 、点()3,4C --．设直线BC 的解析式为y=mx+n ，则有：2634m n m n +=⎧⎨-+=-⎩， 解得：22m n =⎧⎨=⎩， ∴直线BC 解析式为22y x =+，∴点()0,2D ，∵点F 是直线AB 与y 轴的交点，∴点()0,10F∴()()10232102224ABD ADF BDF S S S -==-⨯÷--⨯÷=△△△又∵:2:5ABD ABC S S =△△， ∴55S 41022ABC ABD S ==⨯=， 故选：B ．【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的图象交点问题、待定系数法求一次函数解析式、相似三角形的判定与性质、直线上点的坐标特征、等高三角形的面积比等于底的比等知识，求出点A 、B 的坐标和作辅助线借助相似三角形解决问题是解答的关键．3．D解析：D【分析】先判断DE 为ABC 的中位线，则根据三角形中位线性质得到//DE BC ，12DE BC =，于是可对①进行判断；证明DOE △∽COB △，利用相似比得到12OE DE OD OB BC OC ===，14DOE COB S S =△△，则可对②进行判断；加上12AD AB =，则可对③进行判断；利用三角形面积公式得到13ODE DCE S S =△△，12DCE ADC S S =△△，则可对④进行判断．【详解】解：∵BE 、CD 为ABC 的中线，∴DE 为ABC 的中位线，∴//DE BC ，12DE BC =，所以①正确； ∵//DE BC ，∴DOE △∽COB △， ∴12OE DE OD OB BC OC ===，214DOE COB S DE S CB ⎛⎫== ⎪⎝⎭△△，所以②错误； ∵12AD AB =， ∴AD OE AB OB=，所以③正确； ∵:1:2OD OC =， ∴13ODE DCE S S =△△， ∵AE CE =， ∴12DCE ADC S S =△△， ∴16ODE ADC S S =△△，所以④正确． 故选D ．【点睛】本题考查相似三角形的性质和判定，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质和判定定理．4．B解析：B【分析】根据题意可求得CE 、OF 的长度，根据点E 在第二象限，从而可以得到点E 的坐标．【详解】解：∵四边形ABCO 是矩形∴90ECF FOA B ∠=∠=∠=︒∵将该矩形沿AE 折叠，点B 恰好落在边OC 上的F 处.若()0,8A∴90AFE B ∠=∠=︒∴90CEF CFE OFA CFE ∠+∠=∠+∠=︒∴CEF OFA ∠=∠∴Rt ECF Rt FOA ∽根据题意可设CE x =，则8BE x =-，则8BE x =-∵4CF =∴在Rt ECF △中，()22248x x +=- ∴3x =根据题意可设OF y =∵Rt ECF Rt FOA ∽ ∴CE CF OF OA= ∴348y = ∴6y =∴6OF =∴10CO CF OF =+=∴点E 的坐标为()10,3-．故选：B【点睛】本题考查了勾股定理、矩形的性质、翻折变换、坐标与图形变化（轴对称）、相似三角形的判定和性质等知识点，解题的关键是明确题意找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想进行解答．5．C解析：C【分析】根据已知图形构造相似三角形，进而得出△ABD ∽△ACE ，即可求出AC 的长．【详解】解：如图所示：过点A 作平行线的垂线，交点分别为D ，E ，可得：△ABD ∽△ACE ， 则AB AD AC AE =， 即628AC =， 解得：AC=24，故选：C ．【点睛】此题主要考查了相似三角形的应用，根据题意得出△ABD ∽△ACE 是解题关键． 6．C解析：C【分析】根据黄金分割点的定义逐项排除即可．【详解】解：∵点C 为线段AB 的黄金分割点，且AC BC >，∴2AC BC AB =⋅，∴::AB AC AC BC =，则选项A 正确；∵点C 为线段AB 的黄金分割点，且AC BC >， ∴510.618AC AB -=≈，则选项C 错误；选项D 正确； 5135BC AB AC AB AB AB --=-=-=，则选项B 正确. 故选：C ．【点睛】 本题考查了成比例线段，熟练掌握黄金分割的定义成为解答本题关键．7．B解析：B【分析】根据条件和判断Rt △CEB ≌Rt △AED ，然后得到角相等，证明△BEC ∽△BFA ，利用比例关系计算．【详解】解：∵AE=3，BE=4∴BA=BE-AE=1∴在Rt △CEB 与Rt △AED 中AE CE AD CB =⎧⎨=⎩∴Rt △CEB ≌Rt △AED∴∠EBC=∠BAF∵∠ADE+∠EAD=90°，∠BAF=∠EAD∴∠EBC+∠BAF=90°∵∠BEC=∠BFA=90°∴△BEC ∽△BFA ∴AF BA CE BC =即135AF = ∴AF=0.6故选：B【点睛】本题考查相似和全等的结合，通过全等得到角关系，然后证相似得到比例关系计算边长即可．．8．D解析：D【分析】直接利用相似图形的判定方法分别判断得出答案．【详解】解：①两个菱形不一定相似，因为对应角不一定相等；②两个矩形不一定相似，因为对应边不一定成比例；③两个平行四边形不一定相似，因为形状不一定相同；④两个正方形相似，正确．故选：D ．【点睛】本题考查了相似多边形的判定，正确掌握判定方法是解题的关键．9．B解析：B【分析】直接根据三角形相似的判定方法分别判断得出答案．【详解】解：A 、A D ∠=∠，B F ∠=∠，根据有两组角对应相等的两个三角形相似，可以得出ABC DFE ∽△△，故此选项不合题意；B 、BC AC EF DF =，且BD ∠=∠，不是两边成比例且夹角相等，故此选项符合题意； C 、AB BC AC DE EF DF ==，根据三组对应边的比相等的两个三角形相似，可以得出ABC DEF ∽△△，故此选项不合题意；D 、AB AC DE DF=且A D ∠=∠，根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，可以得出ABC DEF ∽△△，故此选项不合题意；故选：B ．【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定，关键是掌握三角形相似的判定方法：（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似． 10．B解析：B【分析】连结AD 、BE ，DE ，如图，根据圆周角定理得∠ADB=90°，则AD ⊥BC ，加上CD=BD ，根据等腰三角形的判定即可得到AC ＝AB ；再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可计算出∠BAC=40°；由AB 为直径得到∠AEB=90°，则∠ABE=50°，根据圆周角定理可判断AE BE ≠；接着证明△CED ∽△CBA ，利用相似比得到CD CE AC BC=，然后利用等线段代换即可判断④．【详解】解：连接AD ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB=90°．∵CD=BD ，∴AD 是BC 的垂直平分线，∴AC=AB ，故②正确；∵AC=AB ，∴∠ABC=∠C=70°，∴∠BAC=40°，故①错误；连接BE ，DE ，∵AB 为⊙O 的直径，∴∠AEB=90°，∵∠BAC=40°，∴∠ABE=50°，∴∠BAC≠∠ABE ，∴AE≠BE ，∴AE BE ≠，故③错误；∵四边形ABDE 是圆内接四边形，∴∠CDE=∠CAB ，∴△CDE ∽△CAB ， ∴CD CE AC BC=， ∴CE•A C=CD·BC ， ∴CE•AB=12BC·BC ， ∴2CE •AB ＝BC 2，故④正确．故选B ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，圆周角定理，根据题意作出辅助线，构造出圆周角是解题的关键．11．D解析：D【分析】根据黄金分割的定义得到AB ，然后把AP=8代入后可求出AB 的长． 【详解】∵P 为AB 的黄金分割点（AP ＞PB ），∴AB ，∴)8414==（cm ）， 故选：D ．【点睛】本题考查了黄金分割以及分母有理化．把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC ＞BC ），且使AC 是AB 和BC 的比例中项（即AB ：AC=AC ：BC ），叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点．其中AB ．并且线段AB 的黄金分割点有两个．12．A解析：A【分析】根据DE ∥AC 可得到△DOE ∽△COA 和△DBE ∽△ABC ，再根据相似三角形的性质即可得出12BE EC =，再根据同高三角形的面积比等于底之比即可求出． 【详解】∵DE ∥AC∴△DOE ∽△COA ，△DBE ∽△ABC∵S △DOE ：S △COA =1：9 ∴13DE AC = ∴13DE BE AC BC == ∴12BE EC = ∴S △BDE ：S △CDE =1：2故答案选A ．【点睛】本题主要考察了相似三角形的性质，准确记住面积比等于相似比平方是解题关键．二、填空题13．12【分析】利用AAS 判定△FEB ≌△FAD 得BF=DF 根据有两组角对应相等的两个三角形相似可得到△BFG ∽△EFB 根据相似三角形的对应边成比例即可得到BF2=FG•EF 由条件可求出EF 长则GE 长可解析：12【分析】利用AAS 判定△FEB ≌△FAD ，得BF=DF ，根据有两组角对应相等的两个三角形相似，可得到△BFG ∽△EFB ，根据相似三角形的对应边成比例即可得到BF 2=FG•EF ，由条件可求出EF 长，则GE 长可求出．【详解】解：∵AD//BE ，∴∠1=∠E ．在△FEB 和△FAD 中1E EFB AFD BE AE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△FEB ≌△FAD ；∵∠1=∠E ，∠1=∠2，∴∠2=∠E ．又∵∠GFB=∠BFE ，∴△BFG ∽△EFB ， ∴BF FG EF BF=， ∴BF 2=FG•EF ，∴DF 2=FG•EF ，∵DF=8，FG=4，∴EF=16， ∴GE=EF-FG=16-4=12．故答案为：12．【点睛】 本题考查了三角形全等、相似的性质和判定，熟练掌握全等三角形的判定及相似三角形的判定是关键．14．n+1【分析】作DG 平行于AF 交BC 于G 由平行线分线段成比例定理比例的性质求得；然后根据三角形中位线的定义知BF=FG 所以由等量代换证得结论【详解】证明：如图作交BC 于G ∵AD ：DC=1：n ∴AD ：解析：n+1【分析】作DG 平行于AF 交BC 于G ．由平行线分线段成比例定理、比例的性质求得1AC FC n AD FG==+；然后根据三角形中位线的定义知BF=FG ，所以由等量代换证得结论． 【详解】证明：如图，作//DG AF 交BC 于G∵AD ：DC=1：n ，∴AD ：AC=1：（n+1）．∵//DG AF ，∴AC FC CD GC=， 根据比例的性质知，1AC FC n AD FG ==+， 又E 是BD 的中点，∴EF 是△BGD 的中位线，∴FC:BF=FC BF =1FC n FG=+． 故填：n+1．【点睛】 本题考查了平行线分线段成比例．列比例式时，一定要找准对应线段，以防错解． 15．【分析】易证△ABE ∽△DCE 即可求得【详解】∵∠ABE=∠DCE=90°∠BEA=∠DEC ∴△ABE ∽△DCE ∴即故答案为：【点睛】本题考查相似三角形的实际应用掌握相似三角形的判定定理是解题的关键 解析：40m【分析】易证△ABE ∽△DCE ，即可求得．【详解】∵∠ABE=∠DCE=90°，∠BEA=∠DEC∴△ABE ∽△DCE ∴=AB BE CD CE即20=2010AB cm m cm =40AB m故答案为：40m【点睛】本题考查相似三角形的实际应用，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．16．或7【分析】是直角三角形时有两种情况：∠EDF=90°或∠EFD=90°通过找相似三角形然后利用对应边成比例即可得到结果【详解】解：如图当∠EDF=90°时过A 作AG ⊥BC 于G 则DE ∥AG ∵AG ⊥B 解析：263或7． 【分析】 DEF 是直角三角形时，有两种情况：∠EDF=90°或∠EFD=90°，通过找相似三角形，然后利用对应边成比例即可得到结果．【详解】解：如图，当∠EDF=90°时，过A 作AG ⊥BC 于G ，则DE ∥AG ，∵13AB AC ==，24BC =，AG ⊥BC ， ∴1122BG BC ==， 在直角三角形ABG 中，2213125AG =-=，由折叠可知∠B=∠E ，BD=ED ，AE=AB=13，∵DE ∥AG ，∴∠FAG=∠E=∠B ，∴Rt △AFG ∽Rt △BAG ，∴AB BG AF AG =，即13125AF =， ∴6512AF = ∴6591131212EF =-=， 由∠B=∠E ，∠EDF=∠ABG=90°，可知△ABG ∽△FED ，∴AB BG EF DE =，即13129112DE =， ∴7DE =，即7BD =；如图，当∠EFD=90°时，由折叠可知∠B=∠E ，BD=ED ，AE=AB=13，由于∠EFD=90°，因此AF ⊥BC ，在直角三角形ABF 中，2213125AF =-=，∴1358EF =-=，∵∠B=∠E ，∠AFB=∠EFD=90°，∴△ABF ∽△DEF ， ∴AB BF DE EF =，即13128DE =， ∴263DE =，即263BD =； 综上，263BD =或7BD =， 故答案为：263或7． 【点睛】 本题考查了相似三角形的性质和判定以及折叠问题，找到相似三角形是解题的关键，要注意分类讨论．17．16或10+2或【分析】分三种情形讨论即可①AB=BE1②AB=AE3③E2A=E2B 分别计算即可【详解】解：如图在Rt △ABC 中∵∠ACB=BC=3AC=4∴①当BA=BE1=5时CE1=2∴∴△解析：16或10+25或403【分析】分三种情形讨论即可，①AB=BE 1，②AB=AE 3，③E 2A=E 2B ，分别计算即可．【详解】解：如图在Rt △ABC 中，∵∠ACB=90，BC=3，AC=4∴225AB BC AC =+=①当BA=BE 1=5时，CE 1=2，∴221125AE AC CE =+= ∴△ABE 1周长为（10+25）米②当AB=AE 3=5时，CE 3=BC=3，BE 3=6，∴△ABE 3周长为16米．③当E 2A=E 2B 时，作E 2H ⊥AB ，则BH=AH=2.5，∵∠B=∠B ，∠ACB=∠BHE 2=90∘，∴△BAC ∽△BE 2H ，∴2BE BH BC AB= ∴BE 2=256， ∴△ABE 2周长为25402563⨯+=米． 综上所述扩充后等腰三角形的周长为16或10+25或403米 故答案为：16或10+25或403【点睛】 本题考查等腰三角形的定义、勾股定理、相似三角形的性质与判定、三角形周长等知识，正确理解题意是解题的关键，运用了分类讨论的数学思想，注意漏解．18．【分析】连接OA 作OH ⊥OA 交⊙O 于点H 连接AHHCOP 首先证明∠OAP ∽△HAG 推出由OP=2可得HG=2由OG≤OH+HG 推出OG≤2+2由此即可解决问题；【详解】解：连接OA 作OH ⊥OA 交⊙O解析：222+【分析】连接OA ，作OH ⊥OA 交⊙O 于点H ，连接AH ，HC ，OP ．首先证明∠OAP ∽△HAG ，推出22OP OA HG AH ==，由OP=2，可得HG=22，由OG≤OH+HG ，推出OG≤2+22，由此即可解决问题；【详解】解：连接OA ，作OH ⊥OA 交⊙O 于点H ，连接AH ，HG ，OP ．∵OA =OH ，∠AOH =90°，∴AHOA ，∴AP =PG ，∠APG =90°，∴AGAP ，∴OA AP AH AG == ∵∠OAH =∠PAG =45°，∴∠OAP ∽△HAG ，∴2OP OA HG AH ==． ∵OP =2，∴HG．∵OG ≤OH +HG ，∴OG，∴OG 的最大值为．故答案为：．【点睛】本题考查旋转变换，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题．19．【分析】根据黄金分割的定义以及等高的两个三角形面积之比等于底之比即可求出的面积【详解】解：∵在中点是线段的黄金分割点（）∴∵的面积是∴的面积故答案为：【点睛】本题考查了黄金分割的概念也考查了三角形的解析：2【分析】根据黄金分割的定义，以及等高的两个三角形面积之比等于底之比，即可求出ABC 的面积．【详解】解：∵在ABC 中，点D 是线段BC 的黄金分割点（DC BD >），∴BD BC 1==： ∵ABD △的面积是2∴ABC 的面积()3222=÷=故答案为：2．【点睛】本题考查了黄金分割的概念，也考查了三角形的面积公式，解题的关键是正确理解黄金分割的概念．20．或【分析】先根据勾股定理得到AC ＝5再根据平行线分线段成比例得到AD ：AE ＝AB ：AC ＝4：5设AD ＝x 则AE ＝A′E ＝xEC ＝5﹣xA′B ＝2x ﹣4在Rt △A′BC 中根据勾股定理得到A′C 再根据△ 解析：78或258 【分析】 先根据勾股定理得到AC ＝5，再根据平行线分线段成比例得到AD ：AE ＝AB ：AC ＝4：5，设AD ＝x ，则AE ＝A ′E ＝54x ，EC ＝5﹣54x ，A ′B ＝2x ﹣4，在Rt △A ′BC 中，根据勾股定理得到A ′C ，再根据△A ′EC 是直角三角形，根据勾股定理得到关于x 的方程，解方程即可求解．【详解】解：在△ABC 中，∠B ＝90°，BC ＝3，AB ＝4，∴AC ＝5，∵DE ∥BC ，∴AD ：AB ＝AE ：AC ，即AD ：AE ＝AB ：AC ＝4：5，设AD ＝x ，则AE ＝A ′E ＝54x ，EC ＝5﹣54x ，A ′B ＝24x ﹣， 在Rt △A ′BC 中，A ′C ＝22(24)3x -+，∵△A ′EC 是直角三角形，∴①当A '落在边AB 上时，∠EA ′C ＝90°，∠BA ′C ＝∠ACB ，A ′B ＝3×cot ∠ACB ＝39344⨯=， ∴AD ＝1974248⎛⎫-= ⎪⎝⎭；②点A 在线段AB 22(24)3x -+2+（5﹣54x ）2＝（54x ）2， 解得x 1＝4（不合题意舍去），x 2＝258．故AD 长为78或258． 故答案为：78或258． 【点晴】 本题考查了勾股定理和平行线等分线段成比例定理，掌握相关知识是解决问题的关键．三、解答题21．（1）画图见解析;（2）画图见解析．【分析】（1）根据题意画图即可；（2）由平行线性质得到MAQ NCQ ∠=∠，继而可证明AMQ CNQ ∽△△，再根据相似三角形的性质解得35CQ AC =，最后根据勾股定理解题即可． 【详解】（1）如图1所示，取格点D ，连接AD ，CD ，则四边形ABCD 为矩形，连接BD 交AC 于点P ，由于矩形对垂线互相平分，则点P 为AC 中点，故图1中直线BD ，格点D 即为所求．（2）如图2所示，找格点M ，N ，使得2AM =，3CN =，连接MN 与AC 交于点Q ，连接BQ 并延长交格点于点E ，则格点E 即为所求．∵//AM CN ，MAQ NCQ ∴∠=∠，又AQM CQN ∠=∠（对顶角相等）AMQ CNQ ∴∽△△，23AM AQ CN CQ ∴==， 即35CQ AC =， 由勾股定理得：222AC AB BC =+，又4AB =，3BC =，22435AC ∴=+=335355CQ AC CB ∴==⨯==， 故CQ CB =，∴格点E 即为所求．【点睛】本题考查网格作图，涉及相似三角形的判定与性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．22．（1）ABC DEF ∽△，理由见解析；（221【分析】（1）先根据勾股定理求得每条边的长度，再根据相似三角形的判定定理即可证明； （2）先画出MNP △，再根据似三角形的判定即可证明，由此可得答案．【详解】解：（1）ABC DEF ∽△，理由如下：∵在边长为1的55⨯的正方形网格上，有两个三角形，它们顶点都在格点上．∴22112AB =+=，2AC =，221310BC ，22125DE =+=，221310DF =+=，5EF =， ∴2105AB DE ==，1010AC DF ==，10BC EF =， ∴AB AC BC DE DF EF==， ∴ABC DEF ∽△；（2）如图，MNP ABC △∽△，理由如下：由题意可知：22222MP =+=2MN =，224225NP =+=∴2222MP AC ==，22MN AB ==25210NP BC == ∴2MP MN NP AC AB BC=== ∴MNP ABC △∽△， 2：1，21．【点睛】本题考查了相似三角形的判定及勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定方法是解决本题的关键．23．（1）(4,)1-；（2）画图见解析；（3）12．【分析】（1）直接利用关于x 轴对称图形的性质得出得出对应点位置即可；（2）直接利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案；（3）直接运用三角形面积公式求出△A 2BC 2的面积即可．【详解】解：（1）如图所示：111A B C △，即为所求，则1C 的坐标为：(4,)1-．故答案为：(4,)1-．（2）如图所示：22A BC ，即为所求．（3）22164122A BC S =⨯⨯=． 【点睛】此题主要考查了位似变换以及轴对称变换，正确得出对应点位置是解题关键． 24．2FD =【分析】先根据平行四边形的性质得出AD ∥BE ，AB=CD=6，再根据平行线的性质得出∠DAE=∠AEB ，∠D=∠ECF ，根据相似三角形的判定定理可知△AFD ∽△EFC ，进而得到FD 的长．【详解】证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴//AD BE ，6AB CD ==，∴DAE AEB ∠=∠，DCE D ∠=∠，∴ADF ECF ， ∴12AF DF FE FC ==， ∴2FD =．【点睛】本题考查的是平行四边形的性质及相似三角形的判定与性质，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合．25．(1)B ；（2）C ；应用：7．【分析】(1)由已知AD 是△ABC 的中线，和作图延长AD 到点E ，使DE =AD ，CD=BD, ∠ADC=∠EDB, AD=DE 得到△ADC ≌△EDB (SAS) 即可，(2) 由△ADC ≌△EDB ，则BE=AC=6，AE=2AD ，AB=8，在ΔABE 中，AB-BE<AE<AB+BE ，即则2<2AD<14即可，【灵活运用】延长AD 到G ，使DG=AD ，连接BG ，由（1）知△ADC ≌△GDB ，BG=AC=AE+EC=7 ∠G=∠DAC 可以判定BG ∥AC ，由∠BFG=∠AFE ，得ΔGBF ∽ΔAEF ，由性质BG BF AE EF=． 【详解】(1)由已知AD 是△ABC 的中线，和作图延长AD 到点E ，使DE =AD ，CD=BD, ∠ADC=∠EDB, AD=DE 得到△ADC ≌△EDB (SAS)故选择：B ，(2) 由△ADC ≌△EDB ，则BE=AC=6，AE=2AD ，AB=8，在ΔABE 中，AB-BE<AE<AB+BE ，即AB-BE=8-6=2，AB+BE=14，则2<2AD<14，1<AD<7故选择：C ，灵活运用延长AD 到G ，使DG=AD ，连接BG ，由（1）知△ADC ≌△GDB ，BG=AC=AE+EC=7，∠G=∠DAC ，BG ∥AC ，∠BFG=∠AFE ，ΔGBF ∽ΔAEF ，BG BF AE EF=， 744BF =， BF=7．【点睛】本题考查中线加倍问题，由中线加倍，利用SAS 推出三角形全等，把问题转化为三角形中的问题，用三角形的三边关系，确定取值范围，由△ADC ≌△GDB ，∠G=∠DAC 可以判定BG ∥AC ，由∠BFG=∠AFE ，得ΔGBF ∽ΔAEF ，用相似三角形的性质解决问题． 26．(2,422P -【分析】根据正方形的性质求出BO 和BQ 的长，再由COQ PBQ ，利用对应边成比例列式求出BP 的长，从而算出AP 的长，就可以得到点P 的坐标． 【详解】解：∵正方形OABC 的边长是2，∴2OC BC QO ===， 根据勾股定理，22BO =， ∴22BQ BO OQ =-=，∵//CO BP ，∴COQ PBQ ， ∴CO OQ PB BQ =，即2222PB =-，解得222PB =， ∴2222422AP AB BP =-=-=- ∴(2,422P -．【点睛】本题考查平面直角坐标系和图象，正方形的性质，相似三角形的性质和判定，解题的关键是利用相似三角形对应边成比例列式求线段长．。

(典型题)初中数学九年级数学下册第二单元《二次函数》测试卷(包含答案解析)(1)

(典型题)初中数学九年级数学下册第二单元《二次函数》测试卷(包含答案解析)(1)

一、选择题1．对于二次函数2y x bx c =++(b ，c 是常数）中自变量x 与函数y 的部分对应值如下表：x1- 0 1 2 34 y10 52 125A ．函数图像开口向上B ．当5x =时，10y =C ．当2x >时，y 随x 的增大而增大．D ．方程20x bx c ++=有两个不相等的实数根2．对称轴为y 轴的二次函数是（ ） A ．y=(x+1)2B ．y=2(x-1)2C ．y=2x 2+1D ．y=-(x-1)23．关于二次函数22y x x =-+的最值，下列叙述正确的是（ ） A ．当2x =时，y 有最小值0. B ．当2x =时，y 有最大值0． C ．当1x =时，y 有最小值1 D ．当1x =时，y 有最大值14．下列函数：①2y x =-，②3y x=，③2y x ，④234y x x =++，y 是x 的反比例函数的个数有（ ）． A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，在下列六个结论中：①20a b -<；②0abc <；③0a b c ++<；④0a b c -+>；⑤420a b c ++>；⑥240b ac -<．其中正确的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．小凯在画一个开口向上的二次函数图象时，列出如下表格： x … -1 0 1 2 … y…1211…A ．(-1，1)B ．(0，2)C ．(1，1)D ．(2，1)7．二次函数223y x =-+在14x -≤≤内的最小值是（ ）A ．3B ．2C ．－29D ．－308．如图是抛物线y 1＝ax 2＋bx ＋c （a≠0）的一部分，抛物线的顶点坐标A （1，3），与x 轴的一个交点为B （4，0），直线y 2＝mx ＋n （m≠0）与抛物线交于A 、B 两点，结合图象分析下列结论： ①2a ＋b ＝0； ②abc ＞0；③方程ax 2＋bx ＋c ＝3有两个相等的实数根； ④当1＜x ＜4时，有y 2＜y 1；⑤抛物线与x 轴的另一个交点是（﹣1，0）． 其中正确的是（ ）A ．①②③B ．②④C ．①③④D ．①③⑤9．如图，已知二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象与x 轴交于点()1,0A -，对称轴为直线1x =，下列结论：①0abc <；②930a b c ++=；③20a b +=；④2am bm a b +<+（m 是任意实数），其中正确的是（ ）A ．①②B ．②③C ．①②③D ．②③④10．如图1，在等腰直角BAC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，点P 为AB 的中点，点M 为BC 边上一动点，作45PMN ∠=︒，射线MN 交AC 边于点N ．设BM x =，CN y =，y 与x 的函数图象如图2，其顶点为(),m n ，则m n +的值为（ ）A ．4B ．332C ．222+D ．25+11．函数k y x=与()20y kx k k =-≠在同一直角坐标系中的图象大致是下图中的（ ） A ． B ． C ． D ．12．已知函数223y x x =+-及一次函数y x m =-+的图象如图所示，当直线y x m =-+与函数223y x x =+-的图象有2个交点时，m 的取值范围是（ ）A ．3m <-B ．31m -<<C ．134m >或3m <- D ．31m -<<或134m >二、填空题13．将抛物线243y x x =-+沿y 轴向下平移3个单位，则平移后抛物线的顶点坐标为_____．14．如果抛物线y=x 2-6x+c-2的顶点到x 轴的距离是4，则c 的值等于_________． 15．如图，在平面直角坐标中，对抛物线222y x x =-+在x 轴上方的部分进行循环反复的轴对称或中心对称变换，若点A 是该抛物线的顶点，则经过第2020次变换后所得的A 点的坐标是_________．16．已知二次函数y=ax 2﹣4ax+4，当x 分别取x 1、x 2两个不同的值时，函数值相等，则当x 取x 1+x 2时，y 的值为________________________17．若实数m 、n 满足m +n ＝2，则代数式2m 2+mn +m ﹣n 的最小值是_____． 18．二次函数224y x x =-++的最大值是______． 19．如图，点P 是双曲线()4:0C y x x=>上的一点，过点P 作x 轴的垂线交直线1:22AB y x =-于点Q ，连结,OP OQ 当点P 在曲线C 上运动，且点P 在Q 的上方时，POQ △面积的最大值是________．20．若方程20ax bx c ++=的两个根是3-和1，那么二次函数2y ax bx c =++的图象的对称轴是直线x = _____________________三、解答题21．已知函数()()1210,()y x m x m y ax m a =+--=+≠在同一平面直角坐标系中．（1）若1y 经过点()12-，，求1y 的函数表达式； （2）若2y 经过点()1,1m +，判断1y 与2y 图象交点的个数，说明理由；（3）若1y 经过点1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭，且对任意x ，都有12y y >，请利用图象求a 的取值范围． 22．如图，抛物线2y x bx c =+-与x 轴交于A (-1，0)，B (3，0)两点，直线l 与抛物线交于A 、C 两点，其中C 点的横坐标为2． （1）求抛物线及直线AC 的函数表达式；（2）点M 是线段AC 上的点（不与A ，C 重合）过M 作MF //y 轴交抛物线于F ，若点M 的横坐标为m ，请用含m 的代数式表示MF 的长．23．东坡区农产品资源极为丰富，其中晚熟柑橘远销北上广等大城市．某水果店购进一批优质晚熟柑橘，进价为5元/千克，售价不低于8元/千克，且不超过20元/每千克，根据销售情况，发现该柑橘在一天内的销售量y （千克）与该天的售价x （元/千克）之间的数量满足如下表所示的一次函数关系． 销售量y （千克） … 42 45 48 51 … 售价x （元/千克）…1815129…（2）设某天销售这种柑橘获利m 元，写出m 与售价x 之间的函数关系式．如果水果店该天获利450元，那么这天柑橘的售价为多少元？24．在平面直角坐标系xOy 中，二次函数y ＝ax 2+2x ﹣3a （a ≠0）交x 轴于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），且抛物线的对称轴为直线x ＝﹣1． （1）求此抛物线的解析式及A 、B 两点坐标；（2）若抛物线交y 轴于点C ，顶点为D ，求四边形ABCD 的面积．25．如图，一农户要建一矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m 的住房墙，另外三边用27m 长的建筑材料围成，为了方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m 宽的门．所围成矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍的面积最大，最大面积是多少？26．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于()30A -,，()10B ,两点，与y 轴交于点()0,3C ，连接AC ，点P 为第二象限抛物线上的动点．（1）求a 、b 、c 的值；（2）连接PA 、PC 、AC ，求PAC △面积的最大值；（3）过P 作PQ AC ⊥，垂足为Q ，是否存在这样的点P 、Q ，使得CPQ CBO △△，若存在，请求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】根据表格中的数据和二次函数图象具有对称性即可判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：由表格可得，当x ＜2时，y 随x 的值增大而减小；当x ＞2时，y 随x 的值增大而增大，该函数开口向上，故选项A 、C 不符合题意； ∴点（−1，10）的对称点是（5，10），∴点（5，10）在该函数的图象上，故选项B 不符合题意；由表格可得，该抛物线开口向上，且最小值是1，则该抛物线与x 轴没有交点， ∴方程20x bx c ++=无实数根，故选项D 符合题意． 故选：D ． 【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．2．C解析：C 【分析】由已知可知对称轴为x ＝0，从而确定函数解析式y ＝ax 2+bx +c 中，b ＝0，由选项入手即可． 【详解】解：二次函数的对称轴为y 轴， 则函数对称轴为x ＝0，即函数解析式y ＝ax 2+bx +c 中，b ＝0， 故选：C ． 【点睛】本题考查二次函数的性质；熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．3．D解析：D 【分析】先将二次函数配方成()211y x =--+，即可求解． 【详解】解：()()2221221y x x x x x =-+=----+=，二次函数的图象开口向下，当1x =时，y 有最大值1， 故选：D ． 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，将二次函数解析式化为顶点式是解题的关键．4．A解析：A 【分析】根据反比例函数、一次函数、二次函数的性质，对各个选项逐个分析，即可得到答案． 【详解】2y x =-是一次函数，故选项①不符合题意；3y x=是反比例函数，故选项②符合题意； 2yx 是二次函数，故选项③不符合题意；234y x x =++是二次函数，故选项④不符合题意；∴y 是x 的反比例函数的个数有：1个 故选：A ． 【点睛】本题考查了反比例函数、二次函数、一次函数的知识；解题的关键是熟练掌握反比例函数、二次函数、一次函数的定义，从而完成求解．5．D解析：D 【分析】由抛物线的开口方向判断a 与0的关系，由抛物线与y 轴的交点判断c 与0的关系，利用图象判断1，-1，2所对应的y 的值，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：①∵由函数图象开口向下可知，a ＜0，由函数的对称轴12b a ->-，故12b a<， ∵a ＜0， ∴b ＞2a ，∴2a -b ＜0，①正确；②∵a ＜0，对称轴在y 轴左侧，a ，b 同号，图象与y 轴交于负半轴，则c ＜0，故abc ＜0；②正确；③当x=1时，y=a+b+c ＜0，③正确； ④当x=-1时，y=a -b+c ＜0，④错误； ⑤当x=2时，y=4a+2b+c ＜0，⑤错误； ⑥∵图象与x 轴无交点， ∴b 2-4ac ＜0，⑥正确；故正确的有①②③⑥，共4个． 故选：D ． 【点睛】此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，熟练利用数形结合得出是解题关键．6．A解析：A 【分析】观察图表数据，根据二次函数的对称性即可判断出计算错误的一组数据，然后再利用二次函数的增减性得出结论． 【详解】解：观察y 值发现y =1时x 有三个不同的值，因此这三个值中必有一对计算错误. 由二次函数的对称性：如果（-1，1），（1，1）是图象的两个对称点，那么根据描点得到这个函数图象的开口应该是向下的．同理若（-1，1），（2，1）是两个对称点，那么该函数图象的开口也是向下的，所以（1，1），（2，1）是图象的两个对称点，因此该图像的对称轴为直线032x =，根据二次函数的增减性，当开口向上时，在对称轴的左边，y 随x 的增大而减小，所以1x =-时，y 一定是大于1的， 故选A ． 【点睛】本题考查了二次函数的图象，找出图表数据特点，根据函数的对称性解答即可，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．7．C解析：C 【分析】根据图象，直接代入计算即可解答 【详解】解：由图可知，当x=4时，函数取得最小值y 最小值=-2×16+3=-29．故选：C ． 【点睛】本题考查二次函数最小（大）值的求法．求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．8．C解析：C 【分析】根据抛物线对称轴方程对①进行判断；由抛物线开口方向得到a ＜0，由对称轴位置可得b ＞0，由抛物线与y 轴的交点位置可得c ＞0，于是可对②进行判断；根据顶点坐标对③进行判断；根据函数图象得当1＜x ＜4时，一次函数图象在抛物线下方，则可对④进行判断；根据抛物线的对称性对⑤进行判断． 【详解】∵抛物线的顶点坐标A （1，3）， ∴抛物线的对称轴为直线x ＝2ba＝1， ∴2a ＋b ＝0，所以①正确； ∵抛物线开口向下， ∴a ＜0， ∴b ＝﹣2a ＞0，∵抛物线与y 轴的交点在x 轴上方， ∴c ＞0，∴abc ＜0，所以②错误； ∵抛物线的顶点坐标A （1，3）， ∴x ＝1时，二次函数有最大值，∴方程ax 2＋bx ＋c ＝3有两个相等的实数根，所以③正确；∵抛物线y 1＝ax 2＋bx ＋c 与直线y 2＝mx ＋n （m≠0）交于A （1，3），B 点（4，0）， ∴当1＜x ＜4时，y 2＜y 1，所以④正确．∵抛物线与x 轴的一个交点为（4，0）， 而抛物线的对称轴为直线x ＝1，∴抛物线与x 轴的另一个交点为（﹣2，0），所以⑤错误； 故选：C ． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图像、一次函数图像、二次函数的图象与系数的关系等知识，考查知识点较多，解答的关键在于读懂图象信息，掌握二次函数知识，灵活运用所学知识解决问题．9．B解析：B 【分析】①抛物线开口向上，对称轴为直线x ＝1，即可得出a ＞0、b ＜0、c ＜0，进而可得出abc ＞0，结论①错误；②由抛物线的对称轴以及与x 轴的一个交点坐标，可得出另一交点坐标为（3，0），进而可得出9a ＋3b ＋c ＝0，结论②正确；③由对称轴直线x=1，可得结论③正确；④2()()0am bm a b +-+≥，可得结论④错误．综上即可得出结论． 【详解】解：①∵抛物线开口向上，对称轴为直线x ＝1，∴a ＞0，12ba-=，c ＜0， ∴b ＝−2a ＜0，∴abc ＞0，结论①错误；②∵二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a≠0）的图象与x 轴交于点A （−1，0），对称轴为直线x ＝1，∴二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a≠0）的图象与x 轴的另一个交点为（3，0）， ∴9a ＋3b ＋c ＝0，结论②正确； ③∵对称轴为直线x ＝1， ∴12ba-=，即：b ＝−2a ， ∴20a b +=，结论③正确；④∵222()()(2)(2)2am bm a b am am a a am am a +-+=---=-+22(21)(1)a m m a m =-+=-≥0，∴2am bm a b +≥+，结论④错误． 综上所述，正确的结论有：②③． 故选：B ． 【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点、二次函数图象与系数的关系、二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征，逐一分析四条结论的正误是解题的关键．10．C解析：C【分析】首先由函数图象可直接得出4BC =，然后当M 运动至BC 中点时，y 的值最大，此时即为AC 的长，从而在等腰直角三角形中分别计算即可．【详解】根据函数图象知，当4x =时，0y =，即：4BC =，当M 运动至BC 中点时，y 的值最大，此时y 的值即为AC 的长，∵△ABC 为等腰直角三角形，M 为BC 的中点，∴△AMC 为等腰直角三角形，且122AM MC BC ===， ∴222AC AM ==， 即：函数图象中，222，m n ==，∴222m n +=+，故选：C ．【点睛】本题考查二次函数的实际应用之动态几何问题，理解二次函数的基本性质以及等腰直角三角形的性质是解题关键．11．B解析：B【分析】根据k>0，k<0，结合反比例函数及二次函数图象及其性质分类讨论．【详解】解：分两种情况讨论：①当k>0时，反比例函数k y x=在一、三象限，而二次函数()20y kx k k =-≠开口向上，与y 轴交点在原点下方，故C 选项错误，B 选项正确； ②当k<0时，反比例函数k y x=在二、四象限，而二次函数()20y kx k k =-≠开口向下，与y 轴交点在原点上方，故A 选项与D 选项错误．故选B ．【点睛】 本题考查了反比例函数图象性质和二次函数图象性质．关键是根据k>0，k<0，结合反比例函数及二次函数图象及其性质分类讨论．12．D解析：D【分析】 作出函数223y x x =+-及一次函数y x m =-+的图象，根据图象性质讨论即可求出． 【详解】解：如图：函数223y x x =+-，当0y =时，1x =或3-， ()()3010A B ∴-，，，，当31x -<<时，223y x x =--+，当直线过点A 时，1个交点，此时()03m =--+，即3m =-，当3m >-时，有2个交点，当直线过点B 时，有3个交点，此时01m =-+，即1m =， ∴1m <时有2个交点，31m ∴-<<，当直线与抛物线相切时，有3个交点，223y x x y x m ⎧=--+∴⎨=-+⎩， 由()1430m =--+=，解得：134m =， 134m ∴>时有2个交点， 综上所述，31m -<<或134m >． 【点睛】 本题考查了一次函数与二次函数的交点问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．二、填空题13．（2-4）【分析】首先根据二次函数解析式写成顶点式可得顶点坐标再根据平移得性质得出平移后得顶点坐标即可【详解】∵y=x2-4x+3=（x-2）2-1∴顶点坐标为（2-1）∵将抛物线y=x2-4x+3解析：（2，-4）【分析】首先根据二次函数解析式写成顶点式，可得顶点坐标，再根据平移得性质得出平移后得顶点坐标即可．【详解】∵y=x2-4x+3=（x-2）2-1，∴顶点坐标为（2，-1），∵将抛物线y=x2-4x+3沿y轴向下平移3个单位，∴平移后得抛物线得顶点坐标为（2，-4），故答案为：（2，-4）【点睛】本题考查了抛物线的平移与抛物线解析式的关系，关键是把抛物线的平移转化为顶点的平移．14．7或15【分析】根据题意可知抛物线顶点纵坐标是±4化成顶点式求解即可【详解】解：∵抛物线y=x2-6x+c-2的顶点到x轴的距离是4∴抛物线顶点纵坐标是±4抛物线y=x2-6x+c-2化成顶点式为：解析：7或15．【分析】根据题意可知，抛物线顶点纵坐标是±4，化成顶点式求解即可．【详解】解：∵抛物线y=x2-6x+c-2的顶点到x轴的距离是4，∴抛物线顶点纵坐标是±4，抛物线y=x2-6x+c-2化成顶点式为：y=(x-3)2+c-11，c-11=4，c=15，c-11=-4，c=7，故答案为：7或15．【点睛】本题考查了抛物线的顶点坐标，解题关键是理解到x轴的距离是纵坐标的绝对值，注意：分类讨论．15．【分析】观察图形可知每三次对称为一个循环组依次循环用2020除以3然后根据商和余数的情况确定出变换后的点A所在的象限然后解答即可【详解】解：∵∴抛物线的顶点坐标为点A第一次关于x轴对称后在第四象限第解析：11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】观察图形可知每三次对称为一个循环组依次循环，用2020除以3，然后根据商和余数的情况确定出变换后的点A 所在的象限，然后解答即可．【详解】解：∵2221122=2()2()22y x x x x x =-+--=--+∴抛物线222y x x =-+的顶点坐标为11,22⎛⎫ ⎪⎝⎭点A 第一次关于x 轴对称后在第四象限，第二次关于原点对称后在第二象限，第三次关于y 轴对称后在第一象限，回到原始位置，所以每3次对称为一个循环组，∵20203=6731÷∴经过第2020次变换后所得的A 点位置第一次变换后的位置相同，在第四象限，坐标为11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭故答案为：11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭【点睛】本题考查了轴对称的性质，点的坐标变换规律，读懂题目信息，观察出每三次对称为一个循环组依次循环是解题的关键，也是本题的难点．16．4【分析】根据二次函数的性质和二次函数图象具有对称性可以求得的值从而可以求得相应的y 的值【详解】解：∵y=当x 分别取两个不同的值时函数值相等∴∴当x 取时y=故答案为4【点睛】本题考查二次函数图象上的 解析：4【分析】根据二次函数的性质和二次函数图象具有对称性，可以求得12x x +的值，从而可以求得相应的y 的值．【详解】解：∵y=()2244244ax ax a x a -+=--+，当x 分别取 12,x x 两个不同的值时，函数值相等，∴124x x +=，∴当x 取12x x +时，y=()242444a a --+=，故答案为4．【点睛】本题考查二次函数图象上的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质17．﹣6【分析】设y=2m2+mn+m-n由m+n=2得n=2-m再由二次函数的性质即可解决问题【详解】设y＝2m2+mn+m﹣n∵m+n＝2∴n＝2﹣m∴y＝2m2+m（2﹣m）+m﹣（2﹣m）＝m2解析：﹣6．【分析】设y=2m2+mn+m-n，由m+n=2得n=2-m，再由二次函数的性质即可解决问题．【详解】设y＝2m2+mn+m﹣n，∵m+n＝2，∴n＝2﹣m，∴y＝2m2+m（2﹣m）+m﹣（2﹣m）＝m2+4m﹣2＝（m+2）2﹣6，此为一个二次函数，开口向上，有最小值，当m＝﹣2时，y有最小值为﹣6，故答案为：﹣6．【点睛】本题考查了二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．18．【分析】利用二次函数的配方法确定最值即可【详解】∵∵a=-1＜0∴二次函数有最大值且最大值为5；故答案为：5【点睛】本题考查了二次函数的最值问题熟练运用配方法确定二次函数的最值是解题的关键解析：【分析】利用二次函数的配方法确定最值即可.【详解】∵224=-++y x x2=---(24)x x2[(1)14]=----x2x=--+，(1)5∵a= -1＜0，∴二次函数224y x x=-++有最大值，且最大值为5；故答案为：5.【点睛】本题考查了二次函数的最值问题，熟练运用配方法确定二次函数的最值是解题的关键. 19．3【分析】设P（x）则Q（xx−2）得到PQ＝−x＋2根据三角形面积公式得到S△POQ＝−（x−2）2＋3根据二次函数的性质即可求得最大值【详解】解：∵PQ⊥x轴∴设P（x）则Q（xx−2）∴PQ＝解析：3设P （x ，4x ），则Q （x ，12x−2），得到PQ ＝4x −12x ＋2，根据三角形面积公式得到S △POQ ＝−14（x−2）2＋3，根据二次函数的性质即可求得最大值． 【详解】解：∵PQ ⊥x 轴， ∴设P （x ，4x ），则Q （x ，12x−2）， ∴PQ ＝4x −12x ＋2， ∴S △POQ ＝12（4x −12x ＋2）•x ＝−14（x−2）2＋3， ∵−14＜0， ∴△POQ 面积有最大值，最大值是3，故答案为：3．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，反比例函数y ＝k x （k≠0）系数k 的几何意义：从反比例函数y ＝k x（k≠0）图象上任意一点向x 轴和y 轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|． 20．【分析】先根据题意得出抛物线与x 轴的交点坐标再由两点坐标关于抛物线的对称轴对称即可得出结论【详解】解：∵方程ax2+bx+c=0的两个根是-3和1∴二次函数y=ax2+bx+c 的图象与x 轴的交点分别解析：1-【分析】先根据题意得出抛物线与x 轴的交点坐标，再由两点坐标关于抛物线的对称轴对称即可得出结论．【详解】解：∵方程ax 2+bx+c=0的两个根是-3和1，∴二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴的交点分别为（-3，0），（1，0）．∵此两点关于对称轴对称，∴对称轴是直线x=312-+=-1． 故答案为：-1．【点睛】本题考查的是抛物线与x 轴的交点，熟知抛物线与x 轴的交点与一元二次方程根的关系是解答此题的关键．三、解答题21．（1）212y x x =--；（2）当1m =-时，图像1y 与2y 有一个交点；当1m ≠-时，图像1y 与2y 有两个交点，理由：见详解；（3）01a <<或10a <<【分析】（1）将()1,2-代入1y ，解关于m 的方程即可求解； （2）将点()1,1m +代入2y 求出a ，由解析式1y 和2y 联立方程组消去y 得到关于x 的一元二次方程，根据一元二次方程根的情况判断1y 与2y 交点的个数即可；（3）将1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭代入1y 求出m 的值，把m 的值代入1y 与2y ，结合图像，根据对任意x ，都有12y y >即可求解．【详解】解：（1）将()1,2-代入1y ，得()()2111m m -=+--，解得，122,1m m =-= ，()()121y x x ∴=-+，即 212y x x =--；（2）当1m =-时，图像1y 与2y 有一个交点；当1m ≠-时，图像1y 与2y 有两个交点． 理由如下：2y 经过点()1,1m +，1m a m ∴+=+，1a ，()()121,y x m x m y x m =+--=+∴联立方程组()()1y x m x m y x m ⎧=+--⎨=+⎩，消去y ，得()2202x x m m -+=- ()()222242484410m m m m m =++=++=+≥△∴方程()2202x x m m -+=-有实数根据，当1m =-时，0=， 方程()2202x x m m -+=-有两个相等的实数根，1y 与2y 有一个交点；当1m ≠-时，0>，方程()2202x x m m -+=-有两个不相等的实数根，1y 与2y 有两个交点；综上所术，当1m =-时，图像1y 与2y 有一个交点；当1m ≠-时，图像1y 与2y 有两个交点；（3）1y经过点1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴110122m m=+--⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎝⎭⎝⎭，解得，12m=-，2121,122y x y ax⎛⎫⎪⎝⎭∴=-=-联立方程组2121212y xy ax⎧⎛⎫=-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎪=-⎪⎩，消去y得，()2314x a x++=-，若方程有两个相等的实数根，图像1y与2y有一个交点，则()231404a=+-⨯=△，解，得31a=±-，如图所示，对任意x，都有12y y>，031a∴<<或310a<<，【点睛】本题是二次函数与一次函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，二次函数与一次函数图像的交点与一元二次方程根的判别式的关系及利用图像求不等式的解集，关键在于正确理解二次函数与一次函数图像的交点与一元二次方程的关系以及数形结合的思想．22．（1）223y x x=--，1y x=--；（2）22MF m m=-++【分析】（1）把点A和点B的坐标代入抛物线解析式求出b和c的值即可求出抛物线解析式；再把点C 的横坐标代入已求出的抛物线解析式可求出其纵坐标，进而可求出直线AC 的表达式；（2）已知点M 的横坐标为m ，点M 又在直线AB 上，所以可求出其纵坐标，而点F 在抛物线上，所以可求出其纵坐标，进而可用m 的代数式表示MF 的长．【详解】解：（1）把A （-1，0）、B （3，0）代入y=x 2+bx-c 得：01093b c b c --⎧⎨+-⎩＝＝， 解得：23b c =-⎧⎨=⎩， ∴解析式为：y=x 2-2x-3，把x=2代入y=x 2-2x-3得y=-3，∴C （2，-3），设直线AC 的解析式为y=kx+n ，把A （-1，0）、C （2，-3）代入得023k n k n -+=⎧⎨+=-⎩， 解得：11k n =-⎧⎨=-⎩， ∴直线AC 的解析式为1y x =--；（2）∵点M 在直线AC 上，∴M 的坐标为（m ，-m-1）；∵点F 在抛物线y=x 2-2x-3上，∴F 点的坐标为（m ，m 2-2m-3），∴MF=（-m-1）-（ m 2-2m-3）=-m 2+m+2．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、待定系数法求一次函数的解析式、二次函数图象上点的坐标特征．在（1）中注意待定系数法的应用步骤，在（2）中用m 表示出点M 、F 的坐标是解题的关键．23．（1）柑橘售价为10元/千克时，当天该柑橘的销售量为50千克；（2）m ＝－x 2＋65x －300；这天柑橘的售价为15元．【分析】（1）用待定系数求出一次函数解析式，再代入自变量的值求得函数值；（2）根据利润＝销量×（售价−成本），列出m 与x 的函数关系式，再由函数值求出自变量的值．【详解】解：（1）设该一次函数解析式为y ＝kx ＋b ，则1545951k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：160 kb=-⎧⎨=⎩∴y＝－x＋60（8≤x≤20）．∴当x＝10时，y＝50．∴柑橘售价为10元/千克时，当天该柑橘的销售量为50千克；(2)由题易知m＝y(x－5)＝(－x＋60)( x－5)＝－x2＋65x－300当m＝450时，则－x2＋65x－300＝450．整理,得x2－65x＋750＝0．解得x1＝50，x2＝15．∵8≤x≤20,∴x＝15．所以这天柑橘的售价为15元．【点睛】本题是一次函数与二次函数的应用的综合题，主要考查了用待定系数法求函数的解析式，由函数值求自变量，由自变量的值求函数值，正确求出函数解析式是解题的关键．24．（1）y＝x2+2x﹣3，A（﹣3，0），B（1，0）；（2）四边形ABCD的面积是9【分析】（1）根据抛物线对称轴方程x＝b2a求得a的值，继而确定函数解析式；将二次函数解析式转换为交点式，直接写出A、B两点坐标；（2）由抛物线解析式求得点C、D的坐标，然后利用分割法求得四边形ABCD的面积．【详解】解：（1）根据题意知，抛物线的对称轴为x＝﹣22a＝﹣1，则a＝1．故该抛物线解析式是：y＝x2+2x﹣3．因为y＝x2+2x﹣3＝（x+3）（x﹣1），所以A（﹣3，0），B（1，0）；（2）如图：由（1）知，A（﹣3，0），B（1，0），由抛物线y ＝x 2+2x ﹣3知，C （0，﹣3）．∵y ＝x 2+2x ﹣3＝（x+1）2﹣4，∴D （﹣1，﹣4），E （﹣1，0）．∴AE ＝2，OC ＝3，OE ＝1，OB ＝1，ED ＝4，∴S 四边形ABCD ＝S △BOC +S 梯形OEDC +S △DAE ＝12×1×3+12（3+4）×1+12×2×4＝9． 即四边形ABCD 的面积是9．【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点以及二次函数的性质，得出各点的坐标是解答本题的突破口，另外注意将不规则图形的面积转化为几个规则图形的面积和进行求解．25．矩形猪舍的长、宽分别为12米、8米时，猪舍的面积最大，最大面积是96平方米．【分析】设猪舍的宽为m x ，则长为(2721)m x -+，由题意可得2(2721)2(7)98y x x x =-+=--+，然后再根据二次函数的性质进行求最大值即可；【详解】设猪舍的宽为m x ，则长为(2721)m x -+，由题意得2(2721)2(7)98y x x x =-+=--+，对称轴为7x =， 272112x -+≤，27210x -+>，814x ∴≤<，在22(7)98y x =--+中，∵20-<，∴在对称轴右侧y 随着x 的增大而减小，所以当8x =米时，即矩形猪舍的长、宽分别为12米、8米时，猪舍的面积最大，最大面积是96平方米．【点睛】本题考查了二次函数的应用，矩形的面积公式的运用及二次函数的性质，解答时寻找题目的等量关系是关键；26．（1）1a =-，2b =-，3c =；（2）278；（3）存在，57,24P ⎛⎫- ⎪⎝⎭． 【分析】（1）设抛物线的解析式为()()13y a x x =-+．将()0,3C 代入得：33a -=，抛物线的解析式化为223y x x =--+，可得1a =-，2b =-，3c =；（2）过点P 作PE x ⊥轴，交AC 于点P ，设点P 的横坐标为m ，由点P 在抛物线223y x x =--+上，设()2,23P m m m --+，可求直线AC 解析式为：3y x ，(),3E m m +，可得()()222333PE m m m m m =--+-+=--，可求()213322PAC PAE PCE S S S PE OA m m =+=⋅=--△△△配方即可； （3）假设存在，过点Q 作x 轴的平行线l ，过点P 、C 作l 的垂线，垂足为M N ，，由CPQ CBO △△， 可得13PQ OB CQ OC ==，可证PMQ QNC △△；可得13PM MQ PQ QN CN CQ ===，设(),3Q n n +，可求22PM m m n =---，MQ n m =-，QN n =-，CN n =-，可得()232n m m n -=---，()3n n m -=-，解方程即可． 【详解】解：（1）设抛物线的解析式为()()13y a x x =-+．∵将()0,3C 代入得：33a -=，解得1a =-，∴抛物线的解析式为()()13y x x =--+，即223y x x =--+，∴1a =-，2b =-，3c =；（2）过点P 作PE x ⊥轴，交AC 于点P ，设点P 的横坐标为m ，∵点P 在抛物线223y x x =--+上，∴()2,23P m m m --+， ∵直线AC 过点()30A -,、点()0,3C ， ∴直线AC 解析式可求得为：3y x ， ∴(),3E m m +，∴()()222333PE m m m m m =--+-+=--， ∴()213322PAC PAE PCE S S S PE OA m m =+=⋅=--△△△， ∴()223332732228PAC S m m m ⎛⎫=-+=-++ ⎪⎝⎭△， ∴当点P 的横坐标为32-时，PAC △面积的最大值为278； （3）假设存在，过点Q 作x 轴的平行线l ，过点P 、C 作l 的垂线，垂足为M N ，， ∵CPQ CBO △△， ∴PQ CQ OB OC =， ∴13PQ OB CQ OC ==， ∵∠PMQ=∠QNC=∠PQC=90°，∴∠MQP+∠CQN=90°，∠CQN+∠QCN=90°，∴∠MQP=∠NCQ ，∴PMQ QNC △△； ∴13PM MQ PQ QN CN CQ ===， 设()2,23P m m m --+，(),3Q n n +， ∴22PM m m n =---，MQ n m =-，QN n =-，CN n =-，∴()232n m m n -=---，()3n n m -=-，∴52m =-， ∴，存在，57,24P ⎛⎫- ⎪⎝⎭．【点睛】本题考查抛物线解析式，三角形面积最值，三角形相似判定与性质，解方程组，掌握抛物线解析式，三角形面积最值，三角形相似判定与性质，解方程组，解题关键是利用相似三角形的性质构造方程组．。

(常考题)北师大版初中数学九年级数学下册第二单元《二次函数》检测卷(有答案解析)

(常考题)北师大版初中数学九年级数学下册第二单元《二次函数》检测卷(有答案解析)

一、选择题1．已知y 是x 的二次函数，y 与x 的部分对应值如表所示，若该二次函数图象向左平移后通过原点，则应平移（ ） x … 1-0 1 2 … y…343…A ．1个单位B ．2个单位C ．3个单位D ．4个单位2．已知二次函数2y x bx c =-+与x 轴只有一个交点，且图象经过两点A （1，n ），B （m +2，n ），则m 、n 满足的关系为（ ）A ．24m n =B ．22m n =C ．()214m n +=D ．()212m n +=3．二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图，给出下列四个结论：①20ac b -<；②320b c +<；③()m am b b a ++≤；④22()a c b +<；其中正确结论的个数有（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 4．抛物线222=++y x x 与y 轴的交点坐标为（ ） A ．（1，0）B ．（0，1）C ．（0，0）D ．（0，2）5．二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，那么一次函数y ax bc =+的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．6．如图，现要在抛物线y ＝x （﹣x +2）上找点P （m ，n ），针对n 的不同取值，所找点P 的个数，四人的说法如下，甲：若n ＝﹣1，则点P 的个数为2；乙：若n ＝0，则点P 的个数为1；丙：若n ＝1，则点P 的个数为1；丁：若n ＝2，则点P 的个数为0．其中说法正确的有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 7．抛物线y ＝x 2﹣2x ﹣1的对称轴是（ ）A ．直线x ＝﹣2B ．直线x ＝﹣1C ．直线x ＝1D ．直线x ＝28．已知抛物线24y x bx =++的顶点在x 轴上，则b 的值为（ ） A ．2B ．4C ．-4D ．9．如图，已知二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象与x 轴交于点()1,0A -，对称轴为直线1x =，下列结论：①0abc <；②930a b c ++=；③20a b +=；④2am bm a b +<+（m 是任意实数），其中正确的是（ ）A ．①②B ．②③C ．①②③D ．②③④10．函数k y x=与()20y kx k k =-≠在同一直角坐标系中的图象大致是下图中的（ ） A ． B ． C ． D ．11．如图，二次函数2y ax bx =+的图象开口向下，且经过第三象限的点P ．若点P 的横坐标为1-，则一次函数()y a b x b =--的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．12．在平面直角坐标系中，下列二次函数的图象开口向上的是（ ） A ．22y x =B ．221y x x =-++C ．22y x x =-+D ．20.5y x x =-+二、填空题13．已知：二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a≠0）中的x 和y 满足如表： x … 0 1 2 3 45 …y … 3 0-1 0 m 8 …（2）求出这个二次函数的解析式_____； （3）当0＜x ＜3时，则y 的取值范围为_____．14．已知二次函数y=ax 2﹣4ax+4，当x 分别取x 1、x 2两个不同的值时，函数值相等，则当x 取x 1+x 2时，y 的值为________________________15．如图，已知在边长为6的正方形FCDE 中，A 为EF 的中点，点B 在边FC 上，且2BF =，连接AB ，P 是AB 上的一动点，过点P 作PM DE ⊥，PN DC ⊥，垂足分别为M ，N ，则矩形PNDM 面积的最大值是______．16．若A （m-2，n ），B （m+2，n ）为抛物线2()2020y x h =--+上两点，则n=_______．17．如图，单孔拱桥的形状近似抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，在正常水位时，水面宽度OA 为12m ，拱桥的最高点B 到水面OA 的距离为6m ．则抛物线的解析式为________．18．已知抛物线2(0)y ax bx c a =++>经过(2,0)A ，(4,0)B 两点．若()15,P y ，()2,Q m y 是抛物线上的两点，且12y y >，则m 的取值范围是______．19．已知关于x 的函数2222y x x a a =---的图象与x 轴只有两个公共点，则a 的取值范围是_____．20．教练对小明推铅球的录像进行技术分析，如图，发现铅球行进高度()ym 与水平距离()x m 之间的关系为()21184105y x =--+ ，由此可知铅球推出的距离_____ m ．三、解答题21．商场购进某种新商品的每件进价为120元，在试销期间发现，当每件商品的售价为130元时，每天可销售70件；当每件商品的售价高于130元时，每涨价1元，日销售量就减少1件，据此规律，请回答下列问题．（1）当每件商品的售价为140元时，每天可销售_________件商品，商场每天可盈利______元；（2）设销售价定为x 元时，商品每天可销售________件，每件．．盈利_______元； （3）在销售正常的情况下，每件商品的销售价定为多少时，商场每天盈利达到1500元； （4）这次活动中，1500元是最高日盈利吗？若是，请说明理由；若不是，请试求最高盈利．22．某公司以30元/千克的价格购进一批藜麦进行销售．若以每千克35元的价格销售，每天可售出450千克．当售价每涨0.5元时，日销售量就会减少15千克．设当天藜麦的销售单价为x （元/千克）（30x ≥，且x 是按0.5元的倍数上涨），销售量为y （千克），销售利润为w 元． （1）完成下表； 销售单价x （元/千克） 35 36404550日销售量y （千克）450（3）为保证某天获得2880元的销售利润，且销售量较大，则该天的销售单价应定为多少？（4）该公司应该如何确定这批藜麦的销售单价，才能使日销售利润最大？最大利润是多少？23．在平面直角坐标系xOy 中，二次函数y ＝ax 2+2x ﹣3a （a ≠0）交x 轴于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），且抛物线的对称轴为直线x ＝﹣1． （1）求此抛物线的解析式及A 、B 两点坐标；（2）若抛物线交y 轴于点C ，顶点为D ，求四边形ABCD 的面积．24．已知二次函数223(0)y mx mx m m =-->的图像与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 左侧），顶点为C ．（1）求A ，B 两点的坐标；（2）连接,BC AC ，若ABC 为等边三角形，求m 的值．25．在2020年新冠肺炎抗疫期间，萌萌决定在淘宝上销售一批口罩，经市场调查，某类型口罩进价每袋为20元，当售价每袋为30元时，销售量为250袋，若销售单价每提高1元，销售量就会减少5袋；（1）直接写出萌萌销售该类型口罩销售量y （袋）与销售单价x （元）之间的函数关系式；每天所得销售利润w （元）与销售单价x （元）之间的函数关系式；（2）若每天销售量不少于100袋，且每袋口罩的销售利润至少为17元，则销售单价为多少元时，此时利润最大，最大利润是多少？26．如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标是()0,2．试寻找一些点，使他们满足“到点A 与到x 轴的距离相等”．小明在探究过程中首先想到了OA 的中点M 满足条件，点M 到点A 和x 轴的距离都是1．接着，小明过x 轴上一点()4,0B 作x 轴的垂线l ．他认为在l 上应该有一个点N 到点A 与到x 轴的距离相等．（1）请你用尺规作图找出点N （不写画法，保留作图痕迹）并求出点N 的坐标； （2）小明用同样的方法又找出了一些符合条件的点，并把这些点用平滑的曲线连接起来他发现这些点在一条对称轴为y 轴的抛物线上．请你根据以上探究和发现，求出这条抛物线的解析式；（3）请直接写出平面内到点A 和直线2y =-距离相等的点所在抛物线的解析式．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C解析：C 【分析】由表格可得点()0,3与点()2,3是关于二次函数对称轴对称的，则有二次函数的对称轴为直线0212x +==，进而可得点()1,4是二次函数的顶点，故设二次函数解析式为()214y a x =-+，然后代入点()1,0-可得二次函数解析式，最后问题可求解．【详解】解：由表格可得点()0,3与点()2,3是关于二次函数对称轴对称的，则有二次函数的对称轴为直线0212x +==， ∴点()1,4是二次函数的顶点，设二次函数解析式为()214y a x =-+，代入点()1,0-可得：1a =-，∴二次函数解析式为()214y x =--+，∵该二次函数图象向左平移后通过原点， ∴设平移后的解析式为()214y x b =--++，代入原点可得：()2014b =--++，解得：123,1b b ==-(舍去)， ∴该二次函数的图象向左平移3个单位长度； 故选C ． 【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质及平移，熟练掌握二次函数的图象与性质及平移是解题的关键．2．C解析：C 【分析】设解析式为()()12y x x m n =---+，得对称轴为32m x +=，由抛物线与x 轴只有一个交点得顶点为3,02m +⎛⎫⎪⎝⎭，代入()()12y x x m n =---+整理后即可得出结论． 【详解】解：设解析式为()()12y x x m n =---+ ∵A ，B 两点关于对称轴对称 ∴对称轴为直线12322m m x +++== ∵二次函数与x 轴只有一个交点∴顶点为3,02m +⎛⎫⎪⎝⎭把3,02m +⎛⎫⎪⎝⎭代入()()12y x x m n =---+ ∴3312022m m m n ++⎛⎫⎛⎫---+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∴1102222m m n ⎛⎫⎛⎫+--+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∴()214m n +=故选：C 【点睛】本题考查的是抛物线与x 轴的交点问题，根据题意得出抛物线的对称轴方程是解答此题的关键．3．D解析：D 【分析】利用二次函数图象的相关知识与函数系数的联系，需要根据图形，逐一判断． 【详解】解：∵抛物线开口向下，所以a<0，与y 轴交于正半轴，所以c ＞0， ∴ac<0，∵b²≥0，∴20ac b -<，∴①正确； ∵把x=1代入抛物线得：y=a+b+c ＜0， ∴2a+2b+2c ＜0，∵-2ba -=-1， ∴b=2a ，∴3b+2c ＜0，∴②正确； ∵抛物线的对称轴是直线x=-1， ∴y=a-b+c 的值最大，即把x=m 代入得：y=am 2+bm+c≤a -b+c ， ∴am 2+bm+b≤a ，即m （am+b ）+b≤a ，∴③正确； ∵a+b+c ＜0，a-b+c ＞0， ∴（a+c+b ）（a+c-b ）＜0， 则（a+c ）2-b 2＜0， 即（a+c ）2＜b 2，故④正确； 故选：D ． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，在解题时要注意二次函数的系数与其图象的形状，对称轴，特殊点的关系，也要掌握在图象上表示一元二次方程ax 2+bx+c=0的解的方法，同时注意特殊点的运用．4．D解析：D 【分析】令x=0，则y=2，抛物线与y 轴的交点为 (0，2) 【详解】 令x=0，则y=2，∴抛物线与y 轴的交点为(0，2)， 故选：D ． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象及性质，会求函数图象与坐标轴的交点是解题的关键；5．B解析：B 【分析】根据二次函数的图像，确定a ，b ，c 的符号，后根据一次函数k,b 的符号性质确定图像的分布即可． 【详解】∵抛物线的开口向下， ∴a ＜0；∵抛物线与y 轴交于正半轴， ∴c ＞0，∵抛物线的对称轴在原点的左边，∴2ba -＜0，且a ＜0， ∴b ＜0， ∴bc ＜0；∴y ax bc =+的图像分布在第二，第三，第四象限，故选B ． 【点睛】本题考查了二次函数的图像，一次函数的图像，熟练掌握二次函数的图像与各系数之间的关系，一次函数中k ，b 与图像分布之间的关系是解题的关键．6．D解析：D 【分析】把P 点的坐标代入函数的解析式，再根据根的判别式或解方程逐个判断即可． 【详解】解：甲：当n＝﹣1时，m（﹣m+2）＝﹣1，整理得：m2﹣2m﹣1＝0，△＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）＝8＞0，方程有两个不相等的实数根，即此时点P的个数为2，故甲的说法正确；乙：当n＝0时，m（﹣m+2）＝0，解得：m＝0或2，即此时点P的个数为2，故乙的说法错误；丙：当n＝1时，m（﹣m+2）＝1，整理得：m2﹣2m+1＝0，△＝（﹣2）2﹣4×1×1＝0，方程有两个相等的实数根，即此时点P的个数为1，故丙的说法正确；丁：当n＝2时，m（﹣m+2）＝2，整理得：m2﹣2m+2＝0，△＝（﹣2）2﹣4×1×2＝﹣4＜0，方程没有实数根，即此时点P的个数为0，故丁的说法正确；所以正确的个数是3个，故选：D．【点睛】本题考查了二次函数的图象上点的坐标特征和一元二次方程的根的判别式、解一元二次方程，能熟记根的判别式的内容是解此题的关键．7．C解析：C【分析】先将抛物线化为顶点式，即可解决问题．【详解】解：因为抛物线y＝x2﹣2x﹣1＝x2﹣2x+1﹣2＝(x﹣1)2﹣2，所以对称轴是直线x＝1．故选：C．【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是能将抛物线化为顶点式．8．D解析：D【分析】抛物线的顶点在x轴上，则顶点的纵坐标为0，根据顶点纵坐标公式，列方程求解．【详解】解：抛物线24y x bx =++的顶点纵坐标为241441b ⨯⨯-⨯，∵顶点在x 轴上，∴241441b ⨯⨯-⨯=0，解得b 2=16， b=±4． 故选：D ． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，抛物线y=ax 2+bx+c 的顶点在x 轴上，则顶点坐标的纵坐标为0．9．B解析：B 【分析】①抛物线开口向上，对称轴为直线x ＝1，即可得出a ＞0、b ＜0、c ＜0，进而可得出abc ＞0，结论①错误；②由抛物线的对称轴以及与x 轴的一个交点坐标，可得出另一交点坐标为（3，0），进而可得出9a ＋3b ＋c ＝0，结论②正确；③由对称轴直线x=1，可得结论③正确；④2()()0am bm a b +-+≥，可得结论④错误．综上即可得出结论． 【详解】解：①∵抛物线开口向上，对称轴为直线x ＝1，∴a ＞0，12ba-=，c ＜0， ∴b ＝−2a ＜0，∴abc ＞0，结论①错误；②∵二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a≠0）的图象与x 轴交于点A （−1，0），对称轴为直线x ＝1，∴二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a≠0）的图象与x 轴的另一个交点为（3，0）， ∴9a ＋3b ＋c ＝0，结论②正确； ③∵对称轴为直线x ＝1， ∴12ba-=，即：b ＝−2a ， ∴20a b +=，结论③正确；④∵222()()(2)(2)2am bm a b am am a a am am a +-+=---=-+22(21)(1)a m m a m =-+=-≥0，∴2am bm a b +≥+，结论④错误． 综上所述，正确的结论有：②③． 故选：B ． 【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点、二次函数图象与系数的关系、二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征，逐一分析四条结论的正误是解题的关键．10．B解析：B 【分析】根据k>0，k<0，结合反比例函数及二次函数图象及其性质分类讨论． 【详解】解：分两种情况讨论：①当k>0时，反比例函数k y x=在一、三象限，而二次函数()20y kx k k =-≠开口向上，与y 轴交点在原点下方，故C 选项错误，B 选项正确；②当k<0时，反比例函数k y x=在二、四象限，而二次函数()20y kx k k =-≠开口向下，与y 轴交点在原点上方，故A 选项与D 选项错误． 故选B ． 【点睛】本题考查了反比例函数图象性质和二次函数图象性质．关键是根据k>0，k<0，结合反比例函数及二次函数图象及其性质分类讨论．11．C解析：C 【分析】根据二次函数的图象可以判断a 、b 、-a b 的正负情况，从而得以解决． 【详解】解：由二次函数的图象开口向下，且经过第三象限的点P ，点P 的横坐标为1-， 则有0a <，对称轴在y 轴的左边， ∴02b a-<，且122b a ∴0b <，且a b < ∴0a b -<，∴一次函数()y a b x b =--的图像向下，并且与y 轴交于正半轴， 故选：C ． 【点睛】本题考查二次函数的性质、一次函数的性质，熟悉相关性质是解答本题的关键．12．A解析：A 【分析】二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0），①当a ＞0时，抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的开口向上；②当a ＜0时，抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的开口向下，据此判断即可．【详解】解：A 、∵a＞0，∴2y =的图象开口向上，故本选项符合题意；B 、∵a ＝﹣1＜0，∴y ＝﹣x 2+2x +1的图象开口向下，故本选项不符合题意； C 、∵a ＝﹣2＜0，∴y ＝﹣2x 2+x 的图象开口向下，故本选项不符合题意； D 、∵a ＝﹣0.5＜0，∴y ＝﹣0.5x 2+x 的图象开口向下，故本选项不符合题意； 故选：A ． 【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．二、填空题13．【分析】（1）先求得对称轴然后根据抛物线的对称性即可求得；（2）把点（03）（10）（30）代入设抛物线解析式利用待定系数法求函数解析式；（3）利用图表和抛物线的性质即可得出答案【详解】解：（1）∵ 解析：243y xx =-+13y -≤<【分析】（1）先求得对称轴，然后根据抛物线的对称性即可求得；（2）把点（0,3）、（1,0）、（3,0）代入设抛物线解析式，利用待定系数法求函数解析式；（3）利用图表和抛物线的性质即可得出答案． 【详解】解：（1）∵抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）过点（1，0），（3，0）， ∴抛物线对称轴为直线x 132+==2， ∴点（0，3）关于对称轴的对称点是（4，3）， ∴m ＝3， 故答案为3；（2）把点（0,3）、（1,0）、（3,0）代入设抛物线解析式y ＝ax 2＋bx ＋c 得30930c a b c a b c =⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，解得413a c b =⎧==-⎪⎨⎪⎩，∴抛物线的解析式为y ＝x 2﹣4x +3， 故答案为y ＝x 2﹣4x +3；（3）由抛物线的性质得当x=2时，y 有最小值-1， 由图表可知抛物线y ＝ax 2+bx +c 过点（0，3），（3，0）， 因此当0＜x ＜3时，则y 的取值范围为是﹣1≤y ＜3． 【点睛】此题考查待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，掌握待定系数法求函数解析式的方法与步骤是解决问题的关键．14．4【分析】根据二次函数的性质和二次函数图象具有对称性可以求得的值从而可以求得相应的y 的值【详解】解：∵y=当x 分别取两个不同的值时函数值相等∴∴当x 取时y=故答案为4【点睛】本题考查二次函数图象上的解析：4 【分析】根据二次函数的性质和二次函数图象具有对称性，可以求得12x x +的值，从而可以求得相应的y 的值． 【详解】解：∵y=()2244244ax ax a x a -+=--+，当x 分别取 12,x x 两个不同的值时，函数值相等，∴124x x +=， ∴当x 取12x x +时， y=()242444a a --+=， 故答案为4． 【点睛】本题考查二次函数图象上的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．15．24【分析】以FE 为x 轴以FC 为y 轴先建立平面直角坐标系求出AB 的解析式为设P （a ）用含a 的式子表示出PMPN 根据矩形面积公式列式根据二次函数的性质即可求解【详解】解：以FE 为x 轴以FC 为y 轴建立平解析：24 【分析】以FE 为x 轴，以FC 为y 轴，先建立平面直角坐标系，求出A B 的解析式为223AB y x =--，设P （a ，223a --），用含a 的式子表示出PM ，PN ，根据矩形面积公式列式，根据二次函数的性质即可求解．【详解】解：以FE 为x 轴，以FC 为y 轴，建立平面直角坐标系，∵边长为6的正方形FCDE 中，A 为EF 的中点，2BF =， ∴A （-3，0），B （0，-2），C （0，-6），E （-6，0）， 设A B 的解析式为AB y kx b =+，则032k b b =-+⎧⎨=-⎩，解得232k b ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩， ∴223AB y x =--（30x -≤≤）， 设P （a ，223a --）（30a -≤≤），则PM=6+a ，PN=()2226433a a ----=-， ∴()2PNDM 22=642433S a a a ⎛⎫+-=-+ ⎪⎝⎭矩形， ∴当a =0时，矩形PNDM 面积的最大值是24． 故答案为：24． 【点睛】本题考查了二次函数的应用问题，用待定系数法求一次函数的解析式，矩形的面积，正方形的性质等知识点，能灵活运用知识点是解此题的关键．16．2016【分析】根据二次函数的图象与性质可得抛物线的对称轴为再利用m-2+m+2=2h 解得m=h 则可得A （h−2n ）B （h ＋2n ）将B （h ＋2n ）代入函数关系式即可求出结果【详解】解：∵A （m-2n解析：2016 【分析】根据二次函数的图象与性质可得抛物线2()2020y x h =--+的对称轴为x h =，再利用m-2+m+2=2h ，解得m=h ，则可得A （h−2，n ），B （h ＋2，n ），将B （h ＋2，n ）代入函数关系式即可求出结果． 【详解】解：∵A （m-2，n ），B （m+2，n ）是抛物线2()2020y x h =--+上两点，∴抛物线2()2020y x h =--+的对称轴为x h =， ∴m-2+m+2=2h ，解得m=h ，∴A （h−2，n ），B （h ＋2，n ），当x ＝h ＋2时，n ＝−（h ＋2−h ）2＋2020＝2016， 故答案为：2016． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是掌握二次函数图象上的点的坐标特征并灵活运用所学知识解决问题．17．【分析】根据题意得到顶点B 的坐标为(66)设抛物线解析式为y=a （x-6）2+6将点O （00）代入求出a 即可得到函数解析式【详解】根据题意可知：顶点B 的坐标为(66)∴设抛物线解析式为y=a （x-6解析：21(6)66y x =--+【分析】根据题意得到顶点B 的坐标为(6，6)，设抛物线解析式为y=a （x-6）2+6，将点O （0,0）代入，求出a 即可得到函数解析式． 【详解】根据题意可知：顶点B 的坐标为(6，6)，∴设抛物线解析式为y=a （x-6）2+6，将点O （0,0）代入， 36a+6=0， 解得a=16-， ∴抛物线的解析式为21(6)66y x =--+， 故答案为：21(6)66y x =--+． 【点睛】此题考查待定系数法求函数解析式，根据实际问题得到图象上点的坐标，设定函数解析式是解题的关键．18．【分析】根据图像经过的两点确定抛物线的对称轴利用对称轴确定P 的对称点利用数形结合思想确定m 的范围即可【详解】∵抛物线经过两点∴解得b=-6a ∴抛物线的对称轴为直线x==3∴的对称点为∵∴故填【点睛】解析：15m <<. 【分析】根据图像经过的两点，确定抛物线的对称轴，利用对称轴，确定P 的对称点，利用数形结合思想，确定m 的范围即可. 【详解】∵抛物线2(0)y ax bx c a =++>经过(2,0)A ，(4,0)B 两点，∴4201640a b c a b c ++=⎧⎨++=⎩，解得b=-6a ，∴抛物线的对称轴为直线x=2b a-=3, ∴()15,P y 的对称点为()11,P y '， ∵12y y >， ∴15m <<， 故填15m <<. 【点睛】本题考查了二次函数的对称性，熟记二次函数的性质是解题的关键.19．或或【分析】由可得：或然后分两种情况进行求解即可；【详解】由可得：或当即时符合题意；当与异号即或时符合题意故答案为：或或【点睛】本题主要考查了抛物线与x 轴的交点问题主要考查函数图象上点的坐标特征要求解析：2a <-或0a >或1a =- 【分析】由22220x x a a ---=可得：x a =-或2a +，然后分两种情况进行求解即可； 【详解】由22220x x a a ---=可得：x a =-或2a +， 当2a a -=+，即1a =-时，符合题意；当a -与2a +异号，即2a <-或0a >时，符合题意， 故答案为：2a <-或0a >或1a =-． 【点睛】本题主要考查了抛物线与x 轴的交点问题，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法．20．10【分析】根据铅球落地时高度y=0实际问题可理解为当y=0时求x 的值即可【详解】解：令函数式中y=00=解得x1=10x2=-2（舍去）即铅球推出的距离是10m 故答案为：10【点睛】本题考查了二次解析：10 【分析】根据铅球落地时，高度y=0，实际问题可理解为当y=0时，求x 的值即可． 【详解】解：令函数式()21184105y y x ==--+中，y=0， 0=()21184105x --+， 解得x 1=10，x 2=-2（舍去）， 即铅球推出的距离是10m ． 故答案为：10．本题考查了二次函数的应用，取函数或自变量的特殊值列方程求解是解题的关键．三、解答题21．（1）60，1200；（2）200-x ，x -120；（3）150元或170元；（4）不是，最高盈利为1600元 【分析】（1）根据当每件商品的售价高于130元时，每涨价1元，日销售量就减少1件，即可求得每天的销量，然后根据盈利=销量×（售价-进价）求出每天的盈利；（2）根据销量=70-（销售价-130）可求出每天的销量，根据盈利=售价-进价可求出每件盈利；（3）设每天盈利为y ，销售价定为x 元，根据盈利=销量×（售价-进价）列出函数关系式，求出当y =1500时x 的值即可；（4）根据（3）求出的函数关系式，利用配方法求出最大值，并求出此时x 的值． 【详解】解：（1）由题意得，每天可销售：70-（140-130）=60（件）， 商场可盈利为：60×（140-120）=1200（元）， （2）设销售价定为x 元， 则销售量为：70-（x -130）=200-x ， 每件盈利为：x -120，（3）设每天盈利为y ，销售价定为x 元， 由题意得，y =（200-x ）（x -120）=-x 2+320x -24000， 当y =1500时， 解得：x 1=150，x 2=170，答：每件商品的销售价定为150元或170元时，商场每天盈利可达到1500元． （4）不是．y =-x 2+320x -24000=-（x -160）2+1600， ∵-1＜0，∴函数图象开口向下，函数有最大值，即当售价160元时，每天盈利最大，每天最大盈利为1600元． 故答案为：60，1200；：（200-x ），（x -120）． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，解答本题的关键是根据题意得到每天的销量及每件的利润，得出函数表达式，要求熟练掌握配方法求最值的运用．22．（1）420；300；150；0；（2）301500y x =-+；（3）38元/千克；（4）销售单价定为40元/千克时，才能使日销售利润最大，最大利润是3000元． 【分析】（1）根据题意，填写表格即可；（2）设y kx b =+，将(35,450)、(40,300)代入，可得出k 、b 的值，继而得出y 与x 的函（3）每天的总利润=每天的销量⨯每千克的利润，从而可得一元二次方程，利用配方法求解最值即可；（4）由（3）知，日销售利润()()()23015003030403000w x x x =-+-=--+，据此求解即可． 【详解】解：（1）根据题意，填表如下：设其函数表达式为y kx b =+．则40300500k b k b +=⎧⎨+=⎩解得30k =-，1500b =．∴所求的函数表达式为301500y x =-+．（3）日销售利润为()()()3030150030w y x x x =-=-+-， 由题意，得()()301500302880x x -+-=． 整理，得28015960x x -+=． 解得142x =，238x =．∵销售单价为38元/千克时的销售量比销售单价为42元/千克时大， ∴舍去142x =，保留238x =．答：为保证某天获得2880元的销售利润，且销售量较大，则该天的销售单价应定为38元/千克．（4）由（3）知，日销售利润()()30150030w x x =-+-，即()222(302400450003080150030403000)w x x x x x =-+-=--+=--+． ∵300-<，∴当40x =时，3000w 最大值=元．故这批藜麦的销售单价定为40元/千克时，才能使日销售利润最大，最大利润是3000元． 【点睛】本题考查了二次函数的应用及一元二次方程的应用，解答本题的关键是仔细审题，得出利润w 与售价x 的函数关系式，注意掌握配方法求二次函数最值的应用．23．（1）y ＝x 2+2x ﹣3，A （﹣3，0），B （1，0）；（2）四边形ABCD 的面积是9 【分析】（1）根据抛物线对称轴方程x ＝b2a 求得a 的值，继而确定函数解析式；将二次函数解析式转换为交点式，直接写出A 、B 两点坐标；（2）由抛物线解析式求得点C 、D 的坐标，然后利用分割法求得四边形ABCD 的面积．解：（1）根据题意知，抛物线的对称轴为x ＝﹣22a＝﹣1，则a ＝1． 故该抛物线解析式是：y ＝x 2+2x ﹣3． 因为y ＝x 2+2x ﹣3＝（x+3）（x ﹣1）， 所以A （﹣3，0），B （1，0）； （2）如图：由（1）知，A （﹣3，0），B （1，0）， 由抛物线y ＝x 2+2x ﹣3知，C （0，﹣3）． ∵y ＝x 2+2x ﹣3＝（x+1）2﹣4， ∴D （﹣1，﹣4），E （﹣1，0）． ∴AE ＝2，OC ＝3，OE ＝1，OB ＝1，ED ＝4， ∴S 四边形ABCD ＝S △BOC +S 梯形OEDC +S △DAE ＝12×1×3+12（3+4）×1+12×2×4＝9． 即四边形ABCD 的面积是9． 【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点以及二次函数的性质，得出各点的坐标是解答本题的突破口，另外注意将不规则图形的面积转化为几个规则图形的面积和进行求解． 24．（1）(1,0)A -，(3,0)B ；（2）32m = 【分析】（1）把y=0代入，解方程即可；（2）求出顶点坐标，过C 作CD AB ⊥于D ，求出CD 即可． 【详解】解：（1）2230mx mx m --=， ∵0m >，方程两边同时除以m 得，2230x x --=解得，13x =，21x =-∴A ，B 两点的坐标分别为：(1,0)A -，(3,0)B ．（2）抛物线223(0)y mx mx m m =-->的顶点横坐标为：212m x m-=-=， 把x=1代入223y mx mx m =--得，y=-4m ， 抛物线的顶点C 的坐标为：(1,4)C m -由（1）得，AB=4，过C 作CD AB ⊥于D ，∵ABC 为等边三角形，∴AD=2，AC=4， ∴22224223CD AC AD =-=-=∵点C 在第四象限，∴43m =∴3m =． 【点睛】 本题考查求二次函数与x 轴交点，等边三角形的性质，解题关键是熟练的解一元二次方程，根据已知条件，找到坐标与线段的关系．25．（1）y ＝﹣5x +400；w ＝﹣5x 2+500x ﹣8000；（2）销售单价定位50元时，此时利润最大，最大利润是4500元．【分析】（1）先列出y 关于x 的函数关系式，然后再根据题意得到销售利润w （元）与销售单价x （元）之间的函数关系式；（2）根据题意先确定x 的取值范围，再根据二次函数的性质即可解决最值问题．【详解】解：（1）根据题意得，y ＝250﹣5（x ﹣30）＝﹣5x +400；则w ＝（x ﹣20）（﹣5x +400）＝﹣5x 2+500x ﹣8000，故答案为：y ＝﹣5x +400；w ＝﹣5x 2+500x ﹣8000；（2）根据题意得，54001002017x x -+≥⎧⎨-≥⎩，解得：37≤x ≤60，∵函数 w ＝﹣5x 2+500x ﹣8000＝﹣5（x ﹣50）2+4500，∴当x ＝50时，w 最大值＝4500．答：销售单价定位50元时，此时利润最大，最大利润是4500元．【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题关键是根据题意列出解析式，应用二次函数的性质求最值．26．（1）见解析；N ()4,5；（2）2114y x =+；（3）218y x = 【分析】（1）利用尺规作图，作出线段AB 的垂直平分线即可；（2）设出抛物线的解析式，结合题意分析出点M 为抛物线的顶点，点N 在抛物线上，利用待定系数法直接求解即可；（3）设出抛物线解析式，结合题意分析出抛物线经过原点，且经过点（4、2）点（-4、2）利用待定系数法求解即可．【详解】解：（1）如图，连接AB ，作线段AB 的垂直平分线，与直线l 相交于点N ，点N 即为所求．连接AN ，过点A 作AH BN ⊥于点H ，设点N 的坐标为()4,y由作图可知AN y =，在Rt ANH ∆中，4AH =，2NH y =-，22(2)16y y ∴=-+，解得5y =∴点N 的坐标为()4,5；（2）此抛物线关于y 轴对称，∴点()0,1M 是抛物线的顶点，设抛物线的解析式为21y ax =+，将点()4,5N 代入得，14a =， ∴抛物线的解析式为2114y x =+． （3）设抛物线的解析式为：2y ax bx c =++，结合题意可知抛物线经过原点，和点（4、2）点（-4、2）则有164216420a b b c +=⎧⎪-=⎨⎪=⎩解得1800a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩∴抛物线的解析式为：218y x =． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的尺规作图，待定系数法求函数解析式，解题关键是结合题意确定满足条件的点．。

(常考题)北师大版初中数学九年级数学下册第二单元《二次函数》检测卷(含答案解析)(3)

(常考题)北师大版初中数学九年级数学下册第二单元《二次函数》检测卷(含答案解析)(3)

一、选择题1．在同一直角坐标系中，函数y mx m =+和222y mx x =-++的图象可能是（ ） A ． B ．C ．D ．2．已知关于x 的一元二次方程()()250x m n x mn m n -++-=<有两个不相等的实数根(),,a b a b <则实数,,,m n a b 的大小关系可能是（ ）A ．m a b n <<<B ．m a n b <<<C ．a m n b <<<D ．a m b n <<<3．一次函数y ＝ax +b 与二次函数y ＝ax 2+bx +c 在同一坐标系中的图象可能是（ ） A ． B ．C ．D ．4．二次函数2y x bx c =++的图象经过坐标原点O 和点()7,0A ，直线AB 交y 轴于点()0,7B -，动点(),C x y 在直线AB 上，且17x <<，过点C 作x 轴的垂线交抛物线于点D ，则CD 的最值情况是（ ）A ．有最小值9B ．有最大值9C ．有最小值8D ．有最大值8 5．抛物线221y x =--的顶点坐标是（ ）A ．(2,1)--B ．(2,1)C ．(0,1)-D ．(0,1)6．下列函数中，当0x >时，y 随x 增大而增大的是（ ）A ．2y x =B ．22y x =+C ． 1y x =-+D ．22 y x =-- 7．如图为二次函数y ＝ax 2+bx+c 的图象，其对称轴为x ＝1，在下列结论中：①abc ＞0；②若方程ax 2+bx+c ＝0的根是x 1、x 2，则x 1+x 2＜0；③4a+2b+c ＜0；④当x ＞1时，y 随x 的增大而增大．正确的有（ ）A ．1B ．2C ．3D ．48．小凯在画一个开口向上的二次函数图象时，列出如下表格：x… -1 0 1 2 … y … 1 2 1 1 …A ．(-1，1)B ．(0，2)C ．(1，1)D ．(2，1) 9．将进货价为35元的商品按单价40元售出时，能卖出200个，已知该商品单价每上涨1元，其销售量就减少5个，设这种商品的售价为x 元时，获得的利润为y 元，则下列关系式正确的是（ ）A ．()()352005y x x =--B ．()()354005y x x =--C ．()()402005y x x =--D ．()()403755y x x =--10．已知二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象如图所示，若方程20ax bx c ++=的两个根为11x =，25x =-，下列结论中：①0bc >；②4b a =；③0a b c -+>；④540b c +=．其中所有正确的结论有（ ）A ．①②B ．③④C ．②③④D ．②③ 11．函数k y x =与()20y kx k k =-≠在同一直角坐标系中的图象大致是下图中的（ ） A ． B ． C ． D ． 12．已知函数223y x x =+-及一次函数y x m =-+的图象如图所示，当直线y x m =-+与函数223y x x =+-的图象有2个交点时，m 的取值范围是（ ）A ．3m <-B ．31m -<<C ．134m >或3m <- D ．31m -<<或134m > 二、填空题13．如果抛物线y=x 2-6x+c-2的顶点到x 轴的距离是4，则c 的值等于_________． 14．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10cm ，BC ＝8cm ，点P 从点A 沿AC 向点C 以1cm/s 的速度运动，同时点Q 从点C 沿CB 向点B 以2cm/s 的速度运动（点Q 运动到点B 停止），在运动过程中，四边形PABQ 的面积最小值为_____cm 215．如图，一段抛物线：()()303y x x x =--≤≤，记为1C ，它与x 轴交于点O ，1A ；将1C 绕点1A 旋转180°得2C ，交x 轴于点2A ；将2C 绕点2A 旋转180°得3C ，交x 轴于点3A ；……如此进行下去，直至得13C ．若()1,P m 在1C 上，则m =______．若()37,P n 在第13段抛物线13C 上，则n =______．16．二次函数y ＝x 2+2x ﹣4的图象的对称轴是_____，顶点坐标是_____．17．用一根长为24cm 的绳子围成一个矩形，则围成矩形的最大面积是_____cm 2． 18．将二次函数245y x x =-+化为()2y x h k =-+的形式，则y =________________． 19．已知抛物线2(0)y ax bx c a =++>经过(2,0)A ，(4,0)B 两点．若()15,P y ，()2,Q m y 是抛物线上的两点，且12y y >，则m 的取值范围是______．20．将抛物线243y x x =-+沿x 轴向左平移2个单位，则平移后抛物线的解析式是__．三、解答题21．已知抛物线y ＝x 2+bx +c 经过点（2，﹣3）和（4，5）．（1）求抛物线的函数解析式及顶点坐标；（2）将抛物线沿x 轴翻折，得到图象G ，直接写出图象G 的函数解析式．22．已知：抛物线y 1＝﹣x 2﹣2x +3的图象交x 轴于点A ，B （点A 在点B 的左侧）． （1）请在平面直角坐标系内画出二次函数y 1＝﹣x 2﹣2x +3的草图，并标出点A 的位置； （2）点C 是直线y 2＝﹣x +1与抛物线y 1＝﹣x 2﹣2x +3异于B 的另一交点，则点C 的坐标为 ；当y 1≥y 2时x 的取值范围是 ．23．某旅馆有客房120间，经市场调查发现，客房每天的出租数量y （间）与每间房的日租金x （元）的关系如图所示，为保证旅馆的收益，每天出租的房间数不少于90间． （1）结合图象，求出客房每天的出租的房间数y （间）与每间房的日租金x （元）之间的函数关系式和自变量的取值范围；（2）设客房的日租金总收入为W （元），不考虑其它因素，旅馆将每间客房的日租金定为多少元时，客房的日租金总收入最高？最高总收入为多少？24．如图，在平面直角坐标系中，(0,1)A ，(2,0)B ，将线段AB 绕原点O 逆时针旋转90°，得到线段A B ''，且点A '，B '，B 均在抛物线上．（1）求该抛物线的函数表达式．（2）该抛物线的对称轴上有一点Q ，使ABQ △是以AB 为直角边的直角三角形，求Q 点的坐标．25．某商店销售一种商品，每件进价为40元，对销售情况作了调查，结果发现月最大销售是y （件）与销售单价x （元）(5090)x ≤≤之间的函数关系如图中的线段AB ．（月最大销售量指进货量足够的情况下最多售出件数）（1）求出y与x之间的函数表达式．（2）该商品每月的总利润w（元），求w关于x的函数表达式，并指出销售单价x为多少元时利润w最大，该月进货数量应定为多少？（3）若该商店进货350件，如果销售不完，就以亏本36元/件计入总利润，则销售单价定为多少，当月月利润最大？26．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点A的坐标为（﹣1，0），与y轴交于点C（0，3），作直线BC．动点P在x轴上运动，过点P作PM⊥x轴，交抛物线于点M，交直线BC于点N，设点P的横坐标为m．（1）求抛物线的解析式和直线BC的解析式；（2）当点P在线段OB上运动时，求线段MN的最大值；（3）当点P在线段OB上运动时，若△CMN是以MN为腰的等腰直角三角形时，求m的值；（4）当以C、O、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出m的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】根据m的符号，针对二次函数、一次函数的图象位置，开口方向，分类讨论，逐一判断即可．A ：由函数y mx m =+的图像可知0m <，即函数222y mx x =-++开口应向上，与图像不符，故A 错误；B 、由函数y mx m =+的图像可知0m <，函数222y mx x =-++的对称轴21022b x a m m=-=-=<-，则对称轴应在y 轴的左侧与图像不符，故B 错误； C ：由函数y mx m =+的图像可知0m >，即函数222y mx x =-++开口应向下，与图像不符，故C 错误；D ：由函数y mx m =+的图像可知0m <，即函数222y mx x =-++开口向上，函数222y mx x =-++的对称轴21022b x a m m=-=-=<-，则对称轴应在y 轴的左侧与图像相符，故D 正确；故选：D ．【点睛】 本题主要考查了一次函数与二次函数图象，关键是熟练掌握一次函数y=kx+b 在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等． 2．C解析：C【分析】设抛物线解析式为y =x 2-(m +n )x +mn -5，根据题意可得当x =a 或x =b 时，y =0，分别求出当x =n ，x =m 时y 的符号，根据二次函数的性质即可得答案．【详解】设抛物线解析式为y=x 2-(m+n)x+mn-5，∵一元二次方程()()250x m n x mn m n -++-=<有两个不相等的实数根(),a b a b <， ∴当x =a 或x =b 时，y =0，∵1＞0，∴抛物线y =x 2-(m +n )x +mn -5图象的开口向上，与x 的交点坐标为（a ，0），（b ，0）， ∵a ＜b ，∴当a ＜x ＜b 时，y ＜0，当x =m 时，y =m 2-(m +n )m +mn -5=-5＜0，当x =n 时，y=n 2-(m +n )n +mn -5=-5＜0，∵m ＜n ，∴a ＜m ＜n ＜b ，故选：C ．【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数与一元二次方程之间的关系是解题关键．3．B【分析】先由一次函数y ax b =+的图象得到a 、b 的正负，再与二次函数2y ax bx c =++的图象的开口方向、对称轴位置相比较即可做出判断．【详解】解：A 、由抛物线可知，a ＜0，x ＝﹣2b a ＜0，得b ＜0，由直线可知，a ＞0，b ＞0，故本选项错误；B 、由抛物线可知，a ＜0，x ＝﹣2b a ＜0，得b ＜0，由直线可知，a ＜0，b ＜0，故本选项正确；C 、由抛物线可知，a ＞0，x ＝﹣2b a ＞0，得b ＜0，由直线可知，a ＞0，b ＞0，故本选项错误；D 、由抛物线可知，a ＜0，x ＝﹣2b a＜0，得b ＜0，由直线可知，a ＜0，b ＞0，故本选项错误．故选：B ．【点睛】本题主要考查一次函数的图象、二次函数2y ax bx c =++的图象与性质，熟练掌握两函数图象与解析式的系数的关系是解答的关键． 4．B解析：B【分析】根据待定系数法求得抛物线的解析式和AB 的解析式，设(,7)C x x -，则2(,7)D x x x -，根据图象的位置即可得出2(4)9CD x =--+，根据二次函数的性质即可求得．【详解】 解：二次函数2y x bx c =++的图象经过坐标原点O 和点(7,0)A ， ∴04970c b c =⎧⎨++=⎩，解得70b c =-⎧⎨=⎩， ∴二次函数为27y x x =-，(7,0)A ，(0,7)B -，∴直线AB 为：7y x =-，令277x x x -=-，解得：11x =，27x =，∴点E 的横坐标为1，则点C 始终在点D 上方，设(,7)C x x -，则2(,7)D x x x -，2227(7)87(4)9CD x x x x x x ∴=---=-+-=--+，17x ∴<<范围内，有最大值9，故选：B ．【点睛】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求一次函数的解析式，求二次函数的解析式，表示出CD 的关系式是解题的关键．5．C解析：C【分析】根据题目中的函数解析式可以直接写出该抛物线的顶点坐标．【详解】解：∵y=-2x 2-1，∴该抛物线的顶点坐标为（0，-1），故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次和函数的性质解答． 6．B解析：B【分析】根据二次函数、一次函数、反比例函数的增减性，结合自变量的取值范围，逐一判断．【详解】解：A 、2y x=，反比例函数，k=2＞0，分别在一、三象限，在每一象限内，y 随x 的增大而减小，不符合题意； B 、22y x =+，a=1＞0，开口向上，对称轴为y 轴，故当图象在对称轴右侧，y 随着x 的增大而增大，符合题意；C 、1y x =-+，一次函数，k=-1＜0，故y 随着x 增大而减小，不符合题意；D 、22y x =--，a=-1＜0，开口向下，对称轴为y 轴，故当图象在对称轴右侧，y 随着x 的增大而减小，不符合题意．故选：B ．【点睛】本题考查一次函数，二次函数及反比例函数的增减性，掌握函数图像性质利用数形结合思想解题是本题的解题关键．7．C解析：C【分析】根据开口方向、对称轴、抛物线与y 轴的交点，确定a 、b 、c 的符号，根据抛物线对称轴确定x 1+x 2的符号，根据当x=2时，判断4a+2b+c 的符号，根据二次函数的增减性对④进行判断．【详解】解：①∵开口向上，∴a ＞0，∵对称轴在y 轴的右侧，b ＜0，抛物线与y 轴交于负半轴，c ＜0，∴abc ＞0，∴①正确；②从图象可知，抛物线对称轴为直线x=122x x +=1，则x 1+x 2=2>0，∴②错误； ③抛物线对称轴是x=1，根据抛物线得对称性可知当x=2和x=0时函数值相等， ∴y=4a+2b+c ＜0，∴③正确；④抛物线开口向上，对称轴是x=1，当x ＞1时，y 随x 的增大而增大，∴④正确； 故选：C【点睛】本题考查的是二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的性质、灵活运用数形结合思想是解题的关键，解答时，要熟练运用抛物线的对称性和抛物线上的点的坐标满足抛物线的解析式．8．A解析：A【分析】观察图表数据，根据二次函数的对称性即可判断出计算错误的一组数据，然后再利用二次函数的增减性得出结论．【详解】解：观察y 值发现y =1时x 有三个不同的值，因此这三个值中必有一对计算错误.由二次函数的对称性：如果（-1，1），（1，1）是图象的两个对称点，那么根据描点得到这个函数图象的开口应该是向下的．同理若（-1，1），（2，1）是两个对称点，那么该函数图象的开口也是向下的，所以（1，1），（2，1）是图象的两个对称点，因此该图像的对称轴为直线032x =，根据二次函数的增减性，当开口向上时，在对称轴的左边，y 随x 的增大而减小，所以1x =-时，y 一定是大于1的，故选A ．【点睛】本题考查了二次函数的图象，找出图表数据特点，根据函数的对称性解答即可，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．9．B解析：B【分析】根据售价减去进价表示出实际的利润．【详解】解：设这种商品的售价为x 元时，获得的利润为y 元，根据题意可得：[](35)2005(40)y x x =--- 即y=（x-35）（400-5x ），故选：B ．【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是理解“商品每上涨1元，其销售量就减少5个”．10．C解析：C【分析】由方程20ax bx c ++=的两个根为11x =，25x =-方程变为2450ax ax a +-=，比较系数得4=5b a c a =-，，①()245200bc a a a =⋅-=-<，故①不正确，②4b a =正确，③80a b c a -+=->③正确，④54b c +换成a 计算即可确定④正确．【详解】解：二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象开口向下，0a <，∵方程20ax bx c ++=的两个根为11x =，25x =-，∴()()150a x x -+=，∴2450ax ax a +-=，比较系数得：4=5b a c a =-，，①()245200bc a a a =⋅-=-<，故①不正确， ②4b a =正确，③4580a b c a a a a -+=--=->，③正确，④()54=544520200b c a a a a +⨯+⨯-=-=，④正确．故选择：C ．【点睛】本题考查一元二次方程的根与系数关系，二次函数的性质，掌握一元二次方程的根与系数关系，二次函数的性质，解题关键是找出b,c 与a 的关系．11．B解析：B【分析】根据k>0，k<0，结合反比例函数及二次函数图象及其性质分类讨论．【详解】解：分两种情况讨论：①当k>0时，反比例函数k y x =在一、三象限，而二次函数()20y kx k k =-≠开口向上，与y 轴交点在原点下方，故C 选项错误，B 选项正确； ②当k<0时，反比例函数k y x=在二、四象限，而二次函数()20y kx k k =-≠开口向下，与y 轴交点在原点上方，故A 选项与D 选项错误．故选B ．【点睛】 本题考查了反比例函数图象性质和二次函数图象性质．关键是根据k>0，k<0，结合反比例函数及二次函数图象及其性质分类讨论．12．D解析：D【分析】作出函数223y x x =+-及一次函数y x m =-+的图象，根据图象性质讨论即可求出． 【详解】解：如图：函数223y x x =+-，当0y =时，1x =或3-， ()()3010A B ∴-，，，，当31x -<<时，223y x x =--+，当直线过点A 时，1个交点，此时()03m =--+，即3m =-，当3m >-时，有2个交点，当直线过点B 时，有3个交点，此时01m =-+，即1m =， ∴1m <时有2个交点，31m ∴-<<，当直线与抛物线相切时，有3个交点，223y x x y x m⎧=--+∴⎨=-+⎩， 由()1430m =--+=， 解得：134m =， 134m ∴>时有2个交点， 综上所述，31m -<<或134m >． 【点睛】 本题考查了一次函数与二次函数的交点问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．二、填空题13．7或15【分析】根据题意可知抛物线顶点纵坐标是±4化成顶点式求解即可【详解】解：∵抛物线y=x2-6x+c-2的顶点到x 轴的距离是4∴抛物线顶点纵坐标是±4抛物线y=x2-6x+c-2化成顶点式为：解析：7或15．【分析】根据题意可知，抛物线顶点纵坐标是±4，化成顶点式求解即可．【详解】解：∵抛物线y=x 2-6x+c-2的顶点到x 轴的距离是4，∴抛物线顶点纵坐标是±4，抛物线y=x 2-6x+c-2化成顶点式为：y=(x-3)2+c-11，c-11=4，c=15，c-11=-4，c=7，故答案为：7或15．【点睛】本题考查了抛物线的顶点坐标，解题关键是理解到x 轴的距离是纵坐标的绝对值，注意：分类讨论．14．15【分析】在Rt △ABC 中利用勾股定理可得出AC=6cm 设运动时间为t （0≤t≤4）则PC=（6-t ）cmCQ=2tcm 利用分割图形求面积法可得出S 四边形PABQ=S △ABC-S △CPQS 四边形P解析：15【分析】在Rt △ABC 中，利用勾股定理可得出AC=6cm ，设运动时间为t （0≤t≤4），则PC=（6-t ）cm ，CQ=2tcm ，利用分割图形求面积法可得出S 四边形PABQ =S △ABC -S △CPQ ，S 四边形PABQ =（t-3）2+15，则可求出四边形PABQ 的面积最小值，此题得解．【详解】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，BC=8cm，∴=6cm．设运动时间为t（0≤t≤4），则PC=（6-t）cm，CQ=2tcm，∴S四边形PABQ=S△ABC-S△CPQ，代入得：S四边形PABQ =12×6×8-12（6-t）×2t变形得：S四边形PABQ =（t-3）2+15，∴当t=3时，四边形PABQ的面积取最小值，最小值为15．故答案为：15．【点睛】本题考查了二次函数的最值以及勾股定理，利用分割图形求面积法，列出二次函数并进行变形求极值是解题的关键．15．2【分析】把点P（1m）坐标代入y＝﹣x（x﹣3）即可求出m的值再求出抛物线C1与x轴的交点坐标观察图形可知第奇数号抛物线都在x轴上方然后求出到抛物线C13平移的距离再根据向右平移横坐标加表示出抛物解析：2【分析】把点P（1，m）坐标代入y＝﹣x（x﹣3）即可求出m的值，再求出抛物线C1与x轴的交点坐标，观察图形可知第奇数号抛物线都在x轴上方，然后求出到抛物线C13平移的距离，再根据向右平移横坐标加表示出抛物线C13的解析式，然后把点P的坐标代入计算即可得解．【详解】解：∵点P（1，m）在C1上，∴m＝﹣1×（1﹣3）＝2，令y＝0，则﹣x（x﹣3）＝0，解得x1＝0，x2＝3，∴A1（3，0），由图可知，抛物线C13在x轴上方，相当于抛物线C1向右平移6×6＝36个单位得到，∴抛物线C13的解析式为y＝﹣（x﹣36）（x﹣36﹣3）＝﹣（x﹣36）（x﹣39），∵P（37，m）在第13段抛物线C13上，∴m＝﹣（37﹣36）（37﹣39）＝2．故答案为：2，2．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，利用点的变化确定函数图象的变化更简便，平移的规律：左加右减，上加下减．16．直线x＝﹣1（﹣1﹣5）【分析】把一般式化为顶点式计算即可；【详解】∵y＝x2+2x﹣4＝（x+1）2﹣5∴该函数图象的对称轴是直线x＝﹣1顶点坐标为（﹣1﹣5）故答案为：直线x＝﹣1（﹣1﹣5）【解析：直线x＝﹣1 （﹣1，﹣5）【分析】把一般式化为顶点式计算即可；【详解】∵y＝x2+2x﹣4＝（x+1）2﹣5，∴该函数图象的对称轴是直线x＝﹣1，顶点坐标为（﹣1，﹣5），故答案为：直线x＝﹣1，（﹣1，﹣5）．【点睛】本题主要考查了二次函数对称轴和顶点坐标的求解，准确计算是解题的关键．17．36【分析】设围成矩形的长为xcm则宽为＝（12﹣x）cm设围成矩形的面积为Scm2根据矩形的面积公式列出S关于x的二次函数将其写成顶点式根据二次函数的性质可得答案【详解】解：设围成矩形的长为xcm解析：36【分析】设围成矩形的长为xcm，则宽为2422x-＝（12﹣x） cm，设围成矩形的面积为Scm2，根据矩形的面积公式列出S关于x 的二次函数，将其写成顶点式，根据二次函数的性质可得答案．【详解】解：设围成矩形的长为xcm，则宽为2422x-＝（12﹣x） cm，设围成矩形的面积为Scm2，由题意得：S＝x（12﹣x）＝﹣x2+12x＝﹣（x﹣6）2+36，∵二次项系数为负，抛物线开口向下，∴当x＝6cm时，S有最大值，最大值为36cm2．故答案为：36．【点睛】本题考查了二次函数在几何图形问题中的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键；18．【分析】利用配方法将原抛物线解析式化为顶点式【详解】解：y=x2-4x+5=x2-4x+4+1∴y=（x-2）2+1故答案是:【点睛】此题主要考查了配方法将二次函数一般式化为顶点式掌握配方法是关键解析：()221x-+【分析】利用配方法将原抛物线解析式化为顶点式，【详解】解： y=x 2-4x+5=x 2-4x+4+1，∴y=（x-2）2+1，故答案是: ()221x -+．【点睛】此题主要考查了配方法将二次函数一般式化为顶点式，掌握配方法是关键． 19．【分析】根据图像经过的两点确定抛物线的对称轴利用对称轴确定P 的对称点利用数形结合思想确定m 的范围即可【详解】∵抛物线经过两点∴解得b=-6a ∴抛物线的对称轴为直线x==3∴的对称点为∵∴故填【点睛】解析：15m <<.【分析】根据图像经过的两点，确定抛物线的对称轴，利用对称轴，确定P 的对称点，利用数形结合思想，确定m 的范围即可.【详解】∵抛物线2(0)y ax bx c a =++>经过(2,0)A ，(4,0)B 两点，∴4201640a b c a b c ++=⎧⎨++=⎩， 解得b=-6a ，∴抛物线的对称轴为直线x=2b a-=3, ∴()15,P y 的对称点为()11,P y '，∵12y y >，∴15m <<，故填15m <<.【点睛】本题考查了二次函数的对称性，熟记二次函数的性质是解题的关键.20．y=x2-1【分析】先把抛物线写成顶点式再写出平移后的顶点根据顶点式可求平移后抛物线的解析式【详解】解：∴原抛物线顶点坐标为(2-1)向左平移2个单位平移后抛物线顶点坐标为(0-1)∴平移后抛物线解解析：y=x 2-1【分析】先把抛物线写成顶点式，再写出平移后的顶点，根据顶点式可求平移后抛物线的解析式．【详解】解：()22-4+3-2-1y x x x ==，∴原抛物线顶点坐标为(2，-1)，向左平移2个单位，平移后抛物线顶点坐标为(0，-1)，∴平移后抛物线解析式为：21y x =-，故答案为：21y x =-．【点睛】本题考查了抛物线的平移与抛物线解析式的关系，关键是把抛物线的平移转化为顶点的平移，运用顶点式求抛物线的解析式．三、解答题21．（1）y =（x ﹣1）2﹣4，抛物线的顶点坐标为（1，﹣4）；（2）y ＝﹣x 2+2x +3【分析】（1）直接把A 、B 两点的坐标代入y ＝x 2+bx +c 得到关于b 、c 的方程组，然后解方程组求出b 、c 即可得到抛物线的解析式；利用配方法把解析式变形为顶点式，然后写出顶点坐标．（2）根据关于x 轴对称的两点x 坐标相同，y 坐标互为相反数，即可求得图象G 的表达式．【详解】解：（1）∵抛物线y ＝x 2+bx +c 经过点（2，﹣3）和（4，5），∴将点（2，﹣3）和（4，5）代入，得4231645b c b c ++=-⎧⎨++=⎩， 解得23b c =-⎧⎨=-⎩， 所以抛物线的解析式为y ＝x 2﹣2x ﹣3．∵抛物线的解析式为y ＝x 2﹣2x ﹣3＝（x ﹣1）2﹣4，∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣4）．（2）将抛物线沿x 轴翻折后，得出﹣y ＝x 2﹣2x ﹣3，则图象G 的函数解析式y ＝﹣x 2+2x +3．【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征以及翻折的性质，用待定系数法求出二次函数的解析式是解题的关键．22．（1）见解析；（2）()2,3-，21x -≤≤【分析】（1）利用五点法作出二次函数的图像，然后令x=0求出A 点坐标即可；（2）将两个函数联立形成新的一元二次方程，然后求解C 点坐标，最后利用图像判断x 的取值范围即可．【详解】（1）由题意得：y··03430···1由上图得A点坐标为()3,0-；（2）由题意得：2123x x x-+=--+，解得12x=-，21x=，当2x=-时，()213y=--+=，∴C点坐标为()2,3-，由上图得，当y1≥y2时，21x-≤≤．【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，重点是根据五点法作出二次函数的图像，然后利用数形结合思想进行判断．23．（1）32165y x=-+，160210x≤≤；（2）每间客房的日租金定为180元时，客房日租金的总收入最高为19440元【分析】（1）首先假设出一次函数解析式，再利用待定系数法求一次函数解析式即可；（2）根据客房日租金的总收入为W=每间客房的日租金×每天客房出租数，再利用配方法求出二次函数的最值即可．【详解】解：(1)设客房每天的出租数量y（间)与每间房的日租金x（元)之间的函数关系式(0)y kx b k=+≠．把(160,120)，(170,114)代入得160120170114k bk b+=⎧⎨+=⎩，解得35216kb⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴ 32165y x =-+， 由题意得：321690532161205x ⎧-+≥⎪⎪⎨⎪-+≤⎪⎩ ∴160210x ≤≤∴自变量x 的取值范围是160210x ≤≤（2）由题意得：()2332161801944055W y x x x x ⎛⎫=⋅=-+⋅=--+ ⎪⎝⎭∵305-＜，160210x ≤≤ ∴当180x =时，19440w =最大．答：每间客房的日租金定为180元时，客房日租金的总收入最高为19440元．【点睛】此题主要考查了二次函数的应用以及待定系数法求一次函数解析式以及二次函数最值问题，得出客房日租金的总收入为W=每间客房的日租金×每天客房出租数是解题关键． 24．（1）22y x x =-++；（2）（12，-3）或（12，2） 【分析】（1）利用旋转的性质得出A′（-1，0），B′（0，2），再利用待定系数法求二次函数解析式即可；（2）分AQ 是斜边、BQ 是斜边两种情况，利用勾股定理分别求解即可．【详解】解：（1）线段AB 绕原点O 逆时针旋转90°，得到线段A B ''，又A （0，1），B （2，0），∴A′（-1，0），B′（0，2），∵A′（-1，0），B′（0，2），B （2，0），设抛物线的解析式为：y=a （x+1）（x-2）将B′（0，2）代入得出：2=a （0+1）（0-2），解得：a=-1，故满足条件的抛物线的解析式为y=-（x+1）（x-2）=-x 2+x+2；（2）由抛物线的表达式知，函数的对称轴为x=12，故设点Q （12，m ）， 则()222112AQ m ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，222122BQ m ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，AB 2=22+1=5， 当AQ 是斜边时，则()22221112522m m ⎛⎫⎛⎫+-=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 解得m=-3，当BQ 是斜边时，()22221115222m m ⎛⎫⎛⎫+-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 解得m=2，故点Q 的坐标为（12，-3）或（12，2）． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，坐标和图形的变换-旋转，其中（2），利用勾股定理得出方程求出m 是解题关键．25．（1）()1010005090y x x =-+；（2）当销售单价为70元时，总利润w 最大，进货数量为300件；（3）此时销售单价定为68元时，当月月利润最大．【分析】（1）利用待定系数法即可求出y 与x 之间的函数表达式；（2）根据“总利润=单件利润×销售件数”列出函数关系式，配成顶点式，根据二次函数性质即可求解；（3）设当月月利润为m ，根据“总利润=总盈利-总亏损”得到m 与x 函数关系式，根据二次函数性质即可求解．【详解】解：（1）设y 与x 之间函数关系式为()0y kx b k =+≠， 将点A （50,500），B （90,100）代入函数关系式得5050090100k b k b +=⎧⎨+=⎩， 解得101000k b =-⎧⎨=⎩， ∴求出y 与x 之间的函数表达式为()1010005090y x x =-+；（2）由题意得()()10100040w x x =-+-21014004000x x =-+-()210709000x =--+，∴当销售单价为70元时，总利润w 最大，此时该月进货数量应为-10×70+1000=300件； （3）设当月月利润为m ， ()()()()210100040403635010001010136037400m x x x x x =-+----+=-+-， ∵-10＜0，∴当136068220b x a =-==-时，m 最大，答：此时销售单价定为68元时，当月月利润最大．【点睛】本题为一次函数、二次函数综合题，综合性较强，熟练掌握待定系数法和求总利润的数量关系，二次函数性质是解题关键．26．（1）y ＝﹣x 2+2x +3，y ＝﹣x +3；（2）当m ＝32时，MN 有最大值，MN 的最大值为94；（3）m ＝2；（4）m 的值为2或32． 【分析】（1）由A 、C 两点的坐标利用待定系数法可求得抛物线解析式，则可求得B 点坐标，再利用待定系数法可求得直线BC 的解析式；（2）用m 可分别表示出N 、M 的坐标，则可表示出MN 的长，再利用二次函数的最值可求得MN 的最大值；（3）由题意可得当△CMN 是以MN 为腰的等腰直角三角形时则有MN=MC ，且MC ⊥MN ，则可求表示出M 点坐标，代入抛物线解析式可求得m 的值；（4）由条件可得出MN=OC ，结合（2）可得到关于m 的方程，可求得m 的值．【详解】解：（1）∵抛物线过A 、C 两点，∴代入抛物线解析式可得103b c c --+=⎧⎨=⎩，解得23b c =⎧⎨=⎩， ∴抛物线解析式为y ＝﹣x 2+2x +3，令y ＝0可得，﹣x 2+2x +3＝0，解x 1＝﹣1，x 2＝3，∵B 点在A 点右侧，∴B 点坐标为（3，0），设直线BC 解析式为y ＝kx +s ，把B 、C 坐标代入可得303k s s +=⎧⎨=⎩，解得13k s =-⎧⎨=⎩， ∴直线BC 解析式为y ＝﹣x +3；（2）∵PM ⊥x 轴，点P 的横坐标为m ，∴M （m ，﹣m 2+2m +3），N （m ，﹣m +3），∵P 在线段OB 上运动，∴M 点在N 点上方，∴MN ＝﹣m 2+2m +3﹣（﹣m +3）＝﹣m 2+3m ＝﹣（m ﹣32）2+94， ∴当m ＝32时，MN 有最大值，MN 的最大值为94； （3）∵PM ⊥x 轴， ∴当△CMN 是以MN 为腰的等腰直角三角形时，则有CM ⊥MN ，∴M 点纵坐标为3，∴﹣m 2+2m +3＝3，解得m ＝0或m ＝2，当m ＝0时，则M 、C 重合，不能构成三角形，不符合题意，舍去，∴m ＝2；（4）∵PM ⊥x 轴，∴MN ∥OC ，当以C 、O 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形时，则有OC ＝MN ，当点P 在线段OB 上时，则有MN ＝﹣m 2+3m ，∴﹣m 2+3m ＝3，此方程无实数根，当点P 不在线段OB 上时，则有MN ＝﹣m +3﹣（﹣m 2+2m +3）＝m 2﹣3m ，∴m 2﹣3m ＝3，解得m ＝32或m ＝32，综上可知当以C 、O 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形时，m 或32-． 【点睛】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的最值、等腰直角三角形的判定和性质、平行四边形的性质及分类讨论思想等知识点．在（2）中用m 表示出MN 的长是解题的关键，在（3）中确定出CM ⊥MN 是解题的关键，在（4）中由平行四边形的性质得到OC=MN 是解题的关键．。

(常考题)北师大版初中数学九年级数学下册第二单元《二次函数》测试卷(有答案解析)(4)

(常考题)北师大版初中数学九年级数学下册第二单元《二次函数》测试卷(有答案解析)(4)

一、选择题1．已知二次函数2(21)1y mx m x m =+++-的图象与x 轴有两个交点，则m 的取值范围是（ ） A ．18m >B ．18mC ．18m >-且0m ≠ D ．18m 且0m ≠2．已知y 是x 的二次函数，y 与x 的部分对应值如表所示，若该二次函数图象向左平移后通过原点，则应平移（ ） x … 1-0 1 2 … y…343…A ．1个单位B ．2个单位C ．3个单位D ．4个单位3．如图，Rt △ABC 中，AC ＝BC ＝2，正方形CDEF 的顶点D 、F 分别在AC 、BC 边上，设CD 的长度为x ，△ABC 与正方形CDEF 重叠部分的面积为y ，则下列图象中能表示y 与x 之间的函数关系的是（ ）A ．B ．C ．D ．4．已知关于x 的一元二次方程()()250x m n x mn m n -++-=<有两个不相等的实数根(),,a b a b <则实数,,,m n a b 的大小关系可能是（ ）A ．m a b n <<<B ．m a n b <<<C ．a m n b <<<D ．a m b n <<<5．二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则函数值y 0>时，x 的取值范围是（ ）A ．x 2<-B ．x 5>C ．2x 5-<<D ．x 2<-或x 5>6．已知二次函数()222y mx m x =+-，它的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．7．下列函数中，当0x >时，y 随x 增大而增大的是（ ） A ．2y x=B ．22y x =+C ． 1y x =-+D ．22 y x =--8．如图是二次函数()20y ax bx c a =++≠图象的一部分，对称轴是直线12x =，且经过点()20，，下列说法∶①0abc >；②240b ac -<；③1x =-是关于x 的方程20ax bx c ++=的一个根；④0a b +=．其中正确的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．49．如图，抛物线y ＝ax 2+bx +c 的对称轴是x ＝1，下列结论：①abc ＞0；②b 2﹣4ac ＞0； ③8a +c ＜0； ④5a +b +2c ＞0，正确的是（ ）A ．①②③B ．②③④C ．①②④D ．②③10．某商场经营一种小商品，已知进购时单价是20元．调查发现：当销售单价是30元时，月销售量为240件，而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件，但每件商品的售价不能高于40元．当月销售利润最大时，销售单价为（ ） A ．35元B ．36元C ．37元D ．36或37元11．二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，对称轴是直线1x =，下列结论：①0ab <；②24b ac >；③20a b c ++<；④30a c +<．其中正确的是（ ）A ．①②④B ．②④C ．①②③D ．①②③④12．飞机着陆后滑行的距离s （单位：m ）与滑行的时间t （单位：s ）的函数解析式是260 1.5s t t =-，那么飞机着陆后滑行多长时间才能停下来．（ ）A ．10sB ．20sC ．30sD ．40s二、填空题13．将二次函数()2y a x m k =++（0a ≠）的图象先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得图象的表达式是()214y x =-+，则原函数的表达式是________．14．在平面直角坐标系中，函数21y ax bx c =++，2y ax b =+，3y ax c =+，其中a ，b ，c 为常数，且a<0，函数1y 的图象经过点A （1，0），B （1x ，0），且满足143x -<<-，函数y 2的图象经过点（x 2，0）；函数y 3的图象经过点（x 3，0），若2311m x m n x n <<+<<+，，且m ，n 是整数，则m=_______；n=________．15．将二次函数y ＝﹣（x ﹣k ）2+k +1的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，顶点恰好在直线y ＝2x +1上，则k 的值为_____．16．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10cm ，BC ＝8cm ，点P 从点A 沿AC 向点C 以1cm/s 的速度运动，同时点Q 从点C 沿CB 向点B 以2cm/s 的速度运动（点Q 运动到点B 停止），在运动过程中，四边形PABQ 的面积最小值为_____cm 217．已知二次函数y=ax 2﹣4ax+4，当x 分别取x 1、x 2两个不同的值时，函数值相等，则当x 取x 1+x 2时，y 的值为________________________18．已知抛物线22(0)y ax bx a =+-≠的顶点在第三象限，且过点(1,0)，若-a b 的值为整数，则b 的值为___________．19．抛物线23(2)4=---y x 的顶点坐标是______．20．抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴的交点是(1,0)-，(5,0)，则这条抛物线的对称轴是直线x =__________．三、解答题21．如图，抛物线2y x bx c =+-与x 轴交于A (-1，0)，B (3，0)两点，直线l 与抛物线交于A 、C 两点，其中C 点的横坐标为2． （1）求抛物线及直线AC 的函数表达式；（2）点M 是线段AC 上的点（不与A ，C 重合）过M 作MF //y 轴交抛物线于F ，若点M 的横坐标为m ，请用含m 的代数式表示MF 的长．22．已知直线y ＝x +3分别交x 轴和y 轴于点A 和B ，抛物线y ＝ax 2+bx +c 经过点A 和B ，且抛物线的对称轴为直线x ＝﹣2．（1）抛物线与x 轴的另一个交点C 的坐标为 ；（2）试确定抛物线的解析式；（3）在同一平面直角坐标系中分别画出两个函数的图象（请用2B 铅笔或黑色水笔加黑加粗），观察图象，写出二次函数值小于一次函数值的自变量x 的取值范围 ． 23．某公司在市场销售“国耀2020”品牌手机，第一年售价定为4500元时，销售量为14百万台，根据以往市场调查经验，从第二年开始，手机每降低500元，销售量就增加2百万台，设该手机在市场销售的年份为x 年（x 为整数）． （1）根据题意，填写下表： 第x 年 123 (x)售价（元）4500 4000 …销售量（百万台） 1416…（百万元），试问该公司销售“国耀2020”手机在第几年的年销售额可以达到最大？最大值为多少百万元？（3）若生产一台“国耀2020”手机的成本为3000元，如果你是该公司的决策者，要使公司的累计总利润最大，那么“国耀2020”手机销售 年就应该停产，去创新新的手机． 24．如图，有四张背面完全相同的卡片A ，B ，C ，D ，其中正面分别写着四个不同的函数表达式，将四张卡片洗匀正面朝下随机放在桌面上．（1）从四张卡片中随机摸出一张，摸出的卡片上的函数y 随x 的增大而减小的概率是______；（2）小亮和小强用这四张卡片做游戏，规则如下：两人同时从四张卡片中各随机抽出一张，若抽出的两张卡片上的函数增减性相同，则小亮胜；若抽出的两张卡片上的函数增减性不同，则小强胜．这个游戏公平吗？请说明理由．25．某商店销售一种纪念册，每本进价30元，规定销售单价不低于32元，且获利不高于60%,在销售期间发现销售数量y (件）与销售单价x (元）的关系如下表：x32 33 3435y420 4104003901请你根据表格直接写出与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；()2当每本纪念册销售单价是多少元时，商店每天获利3400元?()3将这种纪念册销售单价定为多少元时，商店每天销售纪念册获得的利润w （元)最大?最大利润是多少元?26．如图，抛物线()220y ax x c a =-+≠与直线3yx交于A ，C 两点，与x 轴交于点B ．（1）求抛物线的解析式．（2）点P 是抛物线上一动点，且在直线AC 下方，当ACP △的面积为6时，求点P 的坐标．（3）D 为抛物线上一点，E 为抛物线的对称轴上一点，请直接写出以A ，C ，D ，E 为顶点的四边形为平行四边形时点D 的坐标【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】根据二次函数2(21)1y mx m x m =+++-的图象与x 轴有两个交点，可得△＝221410m m m -⨯->(+)()且0m ≠求解后即可得出结论．【详解】解：∵原函数是二次函数， ∴0m ≠，∵二次函数2(21)1y mx m x m =+++-的图象与x 轴有两个交点，则 △＝240b ac ->，即221410m m m -⨯->(+)()， 解得18m >-． ∴m 的取值范围是18m >-且0m ≠． 故选：C ． 【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点问题，掌握抛物线与x 轴的交点问题与一元二次方程根之间的关系是解题的关键．2．C解析：C 【分析】由表格可得点()0,3与点()2,3是关于二次函数对称轴对称的，则有二次函数的对称轴为直线0212x +==，进而可得点()1,4是二次函数的顶点，故设二次函数解析式为()214y a x =-+，然后代入点()1,0-可得二次函数解析式，最后问题可求解．【详解】解：由表格可得点()0,3与点()2,3是关于二次函数对称轴对称的，则有二次函数的对称轴为直线0212x +==， ∴点()1,4是二次函数的顶点，设二次函数解析式为()214y a x =-+，代入点()1,0-可得：1a =-，∴二次函数解析式为()214y x =--+，∵该二次函数图象向左平移后通过原点， ∴设平移后的解析式为()214y x b =--++，代入原点可得：()2014b =--++，解得：123,1b b ==-(舍去)， ∴该二次函数的图象向左平移3个单位长度； 故选C ． 【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质及平移，熟练掌握二次函数的图象与性质及平移是解题的关键．3．A解析：A 【分析】分类讨论：当0＜x≤1时，根据正方形的面积公式得到2yx ；当1＜x≤2时，ED 交AB 于M ，EF 交AB 于N ，利用重叠的面积等于正方形的面积减去△MNE 的面积得到()2221y x x =--，配方得到()222y x =--+，然后根据二次函数的性质对各选项进行分析判断即可． 【详解】解：当0＜x≤1时，2yx ，当1＜x≤2时，ED 交AB 于M ，EF 交AB 于N ，如图，CD=x ，则2AD x =-， ∵Rt △ABC 中，AC=BC=2， ∴△ADM 为等腰直角三角形， ∴2DM x =-，∴()222EM x x x =--=-， ∴S △ENM ()()22122212x x =-=-， ()()2222214222y x x x x x =--=-+-=--+∴()()()22012212y x x y x x ⎧=≤⎪⎨=--+≤⎪⎩﹤﹤， 故选：A ． 【点睛】本题考查动点问题的函数图象：通过看图获取信息，考查学生问题分析能力，解题的关键是分两种情况考虑：当0＜x≤1和当1＜x≤2．4．C解析：C 【分析】设抛物线解析式为y =x 2-(m +n )x +mn -5，根据题意可得当x =a 或x =b 时，y =0，分别求出当x =n ，x =m 时y 的符号，根据二次函数的性质即可得答案． 【详解】设抛物线解析式为y=x 2-(m+n)x+mn-5，∵一元二次方程()()250x m n x mn m n -++-=<有两个不相等的实数根(),a b a b <，∴当x =a 或x =b 时，y =0， ∵1＞0，∴抛物线y =x 2-(m +n )x +mn -5图象的开口向上，与x 的交点坐标为（a ，0），（b ，0）， ∵a ＜b ，∴当a ＜x ＜b 时，y ＜0，当x =m 时，y =m 2-(m +n )m +mn -5=-5＜0， 当x =n 时，y=n 2-(m +n )n +mn -5=-5＜0， ∵m ＜n ， ∴a ＜m ＜n ＜b ， 故选：C ． 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数与一元二次方程之间的关系是解题关键．5．C解析：C 【分析】根据函数图象求出与x 轴的交点坐标，再由图象得出答案． 【详解】解：有函数图象观察可知，当25x -<<时，函数值0y >． 故选：C ． 【点睛】本题考查二次函数与不等式．掌握数形结合思想是解题关键．6．B解析：B 【分析】分m ＞0，m ＜0两种情形，判断对称轴与x=14的位置关系即可. 【详解】∵()222y mx m x =+-，∴抛物线一定经过原点， ∴选项A 排除；∵()222y mx m x =+- ，∴对称轴为直线x=22224m m m m---=⨯， ∵24m m --14=24m m m --=24m-， 当m ＞0时，抛物线开口向上，24m-＜0， ∴对称轴在直线x=14的左边， B 选项的图像符合；C 选项的图像不符合； 当m ＜0时，抛物线开口向下，24m-＞0，∴对称轴在直线x=14的右边， D 选项的图像不符合； 故选B. 【点睛】本题考查了二次函数的图像，熟练掌握抛物线经过原点的条件，抛物线对称轴的位置与定直线的关系的判定是解题的关键.7．B解析：B 【分析】根据二次函数、一次函数、反比例函数的增减性，结合自变量的取值范围，逐一判断． 【详解】解：A 、2y x=，反比例函数，k=2＞0，分别在一、三象限，在每一象限内，y 随x 的增大而减小，不符合题意；B 、22y x =+，a=1＞0，开口向上，对称轴为y 轴，故当图象在对称轴右侧，y 随着x 的增大而增大，符合题意；C 、1y x =-+，一次函数，k=-1＜0，故y 随着x 增大而减小，不符合题意；D 、22y x =--，a=-1＜0，开口向下，对称轴为y 轴，故当图象在对称轴右侧，y 随着x 的增大而减小，不符合题意． 故选：B ． 【点睛】本题考查一次函数，二次函数及反比例函数的增减性，掌握函数图像性质利用数形结合思想解题是本题的解题关键．8．B解析：B 【分析】①根据抛物线开口方向、对称轴位置、抛物线与y 轴交点位置求得a 、b 、c 的符号即可判断；②根据抛物线与x 轴的交点即可判断； ③根据二次函数的对称性即可判断； ④由对称轴求出=-b a 即可判断． 【详解】解：①∵二次函数的图象开口向下， ∴0a <，∵二次函数的图象交y 轴的正半轴于一点， ∴0c >，∵对称轴是直线12x =， ∴122b a -=， ∴0b a =->， ∴0abc <．故①错误；②∵抛物线与x 轴有两个交点， ∴240b ac ->， 故②错误； ③∵对称轴为直线12x =，且经过点()2,0， ∴抛物线与x 轴的另一个交点为()1,0-，∴1x =-是关于x 的方程20ax bx c ++=的一个根，故③正确； ④∵由①中知=-b a ， ∴0a b +=， 故④正确；综上所述，正确的结论是③④共2个． 故选：B ． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和系数的关系的应用，注意：当0a >时，二次函数的图象开口向上，当0a <时，二次函数的图象开口向下．9．B解析：B 【分析】由函数图像与对称轴的方程结合可判断①，由抛物线与x 轴有两个交点，可判断②，由抛物线的对称轴为：1,2bx a=-= 可得2,b a =-结合图像可得当2x =-时，42y a b c =-+＜0, 可判断③，由图像可得当2x =时，4+2y a b c =+＞0，当1x =-时，y a b c =-+＞0，两式相加可得：52a b c ++＞0，可判断④，从而可得答案． 【详解】 解：图像开口向下， a ∴＜0，12bx a==-＞0, b ∴＞0，函数图像与y 轴交于正半轴，c ∴＞0，abc ∴＜0，故①不符合题意； 抛物线与x 轴有两个交点，24b ac ∴-＞0, 故②符合题意； 抛物线的对称轴为：1,2bx a=-= 2,b a ∴=-当2x =-时，42y a b c =-+＜0,()422a a c ∴-⨯-+＜0,8a c ∴+＜0,故③符合题意；当2x =时，4+2y a b c =+＞0，当1x =-时，y a b c =-+＞0，两式相加可得：52a b c ++＞0，故④符合题意； 故选：.B 【点睛】本题考查的是抛物线的图像与系数之间的关系，二次函数的性质，掌握以上知识是解题的关键．10．C解析：C 【分析】根据利润=数量×每件的利润就可以求出关系式，根据（1）的解析式，将其转化为顶点式，根据二次函数的顶点式的性质就可以求出结论． 【详解】 解：依题意得： y=（30-20+x ）（240-10x ） y=-10x 2+140x+2400．∵每件首饰售价不能高于40元． ∴0≤x≤10．∴求y 与x 的函数关系式为：y=-10x 2+140x+2400，x 的取值范围为0≤x≤10； ∴y=-10（x-7）2+2890． ∴a=-10＜0．∴当x=7时，y 最大=2890．∴每件首饰的售价定为：30+7=37元．∴每件首饰的售价定为37元时，可使月销售利润最大，最大的月利润是2890元． 故选C ． 【点睛】本题考查了二次函数的解析式的运用，根据解析式的函数值求自变量的值的运用，二次函数的顶点式的性质的运用，解答时求出二次函数的解析式是关键．11．C解析：C【分析】根据函数的图像分别确定各项系数的正负,再由对称轴和与x轴的交点即可解题.【详解】∵抛物线开口向上，∴a>0，∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，∴c<0，抛物线的对称轴为直线x=-b2a=10>，即02<baa>b∴<∴ab<0，所以①正确；∵抛物线与x轴有2个交点，∴△=b2-4ac>0，所以②正确；∵x=1时，y<0，∴a+b+c<0，而c<0，∴a+b+2c<0，所以③正确；∵抛物线的对称轴为直线x=-b2a=1，∴b=-2a，而x=-1时，y>0，即a-b+c>0，∴a+2a+c>0，即30a c+>所以④错误．故选C．【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质,属于简单题,熟悉二次函数的图像性质是解题关键. 12．B解析：B【分析】当s取最大值时，飞机停下来，求函数最大值时的自变量即可．【详解】∵当s取最大值时，飞机停下来，∴t=6022( 1.5)ba-=-⨯-=20，故选：B．【点睛】本题考查了二次函数应用-飞机着陆问题，熟练把问题转化为二次函数的最值问题是解题的关键．二、填空题13．【分析】根据二次函数表达式是易得新抛物线的顶点然后得到经过平移后的原抛物线的顶点根据平移不改变二次项的系数可得原抛物线解析式【详解】解：∵平移后抛物线的解析式是∴此抛物线的顶点为(14)∵向左平移3 解析：()226y x =++【分析】根据二次函数表达式是()214y x =-+易得新抛物线的顶点，然后得到经过平移后的原抛物线的顶点，根据平移不改变二次项的系数可得原抛物线解析式． 【详解】解：∵平移后抛物线的解析式是()214y x =-+， ∴此抛物线的顶点为(1，4)，∵向左平移3个单位，再向上平移2个单位可得原抛物线顶点， ∴原抛物线顶点为(-2，6)，∴原抛物线的解析式是()226y x =++．故答案为：()226y x =++． 【点睛】本题考查了二次函数图象与性质，掌握二次函数图象的平移与坐标的变化规律是解题的关键．14．-33【分析】根据二次函数对称轴的性质一次函数与坐标轴的交点坐标列式计算即可；【详解】解:由题意得∴；故答案是：；【点睛】本题主要考查了二次函数与一次函数综合准确计算是解题的关键解析：-3 3 【分析】根据二次函数对称轴的性质，一次函数与坐标轴的交点坐标列式计算即可； 【详解】解:由题意得，0a b c ++=，2b x a=-，3c x a =-1131222+-<-=<-x b a ，232-<=-<-bx a， ∴3314+<==+<a b bx a a， 3m ∴=-，3n =；故答案是：3-，3； 【点睛】本题主要考查了二次函数与一次函数综合，准确计算是解题的关键．15．0【分析】先求出二次函数y＝﹣（x﹣k）2+k+1的图象平移后的顶点坐标再将它代入y＝2x+1即可求出k的值【详解】解：∵二次函数y＝﹣（x﹣k）2+k+1的顶点坐标为（kk+1）∴将y＝﹣（x﹣k解析：0【分析】先求出二次函数y＝﹣（x﹣k）2+k+1的图象平移后的顶点坐标，再将它代入y＝2x+1，即可求出k的值．【详解】解：∵二次函数y＝﹣（x﹣k）2+k+1的顶点坐标为（k，k+1），∴将y＝﹣（x﹣k）2+k+1的图象向右平移1个单位，向上平移2个单位后顶点坐标为（k+1，k+3）．根据题意，得k+3＝2（k+1）+1，解得k＝0．故答案是：0．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，一次函数图象上点的坐标特征，难度适中．根据点的平移规律：右加左减，上加下减正确求出二次函数y＝−（x−k）2＋k＋1的图象平移后的顶点坐标是解题的关键．16．15【分析】在Rt△ABC中利用勾股定理可得出AC=6cm设运动时间为t（0≤t≤4）则PC=（6-t）cmCQ=2tcm利用分割图形求面积法可得出S四边形PABQ=S△ABC-S△CPQS四边形P解析：15【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理可得出AC=6cm，设运动时间为t（0≤t≤4），则PC=（6-t）cm，CQ=2tcm，利用分割图形求面积法可得出S四边形PABQ=S△ABC-S△CPQ，S四边形PABQ=（t-3）2+15，则可求出四边形PABQ的面积最小值，此题得解．【详解】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，BC=8cm，∴=6cm．设运动时间为t（0≤t≤4），则PC=（6-t）cm，CQ=2tcm，∴S四边形PABQ=S△ABC-S△CPQ，代入得：S四边形PABQ =12×6×8-12（6-t）×2t变形得：S四边形PABQ =（t-3）2+15，∴当t=3时，四边形PABQ的面积取最小值，最小值为15．故答案为：15．【点睛】本题考查了二次函数的最值以及勾股定理，利用分割图形求面积法，列出二次函数并进行变形求极值是解题的关键．17．4【分析】根据二次函数的性质和二次函数图象具有对称性可以求得的值从而可以求得相应的y 的值【详解】解：∵y=当x 分别取两个不同的值时函数值相等∴∴当x 取时y=故答案为4【点睛】本题考查二次函数图象上的解析：4 【分析】根据二次函数的性质和二次函数图象具有对称性，可以求得12x x +的值，从而可以求得相应的y 的值． 【详解】解：∵y=()2244244ax ax a x a -+=--+，当x 分别取 12,x x 两个不同的值时，函数值相等，∴124x x +=， ∴当x 取12x x +时， y=()242444a a --+=， 故答案为4． 【点睛】本题考查二次函数图象上的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．18．或1或【分析】首先根据题意确定ab 的符号然后进一步确定b 的取值范围根据a-b 的值为整数确定ab 的值从而确定答案【详解】解：∵抛物线的顶点在第三象限且过点∴a ＞0∴b ＞0a=2-ba-b=2-b-b=解析：32或1或12【分析】首先根据题意确定a 、b 的符号，然后进一步确定b 的取值范围，根据a-b 的值为整数确定a 、b 的值，从而确定答案． 【详解】解：∵抛物线22(0)y ax bx a =+-≠的顶点在第三象限，且过点(1,0)，∴a ＞0，02ba-<，20a b +-=， ∴b ＞0，a=2-b ，a-b=2-b-b=2-2b ， ∴2-b ＞0， ∴0＜b ＜2， ∴-2＜2-2b ＜2， ∵a-b 的值为整数， ∴a-b=-1或0或1，∴2-2b=-1或2-2b=0或2-2b=1，解得：b=32或b=1或b=12，∴b=32或1或12，故答案为：32或1或12．【点睛】此题主要考查了二次函数的性质和应用，二次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是分别求出a 、b 的取值范围．19．【分析】根据题目中的抛物线可以写出该抛物线的顶点坐标本题得以解决【详解】解：∵物线∴该抛物线的顶点坐标为（2-4）故答案为：（2-4）【点睛】本题考查了二次函数的性质解题的关键是明确题意利用二次函数 解析：(2,4)-【分析】根据题目中的抛物线，可以写出该抛物线的顶点坐标，本题得以解决． 【详解】解：∵物线23(2)4=---y x ，∴该抛物线的顶点坐标为（2，-4）， 故答案为：（2，-4）． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．20．【分析】根据抛物线的对称性即可求解【详解】解：∵抛物线y=ax2+bx+c 与x 轴的公共点的坐标是（-10）（50）∴这条抛物线的对称轴是直线x=（5-1）=2故答案为2【点睛】本题考查了抛物线与x 轴 解析：2【分析】根据抛物线的对称性即可求解． 【详解】解：∵抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴的公共点的坐标是（-1，0），（5，0）， ∴这条抛物线的对称轴是直线x=12（5-1）=2， 故答案为2． 【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．三、解答题21．（1）223y x x =--，1y x =--；（2）22MF m m =-++ 【分析】（1）把点A 和点B 的坐标代入抛物线解析式求出b 和c 的值即可求出抛物线解析式；再把点C 的横坐标代入已求出的抛物线解析式可求出其纵坐标，进而可求出直线AC 的表达式；（2）已知点M 的横坐标为m ，点M 又在直线AB 上，所以可求出其纵坐标，而点F 在抛物线上，所以可求出其纵坐标，进而可用m 的代数式表示MF 的长． 【详解】解：（1）把A （-1，0）、B （3，0）代入y=x 2+bx-c 得：01093b c b c --⎧⎨+-⎩＝＝， 解得：23b c =-⎧⎨=⎩， ∴解析式为：y=x 2-2x-3， 把x=2代入y=x 2-2x-3得y=-3， ∴C （2，-3），设直线AC 的解析式为y=kx+n ，把A （-1，0）、C （2，-3）代入得023k n k n -+=⎧⎨+=-⎩，解得：11k n =-⎧⎨=-⎩，∴直线AC 的解析式为1y x =--； （2）∵点M 在直线AC 上， ∴M 的坐标为（m ，-m-1）； ∵点F 在抛物线y=x 2-2x-3上， ∴F 点的坐标为（m ，m 2-2m-3）， ∴MF=（-m-1）-（ m 2-2m-3）=-m 2+m+2． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、待定系数法求一次函数的解析式、二次函数图象上点的坐标特征．在（1）中注意待定系数法的应用步骤，在（2）中用m 表示出点M 、F 的坐标是解题的关键．22．（1）（﹣1，0）；（2）y ＝x 2+4x +3；（3）﹣3＜x ＜0． 【分析】（1）先求出点B ，点A 坐标，由对称性可求点C 坐标； （2）利用待定系数法可求解析式； （3）由图象可求解． 【详解】解：（1）∵直线y ＝x +3分别交x 轴和y 轴于点A 和B ，∴点A（﹣3，0），点B（0，3），∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣2．抛物线与x轴的另一个交点为C，∴点C（﹣1，0），故答案为（﹣1，0）；（2）∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣3，0），B（0，3），点C（﹣1，0），∴3093ca b ca b c=⎧⎪=-+⎨⎪=-+⎩，解得：143abc=⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴二次函数的解析式为：y＝x2+4x+3；（3）如图所示：当﹣3＜x＜0时，二次函数值小于一次函数值，故答案为：﹣3＜x＜0．【点睛】本题考查了二次函数与不等式，待定系数法求解析式，求出抛物线的解析式是本题的关键．23．（1）见解析；（2）第二年销售额最大，为64000百万元；（3）四【分析】（1）根据题意填写表格即可；（2）由题意得：W＝（2x＋12）（﹣500x＋5000）＝﹣1000（x﹣2）2＋64000，进而求解；（3）由题意得：（2x＋12）（﹣500x＋5000﹣3000）＝0，通过解方程即可求解．【详解】（1）根据题意，填写下表：第x年123 (x)售价（元）450040003500…﹣500x＋5000销售量（百万台）141618…2x＋12∵﹣1000＜0，故抛物线开口向下，W 有最大值， 当x ＝2（年）时，W 最大值为64000（百万元）， 第二年销售额最大，为64000百万元；（3）由题意得：（2x ＋12）（﹣500x ＋5000﹣3000）＝0， ﹣1000（x ＋1）2＋25000＝0， ∴x 1＝4，x 2＝﹣6（舍）， ∴第四年该手机应该停产， 【点睛】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用，解题关键是读懂题意，确定变量，建立函数模型，利用函数的增减性来解答． 24．（1）12；（2）不公平，见解析 【分析】（1）先判断出A 、B 、C 、D 四个卡片上的函数增减性，在结合概率的定义即可求解 （2）根据题意用列表法分别求出小亮和小强同时抽到函数增减性相同的概率，和增减性不同的概率，二者进行比较即可 【详解】（1）卡片A 上的函数为12y x =-，为减函数，y 随x 的增大而减小； 卡片B 上的函数为()10y x x=-<，为增函数，y 随x 的增大而增大； 卡片C 上的函数为()230y x x =->，为增函数，y 随x 的增大而增大；卡片D 上的函数为5y x =-，为减函数，y 随x 的增大而减小；所以从四张卡片中随机摸出一张，摸出的卡片上的函数y 随x 的增大而减小的概率为2142= （2）不公平．理由如下，根据题意列表得：卡片由表可知总共有12中等可能的结果，抽出的两张卡片上的函数增减性相同的概率为41123=；抽出的两张卡片上的函数增减性不同的概率是82123=， 2133>， ∴不公平．【点睛】本题考查了函数的性质，概率和游戏的公平性，掌握列表或树状图法展示等可能的结果是解题关键．25．()110740y x =-+3248x ≤≤（）；()240元；()3销售单价定为48元时，商店每天销售纪念册获得的利润w 最大，最大利润是4680元【分析】（1）根据图表信息可知销售单价每上涨1元，每天销售量减少10件，利用原销售件数减去减少的件数即为所求；（2）利用每本的利润乘以销售量得到总利润得到(x-30)(-10x+740)=3400，然后解方程后利用 x 的范围确定销售单价；（3）利用每本的利润乘以销售量得到总利润得到 w =(x-30)(-10x+740),再把它变形为顶点式，然后利用二次函数的性质求解即可.【详解】解：（1）由题意得，y ＝420﹣10（x ﹣32）＝﹣10x +740；即y 与x 之间的函数关系式为： 10740y x =-+3248x ≤≤（）； ()2由题意，可列出方程为：(30)(10740)3400x x 整理并化简得，210425600x x 解得，1240,64x x 3248x ≤≤答：销售单价是40元时，商店每天获利3400元；(3)(30)W x y2-10104022200x x2-10(52)4840x 100a =-<，∴开口向下，522b a， ∴当3248x ≤≤时，W 随x 的增大而增大∴当48x =时，=4680W 最大答：销售单价定为48元时，商店每天销售纪念册获得的利润w 最大，最大利润是4680元．【点睛】本题考查了二次函数的应用:利用二次函数解决利润问题，解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后利用二次函数的性质确定其最大值；在求二次函数的最值时，一定要注意自变量 x 的取值范围，也考查了一元二次方程的应用．26．（1）223y x x =--+；（2）点P 的坐标为()4,5--或()1,0；（3）点D 的坐标为()4,5--或()2,5-或()2,3-．【分析】（1）直线3y x 与x 轴，y 轴分别交于A ，C 两点，求出点A ，C 的坐标分别为()3,0-，()0,3．由抛物线22y ax x c =-+经过A ，C 两点，可得方程组3960,c a c =⎧⎨++=⎩解得1,3,a c =-⎧⎨=⎩即可； 2）由点()10B ,，可求12ABC S AB OC =⋅△，即()113362⨯+⨯=，过点B 作//BP AC 交抛物线于点P ， 可求直线BP 的解析式为1y x =-，点P 在直线1y x =-和抛物线223y x x =--+的图象上，联立2123y x y x x =-⎧⎨=--+⎩解得10x y =⎧⎨=⎩或45x y =-⎧⎨=-⎩即可 （3）分三种情况以AC 为边，点D 在对称轴的左侧和右侧，以及以AC 为对角线，利用A 、C 两点横坐标之差=DE 两点横坐标之差相等，点E 在对称轴上横坐标已知，可求D 的横坐标，再求AC 中点坐标，利用ED 关于AC 中点对称，利用E 点横坐标，可求D 点横坐标，再分别利用二次函数求D 点的纵坐标即可【详解】解：（1）∵直线3y x 与x 轴，y 轴分别交于A ，C 两点，当0x =时，3y =，当0y =时，3x =-，∴点A ，C 的坐标分别为()3,0-，()0,3．∵抛物线22y ax x c =-+经过A ，C 两点，∴3960,c a c =⎧⎨++=⎩解得1,3,a c =-⎧⎨=⎩∴抛物线的解析式为223y x x =--+．2）如图，点()10B ,，12ABC S AB OC =⋅△，即()113362⨯+⨯=， 过点B 作//BP AC 交抛物线于点P ，设BP 解析式为y=x+b由BP 过点B （1,0）代入得1+b==0，∴b=-1，直线BP 的解析式为1y x =-点P 在直线1y x =-和抛物线223y x x =--+的图象上，2123y x y x x =-⎧⎨=--+⎩ 解得10x y =⎧⎨=⎩或45x y =-⎧⎨=-⎩ ∴点P 的坐标为()4,5--或()1,0．（3）以AC 为边以C ，A ，D ，E 为顶点的四边形为平行四边形，CA ∥ED ，且CA=ED ，A （-3,0），C （0，-3）E 点在对称轴上，抛物线的对称轴为x=2122b a --=-=-- 点D 在对称轴的左侧，∴D 点的横坐标x=-1-[0-(-3)]=-1-3=-4，点D 的纵坐标为y=()()2-42-4316835--+=-++=-D(-4，-5)点D在对称轴的右侧，∴D点的横坐标x=-1+[0-(-3)]=-1+3=2，点D的纵坐标为y=222234-435--⨯+=-+=-D(2，-5)以AC为对角线AC中点坐标为（-32，32）点E在对称轴上，E点的横坐标为-1，E、D关于AC中点对称，D点的横坐标为x=-32-(-1+32)=-2，点D的纵坐标为y=()()222234433---⨯-+=-++=点D的纵坐标（-2，3）点D 的坐标为()4,5--或()2,5-或()23-，．【点睛】本题考查一次函数与二次函数的综合问题，会求二次函数解析式，会利用平行线求面积相等问题，平行四边形的性质，解题关键是分类讨论以AC 为边，点D 在对称轴的左侧和右侧，以及以AC 为对角线利用A 、C 两点横坐标之差=DE 两点横坐标之差相等，利用点E 、D 关于AC 中点对称，可求D 点横坐标，再分别利用二次函数求D 点的纵坐标即可。

(北师大版)济南市九年级数学下册第二单元《二次函数》测试卷(答案解析)

(北师大版)济南市九年级数学下册第二单元《二次函数》测试卷(答案解析)

一、选择题1．把二次函数243y x x =-+化成2()y a x h k =++的形式是（ ）A ．2(2)1y x =++B ．2(2)7y x =++C ．2(2)1y x =--D ．2(2)7y x =-- 2．在同一坐标系中，函数y ax b =+与2(0)y ax bx a =+≠的图象可能是（ ） A ． B ． C ． D ． 3．如图在平面直角坐标系中，点A 在抛物线245y x x =-+上运动.过点A 作AC x ⊥轴于点C ，以AC 为对角线作矩形ABCD ，则对角线BD 的最小值为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1 4．对称轴为y 轴的二次函数是（ ） A ．y=(x+1)2 B ．y=2(x-1)2 C ．y=2x 2+1 D ．y=-(x-1)2 5．抛物线221y x =--的顶点坐标是（ ）A ．(2,1)--B ．(2,1)C ．(0,1)-D ．(0,1)6．已知关于x 的二次三项式()()2121m x m x m +--+的值恒为正，则m 的取值范围是（ ）A ．18m >B ．1m >-C ．118m -<<D ．1m 18<< 7．如图，现要在抛物线y ＝x （﹣x +2）上找点P （m ，n ），针对n 的不同取值，所找点P 的个数，四人的说法如下，甲：若n ＝﹣1，则点P 的个数为2；乙：若n ＝0，则点P 的个数为1；丙：若n ＝1，则点P 的个数为1；丁：若n ＝2，则点P 的个数为0．其中说法正确的有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个8．如图为二次函数y ＝ax 2+bx+c 的图象，其对称轴为x ＝1，在下列结论中：①abc ＞0；②若方程ax 2+bx+c ＝0的根是x 1、x 2，则x 1+x 2＜0；③4a+2b+c ＜0；④当x ＞1时，y 随x 的增大而增大．正确的有（ ）A ．1B ．2C ．3D ．49．将进货价为35元的商品按单价40元售出时，能卖出200个，已知该商品单价每上涨1元，其销售量就减少5个，设这种商品的售价为x 元时，获得的利润为y 元，则下列关系式正确的是（ ）A ．()()352005y x x =--B ．()()354005y x x =--C ．()()402005y x x =--D ．()()403755y x x =--10．如图，二次函数2y ax bx =+的图象开口向下，且经过第三象限的点P ．若点P 的横坐标为1-，则一次函数()y a b x b =--的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ． 11．飞机着陆后滑行的距离s （单位：m ）与滑行的时间t （单位：s ）的函数解析式是260 1.5s t t =-，那么飞机着陆后滑行多长时间才能停下来．（ ）A ．10sB ．20sC ．30sD ．40s 12．将抛物线()2214y x =--+向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线的解析式为（ ）A ．()2241y x =-++B ．()2221y x =--+ C ．()2246y x =--+ D ．()2242y x =--+ 二、填空题13．如图，直线334y x =-+与x 轴交于点C ，与y 轴交于点B ，抛物线233384y x x =-++经过B ，C 两点，点E 是直线BC 上方抛物线上的一动点，过点E 作y 轴的平行线交直线BC 于点M ，则EM 的最大值为_____．14．已知：二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a≠0）中的x 和y 满足如表：x … 0 1 23 4 5 … y … 3 0 -1 0 m 8 …（2）求出这个二次函数的解析式_____；（3）当0＜x ＜3时，则y 的取值范围为_____．15．已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，则关于x 的一元二次方程2ax bx c ++0(0)a =≠的根为___________．16．现从四个数1，2，1-，3-中任意选出两个不同的数，分别作为二次函数2y ax bx =+中a ，b 的值，则所得二次函数满足开口方向向下且对称轴在y 轴右侧的概率是__________．17．已知抛物线2(0)y ax bx c a =++>经过(2,0)A ，(4,0)B 两点．若()15,P y ，()2,Q m y 是抛物线上的两点，且12y y >，则m 的取值范围是______．18．已知抛物线22y x x c =-+与直线y m =相交于,A B 两点，若点A 的横坐标1A x =-，则点B 的横坐标B x 的值为_______．19．在平面直角坐标系中，把抛物线22y x =+先绕其顶点旋转180︒后，再向右平移2个单位，向下平移3个单位后的抛物线解析式为__________．20．把函数y ＝x 2＋3的图像向下平移1个单位长度得到的图像对应的函数关系式为________．三、解答题21．2020年是极不平凡的一年．面对突如其来的疫情，我国政府始终践行人民至上的理念，各地各校按照上级部署实行常态化严防严控，严格落实进校测体温的要求为了解学生进校测体温的工作情况，统计了一天上午学生进入学校的累计人数y （人）与时间x （分钟）的变化情况，数据如下表：（表中8~12表示812x <≤）时间x （分钟）0 1 2 3 4 5 6 7 8 8~12 人数y （人） 0 150 280 390 480 550 600 630 640 640 识求出y 与x 之间的函数关系式，并说明理由．（2）如果学生一进学校就开始测量体温，测温点有2个，每个测温点每分钟检测20人，学生按要求排队测温．①求排队人数最多时有多少人？②根据疫情防控要求，要保证在8分钟内让学生随到随测做到不再排队等候，从一开始就应该至少增加几个测温点？22．已知抛物线239y x kx k =-+-．求证：无论k 为何值，该二次函数的图象与x 轴都有交点．23．已知二次函数2=++y x bx c -的图象如图所示，它与x 轴的一个交点坐标为(1,0)-，与y 轴的交点坐标为(0,3)．（1）求此二次函数的表达式，并用配方法求顶点的坐标；（2）直接写出当函数值0y >时，自变量x 的取值范围．24．已知二次函数y ＝ax 2+bx ﹣2（a ≠0）的图像与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ． （1）若点A 的坐标为（4，0）、点B 的坐标为（﹣1，0），求a +b 的值；（2）若图像经过P （1，y 1），Q （m ，n ），M （3，y 2），N （3﹣m ，n ），试比较y 1、y 2的大小关系；（3）若y ＝ax 2+bx ﹣2的图像的顶点在第四象限，且点B 的坐标为（﹣1，0），当a +b 为整数时，求a 的值．25．如图，已知抛物线212y x bx c =++与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C 且AB ＝6，抛物线的对称轴为直线x ＝1（1）抛物线的解析式；（2）x 轴上A 点的左侧有一点E ，满足S △ECO ＝4S △ACO ，求直线EC 的解析式． 26．如图，已知某二次函数的顶点坐标是(1,4)-，且经过点(4,5)A（1）求该二次函数的表达式；（2）点(,)P m n 是该二次函数图象上一点，若点P 到y 轴的距离不大于4，请根据图象直接写出n 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】利用配方法先提出二次项系数，在加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，即可把一般式转化为顶点式．【详解】解：()()22243443421y x x x x x =-+=-++-=--． 故选：C ．【点睛】此题考查了二次函数的顶点式，掌握利用配方法将二次函数一般式转化为顶点式是解题的关键．2．A解析：A【分析】根据二次函数的c 值为0，确定二次函数图象经过坐标原点，再根据a 值确定出二次函数的开口方向与一次函数所经过的象限即可得解．【详解】解：2(0)y ax bx a =+≠，0c ，∴二次函数经过坐标原点，故B 、C 选项错误； A 、根据二次函数开口向上0a >，对称轴b x 02a =->， 所以，0b <，一次函数经过第一三象限，0a >，与y 轴负半轴相交，所以，0b <，符合，故本选项正确；D 、二次函数图象开口向下，0a <，一次函数经过第一三象限，0a >，矛盾，故本选项错误．故选：A ．【点睛】本题考查了二次函数的图象，一次函数的图象，熟练掌握函数解析式的系数与图象的关系是解题的关键．3．D解析：D【分析】先利用配方法得到抛物线的顶点坐标为（2，1），再根据矩形的性质得BD ＝AC ，由于AC 的长等于点A 的纵坐标，所以当点A 在抛物线的顶点时，点A 到x 轴的距离最小，最小值为2，从而得到BD 的最小值．【详解】解：∵y ＝x 2﹣4x +5＝（x ﹣2）2+1，∴抛物线的顶点坐标为（2，1），∵四边形ABCD 为矩形，∴BD ＝AC ，而AC ⊥x 轴，∴AC 的长等于点A 的纵坐标，当点A 在抛物线的顶点时，点A 到x 轴的距离最小，最小值为1，∴对角线BD 的最小值为1．故选：D ．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了矩形的性质．4．C解析：C【分析】由已知可知对称轴为x ＝0，从而确定函数解析式y ＝ax 2+bx +c 中，b ＝0，由选项入手即可．【详解】解：二次函数的对称轴为y 轴，则函数对称轴为x ＝0，即函数解析式y ＝ax 2+bx +c 中，b ＝0，故选：C ．【点睛】本题考查二次函数的性质；熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．5．C解析：C【分析】根据题目中的函数解析式可以直接写出该抛物线的顶点坐标．【详解】解：∵y=-2x 2-1，∴该抛物线的顶点坐标为（0，-1），故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次和函数的性质解答． 6．A解析：A【分析】根据二次三项式()()2121m x m x m +--+的值恒为正，可设()()2121m x x y m m +--+=，从而得到1m +＞0且∆＜0，进而即可求得m 的取值范围．【详解】解：设()()2121m x x y m m +--+=， ∵关于x 的二次三项式()()2121m x m x m +--+的值恒为正，∴()()2121m x m x m +--+＞0，∴在函数()()2121m x x y m m +--+=中， 1m +＞0，且()()22141m m m ∆=--⎡⎤-+⎣⎦＜0，解得：m ＞18故选：A【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想，熟练掌握二次函数的性质． 7．D解析：D【分析】把P 点的坐标代入函数的解析式，再根据根的判别式或解方程逐个判断即可．【详解】解：甲：当n ＝﹣1时，m （﹣m +2）＝﹣1，整理得：m 2﹣2m ﹣1＝0，△＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）＝8＞0，方程有两个不相等的实数根，即此时点P 的个数为2，故甲的说法正确；乙：当n ＝0时，m （﹣m +2）＝0，解得：m ＝0或2，即此时点P 的个数为2，故乙的说法错误；丙：当n ＝1时，m （﹣m +2）＝1，整理得：m 2﹣2m +1＝0，△＝（﹣2）2﹣4×1×1＝0，方程有两个相等的实数根，即此时点P 的个数为1，故丙的说法正确；丁：当n ＝2时，m （﹣m +2）＝2，整理得：m 2﹣2m +2＝0，△＝（﹣2）2﹣4×1×2＝﹣4＜0，方程没有实数根，即此时点P 的个数为0，故丁的说法正确；所以正确的个数是3个，故选：D ．【点睛】本题考查了二次函数的图象上点的坐标特征和一元二次方程的根的判别式、解一元二次方程，能熟记根的判别式的内容是解此题的关键．8．C解析：C【分析】根据开口方向、对称轴、抛物线与y 轴的交点，确定a 、b 、c 的符号，根据抛物线对称轴确定x 1+x 2的符号，根据当x=2时，判断4a+2b+c 的符号，根据二次函数的增减性对④进行判断．【详解】解：①∵开口向上，∴a ＞0，∵对称轴在y 轴的右侧，b ＜0，抛物线与y 轴交于负半轴，c ＜0，∴abc ＞0，∴①正确；②从图象可知，抛物线对称轴为直线x=122x x +=1，则x 1+x 2=2>0，∴②错误； ③抛物线对称轴是x=1，根据抛物线得对称性可知当x=2和x=0时函数值相等， ∴y=4a+2b+c ＜0，∴③正确；④抛物线开口向上，对称轴是x=1，当x ＞1时，y 随x 的增大而增大，∴④正确； 故选：C【点睛】本题考查的是二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的性质、灵活运用数形结合思想是解题的关键，解答时，要熟练运用抛物线的对称性和抛物线上的点的坐标满足抛物线的解析式．9．B解析：B【分析】根据售价减去进价表示出实际的利润．【详解】解：设这种商品的售价为x 元时，获得的利润为y 元，根据题意可得：[](35)2005(40)y x x =--- 即y=（x-35）（400-5x ），故选：B ．【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是理解“商品每上涨1元，其销售量就减少5个”．10．C解析：C【分析】根据二次函数的图象可以判断a 、b 、-a b 的正负情况，从而得以解决．【详解】解：由二次函数的图象开口向下，且经过第三象限的点P ，点P 的横坐标为1-， 则有0a <，对称轴在y 轴的左边， ∴02b a -<，且122b a ∴0b <，且a b <∴0a b -<，∴一次函数()y a b x b =--的图像向下，并且与y 轴交于正半轴，故选：C ．【点睛】本题考查二次函数的性质、一次函数的性质，熟悉相关性质是解答本题的关键． 11．B解析：B【分析】当s 取最大值时，飞机停下来，求函数最大值时的自变量即可．【详解】∵当s 取最大值时，飞机停下来，∴t= 6022( 1.5)b a -=-⨯-=20， 故选：B ．【点睛】本题考查了二次函数应用-飞机着陆问题，熟练把问题转化为二次函数的最值问题是解题的关键．12．D解析：D【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．【详解】解：将抛物线y=-2（x-1）2+4向右平移3个单位，再向下平移2个单位长度后得到抛物线的解析式为：y=-2（x-1-3）2+4-2，即y=-2（x-4）2+2；故选：D ．【点睛】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．二、填空题13．【分析】设出E 的坐标表示出M 坐标进而表示出EM 化成顶点式即可求得EM 的最大值【详解】解：∵点E 是直线BC 上方抛物线上的一动点∴点E 的坐标是（m ）点M 的坐标是（m ）∴EM ＝﹣（）＝＝（m2﹣4m ）＝（ 解析：32【分析】设出E 的坐标，表示出M 坐标，进而表示出EM ，化成顶点式即可求得EM 的最大值．【详解】解：∵点E 是直线BC 上方抛物线上的一动点，∴点E 的坐标是（m ，233384m m -++），点M 的坐标是（m ，334m -+）， ∴EM ＝233384m m -++﹣（334m -+）＝23382m m -+＝38-（m 2﹣4m ）＝38-（m ﹣2）2+32， ∴当m ＝2时，EM 有最大值为32， 故答案为32． 【点睛】 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．14．【分析】（1）先求得对称轴然后根据抛物线的对称性即可求得；（2）把点（03）（10）（30）代入设抛物线解析式利用待定系数法求函数解析式；（3）利用图表和抛物线的性质即可得出答案【详解】解：（1）∵解析：243y xx =-+13y -≤< 【分析】（1）先求得对称轴，然后根据抛物线的对称性即可求得；（2）把点（0,3）、（1,0）、（3,0）代入设抛物线解析式，利用待定系数法求函数解析式；（3）利用图表和抛物线的性质即可得出答案．【详解】解：（1）∵抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）过点（1，0），（3，0），∴抛物线对称轴为直线x 132+==2， ∴点（0，3）关于对称轴的对称点是（4，3），∴m ＝3，故答案为3；（2）把点（0,3）、（1,0）、（3,0）代入设抛物线解析式y ＝ax 2＋bx ＋c 得30930c a b c a b c =⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，解得413a c b =⎧==-⎪⎨⎪⎩，∴抛物线的解析式为y ＝x 2﹣4x +3，故答案为y ＝x 2﹣4x +3；（3）由抛物线的性质得当x=2时，y 有最小值-1，由图表可知抛物线y ＝ax 2+bx +c 过点（0，3），（3，0），因此当0＜x ＜3时，则y 的取值范围为是﹣1≤y ＜3．【点睛】此题考查待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，掌握待定系数法求函数解析式的方法与步骤是解决问题的关键．15．x1=-1x2=3【分析】关于x 的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根即为二次函数y=ax2+bx+c （a≠0）的图象与x 轴的交点的横坐标【详解】解：根据图象知抛物线y=ax2+bx+c （解析：x 1=-1，x 2=3【分析】关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的根即为二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象与x 轴的交点的横坐标．【详解】解：根据图象知，抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）与x 轴的一个交点是(-1，0)，对称轴是x=1． 设该抛物线与x 轴的另一个交点是(x ，0)，则12x -=1， 解得，x=3，即该抛物线与x 轴的另一个交点是(3，0)，所以关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的根为x 1=-1，x 2=3．故答案是：x 1=-1，x 2=3．【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点，解题时，注意抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）与关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）间的转换． 16．【分析】把ab 所有可能的取值及满足题目的条件通过表格列出来再根据概率的定义列式求解即可【详解】解：∵二次函数满足开口方向向下即要a<0对称轴在y 轴右侧即要求∴可以列出如下表格：其中第三和第四行数字0 解析：13【分析】把a 、b 所有可能的取值及满足题目的条件通过表格列出来，再根据概率的定义列式求解即可．【详解】解：∵二次函数满足开口方向向下即要a<0，对称轴在y 轴右侧即要求02b a->， ∴可以列出如下表格：其中第三和第四行数字0表示不满足题中某个条件 ， 数字1表示满足题中某个条件， ∴由题意，只有第三和第四行两个数字都为1时才满足题目所有条件，此时a 和b 的值分别为-1和1、-1和2、-3和1、-3和2共4种情况，∴所求概率为41123=， 故答案为13． 【点睛】本题考查二次函数的性质，用列表法计算概率的方法，熟练掌握列表法的步骤及题目条件的符号表示是解题关键．17．【分析】根据图像经过的两点确定抛物线的对称轴利用对称轴确定P 的对称点利用数形结合思想确定m 的范围即可【详解】∵抛物线经过两点∴解得b=-6a ∴抛物线的对称轴为直线x==3∴的对称点为∵∴故填【点睛】 解析：15m <<.【分析】根据图像经过的两点，确定抛物线的对称轴，利用对称轴，确定P 的对称点，利用数形结合思想，确定m 的范围即可.【详解】∵抛物线2(0)y ax bx c a =++>经过(2,0)A ，(4,0)B 两点，∴4201640a b c a b c ++=⎧⎨++=⎩， 解得b=-6a ， ∴抛物线的对称轴为直线x=2b a -=3, ∴()15,P y 的对称点为()11,P y '，∵12y y >，∴15m <<，故填15m <<.【点睛】本题考查了二次函数的对称性，熟记二次函数的性质是解题的关键.18．3【分析】根据题意AB 的纵坐标相同先根据A 的横坐标求得纵坐标把纵坐标代入解析式解关于x 的方程即可求得【详解】解：把xA=-1代入y=x2-2x+c 得y=1+2+c=3+c ∴A （-13+c ）∵抛物线y解析：3【分析】根据题意A 、B 的纵坐标相同，先根据A 的横坐标求得纵坐标，把纵坐标代入解析式，解关于x 的方程即可求得．【详解】解：把x A =-1代入y=x 2-2x+c 得，y=1+2+c=3+c ，∴A （-1，3+c ），∵抛物线y=x 2-2x+c 与直线y=m 相交于A ，B 两点，∴B 的纵坐标为3+c ，把y=3+c 代入y=x 2-2x+c 得，3+c=x 2-2x+c ，解得x=-1或x=3，∴点B 的横坐标x B 的值为3，故答案为3．【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，明确A 、B 的纵坐标相同是解题的关键．19．【分析】先求出抛物线绕其顶点旋转后解析式再根据平移规律即可求解【详解】解：抛物线先绕其顶点旋转后解析式为将抛物线向右平移个单位向下平移个单位后的抛物线解析式为故答案为：【点睛】本题考查了抛物线图象与 解析：2(2)1=---y x【分析】先求出抛物线22y x =+绕其顶点旋转180︒后解析式，再根据平移规律即可求解．【详解】解：抛物线22y x =+先绕其顶点旋转180︒后解析式为22y x =-+，将抛物线22y x =-+向右平移2个单位，向下平移3个单位后的抛物线解析式为()212y x =---．故答案为：2(2)1=---y x【点睛】本题考查了抛物线图象与几何变换，熟知二次函数图象旋转与平移规律是解题关键． 20．y ＝x2＋2【分析】根据向下平移纵坐标减求出平移后函数的顶点坐标再利用顶点式写出解析式即可【详解】解：函数y ＝x2＋3的顶点坐标为（03）∵函数图象向下平移1个单位长度∴得到的函数图象顶点坐标为（0解析：y ＝x 2＋2．【分析】根据向下平移纵坐标减求出平移后函数的顶点坐标，再利用顶点式写出解析式即可．【详解】解：函数y ＝x 2＋3的顶点坐标为（0，3），∵函数图象向下平移1个单位长度，∴得到的函数图象顶点坐标为（0，2），∴得到函数解析式为y ＝x 2＋2．故答案为：y ＝x 2＋2．【点睛】本题考查了二次函数的平移变换，通过平移求出新图象顶点坐标是关键．三、解答题21．（1）210160(08)640(812)x x x y x ⎧-+≤≤=⎨<≤⎩，见解析；（2）①360人；②2个 【分析】（1）分两种情况讨论，08x ≤≤用待定系数法求解析式；（2）①设第x 分钟时的排队人数为w 人，由二次函数的性质和一次函数的性质可求当6x =时，w 的最大值360=，当812x <≤时，160320w ≤<，即可求得答案；②设从一开始就应该增加m 个点，由“在8分钟内让学生随到随测做到不再排队等候”，列出不等式，可求解．【详解】解：（1）由表格中数据的变化趋势可知，当08x ≤≤时，y 是x 的二次函数，当0x =时，0y =，∴二次函数的关系式可设为：2y ax bx c =++，由题意可得：015042280c a b c a b c =⎧⎪++=⎨⎪++=⎩解得：101600a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩∴二次函数关系式为：210160y x x =-+，经检验：当3x =时，390y =；当4x =时，480y =；当5x =时，550y =；当6x =时，600y =；当7x =时，630y =；当8x =时，640y =；均符合要求，故当08x ≤≤时，y 是x 的二次函数，二次函数关系式为：210160y x x =-+， 当812x <≤时，640y =，y ∴与x 之间的函数关系式为：210160(08)640(812)x x x y x ⎧-+≤≤=⎨<≤⎩（2）设第x 分钟时的排队人数为w 人，由题意可得：210120(08)4064040(812)x x x w y x x x ⎧-+≤≤=-=⎨-<≤⎩ ①当08x ≤≤时，221012010(6)360w x x x =-+=--+，∴当6x =时，w 的最大值360=，当812x <≤时，64040w x =-，w 随x 的增大而减小，160320w ∴≤<，∴排队人数最多时是360人，答：排队人数最多时有360人；②设从一开始就应该增加m 个检测点，由题意得：820(2)640m ⨯+≥，解得2m ≥， m 是整数，2m ∴≥的最小整数是2∴一开始就应该至少增加2个检测点．【点睛】本题考查了二次函数的应用，二次函数的性质，一次函数的性质，一元一次不等式的应用，理解题意，求出y 与x 之间的函数关系式是本题的关键．22．证明见详解．【分析】令y=0，构造一元二次方程239=0x kx k -+-，由1,,39a b k c k ==-=-，判别式()22123660k k k ∆=-+=-≥即可．【详解】解：令y=0，239=0x kx k -+-，∵1,,39a b k c k ==-=-， ()()()222=4139123660k k k k k ∴∆--⨯⨯-=-+=-≥，∴二次函数的图象与x 轴都有交点．【点睛】本题考查二次函数与x 轴的交点问题，掌握二次函数与x 轴交点问题转化为y=0时，一元二次方程有实根问题，理解二次函数和一元二次方程之间的关系式解此题的关键，此题是一个比较典型的题目．23．2y x 2x 3=-++；()1,4；（2）13x【分析】（1）将(-1，0)和(0，3)两点代入二次函数y=-x 2+bx+c ，求得b 和c ，从而得出抛物线的解析式；（2）令y=0，解得x 1，x 2，得出此二次函数的图象与x 轴的另一个交点的坐标，进而求出当函数值y>0时，自变量x 的取值范围．【详解】解：（1）由二次函数2y x bx c =-++的图象经过(-1，0)和(0，3)两点， 得103b c c --+=⎧⎨=⎩， 解得23b c =⎧⎨=⎩， ∴抛物线的解析式为2y x 2x 3=-++， ∵()222314y x x x =-++=--+，∴抛物线的顶点坐标为(1，4)；（2）令0y =，得2230x x -++=，解得13x =，21x =-，∴此二次函数的图象与x 轴的另一个交点的坐标为(3，0)，∵抛物线开口向下，∴当13x时，0y >． 【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式及抛物线与坐标轴的交点，解题的关键是熟练掌握待定系数法求二次函数解析式及抛物线与坐标轴的交点．24．（1）-1；（2）若a ＞0，则y 1＜y 2；若a ＜0，则y 1＞y 2；（3）32a =【分析】（1）把A （4，0），B （-1，0）代入二次函数关系式求出a ，b 的值即可得到结果； （2）由点Q ，点N 的纵坐标相同，根据抛物线的对称性可得抛物线的对称轴，确定点P 距对称轴更近，分a ＞0和a ＜0两种情况讨论即可；（3）分别求出a +b =1，a-b-2=0，联立方程组求解即可．【详解】解：（1）∵二次函数y ＝ax 2+bx ﹣2（a≠0）的图像过A （4，0），B （-1，0）∴1642020a b a b +-=⎧⎨--=⎩解得，1=23=2a b ⎧⎪⎪⎨⎪-⎪⎩∴13122a b +=-=- （2）∵Q （m ，n ），N （3﹣m ，n ），∴二次函数图象的对称轴为3322m m +-= ∵P （1，y 1），M （3，y 2），∴点P 距离对称轴更近若a ＞0，则y 1＜y 2；若a ＜0，则y 1＞y 2； （3）由题意知，∵图像的顶点在第四象限，∴对称轴2b x a=-＞0 ∵B （﹣1，0），∴A 点横坐标大于1当x=1时，y=a+b-2＜0∴0＜a+b ＜2∵a +b 为整数∴a +b =1又∵B （﹣1，0），∴a-b-2=0 联立120a b a b +=⎧⎨--=⎩ 解得，32a =【点睛】本题为二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数的解析式，以及二次函数的性质． 25．（1）2142y x x =-++；（2）142y x =+． 【分析】（1）已知了抛物线的对称轴以及AB 的长，即可得到A 、B 的坐标，代入抛物线的解析式中求得待定系数的值，即可得出抛物线的解析式；（2）由于△ECO 和△ACO 的高都为OC ，根据等高三角形的面积比等于底边比可知：OE ：OA ＝4：1，据此可求出E 点坐标，然后根据E 、C 坐标可用待定系数法求出直线EC 的解析式．【详解】解：（1）∵抛物线的对称轴为直线x ＝1，12a =-， ∴12b a-=， ∴1b =，∵AB ＝6， ∴A （−2，0），B （4，0），将B （4，0），1b =代入解析式212y x bx c =-++得4c =， ∴抛物线的解析式为：2142y x x =-++； （2）S △ECO ＝12EO•OC ，S △ACO ＝12AO•OC ， ∵S △ECO ＝4S △ACO ，且OA=2，∴EO ＝4AO ＝8，∵点E 在A 点的左侧，∴E （−8，0），由抛物线的解析式得：C （0，4），设直线EC 的解析式为：y ＝kx ＋b ，将E （−8，0），C （0，4），代入得：804k b b -+=⎧⎨=⎩， 解得124k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴直线EC 的解析式为142y x =+． 【点睛】本题综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求函数解析式等知识，熟练掌握二次函数的图象与性质并能准确利用待定系数法求函数解析式是解题的关键．26．（1）223y x x =--；（2）421n -．【分析】（1）设二次函数的解析式是y=a （x-h ）2+k ，先代入顶点A 的坐标，再把B 的坐标代入，即可求出a ，即可得出解析式；（2）由点P 到y 轴的距离不大于4，得出 ，结合二次函数的图象可知，请根据图象直接写出n 的取值范围．【详解】解：（1）某二次函数的顶点坐标是(1,4)-，且经过点(4,5)A ，设二次函数的解析式为2(1)4y a x =--，把(4,5)A 代入得：25(41)4a =--解得：1a =，所以函数表达式为：223y x x =--．（2）点P 到y 轴的距离为||m ，∴||m ≤4，∴44m -，∵2223(1)4y x x x =--=--，在44m -时，当m=1时，有最小值n=-4；当m=-4时，有最大值n=21，∴421n -．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的表达式，二次函数求最值，二次函数图象和性质的应用，求二次函数的取值范围，掌握二次函数的图象和性质的应用是解题的关键．。

初三下册数学试卷第二单元

初三下册数学试卷第二单元

1. 下列各数中，绝对值最小的是（）A. -2B. -1.5C. 0D. 1.22. 若a=3，b=-2，则|a+b|的值为（）A. 1B. 5C. 7D. 113. 已知a=-3，b=4，则|a-b|的值为（）A. 7B. 1C. 3D. 54. 若x=5，则|x-3|的值为（）A. 2B. 5C. 8D. 105. 下列函数中，y是x的二次函数的是（）A. y=x^2-3x+2B. y=2x^2+3x-1C. y=x^2+2x+1D. y=x^2-2x+16. 若m+n=5，mn=6，则m^2+n^2的值为（）A. 16B. 17C. 18D. 197. 若x^2+2x+1=0，则x的值为（）A. -1B. 1C. -2D. 28. 下列各数中，平方根为整数的是（）A. 4B. 9C. 16D. 259. 若x^2=16，则x的值为（）A. 4B. -4C. 2D. -210. 若a^2=9，则a的值为（）A. 3B. -3C. 2D. -2二、填空题（每题3分，共30分）11. 若|a|=3，则a的值为_________。

12. 若|b|=5，则b的值为_________。

13. 若a=-2，b=3，则|a-b|的值为_________。

14. 若x=4，则|x-2|的值为_________。

15. 若m=5，n=-3，则m^2+n^2的值为_________。

16. 若x^2=25，则x的值为_________。

17. 若a^2=36，则a的值为_________。

18. 若x^2=0，则x的值为_________。

19. 若m^2=1，则m的值为_________。

20. 若a^2+b^2=25，则|a|+|b|的值为_________。

三、解答题（每题10分，共30分）21. 简化下列各式的绝对值：（1）|5-3|；（2）|-2-5|；（3）|2x-3|。

22. 已知m+n=5，mn=6，求m^2+n^2的值。

人教版初中数学九年级数学下册第二单元《相似》测试卷(包含答案解析)

人教版初中数学九年级数学下册第二单元《相似》测试卷(包含答案解析)

一、选择题1．如图，D是△ABC的边BC上一点，AC＝4，AD＝2，∠DAB＝∠C．如果△ACD的面积为15，那么△ABD的面积为（）A．15 B．10 C．152D．52．如图，在平行四边形ABCD中，:2:1AE BE=，F是AD的中点，射线EF与AC交于点G，与CD的延长线交于点P，则AGGC的值为（）．A．5:8B．3:8C．3:5D．2:53．如图，在△ABC中，点D在BC边上，连接AD，点E在AC边上，过点E作//EF BC，交AD于点F，过点E作//EG AB，交BC于G，则下列式子一定正确的是（）A．AE EFEC CD=B．BF EGCD AB=C．AF BCFD GC=D．CG AFBC AD=4．如图，在▱ABCD中，M、N为BD的三等分点，连接CM并延长交AB与点E，连接EN 并延长交CD于点F，则DF：FC等于（）．A．1：2 B．1：3 C．2：3 D．1：45．如图，在ABC 中，AB AC ≠，AC 3AD =，3AB AE =，点F 为边BC 上一点，则下列条件不能保证FDB △与ADE 相似的是（ ）A ．A BFD ∠=∠B ．//DF AC C ．BD DF DE AD = D ．BD BF AE DE= 6．如图，在菱形ABCD 中，660AB DAB =∠=︒,，A ，E 分别交BC 、BD 于点E 、F ，2CE =，连接CF ，以下结论：①ABF CBF ≌；②点E 到AB 的距离是23；③ADF 与EBF △的面积比为3∶2：④ABF 的面积为为183，其中正确的是（ ）A ．①④B ．①③④C ．①②④D ．①②③④ 7．如图，在ABC 中，//DE BC ，6AD =，3DB =，4AE =，则AC 的长为（ ）A ．1B ．2C ．4D ．68．如图，在平面直角坐标系中，ABC 的顶点坐标分别是()1,2A ，()1,1B ，()3,1C ，以原点为位似中心，在原点的同侧画DEF ，使DEF 与ABC 成位似图形，且相似比为2:1，则线段DF 的长度为（ ）A ．25B ．2C ．4D ．59．有下列四种说法：其中说法正确的有（ ）①两个菱形相似；②两个矩形相似；③两个平行四边形相似；④两个正方形相似． A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个10．如图所示，一般书本的纸张是原纸张多次对开得到，矩形ABCD 沿EF 对开后，再把矩形EFCD 沿MN 对开，依次类推，若各种开本的矩形都相似，那么AD AB等于（ ）A ．2B ．22C ．512-D ．211．如图，D 、E 分别是△ABC 的边AB 、BC 上的点，且DE ∥AC ，AE 、CD 相交于点O ，若S △DOE ：S △COA =1：9，则S △BDE ：S △CDE 的值是（ ）．A ．1：2B ．1：3C ．1：4D ．2：512．如图，正方形ABCD 中，ABC 绕点A 逆时针旋转到AB C ''△，AB '、AC '分别交对角线BD 于点E 、F ，若4AE =，则EF ED ⋅的值为（ ）A ．4B ．6C ．8D ．16二、填空题13．如图，一次函数y ＝﹣34x +6的图象与x 轴交于点B ，与y 轴交于点A ，过线段AB 的中点P （4，3）作一条直线与△AOB 交于点Q ，使得所截新三角形与△AOB 相似，则点Q 坐标是_____．14．如图，已知Rt ABC 中，AC=b ，BC=a ，D 1是斜边AB 的中点，过D 1作D 1E 1⊥AC 于E 1，连结BE 1交CD 1于D 2；过D 2作D 2E 2⊥AC 于E 2，连结BE 2交CD 1于D 3；过D 3作D 3E 3⊥AC 于E 3，…，如此继续，可以依次得到点D 4，D 5，…，D n ，分别记BD 1E 1，BD 2E 2，BD 3E 3，…，BD n E n 的面积为S 1，S 2，S 3，…S n ．则（1）1E C =__________，（2）S n =__________．15．如图，在正方形ABCD 中，4AB =，P 是BC 边上一动点（不与B ，C 重合），DE AP ⊥于E ．若PA x =，DE y =，则y 关于x 的函数解析式为_____．16．如图，△ABC 中，D 在AC 上，且AD ：DC=1:n ，E 为BD 的中点，AE 的延长线交BC 于F ，那么FC:BF 的值为______（用含有n 的代数式表示）．17．如图，身高1.6m 的小华站在距路灯5m 的C 点处，测得她在灯光下的影长CD 为2.5m ，则路灯的高度AE 为________．18．下列五组图形中，①两个等腰三角形；②两个等边三形；③两个菱形；④两个矩形；⑤两个正方形．一定相似的有_______（填序号）19．在四边形ABCD 中，//AB DC ，90B ∠=︒，3AB =，11BC =，6DC =，点P 在BC 上，连接AP ，DP ，若ABP △与PCD 相似，则BP 的长为___________． 20．如图，在正方形纸片ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，折叠正方形纸片ABCD ，使AD 落在BD 上，点A 恰好与BD 上的点F 重合，展开后，折痕DE 分别交AB 、AC 于点E ，G ，连接GF ，下列结论中正确的是__________． （填序号）①67.5AGE ∠=︒；②四边形AEFG 是菱形；③2BE OF =；④:21DOG OGEF S S =四边形:△．三、解答题21．如图，△ABC 在网格中（每个小方格的边长均为1）．（1）请在网格上建立平面直角坐标系，使A 点坐标为（2，3），C 点坐标为（6，2），并求出B 点坐标；（2）在（1）的基础上，以原点O 为位似中心，相似比为2，在第一象限内将△ABC 放大，画出放大后的图形△A B C '''；（3）△A B C '''的面积S ＝ ．22．如图，在平面直角坐标系xOy 中，OAB 如图放置，点P 是AB 边上的一点，过点P 的反比例函数(0,0)k y k x x=>>与OA 边交于点E ，连接OP ．（1）如图1，若点A 的坐标为(3,4)，点B 的坐标为(5,0)，且OPB △的面积为5，求直线AB 和反比例函数的解析式；（2）如图2，若60AOB ︒∠=，过P 作//PC OA ，与OB 交于点C ，若12PC OE =，并且OPC 的面积为33，求OE 的长． （3）在（2）的条件下，过点P 作//PQ OB ，交OA 于点Q ，点M 是直线PQ 上的一个动点，若OEM △是以OE 为直角边的直角三角形，则点M 的坐标为______． 23．如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，ABC 的顶点都在格点上．（1）以原点O 为位似中心，在第三象限内画出将ABC 放大为原来的2倍后的位似图形111A B C △．（2）已知ABC 的面积为72，则111A B C △的面积是_________． 24．如图，抛物线213-222y x x =-与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，连接AC ，BC ，点M 是线段BC 下方抛物线上的任意一点，点M 的横坐标为m ，过点M 画MN ⊥x 轴于点N ，交BC 于点P ．（1）填空：A （ ， ），C （ ， ）；（2）探究△ABC 的外接圆圆心的位置，并求出圆心的坐标；（3）探究当m 取何值时线段PM 的长度取得最大值，最大值为多少？25．如图，在ABC ∆中，AD 平分,BAC E ∠是AD 上一点，且BE BD =．（1）求证：ABE ACD ∆~∆；（2）若E 是线段AD 的中点，求BD CD的值．．26．如图，已知△ABC 中，BC ＝10，BC 边上的高AH ＝8，四边形DEFG 为内接矩形． （1）当矩形DEFG 是正方形时，求正方形的边长．（2）设EF ＝x ，矩形DEFG 的面积为S ，求S 关于x 的函数关系式，当x 为何值时S 有最大值，并求出最大值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D【分析】首先证明△ABD ∽△CBA ，由相似三角形的性质可得：△ABD 的面积：△ACB 的面积为1：4，因为△ACD 的面积为15，进而求出△ABD 的面积．【详解】∵∠DAB ＝∠C ，∠B ＝∠B ，∴△ABD ∽△CBA ，∵AC ＝4，AD ＝2，∴△ABD 的面积：△ACB 的面积＝（AD AC）2＝1：4， ∴△ABD 的面积：△ACD 的面积＝1：3，∵△ACD 的面积为15，∴△ABD 的面积＝5．故选：D ．【点睛】 本题考查了相似三角形的判定和性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方，是中考常见题型．2．D解析：D【分析】证明AFE △≌△()DFP AAS ，推出=AE DP ，由:2:1AE BE =，设BE k =，2AE k =，推出3AB CD k ==，5PC k =，由//AE BC ，可得AG AE GC CP=的值． 【详解】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴//AB PC ，AB CD =，∴AEF P ∠=∠，∵AFE DFP ∠=∠，AF DF =，∴AFE △≌△()DFP AAS ，∴=AE DP ，∵:2:1AE BE =，设BE k =，2AE k =，∴3AB CD k ==，5PC k =，∵//AE BC ， ∴2255AG AE k GC CP k ===， 故选：D ．【点睛】 本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会利用已知条件证明三角形全等、利用参数解决问题，属于中考常考3．C解析：C【分析】根据平行线分线段成比例性质进行解答便可．【详解】解：∵EF ∥BC ， ∴AF AE FD EC=， ∵EG ∥AB ， ∴AE BG EC GC =， ∴AF BC FD GC=， 故选：C ．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例性质，关键是熟记定理，找准对应线段．4．B解析：B【分析】由题意可得DN=NM=MB ，据此可得DF ：BE=DN ：NB=1：2，再根据BE ：DC=BM ：MD=1：2，AB=DC ，故可得出DF ：FC 的值．【详解】解：由题意可得DN=NM=MB ，AB//CD ，AB//BC∴△DFN ∽△BEN ，△DMC ∽△BME ，∴DF ：BE=DN ：NB=1：2，BE ：DC=BM ：MD=1：2，又∵AB=DC ，∴DF ：AB=1：4，∴DF ：FC=1：3故选：B ．【点睛】本题考查相似三角形的性质，两相似三角形对应线段成比例，要注意比例线段的应用． 5．C解析：C【分析】先根据已知条件可证得ADE ACB ∽，由此可得AED B ∠=∠，再利用相似三角形的判定对选项逐个判断即可．【详解】解：∵AC 3AD =，3AB AE =，∴AD AE 1AC AB 3==， 又∵A A ∠=∠， ∴ADE ACB ∽，∴AED B ∠=∠， A 选项：∵A BFD ∠=∠，B B ∠=∠，∴BFD BAC ∽，故选项A 正确；B 选项：∵//DF AC ，∴C BFD ∠=∠，∠=∠A BDF ，∴BFD BCA △∽△，故选项B 正确；C 选项：BD DF DE AD=无法证明FDB △与ADE 相似； D 选项：∵BD BF AE DE=， AED B ∠=∠， ∴BFD EDA △∽△，故选项D 正确；故选：C ．【点睛】 本题考查了相似三角形的判定及性质，熟练掌握相似三角形的判定是解决本题的关键． 6．C解析：C【分析】根据菱形的性质得出△ABF 和△CBF 全等的条件，从而可判断①成立；过点E 作EG ⊥AB ，过点F 作MH ⊥AB ，求得EG 的长度，则可判断②是否成立；由AD ∥BE ，可判定△ADF ∽△EBF ，由相似三角形的性质可得△ADF 与△EBF 的面积比，从而可判断③是否成立；利用相似三角形的性质和等边三角形的性质，可求得△ABF 在AB 边上的高，进而求得△ABF 的面积，则可判断④是否成立．【详解】解：∵四边形ABCD 是菱形，AB=6，∴BC=AB=6，∵∠DAB=60°，∴AB=AD=DB=6，∠ABD=∠DBC=60°，在△ABF 与△CBF 中，AB BC ABF FBC BF BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABF ≌△CBF （SAS ），故①成立；如图，过点E 作EG ⊥AB 延长线于点G ；过点F 作MH ⊥AB 交AB ，CD 于点H ，M ， 则由菱形的对边平行可得MH ⊥CD ，∵CE=2，BC=6，∠ABC=120°，∴BE=6-2=4，∠EBG=60°∵EG ⊥AB ，∴33= 故②成立； ∵AD ∥BE ，∴△ADF ∽△EBF ， ∴2269()(),44ADF EBF S AD S BE ∆∆=== 故③不成立；∵△ADF ∽△EBF ，32DF AD FB EB ∴== ∵DB=6， ∴BF= 125∴FH= 125×32=635， ∴S △ABF =12AB•FH=16318362⨯=， 故④成立．综上所述，一定成立的有①②④．故选：C ．【点睛】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定、相似三角形的判定与性质及三角形的面积计算，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．7．D解析：D【分析】根据平行线分线段成比例求出EC ，即可解答．【详解】解：∵DE ∥BC ， ∴AD AE DB EC =，即643EC=， 解得：EC=2，∴AC=AE+EC=4+2=6；故选：D ．【点睛】 本题考查了平行线分线段成比例定理，解决本题的关键是熟记平行线分线段成比例定理． 8．A解析：A【分析】根据位似图形的性质可得DF =2AC ，然后根据两点间的距离公式求出AC 即可解决问题．【详解】解：∵DEF 与ABC 是位似图形，且相似比为2:1，∴DF =2AC ，∵AC ==∴DF =故选：A ．【点睛】本题考查了位似图形的性质和两点间的距离，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键． 9．D解析：D【分析】直接利用相似图形的判定方法分别判断得出答案．【详解】解：①两个菱形不一定相似，因为对应角不一定相等；②两个矩形不一定相似，因为对应边不一定成比例；③两个平行四边形不一定相似，因为形状不一定相同；④两个正方形相似，正确．故选：D ．【点睛】本题考查了相似多边形的判定，正确掌握判定方法是解题的关键．10．A解析：A【分析】 首先根据相似的性质，可得对应边成比例，即为AD AB AB BF =，又根据12BF AD =，可得出2212AD AB =，据此进行求解即可． 【详解】∵各种开本的矩形都相似，∴矩形ABCD 与矩形BFEA 相似， ∴AD AB AB BF=， ∴AD•BF=AB•AB ，又∵12BF AD =， ∴2212AD AB =，∴AD AB=， 故选A ．【点睛】本题考查了相似多边形的的性质，相似多边形对应边之比等于相似比，准确识图，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键．11．A解析：A【分析】根据DE ∥AC 可得到△DOE ∽△COA 和△DBE ∽△ABC ，再根据相似三角形的性质即可得出12BE EC =，再根据同高三角形的面积比等于底之比即可求出． 【详解】∵DE ∥AC∴△DOE ∽△COA ，△DBE ∽△ABC∵S △DOE ：S △COA =1：9 ∴13DE AC = ∴13DE BE AC BC == ∴12BE EC = ∴S △BDE ：S △CDE =1：2故答案选A ．【点睛】本题主要考察了相似三角形的性质，准确记住面积比等于相似比平方是解题关键． 12．D解析：D【分析】先根据正方形的性质、旋转的性质可得45EAF EDA ∠=∠=︒，再根据相似三角形的判定与性质即可得．【详解】四边形ABCD 是正方形，45BAC EDA ∴∠=∠=︒，由旋转的性质得：B AC BAC ''∠=∠，B AC EDA ''∴∠=∠，即EAF EDA ∠=∠，在AEF 和DEA △中，EAF EDA AEF DEA∠=∠⎧⎨∠=∠⎩， AEF DEA ∴~，EF AE AE DE ∴=，即44EF DE=， 16EF DE ∴⋅=，故选：D ．【点睛】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．二、填空题13．（03）或（0）或（40）【分析】首先确定AB 两点坐标分两种情形：①当PQ ∥OB 时②当PQ′⊥AB 时分别求解即可【详解】∵一次函数y ＝﹣x+6的图象与x 轴交于点B 与y 轴交于点A ∴A （06）B （80）解析：（0，3）或（74，0）或（4，0） 【分析】首先确定A ，B 两点坐标，分两种情形：①当PQ ∥OB 时，②当PQ′⊥AB 时，分别求解即可．【详解】 ∵一次函数y ＝﹣34x+6的图象与x 轴交于点B ，与y 轴交于点A ， ∴A （0，6），B （8，0）， ∴OA＝6，OB ＝8，AB＝10，如图有两种情形：①当PQ ∥OB 时，满足条件．∵AP ＝PB ，∴AQ ＝OQ ，∴Q （0，3）．②当PQ′⊥AB 时，满足条件．连接AQ′．∵PA ＝PB ，PQ′⊥AB ，∴Q′A ＝Q′B ，设Q′A ＝Q′B ＝m ，在Rt △AOQ′中，则有m 2＝62+（8﹣m ）2，解得m ＝254， ∴OQ′＝8﹣254＝74， ∴Q′（74，0）． ③当PQ ∥y 轴时，同法可得P （4，0）． 综上所述，满足条件的点Q 的坐标为（0，3）或（74，0）或（4，0）． 【点睛】本题考查一次函数的应用，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．14．b 【分析】根据直角三角形的性质以及相似三角形的性质利用在△ACB 中D2为其重心可得D2E1＝BE1然后从中找出规律即可解答【详解】解：∵D1E1⊥ACBC ⊥AC ∴D1E1∥BC ∴∵D1是斜边AB 的中 解析：12b 22(1)ab n + 【分析】根据直角三角形的性质以及相似三角形的性质，利用在△ACB 中，D 2为其重心可得D 2E 1＝13BE 1，然后从中找出规律即可解答． 【详解】解：∵D 1E 1⊥AC ，BC ⊥AC ，∴D 1E 1∥BC ， ∴1111AE AD CE BD =， ∵D 1是斜边AB 的中点，∴AD 1＝BD 1，∴11111AE AD CE BD ==， ∵AC ＝b ， ∴AE 1＝E 1C ＝12b ， ∵D 1E 1∥BC ，∴BD 1E 1与CD 1E 1同底同高，面积相等，以此类推；根据直角三角形的性质以及相似三角形的性质可知：D 1E 1＝12BC ，CE 1＝12AC ，S 1＝212S △ABC ； ∴在ACB 中，D 2为其重心，∴D 2E 1＝13BE 1， ∴D 2E 2＝13BC ，CE 2＝13AC ，S 2＝213S △ABC ， ∵D 2E 2：D 1E 1＝2：3，D 1E 1：BC ＝1：2，∴BC ：D 2E 2＝2D 1E 1：23D 1E 1＝3， ∴CD 3：CD 2＝D 3E 3：D 2E 2＝CE 3：CE 2＝3：4，∴D 3E 3＝14D 2E 2＝14×13BC ＝14BC ，CE 3＝34CE 2＝14×13AC ＝14AC ，S 3＝214S △ABC …； ∴S n ＝21(1)n +S △ABC ＝21(1)n +×12ab ＝22(1)ab n +． 故答案为：12b ，22(1)ab n +．【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质和三角形的重心等知识，解决本题的关键是根据直角三角形的性质以及相似三角形的性质得到第一个三角形的面积与原三角形的面积的规律．也考查了重心的性质即三角形三边中线的交点到顶点的距离等于它到对边中点距离的两倍．15．【分析】根据正方形的性质以及DE ⊥AP 即可判定△ADE ∽△PAB 根据相似三角形的性质即可列出y 与x 之间的关系式需要注意的是x 的范围【详解】解：∵四边形ABCD 为正方形∴∠BAD ＝∠ABC ＝90°∴∠解析：(164y x x =<< 【分析】根据正方形的性质以及DE ⊥AP 即可判定△ADE ∽△PAB ，根据相似三角形的性质即可列出y 与x 之间的关系式，需要注意的是x 的范围．【详解】解：∵四边形ABCD 为正方形，∴∠BAD ＝∠ABC ＝90°，∴∠EAD +∠BAP ＝90°，∠BAP +∠APB ＝90°，∴∠EAD ＝∠APB ，又∵DE ⊥AP ，∠AED ＝∠B ＝90°，∴△ADE ∽△PAB ． ∴=AD DE AP AB ，即4=4y x∴(164y x x=<<．故答案为：(164y x x=<< 【点睛】 本题考查相似三角形，解题关键是熟练运用相似三角形的判定与性质，本题属于中等题型．16．n+1【分析】作DG 平行于AF 交BC 于G 由平行线分线段成比例定理比例的性质求得；然后根据三角形中位线的定义知BF=FG 所以由等量代换证得结论【详解】证明：如图作交BC 于G ∵AD ：DC=1：n ∴AD ：解析：n+1【分析】作DG 平行于AF 交BC 于G ．由平行线分线段成比例定理、比例的性质求得1AC FC n AD FG==+；然后根据三角形中位线的定义知BF=FG ，所以由等量代换证得结论． 【详解】证明：如图，作//DG AF 交BC 于G∵AD ：DC=1：n ，∴AD ：AC=1：（n+1）．∵//DG AF ， ∴AC FC CD GC=， 根据比例的性质知，1AC FC n AD FG ==+， 又E 是BD 的中点，∴EF 是△BGD 的中位线，∴BF=FG ．∴FC:BF=FC BF =1FC n FG=+． 故填：n+1．【点睛】 本题考查了平行线分线段成比例．列比例式时，一定要找准对应线段，以防错解． 17．【分析】由于人和地面是垂直的即和路灯平行构成相似三角形根据对应边成比例列方程解答即可【详解】即解得：即路灯的高度为48米【点睛】本题考查了相似三角形的应用把实际问题抽象到相似三角形中利用相似三角形的 解析：4.8m【分析】由于人和地面是垂直的，即和路灯平行，构成相似三角形．根据对应边成比例，列方程解答即可．【详解】//CE AB ，ADB EDC ∴∽，::AB CE BD CD ∴=，即:1.67.5:2.5AB =，解得： 4.8m AB =．即路灯的高度为4.8米．【点睛】本题考查了相似三角形的应用．把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求出路灯的高度，体现了转化的思想．18．②⑤【分析】根据相似图形的性质对各个选项逐个分析即可得到答案【详解】两个等腰三角形的顶角不一定相等故不一定相似；两个等边三角形一定相似；两个菱形的内角不一定相等故不一定相似；两个矩形的相邻边长比例不解析：②⑤【分析】根据相似图形的性质对各个选项逐个分析，即可得到答案．【详解】两个等腰三角形的顶角不一定相等，故不一定相似；两个等边三角形一定相似；两个菱形的内角不一定相等，故不一定相似；两个矩形的相邻边长比例不一定相等，故不一定相似；两个正方形一定相似；故答案为：②⑤．【点睛】本题考查了图形相似的知识；解题的关键是熟练掌握相似图形的性质，从而完成求解． 19．或2或9【分析】先根据平行线的性质可得再分和两种情况然后分别利用相似三角形的性质即可得【详解】设则如图因此分以下两种情况：（1）若则即解得或经检验或均是所列方程的根则此时或；（2）若则即解得经检验是 解析：113或2或9 【分析】 先根据平行线的性质可得90C B ∠=∠=︒，再分ABP PCD △△和ABP DCP △△两种情况，然后分别利用相似三角形的性质即可得．【详解】设BP x =，则11CP BC BP x =-=-，如图，//,90AB DC B =︒∠，90C B ∴∠=∠=︒，因此，分以下两种情况：（1）若ABP PCD △△， 则AB BP PC CD=，即3116x x =-， 解得2x =或9x =，经检验，2x =或9x =均是所列方程的根，则此时2BP =或9BP =；（2）若ABP DCP △△， 则AB BP DC CP =，即3611x x=-， 解得113x =，经检验，113x=是所列方程的根，则此时113 BP=；综上，BP的长为113或2或9，故答案为：113或2或9．【点睛】本题考查了相似三角形的性质、平行线的性质、分式方程的几何应用，依据题意，正确分两种情况讨论是解题关键．20．①②③【分析】根据正方形的性质菱形的判定等腰直角三角形的性质相似三角形的性质勾股定理一一判断即可【详解】解：如图∵四边形ABCD为正方形∴∠AOB=90°∠BAO=∠OAD=∠ODA=45°∵折叠正解析：①②③【分析】根据正方形的性质、菱形的判定、等腰直角三角形的性质，相似三角形的性质，勾股定理一一判断即可．【详解】解：如图∵四边形ABCD为正方形，∴∠AOB=90°，∠BAO=∠OAD=∠ODA=45°，∵折叠正方形纸片ABCD，使AD落在BD上，点A恰好与BD上的F重合，∴∠1=∠2=12∠ODA=22.5°，EA=EF，∠4=∠5，∠EFD=∠EAD=90°，∴∠3=∠GAD+∠1=45°+22.5°=67.5°，即∠AGE=67.5°；故①正确，∵∠4=90°-∠1=67.5°，∴∠3=∠4=∠5，∴AE=AG=EF，AG∥EF，∴四边形AEFG为菱形；故②正确，∴GF∥AB，EF=GF，∴∠6=∠7=45°，∴△BEF和△OGF都是等腰直角三角形，∴，OF，∴；故③正确，设OF=a，则a，a，∴OB=+1）a，∴OD=+1）a，DF=DO+OF=（）a，∵∠DOG=∠DFE=90°，∴△DOG∽△DFE，221(),2DOGDFES DOS DF∆∆∴===∴S△DOG：S四边形OGEF=1：1．故④错误．故答案为①②③【点睛】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了正方形和等腰直角三角形的性质．三、解答题21．（1）()21B，；（2）作图见解析；（3）16；【分析】（1）直接利用已知点坐标得出各点位置进而得出答案；（2）直接利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案；（3）利用三角形面积求法得出答案．【详解】解：（1）如图所示：B点坐标为（2，1）；（2）△A 'B 'C '即为所求；（3）△A 'B 'C '的面积S ＝12×4×8＝16． 故答案为：16．【点睛】此题主要考查了位似变换，正确得出对应点位置是解题关键．22．（1）210y x =-+，8y x =；（2）4OE =；（3）(3-或(53，． 【分析】（1）过点P 作PD ⊥OB 于点D ，根据点B 的坐标为（5，0），且OPB △的面积为5求出PD 的长，求出直线AB 的解析式，故可得出P 点坐标，利用待定系数法求出反比例函数的解析式即可；（2）作EF ⊥OB 于F ，PD ⊥OB 于D ，则//EF PD ，先证明OEF CPD ∽，设OE=m ，根据相似三角形对应边成比例求得1133,,22OF OE m EF ====13,,4CD m PD ==进而求得P 的坐标，求得OC 的长，然后根据OPC 33m 的方程，解方程求得即可． （3）先求得,E P 的坐标，再根据//,PQ OB 设(3,M x 分两种情况讨论，当90MOE ∠=︒，90OEM ∠=︒， 再利用勾股定理列方程，解方程可得答案． 【详解】解：（1）如图1，过点P 作PD ⊥OB 于点D ，∵点B 的坐标为（5，0）， OPB △的面积为 5，∴152OB PD =， 552PD ∴=， 解得：PD=2， 设直线AB 的解析式为 y=ax+b （a≠0），∵A （3，4），B （5，0），∴ 3450a b a b +=⎧⎨+=⎩， 解得：210a b =-⎧⎨=⎩， ∴直线AB 的解析式为210y x =-+，当y=2时，-2x+10=2，解得x=4，∴P （ 4，2），∵点P 的反比例函数k y x =（x ＞0）上， ∴2=4k ，解得：k=8， ∴反比例函数的解析式为：8y x =； （2）如图2，作EF ⊥OB 于F ，PD ⊥OB 于D ，则//EF PD ，∵//PC OA ， 12PC OE =∴OEF CPD ∽， ∴2OF EF OE CD PD CP===， 设OE=m ， ∵∠AOB=60°，∴1133,,2222OF OE m EF OE m ==== ∴13,,4CD m PD m == ∴13,2E m m ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，P 的纵坐标为34m ， ∵E 、P 都是反比例函数k y x =（k ＞0，x ＞0）上的点， ∴设P 的横坐标为x ，则 133224m m mx =， x m ∴=，∴OD=m ，∴1344OC OD CD m m m =-=-=， ∵OPC 的面积为332， ∴13322OC PD =，即 13333,2442m m ⨯⨯= 解得：m=4，（负根舍去）∴OE=4．（3）∵()223E ，， ()43,P ， //,PQ OB 如图3，当∠EOM=90°时，设(),3,M x由222,OM OE ME += (()222222323233,x x ∴+++=-+ 412,x ∴-=3,x ∴=-()33,M ∴-，如图4，当∠OEM=90°时，由222,OE EM OM += (()222222232333,x x ∴++-+=+ 420,x ∴-=-5,x ∴=(53.M ∴，∴M 的坐标为(3-或(53，．故答案为：(3-或(53，．【点睛】本题考查的是反比例函数综合题，涉及到用待定系数法求一次函数及反比例函数的解析式，相似三角形的判定与性质，勾股定理的应用，掌握以上知识是解题的关键． 23．（1）画图见解析；（2）14【分析】（1）给A 、B 、C 三点坐标乘以-2，得到A 1、B 1、C 1的坐标，再描点连接即得到111A B C △； （2）给ABC 的面积乘以4即得111A B C △的面积．【详解】（1）如图，111A B C △为所作．（2）ABC 的面积为72，位似比为2：1， ∴111A B C △的面积是272142⨯=． 故答案为：14．【点睛】 此题考查位似图形和坐标变换．当位似中心为坐标原点时，位似图形的对应点之坐标比（即横坐标与横坐标之比，纵坐标与纵坐标之比）的绝对值等于位似比．当比值为负时，图形分居原点两侧；当比值为正时，图形在原点一侧．24．（1）-1，0；0，-2；（2）3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭；（3）当m=2时，PM 的最大值是2 【分析】（1）利用抛物线解析式容易求得A 、C 的坐标；（2）证明△AOC ∽△COD ，Rt △ACB 的外接圆圆心为AB 的中点，由此求得圆心的坐标即可；（3）可求得直线BC 的解析式，利用m 可表示出PM 的长，则可利用二次函数的性质求得PM 的最大值．【详解】解：（1）当y=0，则213-222y x x =-=0，得方程的解121,4x x =-= ∴A （-1,0）B （4,0），当x=0时，y=-2∴C （0，-2）． （2）1,2,4OA OC OB ===∠AOC=∠COB=90° ∴12OA OC OC OB == ∴△AOC ∽△COB∴∠ACO=∠OBC∠ACO+∠OCB=90°∠OBC+∠OCB=90°=∠ACB∴Rt △ACB 的外接圆圆心为AB 的中点，∵A （-1,0）B （4,0），∴圆心的坐标（3,02）． （3）C （0，-2），B （4，0）又∵直线BC 解析式1y 22x =- 1(,2)2p m m -，M （m, 213222m m --） PM=（122m -）-（213222m m --） 2122PM m m =-+ 21=(2)22m --+ 当m=2时，PM 最大值=2．【点睛】本题考查了二次函数的性质，掌握性质是解题的关键．25．（1）见解析；（2）12 【分析】（1）根据三角形相似的判定定理，即可得证；（2）根据△ABE ∽△ACD ，可得：AE BE AD CD =，再由等量代换即可求解. 【详解】（1）∵BE=BD ，∴∠BED=∠BDE ，∴∠AEB=180°－∠BED=180°－∠BDE=∠ADC ，∵AD 平分∠BAC ，∴∠BAE=∠CAD ，∴△ABE ∽△ACD ；（2）∵△ABE ∽△ACD ， ∴AE BE AD CD=， ∵E 是线段AD 的中点，1=2AE BE AD CD = ∵BE=BD ， ∴1=2BD CD 【点睛】 本题主要考查相似三角形的判定定理和性质定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质，是解题的关键.26．（1）409；（2）()254204S x =--+，当x ＝4时，S 有最大值20 【分析】（1）GF ∥BC 得△AGF ∽△ABC ，利用相似三角形对应边上高的比等于相似比，列方程求解；（2）根据相似三角形的性质求出GF ＝10−54x ，求出矩形的面积，运用二次函数性质解决问题．【详解】（1）设HK ＝y ，则AK ＝AH ﹣KH ＝AH ﹣EF ＝8﹣y ，∵四边形DEFG 为矩形，∴GF ∥BC ，∴△AGF ∽△ABC ，∴AK ：AH ＝GF ：BC ，∵当矩形DEFG 是正方形时，GF ＝KH ＝y ，∴(8﹣y)：8＝y ：10，解得：y ＝409； （2）设EF ＝x ，则KH ＝x ．∴AK ＝AH ﹣EF ＝8﹣x ，由（1）可知：8108GF x -=， 解得：GF ＝10﹣54x ， ∴s ＝GF•EF ＝（10﹣54x ）x ＝﹣54（x ﹣4）2+20， ∴当x ＝4时S 有最大值，并求出最大值20．【点睛】 本题考查了相似三角形的性质，二次函数的最值，矩形的性质的应用，注意：矩形的对边相等且平行，相似三角形的对应高的比等于相似比，题目是一道中等题，难度适中．。

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九年级上册第二章单元测试卷（B 卷）说明：请将答案或解答过程直接写在各题的空白处.本卷满分100分.考试时间90分钟一、选择题：（每小题3分，共36分）1．下列函数中不是二次函数的有（ ）A ．y=x （x ﹣1）B ．y=﹣1 C ．y=﹣x 2 D ．y=（x +4）2﹣x 22．如果抛物线y=x 2﹣6x +c ﹣2的顶点到x 轴的距离是3，那么c 的值等于（ ）A ．8B ．14C ．8或14D ．﹣8或﹣143．用配方法将y=x 2﹣6x +11化成y=a （x ﹣h ）2+k 的形式为（ ）A ．y=（x +3）2+2B ．y=（x ﹣3）2﹣2C ．y=（x ﹣6）2﹣2D ．y=（x ﹣3）2+24．二次函数图象如图所示，则其解析式是（ ）A ．y=﹣x 2+2x +4B ．y=x 2+2x +4C ．y=﹣x 2﹣2x +4D ．y=﹣x 2+2x +35．一次函数y=ax +b （a ≠0）与二次函数y=ax 2+bx +c （a ≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．6．二次函数y=ax 2+bx +c ，自变量x 与函数y 的对应值如表：x … ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 … y…4﹣2﹣24…下列说法正确的是（ ）A ．抛物线的开口向下B ．当x ＞﹣3时，y 随x 的增大而增大C ．二次函数的最小值是﹣2D ．抛物线的对称轴是x=﹣ 7．如图，已知二次函数y 1=x 2﹣x 的图象与正比例函数y 2=x 的图象交于点 A （3，2），与x 轴交于点B （2，0），若y 1＜y 2，则x 的取值范围是（ ）A ．0＜x ＜2B ．0＜x ＜3C ．2＜x ＜3D ．x ＜0或x ＞38．心理学家发现：学生对概念的接受能力y 与提出概念的时间x （min ）之间是二次函数关系，当提出概念13min 时，学生对概念的接受力最大，为59.9；当提出概念30min 时，学生对概念的接受能力就剩下31，则y 与x 满足的二次函数关系式为（ ）A ．y=﹣（x ﹣13）2+59.9 B ．y=﹣0.1x 2+2.6x +31 C ．y=0.1x 2﹣2.6x +76.8 D ．y=﹣0.1x 2+2.6x +43 9．如图，已知二次函数y=ax 2+bx +c （a ≠0）的图象与x 轴交于点A （﹣1，0），与y 轴的交点B 在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x=1．下列结论：①abc ＞0 ；②4a +2b +c ＞0 ；③4ac ﹣b 2＜8a ；④＜a ＜；⑤b ＞c ．其中含所有正确结论的选项是（ ）A ．①③B ．①③④C ．②④⑤D ．①③④⑤10．在平面直角坐标系中，把一条抛物线先向上平移3个单位长度，然后绕原点旋转 180°得到抛物线y=x 2+5x +6，则原抛物线的解析式是（ ） A ．y=﹣（x ﹣）2﹣B ．y=﹣（x +）2﹣C ．y=﹣（x ﹣）2﹣D ．y=﹣（x +）2+11．已知A （x 1，2009）、B （x 2，2009）是二次函数y=ax 2+bx +8（a ≠0）的图象上两点，则当x=x 1+x 2时，二次函数的值为（ ）A ．+8 B ．2009 C ．8 D ．无法确定12．某种电缆在空中架设时，两端挂起的电缆下垂都近似抛物线y=x 2的形状．今在一个坡度为1：5的斜坡上，沿水平距离间隔50米架设两固定电缆的位置离地面高度为20米的塔柱（如图），这种情况下在竖直方向上，下垂的电缆与地面的最近距离为（ ）A ．12.75米B ．13.75米C ．14.75米D ．17.75米二、填空题（每小题3分，共12分）13．当m= 时，函数y=（m 2﹣4）x +3是二次函数．14．形状与抛物线y=2x 2﹣3x +1的图象形状相同，但开口方向不同，顶点坐标是（0，﹣5）的抛物线的关系式为 ．15．当﹣1≤x ≤2时，二次函数y=x 2+2kx +1的最小值是﹣1，则k 的值可能是 ． 16．如图，二次函数y=ax 2+bx +c （a ≠0）的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，且OA=OC ，则下列结论：①abc ＜0；②；③ac ﹣b +1=0；④OA •OB=﹣．其中正确结论的序号是 ．三、解答题（本部分共6题，合计52分）17．如图，已知抛物线y=﹣x 2+mx +3与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，点B 的坐标为（3，0） （1）求m 的值及抛物线的顶点坐标．（2）点P 是抛物线对称轴l 上的一个动点，当PA +PC 的值最小时，求点P 的坐标．学校 姓名 年级密 封 线 内 不 要 答 题密 封线18．我们规定：若=（a，b），=（c，d），则•=ac+bd ．如=（1，2），=（3，5），则=1×3+2×5=13．（1）已知=（2，4），=（2，﹣3），求；（2）已知=（x﹣a，1），=（x﹣a，x+1），求y=，问y=的函数图象与一次函数y=x﹣1的图象是否相交，请说明理由．19．已知：抛物线y=x2+bx+c经过点A（2，﹣3）和B（4，5）．（1）求抛物线的表达式及顶点坐标；（2）将抛物线沿x轴翻折，得到图象G1，求图象G1的表达式；（3）设B点关于对称轴的对称点为E，抛物线G2：y=ax2（a≠0）与线段EB恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．20．九年级（3）班数学兴趣小组经过市场调查整理出某种商品在第x天（1≤x≤90，且x为整数）的售价与销售量的相关信息如下．已知商品的进价为30元/件，设该商品的售价为y（单位：元/件），每天的销售量为p（单位：件），每天的销售利润为w（单位：元）．时间x（天） 1 30 60 90每天销售量p（件）198 140 80 20（1）求出w与x的函数关系式；（2）问销售该商品第几天时，当天的销售利润最大？并求出最大利润；（3）该商品在销售过程中，共有多少天每天的销售利润不低于5600元？请直接写出结果．21．自主学习，请阅读下列解题过程．解一元二次不等式：x2﹣5x＞0．解：设x2﹣5x=0，解得：x1=0，x2=5，则抛物线y=x2﹣5x与x轴的交点坐标为（0，0）和（5，0）．画出二次函数y=x 2﹣5x的大致图象（如图所示），由图象可知：当x＜0，或x＞5时函数图象位于x轴上方，此时y＞0，即x2﹣5x＞0，所以，一元二次不等式x2﹣5x＞0的解集为：x＜0，或x＞5．通过对上述解题过程的学习，按其解题的思路和方法解答下列问题：（1）上述解题过程中，渗透了下列数学思想中的和．（只填序号）①转化思想②分类讨论思想③数形结合思想（2）一元二次不等式x2﹣5x＜0的解集为．（3）用类似的方法解一元二次不等式：x2﹣2x﹣3＞0．22．如图1，抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）与x轴、y轴分别交于点A（﹣1，0）、B（3，0）、点C三点．（1）试求抛物线的解析式；（2）点D（2，m）在第一象限的抛物线上，连接BC、BD．试问，在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P，满足∠PBC=∠DBC？如果存在，请求出点P点的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）如图2，在（2）的条件下，将△BOC沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度向右平移，记平移后的三角形为△B′O′C′．在平移过程中，△B′O′C′与△BCD重叠的面积记为S，设平移的时间为t秒，试求S与t之间的函数关系式？密封线九年级上册第二章单元测试卷（B卷）答案一、选择题1-5 DCDAC 6—10 DBDDA 11-12 CB10.【解析】∵抛物线的解析式为：y=x2+5x+6，设原抛物线上有点（x，y），绕原点旋转180°后，变为（﹣x，﹣y），点（﹣x，﹣y）在抛物线y=x2+5x+6上，将（﹣x，﹣y）代入y=x2+5x+6得﹣y=x2﹣5x+6，所以原抛物线的方程为y=﹣x2+5x﹣6=﹣（x ﹣）2+，∴向下平移3个单位长度的解析式为y=﹣（x ﹣）2+﹣3=﹣（x ﹣）2﹣．故选A．11.【解析】∵A（x1，2009）、B（x2，2009）是二次函数y=ax2+bx+8（a≠0）的图象上两点，∴a+bx1+8=0，a+bx2+8=0，两式相减可得a （﹣）+b（x1﹣x2）=0，∵A、B两点不同，∴x1﹣x2≠0，∴a（x1+x2）+b=0，∴当x=x1+x2时，y=a（x1+x2）2+b（x1+x2）+8=（x1+x2）[a（x1+x2）+b]+8=8，故选C．12.【解析】如图，以点D为原点，DC方向为x轴建立直角坐标系，设抛物线的解析式为y=x2+bx+c，易知：A（0，20），B（50，30），代入解析式可求得：b=﹣，c=20，∴抛物线的解析式为y=x2﹣x+20，∵斜坡的坡度为1：5，∴斜坡所在直线的解析式为：y=x，设一条与x轴垂直的直线x=m与抛物线交于M，与斜坡交于G，则MG=m2﹣m+20﹣m=（m﹣25）2+13.75，∴当m=25时，MG的最小值为13.75，即下垂的电缆与地面的最近距离为13.75m；故选B．二、填空题13.3 14. y=﹣2x2﹣5 15. ﹣或﹣ 16.①③④15.【解析】∵﹣1≤x≤2时，二次函数y=x2+2kx+1的最小值为﹣1，∴最小值可能在x=﹣1或2时得到，或最小值=，①当x=﹣1取得最小值，1﹣2k+1=﹣1，解得：k=，此时对称轴x=﹣=﹣，当x ＞﹣时，y随x的增大而增大，故x=﹣1时有最小值﹣1．∴当﹣1≤x≤2时，二次函数y=x2+2kx+1的最小值是﹣1②当x=2取得最小值，4+4k+1=﹣1，解得：k=﹣，y=x2﹣3x+1，此时对称轴x=﹣=，当x ＞时，y随x的增大而增大，当x=时，y小=﹣，∴当﹣1≤x≤2时，二次函数y=x2+2kx+1的最小值是﹣，不符合题意．③最小值===﹣1，∴k=±，当k=时，y=x2+2x+1=（x +）2﹣1，∴当x时，y随x增大而增大，∴当x=﹣时，y小=﹣1，不符合题意；当k=﹣时，y=x2﹣2x+1=（x ﹣）2﹣1，∴当x时，y随x增大而增大，∴当x=时，y小=﹣1，∴当﹣1≤x≤2时，二次函数y=x2+2kx+1的最小值是﹣1，综上所述：k=或﹣；故答案为：k=或﹣．三、解答题17.【解析】（1）m=2，∴y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，∴顶点坐标为：（1，4）．（2）连接BC交抛物线对称轴l于点P，则此时PA+PC的值最小，点P的坐标为：（1，2）．18. 【解析】（1）∵=（2，4），=（2，﹣3），∴=2×2+4×（﹣3）=﹣8；（2）∵=（x﹣a，1），=（x﹣a，x+1），∴y==（x﹣a）2+（x+1）=x2﹣（2a﹣1）x+a2+1∴y=x2﹣（2a﹣1）x+a2+1联立方程：x2﹣（2a﹣1）x+a2+1=x﹣1，化简得：x2﹣2ax+a2+2=0，∵△=b2﹣4ac=﹣8＜0，∴方程无实数根，两函数图象无交点．19. 【解析】（1）抛物线的表达式为：y=x2﹣2x﹣3．∵y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4．∴顶点坐标为（1，﹣4）．（2）∵将抛物线沿x轴翻折，得到图象G1与原抛物线图形关于x轴对称，∴图象G1的表达式为：y=﹣x2+2x+3．（3）∵B（4，5），对称轴：x=1∴B点关于对称轴的对称点E点坐标为（﹣2，5），当G2过E点时，代入E（﹣2，5），则a=，当G2过B点时，代入B（4，5），则a=；所以a 的取值范围为≤a ＜．20. 【解析】（1）当1≤x≤50时，设商品的售价y与时间x的函数关系式为y=kx+b（k、b为常数且k≠0），∵y=kx+b经过点（0，40）、（50，90），∴，解得：，∴售价y与时间x的函数关系式为y=x+40；当50＜x≤90时，y=90．∴售价y与时间x的函数关系式为y=．由数据可知每天的销售量p与时间x成一次函数关系，设每天的销售量p与时间x的函数关系式为p=mx+n（m、n为常数，且m≠0），∵p=mx+n过点（60，80）、（30，140），∴，解得：，∴p=﹣2x+200（0≤x≤90，且x为整数），当1≤x≤50时，w=（y﹣30）•p=（x+40﹣30）（﹣2x+200）=﹣2x2+180x+2000；当50＜x≤90时，w=（90﹣30）（﹣2x+200）=﹣120x+12000．综上所示，每天的销售利润w与时间x的函数关系式是w=．（2）当1≤x≤50时，w=﹣2x2+180x+2000=﹣2（x﹣45）2+6050，∵a=﹣2＜0且1≤x≤50，∴当x=45时，w取最大值，最大值为6050元．当50＜x≤90时，w=﹣120x+12000，∵k=﹣120＜0，w随x增大而减小，∴当x=50时，w取最大值，最大值为6000元．∵6050＞6000，∴当x=45时，w最大，最大值为6050元．即销售第45天时，当天获得的销售利润最大，最大利润是6050元．（3）当1≤x≤50时，令w=﹣2x2+180x+2000≥5600，即﹣2x2+180x﹣3600≥0，解得：30≤x≤50，50﹣30+1=21（天）；当50＜x≤90时，令w=﹣120x+12000≥5600，即﹣120x+6400≥0，解得：50＜x≤53，∵x为整数，∴50＜x≤53，53﹣50=3（天）．综上可知：21+3=24（天），故该商品在销售过程中，共有24天每天的销售利润不低于5600元．21. 【解析】（1）上述解题过程中，渗透了下列数学思想中的①和③；故答案为：①，③；（2）由图象可知：当0＜x＜5时函数图象位于x轴下方，此时y＜0，即x2﹣5x＜0，∴一元二次不等式x2﹣5x＜0的解集为：0＜x＜5；故答案为：0＜x＜5．（3）设x2﹣2x﹣3=0，解得：x1=3，x2=﹣1，∴抛物线y=x2﹣2x﹣3与x轴的交点坐标为（3，0）和（﹣1，0）．画出二次函数y=x2﹣2x﹣3的大致图象（略），由图象可知：当x＜﹣1，或x＞3时函数图象位于x轴上方，此时y＞0，即x2﹣2x﹣3＞0，∴一元二次不等式x2﹣2x﹣3＞0的解集为：x＜﹣1，或x＞3．22. 【解析】（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）代入抛物线y=ax2+bx+3（a≠0），，解得：a=﹣1，b=2．故抛物线解析式为：y=﹣x2+2x+3．（2）存在将点D代入抛物线解析式得：m=3，∴D（2，3），令x=0，y=3，∴C（0，3），∴OC=OB，∴∠OCB=∠CBO=45°，如下图，设BP交y轴于点G，∵CD∥x轴，∴∠DCB=∠BCO=45°，在△CDB和△CGB 中：∵∠∴△CDB≌△CGB（ASA），∴CG=CD=2，∴OG=1，∴点G（0，1），设直线BP：y=kx+1，代入点B（3，0），∴k=﹣，∴直线BP：y=﹣x+1，联立直线BP和二次函数解析式：，解得：或（舍），∴P （﹣，）．（3）直线BC：y=﹣x+3，直线BD：y=﹣3x+9，当0≤t≤2时，如下图：设直线C′B′：y=﹣（x﹣t）+3联立直线BD求得F （，），S=S△BCD﹣S△CC′E﹣S△C′DF=×2×3﹣×t×t ﹣×（2﹣t）（3﹣）整理得：S=﹣t2+3t（0≤t≤2）．当2＜t≤3时，如下图：H（t，﹣3t+9），I（t，﹣t+3）S=S△HIB =[（﹣3t+9）﹣（﹣t+3）]×（3﹣t）整理得：S=t2﹣6t+9（2＜t≤3）综上所述：S=．。

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