2011年深圳大学712数学分析考研试题
2011考研数学二真题及答案解析
2011年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题(1~8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸...指定位置上.) (1) 已知当0x →时,()3sin sin3f x x x =-与k cx 是等价无穷小,则( ) (A) 1,4k c ==. (B) 1,4k c ==-. (C) 3,4k c ==. (D) 3,4k c ==-.(2) 已知()f x 在0x =处可导,且()00f =,则()()2332limx x f x f x x →-=( )(A) ()20f '-. (B) ()0f '-. (C) ()0f '. (D) 0. (3) 函数()ln (1)(2)(3)f x x x x =---的驻点个数为( )(A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3. (4) 微分方程2(0)x x y y e e λλλλ-''-=+>的特解形式为( ) (A) ()x x a e e λλ-+. (B) ()x x ax e e λλ-+. (C) ()x x x ae be λλ-+. (D) 2()x x x ae be λλ-+.(5) 设函数(),()f x g x 均有二阶连续导数,满足(0)0,(0)0,f g ><且(0)(0)0f g ''==,则函数()()z f x g y =在点(0,0)处取得极小值的一个充分条件是( )(A) (0)0,(0)0.f g ''''<> (B) (0)0,(0)0.f g ''''<< (C) (0)0,(0)0.f g ''''>> (D) (0)0,(0)0.f g ''''><(6) 设40ln sin I x dx π=⎰,4ln cot J x dx π=⎰,40ln cos K x dx π=⎰,则,,I J K 的大小关系是( )(A) I J K <<. (B) I K J <<. (C) J I K <<. (D) K J I <<. (7) 设A 为3阶矩阵,将A 的第2列加到第1列得矩阵B ,再交换B 的第2行与第3行得单位矩阵,记1100110001P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,2100001010P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,则A =( ) (A) 12PP . (B) 112P P -. (C) 21P P . (D) 121P P -.(8) 设1234(,,,)A αααα=是4阶矩阵,*A 为A 的伴随矩阵,若(1,0,1,0)T是方程组0Ax =的一个基础解系,则*0A x =的基础解系可为( )(A) 13,αα. (B) 12,αα. (C) 123,,ααα. (D) 234,,ααα. 二、填空题(9~14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸...指定位置上.) (9) 1012lim()2x x x →+= . (10) 微分方程'cos x y y e x -+=满足条件(0)0y =的解为 . (11) 曲线0tan (0)4xy tdt x π=≤≤⎰的弧长s = .(12) 设函数,0,()0,0,0,x e x f x x λλλ-⎧>=>⎨≤⎩则()xf x dx +∞-∞=⎰ .(13) 设平面区域D 由直线,y x =圆222x y y +=及y 轴围成,则二重积分Dxyd σ=⎰⎰ .(14) 二次型222123123121323(,,)3222f x x x x x x x x x x x x =+++++,则f 的正惯性指数为 .三、解答题(15~23小题,共94分.请将解答写在答题纸...指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) (15) (本题满分10分)已知函数20ln(1)()xat dt F x x +=⎰,设0lim ()lim ()0,x x F x F x +→+∞→==试求a 的取值范围. (16) (本题满分11分)设函数()y y x =由参数方程3311,3311,33x t t y t t ⎧=++⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩确定,求()y y x =的极值和曲线()y y x =的凹凸区间及拐点.(17) (本题满分9分)设函数(,())z f xy yg x =,其中函数f 具有二阶连续偏导数,函数()g x 可导且在1x =处取得极值(1)1g =,求211x y zx y==∂∂∂.(18) (本题满分10分)x设函数()y x 具有二阶导数,且曲线:()l y y x =与直线y x =相切于原点,记α为曲线l 在点(,)x y 处切线的倾角,若,d dydx dxα=求()y x 的表达式. (19) (本题满分10分)(I)证明:对任意的正整数n ,都有111ln(11n n n<+<+ 成立. (II)设111ln (1,2,)2n a n n n=+++-= ,证明数列{}n a 收敛. (20) (本题满分11分)一容器的内侧是由图中曲线绕y 轴旋转一周而成的曲面,该曲线由2212(2x y y y +=≥与2211(2x y y +=≤连接而成的.(I) 求容器的容积;(II) 若将容器内盛满的水从容器顶部全部抽出,至少需要做多少功?(长度单位:m ,重力加速度为2/gm s ,水的密度为3310/kg m ).图1(21) (本题满分11分)已知函数(,)f x y 具有二阶连续偏导数,且(1,)0f y =,(,1)0f x =,(,)Df x y dxdy a =⎰⎰,其中{}(,)|01,01D x y x y =≤≤≤≤,计算二重积分(,)xyDI xy f x y dxdy ''=⎰⎰.(22) (本题满分11分)设向量组123(1,0,1),(0,1,1),(1,3,5)T TT ααα===,不能由向量组1(1,1,1)Tβ=,2(1,2,3)T β=,3(3,4,)T a β=线性表示.(I) 求a 的值;(II) 将123,,βββ由123,,ααα线性表示. (23) (本题满分11分)A 为三阶实对称矩阵,A 的秩为2,即()2r A =,且111100001111A -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭.(I) 求A的特征值与特征向量;(II) 求矩阵A.2011年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题答案一、选择题(1~8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸...指定位置上.) (1)【答案】(C). 【解析】因为03sin sin 3limk x x x cx →-03sin sin cos 2cos sin 2lim kx x x x x xcx →--=()20sin 3cos 22cos limkx x x x cx →--=2103cos 22cos lim k x x xcx -→--= ()22132cos 12cos limk x x xcx -→---=22110044cos 4sin lim lim k k x x x x cx cx--→→-== 304lim1k x cx -→==.所以4,3c k ==,故答案选(C). (2)【答案】(B).【解析】()()2332limx x f x f x x→-()()()()22330220limx x f x x f f x f x →--+=()()()()33000lim 2x f x f f x f x x →⎡⎤--⎢⎥=-⎢⎥⎣⎦()()()0200f f f '''=-=-.故答案选(B).(3)【答案】(C).【解析】()ln 1ln 2ln 3f x x x x =-+-+-111'()123f x x x x =++--- 231211(1)(2)(3)x x x x x -+=---令'()0f x =,得1,2x =,故()f x 有两个不同的驻点.(4)【答案】(C).【解析】微分方程对应的齐次方程的特征方程为220r λ-=,解得特征根12r r λλ==-,. 所以非齐次方程2x y y e λλ''-=有特解1x y x a e λ=⋅⋅,非齐次方程2x y y e λλ-''-=有特解2x y x b e λ-=⋅⋅,故由微分方程解的结构可知非齐次方程2x x y y e e λλλ-''-=+可设特解().x x y x ae be λλ-=+(5)【答案】(A). 【解析】由题意有()()zf xg y x ∂'=∂, ()()z f x g y y∂'=∂ 所以,()0,0(0)(0)0zf g x ∂'==∂,()0,0(0)(0)0z f g y ∂'==∂,即()0,0点是可能的极值点. 又因为22()()zf xg y x ∂''=∂,2()()z f x g y x y ∂''=∂∂,22()()z g y f x y∂''=∂,所以,2(0,0)2|(0)(0)zA f g x ∂''==⋅∂,2(0,0)|(0)(0)0zB f g x yα''==⋅=∂∂,2(0,0)2|(0)(0)zC f g y∂''==⋅∂,根据题意由()0,0为极小值点,可得20,AC B A C -=⋅>且(0)(0)0A f g ''=⋅>,所以有(0)(0)0.C f g ''=⋅>由题意(0)0,(0)0f g ><,所以(0)0,(0)0f g ''''<>,故选(A).(6)【答案】(B). 【解析】因为04x π<<时, 0sin cos 1cot x x x <<<<,又因ln x 是单调递增的函数,所以ln sin ln cos ln cot x x x <<. 故正确答案为(B). (7)【答案】 (D).【解析】由于将A 的第2列加到第1列得矩阵B ,故100110001A B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 即1AP B =,11A BP -=.由于交换B 的第2行和第3行得单位矩阵,故100001010B E ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 即2,P B E =故122B P P -==.因此,121A P P -=,故选(D).(8)【答案】(D).【解析】由于(1,0,1,0)T 是方程组0Ax =的一个基础解系,所以(1,0,1,0)0T A =,且()413r A =-=,即130αα+=,且0A =.由此可得*||A A A E O ==,即*1234(,,,)A O =αααα,这说明1234,,,αααα是*0A x =的解. 由于()3r A =,130αα+=,所以234,,ααα线性无关.又由于()3r A =,所以*()1r A =,因此*0A x =的基础解系中含有413-=个线性无关的解向量.而234,,ααα线性无关,且为*0A x =的解,所以234,,ααα可作为*0A x =的基础解系,故选(D).二、填空题(9~14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸...指定位置上.)(9)【解析】原式=0121lim (1)2x x x e →+-00212ln 21limlimln 2222x x x x x eee→→-⋅====(10)【答案】sin xy e x -=. 【解析】由通解公式得(cos )dx dxx y e e x e dx C --⎰⎰=⋅+⎰(cos )xe xdx C -=+⎰(sin )xe x C -=+.由于(0)0,y =故C =0.所以sin xy e x -=.(11)【解析】选取x 为参数,则弧微元sec ds xdx ===所以4400sec ln sec tan ln(1s xdx x x ππ==+=+⎰. (12)【答案】1λ.【解析】原式0x x x e dx xde λλλ+∞+∞--==-⎰⎰1lim0x x xx x x xee dx ee λλλλ+∞-+∞--+∞→+∞=-+=-+-⎰01111limlim x x x x e e e λλλ→+∞→+∞⎛⎫=---= ⎪⎝⎭. (13)【答案】712. 【解析】原式2sin 2sin 322044cos sin cos sin d r r rdr r d r dr ππθθππθθθθθθ=⋅=⋅⎰⎰⎰⎰4241sin cos 16sin 4d ππθθθθ=⋅⋅⋅⎰5522444cos sin 4sin sin d d ππππθθθθθ=⋅=⎰⎰66447sin 612ππθ==. (14)【答案】2.【解析】方法1:f 的正惯性指数为所对应矩阵的特征值中正的个数.二次型f 对应矩阵为111131111A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.111000131131132111111112E A λλλλλλλλλλλ-----=---=---=------------ ()()321412λλλλλλ--==----, 故1230,1,4λλλ===.因此f 的正惯性指数为2.方法2:f 的正惯性指数为标准形中正的平方项个数.()222123123121323,,3222f x x x x x x x x x x x x =+++++()2222212322332323232x x x x x x x x x x x =++---+++ ()2212322x x x x =+++,令11232233,,,y x x x y x y x =++⎧⎪=⎨⎪=⎩则22122f y y =+,故f 的正惯性指数为2.三、解答题(15~23小题,共94分.请将解答写在答题纸...指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) (15) (本题满分10分)【解析】如果0a ≤时,220(1)limlim ln(1)xxa ax x ln t dt x t dt x -→+∞→+∞+=⋅+=+∞⎰⎰,显然与已知矛盾,故0a >.当0a >时,又因为22230110000ln(1)ln(1)1limlim lim lim 0xa aa a x x x x t dt x x x x ax ax a++++---→→→→++===⋅=⎰. 所以30a ->即3a <.又因为223201222ln(1)ln(1)210lim lim lim lim (1)(1)1xa a a a x x x x x t dt x x x x ax a a x a a x---→+∞→+∞→+∞→+∞+++====--+⎰ 所以32a -<,即1a >,综合得13a <<.(16) (本题满分11分)【解析】因为221()1dyt dt y x dx t dt -'==+, 2222222231()12(1)(1)2141(),(1)1(1)t d t t t t t t y x dx dt t t t dt-+--⋅+''=⋅=⋅=+++ 令()0y x '=得1t =±, 当1t =时,53x =,13y =-,此时0y ''>,所以13y =-为极小值.当1t =-时,1x =-,1y =,此时0y ''<,所以1y =为极大值. 令()0y x ''=得0t =,13x y ==. 当0t <时,13x <,此时0y ''<;当0t >时,13x >,此时0y ''>. 所以曲线的凸区间为13⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭,,凹区间为13⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭,,拐点为11(,)33. (17) (本题满分9分) 【解析】[],()z f xy yg x =[][]12,(),()()zf xy yg x y f xy yg x yg x x∂'''=⋅+⋅∂[][]211112,()(,())(,())()zf xy yg x y f xy yg x x f xy yg x g x x y∂'''''=++∂∂ []{}21222(),()()[,()][,()]()g x f xy yg x yg x f xy yg x x f xy yg x g x '''''''+⋅+⋅+. 因为()g x 在1x =可导,且为极值,所以(1)0g '=,则21111121|(1,1)(1,1)(1,1)x y d zf f f dxdy =='''''=++. (18) (本题满分10分)【解析】由题意可知当0x =时,0y =,'(0)1y =,由导数的几何意义得tan y α'=,即arctan y α'=,由题意()arctan d dyy dx dx '=,即 21y y y '''='+. 令y p '=,y p '''=,则21p p p '=+,3dpdx p p =+⎰⎰,即 21dp p dp dx p p -=+⎰⎰⎰,211ln ||ln(1)2p p x c -+=+,即2211x p ce -=-. 当0x =,1p =,代入得2c =,所以'y =,则0()(0)t xxy x y -==⎰⎰004t t xx π⎛⎫===-⎰.又因为(0)0y =,所以()arcsin 24x y x π=-. (19) (本题满分10分)【解析】(Ⅰ)设()()1ln 1,0,f x x x n ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦显然()f x 在10,n⎡⎤⎢⎥⎣⎦上满足拉格朗日的条件,()1111110ln 1ln1ln 1,0,1f f n n n n n ξξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=+=⋅∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以10,n ξ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时, 11111111101n n n nξ⋅<⋅<⋅+++,即:111111n n n ξ<⋅<++, 亦即:111ln 11n n n⎛⎫<+< ⎪+⎝⎭. 结论得证.(II )设111111ln ln 23nn k a n n n k==++++-=-∑ .先证数列{}n a 单调递减.()111111111ln 1ln ln ln 1111n n n n k k n a a n n k k n n n n ++==⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=-+--=+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦∑∑,利用(I )的结论可以得到11ln(1)1n n <++,所以11ln 101n n ⎛⎫-+< ⎪+⎝⎭得到1n n a a +<,即数列{}n a 单调递减.再证数列{}n a 有下界.1111ln ln 1ln nnn k k a n n k k ==⎛⎫=->+- ⎪⎝⎭∑∑,()11112341ln 1ln ln ln 1123nnk k k n n k k n ==++⎛⎫⎛⎫⎛⎫+==⋅⋅=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∏ ,()1111ln ln 1ln ln 1ln 0nn n k k a n n n n k k ==⎛⎫=->+->+-> ⎪⎝⎭∑∑.得到数列{}n a 有下界.利用单调递减数列且有下界得到{}n a 收敛. (20) (本题满分11分)【解析】(I)容器的容积即旋转体体积分为两部分12V V V =+()()1222211221y y dy y dy ππ-=-+-⎰⎰232123y y π⎛⎫=- ⎪⎝⎭+13213y y π-⎛⎫- ⎪⎝⎭=π1534⎛⎫+-⎪⎝⎭=94π. (II) 所做的功为22(2)(1)(2)(2)dw g y y dy g y y y dy πρπρ=--+--12222112(2)(1)(2)(2)w g y y dy g y y y dy πρπρ-=--+--⎰⎰1232322112(22)44)g y y y dy y y y dy πρ-⎛⎫=--+++-+ ⎪⎝⎭⎰⎰111224322312222221111211122242243243yy y yy g y yπρ----⎛⎫⎪=--++-+ ⎪ ⎪⎝⎭3271033758g g ππ⨯==.(21) (本题满分11分)【解析】因为(,1)0f x =,(1,)0f y =,所以(,1)0x f x '=.110(,)xyI xdx yf x y dy ''=⎰⎰11(,)x xdx ydf x y '=⎰⎰ ()()111000,|,x x xdx yf x y f x y dy ⎡⎤''=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰()1100(,1)(,)x x xdx f x f x y dy ''=-⎰⎰1100(,)x xdx f x y dy '=-⎰⎰1100(,)x dy xf x y dx '=-⎰⎰111000(,)|(,)dy xf x y f x y dx ⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦⎰⎰ 1100(1,)(,)dy f y f x y dx ⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦⎰⎰(,)Df x y dxdy =⎰⎰a =.(22) (本题满分11分)【解析】(I)由于123,,ααα不能由123,,βββ线性表示,对123123(,,,,,)βββααα进行初等行变换:123123113101(,,,,,)12401313115a ⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭βββααα113101011112023014a ⎛⎫ ⎪→- ⎪ ⎪-⎝⎭113101011112005210a ⎛⎫ ⎪→- ⎪ ⎪--⎝⎭.当5a =时,1231231(,,)2(,,,)3r r ββββββα=≠=,此时,1α不能由123,,βββ线性表示,故123,,ααα不能由123,,βββ线性表示.(II)对123123(,,,,,)αααβββ进行初等行变换:123123101113(,,,,,)013124115135⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭αααβββ101113013124014022⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪⎝⎭101113013124001102⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪--⎝⎭ 1002150104210001102⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪--⎝⎭, 故112324βααα=+-,2122βαα=+,31235102βααα=+-. (23) (本题满分11分)【解析】(I)由于111100001111A -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭,设()()121,0,1,1,0,1T T αα=-=,则()()1212,,A αααα=-,即1122,A A αααα=-=,而120,0αα≠≠,知A 的特征值为121,1λλ=-=,对应的特征向量分别为()1110k k α≠,()2220k k α≠.由于()2r A =,故0A =,所以30λ=.由于A 是三阶实对称矩阵,故不同特征值对应的特征向量相互正交,设30λ=对应的特征向量为()3123,,Tx x x α=,则13230,0,T T⎧=⎨=⎩αααα即13130,0x x x x -=⎧⎨+=⎩. 解此方程组,得()30,1,0Tα=,故30λ=对应的特征向量为()3330k k α≠.(II) 由于不同特征值对应的特征向量已经正交,只需单位化:))()3121231231,0,1,1,0,1,0,1,0T T Tαααβββααα==-====.令()123,,Q βββ=,则110TQ AQ -⎛⎫ ⎪=Λ= ⎪ ⎪⎝⎭, T A Q Q =Λ0012200110220010022⎛⎫ ⎪ ⎪-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭⎪⎝⎭00001220000000221000100⎛⎫- ⎪ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭.。
2011考研数学(一二三)真题(含答案)
(B) 1,2 .
(C) 1,2,3 . (D) 2 ,3,4 .
【解析】由 x 0 的基础解系只有一个知 r(A) 3 ,所以 r( A) 1,
f
(0),
B
2z xy
|(0,0)
f
(x)
f ( y) f (y)
|(0,0)
[
f (0)]2 f (0)
0,
C
2z y2
|(0,0)
f
(x)
f
( y) f
(y) [ f f 2(y)
( y)]2
|(0,0)
f (0) [ f (0)]2 f (0)
较强。
观察选项:(A),(B),(C),(D)四个选项的收敛半径均为 1,幂级数收敛区间的中心在 x 1 处,
故(A),(B)错误;
因为
an
单调减少,lim n
an
0 ,所以 an
0 ,所以
n1
an
为正项级数,将
x
2 代入幂级数得
n1
an
,
n
而已知 Sn ak 无界,故原幂级数在 x 2 处发散,(D)不正确. k 1
2011 年全国硕士研究生入学 统一考试
数学(一、二、三) 试题及解析
山东考研辅导专家 苏老师
1
2011 年全国硕士研究生入学统一考试
数学(一)试题
一、选择题:1~8 小题,每小题 4 分,共 32 分,下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要 求,请将所选项前的字母填在答.题.纸.指定位置上.
2
2011年全国硕士研究生入学统一考试农学门类联考数学真题及详解【圣才出品】
0 1
1 1 1
0
E 1
0 1
1
1 1
1
0
.
6.设 A 为 4×3 矩阵,1,2 ,3 是非齐次线性方程组 Ax 的 3 个线性无关的解,
k1, k2 为任意常数,则 Ax 的通解为( ).
A. 1
2 2
k1 (2
1 )
B. 1
2 2
k1 (2
1 )
C. 2
3 2
k1 (3
I1
4
I2
.
4.设函数 z arctan exy ,则 dz =( ).
A.
exy 1 e2xy
( ydx
xdy)
e xy B. 1 e2xy
( ydx
xdy)
e xy C. 1 e2xy
( xdy
ydx)
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e xy D. 1 e2xy
( ydx
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台
2011 年全国硕士研究生入学统一考试农学门类联考数学真题及详解
一、选择题:1~8 小题,每小题 4 分,共 32 分。下列每题给出的四个选项中,只有
一个选项是符合题目要求的,请将所选项前的字母填在括号内.
1.当 x O 时,下列函数为无穷大量的是( ).
【答案】B
【解析】因为 0 P( A) 1, A B ,故 0 P( A) P(B) 1,又 A U B B ,
AB A ,所以
.
8.设总体 X 服从参数为 ( 0) 的泊松分布, X1,X,2,L X n (n 2) 为来自总体
的简单随机样本,则对于统计量T1
2011年考研数学二真题及答案解析
2011年考研数学二真题及答案解析2011年考研数学二真题及答案解析一、选择题部分1. 如图,矩形OABC中,AB=4,BC=3,M为BC的中点,点D,E分别在AO,CO上,满足AD=CE,连接DE、BM相交于F。
则DE/AB的值等于()。
A.1/3 B.1/4 C.1/2 D.2/3答案:A解析:根据题意,首先连接AM,然后用面积比解法。
设矩形OABC的面积为S,则S=AB×BC=12。
由于AD=CE,所以AM=CM,即BM=1.5,MF=BM/2=0.75。
在ΔABF中,AF是BM的中线,所以AF=BM/2=0.75。
设AC与DE交点为G,则AG=(BC+DE)/2=3+DE/2。
在ΔEBG中,EF是AM的中线,所以EF=AM/2=1.25。
因此,S[DEFG]/S[OABC]=[1-(MF/BC)]×[1-(EF/AB)]=2/3。
所以DE/AB=[S[DEFG]/S[OABC]]1/2=1/3。
2. 若(cosx+sinx)tanx=3,则tan3x的值为()。
A.1/2 B.1/3 C.1 D.3答案:D解析:将(cosx+sinx)tanx=3变形为cosx/(sinx+1/cosx)=3/sin^2(x)。
设y=sin(x),则cos(x)=√(1-y^2),所以上式化为(y+1/√(1-y^2))√(1-y^2)=3/y^2。
整理得y^5+3y^4+3y^3-8=0。
由于y=0不是方程的解,所以可将其化为(y+1)^3=y^2+3y+8/3。
又因为y^2+3y+8/3=(y+3/2)^2+7/12>0,所以y只可能为y=-1或y=-1/2。
当y=-1时,得cos(x)=0,sin(x)=-1,此时tan3x不存在。
当y=-1/2时,得cos(x)=√(1-1/4)=√3/2,sin(x)=-1/2。
因此sin(3x)=3sin(x)-4sin^3(x)=-3/4,cos(3x)=4cos^3(x)-3cos(x)=-1/2。
2011年数学二真题解析
【解析】由通解公式得
y edx ( ex cos x edxdx C)
ex ( cos xdx C)
ex (sin x C) .
由于 y(0) 0, 故 C =0.所以 y ex sin x .
(11)【解析】选取 x 为参数,则弧微元 ds 1 y2 dx 1 tan2 xdx sec xdx
x0
xa
ax x0
a1
ax a x0
a1 x0
所以 3 a 0 即 a 3 .
又因为 0 lim x
x ln(1 t2 )dt
0
xa
ln(1 x2 )
lim
x
axa1
2x
lim
x
1 x2 a(a 1)x
a2
2 a(a 1)
x3a
lim
x
1
x2
所以 3 a 2 ,即 a 1,综合得1 a 3 .
(15) (本题满分 10 分)
【解析】如果 a 0 时, lim
x ln(1 t2 )dt
0
lim xa
x ln(1 t2 )dt ,
x
xa
x
0
显然与已知矛盾,故 a 0 .
当 a 0 时,又因为 lim
x ln(1 t2 )dt
0
lim
ln(1
x2 )
lim
x2
lim 1 x3a 0 .
g(x) f2xy, yg(x) yg(x) f12[xy, yg(x)] x f22[xy, yg(x)]g(x).
因为 g(x) 在 x 1 可导,且为极值,所以 g(1) 0 ,则
d2z dxdy
|x1
y 1
2011年考研数学二真题及解析
( 5 ) 设 函 数 f ( x), g ( x) 均 有 二 阶 连 续 导 数 , 满 足 f (0) > 0, g (0) < 0 , 且 f ''(0) = g '(0) = 0 ,则函数 Z = f ( x) g ( y) 在点(0,0)处取得极小值的一个充分条件是( ) (A) f ''(0) < 0, g ''(0) > 0 (B) f ''(0) < 0, g ''(0) < 0 (C) f ''(0) > 0, g ''(0) > 0 (D) f ''(0) > 0, g ''(0) < 0
的一个基础解系,则 A*x = 0 的基础解系可为( ) (A) α1 , α 3 (B) α1 , α 2 (C)α1,α2 ,α3 (D)α2 ,α3,α4
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二、填空题:9-14 小题,每小题 4 分,共 24 分,请将答案写在答题纸指定位置上.
0
0
0
(A) I < J < K
(B) I < K < J
(C) J < I < K
(D) K < J < I
2011年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题及答案详解
2011年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题及答案详解一、选择题:1~8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.(1)曲线234(1)(2)(3)(4)y x x x x =−−−−的一个拐点是( ) (A )(1,0) (B )(2,0) (C )(3,0) (D )(4,0) 【答案】应选(C ) 【详解】由凹凸性定义(2)设数列{}n a 单调减少,1lim 0,(1,2,)n n n kn k a S a n →∞====∑L 无界,则幂级数1(1)nkkk a x =−∑的收敛域是( )(A )(1,1]− (B )[1,1)− (C )[0,2) (D )(0,2] 【答案】应选(C ) 【详解】根据级数1kk a∞=∑发散,可知1kk k a x∞=∑在1x =发散,1x =−收敛,所以可判断收敛半径为1R =(3)设函数()f x 具有二阶连续导数,且()0,(0)0,f x f ′>= 则函数()ln ()z f x f y =在点(0,0)处取得极小值的一个充分条件是( )(A )(0)1,(0)0f f ′′>> (B )(0)1,(0)0f f ′′>< (C )(0)1,(0)0f f ′′<> (D )(0)1,(0)0f f ′′<< 【答案】应选(A )【详解】根据()ln ()0()()0()x yz f x f y f x f y z f y ′==⎧⎪′⎨==⎪⎩, 22()()ln (),[()()(())]()xx yy f x z f x f y z f y f y f y f y ′′′′′==− 对于(0,0),(0,0)(0)ln (0)xx z f f ′′=,(0,0)(0)yy z f ′′= 根据题意可判断(0)1,(0)0f f ′′>>(4)设4440ln sin ,ln cot ,ln cos I xdx J xdx K xdx πππ===∫∫∫,则,,I J K 的大小关系是(A )I J K << (B )I K J << (C )J I K << (D )K J I << 【答案】应选(B ) 【详解】在区间[0,4π上,sin cos cot ,ln x x x x <<是增函数,所以ln sin ln cos ln cot ,x x x <<由定积分比较大小的性质可知,应选(B ) (5)设A 为三阶矩阵,将A 的第二列加到第一列得到矩阵B ,再交换B 的第二行与第三行得到单位矩阵,记121 0 0 1 0 01 1 0,0 0 10 0 10 1 0P P ⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟==⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠,则A=( )(A) 12PP ; (B) 112P P −; (C) 21P P ; (D) 121P P −. 【答案】应选(D).【详解】由初等变换及初等矩阵的性质易知21P AP E =,从而1112121A P P P P −−−==,答案应选(D).(6)设1234(,,,)A αααα=,若(1,0,1,0)T是方程0AX =的一个基础解系,则*0A X =的基础解系可为( )(A)12,αα; (B) 13,αα; (C) 123,,ααα; (D) 234,,ααα.【答案】应选(D).【详解】由(1,0,1,0)T 是方程0AX =的一个基础解系,知()3r A =,从而*()1,0r A A ==,于是*0A A A E ==,即1234,,,αααα为*0A X =的解.由130αα+=,知13,αα线性相关,由()3r A =,知234,,ααα线性无关,又*()1r A =,从而234,,ααα为*0A X =的基础解系,故应选(D).(7)设12(),()F x F x 为两个分布函数,其相应的概率密度12(),()f x f x 是连续函数,则必为概率密度的是( )(A )12()()f x f x (B )212()()f x F x (C )12()()f x F x (D )1221()()()()f x F x f x F x + 【答案】应选(D).【详解】由概率密度的性质知,概率密度必须满足()1f x dx +∞−∞=∫,故由题知[]12211212()()()()()()()()1f x F x f x F x dx dF x F x F x F x +∞+∞+∞−∞−∞−∞+===∫∫ 故选择D.(8)设随机变量X 与Y 相互独立,且EX 与EY 存在.记max{,}U X Y =,min{,}V X Y =则EUV 等于( )(A )EU EV ×(B )EX EY ×(C )EU EY ×(D )EX EV × 【答案】应选(B).【详解】由题易知,当X Y <时,,U Y V X ==;当X Y >时,,U X V Y ==;当X Y =时, ,U Y V X ==;则都有EUV EXY EXEY ==,故选择B.二、填空题:9-14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上. (9)曲线0tan (0)4xy tdt x π=≤≤∫的弧长s =【答案】1)+【详解】1)s ==+(10)微分方程'cos xy y e x −+=满足条件(0)0y =的解为y =【答案】sin x e x −【详解】11(cos )(sin )dx dx x xy e C e xe dx e C x −−−∫∫=+=+∫,由于(0)0y =,所以sin x y e x −=(11)设函数2sin (,)1xytF x y dt t=+∫,则20,22x y F x ==∂=∂【答案】2【详解】2sin()1()F xy y x xy ∂=∂+,20,222sin(2)()214x y x F d x x dx x===∂==∂+(12)设L 是柱面方程221x y +=与平面z x y =+的交线,从z 轴正向往z 轴负向看去为逆时针方向,则曲线积分22Ly xzdx xdy dz ++=ò 【答案】2π【详解】由斯托克斯公式。