n维向量与向量空间

7
, 定义 R = {x=(x , x ,Lx )
n 1 2 n
T
, R x1, x2,Lxn∈
}
定义向量的加法和数乘满足上述八条运算律， 定义向量的加法和数乘满足上述八条运算律， 称 Rn n 维向量空间． 为 维向量空间． 可视作数轴上以原点为起点的有向线段的全体； 数轴上以原点为起点的有向线段的全体 R可视作数轴上以原点为起点的有向线段的全体；
(1, 2, L, n)
第n个分量 个分量
第2个分量 个分量
n维实向量 维实向量
第1个分量 个分量
2
n 维向量写成一行，称为行向量，也就是 维向量写成一行，称为行向量 行向量， 行矩阵， 行矩阵，如：
αT =(a1,a2,L an) ,
n 维向量写成一列，称为列向量，也就是 维向量写成一列，称为列向量 列向量， 列矩阵， 列矩阵，如：
T
则
(2,2a2 ,L,2an )T ∉ V2 , 2α =
所以， 所以，V2不是向量空间 .
11
维向量， 例 设 a, b为两个已知的 n维向量，集合
V = {x = λa + µb λ , µ ∈ R}
试判断集合是否为向量空间. 试判断集合是否为向量空间 解 若x1 = λ1a + µ1b, x2 = λ2 a + µ 2b,
有 α + β = (0, a2 + b2 ,L , an + bn ) ∈ V1 ,
T
λα = (0, λa2 ,L, λan ) ∈ V1 ,
T
所以， 所以，V1是向量空间 .
10
(2) V2 = x = (1, x 2 , L , x n ) x 2 , L , x n ∈ R
T
{
}
若α = (1, a2 ,L , an ) ∈ V2 ,
1
2 R可视作平面上以原点为起点的有向线段的全体； 可视作平面上以原点为起点的有向线段的全体； 平面上以原点为起点的有向线段的全体
可视作空间 空间直角坐标系中以原点为起点的有向 R3可视作空间直角坐标系中以原点为起点的有向 线段的全体； 线段的全体； 维向量没有直观的几何形象． n> 3时，n 维向量没有直观的几何形象．
第五章
n 维空间中的向量
1
n 一、 维向量的概念与运算
定义
n 个有次序的数 a1 , a 2 , L , a n 所组成的数
维向量， 个分量， 组称为 n 维向量，这 n个数称为该向量的 n个分量， 第 i个数 a i 称为第 i个分量 .
分量为实数的向量称为实向量， 分量为实数的向量称为实向量， 实向量 分量为复数的向量称为复向量. 分量为复数的向量称为复向量. 复向量 例如
若α ∈ V , λ ∈ R, 则 λα ∈ V .
2. n 维向量的集合是一个向量空间 记作 R n. 维向量的集合是一个向量空间,记作 3. 单个零向量组成的集合 {0}也构成一个向 量空间，称为零空间 量空间，称为零空间. 零空间
9
判别下列集合是否为向量空间. 例 判别下列集合是否为向量空间
α +0= 0+α =α α +(−α) = 0 1 =α; 0 = 0 k0 = 0 α α ;
(6) λ(µ)α =λ(µα) λ, µ 实 ， 是 数 (7) λ(α +β) = λα+λβ (8) (λ +µ)α =λα+µα
6
wk.baidu.com
注意 1．行向量和列向量都按照矩阵的运算法则进行 ．行向量和列向量都按照矩阵的运算法则进行 矩阵的运算法则 运算. 运算 2．当没有明确说明是行向量还是列向量时，视 ．当没有明确说明是行向量还是列向量时， 上下文而定. 上下文而定
a1 a2 α = M a n
n 维列向量也可记作
3
, α = (a1,a2,Lan)
T
定义 零向量 分量全为零的向量称为零向量 分量全为零的向量称为零向量. 零向量 0 0 T 记作 0 = (0 0 0) 或 0 = , ,..., M 0 定义 相等向量
} V ={α = λ1a1 +λ2a2 +L λmam λ1,λ2,Lλm ∈R , +
, = L(a1, a2, L am)
子空间 定义 设有向量空间V1 及V2 ，若向量空间 V1 ⊂ V2 ， 的子空间． 就说V1 是V2 的子空间． 实例 维向量所组成的向量空间， 设V 是由 n 维向量所组成的向量空间，
二、向量空间的概念
维向量的集合， 非空， 定义 设 V 为 n 维向量的集合，如果集合V 非空， 对于加法及数乘两种运算封闭 封闭， 且集合V 对于加法及数乘两种运算封闭，那么就称 向量空间． 集合 V 为向量空间． 说明 1. 集合V 对于加法及乘数两种运算封闭指 对于加法及乘数两种运算封闭 封闭指 若α ∈ V , β ∈ V , 则 α + β ∈ V ;
α =(a1,a2,...,an)T , β =(b ,b2,...,bn)T 1 α = β ⇔ai =bi ,i =1...n
定义 负向量
4
−α = (−a1,−a2,...,−an)
向量的加法与数乘
n维 量 =(a1,a2,L an)T， =(b ,b2,L bn)T， 向 α , β , 设两个 1
则有 x1 + x2 = (λ1 + λ2 )a + ( µ1 + µ 2 )b ∈ V , kx1 = ( kλ1 )a + ( kµ1 )b ∈ V ,
所以，V是向量空间 . 所以，
这个向量空间称为由向量 所生成的向量空间. 这个向量空间称为由向量 a,b所生成的向量空间
12
生成空间的定义
一般地， 向 组 一般地，由 量 a1,a2,L am所 成 向 空 , 生 的 量 为 间
(1) 加法
α +β =(a1 +b ,a2 +b2,L an +bn) , 1
(2) 数乘
T
kα =(ka1, ka2,L n) ， 为 数 ka k 实
T
5
n维向量的加法和数乘运算满足下面的八条运算规
律： (1) (3) (4) (5) (2) (α + β) +γ =α +(β +γ )
α + β = β +α
显然V ⊂ Rn 所以V总是 Rn的子空间.
13
(1) V1 = x = (0, x 2 , L , x n ) x 2 , L , x n ∈ R
T
(2) V2
{ = {x = (1, x , L , x
2 T
n
)
T
x2 ,L , xn
} ∈ R}
T
解 (1) 对于 V1的任意两个元素及任意 λ ∈ R
α = (0, a 2 , L , a n ) , β = (0, b2 , L , bn ) ∈ V1 ,