n维向量空间
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n维向量空间
x11 x22 xnn
称有序数组 ( x1, x2 , , xn ) 或 ( x1, x2 , , xn )T 为
在基 1,2 , ,n 下的坐标.
基变换与坐标变换
1. 设n维向量空间 V 有两组不同的基，分别为： 1, 2 , …, n , 1 , 2 , …, n ,
注意： (1)只含零向量的向量组无极大无关组。
(2)如果一个向量组1,2 , ,m线性无关，则它
自身就是自己的极大无关组。
• 定义3 向量组 1,2 , ,m 的极大无关组
所含向量个数r称为向量组的秩。记为
r(1 ,2 , ,m ) r
规定只含零向量的向量组的秩为零。
性质
则 t s
推论2 若线性无关的向量组 1, 2 ,, t 与线
性无关的向量组 1, 2 ,, s 等价,则 t s
2.极大无关组和秩
• 定义2 在向量组(I) 1,2 , ,m 中，
如果存在r个向量 i1 ,i2 , ,ir ，满足：
(1) i1 ,i2 , ,ir 线性无关； （无关性）
1 = k111 + k212 + … + kn1n
且
2 = k121 + k222 + … + kn2n
… …… ……… …… …
n = k1n1 + k2n2 + … + knnn
利用矩阵形式可表为：
k11 k12
(1,
2,
…,
n)
=
(1,
2,
…,
n)
k21
k22
kn1
kn2
k1n
称有序数组 ( x1, x2 , , xn ) 或 ( x1, x2 , , xn )T 为
在基 1,2 , ,n 下的坐标.
基变换与坐标变换
1. 设n维向量空间 V 有两组不同的基，分别为： 1, 2 , …, n , 1 , 2 , …, n ,
注意： (1)只含零向量的向量组无极大无关组。
(2)如果一个向量组1,2 , ,m线性无关，则它
自身就是自己的极大无关组。
• 定义3 向量组 1,2 , ,m 的极大无关组
所含向量个数r称为向量组的秩。记为
r(1 ,2 , ,m ) r
规定只含零向量的向量组的秩为零。
性质
则 t s
推论2 若线性无关的向量组 1, 2 ,, t 与线
性无关的向量组 1, 2 ,, s 等价,则 t s
2.极大无关组和秩
• 定义2 在向量组(I) 1,2 , ,m 中，
如果存在r个向量 i1 ,i2 , ,ir ，满足：
(1) i1 ,i2 , ,ir 线性无关； （无关性）
1 = k111 + k212 + … + kn1n
且
2 = k121 + k222 + … + kn2n
… …… ……… …… …
n = k1n1 + k2n2 + … + knnn
利用矩阵形式可表为：
k11 k12
(1,
2,
…,
n)
=
(1,
2,
…,
n)
k21
k22
kn1
kn2
k1n
3.2 n维向量空间
2.表示方法 2.表示方法
n维向量一般用小写黑体的希腊字母 α, β, γ 等表示； 有时也用黑体的拉丁字母 a, b, c, o, u, v, x, y来表示.
例如, n维向量 α = (a1 , a2 , L , an ).
n维向量 α = ( a1 , a2 , L , an ).
n 维向量写成一行，称为 n 维行向量， 维向量写成一行， 行向量，
3．向量的相等 ． 如果n维向量 如果 维向量 α = ( a1 , a2 ,L , an ) ,β = (b1 , b2 ,L , bn ) 的对应分量皆相等， 的对应分量皆相等，即
ai = bi ,
i = 1, 2,L , n
相等， 则称向量 α 与 β 相等，记作 α = β ．
4．特殊的向量 ． 零向量： 分量全为零的向量称为零向量 零向量， 零向量 分量全为零的向量称为零向量，记作 0． 即, 0 = (0,0,L ,0) .
n 维向量还可以写成一列，称为 n 维列向量， 维向量还可以写成一列， 维列向量，
a1 a2 β = = (a1 , a2 , L , an )T . M a n
n 维行向量就是一行 列的矩阵； × n 的矩阵 维行向量就是一行n列的矩阵 1 列的矩阵； n 维列向量就是 行一列的矩阵 n × 1 的矩阵 维列向量就是n行 列的矩阵.
为向量α 与 β 的和； 称向量
kα = ( ka1 , ka2 ,L , kan )
数量乘积． 为向量 α 与数 k 的数量乘积．称向量
α − β = α + (− β ) = (a1 − b1 , a2 − b2 ,L , an − bn )
为向量α 与 β 的差；
n维向量一般用小写黑体的希腊字母 α, β, γ 等表示； 有时也用黑体的拉丁字母 a, b, c, o, u, v, x, y来表示.
例如, n维向量 α = (a1 , a2 , L , an ).
n维向量 α = ( a1 , a2 , L , an ).
n 维向量写成一行，称为 n 维行向量， 维向量写成一行， 行向量，
3．向量的相等 ． 如果n维向量 如果 维向量 α = ( a1 , a2 ,L , an ) ,β = (b1 , b2 ,L , bn ) 的对应分量皆相等， 的对应分量皆相等，即
ai = bi ,
i = 1, 2,L , n
相等， 则称向量 α 与 β 相等，记作 α = β ．
4．特殊的向量 ． 零向量： 分量全为零的向量称为零向量 零向量， 零向量 分量全为零的向量称为零向量，记作 0． 即, 0 = (0,0,L ,0) .
n 维向量还可以写成一列，称为 n 维列向量， 维向量还可以写成一列， 维列向量，
a1 a2 β = = (a1 , a2 , L , an )T . M a n
n 维行向量就是一行 列的矩阵； × n 的矩阵 维行向量就是一行n列的矩阵 1 列的矩阵； n 维列向量就是 行一列的矩阵 n × 1 的矩阵 维列向量就是n行 列的矩阵.
为向量α 与 β 的和； 称向量
kα = ( ka1 , ka2 ,L , kan )
数量乘积． 为向量 α 与数 k 的数量乘积．称向量
α − β = α + (− β ) = (a1 − b1 , a2 − b2 ,L , an − bn )
为向量α 与 β 的差；
n维向量空间
n维向量空间在数学中，向量是用来表示方向和大小的量，而n维向量空间是指由n个方向上的向量组成的空间。
这种空间在许多科学和工程领域中都有广泛的应用，比如计算机图形学、机器学习、统计学等。
向量的定义和性质一个n维向量可以表示为一个包含n个实数的有序集合，通常写成列向量的形式：$$ \\begin{pmatrix} x_1 \\\\ x_2 \\\\ \\vdots \\\\ x_n \\end{pmatrix} $$在 n 维空间中，两个向量的加法和数量乘法满足以下性质：1.加法交换律：$$ \\mathbf{u} + \\mathbf{v} = \\mathbf{v} + \\mathbf{u} $$2.加法结合律：$$ \\mathbf{u} + (\\mathbf{v} + \\mathbf{w}) = (\\mathbf{u} + \\mathbf{v}) + \\mathbf{w} $$3.数量乘法结合律：$$ c(\\mathbf{u} + \\mathbf{v}) = c\\mathbf{u} + c\\mathbf{v} $$4.数量分配律：$$ (c+d)\\mathbf{u} = c\\mathbf{u} + d\\mathbf{u} $$5.数量乘法分配律：$$ c(d\\mathbf{u}) = (cd)\\mathbf{u} $$6.标量乘法的单位元：$$ 1\\mathbf{u} = \\mathbf{u} $$n维向量空间的例子n维向量空间并不局限于几何空间的概念，它可以应用于更广泛的领域。
比如在机器学习中，特征向量常常被表示为n维空间中的一个点，这个点对应于特征空间中的一个特定特征组合。
另外，在数字信号处理中，信号通常被表示为一个n 维向量，这样可以更好地处理信号的复杂性。
向量的内积和外积在 n 维空间中，向量的内积和外积是两个重要的运算。
内积定义如下：$$ \\mathbf{u} \\cdot \\mathbf{v} = \\sum_{i=1}^{n} u_i v_i $$内积有许多重要的性质，比如内积为零表示两个向量正交，内积的值与向量夹角的余弦有关等。
北京工业大学线性代数第四章第一节 n 维向量空间
n
向量组 1 , 2 , , n 称为矩阵A 的列向量组．
10
类似地, 矩阵A (aij )mn 又有m个n维行向量
a11 a12 a 21 a 22 A ai1 ai 2 a m1 am 2 a1n 1 1 a 2 n 2 2 ， a in i m a mn m
23
例4 已知
1 1, 4, 0, 2，2 2, 7, 1, 3， 3 0, 1, 1, a , 3, 10, b, 4 , 不能由1 ,2 ,3 线性表出? ⑴ a , b为何值时， 能由1 ,2 ,3 线性表出且表示法 ⑵ a , b 为何值时，
, n
n xn 是否有解。
n xn
,n 线 性表出.
19
＊若方程组 1 x1 2 x2
有解，则 可以由1 ,2 ,
n xn
,n 线 性表出.
且方程组的一组解就是表出系数． ① 若方程组有唯一解，则 可以由1 ,2 , ,n 线性表出且表示法唯一. ② 若方程组有无穷多解，则
1
第一节 n 维向量空间
一． n 维向量空间的概念 二．向量与矩阵的关系 三．向量的线性组合与线性表出
2
一． n 维向量空间的概念 一个mn矩阵的每一行都是由n个数组成 的有序数组,其每一列都是由m个数组成的有序 数组。 n元线性方程组的一个解也是由n个数 组成的有序数组。所以研究线性方程组解的结 构离不开有序数组。 1.定义:由数域P 中n 个数组成的有序数组称为 数域P 上的一个n 维向量，用小写的希腊字母 , , …表示．
n维向量空间
(1) 加法：
+ = ( a1 + b1, a2 + b2, …, an + bn)
(2) 数与向量的乘法： = ( a1, a2, …, an )
向量的加法及数与向量的乘法两种运算统称为向量
的线性运算。
设 = ( a1, a2, …, an )， = (b 1, b 2, …, b n )
例如：全体复数的集合C,实数集R, 有理数集Q 都是数域.但整数集不是数域. 实际上,有理数域是最小数域,复数域是最大数域.
二、n 维向量 定义
由n个数组成的有序数组(a1, a2, … an)称为 一个n维向量。
= ( a1, a2, … an )
其中第 i 个数 ai (i = 1, 2, … , n ) 称为 n 维向量
练习：P36 1、2、4 作业：P36 3
减法：
- = +(-)
+ = ( a1 - b1, a2 - b2, …, an - bn)
向量的线性运算满足以下八条基本运算规律:
(1) ； (交换律 ) (2) ( ) ( )； (结合律 ) (3) 存在零向量0 R n , 使对任意 R n，有 0 ； (4) 对任意 R n , 都存在负向量 - R n , 使 ( ) 0； (5) 1 ； (6) k ( l ) ( kl )；(结合律 ) (7) ( k l ) k l (分配律 ) (8) k ( ) k k (分配律 )
的第 i 个分量或坐标。
零向量: 负向量:
0=(0,0,…,0)
(a1 , a2 ,, an ) 称为 的负向量
+ = ( a1 + b1, a2 + b2, …, an + bn)
(2) 数与向量的乘法： = ( a1, a2, …, an )
向量的加法及数与向量的乘法两种运算统称为向量
的线性运算。
设 = ( a1, a2, …, an )， = (b 1, b 2, …, b n )
例如：全体复数的集合C,实数集R, 有理数集Q 都是数域.但整数集不是数域. 实际上,有理数域是最小数域,复数域是最大数域.
二、n 维向量 定义
由n个数组成的有序数组(a1, a2, … an)称为 一个n维向量。
= ( a1, a2, … an )
其中第 i 个数 ai (i = 1, 2, … , n ) 称为 n 维向量
练习：P36 1、2、4 作业：P36 3
减法：
- = +(-)
+ = ( a1 - b1, a2 - b2, …, an - bn)
向量的线性运算满足以下八条基本运算规律:
(1) ； (交换律 ) (2) ( ) ( )； (结合律 ) (3) 存在零向量0 R n , 使对任意 R n，有 0 ； (4) 对任意 R n , 都存在负向量 - R n , 使 ( ) 0； (5) 1 ； (6) k ( l ) ( kl )；(结合律 ) (7) ( k l ) k l (分配律 ) (8) k ( ) k k (分配律 )
的第 i 个分量或坐标。
零向量: 负向量:
0=(0,0,…,0)
(a1 , a2 ,, an ) 称为 的负向量
线性代数--向量空间
dx4 0 d 2 x4
0
a 3 x1 b3 x2 c 3 x3 d 3 x4 0
该方程组的系数行列式
1111 abcd a2 b2 c2 d 2 (b a)(c a)(c b)(d a)(d b)(d c) a3 b3 c3 d 3
由于a，b，c，d各不相同.，所以行列式不等于零
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a21 x1 a22 x2 a2n xn b2 am1 x1 am2 x2 amn xn bm
含n个未知量m个方程的线性非齐次方程组可写成矩阵形式
a11 a12 a1n
x1 b1
AX
b
其中
A
a21
a22
a2n
,
a a 3 = (1,c,c2 , c3 , )T , 4 = (1,d, d2 , d3 )T
（其中a，b，c，d各不相同）
解 考察 x1a1 x2a2 x3a3 x4a4 0
x1 x2 x3 x4 0
按分量写出来，即为
a
2
ax1 x1
b
bx2 2 x2
cx3 c2 x
3
线性相关的充要条件是其中至少有一个向量可由 其余向量线性表示。
k1a1 k2a2 ksas 0 (1) 则称向量组a1,a2, as 线性相关；
否则称之为线性无关。
即当且仅当 k1 k2 ks 0 时，(1)式才成立，
则称向量组 a1,a2 , as , 线性无关。
注意
(1) 任何含有零向量的向量组都线性相关. （2） 仅含两个向量的向量组，它线性相关的充分
X
x2
,
b
b2
am1
am2
数学线性代数n维向量空间
A = (α1, α2 ,L , αm )，°A = (α1, α2 ,L , αm , β)。
线性方程组(4.2)可表示为两种矩阵方程：
(1). 将所有系数构成一个系数矩阵A
a11 a12 L
a21 M
a22 M
L M
an1 an2 L
即：AX B
a1m x1 b1
a2m M
# 向量加法和向量的数乘满足的运算规律:
1 加法交换律: α + β = β + α； 2 加法结合律 : α β γ α β γ ; 3 α Ο α; 4 α α O; 51 α α; 6 k(lα) (kl)α; 7 k(α β) kα kβ 8 (k l)α kα lα
# 向量α和β的差为 α - β = α + (- β) = (a1 - b1, a2 - b2 ,L , an - bn )T
# 实向量a :向量a的分量都是实数; # 复向量b :向量b的分量都是复数。 定义4.1 所有n维实向量(real vector)的集合称为, n维实向量空间，记为R n，即
第四章 n维向量空间
第一节 n维向量的概念 第二节 向量的线性表示与线性相关 第三节 等价向量组 第四节 线性方程组的结构 第五节 向量空间的子空间
4.1 n维向量的概念
由第一章知道
行向量(1 n矩阵) 列向量(n 1矩阵)
通称：n维向量
n个数构成的有序数组
a1
本章所称的n维向量指n维列向量：a= a1, a2 ,L
证(1) β可由向量α1 ,α2 ,L ,αm线性表示
存在m个数x1, x2 ,L , xm，使得
x1α1 x2α2 L xmαm β
方程组 AX β 有解
线性方程组(4.2)可表示为两种矩阵方程：
(1). 将所有系数构成一个系数矩阵A
a11 a12 L
a21 M
a22 M
L M
an1 an2 L
即：AX B
a1m x1 b1
a2m M
# 向量加法和向量的数乘满足的运算规律:
1 加法交换律: α + β = β + α； 2 加法结合律 : α β γ α β γ ; 3 α Ο α; 4 α α O; 51 α α; 6 k(lα) (kl)α; 7 k(α β) kα kβ 8 (k l)α kα lα
# 向量α和β的差为 α - β = α + (- β) = (a1 - b1, a2 - b2 ,L , an - bn )T
# 实向量a :向量a的分量都是实数; # 复向量b :向量b的分量都是复数。 定义4.1 所有n维实向量(real vector)的集合称为, n维实向量空间，记为R n，即
第四章 n维向量空间
第一节 n维向量的概念 第二节 向量的线性表示与线性相关 第三节 等价向量组 第四节 线性方程组的结构 第五节 向量空间的子空间
4.1 n维向量的概念
由第一章知道
行向量(1 n矩阵) 列向量(n 1矩阵)
通称：n维向量
n个数构成的有序数组
a1
本章所称的n维向量指n维列向量：a= a1, a2 ,L
证(1) β可由向量α1 ,α2 ,L ,αm线性表示
存在m个数x1, x2 ,L , xm，使得
x1α1 x2α2 L xmαm β
方程组 AX β 有解
3.3向量空间
2 3 2 (b1 , b2 ) = ( a 1 , a 2 , a 3 ) 3 1 4 3 1 . 2 3
思考题
设V = {x = ( a , b ) 运算如下 : 加法 : (a , b ) ⊕ ( c , d ) = ( a + c , bd ), 数乘 : k o (a , b ) = (lg a , b k ), k ∈ R V是不是向量空间 ? 为什么 ?
T
判别下列集合是否为向量空间. 例3 判别下列集合是否为向量空间
V2 = x = (1, x 2 , L , x n ) x 2 , L , x n ∈ R
T
{
}
解
V2不是向量空间 .
因为若 α = (1, a 2 ,L, a n ) ∈ V2 ,
T
则2α = (2,2a 2 , L ,2a n ) V2 .
T
维向量， 例4 设a, b为两个已知的 n维向量，集合
V = {x = λa + b λ , ∈ R} 试判断集合是否为向量空间. 试判断集合是否为向量空间
解 V是一个向量空间 .因为若 x1 = λ1a + 1b x 2 = λ 2 a + 2 b， 则有
x1 + x 2 = (λ1 + λ 2 )a + ( 1 + 2 )b ∈ V ,
： 向量空 的
{( x, y,z) ax+by+cz=d} {r =( x, y,z)
P( x, y, z)
T
ax+by+cz=d}
T
r = ( x, y, z)
n 维向量没有直观的几何形象． n > 3时， 维向量没有直观的几何形象．
思考题
设V = {x = ( a , b ) 运算如下 : 加法 : (a , b ) ⊕ ( c , d ) = ( a + c , bd ), 数乘 : k o (a , b ) = (lg a , b k ), k ∈ R V是不是向量空间 ? 为什么 ?
T
判别下列集合是否为向量空间. 例3 判别下列集合是否为向量空间
V2 = x = (1, x 2 , L , x n ) x 2 , L , x n ∈ R
T
{
}
解
V2不是向量空间 .
因为若 α = (1, a 2 ,L, a n ) ∈ V2 ,
T
则2α = (2,2a 2 , L ,2a n ) V2 .
T
维向量， 例4 设a, b为两个已知的 n维向量，集合
V = {x = λa + b λ , ∈ R} 试判断集合是否为向量空间. 试判断集合是否为向量空间
解 V是一个向量空间 .因为若 x1 = λ1a + 1b x 2 = λ 2 a + 2 b， 则有
x1 + x 2 = (λ1 + λ 2 )a + ( 1 + 2 )b ∈ V ,
： 向量空 的
{( x, y,z) ax+by+cz=d} {r =( x, y,z)
P( x, y, z)
T
ax+by+cz=d}
T
r = ( x, y, z)
n 维向量没有直观的几何形象． n > 3时， 维向量没有直观的几何形象．
(完整版)2.3n维向量的概念
第三章 第一讲
1 n维向量的概念 2 n维向量空间 3 线性相关性
回顾
解析几何 既有大小又有方向的量
几何形象： 可随意 平行移动的有向线段
向量
(n 3)
线性代数
坐 有次序的实数组成的数组
标 代数形象：向量的坐标表示式
(x, y) (x, y, z)
系
一、 n维向量的概念
定义1 n个有次序的数 a1, a2 , , an 所组成的数组称为 n维向量,这n个 数称为该向量的n个分量，第 i 个数称为第 i 个分量。
式 11 2，2 称为向m量m
的线性1 ,组合2 ,。 ,m
若 11 22 mm，则称 能由向量组 1,2, ,m 线性表示。
向量1,2 ,L
,m的所有线性组合11 22 L
m
所组成的
m
集合V是一个向量空间.我们称这个空间为由向量1,2 ,L
,
生成的
m
向量空间,记为 L(1,2 ,L ,m )
解 因为对于V1的任意两个元素 0, a2 ,L , an , 0,b2 ,L ,bn V1, 所以有 0, a2 b2 ,L , an bn V1 且 0, a2 ,L , an V1.
所以 V1是向量空间 . V2不是向量空间 .
因为若 1, a2 ,L , an V2 , 则2 2, 2a2 ,L , 2an V2 ,所以V2 不是向量空间.
三、 线性相关性
若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组．
定义6 给定向量组A : 1,2 ,L ,m ,如果存在不全为零的数k1, k2 ,L , km 使k11 k22 L kmm 0
则称向量组A是线性相关的，否则称它线性无关．
1 n维向量的概念 2 n维向量空间 3 线性相关性
回顾
解析几何 既有大小又有方向的量
几何形象： 可随意 平行移动的有向线段
向量
(n 3)
线性代数
坐 有次序的实数组成的数组
标 代数形象：向量的坐标表示式
(x, y) (x, y, z)
系
一、 n维向量的概念
定义1 n个有次序的数 a1, a2 , , an 所组成的数组称为 n维向量,这n个 数称为该向量的n个分量，第 i 个数称为第 i 个分量。
式 11 2，2 称为向m量m
的线性1 ,组合2 ,。 ,m
若 11 22 mm，则称 能由向量组 1,2, ,m 线性表示。
向量1,2 ,L
,m的所有线性组合11 22 L
m
所组成的
m
集合V是一个向量空间.我们称这个空间为由向量1,2 ,L
,
生成的
m
向量空间,记为 L(1,2 ,L ,m )
解 因为对于V1的任意两个元素 0, a2 ,L , an , 0,b2 ,L ,bn V1, 所以有 0, a2 b2 ,L , an bn V1 且 0, a2 ,L , an V1.
所以 V1是向量空间 . V2不是向量空间 .
因为若 1, a2 ,L , an V2 , 则2 2, 2a2 ,L , 2an V2 ,所以V2 不是向量空间.
三、 线性相关性
若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组．
定义6 给定向量组A : 1,2 ,L ,m ,如果存在不全为零的数k1, k2 ,L , km 使k11 k22 L kmm 0
则称向量组A是线性相关的，否则称它线性无关．
第二章 n维向量
2
k m
2
m m
1 1 0
0
向量组 1 , 2 , , m 线性相关
.
性质2: 两个向量线性相关 的充要条件是它们的 各对应分量成比例.
证明 : 设两个向量 比例系数为 k,则
1 , 2的各对应分量成比例
,
2
k 1
第二章
n 维向量
§1. n维向量 的概念 §2.向量组的线性相关性 §3.向量组的秩 §4.向量空间
§ 1. n维向量的概念
定义1：n个有顺序的数 a 1 , a 2 , , a n 组成的有 序数组记为 ( a , a , , a ) ，称为n维向量. 数 a ( i 1, 2 , n ) 叫做它的第i个分量. 用小写希腊字母，，，…来表示n 维向量，即 ( a , a , , a ) .
注意:
1. 两个向量只有维数相等,才有相等或不 相等的概念. 例:维数不等的零向量是不相等的. 2. 两个向量只有维数相等,才可能进行加法 或减法运算. 思考:为什么向量不定义向量间的乘除法?
§2.向量组的线性相关性
1 , 2 , , m , 都是n维向量，如果 设 存在一组数 k 1 , k 2 , , k，使得 m
即
k , 1不全为零
k 1 ( 1) 2 0
, 1 , 2 线性相关
.
k1 , k 2 ,
反之 , 设 1 , 2 线性相关 使得
, 按定义 , 有不全为零的数
2
k 1 1 k 2
k2 k1
0,
不妨设 k 1 0 , 则 1
2 , 证毕
线性代数N维向量空间基与维数
§ 4.4 向量空间
12 解: 0 1
1 0
1 1 1
1 1 1
初等 行变换
1 0 0
2 1 0
1 1 0
1 1 0
可见dim L(A1, A2, A3, A4) = 2, A1, A2是L(A1, A2, A3, A4)的一组基.
注: 此外A1, A3也是L(A1, A2, A3, A4)的一组基. 还有A1, A4.
分别为x, y, 则
x = Py, y = P1x.
证明: = (1, 2, …, r)x = (1, 2, …, r)y = (1, 2, …, r)Py
(1, 2, …, r)(x Py) = 0. 又因为1, 2, …, r线性无关,
所以x Py = 0, 即x = Py, 进而y = P1x.
L(A1, A2, …, As)——A的列空间(column space) dimL(A1, A2, …, As) = 秩(A).
1 2 1 1Biblioteka 例3. 设A = [A1, A2, A3, A4] = 0 1 1 1 ,
1 0 1 1
求L(A1, A2, A3, A4)的一组基和维数.
第四章 n维列向量空间
事实上, 对于这个例子, 除了A3, A4以外, A1, A2, A3, A4中任意两个向量都构成 L(A1, A2, A3, A4)的一组基.
第四章 n维列向量空间
三. 向量在基下的坐标
1, 2, …, r——V 的一组基,
§ 4.4 向量空间
由定义, 对V, 唯一的一组有序实数 k1, k2, …, kr使得 = k11+k22+…+krr .
则称V是Rn的一个子空间(subspace), 或直接 称为一个(实)向量空间(real vector space). 仅含有零向量0的集合{0}关于向量的线性运 算也构成一个向量空间.
n维向量空间的子空间
设
k1 1 k2 2 kr r 0, 即
k1 ( 1 , 2 , , r ) 0, k r
1 , 2 , , n
k1 A1 0 k r
k1 从而 (1 , 2 , , n ) A1 0 k r
Pn和{0}称为Pn的平凡(trivial)子空间.
第四章 n维列向量空间
例1. 检验下列集合是否构成向量子空间. (1) V = {(x, y, 0) | x, y R};
(2) V = {(x, y, z) | x, y, z R, x+yz = 0};
(3) ARmn, bRm, b0, KA = {Rn | A = 0}; SB = {Rn | A = b}.
则对 i , i 1,2, , r , 有
从而 i 可被 1 , 2 , , s
线性表出；
同理每一个 i 也可被 1 , 2 , , r 线性表出. 所以，
1 , 2 , , r
与 1 , 2 , , s 等价． 与
反之，
1 , 2 , , r
1, 2, …, s——生成元(generator).
例
在Pn 中，
i (0,,0,1,0,0), i 1,2,, n
为Pn的一组基，
(a1 , a2 ,, an ) P n
i
有 a1 1 a2 2 an n
故有 P n L( 1 , 2 ,, n )
第四章 n维列向量空间
例1. 检验下列集合是否构成向量子空间. (1) V = {(x, y, 0) | x, y R};
n维向量空间
矩阵，通常用 aT ,bT ,T , T 等表示，如：
第 三
aT (a1 ,a2 ,,an )
章
n 维向量写成一列，称为列向量，也就是列
n
维 矩阵，通常用 a,b, , 等表示，如：
向 量
a1 Hale Waihona Puke 空 间aa2
或 a (a1, a2 ,, an )T
an
杨建新
第一节 n 维向量空间
第
n
三 章
定理
向量空间V的非空子集L构成子空间的充分 必要条件是： L对于V中的线性运算封闭．
维
向 量
若 L, L, 则 L;
空 间
若 L, R, 则 L.
1 任何一个子空间至少包含一个零向量 2 {0}, Rn 都是 Rn 的子空间。称为平凡子空间.
杨建新
第一节 n 维向量空间
空 间
飞机重心在空间的位置参数 P (x, y, z)
所以，确定飞机的状态，需用6维向量
a ( x, y, z, , , )
杨建新
第一节 n 维向量空间
第 三
有问题可通过Email询问:
章
n
维 向
mathgaoshu@
量
空
间
杨建新
n
维 向
事实上， 0 V1 ,0 V2, 0 V1 V2
量 空 间
任取 , V1 V2, 即 , V1,且 , V2,
则有 V1, V2, V1 V2
同时有 k V1,k V2, k V1 V2, k P
故 V1 V2 为V的子空间.
杨建新
第一节 n 维向量空间
第
n
三 章
kA ka1 kb1 0 0 0 kc1
第 三
aT (a1 ,a2 ,,an )
章
n 维向量写成一列，称为列向量，也就是列
n
维 矩阵，通常用 a,b, , 等表示，如：
向 量
a1 Hale Waihona Puke 空 间aa2
或 a (a1, a2 ,, an )T
an
杨建新
第一节 n 维向量空间
第
n
三 章
定理
向量空间V的非空子集L构成子空间的充分 必要条件是： L对于V中的线性运算封闭．
维
向 量
若 L, L, 则 L;
空 间
若 L, R, 则 L.
1 任何一个子空间至少包含一个零向量 2 {0}, Rn 都是 Rn 的子空间。称为平凡子空间.
杨建新
第一节 n 维向量空间
空 间
飞机重心在空间的位置参数 P (x, y, z)
所以，确定飞机的状态，需用6维向量
a ( x, y, z, , , )
杨建新
第一节 n 维向量空间
第 三
有问题可通过Email询问:
章
n
维 向
mathgaoshu@
量
空
间
杨建新
n
维 向
事实上， 0 V1 ,0 V2, 0 V1 V2
量 空 间
任取 , V1 V2, 即 , V1,且 , V2,
则有 V1, V2, V1 V2
同时有 k V1,k V2, k V1 V2, k P
故 V1 V2 为V的子空间.
杨建新
第一节 n 维向量空间
第
n
三 章
kA ka1 kb1 0 0 0 kc1
概率论与数理统计2n维向量空间
向量的加法和数乘运算统称为向量的线性运算.
注：向量的线性运算与行（列）矩阵的运算 规律相同，从而也满足下列运算规律:
(1)
(2)( ) ( )
( 3) 0 ;
(4) ( ) 0;
(5)1 ;
(6)k ( l ) ( kl) ;
二、 n维向量的线性运算
定义2 两个n维向量 (a1 , a2 ,, an ) 与
(b1 , b2 ,, bn ) 的各对应分量之和组成的向量，
称为向量
与
的和, 记为
(a1 b1 , a2 b2 ,, an bn )
由加法和负向量的定义，可定义向量的减法：
第二节 n维向量空间
一、 n维向量的概念 二、n维向量的线性运算 三、向量空间
一、n维向量的概念
定义1 n 个有次序的数 a1 , a2 , , an 所组成的数
组(a1 , a2 , , an )称为n维向量，这n个数称为该向量 的 n个分量，第i个数ai 称为第i个分量 .
向量通常用黑体字母 a , b, , 等表示.
2(2,0,1,3)T (1,7,4,2)T 3(0,1,0,1)T
(5,4,2,1)T .
解（2） 5 2 x 0 3
1 1 x ( 3 5 ) (3(5,/ 2,1,7)/T21,)T,4,2)T 5(0,1,0 [ 2 0,1 3 , (8 7 . 2 2
三、向量空间
定义1 设 V 为 n 维向量的集合，如果集合V非空， 且集合V对于加法及乘数两种运算封闭，那么就称 集合 V 为向量空间． 说明 集合V 对于加法及乘数两种运算封闭指 若 V , V , 则 V ;
注：向量的线性运算与行（列）矩阵的运算 规律相同，从而也满足下列运算规律:
(1)
(2)( ) ( )
( 3) 0 ;
(4) ( ) 0;
(5)1 ;
(6)k ( l ) ( kl) ;
二、 n维向量的线性运算
定义2 两个n维向量 (a1 , a2 ,, an ) 与
(b1 , b2 ,, bn ) 的各对应分量之和组成的向量，
称为向量
与
的和, 记为
(a1 b1 , a2 b2 ,, an bn )
由加法和负向量的定义，可定义向量的减法：
第二节 n维向量空间
一、 n维向量的概念 二、n维向量的线性运算 三、向量空间
一、n维向量的概念
定义1 n 个有次序的数 a1 , a2 , , an 所组成的数
组(a1 , a2 , , an )称为n维向量，这n个数称为该向量 的 n个分量，第i个数ai 称为第i个分量 .
向量通常用黑体字母 a , b, , 等表示.
2(2,0,1,3)T (1,7,4,2)T 3(0,1,0,1)T
(5,4,2,1)T .
解（2） 5 2 x 0 3
1 1 x ( 3 5 ) (3(5,/ 2,1,7)/T21,)T,4,2)T 5(0,1,0 [ 2 0,1 3 , (8 7 . 2 2
三、向量空间
定义1 设 V 为 n 维向量的集合，如果集合V非空， 且集合V对于加法及乘数两种运算封闭，那么就称 集合 V 为向量空间． 说明 集合V 对于加法及乘数两种运算封闭指 若 V , V , 则 V ;
线性代数-第二章-向量和向量空间
n维单 位坐标 向量组
所以，称 是 1, 2 , 3 ,4 的线性组合， 或 可以由 1, 2 , 3 ,4线性表示。
命题2 设向量可由向量组(I) :1,2,,m
线性表出，而(I)中每个向量都可以由向量组
(II) : 1, 2,, s线性表出, 那么也可由向量组
(II)线性表出 给出证明
二 线性相关
当 r( A) r n 时，求得基础解系是1 ,2 , ,nr , 则 x k11 k22 knr nr 是AX 0 的解，
称为通解。
4. 解的结构
AX 0 的通解是 x k11 k22 knr nr
例3 : 求下列齐次方程组的通解。
(1)
x1 2 x1
2 x2 4 x2
分量全为复数的向量称为复向量.
以后我们用小写希腊字母 , , 来代表向量。
例如：
(1,2,3,, n)
(1 2i,2 3i,,n (n 1)i)
第2个分量 第1个分量
第n个分量
n维实向量 n维复向量
向量通常写成一行： a1,a2 , ,an 称为行向量。
有时也写成一列：
a1
xr1 1 0
,nr
是令
xr2
为
0
,
1
,
xn
0
0
0
,
0
所得。
1
Ax 0 的通解是 x k11 k22 knr nr
注：
(1) 证明过程提供了一种求解空间基（基础 解系）的方法。
(2) 基（基础解系）不是唯一的。
(3) 当 r( A) n 时，解空间是{0}.
(2) s t
则向量组 1,2 , , s 必线性相关。
理学n维向量空间
的充要条件是：
rank(α1 ,α2 , ,αm ) rank(α1 ,α2 , ,αm , ) (2)向量β可由向量α1 ,α2 , ,αm惟一地线
性表示的充要条件是：
rank(α1 ,α2 , ,αm ) rank(α1 ,α2 , ,αm , ) m 证：(1) β可由向量α1 ,α2 , ,αm线性表示
一般地，
e1 (1, 0,L , 0), e2 (0,1,L , 0),L , en (0, 0,L ,1)
对任意n维向量 x1, x2 ,L , xn
x1e1 x2e2 L xnen
向量线性表示与线性方程组的关系
给定具有m个变量的n个线性方程组成的方程组
a11 x1 12 x2 L 1m xm b1
则 c1, c2 ,L , ck , 0,L , 0不全为零
c11 c2 2 +L ckk 0k1 L 0m 0
向量组1, 2 ,L ,m线性相关
反之, 若1, 2 ,L ,m线性无关, 如果它有某一个部分
向量组线性相关，
则整个向量组也必定线性相关,引起矛盾.
21
x1
22 x2
L 2m xm
M
b2
n1 x1 n2 x2 L nm xm bn
记
11
12
1m
b1
α1
21
M
, α2
22
,L
M
,αm
2
m
,β
M
b2
M
n1
nm
nm
bn
方程组写成：x11 x22 L xmm
定理4.1 (1)向量β可由向量α1 ,α2 , ,αm线性表示
矩阵A (α1,α2 , ,αm ), A (α1,α2 , ,αm , )
rank(α1 ,α2 , ,αm ) rank(α1 ,α2 , ,αm , ) (2)向量β可由向量α1 ,α2 , ,αm惟一地线
性表示的充要条件是：
rank(α1 ,α2 , ,αm ) rank(α1 ,α2 , ,αm , ) m 证：(1) β可由向量α1 ,α2 , ,αm线性表示
一般地，
e1 (1, 0,L , 0), e2 (0,1,L , 0),L , en (0, 0,L ,1)
对任意n维向量 x1, x2 ,L , xn
x1e1 x2e2 L xnen
向量线性表示与线性方程组的关系
给定具有m个变量的n个线性方程组成的方程组
a11 x1 12 x2 L 1m xm b1
则 c1, c2 ,L , ck , 0,L , 0不全为零
c11 c2 2 +L ckk 0k1 L 0m 0
向量组1, 2 ,L ,m线性相关
反之, 若1, 2 ,L ,m线性无关, 如果它有某一个部分
向量组线性相关，
则整个向量组也必定线性相关,引起矛盾.
21
x1
22 x2
L 2m xm
M
b2
n1 x1 n2 x2 L nm xm bn
记
11
12
1m
b1
α1
21
M
, α2
22
,L
M
,αm
2
m
,β
M
b2
M
n1
nm
nm
bn
方程组写成：x11 x22 L xmm
定理4.1 (1)向量β可由向量α1 ,α2 , ,αm线性表示
矩阵A (α1,α2 , ,αm ), A (α1,α2 , ,αm , )
线性代数 N维向量空间 第1节 向量空间
第四章
第一节
n维向量空间
向量空间的概念
一、n维向量和n维向量空间
定义1（n维向量） n个有顺序的数 a1 , a2 ,...,an 所在组成的
数组称为一个n维向量。
记作 (a1 , a2 ,...,an （称为行向量） ) a1 a 或 2（称为列向量） 其中ai 称为的第i个分量 an
定义2： (a1 , a2 , , an ), (b1 , b2 , , bn ) R n , 设 规定 (a1 b1 , a2 b2 , , an bn ) ； k (ka1 , ka2 , , kan )
定义3（n维向量空间）： 以实数域中的数作为分量的n维向量的全体同时考虑到 如上定义的向量的加法和数乘运算。称R上的n维向量空间，
L(1, 2 ,, m ) {k11 k 22 k mm ki R, i 1,2,,
则 L(1,2 ,,m )是一个向量空间，称为由1,2 ,,m
张成（或生成）的向量空间。
记作：span{1,2 ,,m } 定义3
m n 矩阵A的列向量组成的向量空间称为A的列空间
n n
例1： V1 {( x, y,0) | x, y R}
V2 {( x, y,1) | x, y R}
例2：
V1 {( x1 , x2 , x3 ) | x1 x2 x3 0}
对于向量的加法和数乘是否是R上的个n维向量，记
称N(AT)为A的左零空间。
n
;
记为 R
二、向量空间
定义1 设V是R n 的非空子集合，如果 （1）V对加法运算具有封闭性，
即 , V，有 V
第一节
n维向量空间
向量空间的概念
一、n维向量和n维向量空间
定义1（n维向量） n个有顺序的数 a1 , a2 ,...,an 所在组成的
数组称为一个n维向量。
记作 (a1 , a2 ,...,an （称为行向量） ) a1 a 或 2（称为列向量） 其中ai 称为的第i个分量 an
定义2： (a1 , a2 , , an ), (b1 , b2 , , bn ) R n , 设 规定 (a1 b1 , a2 b2 , , an bn ) ； k (ka1 , ka2 , , kan )
定义3（n维向量空间）： 以实数域中的数作为分量的n维向量的全体同时考虑到 如上定义的向量的加法和数乘运算。称R上的n维向量空间，
L(1, 2 ,, m ) {k11 k 22 k mm ki R, i 1,2,,
则 L(1,2 ,,m )是一个向量空间，称为由1,2 ,,m
张成（或生成）的向量空间。
记作：span{1,2 ,,m } 定义3
m n 矩阵A的列向量组成的向量空间称为A的列空间
n n
例1： V1 {( x, y,0) | x, y R}
V2 {( x, y,1) | x, y R}
例2：
V1 {( x1 , x2 , x3 ) | x1 x2 x3 0}
对于向量的加法和数乘是否是R上的个n维向量，记
称N(AT)为A的左零空间。
n
;
记为 R
二、向量空间
定义1 设V是R n 的非空子集合，如果 （1）V对加法运算具有封闭性，
即 , V，有 V
n维向量空间
第二节 n 维向量空间定义1：n 个实数组成的有序数组称为n 维向量,一般用γβα,,等希腊字母表示。
称()n a a a ,,,21 =α为n 维行向量,称()Tn n b b b b b b ,,,2121 =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=β为n 维列向量。
称i i b a ,分别为向量βα,的第i 个分量。
特别对矩阵=A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛mn m m n n a a a a a a a a a 212222111211中每一行()in i i a a a ,,,21 ),,2,1(m i =称为矩阵A 的行向量；每一列()Tnj j j a a a ,,,21 ),,2,1(n j =称为矩阵A 的列向量。
定义2：所有分量都是零的向量称为零向量，零向量记作0＝()000 。
定义3：由n 维向量()n a a a ,,,21 =α各分量的相反数组成的向量，称为α的负向量，记作：()n a a a ---=-,,,21 α。
定义4：若n 维向量()n a a a ,,,21 =α与()n b b b ,,,21 =β的所有对应分量相等，即),,2,1(n i b a i i ==，则称这两个向量相等，记作βα=。
定义5：设n 维向量()n a a a ,,,21 =α,()n b b b ,,,21 =β，βα与对应分量的和所构成的n 维向量，称为向量βα与的和，记作βα+。
()n n b a b a b a +++=+,,,2211 βα()βαβα-=-+()n n b a b a b a ---=,,,2211定义6：设n 维向量()n a a a ,,,21 =α的各分量都乘以数k 后所组成的n 维向量，称为数k 与向量α的乘积，记作： k α＝()n ka ka ka ,,,21 。
向量的运算性质：（1）αββα+=+ （2）γβαγβα++=++)()(（3）αα=+0 （4）0)(=-+αα （5）()βαβαk k k +=+ （6）()αααl k l k +=+ （7）)()(ααl k l k =⋅ （8）αα=⋅1定义7：在n 维向量的集合中，如果其中任意二个向量的和以及一个向量与数的积都在这个集合中，则称这集合为n 维向量空间。
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中的每一个方程都可用一个n+1 维向量表示
a11
a12 ... a1n b1
第 1 个方程 第 i 个方程
a i 1
ai 2
... a in
bi
线性方程组的每一个解都是一个n 维向量
a11 a 21 A a s1
a12 a 22 as2
... a1 n 矩阵A的每一行是一个n 维向量， ... a 2 n 称为A的行向量； 矩阵A的每一列是一个s 维向量， ... a sn 称为A的列向量.
每个n 维行向量 a1 , a2 , ..., an 可看成一个 1× n 矩阵 b1 b2 每个n 维列向量 可看成一个 n×1 矩阵 b n
§3.3 线性相关性
一、 一个向量组与一个向量;
二、 一个向量组与另一个向量
1 ( 2,1,3,1) 向量组 2 (4,2,5,4) ( 2,1,4,1) 3
第三个方程等于第一个 方程的3倍减去第二个方程 .
3 3 1 2 , 3是 1 , 2的一个线性组合.
在 n 维向量空间Pn 中， 1 = ( 1, 0, …, 0 ), 2 = ( 0, 1, …, 0 ),
定义7(3) ( )
向量的加法与数乘满足的运算规则
( 1 ) ( 2 ) ( ) ( ) 加法 ( 3 ) o ( 4 ) ( ) o
(5) (6) 数乘 (7 ) (8)
组; 三、 一个向量组的内部.
一、向量组的线性表示
1 例 1 设有向量 1 4 1
2 2 3 0
2 3 0
4 5 2
§3.2 n维向量空间
对于具体地求解线性方程组,消元法是一个最有效和最基本 的方法.
1) 能否直接从原方程组来讨论它的解的情形(是否有解,有解时是 唯一解还是无穷多解)? 2) 用消元法化方程组为阶梯形,剩下来的方程的个数是否唯一? 3) 哪些未知量可以取作自由未知量? 4) 解不唯一时,解与解之间存在怎样的关系?
= ( 3, 1, －2, 2, 1 )
2+3=2 ( 5,－1, 3, 2, 4 ) + 3 ( 3, 1,－2, 2, 1 ) = ( 10, －2, 6, 4, 8 ) + ( 9, 3,－6, 6, 3 ) =( 19, 1, 0, 10, 11 )
a11 x1 a12 x 2 a1 n x n b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 线性方程组 a s 1 x1 a s 2 x 2 a sn x n bs
无穷多解
如 1 22 3
设 ( 2 ,3 ,4 ,1 ),
1 ( 1,2 ,3 ,4 ), 2 ( 2 ,1,3 ,4 ), 3 ( 2 ,1,2 ,5 ) 问 能否由 1 , 2, 3 3 得( 2 ,3 ,4 ,1 ) k1 ( 1,2 ,3 ,4 ) k 2 ( 2 ,1,3 ,4 ) k 3 ( 2 ,1,2 ,5 )
定义 向量相等
(a1 , a2 , , an ), (b1 , b2 , , bn ) ai bi , i 1, , n
二、n维向量的运算 (1) 加法
定义7(1) 向量a1 b1 , a 2 b2 , ..., an bn 称为向量 a1 , a2 , ..., an b1 , b2 , ..., bn 的和 记为
1 , 2 , , s 线性表示？
如果能线性表示, 那么表示方式是否唯一 ?
设 ( 0 ,4 ,2 ,5 ),
1 ( 1,2 ,3 ,1 ), 2 ( 2 ,3 ,1,2 ), 3 ( 3 ,1,2 ,2 ) 问 能否由 1 , 2, 3线性表出?
设 k1 1 k 2 2 k 3 3 得( 0 ,4 ,2 ,5 ) k1 ( 1,2 ,3 ,1 ) k 2 ( 2 ,3 ,1,2 ) k 3 ( 3 ,1,2 ,2 )
k ( ) k k ( k l ) k l k ( l ) ( kl ) 1
向量的加法与数乘统称为向量的线性运算. 定义8 数域P上的n维向量的全体,同时考虑到定义在它们上 面的线性运算,称为数域P上的n维向量空间, 记作P n
例 已知向量 =( 5,－1, 3, 2, 4 ) ， 3－4=( 3,－7,17,－2,8 ) , 求 2+3 . 解 4 =3 －（ 3,－7,17,－2,8 ） = （15,－39,6,12）－（3,－7,17,－2,8） = ( 12, 4, －8, 8, 4 )
1 2 3
设 ( 2 ,1,3 ,4 ,1 ),
1 ( 1,2 ,3 ,1,2 ), 2 ( 5 ,5 ,12 ,11,5 ), 3 ( 1,3 ,6 ,3 ,3 ) 问 能否由 1 , 2, 3线性表出?
设 k1 1 k 2 2 k 3 3
a11 x1 a12 x2 ... a1n xn b1 a x a x ... a x b 21 1 22 2 2n n 2 线性方程组 am1 x1 am 2 x2 ... amn xn bm
一个n元线性方程组 a1 x1 a2 x2 an xn b 可以用一个n+1元有序数组
a11 x1 a12 x 2 ... a1 n x n b1 a 21 x1 a 22 x 2 ... a 2 n x n b2 a x a x ... a x bm m1 1 m2 2 mn n
,n = ( 0, 0, …, 1 )
1 , 2, …, n 称为n 维基本向量(n 维单位向量)
设 = ( a1, a2, …,an ) 是Pn 中的任一向量
= ( a1, a2, …,an )
=( a1, 0, …, 0 ) + ( 0, a2, …, 0 ) + …+ ( 0, 0, …, an ) = a1 ( 1, 0, …, 0 ) + a2 ( 0, 1, …, 0 ) +…+ an ( 0, 0, …, 1 )
21 2
1 2 4 1
4 5 2
21 2
称 是 1 , 2 的线性组合 或 可以由 1 , 2线性表示
定义9 对于给定的向量, 1, 2 ,…, s 如果存在一组数 k1,k2,…,ks 使关系式
n维向量写成一行,称为行向量,如:
(a1 , a2 ,, an )
n维向量写成一列,称为列向量, 如：
a1 a2 a n
n维列向量也可记作
( a1 , a2 , , an )
T
定义 分量全为零的向量称为零向量,记为0. 0 0 (0,0,,0) 或 0 0 0
1 = 11+ 02+ … +0s 2 = 01+ 12+ … +0s
一般地,j = 01+ …+0 j －1+1j+ 0 j+1 … +0s
结论3 向量组1, 2, …, s 中的任一向量,都是该向量组的 线性组合.
一般地 , 如何判定一个向量 能否由一个向量组
= a1 1 + a2 2 + …+an n
结论1 Pn 中的任一向量 都可以由单位向量组1 , 2, …, n 线性表出.
设 1, 2, …, s 是Pn 中的任一向量组 o=01+ 02+ … +0s 结论2 零向量是任一向量组的线性组合.
向量组1, 2, …, s
(a1 , a 2 ,, a n , b) 来表示
方程之间的关系实际上就是n+1元有序数组之间的关系
一、n维向量的概念
定义 数域P上的n个数组成的有序数组
( a1 , a 2 , , a n )
称为数域P上的一个n维向量, ai 称为向量的第个分量. i 一般用小写希腊字母，，， 等表示向量.
2 k1 2 k 2 2 k 3 3 2 k 2 k 2 k 1 2 3 即 4 3 k1 2 k 2 5 k 3 1 4 k1 5 k 2 4 k 3
无解
故 不能由 1 , 2, 3线性表出
a11 x1 a12 x2 ... a1n xn b1 a x a x ... a x b 21 1 22 2 2n n 2 线性方程组 am1 x1 am 2 x2 ... amn xn bm
2 k1 5k 2 k 3 1 2k 5k 3k 1 2 3 得 3 3k1 12k 2 6k 3 4 k 11k 3k 1 2 3 1 2k1 5k 2 3k 3
故 能由 1 , 2, 3线性表出
(a1 b1 , a2 b2 ,, an bn )
(2) 数乘
定义7(2) 设k为数域P中的数,向量ka1 , ka2 , ..., kan 称为向量 a1 , a2 , ..., an 与数k的数量乘积 记为 k
k ( ka1 , ka2 , kan )
定义 向量 a1 , a2 , ..., an 称为向量 a1 , a2 , ..., an 的
a11
a12 ... a1n b1
第 1 个方程 第 i 个方程
a i 1
ai 2
... a in
bi
线性方程组的每一个解都是一个n 维向量
a11 a 21 A a s1
a12 a 22 as2
... a1 n 矩阵A的每一行是一个n 维向量， ... a 2 n 称为A的行向量； 矩阵A的每一列是一个s 维向量， ... a sn 称为A的列向量.
每个n 维行向量 a1 , a2 , ..., an 可看成一个 1× n 矩阵 b1 b2 每个n 维列向量 可看成一个 n×1 矩阵 b n
§3.3 线性相关性
一、 一个向量组与一个向量;
二、 一个向量组与另一个向量
1 ( 2,1,3,1) 向量组 2 (4,2,5,4) ( 2,1,4,1) 3
第三个方程等于第一个 方程的3倍减去第二个方程 .
3 3 1 2 , 3是 1 , 2的一个线性组合.
在 n 维向量空间Pn 中， 1 = ( 1, 0, …, 0 ), 2 = ( 0, 1, …, 0 ),
定义7(3) ( )
向量的加法与数乘满足的运算规则
( 1 ) ( 2 ) ( ) ( ) 加法 ( 3 ) o ( 4 ) ( ) o
(5) (6) 数乘 (7 ) (8)
组; 三、 一个向量组的内部.
一、向量组的线性表示
1 例 1 设有向量 1 4 1
2 2 3 0
2 3 0
4 5 2
§3.2 n维向量空间
对于具体地求解线性方程组,消元法是一个最有效和最基本 的方法.
1) 能否直接从原方程组来讨论它的解的情形(是否有解,有解时是 唯一解还是无穷多解)? 2) 用消元法化方程组为阶梯形,剩下来的方程的个数是否唯一? 3) 哪些未知量可以取作自由未知量? 4) 解不唯一时,解与解之间存在怎样的关系?
= ( 3, 1, －2, 2, 1 )
2+3=2 ( 5,－1, 3, 2, 4 ) + 3 ( 3, 1,－2, 2, 1 ) = ( 10, －2, 6, 4, 8 ) + ( 9, 3,－6, 6, 3 ) =( 19, 1, 0, 10, 11 )
a11 x1 a12 x 2 a1 n x n b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 线性方程组 a s 1 x1 a s 2 x 2 a sn x n bs
无穷多解
如 1 22 3
设 ( 2 ,3 ,4 ,1 ),
1 ( 1,2 ,3 ,4 ), 2 ( 2 ,1,3 ,4 ), 3 ( 2 ,1,2 ,5 ) 问 能否由 1 , 2, 3 3 得( 2 ,3 ,4 ,1 ) k1 ( 1,2 ,3 ,4 ) k 2 ( 2 ,1,3 ,4 ) k 3 ( 2 ,1,2 ,5 )
定义 向量相等
(a1 , a2 , , an ), (b1 , b2 , , bn ) ai bi , i 1, , n
二、n维向量的运算 (1) 加法
定义7(1) 向量a1 b1 , a 2 b2 , ..., an bn 称为向量 a1 , a2 , ..., an b1 , b2 , ..., bn 的和 记为
1 , 2 , , s 线性表示？
如果能线性表示, 那么表示方式是否唯一 ?
设 ( 0 ,4 ,2 ,5 ),
1 ( 1,2 ,3 ,1 ), 2 ( 2 ,3 ,1,2 ), 3 ( 3 ,1,2 ,2 ) 问 能否由 1 , 2, 3线性表出?
设 k1 1 k 2 2 k 3 3 得( 0 ,4 ,2 ,5 ) k1 ( 1,2 ,3 ,1 ) k 2 ( 2 ,3 ,1,2 ) k 3 ( 3 ,1,2 ,2 )
k ( ) k k ( k l ) k l k ( l ) ( kl ) 1
向量的加法与数乘统称为向量的线性运算. 定义8 数域P上的n维向量的全体,同时考虑到定义在它们上 面的线性运算,称为数域P上的n维向量空间, 记作P n
例 已知向量 =( 5,－1, 3, 2, 4 ) ， 3－4=( 3,－7,17,－2,8 ) , 求 2+3 . 解 4 =3 －（ 3,－7,17,－2,8 ） = （15,－39,6,12）－（3,－7,17,－2,8） = ( 12, 4, －8, 8, 4 )
1 2 3
设 ( 2 ,1,3 ,4 ,1 ),
1 ( 1,2 ,3 ,1,2 ), 2 ( 5 ,5 ,12 ,11,5 ), 3 ( 1,3 ,6 ,3 ,3 ) 问 能否由 1 , 2, 3线性表出?
设 k1 1 k 2 2 k 3 3
a11 x1 a12 x2 ... a1n xn b1 a x a x ... a x b 21 1 22 2 2n n 2 线性方程组 am1 x1 am 2 x2 ... amn xn bm
一个n元线性方程组 a1 x1 a2 x2 an xn b 可以用一个n+1元有序数组
a11 x1 a12 x 2 ... a1 n x n b1 a 21 x1 a 22 x 2 ... a 2 n x n b2 a x a x ... a x bm m1 1 m2 2 mn n
,n = ( 0, 0, …, 1 )
1 , 2, …, n 称为n 维基本向量(n 维单位向量)
设 = ( a1, a2, …,an ) 是Pn 中的任一向量
= ( a1, a2, …,an )
=( a1, 0, …, 0 ) + ( 0, a2, …, 0 ) + …+ ( 0, 0, …, an ) = a1 ( 1, 0, …, 0 ) + a2 ( 0, 1, …, 0 ) +…+ an ( 0, 0, …, 1 )
21 2
1 2 4 1
4 5 2
21 2
称 是 1 , 2 的线性组合 或 可以由 1 , 2线性表示
定义9 对于给定的向量, 1, 2 ,…, s 如果存在一组数 k1,k2,…,ks 使关系式
n维向量写成一行,称为行向量,如:
(a1 , a2 ,, an )
n维向量写成一列,称为列向量, 如：
a1 a2 a n
n维列向量也可记作
( a1 , a2 , , an )
T
定义 分量全为零的向量称为零向量,记为0. 0 0 (0,0,,0) 或 0 0 0
1 = 11+ 02+ … +0s 2 = 01+ 12+ … +0s
一般地,j = 01+ …+0 j －1+1j+ 0 j+1 … +0s
结论3 向量组1, 2, …, s 中的任一向量,都是该向量组的 线性组合.
一般地 , 如何判定一个向量 能否由一个向量组
= a1 1 + a2 2 + …+an n
结论1 Pn 中的任一向量 都可以由单位向量组1 , 2, …, n 线性表出.
设 1, 2, …, s 是Pn 中的任一向量组 o=01+ 02+ … +0s 结论2 零向量是任一向量组的线性组合.
向量组1, 2, …, s
(a1 , a 2 ,, a n , b) 来表示
方程之间的关系实际上就是n+1元有序数组之间的关系
一、n维向量的概念
定义 数域P上的n个数组成的有序数组
( a1 , a 2 , , a n )
称为数域P上的一个n维向量, ai 称为向量的第个分量. i 一般用小写希腊字母，，， 等表示向量.
2 k1 2 k 2 2 k 3 3 2 k 2 k 2 k 1 2 3 即 4 3 k1 2 k 2 5 k 3 1 4 k1 5 k 2 4 k 3
无解
故 不能由 1 , 2, 3线性表出
a11 x1 a12 x2 ... a1n xn b1 a x a x ... a x b 21 1 22 2 2n n 2 线性方程组 am1 x1 am 2 x2 ... amn xn bm
2 k1 5k 2 k 3 1 2k 5k 3k 1 2 3 得 3 3k1 12k 2 6k 3 4 k 11k 3k 1 2 3 1 2k1 5k 2 3k 3
故 能由 1 , 2, 3线性表出
(a1 b1 , a2 b2 ,, an bn )
(2) 数乘
定义7(2) 设k为数域P中的数,向量ka1 , ka2 , ..., kan 称为向量 a1 , a2 , ..., an 与数k的数量乘积 记为 k
k ( ka1 , ka2 , kan )
定义 向量 a1 , a2 , ..., an 称为向量 a1 , a2 , ..., an 的