线性代数N维向量空间第4节基与维数
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三. 向量在基下的坐标
1, 2, …, r——V 的一组基,
§ 4.4 向量空间
由定义, 对V, 唯一的一组有序实数 k1, k2, …, kr使得 = k11+k22+…+krr .
{k1, k2, …, kr}T —— 在1, 2, …, r 这组
基下的坐标(coordinate).
第四章 n维列向量空间
故|P| 0, 即P可逆.
第四章 n维列向量空间
§ 4.4 向量空间
定理2.8. 设1, 2, …, r和1, 2, …, r是V 的 两组基, V 在这两组基下的坐标
分别为x, y, 则
x = Py, y = P1x.
证明: = (1, 2, …, r)x = (1, 2, …, r)y = (1, 2, …, r)Py
零空间没有基, 规定dim{0} = 0.
例2. 求例1中的各向量空间的基与维数.
第四章 n维列向量空间
§ 4.4 向量空间
定理2.7. 1, 2, …, s的极大无关组是 L(1, 2, …, s)的基
dimL(1, …, s) = r(1, …, s).
特别地, A = (A1, A2, …, As),
第四章 n维列向量空间
§ 4.4 向量空间
二. 向量空间的基(basis)与维数(dimension)
1, 2, …, r ——V的一组基:
① 1, 2, …, r线性无关, ② V都能由1, 2, …, r线性表示.
r称为V的维数. 记为维(V)或dim(V).
n维基本单位向量组就是Rn的一组基, dim{Rn} = n;
关于数乘: (5) 1· =; (6) k(l) = (kl);
(7) (k+l) = k +l;
(8) k(+) = k +k.
第四章 n维列向量空间
§ 4.4 向量空间
2. 设V是Rn的非空子集, 且对向量的加法及数 乘封闭(closed), 即
, V, kR, 有+V, kV,
closure ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱonditions
§ 4.4 向量空间
四. 基变换与坐标变换
设1, 2, …, r和1, 2, …, r是V 的两组基,
则存在rr矩阵P使
(1, 2, …, r) = (1, 2, …, r)P.
称P为从基1, 2, …, r到1, 2, …, r的过
渡矩阵(transition matrix).
由r = r(1, 2, …, r) r(P) r可得r(P) = r.
则称V是Rn的一个子空间(subspace), 或直接 称为一个(实)向量空间(real vector space). 仅含有零向量0的集合{0}关于向量的线性运 算也构成一个向量空间.
Rn和{0}称为Rn的平凡(trivial)子空间.
第四章 n维列向量空间
§ 4.4 向量空间
例1. 检验下列集合是否构成向量空间.
(1, 2, …, r)(x Py) = 0. 又因为1, 2, …, r线性无关,
所以x Py = 0, 即x = Py, 进而y = P1x.
第四章 n维列向量空间
§4.4 向量空间
§4.4 向量空间
一. 向量空间(vector space)的概念 1. n维实(列)向量的全体
Rn = {(x1, x2, …, xn)T | x1, x2, …, xnR} 关于向量(即列矩阵)的加法和数乘运算 满足如下8条基本性质:
关于加法: (1) 交换律; (2) 结合律; (3) 0; (4)
L(A1, A2, …, As)——A的列空间(column space) dimL(A1, A2, …, As) = 秩(A).
1 2 1 1 例3. 设A = [A1, A2, A3, A4] = 0 1 1 1 ,
1 0 1 1
求L(A1, A2, A3, A4)的一组基和维数.
第四章 n维列向量空间
(1) V = {(x, y, 0) | x, y R};
(2) V = {(x, y, z) | x, y, z R, x+yz = 0};
(3) ARmn, bRm, b0,
KA = {Rn | A = 0}; SB = {Rn | A = b}.
第四章 n维列向量空间
§ 4.4 向量空间
(4) 1, 2, …, sRn,
s
L(1, 2, …, s) = { kii | 诸kiR}.
i=1
——由1, 2, …, s生成的向量空间 (generated/spanned by 1, …)或 {1, 2, …, s}的线性包(linear closure).
1, 2, …, s——生成元(generator).
1, 2, …, r——V 的一组基,
§ 4.4 向量空间
由定义, 对V, 唯一的一组有序实数 k1, k2, …, kr使得 = k11+k22+…+krr .
{k1, k2, …, kr}T —— 在1, 2, …, r 这组
基下的坐标(coordinate).
第四章 n维列向量空间
故|P| 0, 即P可逆.
第四章 n维列向量空间
§ 4.4 向量空间
定理2.8. 设1, 2, …, r和1, 2, …, r是V 的 两组基, V 在这两组基下的坐标
分别为x, y, 则
x = Py, y = P1x.
证明: = (1, 2, …, r)x = (1, 2, …, r)y = (1, 2, …, r)Py
零空间没有基, 规定dim{0} = 0.
例2. 求例1中的各向量空间的基与维数.
第四章 n维列向量空间
§ 4.4 向量空间
定理2.7. 1, 2, …, s的极大无关组是 L(1, 2, …, s)的基
dimL(1, …, s) = r(1, …, s).
特别地, A = (A1, A2, …, As),
第四章 n维列向量空间
§ 4.4 向量空间
二. 向量空间的基(basis)与维数(dimension)
1, 2, …, r ——V的一组基:
① 1, 2, …, r线性无关, ② V都能由1, 2, …, r线性表示.
r称为V的维数. 记为维(V)或dim(V).
n维基本单位向量组就是Rn的一组基, dim{Rn} = n;
关于数乘: (5) 1· =; (6) k(l) = (kl);
(7) (k+l) = k +l;
(8) k(+) = k +k.
第四章 n维列向量空间
§ 4.4 向量空间
2. 设V是Rn的非空子集, 且对向量的加法及数 乘封闭(closed), 即
, V, kR, 有+V, kV,
closure ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱonditions
§ 4.4 向量空间
四. 基变换与坐标变换
设1, 2, …, r和1, 2, …, r是V 的两组基,
则存在rr矩阵P使
(1, 2, …, r) = (1, 2, …, r)P.
称P为从基1, 2, …, r到1, 2, …, r的过
渡矩阵(transition matrix).
由r = r(1, 2, …, r) r(P) r可得r(P) = r.
则称V是Rn的一个子空间(subspace), 或直接 称为一个(实)向量空间(real vector space). 仅含有零向量0的集合{0}关于向量的线性运 算也构成一个向量空间.
Rn和{0}称为Rn的平凡(trivial)子空间.
第四章 n维列向量空间
§ 4.4 向量空间
例1. 检验下列集合是否构成向量空间.
(1, 2, …, r)(x Py) = 0. 又因为1, 2, …, r线性无关,
所以x Py = 0, 即x = Py, 进而y = P1x.
第四章 n维列向量空间
§4.4 向量空间
§4.4 向量空间
一. 向量空间(vector space)的概念 1. n维实(列)向量的全体
Rn = {(x1, x2, …, xn)T | x1, x2, …, xnR} 关于向量(即列矩阵)的加法和数乘运算 满足如下8条基本性质:
关于加法: (1) 交换律; (2) 结合律; (3) 0; (4)
L(A1, A2, …, As)——A的列空间(column space) dimL(A1, A2, …, As) = 秩(A).
1 2 1 1 例3. 设A = [A1, A2, A3, A4] = 0 1 1 1 ,
1 0 1 1
求L(A1, A2, A3, A4)的一组基和维数.
第四章 n维列向量空间
(1) V = {(x, y, 0) | x, y R};
(2) V = {(x, y, z) | x, y, z R, x+yz = 0};
(3) ARmn, bRm, b0,
KA = {Rn | A = 0}; SB = {Rn | A = b}.
第四章 n维列向量空间
§ 4.4 向量空间
(4) 1, 2, …, sRn,
s
L(1, 2, …, s) = { kii | 诸kiR}.
i=1
——由1, 2, …, s生成的向量空间 (generated/spanned by 1, …)或 {1, 2, …, s}的线性包(linear closure).
1, 2, …, s——生成元(generator).