4-4向量空间的基和维数
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x1 y1 (x2 y2 ) x3 y3 0, V1
k (kx1, kx2 , kx3 )T , kx1 kx2 kx3 k(x1 x2 x3 ) 0, k V1
4
二、向量空间的基与维数
定义 设V为向量空间，若存在1, 2, …, r V.
且满足：
(1) 1, 2, …, r 线性无关； (2) V 中任一向量都可以由1, 2, …, r 线性表示； 则称1, 2, …, r 为V的一组基底，简称基，
向量空间、基和维数
1
一、向量空间概念
定义 设V是非空的n维向量的集合，如果 （1）V对加法运算具有封闭性，
即 , V ， 有 V
（2） V对数乘运算具有封闭性，
即 R, V ,有 V
则称V是向量空间
2
特例：
1、 只有一个零向量所构成的向量空间 {}
称为零空间。
2、所有的n维向量全体构成一个最大的向
原因是什么？
7
三、向量在给定基下的坐标
定义4.2 设1, 2, …, n 是向量空间 V 的一组基，
任取 V, 都有
= x11 + x22 + … + xnn 且组合系数 x1, x2, …, xn 唯一，称为向量 在 基 1, 2, …, n 下的坐标，记为 (x1, x2, …, xn)
为什么唯一
8
例如：在 R3 中，
= (2, －3, 1)T = 2ε1－3 ε2 + 1 ε3
注：1、基并不是唯一的 2、向量在不同基坐标也不同
9
例 求向量 (x1, x2 , xn ) 在如下基下的坐标 1 (1, 0,K 0),2 (1,1,K 0),K n (1,1,K 1)
10
Baidu Nhomakorabea
r 为V的维数，并称 V 为 r 维向量空间。
5
注1：若将向量空间V看成无穷个向量组成的向
量组，其基就是其极大线性无关组，其维 数就是其秩。
注2：零空间 {}没有基，规定其维数为0。
6
例如：对于Rn
(1) 基本单位向量组 1,2,K ,n 是一组基，称为标准 基。
(2) 1 = (1, 0, 0,…, 0), 2 = (1, 1, 0,…, 0), …， n = (1, 1,…, 1) 也是基。
量空间 Rn
3
例：V1 {(x1, x2 , x3 )T | x1 x2 x3 0}
对于向量的加法和数乘是否是R上的向量空间？
显然零向量在此集合,下证证明加法和数乘的封闭性
(x1, x2 , x3 )T , ( y1, y2 , y3 )T , V1, V1, k R
(x1 y1, x2 y2 , x3 y3 )T ,Q x1 x2 x3 0, y1 y2 y3 0,
k (kx1, kx2 , kx3 )T , kx1 kx2 kx3 k(x1 x2 x3 ) 0, k V1
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二、向量空间的基与维数
定义 设V为向量空间，若存在1, 2, …, r V.
且满足：
(1) 1, 2, …, r 线性无关； (2) V 中任一向量都可以由1, 2, …, r 线性表示； 则称1, 2, …, r 为V的一组基底，简称基，
向量空间、基和维数
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一、向量空间概念
定义 设V是非空的n维向量的集合，如果 （1）V对加法运算具有封闭性，
即 , V ， 有 V
（2） V对数乘运算具有封闭性，
即 R, V ,有 V
则称V是向量空间
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特例：
1、 只有一个零向量所构成的向量空间 {}
称为零空间。
2、所有的n维向量全体构成一个最大的向
原因是什么？
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三、向量在给定基下的坐标
定义4.2 设1, 2, …, n 是向量空间 V 的一组基，
任取 V, 都有
= x11 + x22 + … + xnn 且组合系数 x1, x2, …, xn 唯一，称为向量 在 基 1, 2, …, n 下的坐标，记为 (x1, x2, …, xn)
为什么唯一
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例如：在 R3 中，
= (2, －3, 1)T = 2ε1－3 ε2 + 1 ε3
注：1、基并不是唯一的 2、向量在不同基坐标也不同
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例 求向量 (x1, x2 , xn ) 在如下基下的坐标 1 (1, 0,K 0),2 (1,1,K 0),K n (1,1,K 1)
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Baidu Nhomakorabea
r 为V的维数，并称 V 为 r 维向量空间。
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注1：若将向量空间V看成无穷个向量组成的向
量组，其基就是其极大线性无关组，其维 数就是其秩。
注2：零空间 {}没有基，规定其维数为0。
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例如：对于Rn
(1) 基本单位向量组 1,2,K ,n 是一组基，称为标准 基。
(2) 1 = (1, 0, 0,…, 0), 2 = (1, 1, 0,…, 0), …， n = (1, 1,…, 1) 也是基。
量空间 Rn
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例：V1 {(x1, x2 , x3 )T | x1 x2 x3 0}
对于向量的加法和数乘是否是R上的向量空间？
显然零向量在此集合,下证证明加法和数乘的封闭性
(x1, x2 , x3 )T , ( y1, y2 , y3 )T , V1, V1, k R
(x1 y1, x2 y2 , x3 y3 )T ,Q x1 x2 x3 0, y1 y2 y3 0,