4-4向量空间的基和维数

n = (1, 1,…, 1) 也是基。
原因是什么？
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三、向量在给定基下的坐标
定义4.2 设1, 2, …, n 是向量空间 V 的一组基，
任取 V, 都有
= x11 + x22 + … + xnn
且组合系数 x1, x2, …, xn 唯一，称为向量 在
基 1, 2, …, n 下的坐标，记为 (x1, x2, …, xn)
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二、向量空间的基与维数 定义
设V为向量空间，若存在1, 2, …, r V. 且满足： (1) 1, 2, …, r 线性无关； (2) V 中任一向量都可以由1, 2, …, r 线性表示； 则称1, 2, …, r 为V的一组基底，简称基，
r 为V的维数，并称 V 为 r 维向量空间。
( x1 y1, x2 y2 , x3 y3 )T , x1 x2 x3 0, y1 y2 y3 0,
x1 y1 ( x2 y2 ) x3 y3 0, V1
k (kx1, kx2 , kx3 )T , kx1 kx2 kx3 k ( x1 x2 x3 ) 0,k V1
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注1： 若将向量空间V看成无穷个向量组成的向
量组，其基就是其极大线性无关组，其维
数就是其秩。
注2：零空间 { } 没有基，规定其维数为0。
6源自文库
例如：对于Rn
(1) 基本单位向量组 1 , 2 ,, n 是一组基，称为标准 基。 (2) 1 = (1, 0, 0,…, 0), 2 = (1, 1, 0,…, 0), …，
2、所有的n维向量全体构成一个最大的向 量空间 R n
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例：V
{( x1, x2 , x3 )T | x1 x2 x3 0} 1
对于向量的加法和数乘是否是R上的向量空间？
显然零向量在此集合,下证证明加法和数乘的封闭性
( x1, x2 , x3 )T , ( y1, y2 , y3 )T , V1, V1, k R
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向量空间、基和维数
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一、向量空间概念
定义 设V是非空的n维向量的集合，如果 即 , V ， 有 即
（1）V对加法运算具有封闭性，
V
（2） V对数乘运算具有封闭性，
R, V , 有 V
则称V是向量空间
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特例：
1、 只有一个零向量所构成的向量空间 { } 称为零空间。
为什么唯一
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例如：在 R3 中，
= (2, －3, 1)T = 2ε1－3 ε2 + 1 ε3
注：1、基并不是唯一的
2、向量在不同基坐标也不同
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例
求向量 ( x1 , x2 , xn ) 在如下基下的坐标
1 (1,0,0),2 (1,1,0),n (1,1,1)