线性空间的维数基与坐标优秀课件

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《维数基与坐标》课件

描述运动轨迹
维数基可以用来描述物体在空间中的运动轨迹，通过在各个维度上定义坐标值的变化，可以描述物体运动的方向和距离。
坐标系在维数基中的应用
表达空间关系
通过坐标系，我们可以表达空间中物体之间的关系，例如距离、角度、方向等。
进行数学运算
在坐标系中，我们可以进行各种数学运算，例如加法、减法、乘法、除法等，以解决各种实际问题。
标的应用和发展。
创新研究方法
03
鼓励数学家探索新的研究方法，以解决现有问题并开拓新的研
究领域。
感谢观看
THANKS
维数基与坐标
目录
• 维数基的基本概念 • 坐标系的基本概念 • 维数基与坐标的关系 • 维数基与坐标的实例分析 • 维数基与坐标的未来发展
01
维数基的基本概念
定义与性质
维数基定义
维数基是线性空间中的一组基底，它由有限个线性无关的向量组成，可以用来表示线性空间中的任意向量。
维数基的性质
维数基中的向量是线性无关的，即它们不能被其他向量线性表示；维数基中的向量是正交的，即它们的点积为零；维数基中的向量是单位向量，即它们的模长为1。
01
更高维度的探索
随着数学理论的发展，对高维空间的研究将更加深入，有望揭示更多关于宇宙的奥秘。
几何化代数
02
03
拓扑结构的研究
通过几何方法研究代数结构，将有助于更好地理解复杂数学对象。
利用坐标方法研究几何对象的拓扑性质，将有助于解决一些经典问题。
维数基与坐标在其他领域的应用前景
物理学
在量子力学和广义相对论等领域，维数基与坐标有望提供更精确的数学工具。
参数方程
1 2
定义

§7.2 线性空间的基与维数

k1, k2 L , kn 为向量对这个基的坐标。
定义2 在线性空间 V 的任一基中基向量的个数称为线性空间 V 的维数，记为 dimV
下面讨论求线性空间基与维数的方法： (1)目测法。此法就是初步目测出基与维数，然后再加以检验。
(2)基变换法。此法就是根据下面的结论：已知线性空间的一个基为 1,2 L ,n ，则
当 m 0 时，定理显然成立；当 m k 时，假设定理成立；
当 m k 1 时，1,2 L ,s 是 Vs 的基（则它们一定线性无关），但还不是 Vn 的基，则在 Vn 中必存在一个向量 s1 不能由1,2 L ,s 线性表出，这时就把 s1 添加进去，于是 1,L ,s,s1 必线性无关（否则，若 1,L ,s,s1 线性相关，由于 1,L ,s,s1 线性无关，则 s 1 可由 1,2 L ,s 线性表出，矛盾），把它作为 Vn 的子空间 Vs1 的一个基，于是 Vs1 是 s 1 维的。
xn
x1
x1
x2
P 1
x2
M
M
xn
xn
（7.4）
证因
x1
x1
x1
1 , 2 ,L
,n
x2
M
1, 2,L
,
n
x2
M
1
,
2
,L
,
n
P
x2
M
,
xn
xn
xn
而 1,2,L ,n 线性无关，故有（7.4）式。
说明此定理的逆定理成立，即若 Vn 中任一元素的两种坐标满足坐标变换公式（7.4），则两个基满足基变换公式（7.2）或（7.3）。
第七章线性空间

维数、基与坐标

(k) k ()
对任意αV,kK成立.从而
(0) (0) 0 () 0
() ((1)) (1) () () (k11 k22 krr ) (k11) (k22 ) (krr )
k1 (1) k2 (2 ) kr (r )
(2) 若有不全为零的k1,k2,…,kr使
则有
(k11 k2 2 kr r ) 0
由于σ是单射，又只有零元素0才映射到0，
故
k11 k2 2 kr r 0 即若 (1), (2 ),, (r ) 线性相关也必有 α1,α2,…,αr线性相关；
(3) 由于维数就是线性空间中线性无
关元素的最大个数，设V与W同构，则若V 中最大的线性无关元素组为α1,α2,…,αm,那么 σ(α1), σ(α2),…,σ(αr)也是W中线性无关的，且任何多于m个的元素组必线性相关.这样，W 的维数必等于V的维数；
设 ε1,ε2,…,εn与η1,η2, …,ηn是n维线性空间V中的两组基.由基的定义，它们必可以互相线性表出.设 η1,η2, …,ηn由ε1,ε2,…,εn线性表出的关系式为
1 a111 a12 2 a1n n , 2a211a222 a2n n , n an11 an2 2 ann n .
(1, 2 ,3 , 4 ) (1, x, x 2 , x3 ) A
其中
(1, 2 , 3 , 4 ) (1, x, x 2 , x3 )B
1 1 1 1
A
2 0 2
1 2 0
0 2 0
3 03
1 1 1 1
B
0 0 0
1 0 0
2 1 0
3 13
于是
(1, 2 , 3 , 4 ) (1, 2 ,3 , 4 )A1B

线性代数-线性空间与线性变换PPT课件

例1
次数不超过
n
的多项式的全体，记作
P
x
，
n
即
P x n p x anx n a1x a0 an, ,a1,a0 ,
对于通常的多项式加法、数乘多项式的乘法构成线性空间.
这是因为：通常的多项式加法、数乘多项式的乘法两种运算显然满足线性运算规律，
故只要验证
P
x
对运算封闭.
n
一、线性空间的定义
1
0 ,
E 22
0
1
线性无关，所以 E11, E12 , E21, E22 是 M2
的一个基，向量
A
a11 a21
a12 a22
在这个基下的
坐标就是 a11, a12, a21, a22 T .
二、基变换与坐标变换
设1,2, ,n 与 1, 2, , n 是线性空间Vn 中的两个基，且
第5章线性空间与线性变换 20
目录/Contents
第5章线性空间与线性变换 21
5.2 维数、基与坐标
一、线性空间的基、维数与坐标二、基变换与坐标变换
一、线性空间的基、维数与坐标
第5章线性空间与线性变换 22
定义 1 在线性空间V 中，如果存在n 个元素1,2, ,n 满足
(i) 1,2, ,n 线性无关； (ii) V 中任一元素总可由1,2, ,n 线性表示，
x1, x2, , xn ，使
x11 x22 xnn ，
x1, x2, , xn 这组有序数就称为元素在基1,2, ,n 下的坐标，并记作
x1, x2,
,xn
T
.
一、线性空间的基、维数与坐标
第5章线性空间与线性变换 25

4-2 维数、基与坐标

x1 , x 2 , , x n
T
6
注3 线性空间V 的任一元素在不同的基下所对应的坐标一般不同，一个元素在一个基下对应的坐标是唯一的．
例1
求向量 = （ a 1 , a 2 , ...a n ) 在 R
T
T T
n
的基
T
1 (1, 0 , ...,0 ) , 2 (1, 1, ...,0 ) , ..., n (1, 1, ...,1 ) ,
下的坐标。
解
设 = x 1 1 x2 2 ... x n n, 则有
x 1 x 2 ... x n 1 x n a1 x 2 ... x n 1 x n a2 ..................................... x n1 x n a n1 xn an
17
解
(1) 1 , 2 , 3
1 2 1
1 , 2 , 3 P , 即
2 3 4 3 1 4 ＝ 1 3 1
－1
1 0 －1
1 0 P 1
则有
1 P＝ 1 1
1 0 －1
1 0 1
x1 x2 , , , 1 2 n xn
1 , 2 , , n 1 , 2 , , n P
15
故 1 , 2 , , n
n 称为线性空间 V 的
维数, 记作dimV＝n ;
并称维数为 n的线性空间称为 n 维线性空间 , 记作 V n .

第三节维数基与坐标

( r 1 ) 称为线性相关，如果在数域 P 中有 r 个不全为零的数 k1 , k2 , … , kr , 使 k11 + k22 + …+ krr = 0.
(3)
如果向量组 1 , 2 , …, r 不线性相关，就称为线性无关. 换句话说，向量组 1 , 2 , …, r 称为线性
如果看作间，那么这是一维的，数 1 就是一个基；是实数域上的线性空间，那么就是二维的， 1，i
就是一个基.
注 ◆ 线性空间的维数与所考虑的数域有关.
▲
§6.3 维数基与坐标
例3
在 n 维空间 P n 中，显然
1 (1,0, ,0) , (0,1, ,0) , 2 n (0,0, ,1)
是一个基. 对每一个向量 = ( a1 , a2 , … , an ) , 都有
= a1 1 + a2 2 + … + an n .
= a1 1 + a2 2 + … + an n ,
其中系数 a1, a2 , … an 是被向量和基 1 , 2 , …,
n 唯一确定的，这组数就称为在基 1 , 2 , … , n 下的坐标，记为 ( a1, a2 , … , an ) .
§6.3 维数基与坐标
= a11 + ( a2 - a1 )2 + … + ( an - an -1 ) n .
所以在基 1 , 2 , …, n 下的坐标为
(a1, a2 - a1 , … , an - an -1 ) .
§6.3 维数基与坐标
例4
如果复数域 C 看作是自身上的线性空

02 第二节维数、基与坐标

. 显然，是的倍数. 向量组与向量组等价，并且线性无关，进而是的一组基，所以.
例6 (E04) 证明维线性空间与维数组向量空间同构.
证 (1) 中的元素与中的元素形成一一对应关系;
(2) 则有
结论 1. 数域上任意两个维线性空间都同构. 2. 同构的线性空间之间具有反身性、对称性与传递性. 3. 同维数的线性空间必同构.
例4(E02) 所有二阶实矩阵组成的集合对于矩阵的加法和数量乘法, 构成实数域R上的一个线性空间. 试证
,,, 是中的一组基, 并求其中矩阵A在该基下的坐标.
证先证其线性无关, 由有
即线性无关. 又对于任意二阶实矩阵有因此为的一组基. 而矩阵在这组基下的坐标是
例5 (E03) 求子空间的维数，其中解易知是由下列向量的全体线性组合所构成的集合：
第二节基、维数与坐标
分布图示
★ 引言
★ 线性空间的基与维数
★ 生成子空间
★ 例1
★ 坐标
★ 例2
★ 例3 ★ 例4
★ 线性空间的同构
★ 例6
★ 内容小结
★ 课堂练习
★ 习题6-2
★ 例5 ★ 例7
内容要点
一、线性空间的基与维数我们已知在中，线性无关的向量组最多由个向量组成，而任意个向
量都是线行相关的。现在我们要问：在线性空间中，最多能有多少个线性无关的向量？
元素有序数组定义2 设是线性空间的一个基,对于任一元素, 有且仅有一组有序数使，则称有序数组为元素在基下的坐标, 并记作.
二、线性空间的同构设是维线性空间的一组基，在这组基下，中的每个向量都有唯一确
定的坐标，而向量的坐标可以看作中的元素，因此向量与它的坐标之间的对应就是到的一个映射。对于中不同的向量它们的坐标也不同，即对应于中的不同元素。反过来，由于中的每个元素都有中的向量与之对应，我们称这样的映射是与的一个一一对应的映射。这个映射的一个重要特征表现在它保持线性运算（加法和数乘）的关系不变。

线性代数§6.2线性空间的维数、基与坐标

即, E11, E12, E21, E22线性无关. a11 a12 22 R ,有对任意实二阶矩阵 A a21 a22 A=a11E11+ a12E12+ a21E21+ a22E22. 所以, E11, E12, E21, E22为V的一个基. 而A在基E11, E12, E21, E22下的坐标为: A=(a11, a12, a21, a22)T.
于是 + 与 k 的坐标分别为: (a1+b1, a2+b2, · · · , an+bn) = (a1, a2, · · · , an)T+(b1, b2, · · · , bn)T, (k a1, k a2, · · · , k an)T = k(a1, a2, · · · , an)T.
即, 向量, Vn在基1, 2, · · · , n下的坐标分别为: = (a1, a2, · · · , an)T, = (b1, b2, · · · , bn)T, · · + (a1 + b1)n 则 + = (a1 + b1)1 + (a1 + b1)2 + · k = ka11 + ka22 + · · · + kann
二、元素在给定基下的坐标
定义: 设1, 2, · · · , n为线性空间Vn的一个基, 对任意V, 总有且仅有一组有序数x1, x2, · · · , x n, 使 = x11+x22+· · · +x n n , 则称有序数组 x1, x2, · · · , xn 为元素在基1, 2, · · · , n下的坐标, 并记作 = (x1, x2, · · · , xn)T. 例1: 在线性空间P[x]4中, p0=1, p1=x, p2=x2, p3=x3, p4=x4 就是P[x]4的一个基. 任意不超过4次的多项式: p(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 + a4x4P[x]4, 都可表示为 p(x) = a0 p0 + a1p1 + a2p2 + a3p3 + a4p4 因此, p(x)在这个基1, x, x2, x3, x4下的坐标为 p(x) =(a0, a1, a2, a3, a4)T.

高等代数第6章线性空间 6.2 基底、坐标与维数

任一不超过4次的多项式 p a 4 x 4 a 3 x 3 a 2 x 2 a1 x a 0 可表示为 p a 0 p1 a 1 p 2 a 2 p 3 a 3 p 4 a 4 p 5
因此 p 在这个基下的坐标为 ( a 0 , a 1, a 2 , a 3 , a 4 )
T
若取另一基q1 1, q 2 1 x , q 3 2 x 2 , q 4 x 3 , q5 x4 , 则 1 p (a 0 a 1 )q1 a 1 q 2 a 2 q 3 a 3 q 4 a 4 q 5 2 因此 p 在这个基下的坐标为
1 ( a 0 a 1, a 1, a 2 , a 3 , a 4 ) 2 注意线性空间 V的任一元素在不同的基下所对的坐标一般不同，一个元素在一个基下对应的坐标是唯一的．
T
例２所有二阶实矩阵组成的集合 V ，对于矩阵的加法和数量乘法，构成实数域 R上的一个线性空间．对于 V 中的矩阵
有
1 E 11 0 0 E 21 1
0 0 1 , E 12 , 0 0 0 0 0 0 , E 22 0 0 1
而矩阵A在这组基下的坐标是 (a 11, a 12, a 21, a 22) .
T
例3 在线性空间R, 2 ( x a ), 3 ( x a ) , , n ( x a )
则由泰勒公式知
2
n 1
f ' ' (a ) 2 f ( x ) f (a ) f ' (a )( x a ) ( x a) 2! ( n 1) (a ) f n 1 ( x a) ( n 1)! 因此 f ( x )在基 1 , 2 , 3 , , n 下的坐标是

维数-基-坐标ppt课件

则称向量可由向量组 1,2 , ,r 线性表出.
3/36
若向量组 1, 2 , , s 中每一向量皆可由向量组
1,2 , ,r线性表出，则称向量组 1, 2 , , s
可由向量组 1,2 , ,r 线性表出.
若两向量组可以互相线性表出，则称这两个向量组为等价的．
（3）1,2 , ,r V ，若存在不全为零的数 k1, k2 , , kr P，使得 k11 k22 krr 0 则称向量组 1,2 , ,r 线性相关.
就是 Pn 的一组基．称为Pn的标准基.
12/36
注意：
① n维线性空间 V的基不是唯一的，V中任意 n个线性无关的向量都是V的一组基．
② 任意两组基向量是等价的．
例4（1）证明：线性空间P[x]n是n 维的，且 1，x，x2，…，xn－1 为 P[x]n 的一组基．
（2）证明：1，x－a，(x－a)2，…，(x－a)n－1 也为P[x]n的一组基．
0
0
②
k1 2k2 k3 0
其系数行列式
11 1
1 2 ( 1)( 2 1)( 2 ) 0 1 2
23/36
∴方程组②只有零解： k1 k2 k3 0 故 E, A, A2 线性无关. 又由①知，任意f(A)均可表成 E, A, A2 的线性组合，所以V为三维线性空间， E, A, A2 就是V 的一组基.
怎样才能便于运算？
2/36
一、线性空间中向量之间的线性关系
1、有关定义
设V 是数域 P 上的一个线性空间
（1）1,2 , ,r V (r 1), k1, k2 , , kr P, 和式
k11 k22 krr
称为向量组1,2 , ,r 的一个线性组合．

§3.4线性空间、基、维数和坐标

一、线性空间的定义线性空间是线性代数最基本的概念之一，也是一个抽象的概念，它是向量空间概念的推广。

线性空间是为了解决实际问题而引入的，它是某一类事物从量的方面的一个抽象，即把实际问题看作向量空间，进而通过研究向量空间来解决实际问题。

定义设F 是数的集合，若其满足（1）F∈1,0 （2）F ，均有∈∀b a ,∈≠÷×−+)0(,,,b b a b a b a b a 则称F 是一个数域。

R ，实数域Q ，有理数域常用数域C ，复数域F},,1, |),,{(1n i a a a i n =∈=},,2,1,,2,1, |]{[n j m i a a ij n m ij ==∈=×；F [x ]F F m ×n F },2,1,0,,1,0 , |){2210 ==∈++++=n n i a x a x a x a a i nn ；Fn F }0)( ,)( ],[F )(|)({≡∈=x f n x f x x f x f 或的次数小于}],[)(|)({上的连续函数是闭区间b a x f x f =F [x ]n C [a ,b ]βαγ+=若对于任一数与任一元素，总有唯一的一个元素与之对应，称为与的数量积，记作∈k V ∈αV ∈δk ααδk =定义设是一个非空集合，F 为数域．如果对于任意两个元素，总有唯一的一个元素与之对应，称为元素与的和，记作V ∈βα,V ∈γαβV F对F ，总有,,,,V k l αβγ∈∈;,,)3(αθααθ=+∈都有对任何中存在在V V ;)1(αββα+=+ ()();)2(γβαγβα++=++ 如果上述的两种运算满足以下八条运算规律，那么就称为数域F 上的线性空间：V 零元素(5) 1αα=()()(6) k l kl αα=()(8)k k k αβαβ+=+()(7) k l k l ααα+=+;),,)(θααααα=−+∈−∈( 4使的都存在对任何V V 负元素说明1．凡满足以上八条规律的加法及数乘运算，称为线性运算；2．线性空间中的向量不一定是有序数组；3．若一个集合，对于定义的加法和数乘运算不封闭，或者运算不满足八条性质的任一条，则此集合就不能构成线性空间。

3.2 基维数ppt

Ch3.3 基底、维数、坐标
向量组结构子空间结构基变换与坐标变换
一、向量组的结构
定义１向量组的极大无关组：设向量组A{1,2,L ,s}的一个部分向量组{i1,i2,L ,ir }(r s)满足:
（1）向量组A0：i1,i2,L ,ir线性无关；
（2）j 1,2,L s,1,2,L s，j都线性相关
则由 =x11 x22
L
xnn
(1,2,L
,
n
)

x2
M

xn
y1
=y11 y22 L
ynn
(1,2,L
,n
)

y2
M

yn
y1
y1
=(1,2,L
,n )
其中P是n阶矩阵, 称为由基1,2,L ,n到
基1,2,L ,n的过渡矩阵
设向量在基1,2 ,L ,n与1,2,L ,n下的坐标分别为
x1
y1
X

x2

,Y =

y2

M M
xn
yn
x1

y2
M

(1
,
2
,L
,
n
)
P

y2
M

yn
yn
y1
(1,2 ,L
,

n
)
P

y2
M

yn
x1 y1

x2
M

大学精品课件：基、维与坐标

定理3 如果元素组1,2,
线性无关，而元素组
s
1,2 ,
s，线性相关，则元素可由1 , 2 ,
线性
s
表示，且表示式唯一.
定理4 如果元素组1,2,
线性无关，并且可由元素组
s
1，2， t线性表示，则有s t.
推论：两个等价的线性无关的元素组，一定含有相同个数的元素.
定义 4 满足：
在线性空间 V中，如果存在 n个元素
基下的坐标 ,并记作 x1, x2 , , xn T .
例1 在线性空间P[ x]4中, p1 1, p2 x, p3 x2 , p4 x3 , p5 x4 就是它的一个基.
任一不超过4次的多项式 p a4 x4 a3 x3 a2 x2 a1 x a0
可表示为 p a0 p1 a1 p2 a2 p3 a3 p4 a4 p5
s
线性相关与线性无关
定理1 由一个元素构成的元素组线性相关的充分必要
条件是
=0.两个以上元素1，
，
2
线性相关的充分
s
必要条件是其中至少有一个元素可以由其他元素来线性
表示.
定理2 对于V中的一组元素，如果其部分元素线性相关，则其全体也线性相关；如果这个元素组线性无关，则其任何部分组也线性无关.
线性相关与线性无关
当一个线性空间V 中存在任意多个线性无关的向量时，就称 V 是无限维的．
二、元素在给定基下的坐标
定义 5 设1,2 , ,n是线性空间Vn的一个基, 对于任一元素 Vn , 总有且仅有一组有序数
x1, x2 , , xn ,使
x11 x2 2 xn n ,
有序数组x1, x2 , , xn称为元素在1,2 , ,n这个

线性代数6-2维数基坐标

坐标.
例1 在线性空间P[x]3中, p1 1, p2 x, p3 x2, p4 x3 就是它的一个基.
任一不超过3次的多项式
p a0 a1x a2x2 a3x3
可表示为 p a0 p1 a1 p2 a2 p3 a3 p4
因此 p 在这个基下的坐标为 (a0, a1, a2, a3)

y2
yn

并且两组基间有线性关系式
1, 2,, n 1,2 ,,n A
则有如下的关系式
x1
y1
x2

xn

A
y2
yn
,
y1
x1
或

若取另一组基为 q1 1, q2 1 x, q3 2x2 , q4 x3,
p

( a0
a1)q1

a1q2

a2 2
q3

a3q4
因此 p 在这个基下的坐标为
说明:
(a0

a1, a1,
a2 2
, a3 )
(2)一个向量在一组基下的坐标是唯一的.
(3)同一个向量在不同基下的坐标一般是不同的 .
则称此公式为基变换公式.
2.利用分块矩阵的方法可将上述公式写成
其中
1, 2 ,, n 1,2 ,,n A
a11 a12 a1n
A

a21
a23

a2n

an1
an2

ann

则称上述矩阵A为由基1,2,,n到基1, 2,, n的
设 a11 a22 ann , b11 b2 2 bn n

§3 维数基和坐标

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注如果数域 P上线性空间V只有一个向量，则由
线性空间的定义可知，V＝{0}. 此时，称 V={0}为零维线性空间. 上述定义中数域 P 中的线性空间指的非
非零维的.
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结束
注对于同一个集合V，会因为数域P的不同，导
例如致维数的不同。设V＝C（复数的全体），当P＝R时，V为2维的线性空间。显然，{1, i}是一组基。一方面，若 a + bi=0，(a, b∈R)，则a=b=0。即1 与i线性无关。另一方面，对于任一 z∈C，z可由1与 i 线性表出。设V＝C（复数的全体），当P＝C时，V为1维的线性空间。显然，{1}是一组基。事实上，对于任一z=(a+ bi)∈C，z＝(a+bi)1，即 z可以用1线性表出。
§3 维数基和坐标
对于高等代数的主要研究对象：线性空间，我
们将它和前面所学的矩阵联系起来 . 也就是利用矩
阵作为工具对线性空间进行研究 . 为此，我们引入基与坐标的概念.
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结束
定义2 （线性组合、线性表出）
1 , 2 , 设V 为数域 P上一个线性空间，
k1 , k2 , , kr P, r 1, 向量 k11 k2 2
上页下页返回结束
定义6 （基、坐标）
在n维线性空间V中，n个线性无关的向量 1 , 2 , , n 称为V 的一组基。设是V 中任一向量，于是1 , 2 , , n , 线性相
关，因此可以被基1 , 2 , , n 线性表出：
a11 a2 2 an n 其中系数a1, a2, …, an是被向量和 1 , 2 , , n 唯一确定的，这组数就称为在基 1 , 2 , , n 下的坐标，记为

基与维数

一般地，向量空间 Pn {(a1,a2,L ,an ) ai P,i 1,2,L ,n} 为n维的，
1 (1,0,L ,0),2 (0,1,L ,0),L ,n (0,L ,0,1)
就是 Pn 的一组基．称为Pn的标准基.
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注意： ① n 维线性空间 V 的基不是唯一的，V中任意 n个
向量组 1,2,L ,r 线性相关
1,2 ,L ,r 中有一个向量可经其余向量线性表出．
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（2）若向量组 1,2,L ,r 线性无关，且可被
向量组 1, 2,L , s 线性表出，则 r s ;
若 1,2,L ,r 与 1, 2,L , s 为两线性无关的
解：设 x11 x22 x33 x44 ，则有线性方程组
x1 x2 x3 x4 1

x1 x1 x1

x2 x2 x2

x3 x3 x3

x4 x4 x4

2 1 1
解之得，x1

5 4
,
x2

1 4
,
x3

又对 f (x) P[x]n，按泰勒展开公式有 f (x) f (a) f (a)(x a) L f (n1) (a) (x a)n1
(n 1)! 即, f (x)可经1，x－a，(x－a)2，…，(x－a)n－1线性表出.
∴1，x－a，(x－a)2，…，(x－a)n－1为P[x]n的一组基．
∴ 1，x，x2，…，xn－1 为P[x]n的一组基，从而，P[x]n 是n维的. 注：此时， f (x) a0 a1x L an1xn1 在基1，x，x2，…，xn－1下的坐标就是

6.2线性空间的基.

1 2 3 4
, , 为 L 的一组基
1 2 3
当 a = - 1 时， L

1 2
3
例设
(1,1,1) (2,3,4) (5,7,9)
1 2 3
(1,4,5) (0,1,2)
4 5
S L{ , , }
1 1 2 3
x x ( , ,, ) x
1 2 m 1 2
m

再规定

( , ,, ) ( , ,, )
1 2 m 1 2 m
, i 1,2,, m
i i

( , ,, ) ( , ,, )
11 21 1 2 t 1 2 m m1
b b b b b b
12 1t 22 2t m2 mt
2 线性空间的基、维数与坐标
定义设 V 是数域 P 上的线性空间，若存在 , ,, V 满足 1° , ,, 线性无关
1 2 n 1 2 n
1 2 3
证明： , , 是 R 的一组基，并求 (1,1,3) 在 , , 下的坐标
3
1 2 3 1 2 3
解
1 3 2 1 1 1 0 1 2 0 1 3
1 4 7 3 3 3
1 2
1 0 0 1 3 4 0 1 0 3 7 0 0 1 3
j
2j
nj
P
n
j 1,2,, s
, ,, V
1 2 s
线性相(无)关
a a a
1j