有限元方法及应用

第四章有限元法及应用

FEM(The Finite Element Method) and Application

主要内容

有限元法的基本概念 有限元法的分类

有限元法原理

有限元法的求解步骤 常用有限元软件简介

第一节概述

第一节概述

一、为什么需要有限元？

)随着生产的发展，不断要求设计高质量、高水平的大型、复杂和精密的机械和工程结构。在实践中人们也逐渐认识到要达到正确的、高水平的设计，就必须预先通过有效的计算手段确切的了解即将诞生的机械和工程结构在未来工作时的应力、应变及位移等情况，从多种可能的方案中去选择合乎要求的方案。

)但是，传统的一些方法往往难于完成对工程实际问题的有效分析。弹性力学的经典理论对于几何上复杂、不规则边界、有裂缝或厚度突变以及几何非线性、材料非线性等问题往往解决很困难；优化设计、可靠性设计等也难或根本无法解决。

蓄水后大坝的

位移与应变情

况、地震时大

坝的位移与应

变情况等三峡大坝的受力情况

温度场分布

航天飞机飞行

中的受热分析

导弹、飞机飞

行的流体动力

学分析流场分布

磁场分布

分析卫星、飞船在轨运行时磁场的影响

传统方法在处理这类问题时，往往要对一个实际的物理系统作出多种假设，比如形状假设、连续性假设、物体的各项同性假设，然后通过经典理论方法得出问题的解析解，这种解析解从形式上看，可以得出关于实际问题的连续解，比如用方程描述三峡大坝某一点的位移和应变，但这样的解析解往往和实际情况有比较大的偏差。这对于精度要求不高的领域是可以的，但对于有些领域，就不能满足实际的需要了。

同时，实际中常常要遇到一些几何上复杂、不规则边界、有裂缝或厚度突变以及几何非线性、材料非线性的物理系统，对这些系统经典理论解决起来相当困难，有时甚至无法解决，也就是无法求得解析解。因此，寻求离散数值分析法就成了必由之路。

常用的数值分析法有两种：差分法和有限元法。

差分法是在传统方法的基础上，将传统方法建立的微分方程中的微分dx、dy、dz变成差分

Δx，Δy，Δz，从而把微分方程变成代数方程，用一步步迭代的方法，逐步求出物理系统中各个离散点的物理量，用差分离散解代替连续解。

这种方法要求能建立微分方程，并能给出边界条件的数学表达式，因此，对于一些不规则的几何形状和不规则的特殊边界条件难以应用。

一、有限元法的基本概念

1.什么是有限元法

我们实际要处理的对象都是连续体，在传统设计思维和方法中，是通过一些理想化的假定后，建立一组偏微分方程及其相应的边界条件，从而求出在连续体上任一点上未知量的值。

因为点是无限多的，存在无限自由度的问题，很难直接求解这种偏微分方程用来解决实际工程问题，因此需要采用近似方法来处理。

其中最主要的是离散化方法，把问题归结为只求有限个离散点的数值，把无限自由度问题变成有限个自由度。

把一个连续体分割成有限个单元，即把一个复杂的结构看成由有限个通过节点相连的单元组成的整体，先进行单元分析，然后再把这些单元组合起来代表原来的结构，以得到复杂问题的近似数值解。这种方法称为有限元法（The Finite Element Method ）。

有限元法是一种以计算机为手段，通过离散化将研究对象变换成一个与原始结构近似的数学模型，再经过一系列规范化的步骤以求解应力、应变、位移等参数的数值计算方法。

所谓离散化就是将一个连续体分割成若干个通过节点相连的单元，这样一个有无限个自由度的结构就变换成一个具有有限个自由度的近似结构。该过程还包括对单元和节点进行编码以及局部坐标系和整体坐标系的确定。

单元具有以下特征：

¾每一个单元都有确定的方程来描述在一定载荷下的响应；

¾模型中所有单元响应的“和”给出了设计的总体响应；

¾单元中未知量的个数是有限的，因此称为“有限单元”。

2）节点（node）

单元与单元之间的联结点，称为节点。在有限元法中，节点就是空间中的坐标位置，它具有物理特性，且存在相互物理作用。

3）有限元模型（node）

有限元模型真实系统理想化的数学抽象。由一些形状简单的单元组成，单元之间通过节点连接，并承受一定载荷。

每个单元的特性是通过一些线性方程式来描述的。作为一个整体，所有单元的组合就形成了整体结构的数学模型。

对于一个具体的工程结构，单元的划分越小，求解的结果就越精确，同时，其计算工作量也就越大。

梯子的有限元模型不到100个方程；

在ANSYS分析中，一个小的有限元模型可能有几千个未知量，涉及到的单元刚度系数几百万个。

单元划分的精细程度，取决于工程实际对计算结果精确性的要求。

4）有限元分析

有限元分析就是利用数学近似的方法对真实物理系统（几何和载荷工况）进行模拟。并利用简单而又相互作用的元素（即单元），用有限数量的未知量去逼近无限未知量的真实系统。

有限元分析是一种模拟设计载荷条件，并且确定在载荷条件下的设计响应的方法。它是用被称之为“单元”的离散的块体来模拟设计的。

二、有限元法的特点与作用

1.有限元法的特点

1）把连续体划分成有限个单元，把单元间的连接点（节点）作为离散点；

2）不考虑微分方程，而从单元本身特点进行研究；(研究未知量在单元内部及在单元节点上值的关系，从而导出单元节点响应和对应的载荷之间的关系，然后把它们组集起来,以求解一个以各节点响应为未知量的代数方程组)

3）理论基础简明，物理概念清晰，且可在不同的水平上建立起对该法的理解；

4）具有灵活性和适用性，适应性强（它可以把形状不同、性质不同的单元组集起来求解，故特别适用于求解由不同构件组合的结构，应用范围极为广泛。它不仅能成功地处理如应力分析中的非均匀材料、各向异性材料、非线性应力应变以及复杂的边界条件等问题，且随着其理论基础和方法的逐步完善，还能成功地用来求解如热传导、流体力学及电磁场领域的许多问题）

5）在具体推导运算过程中，广泛采用了矩阵方法。