画直线算法

数值微分(DDA)法
• 增量算法：在一个迭代算法中，如果每一 步的x、y值是用前一步的值加上一个增量 来获得，则称为增量算法。 • DDA算法就是一个增量算法。
数值微分(DDA)法
void DDALine(int x0,int y0,int x1,int y1,int color) { int x； float dx, dy, y, k; dx, = x1-x0, dy=y1-y0; k=dy/dx, y=y0; for (x=x0; x≤x1, x++) { drawpixel (x, int(y+0.5), color); y=y+k; } }
F ( x, y ) = 0 F ( x, y ) > 0 F ( x, y ) < 0 点在直线上面 点在直线上方 点在直线下方
P2 Q
P=(xp,yp) P1
∴欲判断M点是在Q点上方还是在Q点下方， 只需把M代入F(x,y),并检查它的符号。
中点画线法
构造判别式： d=F(M)=F(xp+1,yp+0.5) =a(xp+1)+b(yp+0.5)+c 当d<0，M在直线(Q点)下 P=(xp,yp) 方，取右上方P2； 当d>0，M在直线(Q点)上 方，取右方P1； 当d=0，选P1或P2均可， 约定取P1； 能否采用增量算法呢？
中点画线法
– 当M在Q的下方-> P2离直线更近更近->取P2 。 – M在Q的上方-> P1离直线更近更近->取P1 – M与Q重合， P1、P2任取一点。
P2 Q
P=(xp,yp) P1 – 问题：如何判断M与Q点的关系？
中点画线法
由常识知：若y=kx+b; F(x,y)=y-kx-b;则有
。 。
(X i , Yi)
。
(X i+1 ,Yi + k)
。
(X i , Int(Yi +0.5))
数值微分(DDA)法
•基本思想
已知过端点P0 (x0, y0), P1(x1, y1)的直线段L y=kx+b 直线斜率为
y − y0 1 k = x − x0 1
考虑当x从xi xi+1时y的变化规律： 设∆x=xi+1- xi xi+1= xi+ ∆x
数值微分(DDA)法
•
x 0 1 2 3 4 5
例：画直线段P0(0,0)--P1(5,2) k=0.4
int(y+0.5) 0 0 0.4 0 0.8 1 1.2 1 1.6 2 2.0 2 y
Line: P0(0, 0)-- P1(5, 2) 3 2 1 0 1 2 3 4 5
数值微分(DDA)法
斜率不在[0,1]的直线的处理
• 若k<-1 • 对(-y0,x0)和(-y1,x1)所确定的 直线进行扫描转换， 每确定一组(x,y)， 输出(y,-x)。
(-y0,x0)
(x1,(x1,-y1)
(x0,y0)
(-y1,x1)
(x1,y1) (x,(x,-y0)
3 Bresenham算法 教材上介绍的) 算法( 算法
算法步骤为： 算法步骤 1.输入直线的两端点P0(x0,y0)和P1(x1,y1)。 2.计算初始值△x、△y、e=-0.5、x=x0、y=y0。 3.绘制点(x,y)。 4.e更新为e+k，判断e的符号。若e>0，则(x,y)更新 为(x+1,y+1)，同时将e更新为e-1；否则(x,y)更新 为(x+1,y)。 5.当直线没有画完时，重复步骤3和4。否则结束。
• 缺点： 在此算法中，y、k必须是float，且每一 步都必须对y进行舍入取整，不利于硬件实现。
2 中点画线法
• 原理：
P2 Q
P=(xp,yp) P1
假定直线斜率0<K<1，且已 确定点亮象素点P（X ,Y ）, 则下一个与直线最接近的像 素只能是P1点或P2点。设M 为中点，Q为交点
p p
现需确定下一个点亮的象素。
第二讲 直线的生成
图形的扫描转换（光栅化）：确定一个像素集合， 用于显示一个图形的过程。步骤如下： 1、确定有关像素 2、用图形的颜色或其它属性，对像素进行写操作。 对一维图形，若不考虑线宽，则用一个像素宽的 直线来显示图形。二维图形的光栅化，即区域的填充： 确定像素集，填色或图案。 任何图形的光栅化，必须显示在一个窗口内，否 则不予显示。即确定一个图形的哪些部分在窗口内， 哪些在窗口外，即裁剪。
P2 Q P1
中点画线法
若d≥0 ---->M在直线上方->取P1; 此时再下一个象素的判别式为 d1=F(xp+2, yp+0.5) =a(xp+2)+b(yp+0.5)+c = a(xp +1)+b(yp +0.5)+c +a =d+a； 增量为a
P2 Q
P=(xp,yp) P1
中点画线法
• 若d<0 ------>M在直线下方->取P2; • 此时再下一个象素的判别式为 d2= F(xp+2, yp+1.5) =a(xp+2)+b(yp+1.5)+c = a(xp +1)+b(yp +0.5)+c +a +b =d+a+b ； P2 增量为a＋b
e=e+k e=e+△y/△x △x e= △x e+ △y
改进2：用2e△x来替换e 改进
e=-0.5
• e初=-△x， • 每走一步有e=e+2△y。 • if (e>0) then e=e-2△x
2e=-1
算法步骤： 算法步骤 1.输入直线的两端点P0(x0,y0)和P1(x1,y1)。 2.计算初始值△x、△y、e=-△x、x=x0、y=y0。 △ 3.绘制点(x,y)。 4.e更新为e+2△y，判断e的符号。若e>0，则(x,y) △ 更新为(x+1,y+1)，同时将e更新为e-2△x；否则 △ (x,y)更新为(x+1,y)。 5.当直线没有画完时，重复步骤3和4。否则结束。
。 。
(X i , Yi)
。
(X i+1, kX i+1+b)
。
(X i , Yi)
这种方法直观，但效率太低， 这种方法直观，但效率太低，因为每一步需要 一次浮点乘法、一次浮点加法和一次舍入运算。 一次浮点乘法、一次浮点加法和一次舍入运算。
1 数值微分法（ＤＤＡ） 数值微分法（ＤＤＡ）
假定直线的起点、终点分别为：（x0,y0), (x1,y1)， 且都为整数。
0 直接计算法
假定直线的起点、终点分别为：（x0,y0), (x1,y1)， 且都为整数。 计算出斜率k=(y1-y0)/(x1-x0) , 在Y轴的截距b=y0-k*x0
。 。
(X i , Yi)
。
栅格交点表示象素点位置
(X i+1, kX i+1+b)
。
(X i , Yi)
直接计算法
这样一来， 的值， 这样一来，只要给定 x的值，根据解析式立即 的值 可以计算出对应的y值 然后输出(x,round(y)). 可以计算出对应的 值，然后输出
改进1：令e=d-0.5 改进
xi +1 = xi + 1 y = yi + 1 (e > 0) i +1 yi (e ≤ 0)
• e初=-0.5， • 每走一步有e=e+k。 • if (e>0) then e=e-1
xi +1 = xi + 1 y = yi + 1 (d > 0.5) i +1 yi (d ≤ 0.5)
Q
P=(xp,yp) P1
中点画线法
• 画线从 0, y0)开始，d的初值 画线从(x 开始， 的初值 开始 d0=F(x0+1, y0+0.5)= a(x0 +1)+b(y0 +0.5)+c = F(x0, y0)+a+0.5b = a+0.5b 由于只用d 的符号作判断，为了只包含整数运算, 由于只用 的符号作判断，为了只包含整数运算 可以用2d代替 来摆脱小数，提高效率。 代替d来摆脱小数 可以用 代替 来摆脱小数，提高效率。
中点画线法
• 例：用中点画线法P0(0,0) P1(5,2) 用中点画线法
a=y0-y1=-2 b=x1-x0=5 d0=2a+b=1 d1=2a=-4 d2=2(a+b)=6
i 1 2 3 4
xi yi 0 0 1 0 2 1 3 1
d 1 -3 3 -1 5
3 2 1 0 1 2 3 4 5
5 4 2
斜率不在[0,1]的直线的处理
• 设起点和终点分别为(x0,y0)和(x1,y1) • 若k>1 • 则(y0,x0)和(y1,x1)所确定的 直线斜率k€ [0,1]， 适用于前面讨论的情形。 • 对(y0,x0)和(y1,x1)所确定的 直线进行扫描转换， 每确定一组(x,y)，输出(y,x)。
(y0,x0) (x0,y0)
(x1,y1)
(y1,x1)
斜率不在[0,1]的直ຫໍສະໝຸດ 的处理• 若-1<k<0 • 先对(x0,-y0)和(x1,-y1)所确定的 • 直线进行扫描转换， • 每确定一组(x,y)，输出(x,-y)。