材料力学 第五章

例5.2 求梁B截面右侧1-1截面的剪力和E截面的弯矩。 解：（1）确定支座反力 2kN A 2m 4kN
FBV 5kN, FDV 1kN
(2) 1-1截面内力
根据简化方法，用1-1截 面左边外力来求该截面 剪力： (3) E-E截面弯矩
B
1 1 2m
C
1m
E 1m
D
FBV
FDV
FQB 5 2 3kN
材料力学
Mechanics of Materials 编制：邹思敏 审定：袁海庆
配套教材： 武汉理工大学出版社《材料力学》第三版
（主编 袁海庆）
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弯曲内力
编制：邹思敏 审定：袁海庆
配套教材： 武汉理工大学出版社《材料力学》第三版 （主编 袁海庆）
5
弯曲内力
5.1 梁的平面弯曲 梁的计算简图 5.2 梁的内力 剪力和弯矩 5.3 剪力方程与弯矩方程 剪力图与弯矩图 5.4 内力与分布荷载间的关系及其应用 5.5 用区段叠加法作梁的弯矩图
根据简化方法，用1-1截面右边外力来求该截面弯矩：
M E 1kN 1m 1kN m
5.3 剪力方程与弯矩方程 剪力图与弯矩图
反映梁的横截面上的剪力和弯矩随截面位置变化的函数 式分别称为剪力方程和弯矩方程，即 剪力方程 弯矩方程
FQ FQ ( x)
M M ( x)
显示剪力和弯矩随截面位移的变化规律的图形则分别称为
max
。
M
max
例5.6 求作梁的内力图。 解：1、支反力
FA 6kN; FB 4kN
FP=2kN
1
2
q=2.5kN/m
3
A
C 2D 1
1m 1m
1m
E
F
3
B
1m 1m
2、作剪力图 由微分关系可知，AC、CD、FB段 分别为水平直线，DF段为斜直线
FQ11 FA 6kN FQ22 FA 5 1kN
FQ ( x )dx M ( x ) 1 q( x )(dx )2 [ M ( x ) dM ( x )] 0 2
dM ( x ) FQ ( x ) dx
dM 2 ( x ) dFQ ( x ) 2 dx dx
dM 2 ( x ) q( x ) 2 dx
dFs x qx dx
简支梁
外伸梁 （伸臂梁）
悬臂梁
5.1.2 梁的计算简图
常见的荷载：
集中力 分布荷载 集中力偶
F
q
q( x)
m
5-2 梁的内力 剪力和弯矩
一、弯曲内力的确定（截面法）：
根据截面法，图中梁上距A端 x A a FAY A FAY l FQ C M m m FBY F B
x 处m-m截面上内力求解：
弯矩图上某点处的切线斜率等 于该点处剪力的大小。
5.4.2. 几种常见荷载下梁的剪力图与弯矩图的特征
无外力段 外 力 均布载荷段 集中力 集中力偶
q=0
FQ 图 特 征 + x FQ > 0
－
F q>0
斜直线
Me C C
无变化
q<0
水平直线
自左向右突变
x －
+
x
+
C
－
x
C
FQ <0 曲线 在C截面有折角 在C截面有突变
FQ
Fb l
Fa l
q F
Fa l
通过列剪力方程和弯矩方程作内力图的要点： （1）列剪力方程和弯矩方程的基本方法是求到原点距离为x 处截面的剪力和弯矩。可以用截面法计算，也可以用简化方 法计算。
（2）根据梁所受外力的情况，必要时应分段列写剪力方程和 弯矩方程。
（3）有集中力作用的截面，其作用截面两侧截面的剪力值将 发生突变；在集中力偶作用处，其作用截面两侧截面的弯矩值 发生突变。 （4）弯矩方程中弯矩的正负号应符合规定，弯矩图应画在梁 受拉的一侧，可以不标正负号。
0 x l
M0 M x x
M x
AC 段： CB 段：
0 x a
a x l
M x FAV x
M x FAV x M 0
l
M0 l x l
例5.5 图示简支梁在C点受矩为M的集中力偶作用。试作梁的 剪力图和弯矩图。 m
解：（1）确定支座反力 A l/4
q
C l B
ql FAV FBV
(2) C截面内力
2
取C截面以左部分为脱离体：
FQC
l ql FAV q FQC 0 FQC 4 4 MC 0
l ql l M C FAV 0 4 4 8
Y 0
A
FAV
C
MC
5.1.1
梁的平面弯曲概念
工程中常见的梁，通常具
有对称的截面，且荷载均作 用在梁的纵向对称平面内， 均发生平面弯曲。
5.1.2 梁的计算简图
构件的简化 支座的简化 荷载的简化 计算简图
5.1.2 梁的计算简图
常见支座：
固定铰支座 （铰链） 可动铰支座 （支杆） 固定支座
5.1.2 梁的计算简图 常见的简单梁：
M 直线 (一般为斜直线) 图 特 征
Me
C
利用以上特征
1. 可以校核已作出的剪力图和弯矩图是否正确。
2. 利用微分关系确定弯矩出现极值的截面，计算最大最小值。
3. 可以利用微分关系直接绘制剪力图和弯矩图，步骤如下：
（1） 求支座反力；
（2）分段确定剪力图和弯矩图的形状；
（3）计算控制截面内力值，根据微分关系绘剪力图和弯矩图； （4）确定 和 FQ
三、确定梁的内力的简化方法 可以总结出梁的内力与外力一般关系，得到确定
梁内力的简化方法如下：
(1) 梁截面上剪力在数值上等于该截面以左（或以右）所
有外力在正交于梁轴方向上投影的代数和，截面以左向上
（或以右向下）的外力在该截面上引起正剪力，反之引起 负剪力。 (2) 梁截面上弯矩在数值上等于该截面以左（或以右）所 有外力对截面形心力矩的代数和，向上的外力在该截面上 引起正弯矩，反之引起负弯矩。
2.根据内力方程画剪力图 和弯矩图。 注意：M图画在梁纤维受拉的 一面,可以不标正负号。
－
FQ x －qx
0 x l
x
ql
ql2 2 x
例5.4 图示简支梁受集中荷载F作用。试作梁的剪力图和弯 矩图。 F b a
A FAV
x
C l
FAV Fb l
FBV Fa l
B FBV
FQ
二、弯曲内力的正负号规定: 剪力FQ :
FQ dl
+
FQ FQ
－
FQ
以使脱离体有顺时针旋转趋势为正
二、弯曲内力的正负号规定:
弯矩M：
+
M M
－
M
M
以使梁下部纤维受拉为正 为了与后续课程结构力学取得一致，规定弯矩 图要画在梁纤维受拉的一面，可以不标正负号。
例5.1 求简支梁C,B截面的内力。
剪力图和弯矩图。
例5.3 图示悬臂梁受集度为 q 的满布均布荷载作用。试作梁 的剪力图和弯矩图。 q
解：1. 列剪力方程和弯矩方程。 以B端为原点，用距原点任意位 置左面以右外力写出内力表达式：
A
x
l
B
FQ
M x －qx
x qx － 2 2
2
0 x l
M
l/2 ql2 8
y
A
m
n
x B q(x)
x
m n
dx
M(x)+dM(x)
q( x)dx dFQ ( x)
M ( x)
O1
dFQ x q x dx
FQ(x) dx
FQ(x)+dFQ(x) q(x)
5.4.1 剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系
对n-n截面形心O1取矩，有
y
A
m
n
m
O1
0 ,
x B q(x)
FQ FAV
F (l a ) l
F (l a ) x l
FBY
M FAV x
一、弯曲内力的确定（截面法）：
梁横截面的内力： 1. 弯矩：M 梁受弯时，在与横截面垂直 的竖向平面内所存在的内力偶矩 （弯矩）。 2. 剪力： FQ 梁受弯时，横截面上所存在 平行于截面的内力（剪力）。 M C FBY A a FAV l x m m FBV F F B
F
3
B
1m 1m
FA
6
+ 1 FQ (kN)
FB
MC FA 1 6kN m
M D FA 2 FP 1 7kN m
1 M E FB 2 q 1 6.75kN m 2
6 7
－
4
M (kN· m) 6.75 4
根据微分关系可作出弯矩图
思考：最大弯矩出现在什么位置？如何求出？
3ql 2 MC 32
例5.1 求简支梁C,B截面的内力。
解：（1）确定支座反力 A l/4
q
C l B
ql FAV FBV
(2) C截面内力 (3) B截面内力
2
FQB
MB
B
贴近B端取一薄片作为脱离体：
Y 0
M
B
FBV FQB 0
FQB
ql 2
FBV
0
MB 0
一、弯曲内力的确定（截面法）：
根据截面法，图中梁上距A端 x A a FAV l m m FBV F F B
x 处m-m截面上内力求解：
1.求支座反力 Fa F (l a ) FBV , FAV l l 2.求m-m截面内力
FQ
M C
以m - m 截面的右段为研究对象，
也将得到同样的结果。
解：(1)求支反力
(2)列剪力方程和弯矩方程 ——需分两段列出
AC段 0 x a
Fb FQ x l
CB 段
a x l
Fa FQ x l
FQ x VB
Fb M x x l
M x VB (l x )
Fa l x M x l
例5.5 图示简支梁在C点受矩为M的集中力偶作用。试作梁的 剪力图和弯矩图。 M
A
FAV
a
0
b
C
B
FBV
l
FAV M0 l
解: (1)求支反力
M B 0
剪力方程无需分段： 弯矩方程——两段：

FB
M0 l

(2) 列剪力方程和弯矩方程
Q x FAV M0 l
y
A
m
n
x B q(x)
x
m n
dx
M(x)+dM(x)
O1
FQ(x) +d FQ(x)
考虑微段的平衡：
FQ(x) dx
FQ(x)+dFQ(x) q(x)
5.4.1 剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系
Y 0
FQ ( x) q( x)dx FQ ( x) dFQ ( x) 0
FA
6
+ 1 FQ (kN)
FB
－
4
FQ33 FB 4kN
根据微分关系可作出剪 力图
例5.6 求作梁的内力图。 解：
3、作弯矩图 由微分关系可知，AC、CD、FB段 分别为斜直线，DF段为抛物线
MA 0
MB 0
FP=2kN
1
2
ห้องสมุดไป่ตู้
q=2.5kN/m
3
A
C 2D 1
1m 1m
1m
E
例5.4 图示简支梁受集中荷载F作用。试作梁的剪力图和弯 矩图。 F b a
A FAV
x
C l
Fb l
B FBV
解： (3)画内力图 FQ
M
Fb
Fa l
Fab l
例5.4 图示简支梁受集中荷载F作用。试作梁的剪力图和弯 矩图。 F b a
A FAV
x
C l
Fb l
B FBV
解： (3)画内力图 FQ
A
FAV
a
b
C
B
FBV
l
m l
解: (3)画内力图
FQ
mb l ma l
M
5.4 内力与分布荷载间的关系 及应用
5.4.1 剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系
在梁中取出一长度为 dx 的微段， 其受力情况分析如下： 荷载：q(x) 左截面上的内力（对于微段已 是外力）：M(x), FQ(x) 右截面上的内力（对于微段已 是外力）：M(x)+dM(x), M ( x)
5.1 梁的平面弯曲 梁的计算简图
梁
常见的梁的弯曲现象：
以弯曲变形为主的构件称为梁
F
F
工厂厂房的天车大梁
梁
常见的梁的弯曲现象：
轻轨的箱梁： 阳台的挑梁：
梁
常见的梁的弯曲现象：
火车的轮轴：
F
F
F
F
5.1.1
梁的平面弯曲概念
梁的平面弯曲的特征 所有横向外力（或其合力）均作用在同一纵向平面内，变形 后轴线成为一条平面曲线，其所在平面与外力作用面重合， 这种弯曲称为平面弯曲。
1.求支座反力 Fa F (l a) FBY , FAY l l 2.求m-m截面内力 以m - m 截面的左段为研究对象：
Y 0,
FAY FQ 0.
F (l a) FQ FAY l
M FAY x F (l a) x l
mC 0, M FAY x 0.
x
m n
dx
M(x)+dM(x)
M ( x)
O1
FQ(x) dx
FQ(x)+dFQ(x) q(x)
q、FQ和M三者的微分关系:
dFQ x q x dx
dM ( x ) FQ ( x ) dx
dM 2 ( x) q( x) 2 dx
剪力图上某点处的切线斜率等 于该截面处分布荷载值（以向 上为正）。