材料力学第五章
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材料力学课件第5章
M
zM
x
等截面梁
y
注意 当梁为变截面梁时, max 并不一定
发生在|M|max 所在面上.
22
5.3 横力弯曲时梁横截面上的正应力 弯曲正应力强度条件
h
常用图y形Wz
c b
Wz =Iz /ymax
z
Wz
Iz h
bh3 2 12 h
bh2 6
2
h2
h1
y
c
z
Wz
Iz h1
1 ( b1h13 h1 6
z
于是
M
E
Iz
M
得
1 M
EIz
y
x
代入
E
y得
My
Iz
15
5.2 纯弯曲时梁横截面上的正应力
常用图形y、Iz
h
y
1.矩形
dy
c
y z
Iz
Ay2 d A
h 2
y2b d y bh3
h 2
12
b
y
同理：
Iy
hb3 12
z
Iz
b1h13 12
b2h23 12
c
b2 b1
同理： I y
h1b13 12
y
12 rp
mn
x2
x
x1
12
dx
'=
x2 FN1
FN2
'=
38
5.4 横力弯曲时梁横截面上的切应力 弯曲切应力强度条件
F
Fx 0
FN 2 FN1 dx b
x1
y
12 rp mn
x2
x
12
dx
《材料力学》第五章
按集中力P和自重 共同作用时校核。 和自重q共同作用时校核 (2) 按集中力 和自重 共同作用时校核。 a.内力分析，画内力图，确定危险截面； a.内力分析，画内力图，确定危险截面； 内力分析 q单独作用时，
1 2 1 M q＝ ql ＝ × 801 × 9.52＝9.04(kNm ) 8 8
危险截面在中间截面
W z=
Iz =
πd 4
64
πd 3
32
对于各种型钢，其惯性矩和抗弯模量可查型钢表
例5.1 螺栓压板夹紧装置如图5.5a所示。已知板长3a=150mm， 压板材料的弯曲许用应力[σ]=140MPa。试计算压板传给工件的最 大允许压紧力F。 解：(1)外力分析，画力学简图； 外力分析，画力学简图； 外力分析 (2)内力分析，画内力图，确定危险截面； 内力分析，画内力图，确定危险截面； 内力分析 M max = M B = Fa 截面B (3)根据强度条件，进行计算。 根据强度条件，进行计算。 根据强度条件 根据强度条件
FRA = 2.5kN , FRB = 10.5kN ,
(2)内力分析，画内力图，确定危险截面； 内力分析，画内力图，确定危险截面； 内力分析 最大正弯矩在截面C上，
mC = 2.5kNm
最大负弯矩在截面B上， mB = −4kNm (3)求σmax，根据强度条件，进行校核。 求 根据强度条件，进行校核。 截面B:
σ max
161.5 × 106 = ＝135.7(MPa ) 1190 × 103
考虑自重与不考虑自重梁内应力相差(143.3-135.7)／143.3×100％ =5.3％。因此，计算应力时一般可忽略杆自重的影响。
例5.3 T形截面铸铁梁。已知 [σt]=30MPa， [σc]=160MPa。 Iz=763 cm4，y1 = 52mm 。试校核梁的强度。 外力分析， 解：(1)外力分析，求支座反力 外力分析 求支座反力;
材料力学第五章
C
x
边界条件
ω =0 B x=a+L ω =0 C
x=a
连续条件
y
x=a
ω 1 =ω 2 B B
θB1 =θB2
例题 5.5
用积分法求图示各梁挠曲线方程时,试问下列各梁 的挠曲线近似微分方程应分几段;将分别出现几个积 分常数,并写出其确定积分常数的边界条件
挠曲线方程应分两段AB,BC. 共有四个积分常数
例题 5.10
多跨静定梁如图示，试求力作用点E处的挠度ωE.
F b E zω =− x3 +Cx+D I 1 1 1 6 L D =00 =0 x=L ω L =0 ( ) 1 ω ) (
F b b Eω′=− ( xx2 +C x Izθ =− ) =−F 1 ′1 ML Ez 1 I 1 2 L
(
)
(
)
(
)
例题 5.3
求图示简支梁在集中荷载F的作用下（F力在右半跨）的最大挠度。
A
两根梁由中间铰连接，挠曲线在 中间铰处，挠度连续，但转角不 连续。
ω =ω 1 2
θ ≠θ2 1
例题 5.5
用积分法求图示各梁挠曲线方程时,试问下列各梁 的挠曲线近似微分方程应分几段;将分别出现几个积 分常数,并写出其确定积分常数的边界条件
挠曲线方程应分两段AB,BC.
F A
a
q
B
EIz
L
共有四个积分常数
挠曲线方程应分两段AB,BC.
M e
共有四个积分常数 x 边界条件
A
EI z
a
B
C
L
x=0
ω =0 A
y 连续条件
θA =0 x=a+L ω =0 C
材料力学第五章 弯曲应力分析
B
D
1m
1m
1m
y2
20
120
FRA
F1=9kN FRB F2=4kN
A C
BD
1m
1m
1m
2.5 Fs
+
+
4 kN
-
6.5 2.5
M
kNm
-
+
4
解： FRA 2.5kN FRB 10.5kN
88
52
-
+
C 2.5
4 B 80
z
20
120
20
B截面
σ t max
M B y1 Iz
4 • 52 763
20
+
-
+
10
Fs
kN
10
20
30
30
25
25
M
kNm
max
M max W
[ ]
W Mmax 30 187.5cm3
[ ] 160
1)圆 W d 3 187.5
32
d 12.4cm
A d 2 121cm2
4
2）正方形
a3 W 187.5
6
3）矩形
a 10.4cm
A a2 108cm2
压，只受单向拉压. （c）同一层纤维的变形相同。 （d）不同层纤维的变形不相同。
推论：必有一层变形前后长度不变的纤维—中性层
中性轴
中性轴⊥横截面对称轴
中性层
横截面对称轴
二、变形几何关系
dx
dx
图（a）
O
O
zb
O yx b
y
图（b）
《材料力学》 第五章 弯曲内力与弯曲应力
第五章 弯曲内力与应力 §5—1 工程实例、基本概念一、实例工厂厂房的天车大梁，火车的轮轴，楼房的横梁，阳台的挑梁等。
二、弯曲的概念：受力特点——作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线。
变形特点——杆轴线由直线变为一条平面的曲线。
三、梁的概念：主要产生弯曲变形的杆。
四、平面弯曲的概念：受力特点——作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线，且都在梁的纵向对称平面内（通过或平行形心主轴且过弯曲中心）。
变形特点——杆的轴线在梁的纵向对称面内由直线变为一条平面曲线。
五、弯曲的分类：1、按杆的形状分——直杆的弯曲；曲杆的弯曲。
2、按杆的长短分——细长杆的弯曲；短粗杆的弯曲。
3、按杆的横截面有无对称轴分——有对称轴的弯曲；无对称轴的弯曲。
4、按杆的变形分——平面弯曲；斜弯曲；弹性弯曲；塑性弯曲。
5、按杆的横截面上的应力分——纯弯曲；横力弯曲。
六、梁、荷载及支座的简化（一）、简化的原则：便于计算，且符合实际要求。
（二）、梁的简化：以梁的轴线代替梁本身。
（三）、荷载的简化：1、集中力——荷载作用的范围与整个杆的长度相比非常小时。
2、分布力——荷载作用的范围与整个杆的长度相比不很小时。
3、集中力偶（分布力偶）——作用于杆的纵向对称面内的力偶。
（四）、支座的简化：1、固定端——有三个约束反力。
2、固定铰支座——有二个约束反力。
3、可动铰支座——有一个约束反力。
（五）、梁的三种基本形式：1、悬臂梁：2、简支梁：3、外伸梁：（L 称为梁的跨长） （六）、静定梁与超静定梁静定梁：由静力学方程可求出支反力，如上述三种基本形式的静定梁。
超静定梁：由静力学方程不可求出支反力或不能求出全部支反力。
§5—2 弯曲内力与内力图一、内力的确定（截面法）：[举例]已知：如图，F ，a ，l 。
求：距A 端x 处截面上内力。
解：①求外力la l F Y l FaF m F X AYBY A AX)(F, 0 , 00 , 0-=∴==∴==∴=∑∑∑ F AX =0 以后可省略不求 ②求内力xF M m l a l F F F Y AY C AY s ⋅=∴=-==∴=∑∑ , 0)( , 0∴ 弯曲构件内力：剪力和弯矩1. 弯矩：M ；构件受弯时，横截面上存在垂直于截面的内力偶矩。
材料力学第5章-剪力图与弯矩图
第5章 梁的强度问题
剪力方程与弯矩方程
建立剪力方程和弯矩方程的方法与过程，实际上与前面所 介绍的确定指定横截面上的剪力和弯矩的方法和过程是相似的 ，所不同的，现在的指定横截面是坐标为x的横截面。
需要特别注意的是，在剪力方程和弯矩方程中，x是变量， 而FQ(x)和M(x)则是x的函数。
第5章 梁的强度问题
剪力方程与弯矩方程
例题2
MO=2FPl
FP
B
A
C
l
l
悬臂梁在B、C两处分别承受集中力FP和集中力偶M＝2FPl
的作用。梁的全长为2l。 试写出：梁的剪力方程和弯矩方程。
第5章 梁的强度问题
剪力方程与弯矩方程
y
MO=2FPl
O
A
C
l
FP
B l
解：1．确定控制面和分段
本例将通过考察截开截面的右
边部分平衡建立剪力方程和弯矩方 程，因此可以不必确定左端的约束 力。
本章首先介绍如何建立剪力方程和弯矩方程；讨论载荷、 剪力、弯矩之间的微分关系；怎样根据载荷、剪力、弯矩之间 的微分关系绘制剪力图与弯矩图；然后应用平衡、变形协调以 及物性关系，建立确定弯曲的应力和变形公式；最后介绍弯曲 强度设计方法。
第5章 梁的强度问题
工程中的弯曲构件 梁的内力及其与外力的相互关系 剪力方程与弯矩方程 载荷集度、剪力、弯矩之间的微分关系 剪力图与弯矩图 刚架的内力与内力图 结论与讨论(1)
根据以上分析，不难得到结论： 杆件各截面上内力变化规律随着外力的 变化而改变。
第5章 梁的强度问题
梁的内力及其与外力的相互关系
所谓剪力和弯矩变化规律是指表示剪力和弯矩变 化的函数或变化的图线。这表明，如果在两个外力 作用点之间的梁上没有其他外力作用，则这一段梁 所有横截面上的剪力和弯矩可以用同一个数学方程 或者同一图线描述。
材料力学第五章
l
F l a x
l
材料力学
第五章 梁的剪力图与弯矩图
梁的横截面上位于横截面 内的内力FS是与横截面左右两 侧的两段梁在与梁轴相垂直方 向的错动(剪切)相对应，故称 为剪力；梁的横截面上作用在 纵向平面内的内力偶矩是与梁 的弯曲相对应，故称为弯矩。
材料力学
第五章 梁的剪力图与弯矩图
为使无论取横截面左边或右边为分离体，求得同一横
截面上的剪力和弯矩其正负号相同，剪力和弯矩的正负号
要以其所在横截面处梁的微段的变形情况确定，如下图。
材料力学
第五章 梁的剪力图与弯矩图
综上所述可知： (1) 横截面上的剪力——使截开部分梁产生顺时针方向
转动为正；产生逆时针方向转动为负。
(2) 横截面上的弯矩——作用在左侧面上使截开部分 逆时针方向转动，或者作用在右侧截面上使截开部分顺时 针方向转动者为正；反之为负。
图d，e所示梁及其约束力不能单独利用平衡方程确定， 称为超静定梁。
材料力学
第五章 梁的剪力图与弯矩图
§5.2 梁的内力及其与外力的相互关系
Ⅰ. 梁的剪力和弯矩(梁的横截面上的两种内力)
图a所示跨度为l的简支梁其
约束力为：
FA
Fl
l
a,
FB
Fa l
梁的左段内任一横截面m－
m上的内力，由m－m左边分离
杆件：某一方向尺寸远大于其它方向尺寸的构件。 直杆：杆件的轴线为直线。 杆的可能变形为：
轴向拉压—内力为轴力。如拉、撑、活塞杆、钢缆、柱。
扭转 —内力为扭矩。如各种传动轴等。
(轴)
弯曲 —内力为弯矩。如桥梁、房梁、地板等。(梁)
材料力学
梁的分类
F
q
第五章 梁的剪力图与弯矩图
F l a x
l
材料力学
第五章 梁的剪力图与弯矩图
梁的横截面上位于横截面 内的内力FS是与横截面左右两 侧的两段梁在与梁轴相垂直方 向的错动(剪切)相对应，故称 为剪力；梁的横截面上作用在 纵向平面内的内力偶矩是与梁 的弯曲相对应，故称为弯矩。
材料力学
第五章 梁的剪力图与弯矩图
为使无论取横截面左边或右边为分离体，求得同一横
截面上的剪力和弯矩其正负号相同，剪力和弯矩的正负号
要以其所在横截面处梁的微段的变形情况确定，如下图。
材料力学
第五章 梁的剪力图与弯矩图
综上所述可知： (1) 横截面上的剪力——使截开部分梁产生顺时针方向
转动为正；产生逆时针方向转动为负。
(2) 横截面上的弯矩——作用在左侧面上使截开部分 逆时针方向转动，或者作用在右侧截面上使截开部分顺时 针方向转动者为正；反之为负。
图d，e所示梁及其约束力不能单独利用平衡方程确定， 称为超静定梁。
材料力学
第五章 梁的剪力图与弯矩图
§5.2 梁的内力及其与外力的相互关系
Ⅰ. 梁的剪力和弯矩(梁的横截面上的两种内力)
图a所示跨度为l的简支梁其
约束力为：
FA
Fl
l
a,
FB
Fa l
梁的左段内任一横截面m－
m上的内力，由m－m左边分离
杆件：某一方向尺寸远大于其它方向尺寸的构件。 直杆：杆件的轴线为直线。 杆的可能变形为：
轴向拉压—内力为轴力。如拉、撑、活塞杆、钢缆、柱。
扭转 —内力为扭矩。如各种传动轴等。
(轴)
弯曲 —内力为弯矩。如桥梁、房梁、地板等。(梁)
材料力学
梁的分类
F
q
第五章 梁的剪力图与弯矩图
材料力学第五章
y
= ∫ y dA
2 A
1 1 π ⋅ d4 π ⋅ d4 I y = Iz = I ρ = ⋅ = z 2 2 32 64
1 π ⋅ (D4 − d 4 ) 对空心圆截面： 对空心圆截面： I = I = I = y z ρ 2 64
第五章 弯曲应力
§5-2 对称弯曲正应力 对称弯曲正应力
M⋅ y 二、弯曲正应力一般公式： 弯曲正应力一般公式： σ= Iz
Ip
弯曲 剪力Q 剪力
？
第五章 弯曲应力
§5-1 引言 y
梁段
M τ Q
z
σ
横截面上剪应力 横截面上正应力
横截面上内力
Q = ∫τdA
剪应力造成剪力
M = ∫σydA
正应力造成弯矩
剪应力和正应力的分布规律是什么？ 剪应力和正应力的分布规律是什么？
超静定问题
第五章 弯曲应力
§5-1 引言
§5-2 对称弯曲正应力 对称弯曲正应力 §5-3 对称弯曲切应力 对称弯曲切应力 弯曲 §5-4 梁的强度条件与合理强度设计 梁的强度条件与合理强度设计 §5-5 双对称截面梁的非对称弯曲 双对称截面梁的非对称弯曲 §5-6 弯拉（压）组合 弯拉（ 对称弯曲（平面弯曲）： 对称弯曲（平面弯曲）： 外力作用在纵向对称面内， 外力作用在纵向对称面内，梁轴线变形 后为一平面曲线，也在此纵向对称面内。 后为一平面曲线，也在此纵向对称面内。
(3)
Mz = ∫ σ ⋅ y ⋅ dA = M (5) A E 2 E 2 E (5) M z = ∫ ρ y dA = ∫ y dA = ρ I z = M
A
ρ
A
1 M = ρ EIz
第五章 弯曲应力
材料力学性能_第五章
每一次小扩展，便认为是一次断 裂过程，△K为裂纹尖端控制裂纹扩
展的复合力学参量。
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§5.3 疲劳裂纹(liè 扩展 wén)
36
二、疲劳裂纹扩展速率
lg(da/dN)~lg△K曲线
I区（初始段） △K≤△Kth: da/dN值很小，裂纹不扩展。 △K>△Kth: △K↑，da/dN↑，裂纹扩展 但不快。 I区所占寿命不长。 II区（主要(zhǔyào)段） △K↑，da/dN较大，裂纹亚稳扩展，是决 定疲劳裂纹扩展寿命的主要段。 III区（最后段） △K↑，da/dN↑↑，裂纹失稳扩展。
从而在破坏前就被修理(xiūlǐ)或报废。
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§5.3 疲劳裂纹 扩展 (liè wén)
34
一、疲劳裂纹扩展曲线
高频疲劳试验机；
固定裂纹预制长度a0、应力比r和应 力幅△σ； 作a~N曲线，曲线斜率da/dN为裂 纹扩展速率。 裂纹达到ac，da/dN无限大，裂 纹失稳扩展，试样最后断裂。 若改变应力△σ1增加到△σ2则裂纹
材料力学 性能 (cái liào lì xué)
第五章 材料(cáiliào)在变动载荷下 的力学性能
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第五章 材料在变动(biàndòng)载荷下的力学性能
5-1 金属疲劳现象(xiànxiàng)及特点
5-2 疲劳曲线及基本(jīběn)疲劳力学性能
有时在疲劳区的后部，还可看到沿扩展方向的疲劳台阶
（高应力作用）。 3、瞬断区
一般在疲劳源的对侧。脆性材料为结晶状断口；韧性材料有放射状 纹理；边缘为剪切唇。
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§5.1 金属(jīnshǔ)疲劳现象及特点
16
2024Al合金(héjīn)疲劳条纹
展的复合力学参量。
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§5.3 疲劳裂纹(liè 扩展 wén)
36
二、疲劳裂纹扩展速率
lg(da/dN)~lg△K曲线
I区（初始段） △K≤△Kth: da/dN值很小，裂纹不扩展。 △K>△Kth: △K↑，da/dN↑，裂纹扩展 但不快。 I区所占寿命不长。 II区（主要(zhǔyào)段） △K↑，da/dN较大，裂纹亚稳扩展，是决 定疲劳裂纹扩展寿命的主要段。 III区（最后段） △K↑，da/dN↑↑，裂纹失稳扩展。
从而在破坏前就被修理(xiūlǐ)或报废。
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§5.3 疲劳裂纹 扩展 (liè wén)
34
一、疲劳裂纹扩展曲线
高频疲劳试验机；
固定裂纹预制长度a0、应力比r和应 力幅△σ； 作a~N曲线，曲线斜率da/dN为裂 纹扩展速率。 裂纹达到ac，da/dN无限大，裂 纹失稳扩展，试样最后断裂。 若改变应力△σ1增加到△σ2则裂纹
材料力学 性能 (cái liào lì xué)
第五章 材料(cáiliào)在变动载荷下 的力学性能
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第五章 材料在变动(biàndòng)载荷下的力学性能
5-1 金属疲劳现象(xiànxiàng)及特点
5-2 疲劳曲线及基本(jīběn)疲劳力学性能
有时在疲劳区的后部，还可看到沿扩展方向的疲劳台阶
（高应力作用）。 3、瞬断区
一般在疲劳源的对侧。脆性材料为结晶状断口；韧性材料有放射状 纹理；边缘为剪切唇。
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§5.1 金属(jīnshǔ)疲劳现象及特点
16
2024Al合金(héjīn)疲劳条纹
材料力学 第五章ppt课件
A A
s
A
（对称面）
2 Ey E2 EI z M ( d A ) y d A y d A M z A A
s
A
EIz
A
2 Iz y A 轴 惯 性矩 d
1 Mz EI z
M y s x I z
… …(3)
杆的抗弯刚度。
. . . . . . ( 4 )
d4
64
d
Iz d3 W z ym a x 32
4 D 4 空心圆 I ( 1 a ) z
d D
ad
64
D
3 I D 4 z W ( 1 a ) z y max 32
11
三、常见截面的IZ和WZ：
3 bh 矩形 Iz 12
b b
2 Iz bh W z y 6 m ax
§5－3 横力弯曲时梁横截面上的正应力 一、正应力近似公式：
M y s x I z . . . . . . ( 4 )
二、横截面上最大正应力：
M s max Wz
… …(5)
I z W z 抗 弯 截 面 模 量 。 y m a x
10
三、常见截面的IZ和WZ：
圆 Iz
M 60 4 1 s 10 92 . 6 MP 1 max
M 67 . 5 4 max s 10 104 . 2 MP max W 6 . 48 z
120 M
求曲率半径
qL 8
+
2
EI 5 . 832 z 200 10 194 . 4 m 1 M 60 1
力状态。
s
A
（对称面）
2 Ey E2 EI z M ( d A ) y d A y d A M z A A
s
A
EIz
A
2 Iz y A 轴 惯 性矩 d
1 Mz EI z
M y s x I z
… …(3)
杆的抗弯刚度。
. . . . . . ( 4 )
d4
64
d
Iz d3 W z ym a x 32
4 D 4 空心圆 I ( 1 a ) z
d D
ad
64
D
3 I D 4 z W ( 1 a ) z y max 32
11
三、常见截面的IZ和WZ：
3 bh 矩形 Iz 12
b b
2 Iz bh W z y 6 m ax
§5－3 横力弯曲时梁横截面上的正应力 一、正应力近似公式：
M y s x I z . . . . . . ( 4 )
二、横截面上最大正应力：
M s max Wz
… …(5)
I z W z 抗 弯 截 面 模 量 。 y m a x
10
三、常见截面的IZ和WZ：
圆 Iz
M 60 4 1 s 10 92 . 6 MP 1 max
M 67 . 5 4 max s 10 104 . 2 MP max W 6 . 48 z
120 M
求曲率半径
qL 8
+
2
EI 5 . 832 z 200 10 194 . 4 m 1 M 60 1
力状态。
材料力学第五章
目录
§5-3 横力弯曲时的正应力
q=60kN/m
180 120 B C
4. C 截面曲率半径ρ
30 z C 截面弯矩
A
x l = 3m
FBY
K
y
1m
FAY
M C 60kN m
C 截面惯性矩
FS 90kN
M x 90kN
I Z 5.832105 m4 1 M EI
3 36c工字钢 Wz 962cm
（5）讨论
q 71.34kg/m
目录
§5-3 横力弯曲时的正应力
试校核梁的强度。
例题5-4
T型截面铸铁梁，截面尺寸如图示。 t 30MPa, c 60MPa,
分析： 非对称截面，要寻找中性轴位置 作弯矩图，寻找需要校核的截面 要同时满足 t ,max t , c,max c
M C 901 601 0.5 60kN m
M
bh3 0.12 0.183 x IZ 5.832105 m 4 12 12 90kN 180 60103 ( 30) 103 M y 2 K C K IZ 5.832105
x
（压应力） 61.7 106 P a 61.7MP a
第五章 弯曲应力
目录
第五章
弯曲应力
§5-1 纯弯曲 §5-2 纯弯曲时的正应力 §5-3 横力弯曲时的正应力 §5-4 弯曲切应力 §5-6 提高弯曲强度的措施
目录
§5-1 纯弯曲
回顾与比较 内力 应力
FN A
T IP
M
FS
目录
? ?
§5-1 纯弯曲
§5-3 横力弯曲时的正应力
q=60kN/m
180 120 B C
4. C 截面曲率半径ρ
30 z C 截面弯矩
A
x l = 3m
FBY
K
y
1m
FAY
M C 60kN m
C 截面惯性矩
FS 90kN
M x 90kN
I Z 5.832105 m4 1 M EI
3 36c工字钢 Wz 962cm
（5）讨论
q 71.34kg/m
目录
§5-3 横力弯曲时的正应力
试校核梁的强度。
例题5-4
T型截面铸铁梁，截面尺寸如图示。 t 30MPa, c 60MPa,
分析： 非对称截面，要寻找中性轴位置 作弯矩图，寻找需要校核的截面 要同时满足 t ,max t , c,max c
M C 901 601 0.5 60kN m
M
bh3 0.12 0.183 x IZ 5.832105 m 4 12 12 90kN 180 60103 ( 30) 103 M y 2 K C K IZ 5.832105
x
（压应力） 61.7 106 P a 61.7MP a
第五章 弯曲应力
目录
第五章
弯曲应力
§5-1 纯弯曲 §5-2 纯弯曲时的正应力 §5-3 横力弯曲时的正应力 §5-4 弯曲切应力 §5-6 提高弯曲强度的措施
目录
§5-1 纯弯曲
回顾与比较 内力 应力
FN A
T IP
M
FS
目录
? ?
§5-1 纯弯曲
材料力学第五章梁的剪力图与弯矩图
29
§5-3
剪力和弯矩及其方程
为了建立剪力方程和弯矩方程，必须首先 建立Oxy坐标系。其中O为坐标原点，x坐 标轴与梁的轴线一致，坐标原点O一般取 在梁的左端，x坐标轴的正方向自左向右， y坐标轴铅垂向上。
30
§5-3
剪力和弯矩及其方程
建立剪力方程和弯矩方程，需要根据梁上的外 力（包括载荷和约束力）作用状况，确定控制 面，从而确定要不要分段，以及分几段建立剪 力方程和弯矩方程。
FBy
F 0 M 0
y A
FAy FBy 2F
FSE O FAy ME
FBy
F 5F FAy 3 3
分析右段得到：
FBy
O
ME FSE
F
FBy
y
0
FSE FBy 0
M
o
0
3a M E FBy Fa 2
27
§5-3 剪力和弯矩及其方程
F FBy 3
3、平面弯曲（对称弯曲）：若梁上所有外力都作用在纵向对称面内，
梁变形后轴线形成的曲线也在该平面内的弯曲。
4、非对称弯曲：若梁不具有纵向对称面，或梁有纵向对称面上但外力
并不作用在纵向对称面内的弯曲。
13
工程实际中的弯曲问题简图
P
P P P
P P P
P
14
平面弯曲
•具有纵向对称面 •外力都作用在此面内 •弯曲变形后轴线变成对称面内的平面曲线
M M M
M
弯矩为正
弯矩为负
22
梁的控制面
集中力作用点两侧的截面
集中力偶作用点两侧的截面 集度相同的均布载荷起点和终点截面处
23
材料力学第五章
组合图形形心坐标计算公式为
xC
Sy A
n
x C
Ai
i 1
n
Ai
i 1
n
yC
Sx A
i 1 n
y C
Ai
Ai
i 1
第五章 平面图形的几何性质
270
30
y [例1] 已知：图形尺寸如图
Ⅱ
所示。
求：图形的形心。
50
C2
Ⅰ
C C1
yc
z
解：1、将图形分解为 简单图形的组合
第五章 平面图形的几何性质
静矩与形心坐标之间的关系
S y
zdA
A
S z
ydA
A
Sy AzC
Sz AyC
yC
Sz A
ydA
A
A
zC
Sy A
zdA
A
A
已知静矩可以确定图形的形心坐标 已知图形的形心坐标可以确定静矩
第五章 平面图形的几何性质
构件截面的图形往往是由矩形、圆形等简单图形 组成，称为组合图形。
xc
A
G
A At g
, yc
A
G
A At g
由于是均质等厚度，t、 、g为常量，故上式可改写为
xdA
ydA
xc
A
A
, yc
A
A
第五章 平面图形的几何性质
1. 静矩的定义
对 z 轴静矩 对 y 轴静矩
Sz
ydA
A
Sy
xC
Sy A
n
x C
Ai
i 1
n
Ai
i 1
n
yC
Sx A
i 1 n
y C
Ai
Ai
i 1
第五章 平面图形的几何性质
270
30
y [例1] 已知：图形尺寸如图
Ⅱ
所示。
求：图形的形心。
50
C2
Ⅰ
C C1
yc
z
解：1、将图形分解为 简单图形的组合
第五章 平面图形的几何性质
静矩与形心坐标之间的关系
S y
zdA
A
S z
ydA
A
Sy AzC
Sz AyC
yC
Sz A
ydA
A
A
zC
Sy A
zdA
A
A
已知静矩可以确定图形的形心坐标 已知图形的形心坐标可以确定静矩
第五章 平面图形的几何性质
构件截面的图形往往是由矩形、圆形等简单图形 组成，称为组合图形。
xc
A
G
A At g
, yc
A
G
A At g
由于是均质等厚度，t、 、g为常量，故上式可改写为
xdA
ydA
xc
A
A
, yc
A
A
第五章 平面图形的几何性质
1. 静矩的定义
对 z 轴静矩 对 y 轴静矩
Sz
ydA
A
Sy
材料力学第五章
思考：
FSC
q0 x q ( x) l
是否可以将梁上的分布荷载全部用静力等效后的 合力代替来求截面C的内力？
§5-3 剪力和弯矩
例题 解： 1. 确定支反力 Fy 0 FAy FBy 2 F
M
FAy 2. 用截面法研究内力 FSE ME FAy FBy
A
0
FBy 3a Fa 2 F a F 5F FBy FAy 3 3 F 5F F 0 F 2 F F y SE SE 3 3 a 5F 3a M 0 2 F M O E 2 3 2 3Fa ME 2
a
F
b
A
FAY
x1
C x2
l
B
FBY
例题5-3 图示简支梁C点受集中力作用。 试写出剪力和弯矩方程，并画 出剪力图和弯矩图。 解：1．确定约束力 M A＝0， M B＝0
FS
Fb / l
FAy＝Fb/l
FBy＝Fa/l
Fa / l
Fab / l
M
2．写出剪力和弯矩方程 ＝Fb / l 0 x1 a x AC FS x1 M x1 ＝Fbx1 / l 0 x1 a FS x2 ＝ Fa / l a x2 l CB M x2 ＝Fal x2 / l a x2 l
FCy
D
FBy 29kN
§5-2
受弯杆件的简化
q =20kN/m F MA Me=5kN· m C A B FAx D E K FBy FAy 1m 3m 1m 1m
AB梁
F F
0.5m
x y
0 0 0
FAx 0
FSC
q0 x q ( x) l
是否可以将梁上的分布荷载全部用静力等效后的 合力代替来求截面C的内力？
§5-3 剪力和弯矩
例题 解： 1. 确定支反力 Fy 0 FAy FBy 2 F
M
FAy 2. 用截面法研究内力 FSE ME FAy FBy
A
0
FBy 3a Fa 2 F a F 5F FBy FAy 3 3 F 5F F 0 F 2 F F y SE SE 3 3 a 5F 3a M 0 2 F M O E 2 3 2 3Fa ME 2
a
F
b
A
FAY
x1
C x2
l
B
FBY
例题5-3 图示简支梁C点受集中力作用。 试写出剪力和弯矩方程，并画 出剪力图和弯矩图。 解：1．确定约束力 M A＝0， M B＝0
FS
Fb / l
FAy＝Fb/l
FBy＝Fa/l
Fa / l
Fab / l
M
2．写出剪力和弯矩方程 ＝Fb / l 0 x1 a x AC FS x1 M x1 ＝Fbx1 / l 0 x1 a FS x2 ＝ Fa / l a x2 l CB M x2 ＝Fal x2 / l a x2 l
FCy
D
FBy 29kN
§5-2
受弯杆件的简化
q =20kN/m F MA Me=5kN· m C A B FAx D E K FBy FAy 1m 3m 1m 1m
AB梁
F F
0.5m
x y
0 0 0
FAx 0
材料力学-第五章
第九单元(2)第五章弯曲应力§5-2 引言以弯曲为主要变形的构件称为梁，如房屋的梁与火车的轮轴。
本章主要研究外力作用在同一平面，变形也在同一平面的梁。
实际上，这也是最常见的情况。
三种静定梁固定铰简支梁可动铰（链杆）固定端悬臂梁集中载荷分布载荷集中力偶外伸梁§5-2 剪应弯矩方程与剪应力弯矩图一、剪力与弯矩研究梁的内力，仍使用截面法，由取出段的平衡，可知除了存在剪力，还存在弯矩。
Q，M“+”符号：使保留段顺时针转使保留段内凹Q，M“-”符号：二、剪力弯矩方程与剪力弯矩图剪力、弯矩与坐标X间的解析关系式，即()()==Q Q x M M x称为剪力方程与弯矩方程。
表示剪力与弯矩沿梁轴变化的另一重要方法为图示法，图示曲线称为剪力、弯矩图。
例1：1.求支反力M R PB A ==-∑04M R P A B ==∑054M y =∑0校核(为保证正确, 要求校核)2.建立Q ，M 方程(截面法)AB 段：()Q R Px a A 11404==-<<()M R x Px x a A 11111404==-≤≤BC 段：()Q P x a 220=<<()M Px x a 2220=-≤≤ 也可以只建一个坐标系， BC 段：()Q P a x a 2145=<<()()M P a x a x a 211545=--≤≤3．画图Q 图 M 图 例2：(分布截荷，注意力系简化条件) 1.支反力R qaR qa A B ==43832. Q ，M 方程AB ：()Q R qx qa qx x a A 11114303=-=-<<()M R x qx qax qxx a A 1112112112431203=-=-≤≤BC ：()Q qx x a 2220=≤<()M qx x a 2222120=-≤≤3.画Q ，M 图第10单元刚架：由刚性接头连接杆件所组成的结构。
材料力学第五章扭转应力
航空航天工业对材料的要求极高，需要具备轻质、高强度和良好的抗扭性能。工 程师需要根据材料的力学性能进行优化设计，确保航空航天器的安全性和稳定性 。
建筑工业中的应用
建筑结构中的梁、柱等构件在承受扭矩时会产生扭转应力。
在建筑设计过程中，工程师需要考虑材料的抗扭性能，合理 设计梁、柱等构件的截面尺寸和连接方式，以确保建筑结构 的稳定性和安全性。
学习有限元分析方法，掌 握如何利用计算机软件进 行结构分析，提高解决实 际问题的能力。
ABCD
结合实际工程问题，分析 不同材料的抗扭性能，以 及如何优化设计以提高结 构的稳定性。
关注相关领域的最新研究 进展，了解材料力学在工 程实践和科学研究中的应 用。
THANKS
感谢观看
扭转应力的计算公式
计算公式
扭转应力的大小可以通过以下公式计算：$tau = frac{T}{A}$，其中$tau$是扭转应 力，$T$是扭矩，$A$是物体的截面面积。
截面面积
截面面积是指物体横截面的面积，通常用于计算物体在扭矩作用下的扭转应力。
扭转应力的单位和符号
单位
扭转应力的单位是帕斯卡（Pa），在国际单位制中，1Pa=1N/m²。
弹性模量
弹性模量是材料在弹性变形范围内，抵抗外力作用的能力， 它反映了材料的刚度。对于同一材料，弹性模量越大，抵抗 扭转变形的能力越强，因此，弹性模量越大，扭转应力也越 大。
总结
在材料力学中，弹性模量是影响材料扭转应力的关键因素之 一。高弹性模量的材料具有较高的抵抗扭转变形的能力，因 此会产生较大的扭转应力。
剪切模量对扭转应力的影响
剪切模量
剪切模量是指在剪切应力作用下，材料抵抗剪切变形的刚度。剪切模量的大小与材料的剪切应力成正比，即剪切 模量越大，材料抵抗剪切变形的能力越强，因此，扭转应力也越大。
建筑工业中的应用
建筑结构中的梁、柱等构件在承受扭矩时会产生扭转应力。
在建筑设计过程中，工程师需要考虑材料的抗扭性能，合理 设计梁、柱等构件的截面尺寸和连接方式，以确保建筑结构 的稳定性和安全性。
学习有限元分析方法，掌 握如何利用计算机软件进 行结构分析，提高解决实 际问题的能力。
ABCD
结合实际工程问题，分析 不同材料的抗扭性能，以 及如何优化设计以提高结 构的稳定性。
关注相关领域的最新研究 进展，了解材料力学在工 程实践和科学研究中的应 用。
THANKS
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扭转应力的计算公式
计算公式
扭转应力的大小可以通过以下公式计算：$tau = frac{T}{A}$，其中$tau$是扭转应 力，$T$是扭矩，$A$是物体的截面面积。
截面面积
截面面积是指物体横截面的面积，通常用于计算物体在扭矩作用下的扭转应力。
扭转应力的单位和符号
单位
扭转应力的单位是帕斯卡（Pa），在国际单位制中，1Pa=1N/m²。
弹性模量
弹性模量是材料在弹性变形范围内，抵抗外力作用的能力， 它反映了材料的刚度。对于同一材料，弹性模量越大，抵抗 扭转变形的能力越强，因此，弹性模量越大，扭转应力也越 大。
总结
在材料力学中，弹性模量是影响材料扭转应力的关键因素之 一。高弹性模量的材料具有较高的抵抗扭转变形的能力，因 此会产生较大的扭转应力。
剪切模量对扭转应力的影响
剪切模量
剪切模量是指在剪切应力作用下，材料抵抗剪切变形的刚度。剪切模量的大小与材料的剪切应力成正比，即剪切 模量越大，材料抵抗剪切变形的能力越强，因此，扭转应力也越大。
材料力学I第五章ppt课件
而对各段梁的近似微分方程积分时，都将出现两个积 分常数。要确定这些积分常数，除利用支座处的约束条件 (constraint condition)外，还需利用相邻两段梁在交界处的 连续条件(continuity condition)。这两类条件统称为边界条 件。
11
第五章 梁弯曲时的位移
例题5-1 试求图示等直梁的挠曲线方程和转角方程，
6
第五章 梁弯曲时的位移
从几何方面来看，平面曲线的曲率可写作
1
x
1
w w2
3/ 2
1/为非负值的量，而w“是q = w' 沿
x方向的变化率，是有正负的。
w
1 w2
3/ 2
M x
EI
由于梁的挠曲线为一平坦的曲线，上式中的w2与1相比可略
去，于是得挠曲线近似微分方程 w M x
7
EI
第五章 梁弯曲时的位移
第五章 梁弯曲时的位移
§5-1 梁的位移——挠度和转角
梁的横截面形心(即轴线AB上的点)在垂直于x轴方向的 线位移w称为挠度(deflection)，横截面对其原来位置的角
位移q 称为横截面的转角(angle of rotation)。
1
第五章 梁弯曲时的位移
挠曲线(deflection curve)为一平坦而光滑的曲线，它 可以表达为: w=f(x)，此式称为挠曲线方程。
由于梁变形后的横截面仍与挠曲线保持垂直，故横截面 的转角θ也就是挠曲线在该相应点的切线与x轴之间的夹角， 从而有转角方程：
q tanq w f x
2
第五章 梁弯曲时的位移
(a)
(b)
直梁弯曲时的挠度和转角这两个位移不但与梁的弯曲
变形程度(挠曲线曲率的大小)有关，也与支座约束的条件
11
第五章 梁弯曲时的位移
例题5-1 试求图示等直梁的挠曲线方程和转角方程，
6
第五章 梁弯曲时的位移
从几何方面来看，平面曲线的曲率可写作
1
x
1
w w2
3/ 2
1/为非负值的量，而w“是q = w' 沿
x方向的变化率，是有正负的。
w
1 w2
3/ 2
M x
EI
由于梁的挠曲线为一平坦的曲线，上式中的w2与1相比可略
去，于是得挠曲线近似微分方程 w M x
7
EI
第五章 梁弯曲时的位移
第五章 梁弯曲时的位移
§5-1 梁的位移——挠度和转角
梁的横截面形心(即轴线AB上的点)在垂直于x轴方向的 线位移w称为挠度(deflection)，横截面对其原来位置的角
位移q 称为横截面的转角(angle of rotation)。
1
第五章 梁弯曲时的位移
挠曲线(deflection curve)为一平坦而光滑的曲线，它 可以表达为: w=f(x)，此式称为挠曲线方程。
由于梁变形后的横截面仍与挠曲线保持垂直，故横截面 的转角θ也就是挠曲线在该相应点的切线与x轴之间的夹角， 从而有转角方程：
q tanq w f x
2
第五章 梁弯曲时的位移
(a)
(b)
直梁弯曲时的挠度和转角这两个位移不但与梁的弯曲
变形程度(挠曲线曲率的大小)有关，也与支座约束的条件
材料力学第五章
t矩
Fs 2Iz
( h2 4
y2)
t max
Fs h 2 8Iz
3 2
Fs bh
1.5t
t大小：沿截面宽度均匀分布，沿截面高度为抛物线分布。 t方向：与横截面上剪力方向相同；
二、工字形截面梁
腹板上切应力：t Fs Sz
b0
b0 I z [P151 式 (5.10)]
yz
其中Fs为截面剪力；Sz为y点以下的面积对中性轴之静矩；
横力弯曲最大正应力
s max
M max ymax IZ
8
5-3 横力弯曲时的正应力
第5章 弯曲应力
一、横力弯曲的最大正应力：
s max
Mmaxymax Iz
引入：W—抗弯截面系数 W I z
y
ymax
圆形 —W
Iz
d 4 / 64 d 3
ymax d / 2 32
矩形 — W Iz bh3 / 12 bh2
ymax h/ 2
6
s max
M max W
5-3 横力弯曲时的正应力
第5章 弯曲应力
弯曲正应力公式适用范围：
① 线弹性范围—正应力小于比例极限sp； ② 精确适用于纯弯曲梁； ③ 对于横力弯曲的细长梁(跨度与截面高度比L/h>5) ，上述公式的误差不大。
10
5-3 横力弯曲时的正应力
第5章 弯曲应力
A
Fs
qL
2+
L=3m
M
qL2
8
+
第5章 弯曲应力
[例] 矩形(bh=0.12m0.18m）截
面木梁如图，Байду номын сангаасs]=7MPa，[t]=0. 9
材料力学第五章
FS FS (x) M M (x) 上两式分别称为梁的剪力方程和弯矩方程，为了形象地描述剪力、弯矩 沿梁轴线的变化，常将剪力、弯矩方程用图线表示。这种图线分别称为剪力 图和弯矩图。
例5-2 求图5-9所示简支梁各截面内力，并作内力图。 （a）
（c） （d）
（b）
图5-9
（e）
解 （1）求约束力。注意固定铰 A 处 FAx 0 ，故梁 AB 受力如图 5-9（a） 所示。
材料力学
第五章 弯曲内力与强度计算
一 平面弯曲的概念与实例
二 梁的内力——剪力与弯矩
三
剪力图与弯矩图
四
载荷集度、剪力与弯矩间的关系
五
纯弯曲时梁横截面上的正应力
六
梁的弯曲正应力强度条件及其应用
七
弯曲切应力
八
提高梁的弯曲强度的措施
第一节 平面弯曲的概念与实例
直杆在垂直于其轴线的外力或位于其轴线所在平面内的外力偶作用下， 杆的轴线将由直线变成曲线，这种变形称为弯曲。承受弯曲变形为主的杆 件通常称为梁。
（a）
（b） （c）
图5-12
解 （1）由静力平衡方程求出支座约束力。
FA
Me L
（方向向上）
FB
Me L
（方向向下）
（2）列剪力方程和弯矩方程。
FS ( x)
FA
Me L
(0 x L)
（a）
由于力偶在任何方向的投影皆等于零，所以无论在梁的哪一个横截面上，
剪力总是等于支座约束力 FA （或 FB ）。所以在梁的整个跨度内，只有一个剪 力方程式（a）。
设 a x2 a b ，左段受力如图 5-9（c）所示。 由平衡方程求得
FS2 FAy F 0
例5-2 求图5-9所示简支梁各截面内力，并作内力图。 （a）
（c） （d）
（b）
图5-9
（e）
解 （1）求约束力。注意固定铰 A 处 FAx 0 ，故梁 AB 受力如图 5-9（a） 所示。
材料力学
第五章 弯曲内力与强度计算
一 平面弯曲的概念与实例
二 梁的内力——剪力与弯矩
三
剪力图与弯矩图
四
载荷集度、剪力与弯矩间的关系
五
纯弯曲时梁横截面上的正应力
六
梁的弯曲正应力强度条件及其应用
七
弯曲切应力
八
提高梁的弯曲强度的措施
第一节 平面弯曲的概念与实例
直杆在垂直于其轴线的外力或位于其轴线所在平面内的外力偶作用下， 杆的轴线将由直线变成曲线，这种变形称为弯曲。承受弯曲变形为主的杆 件通常称为梁。
（a）
（b） （c）
图5-12
解 （1）由静力平衡方程求出支座约束力。
FA
Me L
（方向向上）
FB
Me L
（方向向下）
（2）列剪力方程和弯矩方程。
FS ( x)
FA
Me L
(0 x L)
（a）
由于力偶在任何方向的投影皆等于零，所以无论在梁的哪一个横截面上，
剪力总是等于支座约束力 FA （或 FB ）。所以在梁的整个跨度内，只有一个剪 力方程式（a）。
设 a x2 a b ，左段受力如图 5-9（c）所示。 由平衡方程求得
FS2 FAy F 0
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材料力学
Mechanics of Materials 编制：邹思敏 审定：袁海庆
配套教材： 武汉理工大学出版社《材料力学》第三版
（主编 袁海庆）
5
弯曲内力
编制：邹思敏 审定：袁海庆
配套教材： 武汉理工大学出版社《材料力学》第三版 （主编 袁海庆）
5
弯曲内力
5.1 梁的平面弯曲 梁的计算简图 5.2 梁的内力 剪力和弯矩 5.3 剪力方程与弯矩方程 剪力图与弯矩图 5.4 内力与分布荷载间的关系及其应用 5.5 用区段叠加法作梁的弯矩图
y
A
m
n
x B q(x)
x
m n
dx
M(x)+dM(x)
q( x)dx dFQ ( x)
M ( x)
O1
dFQ x q x dx
FQ(x) dx
FQ(x)+dFQ(x) q(x)
5.4.1 剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系
对n-n截面形心O1取矩，有
y
A
m
n
m
O1
0 ,
x B q(x)
FQ
二、弯曲内力的正负号规定: 剪力FQ :
FQ dl
+
FQ FQ
－
FQ
以使脱离体有顺时针旋转趋势为正
二、弯曲内力的正负号规定:
弯矩M：
+
M M
－
M
M
以使梁下部纤维受拉为正 为了与后续课程结构力学取得一致，规定弯矩 图要画在梁纤维受拉的一面，可以不标正负号。
例5.1 求简支梁C,B截面的内力。
M 直线 (一般为斜直线) 图 特 征
Me
C
利用以上特征
1. 可以校核已作出的剪力图和弯矩图是否正确。
2. 利用微分关系确定弯矩出现极值的截面，计算最大最小值。
3. 可以利用微分关系直接绘制剪力图和弯矩图，步骤如下：
（1） 求支座反力；
（2）分段确定剪力图和弯矩图的形状；
（3）计算控制截面内力值，根据微分关系绘剪力图和弯矩图； （4）确定 和 FQ
FQ FAV
F (l a ) l
F (l a ) x l
FBY
M FAV x
一、弯曲内力的确定（截面法）：
梁横截面的内力： 1. 弯矩：M 梁受弯时，在与横截面垂直 的竖向平面内所存在的内力偶矩 （弯矩）。 2. 剪力： FQ 梁受弯时，横截面上所存在 平行于截面的内力（剪力）。 M C FBY A a FAV l x m m FBV F F B
y
A
m
n
x B q(x)
x
m n
dx
M(x)+dM(x)
O1
FQ(x) +d FQ(x)
考虑微段的平衡：
FQ(x) dx
FQ(x)+dFQ(x) q(x)
5.4.1 剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系
Y 0
FQ ( x) q( x)dx FQ ( x) dFQ ( x) 0
一、弯曲内力的确定（截面法）：
根据截面法，图中梁上距A端 x A a FAV l m m FBV F F B
x 处m-m截面上内力求解：
1.求支座反力 Fa F (l a ) FBV , FAV l l 2.求m-m截面内力
FQ
M C
以m - m 截面的右段为研究对象，
也将得到同样的结果。
例5.5 图示简支梁在C点受矩为M的集中力偶作用。试作梁的 剪力图和弯矩图。 M
A
FAV
a
0
b
C
B
FBV
l
FAV M0 l
解: (1)求支反力
M B 0
剪力方程无需分段： 弯矩方程——两段：
FB
M0 l
(2) 列剪力方程和弯矩方程
Q x FAV M0 l
F
3
B
1m 1m
FA
6
+ 1 FQ (kN)
FB
MC FA 1 6kN m
M D FA 2 FP 1 7kN m
1 M E FB 2 q 1 6.75kN m 2
6 7
－
4
M (kN· m) 6.75 4
根据微分关系可作出弯矩图
思考：最大弯矩出现在什么位置？如何求出？
0 x l
M0 M x x
M x
AC 段： CB 段：
0 x a
a x l
M x FAV x
M x FAV x M 0
l
M0 l x l
例5.5 图示简支梁在C点受矩为M的集中力偶作用。试作梁的 剪力图和弯矩图。 m
解：(1)求支反力
(2)列剪力方程和弯矩方程 ——需分两段列出
AC段 0 x a
Fb FQ x l
CB 段
a x l
Fa FQ x l
FQ x VB
Fb M x x l
M x VB (l x )
Fa l x M x l
弯矩图上某点处的切线斜率等 于该点处剪力的大小。
5.4.2. 几种常见荷载下梁的剪力图与弯矩图的特征
无外力段 外 力 均布载荷段 集中力 集中力偶
q=0
FQ 图 特 征 + x FQ > 0
－
F q>0
斜直线
Me C C
无变化
q<0
水平直线
自左向右突变
x －
+
x
+
C
－
x
C
FQ <0 曲线 在C截面有折角 在C截面有突变
x
m n
dx
M(x)+dM(x)
M ( x)
O1
FQ(x) dx
FQ(x)+dFQ(x) q(x)
q、FQ和M三者的微分关系:
dFQ x q x dx
dM ( x ) FQ ( x ) dx
dM 2 ( x) q( x) 2 dx
剪力图上某点处的切线斜率等 于该截面处分布荷载值（以向 上为正）。
2.根据内力方程画剪力图 和弯矩图。 注意：M图画在梁纤维受拉的 一面,可以不标正负号。
－
FQ x －qx
0 x l
x
ql
ql2 2 x
例5.4 图示简支梁受集中荷载F作用。试作梁的剪力图和弯 矩图。 F b a
A FAV
x
C l
FAV Fb l
FBV Fa l
B FBV
A
FAV
a
b
C
B
FBV
l
m l
解: (3)画内力图
FQ
mb l ma l
M
5.4 内力与分布荷载间的关系 及应用
5.4.1 剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系
在梁中取出一长度为 dx 的微段， 其受力情况分析如下： 荷载：q(x) 左截面上的内力（对于微段已 是外力）：M(x), FQ(x) 右截面上的内力（对于微段已 是外力）：M(x)+dM(x), M ( x)
根据简化方法，用1-1截面右边外力来求该截面弯矩：
M E 1kN 1m 1kN m
5.3 剪力方程与弯矩方程 剪力图与弯矩图
反映梁的横截面上的剪力和弯矩随截面位置变化的函数 式分别称为剪力方程和弯矩方程，即 剪力方程 弯矩方程
FQ FQ ( x)
M M ( x)
显示剪力和弯矩随截面位移的变化规律的图形则分别称为
剪力图和弯矩图。
例5.3 图示悬臂梁受集度为 q 的满布均布荷载作用。试作梁 的剪力图和弯矩图。 q
解：1. 列剪力方程和弯矩方程。 以B端为原点，用距原点任意位 置左面以右外力写出内力表达式：
A
x
l
B
FQ
M x －qx
x qx － 2 2
2
0 x l
M
l/2 ql2 8
5.1.1
梁的平面弯曲概念
工程中常见的梁，通常具
有对称的截面，且荷载均作 用在梁的纵向对称平面内， 均发生平面弯曲。
5.1.2 梁的计算简图
构件的简化 支座的简化 荷载的简化 计算简图
5.1.2 梁的计算简图
常见支座：
固定铰支座 （铰链） 可动铰支座 （支杆） 固定支座
5.1.2 梁的计算简图 常见的简单梁：
max
。
M
max
例5.6 求作梁的内力图。 解：1、支反力
FA 6kN; FB 4kN
FP=2kN1源自2q=2.5kN/m
3
A
C 2D 1
1m 1m
1m
E
F
3
B
1m 1m
2、作剪力图 由微分关系可知，AC、CD、FB段 分别为水平直线，DF段为斜直线
FQ11 FA 6kN FQ22 FA 5 1kN
三、确定梁的内力的简化方法 可以总结出梁的内力与外力一般关系，得到确定
梁内力的简化方法如下：
(1) 梁截面上剪力在数值上等于该截面以左（或以右）所
有外力在正交于梁轴方向上投影的代数和，截面以左向上
（或以右向下）的外力在该截面上引起正剪力，反之引起 负剪力。 (2) 梁截面上弯矩在数值上等于该截面以左（或以右）所 有外力对截面形心力矩的代数和，向上的外力在该截面上 引起正弯矩，反之引起负弯矩。
5.1 梁的平面弯曲 梁的计算简图
梁
常见的梁的弯曲现象：
以弯曲变形为主的构件称为梁
Mechanics of Materials 编制：邹思敏 审定：袁海庆
配套教材： 武汉理工大学出版社《材料力学》第三版
（主编 袁海庆）
5
弯曲内力
编制：邹思敏 审定：袁海庆
配套教材： 武汉理工大学出版社《材料力学》第三版 （主编 袁海庆）
5
弯曲内力
5.1 梁的平面弯曲 梁的计算简图 5.2 梁的内力 剪力和弯矩 5.3 剪力方程与弯矩方程 剪力图与弯矩图 5.4 内力与分布荷载间的关系及其应用 5.5 用区段叠加法作梁的弯矩图
y
A
m
n
x B q(x)
x
m n
dx
M(x)+dM(x)
q( x)dx dFQ ( x)
M ( x)
O1
dFQ x q x dx
FQ(x) dx
FQ(x)+dFQ(x) q(x)
5.4.1 剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系
对n-n截面形心O1取矩，有
y
A
m
n
m
O1
0 ,
x B q(x)
FQ
二、弯曲内力的正负号规定: 剪力FQ :
FQ dl
+
FQ FQ
－
FQ
以使脱离体有顺时针旋转趋势为正
二、弯曲内力的正负号规定:
弯矩M：
+
M M
－
M
M
以使梁下部纤维受拉为正 为了与后续课程结构力学取得一致，规定弯矩 图要画在梁纤维受拉的一面，可以不标正负号。
例5.1 求简支梁C,B截面的内力。
M 直线 (一般为斜直线) 图 特 征
Me
C
利用以上特征
1. 可以校核已作出的剪力图和弯矩图是否正确。
2. 利用微分关系确定弯矩出现极值的截面，计算最大最小值。
3. 可以利用微分关系直接绘制剪力图和弯矩图，步骤如下：
（1） 求支座反力；
（2）分段确定剪力图和弯矩图的形状；
（3）计算控制截面内力值，根据微分关系绘剪力图和弯矩图； （4）确定 和 FQ
FQ FAV
F (l a ) l
F (l a ) x l
FBY
M FAV x
一、弯曲内力的确定（截面法）：
梁横截面的内力： 1. 弯矩：M 梁受弯时，在与横截面垂直 的竖向平面内所存在的内力偶矩 （弯矩）。 2. 剪力： FQ 梁受弯时，横截面上所存在 平行于截面的内力（剪力）。 M C FBY A a FAV l x m m FBV F F B
y
A
m
n
x B q(x)
x
m n
dx
M(x)+dM(x)
O1
FQ(x) +d FQ(x)
考虑微段的平衡：
FQ(x) dx
FQ(x)+dFQ(x) q(x)
5.4.1 剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系
Y 0
FQ ( x) q( x)dx FQ ( x) dFQ ( x) 0
一、弯曲内力的确定（截面法）：
根据截面法，图中梁上距A端 x A a FAV l m m FBV F F B
x 处m-m截面上内力求解：
1.求支座反力 Fa F (l a ) FBV , FAV l l 2.求m-m截面内力
FQ
M C
以m - m 截面的右段为研究对象，
也将得到同样的结果。
例5.5 图示简支梁在C点受矩为M的集中力偶作用。试作梁的 剪力图和弯矩图。 M
A
FAV
a
0
b
C
B
FBV
l
FAV M0 l
解: (1)求支反力
M B 0
剪力方程无需分段： 弯矩方程——两段：
FB
M0 l
(2) 列剪力方程和弯矩方程
Q x FAV M0 l
F
3
B
1m 1m
FA
6
+ 1 FQ (kN)
FB
MC FA 1 6kN m
M D FA 2 FP 1 7kN m
1 M E FB 2 q 1 6.75kN m 2
6 7
－
4
M (kN· m) 6.75 4
根据微分关系可作出弯矩图
思考：最大弯矩出现在什么位置？如何求出？
0 x l
M0 M x x
M x
AC 段： CB 段：
0 x a
a x l
M x FAV x
M x FAV x M 0
l
M0 l x l
例5.5 图示简支梁在C点受矩为M的集中力偶作用。试作梁的 剪力图和弯矩图。 m
解：(1)求支反力
(2)列剪力方程和弯矩方程 ——需分两段列出
AC段 0 x a
Fb FQ x l
CB 段
a x l
Fa FQ x l
FQ x VB
Fb M x x l
M x VB (l x )
Fa l x M x l
弯矩图上某点处的切线斜率等 于该点处剪力的大小。
5.4.2. 几种常见荷载下梁的剪力图与弯矩图的特征
无外力段 外 力 均布载荷段 集中力 集中力偶
q=0
FQ 图 特 征 + x FQ > 0
－
F q>0
斜直线
Me C C
无变化
q<0
水平直线
自左向右突变
x －
+
x
+
C
－
x
C
FQ <0 曲线 在C截面有折角 在C截面有突变
x
m n
dx
M(x)+dM(x)
M ( x)
O1
FQ(x) dx
FQ(x)+dFQ(x) q(x)
q、FQ和M三者的微分关系:
dFQ x q x dx
dM ( x ) FQ ( x ) dx
dM 2 ( x) q( x) 2 dx
剪力图上某点处的切线斜率等 于该截面处分布荷载值（以向 上为正）。
2.根据内力方程画剪力图 和弯矩图。 注意：M图画在梁纤维受拉的 一面,可以不标正负号。
－
FQ x －qx
0 x l
x
ql
ql2 2 x
例5.4 图示简支梁受集中荷载F作用。试作梁的剪力图和弯 矩图。 F b a
A FAV
x
C l
FAV Fb l
FBV Fa l
B FBV
A
FAV
a
b
C
B
FBV
l
m l
解: (3)画内力图
FQ
mb l ma l
M
5.4 内力与分布荷载间的关系 及应用
5.4.1 剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系
在梁中取出一长度为 dx 的微段， 其受力情况分析如下： 荷载：q(x) 左截面上的内力（对于微段已 是外力）：M(x), FQ(x) 右截面上的内力（对于微段已 是外力）：M(x)+dM(x), M ( x)
根据简化方法，用1-1截面右边外力来求该截面弯矩：
M E 1kN 1m 1kN m
5.3 剪力方程与弯矩方程 剪力图与弯矩图
反映梁的横截面上的剪力和弯矩随截面位置变化的函数 式分别称为剪力方程和弯矩方程，即 剪力方程 弯矩方程
FQ FQ ( x)
M M ( x)
显示剪力和弯矩随截面位移的变化规律的图形则分别称为
剪力图和弯矩图。
例5.3 图示悬臂梁受集度为 q 的满布均布荷载作用。试作梁 的剪力图和弯矩图。 q
解：1. 列剪力方程和弯矩方程。 以B端为原点，用距原点任意位 置左面以右外力写出内力表达式：
A
x
l
B
FQ
M x －qx
x qx － 2 2
2
0 x l
M
l/2 ql2 8
5.1.1
梁的平面弯曲概念
工程中常见的梁，通常具
有对称的截面，且荷载均作 用在梁的纵向对称平面内， 均发生平面弯曲。
5.1.2 梁的计算简图
构件的简化 支座的简化 荷载的简化 计算简图
5.1.2 梁的计算简图
常见支座：
固定铰支座 （铰链） 可动铰支座 （支杆） 固定支座
5.1.2 梁的计算简图 常见的简单梁：
max
。
M
max
例5.6 求作梁的内力图。 解：1、支反力
FA 6kN; FB 4kN
FP=2kN1源自2q=2.5kN/m
3
A
C 2D 1
1m 1m
1m
E
F
3
B
1m 1m
2、作剪力图 由微分关系可知，AC、CD、FB段 分别为水平直线，DF段为斜直线
FQ11 FA 6kN FQ22 FA 5 1kN
三、确定梁的内力的简化方法 可以总结出梁的内力与外力一般关系，得到确定
梁内力的简化方法如下：
(1) 梁截面上剪力在数值上等于该截面以左（或以右）所
有外力在正交于梁轴方向上投影的代数和，截面以左向上
（或以右向下）的外力在该截面上引起正剪力，反之引起 负剪力。 (2) 梁截面上弯矩在数值上等于该截面以左（或以右）所 有外力对截面形心力矩的代数和，向上的外力在该截面上 引起正弯矩，反之引起负弯矩。
5.1 梁的平面弯曲 梁的计算简图
梁
常见的梁的弯曲现象：
以弯曲变形为主的构件称为梁