刚体的定轴转动

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第三章 刚体的定轴转动

教学要求

一．理解定轴转动刚体运动的角速度和角加速度的概念，理解角量与线量的关系。 二．理解刚体定轴转动定律，能解简单的定轴转动问题。 三．了解力矩的功和转动动能的概念。

四．了解刚体对定轴的角动量定理及角动量守恒定律。

五．理解转动惯量的概念，能用平行轴定理和转动惯量的可加性计算刚体对定轴的转动惯量。

基本内容

本章的重点是刚体定轴转动的力矩、转动惯量、角动量等物理量的概念和转动定律，难点是刚体绕定轴转动的角动量守恒定律及其应用。

一．角量与线量的关系

2

ωαω

θ

r a r a r v r s ====n t

二．描述刚体定轴转动的物理量和运动规律与描述质点直线运动的物理量和运动规律有类比关系，有关的数学方程完全相同, 为便于比较和记忆，列表如下。只要将我们熟习的质点直线运动的公式中的x 、v 、a 和m 、F 换成θ、ω、α和I 、M , 就成为刚体定轴转动的公式。

表3—1

质点的直线运动 刚体定轴转动

位置 x 角位置 θ 位移 x ∆ 角位移 θ∆ 速度 t x v d d =

角速度 t

d

d θω=

加速度 2

2d d d d t

x

t v a == 角加速度 2t t d d d d 2θωα== 匀速直线运动 vt x x +=0 匀角速转动 t 0ωθθ+= 20021at t v x x +

+= 2002

1

t t++ =αωθθ ()02022x x a v v -=- ()02

02 2 θθαωω-=-

质量 m 转动惯量 i

i

m r I ∆=∑2

力 F 力矩

r F M θ=

牛顿第二定律 ma F = 定轴转动定律 αI M = 力的功 ⎰

=

x

x x F A 0

d 力矩的功 ⎰=θ

θθ0

d M A

动能 221mv E =k 动能 k 22

1

ωI E = 动能定理

2

02210

mv mv x F x

x 2

1d -=⎰ 动能定理 2

022

121d ωωθθ

θ

I I M -=

⎰20

冲量

⎰

t

t t F 0

d 冲量矩

⎰

t

t t M 0

d

动量 mv 角动量( 动量矩 ) ωI 动量定理

00

mv mv t F t t -=⎰

d 角动量定理

⎰

-=t

t I I t M 0

0d ωω

系统的机械能守恒定律 系统的机械能守恒定律

若0=+非保内外A A ,则 若0=+非保内外A A ,则

=+p k E E 常量 =+p k E E 常量

系统的动量守恒定律 系统的角动量守恒定律 若

0=∑外

F

,则 若0=∑外M ,则 =∑i

i v

m 常量

=∑i

L

常量

三．对于质点、刚体组成的系统，动能定理仍然适用，系统的动能包括系统内

所有质点的平动动能和刚体的转动动能。当系统内力只有保守力作功，其外力和非保守内力作的总功为零，则整个系统机械能守恒。

问题讨论

一．一长为l 、质量为m 的匀直细棒一端固定，可在竖直平面内转动，最初棒静止在水平位置，问放手后它下摆到竖直位置时的角速度。

有人这样解：放手后杆受重力矩2

l

mg M =， 细杆绕点O 的水平轴转动的转动惯量为23

1ml I =， 由转动定律αI M =，解得l g 23=

α；又根据θαωω∆=-22

02，00=ω，2

πθ=∆得l

g

23πω=

。这种解法对吗？为什么？ 讨论：

上述计算方法是错误的! 其根源在于忽视了转动定律的瞬时性。 刚放手时重力矩2l

mg

M =，角加速度l

g 23=α，但随着杆的转动，重力矩越来越小，在θ处，为θcos l mg M 2

1=；角加速度也随之减小，在θ处，为θαcos l

g

23=

。到竖直位置，0=M ，0=α。也就是说，在杆转动过程中，角加速度是变量，杆的摆动是变加速运动，不可用匀变速转动的公式θαωω∆=-22

02

。

此题的解法有多种，我们介绍两种从功和能的角度求解的方法。 解法一：用动能定理

杆摆到任一θ角时，其所受的重力矩为

θcos 2

l

mg M =

杆从水平位置转到竖直位置时，重力对杆所作的功为

2

22

l mg l mg M A A ====⎰

⎰⎰θθθπd cos d d

由刚体的动能定理k E A ∆=

2022

1212ωωI I l mg -=

式中00=ω，23

1ml I = 解得

l

g

I mgl 3==

ω 解法二： 用机械能守恒求解

取杆和地球为系统，除重力外无其它力作功，机械能守恒。取竖直位置时杆的质心位置为重力势能零点，有

)(2

00212l

mg I --=-ω 式中

23

1

ml I =

解得

l

g

I mgl 3==

ω 二．如图，一质量为m '的黏土块以水平速度0v 甩向长为l 质量为m 的杆的末端，并粘在杆端。求系统获得的角速度。

有人这样解：取黏土块与杆为系统，碰撞中水平方向动量守恒，有v m m v m )(+'='0，解得)

(m m v m v +''=

，

l

m m v m l v )(+''==

0ω。这样解对吗？为什么？

讨论：

上述计算方法是错误的! 其根源在于没有认真分析

守恒定律成立的条件。

在黏土块甩在杆上瞬时，杆的上端受到一个很大的力，这个力对黏土块与杆组成的系统而言是外力，其水平分量亦不可忽略，故水平方向动量不守恒。但这个力通过转轴，其力矩为零，且系统的重力矩也为零，即系统的合外力矩为零，角动量守恒。

黏土块开始与杆碰撞的瞬时，系统的角动量仅为黏土块对转轴的角动量，其2

l m I '=，

l

v 0

0=

ω， l v m L 00'=