刚体的定轴转动

《物理学》多媒体学习辅导系统第三章 刚体的定轴转动教学要求一．理解定轴转动刚体运动的角速度和角加速度的概念，理解角量与线量的关系。

二．理解刚体定轴转动定律，能解简单的定轴转动问题。

三．了解力矩的功和转动动能的概念。

四．了解刚体对定轴的角动量定理及角动量守恒定律。

五．理解转动惯量的概念，能用平行轴定理和转动惯量的可加性计算刚体对定轴的转动惯量。

基本内容本章的重点是刚体定轴转动的力矩、转动惯量、角动量等物理量的概念和转动定律，难点是刚体绕定轴转动的角动量守恒定律及其应用。

一．角量与线量的关系2ωαωθr a r a r v r s ====n t二．描述刚体定轴转动的物理量和运动规律与描述质点直线运动的物理量和运动规律有类比关系，有关的数学方程完全相同, 为便于比较和记忆，列表如下。

只要将我们熟习的质点直线运动的公式中的x 、v 、a 和m 、F 换成θ、ω、α和I 、M , 就成为刚体定轴转动的公式。

表3—1质点的直线运动 刚体定轴转动位置 x 角位置 θ 位移 x ∆ 角位移 θ∆ 速度 t x v d d =角速度 tdd θω=加速度 22d d d d txt v a == 角加速度 2t t d d d d 2θωα== 匀速直线运动 vt x x +=0 匀角速转动 t 0ωθθ+= 20021at t v x x ++= 20021t t++ =αωθθ ()02022x x a v v -=- ()0202 2 θθαωω-=-质量 m 转动惯量 iim r I ∆=∑2力 F 力矩r F M θ=牛顿第二定律 ma F = 定轴转动定律 αI M = 力的功 ⎰=xx x F A 0d 力矩的功 ⎰=θθθ0d M A动能 221mv E =k 动能 k 221ωI E = 动能定理202210mv mv x F xx 21d -=⎰ 动能定理 2022121d ωωθθθI I M -=⎰20冲量⎰tt t F 0d 冲量矩⎰tt t M 0d动量 mv 角动量( 动量矩 ) ωI 动量定理00mv mv t F t t -=⎰d 角动量定理⎰-=tt I I t M 00d ωω系统的机械能守恒定律 系统的机械能守恒定律若0=+非保内外A A ,则 若0=+非保内外A A ,则=+p k E E 常量 =+p k E E 常量系统的动量守恒定律 系统的角动量守恒定律 若0=∑外F,则 若0=∑外M ,则 =∑ii vm 常量=∑iL常量三．对于质点、刚体组成的系统，动能定理仍然适用，系统的动能包括系统内所有质点的平动动能和刚体的转动动能。

当系统内力只有保守力作功，其外力和非保守内力作的总功为零，则整个系统机械能守恒。

问题讨论一．一长为l 、质量为m 的匀直细棒一端固定，可在竖直平面内转动，最初棒静止在水平位置，问放手后它下摆到竖直位置时的角速度。

有人这样解：放手后杆受重力矩2lmg M =， 细杆绕点O 的水平轴转动的转动惯量为231ml I =， 由转动定律αI M =，解得l g 23=α；又根据θαωω∆=-2202，00=ω，2πθ=∆得lg23πω=。

这种解法对吗？为什么？ 讨论：上述计算方法是错误的! 其根源在于忽视了转动定律的瞬时性。

刚放手时重力矩2lmgM =，角加速度lg 23=α，但随着杆的转动，重力矩越来越小，在θ处，为θcos l mg M 21=；角加速度也随之减小，在θ处，为θαcos lg23=。

到竖直位置，0=M ，0=α。

也就是说，在杆转动过程中，角加速度是变量，杆的摆动是变加速运动，不可用匀变速转动的公式θαωω∆=-2202。

此题的解法有多种，我们介绍两种从功和能的角度求解的方法。

解法一：用动能定理杆摆到任一θ角时，其所受的重力矩为θcos 2lmg M =杆从水平位置转到竖直位置时，重力对杆所作的功为222l mg l mg M A A ====⎰⎰⎰θθθπd cos d d由刚体的动能定理k E A ∆=20221212ωωI I l mg -=式中00=ω，231ml I = 解得lgI mgl 3==ω 解法二： 用机械能守恒求解取杆和地球为系统，除重力外无其它力作功，机械能守恒。

取竖直位置时杆的质心位置为重力势能零点，有)(200212lmg I --=-ω 式中231ml I =解得lgI mgl 3==ω 二．如图，一质量为m '的黏土块以水平速度0v 甩向长为l 质量为m 的杆的末端，并粘在杆端。

求系统获得的角速度。

有人这样解：取黏土块与杆为系统，碰撞中水平方向动量守恒，有v m m v m )(+'='0，解得)(m m v m v +''=，lm m v m l v )(+''==0ω。

这样解对吗？为什么？讨论：上述计算方法是错误的! 其根源在于没有认真分析守恒定律成立的条件。

在黏土块甩在杆上瞬时，杆的上端受到一个很大的力，这个力对黏土块与杆组成的系统而言是外力，其水平分量亦不可忽略，故水平方向动量不守恒。

但这个力通过转轴，其力矩为零，且系统的重力矩也为零，即系统的合外力矩为零，角动量守恒。

黏土块开始与杆碰撞的瞬时，系统的角动量仅为黏土块对转轴的角动量，其2l m I '=，lv 00=ω， l v m L 00'=碰撞结束时，系统的角动量为 ω)(2231ml l m L +'= 由碰撞过程中角动量守恒ω2031l m m l v m ⎪⎭⎫⎝⎛+'=' 解得lm m v m )(+''=330ω典型例题例一 如图，质量kg 10=m 、半径cm 10=r 的定滑轮两边挂着质量分别为kg101=m 和kg 52=m 的滑块，滑块2m 在倾角 30=θ的斜面上滑动，它们之间的摩擦系数为300.=μ。

设滑轮与转轴间无摩擦，绳与轮间无相对滑动，求滑块的加速度和绳中张力的大小。

解：这是一个质点、刚体组成的系统，需隔离物体，分析各物体所受力(力矩)。

作受力分析图，由牛顿第二定律和转动定律立出动力学111a m F g m =-T1（1）222a m g m F F =--θsin r T2（2）αI r F r F ='-'T2T1（3）221mr I = （4）αr a a a ===21 （5） θμcos r g m F 2= （6）1T1TF F '= （7）2T2TF F '= （8） 解得()22122104331021-⋅==++--=s m ..sin cos g g mm m m m m a θθμ()() N 66769011T1..==-=g m a g m F()N 4520712222T2..sin cos ==++=g m a m g m g m F θθμ例二 如图, 均匀细杆可绕距其一端l 41（l 为杆长）的水平轴o 在竖直平面内转动，杆的质量为m 、当杆自由悬挂时，给它一个起始角速度0ω，如杆恰能持续转动而不摆动（不计一切摩擦），则0ω必须如何取值？ 杆处于水平位置时角速度角和加速度为多少？解: 由平行轴定理 ，杆绕水平轴的转动惯量为2222487161121ml l m ml md I I c =+=+= 杆和地球组成的系统在转动过程中机械能守恒。

要使杆恰能持续转动而不摆动，杆转过180时0≥ω，此时杆的势能增加为2l mg E P =∆动能增加为2022121ωωI I E k -=∆ 由P k E E ∆-=∆解得lg74820+=ωω由0≥ω得lgl g 7347480=≥ω 杆处于水平位置时势能增加为4l mg E P =∆动能变化2022121ωωI I E k -=∆ 由P k E E ∆-=∆解得lg72420-=ωω 杆处于水平位置时重力矩为4lmg M =由转动定律 αI M =l g ml lmg I M 71248742=⨯==α过关测试第一关1． 选出下述说法中的正确者。

A ．公式ωr v =中， v 是速率。

因为 v 只能取正值，所以ω也只能取正值； B ．法向加速度n a 恒大于零， 切向加速度t a 也恒大于零；C ． 对定轴转动刚体而言，刚体上一点的线速度v 、切向加速度t a 、法向加速度n a 的大小都与该质点距轴的距离r 成正比；D ． 因rv a 2n =，所以，上面( C ) 中关于法向加速度的叙述不正确。

答： C2．在下列说法中，错误的是：A．刚体作定轴转动时，其上各点的角速度相同，线速度则不同；M=，式中M、I、α均为对同一条固定轴而言B．刚体定轴转动的转动定律为αI的，否则该式不成立；C．刚体的转动动能等于刚体上各质元的动能之和；D．对给定的刚体而言，它的质量和形状是一定的，则其转动惯量也是唯一确定的。

答： D3．细棒可绕光滑轴转动，该轴垂直地通过棒的一个端点，今使棒从水平位置开始下摆，在棒转到竖直位置的过程中，下述说法正确的是A．角速度从小到大，角加速度从大到小；B．角速度从小到大，角加速度从小到大；C．角速度从大到小，角加速度从小到大；D．角速度从大到小，角加速度从大到小。

答：正确答案是A4．几个力同时作用于一个具有固定转轴的刚体上。

如果这几个力的矢量和为零，则正确答案是A．刚体必然不会转动；B．转速必然不变；C．转速必然会变；D．转速可能变, 也可能不变。

答：正确答案是D5．如图所示，四个质量相同、线度相同而形状不同的均质物体，它们对各自的几何对称轴的转动惯量最大的和最小的是A．（1）和（2）；B ．（1）和（4）；C ．（2）和（3）；D ．（2）和（4）。

答： B6．一质点作匀速率圆周运动时A ．它的动量不变，对圆心的角动量也不变；B ．它的动量不变，对圆心的角动量不断改变；C ．它的动量不断改变，对圆心的角动量不变；D ．它的动量不断改变，对圆心的角动量也不断改变。

答： C 第二关1．刚体绕定轴作匀变速转动时，刚体上距转轴为r 的任一点的 A ．切向、法向加速度的大小均随时间变化； B ．切向、法向加速度的大小均保持恒定；C ．切向加速度的大小恒定，法向加速度的大小变化；D ．切向加速度的大小变化，法向加速度的大小恒定。

答： C2．两个匀质圆盘A 和B 的密度分别为A ρ和B ρ，且B A ρρ>，但两圆盘质量和厚度相同。

如两盘对通过盘心垂直于盘面的轴的转动惯量分别为A I 和B I ，则 A ．B A I I >； B ．A B I I >； C ．B A I I =； D ．不能确定。

答： B(解 B A m m = 即h r h r 22B B A A πρπρ=，B A ρρ>则A B r r >，又221mr I =，A B I I >∴)3．关于力矩有以下几种说法(1) 内力矩不会改变刚体对某个定轴的角动量； (2) 作用力和反作用力对同一轴的力矩之和为零；(3) 大小相同方向相反两个力对同一轴的力矩之和一定为零；(4) 质量相等，形状和大小不同的刚体，在相同力矩作用下，它们的角加速度一定相等。