复合函数知识总结及例题 (1)
根据复合函数知识点总结归纳
根据复合函数知识点总结归纳
一、复合函数的定义
复合函数是由两个函数组合而成的新函数。
给定两个函数 f(x)
和 g(x)，则它们的复合函数定义为 h(x) = f(g(x))。
二、复合函数的性质
1. 复合函数满足结合律：f(g(h(x))) = (f ∘ g) ∘ h(x) = f(g(h(x)))。
2. 复合函数满足交换律：f(g(x)) = g(f(x))。
3. 复合函数的定义域：复合函数 h(x) 的定义域取决于 g(x) 的
定义域。
三、求解复合函数
1. 已知构成复合函数的两个函数 f(x) 和 g(x)，将 g(x) 的输出作
为 f(x) 的输入，可以通过以下方法求解复合函数 h(x) = f(g(x))：- 将 g(x) 的表达式代入 f(x) 中，并化简得到 h(x)。
- 先求解 g(x)，再将其结果代入 f(x) 中，得到 h(x)。
2. 注意函数的定义域和值域，确保复合函数的求解是合理的。
四、复合函数的应用
1. 复合函数常用于描述复杂的运算关系，尤其是在数学和物理领域中。
2. 复合函数可以用于优化问题，通过将多个函数组合，实现更高效的计算和求解过程。
五、总结
复合函数是由两个函数组合而成的新函数，满足结合律和交换律。
求解复合函数需要注意定义域和值域，复合函数在数学和物理问题中有广泛的应用。
以上是关于复合函数的知识点总结归纳。
参考资料：。
复合函数求解知识点总结
复合函数求解知识点总结1. 复合函数的定义在数学中，如果有两个函数f和g，那么它们的复合函数用f(g(x))表示，即先对x进行g函数操作，然后再对结果进行f函数操作。
复合函数的定义可以用以下公式表示：(f ∘ g)(x) = f(g(x))2. 复合函数的性质（1）复合函数的定义域对于复合函数(f ∘ g)(x)，它的定义域是g(x)的定义域中同时满足f(g(x))有意义的所有x。
（2）复合函数的值域如果f和g的值域分别为A和B，那么复合函数(f ∘ g)(x)的值域是A中所有能表示成f(g(x))的值。
3. 复合函数的求解方法（1）直接代入法直接代入法是最简单的复合函数求解方法，即将内函数的值代入外函数中进行计算。
例如，对于函数f(x)和g(x)，要求解f(g(x))时，先计算g(x)得到结果y，再将结果y代入函数f(x)中进行计算。
（2）分步求解法分步求解法是一种比较常用的复合函数求解方法。
假设要求解f(g(x))，可以将其分成两步：首先求出g(x)的值，然后再求出f(g(x))的值。
这样一步一步的分解问题，使得整个过程更加清晰和容易掌握。
（3）图像法有时候可以通过画出函数的图像来求解复合函数。
首先画出内函数g(x)的图像，然后再根据g(x)的图像来画出f(g(x))的图像，这样可以直观地看到函数的变化和求解的结果。
4. 复合函数的常见问题（1）求复合函数的导数在实际问题中，常常会遇到需要求复合函数的导数的情况。
可以利用链式法则来求解复合函数的导数。
链式法则的公式可以表示为：(f ∘ g)'(x) = f'(g(x)) * g'(x)（2）求复合函数的极限当需要求解复合函数的极限时，可以利用极限的性质和复合函数的性质来进行求解。
通常可以通过分母有理化或分子分母同时除以某个函数的方法来进行极限的求解。
（3）应用问题在实际问题中，常常会遇到需要利用复合函数进行求解的情况。
复合函数(知识点总结、例题分类讲解)
复合函数的定义域和解析式以及单调性【复合函数相关知识】1、复合函数的定义如果y 是u 的函数，u 又是x 的函数，即()y f u =，()u g x =，那么y 关于x 的 函数(())y f g x =叫做函数()y f u =（外函数）和()u g x =（内函数）的复合函数，其中u 是中间变量，自变量为x 函数值为y 。
例如：函数212x y += 是由2u y =和21u x =+ 复合而成立。
说明：⑴复合函数的定义域，就是复合函数(())y f g x =中x 的取值范围。
⑵x 称为直接变量，u 称为中间变量，u 的取值范围即为()g x 的值域。
⑶))((x g f 与))((x f g 表示不同的复合函数。
2．求有关复合函数的定义域① 已知)(x f 的定义域为)(b a ,，求))((x g f 的定义域的方法：已知)(x f 的定义域为)(b a ,，求))((x g f 的定义域。
实际上是已知中间变量的u 的取值范围，即)(b a u ,∈，)()(b a x g ,∈。
通过解不等式b x g a <<)(求得x 的范围，即为))((x g f 的定义域。
② 已知))((x g f 的定义域为)(b a ，，求)(x f 的定义域的方法：若已知))((x g f 的定义域为)(b a ，，求)(x f 的定义域。
实际上是已知直接变量x 的取值范围，即)(b a x ，∈。
先利用b x a <<求得)(x g 的范围，则)(x g 的范围即是)(x f 的定义域。
3．求有关复合函数的解析式①已知)(x f 求复合函数)]([x g f 的解析式，直接把)(x f 中的x 换成)(x g 即可。
②已知)]([x g f 求)(x f 的常用方法有：配凑法和换元法。
配凑法：就是在)]([x g f 中把关于变量x 的表达式先凑成)(x g 整体的表达式，再直接把)(x g 换 成x 而得)(x f 。
复合函数(知识点总结、例题分类讲解)[1]
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复合函数的定义域和解析式以及单调性【复合函数相关知识】 1、复合函数的定义如果y 是u 的函数,u 又是x 的函数,即()y f u =，()u g x =，那么y 关于x 的 函数(())y f g x =叫做函数()y f u =（外函数）和()u g x =（内函数)的复合函数,其中u 是中间变量，自变量为x 函数值为y . 例如：函数212x y += 是由2u y =和21u x =+ 复合而成立.说明:⑴复合函数的定义域，就是复合函数(())y f g x =中x 的取值范围。
⑵x 称为直接变量，u 称为中间变量，u 的取值范围即为()g x 的值域。
⑶))((x g f 与))((x f g 表示不同的复合函数。
2．求有关复合函数的定义域① 已知)(x f 的定义域为)(b a ,,求))((x g f 的定义域的方法：已知)(x f 的定义域为)(b a ,，求))((x g f 的定义域。
实际上是已知中间变量的u 的取值范围，即)(b a u ,∈，)()(b a x g ,∈.通过解不等式b x g a <<)(求得x 的范围，即为))((x g f 的定义域。
② 已知))((x g f 的定义域为)(b a ，,求)(x f 的定义域的方法：若已知))((x g f 的定义域为)(b a ，，求)(x f 的定义域。
复合函数(知识点总结、例题分类讲解)
2
x 1
在区间 [0,) 上都是增函数。
其中正确命题的序号是：__________。 （把你认为正确的命题序号都填上）
7
2.函数 y e |ln x| | x 1 | 的图象大致是（
）
6
Go the distance
3． （2008 江苏南通模拟， 5 分） 设 f ( x) o g l
3 3
a
（ a 0 且 a 1） ， 若 f ( x1 ) f ( x2 ) f ( xn ) 1 （ xi R ， x
a a a 函数.而实质上原函数的最大单调增区间是 , ,由 ,3 , 得 3 ,即 a 6 . 2 2 2
【过关检测】
1. （1） f ( x)
x 2 5x 4 ;
2） g ( x) ( ) 4( ) 5
4.求复合函数的单调性 若 u g ( x) 增函数 减函数 增函数 减函数 即“同增异减”法则 5.复合函数的奇偶性 一偶则偶，同奇则奇
【例题讲解】
y f ( x)
增函数 减函数 减函数 增函数
则 y f [ g ( x)] 增函数 增函数 减函数 减函数
一、复合函数定义域解析式 例1 设函数 f ( x) 2 x 3, g ( x) 3x 5 ，求 f ( g ( x)), g ( f ( x)) ．
1 2
2
2.求函数 y 4
x
3 2 x 5 的单调区间和值域.
例2
求 f ( x) = 5 - 4 x - x 2 的单调区间及值域
变式练习 2 求函数 f(x)= 2
复合函数(知识点总结、例题分类讲解)
复合函数的定义域和解析式以及单调性【复合函数相关知识】1、复合函数的定义如果y 是u 的函数，u 又是x 的函数，即()y f u =，()u g x =，那么y 关于x 的 函数(())y f g x =叫做函数()y f u =（外函数）和()u g x =（内函数）的复合函数，其中u 是中间变量，自变量为x 函数值为y 。
例如：函数212x y += 是由2u y =和21u x =+ 复合而成立。
说明：⑴复合函数的定义域，就是复合函数(())y f g x =中x 的取值范围。
⑵x 称为直接变量，u 称为中间变量，u 的取值范围即为()g x 的值域。
⑶))((x g f 与))((x f g 表示不同的复合函数。
2．求有关复合函数的定义域① 已知)(x f 的定义域为)(b a ,，求))((x g f 的定义域的方法：已知)(x f 的定义域为)(b a ,，求))((x g f 的定义域。
实际上是已知中间变量的u 的取值范围，即)(b a u ,∈，)()(b a x g ,∈。
通过解不等式b x g a <<)(求得x 的范围，即为))((x g f 的定义域。
② 已知))((x g f 的定义域为)(b a ，，求)(x f 的定义域的方法：若已知))((x g f 的定义域为)(b a ，，求)(x f 的定义域。
实际上是已知直接变量x 的取值范围，即)(b a x ，∈。
先利用b x a <<求得)(x g 的范围，则)(x g 的范围即是)(x f 的定义域。
3．求有关复合函数的解析式①已知)(x f 求复合函数)]([x g f 的解析式，直接把)(x f 中的x 换成)(x g 即可。
②已知)]([x g f 求)(x f 的常用方法有：配凑法和换元法。
配凑法：就是在)]([x g f 中把关于变量x 的表达式先凑成)(x g 整体的表达式，再直接把)(x g 换 成x 而得)(x f 。
复合函数的单调性例题和知识点总结
复合函数的单调性例题和知识点总结在数学的学习中，函数是一个非常重要的概念，而复合函数的单调性更是函数知识中的重点和难点。
理解并掌握复合函数的单调性，对于解决函数相关的问题有着至关重要的作用。
下面，我们将通过一些例题来深入探讨复合函数的单调性，并对相关知识点进行总结。
首先，我们来明确一下复合函数的概念。
如果函数$y=f(u)＄的定义域为$D_1$，函数$u=g(x)＄的值域为$D_2$，且$D_2\subseteq D_1$，那么对于定义域内的某个区间上的任意一个$x$，经过中间变量$u$，有唯一确定的$y$值与之对应，则变量$y$是变量$x$的复合函数，记为$y=fg(x)＄。
接下来，我们探讨复合函数单调性的判断方法——同增异减。
也就是说，当内层函数与外层函数的单调性相同时，复合函数为增函数；当内层函数与外层函数的单调性不同时，复合函数为减函数。
下面通过几个例题来加深对复合函数单调性的理解。
例题 1：求函数$f(x)＝＼log_2(x^2 2x ＋ 3)＄的单调性。
首先，令$u ＝ x^2 2x ＋ 3$，则$f(u) ＝＼log_2 u$。
对于$u ＝ x^2 2x ＋ 3$，其图象开口向上，对称轴为$x ＝ 1$。
所以$u$在$（＼infty, 1)＄上单调递减，在$（1, ＋＼infty)＄上单调递增。
而$f(u) ＝＼log_2 u$在定义域$（0, ＋＼infty)＄上单调递增。
因为内层函数$u$在$（1, ＋＼infty)＄上单调递增，外层函数$f(u)＄也单调递增，根据同增异减，所以复合函数$f(x)＄在$（1, ＋＼infty)＄上单调递增。
又因为内层函数$u$在$（＼infty, 1)＄上单调递减，外层函数$f(u)＄单调递增，所以复合函数$f(x)＄在$（＼infty, 1)＄上单调递减。
例题 2：求函数$f(x) ＝ 2^｛x^2 ＋ 2x 3}＄的单调性。
令$u ＝ x^2 ＋ 2x 3$，则$f(u) ＝ 2^u$。
高考数学经典常考题型第12专题 复合函数零点问题
高考数学经典常考题型第12专题复合函数零点问题第12专题训练：复合函数零点问题一、基础知识：1、复合函数定义：设 $y=f(t),t=g(x)$，且函数 $g(x)$ 的值域为 $f(t)$ 的定义域的子集，那么 $y$ 通过 $t$ 的联系而得到自变量 $x$ 的函数，称 $y$ 是 $x$ 的复合函数，记为$y=f(g(x))$。
2、复合函数函数值计算的步骤：求 $y=g(f(x))$ 函数值遵循“由内到外”的顺序，一层层求出函数值。
例如：已知$f(x)=2x,g(x)=x^2-x$，计算 $g(f(2))$。
解：$f(2)=2\times 2=4$，$\therefore g(f(2))=g(4)=12$3、已知函数值求自变量的步骤：若已知函数值求 $x$ 的解，则遵循“由外到内”的顺序，一层层拆解直到求出 $x$ 的值。
例如：已知 $f(x)=2x,g(x)=x^2-2x$，若 $g(f(x))=0$，求 $x$。
解：令 $t=f(x)$，则 $g(t)=0$，$\therefore t=0$ 或 $t=2$。
当 $t=0$ 时，$f(x)=0$，XXX；当 $t=2$ 时，$f(x)=2$，$\therefore x=1$。
综上所述，$x=1$。
由上例可得，要想求出 $g(f(x))=0$ 的根，则需要先将$f(x)$ 视为整体，先求出 $f(x)$ 的值，再求对应 $x$ 的解。
这种思路也用来解决复合函数零点问题。
先回顾零点的定义：4、函数的零点：设 $f(x)$ 的定义域为 $D$，若存在 $x\in D$，使得 $f(x)=0$，则称 $x$ 是 $f(x)$ 的一个零点。
5、复合函数零点问题的特点：考虑关于 $x$ 的方程$g(f(x))=0$ 的根的个数，在解此类问题时，要分为两层来分析。
第一层是解关于 $f(x)$ 的方程，观察有几个 $f(x)$ 的值使得等式成立；第二层是结合着第一层 $f(x)$ 的值求出每一个$f(x)$ 被几个 $x$ 对应，将 $x$ 的个数汇总后即为$g(f(x))=0$ 的根的个数。
复合函数(知识点总结、例题分类讲解)
复合函数的定义域和解析式以及单调性【复合函数相关知识】1、复合函数的定义如果y 是u 的函数，u 又是x 的函数，即()y f u =，()u g x =，那么y 关于x 的 函数(())y f g x =叫做函数()y f u =（外函数）和()u g x =（内函数）的复合函数，其中u 是中间变量，自变量为x 函数值为y 。
例如：函数212x y += 是由2u y =和21u x =+ 复合而成立。
说明：⑴复合函数的定义域，就是复合函数(())y f g x =中x 的取值范围。
⑵x 称为直接变量，u 称为中间变量，u 的取值范围即为()g x 的值域。
⑶))((x g f 与))((x f g 表示不同的复合函数。
2．求有关复合函数的定义域① 已知)(x f 的定义域为)(b a ,，求))((x g f 的定义域的方法：已知)(x f 的定义域为)(b a ,，求))((x g f 的定义域。
实际上是已知中间变量的u 的取值范围，即)(b a u ,∈，)()(b a x g ,∈。
通过解不等式b x g a <<)(求得x 的范围，即为))((x g f 的定义域。
② 已知))((x g f 的定义域为)(b a ，，求)(x f 的定义域的方法：若已知))((x g f 的定义域为)(b a ，，求)(x f 的定义域。
实际上是已知直接变量x 的取值范围，即)(b a x ，∈。
先利用b x a <<求得)(x g 的范围，则)(x g 的范围即是)(x f 的定义域。
3．求有关复合函数的解析式①已知)(x f 求复合函数)]([x g f 的解析式，直接把)(x f 中的x 换成)(x g 即可。
②已知)]([x g f 求)(x f 的常用方法有：配凑法和换元法。
配凑法：就是在)]([x g f 中把关于变量x 的表达式先凑成)(x g 整体的表达式，再直接把)(x g 换 成x 而得)(x f 。
复合函数(知识点总结、例题分类讲解)
千里之行，始于足下。
复合函数(知识点总结、例题分类讲解)复合函数是指由两个或多个函数相互作用形成的新函数。
在数学中，复合函数是一种常见的概念，并且在高等数学、线性代数、微积分等多个领域中都有应用。
本文将对复合函数的知识点进行总结，并通过分类讲解一些例题。
一、复合函数的定义：设有函数f和g，对于g的定义域中的每个x，存在f的定义域中的y，使得y=g(x)，则有一个复合函数h(x)=f(g(x))，它的定义域是所有能使得g(x)的值能成为f(x)定义域中的自变量的值的x。
二、复合函数的求解步骤：1. 确定复合函数的形式h(x)=f(g(x))。
2. 确定g(x)的定义域和f(x)的定义域，并找到能使得g(x)的值成为f(x)的自变量的值。
3. 将g(x)的值代入f(x)中，得到新的函数h(x)。
三、复合函数的性质：1. 复合函数的定义域是g(x)的定义域和f(x)的定义域的交集。
2. 复合函数的值域是f(x)的值域的子集。
四、复合函数的例题分类讲解：1. 简单的复合函数求导：例题1：已知f(x)=x²和g(x)=2x+1，求复合函数h(x)=f(g(x))的导函数h'(x)。
第1页/共2页锲而不舍，金石可镂。
解析：首先计算g'(x)=2，然后计算f'的导函数f'(x)=2x。
根据链式法则，h'(x)=f'(g(x))*g'(x)=2(2x+1)*2=8x+4。
2. 复合函数中含有指数函数：例题2：已知f(x)=eˣ和g(x)=ln(x)，求复合函数h(x)=f(g(x))的导函数h'(x)。
解析：首先计算g'(x)=1/x，然后计算f'的导函数f'(x)=eˣ。
根据链式法则，h'(x)=f'(g(x))*g'(x)=eˣ*(1/x)=eˣ/x。
3. 复合函数中含有三角函数：例题3：已知f(x)=sin(x)和g(x)=x²，求复合函数h(x)=f(g(x))的导函数h'(x)。
复合函数知识总结及例题
复合函数问题一、复合函数定义： 设y=f(u)的定义域为A ，u=g(x)的值域为B ，若A ⊇B ，则y 关于x 函数的y=f ［g(x)］叫做函数f 与g 的复合函数，u 叫中间量.二、复合函数定义域问题：(1)、已知f x ()的定义域，求[]f g x ()的定义域思路：设函数f x ()的定义域为D ，即x D ∈，所以f 的作用范围为D ，又f 对g x ()作用，作用范围不变，所以D x g ∈)(，解得x E ∈，E 为[]f g x ()的定义域。
例1. 设函数f u ()的定义域为（0，1），则函数f x (ln )的定义域为_____________。
解析：函数f u ()的定义域为（0，1）即u ∈()01，，所以f 的作用范围为（0，1） 又f 对lnx 作用，作用范围不变，所以01<<ln x 解得x e ∈()1，，故函数f x (ln )的定义域为（1，e ）例2. 若函数f x x ()=+11，则函数[]f f x ()的定义域为______________。
解析：先求f 的作用范围，由f x x ()=+11，知x ≠-1即f 的作用范围为{}x R x ∈≠-|1，又f 对f(x)作用所以f x R f x ()()∈≠-且1，即[]f f x ()中x 应满足x f x ≠-≠-⎧⎨⎩11()即x x ≠-+≠-⎧⎨⎪⎩⎪1111，解得x x ≠-≠-12且故函数[]f f x ()的定义域为{}x R x x ∈≠-≠-|12且 （2）、已知[]f g x ()的定义域，求f x ()的定义域思路：设[]f g x ()的定义域为D ，即x D ∈，由此得g x E ()∈，所以f 的作用范围为E ，又f 对x 作用，作用范围不变，所以x E E ∈，为f x ()的定义域。
例3. 已知f x ()32-的定义域为[]x ∈-12，，则函数f x ()的定义域为_________。
复合函数 知识点 总结
复合函数知识点总结第一部分是复合函数的定义。
复合函数是指两个函数相互作用所形成的新函数。
设有函数f(x)，g(x)，那么复合函数可以表示为(g ∘ f)(x)，其中(g ∘ f)(x) = g(f(x))。
也就是说，先将x 带入函数f(x)中，得到f(x)的输出值，然后将这个输出值带入函数g(x)中，得到最终的输出值。
这个过程可以简单地理解为先对x进行一个变化，然后再对这个结果进行另一个变化，最终得到复合函数的值。
第二部分是复合函数的性质。
复合函数的性质包括：复合函数的定义域是由f(x)的定义域和g(x)的值域所决定的；两个函数的复合函数不满足交换律，即(g ∘ f)(x)不等于(f ∘ g)(x)；复合函数的结合律，即((h ∘ g) ∘ f)(x) = h ∘ (g ∘ f)(x)；复合函数的定义域是满足f(x)的定义域并且满足g(x)的值域的范围。
复合函数的性质对于理解和应用复合函数都是非常重要的，可以帮助我们更好地处理复合函数的问题。
第三部分是复合函数的求导法则。
求导是对一个函数在某一点处的变化率的描述，而复合函数的求导法则是对两个函数组合在一起的求导方法。
根据链式法则，设有复合函数y =g(f(x))，那么y' = g'(u) * f'(x)，其中u是f(x)的值。
这个法则对于求导复合函数有非常大的帮助，使我们可以更快地求出复合函数的导数。
第四部分是复合函数的实际应用。
复合函数在数学和实际问题中都有广泛的应用。
在数学中，复合函数可以用来描述复杂的函数关系，简化函数的求导过程。
在实际问题中，复合函数可以用来描述各种复杂的关系，比如利息的复合增长、物理问题中的复杂运动规律等。
复合函数的实际应用使我们可以更好地理解和解决各种实际问题。
综上所述，复合函数是数学中重要的概念，它可以用来描述各种复杂的函数关系，并在实际问题中得到广泛的应用。
复合函数的性质、求导法则和实际应用对于理解和应用复合函数都是非常重要的。
复合函数知识总结及例题
复合函数问题一、复合函数定义：设y=f(u)的定义域为A, u=g(x)的值域为B,若A=B,则y关于X函数的y=f[g(x)]叫做函数f与g的复合函数，U叫中间量.二、复合函数定义域问题：(1)、已知f (χ)的定义域，求f[g(χ) 1的定义域思路：设函数f (X)的定义域为D，即X ∙ D ,所以f的作用范围为D，又f对g(χ)作用，作用范围不变，所以g(x)∙ D ,解得X ∙E，E为f Ig(X)]的定义域。
例1.设函数f (u)的定义域为(O，1)，贝U函数f (Inx)的定义域为___________________ 。
解析：函数f (U)的定义域为(0，1)即u • (0，1),所以f的作用范围为(0，1)又f对InX作用，作用范围不变，所以0 ：：： In X ：：： 1解得X • (1, e),故函数f (In x)的定义域为(1, e)1例2.若函数f (X)= ----------- ,则函数f [f (x)]的定义域为 ___________________ 。
X +11解析：先求f的作用范围，由f (X) ,知X = -1X +1即f的作用范围为■ RlX= ,又f对f(χ)作用所以f (X) ∙R且f (x) - -1 ,即f If(X) 1中X应r d x≠-1X 式一1 L满足彳即｛1 ,解得x≠一1且x≠一2I f(X)H—1 —≠-1ιX +1故函数f If (X) 的定义域为CX R|x = -1且Xn -2(2)、已知f Ig(X)】的定义域，求f (x)的定义域思路：设f Ig(X) 1的定义域为D,即X ∙D ,由此得g(x) ∙E ,所以f的作用范围为E,又f对X作用，作用范围不变，所以X ∙E, E为f (X)的定义域。
例3.已知f (3 —2x)的定义域为X E[―1, 2 ],则函数f (x)的定义域为 _________________ 。
复合函数知识总结及例题
答案： [ 3, 9 ]
3、 已知函数 y f ( x 2 ) 的定义域为 ( 1, 0 ) ，求 f (| 2 x 1 |) 的定义域。
1 ( , 0)
答案： 2
3 (1, )
2
2x
x
2
4、设 f x lg
，则 f
f
的定义域为（
）
2x
2
x
A.
4 ,0 0, 4
B. 4, 1 1,4
C. 2, 1 1, 2
3, x2
3 ,∴ x12 x22 18 ,
∴ p ( x12 x22 ) 2 p 1 16 p 1 ,
∴ 16 p 1 0 .
①
当 x1 , x 2 ( 3, 0 ) 时 , F ( x ) 增函数 ,∴ F ( x1 ) F ( x 2 ) 0 .
∵ x12
x
2 2
0 ,∴
p ( x12
x
2 2
D. 4, 2 2 ,4
2x
解：选 C.由
0 得， f ( x ) 的定义域为 x | 2 x 2 。故
2x
x
2
2,
2
，解得
2
2
2.
x
x x 4, 1 1, 4 。故 f
2
2
f
的定义域为 4, 1 1, 4
x
13
5、已知函数 f ( x ) 的定义域为 x ( , ) ，求 g ( x )
22
f ( ax )
F ( x ) 在区间 ( , f ( 2 )] 上是减函数，且在区间 ( f ( 2 ), 0 ) 上是减函数？并证明你的结论。
［解析］由已知 f ( m 2 ) 0 ，得 am 2 ( a 3 ) m a 2 0 ，
高中数学复合函数练习试题
WORD 格式第一篇、复合函数问题一、复合函数定义：设y=f(u)的定义域为A, u=g(x)的值域为B,假设A mB,那么y 关于x 函数的y=f[g(x)]叫做函数f 与g 的复合函数,u 叫中间量.二、复合函数定义域问题： (一)例题剖析：(1)、f (x)的定义域,求f [g(x)]的定义域思路：设函数f (x)的定义域为D,即x W D ,所以f 的作用范围为D,又f 对g(x)作用,作用范 围不变,所以g(x)wD,解得x wE, E 为f [g(x)]的定义域.例1.设函数f (u)的定义域为(0,1),那么函数f (ln x)的定义域为.解析：函数f (u)的定义域为(0, 1)即u w (0, 1),所以f 的作用范围为(0, 1) 又f 对inx 作用,作用范围不变,所以 0 < ln x < 1 解彳导x W (1, e),故函数f (in x)的定义域为(1, e)例2.假设函数f(x) =^1-,那么函数f [f(x)]的定义域为 .x 1 1解析：由f (x)= ,知x # —1即f 的作用氾围为｛x u R|x 丰—1｝,又f 对f(x)作用所以x 1x~- -1f (x) W R 且f (x) ¥ —1 ,即 f [f (x)]中 x 应满足 «f(x)一⑵、f Ig(x)】的定义域,求f(x)的定义域思路：设f [g(x)]的定义域为D,即x w D ,由此得g(x) w E ,所以f 的作用范围为E,又f 对x 作用,作用范围不变,所以 x w E, E 为f (x)的定义域.例3.f (3-2x)的定义域为x w I —1, 2],那么函数f (x)的定义域为.解析：f(3—2x)的定义域为[-1, 2],即x wl —1, 2],由此得3 —2x 亡[―1, 5] 即函数f(x)的定义域为[一1, 5]2例4.f (x 2 Y _lg x ,那么函数f (x)的定义域为 ________________________________x x 2 -82 22x x解析：先求f 的作用范围,由f (x 2 -4) = lg ———,知———> 0 f(x)的定义域为 x - 8 x -8可编辑；x R|x = -1 且x= -2)专业知识 WORD 格式(4,十叼⑶、f [g(x)l 的定义域,求f h(x)]的定义域思路：设f Ig(x)]的定义域为D,即x w D ,由此得g(x) w E , f 的作用范围为E ,又f 对h(x) 作用,作用范围不变,所以h(x) w E ,解得x w F , F 为f Ih(x)]的定义域.例5.假设函数f(2x )的定义域为[—1, 1],那么f (log 2 x)的定义域为.1解析：f(2x )的定义域为1—1, 1],即x w I —1, 1],由此得2x w , 22f 的作用范围为.(,2 ।又f对10g 2 x 作用,所以log 2 xw [； , 2l,解得x w[J 2, 4]即f (log 2 x)的定义域为IV 2 , 4 ] (二)同步练习：21、函数f(x)的定义域为[0,1],求函数f(x )的定义域.答案：[一1, 1]2、函数f(3—2x)的定义域为[一3,3],求f(x)的定义域.答案：[—3,9]13(--.0) .. (1 -3、函数y=f (x 2)的定义域为(一1,°),求f (12x 一1.的定义域.答案：22三、复合函数单调性问题(1)引理证实函数y= f (g(x)).假设u =g(x)在区间(a,b)上是减函数,其值域为(c , d),又函数y = f (u)在区间(c,d)上是减函数,那么,原复合函数 y = f (g(x))在区间(a,b )上是增函数.证实：在区间(a,b)内任取两个数 x 1, x 2,使a < x 1 < x 2 < b由于 u = g(x)在区间(a,b)上是减函数,所以 g(x 1) a g(x 2),记 u 1 = g(x 1), u 2=g(x 2) 即 u 1 >u 2JLu 1 ,u 2 曰(c,d)由于函数y=f(u)在区间(c,d)上是减函数,所以f (u 1) < f (u 2),即f (g(x 1)) < f (g(x 2)), 故函数 y = f (g(x))在区间(a,b)上是增函数.(2).复合函数单调性的判断整理分享可编辑复合函数的单调性是由两个函数共同决定.为了记忆方便,我们把它们总结成一个图表：专业知识i 确定函数的定义域；五将复合函数分解成两个简单函数：y = f (u)与u = g(x)iii 分别确定分解成的两个函数的单调性；iv假设两个函数在对应的区间上的单调性相同(即都是增函数,或都是减函数),那么复合后的函数y = f (g(x))为增函数； 假设两个函数在对应的区间上的单调性相异(即一个是增函数,而另一个是减 函数),那么复合后的函数 y = f(g(x))为减函数.(4)例题演练2例1、求函数y=l0g l (x —2x —3)的单调区间,并用单调定义给予证实.2 2斛：TE 乂域 x —2x —3>0= x >3wJ(；x < -1 o 单调减区间是(3,+w ) 设22x 1 ,x 2 =(3, F )且x 1 < x 2 贝U y 1= 10g l(x 1 —2x 1—3) y 2 = log 1 (x 2—2x 2—3)22,2 2(x 1 -2x 1 -3) 一 (x 2 -2x 2一⑤=(x 2-x 1 )(x 2 +x 1 —2) x 2 Ax i > 3x 2 - x 1 > 022 _…_ 1 .x 2+x 1—2A0 (x 1 -2x 1 -3) >(x 2 -2x 2 -3) 又底数 0<鼻<1:y 2—y 1 <0 即 y 2 < y 1 .. y 在(3,十整)上是减函数.同理可证：y 在(_吗—1)上是增函数.［例］2、讨论函数f (x ) = 1og a (3x 2 —2x —1)的单调性.1［解］由3x 2 — 2x —1 >0得函数的定义域为{x | x >1,或x <——}.3那么当 a >1 时,假设 x>1, .「u=3x 2—2x —1 为增函数,：f(x) = 1og a (3x 2—2x —1)为增函数.41右 x <u =3x 2—2x —1 为减函数.f (x) = 1og a (3x 2—2x — 1)为减函数.31WORD 格式可编辑以上规律还可总结为：“同向得增,异向得减〞或“同增异减〞(3)、复合函数y = f (g(x))的单调性判断步骤：整理分享当0 <a <1 时,右x >1 ,那么f(x) =1 og3x2-2x-1)为减函数,右x<——,那么3 f(x) =1 o g(3x2-2x -1)为增函数.(5)同步练习:专业知识整理分享1 .函数y= 10g l 〔x2 —3x + 2〕的单调递减区间是〔〕2A. 〔—8, 1〕B. 〔2,十8〕C. 〔—8, 3 〕D. 〔 3 ,十8〕答案：B2 22找出以下函数的单调区间.〔1〕y =a^2q3x42〔a>1〕;〔2〕 y =23〞3...... ............... 3,3答案：〔1〕在〔一CO ,―］上是增函数,在［―,+幻〕上是减函数.22〔2〕单调增区间是［―1,1］,减区间是［1,3］.3、讨论 y =log a (a x —1),(a >0,且a#0)的单调性.答案：a >1,时〔0,十/〕为增函数,1>aA0时,〔_g,0〕为增函数. 变式练习、选择题解析：要保证真数大于0,还要保证偶次根式下的式子大于等于0,x-1>0所以410g 1 (x —1)之0解彳导1<x&2. 答案:22 .函数y= 10g l 〔x2-3x + 2〕的单调递减区间是〔〕 2上单调递减,在〔2,十8〕上单调递增,根据复合函数同增异减的原那么,函数〔2,十8〕上单调递减.答案：B3 .假设 2 1g (x-2y) = lg x+ lg y,那么y 的值为()xA. 4B. 1 或1C. 1 或 4D. 14 4y 1 、x错斛：由 21g (x — 2y) = lg x+ lg y,得(x — 2y) =xy,斛得 x= 4y 或 x= y,那么有—=一或一=x 4 y1.答案：选B 正解：上述解法忽略了真数大于 0这个条件,即x-2y>0,所以x>2y.所以x=y 舍掉.只有x = 4y.答案：D4.假设定义在区间〔T , 0〕内的函数f 〔x 〕 = log 2a 〔x + 1〕满足f 〔x 〕 >0,那么a 的取值范围为〔〕专业知识1.函数f (x)=J l0g l 〔x —1〕的定义域是〔2A. (1,+8)B. (2, i)C. (—8, 2)D. (1,2]A. 〔—8, 1〕B. 〔2,+8〕C. 〔—8,解析：先求函数定义域为〔—o, 1〕 口〔2,十8〕D.3,一 2(x) = x2+ 3x+ 2,函数 t (x)在(―00,1)y= log 1 (x 2-3x+2)在2整理分享B. (0, 1 )C. ( 1 ,十③)D. (0,十③) 2 2(—1, 0),所以x+1 e (0, 1) .当f (x) >0时,根据图象只有<a< 1 (根据本节思维过程中第四条提到的性质).答案：A2 ,2 、,一5.函数y= lg (—1)的图象关于()1— xA. y 轴对称B. x 轴对称 C .原点对称 D.直线y=x 对称2 . . 1+ x . 1 + x . 1+ x解析：y= lg ( ------- -D = lg -------- ,所以为奇函数.形如 y = lg ---------- 或y= lg ------ 的函数都1 —x 1— x 1 —x 1— x为奇函数.答案：C二、填空题y= log a (2—ax)在［0, 1］上是x 的减函数,那么a 的取值范围是 .解析：a>0且a,1 =N (x)=2—ax 是减函数,要使y= log a(2 —ax)是减函数,那么 a> 1,又2-ax>0n a< 2 (0<x<1) = a<2,所以 ae (1, 2). 答案：ae (1, 2)3一 .,,一,1 x ,7 .函数f (x)的图象与g (x)=(—)邛勺图象关于直线y= x 对称,那么f (2x —x2)的单调递减区间为.那么 f (2x —x 2) = log 1 (2x —xb,令 N (x) =2x —x 2>0,解得 0Vx<2. 3N (x) =2x-x 2在(0, 1)上单调递增,那么f ［ N (x)］在(0, 1)上单调递减; k(x) =2x-x 2在(1,2)上单调递减,那么f ［ N(x)］在［1,2)上单调递增.所以f (2x —x 2)的单调递减区间为(0, 1). 答案：(0, 1)8 .定义域为 R 的偶函数f (x)在［0,+00］上是增函数,且 f (1) =0,2那么不等式f (log4x)的解集是.解析：由于f (x)是偶函数,所以f (―1)=f (1)=0.又f (x)在［0,上是增函数,2 211所以 f (x)在(―00, 0)上是减函数.所以 f (l ogx) > 0n l og4x> —或 l og4x< ——.一 …1 一解彳tx>2或0<x< . 答案:2三、解做题一2 3- 2x10.设函数 f (x)=——十 lg , 3x + 5 3+ 2x(1)求函数f (x)的定义域；(2)判断函数f (x)的单调性,并给出证实；(3)函数f (x)的反函数 厂1 (x),问函数y = f 1 (x)的图象与x 轴有交点吗？假设有,求出交点 坐标；假设无交点,说明理由.专业知识 ,1、A. (0,)2 解析：由于x e 0V 2a<l ,解得 0解析：由于f (x)与g (x)互为反函数,所以f (x) = 10g l x 3x>2或 0<x< 12整理分享3- 2x- 5 3 3解：(1)由3x+5,0且>0,解得x,— 且一 <x<.取交集得一3+ 2x 322(2)令R (x) =3x+5,随着x 增大,函数值减小,所以在定义域内是减函数；3— 2x6=-1+ —— 随着x 增大,函数值减小,所以在定义域内是减函数.3+ 2x 3+ 2x3- 2x ............................又y=lgx 在定义域内是增函数,根据复合单调性可知,y= lg 是减函数,所以f (x)3+ 2x3— 2x 一 十lg .是减函数.3+ 2x(3)由于直接求f (x)的反函数非常复杂且不易求出,于是利用函数与其反函数之间定义域与值域 的关系求解.设函数f (x)的反函数fT (x)与工轴的交点为(x°, 0) .根据函数与反函数之间定义域与值域的关2 ________ .系可知,f(x)与y 轴的父点是(0, x .),将(0,x .)代入f (x),解得XO = — .所以函数y = f(x)的5…,,一一. 2 图象与x 轴有交点,交点为(一,0).5一.指数函数与对数函数.同底的指数函数 y=a x 与对数函数y =log a x 互为反函数; (二)主要方法：1 .解决与对数函数有关的问题,要特别重视定义域；2 .指数函数、对数函数的单调性决定于底数大于 1还是小于1,要注意对底数的讨论；3 .比拟几个数的大小的常用方法有：①以和1为桥梁；②利用函数的单调性；③作差.(三)例题分析：2 . . , b例1.(1)右a >b >a >1,那么10g b —,10g b a , 10g a b从小到大依次为 ax y - z(2)右2 =3 =5 ,且x, y, z 都是正数,那么2x , 3y , 5z 从小到大依次为 (3)设x >0,且a x <b x <1(a>0, b a 0),那么a 与b 的大小关系是(B)a<b<1(C)1<b<a (D)1<a<b.一 .2 . . b b解：(1)由 a Ab >a A 1得一 <a ,故 log b — <l 0g b a <1 < log a b .(2)令 2x =3y =5z =t ,那么 t >1 , x=~1g y=_1g _t', z = "1gt lg2 1g3 1g5同理可得：2x —5z <0 , ： 2x <5z , ： 3y <2x <5z . (3)取 x =1 ,知选(B).3 < x<23x+5(A)b<a<12x - 3y =皿一到 JgLTg 8；.,： 2x>3y ；lg 2 lg3 lg 2 lg3专业知识整理分享。
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复合函数问题一、复合函数定义： 设y=f(u)的定义域为A ，u=g(x)的值域为B ，若A ⊇B ，则y 关于x 函数的y=f ［g(x)］叫做函数f 与g 的复合函数，u 叫中间量.二、复合函数定义域问题：(1)、已知f x ()的定义域，求[]f g x ()的定义域思路：设函数f x ()的定义域为D ，即x D ∈，所以f 的作用范围为D ，又f 对g x ()作用，作用范围不变，所以D x g ∈)(，解得x E ∈，E 为[]f g x ()的定义域。
例1. 设函数f u ()的定义域为（0，1），则函数f x (ln )的定义域为_____________。
解析：函数f u ()的定义域为（0，1）即u ∈()01，，所以f 的作用范围为（0，1） 又f 对lnx 作用，作用范围不变，所以01<<ln x 解得x e ∈()1，，故函数f x (ln )的定义域为（1，e ）例2. 若函数f x x ()=+11，则函数[]f f x ()的定义域为______________。
解析：先求f 的作用范围，由f x x ()=+11，知x ≠-1即f 的作用范围为{}x R x ∈≠-|1，又f 对f(x)作用所以f x R f x ()()∈≠-且1，即[]f f x ()中x 应满足x f x ≠-≠-⎧⎨⎩11()即x x ≠-+≠-⎧⎨⎪⎩⎪1111，解得x x ≠-≠-12且故函数[]f f x ()的定义域为{}x R x x ∈≠-≠-|12且 （2）、已知[]f g x ()的定义域，求f x ()的定义域思路：设[]f g x ()的定义域为D ，即x D ∈，由此得g x E ()∈，所以f 的作用范围为E ，又f 对x 作用，作用范围不变，所以x E E ∈，为f x ()的定义域。
例3. 已知f x ()32-的定义域为[]x ∈-12，，则函数f x ()的定义域为_________。
解析：f x ()32-的定义域为[]-12，，即[]x ∈-12，，由此得[]3215-∈-x ， 所以f 的作用范围为[]-15，，又f 对x 作用，作用范围不变，所以[]x ∈-15，即函数f x ()的定义域为[]-15，例4. 已知f x x x ()lg 22248-=-，则函数f x ()的定义域为-------解析：先求f 的作用范围，由f x x x ()lg 22248-=-，知x x 2280-> 解得x 244->，f 的作用范围为()4，+∞，又f 对x 作用，作用范围不变，所以x ∈+∞()4，，即f x ()的定义域为()4，+∞（3）、已知[]f g x ()的定义域，求[]f h x ()的定义域思路：设[]f g x ()的定义域为D ，即x D ∈，由此得g x E ()∈，f 的作用范围为E ，又f 对h x ()作用，作用范围不变，所以h x E ()∈，解得x F ∈，F 为[]f h x ()的定义域。
例5. 若函数f x()2的定义域为[]-11，，则f x (log )2的定义域为____________。
解析：f x ()2的定义域为[]-11，，即[]x ∈-11，，由此得2122x∈⎡⎣⎢⎤⎦⎥，f 的作用范围为122，⎡⎣⎢⎤⎦⎥，又f 对log 2x 作用，所以log 2122x ∈⎡⎣⎢⎤⎦⎥，，解得[]x ∈24，即f x (log )2的定义域为[]24，评注：函数定义域是自变量x 的取值范围（用集合或区间表示）f 对谁作用，则谁的范围是f 的作用范围，f 的作用对象可以变，但f 的作用范围不会变。
利用这种理念求此类定义域问题会有“得来全不费功夫”的感觉，值得大家探讨。
三、复合函数单调性问题（1）引理证明已知函数))((x g f y =.若)(x g u =在区间b a ,( ）上是减函数，其值域为(c ，d)，又函数)(u f y =在区间(c,d)上是减函数，那么，原复合函数))((x g f y =在区间b a ,( ）上是增函数.证明：在区间b a ,(）内任取两个数21,x x ，使b x x a <<<21因为)(x g u =在区间b a ,(）上是减函数，所以)()(21x g x g >,记)(11x g u =, )(22x g u =即),(,21,21d c u u u u ∈>且因为函数)(u f y =在区间(c,d)上是减函数，所以)()(21u f u f <,即))(())((21x g f x g f <， 故函数))((x g f y =在区间b a ,(）上是增函数. （2）．复合函数单调性的判断复合函数的单调性是由两个函数共同决定。
为了记忆方便，我们把它们总结成一个图表：以上规律还可总结为：“同向得增，异向得减”或“同增异减”. （3）、复合函数))((x g f y =的单调性判断步骤： ⅰ?? 确定函数的定义域；ⅱ?? 将复合函数分解成两个简单函数：)(u f y =与)(x g u =。
ⅲ?? 分别确定分解成的两个函数的单调性；ⅳ?? 若两个函数在对应的区间上的单调性相同（即都是增函数，或都是减函数），则复合后的函数))((x g f y =为增函数；? 若两个函数在对应的区间上的单调性相异（即一个是增函数，而另一个是减函数），则复合后的函数))((x g f y =为减函数。
（4）例题演练例1、 求函数)32(log 221--=x x y 的单调区间，并用单调定义给予证明解：定义域 130322-<>⇒>--x x x x 或单调减区间是),3(+∞ 设2121),3(,x x x x <+∞∈且 则---)32(121x x )32(222--x x =)2)((1212-+-x x x x∵312>>x x ∴012>-x x 0212>-+x x ∴)32(121--x x >)32(222--x x 又底数1210<< ∴012<-y y 即 12y y < ∴y 在),3(+∞上是减函数同理可证：y 在)1,(--∞上是增函数［例］2、讨论函数)123(log )(2--=x x x f a 的单调性. ［解］由01232>--x x 得函数的定义域为则当1>a 时，若1>x ，∵1232--=x x u 为增函数，∴)123(log )(2--=x x x f a 为增函数. 若31-<x ，∵1232--=x x u 为减函数. ∴)123(log )(2--=x x x f a 为减函数。
当10<<a 时，若1>x ，则)123(log )(2--=x x x f a 为减函数，若31-<x ，则)123(log )(2--=x x x f a 为增函数.例3、.已知y=a log (2-xa )在［0，1］上是x 的减函数，求a 的取值范围. 解：∵a ＞0且a ≠1当a ＞1时，函数t=2-xa >0是减函数由y=a log (2-xa )在［0，1］上x 的减函数，知y=a log t 是增函数， ∴a ＞1由x ∈［0，1］时，2-xa ≥2-a ＞0,得a ＜2, ∴1＜a ＜2当0<a<1时，函数t=2-xa >0是增函数由y=a log (2-xa )在［0，1］上x 的减函数，知y=a log t 是减函数， ∴0<a<1由x ∈［0，1］时，2-xa ≥2-1＞0, ∴0<a<1 综上述，0<a<1或1＜a ＜2例4、已知函数2)3()2(2-+--=-a x a ax x f （a 为负整数）的图象经过点R m m ∈-),0,2(，设)()()()],([)(x f x pg x F x f f x g +==.问是否存在实数)0(<p p 使得)(x F 在区间)]2(,(f -∞上是减函数，且在区间)0),2((f 上是减函数？并证明你的结论。
［解析］由已知0)2(=-m f ，得02)3(2=-+--a m a am ， 其中.0,≠∈a R m ∴0≥∆即09232≤--a a ， 解得.37213721+≤≤-a ∵a 为负整数，∴.1-=a∴1)2(34)2(2+--=-+-=-2x x x x f ，即.1)(2+-=x x f 242221)1()]([)(x x x x f f x g +-=++--==， ∴.1)12()()()(24+-+-=+=x p px x f x pg x F假设存在实数)0(<p p ，使得)(x F 满足条件，设21x x <，∴].12)()[()()(2221222121-++--=-p x x p x x x F x F ∵3)2(-=f ，当)3,(,21--∞∈x x 时，)(x F 为减函数，∴0)()(21>-x F x F ，∴.012)(,022212221>-++->-p x x p x x ∵3,321-<-<x x ,∴182221>+x x , ∴11612)(2221-->-++-p p x x p , ∴.0116≥--p ①当)0,3(,21-∈x x 时,)(x F 增函数,∴.0)()(21<-x F x F∵02221>-x x ,∴11612)(2221--<-++-p p x x p , ∴0116≤--p . ②由①、②可知161-=p ，故存在.161-=p 一．指数函数与对数函数．同底的指数函数xy a =与对数函数log a y x =互为反函数；（二）主要方法：1．解决与对数函数有关的问题，要特别重视定义域；2．指数函数、对数函数的单调性决定于底数大于1还是小于1，要注意对底数的讨论； 3．比较几个数的大小的常用方法有：①以0和1为桥梁；②利用函数的单调性；③作差． （三）例题分析：例1．（1）若21a b a >>>，则log bba，log b a ，log a b 从小到大依次为 ； （2）若235x y z==，且x ，y ，z 都是正数，则2x ，3y ，5z 从小到大依次为 ； （3）设0x >，且1x x a b <<（0a >，0b >），则a 与b 的大小关系是 （ ） （A ）1b a << （B ）1a b << （C ）1b a << （D ）1a b <<解：（1）由21a b a >>>得b a a <，故log b ba<log b a 1<<log a b ．（2）令235x y z t ===，则1t >，lg lg 2t x =，lg lg 3t y =，lg lg 5tz =，∴2lg 3lg lg (lg9lg8)230lg 2lg3lg 2lg3t t t x y ⋅--=-=>⋅，∴23x y >； 同理可得：250x z -<，∴25x z <，∴325y x z <<．（3）取1x =，知选（B ）．例2．已知函数2()1x x f x a x -=++(1)a >，求证：（1）函数()f x 在(1,)-+∞上为增函数；（2）方程()0f x =没有负数根． 证明：（1）设121x x -<<，则1212121222()()11xx x x f x f x a a x x ---=+--++ 121212*********()11(1)(1)x x x x x x x x a a a a x x x x ---=-+-=-+++++，∵121x x -<<，∴110x +>，210x +>，120x x -<，∴12123()0(1)(1)x x x x -<++； ∵121x x -<<，且1a >，∴12x xa a <，∴120x x a a -<，∴12()()0f x f x -<，即12()()f x f x <，∴函数()f x 在(1,)-+∞上为增函数； （2）假设0x 是方程()0f x =的负数根，且01x ≠-，则000201xx a x -+=+， 即00000023(1)31111x x x ax x x --+===-+++， ①当010x -<<时，0011x <+<，∴0331x >+，∴03121x ->+，而由1a >知01x a <， ∴①式不成立；当01x <-时，010x +<，∴0301x <+，∴03111x -<-+，而00x a >， ∴①式不成立．综上所述，方程()0f x =没有负数根．例3．已知函数()log (1)xa f x a =-（0a >且1a ≠）．求证：（1）函数()f x 的图象在y 轴的一侧；（2）函数()f x 图象上任意两点连线的斜率都大于0．证明：（1）由10x a ->得：1x a >，∴当1a >时，0x >，即函数()f x 的定义域为(0,)+∞，此时函数()f x 的图象在y 轴的右侧； 当01a <<时，0x <，即函数()f x 的定义域为(,0)-∞，此时函数()f x 的图象在y 轴的左侧． ∴函数()f x 的图象在y 轴的一侧；（2）设11(,)A x y 、22(,)B x y 是函数()f x 图象上任意两点，且12x x <，则直线AB 的斜率1212y y k x x -=-，1122121log (1)log (1)log 1x x x a a a x a y y a a a --=---=-，当1a >时，由（1）知120x x <<，∴121x x a a <<，∴12011x xa a <-<-，∴121011x xa a -<<-，∴120y y -<，又120x x -<，∴0k >； 当01a <<时，由（1）知120x x <<，∴121x x a a >>，∴12110x xa a ->->， ∴12111x xa a ->-，∴120y y -<，又120x x -<，∴0k >． ∴函数()f x 图象上任意两点连线的斜率都大于0．同步练习（二）同步练习：1、 已知函数)x (f 的定义域为]1,0[，求函数)x (f 2的定义域。