复合函数知识总结及例题 (1)

复合函数问题

一、复合函数定义： 设y=f(u)的定义域为A ，u=g(x)的值域为B ，若A ⊇B ，则y 关于x 函数的y=f ［g(x)］叫做函数f 与g 的复合函数，u 叫中间量.

二、复合函数定义域问题：

(1)、已知f x ()的定义域，求[]f g x ()的定义域

思路：设函数f x ()的定义域为D ，即x D ∈，所以f 的作用范围为D ，又f 对g x ()作用，作用范围不变，所以D x g ∈)(，解得x E ∈，E 为[]f g x ()的定义域。

例1. 设函数f u ()的定义域为（0，1），则函数f x (ln )的定义域为_____________。 解析：函数f u ()的定义域为（0，1）即u ∈()01，，所以f 的作用范围为（0，1） 又f 对lnx 作用，作用范围不变，所以01<

例2. 若函数f x x ()=

+1

1

，则函数[]f f x ()的定义域为______________。 解析：先求f 的作用范围，由f x x ()=+1

1

，知x ≠-1

即f 的作用范围为{}x R x ∈≠-|1，又f 对f(x)作用所以f x R f x ()()∈≠-且1，即[]f f x ()中x 应

满足x f x ≠-≠-⎧⎨⎩11()即x x ≠-+≠-⎧⎨⎪⎩⎪

1

11

1，解得x x ≠-≠-12且

故函数[]f f x ()的定义域为{}

x R x x ∈≠-≠-|12且 （2）、已知[]f g x ()的定义域，求f x ()的定义域

思路：设[]f g x ()的定义域为D ，即x D ∈，由此得g x E ()∈，所以f 的作用范围为E ，又f 对x 作用，作用范围不变，所以x E E ∈，为f x ()的定义域。

例3. 已知f x ()32-的定义域为[]

x ∈-12，，则函数f x ()的定义域为_________。 解析：f x ()32-的定义域为[]

-12，，即[]x ∈-12，，由此得[]

3215-∈-x ， 所以f 的作用范围为[]

-15，，又f 对x 作用，作用范围不变，所以[]

x ∈-15，

即函数f x ()的定义域为[]-15，例4. 已知f x x x ()lg 2

2248

-=-，则函数f x ()的定义域为-------

解析：先求f 的作用范围，由f x x x ()lg 2

2248-=-，知x x 2

2

8

0-> 解得x 244->，f 的作用范围为()4，+∞，又f 对x 作用，作用范围不变，所以x ∈+∞()4，，即f x ()的定义域为()4，+∞

（3）、已知[]f g x ()的定义域，求[]f h x ()的定义域

思路：设[]f g x ()的定义域为D ，即x D ∈，由此得g x E ()∈，f 的作用范围为E ，又f 对h x ()作用，作用范围不变，所以h x E ()∈，解得x F ∈，F 为[]f h x ()的定义域。

例5. 若函数f x

()2的定义域为[]

-11，，则f x (log )2的定义域为____________。

解析：f x ()2的定义域为[]-11，，即[]

x ∈-11，，由此得21

22x

∈⎡⎣⎢⎤

⎦

⎥，

f 的作用范围为122，⎡⎣⎢⎤⎦⎥，又f 对lo

g 2x 作用，所以log 2122x ∈⎡⎣⎢⎤

⎦

⎥，，解得[

]

x ∈

24，

即f x (log )2的定义域为

[

]

24，

评注：函数定义域是自变量x 的取值范围（用集合或区间表示）f 对谁作用，则谁的范围是f 的作用范围，f 的作用对象可以变，但f 的作用范围不会变。利用这种理念求此类定义域问题会有“得来全不费功夫”的感觉，值得大家探讨。

三、复合函数单调性问题

（1）引理证明

已知函数))((x g f y =.若)(x g u =在区间b a ,( ）上是减函数，其值域为(c ，d)，又函数)(u f y =在区间(c,d)上是减函数，那么，原复合函数))((x g f y =在区间b a ,( ）上是增函数.

证明：在区间b a ,(）内任取两个数21,x x ，使b x x a <<<21

因为)(x g u =在区间b a ,(）上是减函数，所以)()(21x g x g >,记)(11x g u =, )(22x g u =即

),(,21,21d c u u u u ∈>且

因为函数)(u f y =在区间(c,d)上是减函数，所以)()(21u f u f <,即))(())((21x g f x g f <， 故函数))((x g f y =在区间b a ,(）上是增函数. （2）．复合函数单调性的判断

复合函数的单调性是由两个函数共同决定。为了记忆方便，我们把它们总结成一个图表：

以上规律还可总结为：“同向得增，异向得减”或“同增异减”. （3）、复合函数))((x g f y =的单调性判断步骤： ⅰ?? 确定函数的定义域；

ⅱ?? 将复合函数分解成两个简单函数：)(u f y =与)(x g u =。 ⅲ?? 分别确定分解成的两个函数的单调性；

ⅳ?? 若两个函数在对应的区间上的单调性相同（即都是增函数，或都是减函数），则复合后的函数

))((x g f y =为增函数；? 若两个函数在对应的区间上的单调性相异（即一个是增函数，而另一个是减函

数），则复合后的函数))((x g f y =为减函数。

（4）例题演练

例1、 求函数)32(log 2

2

1--=x x y 的单调区间，并用单调定义给予证明

解：定义域 130322

-<>⇒>--x x x x 或

单调减区间是),3(+∞ 设2121),3(,x x x x <+∞∈且 则

---)32(121x x )32(22

2--x x =)2)((1212-+-x x x x

∵312>>x x ∴012>-x x 0212>-+x x ∴)32(121--x x >)32(22

2--x x 又底数12

1

0<< ∴012<-y y 即 12y y < ∴y 在),3(+∞上是减函数

同理可证：y 在)1,(--∞上是增函数

［例］2、讨论函数)123(log )(2--=x x x f a 的单调性. ［解］由01232>--x x 得函数的定义域为

则当1>a 时，若1>x ，∵1232--=x x u 为增函数，∴)123(log )(2--=x x x f a 为增函数. 若3

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