复合函数知识总结及例题
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复合函数知识总结及例题
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第一篇、复合函数问题
一、复合函数定义: 设y=f （u)的定义域为A,ｕ=ｇ(x ）的值域为Ｂ,若Ａ ⊇B ，则ｙ关于ｘ函数的y=f[ｇ(x ）］叫做函数f 与g 的复合函数，u 叫中间量.
二、复合函数定义域问题: (一）例题剖析：
（1)、已知f x ()的定义域,求[]f g x ()的定义域
思路:设函数f x ()的定义域为D ，即x D ∈，所以f 的作用范围为D ，又f 对g x ()作用,作用范围不变，所以D x g ∈)(，解得x E ∈，Ｅ为[]f g x ()的定义域。
例1. 设函数f u ()的定义域为(０,１),则函数f x (ln )的定义域为___＿＿＿___＿_＿_。
解析：函数f u ()的定义域为（0,１)即u ∈()01，,所以f 的作用范围为（0,1) 又ｆ对l ｎx 作用,作用范围不变,所以01< 例２. 若函数f x x ()= +1 1 ，则函数[]f f x ()的定义域为__＿＿____＿_＿___。 解析:先求f 的作用范围,由f x x ()=+1 1 ，知x ≠-1 即f 的作用范围为{}x R x ∈≠-|1,又f 对f(x)作用 所以f x R f x ()()∈≠-且1,即[]f f x ()中x 应满足x f x ≠-≠-⎧⎨⎩ 1 1() 即x x ≠-+≠-⎧⎨⎪⎩⎪1 11 1，解得x x ≠-≠-12且 故函数[]f f x ()的定义域为{} x R x x ∈≠-≠-|12且 (2）、已知[]f g x ()的定义域,求f x ()的定义域 思路:设[]f g x ()的定义域为Ｄ，即x D ∈，由此得g x E ()∈，所以f 的作用范围为E ，又f 对ｘ作用，作用范围不变，所以x E E ∈，为f x ()的定义域。 例3. 已知f x ()32-的定义域为[] x ∈-12，,则函数f x ()的定义域为_______＿_。 解析:f x ()32-的定义域为[] -12，，即[]x ∈-12，，由此得[] 3215-∈-x ， 所以f 的作用范围为[] -15，，又f 对x 作用，作用范围不变，所以[] x ∈-15， 即函数f x ()的定义域为[] -15， 例４. 已知f x x x ()lg 2 2 248 -=-,则函数f x ()的定义域为__＿___________。 解析：先求f 的作用范围,由f x x x ()lg 2 2248-=-，知x x 2 2 8 0-> 解得x 244->,f 的作用范围为()4，+∞，又f 对x 作用,作用范围不变,所以 x ∈+∞()4，，即f x ()的定义域为()4，+∞ （３）、已知[]f g x ()的定义域，求[]f h x ()的定义域 思路：设[]f g x ()的定义域为D,即x D ∈，由此得g x E ()∈，f 的作用范围为E ，又ｆ对h x ()作用,作用范围不变,所以h x E ()∈，解得x F ∈,F 为[]f h x ()的定义域。 例5. 若函数f x ()2的定义域为[] -11，，则f x (log )2的定义域为___＿__＿__＿＿ _。 解析：f x ()2的定义域为[]-11，,即[] x ∈-11，,由此得21 22x ∈⎡⎣⎢⎤ ⎦ ⎥， f 的作用范围为122，⎡⎣⎢⎤ ⎦ ⎥ 又f 对log 2x 作用，所以log 21 22x ∈⎡⎣⎢⎤ ⎦⎥，，解得[ ] x ∈ 24， 即f x (log )2的定义域为 [ ] 24， 评注：函数定义域是自变量x 的取值范围（用集合或区间表示)f 对谁作用，则谁的范围是f 的作用范围，f 的作用对象可以变，但f 的作用范围不会变。利用这种理念求此类定义域问题会有“得来全不费功夫”的感觉,值得大家探讨。 （二)同步练习： 1、 已知函数)x (f 的定义域为]1,0[,求函数)x (f 2 的定义域。 答案:]1,1[- ２、 已知函数)x 23(f -的定义域为]3,3[-,求)x (f 的定义域。 答案:]9,3[- 3、 已知函数)2x (f y +=的定义域为)0,1(-，求|)1x 2(|f -的定义域。 答案:) 23,1()0,2 1(⋃- 4、设()x x x f -+=22lg ,则⎪⎭ ⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛x f x f 22的定义域为（ ) A. ()()4,00,4 - B. ()()4,11,4 -- C. ()()2,11,2 -- D. ()()4,22,4 -- 解:选C.由202x x +>-得,()f x 的定义域为{}|22x x -<<。故22,2 22 2.x x ⎧ -<<⎪⎪ ⎨ ⎪-< <⎪⎩,解得()()4,11,4x ∈--。故 ⎪⎭ ⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛x f x f 22的定义域为()()4,11,4-- 5、已知函数)(x f 的定义域为)23 ,21(-∈x ,求)0)(()()(>+=a a x f ax f x g 的定义域。 ［解析］由已知，有⎪⎪⎩⎪⎪⎨ ⎧<<-<<-⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨ ⎧<<-<<-.232 , 2321, 232 1,232 1a x a a x a a x ax （１）当1=a 时,定义域为}2 3 21|{<<- x x ; （２）当a a 23