大学物理1质点运动学例题

2
2
2 2i (18 2 22 ) j 18 j
2i 4 j
（4）质点在2s时的速度为
v dr 2i 4tj 2i 4 2 j 2i 8 j dt
v 22 82 68 2 17( m s1 )
质点在2s时的加速度为
a dv 4 j dt
a 4 ( m s2 )
• O
ωt x •O'
x
位矢表示为
r
xi
yj
r
costi
r
sin
tj
自然坐标表示为 s rt
例2 如图所示，以速
v
度v 用绳跨一定
滑轮拉湖面上的
l0
船，已知绳初长 l 0，岸高 h
h
l(t)
求 船的运动方程 解 取坐标系如图
O
x(t)
x
依题意有 坐标表示为 说明
l(t) l0 v t x(t) (l0 v t)2 h2
矢量形式（位矢）；（3）质点在前2s的平均速度（3）质点 在2s时的速度和加速度。
解：（1）将质点运动方程 x 2t , y 18 2t2
消去t，可得到质点的轨迹方程为 y 18 x2 2
（2）质点的位置矢量为 r 2ti (18 2t2 ) j
（3）质点在前2s内的平均速度为
v r( 2 ) r( 0 ) 1
v z2dt
A 2 cos2 t A 2 sin2 t B2 dt
s
s
ds
t
A2 2 B2dt
0
0
v vτ dsτ
例1 一质点作匀速圆周运动，半径为 r ，角速度为 。
求 用直角坐标、位矢、自然坐标表示的质点运动学方程。
解 以圆心O 为原点。建立直角坐标 系Oxy ，O 点为起始时刻，设t 时 刻质点位于P（x , y），用直角坐 标表示的质点运动学方程为
x r cos t, y r sin t
y
y
r
• P (x, y) s
例题6 一个质点沿x轴正向运动，其加速度 a=kt ，(k为常量)。
当t=0时， 方程。
v ，v0 x 。x试0 求质点的速度和质点的运动
解： a kt Q a dv dt kt dv ktdt
v
t
dv ktdt
v0
0
v
v0
1 kt2 2
Q v dx dt
dx
v0
1 2
kt
2
例8 一质点在水平面内以顺时针方向沿半径为2 m 的圆形轨道运 动。此质点的角速度与运动时间的平方成正比，即ω=kt 2 ， k 为待定常数.已知质点在2 s 末的线速度为 32 m/s
求 t =0.5 s 时质点的线速度和加速度
解 由题意得 v 32 m/s
K
ω t2
v Rt 2
4 s3
ω 4t2
a
16
j,
t
=0
时，v0
6i ,
求 v和运动方程
解 由已知有
dv
a
16
j
dt
代入初始条件
v-v0
16t
j
r0
8k
vv0dv
t
16dt j
0
v
6i 16t
j
dr v dt
代入初始条件
rr0dr
t 0
(6i 16t
j )dt
r0
8k
r
6t
i
8t
2
j
8k
例题5 质点在xy平面内运动，运动方程为，，其中x、y以m计， t以s计。求：（1）质点的轨迹方程；（2）质点运动方程的
β
d2θ dt 2
24t
an rω2 230.4 m/s2
aτ rβ 4.8 m/s2
a an2 aτ 2 230.5 m/s2
(2) 设t’ 时刻，质点的加速度与半径成45o角，则
aτ an
rω2 rβ
144t'4 24t' t' 0.55 s 2 4t'3 2.67 rad
v Rω 4Rt2
当t =0.5 s 时
v 4Rt2 2.0 m/s
an
v 2 2.0 m/s2
R θ
arctan(an
)
aτ
dv dt
8Rt
a an2 a 2
13.6
8.0 m/s2 8.25 m/s
2
a
例9 一汽车在半径R=200 m 的圆弧形公路上行驶，其运动学 方程为s =20t 0.2 t 2 (SI) .
dt
得质点的运动方程为
x
x0
v0t
1 6
kt 3
例7 一质点作半径为0.1 m 的圆周运动，已知运动学方程为
求
2 4t3 rad
(1) 当t =2s 时，质点运动的an 和
a 以及aτ的大小
(2) 当 =? 时，质点的加速度与半径成45o角？
解 (1) 运动学方程得 ω dθ 12t2 dt
质点运动学的基本问题之一，是确定质点运动学方程。为
正确写出质点运动学方程，先要选定参考系、坐标系，明
确起始条件等，找出质点坐标随时间变化的函数关系。
例3 已知一质点运动方程
r
2t
i
(2
t
2
)
j
求 (1) t =1s 到 t =2s 质点的位移 (2) t =2s 时 v，a
(3) 轨迹方程
解
(1)
s1
t1
1 t2dt t 1 t2 1 ln t 1 t2 c
2
2
s2 s1 s 3 10
2 ln 3 10 9.98 m 1 2
例11 已知质点的运动方程为
x Acos t, y Asin t, z Bt
求 在自然坐标系中任意时刻的速度
解 ds
vx2
v
2 y
由运动方程得
r r2 r1
(4
r1 2i
j
2)i (2
1)
r2
4i
j 2i 3 j
2
j
(2)
v
当t
dr
2i 2t
j
dt
=2s 时 v2 2
i
4
a j
dd2tr2a2ddvt2j2
j
(3) x 2t y 2 t2 轨迹方程为 y 2 x2 / 4
例4
已知
0.4 200
1)2
2
1.44
m/s 2
例10
已知质点运动方程为
r
2t
i
t
2
j
(SI)
求 t1 1s t2 3s 之间的路程 。
解 质点运动速度为
v
dr
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d
(2ti
t
2
j)
2i 2t
j
dt dt
速率为 v v x2 v y2 22 4t2 2 1 t2
路程有 ds vdt 2 1 t2dt s2 ds t2 2 1 t2dt
求 汽车在 t = 1 s 时的速度和加速度大小。
解 根据速度和加速度在自然坐标系中的表示形式，有
v ds 20 0.4t
dt
aτ
dv dt
0.4
v(1) 19.6 m/s
an
v2 R
(20 0.4t)2 R
a
aτ2 an2
0.42
(20
0.4t R
)2
2
a(1)
0.42
(20