矩阵函数的求法

二、利用零化多项式求解矩阵函数.

利用Jordan 标准型求解矩阵函数的方法比较复杂，它需要求J 和P 。下面我们介绍根据零化多项式求解矩阵函数的一种方法。 定律：n 阶方阵A 的最小多项式等于它的特征矩阵的第n 个（也就

是最后一个）不变因子n d ()λ。（可参见张远达《线性代数原理》P215）

设n 阶方阵A 的不变因子反向依次为n d (),λn 11d (),,d ()-λλ ，由它们给出的初等因子分别为

12r m m m 12r (),(),,()λ-λλ-λλ-λ ；s r 1m m r 1s (),,()++λ-λλ-λ ；

，s

i

i 1

m

n ==∑

由于1223n 1n d ()|d (),d ()|d (),,d ()|d ()-λλλλλλ ，故 1o r 1s ~+λλ必定出现在1r ~λλ中； 2o 若i j (i r)(j r)λ>=λ≤则i j m m ≤ 根据上述定理，A 的最小多项式

12r m m m 012r ()()()()ϕλ=λ-λλ-λλ-λ

即 12r m m m 12r (I A)(I A)(I A)O λ-λ-λ-=

令r

i i 1m m ==∑，则可见m A 可以由02m 1A I,A,A ,,A -= 线性表示，从

而m i A (0)+λ>亦可由02m 1A I,A,A ,,A -= 线性表示。所以，矩阵函数f(A)若存在，也必定可由0m 1A ~A -线性表示。

因此，我们定义一个系数待定的(m -1)次多项式m 1

i i i 0g()c -=λ=λ∑，根据

以上论述，适当选择系数0m 1c ~c -，就可以使f (A )=g (A )

又，假设J 、P 分别为A 的Jordan 标准形及相应变换矩阵：1A PJP -= 则 1f(A)Pf(J)P -=，1g(A)Pg(J)P -=→ f(J)=g(J) →i i f(J )g(J )=

⇒i i (m 1)(m 1)i i i i i i f()g(),f ()g (),,f ()g ()--''λ=λλ=λλ=λ (i 1,2,,r)=

由于g(A)为待定系数的多项式，上面就成为关于0m 1c ~c -的线性方程组。且方程的个数为r

i i 1m m ==∑等于未知数个数，正好可以确定

0m 1c ~c -

由此给出根据最小多项式求矩阵函数的一般方法。 1o 求出最小多项式

1

2

r

r

m m m 0n 12r i i 1()d ()()()(),m m =ϕλ=λ=λ-λλ-λλ-λ=∑ ；

（或者特征多项式1

2

r r

n n n 12r i i 1

()()()(),n n =ϕλ=λ-λλ-λλ-λ=∑ ）

2o 形式上写出待定多项式

m 1

i 2m 1i 012m 1i 0g()c c c c c ---=λ=λ=+λ+λ++λ∑

（或者n 1

i 2n 1i 012n 1i 0

g()c c c c c ---=λ=λ=+λ+λ++λ∑ ）

3o 求解关于0m 1c ~c -的线性方程组

(k)(k)i i g ()f ()λ=λ i

(k 1,2,

,m ;i 1,2,,r )

== （或者i k 1,2,,n ;i 1,2,,r == ）

4o 求出g(A)，即可得f(A)=g(A).

从推导的过程看，似乎不仅最小多项式可用于矩阵函数的计算，一般零化多项式也可以，其中以特征多项式最为方便。（但i k 1,2,,n = 的根据仍需充分作证）

例2、采用新方法计算1234123A 121⎡⎤⎢⎥

⎢

⎥=⎢

⎥⎢⎥

⎣⎦

的函数

（f ()λ=

[解] 1o 40()()(1).ϕλ=ϕλ=λ- 11m 4m n,1===λ=；

2o 230123g()c c c c λ=+λ+λ+λ 3o 方程组为

0123g(1)f(1)1c c c c ===+++ 1231

g (1)f (1)c 2c 3c 2

''==

=++ 231g (1)f (1)2c 6c 4''''==-=+ 33

g (1)f (1)6c 8''''''===

→ 321015155

c ,c ,c ,c 16161616

=

=-==

4o

231

g(A)(5I 15A 5A A )16

=+-+

14102014102A 141⎡⎤⎢⎥⎢

⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，16215616213A 161⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢

⎥⎢⎥

⎣⎦

∴

500015304560520501001621565001530455205016211f(A)165015305201651551⎧⎫

⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎪⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎪⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+-+⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎪⎪

⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎪⎪⎣

⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎩⎭ =1111111111⎡⎤⎢⎥

⎢

⎥⎢

⎥⎢⎥

⎣⎦

与Jordan 标准形方法完全一致。