5-3函数矩阵与矩阵微分方程解析

(3)设
k ( x ) 是 x 的纯量函数，A( x ) 是函数矩
阵，k ( x ) 与 A( x ) 均可导，则
d dk ( x ) dA( x ) [k ( x ) A( x )] A( x ) k ( x ) dx dx dx
特别地，当 k ( x ) 是常数 k 时有
那么 A( x) x 。于是 A( x ) 在任何区间 [a , b] 上的秩都是2。即 A( x )是满秩的。但 是 A( x ) 在 [a , b]上是否可逆，完全依赖于 a , b 的取值。当区间 [a , b] 包含有原点时， A( x) 在 [a, b]上有零点，从而 A( x ) 是不 可逆的 。
函数矩阵对纯量的导数和积分
定义：如果A( x) (aij ( x))mn 的所有各元 素 aij ( x) 在 x x0 处有极限，即
x x0
lim aij ( x ) aij
(i 1,
, m; j 1,
, n)
其中 aij 为固定常数。则称 A( x ) 在 x 有极限，且记为
称为函数矩阵，其中所有的元素
aij ( x), i 1,2,
, m ; j 1,2,
,n
都是定义在闭区间 [a , b]上的实函数。
函数矩阵与数字矩阵一样也有加法，数乘， 乘法，转置等几种运算，并且运算法则完 全相同。 例：已知
1 x sin x 1 x cos x A x , B x 1 x 1 x e e
lim aij ( x ) aij ( x0 )
则称 A( x ) 在 x
x x0
x0 处连续，且记为
lim A( x ) A( x0 )
其中
a11 ( x0 ) a12 ( x0 ) a (x ) a (x ) 21 0 22 0 A( x0 ) am1 ( x0 ) am 2 ( x0 )
dA( x ) A( x0 x ) A( x0 ) A( x0 ) lim dx x x0 x0 x ( x0 ) a12 ( x0 ) a11 a ( x ) a ( x ) 21 0 22 0 2 ( x0 ) am1 ( x0 ) am n ( x0 ) a1 n ( x0 ) a2 ( x0 ) amn
称 B ( x )是 A( x ) 的逆矩阵，一般记为 A ( x ) 例 ：已知
1
1 1 A( x ) x x 0 e ，那么 A( x ) 在区间 [3,5] 上是可逆的，其
逆为
x x x e 1 A ( x) 0 1 x e
函数矩阵的导数运算有下列性质：
(1) A( x ) 是常数矩阵的充分必要条件是
dA( x ) 0 dx
(2) 设 A( x) (aij ( x))mn , B( x) (bij ( x))mn
均可导，则
d dA( x ) dB( x ) [ A( x ) B( x )] dx dx dx
容易验证下面的等式是成立的：
a1n ( x0 ) a 2 n ( x0 ) amn ( x0 )
设
则
x x0
lim A( x ) A, lim B( x ) B
x x0 x x0
(1)
lim( A( x ) B( x )) A B
(2) lim(kA( x)) kA
x x0
x0 处
wk.baidu.com
lim A( x ) A
其中
a11 a12 a a22 21 A am1 am 2
a1n a2 n amn
如果 A( x ) 的各元素 即
x x0
aij ( x) 在 x x0 处连续，
(i 1, , m; j 1, , n)
函数矩阵可逆的充分必要条件
定理 : n 阶矩阵A( x ) 在区间[a , b] 上可逆 的充分必要条件是 A( x) 在 [a , b] 上处处不 为零，并且
1 * A ( x) A ( x) A( x ) * ，其中A ( x) 为矩阵 A( x ) 的伴随矩阵。
1
定义：区间 [a , b] 上的 m n 型矩阵函数不 恒等于零的子式的最高阶数称为 A( x ) 的秩。
计算
A B, AB, A ,2 ( A B)
T x
定义：设 A( x ) 为一个 n 阶函数矩阵，如果 存在 n 阶函数矩阵 B ( x ) 使得对于任何 x [a, b] 都有
A( x) B( x) B( x) A( x) I 那么我们称 A( x ) 在区间 [a , b] 上是可逆的。
5-3 函数矩阵与矩阵微分方程
函数矩阵
定义： 以实变量
x 的函数为元素的矩阵
a1n ( x ) a2 n ( x ) amn ( x )
a11 ( x ) a12 ( x ) a ( x) a ( x) 21 22 A( x ) am1 ( x ) am 2 ( x )
x x0
(3) lim( A( x) B( x)) AB
x x0
定义：如果 A( x) (aij ( x))mn 的所有各元素 aij ( x)(i 1, , m; j 1, , n) 在点 x x0 处(或在区间 [a , b] 上)可导，便称此函数矩阵 A( x ) 在点 x x0 处(或在区间 [a , b] 上)可导， 并且记为
特别地，设 A( x ) 为区间 [a , b]上的 n 阶矩阵 函数，如果 A( x ) 的秩为 n ，则称 A( x ) 一个 满秩矩阵。 注意：对于n阶函数矩阵而言，满秩与可逆 不是等价的。即：可逆的一定是满秩的，但 是满秩的却不一定是可逆的。 例 ：已知
0 1 A( x ) 2 x x