5-3函数矩阵与矩阵微分方程

计算
A B, AB, A ,2 ( A B)
T x
定义：设 A( x ) 为一个 n 阶函数矩阵，如果 存在 n 阶函数矩阵 B ( x ) 使得对于任何 x [a, b] 都有
A( x) B( x) B( x) A( x) I 那么我们称 A( x ) 在区间 [a , b] 上是可逆的。
2
(
x
0
sin x A( x )dx ) 2 x 2 cos x
2 '
cos x 2 sin x
2
例 4 ：已知函数矩阵
e x A( x ) e 3x
2x
xe 2e 0
x x
x 0 0
2
试计算

1
0
A( x)dx , ( A( x)dx)
2
0 0 d A( x) 3 dx 0 0
3
由于 A( x) x3 ，所以
d 2 A( x ) 3 x dx
下面求 A ( x ) 。由伴随矩阵公式可得
1
1 * A ( x) A ( x) A( x )
1
0 2 1 0 x 3 1 x x 1 2 x d 1 A ( x) 再求 dx
(2) lim(kA( x)) kA
x x0
(3) lim( A( x) B( x)) AB
x x0
定义：如果 A( x) (aij ( x))mn 的所有各元素 aij ( x)(i 1,, m; j 1,, n) 在点 x x0 处(或在区间 [a , b] 上)可导，便称此函数矩阵 A( x ) 在点 x x0 处(或在区间 [a , b] 上)可导， 并且记为
试求
(1) lim A( x )
x 0
d (2) A( x ) dx 2 d (3) A( x ) 2 dx d (4) A( x ) dx d (5) A( x ) dx
例 3 ：已知函数矩阵
sin x cos x A( x) cos x sin x
试求

x
0
A( x)dx , ( A( x)dx)
b
a12 ( x )dx

b
函数矩阵的定积分具有如下性质：

b
a b
kA( x )dx k A( x )dx
a b a
b
k R
b a
a
[ A( x ) B( x)]dx A( x)dx B( x)dx
例 1 ：已知函数矩阵
1 A( x ) x
试计算
x 0
x x0
x0 处
lim A( x ) A
其中
a11 a12 a1n a a22 a2 n 21 A am1 am 2 amn
如果 A( x ) 的各元素 即
x x0
aij ( x) 在 x x0 处连续，
(i 1,, m; j 1,, n)
0
x2
'
证明：
x sin xdx x cos xdx x 0 0 0 A( x)dx x x cos xdx sin xdx 0 0 1 cos x sin x 1 cos x sin x
同样可以求得
1 x 1 3 x
0 d 1 A ( x) d 2 3 x
例 2 ：已知函数矩阵
1 2 x 3 4 x
sin x sin x A( x ) x 1
cos x e
x
0
x 2 x 3 x
lim aij ( x ) aij ( x0 )
则称 A( x ) 在 x
x x0
x0 处连续，且记为
lim A( x ) A( x0 )
其中
a11 ( x0 ) a12 ( x0 ) a (x ) a (x ) 21 0 22 0 A( x0 ) am1 ( x0 ) am 2 ( x0 )
设
则
a1n ( x0 ) a 2 n ( x0 ) amn ( x0 )
容易验证下面的等式是成立的：
x x0
lim A( x ) A, lim B( x ) B
x x0 x x0
(1)
lim( A( x ) B( x )) A B
0
x3
'
函数向量的线性相关性
定义：设有定义在区间 [a , b]上的 m 个连续的 函数向量
i ( x) (ai1( x), ai 2 ( x),, ain ( x))(i 1,2,, m)
如果存在一组不全为零的常实数 k1, k2 ,, km 使得对于所有的 x [a, b] 等式
那么 A( x) x 。于是 A( x ) 在任何区间 [a , b] 上的秩都是2。即 A( x )是满秩的。但 是 A( x ) 在 [a , b]上是否可逆，完全依赖于 a , b 的取值。当区间 [a , b] 包含有原点时， A( x) 在 [a, b]上有零点，从而 A( x ) 是不 可逆的 。
定义：设 1 ( x),2 ( x),,m ( x) 是 在区间 [a , b] 上的连续函数向量
m 个定义
i ( x) (ai1( x), ai 2 ( x),, ain ( x))(i 1,2,, m)
记
gij i ( x) ( x)dx
a T j
b
(i, j 1,2,, m)
函数矩阵可逆的充分必要条件
定理 : n 阶矩阵A( x ) 在区间[a , b] 上可逆 的充分必要条件是 A( x) 在 [a , b] 上处处不 为零，并且
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1 * A ( x) A ( x) A( x ) * ，其中A ( x) 为矩阵 A( x ) 的伴随矩阵。
1
定义：区间 [a , b] 上的 m n 型矩阵函数不 恒等于零的子式的最高阶数称为 A( x ) 的秩。
5-3 函数矩阵与矩阵微分方程
函数矩阵
定义： 以实变量
x 的函数为元素的矩阵
a1n ( x ) a2 n ( x ) amn ( x )
a11 ( x ) a12 ( x ) a ( x) a ( x) 21 22 A( x ) am1 ( x ) am 2 ( x )
(5) 如果
A( x ) 与 A ( x ) 均可导，则
dA ( x ) dA( x ) 1 1 A ( x) A ( x) dx dx
1
1
(6) 设 A( x ) 为函数矩阵， x f (t )是 t 的纯量 函数， A( x ) 与 f (t ) 均可导，则
d dA( x ) dA( x ) A( x ) f (t ) f (t ) dx dx dx
函数矩阵对纯量的导数和积分
定义：如果A( x) (aij ( x))mn 的所有各元 素 aij ( x) 在 x x0 处有极限，即
x x0
lim aij ( x ) aij
(i 1,, m; j 1,, n)
其中 aij 为固定常数。则称 A( x ) 在 x 有极限，且记为
以
gij 为元素的常数矩阵
G ( gij )mn 称为 1 ( x),2 ( x),,m ( x) 的Gram矩阵，
k11 ( x) k22 ( x) kmm ( x) 0
成立，我们称，在 [a , b]上
1 ( x),2 ( x),,m ( x) 线性相关。
否则就说 1 ( x),2 ( x),,m ( x) 线性无关。 即如果只有在 k1 k2 km 0 等式才成 立，那么就说 1 ( x),2 ( x),,m ( x) 线性无关。
(3)设
k ( x ) 是 x 的纯量函数，A( x ) 是函数矩
阵，k ( x ) 与 A( x ) 均可导，则
d dk ( x ) dA( x ) [k ( x ) A( x )] A( x ) k ( x ) dx dx dx
特别地，当 k ( x ) 是常数 k 时有
d dA( x ) [kA( x )] k dx dx
2
d d d (1) A( x ), 2 A( x ), 3 A( x ) dx dx dx d (2) A( x ) dx d 1 (3) A ( x) dx
证明：
2
3
0 2 x d A( x ) dx 1 0
0 x d A( x ) 2 dx 0 0
dA( x ) A( x0 x ) A( x0 ) A( x0 ) lim dx x x0 x0 x ( x0 ) a12 ( x0 ) a11 a ( x ) a ( x ) 21 0 22 0 2 ( x0 ) am1 ( x0 ) am n ( x0 ) a1 n ( x0 ) a2 ( x0 ) amn
函数矩阵的导数运算有下列性质：
(1) A( x ) 是常数矩阵的充分必要条件是
dA( x ) 0 dx
(2) 设 A( x) (aij ( x))mn , B( x) (bij ( x))mn
均可导，则
d dA( x ) dB( x ) [ A( x ) B( x )] dx dx dx
称为函数矩阵，其中所有的元素
aij ( x), i 1,2,, m ; j 1,2,, n
都是定义在闭区间 [a , b]上的实函数。
函数矩阵与数字矩阵一样也有加法，数乘， 乘法，转置等几种运算，并且运算法则完 全相同。 例：已知
1 x sin x 1 x cos x A x , B x 1 x 1 x e e
称 B ( x )是 A( x ) 的逆矩阵，一般记为 A ( x ) 例 ：已知
1
1 1 A( x ) x x 0 e ，那么 A( x ) 在区间 [3,5] 上是可逆的，其
逆为
x x x e 1 A ( x) 0 1 x e
定义： 如果函数矩阵 A( x) (aij ( x))mn 的 所有各元素 aij ( x)(i 1,, m; j 1,, n) 在[a , b] 上可积，则称 A( x ) 在 [a , b]上可积， 且
b a ( x )dx a 11 b b a21 ( x )dx a A ( x )d x a b am1 ( x )dx a a ( x )d x a a 1n b b a a22 ( x)dx a a2 n ( x )dx b b a am 2 ( x )dx a amn ( x )dx
(4) 设 A( x ), B( x ) 均可导，且 A( x ) 与 B ( x ) 是 可乘的，则
d dA( x ) dB( x ) [ A( x ) B( x )] B( x ) A( x ) dx dx dx
因为矩阵没有交换律，所以
d 2 dA( x ) A ( x ) 2 A( x ) dx dx d 3 dA( x ) 2 A ( x) 3A ( x) dx dx
特别地，设 A( x ) 为区间 [a , b]上的 n 阶矩阵 函数，如果 A( x ) 的秩为 n ，则称 A( x ) 一个 满秩矩阵。 注意：对于n阶函数矩阵而言，满秩与可逆 不是等价的。即：可逆的一定是满秩的，但 是满秩的却不一定是可逆的。 例 ：已知
0 1 A( x ) 2 x x