矩阵论系列课件09 矩阵微分方程
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
采用常数变易法求解之；齐次方程的解为 etA c ，可设非齐次方程的解为
etA c(t)，
代入方程，得：
dx d tA dc dc = (e )c(t)+ e tA = Ax(t)+ e tA = Ax(t)+ b(t) dt dt dt dt dc = e -tA b(t) dt
c(t)=
t
tA
f(λ)= etλ λ -1 2 =(λ +1)=(λ-j)(λ+j) ， 1 λ
1o 求 出 A 的 特 征 多 项 式 ， (λ)= j = -1
λ λ 1 = j,m1 = 1; 2 = -j,m 2 = 1
m=n=2
2o 定义待定系数的多项式 g(λ)= c0 + cλ 1 3 解方程
4. 矩阵积分性质
t1
dt = （1） [A(t)±B(t)]
t0
t1
t1
t0
A(t)dt± B(t)dt
t0
t1
t1 t1 t1 [A(t)B] dt = A(t)dt B, [AB(t)] dt = A B(t) dt （2） t0 t0 t0 t0
0
e -sA b(s) ds + c(0)
由积分性质(3)可验证 c(t)是解。
加上初始条件 x(0)= c(0)，有
x(t)= e tA[x(0)+ e -sA b(s)ds]
0
t
说明:高阶常微分方程常常可以化为一阶常微分方程组来处理， 如： 令 x1 = y,x2 =
d2 y dy a 2 + b + cy = f dt dt
三、 一பைடு நூலகம்线性非齐次常系数常微分方程组
dx1 (t)+ +a1nxn(t)+b(t) 1 12x2 1 dt = a11x(t)+a dx2 = a21x(t)+a (t)+ +a2nxn(t)+b2(t) 1 22x2 dt dxn = a x(t)+a x (t)+ +a x (t)+b (t) n1 1 n2 2 nn n n dt
d dA dB [A(t)±B(t)]= ± dt dt dt
d dA dB [A(t)B(t)]= B+A dt dt dt d da dA [a(t)A(t)]= A +a dt dt dt d costA =-AsintA dt d sintA =AcostA dt
d tA e =AetA =etAA dt
令
x(t)=[x(t), x2(t), , xn(t)]T 1 b(t)=[b(t), b2(t), , bn(t)]T 1 a11 a12 a a 21 22 a a n1 n2 a1n a2n ann
方程组化为矩阵方程
dx = Ax + b dt
t
b
xi = x(t) ,n),aij(i, j = 1,2, ,n) 式中 t 是自变量， 是 t 的一元函数(i= 1,2, i
是常系数。 令
a11 a12 a a T x(t)=[x(t),x ,xn(t)] ， A = 21 22 1 2(t), a n1 an2 a1n a2n ann
表明 x(t)确为方程的解，积分常数亦正确
dx1 = x2 dt 例：求解微分方程组 ， dx 2 = -x1 dt
x (0) r 初始条件为 1 = 1 x2(0) r2
解： A =
0
， f(A)= e -1 0
1
第九讲 矩阵微分方程
一、矩阵的微分和积分 1. 矩阵导数定义：若矩阵 A(t)=(aij(t))m×n 的每一个元素 a (t)是变量 t 的 ij 可微函数，则称 A(t)可微，其导数定义为
da dA = A (t)=( ij )m×n dt dt
由此出发，函数可以定义高阶导数，类似地，又可以定义偏导数。 2. 矩阵导数性质：若 A(t),B(t)是两个可进行相应运算的可微矩阵，则 （1） （2） （3） （4）
dy ，则可得 dt
d x1 = x2 dt d x 2 = 1( f - c x 1 - b x 2 ) = - c x 1 - b x 2 + f dt a a a a
一般地，n 阶常微分方程可以化为 n 个一阶常微分方程组成的方程组。
作业：p170-171 p177 3、4
o
g(λ)= f(λ)= ejt = cost +jsint = c0 +jc1 1 1 g(λ)= f(λ)= e-jt = cost -jsint = c -jc
2 2 0
1
c0 = cost c1 = sint
4o
g(A)= c0I+ c1A =
cost 0 cost
d A(t) dt = A(t), A(t) dt = A(b)- A(a) （3） dt a a
二、 阶线性齐次常系数常微分方程组 设有一阶线性其次常系数常微分方程组
dx1 dt = a11x1(t)+ a12 x2(t)+ + a1n xn(t) dx 2 = a21x1(t)+ a22 x2(t)+ + a2n xn(t) dt dxn = a x (t)+ a x (t)+ + a x (t) n1 1 n2 2 nn n dt
3. 矩阵积分定义：若矩阵 A(t)=(a (t))m× 的每个元素 aij(t)都是区间 n ij
[t0 ,t1]上的可积函数， 则称 A(t)在区间[t0 ,t1]上可积， 并定义 A(t)在[t0 ,t1]
上的积分为
t1 t1 A(t) dt = a (t)dt ij t0 t0 m×n
5、9
则原方程组变成如下矩阵方程
dx = Ax(t) dt
其解为
x(t)= etAx(0)= etAc
对该解求导，可以验证
更一般的
x(t)= e(t-t0 )Ax(t0 )
dx(t) = AetAc = Ax(t) 且 t＝0 时， x(t)= e0A c =Ic = c = x(0) dt
0 0 sint cost sint tA + = = f(A)= e cost -sint 0 -sint cost
x(t)= etA x(0)=
sint r1 rcost +rsint x(t) 1 2 1 = = -rsint x2(t) 2 1 -sint cost r2 rcost
(A 与 t 无关)
此处仅对 证：
d tA (e )= AetA = etAA 加以证明 dt
d tA d 1 1 1 (e )= (I+ tA + t2A2 + t3A3 + )= A + tA2 + t2A3 + dt dt 2! 3! 2!
1 = A(I+tA+ t2A2 + )= AetA 2! 1 2 2 )A =etAA 又 =(I+tA+ t A + 2!
etA c(t)，
代入方程，得：
dx d tA dc dc = (e )c(t)+ e tA = Ax(t)+ e tA = Ax(t)+ b(t) dt dt dt dt dc = e -tA b(t) dt
c(t)=
t
tA
f(λ)= etλ λ -1 2 =(λ +1)=(λ-j)(λ+j) ， 1 λ
1o 求 出 A 的 特 征 多 项 式 ， (λ)= j = -1
λ λ 1 = j,m1 = 1; 2 = -j,m 2 = 1
m=n=2
2o 定义待定系数的多项式 g(λ)= c0 + cλ 1 3 解方程
4. 矩阵积分性质
t1
dt = （1） [A(t)±B(t)]
t0
t1
t1
t0
A(t)dt± B(t)dt
t0
t1
t1 t1 t1 [A(t)B] dt = A(t)dt B, [AB(t)] dt = A B(t) dt （2） t0 t0 t0 t0
0
e -sA b(s) ds + c(0)
由积分性质(3)可验证 c(t)是解。
加上初始条件 x(0)= c(0)，有
x(t)= e tA[x(0)+ e -sA b(s)ds]
0
t
说明:高阶常微分方程常常可以化为一阶常微分方程组来处理， 如： 令 x1 = y,x2 =
d2 y dy a 2 + b + cy = f dt dt
三、 一பைடு நூலகம்线性非齐次常系数常微分方程组
dx1 (t)+ +a1nxn(t)+b(t) 1 12x2 1 dt = a11x(t)+a dx2 = a21x(t)+a (t)+ +a2nxn(t)+b2(t) 1 22x2 dt dxn = a x(t)+a x (t)+ +a x (t)+b (t) n1 1 n2 2 nn n n dt
d dA dB [A(t)±B(t)]= ± dt dt dt
d dA dB [A(t)B(t)]= B+A dt dt dt d da dA [a(t)A(t)]= A +a dt dt dt d costA =-AsintA dt d sintA =AcostA dt
d tA e =AetA =etAA dt
令
x(t)=[x(t), x2(t), , xn(t)]T 1 b(t)=[b(t), b2(t), , bn(t)]T 1 a11 a12 a a 21 22 a a n1 n2 a1n a2n ann
方程组化为矩阵方程
dx = Ax + b dt
t
b
xi = x(t) ,n),aij(i, j = 1,2, ,n) 式中 t 是自变量， 是 t 的一元函数(i= 1,2, i
是常系数。 令
a11 a12 a a T x(t)=[x(t),x ,xn(t)] ， A = 21 22 1 2(t), a n1 an2 a1n a2n ann
表明 x(t)确为方程的解，积分常数亦正确
dx1 = x2 dt 例：求解微分方程组 ， dx 2 = -x1 dt
x (0) r 初始条件为 1 = 1 x2(0) r2
解： A =
0
， f(A)= e -1 0
1
第九讲 矩阵微分方程
一、矩阵的微分和积分 1. 矩阵导数定义：若矩阵 A(t)=(aij(t))m×n 的每一个元素 a (t)是变量 t 的 ij 可微函数，则称 A(t)可微，其导数定义为
da dA = A (t)=( ij )m×n dt dt
由此出发，函数可以定义高阶导数，类似地，又可以定义偏导数。 2. 矩阵导数性质：若 A(t),B(t)是两个可进行相应运算的可微矩阵，则 （1） （2） （3） （4）
dy ，则可得 dt
d x1 = x2 dt d x 2 = 1( f - c x 1 - b x 2 ) = - c x 1 - b x 2 + f dt a a a a
一般地，n 阶常微分方程可以化为 n 个一阶常微分方程组成的方程组。
作业：p170-171 p177 3、4
o
g(λ)= f(λ)= ejt = cost +jsint = c0 +jc1 1 1 g(λ)= f(λ)= e-jt = cost -jsint = c -jc
2 2 0
1
c0 = cost c1 = sint
4o
g(A)= c0I+ c1A =
cost 0 cost
d A(t) dt = A(t), A(t) dt = A(b)- A(a) （3） dt a a
二、 阶线性齐次常系数常微分方程组 设有一阶线性其次常系数常微分方程组
dx1 dt = a11x1(t)+ a12 x2(t)+ + a1n xn(t) dx 2 = a21x1(t)+ a22 x2(t)+ + a2n xn(t) dt dxn = a x (t)+ a x (t)+ + a x (t) n1 1 n2 2 nn n dt
3. 矩阵积分定义：若矩阵 A(t)=(a (t))m× 的每个元素 aij(t)都是区间 n ij
[t0 ,t1]上的可积函数， 则称 A(t)在区间[t0 ,t1]上可积， 并定义 A(t)在[t0 ,t1]
上的积分为
t1 t1 A(t) dt = a (t)dt ij t0 t0 m×n
5、9
则原方程组变成如下矩阵方程
dx = Ax(t) dt
其解为
x(t)= etAx(0)= etAc
对该解求导，可以验证
更一般的
x(t)= e(t-t0 )Ax(t0 )
dx(t) = AetAc = Ax(t) 且 t＝0 时， x(t)= e0A c =Ic = c = x(0) dt
0 0 sint cost sint tA + = = f(A)= e cost -sint 0 -sint cost
x(t)= etA x(0)=
sint r1 rcost +rsint x(t) 1 2 1 = = -rsint x2(t) 2 1 -sint cost r2 rcost
(A 与 t 无关)
此处仅对 证：
d tA (e )= AetA = etAA 加以证明 dt
d tA d 1 1 1 (e )= (I+ tA + t2A2 + t3A3 + )= A + tA2 + t2A3 + dt dt 2! 3! 2!
1 = A(I+tA+ t2A2 + )= AetA 2! 1 2 2 )A =etAA 又 =(I+tA+ t A + 2!