矩阵微分方程

xn2 (t)
L
x1m (t)
x2m
(t
)
,
xnm (t)
则方程 dx Ax是n m个未知函数的线性常系数齐次微分 dt
方程组。
x11(t0 ) x12 (t0 )
x(t)
t t0
x(t0 )
x21 (t0
xn1 (t0
) )
x22 (t0 ) xn2 (t0 )
x1m (t0 ) x2m (t0 )
y1
2 y2
2 y3
y1(0) 1
在初始条件y
(0)
y2
(0)
1
下的解。
y3(0) 3
2 2 1
解
定解问题的解为y
(t
)
ຫໍສະໝຸດ Baidu
e
At
y(0),
其中A
1
1
1
,
下面求e
At。
1 2 2
A的特征多项式f() ( 1)3, A的最小多项式m() ( 1)2.
因此，可设多项式g() a0 a1 由f (1) g(1), f '(1) g '(1), f () et , 得a0 et tet , a1 tet 从而，g() et tet tet
x(t0 ) ceAt0 ,c eAt0 x(t0 )
t
x(t) eAt eAvBu(v)dv eAt0 x(t0 )eAt
t0
3. n阶常系数微分方程的解
设a1, a2,L , an为常数，u(t)为已知函数，称 y(n) a1 y(n1) a2 y(n2) L an y u(t) 为n阶常系数微分方程.当u(t) 0时，称为非齐次的； 否则，称为齐次的。
设
a11 a12 L
A
a21
a22
L
L
an1 an2 L
则 dx Ax dt
a1n
a2
n
,
ann
x1(t)
x(t
)
x2
(t
)
M
xn (t)
若未知函数x(t)不是列向量，而是n m矩阵
x11(t) x12 (t) L
x(t
)
x21
(t
)
x22 (t)
L
L
xn1(t)
n阶常系数线性齐次方程的定解问题：
y(n) a1 y(n1) a2 y(n2) an y 0 (4.3)
y(i) (t)
t 0
y(i) 0
,
i
0,1,
,n
1
令x1 y, x2 y ' x '1 , L xn y(n1) x 'n1
x '1 x2 , x2 ' x3, L
x 'n1 xn , xn ' an x1 an1x2 L a1xn
（2）解x(t)的秩与t的取值无关.
2.线性常系数非齐次微分方程组的解
设A (aij )nn 与B (bij )nm 是常数矩阵，而
x1(t)
u1(t)
x(t
)
x2
(t
)
，u
(t
)
u2
(t
)
M
M
xn (t)
um (t)
都是函数向量，其中u1(t),u2 (t),L ,um (t)是
n阶常系数线性非齐次方程的定解问题： y(n) a1 y(n1) a2 y(n2) an y u(t) (4.5) y(i) (t) t0 y0(i) , i 0,1, , n 1
dx(t) Ax(t) Bu(t)； x(t) x(0)
dt
t0
B (0, 0,L .0,1)T
因此，f ( A) g( A) (et tet )I tet A
1 t
et
t
t
2t 2t 1
2t
t
t
t 1
定解问题的解为y(t) eAt y(0) et
et
3et
T
.
4.2 线性时变系统的状态方程
1. 线性时变系统的转移矩阵
定义 设n阶方阵A(t)在[t0,t1]上连续, x(t)是 n m阶未知矩阵，则称
已知函数，则称 dx(t) Ax(t) Bu(t) dt
为线性常系数非齐次微分方程组。
定解问题：
dx(t) Ax(t) Bu(t)； dt
x(t) t t0
x(t0 )
（4.2）
定解问题(4.2)的定解为
t
x(t) eA(tt0 ) x(t0 ) e A(tv)Bu(v)dv
t0
dx(t) Ax(t) x(t) eAtc dt
A L
0
0
0
L
1
an an1 an2 L a1
定解问题 (4.4)的解为x(t) eAt x(0)
定解问题(4.3)的解为
y (1, 0, 0,L , 0)x(t)
(1, 0, 0,L , 0)eAt x(0)
y0
(1, 0, 0,L , 0)eAt
y0 '
M
y (n1) 0
dx(t) A(t)x(t) dt
为变系数的齐次微分方程组。
定义
设j(t,t0 )
x1 j
(t , t0 M
)
,
(
j
1, 2,L
, n)满足条件
xnj (t,t0 )
0
dj(t,t0 ) dt
A(t)j(t,t0 )，
j (t, t0 ) tt0
xnm (t0 )
定理 设定解问题为：
dx Ax； dt
x(t) t t0
x(t0 )
（4.1）
其中，x(t)是t的可微函数的n m矩阵，
x(t0 )是n m阶常数矩阵，A是给定的n阶 常数方阵, 则
（1）定解问题(4.1)的解为x(t) eA(tt0 ) x(t0 ), 并且这个解是唯一的；
t
x(t) eAt x(0) eA(tv)Bu(v)dv
0
定解问题(4.5)的解为
t
y(t) (1,0, ,0)(eAt x(0) eA(tv)Bu(v)dv)
0
例 求常系数线性齐次微分方程组
dy1 (t ) dt
2 y1
2 y2
y3
dy2 (t) dt
y1
y2
y3
dy3 (t) dt
x1(t)
x1(0) y0
令x(t)
x2
(t)
,
x(0)
x2
(0)
y '0
M
M M
xn (t)
xn (0)
y ( n 1) 0
定解问题(4.3)可写成
dx(t) Ax(t)； x(t) x(0) （4.4）
dt
t0
其中
0 1 0 L 0
0
0
1
L
0
设x(t) eAtc(t)为 非 齐 次 方 程 组 的 解 ，则
dx(t)＝AeAtc(t) eAtc'(t) Ax(t) eAtc'(t) Ax(t) Bu(t) dt
t
c'(t) eAtBu(t)c(t) eAtBu(t)dt c t0
t
x(t) eAtc(t) eAt eAtBu(t)dt ceAt t0