泰勒公式的证明及应用(1)
泰勒公式的证明及其应用课题意义怎么写
泰勒公式的证明及其应用课题意义怎么写泰勒公式是数学中一个重要的公式,可以用来展开一个函数在某一点处的函数值,从而得到该点处的函数表达式。
证明泰勒公式及其应用是一个复杂的数学问题,下面将给出一些介绍:一、泰勒公式的证明设$f(x)$在点$x_0$处具有$n$阶导数$f'(x_0)$,则在该点附近可以表示为:$$f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) +frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2 + frac{f'''(x_0)}{3!}(x-x_0)^3 + cdots + frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n + R_n(x)$$其中$R_n(x)$为余项,它只与前$n-1$个项有关。
余项$R_n(x)$可以表示为:$$R_n(x) = frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1} - frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n$$其中$c$是$x$和$x_0$之间的某个数。
泰勒公式的证明思路可以看作是将$f(x)$展开成一个多项式,并根据多项式的阶数和系数确定余项$R_n(x)$。
二、泰勒公式的应用泰勒公式在许多领域都有广泛的应用,包括:1. 数值计算:泰勒公式可以用来将一个复杂的函数逼近一个数值值,从而进行数值计算。
2. 数学分析:泰勒公式可以用来证明函数的连续性,并在微积分中应用。
3. 物理学:泰勒公式可以用来描述函数在时间和空间上的分布,从而研究物理系统的运动状态。
4. 统计学:泰勒公式可以用来估计一个函数的自变量取值范围,从而进行统计学推断。
泰勒公式是一个数学工具,它的证明和应用具有很高的实用价值。
泰勒公式证明及应用
泰勒公式及其应用佟梅(渤海大学数学系辽宁锦州121000 中国)摘要：数学是一门很重要的学科，许多的数学家研究出了各种定理、公式，并且都证实了它们的正确性，应用这些定理公式解决了许多疑难问题，泰勒公式就是其一。
泰勒公式是数学分析中的一个重要公式，它在解决分析中的问题时应用广泛、灵活，也是解决各种数学问题的一个强有力的工具之一，本文对泰勒公式进行了简单的介绍，重点介绍了它的各种应用，作了一个较系统和规律性的分析综述。
首先，介绍了泰勒定理及其几种表示形式的泰勒公式，在后面的应用中会应用到。
其次，就是本文的重点——泰勒公式的应用，介绍了九个方面，主要包括：研究级数和广义积分的敛散性、利用泰勒公式求极限、近似计算和误差估计、确定和比较无穷小的阶、证明不等式等等，通过许多的例题分析，体现出了泰勒公式在解决数学问题时的重要性和简洁性。
关键词：泰勒公式，极限，误差估计，敛散性，不等式。
Taylor’s formula and its applicationTong Mei(Department of Mathematics Bohai University，Liaoning Jinzhou 121000 China)Abstract:Mathematics is a very important discipline. Many mathematicians studied all kinds of theorem and formula, proved their correctness, and applied them to solve a number of difficult problems. Taylor formula is one of them.Taylor’s formula is a important formula in mathematical analysis. It can be used widely and conveniently to solve the problems in analysis. In addition, it is one of powerful tools to solve all kinds of mathematics problems. This article provides a simple introdu ction to Taylor’s formula, emphasizes its various applications, and makes a systematic and inerratic analysis summary. Firstly, this article introduces the Taylor theorem and some Taylor’s formula of different _expression forms, which will be applied later. Next, it is the emphasis of this article -- the application of Taylor’s formula. Here nine aspects are introduced: studying the convergence and divergence of series and the improper integral, using the Taylor’s formnla to calculate limit, the approximate calculation and error estimate, determining and comparing the order of infinitesimals, the application in theorem proof, proving inequality, and so on. Through many example analysis, the importance and conciseness of Taylor’s formula in solving mathematic s questions are well illustrated.Key Words: Taylor’s formula; limit; error estimate ;convergent or divergent; inequality.前言对于一些较复杂的函数，为了便于研究，往往希望用一些简单的函数来近似表达，多项式就是非常简单的函数，只要对自变量进行有限次加、减、乘三种算术运算就能计算出函数值，因此我们希望用多项式来近似表达函数，本文将介绍近似计算理论分析的一个重要内容——泰勒公式，并重点研究它的广泛应用。
泰勒公式 证明
泰勒公式证明全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：泰勒公式是微积分中非常重要的公式之一，它被广泛应用于求解函数在某一点处的近似值。
泰勒公式的证明涉及到数学分析的基本原理和技巧，在这篇文章中，我们将为大家详细介绍泰勒公式的证明过程。
我们来回顾一下泰勒公式的表达式。
对于一个连续可导的函数f(x)，在某点a处的泰勒展开式可以表示为：f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2/2! + f'''(a)(x-a)^3/3! + ... + f^(n)(a)(x-a)^n/n! + R_n(x)其中f(a)表示函数在点a处的函数值，f'(a)表示函数在点a处的导数，f''(a)表示函数在点a处的二阶导数，以此类推。
R_n(x)为余项，表示当n趋向于无穷大时的极限值。
现在，我们来证明泰勒公式。
我们假设函数f(x)在区间[a,b]上具有n+1阶连续导数。
根据拉格朗日中值定理，存在点ξ∈(a,b)，使得f(b)可以表示为：其中R_n(b)为余项，表示f(b)和泰勒展开式之间的误差。
我们可以将R_n(b)表示为：R_n(b) = f^(n+1)(ξ)(b-a)^(n+1)/(n+1)!接下来，我们定义一个新的函数g(x) = f(x) - T_n(x)，其中T_n(x)表示的是f(x)的n阶泰勒展开式，即：我们可以计算g(x)在点b处的导数g^(n+1)(b)：由于f(x)具有(n+1)阶连续导数，可以得到g^(n+1)(b) = 0，即g(x)在点b处的(n+1)阶导数为零。
根据罗尔定理，存在点ξ'∈(a,b)，使得g'(ξ') = 0。
接下来，我们来证明ξ'等于ξ。
根据注脚法，设h(ξ) = f(b) -T_n(b)，我们可以得到：我们可以将h(ξ)的泰勒展开式表示为：由于h^(n+1)(ξ') = 0，我们得到h(ξ) = O((ξ - ξ')^(n+1))。
泰勒展开的公式
泰勒展开的公式摘要：1.泰勒公式的定义2.泰勒公式的用途3.泰勒公式的证明方法4.泰勒公式的实际应用正文：1.泰勒公式的定义泰勒公式，又称泰勒级数，是由英国数学家布鲁克·泰勒在18 世纪初提出的一种数学公式。
泰勒公式可以将一个可微函数在某一点附近的值表示为该点的函数值、导数值和高阶导数值的有限和。
具体来说，设函数f(x) 在点a 附近可微，则泰勒公式可以表示为：f(x) ≈ f(a) + f"(a)(x-a) + f""(a)(x-a)^2 / 2! + f"""(a)(x-a)^3 / 3! +...+ f^n(a)(x-a)^n / n! + Rn(x)其中，f"(a)、f""(a)、f"""(a) 等分别表示函数f(x) 在点a 处的一阶导数、二阶导数、三阶导数等，n! 表示n 的阶乘，Rn(x) 表示泰勒公式的余项。
2.泰勒公式的用途泰勒公式在数学和实际应用中有着广泛的用途，主要包括以下几点：（1）求函数的近似值：通过泰勒公式，可以将复杂的函数在某一点附近近似为多项式，从而简化问题。
（2）证明其他数学定理：泰勒公式可以作为证明其他数学定理的工具，例如证明函数的凹凸性、极限等。
（3）数值计算：在数值计算中，泰勒公式可以用于求解微分方程、插值和逼近等问题。
3.泰勒公式的证明方法泰勒公式的证明方法有多种，其中较为常见的是利用洛必达法则进行证明。
具体证明过程较为繁琐，这里不再赘述。
4.泰勒公式的实际应用泰勒公式在实际应用中有很多例子，下面举一个简单的例子来说明。
例如，我们要求函数f(x) = sin(x) 在点x=π/2 附近的值。
首先，我们知道sin(x) 在x=π/2 处的值为1，其次，我们可以求出sin(x) 在x=π/2 处的一阶导数为cos(π/2)=0，二阶导数为-sin(π/2)=-1，以此类推。
泰勒公式在考研数学的常见应用
泰勒公式在考研数学的常见应用泰勒公式是高等数学的重要公式，也是考研数学的重要考点，在求极限，中值定理的证明题等方面有着广泛的应用，熟练掌握泰勒公式的几种常见应用对于考研复习是至关重要的，本人结合多年教学经验和考研数学的研究，系统总结了泰勒公式的一些常见应用和解题技巧。
泰勒中值定理：若f(x)在含有x0的某个开区间(a,b)内具有n+1阶导数，则对任一x∈(a,b)，有f(x)=f(x0)+f′(x0)(x-x0)+f″(x0)(x-x0)2+…+f(n)(x0)(x-x0)n+f(n+1)(ξ)(x-x0)n+1(1)这里ξ是x0与x之间的某个值。
公式(1)称为f(x)的带有拉格朗日余项的n阶泰勒公式。
若f(x)在x0具有n阶导数，则对任一x∈U(x0,δ)，有(2)公式(2)称为f(x)的带有佩亚诺余项的n阶泰勒公式。
泰勒中值定理是讨论函数和各级高阶导数之间关系的中值定理，带有拉格朗日余项的泰勒公式具有区间的性质，因此一般用于证明等式或者不等式，带有佩亚诺余项的泰勒公式具有局部的性质，一般用于求极限。
1 利用泰勒公式求极限若分子、分母是多个同阶无穷小量的代数和，且洛必达法则求解过程复杂时，用泰勒公式求极限。
解题方法和步骤：①展开分母各项，直到合并同类项首次出现不为零的项。
②将分子的各项展开至分母的最低阶次。
③代入后求极限。
例1：计算分析：“”用洛必达法则计算复杂，考虑用泰勒公式求解。
解：由于原式2 利用泰勒公式证明等式或不等式利用泰勒公式证明问题要全力分析三个问题：(1)展开几阶泰勒公式。
由泰勒公式知，条件给出n+1阶可导，展开至n阶。
(2)在何处展开(展开点x0)。
展开点x0通常选取导数为零的点，区间的中点，函数的极值点。
(3)展开后x取何值。
通常选取x为区间的端点。
例2：设函数f(x)在闭区间[-1,1]上具有三阶连续的导数，且f(-1)=0,f(1)=1。
f′(0)=0,证明在(-1,1)内至少存在一点[-1,1]，使得f″(ξ)=3。
有关泰勒公式的证明及其推广应用研究
有关泰勒公式的证明及其推广应用研究摘要：对于泰勒公式而言，由于其淋漓尽致地体现了逼近法的精髓，因而在各个领域中的各个方面均有着十分重要的应用。
本文重点就泰勒公式的几种证明形式进行了分析，并就其在不等式、函数极限等方面的推广及应用情况进行了研究。
关键词：泰勒公式；证明；应用中图分类号：o172 文献标识码：a 文章编号：1674-7712 （2013）04-0166-01泰勒公式是数学分析过程中的重要公式之一，因而在数学中占有极为重要的地位。
通常而言，一般性的数学分析教材中均采用的是柯西中值定理来对泰勒公式进行证明，此种方法也广为人知，但是，其实泰勒公式还可以采用其他多种证明形式进行证明。
鉴于此，本文采用多种形式对泰勒公式进行了证明，并就其在多个领域中的应用推广进行了研究。
（一）采用完全归纳法对泰勒公式进行证明定理：对于任何函数f（x）而言，只要其在a点处存在着直到n 阶为止的导数，则a点附近的f（x）就可采用如下公式进行表达：（二）采用积分法对泰勒公式进行证明采用积分法不仅可以巧妙地证明泰勒公式，还可以得出几个结论，其定理如下所示：定理：假设[a，b]区间内函数f（x）具有直到n阶的连续导数，而在（a，b）内也存在着n+1阶的导数，此时，对于任意一个给定的x而言，x0∈（a，b），则f（x）可以表示为一个余项所得结论如下：其他的余项中只知ξ∈（a，b），此时有xn→x0（n→+∞）；由公式（1）可知，重积分型余项可推出皮亚诺型余项，因此，也可推出其他各类余项公式的形式。
以上所述两种方法主要是以不同角度对泰勒公式进行了证明，虽然其形式发生了改变，但是总体内涵保持不变，因而体现了变化中求思想精髓的基本证明思路，因而较容易被理解。
二、泰勒公式的应用推广（一）采用带有皮亚诺型余项的泰勒公式可进行函数极限的求取（二）采用泰勒公式可对积分等式进行证明除此以外，对于判断级数的收敛性、近似值的求解、行列式的求解等等多个方面均需要借助于泰勒公式进行计算和求解，由此可见，泰勒公式具有十分广泛的应用，本文重点就上述几个常见领域的应用及推广进行了分析，由于泰勒公式多个领域均有应用，这里就不再进行一一叙述了。
考研泰勒公式大全
考研泰勒公式大全考研泰勒公式是考研数学中的一个重要知识点，也是数学分析中的经典内容。
它是基于函数的无数阶导数和函数值之间的关系，可以用来近似计算函数的值。
由于涉及到较多的公式推导和应用场景，下面将详细介绍泰勒公式的推导过程和一些常见的应用。
1.雅可比泰勒公式泰勒公式的最基本形式是雅可比泰勒公式，它可以通过有限次的求导得到。
假设函数f(x)在x=a处具有无限次可导，那么在x=a处，f(x)的泰勒展开式可以写作：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2/2!+...+f^n(a)(x-a)^n/n!+Rn(x)（1）其中，f'(a)表示f(x)在x=a处的一阶导数，f''(a)表示f(x)在x=a 处的二阶导数，f^n(a)表示f(x)在x=a处的n阶导数，(x-a)^n表示(x-a)的n次幂，n!表示n的阶乘。
公式（1）中的最后一项Rn(x)表示余项，用来衡量泰勒展开式与原函数之间的误差。
当n趋向于无穷大时，如果余项Rn(x)趋于0，则泰勒展开式可以无限逼近原函数f(x)，也就是可以用泰勒展开式来近似计算f(x)的值。
2.泰勒公式的推导泰勒公式的推导步骤可以通过数学归纳法来进行证明。
首先，我们有泰勒公式的一阶导数形式：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+R1(x)其中，R1(x)为余项，我们将其化简为：R1(x)=f(x)-f(a)-f'(a)(x-a)然后，我们对R1(x)进行第一次求导：R1'(x)=f'(x)-f'(a)接着，将R1(x)和R1'(x)带入泰勒公式的形式中，我们可以得到泰勒公式的二阶导数形式：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2/2!+R2(x)其中，R2(x)为二阶导数形式的余项，其化简步骤为：R2(x)=f(x)-f(a)-f'(a)(x-a)-f''(a)(x-a)^2/2!通过类似的推导方式，我们可以继续得到更高阶导数形式的泰勒公式，即得到公式（1）的形式。
3-4泰勒公式09[1].10.29
![3-4泰勒公式09[1].10.29](https://img.taocdn.com/s3/m/5d5101bff121dd36a32d8273.png)
的近似值 , 要求精确到小数点后的
2!
x2 1 = 6(1 + x − + R2( x)), 8 2
R 其中 2( x) =
5 − (1 +θ x) 2
16
x3 (0 < θ < 1).
1 其误差为 来计算， 取x = ( x0 = 0)来计算， 36
1 1 1 6 R2( ) < 6⋅ ⋅ 3 < 0.5×10−5, 16 36 36
f (−1) = −1,
f ′(−1) = −1, f ′′(−1) = −2!,
⋯, f (n)(−1) = −n!.
因此
f ( x) = −1− ( x + 1) − ( x + 1)2 −⋯− ( x + 1)n + Rn( x),
R 其中 n( x) =
(−1)n+1
ξ
n+2
. ( x + 1)n+1, ξ在− 1与x之间
pn(x) f (n)( x0 ) n n ( x − x0 ) + o((x − x0) ), + n!
只需证
f ( x) − pn( x) lim = 0. n x→x0 ( x − x0 )
令 Rn( x) = f ( x) − pn( x)(称为余项 , 称为余项 称为余项) 只需证
Rn( x) lim = 0. n x→x0 ( x − x0 )
x
f ′′(0) 2 f (n)(0) n ∴e = f (0) + f ′(0)x + x +⋯+ x + Rn( x) 2! n! x2 x3 xn = 1 + x+ + + ⋯+ + Rn(x) 2! 3! n!
不同余项型泰勒公式的证明与应用
不同余项型泰勒公式的证明与应用一、不同余项型泰勒公式的证明$$f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \dots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n + R_n(x)$$其中$f(x)$是需要展开的函数，$f'(x)$是$f(x)$的一阶导数，$f''(x)$是$f(x)$的二阶导数，$f^{(n)}(x)$是$f(x)$的$n$阶导数，$R_n(x)$是余项。
证明不同余项型泰勒公式的关键是对余项$R_n(x)$的估计。
根据拉格朗日中值定理，存在$x$在$x$和$a$之间，使得$f(x)$的$n$阶导数$f^{(n)}(x)$等于$f^{(n)}(a)$和$f^{(n)}(x)$之间的差值。
即存在一个$\xi$满足$a < \xi < x$，使得$$R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}$$这里用到了泰勒公式的剩余项的拉格朗日型余项。
二、不同余项型泰勒公式的应用1.近似计算函数值不同余项型泰勒公式可以用于近似计算复杂函数在其中一点处的函数值。
通过泰勒展开，我们可以用函数的高阶导数来逐步逼近函数的真实值，使得计算更加简化。
尤其是在计算机数值计算中，利用不同余项型泰勒公式进行近似计算可以大大提高计算效率和精度。
例如，在计算$\sin(x)$时，我们可以通过泰勒展开将其逼近为一系列多项式函数的和，计算复杂度大幅减少。
2.证明其他重要结论不同余项型泰勒公式也可以用于证明其他数学中的重要结论。
例如，在证明函数的极限或导数存在时，我们可以通过利用泰勒展开，并将余项$R_n(x)$进行估计，从而得到极限或导数的正确表达式。
这在实分析学中经常应用，可以大大简化证明的步骤。
另外，不同余项型泰勒公式也可以用于证明函数的逼近性质。
泰勒公式的证明及推广应用
泰勒公式的证明及推广应用泰勒公式是一种用于近似计算函数的工具，它将函数表示为无穷级数的形式。
这个公式是由英国数学家布鲁诺·泰勒（Brook Taylor）在18世纪提出的。
在本文中，我们将简要介绍泰勒公式的证明，并探讨一些关于泰勒公式的推广应用。
证明泰勒公式的一种常用方法是使用数学归纳法。
我们可以根据函数的导数逐次展开来得到一般形式的泰勒公式。
假设函数f(x)的n次导数在区间[a,b]内连续，以及f(x)的(n+1)次导数在区间[a,b]内存在。
我们可以得到以下泰勒公式的一般形式：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)/1!+f''(a)(x-a)²/2!+...+fⁿ(a)(x-a)ⁿ/n!+Rⁿ(x)其中，Rⁿ(x)是余项，它可以表示为(fⁿ⁺¹(z)(x-a)ⁿ⁺¹)/(n+1)!，其中a<z<x。
余项Rⁿ(x)可以用于估计泰勒级数的误差，并在实际应用中对所得近似值进行修正。
泰勒公式可以应用于各种数学和物理问题中。
下面是一些泰勒公式的推广应用的例子：1.近似计算：泰勒公式可以用于近似计算复杂函数的值。
通过截断级数，我们可以得到一个有限项的泰勒多项式，用于计算函数在其中一点的近似值。
2.数值积分：通过将函数展开为泰勒级数，并对级数进行求和，我们可以将函数的积分转化为级数的求和。
这种方法广泛应用于数值积分的算法中。
3.近似求解微分方程：很多微分方程难以找到解析解，但可以使用泰勒公式来近似求解。
通过将微分方程转化为泰勒级数，并截断级数至有限项，我们可以得到一个逼近解。
4.反函数的泰勒展开：泰勒公式不仅适用于函数的展开，也适用于反函数的展开。
通过将函数和它的逆函数展开为泰勒级数，并对级数进行求和，我们可以得到函数的反函数的泰勒展开。
在实际应用中，泰勒公式的推广应用不仅局限于以上几个领域。
它可以使用在各种数学和物理问题中，包括信号处理、金融工程、计算机图形学等。
泰勒(taylor)公式在不等式证明中的应用
泰勒(taylor)公式在不等式证明中的应用
礼节介绍
1、泰勒公式是由美国数学家乔治·布莱尔·泰勒于1815年发明的，它是一种用来分析函数在某一点处的切线和曲线抛物线的数学工具，从而可以估计函数类型和特征。
2、泰勒公式可以用于函数无穷小展开式的应用，它可以解决许多函数的不等式证明、微积分和科学计算等问题。
3、泰勒公式的主要用在不等式证明中，它可以帮助数学家分析函数的某个特定点处的变化情况，从而推导出函数的不等式，有效地证明这个不等式。
4、使用泰勒公式证明不等式的步骤是:
(1)通过求解函数的导数来理解函数某点处的变化情况；
(2)求解函数在某处的切线；
(3)使用抛物线来拟合函数；
(4)使用推到出的抛物线上的不等式来表述函数中的不等式；
(5)最后，需要对不等式进行证明。
5、由于泰勒公式对函数分析和验证都有极大的帮助，它广泛应用于统计学、总体估计、微分方程、函数优化等多个领域中。
此外，它也可以为有效管理和校验一些数值问题提供有力的帮手，也是数学科学领域中数值分析的有力工具。
泰勒公式证明过程
泰勒公式证明过程泰勒公式是微积分中的一项重要工具，它能够将一个函数在某一点的局部信息转化为全局信息。
本文将通过推导泰勒公式的过程，来讲解其原理和应用。
一、泰勒公式的定义泰勒公式是一个函数的多项式展开式，它可以将一个函数在某一点的局部信息转化为全局信息。
泰勒公式的一般形式如下：$$f(x)=sum_{n=0}^{infty}frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$$ 其中，$f^{(n)}(a)$表示$f(x)$在点$a$处的$n$阶导数，$n!$表示$n$的阶乘。
二、泰勒公式的推导过程为了推导泰勒公式，我们先从泰勒公式的一阶形式开始推导。
1. 一阶泰勒公式首先，我们将函数$f(x)$在点$a$处进行一阶泰勒展开，即：$$f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+R_1(x)$$其中，$f'(a)$表示$f(x)$在点$a$处的一阶导数，$R_1(x)$表示余项。
接下来，我们将余项$R_1(x)$进行化简：$$R_1(x)=f(x)-f(a)-f'(a)(x-a)$$将$f(x)$在$a$处进行泰勒展开，即：$$f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+cdots$$ 将上式代入余项$R_1(x)$中：$$R_1(x)=frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+cdots$$由于余项$R_1(x)$中的每一项都包含$(x-a)^2$及以上的次数，因此当$x$趋向于$a$时，余项$R_1(x)$趋向于0，即：$$lim_{xto a}R_1(x)=0$$因此，我们可以得到一阶泰勒公式：$$f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+o((x-a)^2)$$其中，$o((x-a)^2)$表示当$x$趋向于$a$时，余项$R_1(x)$的阶数高于$(x-a)^2$。
泰勒公式的证明及应用
泰勒公式的证明及应用work Information Technology Company.2020YEAR摘要：泰勒公式是数学分析中的重要组成部分，是一种非常重要的数学工具。
它集中体现了微积分“逼近法”的精髓，在微积分学及相关领域的各个方面都有重要的应用。
本文通过对泰勒公式的证明方法进行介绍，归纳整理其在求极限与导数、判定级数与广义积分的敛散性、不等式的证明、定积分的证明等方面的应用，从而进一步加深对泰勒公式的认识。
关键词：泰勒公式，佩亚诺余项，拉格朗日余项，验证，应用绪论随着近代微积分的发展，许多数学家都致力于相关问题的研究，尤其是泰勒，麦克劳林、费马等人作出了具有代表性的工作。
泰勒公式是18世纪早期英国牛顿学派最优秀代表人物之一的英国数学家泰勒，在微积分学中将函数展开成无穷级数而定义出来的。
泰勒将函数展开成级数从而得到泰勒公式，对于一般函数f ，设它在点0x 存在直到n 阶的导数，由这些导数构成一个n 次多项式()20000000()()()()()()()(),1!2!!n n n f x f x f x T x f x x x x x x x n '''=+-+-++-称为函数f 在点0x 处的泰勒多项式，若函数f 在点0x 存在直至n 阶导数，则有0()()(()),n n f x T x x x ο=+-即()200000000()()()()()()()()(()).2!!n n f x f x f x f x f x x x x x x x x x n ο'''=+-+-++-+- 称为泰勒公式.众所周知，泰勒公式是数学分析中非常重要的内容，是研究函数极限和估计误差等方面不可或缺的数学工具，集中体现了微积分“逼近法”的精髓，在近似计算上有着独特的优势，利用它可以将非线性问题化为线性问题，且有很高的精确度，在微积分的各个方面都有重要的应用。
泰勒公式的证明及其应用推广
ｓ ｉｎ （ｓ ｉｎｘ）＝ｓ ｉｎ （ｘ－
１
３
ｘ ＋ｏ （ｘ３））＝ｘ－
１
ｘ３－
１
（ｘ－
１
ｘ３）３＋ ｏ （ｘ３）＝ ｘ－
１
３！
３！ ３！ ３！
３！
ｘ３＋ｏ（ｘ３）， ｔａｎ（ｔａｎｘ）＝ｔａｎ（ｘ＋ １ ｘ３＋ｏ（ｘ３））＝ｘ＋ ２ ｘ３＋ｏ（ｘ３）
３！
３
５２ ２００８ 年 ２ 月 （ 上 ）
３
３
泰勒公式的证明及其应用推广
应用科技
余家骅 （ 许昌学院数学科学学院， 河南许昌 ４６１０００）
［ 摘 要］ 在理解泰勒公式基本的形式及内容的基础上， 更进一步意义的推理泰勒公式的证明及其在解决实际数学问题上 的应 用， 探究一个定理的辩证思维方式， 使我们学习知识更加深化， 形成发散性思维。 ［ 关键词］ 泰勒公式； 泰勒级数； 中值定理 行列式； 函数的凸凹性； 重积分
１！
ｎ！
证明： ①： 当 ｎ＝１ 时， 定理自然成立。事实上， 这时①变 ｆ
（ａ＋ｈ）＝ｆ（ａ）＋ｈ＋ｏ（ｈ）这是我们熟知 的。我 们 假定 定理 对 ｎ－ １ 已经 成
立 ， 换 言之 ， 我们 假 定： 对 于 任 何 一 个 函 数 ｆ（ｘ）， 只 要 ｆ （ ｘ） 在 ａ
点有直到 ｎ－ １ 阶为止的导数， 则 ｆ（ｘ）在 ａ 点附近可表示为：
∴ｔａｎ（ｔａｎｘ）－ ｓ ｉｎ（ｓ ｉｎｘ）＝ｘ３＋ｏ（ｘ３）， ∴ 原式 ＝ｌｉｍ ｘ ＋ｏ（ｘ ） ＝２；
ｘ→０
１
３
３
ｘ ＋ｏ（ｘ ）
２
２．２ 泰勒公式在证明不等式方面的应用
如果 函数 ｆ（ｘ）的二 阶 及 二 阶 以 上 导 数 存 在 且 有 界 ， 利 用 泰 勒
泰勒公式及其应用
泰勒公式及其应用本文将介绍泰勒公式在数学分析中的应用。
泰勒公式是一种重要的工具，可以用于近似计算、函数凹凸性判断、敛散性的判断、等式与不等式的证明、中值问题以及行列式的计算等方面。
本文将重点讨论泰勒公式在极限计算、敛散性的判断、中值问题以及等式与不等式的证明方面的应用。
2.泰勒公式泰勒公式是一种将函数展开为幂级数的方法。
它可以分为带有拉格朗日余项、皮亚诺型余项、积分型余项和柯西型余项的泰勒公式。
这些不同类型的泰勒公式可以用于不同的问题求解。
2.1具有拉格朗日余项的泰勒公式具有拉格朗日余项的泰勒公式是最常用的一种泰勒公式。
它可以将一个函数展开为一个幂级数，其中每一项的系数都与函数的导数有关。
这个公式的余项是一个拉格朗日型余项，可以用来估计函数在某个点的误差。
2.2带有皮亚诺型余项的泰勒公式带有皮亚诺型余项的泰勒公式是一种更精确的泰勒公式。
它可以用来估计函数在某个点的误差，并且比具有拉格朗日余项的泰勒公式更加精确。
2.3带有积分型余项的泰勒公式带有积分型余项的泰勒公式是一种将函数展开为幂级数的方法。
它可以用来估计函数在某个点的误差，并且比具有拉格朗日余项的泰勒公式更加精确。
2.4带有柯西型余项的泰勒公式带有柯西型余项的泰勒公式是一种将函数展开为幂级数的方法。
它可以用来估计函数在某个点的误差，并且比具有拉格朗日余项的泰勒公式更加精确。
3.泰勒公式的应用泰勒公式在数学分析中有广泛的应用。
本文将介绍泰勒公式在极限计算、敛散性的判断、中值问题以及等式与不等式的证明方面的应用。
3.1利用泰勒公式求未定式的极限利用泰勒公式可以求解一些未定式的极限。
例如，可以用泰勒公式将一个函数展开为幂级数，并利用级数的性质求解未定式的极限。
3.2利用泰勒公式判断敛散性泰勒公式可以用来判断一些级数的敛散性。
例如，可以用泰勒公式将一个函数展开为幂级数，并利用级数的性质判断级数是否收敛。
3.3利用泰勒公式证明中值问题泰勒公式可以用来证明一些中值问题。
泰勒公式及其推演
泰勒公式及其推演泰勒公式是微积分中非常重要的一种数学工具，它可以将一个可微函数表示成无数个多项式的和，进而用多项式来近似表示原函数。
泰勒公式的推导过程并不难，我们可以通过几个简单的步骤来理解其数学原理和应用方法。
一、泰勒公式的定义泰勒公式是指，若函数$f(x)$在点$x=a$处有$n$阶连续导数，则在$x=a$的某邻域内，有以下公式成立：$$f(x)=\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k+R_n(x)$$其中，$f^{(k)}(a)$表示$f(x)$在$x=a$处的$k$阶导数，$R_n(x)$为剩余项，即$$R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}$$其中，$c$是介于$x$和$a$之间的某个数。
泰勒公式的本质是将一个函数用多项式逼近。
这种逼近方式十分简便，不仅可以用于函数求导的计算中，还可以用于数值计算、微积分定理证明等方面。
二、泰勒公式的推导过程泰勒公式的推导过程可以分为以下几个步骤：1、设函数$f(x)$在$x=a$处可微，$x$在$a$的某邻域内。
则$f(x)$在$a$处的一阶导数为：$$f'(a)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$$可进一步展开为$$\begin{aligned}f(a+h)&=f(a)+f'(a)h+\frac{f''(a)}{2}h^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(a)}{ n!}h^n+o(h^n) \\&= \sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(a)}{k!}h^k+o(h^n)\end{aligned}$$其中，$o(h^n)$表示当$h\rightarrow 0$时，$o(h^n)$与$h^n$同阶或低阶。
2、将上式两边同时除以$h^n$，得到$$\frac{f(a+h)-f(a)}{h^n}= \sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(a)}{k!}h^{k-n}+o(1)$$3、对上式两边进行积分，得到$$f(a+h)=\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(a)}{k!}h^{k}+\int_a^{a+h}\fra c{f^{(n+1)}(t)}{n!}(h-t)^n\,\mathrm{d}t$$其中，用到了牛顿-莱布尼茨定理。
泰勒公式的几种证明及应用
泰勒公式的几种证明及应用泰勒公式是微积分中一个重要的定理，它允许我们通过多项式的Taylor级数来近似复杂函数的值。
本文将介绍泰勒公式的几种证明及应用。
1.麦克劳林级数证明：泰勒公式的一种常见证明方法是通过麦克劳林级数展开。
麦克劳林级数是泰勒级数的一种特殊形式，即当参数a=0时的泰勒级数展开。
假设函数f(x)存在无限阶的导数，将f(x)在x=a处展开为幂级数，则有：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2/2!+f'''(a)(x-a)^3/3!+...通过截取级数的前几项，我们就可以用一个多项式来近似原函数的值。
2.极限证明：另一种证明泰勒公式的方法是使用极限。
考虑函数f(x)在x=a处的n阶导数f^(n)(a)，则可以证明当x趋向于a时：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2/2!+...+f^(n)(a)(x-a)^n/n!+o((x-a)^n)其中o((x-a)^n)表示当x趋向于a时，高于(x-a)^n的项的阶数。
这个证明方法其实是利用了极限的定义，将函数值的误差与展开式中的余项进行比较。
3.应用：泰勒公式是微积分中非常重要的一个工具，它可以应用于众多的数学和物理问题中。
以下是几个泰勒公式的应用案例：-函数近似：通过泰勒公式，我们可以将复杂的非线性函数近似为多项式的形式，从而简化计算。
这在数值计算、数据分析以及物理模型的建立中非常常见。
-数值积分：泰勒公式可以用于数值积分的方法之一，即将被积函数在其中一点处展开成泰勒级数，并对多项式项进行数值积分。
这种方法可以提高计算的精度和效率。
-数值解微分方程：在数值解微分方程的过程中，泰勒公式可以用于将微分方程转化为一组代数方程，从而实现数值迭代解法。
-物理模型建立：在物理学中，泰勒公式可以用于建立物理模型，例如近似计算质点的运动轨迹、估算电路中的电流大小等。
考研数学-专题7 泰勒公式及其应用
专题7 泰勒公式及其应用(一) 泰勒公式定理1（皮亚诺型余项泰勒公式） 如果)(x f 在点0x 有直至n 阶的导数，则有)()(!)()(!2)())(()()(00)(200000x R x x n x f x x x f x x x f x f x f n n n +−++−′′+−′+=L常称))(()(0nn x x o x R −=为皮亚诺型余项. 若00=x ，则得麦克劳林公式：).(!)0(!2)0()0()0()()(2n nn x o x n f x f x f f x f +++′′+′+=L定理2（拉格朗日型余项泰勒公式）设函数)(x f 在含有0x 的开区间),(b a 内有1+n 阶的导数，则当),(b a x ∈时有)()(!)()(!2)())(()()(00)(200000x R x x n x f x x x f x x x f x f x f n n n +−++−′′+−′+=L其中10)1()(1)()(++−)!+(=n n n x x n f x R ξ，这里ξ介于0x 与x 之间，称为拉格朗日型余项. 几个常用的泰勒公式 (拉格朗日型余项)12)!1(!!21)1(+++++++=n x nxx n e n x x x e θL121213)!12(cos )1()!12()1(!3sin )2(+−−+−+−−++−=n nn n x n x n x x x x θL 22122)!22(cos )1()!2()1(!21cos )3(+++−+−++−=n n n n x n x n x x x θL1112)1)(1()1()1(2)1ln()4(++−++−+−++−=+n n nnn x n x n x x x x θL n x n n x x x !)1()1(!2)1(1)1()5(2+−−++−++=+αααααααL L11)1()!1())(1()1(+−−++−+−−+n n x x n n n αθααααL(二) 泰勒公式本质及两个泰勒公式的异同点1. 本质（相同点）1）用多项式逼近函数 2) 用已知点信息表示未知点 3) 建立函数与高阶导数的关系2. 不同点1）条件不同皮亚诺型余项： )(x f 在点0x 有直至n 阶的导数拉格朗日型余项：)(x f 在含有0x 的开区间),(b a 内有1+n 阶的导数2）余项不同皮亚诺型余项： ))(()(0nn x x o x R −=； 定性；局部.拉格朗日型余项：10)1()(1)()(++−)!+(=n n n x x n f x R ξ；定量；整体. 【注】通常称皮亚诺型余项泰勒公式为局部泰勒公式，主要用来研究函数的局部性态（如：极限，极值）；而称拉格朗日型余项泰勒公式为整体泰勒公式，主要用来研究函数的整体性态（如：最值，不等式）.(三) 泰勒公式的应用1.利用高阶导数研究函数性态【例1】若,0)()()(0)1(00===′′=′−x f x f x f n L )2(0)(0)(≥≠n x f n ，则当n 为偶数时)(x f 在0x 处有极值.其中0)(0)(>x fn 时极小，0)(0)(<x f n 时极大；当n 为奇数时)(x f 在0x 处无极值.【例2】设函数)(x f 在]1,0[上二阶可导，且,1)(,0)0(,1)0(≤′′=′=x f f f 试证：)(x f 在]1,0[上的最大值不超过.232.计算函数近似值【例1】计算e 的近似值，使误差不超过.106−【解】 )(!!212x R n xx x e n nx+++++=L11)!1()!1()(+++<+=n xn n x n e x n e x R ξ取1=x ，得 !1!2111n e ++++≈L 其误差 )!1(3)!1(+<+=n n e R n当10=n 时，误差不超过.106−得.718282.2≈e3.求极限【例1】 ._________cos 11lim 0=−−−−+→xx xe x x ]3[−【解】【例2】设)(x f 在0=x 的某邻域内二阶可导，且0)(3sin lim 230=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+→x x f xx x ,则 (A) 0)(3lim 220=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+→x x f x x (B)3)0(=f(C)3)0(=′f (C)9)0(=′′f (D)【例3】(2001年1)设)(x f y =在)1,1(−内具有二阶连续导数,且0)(≠′′x f ，试证： （1）对于)1,1(−内的任一0≠x ，存在唯一的)1,0()(∈x θ，使))(()0()(x x f x f x f θ′+=成立；（2）21)(lim 0=→x x θ. 【证】（1）任给非零)1,1(−∈x ，由拉格朗日中值定理得).1)(0())(()0()(<<′+=x x x f x f x f θθ因为)(x f ′′在)1,1(−内连续,且0)(≠′′x f ，所以)(x f ′′在)1,1(−内不变号，不妨设0)(>′′x f ，则)(x f ′在)1,1(−内严格单增，故)(x θ唯一.（2）由泰勒公式得2)(21)0()0()(x f x f f x f ξ′′+′+=， ξ在0与x 之间.所以 2)(21)0()0()())((x f x f f x f x x f x ξθ′′+′=−=′，从而 ).(21)()0())(()(ξθθθf x x f x x f x ′′=′−′由于)0()()0())((limf xx f x x f x ′′=′−′→θθ，)0()(lim 0f f x ′′=′′→ξ，故 21)(lim 0=→x x θ. 4.求高阶导数【例1】(2015年2) 函数xx x f 2)(2=在0=x 处的n 阶导数.________)0()(=n f])2)(ln 1([2−−n n n【解1】 【解2】【例2】设),()()(x a x x f nϕ−=其中)(x ϕ在a x =处n 阶可导,若m 为不超过n 的正整数,则)()()(=+a fm n(A)!)()(n a m ϕ (B)!)()(m a n ϕ(C))(!)!()(a m m n m ϕ+ (D))()!(!)(a m n n n ϕ+ (C)【解1】【解2】【解3】5.证明不等式或等式【例1】设1)(lim,0)(30)4(=>→xx f x f x ，试证：)0()(3≠>x x x f .【例2】（1996年1,2）设)(x f 在[0,1]上具有二阶导数,且满足条件a x f ≤|)(|,b x f ≤′′|)(|,其中b a ,都是非负常数,c 是(0,1)内任一点.（1）写出)(x f 在点c 处带拉格朗日型余项的一阶泰勒公式； （2）证明 .22|)(|ba c f +≤′ 【证】（1） 2)(!2)())(()()(c x f c x c f c f x f −′′+−′+=ξ （2）在以上泰勒公式中，分别令0=x 和1=x 则有21)0(!2)()0)(()()0(c f c c f c f f −′′+−′+=ξ （1） 22)1(!2)()1)(()()1(c f c c f c f f −′′+−′+=ξ （2）（2）式减（1）式得])()1)(([21)()0()1(2122c f c f c f f f ξξ′′−−′′+′=−]|)(|)1(|)([|21)1()0(|)(|2122c f c f f f c f ξξ′′+−′′++≤′])1[(2222c c b a +−+≤又因为当)1,0(∈c 时，,1)1(22≤+−c c 故.22|)(|b a c f +≤′【例3】（1999年2）设函数)(x f 在闭区间]1,1[−上具有三阶连续导数，且0)1(=−f ，1)1(=f ，0)0(=′f ，证明：在开区间)1,1(−内至少存在一点ξ，使3)(=′′′ξf .【证法1】 由麦克劳林公式得32)(!31)0(!21)0()0()(x f x f x f f x f η′′′+′′+′+=， 其中η介于0与x 之间，]1,1[−∈x . 分别令1−=x 和1=x ，并结合已知条件，得01),(61)0(21)0()1(011<<−′′′−′′+=−=ηηf f f f .10),(61)0(21)0()1(122<<′′′+′′+==ηηf f f f两式相减，可得.6)()(21=′′′+′′′ηηf f因)(x f ′′′连续，)(x f ′′′在闭区间],[21ηη上有最大值和最小值，设其分别为M 和m ，则有.)]()([2121M f f m ≤′′′+′′′≤ηη再由连续函数的介值定理知，至少存在一点)1,1(],[21−⊂∈ηηξ，使.3)]()([21)(21=′′′+′′′=′′′ηηξf f f【证法2】【例4】设)(x f 在[0,1]上二阶可导,2)(max ,0)1()0(10===≤≤x f f f x .试证存在点)1,0(∈ξ使16)(−≤′′ξf .【证法1】设2)(max )(10==≤≤x f c f x ，则10<<c ，且0)(=′c f ，由泰勒公式知2)(!2)())(()()(c x f c x c f c f x f −′′+−′+=ξ 在上式中分别令0=x ，和1=x 得214)(cf −=′′ξ ),0(1c ∈ξ 22)1(4)(c f −−=′′ξ )1,(2c ∈ξ若21≤c ，则16)21(44)(221−=−≤−=′′c f ξ若21>c ，则16)21(4)1(4)(222−=−≤−−=′′c f ξ 故存在点)1,0(∈ξ使16)(−≤′′ξf .【证法2】【例5】设)(x f 在],[b a 上有二阶连续导数，且,0)()(==b f a f ,)(max ],[x f M b a x ′′=∈证明：.12)()(3M a b dx x f ba−≤∫【证1】由泰勒公式得21)(!2)())(()()(x a f x a x f x f a f −′′+−′+=ξ (1) 22)(!2)())(()()(x b f x b x f x f b f −′′+−′+=ξ (2)(1)式加(2)式得2221)(!2)()(!2)()2)(()(20x b f x a f x b a x f x f −′′+−′′+−+′+=ξξ 两端从a 到b 积分得 +−++=∫∫baba x df xb a dx x f )()2()(20dx x b f x a f ba])(!2)()(!2)([2221−′′+−′′∫ξξ 又∫∫∫=+−+=−+bababa badx x f dx x f x f x b a x df x b a )(2)(2)()2()()2( 则 =∫ba dx x f )(4dx x b f x a f ba ])(!2)()(!2)([2221−′′+−′′−∫ξξ dx x b M dx x a M dx x f b a b a b a ∫∫∫−+−≤22)(2)(2)(4 333)(3)(6)(6a b Ma b M a b M −=−+−=故.12)()(3M a b dx x f ba−≤∫【证2】∫bax x f d )(∫−=baa x x f )d()(∫−′−−=baba x a x x f x f a x d ))(()()(∫−−′−=bab x a x x f )d())((∫∫−′+−−′′+′−−−=bababa dxb x x f x b x a x x f x f b x a x ))((d ))()(()())(( ∫∫−+−−′′=ba bax df b x x b x a x x f )()(d ))()((∫∫−−−′′=babadx x f x b x a x x f )(d ))()((则 ∫ba x x f d )(∫−−′′=bax b x a x x f d ))()((21∫−−′′=ba xb x a x f d ))((2)(ξ （积分中值定理）∫−−′′=b a a x b x f 2)d()(4)(ξ3)(12)(a b f −′′−=ξ 故 .12)()(3M a b dx x f ba−≤∫思考题： 1.试证 ).0(1812112>+<−+x x x x2.设)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内二阶可导，试证存在),(b a ∈ξ，使)(4)()()2(2)(2ξf a b a f b a f b f ′′−=++−. 3.设)(x f 三阶可导,且0)(lim,1)1(,0)1(0===−→xx f f f x ,试证存在)1,1(−∈η,使3)(≥′′′ηf .4. 若)(x f 在]1,0[上二阶可导,且0)1()0(,1)1(,0)0(=′=′==f f f f ,试证: ]1,0[∈ξ,使2)(≥′′ξf .5. 设)(x f 在0x x =的某邻域内1+n 阶可导，且,0)(0)1(≠+x fn).)((!)(!21)()()(0)(20000h h x f n h h x f h x f x f h x f n n θ+++′′+′+=+L 求极限).(lim 0h h θ→答案提示：1.【证】)(!2)121(21211)1(12221x R x x x x +−++=+=+ )(8121122x R x x +−+=其中).10(,)1(!3)221)(121(21)(33212<<+−−=−θθx x x R 由于当0>x 时，,0)(2>x R 则).0(1812112>+<−+x x x x2.【证1】2)2(!2)()2)(2()2()(b a x f b a x b a f b a f x f +−′′++−+′++=ξ 在上式中分别令b x a x ==,得4)(!2)()2)(2()2()(21a b f b a b a f b a f a f −′′+−+′++=ξ4)(!2)()2)(2()2()(22a b f a b b a f b a f b f −′′+−+′++=ξ上式两端相加得8)()]()([)2(2)()(221a b f f b a f b f a f −′′+′′++=+ξξ由)(x f 二阶可导及导函数的介值性知，存在ξ使得).(2)()(21ξξξf f f ′′=′′+′′则)(4)()2(2)()(2ξf a b b a f b f a f ′′−++=+【证2】令)()2()(x f ab x f x −−+=ϕ 2)]()2([2)()()2(a b c f a b c f a b c a b a −′−−+′=−′=−+ϕϕϕ 4)()(2a b f −′′=ξ即 4)()()2(2)()(2a b f b a f a f b f −′′=+−+ξ 3.提示：由0)(lim=→xx f x 知，.0)0(,0)0(=′=f f 写出)(x f 在0=x 处拉格朗日余项的二阶泰勒公式，再将1,1=−=x x 代入便可证明.4. 提示：分别写出)(x f 在1,0==x x 处拉格朗日余项的二阶泰勒公式，然后两式相减便可证明.5. 提示：参见：3.求极限中的例3，.11)(lim 0+=→n h h θ。
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一．摘要 (3)前言 (3)二、泰勒公式极其极其证明........................ (3)（一）带有皮亚诺型余项的泰勒公式 (3)（二）带有拉格朗日型余项的泰勒公式 (4)（三）带有柯西型余项的泰勒公式 (5)（四）积分型泰勒公式 (6)（五）二元函数的泰勒公式 (7)三、泰勒公式的若干应用 (8)（一）利用泰勒公式求极限 (8)（二）利用泰勒公式求高阶导数 (9)（三）利用泰勒公式判断敛散性 (10)（四）利用泰勒公式证明中值定理 (12)（五）利用泰勒公式证明不等式 (13)（六）利用泰勒公式求近似和值误差估计 (15)（七）利用泰勒公式研究函数的极值 (16)四、我对泰勒公式的认识 (16)参考文献 (17)英文翻译 (17)Taylor 公式的证明及应用【摘要】数学中的著名的公式都是一古典的数学问题，它们在数学，化学与物理领域都有很广泛的运用。
在现代数学中Taylor 公式有着重要地位，它对计算极限，敛散性的判断，不等式的证明、中值问题及高阶导的计算以及近似值的计算等方面都有很大的作用。
在本文中，我将谈到关于公式的几种形式及其证明方法并对以上几个方面进一步的运用，和我对几者之间的一些联系和差异的看法。
并通过具体事例进行具体的说明相关运用方法 【关键词】泰勒公式 佩亚诺余项 拉格朗日余项 极限 级数1、常见Taylor 公式定义及其证明我们通常所见的Taylor 公式有皮亚诺型、拉格朗日型、柯西型与积分型，还有常用的二元函数的Taylor 公式和高阶函数的Taylor 公式。
定义：设函数存在n 阶导数，由这些导数构成n 次多项式，称为函数在该点处的泰勒多项式各项系数称为泰勒系数。
1.1首先是带皮亚诺型余项的Taylor 公式：若函数f 在点0x 存在且有n 阶导数，则有0()()(())n n f x T x x x =+ο-即"'200000()()()()()()2!f x f x f x f x x x x x =+-+-+⋯()00()()!n n f x x x n +-0(())n x x +ο-. (2) 其中()n T x 是由这些导数构造的一个n 次多项式，"()'20000000()()()()()()()()2!!n n n f x f x T x f x f x x x x x x x n =+-+-+⋯+- （3）称为函数f 在点0x 处的Taylor 多项式，()n T x 的各项系数()0()!k f x k (1,2,,)k n =⋯称为Taylor 系数。
从上易知()f x 与其Taylor 多项式()n T x 在点0x 有相同的函数值和相同的直至n 阶导数值，即()()00()()k k n f x T x =，1,2,,k n =⋯. （4） 证明：设()()()n n R x f x T x =-，0()()n n Q x x x =-，现在只要证0()0()lim n x x nR x Q x →= 由关系式（4）可知，')000()()()0n n n n R x R x R x ==⋯==（ 并易知 '1)000()()()0n n n nQ x Q x Q x -==⋯==（，()0()!n n Q x n = 因为()0()n f x 存在，所以在点0x 的某邻域0()U x 内f 存在1n -阶导函数()f x 。
于是，当x U ο∈且0x x →时，允许接连使用洛必达法则1n -次， 得到000'(1)'(1)()()()()()()lim lim lim n n n n n x x x x x x n n nR x R x R x Q x Q x Q x --→→→==⋯= 0(1)(1)()0000()()()()(1)2()limn n n x x f x f x f x x x n n x x --→---=-⋯-0(1)(1)()000()()1[()]!lim n n n x x f x f x f x n x x --→-=--0=()()()n n R x f x T x =-称为Taylor 公式的余项，形如0(())n x x ο-的余项称为佩亚诺型余项，所以（2）式又称为带有皮亚诺型余项的Taylor 公式。
1.2 其次是带有拉格朗日型余项的Taylor 公式：若函数f 在[,]a b 上存在直至n 阶的连续导函数，在(,)a b 内存在(1)n +阶导函数，则对任意给定的x ，0x ∈[,]a b ，至少存在一点ξ∈(,)a b ，使得"'200000()()()()()()2!f x f x f x f x x x x x =+-+-+⋯()(1)10000()()()()!(1)!n n n n f x f x x x x x n n +++-+-+ （1）证明：作辅助函数()'()()()[()()()()]!n n f t F t f x f t f t x t x t n =-+-+⋯+-1()()n G t x t +=- 所需证明的（1）式即为(1)00()()()(1)n f F x G x n ξ+=+！或(1)00()()()(1)n F x f G x n ξ+=+！不妨设0x x <，则()F t 与()G t 在0[,]x x 上连续，在0(,)x x 内可导，且(1)'()()()!n n f t F t x t n +=--，'()(1)()0n G t n x t =-+-≠又因()()0F x G x ==，所以由柯西中值定理证得'(1)00'00()()()()()()()()()(1)n F x F x F x F f G x G x G x G n ξξξ+-===-+！， 其中0(,)(,)x x a b ξ∈⊂。
它的余项为(1)100()()()()()(1)!n n n n f x R x f x T x x x n ++=-=-+00()x x x ξθ=+- (01)θ<<，()()()n n R x f x T x =-称为拉格朗日余项。
所以（1）式又称为带有拉格朗日型余项的Taylor 公式。
1.3 柯西型Taylor 公式：若函数f 在[,]a b 上存在直至n 阶的连续导函数，在(,)a b 内存在(1)n +阶导函数，则对任意给定的x ，0x ∈[,]a b ，使得"()'20000000()()()()()()()()2!!n n f x f x f x f x f x x x x x x x n =+-+-+⋯+- ()n R x + （5）(1)(1)0001()(())(1)()!n n n n R x f x x x x x n θθ++=+--- 证明：作辅助函数()'()()()[()()()()]!n n f t F t f x f t f t x t x t n =-+-+⋯+-()G t x t =-应用柯西中值定理可得，存在0(,)(,)x x a b ξ∈⊂，使得'(1)01'0()()()()()()()()()!n nn n R x F x F x F x f x x G x G x G x n ξξ++--===- 令x ξθ=(01)θ<< 即可得到（5）式。
1.4 积分型Taylor 公式：如果函数()f x 在含有0x 的某个开区间(,)a b 内具有直到(1)n +的导数, 则当x 在(,)a b 内时, ()f x 可表示为0()x x -的一个n 次多项式与一个余项()n R x 之和:"()'20000000()())()()()()()2!!()(n n n f x f x f x x x x x x x R x n f x f x +-+-+⋯+-+=其中 1(1)1121()()nooxx x n n n n x x x x f x dx dx dx R +++=⋯⋯⎰⎰⎰证明：由Newton Leibniz -公式得：0'011)()()(xx f x dx f x f x =-⎰即 0'011)()()(xx f x dx f x f x +=⎰1''022)"()()(x x f x dx f x f x +=⎰2""'''033)()()(x x f x dx f x f x +=⎰……0()()(1)011)()()(nx n n n n n x f x dx f x f x ++++=⎰从而有1''"01100221()()()()[()()]xxx x x x f x f x f x dx f x f x f x dx dx =+=++⎰⎰⎰100'"000221()()()()xx x x f x f x x x f x dx dx =+-+⎰⎰1200'"'''00003321()()()[()()]xx x x x x f x f x x x f x f x dx dx dx =+-++⎰⎰⎰12000"'2'''000003321()()()()()()2!x x x x x x f x f x f x x x x x f x dx dx dx =+-+-+⎰⎰⎰ ……"()'20000000()()()()()()()()2!n n n f x f x f x f x x x x x x x R x n =+-+-+⋯+-+！其中 1(1)1121()()nooxx x n n n n x x x x f x dx dx dx R +++=⋯⋯⎰⎰⎰1.5 二元函数的Taylor 公式：若函数f 在点000(,)p x y 的某邻域0()U p 内有直到1n +阶的连续偏导数，则对0()U p 内的任一点00(,)x h y k ++，存在相应的(0,1)θ∈，使得2000000001(,)(,)(+k )(,)(+k )(,)2!f x h y k f x y hf x y h f x y x y x y∂∂∂∂++=+++⋯+∂∂∂∂1000011(+k )(,)(+k )(,)!(1)!n n h f x y h f x h y k n x y n x yθθ+∂∂∂∂+++∂∂+∂∂ （6） （6）式称为二元函数f 在点0p 的n 阶Taylor 公式，其中0000(+k )(,)(,)m mm ii m i m i m i i h f x y C f x y h k x y x y θ--=∂∂∂=∂∂∂∂∑ 证明：作辅助函数 00,)()(th y tk t f x ++Φ=由定理的假设，一元函数()t Φ在[0,1]上满足一元函数Taylor 定理条件，于是有'"()(1)(0)(0)(0)()(1)(0)+1!2(1)!n n n n θ+ΦΦΦΦΦ=Φ+++⋯++！！ (01)θ<< （7） 应用复合函数求导法则，可求得()t Φ的各阶导数： ()00()()(,)m m t hk f x th y tk x y∂∂Φ=+++∂∂ (1,2,+1)m n =⋯当0t =时，则有 ()00(0)()(,)m m hk f x y x y∂∂Φ=+∂∂ (1,2,)m n =⋯ （8） 及 (1)100()()(,)n n hk f x h y k x yθθθ++∂∂Φ=+++∂∂ （9） 将（8），（9）式代入（7）式就得到了Taylor 公式（6）。