8-0常系数齐次线性差分方程
用矩阵的方法求解常系数齐次线性差分方程
第２ ３卷 第 ３期
２０ ０ ７年 ６ 月
大 学 数 学
ＣＯ ＬＬＥＧ Ｅ Ａ Ｔ Ｈ ＥＭ Ａ ＴＩ Ｍ ＣＳ
Ｖ０ ． ３， ． １２ № ３
Ｊ ｎ ２０ ｕ ．０ ７
用 矩 阵 的方 法 求 解 常 系数 齐 次 线性 差 分 方 程
一
ｌ
０
；
０
０
，
由此 知 ， 分 方 程 （ ） 差 ２ 的特 征 方 程 （ ） 实 就 是 矩 阵 Ａ 的 特 征 方 程 （ 一０ 即 ， ， ４其 ） ． … Ａ 的 Ｐ ， ｚ … ， 特 征 值 ， Ｐ ， Ｐ 重 则
ｌ
分 别 是 矩 阵
一
０
０
．
２ 主 要 结 果
其 中 一 （ 为 的任 意 户 一１ 多项 式 ， ・ ） 次 即
。
一
。
（ ） 表达式 中含有 Ｐ 个 任意 常数 ． 的
≥¨
” ｍ ＋ ”＋ ｍ 一 １ ＋ １一
，
Ａ ： ＝ ：
” ２ ＋
” １ ＋
则
Ｍ ＡＭ 一 … 一 Ａ ０ （ — 一１ Ｍ ∈ ）
且 都是 直接 给 出它 的求 解结 论． 本文 用矩 阵 的方法 来推 求 ｍ 阶常 系数 齐次 线性 差分 方程
Ｙ＋ ＋ 口 Ｙ ＋ 一 ＋ … ＋ 口 一 Ｙ ＋ ＋ 口 Ｙ １ １ １ １ 一 ０ （ ≠ Ｏ 口 ） （ ） ２
的通解．
引理
设若 当块
Ｃ 一
ｉ
１ １ …
０
，‘
一
一
；
１
Ｃ Ｃ ＂ Ｈ
（ 一 － Ｃ 一 一 葛 ２ｋ ：。。
求常系数线性非齐次差分方程的特解
2 .
- 将该式 0 . . + # # 两边再同时取一次差分得 0 令0 代入 ’ ( # 得0 2 L$ # 0< < < < L "+ L #0 L #+ L #+ + . - 由此得原差分方程的一个特解为 -. 2+ I + 代入 ’ ( # 得 !0 0 L" ( L$ L" L 1 ! L #L $ L # < < + 0 . 0 3 L ! "#" 二" L ;7 ! L 5!
+
-# - # - $-’( - ’ + 从而 0 故可取 \ ( # 于是第二个差分方 \L # L L 0 L # L$ L# 0 0 0 J
-’ + L ( # 程有特解 < 4+ L $L + # J 对第三式方程两边乘8并与其 2 共轭 3差分方程 < 得新的差分方 J 1 L 相加 # $ < < L + $0 L - "0 L #8 " " L 8 L 8 8 L $ $ $ 程Q 这里 # 因为) # ’ 故QL # ( # 0 QL 0 QL #) ( Q- #< ? 8 ) (# ’ L 0 QL 0 QL # $L +$ -" L" L +$ -" " " " " L L L 设它有一个特解 Q’ ( ’ 代入 # 并消去 ’ 进一步 ’ (# ( (# ( 得\L # L L 0 \ \ $# \’ $$+" L - "0 L #" " -# -$ + L 8 # ( 改写成 0 于是可令 \ 从而得Q’ 从而 \ 3 \L "/ \ L L" 8 L# ’ $ $ 8 ( 0 $ $ # ) # 9 L" L #L# / / / / 得第三个差分方程一个特解 < L 1 $ 8 ( $ . # / 最后 # 由又叠加原理 # 得到原差分方程的一个特解 -’ + L ( 8 ( L + L( $ $L " $ J / 对于更高阶的常系数线性差分方程或一阶线性差分方程 # 自然也可以用此方法求其特解 (
差分方程
xk = ( − a ) x0 , k = 1, 2,L
k
所以当且仅当|a|<1时 方程（ 所以当且仅当|a|<1时，方程（2）的平衡点 |a|<1 从而方程（ 的平衡点）才是稳定的. （从而方程（1）的平衡点）才是稳定的.
常数矩阵A构成的 常数矩阵 对于n维向量 x ( k ) 和n×n常数矩阵 构成的 对于n (3) 方程组 x ( k + 1) + Ax ( k ) = 0 其平衡点稳定的条件是A的特征根 其平衡点稳定的条件是 的特征根
g 曲线斜率 y P3 f f P4 g P4 P3 K f < Kg K f > Kg y0 y0 P0 P0 y3 P2 P2 P1 y1 P1 0 x2 x x3 x1 x 0 x0 x 0
y y2
方程模型
yk = f (xk ) x k +1 = h ( y k )
在P0点附近用直线近似曲线
yk − y0 = −α ( xk − x0 ) (α > 0) xk +1 − x0 = β ( yk − y0 ) ( β > 0)
k +1
xk +1 − x0 = −αβ ( xk − x0 ) x
− x 0 = ( −αβ ) ( x1 − x 0 )
k
αβ < 1 (α <1/ β)
xk → x0 xk → ∞
= 1，故有解 an = 2 −1
n
1.3 差分方程的平衡点及稳定性 (1) 一阶线性方程的平衡点及稳定性 一阶线性常系数分方程
x k +1 + axk = b, k = 0,1,2,L
的平衡点由 x + ax = b 当
常系数线性差分方程的解
常系数线性差分方程的解 方程)(...110n b x a x a x a n k k n kn =+++-++（1）其中k a a a ,...,,10为常数，称方程（1）为常系数线性方程。
又称方程0...110=+++-++n k k n kn x a x a x a（2）为方程（1）对应的齐次方程。
如果（2）有形如nnx λ=的解，带入方程中可得：0 (11)10=++++--k k k k a a a a λλλ（3）称方程（3）为方程（1）、（2）的特征方程。
显然，如果能求出（3）的根，则可以得到（2）的解。
基本结果如下：（1） 若（3）有k 个不同的实根，则（2）有通解：nkk nnn c c c x λλλ+++=...2211，（2） 若（3）有m 重根λ，则通解中有构成项：nm m nc n c c λ)...(121----+++（3）若（3）有一对单复根βαλi ±=，令：ϕρλi e±=，αβϕβαρarctan,22=+=，则（9）的通解中有构成项：nc n c nnϕρϕρsin cos 21--+（4） 若有m 重复根：βαλi ±=，φρλi e±=，则（2）的通项中有构成项：n nc n c c n nc n c c nm m m m nm m ϕρϕρs i n )...(c o s )...(1221121---++---+++++++综上所述，由于方程（10）恰有k 个根，从而构成方程（2）的通解中必有k 个独立的任意常数。
通解可记为：-n x 如果能得到方程（1）的一个特解：*n x ，则（1）必有通解：=n x -nx +*n x （4）特解可通过待定系数法来确定。
差分方程的一般表达式
差分方程的一般表达式嘿，朋友们！今天咱们来唠唠差分方程那点事儿。
差分方程就像是时间长河里的一个个小脚印，记录着事物的变化规律呢。
一般来说，一阶常系数线性差分方程长这样：\(y_{n + 1}-ay_{n}=f(n)\)。
这就好比是一个小火车在轨道上跑，\(y_{n}\)是火车在第\(n\)站的状态，\(a\)呢就像是这个火车的速度调整系数。
如果\(f(n) = 0\)，那就像是火车在一条平坦的轨道上匀速行驶，没有什么额外的干扰。
再说说二阶常系数线性差分方程\(y_{n + 2}+ay_{n+1}+by_{n}=f(n)\)。
这就像一场双人舞蹈，\(y_{n}\)、\(y_{n + 1}\)和\(y_{n+2}\)就像是舞者在不同节拍下的姿势。
\(a\)和\(b\)呢，就像是舞蹈的规则参数，决定着舞者如何从一个姿势转换到另一个姿势。
要是\(f(n)=0\)，就像是舞者在一个没有外界干扰的舞台上，按照自己的节奏翩翩起舞。
还有那种齐次差分方程，就像是一群小伙伴整齐划一地做着同一件事。
比如说\(y_{n + 1}-ay_{n}=0\)，这就像一群小蚂蚁，每一只小蚂蚁的行动都和前一只有着固定的比例关系，\(a\)就是这个比例的关键。
非齐次差分方程呢，就像是平静的湖水里突然扔进了一颗小石子。
比如\(y_{n + 1}-ay_{n}=g(n)\)，\(g(n)\)就像是那颗小石子激起的涟漪，打破了原本齐次方程那种和谐又规律的状态。
差分方程有时候还能像魔法咒语一样预测未来呢。
就拿简单的人口增长模型来说，如果人口数量满足差分方程\(P_{n+1}=(1 + r)P_{n}\)，这里\(r\)是人口增长率，就像一个魔法数字。
这个方程就像一个神奇的水晶球，告诉我们未来人口的大致情况。
对于差分方程组，那就像是一场多角色的戏剧。
每个方程都是一个角色的行动指南，它们之间相互关联又相互影响，就像戏剧里的人物关系一样复杂又有趣。
差分方程方法总结
a1
k
k 1
a2
k 2
ak 0
称为差分方程(1)的特征方程，其特征方程的根 称为特征根。
33
2018年10月15日
2018年10月15
一 .常系数线性差分方程
2.常系数线性非齐次差分方程
常系数线性非齐次差分方程的一般形式:
xn a1 xn1 a2 xn2 ak xnk f (n) (2) 其中 k 为差分方程的阶数，ai (i 1,2,, k ) 为差分
方程的系数， ak 0(k n) ， f (n) 为已知函数。
7
2018 年 10 月 15日 2018 年10 月 15 日
二 差分方程的平衡点及其稳定性
1. 一阶线性常系数差分方程的平衡点
一阶线性常系数差分方程的一般形式:
xk 1 axk b, k 0,1,2, * 它的平衡点为 x ax b 的解，不妨记为 x 。
f ( xk 1 ) f ( xk 1 ) 中心差： f ( xk ) (k 1, 2, xk 1 xk 1
13
, n)
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三 连续模型的差分方法
2. 定积分的差分方法
问题：已知 f ( x) 在点 xk 处的函数值 f ( xk )(k 0,1,, n) ， 且在 [a, b] 上可积，试求 f ( x) 在 [a, b] 上的积分值
根据定义，则有一般的求积公式:
b
a
f ( x)dx 。
b
a
f ( x)dx Ak f ( xk )
k 0
n
经济数学-差分方程的概念与解的结构
但实际上是二阶差分方 程，
由于该方程可以化为 y x 3 3 y x 2 3 y x 1 1 0因此它是二阶差分方程 ，
事实上，作变量代换 t x 1，即可写成 yt 2 3 yt 1 3 yt 1 0.
例 7 下列等式是差分方程的有(
).
loga ( x 1) loga x 1 loga (1 ); x
( 2)Δ y x sina( x 1) sinax 1 a 2 cosa( x ) sin . 2 2
例3求y x! 的一阶差分，二阶差分 .
解
y x y x 1 y x
方 程 中 未 知 数 下 标 的大 最值 与 最 小 值 的 差 称为差分方程的阶 .
注：由差分的定义及性质可知，差分方程的 不同形式之间可以相互转换。 如y x 5 4 y x 3 3 y x 2 2 0是三阶差分方程；
y x y x 1 0，虽然含有三阶差分，
则左边 C 2 x 1 C 2 x 2 右边，
( x 1)! x!
x x!
y x y x x x!
2
x 1 x 1! x x!
x x 1 x!
2
例4 设y x( n ) x( x 1)(x 2)( x n 1), x
，Cn 是任意常数） （ C1 , C2，
n I 内的 注： 设 y1 , y2 ,, yn 为定义在区间 n 个不全为零的常数， 个函数．如果存在 使得当 x 在该区间内有恒等式成立
k1 y1 k 2 y2 k n yn 0
那么称这些函数在区间内线性相关； 否则称线性无关.
差分方程齐次解的一般形式
差分方程齐次解的一般形式
【实用版】
目录
1.差分方程的定义与性质
2.齐次解的定义与性质
3.差分方程齐次解的一般形式
4.求解差分方程齐次解的方法
5.总结与展望
正文
1.差分方程的定义与性质
差分方程是一种离散时间的微分方程，它描述了离散时间序列的演化规律。
差分方程广泛应用于物理、数学、生物学、经济学等领域。
差分方程具有以下性质：线性性、时移不变性、齐次性和非齐次性。
2.齐次解的定义与性质
在差分方程中，如果方程左右两边同时除以时间步长，可以得到齐次方程。
齐次方程的解称为齐次解。
齐次解具有以下性质：稳定性、周期性和同构性。
3.差分方程齐次解的一般形式
对于差分方程 $y[n] - a * y[n-1] = b * x[n]$，其齐次解的一般形式为：$y[n] = c * e^{-frac{a}{T}} * x[n]$，其中 $c$ 为任意常数，$T$ 为时间步长，$e$ 为自然对数的底数。
4.求解差分方程齐次解的方法
求解差分方程齐次解的方法通常有以下两种：
（1）常数变易法：通过变易法将差分方程化为齐次方程，然后求解
齐次方程，得到齐次解。
（2）特征方程法：设 $y[n] = e^{lambda n}$，代入差分方程，求
解特征方程，得到齐次解。
5.总结与展望
差分方程齐次解是差分方程研究的基础，对于理解差分方程的稳定性、周期性和同构性具有重要意义。
数字信号处理第一章差分方程、抽样
2 T ( jW) DTFT [ T (t )] T
k
(W k W )
s
1 ˆ ˆa (t )] X a ( jW) DTFT [ x [ X a ( jW) * T ( jW)] 2
天津科技大学应用文理学院 13
2.频域分析 （1)冲激函数序列δT(t)的频谱
y(-1)= a-1[y(0)-δ(0)]=- a-1
……
y(n)=ay(n-1)=-an
因此，h(n)=y(n)=-anu(-n-1)，是非因果系统。
天津科技大学应用文理学院
5
以上结果说明：
（1）一个常系数线性差分方程不一定代表一个因果系统。
（2）一个常系数线性差分方程，如果没有附加的起始条件，
1 Xˆa(jW) [X a(jW) * P(jW)] 1 2 T
X a(jW jkWs ) k
上式表明： （1）频谱产生周期延拓。 即采样信号的频谱是频率的周 期函数，其周期为Ωs。 （2）频谱的幅度是Xa(jΩ)
-W c 0
^
Xa(jW)
1
Wc Xa(jW) W
的1/T倍。
2）阶数： 差分方程的阶数是由方程y(n-k)项中的k取值
最大与最小之差确定的。 3）线性：y（n−k）和x(n −r)项都只有一次幂且不存在 相乘项。
天津科技大学应用文理学院
2
二、差分方程的求解
时域经典法：类似于解微分方程，即求齐次解和特解，
过程繁琐，应用很少，但物理概念比较清楚。
迭代法(递推法)：比较简单，且适合于计算机求解，但 不能直接给出一个完整的解析式作为解答（也称闭合形 式解答）。
常系数线性微分方程的求解
2(#
,(#
.
! 11（+））］*（$&1"）+那么右端为：5*（4（+））%［0（+）./0"+&1（+）012"+］*$+所以#%%&1"， 32+.(2 2(#
%0（+）(11（+），仍是求如（4）的特解。如果由方程（4）求得的特解为"*（+），对应的方程（3）的特解
是："（+）%5*（"*（+）*（$&1"）+）。
" %（7’./0!+&7!012!+）*+&5*（"*）
%（7’./0!+&7!012!+）*+&’+,［!（(+&’）./0!+&（$+&)）012!+］*+。
（’!）
利用通常的比较系数法要求出通解（’!）是相当困难的，作变量代换后把求解方程（’#）的问题
变得得容易了。
参考文献：
［’］ 王高雄等8常微分方程8北京：高等教育出版社，!###
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差分方程及其应用(精)
差分方程及其应用在经济与管理及其它实际问题中，许多数据都是以等间隔时间周期统计的。
例如，银行中的定期存款是按所设定的时间等间隔计息，外贸出口额按月统计，国民收入按年统计，产品的产量按月统计等等。
这些量是变量，通常称这类变量为离散型变量。
描述离散型变量之间的关系的数学模型成为离散型模型。
对取值是离散化的经济变量，差分方程是研究他们之间变化规律的有效方法。
本章介绍差分方程的基本概念、解的基本定理及其解法，与微分方程的基本概念、解的基本定理及其解法非常类似，可对照微分方程的知识学习本章内容。
§1 基本概念 线性差分方程解的基本定理一、 基本概念1、函数的差分对离散型变量，差分是一个重要概念。
下面给出差分的定义。
设自变量t 取离散的等间隔整数值：，，，，Λ210±±=t t y 是t 的函数，记作)(t f y t =。
显然，t y 的取值是一个序列。
当自变量由t 改变到1+t 时，相应的函值之差称为函数)(t f y t =在t 的一阶差分，记作t y ∆，即)()1(1t f t f y y y t t t -+=-=+∆。
由于函数)(t f y t =的函数值是一个序列，按一阶差分的定义，差分就是序列的相邻值之差。
当函数)(t f y t =的一阶差分为正值时，表明序列是增加的，而且其值越大，表明序列增加得越快；当一阶差分为负值时，表明序列是减少的。
例如：设某公司经营一种商品，第t 月初的库存量是)(t R ，第t 月调进和销出这种商品的数量分别是)(t P 和)(t Q ，则下月月初，即第1+t 月月初的库存量)1(+t R 应是)()()()1(t Q t P t R t R -+=+，若将上式写作)()()()1(t Q t P t R t R -=-+，则等式两端就是相邻两月库存量的改变量。
若记))()1()(t R t R t R -+=∆，并将理解为库存量)(t R 是时间t 的函数，则称上式为库存量函数)(t R 在t 时刻（此处t 以月为单位）的差分。
差分方程齐次解的一般形式
差分方程齐次解的一般形式
摘要：
一、差分方程齐次解的定义
二、差分方程齐次解的一般形式
1.线性差分方程
2.常系数差分方程
三、求解差分方程齐次解的方法
1.替换法
2.累积法
四、齐次解在差分方程中的应用
正文：
差分方程是数学中的一种重要方程，齐次解是差分方程解的一个重要概念。
本文将介绍差分方程齐次解的一般形式以及求解方法。
首先，我们需要了解差分方程齐次解的定义。
齐次解是指满足差分方程的解，即对于任意x，都满足该差分方程。
其次，我们来探讨差分方程齐次解的一般形式。
对于线性差分方程，其齐次解的一般形式为：
y_n = a * y_{n-1} + b * y_{n-2} + ...+ g * y_{n-k}
其中，a、b、...、g是待定系数，需要通过差分方程的初始条件来确定。
对于常系数差分方程，其齐次解的一般形式为：
y_n = c * (2 * y_{n-1} - y_{n-2})
其中，c是待定系数，需要通过差分方程的初始条件来确定。
接下来，我们介绍求解差分方程齐次解的方法。
首先是替换法，其基本思想是将差分方程的未知数替换为已知的函数，从而简化方程的求解。
其次是累积法，其基本思想是将差分方程的未知数累积起来，从而得到齐次解。
最后，我们来看齐次解在差分方程中的应用。
齐次解是解决差分方程问题的关键，通过求解齐次解，我们可以得到差分方程的通解，从而进一步求解特解。
此外，齐次解还可以帮助我们分析差分方程的稳定性、收敛性等性质。
总之，差分方程齐次解的一般形式及其求解方法在解决差分方程问题中具有重要意义。
差分方程
(1) 市场供给量对价格变动的反应是滞后的，也就是说t时刻的商品供给量Qst 由t − 1时 刻（上一时刻）的商品的价格Pt−1决定。我们把这种关系简单地取为线性关系：
Qst = −α1 + β1Pt−1,
(α1 > 0, β1 > 0)
(8.11)
即线性正比例关系，或者说商品的供应量是商品价格的增函数。另外从(8.11)还可
作变换u = x + 3，原方程可以与以下的一阶差分方程
等价。
yu+1 − 4yu + 1 = 0
定义 8.4 满足差分方程的函数称为差分方程的解。 如果差分方程的解中所含相互独立的任意常数的个数与该差分方程的阶数相等，则
称这样的解为差分方程的通解。 差分方程的定解条件称为初始条件。 利 用 初 始 条 件 确 定 通 解 中 的 任 意 常 数 后 所 得 到 的 解 称 为 差 分 方 程 的 特 解。一
4
第八章 差分方程
定理 8.1 (齐次常系数线性差分方程解的叠加原理) 如 果 函 数yx(1), yx(2), · · · , yx(k)都 是n阶 齐次常系数线性差分方程
anyx+n + an−1yx+n−1 + · · · + a1yx+1 + a0yx = 0 的解，则这k个函数的线性组合
般，n阶差分方程通解中含有n个互相独立的任意常数，要得到相应的通解就必须有n个 初始条件：
yx|x=x0 = yx0 , ∆yx|x=x0 = ∆yx0 , · · · , ∆n−1yx|x=x0 = ∆n−1yx0
定义 8.5 如果差分方程的未知函数出现在一次式中，则称该方程为线性差分方程。一 个n阶线性差分方程可以写成
差分方程_精品文档
程）法。本节主要讲述前3种方法，后2种方法将在后续章节中讲
解。
一、差分方程的初值问题（边界条件）
二、差分方程的解法（前3种方法）
三、传输算子的概念
返回
一、差分方程的初值问题（边界条件）
相应于连续时间系统中的起始条件和初始条件, 在离散时间系统中存在着起始样值与初始样值。
起始样值即在激励信号加入之前系统已具有的 一组样值, 以符号y-(n)表示。
返回
例7-4-6 已知 y(n)+2y(n-1) =5u(n), 且y(-1) =1,
求完全解。
特征方程 a +2=0 a = -2
齐次解
yhn C1 2n
特解
因为x(n)=5u(n), n³0时为5（常数）
所以 yp(n) =D
代入原方程求特解 D+2D =5 (n 0)
完全解
所以 D 5
“E”表示将序列超前一个单位时间的运算。 E也称为移
序算子，利用移序算子可y(n写-1)出= 1: y(n)
对y于(n差+分1方)=程Eyy((nn)+1)
-
ay(n)
E
=x(n)
可改写为: （E - a）y(n) =x(n)
对于二例，可以引入
传输算子 HE 1
于是有：
Ea
而对于方程式 y(n) - ay(n-1) =x(n -1)
N
akCa nk 0
k 0
消去常数C，逐项除以a n-N 并化简得:
a0a N+a1a N-1+……+ aN-1a + aN=0
该式称为差分方程的特征方程，特征方程的根a1. a2 、……、 aN称为差分方程的特征根。
差分方程
一阶常系数线性差分方程的解法
二阶常系数线性差分方程的解法
（3）二阶常系数非齐次线性方程及其特解形式
设 y * 是方程 y" py'qy f ( x).
的一个特解，Y 是其对应齐次方程的通解，则 y y* Y . 是它的通解，下面给出上述非齐次线性方程的特解 形式.
(1) f ( x) e x Pm ( x)型.
特征方程 r 2 pr q 0 的两个根为 r1 , r2 ,
对于高阶线性方程也有与上述定理相对应 的定理.
5. 可分离变量的方程
M1 ( x)M 2 ( y)dx N1 ( x) N2 ( y)dy 0,
M 1 ( x) N 2 ( y) N1 ( x) dx M 2 ( y) dy C
其中 N1 ( x), M 2 ( y) 0.
ex (C1 cosx C2 sin x).
ex [(C1 C2 x Ck x k 1 ) cos x ( D1 D2 x Dk x k 1 ) sin x].
k重实根 r
一对虚根 r1,2= i
一对 k 重虚根
r1,2= i
6
齐次方程
dy y ( )的通解为 dx x
y du (u) u ln x C, 其中 u x .
7.
一阶非齐次线性微分方程
y' P( x) y Q( x)
的通解为 8
ye
P ( x ) dx
P ( x ) dx [ Q( x)e dx C ]
xt p B p xt , p 1
延迟算子
延迟算子类似于一个时间指针，当前序列值乘
差分方程讲解
an
$1000.000 1070.000 1144.900 1225.043 1310.796 1402.552 1500.730 16.5.781 1718.186 1838.459 1967.151 $70.0000 74.9000 80.1430 85.7530 91.7557 98.1786 105.0510 112.4050 120.2730 128.6920 137.7010
差分方程从数列谈起
§1 数列的差分 §2 一阶线性差分方程 §3 一阶线性差分方程组
§1 数列的差分 一. 数列的概念 二. 数列差分的概念 三. 差分表的性质
§1 数列的差分 一. 数列的概念
一个数列 数列就是实数的任何(有限或无限的) 数列 有序集. 这些数称为数列的项或元素 元素. 项 元素 用an来表示数列的第n项, 称之为数列的 通项. 通项. 定义1.1 定义1.1 一个数列 数列是一个函数, 其定义域 数列 为全体正整数(有时, 为方便计, 是全体非 负整数集合), 其值域包含在全体实数集中.
§1 数列的差分
数列A在第k项处上凹 若∆ak > ∆ak−1(或用二阶 上凹, 上凹 差分的算子记号, ∆2ak−1 > 0). 数列A在第k项处下凹 若∆ak < ∆ak−1(或∆2ak−1 < 0). 下凹, 下凹 注意: 注意 在k−1处的二阶差分决定了k项处的凹性. 决定凹性的另一种看法是: 当一阶差分增加时 数列上凹, 而当一阶差分减小时数列下凹. 定义1.4 定义1.4 数列A在第k项处有一个拐点 倘若∆2ak 拐点, 拐点 和∆2ak−1有不同的正负号.
−1 1 3 5 7 9
3常系数线性差分方程
令：x1(n)=(n)， y1(0)=1 y1(1) = ay1(0)+x1(1) = a y1(2) = ay1(1)+x1(2) = a2 … y1(n) = ay1(n-1)+x1(n) = an ∴ y1(n) = anu(n)
迭代
故系统的单位抽样响应为：h(n)=anu(n)。这个系统 显然是因果系统，当|a|<1时，它还是稳定系统。 注意：一个常系数线性差分方程，并不一定代表因果系统。 如果边界条件假设不同，可以得到非因果系统。
例：设系统差分方程仍为：y(n)-ay(n-1)=x(n)，求h(n)。 解：设x(n)=(n)，有：y(n)=h(n)=0，当n>0。 可写出另一种递推关系：y(n-1)=a-1[y(n)-x(n)] h(0) = a-1[h(1)-(1)] = 0 h(-1) = a-1[h(0)-(0)] = -a-1 h(-2) = a-1[h(-1)+(-1)] = -a-2 . . . h(n) = a-nu(-n-1) 迭代
该“线性”与线性系统的“线性”含义不 同
2、常系数差分方程的求解：
① 经典解法：类似于模拟系统求解微分方程的方法，要求 齐次解、特解，并由边界条件求待定系数。 由于计算复杂，较少使用。 ② 递推(迭代)法：简单、适于用计算机进行求解。但只能 得到一系列数值解，不易得到封闭式(公 式)解答。 ③ 变换域法：将差分方程变换到z域求解。 ④ 卷积法：由差分方程求出系统的h(n)，再与已知的x(n) 进行卷积，得到y(n)。
§1.3 常系数线性差分方程
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注1 方程(1.4.3) 的解 { Xt }是由 p个初值 惟一确定的时间序列，有无穷个解； 方程(3)的等价形式
A( B) X t 0, t Z ,
A(z)有k个互不相同的零点z1, z2…, zk，其
中zj 是r( j )重零点，则
{ z t }, l 0,1,, r ( j ) 1, j 1,2,, k
是方程(1.4.4)的 p 个解，且其任何解均可 以表示为通解形式：
k r ( j ) 1 l 0
t l j
Xt
6）对时间序列{Xt}, {Yt}, 多项式 ( z ) c j z j 以及随机变量U,V,W有
j 0
p
( B)(UX t VYt W ) U ( B) X t V ( B)Yt W (1)
2. 差分算子▽： X t X t X t 1 (1 B) X t ▽的幂运算定义为
d
d
差异
设模型 X t mt st Yt 周期为d ，则
d ( X t ) ( mt st Yt ) ( mt d st d Yt d )
(m t m t d ) (Yt Yt d )
趋势项 噪声项
图1.1.12
图1.1.13
例1.4.1 X t mt Yt at b Yt ,
( X t ) X t X t 1 at b Yt [a( t 1) b Yt 1 ],
a Yt Yt 1 a Yt
对趋势项有
m t (at b) a
j j 0
p
( B) X t c j X t j ;
j 0
p
j j ( z ) d z ( z ) c z 5）对多项式 j j 和
p
q
j 0
j 0
的乘积 A(z) =ψ(z)φ(z) 有
A( B) X t ( B)[ ( B) X t ] ( B)[ ( B) X t ]
以上方法也适用与一般模型：
X t mt st Yt
图1.1.9 方法4 延迟d 步差分法 延迟d 步差分算子 d
(1.4.2)
图1.1.11
适合剔除 季节项
d
d X t X t X t d (1 B ) X t
d 阶差分算子 d
X t (1 B ) X t
( X t ) (
j
j 1
( X t )), t 1,2,
(Xt ) Xt
0
关于算子B 和▽的多项式与实变量的多
项式定义相同，有相同的运算律. 二、推移算子与差分算子用于序列分解 方法3 产生平稳数据的差分方法 基本思想 用差分方法删除趋势项 结论：若模型 X t m t Yt 中的趋势项为
j 1
U
l, j
t z , tZ
l
t j
(1.4.5)
其中随机变量Ul , j由初值惟一确定.
满足差分方程(1.4.4)的实值时间序列可表示为
Xt
k r ( j ) 1
其中
p j
(1.4.4)
A( z ) 1 a j z 称为方程(3)的特征
j 1
多项式
注2 若{ Xt }和{ Yt }是方程(1.4.4) 的解，则 它们的线性组合{ ζXt + ηYt }也是解.
根据推移算子性质6
A( B)(X t Yt ) A( B) X t A( B)Yt 0
k
mt
a jt j
j0
{Yt}是零均值平稳过程，则 1） 算子 k 作用于k 次多项式的趋势项，结 果为常数：
mt (
k
k k
a jt
j 0
k
j
) k!a k
2) X t k ! a k Yt
均值为k!ak的平稳过程
k
具体方法： 对给定动态数据反复作用差分算子， 直到序列的趋势项mt为常数为止.
X t [a1 X t 1 a2 X t 2 a p X t p ] 0, t Z
为 p 阶常系数齐次线性差分方程.
方程(3)的解{ Xt }可由 p 个初值X0, X1, …, Xp－1递推而得
(1.4.3)
X t a1 X t 1 a2 X t 2 a p X t p , t p
引理1.4.1 设多项式A(z)有k个互不相同
的零点z1, z2…, zk，其中zj是r( j )重零点，
则对任何 1 j k , 0 l r ( j ) 1,
A( B)t z 0
l
t j
注 对多项式因式分解，并进行归纳证明.
定理1.4.1 设方程(1.4.4)的特征多项式
j
j b B j Xt
j
b X
j
t j
(1.4.1)
推移算子性质： 1）BY=Y; 2）对整数n，常数a, Bn (aXt)= aBn Xt= aYt－n;
3）对整数n，m, Bn+m (Xt)= Bn (Bm )Xt= Xt－n－m;
4）对多项式 ( z ) c j z 有
图1.1.14
注：在工程中对数据进行预处理，常采用
差分法或滑动平均平滑法，但可能会
遇到部分问题。 文献：“数据预处理对替代数据检验方 法的影响”，孙海云等，数学的实践与 认识，第36卷第1期，2006年1月， p160 —164
常系数齐次线性差分方程
定义 给定实数a1, a2, …, ap, ap≠0，称
推移算子和常系数差分方程
一、推移算子与差分算子 1. 推移算子B：BX t X t 1 延迟算子 时滞算子
(z)
j
j t j
b z
jj若级数Fra bibliotekj
b X
在某种意义下收敛
定义
( B) ˆ
j b B j ,
j
算子级数
( B) X t ˆ