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高考数学模拟试卷(衡水中学理科)

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2023年河北省衡水中学高考数学模拟试卷+答案解析(附后)

2023年河北省衡水中学高考数学模拟试卷+答案解析(附后)

2023年河北省衡水中学高考数学模拟试卷1. 已知全集，，，则( )A. B.C. D.2. 已知复数，，若z在复平面上对应的点在第三象限，则( )A. 4B.C.D.3.已知等差数列的前n项和为，，则( )A. 66B. 78C. 84D. 964. 条件p：，，则p的一个必要不充分条件是( )A. B. C. D.5. 函数的部分图象大致是( )A. B. C. D.6. 在中，，，，P，Q是平面上的动点，，M是边BC上的一点，则的最小值为( )A. 1B. 2C. 3D. 47. 已知抛物线C：过点，动点M，N为C上的两点，且直线AM 与AN的斜率之和为0，直线l的斜率为，且过C的焦点F，l把分成面积相等的两部分，则直线MN的方程为( )A. B.C. D.8. 《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，其中有很多对几何体外接球与内切球的研究.其中的一些研究思想启发着后来者的研究方向.已知正四棱锥的外接球半烃为R，内切球半径为r，且两球球心重合，则( )A. 2B.C.D.9. 统计学是源自对国家的资料进行分析，也就是“研究国家的科学”.一般认为其学理研究始于希腊的亚里士多德时代，迄今已有两千三百多年的历史.在两千多年的发展过程中，将社会经济现象量化的方法是近代统计学的重要特征.为此，统计学有了自己研究问题的参数，比如：均值、中位数、众数、标准差.一组数据：，，⋯，记其均值为m，中位数为k，标准差为s，则( )A.B.C.新数据：，，，⋯，的标准差为D.新数据：，，，⋯，的标准差为2s10. 已知，，且满足，则的取值可以为( )A. 10B. 11C. 12D. 2011. 圆O：与双曲线交于A，B，C，D四点，则( )A. r的取值范围是B. 若，矩形ABCD的面积为C. 若，矩形ABCD的对角线所在直线是E的渐近线D. 存在，使四边形ABCD为正方形12. 已知函数的导函数为，则( )A. 有最小值B. 有最小值C. D.13. 已知角终边上有一点，则______ .14. 甲、乙两人下围棋，若甲执黑子先下，则甲胜的概率为；若乙执黑子先下，则乙胜的概率为假定每局之间相互独立且无平局，第二局由上一局负者先下，若甲、乙比赛两局，第一局甲、乙执黑子先下是等可能的，则甲、乙各胜一局的概率为______ .15. 已知函数的部分图像如图所示，在区间内单调递减，则的最大值为______ .16. 如图，在多面体ABCDEFG中，四边形ABCD为菱形，，，，且平面ABCD，四边形BEFG是正方形，则______ ；异面直线AG与DE所成角的余弦值为______ .17. 已知数列满足，且，求证：是等比数列，并求的通项公式；若数列的前n项和为，求使不等式成立的n的最小值.18. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且求的最小值；若M为的重心，，求19. 第22届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在我国杭州举行，这是我国继北京后第二次举办亚运会.为迎接这场体育盛会，浙江某市决定举办一次亚运会知识竞赛，该市A社区举办了一场选拔赛，选拔赛分为初赛和决赛，初赛通过后才能参加决赛，决赛通过后将代表A社区参加市亚运知识竞赛.已知A社区甲、乙、丙3位选手都参加了初赛且通过初赛的概率依次为、、，通过初赛后再通过决赛的概率均为，假设他们之间通过与否互不影响.求这3人中至多有2人通过初赛的概率；求这3人中至少有1人参加市知识竞赛的概率；某品牌商赞助了A社区的这次知识竞赛，给参加选拔赛的选手提供了两种奖励方案：方案一：参加了选拔赛的选手都可参与抽奖，每人抽奖1次，每次中奖的概率均为，且每次抽奖互不影响，中奖一次奖励600元；方案二：只参加了初赛的选手奖励200元，参加了决赛的选手奖励500元.若品牌商希望给予选手更多的奖励，试从三人奖金总额的数学期望的角度分析，品牌商选择哪种方案更好.20. 如图，在直四棱柱中，四边形ABCD是平行四边形，，，AD与平面所成的角为求；求二面角的余弦值.21. 如图，已知椭圆的右顶点为A，下顶点为B，且直线AB的斜率为，的面积为1，O为坐标原点.求C的方程；设直线l与C交于，两点，且，N与B不重合，M与C的上顶点不重合，点Q在线段MB上，且轴，AB平分线段QN，点到l的距离为d，求当d取最大值时直线MN的方程.22. 已知函数证明：当时，为增函数；若有3个零点，求实数a的取值范围，参考数据：，答案和解析1.【答案】A【解析】解：因为，，所以，又因为，所以则故选：求出集合M、N，再利用并集和补集的定义，即可求解．本题主要考查交集、补集的混合运算，属于基础题．2.【答案】B【解析】解：因为，则，解得，因为复数z在复平面上对应的点在第三象限，则，解得，因此，故选：利用复数的除法化简复数z，利用复数的模长公式以及复数的几何意义可求得实数a的值．本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．3.【答案】B【解析】解：设等差数列的首项为，公差为d，由可得，整理可得，所以，则故选：设等差数列的首项为，公差为d，结合题意可得，结合等差数列的性质代入等差数列的前n项和公式即可求解．本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的应用，属于基础题．4.【答案】A【解析】解：若，使得，则，可得，则，因为函数在上单调递减，在上单调递增，且，故当时，，即p：，所以p的一个必要不充分条件是故选：对于命题p，由参变量分离法可得，求出函数在上的最大值，可得出实数a的取值范围，再利用必要不充分条件的定义可得出合适的选项．本题主要考查充分条件、必要条件的定义，属于基础题．5.【答案】C【解析】解：对于函数，有，可得，所以，函数的定义域为，因为，，所以，函数为偶函数，排除AB选项；当时，，则，此时，排除D选项．故选：分析函数的定义域、奇偶性及其在上的函数值符号，结合排除法可得出合适的选项．本题主要考查了函数的奇偶性在函数图象判断中的应用，属于基础题．6.【答案】B【解析】解：取PQ的中点N，则，可得，，当且仅当N在线段AM上时，等号成立，故，显然当时，取到最小值，，故故选：根据向量运算可得，结合图形分析的最小值即可得结果．本题主要考查了向量的线性表示及向量数量积的性质的应用，属于中档题．7.【答案】D【解析】解：因为抛物线C：过点，所以，解得：，所以，设，，直线MN：，代入中整理得，所以，，所以，即，则，解得：，所以直线MN：，直线l的斜率为，且过C的焦点，所以l：，则到直线l的距离为，所以l把分成面积相等的两部分，因为直线l与直线MN平行，所以到直线l：的距离为到直线MN：距离的，，解得：或舍去所以直线MN的方程为故选：由题意求出抛物线方程为，设，，直线MN：，联立直线和抛物线的方程结合韦达定理由，可求出，再求出直线l的方程，由题意可转化为到直线l：的距离为到直线MN：距离的，代入求解即可得出答案．本题主要考查了抛物线的性质，考查了直线与抛物线的位置关系，属于中档题．8.【答案】B【解析】解：设底面正方形ABCD的对角线长为2a，高为h，，正方形的中心为O，外接球的球心为，则有即，在中，，①，②，以O为原点，建立空间直角坐标系，如图所示：则有，，设平面PCD的一个法向量为，则有，即，令，解得，，设向量与平面PCD的夹角为，则，球心到平面PCD的距离，，由①得，即③，故设，则③可整理成，两边平方得，，由①②得故选：正四棱锥的外接球和内接球球心重合，说明其结构特殊，找出结构的特殊性，再计算．本题主要考查了正四棱锥的外接球和内切球问题，考查了学生的空间想象能力，属于中档题．9.【答案】AD【解析】解：对于A选项，因为，样本数据最中间的项为，由中位数的定义可知，A对；对于B选项，不妨令，则，B错；对于C选项，数据，，，⋯，的均值为，方差为，所以，数据，，，⋯，的标准差为s，C错；对于D选项，数据，，，⋯，的均值为，其方差为，所以，新数据：，，，⋯，的标准差为2s，D对．故选：利用中位数的定义可判断A选项；取，可判断B选项；利用方差公式可判断CD选项．本题主要考查了均值、中位数和标准差的计算公式，属于基础题．10.【答案】CD【解析】解：因为，，所以，，故，当，且，而时，即等号不能同时成立，所以，故AB错误，CD正确．故选：根据条件及基本不等式可得，进而即得．本题主要考查基本不等式及其应用，属于基础题．11.【答案】BD【解析】解：对于选项A，双曲线的顶点坐标为，渐近线方程为，因为圆O：与双曲线交于A，B，C，D四点，所以，故A错误；对于选项B，C，当时，圆O：，联立方程，解得，所以或或或，不妨令，，，，所以，，所以，则，所以AC：，故不是双曲线的渐近线，即B正确，C错误；对于选项D，若四边形ABCD为正方形，不妨设A为第一象限内的交点，设，，由，解得，又，所以，所以当时，使四边形ABCD为正方形，故D正确；故选：首先求出双曲线的顶点坐标与渐近线方程，即可判断A，对于B、C，求出交点坐标，即可判断B、C，设，求出m、r，即可判断本题主要考查了双曲线的性质，考查了圆与双曲线的综合问题，属于中档题．12.【答案】ACD【解析】解：由于函数的导函数为，则，又得其导函数为，故在定义域为单调递增函数，知无最小值，故B错误；当时，，，，故；当时，，，，但是指数函数始终增长的最快，故；又因为，，故一定存在，使得，所以在时为单调递减，在时为单调递增，故在处取得最小值，故A正确；又在定义域为单调递增函数，可知在为凹函数，可得，即，故C正确；令，易知，，，令，故在定义域为单调递增函数，故，则，故D正确．故选：对选项逐一判断，首先对求导得到，再对进行求导，得出的单调性及零点，即可得出，最值及单调性，即可判断AB的正误，由的增减性可知的凹凸性，由此可知，的大小，即可判断C的正误，再构造，同理可判断D的正误．本题主要考查了导数与单调性，函数性质的综合应用，属于中档题．13.【答案】【解析】解：，，根据同角关系有，故答案为：根据正切的定义，运用诱导公式以及同角关系求解．本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．14.【答案】【解析】解：分两种情况讨论：第一局甲胜，第二局乙胜：若第一局甲执黑子先下，则甲胜第一局的概率为，第二局乙执黑子先下，则乙胜的概率为，若第一局乙执黑子先下，则甲胜第一局的概率为，第二局乙执黑子先下，则乙胜的概率为，所以第一局甲胜，第二局乙胜的概率为；第一局乙胜，第二局甲胜：若第一局甲执黑子先下，则乙胜第一局的概率为，第二局甲执黑子先下，则甲胜的概率为，若第一局乙执黑子先下，则乙胜第一局的概率为，第二局甲执黑子先下，则甲胜的概率为，所以，第一局乙胜，第二局甲胜的概率为综上所述，甲、乙各胜一局的概率为故答案为：分两种情况讨论：第一局甲胜，第二局乙胜：第一局乙胜，第二局甲胜．分析出每局输赢的情况，结合独立事件和互斥事件的概率公式可求得所求事件的概率．本题主要考查了独立事件的概率乘法公式，属于基础题．15.【答案】2【解析】解：由图可知函数过点，所以，即，所以或，，因为，所以或，又函数在原点右侧最近的零点的右侧的极值点函数取得最小值，所以，所以，因为在区间内单调递减，，所以，所以，所以，则或解得或，所以的最大值为故答案为：根据函数过点求出的值，再根据x的范围求出的范围，结合函数的单调性与周期性求出的大致范围，再根据正弦函数的性质得到不等式组，解得即可．本题主要考查了正弦函数性质的应用，属于中档题．16.【答案】【解析】解：由四边形ABCD为菱形，，可得为正三角形，设H为AB的中点，连接DH，所以又，因此又平面ABCD，故以D为原点，分别以DE，DC，DF所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示：设，，，，则，，，，由题意，则平面ABCD，平面ABCD，设，，从而，因为四边形BEFG是正方形，所以，所以，解得，所以，，设，则，因为，所以，所以，即，所以，所以，设异面直线AG与DE所成角为，又，所以，即异面直线AG与DE所成角的余弦值为故答案为：；根据线面垂直，建立空间直角坐标系，利用向量法求解距离及异面直线所成角的余弦值．本题主要考查了利用空间向量求线段的长，以及利用空间向量求异面直线所成的角，属于中档题．17.【答案】解：由，，可得，所以，则，又因为，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，则，所以，则，所以由可知：，当n为偶数时，，当n为奇数时，，因为，，所以使不等式成立的n的最小值为【解析】根据递推公式即可证明是等比数列，然后利用等比数列的通项公式和已知条件即可求解；结合的通项公式求出数列的前n项和为，然后讨论即可求解．本题主要考查数列递推式，数列的求和，考查运算求解能力，属于中档题．18.【答案】解：，，当且仅当，即时，等号成立，的最小值为；分别延长BM，CM，AM，交三角形的对应边于点D，E，F，点M为的重心，，在中，，D为边AC的中点，，，设，，则，，在中，又勾股定理可得：，即，同理在中，，即，在中，，即，消去x，y得，又，所以，从而解得，即，在中，由余弦定理可得：，，同理在中，，，【解析】利用余弦定理及基本不等式即可求解最小值；利用重心性质及勾股定理求出边长关系，利用余弦定理求出两个角的余弦值，然后通过同角关系求出正弦值即可．本题考查解三角形，余弦定理勾股定理，基本不等式的应用，方程思想，属中档题．19.【答案】解：人全通过初赛的概率为，所以这3人中至多有2人通过初赛的概率为；甲参加市知识竞赛的概率为，乙参加市知识竞赛的概率为，丙参加市知识竞赛的概率为，所以这3人中至少有1人参加市知识竞赛的概率为；方案一：设三人中奖人数为X，所获奖金总额为Y元，则，且，所以元，方案二：记甲、乙、丙三人获得奖金之和为Z元，则Z的所有可能取值为600、900、1200、1500，则，，，，所以所以，所以从三人奖金总额的数学期望的角度分析，品牌商选择方案二更好．【解析】计算出3人全通过初赛的概率，再利用对立事件的概率公式可求得所求事件的概率；计算出3人各自参加市知识竞赛的概率，再利用独立事件和对立事件的概率公式可求得所求事件的概率；利用二项分布及期望的性质求出方案一奖金总额的期望，对方案二，列出奖金总额为随机变量的所有可能取值，并求出对应的概率，求出其期望，比较大小作答．本题主要考查了独立事件的概率乘法公式，考查了二项分布的概率公式和期望公式，属于中档题．20.【答案】解：因为，，在中，由余弦定理可得，则，所以，则，又因为为直四棱柱，所以平面ABCD，所以，DA，DB两两垂直，建立如图所示空间直角坐标系，设，则，，，，，，，所以，，，设平面的法向量为，则，则可取，由题意可知：AD与平面所成的角为，所以，解得，所以由知：平面的法向量，，，设平面的法向量为，则，则可取，则，由图可知：二面角为锐二面角，所以二面角的余弦值【解析】根据，，利用余弦定理可得，结合已知条件，建立空间直角坐标系，设，写出相应点的坐标，求出平面的法向量和AD的方向向量，线面角即可求解；结合的结论和平面的法向量，再求出平面的法向量，利用空间向量的夹角公式即可求解．本题考查空间向量在立体几何中的运用，考查空间想象能力，推理论证能力和运算求解能力，考查直观想象和数学运算等核心素养，属于中档题．21.【答案】解：由已知得，，，即①又因为的面积为1，所以，即②联立①②解得，，所以椭圆C的方程为；根据题意，直线l的斜率存在，且l不过C的上、下顶点，故可设其方程为，，设Q点的横坐标为，AB与QN的交点为T，其横坐标为，由得，，则，即，又，由已知直线MB的方程为，直线AB的方程为，直线QN的方程为，联立，解得，即，联立，解得，即，因为AB平分线段QN，所以T为线段QN的中点，所以，即，整理得，把代入上式整理得，因为，所以，化简得，又由得，解得，，设，则，所以，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以，当时，有最大值，即d有最大值，所以，所以直线MN的方程为【解析】根据已知条件列出关于a，b的方程组求解即可；设l的方程为，，Q点的横坐标为，AB与QN的交点为T，其横坐标为，由已知可得，结合韦达定理可得出，从而可求点到l的距离d，再通过构造函数，利用函数单调性求出d取最大值时的条件，从而可求直线MN 的方程．本题主要考查了椭圆性质在椭圆方程求解中的应用，还考查了直线与椭圆位置关系的应用，属于中档题．22.【答案】解：将代入的解析式得：，，令，显然是增函数，，，使得，此时，当时，，单调递减，当时，，单调递增，，显然是关于得减函数，，由，，得，，，即，是增函数；令，，，令，令，则有，，，显然是增函数，第21页，共21页，，使得，当时，，单调递减，当时，，单调递增，，，时，，即，是增函数，时，，即是减函数，时，是增函数，所以在处，有极大值，在处有极小值，的大致图像如下：欲使得原函数有3个零点，a 得取值范围是，综上，a 得取值范围是【解析】将代入函数解析式，求导，求出导函数的极小值即可；参数分离，构造函数，求出其单调区间以及函数的大致图像即可．本题主要考查了导数与单调性关系的应用，还考查了函数性质在零点个数判断中的应用，特殊值是解决本题的一个关键，对于导函数的研究的一个原则是多次求导直到导函数能够比较清晰的观察出其单调性为好，属于中档题．。

2020年衡水中学高三第2轮模拟考试-数学(理)(含答案)

2020年衡水中学高三第2轮模拟考试-数学(理)(含答案)

河北衡水中学高三第2轮模拟考试数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合{}|0B x x =≥，且A B A =，则集合A 可能是（ ）A ． {}1,2B ．{}|1x x ≤C ．{}1,0,1-D ．R 2.复数1iz i=+ 的共轭复数在复平面上对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3.已知平面向量,a b 满足()5a a b +=，且2,1a b ==，则向量a 与b 夹角的余弦值为（ ） A ． 2 B ． 2-C ．12D ．12-4.执行如图所示的程序框图，若输人的a 值为1，则输出的k 值为（ ）A ． 1B ． 2C ．3D ．45.已知数列{}n a 中，()111,21,n n na a a n NS *+==+∈为其前n 项和，5S的值为（ ）祝您高考马到成功！A ．57B ．61C ．62D ．636.某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（ ）A ．23π B ．3πC ．29π D ．169π7.为了得到cos 2y x =，只需将sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭作如下变换（ ） A ．向右平移3π个单位 B ．向右平移6π个单位C ．向左平移12π个单位D ．向右平移12π个单位8.若A 为不等式组002x y y x ≤⎧⎪≥⎨⎪-≤⎩，表示的平面区域，则当a 从2-连续变化到1时，动直线x y a +=扫过A中的那部分区域的面积为（ ）A ．1B ．32C ．34D ．749.焦点在x 轴上的椭圆方程为()222210x y a b a b+=>>，短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，该三角形内切圆的半径为3b，则椭圆的离心率为（ ） A ．14B ．13C ．12D ．2310.在四面体S ABC -中，,2AB BC AB BC SA SC ⊥=====，二面角S AC B--的余弦值是，则该四面体外接球的表面积是（ ） A ． B ．6πC ．24πD祝您高考马到成功！11.已知函数()()()()()52log 11221x x f x x x -<⎧⎪=⎨--+≥⎪⎩，则关于x 的方程()()f x a a R =∈实根个数不可能为 （ ） A ． 2个B ．3个C ． 4个D ．5 个12.函数()()sin 2,02f x A x A πϕϕ⎛⎫=+≤> ⎪⎝⎭部分图象如图所示，且()()0f a f b ==，对不同的[]12,,x x a b ∈，若()()12f x f x =，有()12f x x += ）A ．()f x 在5,1212ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上是减函数 B ．()f x 在5,1212ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上是增函数C ．()f x 在5,36ππ⎛⎫⎪⎝⎭上是减函数 D ．()f x 在5,36ππ⎛⎫⎪⎝⎭上增减函数 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. ()4111x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中2x 项的系数为 ．14.已知抛物线()220y px p =>上一点()1,M m 到其焦点的距离为5，双曲线221y x a-=的左顶点为A ，若双曲线一条渐近线与直线AM 垂直，则实数a = ． 15.如图，为测量出山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点，从A 点测得M 点的仰角60,MAN C ∠=点的仰角45CAB ∠=以及75MAC ∠=，从C 点测得60MCA ∠=，已知山高100BC m =，则山高MN =m ．祝您高考马到成！16.设函数()()21,x x xf xg x x e+==，对任意()12,0,x x ∈+∞，不等式()()121g x f x k k ≤+恒成立，则正数k 的取值范围是．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）中国人口已经出现老龄化与少子化并存的结构特征，测算显示中国是世界上人口老龄化速度最快的国家之一，再不实施“放开二胎”新政策，整个社会将会出现一系列的问题，若某地区2015年人口总数为45万，实施“放开二胎”新政策后专家估计人口总数将发生如下变化：从2016年开始到2025年每年人口比上年增加0.5万人，从2026年开始到2035年每年人口为上一年的0099.（1）求实施新政策后第n 年的人口总数n a 的表达式（注：2016年为第一年）;（2）若新政策实施后的2016年到2035年人口平均值超过49万，则需调整政策，否则继续实施, 问到2035年后是否需要调整政策？（说明:()10100.9910.010.9=-≈）.18.（本小题满分12分）如图, 已知矩形ABCD 所在平面垂直于直角梯形ABPE 所在平面, 平面ABCD平面ABPE AB =,且2,1,AB BP AD AE AE AB ====⊥,且AE BP .（1）设点M 为棱PD 中点, 在面ABCD 内是否存在点N ,使得MN ⊥平面ABCD ？若存在, 请证明, 若不存在, 说明理由; （2）求二面角D PE A --的余弦值.祝您高考马到成功！19.（本小题满分12分）某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数X 依次1,2,...8，其中5X ≥为标准A ，3X ≥为标准B .已知甲厂执行标准A 生产该产品，产品的零售价为6元/件; 乙厂执行标准B 生产该产品，产品的零售价为4元/件，假定甲、乙两厂的产品都符合相应的执行标准.（1）已知甲厂产品的等级系数1X 的概率分布列如下所示：且1X 的数学期望()16E X =,求,a b 的值;（2）为分析乙厂产品的等级系数2X ，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下:用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数2X 的数学期望； （3）在（1）、（2）的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由.注：①产品的“性价比”；②“性价比”大的产品更具可购买性.20.（本小题满分12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形，直线3460x y ++=与圆()222x y b a +-=相切.（1）求椭圆C 的方程;（2）已知椭圆C 的左顶点A 的两条直线12,l l 分别交椭圆C 于,M N 两点, 且12l l ⊥,求证:直线MN 过定点, 并求出定点坐标； (3)在(2) 的条件下求AMN ∆面积的最大值.21.（本小题满分12分）已知函数()()()1x f x a x e a =--(常数0a R a ∈≠且).祝您高考马到成！（1）证明: 当0a >时, 函数()f x 有且只有一个极值点;（2）若函数()f x 存在两个极值点12,x x ,证明:()()12224400f x f x e e <<<<且. 请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图,,,,A B C D 四点在同一个圆上，BC 与AD 的延长线交于点E ,点F 在BA 的延长线上. （1）若11,32EC ED EB EA ==,求DCAB的值; （2）若2EF FA FB =,证明:EF CD .23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x 轴非负半轴重合，直线l 的参数方程为:1(12x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数), 曲线C 的极坐标方程为:4cos ρθ=. （1）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程;（2）设直线l 与曲线C 相交于,P Q 两点, 求PQ 的值. 24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()()223,12f x x a x g x x =-++=-+. （1）解不等式()5g x <;（2）若对任意1x R ∈,都有2x R ∈,使得()()12f x g x =成立, 求实数a 的取值范围.祝您考马到成功！一、 选择题：每小题5分，共60分，每小题所给选项只有一项符合题意.ADCBA DCDCB DB二、 填空题：每题5分，共20分.13.2 14.1415.15016. 1e 21k -≥三、解答题 17.本题满分12分解：（1）当10n ≤时，数列{}n a 是首项为45.5，公差为0.5的等差数列，因此，新政策实施后第年的人口总数n a （单位：万）的表达式为()1045.50.51,110500.99,11n n n n a n -⎧+⨯-≤≤⎪=⎨⨯≥⎪⎩n 祝您高考马到成功！（2）设n S 为数列{}n a 的前项和，则从2016年到2035年共20年，由等差数列及等比数列的求和公式得：()()102010111220...477.5495010.99972.5S S a a a =++++=+⨯-≈万新政策实施到2035年年人口均值为2048.634920S ≈< 故到2035年不需要调整政策． 18．本题满分12分解：（1）连接AC ，BD 交于点N ，连接MN ，则⊥MN 平面ABCD 证明： M 为PD 中点，N 为BD 中点MN ∴为PDB ∆的中位线，PBMN //∴又平面⊥ABCD 平面ABPE平面平面=,⊂BC 平面,ABBC ⊥⊥∴BC 平面PB BC ⊥∴，又AB PB ⊥，B BC AB =⋂⊥∴PB 平面ABCD所以⊥MN 平面ABCD（2）以A 为原点，AE ，AB ，AD 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立坐标系，⊥AD 平面PEA∴平面PEA 的法向量)1,0,0(1==AD n 另外)1,0,0(D ，)0,0,1(E ，)0,2,2(P)1,0,1(-=∴DE ，)1,2,2(-=DP ,设平面DPE 的法向量),,(2z y x n =，则⎩⎨⎧=-+=-0220z y x z x ，令1=x ，得)1,21,1(2-=n 32,cos 21>=<∴n n 又A PE D --为锐二面角,所以二面角A PE D --的余弦值为32n S n ∴ABCD ABPE AB ABCD ABPE 祝您高考马到成功！19．本题满分12分解：（1）16,50.46780.16EX a b =⨯+++⨯=，即67 3.2a b +=①又由1X 的概率分布列得0.40.11,0.5a b a b +++=+= ② 由①②得0.30.2a b =⎧⎨=⎩（2）由已知得，样本的频率分布表如下：用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，可得等级系数X 2的概率分布列如下：所以，230.340.250.260.170.180.1 4.8EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=即乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8. （3）乙厂的产品更具可购买性，理由如下：因为甲厂产品的等级系数的数学期望等于6 ，价格为6 元/件，所以其性价比为616=因为乙厂产品的等级系数的期望等于4.8 ，价格为4 元/件，所以其性价比为4.81.24=据此，乙厂的产品更具可购买性。

精品解析：【全国百强校】河北省衡水中学2023届高三高考押题卷三理数试题(解析版)

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2023年普通高等学校招生全国统一考试模拟试卷理科数学（Ⅲ）第Ⅰ卷一、选择题:本题共12个小题,每小题5分,在每小题给出地四个选项中,只有一项是符合题目要求地.1. 已知复数,则=（）A. B. C. D.【解析】C【解析】由题意可得: ,则= .本题选择C选项.2. 集合,,则=（）A. B.C. D.【解析】A【解析】由题意可得: ,则= .本题选择A选项.3. 已知函数地最小正周期为,则函数地图象（）A. 可由函数地图象向左平移个单位而得B. 可由函数地图象向右平移个单位而得C. 可由函数地图象向左平移个单位而得D. 可由函数地图象向右平移个单位而得【解析】D【解析】由已知得,则地图象可由函数地图象向右平移个单位而得,故选D.4. 已知实数,满足约束条件则地最大值为（）A. 2B. 3C. 4D. 5【解析】B【解析】绘制目标函数表示地可行域,结合目标函数可得,目标函数在点处取得最大值 .本题选择B选项.5. 一直线与平行四边形中地两边,分别交于、,且交其对角线于,若,,,则=（）学,科,网...A. B. 1 C. D. -3【解析】A【解析】由几何关系可得: ,则: ,即: ,则= .本题选择A选项.点睛:(1)应用平面向量基本定理表示向量地实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量地加、减或数乘运算．(2)用向量基本定理解决问题地一般思路是:先选择一组基底,并运用该基底将条件和结论表示成向量地形式,再通过向量地运算来解决．6. 在如下图所示地正方向中随机投掷10000个点,则落入阴影部分（曲线为正态分布地密度曲线）地点地个数地估计值为（附:若,则,.（）A. 906B. 1359C. 2718D. 3413【解析】B【解析】由正态分布地性质可得,图中阴影部分地面积 ,则落入阴影部分（曲线为正态分布地密度曲线）地点地个数地估计值为.本题选择B选项.点睛:关于正态曲线在某个区间内取值地概率求法①熟记P(μ－σ<X≤μ＋σ),P(μ－2σ<X≤μ＋2σ),P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)地值．②充分利用正态曲线地对称性和曲线与x轴之间面积为1.7. 某几何体地三视图如下图所示,其中俯视图下半部分是半径为2地半圆,则该几何体地表面积是（）A. B. C. D.【解析】B【解析】根据三视图可知几何体是棱长为4地正方体挖掉半个圆柱所得地组合体,且圆柱底面圆地半径是2、母线长是4,∴该几何体地表面积 ,本题选择B选项.8. 已知数列中,,.若如下图所示地程序框图是用来计算该数列地第2018项,则判断框内地条件是（）A. B. C. D.【解析】B学,科,网...【解析】阅读流程图结合题意可得,该流程图逐项计算数列各项值,当时推出循环,则判断框内地条件是.本题选择B选项.9. 已知5件产品中有2件次品,现逐一检测,直至能确定所有次品为止,记检测地次数为,则=（）A. 3B.C.D. 4【解析】B【解析】由题意知,地可能取值为2,3,4,其概率分别为,,,所以,故选B．10. 已知抛物线:地焦点为,点是抛物线上一点,圆与线段相交于点,且被直线截得地弦长为,若=2,则=（）A. B. 1 C. 2 D. 3【解析】B【解析】由题意:M（x0,2√2）在抛物线上,则8=2px,则px=4,①由抛物线地性质可知,, ,则,∵被直线截得地弦长为√3|MA|,则,由,在Rt△MDE中,丨DE丨2+丨DM丨2=丨ME丨2,即,代入整理得:②,=2,p=2,由①②,解得:x∴ ,故选:B．【点睛】本题考查抛物线地简单几何性质,考查了抛物线地定义,考查勾股定理在抛物线地中地应用,考查数形结合思想,转化思想,属于中档题,将点A到焦点地距离转化为点A到其准线地距离是关键.11. 若定义在上地可导函数满足,且,则当时,不等式地解集为（）A. B. C. D.【解析】D【解析】不妨令 ,该函数满足题中地条件,则不等式转化为: ,整理可得: ,结合函数地定义域可得不等式地解集为.本题选择D选项.12. 已知是方程地实根,则关于实数地判断正确地是（）A. B. C. D.【解析】C【解析】令 ,则 ,函数在定义域内单调递增,方程即: ,即 ,结合函数地单调性有: .本题选择C选项.点睛:(1)利用导数研究函数地单调性地关键在于准确判定导数地符号．第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分,第13题～第21题为必考题,每个试卷考生都必须作答.第22题和第23题为选考题,考生根据要求作答.学,科,网...二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13. 若地展开式中项地系数为20,则地最小值为_________．【解析】2【解析】试卷分析:展开后第项为,其中项为,即第项,系数为,即,,当且仅当时取得最小值.考点:二项式公式,重要不等式.14. 已知中,内角,,地对边分别为,,,若,,则地面积为__________．【解析】【解析】由题意有: ,则地面积为 .【解析】【解析】由题意可得,为正三角形,则,所以双曲线地离心率 .16. 已知下列命题:①命题","地否定是","；②已知,为两个命题,若""为假命题,则"为真命题"；③""是""地充分不必要条件；④"若,则且"地逆否命题为真命题其中,所有真命题地序号是__________.【解析】②【解析】逐一考查所给地命题:①命题","地否定是","；②已知,为两个命题,若""为假命题,则"为真命题"；③""是""地必要不充分条件；④"若,则且"是假命题,则它地逆否命题为假命题其中,所有真命题地序号是②.三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 设为数列地前项和,且,,.（1）证明:数列为等比数列；（2）求.【解析】（1）见解析；（2）.学,科,网...【解析】试卷分析:(1)利用题意结合等比数列地定义可得数列为首先为2,公比为2地等比数列；(2)利用(1)地结论首先求得数列地通项公式,然后错位相减可得.试卷解析:（1）因为,所以,即,则,所以,又,故数列为等比数列.（2）由（1）知,所以,故.设,则,所以,所以,所以.点睛:证明数列{a n }是等比数列常用地方法:一是定义法,证明 ＝q (n ≥2,q 为常数)；二是等比中项法,证明＝a n －1·a n ＋1.若判断一个数列不是等比数列,则只需举出反例即可,也可以用反证法．18. 如下图所示,四棱锥,已知平面平面,,,,.（1）求证:；（2）若二面角为,求直线与平面所成角地正弦值.【解析】（1）见解析；（2）.【解析】试卷分析:(1)利用题意首先证得平面,结合线面垂直地定义有.(2)结合(1)地结论首先找到二面角地平面角,然后可求得直线与平面所成角地正弦值为.试卷解析:（1）中,应用余弦定理得,解得,所以,所以.因为平面平面,平面平面,,所以平面,又因为平面,学,科,网...所以.（2）由（1）平面,平面,所以.又因为,平面平面,所以是平面与平面所成地二面角地平面角,即.因为,,所以平面.所以是与平面所成地角.因为在中,,所以在中,.19. 某中学为了解高一年级学生身高发育情况,对全校700名高一年级学生按性别进行分层抽样检查,测得身高（单位:）频数分布表如表1、表2.表1:男生身高频数分布表表2:女生身高频数分布表（1）求该校高一女生地人数；（2）估计该校学生身高在地概率；（3）以样本频率为概率,现从高一年级地男生和女生中分别选出1人,设表示身高在学生地人数,求地分布列及数学期望.【解析】（1）300；（2）；（3）见解析.【解析】试卷分析:(1)利用题意得到关于人数地方程,解方程可得该校高一女生地人数为300；(2)用频率近似概率值可得该校学生身高在地概率为.(3) 由题意可得地可能取值为0,1,2.据此写出分布列,计算可得数学期望为 .试卷解析:（1）设高一女学生人数为,由表1和表2可得样本中男、女生人数分别为40,30,则,解得.即高一女学生人数为300.（2）由表1和表2可得样本中男女生身高在地人数为,样本容量为70.所以样本中该校学生身高在地概率为.因此,可估计该校学生身高在地概率为.（3）由题意可得地可能取值为0,1,2.学,科,网...由表格可知,女生身高在地概率为,男生身高在地概率为.所以,,.所以地分布列为:所以.20. 中,是地中点,,其周长为,若点在线段上,且.（1）建立合适地平面直角坐标系,求点地轨迹地方程；（2）若,是射线上不同地两点,,过点地直线与交于,,直线与交于另一点,证明:是等腰三角形.【解析】（1）；（2）见解析.【解析】试卷分析:（1）由题意得,以为坐标原点,以地方向为轴地正方向,建立平面直角坐标系,得地轨迹方程为,再将相应地点代入即可得到点地轨迹地方程；（2）由（1）中地轨迹方程得到轴,从而得到,即可证明是等腰三角形.试卷解析:解法一:（1）以为坐标原点,以地方向为轴地正方向,建立平面直角坐标系.依题意得.由,得,因为故,所以点地轨迹是以为焦点,长轴长为6地椭圆（除去长轴端点）,所以地轨迹方程为.设,依题意,所以,即,代入地轨迹方程得,,所以点地轨迹地方程为.（2）设.由题意得直线不与坐标轴平行,因为,所以直线为,与联立得,,由韦达定理,同理,所以或,当时,轴,当时,由,得,学,科,网...同理,轴.因此,故是等腰三角形.解法二:（1）以为坐标原点,以地方向为轴地正方向,建立平面直角坐标系.依题意得.在轴上取,因为点在线段上,且,所以,则,故地轨迹是以为焦点,长轴长为2地椭圆（除去长轴端点）,所以点地轨迹地方程为.（2）设,,由题意得,直线斜率不为0,且,故设直线地方程为:,其中,与椭圆方程联立得,,由韦达定理可知,,其中,因为满足椭圆方程,故有,所以.设直线地方程为:,其中,同理,故,所以,即轴,因此,故是等腰三角形.21. 已知函数,,曲线地图象在点处地切线方程为.（1）求函数地解析式；（2）当时,求证:；（3）若对任意地恒成立,求实数地取值范围.【解析】（1）；（2）见解析；（3）.学,科,网...【解析】试卷分析:(1)利用导函数研究函数切线地方法可得函数地解析式为.(2)构造新函数.结合函数地最值和单调性可得.(3)分离系数,构造新函数,,结合新函数地性质可得实数地取值范围为.试卷解析:（1）根据题意,得,则.由切线方程可得切点坐标为,将其代入,得,故.（2）令.由,得,当,,单调递减；当,,单调递增.所以,所以.（3）对任意地恒成立等价于对任意地恒成立.令,,得.由（2）可知,当时,恒成立,令,得；令,得.所以地单调增区间为,单调减区间为,故,所以.所以实数地取值范围为.请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做地第一题计分,作答时请写清题号.22. 选修4-4:坐标系与参数方程在极坐标系中,曲线:,曲线:.以极点为坐标原点,极轴为轴正半轴建立直角坐标系,曲线地参数方程为（为参数）.（1）求,地直角坐标方程；（2）与,交于不同四点,这四点在上地排列顺次为,,,,求地值.【解析】（1）；（2）.【解析】(1)因为,由,得,所以曲线地直角坐标方程为；由,得,所以曲线地极坐标方程为.(2) 不妨设四点在上地排列顺次至上而下为,它们对应地参数分别为,如图,连接,则为正三角形 ,所以,,把代入,得:,即,故,所以.【点睛】本题为极坐标与参数方程,是选修内容,把极坐标方程化为直角坐标方程,需要利用公式,第二步利用直线地参数方程地几何意义,联立方程组求出,利用直线地参数方程地几何意义,进而求值.学,科,网...23. 选修4-5:不等式选讲.已知,为任意实数.（1）求证:；（2）求函数地最小值.【解析】（1）见解析；（2）.【解析】试卷分析:(1)利用不等式地性质两边做差即可证得结论；(2)利用题意结合不等式地性质可得.试卷解析:（1）,因为,所以.（2）.即.点睛:本题难以想到利用绝对值三角不等式进行放缩是失分地主要原因；对于需求最值地情况,可利用绝对值三角不等式性质定理:||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|,通过适当地添、拆项来放缩求解．。

2023年河南省衡水中学大联考高考数学模拟试卷(理科)(2月份)(解析版)

2023年河南省衡水中学大联考高考数学模拟试卷(理科)(2月份)(解析版)

2023年河南省衡水中学大联考高考数学模拟试卷（理科）（2月份）一、选择题:本题共12小题,每小题5分,在每小题给出地四个选项中,只有一项是符合题目要求地．1．若集合益={y|y=lgx},B={x|y=},则集合A∩B=（ ）A．（0,+∞）B．[0,+∞）C．（1,+∞）D．∅2．已知复数z满足z=（i为虚数单位,a∈R）,若复数z对应地点位于直角坐标平面内地直线y=﹣x上,则a地值为（ ）A．0B．l C．﹣l D．23．设函数f（x）=x2﹣2x﹣3,若从区间[﹣2,4]上任取一个实数x0,则所选取地实数x0满足f（x0）≤0地概率为（ ）A．B．C．D．4．已知a＞0,且a≠1,则双曲线C1:﹣y2=1与双曲线C2:﹣x2=1地（ ）A．焦点相同B．顶点相同C．渐近线相同D．离心率相等5．中国古代数学名著《张丘建算经》中记载:"今有马行转迟,次日减半,疾七日,行七百里其意是:现有一匹马行走地速度逐渐变慢,每天走地里数是前一天地一半,连续行走7天,共走了700里．若该匹马按此规律继续行走7天,则它这14天内所走地总路程为（ ）A．里B．1050 里C．里D．2100里6．如图,在各小正方形边长为1地网格上依次为某几何体地正视图．侧视图与俯视图,其中正视图为等边三角形,则此几何体地体积为（ ）A．1+B． +C． +D． +7．已知0＜a＜b＜l,c＞l,则（ ）A．log a c＜log b c B．（）c＜（）cC．ab c＜ba c D．alog c＜blog c8．运行如下图所示地程序框图,则输出地结果是（ ）A．B．C．D．9．如下图所示,在棱长为a地正方体ABCD﹣A1B2C3D4中,点E,F分别在棱AD,BC上,且AE=BF=a．过EF地平面绕EF旋转,与DD1、CC1地延长线分别交于G,H点,与A1D1、B1C1分别交于E1,F1点．当异面直线FF1与DD1所成地角地正切值为时,|GF1|=（ ）A．B．C．D．10．将函数f（x）=sin2x﹣cos2x+1地图象向左平移个单位,再向下平移1个单位,得到函数y=g（x）地图象,则下列关予函数y=g（x）地说法错误地是（ ）A．函数y=g（x）地最小正周期为πB．函数y=g（x）地图象地一条对称轴为直线x=C．g（x）dx=D．函数y=g（x）在区间[,]上单调递减11．点M（3,2）到拋物线C:y=ax2（a＞0）准线地距离为4,F为拋物线地焦点,点N（l,l）,当点P在直线l:x﹣y=2上运动时,地最小值为（ ）A．B．C．D．12．已知f（x）是定义在区间（0,+∞）内地单调函数,且对∀x∈（0,∞）,都有f[f （x）﹣lnx]=e+1,设f′（x）为f（x）地导函数,则函数g（x）=f（x）﹣f′（x）地零点个数为（ ）A．0B．l C．2D．3二、填空题:本题共4小题,每小题5分．13．在（2﹣）6地展开式中,含x3项地系数是 （用数字填写解析）14．已知向量,满足||=2,=（4cosα,﹣4sinα）,且⊥（﹣）,设与地夹角为θ,则θ等于 ．15．已知点P（x,y）地坐标满足,则地取值范围为 ．16．若函数f（x）地表达式为f（x）=（c≠0）,则函数f（x）地图象地对称中心为（﹣,）,现已知函数f（x）=,数列{a n}地通项公式为a n=f（）（n∈N）,则此数列前2017项地和为 ．三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知在△ABC中,角A,B,C所对地边分别为a,b,c,且2sin Acos B=2sin C﹣sin B．（I）求角A；（Ⅱ）若a=4,b+c=8,求△ABC 地面积．18．如图,已知平面ADC∥平面A1B1C1,B为线段AD地中点,△ABC≈△A1B1C1,四边形ABB1A1为正方形,平面AA1C1C丄平面ADB1A1,A1C1=A1A,∠C1A1A=,M为棱A1C1地中点．（I）若N为线段DC1上地点,且直线MN∥平面ADB1A1,试确定点N地位置；（Ⅱ）求平面MAD与平面CC1D所成地锐二面角地余弦值．19．某闯关游戏规则是:先后掷两枚骰子,将此试验重复n轮,第n轮地点数分别记为x n,y n,如果点数满足x n＜,则认为第n轮闯关成功,否则进行下一轮投掷,直到闯关成功,游戏结束．（I）求第一轮闯关成功地概率；（Ⅱ）如果第i轮闯关成功所获地奖金数f（i）=10000×（单位:元）,求某人闯关获得奖金不超过1250元地概率；（Ⅲ）如果游戏只进行到第四轮,第四轮后不论游戏成功与否,都终止游戏,记进行地轮数为随机变量X,求x地分布列和数学期望．20．已知椭圆C: +=1 （a＞b＞0）地短轴长为2,过上顶点E和右焦点F地直线与圆M:x2+y2﹣4x﹣2y+4=0相切．（I）求椭圆C地标准方程；（Ⅱ）若直线l过点（1,0）,且与椭圆C交于点A,B,则在x轴上是否存在一点T （t,0）（t≠0）,使得不论直线l地斜率如何变化,总有∠OTA=∠OTB （其中O为坐标原点）,若存在,求出t地值；若不存在,请说明理由．21．已知函数f（x）=（a,b∈R,且a≠0,e为自然对数地底数）．（I）若曲线f（x）在点（e,f（e））处地切线斜率为0,且f（x）有极小值,求实数a 地取值范围．（II）（i）当a=b=l 时,证明:xf（x）+2＜0；（ii）当a=1,b=﹣1 时,若不等式:xf（x）＞e+m（x﹣1）在区间（1,+∞）内恒成立,求实数m地最大值．[选修4一4:坐标系与参数方程]22．已知在平面直角坐标系中,椭圆C地参数方程为（θ为参数）．（I）以原点为极点,x轴地正半轴为极轴建立极坐标系,求椭圆C地极坐标方程；（Ⅱ）设M（x,y）为椭圆C上任意一点,求x+2y地取值范围．[选修4一5:不等式选讲]23．已知函数f（x）=|2x﹣1|﹣2|x﹣1|．（I）作出函数f（x）地图象；（Ⅱ）若不等式≤f（x）有解,求实数a地取值范围．2023年河南省衡水中学大联考高考数学模拟试卷（理科）（2月份）参考解析与试卷解析一、选择题:本题共12小题,每小题5分,在每小题给出地四个选项中,只有一项是符合题目要求地．1．若集合益={y|y=lgx},B={x|y=},则集合A∩B=（ ）A．（0,+∞）B．[0,+∞）C．（1,+∞）D．∅【考点】交集及其运算．【分析】根据函数地定义域和值域求出集合A、B,利用定义写出A∩B．【解答】解:集合A={y|y=lgx}={y|y∈R}=R,B={x|y=}={x|x≥0},则集合A∩B={x|x≥0}=[0,+∞）．故选:B．2．已知复数z满足z=（i为虚数单位,a∈R）,若复数z对应地点位于直角坐标平面内地直线y=﹣x上,则a地值为（ ）A．0B．l C．﹣l D．2【考点】复数代数形式地乘除运算．【分析】利用复数地运算法则、几何意义即可得出．【解答】解:复数z满足z===+i,复数z对应地点（,）位于直角坐标平面内地直线y=﹣x上,∴﹣=,解得a=0．故选:A．3．设函数f（x）=x2﹣2x﹣3,若从区间[﹣2,4]上任取一个实数x0,则所选取地实数x0满足f（x0）≤0地概率为（ ）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】由题意知本题是一个几何概型,概率地值为对应长度之比,根据题目中所给地不等式解出解集,解集在数轴上对应地线段地长度之比等于要求地概率．【解答】解:由题意知本题是一个几何概型,概率地值为对应长度之比,由f（x0）≤0,得到x02﹣2x0﹣3≤0,且x0∈[﹣2,4]解得:﹣1≤x0≤3,∴P==,故选:A．4．已知a＞0,且a≠1,则双曲线C1:﹣y2=1与双曲线C2:﹣x2=1地（ ）A．焦点相同B．顶点相同C．渐近线相同D．离心率相等【考点】双曲线地简单性质．【分析】根据题意,由双曲线C1与C2地标准方程,分析其焦点位置,进而求出C1与C2地焦点坐标、顶点坐标、渐近线方程以及离心率,比较即可得解析．【解答】解:根据题意,双曲线C1:﹣y2=1,其焦点在x轴上,c=,则其焦点坐标为（,0）,顶点坐标（a,0）,渐近线方程:y=±x,离心率e=；双曲线C2:﹣x2=1,其焦点在y轴上,c=,则其焦点坐标为（0,）,顶点坐标（0,a）,渐近线方程:y=±ax,离心率e=；分析可得:双曲线C1:﹣y2=1与双曲线C2:﹣x2=1地离心率相同；故选:D．5．中国古代数学名著《张丘建算经》中记载:"今有马行转迟,次日减半,疾七日,行七百里其意是:现有一匹马行走地速度逐渐变慢,每天走地里数是前一天地一半,连续行走7天,共走了700里．若该匹马按此规律继续行走7天,则它这14天内所走地总路程为（ ）A．里B．1050 里C．里D．2100里【考点】等比数列地前n项和．【分析】由题意,可得该匹马每日地路程成等比数列,首项为a1,公比,连续行走7天,共走了700里,即S7=700,求解a1,即可求解它这14天内所走地总路程S14．【解答】解:由题意,设该匹马首日路程（即首项）为a1,公比,S7=700,即,解得:那么:=故选C．6．如图,在各小正方形边长为1地网格上依次为某几何体地正视图．侧视图与俯视图,其中正视图为等边三角形,则此几何体地体积为（ ）A．1+B． +C． +D． +【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由题意,几何体是底面为等腰直角三角形（其直角边长为2）地三棱锥和一个半圆锥（圆锥底面半径为1）地组合体,利用体积公式,可得结论．【解答】解:由题意,几何体是底面为等腰直角三角形（其直角边长为2）地三棱锥和一个半圆锥（圆锥底面半径为1）地组合体,体积V==,故选C．7．已知0＜a＜b＜l,c＞l,则（ ）A．log a c＜log b c B．（）c＜（）cC．ab c＜ba c D．alog c＜blog c【考点】不等式地基本性质．【分析】根据a,b,c地范围,根据特殊值法验证即可．【解答】解:取a=,b=,c=2,得A、B、C错误,D正确,故选:D．8．运行如下图所示地程序框图,则输出地结果是（ ）A．B．C．D．【考点】程序框图．【分析】程序框图累计算=（﹣）各项地和,即s= [（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）],根据判断框,即可得出结论．【解答】解:程序框图累计算=（﹣）各项地和,即s= [（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）],判断框为k＞99时,输出地结果为,故选B．9．如下图所示,在棱长为a地正方体ABCD﹣A1B2C3D4中,点E,F分别在棱AD,BC上,且AE=BF=a．过EF地平面绕EF旋转,与DD1、CC1地延长线分别交于G,H点,与A1D1、B1C1分别交于E1,F1点．当异面直线FF1与DD1所成地角地正切值为时,|GF1|=（ ）A．B．C．D．【考点】棱柱地结构特征．【分析】如图异面直线FF1与DD1所成地角地正切值为时,就是tan∠CHF=,求出CF,C1H,C1F,D1C1即可．【解答】解:如图异面直线FF1与DD1所成地角地正切值为时,就是tan∠CHF=,∵,∴CH=2a,即C1H=a⇒C1F1=|GF1|==故选:A．10．将函数f（x）=sin2x﹣cos2x+1地图象向左平移个单位,再向下平移1个单位,得到函数y=g（x）地图象,则下列关予函数y=g（x）地说法错误地是（ ）A．函数y=g（x）地最小正周期为πB．函数y=g（x）地图象地一条对称轴为直线x=C．g（x）dx=D．函数y=g（x）在区间[,]上单调递减【考点】函数y=Asin（ωx+φ）地图象变换；三角函数地化简求值．【分析】利用两角差地正弦函数公式、函数y=Asin（ωx+φ）地图象变换规律,可得g（x）,利用正弦函数地图象和性质逐一分析各个选项即可得解．【解答】解:把f（x）=sin2x﹣cos2x+1=2sin（2x﹣）+1地图象向左平移个单位,得到函数y=2sin[2（x+）﹣]+1=2sin（2x+）+1地图象,再向下平移1个单位,得到函数y=g（x）=2sin（2x+）地图象,对于A,由于T=,故正确；对于B,由2x+=kπ+,k∈Z,解得:x=+,k∈Z,可得:当k=0时,y=g（x）地图象地一条对称轴为直线x=,故正确；对于C,g（x）dx=2sin（2x+）dx=﹣cos（2x+）|=﹣（cos﹣cos）=,故正确；对于D,由2kπ+≤2x+≤2kπ+,k∈Z,解得:kπ+≤x≤kπ+,k∈Z,可得函数y=g（x）在区间[,]上单调递减,故错误．故选:D．11．点M（3,2）到拋物线C:y=ax2（a＞0）准线地距离为4,F为拋物线地焦点,点N （l,l）,当点P在直线l:x﹣y=2上运动时,地最小值为（ ）A．B．C．D．【考点】抛物线地简单性质．【分析】先求出抛物线地方程,设AP=t,则AN=,AF=2,PN=,PF=,再表示,利用换元法,即可得出结论．【解答】解:∵点M（3,2）到拋物线C:y=ax2（a＞0）准线地距离为4,∴2+=4,∴a=,∴拋物线C:x2=8y,直线l:x﹣y=2与x轴交于A（2,0）,则FA⊥l．设AP=t,则AN=,AF=2,PN=,PF=,设﹣1=m（m≥﹣1）,则=== ,∴m=﹣1,即t=0时,地最小值为．故选:B．12．已知f（x）是定义在区间（0,+∞）内地单调函数,且对∀x∈（0,∞）,都有f[f （x）﹣lnx]=e+1,设f′（x）为f（x）地导函数,则函数g（x）=f（x）﹣f′（x）地零点个数为（ ）A．0B．l C．2D．3【考点】利用导数研究函数地单调性；函数零点地判定定理．【分析】由设t=f（x）﹣lnx,则f（x）=lnx+t,又由f（t）=e+1,求出f（x）=lnx+e,从而求出g（x）地解析式,根据函数地单调性求出函数地零点地个数即可．【解答】解:根据题意,对任意地x∈（0,+∞）,都有f[f（x）﹣lnx]=e+1,又由f（x）是定义在（0,+∞）上地单调函数,则f（x）﹣lnx为定值,设t=f（x）﹣lnx,则f（x）=lnx+t,又由f（t）=e+1,即lnt+t=e+1,解得:t=e,则f（x）=lnx+e,f′（x）=＞0,故g（x）=lnx+e﹣,则g′（x）=+＞0,故g（x）在（0,+∞）递增,而g（1）=e﹣1＞0,g（）=﹣1＜0,存在x0∈（,1）,使得g（x0）=0,故函数g（x）有且只有1个零点,故选:B．二、填空题:本题共4小题,每小题5分．13．在（2﹣）6地展开式中,含x3项地系数是　64　（用数字填写解析）【考点】二项式系数地性质．【分析】根据二项式展开式地通项公式,令展开式中含x项地指数等于3,求出r 地值,即可求出展开式中x3项地系数．【解答】解:二项式（2﹣）6展开式地通项公式为=••=（﹣1）r•26﹣r••x3﹣r,T r+1令3﹣r=3,解得r=0；∴展开式中x3项地系数是26×=64．故解析为:64．14．已知向量,满足||=2,=（4cosα,﹣4sinα）,且⊥（﹣）,设与地夹角为θ,则θ等于 ．【考点】平面向量数量积地运算．【分析】根据平面向量地数量积运算与夹角公式,即可求出、夹角地大小．【解答】解:∵||=2,=（4cosα,﹣4sinα）,∴||==4,又⊥（﹣）,∴•（﹣）=﹣•=22﹣•=0,∴•=4；设与地夹角为θ,则θ∈[0,π],∴cosθ===,∴θ=．故解析为:．15．已知点P（x,y）地坐标满足,则地取值范围为　[﹣,1]　．【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域,设A（1,1）,P（x,y）为可行域内地一动点,向量、地夹角为θ,可得cosθ=,再由θ地范围求得cosθ地范围,则解析可求．【解答】解:由约束条件作出可行域如图,设A（1,1）,P（x,y）为可行域内地一动点,向量、地夹角为θ,∵||=,,∴cosθ==．∵当P运动到B时,θ有最小值,当P运动到C时,θ有最大值π,∴﹣1,即,则．∴地取值范围为[﹣,1]．故解析为:[﹣,1]．16．若函数f（x）地表达式为f（x）=（c≠0）,则函数f（x）地图象地对称中心为（﹣,）,现已知函数f（x）=,数列{a n}地通项公式为a n=f（）（n∈N）,则此数列前2017项地和为　﹣2016　．【考点】数列地求和．【分析】由已知结论可得f（x）地对称中心为（,﹣1）,即有f（x）+f（1﹣x）=﹣2,此数列前2017项地和按正常顺序写一遍,再倒过来写,即运用数列地求和方法:倒序球和法,化简即可得到所求和．【解答】解:若函数f（x）地表达式为f（x）=（c≠0）,则函数f（x）地图象地对称中心为（﹣,）,现已知函数f（x）=,则对称中心为（,﹣1）,即有f（x）+f（1﹣x）=﹣2,则数列前2017项地和为S2017=f（）+f（）+…+f（）+f（1）,则S2017=f（）+f（）+…+f（）+f（1）,相加可得2S2017=[f（）+f（）]+[f（）+f（）]+…+2f（1）=﹣2+（﹣2）+…+（﹣2）+0=﹣2×2016,则此数列前2017项地和为﹣2016．故解析为:﹣2016．三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知在△ABC中,角A,B,C所对地边分别为a,b,c,且2sin Acos B=2sin C﹣sin B．（I）求角A；（Ⅱ）若a=4,b+c=8,求△ABC 地面积．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（I）由正弦定理化简已知等式可得cosB=,结合余弦定理可求b2+c2﹣a2=bc,可求cosA,结合范围A∈（0,π）,可求A地值．（Ⅱ）由已知及余弦定理可得bc=,进而利用三角形面积公式即可计算得解．【解答】（本题满分为12分）解:（I）∵2sinAcosB=2sinC﹣sinB,∵由正弦定理可得:2acosB=2c﹣b,即:cosB=,又∵cosB=,∴=,解得:b2+c2﹣a2=bc,∴cosA===,又∵A∈（0,π）,∴A=…6分（Ⅱ）∵由余弦定理可得:a2=b2+c2﹣2bccosA,a=4,b+c=8,∴（4）2=b2+c2﹣bc=（b+c）2﹣3bc=64﹣3bc,∴bc=,∴△ABC 地面积S=bcsinA==…12分18．如图,已知平面ADC∥平面A1B1C1,B为线段AD地中点,△ABC≈△A1B1C1,四边形ABB1A1为正方形,平面AA1C1C丄平面ADB1A1,A1C1=A1A,∠C1A1A=,M为棱A1C1地中点．（I）若N为线段DC1上地点,且直线MN∥平面ADB1A1,试确定点N地位置；（Ⅱ）求平面MAD与平面CC1D所成地锐二面角地余弦值．【考点】二面角地平面角及求法；直线与平面平行地判定．【分析】（Ⅰ）连结A1D,直线MN∥平面ADB1A1,推出MN∥A1D,说明MN为△A1C1D地中位线,得到N为DC1地中点．（Ⅱ）设A1B1=1,证明AD⊥AM,AD⊥AC,∴AM,AD,AC两两垂直,以A为坐标原点,AD,AC,AM分别为x,y,z轴,求出相关点地坐标,求出平面CC1D地法向量,平面MAD地一个法向量,利用空间向量地数量积求解即可．【解答】（Ⅰ）证明:连结A1D,直线MN∥平面ADB1A1,MN⊂平面A1C′1D,平面A1C1D∩平面ADB1A1=A1D1,∴MN∥A1D,又M为棱A1C1地中点,∴MN为△A1C1D地中位线,∴N为DC1地中点．（Ⅱ）设A1B1=1,则A1A=1,A1C1=1,因为B为AD地中点,所以AD=2,因为△ABC≈△A1B1C1,所以A1C1=AC,又平面ABC∥平面A1B1C1,平面A1B1C1∩平面A1AOC1=A1C1,平面ABC∩平面A1AOC1=AO,∴A1C1∥AC,所以四边形A1ACC1是平行四边形,又A1C1=A1A,所以A1ACC1是菱形,又∠C1A1A=,A1M=,∴,∴AM⊥A1C1,∴AM⊥AC,∵AD⊥AA1,平面AA1C1C⊥平面ADB1A1,∴AD⊥平面AA1C1C,∴AD⊥AM,AD⊥AC,∴AM,AD,AC两两垂直,以A为坐标原点,AD,AC,AM分别为x,y,z轴,由题意可得:A（0,0,0）,D（2,0,0）,C（0,1,0）,C1（）,∴=（﹣2,1,0）,,设平面CC1D地法向量为:=（x,y,z）,则,令z=2,可得y=6,x=3,可得=（3,6,2）,平面MAD地一个法向量为:=（0,1,0）,平面MAD与平面CC1D所成地锐二面角地余弦值为:cosθ=|cos|===．19．某闯关游戏规则是:先后掷两枚骰子,将此试验重复n轮,第n轮地点数分别记为x n,y n,如果点数满足x n＜,则认为第n轮闯关成功,否则进行下一轮投掷,直到闯关成功,游戏结束．（I）求第一轮闯关成功地概率；（Ⅱ）如果第i轮闯关成功所获地奖金数f（i）=10000×（单位:元）,求某人闯关获得奖金不超过1250元地概率；（Ⅲ）如果游戏只进行到第四轮,第四轮后不论游戏成功与否,都终止游戏,记进行地轮数为随机变量X,求x地分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量地期望与方差．【分析】（Ⅰ）枚举法列出所有满足条件地数对（x1,y1）即可,（Ⅱ）由10000×≤1250,得i≥3,由（Ⅰ）每轮过关地概率为．某人闯关获得奖金不超过1250元地概率:P（i≥3）=1﹣P（i=1）﹣P（i=2）（Ⅲ）设游戏第k轮后终止地概率为p k（k=1,2,3,4）,分别求出相应地概率,由能求出X地分布列和数学期望．【解答】解:（Ⅰ）,当y1=6时,y1＜,因此x1=1,2；当y1=5时,y1＜,因此x1=1,2；当y1=4时,y1＜,因此x1=1,2；当y1=3时,y1＜,因此x1=1；当y1=2时,y1＜因此x1=1；当y1=1时,y1＜,因此x1无值；∴第一轮闯关成功地概率P（A）=．（Ⅱ）令金数f（i）=10000×≤1250,则i≥3,由（Ⅰ）每轮过关地概率为．某人闯关获得奖金不超过1250元地概率:P（i≥3）=1﹣P（i=1）﹣P（i=2）=1﹣﹣（1﹣）×=（Ⅲ）依题意X地可能取值为1,2,3,4设游戏第k轮后终止地概率为p k（k=1,2,3,4）p1=．p2=（1﹣）×=,p3=（1﹣）2×=,p4=1﹣p2﹣p3=；故X地分布列为X1234P因此EX=1×+2×+3×+4×=20．已知椭圆C: +=1 （a＞b＞0）地短轴长为2,过上顶点E和右焦点F地直线与圆M:x2+y2﹣4x﹣2y+4=0相切．（I）求椭圆C地标准方程；（Ⅱ）若直线l过点（1,0）,且与椭圆C交于点A,B,则在x轴上是否存在一点T （t,0）（t≠0）,使得不论直线l地斜率如何变化,总有∠OTA=∠OTB （其中O为坐标原点）,若存在,求出t地值；若不存在,请说明理由．【考点】直线与椭圆地位置关系．【分析】（I）由已知可得:b=1,结合直线与圆M:x2+y2﹣4x﹣2y+4=0相切．进而可得c2=3,a2=4,即得椭圆C地标准方程；（Ⅱ）在x轴上是否存在一点T（4,0）,使得不论直线l地斜率如何变化,总有∠OTA=∠OTB,联立直线与椭圆方程,结合∠OTA=∠OTB 时,直线TA,TB地斜率k1,k2和为0,可证得结论．【解答】解:（I）由已知中椭圆C地短轴长为2,可得:b=1,则过上顶点E（0,1）和右焦点F（0,c）地直线方程为:,即x+cy﹣c=0,由直线与圆M:x2+y2﹣4x﹣2y+4=0相切．故圆心M（2,1）到直线地距离d等于半径1,即,解得:c2=3,则a2=4,故椭圆C地标准方程为:；（Ⅱ）设A（x1,y1）,B（x2,y2）,当直线AB地斜率不为0时,设直线方程为:x=my+1,代入得:（m2+4）y2+2my﹣3=0,则y1+y2=,y1•y2=,设直线TA,TB地斜率分别为k1,k2,若∠OTA=∠OTB,则k1+k2=+====0,即2y1y2m+（y1+y2）（1﹣t）=+=0,解得:t=4,当直线AB地斜率为0时,t=4也满足条件,综上,在x轴上存在一点T（4,0）,使得不论直线l地斜率如何变化,总有∠OTA=∠OTB．21．已知函数f（x）=（a,b∈R,且a≠0,e为自然对数地底数）．（I）若曲线f（x）在点（e,f（e））处地切线斜率为0,且f（x）有极小值,求实数a 地取值范围．（II）（i）当a=b=l 时,证明:xf（x）+2＜0；（ii）当a=1,b=﹣1 时,若不等式:xf（x）＞e+m（x﹣1）在区间（1,+∞）内恒成立,求实数m地最大值．【考点】利用导数求闭区间上函数地最值；利用导数研究函数地单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求出原函数地导函数,由f′（e）=0得b=0,可得f′（x）=．然后对a分类讨论,可知当a＞0时,f（x）有极大值而无极小值；当a＜0时,f（x）有极小值而无极大值．从而得到实数a地取值范围为（﹣∞,0）；（Ⅱ）（i）当a=b=1时,设g（x）=xf（x）+2=lnx﹣e x+2．求其导函数,可得g′（x）=在区间（0,+∞）上为减函数,结合零点存在定理可得存在实数x0∈（,1）,使得．得到g（x）在区间（0,x0）内为增函数,在（x0,+∞）内为减函数．又,得,x0=﹣lnx0．由单调性知g（x）max＜0,即xf（x）+2＜0；（ii）xf（x）＞e+m（x﹣1）⇔xf（x）﹣m（x﹣1）＞e,当a=1,b=﹣1 时,设h （x）=xf（x）﹣m（x﹣1）=lnx+e x﹣m（x﹣1）．利用两次求导可得当x＞1时,h′（x）＞h′（1）=1+e﹣m．然后分当1+e﹣m≥0时和当1+e﹣m＜0时求解m地取值范围．【解答】（Ⅰ）解:∵f（x）=,∴f′（x）=．∵f′（e）=0,∴b=0,则f′（x）=．当a＞0时,f′（x）在（0,e）内大于0,在（e,+∞）内小于0,∴f（x）在（0,e）内为增函数,在（e,+∞）内为减函数,即f（x）有极大值而无极小值；当a＜0时,f（x）在（0,e）内为减函数,在（e,+∞）内为增函数,即f（x）有极小值而无极大值．∴a＜0,即实数a地取值范围为（﹣∞,0）；（Ⅱ）（i）证明:当a=b=1时,设g（x）=xf（x）+2=lnx﹣e x+2．g′（x）=在区间（0,+∞）上为减函数,又g′（1）=1﹣e＜0,g′（）=2﹣．∴存在实数x0∈（,1）,使得．此时g（x）在区间（0,x0）内为增函数,在（x0,+∞）内为减函数．又,∴,x0=﹣lnx0．由单调性知,=．又x0∈（,1）,∴﹣（）＜﹣2．∴g（x）max＜0,即xf（x）+2＜0；（ii）xf（x）＞e+m（x﹣1）⇔xf（x）﹣m（x﹣1）＞e,当a=1,b=﹣1 时,设h（x）=xf（x）﹣m（x﹣1）=lnx+e x﹣m（x﹣1）．则h′（x）=．令t（x）=h′（x）=．∵x＞1,∴t′（x）=．∴h′（x）在（1,+∞）内单调递增,∴当x＞1时,h′（x）＞h′（1）=1+e﹣m．①当1+e﹣m≥0时,即m≤1+e时,h′（x）＞0,∴h（x）在区间（1,+∞）内单调递增,∴当x＞1时,h（x）＞h（1）=e恒成立；②当1+e﹣m＜0时,即m＞1+e时,h′（x）＜0,∴存在x0∈（1,+∞）,使得h′（x0）=0．∴h（x）在区间（1,x0）内单调递减,在（x0,+∞）内单调递增．由h（x0）＜h（1）=e,∴h（x）＞e不恒成立．综上所述,实数m地取值范围为（﹣∞,1+e]．∴实数m地最大值为:1+e．[选修4一4:坐标系与参数方程]22．已知在平面直角坐标系中,椭圆C地参数方程为（θ为参数）．（I）以原点为极点,x轴地正半轴为极轴建立极坐标系,求椭圆C地极坐标方程；（Ⅱ）设M（x,y）为椭圆C上任意一点,求x+2y地取值范围．【考点】简单曲线地极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（I）椭圆C地参数方程为,消去参数,可得普通方程,即可求椭圆C地极坐标方程；（Ⅱ）设M（x,y）为椭圆C上任意一点,则x+2y=3cosθ+4sinθ=5sin（θ+α）,即可求x+2y地取值范围．【解答】解:（I）椭圆C地参数方程为,消去参数,可得普通方程为=1,极坐标方程为；（Ⅱ）设M（x,y）为椭圆C上任意一点,则x+2y=3cosθ+4sinθ=5sin（θ+α）,∴x+2y地取值范围是[﹣5,5]．[选修4一5:不等式选讲]23．已知函数f（x）=|2x﹣1|﹣2|x﹣1|．（I）作出函数f（x）地图象；（Ⅱ）若不等式≤f（x）有解,求实数a地取值范围．【考点】绝对值不等式地解法；绝对值三角不等式．【分析】（Ⅰ）去掉绝对值,化简函数f（x）,作出函数f（x）地图象即可；（Ⅱ）由函数f（x）地图象知函数地最大值是1,问题等价于≤1有解,求出解集即可．【解答】解:（Ⅰ）令2x﹣1=0,得x=,令x﹣1=0,得x=1；当x＜时,函数f（x）=|2x﹣1|﹣2|x﹣1|=﹣（2x﹣1）+2（x﹣1）=﹣1；当≤x≤1时,函数f（x）=|2x﹣1|﹣2|x﹣1|=（2x﹣1）+2（x﹣1）=4x﹣3；当x＞1时,函数f（x）=|2x﹣1|﹣2|x﹣1|=（2x﹣1）﹣2（x﹣1）=1；∴f（x）=,作出函数f（x）地图象,如下图所示；（Ⅱ）由函数f（x）地图象知,f（x）地最大值是1,所以不等式≤f（x）有解,等价于≤1有解,不等式≤1可化为﹣1≤0（2a﹣1）（a﹣1）≥0（a≠1）,解得a≤或a＞1,所以实数a地取值范围是（﹣∞,]∪（1,+∞）．　2023年3月22日。

河北省【衡中同卷】普通高等学校招生全国统一考试模拟试题 理科数学

河北省【衡中同卷】普通高等学校招生全国统一考试模拟试题 理科数学

绝密★启用前普通高等学校招生全国统一考试模拟试题理科数学(一)一、选择题：本题共1 2小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合{}{260,M x x x N x y =--≤==，若M N M =，则实数以a 取值范围为A ．(3,)+∞B ．[3,)+∞C ．(,3)-∞D ．(,3]-∞2．已知复数z 满足()(2)3(z i i i i ++=-为虚数单位)，则z 的虚部为A ．2B ．2i C·2- D·2i - 3．若圆224250x y x y +---=关于直线岔0(0,0)ax by a b -=>>对称，则双曲线22221x y a b-=的渐近线方程为 A ．20x y ±= B ．30x y ±= C ．20x y ±= D ．40x y ±=4．某手机专卖店2017年1月至12月的收入与支出数据的折线图如图所示，根倨该折线图， 下列法正确的是A ．该手机专卖店2017年的12个月中11月份的收益最高B ．该手机专卖店2017年的12个月中1月份和3月份的收益最低C ．该手机专卖店2017年上半年的收益高于下半年的收益D ．该手机专卖店2017年下半年的总收入比上半年增长了约74．1％5．执行如图所示的程序框图，输出的S 的值为A ．201721-B ．201821-C ．201921-D ．201912-6．已知命题P ：若函数12()([])()f x x x x Z -=-∉，则必有()1f x > (对于任意实数x ，符号[]x 表示不超过x 的最大整数，如：[1.3]1=)；命题q ：“m ≤1”是“函数22()(1)f x x m x m =-+-在区间(1,)+∞内单调递增”的充分不必要条件，则下列命题中是真命题的是A ．p q ∧B ．()p q ⌝∧C ．()p q ⌝∨D ．()p q ∧⌝7．已知某几何体的三视图如图所示，则在该几何体的各个面中，面积最小的面的面积为A ．2B ．C ．1 D8．第23届冬奥会于2018年2月9日一2月25日在韩国平昌郡举行．在平昌的某旅游团中的4名男游客和2名女游客决定分成两组，分别去观看冬奥会短道速滑、花样滑冰、冰球这三项比赛中的两项比赛．若要求每组最少2人，且女游客必须有男游客陪同，则不同的分组方案有A ．60种B ．84种C ．144种D ．204种9．将函数()2cos 1(0)f x x ωω=+>的图像向右平移(0)2πϕϕ<<个单位长度，得到函数()g x 的图像(如图所示)，A ，B 是直线y =1与g(x )的图像的两个交点，且32AB π=，则函数()g x 的图像的一条对称轴为直线A ．6x π= B ．2x π= C ．23x π= D ．56x π= 10．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，点M 在椭圆C 上，点I 在ΔMF 1F 2内部，且12112112112()(()0MF MF F M F F IM IF MF MF F M F F ⋅-=⋅-=。

2020年河北省衡水市实验中学高三数学(理)高考模拟测试卷一

2020年河北省衡水市实验中学高三数学(理)高考模拟测试卷一

数学试卷一、选择题1.已知复数1z i =-+,则22z z z+=+ ( ) A. 1- B. 1 C. i - D. i2.设全集(3,)U =-+∞,集合2{|142}A x x =<-≤,则U C A = ( ) A. (3,2)[3,)-+∞U B. (2,2)[3,)-+∞U C. (3,2](3,)-+∞UD. [2,2](3,)-+∞U3.某电视台夏日水上闯关节目中的前三关的过关率分别为0.8,0.7,0.6,只有通过前一天才能进入下一关,且通过每关相互独立.一选手参加该节目,则该选手只闯过前两关的概率为( ) A.0.56 B.0.336 C.0.32 D.0.2244.ABC ∆的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c .已知sin 20sin ab C B =,2241a c +=,且8cos 1B =,则b = ( ) A. 6 B. 42C. 35D. 75.如图,网格纸上小正方形的边长均为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的体积为( )A.7B.6C.5D.46.若函数221,1()1,1x x f x x ax x ⎧+≥⎪=⎨-++<⎪⎩在R 上是增函数,则a 的取值范围为( )A. [2,3]B. [2,)+∞C. [1,3]D. [1,)+∞7.记不等式组22220x y x y y +≤⎧⎪+≥⎨⎪+≥⎩,表示的平面区域为Ω,点P 的坐标为(,)x y .有下面四个命题:1p :P ∀∈Ω,x y -的最小值为6;2p :P ∀∈Ω,224205x y ≤+≤;3p :P ∀∈Ω,x y -的最大值为6; 4p :P ∀∈Ω,2225255x y ≤+≤. 其中的真命题是( ) A. 1p ,4p B. 1p ,2p C. 2p ,3p D. 3p ,4p8.若(12)n x x -的展开式中3x 的系数为80,其中n 为正整数,则(12)n x x-的展开式中各项系数的绝对值之和为( )A.32B.81C.243D.2569.我国古代数学名著《九章算术》里有一道关于买田的问题:“今有善田一亩,价三百;恶田七亩,价五百.今并买一顷,价钱一万.问善、恶田各几何?”其意思为:“今有好田1亩价值300钱;坏田7亩价值500钱.今合买好、坏田1顷,价值10000钱.问好、坏田各有多少亩?”已知1顷为100亩,现有下列四个程序框图,其中S 的单位为钱,则输出的x,y 分别为此题中好、坏田的亩数的是( )A.B.C.D.10.若仅存在一个实数(0,)2t π∈,使得曲线C :sin()(0)6y x πωω=->关于直线x t =对称,则ω的取值范围是( )A. 17[,)33B. 410[,)33C. 17(,]33D. 410(,]3311.设正三棱锥P ABC -的高为H ,且此棱锥的内切球的半径为R ,若二面角P AB C --的正切值35则HR= ( ) A.5 B.6 C.7 D.812.设双曲线Ω:22221(0,0)x y a b a b-=>>的左顶点与右焦点分别为A ,F ,以线段AF 为底边作一个等腰AFB ∆,且AF 边上的高h AF =.若AFB ∆的垂心恰好在Ω的一条渐近线上,且Ω的离心率为e ,则下列判断正确的是( )A.存在唯一的e ,且3(,2)2e ∈B.存在两个不同的e ,且一个在区间3(1,)2内,另一个在区间3(,2)2内C.存在唯一的e ,且3(1,)2e ∈D.存在两个不同的e ,且一个在区间3(1,)2内,另一个在区间3(,2)2内二、填空题13.在平行四边形ABCD 中,若AD AC BA λμ=+u u u r u u u r u u u r,则λμ+=__________.14.若圆C :221()2x y n m++=的圆心为椭圆M :221x my +=的一个焦点,且圆C 经过M 的另一个焦点,则圆C 的标准方程为__________.15.若22cos ()422παβ--13sin()αβ=+-,,(0,)2παβ∈,则tan tan αβ=__________. 16.已知集合1{|}2M x x =≥-,32{|310}A x M x x a =∈-+-=,{|20}B x M x a =∈--=,若集合A B ⋃的子集的个数为8,则a 的取值范围为__________.三、解答题17.已知数列{}n a ,{}n b 的前n 项和分别为n S ,n T ,21n n n b a -=+,且1222n n n S T n ++=+-. 1.求n n T S -; 2.求数列{}2nn b 的前n 项和n R . 18.某大型超市在2018年元旦举办了一次抽奖活动,抽奖箱里放有3个红球,3个黄球和1个蓝球(这些小球除颜色外大小形状完全相同),从中随机一次性取3个小球,每位顾客每次抽完奖后将球放回抽奖箱.活动另附说明如下:①凡购物满100(含100)元者,凭购物打印凭条可获得一次抽奖机会; ②凡购物满188(含188)元者,凭购物打印凭条可获得两次抽奖机会;③若取得的3个小球只有1种颜色,则该顾客中得一等奖,奖金是一个10元的红包; ④若取得的3个小球有3种颜色,则该顾客中得二等奖,奖金是一个5元的红包;⑤若取得的3个小球只有2种颜色,则该顾客中得三等奖,奖金是一个2元的红包.抽奖活动的组织者记录了该超市前20位顾客的购物消费数据(单位:元),绘制得到如图所示的茎叶图.1.求这20位顾客中奖得抽奖机会的顾客的购物消费数据的中位数与平均数(结果精确到整数部分);2.记一次抽奖获得的红包奖金数(单位:元)为X,求X 的分布列及数学期望,并计算这20位顾客(假定每位获得抽奖机会的顾客都会去抽奖)在抽奖中获得红包的总奖金数的平均值.19.已知0p >,抛物线1C :22x py =与抛物线2C :22y px =异于原点O 的交点为M ,且抛物线1C 在点M 处的切线与x 轴交于点A ,抛物线2C 在点M 处的切线与x 轴交于点B ,与y 轴交于点C .1.若直线1y x =+与抛物线1C 交于点P ,Q ,且26PQ =求OP OQ ⋅u u u r u u u r;2.证明: BOC ∆的面积与四边形AOCM 的面积之比为定值. 20.已知函数2()3xf x e x =+,()91g x x =-. 1.比较()f x 与()g x 的大小,并加以证明;2.当0x a <≤时, 45()xxe x f x a ++->,且2(3)350mm e m m --++=(02)m <<,证明:0a m <<.21.[选修4-4:坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy中,曲线M的参数方程为23 3 233xttyt⎧=⎪-⎪⎨⎪=⎪-⎩(t为参数,且0t>),以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线C的极坐标方程为4cosρθ=.1.将曲线M的参数方程化为普通方程,并将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程;2.求曲线M与曲线C交点的极坐标(0,02)ρθπ≥≤<.22.[选修4-5:不等式选讲]已知函数()413f x x x=-+--.1.求不等式()2f x≤的解集;2.若直线2y kx=-与函数()f x的图象有公共点,求k的取值范围.四、证明题23.如图,在各棱长均为2的正三棱柱111ABC A B C-中,D,E分别为棱11A B与1BB的中点,M,N为线段1C D上的动点,其中,M更靠近D,且1MN C N=.1.证明:1A E⊥平面1AC D;2.若NE与平面11BCC B10求异面直线BM与NE所成角的余弦值.参考答案1.答案：A 解析：2.答案：B 解析：3.答案：D 解析：4.答案：A 解析：5.答案：B 解析：6.答案：A 解析：7.答案：C 解析：8.答案：C 解析：9.答案：B 解析： 10.答案：D 解析： 11.答案：C 解析： 12.答案：A 解析： 13.答案：2 解析：14.答案：22(1)4x y ++= 解析： 15.答案：2 解析：16.答案：51[,1)(1,)28---U解析：17.答案：1.依题意可得113b a -=,225b a -=,…, 21nn n b a -=+∴n n T S -1212()()n n b b b a a a =++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+2(222)nn =+++⋅⋅⋅+122n n +=+-.2.∵2n n n S S T =+()n n T S --2n n =-∴22n n nS -=∴1n a n =-.又21nn n b a -=+ ∴2nn b n =+∴122n n nb n=+ ∴n R n =+212()222n n ++⋅⋅⋅+,则1122n R n =+23112()222n n+++⋅⋅⋅+∴1122n R n =+21111()2222n n n +++⋅⋅⋅+- 故111222112n n R n +-=+⨯-2222n n n n n +-=+-.解析：18.答案：1.获得抽奖机会的数据的中位数为110,平均数为1(10110210410810911++++110112115188189200)++++++143813111=≈. 2. X 的可能取值为2,5,10(10)P X =272235C ==(5)P X =113327935C C C ==(2)P X =21342722435C C C ==故()253535E X =⨯+⨯2113103535+⨯=. 这20位顾客中,有8位顾客获得一次抽奖的机会,有3位顾客获得两次抽奖的机会,故共有14次抽奖机会.所以这20位顾客在抽奖中获得红包的总奖金数的平均值为1131445.235⨯=元. 解析：19.答案：1.由212y x x py=+⎧⎨=⎩,消去y 得2220x px p --=.设P ,Q 的坐标分别为11(,)x y ,22(,)x y 则122x x p +=,122x x p =-∴PQ ==∵0p > ∴1p =∴1212OP OQ x x y y ⋅=+u u u r u u u r1212(1)(1)x x x x =+++121221x x x x =+++4211=-++=-.2.由2222y px x py ⎧=⎪⎨=⎪⎩,得2x y p ==或0x y ==则(2,2)M p p设直线AM :12(2)y p k x p -=-,与22x py =联立得221124(1)0x pk x p k ---=. 由222111416(1)0p k p k ∆=+-=,得21(2)0k -=∴12k =设直线BM :22(2)y p k x p -=-,与22y px =联立得222224(1)0k y py p k ---=由22222416(1)0p p k k ∆=+-=,得22(12)0k -=∴212k =. 故直线AM :22(2)y p x p -=-,直线BM :12(2)2y p x p -=- 从而不难求得(,0)A p ,(2,0)B p -,(0,)C p∴2BOC S p ∆=,23ABM S p ∆=∴BOC ∆的面积与四边形AOCM 的面积之比为222132p p p =- (为定值). 解析：20.答案：1. ()()f x g x >证明如下:设()()()h x f x g x =-2391x e x x +-+ ∵'()329xh x e x =+-为增函数∴可设0()0h x '=∵'(0)60h =-<,'(1)370h e =-> ∴0(0,1)x ∈当0x x >时, ()0h x '>;当0x x <时, ()0h x '<∴min 0()()h x h x =0200391xe x x =+-+又003290xe x +-= ∴00329x ex =-+∴2min 000()2991h x x x x =-++-+2001110x x =-+00(1)(10)x x =--∵0(0,1)x ∈∴00(1)(10)0x x --> ∴min ()0h x >,()()f x g x >.2.设()45()xx xe x f x ϕ=++-2(3)45(0)xx e x x x =--++> 令'()(2)(2)0xx x e ϕ=--=,得1ln 2x =,22x =则()x ϕ在()0,ln 2上单调递增,在()ln 2,2上单调递减,在(2,)+∞上单调递增.2(2)92e ϕ=-<,设()2(ln 22)t t ϕ=<<∵2(3)350mm e m m --++=(02)m << ∴2(3)45mm e m m m --++=(02)m << 即()m m ϕ=(02)m <<当0a t <<时, ()(0)2x a ϕϕ>=>,则45()xxe x f x a ++-> 当t a m ≤≤时, min ()()x a ϕϕ= ∵45()xxe x f x a ++-> ∴()a a ϕ> ∴t a m ≤<当2m a <<或2a ≥时,不合题意. 从而0a m <<.解析：21.答案：1.∵yt x=,∴233xyx=-,即3(2)y x=-又0t>,∴2330->∴2x>或0x<∴曲线M的普通方程为3(2)y x=- (2x>或0x<)∵4cosρθ=∴24cosρρθ=∴224x y x+=,即曲线C的直角坐标方程为2240x x y-+=.2.由223(2)40y xx x y⎧=-⎪⎨-+=⎪⎩得2430x x-+=∴11x= (舍去),23x=则交点的直角坐标为(3,3),极坐标为(23,)6π.解析：22.答案：1.由()2f x≤,得1{222xx≤-≤或14{02x<<≤或4{282xx≥-≤,解得05x≤≤,故不等式()2f x≤的解集为[]0,5.2.()413f x x x=-+--22,10,1428,4x xxx x-≤⎧⎪=<<⎨⎪-≥⎩作出函数()f x的图象,如图所示,直线2y kx=-过定点(0,2)C-当此直线经过点(4,0)B 时, 12k =当此直线与直线AD 平行时, 2k =-故由图可知, 1(,2)[,)2k ∈-∞-+∞U解析：23.答案：1.由已知得111A B C ∆为正三角形,D 为棱11A B 的中点 ∴111C D A B ⊥在正三棱柱111ABC A B C -中, 1AA ⊥底面111A B C , 则11AA C D ⊥. 又1111A B AA A ⋂= ∴1C D ⊥平面11ABB A ∴11C D A E ⊥ 易证1A E AD ⊥, 又1AD C D D ⋂= ∴1A E ⊥平面1AC D .2.取BC 的中点O ,11B C 的中点1O ,则AO BC ⊥,1OO BC ⊥ 以O 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -则(0,1,0)B ,(0,1,1)E ,1(0,1,2)C -,1,2)2D 设11C N C D λ=u u u u r u u u ur 3,,0)22λ= 则11NE C E C N =-u u u r u u u u r u u u ur 3(0,2,1),,0)2λ=--3(,2,1)2λ=-- 易知()1,0,0n =r是平面11BCC B 的一个法向量∴cos ,NE n <>u u u rr =20=,解得13λ=∴3(,1)62NE =--u u u r ,112C M C D λ=u u u r,(3= 11BM BC C M =+u u u u r u u u u r u u u ur 1,2)=-∴cos ,NE BM <>u u u r u u u ur 132---=40=-∴异面直线NE 与BM解析：。

2020年河北省衡水中学高考(理科)数学临考模拟试卷 (解析版)

2020年河北省衡水中学高考(理科)数学临考模拟试卷 (解析版)

2020年河北省衡水中学高考（理科）数学临考模拟试卷一、选择题（共12小题）.1．若复数z满足1+zi＝0，i是虚数单位，则z＝（）A．﹣1B．1C．i D．﹣i2．集合，B＝{x|x2+x﹣6＞0}，则A∪B＝（）A．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）B．（3，+∞）C．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）D．（﹣∞，﹣3）∪（1，2）∪（2，+∞）3．已知，，则tanα＝（）A．2B．C．1D．4．在边长为3，4，5的三角形内部任取一点P，则点P到三个顶点距离都大于1的概率为（）A．B．C．D．5．《吕氏春秋•音律篇》记载了利用“三分损益”制定关于“宫、商、角、徵、羽”五音的方法，以一段均匀的发声管为基数“宫”，然后将此发声管均分成三段，舍弃其中的一段保留二段，这就是“三分损一”，余下来的三分之二长度的发声管所发出的声音就是“徵”；将“徵”管均分成三份，再加上一份，即“徵”管长度的三分之四，这就是“三分益一”，于是就产生了“商”；“商”管保留分之二，“三分损一”，于是得出“羽”；羽管“三分益一”，即羽管的三分之四的长度，就是角”．如果按照三分损益律，基数“宫”发声管长度为1，则“羽”管的长度为（）A．B．C．D．6．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积是（）A．32B．36C．72D．807．在的展开式中，含项的系数等于（）A．98B．42C．﹣98D．﹣428．函数f（x）＝的部分图象大致为（）A．B．C．D．9．已知直四棱柱（侧棱垂直于底面的棱柱）ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD为菱形，且BD＝DD1＝AC，则异面直线AD1与DC1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．10．已知O为坐标原点，A、F分别是双曲线C：＝1，（a＞0，b＞0）的右顶点和右焦点，以OF为直径的圆与一条渐近线的交点为P（不与原点重合），若△OAP的面积S△OAP满足，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．11．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A：cos B：cos C＝6a：3b：2c，则cos C等于（）A．B．C．D．12．已知函数f（x）＝，若函数y＝f（x）﹣ax恰有三个不同的零点，则实数a的取值范围是（）A．[1，4）B．（﹣1，16）C．（﹣1，0]∪[1，16）D．{0}∪[1，4）二、填空题（共4小题）.13．若球O的球心到其内接长方体三个不同侧面的距离为1，2，3，则球O表面积为．14．已知圆x2+y2＝1与抛物线y2＝2px（p＞0）交于A，B两点，与抛物线的准线交于C，D两点，且坐标原点O是AC的中点，则p的值等于．15．函数f（x）＝sinωx（ω＞0）的图象向右平移个单位得到函数y＝g（x）的图象，且f（x）与g（x）的图象关于点对称，那么ω的最小值等于．16．已知向量，，满足，，且，则的取值范围是．三、解答题：解答应写岀文字说眀、证明过程或演算步骤．17．已知各项均为正数的等比数列{a n}与等差数列{b n}满足a1＝b1＝2，a5＝b31＝32，记c n ＝，（n∈N*）．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）求数列{c n}的前n项和T n．18．2020年2月，为防控新冠肺炎，各地中小学延期开学．某学校积极响应“停课不停学”政策，在甲、乙两班分别开展了H、G两种不同平台的线上教学尝试，经过一段时间的试用，从两班各随机调查了20个同学，得到了对两种线上平台的评价结果如表：评价结果差评一般好评甲班5人10人5人乙班2人8人10人（1）假设两个班级的评价相互独立，以事件发生频率作为相应事件发生的概率，若从甲乙两班中各随机抽取一名学生，求甲班学生的评价结果比乙班学生的评价结果“更好”的概率；（2）根据对两个班的调查，完成列联表，并判断能否有99%的把握认为评价是否“差评”与线上平台有关．差评好评或一般总计H平台G平台总计附：，n＝a+b+c+d．P（K2≥k0）0.0500.0100.001 k0 3.841 6.63510.82819．如图，在三棱锥D﹣ABC中，AB⊥BD，BC⊥CD，M，N分别是线段AD，BD的中点，MC＝1，，二面角D﹣BA﹣C的大小为60°．（1）证明：平面MNC⊥平面BCD；（2）求直线BM和平面MNC所成角的余弦值．20．已知椭圆左、右焦点分别为F1，F2，且满足离心率，，过原点O且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆C于M，N两点．（1）求椭圆C的方程；（2）设点A（2，1），求△AMN面积的最大值．21．已知函数f（x）＝（x+2）lnx+ax2（a为常数）在x＝1处的切线方程为y＝4x﹣．（1）求a的值，并讨论f（x）的单调性；（2）若f（x1）+f（x2）＝1，求证：x1x2≤1．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，直线l1：x﹣y﹣2＝0，曲线C：（φ为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求直线l1与曲线C的极坐标方程；（2）若直线l2的极坐标方程为θ＝α（ρ∈R），直线l2与直线l1交于点A，与曲线C交于点O与点B，求的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x﹣1|﹣|x+1|．（1）解不等式f（x）≤4；（2）记函数y＝f（x）+3|x+1|的最小值为m，正实数a，b满足a+b＝m，试求的最小值．参考答案一、选择题（共12小题）.1．若复数z满足1+zi＝0，i是虚数单位，则z＝（）A．﹣1B．1C．i D．﹣i【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．解：由1+zi＝0，得．故选：C．2．集合，B＝{x|x2+x﹣6＞0}，则A∪B＝（）A．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）B．（3，+∞）C．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）D．（﹣∞，﹣3）∪（1，2）∪（2，+∞）【分析】可以求出集合A，B，然后进行并集的运算即可．解：∵A＝（1，+∞），B＝（﹣∞，﹣3）∪（2，+∞），∴A∪B＝（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）．故选：C．3．已知，，则tanα＝（）A．2B．C．1D．【分析】由已知利用诱导公式可求sinα的值，利用同角三角函数基本关系式，即可求解cosα，tanα的值．解：∵，，∴，∴tanα＝2．故选：A．4．在边长为3，4，5的三角形内部任取一点P，则点P到三个顶点距离都大于1的概率为（）A．B．C．D．【分析】根据题意，结合图形分析可得点P到三个顶点距离小于1的区域面积为三个扇形面积之和，求出其面积，计算三角形的面积，由几何概型公式计算可得答案．解：根据题意，在△ABC中，BC＝3，AB＝4，AC＝5，点P到三个顶点距离小于3的区域面积为三个扇形面积之和，即S＝×π＝，则点P到三个顶点距离都大于1的概率P＝；故选：B．5．《吕氏春秋•音律篇》记载了利用“三分损益”制定关于“宫、商、角、徵、羽”五音的方法，以一段均匀的发声管为基数“宫”，然后将此发声管均分成三段，舍弃其中的一段保留二段，这就是“三分损一”，余下来的三分之二长度的发声管所发出的声音就是“徵”；将“徵”管均分成三份，再加上一份，即“徵”管长度的三分之四，这就是“三分益一”，于是就产生了“商”；“商”管保留分之二，“三分损一”，于是得出“羽”；羽管“三分益一”，即羽管的三分之四的长度，就是角”．如果按照三分损益律，基数“宫”发声管长度为1，则“羽”管的长度为（）A．B．C．D．【分析】根据三分损益原理计算即可．解：按照三分损益原理，故选：A．6．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积是（）A．32B．36C．72D．80【分析】由三视图还原原几何体，该几何体为两个长方体的组合体，其中每个长方体的底面是边长为2的正方形，高为4．则其表面积可求．解：由三视图还原原几何体如图，则其表面积为S＝（40﹣4）×2＝72．故选：C．7．在的展开式中，含项的系数等于（）A．98B．42C．﹣98D．﹣42【分析】先求出（﹣）8的通项公式，再分类求出含项的系数．解：∵（﹣）8的通项公式为T r+1＝••（﹣）r＝（﹣1）r••x，令﹣8＝﹣5得r＝2；令﹣4＝﹣2得r＝4；故选：D．8．函数f（x）＝的部分图象大致为（）A．B．C．D．【分析】求出函数的定义域，判断函数的奇偶性，利用对称性和函数值的对应性进行排除即可．解：由|x|﹣2≠0得x≠±2，f（﹣x）＝﹣f（x），即f（x）为奇函数，图象关于原点对称，可排除选项B、D，故选：A．9．已知直四棱柱（侧棱垂直于底面的棱柱）ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD为菱形，且BD＝DD1＝AC，则异面直线AD1与DC1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【分析】由，得∠DAC＝30°，求出∠DAB＝60°，推导出∠AD1G（或补角）即为异面直线AD1与DC1所成的角，由此能求出异面直线AD1与DC1所成角的余弦值．解：由，得∠DAC＝30°，所以∠DAB＝60°，所以AD＝DD1，．则∠AD1G（或补角）即为异面直线AD1与DC1所成的角，利用勾股定理求出，所以异面直线AD1与DC1所成角的余弦值为．故选：B．10．已知O为坐标原点，A、F分别是双曲线C：＝1，（a＞0，b＞0）的右顶点和右焦点，以OF为直径的圆与一条渐近线的交点为P（不与原点重合），若△OAP的面积S△OAP满足，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【分析】由，可得：，即，利用e＝即可求解．解：如图，可得OA＝a，OF＝c，∠OPF＝90°，tan，由，可得FP•FO cos∠POA＝×，∴，即可得，∴e4＝2，e＝．故选：D．11．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A：cos B：cos C＝6a：3b：2c，则cos C等于（）A．B．C．D．【分析】由已知结合正弦定理进行化简后，再结合两角和的正切公式进行化简即可求解．解：由，利用正弦定理得，即6tan A＝3tan B＝2tan C，代入，所以．故选：D．12．已知函数f（x）＝，若函数y＝f（x）﹣ax恰有三个不同的零点，则实数a的取值范围是（）A．[1，4）B．（﹣1，16）C．（﹣1，0]∪[1，16）D．{0}∪[1，4）【分析】易知x＝0是y＝f（x）﹣ax的一个零点，则f（x）＝ax有两个不为零的不同实根，即与y＝a的图象有两个不为零的不同交点，作出函数h（x）的图象，即可求出实数a的取值范围．解：（1）当x＝0时，y＝f（0）﹣0＝0，所以x＝0是y＝f（x）﹣ax的一个零点；即f（x）＝ax有两个不为零的不同实根，又h（x）＝＝，所以当x＜0时，h1′（x）＞0，h1（x）单调递增；令，x≥1，则，当x∈（3，+∞）时，h2′（x）＜0，h2（x）单调递减，故选：D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分.13．若球O的球心到其内接长方体三个不同侧面的距离为1，2，3，则球O表面积为56π．【分析】由球的截面性质得出长方体的三条棱长，从而得球半径，可计算出面积．解：由题意长方体相邻的三条棱长为2，4，6，外接球直径等于长方体对角线，所以，故答案为：．14．已知圆x2+y2＝1与抛物线y2＝2px（p＞0）交于A，B两点，与抛物线的准线交于C，D两点，且坐标原点O是AC的中点，则p的值等于．【分析】设出A的坐标，代入圆的方程，求解P即可．解：圆x2+y2＝1与抛物线y2＝2px（p＞0）交于A，B两点，与抛物线的准线交于C，D 两点，且坐标原点O是AC的中点，代入圆的方程，解得．故答案为：．15．函数f（x）＝sinωx（ω＞0）的图象向右平移个单位得到函数y＝g（x）的图象，且f（x）与g（x）的图象关于点对称，那么ω的最小值等于6．【分析】由题意，利用函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，求得ω的最小值解：由图象平移规律，可知，由f（x）与g（x）的图象关于点对称，化简，得恒成立，所以正数ω的最小值为6，故答案为：6．16．已知向量，，满足，，且，则的取值范围是[﹣7，7]．【分析】将已知条件中的等式变形为，两边平方，再结合平面向量数量积的运算，化简整理后可推出+2+1≤+2+，即，从而得解．解：因为，所以，等式两边平方，得①．所以≤•，即+2+3≤25+2+25，所以．故答案为：[﹣6，7]．三、解答题：解答应写岀文字说眀、证明过程或演算步骤．17．已知各项均为正数的等比数列{a n}与等差数列{b n}满足a1＝b1＝2，a5＝b31＝32，记c n ＝，（n∈N*）．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）求数列{c n}的前n项和T n．【分析】（1）利用已知条件求出数列的通项公式．（2）利用裂项相消法求出数列的和．解：（1）因为{a n}各项为正数，设{a n}的公比为q，（q＞0），{b n}的公差为d，所以，b n＝n+1．所以＝．18．2020年2月，为防控新冠肺炎，各地中小学延期开学．某学校积极响应“停课不停学”政策，在甲、乙两班分别开展了H、G两种不同平台的线上教学尝试，经过一段时间的试用，从两班各随机调查了20个同学，得到了对两种线上平台的评价结果如表：评价结果差评一般好评甲班5人10人5人乙班2人8人10人（1）假设两个班级的评价相互独立，以事件发生频率作为相应事件发生的概率，若从甲乙两班中各随机抽取一名学生，求甲班学生的评价结果比乙班学生的评价结果“更好”的概率；（2）根据对两个班的调查，完成列联表，并判断能否有99%的把握认为评价是否“差评”与线上平台有关．差评好评或一般总计H平台G平台总计附：，n＝a+b+c+d．P（K2≥k0）0.0500.0100.001 k0 3.841 6.63510.828【分析】（1）根据相互独立事件的概率计算公式，即可求出对应的概率值；（2）由题意填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论．解：（1）记A1表示事件：甲班抽取的学生评价结果为“好评”；A2表示事件：甲班抽取的学生评价结果为“一般”；B2表示事件：乙班抽取的学生评价结果为“差评”；因为两个班级的评价相互独立，所以．差评好评或一般总计H平台51520G平台21820总计73340计算得，所以没有99%的把握认为评价是否“差评”与线上平台有关．19．如图，在三棱锥D﹣ABC中，AB⊥BD，BC⊥CD，M，N分别是线段AD，BD的中点，MC＝1，，二面角D﹣BA﹣C的大小为60°．（1）证明：平面MNC⊥平面BCD；（2）求直线BM和平面MNC所成角的余弦值．【分析】（1）先计算出NC和MN的长度，再结合勾股定理可证得MN⊥NC；由中位线的性质可得MN∥AB，而AB⊥BD，故MN⊥BD；然后利用线面垂直和面面垂直的判定定理即可得证．（2）根据二面角的定义可证得∠CBD为二面角D﹣BA﹣C的平面角，即∠CBD＝60°．法一：以B为原点，BC、BA为x、y轴，建立空间直角坐标系，逐一写出B、C、M、N的坐标，根据法向量的性质求得平面MNC的法向量，设直线BM和平面MNC所成角为θ，则sinθ＝|cos＜，＞|，再利用同角三角函数的平方关系即可得解．法二：取CN的中点E，连接BE，由面面垂直的性质定理可证得BE⊥平面MNC，故∠BME为直线BM和平面MNC所成的角，在Rt△ABD中，求得sin∠BME，再利用同角三角函数的平方关系即可得解．【解答】（1）证明：在Rt△BCD中，N是斜边BD的中点，∴．∵M、N分别是AD、BD的中点，∴MN∥AB，，∵AB⊥BD，MN∥AB，∴MN⊥BD，∵MN⊂平面MNC，∴平面MNC⊥平面BCD．又AB⊥BD，∴∠CBD为二面角D﹣BA﹣C的平面角，即∠CBD＝60°，以B为坐标原点，BC为x轴，BA为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，∴，，．设平面MNC的法向量，则，即，设直线BM和平面MNC所成角为θ，∵θ∈[0，]，故直线BM和平面MNC所成角的余弦值等于．又AB⊥BD，∴∠CBD为二面角D﹣BA﹣C的平面角，即∠CBD＝60°，又∵平面MNC⊥平面BCD，平面MNC∩平面BCD＝NC，∴∠BME即为直线BM和平面MNC所成的角．∴，故直线BM和平面MNC所成角的余弦值等于．20．已知椭圆左、右焦点分别为F1，F2，且满足离心率，，过原点O且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆C于M，N两点．（1）求椭圆C的方程；（2）设点A（2，1），求△AMN面积的最大值．【分析】（1）利用椭圆的离心率以及焦距，求解c，a，然后求解b，得到椭圆方程．（2）设直线l的方程为y＝kx（k≠0），由，求出弦长MN，求出A到直线l的距离，推出三角形的面积的表达式，然后求解最大值即可．解：（1）由题意可知，，根据，得a＝4，b＝4，（2）设直线l的方程为y＝kx（k≠0），得，，＝．所以＝，当k＜0时，，当且仅当时，等号成立，所以S△AMN的最大值为．21．已知函数f（x）＝（x+2）lnx+ax2（a为常数）在x＝1处的切线方程为y＝4x﹣．（1）求a的值，并讨论f（x）的单调性；（2）若f（x1）+f（x2）＝1，求证：x1x2≤1．【分析】（1）先对函数求导，然后结合导数的几何意义可求a，结合导数与单调性关系即可求解；（2）结合结论lnx≤x﹣1，构造函数g（x）＝f（x）+f（）﹣1，结合导数可得出f（x1），然后结合f（x1）+f（x2）＝1，及f（x）在（0，+∞）上单调性即可证明．解：（1），由题意可得，f′（5）＝3+2a＝4，解可得a＝，令m（x）＝lnx+x++4，则＝，故m（x）＝f′（x）＞f′（1）＞0恒成立，（2）设n（x）＝lnx﹣x+1，则，当x＝1时，n（x）取得最大值n（1）＝0，令g（x）＝f（x）+f（）﹣1＝（x+2）lnx+﹣（4+）lnx+，设h（x）＝（1+）lnx，则＝＞0，故当x∈（0，1）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，所以g（x）≥g（1）＝5，即f（x）+f（）﹣1≥0，当x＝1时等号成立，所以4﹣f（x2）≥1﹣f（）即f（x2）≤f（），所以x6≤，即x1x2≤7．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，直线l1：x﹣y﹣2＝0，曲线C：（φ为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求直线l1与曲线C的极坐标方程；（2）若直线l2的极坐标方程为θ＝α（ρ∈R），直线l2与直线l1交于点A，与曲线C交于点O与点B，求的最大值．【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（2）利用转换关系，把三角函数关系式的变换和函数的性质的应用求出结果．解：（1）因为x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，所以直线l1的极坐标方程为ρcosθ﹣ρsinθ＝2，即．将x2+y2＝ρ2，x＝ρcosθ代入上式，得ρ2＝8ρcosθ．（2）因为直线l2：θ＝α，则A（ρ1，α），B（ρ4，α），所以＝．所以当时，取得最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x﹣1|﹣|x+1|．（1）解不等式f（x）≤4；（2）记函数y＝f（x）+3|x+1|的最小值为m，正实数a，b满足a+b＝m，试求的最小值．【分析】（1）利用零点分段．再分段解不等式即可；（2）利用绝对值不等式求解最小值为m，利用“乘1”法即可求解的最小值解：（1）依题意得f（x）＝，由不等式f（x）≤3；解得﹣2≤x≤﹣1，或，或．（2）由y＝f（x）+3|x+1|＝|7x﹣1|+|2x+2|≥|（2x﹣1）﹣（5x+2）|＝3，即a+b＝3即当且仅当且a+b＝3，即a＝1，b＝2时取等号，所以的最小值为．。

河北省衡水市高考数学三模试卷(理科)

河北省衡水市高考数学三模试卷(理科)

河北省衡水市高考数学三模试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）已知集合则等于（）A . {0,1}B . {1}C . {-1,1}D . {-1,0,1}2. （2分）(2017·鄂尔多斯模拟) 设i为虚数单位，（﹣3+4i）2=a+bi（a，b∈R），则下列判断正确的是（）A . |a+bi|=5B . a+b=1C . a﹣b=﹣17D . ab=1683. （2分）已知是数列{}的前n项和，，那么数列{}是（）A . 等比数列B . 当p≠0时为等比数列C . 当p≠0，p≠1时为等比数列D . 不可能为等比数列4. （2分）若实数，则函数的图象的一条对称轴方程为（）A .B .C .D .5. （2分） (2017高二上·潮阳期末) 执行如图的程序框图，则输出S的值为（）A . 2B . ﹣3C . ﹣D .6. （2分）(2017·沈阳模拟) 某几何体的三视图如图所示，则其体积为（）A . 4B . 8C .D .7. （2分） (2016高一上·宁波期中) 已知偶函数f（x）在区间[0，+∞）单调递减，则满足的实数x的取值范围是（）A . （，）B . [ ，）C . （，）D . [ ，）8. （2分） (2017高二下·莆田期末) 某班周四上午有4节课，下午有2节课，安排语文、数学、英语、物理、体育、音乐6门课，若要求体育不排在上午第一、二节，并且体育课与音乐课不相邻，（上午第四节与下午第一节理解为相邻），则不同的排法总数为（）A . 312B . 288C . 480D . 4569. （2分） (2015高三下·湖北期中) 已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，顶角为120°，则E的离心率为（）A .B . 2C .D .10. （2分） (2016高二下·市北期中) 函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，|φ|＜）的图象如图所示，为了得到g（x）=sin（2x+ ）的图象，则只需将f（x）的图象（）A . 向右平移个单位长度B . 向右平移个单位长度C . 向左平移个单位长度D . 向左平移个单位长度11. （2分）已知正三棱锥P-ABC的主视图和俯视图如图所示,则此三棱锥的外接球的表面积为（）A . 4πB . 12πC .D .12. （2分） (2017高二下·红桥期末) 已知函数f（x）= sin2x﹣cos2x+1，下列结论中错误的是（）A . f（x）的图象关于（，1）中心对称B . f（x）在（，）上单调递减C . f（x）的图象关于x= 对称D . f（x）的最大值为3二、填空题 (共4题；共5分)13. （2分） (2018高三上·嘉兴期末) 直角中，，为边上的点，且，则 ________；若，则 ________．14. （1分）(2017·福建模拟) 设不等式，表示的平面区域为M，若直线y=k（x+2）上存在M内的点，则实数k的最大值是________．15. （1分）在研究吸烟与患肺癌的关系中，通过收集数据、整理分析数据得“有99%以上的把握认为吸烟与患肺癌有关”．对以下说法：（1）在100个吸烟者中至少有99人患有肺癌；（2）某个人吸烟，那么这个人有99%的概率患有肺癌；（3）在100个吸烟者中一定有患肺癌的人；（4）在100个吸烟者中可能一个患肺癌的人也没有．其中正确的是________ ．（填上所有正确的序号）16. （1分） (2016高二上·浦东期中) 在数列{an}中，Sn是其前n项和，若Sn=n2+1，n∈N* ，则an=________．三、解答题 (共5题；共50分)17. （10分） (2017高一下·宿州期中) 在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边且asinB= bcosA（1）求A.（2）若a=3，b=2c，求△ABC的面积．18. （5分）(2017·芜湖模拟) 如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AD⊥DC，BC=2AD=2DC，四边形ABEF 是正方形．将正方形ABEF沿AB折起到四边形ABE1F1的位置，使平面ABE1F1⊥平面ABCD，M为AF1的中点，如图2．（I）求证：AC⊥BM；（Ⅱ）求平面CE1M与平面ABE1F1所成锐二面角的余弦值．19. （10分） (2017高二下·启东期末) 在校运动会上，甲、乙、丙三位同学每人均从跳远，跳高，铅球，标枪四个项目中随机选一项参加比赛，假设三人选项目时互不影响，且每人选每一个项目时都是等可能的（1）求仅有两人所选项目相同的概率；（2）设X为甲、乙、丙三位同学中选跳远项目的人数，求X的分布列和数学期望E（X）20. （10分）已知过点A(1，0)且斜率为k的直线l与圆C：(x-2)2+(y-3)2=1交于M ， N两点.（1）求k的取值范围；（2）=12，其中O为坐标原点，求|MN|.21. （15分） (2019高三上·城关期中) 设函数 .（1）求过点的切线方程；（2）若方程有3个不同的实根，求的取值范围。

2023年河北省衡水中学高考数学猜题卷(理科)(解析版)

2023年河北省衡水中学高考数学猜题卷(理科)(解析版)

2023年河北省衡水中学高考数学猜题卷（理科）一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出地四个选项中,只有一项是符合题目要求地.1．己知集合Q={x|2x2﹣5x≤0,x∈N},且P⊆Q,则满足条件地集合P地个数是（ ）A．3B．4C．7D．82．已知i是虚数单位,复数地虚部为（ ）A．﹣1B．1C．﹣i D．i3．某样本中共有5个个体,其中四个值分别为0,1,2,3,第五个值丢失,但该样本地平均值为1,则样本方差为（ ）A．2B．C．D．4．双曲线C:﹣=1（a＞0,b＞0）地离心率为2,焦点到渐近线地距离为,则C地焦距等于（ ）A．2B．2C．4D．45．若不等式组表示地平面区域是一个直角三角形,则该直角三角形地面积是（ ）A．B．C．D．或6．已知,则tan2α=（ ）A．B．C．D．7．《九章算术》是中国古代数学名著,体现了古代劳动人民数学地智慧,其中第六章"均输"中,有一竹节容量问题,某教师根据这一问题地思想设计了如下图所示地程序框图,若输出地m地值为35,则输入地a地值为（ ）A．4B．5C．7D．118．如下图所示,过抛物线y2=2px（p＞0）地焦点F地直线l交抛物线于点A、B,交其准线l′点C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,则此抛物线地方程为（ ）A．y2=9x B．y2=6x C．y2=3x D．9．已知以下三视图中有三个同时表示某一个三棱锥,则不是该三棱锥地三视图是（ ）A．B．C．D．10．在△ABC中,AB=AC=2,BC•cos（π﹣A）=1,则cosA地值所在区间为（ ）A．（﹣0.4,﹣0.3）B．（﹣0.2,﹣0.1）C．（﹣0.3,﹣0.2）D．（0.4,0.5）11．已知符号函数sgn（x）=,那么y=sgn（x3﹣3x2+x+1）地大致图象是（ ）A．B．C．D．12．已知函数f（x）=﹣,若对任意地x1,x2∈[1,2],且x1≠x2时,[|f（x1）|﹣|f （x2）|]（x1﹣x2）＞0,则实数a地取值范围为（ ）A．[﹣,]B．[﹣,]C．[﹣,]D．[﹣e2,e2]二、填空题（每题5分,满分20分,将解析填在答题纸上）13．已知,则地值是 ．14．已知一个公园地形状如下图所示,现有3种不同地植物要种在此公园地A,B,C,D,E这五个区域内,要求有公共边界地两块相邻区域种不同地植物,则不同地种法共有 种．15．已知函数f（x）=sinx．若存在x1,x2,…,x m满足0≤x1＜x2＜…＜x m≤6π,且|f （x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（x m）﹣f（x m）|=12（m≥2,m∈﹣1N*）,则m地最小值为 ．16．已知等腰直角△ABC地斜边BC=2,沿斜边地高线AD将△ABC折起,使二面角B﹣AD﹣C为,则四面体ABCD地外接球地表面积为 ．三、解答题（本大题共5小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知等差数列{a n}地公差为2,前n项和为S n,且S1,S2,S4成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}地通项公式；（Ⅱ）令b n=（﹣1）n﹣1,求数列{b n}地前n项和T n．18．如图,在四棱锥E﹣ABCD中,底面ABCD为正方形,AE⊥平面CDE,已知AE=DE=2,F为线段DF地中点．（I）求证:BE∥平面ACF；（II）求平面BCF与平面BEF所成锐二面角地余弦角．19．鹰潭市龙虎山花语世界位于中国第八处世界自然遗产,世界地质公元、国家自然文化双遗产地、国家AAAAA级旅游景区﹣﹣龙虎山主景区排衙峰下,是一座独具现代园艺风格地花卉公园,园内汇集了3000余种花卉苗木,一年四季姹紫嫣红花香四溢．花园景观融合法、英、意、美、日、中六大经典园林风格,景观设计唯美新颖．玫瑰花园、香草花溪、台地花海、植物迷宫、儿童乐园等景点错落有致,交相呼应又自成一体,是世界园艺景观地大展示．该景区自2023年春建成试运行以来,每天游人如织,郁金香、向日葵、虞美人等赏花旺季日入园人数最高达万人．某学校社团为了解进园旅客地具体情形以及采集旅客对园区地建议,特别在2023年4月1日赏花旺季对进园游客进行取样调查,从当日12000名游客中抽取100人进行统计分析,结果如下:（表一）年龄频数频率男女[0,10）100.155[10,20）①②③④[20,30）250.251213[30,40）200.21010[40,50）100.164[50,60）100.137[60,70）50.0514[70,80）30.0312[80,90）20.0202合计100 1.004555（1）完成表格一中地空位①﹣④,并在答题卡中补全频率分布直方图,并估计2023年4月1日当日接待游客中30岁以下人数．（2）完成表格二,并问你能否有97.5%地把握认为在观花游客中"年龄达到50岁以上"与"性别"相关？（3）按分层抽样（分50岁以上与50以下两层）抽取被调查地100位游客中地10人作为幸运游客免费领取龙虎山内部景区门票,再从这10人中选取2人接受电视台采访,设这2人中年龄在50岁以上（含）地人数为ξ,求ξ地分布列（表二）50岁以上50岁以下合计男生 女生 合计 P （K 2≥k ）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828（参考公式:k 2=,其中n=a +b +c +d ）20．给定椭圆C:=1（a＞b＞0）,称圆心在原点O,半径为地圆是椭圆C地"准圆"．若椭圆C地一个焦点为F（,0）,其短轴上地一个端点到F地距离为．（Ⅰ）求椭圆C地方程和其"准圆"方程；（Ⅱ）点P是椭圆C地"准圆"上地动点,过点P作椭圆地切线l1,l2交"准圆"于点M,N．（ⅰ）当点P为"准圆"与y轴正半轴地交点时,求直线l1,l2地方程并证明l1⊥l2；（ⅱ）求证:线段MN地长为定值．21．已知函数f（x）=x2﹣alnx（a∈R）（1）若函数f（x）在x=2处地切线方程为y=x+b,求a,b地值；（2）讨论方程f（x）=0解地个数,并说明理由．[选修4-4:坐标系与参数方程]22．已知曲线C地极坐标方程是ρ2=4ρcosθ+6ρsinθ﹣12,以极点为原点,极轴为x 轴地正半轴建立平面直角坐标系,直线l地参数方程为（t为参数）．（I）写出直线l地一般方程与曲线C地直角坐标方程,并判断它们地位置关系；（II）将曲线C向左平移2个单位长度,向上平移3个单位长度,得到曲线D,设曲线D经过伸缩变换得到曲线E,设曲线E上任一点为M（x,y）,求地取值范围．[选修4-5:不等式选讲]23．设f（x）=|x﹣a|,a∈R（Ⅰ）当a=5,解不等式f（x）≤3；（Ⅱ）当a=1时,若∃x∈R,使得不等式f（x﹣1）+f（2x）≤1﹣2m成立,求实数m 地取值范围．2023年河北省衡水中学高考数学猜题卷（理科）参考解析与试卷解析一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出地四个选项中,只有一项是符合题目要求地.1．己知集合Q={x|2x2﹣5x≤0,x∈N},且P⊆Q,则满足条件地集合P地个数是（ ）A．3B．4C．7D．8【考点】18:集合地包含关系判断及应用．【分析】解出集合Q,再根据P⊆Q,根据子集地性质,求出子集地个数即为集合P 地个数；【解答】解:集合Q={x|2x2﹣5x≤0,x∈N},∴Q={0,1,2},共有三个元素,∵P⊆Q,又Q地子集地个数为23=8,∴P地个数为8,故选D；2．已知i是虚数单位,复数地虚部为（ ）A．﹣1B．1C．﹣i D．i【考点】A5:复数代数形式地乘除运算．【分析】利用复数地运算法则、虚部地定义即可得出．【解答】解:复数==i﹣2地虚部为1．故选:B．3．某样本中共有5个个体,其中四个值分别为0,1,2,3,第五个值丢失,但该样本地平均值为1,则样本方差为（ ）A．2B．C．D．【考点】BC:极差、方差与标准差．【分析】根据平均数公式先求出a,再计算它们地方差．【解答】解:设丢失地数据为a,则这组数据地平均数是×（a+0+1+2+3）=1,解得a=﹣1,根据方差计算公式得s2=×[（﹣1﹣1）2+（0﹣1）2+（1﹣1）2+（2﹣1）2+（3﹣1）2]=2．故选:A．4．双曲线C:﹣=1（a＞0,b＞0）地离心率为2,焦点到渐近线地距离为,则C地焦距等于（ ）A．2B．2C．4D．4【考点】KC:双曲线地简单性质．【分析】根据双曲线地离心率以及焦点到直线地距离公式,建立方程组即可得到结论．【解答】解:∵:﹣=1（a＞0,b＞0）地离心率为2,∴e=,双曲线地渐近线方程为y=,不妨取y=,即bx﹣ay=0,则c=2a,b=,∵焦点F（c,0）到渐近线bx﹣ay=0地距离为,∴d=,即,解得c=2,则焦距为2c=4,故选:C5．若不等式组表示地平面区域是一个直角三角形,则该直角三角形地面积是（ ）A．B．C．D．或【考点】7C:简单线性规划．【分析】依题意,三条直线围成一个直角三角形,可能会有两种情形,分别计算两种情形下三角形地顶点坐标,利用三角形面积公式计算面积即可．【解答】解:有两种情形:（1）由y=2x与kx﹣y+1=0垂直,则k=﹣,三角形地三个顶点为（0,0）,（0,1）,（,）,三角形地面积为s=×1×=；（2）由x=0与kx﹣y+1=0形垂直,则k=0,三角形地三个顶点为（0.0）,（0,1）,（,1）,三角形地面积为s=×1×=．∴该三角形地面积为或．故选:D．6．已知,则tan2α=（ ）A．B．C．D．【考点】GU:二倍角地正切．【分析】将已知等式两边平方,利用二倍角公式,同角三角函数基本关系式即可化简求值得解．【解答】解:∵,∴,化简得4sin2α=3cos2α,∴,故选:C．7．《九章算术》是中国古代数学名著,体现了古代劳动人民数学地智慧,其中第六章"均输"中,有一竹节容量问题,某教师根据这一问题地思想设计了如下图所示地程序框图,若输出地m地值为35,则输入地a地值为（ ）A．4B．5C．7D．11【考点】EF:程序框图．【分析】模拟程序框图地运行过程,求出运算结果即可．【解答】解:起始阶段有m=2a﹣3,i=1,第一次循环后m=2（2a﹣3）﹣3=4a﹣9,i=2,第二次循环后m=2（4a﹣9）﹣3=8a﹣21,i=3,第三次循环后m=2（8a﹣21）﹣3=16a﹣45,i=4,第四次循环后m=2（16a﹣45）﹣3=32a﹣93,跳出循环,输出m=32a﹣93=35,解得a=4,故选:A8．如下图所示,过抛物线y2=2px（p＞0）地焦点F地直线l交抛物线于点A、B,交其准线l′点C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,则此抛物线地方程为（ ）A．y2=9x B．y2=6x C．y2=3x D．【考点】K8:抛物线地简单性质．【分析】分别过点A,B作准线地垂线,分别交准线于点E,D,设|BF|=a,根据抛物线定义可知|BD|=a,进而推断出∠BCD地值,在直角三角形中求得a,进而根据BD∥FG,利用比例线段地性质可求得p,则抛物线方程可得．【解答】解:如图分别过点A,B作准线地垂线,分别交准线于点E,D,设|BF|=a,则由已知得:|BC|=2a,由定义得:|BD|=a,故∠BCD=30°,在直角三角形ACE中,∵|AE|=3,|AC|=3+3a,∴2|AE|=|AC|∴3+3a=6,从而得a=1,∵BD∥FG,∴=求得p=,因此抛物线方程为y2=3x．故选C．9．已知以下三视图中有三个同时表示某一个三棱锥,则不是该三棱锥地三视图是（ ）A．B．C．D．【考点】L!:由三视图求面积、体积．【分析】由已知中地四个三视图,可知四个三视图,分别表示从前、后、左、右四个方向观察同一个棱锥,但其中有一个是错误地,根据A与C中俯视图正好旋转180°,故应是从相反方向进行观察,而其正视图和侧视图中三角形斜边倾斜方向相反,满足实际情况,可得A,C均正确,而根据AC可判断B正确,D错误．【解答】解:三棱锥地三视图均为三角形,四个解析均满足；且四个三视图均表示一个高为3,底面为两直角边分别为1,2地棱锥A与C中俯视图正好旋转180°,故应是从相反方向进行观察,而其正视图和侧视图中三角形斜边倾斜方向相反,满足实际情况,故A,C表示同一棱锥设A中观察地正方向为标准正方向,以C表示从后面观察该棱锥B与D中俯视图正好旋转180°,故应是从相反方向进行观察,但侧视图中三角形斜边倾斜方向相同,不满足实际情况,故B,D中有一个不与其它三个一样表示同一个棱锥,根据B中正视图与A中侧视图相同,侧视图与C中正视图相同,可判断B是从左边观察该棱锥故选D10．在△ABC中,AB=AC=2,BC•cos（π﹣A）=1,则cosA地值所在区间为（ ）A．（﹣0.4,﹣0.3）B．（﹣0.2,﹣0.1）C．（﹣0.3,﹣0.2）D．（0.4,0.5）【考点】HR:余弦定理；HP:正弦定理．【分析】由题意求得cosA=﹣,再由余弦定理,得出关于﹣地方程,构造函数,利用函数零点地判断方法得出cosA地取值范围．【解答】解:△ABC中,AB=AC=2,BC•cos（π﹣A）=1,∴c=b=2,﹣acosA=1,cosA=﹣＜0,且4＞a＞2；由余弦定理得,cosA==,∴﹣=,化为:8•﹣8•+1=0,令﹣=x∈（﹣,﹣）,则f（x）=8x3﹣8x2+1=0,∵f（﹣0.4）=﹣1.4×1.28+1＜0,f（﹣0.3）=0.064＞0,∴cosA∈（﹣0.4,﹣0.3）．故选:A．11．已知符号函数sgn（x）=,那么y=sgn（x3﹣3x2+x+1）地大致图象是（ ）A．B．C．D．【考点】3O:函数地图象．【分析】构造函数f（x）=x3﹣3x2+x+1,可整理得f（x）=（x﹣1）（x2﹣2x﹣1）=（x﹣1）（x﹣1﹣）（x﹣1+）,利用排除法即可得到解析．【解答】解:令f（x）=x3﹣3x2+x+1,则f（x）=（x﹣1）（x2﹣2x﹣1）=（x﹣1）（x﹣1﹣）（x﹣1+）,∴f（,1）=0,f（1﹣）=0,f（1+）=0,∵sgn（x）=,∴sgn（f（1））=0,可排除A,B；又sgn（f（1﹣））=0,sgn（f（1﹣））=0,可排除C,故选D．12．已知函数f（x）=﹣,若对任意地x1,x2∈[1,2],且x1≠x2时,[|f（x1）|﹣|f （x2）|]（x1﹣x2）＞0,则实数a地取值范围为（ ）A．[﹣,]B．[﹣,]C．[﹣,]D．[﹣e2,e2]【考点】6B:利用导数研究函数地单调性．【分析】由题意可知函数y=丨f（x）丨单调递增,分类讨论,根据函数地性质及对勾函数地性质,即可求得实数a地取值范围．【解答】解:由任意地x1,x2∈[1,2],且x1＜x2,由[|f（x1）|﹣|f（x2）|]（x1﹣x2）＞0,则函数y=丨f（x）丨单调递增,当a≥0,f（x）在[1,2]上是增函数,则f（1）≥0,解得:0≤a≤,当a＜0时,丨f（x）丨=f（x）,令=﹣,解得:x=ln,由对勾函数地单调递增区间为[ln,+∞）,故ln≤1,解得:﹣≤a＜0,综上可知:a地取值范围为[﹣,],故选B．二、填空题（每题5分,满分20分,将解析填在答题纸上）13．已知,则地值是　（）2018　．【考点】DB:二项式系数地性质．【分析】利用二项式定理,对等式中地x赋值﹣2,可求得a0=0,再令x=,即可求出解析．【解答】解:∵（x+1）2（x+2）2016=a0+a1（x+2）+a2（x+2）+…+a2018（x+2）2018,∴令x=﹣2,得a0=0再令x=﹣,得到a0+=（﹣+1）2（﹣+2）2016=（）2018,∴=,故解析为:（）2018,14．已知一个公园地形状如下图所示,现有3种不同地植物要种在此公园地A,B,C,D,E这五个区域内,要求有公共边界地两块相邻区域种不同地植物,则不同地种法共有　18　种．【考点】D8:排列、组合地实际应用．【分析】根据题意,分2步进行分析:①、对于A、B、C区域,将3种不同地植物全排列,安排在A、B、C区域,由排列数公式可得其排法数目,②、对于D、E区域,分2种情况讨论:若A,E种地植物相同,若A,E种地植物不同；由加法原理可得D、E 区域地排法数目,进而由分步计数原理计算可得解析．【解答】解:根据题意,分2步进行分析:①、对于A、B、C区域,三个区域两两相邻,种地植物都不能相同,将3种不同地植物全排列,安排在A、B、C区域,有A33=6种情况,②、对于D、E区域,分2种情况讨论:若A,E种地植物相同,则D有2种种法,若A,E种地植物不同,则E有1种情况,D也有1种种法,则D、E区域共有2+1=3种不同情况,则不同地种法共有6×3=18种；故解析为:18．15．已知函数f（x）=sinx．若存在x1,x2,…,x m满足0≤x1＜x2＜…＜x m≤6π,且|f）﹣f（x m）|=12（m≥2,m∈（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（x m﹣1N*）,则m地最小值为　8　．【考点】H2:正弦函数地图象．【分析】由正弦函数地有界性可得,对任意x i,x j（i,j=1,2,3,…,m）,都有|f（x i）﹣f （x j）|≤f（x）max﹣f（x）min=2,要使m取得最小值,尽可能多让x i（i=1,2,3,…,m）取得最高点,然后作图可得满足条件地最小m值．【解答】解:∵y=sinx对任意x i,x j（i,j=1,2,3,…,m）,都有|f（x i）﹣f（x j）|≤f（x）max﹣f（x）min=2,要使m取得最小值,尽可能多让x i（i=1,2,3,…,m）取得最高点,考虑0≤x1＜x2＜…＜x m≤6π,|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（x m）﹣1﹣f（x m）|=12,按下图取值即可满足条件,∴m地最小值为8．故解析为:8．16．已知等腰直角△ABC地斜边BC=2,沿斜边地高线AD将△ABC折起,使二面角B﹣AD﹣C为,则四面体ABCD地外接球地表面积为 ．【考点】LG:球地体积和表面积．【分析】由题意,△BCD是等边三角形,边长为1,外接圆地半径为,AD=1,可得四面体ABCD地外接球地半径==,即可求出四面体ABCD地外接球地表面积．【解答】解:由题意,△BCD是等边三角形,边长为1,外接圆地半径为,∵AD=1,∴四面体ABCD地外接球地半径==,∴四面体ABCD地外接球地表面积为=,故解析为:．三、解答题（本大题共5小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知等差数列{a n}地公差为2,前n项和为S n,且S1,S2,S4成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}地通项公式；（Ⅱ）令b n=（﹣1）n﹣1,求数列{b n}地前n项和T n．【考点】8E:数列地求和；82:数列地函数特性；8H:数列递推式．【分析】（Ⅰ）利用等差数列与等比数列地通项公式及其前n项和公式即可得出；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得b n=．对n分类讨论"裂项求和"即可得出．【解答】解:（Ⅰ）∵等差数列{a n}地公差为2,前n项和为S n,∴S n==n2﹣n+na1,∵S1,S2,S4成等比数列,∴,∴,化为,解得a1=1．∴a n=a1+（n﹣1）d=1+2（n﹣1）=2n﹣1．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得b n=（﹣1）n﹣1==．∴T n=﹣++…+．当n为偶数时,T n=﹣++…+﹣=1﹣=．当n为奇数时,T n=﹣++…﹣+ =1+=．∴Tn=．18．如图,在四棱锥E﹣ABCD中,底面ABCD为正方形,AE⊥平面CDE,已知AE=DE=2,F为线段DF地中点．（I）求证:BE∥平面ACF；（II）求平面BCF与平面BEF所成锐二面角地余弦角．【考点】MT:二面角地平面角及求法；LS:直线与平面平行地判定．【分析】（1）连接BD和AC交于点O,连接OF,证明OF∥BE．然后证明BE∥平面ACF．（II）以D为原点,以DE所在直线为x轴建立如下图所示地空间直角坐标系,求出相关点地坐标,求出平面BEF地一个法向量,平面BCF地一个法向量,设平面BCF 与平面BEF所成地锐二面角为θ,利用数量积求解即可．【解答】解:（1）连接BD和AC交于点O,连接OF,因为四边形ABCD为正方形,所以O为BD地中点．因为F为DE地中点,所以OF∥BE．因为BE⊄平面ACF,OF⊂平面AFC,所以BE∥平面ACF．（II）因为AE⊥平面CDE,CD⊂平面CDE,所以AE⊥CD．因为ABCD为正方形,所以CD⊥AD．因为AE∩AD=A,AD,AE⊂平面DAE,所以CD⊥平面DAE．因为DE⊂平面DAE,所以DE⊥CD．所以以D为原点,以DE所在直线为x轴建立如下图所示地空间直角坐标系,则E（2,0,0）,F（1,0,0）,A（2,0,2）,D（0,0,0）．因为AE⊥平面CDE,DE⊂平面CDE,所以AE⊥CD．因为AE=DE=2,所以．因为四边形ABCD为正方形,所以,所以．由四边形ABCD为正方形,得==（2,2,2）,所以．设平面BEF地一个法向量为=（x1,y1,z1）,又知=（0,﹣2,﹣2）,=（1,0,0）,由,可得,令y1=1,得,所以．设平面BCF地一个法向量为=（x2,y2,z2）,又知=（﹣2,0,﹣2）,=（1,﹣2,0）,由,即:．令y2=1,得,所以．设平面BCF与平面BEF所成地锐二面角为θ,又cos===．则．所以平面BCF与平面BEF所成地锐二面角地余弦值为．19．鹰潭市龙虎山花语世界位于中国第八处世界自然遗产,世界地质公元、国家自然文化双遗产地、国家AAAAA级旅游景区﹣﹣龙虎山主景区排衙峰下,是一座独具现代园艺风格地花卉公园,园内汇集了3000余种花卉苗木,一年四季姹紫嫣红花香四溢．花园景观融合法、英、意、美、日、中六大经典园林风格,景观设计唯美新颖．玫瑰花园、香草花溪、台地花海、植物迷宫、儿童乐园等景点错落有致,交相呼应又自成一体,是世界园艺景观地大展示．该景区自2023年春建成试运行以来,每天游人如织,郁金香、向日葵、虞美人等赏花旺季日入园人数最高达万人．某学校社团为了解进园旅客地具体情形以及采集旅客对园区地建议,特别在2023年4月1日赏花旺季对进园游客进行取样调查,从当日12000名游客中抽取100人进行统计分析,结果如下:（表一）年龄频数频率男女[0,10）100.155[10,20）①②③④[20,30）250.251213[30,40）200.21010[40,50）100.164[50,60）100.137[60,70）50.0514[70,80）30.0312[80,90）20.0202合计100 1.004555（1）完成表格一中地空位①﹣④,并在答题卡中补全频率分布直方图,并估计2023年4月1日当日接待游客中30岁以下人数．（2）完成表格二,并问你能否有97.5%地把握认为在观花游客中"年龄达到50岁以上"与"性别"相关？（3）按分层抽样（分50岁以上与50以下两层）抽取被调查地100位游客中地10人作为幸运游客免费领取龙虎山内部景区门票,再从这10人中选取2人接受电视台采访,设这2人中年龄在50岁以上（含）地人数为ξ,求ξ地分布列（表二）50岁以上50岁以下合计男生　5 40 45　女生　15 40 55　合计　20　　80　　100　P （K 2≥k ）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.841 5.024 6.6357.87910.828（参考公式:k 2=,其中n=a +b +c +d ）【考点】CG:离散型随机变量及其分布列；BL:独立性检验．【分析】（1）由频率分布表地性质能完成表（一）,从而能完成频率分布直方图,进而求出30岁以下频率,由此以频率作为概率,能估计2023年7月1日当日接待游客中30岁以下人数．（2）完成表格,求出K 2=≈4.04＜5.024,从而得到没有97.5%地把握认为在观花游客中"年龄达到50岁以上"与"性别"相关．（3）由分层抽样应从这10人中抽取50岁以上人数:10×0.2=2人,50岁以下人数ξ地取值可能0,1,2,分别求出相应地概率,由此能求出ξ地分布列．【解答】解:（1）完成表（一）,如下表:年龄频数频率男女[0,10）100.155[10,20）150.1578[20,30）250.251213[30,40）200.21010[40,50）100.164[50,60）100.137[60,70）50.0514[70,80）30.0312[80,90）20.0202合计100 1.004555完成频率分布直方图如下:30岁以下频率为:0.1+0.15+0.25=0.5,以频率作为概率,估计2023年7月1日当日接待游客中30岁以下人数为:12000×0.5=6000．（2）完成表格,如下:50岁以上50岁以下合计男生54045女生154055合计2080100K2==≈4.04＜5.024,所以没有97.5%地把握认为在观花游客中"年龄达到50岁以上"与"性别"相关．（3）由分层抽样应从这10人中抽取50岁以上人数:10×0.2=2人,50岁以下人数ξ地取值可能0,1,2P（ξ=0）==,P（ξ=1）==,P（ξ=2）==．∴ξ地分布列为:ξ012P20．给定椭圆C:=1（a＞b＞0）,称圆心在原点O,半径为地圆是椭圆C地"准圆"．若椭圆C地一个焦点为F（,0）,其短轴上地一个端点到F地距离为．（Ⅰ）求椭圆C地方程和其"准圆"方程；（Ⅱ）点P是椭圆C地"准圆"上地动点,过点P作椭圆地切线l1,l2交"准圆"于点M,N．（ⅰ）当点P为"准圆"与y轴正半轴地交点时,求直线l1,l2地方程并证明l1⊥l2；（ⅱ）求证:线段MN地长为定值．【考点】KH:直线与圆锥曲线地综合问题．【分析】（Ⅰ）利用已知椭圆地标准方程及其即可得出；（Ⅱ）（i）把直线方程代入椭圆方程转化为关于x地一元二次方程,利用直线与椭圆相切⇔△=0,即可解得k地值,进而利用垂直与斜率地关系即可证明；（ii）分类讨论:l1,l2经过点P（x0,y0）,又分别交其准圆于点M,N,无论两条直线中地斜率是否存在,都有l1,l2垂直．即可得出线段MN为准圆x2+y2=4地直径．【解答】（Ⅰ）解:∵椭圆C地一个焦点为F（,0）,其短轴上地一个端点到F地距离为．∴,,∴=1,∴椭圆方程为,∴准圆方程为x2+y2=4．（Ⅱ）证明:（ⅰ）∵准圆x2+y2=4与y轴正半轴地交点为P（0,2）,设过点P（0,2）且与椭圆相切地直线为y=kx+2,联立得（1+3k2）x2+12kx+9=0．∵直线y=kx+2与椭圆相切,∴△=144k2﹣4×9（1+3k2）=0,解得k=±1,∴l1,l2方程为y=x+2,y=﹣x+2．∵,∴l1⊥l2．（ⅱ）①当直线l1,l2中有一条斜率不存在时,不妨设直线l1斜率不存在,则l1:,当l1:时,l1与准圆交于点,此时l2为y=1（或y=﹣1）,显然直线l1,l2垂直；同理可证当l1:时,直线l1,l2垂直．②当l1,l2斜率存在时,设点P（x0,y0）,其中．设经过点P（x0,y0）与椭圆相切地直线为y=t（x﹣x0）+y0,∴由得．由△=0化简整理得,∵,∴有．设l1,l2地斜率分别为t1,t2,∵l1,l2与椭圆相切,∴t1,t2满足上述方程,∴t1•t2=﹣1,即l1,l2垂直．综合①②知:∵l1,l2经过点P（x0,y0）,又分别交其准圆于点M,N,且l1,l2垂直．∴线段MN为准圆x2+y2=4地直径,|MN|=4,∴线段MN地长为定值．21．已知函数f（x）=x2﹣alnx（a∈R）（1）若函数f（x）在x=2处地切线方程为y=x+b,求a,b地值；（2）讨论方程f（x）=0解地个数,并说明理由．【考点】6K:导数在最大值、最小值问题中地应用；54:根地存在性及根地个数判断；6H:利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出导函数,利用f（x）在x=2处地切线方程为y=x+b,列出方程组求解a,b．（2）通过a=0,a＜0,判断方程地解．a＞0,求出函数地导数判断函数地单调性,求出极小值,分析出当a∈[0,e）时,方程无解；当a＜0或a=e时,方程有惟一解；当a ＞e时方程有两解．【解答】解:（1）因为:（x＞0）,又f（x）在x=2处地切线方程为y=x+b所以解得:a=2,b=﹣2ln2…（2）当a=0时,f（x）在定义域（0,+∞）上恒大于0,此时方程无解；…当a＜0时,在（0,+∞）上恒成立,所以f（x）在定义域（0,+∞）上为增函数．∵,,所以方程有惟一解．…当a＞0时,因为当时,f'（x）＞0,f（x）在内为减函数；当时,f（x）在内为增函数．所以当时,有极小值即为最小值…当a∈（0,e）时,,此方程无解；当a=e时,．此方程有惟一解．当a∈（e,+∞）时,,因为且,所以方程f（x）=0在区间上有惟一解,因为当x＞1时,（x﹣lnx）'＞0,所以x﹣lnx＞1,所以,,因为,所以,所以方程f（x）=0在区间上有惟一解．所以方程f（x）=0在区间（e,+∞）上有惟两解．…综上所述:当a∈[0,e）时,方程无解；当a＜0或a=e时,方程有惟一解；当a＞e时方程有两解．…[选修4-4:坐标系与参数方程]22．已知曲线C地极坐标方程是ρ2=4ρcosθ+6ρsinθ﹣12,以极点为原点,极轴为x 轴地正半轴建立平面直角坐标系,直线l地参数方程为（t为参数）．（I）写出直线l地一般方程与曲线C地直角坐标方程,并判断它们地位置关系；（II）将曲线C向左平移2个单位长度,向上平移3个单位长度,得到曲线D,设曲线D经过伸缩变换得到曲线E,设曲线E上任一点为M（x,y）,求地取值范围．【考点】Q4:简单曲线地极坐标方程；O7:伸缩变换．【分析】（I）直线l地参数方程消去数t,能求出直线l地一般方程,由ρcosθ=x,ρsinθ=y,ρ2=x2+y2,能求出曲线C地直角坐标方程,由圆心（2,3）到直线l地距离d=r,得到直线l和曲线C相切．（II）曲线D为x2+y2=1．曲线D经过伸缩变换,得到曲线E地方程为,从而点M地参数方程为（θ为参数）,由此能求出地取值范围．【解答】解:（I）∵直线l地参数方程为（t为参数）．∴消去数t,得直线l地一般方程为,∵曲线C地极坐标方程是ρ2=4ρcosθ+6ρsinθ﹣12,∴由ρcosθ=x,ρsinθ=y,ρ2=x2+y2,得曲线C地直角坐标方程为（x﹣2）2+（y﹣3）2=1．∵圆心（2,3）到直线l地距离d==r,∴直线l和曲线C相切．（II）曲线D为x2+y2=1．曲线D经过伸缩变换,得到曲线E地方程为,则点M地参数方程为（θ为参数）,∴,∴地取值范围为[﹣2,2]．[选修4-5:不等式选讲]23．设f（x）=|x﹣a|,a∈R（Ⅰ）当a=5,解不等式f（x）≤3；（Ⅱ）当a=1时,若∃x∈R,使得不等式f（x﹣1）+f（2x）≤1﹣2m成立,求实数m 地取值范围．【考点】R2:绝对值不等式．【分析】（Ⅰ）将a=5代入解析式,然后解绝对值不等式,根据绝对值不等式地解法解之即可；（Ⅱ）先利用根据绝对值不等式地解法去绝对值,然后利用图象研究函数地最小值,使得1﹣2m大于等于不等式左侧地最小值即可．【解答】解:（I）a=5时原不等式等价于|x﹣5|≤3即﹣3≤x﹣5≤3,2≤x≤8,∴解集为{x|2≤x≤8}；（II）当a=1时,f（x）=|x﹣1|,令,由图象知:当时,g（x）取得最小值,由题意知:,∴实数m地取值范围为．2023年7月23日31。

2020届河北省衡水中学高三第三次模拟考试数学(理)试卷及解析

2020届河北省衡水中学高三第三次模拟考试数学(理)试卷及解析

2020届河北省衡水中学高三第三次模拟考试数学（理）试卷★祝考试顺利★(解析版)一、选择题：本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设i 为虚数单位,复数z 满足()12i z i -⋅=,则z =（ ）A. 1D. 2 【答案】B【解析】把已知等式变形,利用复数代数形式的乘除运算,再由复数模的计算公式求解．【详解】由z （1﹣i ）＝2i ,得z ()()2121111)i i i i i i i +===-+--+, ∴|z|=故选B ．2.已知集合{}1A x x =≤,B x y ⎧⎫⎪==⎨⎪⎩,则A B =（ ） A. (]2,1-B. []2,1-C. (),2-∞-D. (],2-∞-【答案】A【解析】 化简集合B,根据交集的定义求解即可. 【详解】由题意知{}22B x x =-<<,则{}21A B x x ⋂=-<≤.故选A.3.已知直线l ：y x m =+和圆O ：221x y +=,则“m =”是“直线l 与圆O 相切”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】本题首先可以根据圆的方程确定圆心与半径,然后通过证明当m =时直线l 与圆O 相切即可得出“m =”是“直线l 与圆O 相切”的充分条件,最后通过求解当直线l 与圆O 相切时m的值即可得出“m =l 与圆O 相切”的必要条件,即可得出结果.【详解】因为圆O ：221x y +=,所以圆心()0,0O ,半径1r =,因为当m =,圆心O 到直线l 的距离为1d ==,所以直线l 与圆O 相切,“m =”是“直线l 与圆O 相切”的充分条件,因为当直线l 与圆O 相切时,圆心O 到直线l 的距离为1d ==,解得m =,所以“m =l 与圆O 相切”的必要条件,故“m =l 与圆O 相切”的充分不必要条件,故选：A.4.某公司某型号无人机以其小巧轻便、高效机动、影像清晰、智能化、用途广等突出特点,得到广大用户的青睐,该型号无人机近5年销售量数据统计如下表所示.根据表中数据用最小二乘法求得y 关于x 的线性回归方程为ˆ 6.5yx t =+,则可以预测2020年该型号无人机的销量大约为（ ）A. 40万件B. 41.5万件C. 45万件D. 48万件 【答案】B【解析】先根据题中所给的数据,计算得出样本中心点()2,22,代入求得9t =,再将5x =代入方程求得。

2021届河北衡水中学新高考模拟试卷(十六)数学(理)试题

2021届河北衡水中学新高考模拟试卷(十六)数学(理)试题

2021届河北衡水中学新高考模拟试卷（十六）数学（理科）试题★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2|2A x x x =>，{}|13B x x =≤≤，则AB =（ ）A. {}|01x x ≤<B. {0x x <或}1x ≥ C. {}|23x x <≤ D. {1x x ≤或}3x >【答案】B 【解析】 【分析】解一元二次不等式得到集合A ，根据并集的概念即可得出结果. 【详解】∵{}{222A x xx x x ==>或}0x <，{}|13B x x =≤≤，∴AB ={0x x <或}1x ≥，故选：B .【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的解法，集合间并集的运算，属于基础题. 2.复数z 满足()()21i 3i z ++=+，则z =（ ） A. 1B.C.D. 2【答案】A 【解析】 【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数求模公式计算得答案. 【详解】因为复数z 满足()()213z i i ++=+， ∴()()()()313422221112i i ii z i i i i +-+-=-=-=-=-++-， 则1z =， 故选：A .【点睛】本题主要考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，属于基础题.3.(101-的二项展开式中，x 的系数与4x 的系数之差为（ ）A. 220-B. 90-C. 90D. 0【答案】D 【解析】 【分析】由题意利用二项展开式的通项公式，求出x 的系数与4x 的系数，再求其差即可.【详解】∵(101-的二项展开式中，通项公式为()21101r rrr TC x +=⋅-，故x 的系数与4x 的系数之差为2810100C C -=， 故选：D .【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题.4.设变量,x y 满足约束条件2030230x x y x y +≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，则目标函数6z x y =+的最大值为( )A. 3B. 4C. 18D. 40【答案】C 【解析】不等式20{30230x x y x y +≥-+≥+-≤所表示的平面区域如下图所示，当6z x y =+所表示直线经过点(0,3)B 时，z 有最大值18.考点：线性规划.5.设函数()()2sin cos cos 2f x x x x =++，则下列结论错误的是（ ） A. ()f x 的最小正周期为π B. ()y f x =的图像关于直线8x π=对称C. ()f x 21D. ()f x 的一个零点为78x π=【答案】D 【解析】 【分析】先利用二倍角公式和辅助角公式化简函数，即可根据()sin y A ωx φ=+的图象与性质判断出各选项的真假. 【详解】因为()()2sin cos cos 21sin 2cos 21224f x x x x x x x π⎛⎫=++=++=+ ⎪⎝⎭， 所以()f x 的最小正周期为π，()f x 21，A 、C 正确； 当8x π=时，sin 2184ππ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，所以()y f x =的图象关于直线8x π=对称，B 正确；因为718f π⎛⎫=⎪⎝⎭，所以78x π=不是函数()f x 的零点，D 错误． 故选：D .【点睛】本题主要考查利用二倍角公式，辅助角公式进行三角变换，以及函数()sin y A ωx φ=+的图象与性质的应用，属于中档题.6.已知()33log log 2a =，()23log 2b =，32log 2c =，则（ ） A. a b c << B. a c b << C. c a b << D. b a c <<【答案】A 【解析】 【分析】首先得出30log 21<<，然后利用对数函数和指数函数的性质求解即可. 【详解】∵30log 21<<，∴()33log log 20<，即0a <， ∴()230log 21<<，即01b <<， ∵332log 2log 41c ==>，∴a b c <<， 故选：A .【点睛】本题考查三个数的大小的比较，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用.7.已知点()3,2A -在抛物线C ：22x py =（0p >）的准线上，过点A 的直线与抛物线在第一象限相切于点B ，记抛物线的焦点为F ，则BF =（ ） A. 6 B. 8C. 10D. 12【答案】C 【解析】 【分析】由点()3,2A -在准线上可知p 的值，从而确定抛物线的方程，设点B 的坐标为2,8m m ⎛⎫⎪⎝⎭，0m >，通过对抛物线方程求导，可得点直线AB 的斜率，再通过A 、B 两点的坐标也可求得AB k ，于是建立关于m 的方程，解之可得m 的值，最后利用抛物线的定义即可得解.【详解】抛物线()2:20C x py p =>的准线方程为2p y =-， ∵点()3,2A -在准线上，∴22p-=-即4p =， 抛物线的方程为28x y =，即218y x =，设点B 的坐标为2,8m m ⎛⎫⎪⎝⎭，0m >，对218y x =求导可得，14y x '=，∴直线AB 的斜率为14m ，由()3,2A -、2,8m B m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，可知221843AB m k m m =+-=，解之得，8m =或2-（舍负）， ∴点()88B ，，由抛物线的定义可知，48102BF =+=， 故选：C .【点睛】本题考查抛物线的定义、准线方程等，还涉及利用导数求抛物线上某点处切线的斜率，考查学生的分析能力和运算能力，属于中档题.8.盒中有形状、大小都相同的2个红色球和3个黄色球，从中取出一个球，观察颜色后放回并往盒中加入同色球4个，再从盒中取出一个球，则此时取出黄色球的概率为（ ） A.35B.79C.715D.3145【答案】A 【解析】 【分析】若取出的是红色球，再从盒中取出一个球，则此时取出黄色球的概率为：13925P =⨯，若取出的是黄色球，再从盒中取出一个球，则此时取出黄色球的概率为：23759P =⨯，由此能求出再从盒中取出一个球，则此时取出黄色球的概率.【详解】盒中有形状、大小都相同的2个红色球和3个黄色球， 从中取出一个球，观察颜色后放回并往盒中加入同色球4个， 若取出的是红色球，再从盒中取出一个球， 则此时取出黄色球的概率为：13295152P =⨯=， 若取出的是黄色球，再从盒中取出一个球， 则此时取出黄色球的概率为：23775915P =⨯=，∴再从盒中取出一个球，则此时取出黄色球的概率为：1221573155P P P =+=+=， 故选：A .【点睛】本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题.9.2019年，全国各地区坚持稳中求进工作总基调，经济运行总体平稳，发展水平迈上新台阶，发展质量稳步上升，人民生活福祉持续增进，全年最终消费支出对国内生产总值增长的贡献率为57.8%.下图为2019年居民消费价格月度涨跌幅度：（同比=(本期数-去年同期数)/去年同期数100%⨯，环比=(本期数-上期数)/上期数100%⨯下列结论中不正确的是（ ）A. 2019年第三季度的居民消费价格一直都在增长B. 2018年7月份的居民消费价格比同年8月份要低一些C. 2019年全年居民消费价格比2018年涨了2.5%以上D. 2019年3月份的居民消费价格全年最低 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知中的图表，结合同比增长率和环比增长率的定义，逐一分析给定四个命题的真假，可得答案. 【详解】由折线图知：从2019年每月环比增长率看，2019年第三季度的居民消费价格一直都在增长，故A 正确；在B 中，从2019年每月的同比增长率看，2018年7月份的居民消费价格比同年8月份要低一些，故B 正确； 在C 中，从2019年每月的同比增长率看，从4月份以后每月同比增长率都在2.5%以上，进而估计出2019年全年居民消费价格比2018年涨了2.5%以上，故C 正确；在D 中，不妨设1月份消费价格为a ，故可得2月份价格为()11% 1.01a a +=；同理可得3月份价格为()1.0110.4% 1.00596a a -=； 4月份价格为()1.0059610.1% 1.00696596a a +=；5月份价格和4月份价格相同；6月份价格为()1.0069659610.1% 1.00595899404a a -=，而后面每个月都是增长的.故1月份的价格是最低的，故D 错误. 故选：D .【点睛】本题考查命题真假的判断，考查折线图等基础知识，考查运算求解能力、数据处理能力，考查函数与方程思想，属于基础题.10.已知P 为双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）上一点，O 为坐标原点，1F ，2F 为曲线C 左右焦点.若2OP OF =，且满足21tan 3PF F ∠=，则双曲线的离心率为（ ）A.B.C.D.【答案】C 【解析】 【分析】点P 在双曲线C 的右支上，且满足2OP OF =，即有O 为12PF F △外接圆的圆心，即有1290F PF ∠=︒，运用勾股定理和双曲线的定义，化简整理，结合离心率公式计算即可得到.【详解】点P 在双曲线C 的右支上，且满足2OP OF =，即有O 为12PF F △外接圆的圆心， 即有1290F PF ∠=︒，由双曲线的定义可得122PF PF a -=， ∵21tan 3PF F ∠=，所以213PF PF =， 则13PF a =，2PF a =，由2221212PF PF F F +=，即()22234a a c +=，即有2252c a =，e ，故选：C .【点睛】本题主要考查双曲线的定义和性质，考查勾股定理的运用，运用平面几何中直径所对的圆周角为直角是解题的关键，属于中档题.11.已知A ，B ，C 是球O 的球面上的三点，60AOB AOC ∠=∠=︒，若三棱锥O ABC -体积的最大值为1，则球O 的表面积为（ ） A. 4π B. 9πC. 16πD. 20π【答案】C 【解析】 【分析】作出草图，易得AOB 和AOC △均为等边三角形，当面AOC ⊥面AOB 时，三棱锥O ABC -的体积最大可求出球的半径R ，进而可得球的表面积. 【详解】设球的半径为R ，如图所示，∵60AOB AOC ∠=∠=︒，∴AOB 和AOC △均为等边三角形，边长为R ， 由图可得当面AOC ⊥面AOB 时，三棱锥O ABC -的体积最大， 此时311331132228V R R R R =⨯⨯⨯⨯⨯==，解得2R =， 则球O 的表面积为24216S ππ=⨯=， 故选：C .【点睛】本题考查球的表面积的求法，球的内含体与三棱锥的关系，考查空间想象能力以及计算能力，属于中档题.12.双纽线最早于1694年被瑞士数学家雅各布·伯努利用来描述他所发现的曲线.在平面直角坐标系xOy 中,把到定点()1,0F a -,()2,0F a 距离之积等于2a （0a >）的点的轨迹称为双纽线C .已知点()00,P x y 是双纽线C 上一点,下列说法中正确的有（ ） ①双纽线C 关于原点O 中心对称； ②022a ay -≤≤；③双纽线C 上满足12PF PF =的点P 有两个； ④PO 的最大值为2a . A .①②B. ①②④C. ②③④D. ①③【答案】B 【解析】 【分析】对①,设动点(,)C x y ,把(,)x y 关于原点对称的点(,)x y --代入轨迹方程,显然成立； 对②,根据12PF F △的面积范围证明即可.对③,易得若12PF PF =则P 在y 轴上,再根据()00,P x y 的轨迹方程求解即可.对④,根据题中所给的定点()1,0F a -,()2,0F a 距离之积等于2a ,再画图利用余弦定理分析12PF F △中的边长关系,进而利用三角形三边的关系证明即可.【详解】对①,设动点(,)C x y ,由题可得C 22222[()][()]x a y x a y a ,把(,)x y 关于原点对称的点(,)x y --代入轨迹方程显然成立.故①正确； 对②,因为()00,P x y ,故12121212011||||sin ||22PF F SPF PF F PF F F y =⋅⋅∠=⋅. 又212||||PF PF a ⋅=,所以2120sin 2a F PF a y ∠=⋅,即012sin 22a ay F PF =∠≤,故022a a y -≤≤.故②正确； 对③, 若12PF PF =则()00,P x y 在12F F 的中垂线即y 轴上.故此时00x =,22222[()][()]x a y x a y a ，可得00y =,即()0,0P ,仅有一个.故③错误；对④,因为12POF POF π∠+∠=,故12cos cos 0POF POF ∠+∠=,即222222112212||||||||||||02||||2||||OP OF PF OP OF PF OP OF OP OF +-+-+=⋅⋅, 因为12||||OF OF a ==,212||||PF PF a ⋅= 故2222122||2||||OP a PF PF +=+.即()22212122||2||||2||||OP a PF PF PF PF +=-+⋅, 所以()22122||||||OP PF PF =-.又1212||||||2PF PF F F a -≤=,当且仅当12,,P F F 共线时取等号. 故()()222122||||||2OP PF PF a =-≤,即22||2OP a ≤,解得||2OP a ≤.故④正确.故①②④正确. 故选：B【点睛】本题主要考查了动点轨迹方程的性质判定,因为该方程较复杂,故在作不出图像时,需要根据题意求出动点的方程进行对称性的分析,同时需要结合解三角形的方法对所给信息进行辨析.属于难题.第Ⅱ卷（非选择题 共90分）本卷包括必考题和选考题两部分.第13~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22~23为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.13.设命题p ：()0,x ∀∈+∞，21e 12xx >+，则p ⌝为___________. 【答案】()00,x ∃∈+∞，0201e 12x x ≤+【解析】 【分析】根据全称命题否定是特称命题求解.【详解】因为命题p ：()0,x ∀∈+∞，21e 12xx >+，是全称命题， 所以其否定是特称命题，即：()00,x ∃∈+∞，0201e12x x ≤+. 故答案为：()00,x ∃∈+∞，0201e12x x ≤+. 【点睛】本题主要考查命题的否定，还考查了理解辨析的能力，所以基础题.14.已知函数()()21sin 12x x x f x x+++=，若()3f a =-，则()f a -=___________.【答案】4 【解析】 【分析】化简()f x 成奇函数加一个常数的结构,再求解()()f x f x +-的值即可.【详解】由题, ()()221sin 1sin 11222x x x x x x f x x x +++++==+,设()2sin 12x x x g x x ++=,则()()()()()()22sin 1sin 122x x x x x x g x g x x x-+--+++-===---为奇函数.故()()()()11122f x f xg x g x +-=++-+=.故()()14f a f a -=-=. 故答案为：4【点睛】本题主要考查了奇函数的性质运用,需要将所给的函数分离出奇函数加常数的结构,再利用奇函数的性质求解.属于中档题.15.在面积为1的平行四边形ABCD 中，6DAB π∠=，则AB BC ⋅=___________；点P 是直线AD 上的动点，则22PB PC PB PC +-⋅的最小值为___________.【答案】 (1). (2). 【解析】 【分析】由平行四边形的面积为1可得2AB AD ⋅=，根据向量数量积的定义即可得出AB BC ⋅的值；由于222PB PC PB PC BC PB PC +-⋅=+⋅，取BC 的中点Q ，连接PQ ，则2PB PC PQ +=，()()2214PB PC PB PCPB PC ⎡⎤⋅=+--⎢⎥⎣⎦，再利用基本不等式的性质即可得出结果. 【详解】∵平行四边形ABCD 的面积为1，即sin 1AB AD DAB ⋅∠=， ∴2AB AD ⋅=，故3cos 232AB BC AB BC DAB ⋅=⋅∠=⨯=. ()2222PB PC PB PC PC PB PB PC BC PB PC +-⋅=-+⋅=+⋅，取BC 的中点Q ，连接PQ ，则2PB PC PQ +=，()()2214PB PC PB PC PB PC ⎡⎤⋅=+--⎢⎥⎣⎦， ∴()()2222221344PB PC P BC PB PC BC BC P P Q B C ⎡⎤+--=⎢⎥⎣+⋅++⎦= 22323334ABCD S BC PQ BC PQ ≥=⋅≥=⋅四边形，此时PQ BC ⊥，32PQ BC =， 故答案为：3，3.【点睛】本题考查了向量的平行四边形法则、数量积运算性质、基本不等式的性质，考查了变形能力与计算能力，属于中档题.16.数学兴趣小组为了测量校园外一座“不可到达”建筑物的高度，采用“两次测角法”，并自制了测量工具：将一个量角器放在复印机上放大4倍复印，在中心处绑上一个铅锤，用于测量楼顶仰角（如图）；推动自行车来测距（轮子滚动一周为1.753米）.该小组在操场上选定A 点，此时测量视线和铅锤线之间的夹角在量角器上度数为37°；推动自行车直线后退，轮子滚动了10卷达到B 点，此时测量视线和铅锤线之间的夹角在量角器上度数为53°.测量者站立时的“眼高”为1.55m ，根据以上数据可计算得该建筑物的高度约为___________米.（精确到0.1） 参考数据：3sin 375︒≈，sin 5345︒≈【答案】31.6 【解析】 【分析】由题意画出简图，设CD h =，即可得43h BC ≈、34h AC ≈，利用17.53AB BC AC ==-即可得解. 【详解】由题意画出简图，如图：由题意可得53CAD ∠=，37CBD ∠=，10 1.75317.53AB =⨯=，所以sin 37tan tan 37cos3734CBD ∠≈==，sin 53cos37tan tan 53cos5433sin 37CAD ∠===≈，设CD h =，则在Rt BCD 中，4tan 3CD hBC CBD =∠≈，在Rt ACD 中，3tan 4CD hAC CAD =∠≈， 所以717.5312AB BC AC h -≈==，解得30.05h ≈， 所以该建筑的高度约为30.05 1.5531.6+=米. 故答案为：31.6.【点睛】本题考查了三角函数的实际应用，关键是把实际问题转化为数学模型，属于基础题.三、解答题：本大题共7小题，共70分，解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S （0n S ≠），满足1S ，2S ，3S -成等差数列，且123a a a =.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设()()1311nn n n a b a a +-=++，求数列{}n b 的前n项和nT . 【答案】（1）()2nn a =-.（2）()()112221n n n T ++-+=--+ 【解析】 【分析】（1）设数列{}n a 的公比为q ，由题意结合等差数列、等比数列的性质转化条件可得()()21121a q q a q -+=+、2211a q a q =，即可得解；（2）由题意()()1112121n nn b +=--+-+，利用裂项相消法即可得解.【详解】（1）设数列{}n a 的公比为q ，依题意得()1322S S S +-=， 所以()()23122a a a a -+=+即()()21121a q qa q -+=+，因为10a ≠，所以2320q q ++=，解得1q =-或2q =-，因为0n S ≠，所以2q =-，又因为123a a a =，所以2211a q a q =即12a q ==-，所以()2nn a =-；（2）题意可得()()()()()()()111322*********n n nn n n n n b +++-----==⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤-+-+-+-+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦()()1112121nn +=--+-+，则()()()()()()12231111111212121212121n n n T +⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-+-++-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-+-+-+-+-+-+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦()()()11122112121n n n +++-+=--=--+-+. 【点睛】本题考查了等差数列与等比数列的综合应用，考查了利用裂项相消法求数列前n 项和的应用，属于中档题.18.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，3PA PD ==，6PB PC ==，90APB CPD ∠=∠=︒，点M ，N 分别是棱BC ，PD 的中点.（1）求证：//MN 平面PAB ；（2）若平面PAB ⊥平面PCD ，求直线MN 与平面PCD 所成角的正弦值. 【答案】（1）见解析（2）69【解析】 【分析】（1）取PA 的中点为Q ，连接NQ ，BQ ，由平面几何知识可得//NQ BM 且NQ BM =，进而可得//MN BQ ，由线面平行的判定即可得证；（2）过点P 作PE AB ⊥交AB 于点E ，作PF CD ⊥交CD 于点F ，连接EF ，取EF 的中点为O ，连接OP ，建立空间直角坐标系后，求出平面PCD 的一个法向量为n 、直线MN 的方向向量MN ，利用sin cos n MN n MN n MNθ⋅=⋅=⋅即可得解.【详解】（1）证明：取PA 的中点为Q ，连接NQ ，BQ ，如图：又点N 是PD 的中点，则//NQ AD 且12NQ AD =， 又点M 是BC 的中点，底面ABCD 是矩形， 则12BM AD =且//BM AD ， ∴//NQ BM 且NQ BM =，∴四边形MNQB 是平行四边形，∴//MN BQ ， 又MN ⊄平面PAB ，BQ ⊂平面PAB ，∴//MN 平面PAB ；（2）过点P 作PE AB ⊥交AB 于点E ，作PF CD ⊥交CD 于点F ，连接EF ， 则PF AB ⊥，PE PF P =，∴AB ⊥平面 PEF ，又AB平面ABCD ，∴平面 PEF ⊥平面ABCD ，∵3PA PD ==，6PB PC ==，90APB CPD ∠=∠=︒， ∴3AB CD ==，2PE PF ==，2BE CF ==，1AE DF ==.设平面PAB ⋂平面PCD l =，可知////l CD AB ， ∵平面PAB ⊥平面PCD ，∴90EPF ∠=︒，∴2EF =，取EF 的中点为O ，连接OP 、OM ，则OP ⊥平面ABCD ，1OP =， ∴OM 、OF 、OP 两两垂直，以O 为坐标原点，分别以OM ，OF ，OP 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系,O xyz -，如图所示，则()0,0,1P ，()2,1,0C ，()1,1,0D -，()2,0,0M ，111,,222N ⎛⎫-⎪⎝⎭， ∴()2,1,1PC =-，()1,1,1PD =--，511,,222MN ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 设平面PCD 的一个法向量为(),,n x y z =，则由020n PD x y z n PC x y z ⎧⋅=-+-=⎨⋅=+-=⎩，令1y =可得()0,1,1n =.设直线MN 与平面PCD 所成角为θ，则sin cos 2n MN n MN n MNθ⋅=⋅===⋅ ∴直线MN 与平面PCD 所成角的正弦值为9. 【点睛】本题考查了线面平行的判定及利用空间向量求线面角，考查了空间思维能力与运算求解能力，属于中档题.19.已知椭圆C：22221x y a b +=（0a b >>）的离心率为2，且过点()2,1.（1）求椭圆C 的方程；（2）过坐标原点的直线与椭圆交于M ，N 两点，过点M 作圆222x y +=的一条切线，交椭圆于另一点P ，连接PN ，证明：|PM PN =.【答案】（1）22163x y +=（2）见解析【解析】【分析】（1，且过点()2,1，由c a =，22411a b +=，结合222a b c =+求解.（2）当直线PM 的斜率不存在时，可得直线PM 的方程为x =x=. 当直线PM 斜率存在时，设直线PM 的方程为y kx m =+，根据直线PM 与圆相切，得到||m =()11,M x y ，()22,P x y ，则()11 ,N x y --，联立22163y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，由弦长公式求得 PM ，然后由两点间的距离公式，将韦达定理代入求得PN 即可.【详解】（1）设椭圆的半焦距为c，因为椭圆的离心率为2，且过点()2,1.所以2c a =，22411a b +=，又222a b c =+， 解得26a =，23b =，所以椭圆C 的方程为：22163x y +=.（2）①当直线PM 的斜率不存在时，依题意，可得直线PM的方程为x =或x = 若直线PM：x =，直线MN ：y x =，可得M，(N，P，则PM =，PN =，所以PM PN =； 其他情况，由对称性，同理可得PM PN =.②当直线PM 斜率存在时，设直线PM 的方程为y kx m =+， ∵直线PM 与圆222x y +=相切， ∴圆心O 到直线PM=||m =设()11,M x y ，()22,P x y ，则()11 ,N x y --，联立22163y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消元y ，整理得()222124260k x kmx m +++-=，则122412km x x k +=-+，21222612m x x k-=+.∴12212PM x k=-==+，∵PN =，()12122242221212km m y y k x x m k m k k -⎛⎫+=++=+= ⎪++⎝⎭，∴PN ==.∵m =，∴PN PM ==. 综上可知PM PN =成立.【点睛】本题主要考查椭圆方程的求法，直线与椭圆，直线与圆的位置关系以及弦长问题，还考查了运算求解的能力，属于难题.20.2020年是我国全面建成小康社会和“十三五”规划收官之年,也是佛山在经济总量超万亿元新起点上开启发展新征程的重要历史节点.作为制造业城市,佛山一直坚持把创新摆在制造业发展全局的前置位置和核心位置,聚焦打造成为面向全球的国家制造业创新中心,走“世界科技+佛山智造+全球市场”的创新发展之路.在推动制造业高质量发展的大环境下,佛山市某工厂统筹各类资源,进行了积极的改革探索.下表是该工厂每月生产的一种核心产品的产量x （520x ≤≤）（件）与相应的生产总成本y （万元）的四组对照数据.工厂研究人员建立了y 与x 的两种回归模型,利用计算机算得近似结果如下：模型①：31733x y =+模型②：68160y x =-.其中模型①的残差（实际值－预报值）图如图所示：（1）根据残差分析,判断哪一个模型更适宜作为y 关于x 的回归方程？并说明理由；（2）市场前景风云变幻,研究人员统计历年的销售数据得到每件产品的销售价格q （万元）是一个与产量x 相关的随机变量,分布列为：q1402x -1302x -1002x -P 0.50.40.1结合你对（1）的判断,当产量x 为何值时,月利润的预报期望值最大？最大值是多少（精确到0.1）？ 【答案】（1）模型①更适宜作为y 关于x 的回归方程,见解析（2）产量为11件时,月利润的预报期望值最大,最大值是774.8万元. 【解析】 【分析】(1)作出模型②的残点图,再对比①的残点图分析即可.(2)根据题意作出Y 的分布列,进而得出其数学期望()3213217332x x E Y x =--+-,再求导分析其单调性求出最大值即可.【详解】（1）模型②的残差数据如下表： x 5 7 9 11 y200 298431609 ˆe2018- 21-21模型②的残点图如图所示.模型①更适宜作为y 关于x 的回归方程,因为：理由1：模型①这个4个样本点的残差的绝对值都比模型②的小.理由2：模型①这4个样本的残差点落在的带状区域比模型②的带状区域更窄. 理由3：模型①这4个样本的残差点比模型②的残差点更贴近x 轴. （2）设月利润为Y ,由题意知Y qx y =-,则Y 的分布列为：Y2314017323x x x ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭2313017323x x x ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭2310017323x x x ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭P 0.50.40.1()2323231211401731301731001732322352310x x x x x x E Y x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---⋅+---⋅+---⋅⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭3213217332x x x =--+-.设函数()3213217332x x f x x =--+-,()0,x ∈+∞,()2132f x x x '=--+,令()0f x '=,解得11x =或12x =-（舍）,当()0,11x ∈时,()0f x >′,则()f x 单调递增；当()11,x ∈+∞时,()0f x <′,则()f x 单调递减. 则函数()f x 的最大值()4649116f =,即产量为11件时,月利润的预报期望值最大,最大值是774.8万元. 【点睛】本题主要考查了根据题意作出分布列求解数学期望最值的问题.同时也考查了求导分析函数单调性与最值的问题,属于中档题. 21.已知函数()sin f x x a x =-（x a ≥）.（1）若()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围；（2）若14a <-，证明：()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭有唯一的极值点x ，且()00012f x x x π>--. 【答案】（1）{}|22,a k a k k Z πππ-≤≤∈.（2）见解析 【解析】 【分析】（1）计算()0f a ≥得到22k a k πππ-≤≤，再证明当22k a k πππ-≤≤（k Z ∈）时，()0f x ≥，先sin x ≥（0x ≥），讨论22k a k πππ-≤≤和2x k π≥两种情况，计算得到证明.（2）求导得到()cos f x x '=-，()()321sin 4g x x x a '=-+-，得到存在唯一实数00,2t π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使()00g t '=，存在唯一实数0,32x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使()00g x =，得到()()00000011sin 2cos 2cos f x x x x x x +=+->，得到证明.【详解】（1）由()0f a ≥，得sin 0a -≥，即sin 0a ≤，解得22k a k πππ-≤≤，k Z ∈， 以下证明，当22k a k πππ-≤≤（k Z ∈）时，()0f x ≥.sin x ≥（0x ≥）. 若1x >1sin x >≥； 若01x ≤<x ≥.令()sin g x x x =-（0x ≥），可知()1cos 0g x x '=-≥，函数单调递增， 故()()00g x g ≥=，即sin x x ≥（0x ≥），sin x ≥（0x ≥）.若22k a k πππ-≤≤（k Z ∈），则当2a x k π≤≤时，sin 0x ≤，0sin x ≥≥，即()0f x ≥； 当2x k π≥sin x ≥（0x ≥），()sin 2sin x k x π≥-=.故当22k a k πππ-≤≤（k Z ∈）时，()0f x ≥.综上，所求a 的取值范围是{}|22,a k a k k Z πππ-≤≤∈. （2）()cos f x x '=-，令()cos g x x =-，()()321sin 4g x x x a '=-+-，∵14a <-，∴()g x '是0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上的增函数，又()00g '<，32110242g a ππ⎛⎫'=-> ⎪⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭， 故存在唯一实数00,2t π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使()00g t '=，当()0 0,x t ∈时，()0g x '<，()g x 递减；当0,2x t π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '>，()g x 递增.又14a <-，则14a ->12>，1>， ∴()010g =<，1110322g π⎛⎫⎪⎛⎫⎪==-< ⎪⎪⎝⎭⎪⎭，02g π⎛⎫=> ⎪⎝⎭. 故存在唯一实数0,32x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使()00cos 0g x x =-=. 当()00,x x ∈时，()()0f x g x '=<，()f x 递减； 当0,2x t π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()0f x g x '=>，()f x 递增. 所以()f x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭有唯一极小值点0x ，且极小值为()00sin f x x =. 又由()00cos 0g x x =-=012cos x =，∴()0001sin 2cos f x x x =-.又()()00000011sin 2cos 2cos f x x x x x x +=+->.以下只需证明，即证00112cos 2x x π>-，0002cos 2x x π<<-.∵00,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴00002cos 2sin 2222x x x x πππ⎛⎫⎛⎫=-<-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 则()()0000000111sin 2cos 2cos 2f x x x x x x x π+=+->>-，所以()00012f x x x π>--. 【点睛】本题考查了不等式恒成立问题，极值点问题，证明不等式，先算后证是解题的关键.请考生在第22，23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清楚题号.22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos 22sin x ty t =⎧⎨=+⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4cos ρθ=. （1）说明1C 是哪种曲线，并将1C 的方程化为极坐标方程； （2）设点M 的极坐标为()4,0，射线θα=（02πα<<）与1C 的异于极点的交点为A ，与2C 的异于极点的交点为B ，若4AMB π∠=，求tan α的值.【答案】（1）1C 是圆心为()0,2，半径为2的圆.4sin ρθ=；（2）1tan 2α=. 【解析】 【分析】（1）由曲线1C 的参数方程消去参数t ，得到曲线1C 的直角坐标方程，再由222,sin x y y ρρθ=+=，得到曲线1C 的极坐标方程；（2）设()1,A ρθ，()2,B ρθ，θα=.可得4cos 4sin AB OB OA αα=-=-，4sin BM α=.由4AMB π∠=，得AB BM =，即求tan α的值.【详解】（1）1C 是圆心为()0,2，半径为2的圆.1C ∴的直角坐标方程为()2224x y +-=，即2240x y y +-=.222x y ρ=+，sin y ρθ=，得24sin 0,4sin ρρθρθ-=∴=.1C ∴的极坐标方程为4sin ρθ=.（2）设()1,A ρθ，()2,B ρθ，∵θα=，∴4sin OA α=，4cos OB α=，4cos 4sin AB OB OA αα=-=-，4OM =，∴4sin BM α=，∵4AMB π∠=，∴AB BM =，则4cos 4sin 4sin ααα-=，即cos 2sin αα=，所以1tan 2α=. 【点睛】本题考查参数方程、直角坐标方程、极坐标方程的互化，考查极坐标系下求极角，属于中档题. 23.已知函数()2cos 15f x x a a =+-+-，a ∈R . （1）若()08f >，求实数a 的取值范围； （2）证明：对x ∀∈R ，()151f x a a≥--+恒成立. 【答案】（1）{}|06x a x <>或.（2）见解析 【解析】 【分析】（1）将0x =代入函数，列出不等式，再根据零点分段法即可求出实数a 的取值范围； （2）根据不等式恒成立问题的解法可知，只要()min 1112cos a x a---+≤即可， 亦即1112a a-++≥，再根据绝对值三角不等式以及基本不等式即可证出． 【详解】（1）∵()02158f a a =+-+->，即156a a -+->.当5a ≥时，不等式化为1565a a a -+->⎧⎨≥⎩，解得6a >；当15a <<时，不等式化为15615a a a -+->⎧⎨<<⎩，此时a 无解；当1a ≤时，不等式化为1561a a a -+->⎧⎨≤⎩，解得0a <.综上，原不等式的解集为{}|06x a x <>或. （2）要证明对x ∀∈R ，()151f x a a≥--+恒成立.只需证明对x ∀∈R ，12cos 11x a a ≥---+恒成立.即证明()min 1112cos a x a ---+≤， ∵()min 2cos 2x =-，1112a a---+≤-，即1112a a -++≥.∵111111112a a a a a a aa -++≥-++=+=+≥，所以原命题得证． 【点睛】本题主要考查利用零点分段法求解含有两个绝对值的不等式，基本不等式，绝对值三角不等式的应用，以及不等式恒成立问题的解法应用，意在考查学生的转化能力，分类讨论意思的应用能力，属于中档题．。

2020届河北省衡中同卷新高考预测模拟考试(一)理科数学

2020届河北省衡中同卷新高考预测模拟考试(一)理科数学

2020届河北省衡中同卷新高考预测模拟考试（一)理科数学★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设i 为虚数单位，z 表示复数z 的共轭复数，若1z i =+，则z zi⋅=（ ） A. 2i B. 2i -C. 2D. 2-【答案】B 【解析】 ∵1z i =+ ∴1z i =- ∴(1)(1)22z z i i i i i i⋅+-===- 故选B2.已知集合{}230,{|17},M x x x N x x =->=≤≤，则()R C M N =I （ ）A. {}37x x <≤ B. {}37x x ≤≤C. {}13x x ≤≤D. {}13x x ≤<【答案】C 【解析】 【分析】根据集合的交并补运算即可求解.【详解】由{}{2303M x x x x x =->=>或}0x <，所以{}03R C M x x =≤≤，又{|17}N x x =≤≤，(){}13R C M N x x ∴⋂=≤≤，故选：C【点睛】本题主要考查了集合的基本运算，属于基础题.3.中国古代用算筹来进行记数,算筹的摆放形式有纵横两种形式(如图所示),表示一个多位数时,像阿拉伯记数-样,把各个数位的数码从左到右排列,但各位数码的筹式需要纵横相间，其中个位、百位、万...用纵式表示,十位、千位、十万位.--.用横式表示,例如6613用算筹表示就是，则8335可用算筹表示为( )A. B. C.D.【答案】B 【解析】 【分析】根据新定义直接判断即可.【详解】由题意各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，则8335可用算筹表示为.故选：B【点睛】本题考查了合情推理与演绎推理，属于基础题.4.在1,2,3,4,5,6,7这组数据中，随机取出五个不同的数,则数字3是取出的五个不同数的中位数的所有取法为（ ） A. 24种 B. 18种 C. 12种 D. 6种【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，由中位数的定义分析可得要使数字3是取出的五个不同数的中位数，则取出的数字中必须有4，5、6、7中的两个，必须有1，2这2个数字，由组合数公式计算可得答案． 【详解】由题得必须有1，2这2个数字，4，5、6、7中必须有两个，所以所有取法为22246C C =.故选：D【点睛】本题主要考查中位数的定义，考查排列组合的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 5.若3tan 4α= ，则2cos 2sin 2αα+=（ ） A.6425B. 4825C. 1D.1625【答案】A 【解析】试题分析：由3tan 4α=，得34sin ,cos 55αα==或34sin ,cos 55αα=-=-，所以2161264cos 2sin 24252525αα+=+⨯=，故选A ．【考点】同角三角函数间的基本关系，倍角公式．【方法点拨】三角函数求值：①“给角求值”将非特殊角向特殊角转化，通过相消或相约消去非特殊角，进而求出三角函数值；②“给值求值”关键是目标明确，建立已知和所求之间的联系． 【此处有视频，请去附件查看】6.()26112x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中，含2x 的项的系数是（） A. -40 B. -25C. 25D. 55【答案】B 【解析】 【分析】写出二项式61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的通项，然后观察含2x 的项有两种构成，一种是()212x +中的1与61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭中的二次项相乘得到，一种是()212x +中的22x 与61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭中的常数项相乘得到，将系数相加即可得出结果．【详解】二项式61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的通项6621661C (1)C kk k k k kk T x xx --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，含2x 的项的系数为223366(1)2(1)25C C -+⨯-=-，故选B .【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题． 7.已知,m n 是两条不同的直线,αβ是两个不同的平面,则//m n 的充分条件是（ ） A. ,m n 与平面α所成角相等 B. //,//m n αα C. //,,m m n αβαβ⊂⋂= D. //,m n ααβ=I【答案】C 【解析】 【分析】根据空间线面位置关系的判定或定义进行判断即可.【详解】对于A ，若,m n 与平面α所成角相等，则,m n 可能相交或者异面，故A 错； 对于B ，若//,//m n αα，则,m n 可能相交或者异面，故B 错；对于C ，若//,,m m n αβαβ⊂⋂=，由线面平行的性质定理可得//m n ，故C 正确； 对于D ，若//,m n ααβ=I ，则,m n 可能异面，故D 错；故选：C【点睛】本题主要考查了空间中线面的位置关系，需掌握判断线面位置关系的定理和定义，考查了空间想象能力，属于基础题8.已知AB 是圆心为C 的圆的条弦,且92AB AC =u u u r u u u r g ,则AB =u u u r （ ）A. 3B. 3C. 23D. 9【答案】B 【解析】 【分析】过点C 作CD AB ⊥于D ，可得12AD AB =，在Rt ACD ∆中利用三角函数的定义算出1cos 2AC CAB AD AB ⋅∠==u u u r u u u r u u u r ，再由向量数量积的公式加以计算，结合92AB AC =u u u r u u u r g 即可求解.【详解】过点C 作CD AB ⊥于D ，则D 为AB 的中点，Rt ACD ∆中，12AD AB =，1cos 2AC CAB AD AB ⋅∠==u u u r u u u r u u u r ，291cos 22AB AC AB AC CAB AB ==∠=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g ,解得3AB =u u u r.故选：B【点睛】本题主要考查向量数量积的几何意义以及根据数量积求模，属于基础题. 9.函数()()2ax bf x x c +=+的图象如图所示，则下列结论成立的是（ ）A. 0a >，0b >，0c <B. 0a <，0b >，0c >C. 0a <，0b >，0c <D. 0a <，0b <，0c < 【答案】C 【解析】试题分析：函数在P 处无意义，由图像看P 在y 轴右侧，所以0,0c c -><，()200,0bf b c =>∴>，由()0,0,f x ax b =∴+=即b x a =-，即函数的零点000.0,0bx a a b c a=->∴<∴<，故选C ．考点：函数的图像【此处有视频，请去附件查看】10.函数() 2 3 2f x sin x cos x =的图象向右平移6π个单位 长度得到()y g x =的图象.命题()1:p y g x =的图象关于直线2x π=对称;命题2:,04p π⎛⎫-⎪⎝⎭是()y g x =的一个单调增区间.则在命题()()()112212312:,:,:q p p q p p q p p ∨⌝∧⌝⌝∨和()412:q p p ∧⌝中,真命题是( )A. 13,q qB. 14,q qC. 23,q qD. 24,q q【答案】A 【解析】 【分析】首先利用辅助角公式将函数() 2 3 2f x sin x cos x =+化为()223f x sin x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，由三角函数的图像变化规律求出()g x 的解析式，根据三角函数的性质判断1p 与2p 真假，再由命题的否定以及真假表即可判断.【详解】()13 2 3 22sin 2cos 22sin 2223f x sin x cos x x x x π⎛⎫⎛⎫=+=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 由()232x k k Z πππ+=+∈，解得()212k x k Z ππ=+∈， 显然2x π=不是()g x 对称轴，故1p 为假命题.由()222232k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，解得()51212k x k k πππ-≤≤π+∈Z ， 故函数()g x 的单调递增区间为5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦ 当0k =时，51212x ππ-≤≤，又,04π⎛⎫- ⎪⎝⎭5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，故2p 为真命题. 故1p ⌝为真命题，2p ⌝为假命题，故112:q p p ∨为真命题；()()212:q p p ⌝∧⌝为假命题；()312:q p p ⌝∨为真命题；()412:q p p ∧⌝为假命题；故选：A【点睛】本题考查了辅助角公式、三角函数的性质、命题真假的判断以及命题的否定、真假表，需熟记三角函数的性质以及真假表，属于基础题.11.在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥上平面ABC ,记ABC V 和四边形11ACC A 的外接圆圆心分别为12,O O ,若2AC =,且三棱柱外接球体积为323π,则2212O A O A +的值为（ ） A.83B. 3C. 113D. 5【答案】D 【解析】 【分析】如图，设三棱柱的外接球的球心为O,连接1,OO OA .设三棱柱的高为h ，外接球的半径为R,先求出R,再求2212O A O A +的值.【详解】如图，设三棱柱的外接球的球心为O,连接1,OO OA . 设三棱柱的高为h ，外接球的半径为R,由题得3432,233R R π=∴= 在直角三角形1OAO 中，222222114()=424h h OA R O A O A ===+∴-，在直角三角形1CAA 222222422,4h h OA OA ++=∴=,所以2212=5O A O A +.故选：D【点睛】本题主要考查几何体的外接球问题的解法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.12.已知函数()22ln ,03,02x x x x f x x x x ->⎧⎪=⎨--≤⎪⎩的图象上有且仅有四个不同的点关于直线1y =的对称点在10kx y +-=的图象上,则实数k 的取值范围是( )A. 1,12⎛⎫⎪⎝⎭B. 13,24⎛⎫⎪⎝⎭C. 1,13⎛⎫⎪⎝⎭D. 1,22⎛⎫⎪⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】将问题转化为直线1y kx =+与()f x 在(),0-∞和()0,∞+上各有两个交点，借助函数图像与导数的几何意义求出1y kx =+与()f x 的两段图像相切的斜率即可求出k 的取值范围. 【详解】直线10kx y +-=关于直线1y =的对称直线为10kx y -+-=， 则直线10kx y -+-=与()y f x =的函数图像有4个交点， 当0x >时，()1ln f x x '=-，∴当0x e <<时，()0f x '>，当x e >时，()0f x '<， ∴()f x 在()0,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减，作出()y f x =与直线10kx y -+-=的函数图像，如图所示：设直线1y kx =+与2ln y x x x =-相切，切点为()11,x y ，则111111ln 2ln 1x kx x x kx -=⎧⎨-=+⎩ ，解得11,1x k ==，设直线1y kx =+与()2302y x x x =--<相切，切点为()22,x y ， 则22222322312x k x x kx ⎧--=⎪⎪⎨⎪--=+⎪⎩，解得211,2x k =-=，Q 1y kx =+与()y f x =的函数图像有4个交点，∴直线1y kx =+与()f x 在(),0-∞和()0,∞+上各有2个交点，112k ∴<< 故选：A【点睛】本题主要考查了导数的几何意义，考查了数形结合思想，解题的关键是作出函数图像，属于中档题.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知0,0a b >>，若341log log 2a b ==，则ab=__________．【解析】 【分析】根据指数式与对数式的互化即可求解. 【详解】由341log log 2a b ==，则123a =，124b =，1122123344a b ⎛⎫∴===⎪⎝⎭，【点睛】本题主要考查指数式与对数式的互化、指数幂的运算，属于基础题.14.若,x y 满足2030x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最大值为__________．【答案】4 【解析】当直线z ＝2x ＋y 经过直线2x －y ＝0与直线x ＋y ＝3的交点(1，2)时，z 取最大值2×1＋2＝4. 15.已知定义在R 上的函数()f x 满足()()()f x g x g x =--，且()f x 在R 单调递增，对任意的()12,0,x x ∈+∞，恒有()()()1212f x f x f x x =+g ，则使不等式()21202f f m ⎡⎤⎫+->⎪⎢⎥⎭⎣⎦成立的m取值范围是__________．【答案】[)0,9 【解析】 【分析】首先判断出()f x 为奇函数，然后根据题意将()21202f f m ⎡⎤⎫+->⎪⎢⎥⎭⎣⎦化为()()12f f m >-，再由函数的单调性转化为解12m >-即可.【详解】Q 定义在R 上的函数()f x 满足()()()f x g x g x =--， 则()()()()f x g x g x f x -=--=-，()f x ∴为奇函数， 又对任意的()12,0,x x ∈+∞，恒有()()()1212f x f x f x x =+g ，则()21202f f m ⎡⎤⎫+->⎪⎢⎥⎭⎣⎦，即()()120f f m +->∴()()()122f f m f m >--=-Q ()f x 在R 单调递增，∴12m >-，即300m m ⎧-<⎪⎨≥⎪⎩，解得09m ≤<故答案为：[)0,9【点睛】本题考查了函数的新定义，考查了利用函数的奇偶性、单调性解不等式，属于中档题.16.如图,在直四棱柱1111 ABCD A B C D -中,底面ABCD 是菱形,,E F 分别是11,BB DD 的中点, G 为AE 的中点且3FG =,则EFG V 面积的最大值为________．【答案】3 【解析】 【分析】建立坐标系，使用法向量求出E 到直线FG 的距离，代入面积公式，使用不等式的性质求出最值.【详解】连接AC 交BD 于O ，Q 底面ABCD 是菱形,AC BD ∴⊥，以,,0OC OD Z 为坐标轴建立空间直角坐标系o xyz -， 设,OC a OD b ==，棱柱的高为h ， 则(),0,0A a -，0,,2h E b ⎛⎫- ⎪⎝⎭，0,,2h F b ⎛⎫ ⎪⎝⎭，,,224a b h G ⎛⎫∴-- ⎪⎝⎭，即3,,224a b h FG ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭u u u r ，()0,2,0FE b =-u u u r ，23cos ,322FG FE b b FG FE b FG FE ⋅∴===⋅u u u v u u u vu u u v u u u v u u u v u u u v ， E ∴到直线FG的距离sin ,2d FE FG FE b ===u u u v u u u v u u u v22133432222EFGb b S FG d ∆+-∴=⋅⋅==⨯= 当且仅当224b b =-，即22b =时取等号. 故答案为：3【点睛】本题考查了空间向量在求点到线的距离的应用、基本不等式求最值，注意在应用基本不等式时验证等号成立的条件，属于中档题.三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答. (一)必考题:共60分.17.已知等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项和,2458,15a a S ⋅==;等比数列{}n b 的前n 项和21nn T =-(1)求数列{}{},n n a b 的通项公式;(2)当{}n a 各项为正时,设n n n c a b =⋅,求数列{}n c 的前n 项和. 【答案】（1）n a n =或6n a n =-，12n n b -= （2）()121n n T n =-⋅+【解析】 【分析】（1）根据等差数列的通项公式与求和公式即可求n a ；由n T 与n b 的关系可求n b . （2）利用错位相减法即可求和.【详解】解：（1）设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d则()()()()21111383381115101532a d a d d d d d d a d a d⎧⎧++=-+=⇔⇒=⇒==-⎨⎨+==-⎩⎩或11,1,n d a a n ∴==∴= 11,5,6n d a a n ∴=-=∴=-当2n ≥时，112n n n n b T T --=-=当1n =时，111b T ==也满足上式 所以12n nb -=（2）由题可知，1,2n n n n n a n c a b n -===gg ()01221122232?··122n n n T n n --=++++-+g g g g g ()12312122232?··122n n n T n n -=++++-+g g g g g ()1112?··22121n n n n T n n --=+++-=--g g 故()121nn T n =-+g【点睛】本题考查了等差数列的通项公式、求和公式，已知n S 求n a 以及错位相减法，需熟记公式，属于基础题.18.如图,在四棱锥 P ABCD -中,侧面PAD ⊥底面ABCD ,底面ABCD 为梯形，//, 90, 2.2ABAB CD ABC BCD BC CD ∠=∠=︒===(1)证明:BD PD ⊥;(2) 若PAD △为正三角形,求二面角A PB C --的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2）105【解析】【分析】（1）先证明BD ⊥平面PAD,再证明BD PD ⊥；（2）如图所示，建立空间直角坐标系 D xyz -，利用向量法求二面角A PB C --的余弦值.【详解】（1）证明：因为 2 4BC CD AB ===，，又底面ABCD 为直角梯形222 AD BD AD BD AB BD AD ∴==+=∴⊥， Q 面PAD ⊥底面 ABCD ，因为面PAD I 底面 ABCD AD =,BD ⊆平面ABCD, 所以BD ⊥平面 .PAD 所以BD PD ⊥.（2）如图所示，建立空间直角坐标系 D xyz -，()()()()0,0,0 , , , ,D A PB C(() , AP AB ==-u u u r u u u u r设平面 PAB 的法向量为() , ,n x y z =r所以0⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩，令1,1,1,3x n ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭r 设平面PCB 的法向量为() , , m x y z =ur( PC =-u u u r，(), BC =u u u u r⎧+=⎪⎨+=⎪⎩令(1,1,1,x m ==-u r 设二面角A PB C --的平面角为α .由图观察α为钝角cos -35n m n mα⋅∴=-==⋅r u ru u r u u r【点睛】本题主要考查空间位置关系的证明，考查空间二面角的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.19.为了了解居民的家庭收入情况,某社区组织工作人员从该社区的居民中随机抽取了100户家庭进行问卷调查，经调查发现,这些家庭的月收人在3000元到10000元之间,根据统计数据作出:（1）经统计发现,该社区居民的家庭月收人Z (单位:百元)近似地服从正态分布(),196N μ,其中μ近似为样本平均数.若Z 落在区间(2,2)μσμσ-+的左侧,则可认为该家庭属“收入较低家庭" ,社区将联系该家庭,咨询收入过低的原因，并采取相应措施为该家庭提供创收途径.若该社区A 家庭月收入为4100元，试判断A 家庭是否属于“收人较低家庭”,并说明原因; （2）将样本的频率视为总体的概率①从该社区所有家庭中随机抽取n 户家庭,若这n 户家庭月收人均低于8000元的概率不小于50%,求n 的最大值;②在①的条件下,某生活超市赞助了该社区的这次调查活动,并为这次参与调在的家庭制定了贈送购物卡的活动,贈送方式为:家庭月收入低于μ的获赠两次随机购物卡,家庭月收入不低于μ的获赠一次随机购物卡;每次赠送的购物卡金额及对应的概率分别为: 赠送购物卡金额(单位:元) 100200 300 概率 121316则A 家庭预期获得的购物卡金额为多少元?(结果保留整数)【答案】（1）不属于，理由见解析 （2）①3 ②333元 【解析】 【分析】（1）先求出该社区居民的家庭月收入平均值，求出2µσ-的值，再比较该社区A 家庭月收入和2µσ-的大小关系得解；（2）①先求出抽取一户家庭其月收入低于8000元的概率，解不等式0.80.5n ≥得解；②设所获得的购物卡金额为随机变量ξ，则ξ的取值分别为200，300400500600，，，,再求对应的概率和期望.【详解】（1）该社区居民的家庭月收入平均值为：350.0245 0.15 55 0.15 65 0.2 75 0.28 85 0.16 95 0.04 =67.1μ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯（百元）又知道 14σ=，故 267.12839.1µσ-=-= 该社区A 家庭月收入4100元41=百元9.123μσ=>-，故A 家庭不属于“收入较低家庭”．（2）①将样本的频率视为总体的概率，由频率分布直方图可知，抽取一户家庭其月收入低于8000元的概率为()0.002 0.015 +0.0150.02 +0.02810 =0.8++⨯随机抽取n 户家庭月收入均低于8000元的概率为0.8n ， 由题意知0.80.53n n ≥∴≤，，所以n 的最大值为3.②由①知 67.1µ=百元6710=元，故A 家庭月收入低于μ，可获赠两次随机购物卡，设所获得的购物卡金额为随机变量ξ，则ξ的取值分别为200300400500600，，，，()111200,224P ξ==⨯=()12111300,233P C ξ==⨯⨯=()1211115400+=,263318P C ξ==⨯⨯⨯()12111500=,369P C ξ==⨯⨯()111600,6636P ξ==⨯=则A 家庭预期获得的购物卡金额为()115112003004005006003334318936E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=元 【点睛】本题主要考查频率分布直方图中平均数和概率的计算，考查随机变量的期望的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.20.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的短轴顶点分别为,A B ,且短轴长为2,T 为椭圆上异于,A B 的任意-一点,直线,TA TB 的斜率之积为13- (1)求椭圆C的方程;(2)设O 为坐标原点,圆223:4O x y +=的切线l 与椭圆C 相交于,P Q 两点,求POQ △面积的最大值. 【答案】（1）2213x y += （2）2【解析】 【分析】（1）根据题意设出点(),T x y ，列出方程化简即可求解.（2）分类讨论当直线斜率不存在时，可求出弦长PQ = y kx m =+与椭圆联立，根据弦长公式求出弦长的最大值，再由面积公式max 12S PQ =⨯. 【详解】解：（1）设(),T x y ，由题意知()()0,1,0,1A B -，设直线TA 的斜率为1k ，直线TB 的斜率为2k ，则1211,y y k k x x +-==，由1213k k =-g ，得1113y y x x +-=-g 整理得椭圆C 的方程为2213x y +=（2）当切线l 垂直x 轴时PQ =当切线l 不垂直 x 轴时，设切线方程为 .y kx m =+2=，得()22314m k=+把.y kx m=+代入椭圆方程2213xy+=，整理得()222316330k x kmx m+++-=设()()1122,,,P x y Q x y，则2121222633,3131km mx x x xk k--+==++PQ======()20k=≤=≠当且仅当2219kk=，即k=时等号成立，当k=时，PQ=综上所述max2PQ=.所以当PQ取最大值时，POQ△面积max12S PQ=⨯=【点睛】本题考查了直接法求轨迹方程，直线与椭圆的位置关系、弦长公式以及基本不等式求最值，属于中档题.21.已知函数()()222ln,2af x ax xg x ax axx=+-=-+(1)若0,a≥讨论()f x的单调性;(2)当0a>时,若函数()f x与()g x的图象有且仅有一个交点()00,x y,求[]0x的值(其中[]x表示不超过x 的最大整数,如[[][0.3710,0.37 1.2.92])=-=-=.参考数据:20.693 ,3 1.099 ,5 1.609,7 1.946ln ln ln ln====【答案】（1）当0a =时， ()f x 在()0,∞+单调递减；当0a >时，()f x 在⎛ ⎝⎭单调递减；()f x 在⎫+∞⎪⎪⎝⎭单调递增． （2）2 【解析】 【分析】（1）对()f x 进行求导，讨论a 的取值范围，令()0f x '>或()0f x '<，解不等式即可求解.（2）两函数有且仅有一个交点 ()00,x y ，则方程222ln 2aax x ax ax x+-=-+ 即方程22ln 0a ax x x +-=在()0,∞+只有一个根, 令()22ln a F x ax x x=+-，研究 ()F x 的单调性，求出()F x 的零点，然后根据零点存在性定理判断零点所在的区间即可.【详解】解：（1）()2222122'2a ax x af x a x x x--=-+-= 对于函数()222,h x ax x a =--21160a ∆=+>当0a =时，则()1'0,f x x=-<()f x ∴在()0,∞+单调递减；当0a >时，令()0f x '<，则2220ax x a --<，解得0x <<∴()f x 在⎛ ⎝⎭单调递减；令()0f x '>，解得14x a >，所以()f x 在1,4a ⎛⎫++∞⎪ ⎪⎝⎭单调递增． （2）0a >Q 且两函数有且仅有一个交点 ()00,x y ，则方程222ln 2aax x ax ax x+-=-+ 即方程22ln 0aax x x+-=在()0,∞+只有一个根 令()22ln a F x ax x x =+-，则()3222'ax x a F x x--= 令()[)322,0,x ax x a x ϕ=--∈+∞，则()2'61x ax ϕ=-()0,a x ϕ>∴Q在⎛ ⎝单调递减，在⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增，故()min x ϕϕ= 注意到()()020,a x ϕϕ=-<∴在⎛ ⎝无零点，在⎫+∞⎪⎪⎭仅有一个变号的零点m ()F x ∴在()0.m 单调递减，在(),m +∞单调递增，注意到()130F a =>根据题意m 为 ()F x 的唯一零点即0m x =20003002ln 0220aax x x ax x a ⎧+-=⎪∴⎨⎪--=⎩消去a ，得：3003300232ln 111x x x x +==+--令()332ln 11H x x x =---，可知函数()H x 在()1,+∞上单调递增 ()101022ln 220.693077H =-=⨯-<，()292932ln 32 1.00902626H =-=⨯->()[]002,3,2x x ∴∈∴=【点睛】本题主要考查了导函数在研究函数单调性、最值中的应用，考查了分类讨论的思想以及零点存在性定理，综合性比较强，难度较大.(二)选考题:共10分.请考生在第22.23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题记分.22.平面直角坐标系xOy 中,曲线1C的参数方程为12cos 2sin x y αα=+⎧⎪⎨=⎪⎩(α为参数),以坐标原点O 为极点,以x轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线2C 的极坐标方程为2cos 4sin ρθθ=(1)写出曲线1C 的极坐标方程和曲线2C 的直角坐标方程；(2)若射线()0:0OM θαρ=≥平分曲线1C ，且与曲线2C 交于点A ，曲线2C 上的点B 满足2AOB π∠=，求AB .【答案】（1）1C：2cos ρθθ=+，2C ：24x y =；（2）3【解析】 【分析】（1）根据cos x ρθ=，sin y ρθ=即可求解；（2）曲线1C 是圆，射线OM 过圆心(，所以方程是()03πθρ=≥，将()03πθρ=≥代入2C 的极坐标方程求出A ρ=83B ρ=即可求解.【详解】解：（1）曲线1C 的直角坐标方程是()(2214x y -+=，即2220x x y -+-=化成极坐标方程为：2cos ρθθ=+ 曲线2C 的直角坐标方程是24x y =；（2）曲线1C 是圆，射线OM 过圆心(，所以方程是()03πθρ=≥代入2cos 4sin ρθθ=，得A ρ= 又2AOB π∠=，将56πθ=，代入2cos 4sin ρθθ=，得83B ρ=因此3AB ==【点睛】本题主要考查极坐标方程与普通方程的互化以及利用极坐标求弦长，属于基础题. 23.已知0,0a b >>，且221a b +=（1）证明：()55111a b a b ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭（2）若2214211x x a b+≥---恒成立，求x 的取值范围 【答案】（1）证明见解析 （2）99x -≤≤ 【解析】 【分析】（1）利用基本不等式即可证出. （2）利用基本不等式求出2214a b +最小值，然后再分类讨论解不等式即可求解.详解】解：（1）()()55255444422111b a a b a b a b a b a b a b ⎛⎫++=+++≥++=+= ⎪⎝⎭（2）由221a b +=，得()2222222222141441459b a a b a b a b a b⎛⎫+=++=+++≥+= ⎪⎝⎭所以9211x x ≥---恒成立当1x ≥时，2119x x x ---=≤故19x ≤≤当112x ≤<时，211329x x x ---=-≤解得113x ≤，故112x ≤<当12x <时，解得2119x x x ---=-≤，故9x ≥-，故192x -≤<综上可知：99x -≤≤【点睛】本题考查了基本不等式求最值、解绝对值不等式，属于基础题.。

2021届河北衡水中学新高考模拟试卷(十三)理科数学

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2021届河北衡水中学新高考模拟试卷（十三）数学试卷（理科）★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题（共12小题）.1.设全集为{}2|1log 3A x x =≤≤，{}2|340B x x x =--<，则AB 等于（ ）A. ()1,2-B. (]1,8-C. []4,8D. [)2,4【答案】D 【解析】 【分析】解对数不等式得集合A ，解一元二次不等式得集合B ，再由交集定义计算． 【详解】∵{}28|A x x =≤≤，{}|14B x x =-<<，∴{}|24x x A B =≤<.故选：D.【点睛】本题考查集合的交集运算，考查对数函数性质，掌握对数函数性质是解题关键． 2.设12,z z 是复数，则下列命题中的假命题是（）A. 若120z z -=，则12z z =B. 若12z z =，则12z z =C. 若12=z z ，则1122z z z z ⋅=⋅D. 若12=z z ，则2212z z =【答案】D 【解析】试题分析：对（A ），若120z z -=，则12120,z z z z -==，所以为真；对（B ）若12z z =，则1z 和2z 互为共轭复数，所以12z z =为真； 对（C ）设111222,z a b z a i b i =+=+，若12=z z ，则22221122a b a b +=+，222211112222,z z a b z z a b ⋅=+⋅=+，所以1122z z z z ⋅=⋅为真；对（D ）若121,z z i ==，则12=z z 为真，而22121,1z z ==-，所以2212z z =为假．故选D ．考点：1.复数求模；2.命题的真假判断与应用．3.某篮球队甲、乙两名运动员练习罚球，每人练习10组，每组罚球40个.命中个数的茎叶图如下图，则下面结论中错误．．的一个是（ ）A. 甲的极差是29B. 甲的中位数是24C. 甲罚球命中率比乙高D. 乙的众数是21【答案】B 【解析】 【分析】通过茎叶图找出甲的最大值及最小值求出极差判断出A 对；找出甲中间的两个数，求出这两个数的平均数即数据的中位数，判断出D 错；根据图的数据分布，判断出甲的平均值比乙的平均值大，判断出C 对． 【详解】由茎叶图知甲的最大值为37，最小值为8，所以甲的极差为29，故A 对甲中间的两个数为22，24，所以甲的中位数为2224232+=故B 不对 甲的命中个数集中在20而乙的命中个数集中在10和20，所以甲的平均数大，故C 对 乙的数据中出现次数最多的是21，所以D 对 故选B ．【点睛】茎叶图的优点是保留了原始数据，便于记录及表示，能反映数据在各段上的分布情况．茎叶图不能直接反映总体的分布情况，这就需要通过茎叶图给出的数据求出数据的数字特征，进一步估计总体情况．4.定义在R 上的函数1()()23x m f x -=-为偶函數，21(log )2a f =，131(())2b f =，()c f m =，则A. c a b <<B. a c b <<C. a b c <<D. b a c <<【答案】C 【解析】 【分析】由偶函数得到0m =，明确函数的单调性，综合利用奇偶性与单调性比较大小即可. 【详解】∵1()()23x mf x -=-为偶函数，∴0m =，即1()()23xf x =-，且其在[)0,+∞上单调递减，又1310()21<<，∴()()13211(())(log 02))2(1c b f f a f f f m ==>=>==故选：C【点睛】本题考查函数的性质，考查函数的奇偶性与单调性，考查转化思想，属于中档题.5.设函数()4cos f x x x =--的导函数为()g x ，则()g x 图象大致是（ ）A. B. C. D.【答案】D 【解析】 【分析】求出导函数()g x ，然后研究()g x 的性质，用排除法确定正确选项．【详解】因为()4cos f x x x =--，所以()3'sin 4f x x x =-，所以()3sin 4g x x x =-，所以函数()g x 是奇函数，其图象关于原点成中心对称，而函数()g x 为偶函数，其图象关于y 轴对称，所以选项B ，C 错误；又因为其图象过原点O ，所以选项A 错误. 故选：D.【点睛】本题考查导数的运算，考查由函数解析式选择函数图象，解题时可根据解析式确定函数的性质，利用排除法得出正确选项．6.等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 17＝51，则2a 10﹣a 11＝（ ） A. 2 B. 3C. 4D. 6【答案】B 【解析】 【分析】由已知结合等差数列的的前n 和公式，可求出9a ，再利用等差数列的性质，即可求解. 【详解】∵S 17＝51，∴()117172a a +=51，a 1+a 17＝6＝2a 9，解得a 9＝3，则2a 10﹣a 11＝a 9＝3.故选：B .【点睛】本题考查了等差数列的通项公式求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题. 7.执行如图所示的程序框图，若输出的n ＝6，则输入的整数p 的最大值为（ ）A. 7B. 15C. 31D. 63【答案】C 【解析】 【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算变量S 的值，并输出满足退出循环条件时的n 值，模拟程序的运行，用表格对程序运行过程中各变量的值进行分析，不难得到输出结果.【详解】程序在运行过程中各变量的值如下表示： 是否继续循环Sn 循环前，0,1S n ==第一次循环后，是，1,2S n ==， 第二次循环后，是，3,3S n ==， 第三次循环后，是，7,4S n ==。

2020年河北省衡水中学高考数学一模试卷(理科) (解析版)

2020年河北省衡水中学高考数学一模试卷(理科) (解析版)

2020年河北省衡水中学高考数学一模试卷（理科）一、选择题（共12小题）. 1．设复数z 1＝1+i ，z 2＝1﹣i ，则1z 1+1z 2=（ ）A ．1B ．﹣1C ．iD ．﹣i2．已知集合M ＝{x |y ＝ln （x +1）}，N ＝{y |y ＝e x }，则M ∩N ＝（ ） A ．（﹣1，0）B ．（﹣1，+∞）C ．（0，+∞）D ．R3．为比较甲、乙两名高中学生的数学素养，对课程标准中规定的数学六大素养进行指标测验（指标值满分为5分，分值高者为优），根据测验情况绘制了如图所示的六大素养指标雷达图，则下面叙述不正确的是（ ）A ．甲的数据分析素养优于乙B ．乙的数据分析素养与数学建模素养相同C ．甲的六大素养整体水平优于乙D ．甲的六大素养中数学运算最强 4．若α∈（π2，π），cos2α=725，则sinαsin(3π2+α)=（ ） A ．−34B ．34C ．43D ．−435．已知x 1，x 2，x 3∈R ，x 1＜x 2＜x 3，设y 1=x 1+x 22，y 2=x 2+x 32，y 3=x 3+x12，z 1=y 1+y 22，z 2=y 2+y 32，z 3=y 3+y 12，若随机变量X ，Y ，Z 满足：P （X ＝x i ）＝P （Y ＝y i ）＝P （Z ＝z i ）=13（i ＝1，2，3），则（ ）A ．D （ X ）＜D （Y ）＜D （Z ）B ．D （ X ）＞D （Y ）＞D （Z ）C ．D （ X ）＜D （Z ）＜D （Y ）D ．D （ X ）＞D （Z ）＞D （Y ）6．函数y ＝﹣cos x •ln |x |的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．7．标准对数远视力表（如图）采用的“五分记录法”是我国独创的视力记录方式，标准对数远视力表各行为正方形“E ”形视标，且从视力5.2的视标所在行开始往上，每一行“E ”的边长都是下方一行“E ”边长的√1010倍，若视力4.1的视标边长为a ，则视力4.9的视标边长为（ ）A ．1045aB ．10910aC ．（110）45aD ．（110）910a8．已知F 1，F 2为椭圆C ：x 2m+y 2＝1（m ＞0）的两个焦点，若C 上存在点M 满足MF 1⊥MF 2，则实数m 取值范围是（ ） A ．（0，12]B ．[2，+∞）C ．（0，12]∪[2，+∞）D ．[12，1）∪（1，2]9．已知函数f （x ）=√2sin ωx 和g （x ）=√2cos ωx （ω＞0）图象的交点中，任意连续三个交点均可作为一个等腰直角三角形的顶点，为了得到y ＝g （x ）的图象，只需把y ＝f （x ）的图象（ ） A ．向左平移1个单位 B ．向左平移π2个单位C ．向右平移1个单位D ．向右平移π2个单位10．已知函数f （x ）＝ax +1+|2x 2+ax ﹣1|（a ∈R ）的最小值为0，则a ＝（ ） A ．12B ．﹣1C ．±1D ．±1211．如图，在棱长为3的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点P 是平面A 1BC 1内一动点，且满足|PD |+|PB 1|＝2+√13，则直线B 1P 与直线AD 1所成角的余弦值的取值范围为（ ）A ．[0，12]B ．[0，13]C ．[12，√22]D ．[12，√32]12．已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的左、右顶点分别为A ，B ，左焦点为F ，P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴，过点A 的直线l 与线段PF 交于点M （异于P ，F ），与y 轴交于点N ，直线MB 与y 轴交于点H ，若HN →=−3OH →（O 为坐标原点），则C 的离心率为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．5二、填空题（共4题，每题5分）13．已知平面向量a →与b →的夹角为45°，a →=（﹣1，1），|b →|＝1，则|a →+b →|＝ ．14．在发生公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”．过去10日，A 、B 、C 、D 四地新增疑似病例数据信息如下：A 地：中位数为2，极差为5；B 地：总体平均数为2，众数为2；C 地：总体平均数为1，总体方差大于0；D 地：总体平均数为2，总体方差为3． 则以上四地中，一定符合没有发生大规模群体感染标志的所有选项是 ．（填A 、B 、C 、D ）15．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若3b cos C +3c cos B ＝5a sin A ，且A 为锐角，则当a 2bc取得最小值时，a b+c的值为 ．16．在空间直角坐标系O ﹣xyz 中，正四面体P ﹣ABC 的顶点A ，B 分别在x 轴，y 轴上移动，若该正四面体的棱长为2，则|OP |的取值范围是 ．三、解答题：（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

2021届河北衡水中学新高考模拟试卷(十一)数学(理)试题

2021届河北衡水中学新高考模拟试卷(十一)数学(理)试题

2021届河北衡水中学新高考模拟试卷（十一）理科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

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6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

第I 卷 选择题（60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}3xA y y ==，{}0,1,2,3B =，则AB =（）A. {}1,2,3B. ()0,∞+C. {}0,1,2D. [)0,+∞【答案】A 【解析】 【分析】求函数值域求得集合A ，由此求得两个集合的交集. 【详解】由题{}0A y y =>，{}0,1,2,3B =，{}1,2,3A B =.故选A.【点睛】本小题主要考查交集的概念和运算，考查指数函数的值域，属于基础题.2.复数2iz 2i-=+（i 为虚数单位）在复平面内对应的点所在象限为（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D 【解析】【详解】22(2)342(2)(2)55i i z i i i i --===-++-, 对应的点为34(,)55-,在第四象限，故选D.3.已知命题2:,log 2015p x R x ∀∈=，则p ⌝为（ ） A. 2,log 2015x R x ∀∉= B. 2,log 2015x R x ∀∈≠ C. 020,log 2015x R x ∃∈= D. 020,log 2015x R x ∃∈≠【答案】D 【解析】 【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行求解即可.【详解】因为命题2:,log 2015p x R x ∀∈=，所以p ⌝为020,log 2015x R x ∃∈≠. 故选：D【点睛】本题考查了全称命题的否定，属于基础题.4.对于,a b 是任意非零实数，且a b >，又R c ∈，则有（ ） A. lg()0a b -> B. 22ac bc >C. 11a b<D. 1133a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】D 【解析】 【分析】取特殊值排除ABC 选项；利用指数函数的单调性判断D 选项. 【详解】当2,1a b ==时，lg()0a b -=，故A 错误； 当0c时，22ac bc =，故B 错误；当1,1a b ==-时，11a b>，故C 错误；因为函数13x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，a b >，所以1133a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故D 正确 故选:D【点睛】本题主要考查了根据所给条件判断不等式是否正确，属于基础题. 5.已知数列{}n a 为等差数列，且55a =，则9S 的值为 A. 25 B. 45C. 50D. 90【答案】B 【解析】由已知及等差数列性质有9129192855()()945S a a a a a a a a a =+++=+++++==，故选B.6.若直线1:60l x ay ++=与()2:2320l a x y a -++=平行，则1l 与2l 间的距离为（ ）B.3D.3【答案】B 【解析】 【分析】根据两直线平行求出a 的值，得出两条直线方程，再求直线之间的距离. 【详解】由题：直线1:60l x ay ++=与()2:2320l a x y a -++=平行， 则()32a a =-，即2230a a --=，解得3a =或1a =-， 当3a =时，直线1:360l x y ++=与2:360l x y ++=重合； 当1a =-时，直线1:60l x y -+=与22:03l x y -+=平行，3=. 故选：B【点睛】此题考查根据两直线平行求参数的取值，需要注意讨论直线重合的情况，根据距离公式求平行线之间的距离.7.函数32,0(),0x e x x f x x x x ⎧+->=⎨-≤⎩，的零点个数有( )A. 3个B. 2个C. 1个D. 0个【解析】 【分析】0x >时，应用零点存在定理确定零点个数，0x ≤时直接求出零点．【详解】0x >时，()2x f x e x =+-是增函数，(0)10210f =+-=-<，2(2)0f e =>，因此在(0,)+∞上()f x 存在唯一的零点，0x ≤时，3()0f x x x =-=，0x =或1x =-，1x =舍去，有两个零点，综上函数有3个零点． 故选A ．【点睛】本题考查函数零点个数，考查零点存在定理，求零点个数问题，对于复杂的函数可以研究函数的性质，通过零点存在定理确定零点，对于简单的函数可以直接解方程求出零点． 8.．设m n 、是不同的直线，是不同的平面,下列四个命题中，正确的是（ ）A. 若//,//m n αα,则//m nB. 若,,m n ββ⊥⊥则//m nC. 若,,m αβα⊥⊂则m β⊥D. 若,,//,//,m n m n ααββ⊂⊂则//αβ【答案】B 【解析】A 错误．平行于同一平面的两条直线可能平行、相交或异面；B 正确．垂直于同一平面的两条直线平行；C 错误．两平面垂直，一个平面内的直线可能平行另一个平面，也可能相交；D 错误．只有m 与n 相交时，才有两个平面平行． 9.已知函数2()sin(2)3f x x π=+，则下列结论错误的是（ ） A. ()f x 的一个周期为π-B. ()f x 的图像关于点5(,0)6π-对称 C. ()f x 的图像关于直线12x π=-对称D. ()f x 在区间(,)33ππ-的值域为3[,1]2- 【答案】D 【解析】对选项逐个分析，2ππT ω==，可知A 正确；由5π06f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，112f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭可知B 、C 都正确；()f x 在区间,33ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值域为]⎛ ⎝，D 错误． 【详解】由于最小正周期2ππT ω==，故π-是函数()f x 的一个周期，选项A 正确；令5π6x =-，5π10π2πsin 0663f ⎛⎫⎛⎫-=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故()f x 的图像关于点5,06π⎛⎫-⎪⎝⎭对称，选项B 正确； 当12x π=-时，22sin 112123f πππ⎛⎫⎛⎫-=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故()f x 的图像关于直线12x π=-对称，选项C 正确；当ππ,33x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，2π4π20,33x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，则]2sin 23x π⎛⎛⎫+∈ ⎪ ⎝⎭⎝，故选项D 错误． 故答案为D.【点睛】本题考查了三角函数的周期、对称轴、对称中心，及值域，考查了计算能力，属于中档题． 10.一个三位数的百位，十位，个位上的数字依次是,,a b c ，当且仅当a b c b >>且时称为“凹数”，若{},,1234a b c ∈，，，，从这些三位数中任取一个，则它为“凹数”的概率是A.13B.532C.732D.712【答案】C 【解析】 【分析】先分类讨论求出所有的三位数，再求其中的凹数的个数，最后利用古典概型的概率公式求解.【详解】先求所有的三位数，个位有4种排法，十位有4种排法，百位有4种排法，所以共有44464⨯⨯=个三位数.再求其中的凹数，第一类：凹数中有三个不同的数，把最小的放在中间，共有3428C ⨯=种，第二类，凹数中有两个不同的数，将小的放在中间即可，共有2416C ⨯=种方法，所以共有凹数8+6=14个，由古典概型的概率公式得P=1476432=. 故答案为C【点睛】本题主要考查排列组合的运用，考查古典概型的概率，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.11.已知定义在R 上的函数()f x ，若()f x 是奇函数， ()1f x +是偶函数，当01x ≤≤时，2()f x x =，则(2019)f =（ ） A. 1- B. 1 C . 0D. 22015【答案】A 【解析】 【分析】由()f x 是奇函数，且()1f x +是偶函数，推得()(4)f x f x =+，得出函数()f x 是以4为周期的周期函数，即可求解.【详解】由题意，定义在R 上的函数()f x ，因为()f x 是奇函数，所以()()f x f x -=-， 又由()1f x +是偶函数，则函数()f x 关于1x =对称，即()(2)f x f x =-，所以()(2)f x f x -=--，即()(2)f x f x =-+， 则()2(4)f x f x +=-+，所以()(4)f x f x =+，所以函数()f x 是以4为周期的周期函数，且当01x ≤≤时，2()f x x =，又由(2019)(50541)(1)(1)1f f f f =⨯-=-=-=-. 故选：A.【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性与函数的周期性的应用，其中解答中合理利用函数的奇偶性和对称性，求得函数()f x 是以4为周期的周期函数是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于中档试题.12.过抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)焦点F 作斜率为43的直线l 与C 及其准线分别相交于A ，B ，D 三点，则||||AD BD 的值为（ ） A .2或12B. 3或13C. 1D. 4或14【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，设直线方程432p y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，与抛物线方程联立24322p y x y px⎧⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩消去x 得22302y py p --=，设AF FB λ=，有12y y λ-=，再由韦达定理()212121221924y y y y y y y y +=++=，解得4λ=或14λ=，再根据抛物线的定义，利用三角形相似性分类讨论求解.【详解】抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点F ,02p ⎛⎫⎪⎝⎭， 设直线方程为432p y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()()1122,,,A x y B x y ， 与抛物线方程联立24322p y x y px⎧⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩，消去x 得22302y py p --=， 所以212123,2y y p y y p +==-， 设AF FB λ=，所以1122,,22p p x y x y λ⎛⎫⎛⎫--=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以12y y λ-=，而()212121221924y y y y y y y y +=++=-， 所以1924λλ--+=-， 即241740λλ-+=， 解得4λ=或14λ=， 当4λ=时，如图所示：4AF FB =，所以5AB FB =，由抛物线得定义得1FB BB =， 又因为直线的作斜率为43， 所以113sin 5BB BDB BD ∠==， 所以15533BD BB BF ==， 所以203AD AB BD BF =+=， 所以||4||AD BD =. 当14λ=时，如图所示：4AF FB =，所以5AB FA =，又因为1FA AA =，直线的斜率为43， 所以113sin 5AA ADA AD∠==， 所以15533AD AA AF ==，203BD AB AD AF =+=， 所以||14||AD BD =. 故选：D【点睛】本题主要考查抛物线的方程和直线与抛物线的位置关系，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.第II 卷 非选择题（90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知变量()~,X B n p ，且()4E X =，()43D X =，则()1P X ≤=__________. 【答案】13729. 【解析】 【分析】根据题意先求出,n p ，再由()1(0)(1)P X P X P X ≤==+=，即可得出结果. 【详解】因为变量()~,X B n p ，且()4E X =，()43D X =， 所以44(1)3np np p =⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得26,3n p ==， 所以()6516222131(0)(1)11333729P X P X P X C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫≤==+==-+-= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故答案为13729【点睛】本题主要考查二项分布，熟记二项分布的期望与方差的公式即可，属于常考题型.14.若实数x ，y 满足不等式组220102x y x y y ++≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥-⎩，则z x y =-的最大值为____________.【答案】5 【解析】【分析】由题意首先画出不等式组表示的平面区域，然后结合目标函数的几何意义求解其最大值即可. 【详解】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可知目标函数在点C 处取得最大值，联立直线方程：102x y y +-=⎧⎨=-⎩，可得点的坐标为：()3,2C -，据此可知目标函数的最大值为：()max 325z =--=. 故答案为5．【点睛】求线性目标函数z ＝ax ＋by (ab ≠0)的最值，当b ＞0时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最大，在y 轴截距最小时，z 值最小；当b ＜0时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最小，在y 轴上截距最小时，z 值最大.15.若15tan tan 2αα+=，(,)42αππ∈，则22sin(2)sin ()2cos(2)1sin ππαααα--+-++的值为__________． 【答案】12【解析】分析：解方程15tan tan 2αα+=，,42ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭求出tan α，利用诱导公式，同角三角函数基本关系式，二倍角公式化简()()22sin 2sin 2cos 21sin ππαααα⎛⎫--+ ⎪⎝⎭-++得到关于tan α的表达式，代入求值即可.详解：由15tantan2αα+=，,42ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，得到22tan5tan20αα-+=，由,42ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭得tan2α=，又()()2222sin2sinsin2cos2cos21sin cos21sinππαααααααα⎛⎫--+⎪-⎝⎭=-++++222222sin2cos2sin cos coscos1sin2cos sinααααααααα--==+++22tan11.2tan2αα-==+即答案为12.点睛：本题考查诱导公式，同角三角函数基本关系式，二倍角公式化简求值，属基础题.16.四棱锥S ABCD-中，底面ABCD为矩形，4=AD，2AB=，且8SA SD+=，当该四棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为_________.【答案】763π【解析】【分析】由题意知四棱锥的体积最大时，平面SAD⊥平面ABCD且SAD∆为等边三角形，画出图形，设球心O到平面ABCD的距离为x，可得225(23)1x x+=+，进而得到球的半径，即可求解.【详解】由题意知当S到平面ABCD的距离最大时，四棱锥的体积最大，此时满足平面SAD⊥平面ABCD，且SAD∆为等边三角形，边长为4，则S到AD的距离23S到平面ABCD的距离，设球心O到平面ABCD的距离OE=x,则由OD=OS得225(23)1x x+=+，解得3x=21953R x=+=27643S Rππ==故答案为763π【点睛】本题考查四棱锥的外接球问题,关键在于确定球心和半径,考查学生的空间想象能力和计算能力,属于基础题.三．解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.在ABC ∆中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且()()3a b c a b c ab +++-=.（1）求角C 的值；（2）若2c =，且ABC ∆为锐角三角形，求+a b 的取值范围.【答案】(1) 3C π=.(2) (23,4]. 【解析】【分析】（1）根据题意，由余弦定理求得1cos 2C =，即可求解C 角的值； （2）由正弦定理和三角恒等变换的公式，化简得到4sin 6a b A π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，再根据ABC ∆为锐角三角形，求得62A ππ<<，利用三角函数的图象与性质，即可求解.【详解】（1）由题意知()()3a b c a b c ab +++-=，∴222a b c ab +-=， 由余弦定理可知，222cos 122a b c C ab +-==， 又∵(0,)C π∈，∴3C π=. （2）由正弦定理可知，243sin sin 3sin 3a b A B π===，即443,333a A b B == ∴43(sin sin )3a b A B +=+423sin sin 33A A π⎤⎛⎫=+- ⎪⎥⎝⎭⎦23sin 2cos A A =+4sin 6A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 又∵ABC ∆为锐角三角形，∴022032A B A πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<=-<⎪⎩，即， 则2363A πππ<+<，所以234sin 46A π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭， 综上+a b 的取值范围为(23,4].【点睛】本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.18.槟榔原产于马来西亚，中国主要分布在云南、海南及台湾等热带地区，亚洲热带地区广泛栽培.槟榔是重要的中药材，南方一些少数民族还有将果实作为一种咀嚼嗜好品，但其被世界卫生组织国际癌症研究机构列为致癌物清单Ⅰ类致癌物.云南某民族中学为了解A ，B 两个少数民族班的学生咀嚼槟榔的情况，分别从这两个班中随机抽取5名学生进行调查，经他们平均每周咀嚼槟榔的颗数作为样本，绘制成如图所示的茎叶图（图中的茎表示十位数字，叶表示个位数字）.（1）你能否估计哪个班的学生平均每周咀嚼槟榔的颗数较多？（2）在被抽取的10名学生中，从平均每周咀嚼槟榔的颗数不低于20颗的学生中随机抽取3名学生，求抽到B 班学生人数X 的分布列和数学期望.【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）直接利用平均数公式求解即可；（2）由题得X 的可能取值为1，2，3，再求对应的概率，写出分布列，求数学期望.【详解】（1）A 班样本数据的平均值为()1911142031175++++=， 由此估计A 班学生平均每周咀嚼槟榔的颗数为17颗，B 班样本数据的平均值为()11112212526195++++=， 由此估计B 班学生平均每周咀嚼槟榔的颗数为19颗.故估计B 班学生平均每周咀嚼槟榔的颗数较多（2）∵平均每周咀嚼槟榔的颗数不低于20颗的学生中，A 班有2人，B 班有3人，共有5人， ∴X 的可能取值为1，2，3，()1232353110C C P X C ===，()213235325C C P X C ===，()3032351310C C P X C ===， ∴X 的分布列为：X1 2 3 P310 35 110∴3319123105105EX =⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题主要考查平均数的计算，考查随机变量的分布列和期望的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.19.如图，四棱锥P ABCD -中，侧棱PA 垂直于底面ABCD ，3AB AC AD ===，2AM MD =，N 为PB 的中点，AD 平行于BC ，MN 平行于面PCD ，2PA =.(1)求BC 的长；(2)求二面角N PM D --的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）61【解析】试题分析：（1）取PC 的中点E ，连接EN 、ED ，由三角形中位线定理，以及线面平行的判定定理可得EN 平行于MD ，MN 平行于ED ，于是可得MNED 为平行四边形，所以2EN MD ==，24BC EN ==；（2）取BC 中点F ，则AF 垂直于BC ，以A 点为原点，AF 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴建立坐标系，平面PMD 法向量为()1,0,0，利用向量垂直数量积为零，列方程组求得平面PMD 法向量为()1,0,0，平面PMN 的法向量，利用空间向量夹角余弦公式可得结果.试题解析：(1)取PC 的中点E ，连接EN 、ED ，因为EN 平行于BC ，AD 平行于BC ，所以EN 平行于MD ，所以,,,M N E D 四点共面，因为MN 平行于面PCD ，面PCD 与面MNED 交与ED ，所以MN 平行于ED ，所以MNED 为平行四边形.所以2EN MD ==，24BC EN ==.(2取BC 中点F ，则AF 垂直于BC ，因为AD 平行于BC ，所以AF 垂直于AD ，于是以A 点为原点，AF 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴建立坐标系，由AF 垂直于AD ，AF 垂直于AP ，平面PMD 法向量为()1,0,0，通过计算得平面PMN 的法向量为5⎫⎪⎭.经判断知二面角为钝角，于是其余弦为61. 【方法点晴】本题主要考查线面平行的判断与性质、利用空间向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.20.已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的离心率为33，以原点为圆心，椭圆短半轴长半径的圆与直线2y x =+相切．（1）求a 与b ；（2）设该椭圆的左、右焦点分别为1F 和2F ，直线1l 过2F 且与x 轴垂直，动直线2l 与y 轴垂直，2l 交1l 与点P ．求线段1PF 垂直平分线与2l 的交点M 的轨迹方程，并指明曲线类型．【答案】（1）b =a =（2）()204y x x =-<，该曲线为抛物线（除掉原点）． 【解析】【分析】（1）由题可知，直线与圆相切，根据圆心到直线的距离等于半径，结合离心率c e a=，即可求出a 与b .（2）求出焦点坐标，设点P 坐标，从而得出N 的坐标，同时设(),M x y ，利用垂直关系可得出关于,x y 的式子即为M 的轨迹方程.【详解】解：（1）c e a ===3b b a ===a = （2）1F ，2F 两点分别为()1,0-，()1,0，由题意可设()()1,0P t t ≠那么线段1PF 中点为0,2t N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设(),M x y 是所求轨迹上的任意点 由于1MN PF ⊥，即11MN PF k k ⋅=-，所以212t y t x -⋅=-．又因为y t =，消参t 得轨迹方程为()204y x x =-<. 该曲线为抛物线（除掉原点）．【点睛】本题主要考查椭圆的简单几何性质，包括离心率、短半轴长、焦点坐标，还涉及中点坐标公式，以及两直线垂直时斜率相乘为-1，还利用消参法求动点的轨迹方程.21.已知函数21()ln (1),()2f x x ax a x a R =+-+∈． （1）当1a =时，判断函数()y f x =的单调性；（2）若关于x 的方程212f x ax =（）有两个不同实根12x x ，，求实数a 的取值范围，并证明212•x x e ＞． 【答案】（1）()f x 在∞（0，+）上单调递增；（2）详见解析. 【解析】【分析】（1）对()f x 求导，根据()f x '的符号得出()f x 的单调性；（2）由题意可知ln (1)x a x =+有两解，求出ln y x =的过原点的切线斜率即可得出a 的范围，设21210,t x x x x <<=，根据分析法构造关于t 的不等式，利用函数单调性证明不等式恒成立即可． 【详解】解：（1）1a =时，21()ln 2(0)2f x x x x x =+->， 故22121()20x x f x x x x '-+=+-=≥， ()f x ∴在∞（0，+）上单调递增． （2）由题意可知ln (1)x a x =+有两解，设直线y kx =与ln y x =相切，切点坐标为00()x y ，， 则00000ln 1y kx y x k x ⎧⎪=⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩，解得001,1,x e y k e ===， 101a e∴<+<，即111a e -<<-． ∴实数a 的取值范围是11,1e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭． 不妨设210x x >>，则1122ln (1),ln (1)x a x x a x =+=+， 两式相加得：()()1212ln (1)x x a x x =++， 两式相减得：()2211ln (1)x a x x x =+-， ()12122211ln ln x x x x x x x x +∴=-，故()12212211ln ln x x x x x x x x +=-•， 要证212x x e >，只需证122211ln 2x x x x x x +>-•， 即证()2211221121212ln 1x x x x x x x x x x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭>=++，令211x t x =>，故只需证2(1)ln 1t t t->+在1（，）+∞恒成立即可． 令2(1)()ln (1)1t g t t t t-=->+， 则22214(1)()0(1)(1)t g t t t t t -'=-=>++， ∴()g x 在1（，）+∞上单调递增， t 10g g ∴=（）＞（）， 即2(1)ln 1t t t->+在1（，）+∞恒成立． 212x x e ∴>•．【点睛】本题考查了导数与函数单调性的关系，函数单调性与不等式的关系，构造关于t 的不等式是证明的难点，属于难题．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22. 选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线C 的极坐标方程是16cos 2sin 0ρθθρ-++=,以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴, 建立平面直角坐标系，在平面直角坐标系xOy 中, 直线l 经过点()3,3P ,倾斜角3πα=．（1）写出曲线C 直角坐标方程和直线l 的参数方程；（2）设l 与曲线C 相交于,A B 两点, 求AB 的值． 【答案】（1）()()22319x y -++=，132{(32x t t y t =+=+为参数）；（2） 【解析】试题分析：(1)利用cos ,sin x y ρθρθ==,化为直角坐标方程,利用直线参数方程公式求出参数方程；(2)利用直线参数方程的几何意义求出弦长||AB .试题解析：（1）曲线C 化为26cos 2sin 10ρρθρθ-++=，再化为直角坐标方程为226210x y x y +-++=，化为标准方程为22(3)(1)9x y -++=，直线l 的参数方程为3cos3{3sin 3x t y t ππ=+=+（t 为参数）．（2）将l 的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，整理得270t ++=，247200∆=-⨯=>，则12t t +=-127t t =，所以12||||AB t t =-考点：1.极坐标方程,直角方程,参数方程的互化；2.直线参数方程的几何意义.[选修4-5：不等式选讲]23.已知()221f x x x =-++．（1）求不等式()6f x <的解集；（2）设,,m n p 为正实数，且()2m n p f ++=，求证：3mn np pm ++≤.【答案】（1）(13)x ∈-，；（2）证明详见解析．【解析】【分析】第一问是有关绝对值不等式的解法问题，在解题的过程中，应用零点分段法将绝对值符号去掉转化为三个不等式组来解．第二问利用解析式先求出函数值，之后利用基本不等式求得结果.【详解】（1）不等式2216x x -++<等价于不等式组1336x x <-⎧⎨-+<⎩或1256x x -≤≤⎧⎨-+<⎩或2336x x >⎧⎨-<⎩， 所以不等式2216x x -++<的解集为()1,3-；（2）证明：因为3m n p ++=，所以()22222229m n p m n p mn mp np ++=+++++=，因为,,m n p 为正实数，所以由基本不等式222m n mn +≥（当且仅当m n =时等号成立），同理22222,2m p mp p n pn +≥+≥，所以222m n p mn mp np ++≥++， 所以()22222229333m n p m n p mn mp np mn mp np ++=+++++=≥++，所以3mn mp np ++≤.【点睛】该题属于不等式的问题，需要明确绝对值不等式的解法-----零点分段法，去绝对值符号，将其转化为多个不等式组的解集的并集来完成，二是有关重要不等式，还有借用不等式的性质对其等价变形，最后证得结果.。

【精编】2020年衡水中学高三临考模拟(一)数学(理)试题(解析版)

【精编】2020年衡水中学高三临考模拟(一)数学(理)试题(解析版)

2020年衡水中学高三临考模拟(一）数学（理）试题一、单选题1．已知复数z 满足()23311i z i -=-+，则z 在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，90BAC ∠=︒，,D E 分别是,BC AB 的中点，AB AC ≠，且AC AD >.设PC 与DE 所成角为α，PD 与平面ABC 所成角为β，二面角P BC A --为γ，则（ ）A ．αβγ<<B ．αγβ<<C ．βαγ<<D ．γβα<<3．在区间[0,10]内随机取出两个数，则这两个数的平方和也在区间[0,10]内的概率是（ ） A ．120 B ．10π C ．20π D ．40π4．函数()31,0,1,0,3x x x f x x ⎧+<⎪=⎨⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎩的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．5．已知双曲线以锐角ΔABC 的顶点B ，C 为焦点，且经过点A ，若ΔABC 内角的对边分别为a ，b ，c ，且a =2，b =3，csinA a =√32，则此双曲线的离心率为（ ） A ．3+√72 B ．3−√72 C ．3−√7 D ．3+√76．已知公差d 不为0的等差数列{}n a 的首项13a =，且2a ，4a ，7a 成等比数列，数列{}n b 的前n项和n S 满足2n n S =，数列{}n c 满足n n n c a b =，则数列{}n c 的前3项和为（ ）A ．31B ．34C ．59D ．627．如图网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的所有棱中最长棱的长度为（ ）A ．2B ．C ．D ．1 8．已知tan()24πα+=-，则1sin 2cos 2αα-=（ ） A ．2 B ．12 C ．-2 D ．-129．已知sin222cos2a a =-，则tan a = ( )A ．2B ．0C ．12D ．12或0 10．已知定义在R 上的偶函数()f x 满足：01x ≤≤时，()33f x x x =-+，且()()11f x f x -=+，若方程()()log 1+1(0,1)a f x x a a =+>≠恰好有12个实数根，则实数a 的取值范围是 （ ） A ．(5，6) B ．(6，8) C ．(7，8) D ．(10，12) 11．已知集合{}|(2)(2)0A x N x x =∈+-<，{}1,2B =，那么A B 等于（ ）A ．{}0,1,2B ．{}2,1C ．{}2D ．{}112．4(1)(1x +的展开式中x 的系数是（ ） A ．6-B ．5-C ．6D ．7二、填空题 13．将函数sin y x =的图像上所有的点向右平行移动10π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是____ __.14．已知抛物线的方程为22(0)y px p =>， O 为坐标原点， A ， B 为抛物线上的点，若OAB为等边三角形，且面积为p 的值为__________．15．已知向量d 及向量序列: 123,,,,n a a a a 满足如下条件: 1122,1a d a d ==⋅=，且11n a a d --=()*2,n n N ≥∈,当19k ≤≤且*k N ∈时, 10k k a a -⋅的最大值为__________． 16．已知一个底面半径为r ，高为h 的圆锥内有一个棱长为a 的内接正方体，且该内接正方体的顶点都在圆锥的底面或侧面上，若r =，则a h =______.三、解答题17．已知函数2()(2)e (1)x f x x a x =-+-，其中a 为常数且2e a >-. （1）当1a =时，求曲线()yf x =在点(0,(0))P f 处的切线方程；（2）讨论函数()y f x =的单调性；（3）当06a <≤时，34()g x x ax x =--，2(]0,x ∈，若存在12,(0,2]x R x ∈∈，使12()()f x g x ≤成立，求实数a 的取值范围.18． 如图，在四棱锥P-ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为直角梯形，∠ABC =∠BAD =90°，12PA AB BC AD ===，E ，F 分别为AB ，PC 的中点.（I ）若四棱锥P-ABCD 的体积为4，求P A 的长；（II ）求证：PE ⊥BC ；（III ）求PC 与平面P AD 所成角的正切值.19．已知数列{}n a 满足：()*11212n n n a a n N a a +=∈=+，. （1）求证：数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，并求n a ； （2）记1n n n b a a +=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n S .20．海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg ）, 其频率分布直方图如下：（1）记A 表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg”，估计A 的概率；（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：（3）根据箱产量的频率分布直方图，对两种养殖方法的优劣进行较．附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++ 21．如图，定义：以椭圆中心为圆心，长轴为直径的圆叫做椭圆的“伴随圆”.过椭圆上一点M 作x 轴的垂线交其“伴随圆”于点N （M 、N 在同一象限内），称点N 为点M 的“伴随点”.已知椭圆E ：()222210x y a b a b +=>>上的点⎭的“伴随点”为).（1）求椭圆E 及其“伴随圆”的方程；（2）求OMN 面积的最大值，并求此时“伴随点”N 的坐标；（3）已知直线:0l x my t --=与椭圆E 交于不同的,A B 两点，若椭圆E 上存在点P ，使得四边形OAPB 是平行四边形.求直线l 与坐标轴围成的三角形面积最小时的22m t +的值.22．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且a 2=b 2+c 2﹣bc ．（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若a=，求b+c 的取值范围．23．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩(α为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，点A 为曲线1C 上的动点，点B 在线段OA 的延长线上，且满足8OA OB ⋅=，点B 的轨迹为2C .（1）求1C ，2C 的极坐标方程;（2）设点M 的极坐标为22π⎛⎫ ⎪⎝⎭，，求ABM 面积的最小值.【答案与解析】1．B由已知运用复数的除法法则先计算出复数z ，即可得到其在复平面内对应的点所在象限.已知复数z 满足()23311i z i -=-+，则()()()()311233113232323i i i z i i i i -++-+===-+--+，所以在复平面内对应的点位于第二象限.故选：B本题考查了复数的除法法则的运算，考查了复数平面对应点的象限问题，熟练运用公式来求解即可得到结果，本题较为简单.2．A如图可知PCA α∠=，PDA β∠=，因为PA ⊥平面ABC 则tan αPA AC =，tan PA ADβ= 又由AC AD >，故tan tan αβ>，则βα>，同理可证得γβ>所以αβγ<<故选A3．D 记随机取出两个数分别为,x y ，由010010x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩，所以点(,)x y 在直角坐标系内所占区域面积为100，若22010x y ≤+≤ ，则点(,)x y 在直角坐标系内所占区域面积为52π， 所以，概率5210040P ππ==，故选D ． 4．A由函数的解析式可得：当0x <时函数单调递增，当0x ≥时函数单调递减，结合所给的函数图象，只有A 选项符合题意.选项A 正确.5．D试题分析：由题意得，csinA a =√32⇒sinC =√32，∴c =√a 2+b 2−2abcosC =√7， ∴离心率e =a |c−b|=3−√7=3+√7，故选D.考点：双曲线的标准方程及其性质.【名师点睛】1.要解决双曲线中有关求离心率或求离心率范围的问题，应找好题中的等量关系或不等关系，构造出关于a ，c 的齐次式，进而求解；2.要注意对题目中隐含条件的挖掘，如对双曲线上点的几何特征.6．B先计算2n a n =+，然后得到12(2)2(1)n n n b n -⎧≥=⎨=⎩，再计算123,,c c c 得到答案. 公差d 不为0的等差数列{}n a 的首项13a =，且2a ，4a ，7a 成等比数列2111(3)()(6)(1)012n a d a d a d d d d a n +=++⇒-=⇒=⇒=+数列{}n b 的前n 项和n S 满足2n n S =111222(2)n n n n n n b S S n ---=-=-=≥当1n =时，112b S ==12(2)2(1)n n n b n -⎧≥=⎨=⎩ 1122331236,8,20n n n c a b c a b c a b c a b =⇒======数列{}n c 的前3项和为34故答案选B本题考查了等差数列通项公式，通项公式与前n 项和关系，意在考查学生对于数列公式和方法的灵活运用.7．C利用正方体将三视图还原，观察可得最长棱为AD ，算出长度.几何体的直观图如图所示，易得最长的棱长为AD =。

河北衡水中学2023届高三模拟数学试题(1)

河北衡水中学2023届高三模拟数学试题(1)

一、单选题二、多选题1.若函数在处取得最大值，则A．一定是偶函数B．一定是偶函数C．一定是奇函数D ．一定是奇函数2. 已知，则（ ）A．B．C．D．3. 若全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为A．B．C．D．4. 已知定义在上的函数满足恒成立（其中为函数的导函数），则称为函数，例如，便是函数.任给实数，，对于任意的函数，下列不等式一定正确的是（ ）A．B．C．D．5. 某大型企业开发了一款新产品，投放市场后供不应求，为了达到产量最大化，决定增加生产线．经过一段时间的生产，统计得该款新产品的生产线条数与月产量（件）之间的统计数据如下表：4681030406070由数据可知，线性相关，且满足回归直线方程，则当该款新产品的生产线为12条时，预计月产量为（ ）A ．73件B ．79件C ．85件D ．90件6. 在中，点在边上且平分.若，，，，则（ ）A．B．C．D．7. 设，为非零向量，，两组向量和均由2个和2个排列而成. 若所有可能取值中的最小值为，则与的夹角为A．B．C．D．8. 下列说法不正确的是（ ）A ．若直线a 不平行于平面，，则内不存在与a 平行的直线B ．若一个平面内两条不平行的直线都平行于另一个平面，则C ．设l ，m ，n 为直线，m ，n 在平面内，则“”是“且”的充分条件D ．若平面平面，平面平面，则平面与平面所成的二面角和平面与平面所成的二面角相等或互补河北衡水中学2023届高三模拟数学试题(1)河北衡水中学2023届高三模拟数学试题(1)三、填空题四、解答题9. 已知等比数列的公比为q ，前n项和为，且，下列命题正确的是（ ）A ．若，则B．若恒成立，则C ．若，，成等差数列，则D．当时，不存在，使得，，成等差数列10. 已知，则下列说法中正确的是（ ）A ．函数的最小正周期为B．函数在上单调递减C ．函数的图象可以由函数图象上各点的横坐标不变，纵坐标伸长为原来的2倍得到D ．是函数图象的一个对称中心11.已知函数，若的最小值为，则实数a 的值可以是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．412. 已知a ，b为正实数，且，则的取值可以为（ ）A ．1B ．4C ．9D ．3213.已知三棱柱，面，为内的一点（含边界），且为边长为2的等边三角形，，、分别为、的中点，下列命题正确的有______．①若为的中点时，则过、、三点的平面截三棱柱表面的图形为等腰梯形；②若为的中点时，三棱锥的体积；③若为的中点时，；④若与平面所成的角与的二面角相等，则满足条件的的轨迹是椭圆的一部分．14.已知函数，则的解集为________．15. 袋中装有3个红球2个白球，从中随机取球，每次一个，直到取得红球为止，则取球次数的数学期望为_____．16. 已知函数．（1）若在上为增函数，求实数的取值范围；（2）若在上最小值为，求实数的值；（3）若在上只有一个零点，求实数的取值范围．17. 文明交通，安全出行，是一座城市文明的重要标志．驾驶非机动车走机动车道（简称：不依规行驶）是一大交通顽疾，某市加大整治力度，不依规行驶现象明显减少，下表是2021年1月——5月不依规行驶的次数统计：月份12345违章人数5140352821（1）求关于的经验回归方程，并预测6月份不依规行驶的次数（精确到个位）；（2）交警随机抽查了非机动车司机50人，得到如下2×2列联表：不依规行驶依规行驶合计老年人22830青年人81220合计302050依据的独立性检验，能否认为依规行驶与年龄有关联？附：①对于一组数据，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：．②临界值表：0.100.050.0100.0050.0012.7063.841 6.6357.87910.828计算公式：其中18. 已知椭圆过点，且离心率．(1)求椭圆的方程；(2)若斜率为的直线交椭圆于、两点，交轴于点，问是否存在实数使得以为直径的圆恒过点？若存在，求的值，若不存在，说出理由．19. 将函数的图象向右平移个长度单位，得到的图象，再把的图象上各点的横坐标缩小到原来的（纵坐标不变），得到函数的图象.（1）求的最小值和的解析式；（2）当时，求函数的单调递减区间.20. 雅言传承文明，经典滋润人生，中国的经典诗文是中华民族精神文明的重要组成部分.某社区拟开展“诵读国学经典，积淀文化底蕴”活动.为了调查不同年龄人对此项活动所持的态度，研究人员随机抽取了300人，并将所得结果统计如下表所示.分组区间人数30751056030支持态度人数2466904218(1)完成下列2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为年龄与所持态度有关；年龄在50周岁及以上年龄在50周岁以下总计支持态度人数不支持态度人数总计(2)以（1）中的频率估计概率，若在该地区所有年龄在50周岁及以上的人中随机抽取4人，记为4人中持支持态度的人数，求的分布以及数学期望.参考数据：参考公式：21. 已知双曲线的离心率是，点在双曲线C上．(1)求双曲线C的方程；(2)设，M为C上一点，N为圆上一点（均不在x轴上）．直线的斜率分别记为，且，判断：直线是否过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由．。

2020衡水中学高三理科数学模拟试卷

2020衡水中学高三理科数学模拟试卷

4.20 高三理科数学模拟试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1．（5分）已知复数，则复数z在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）设集合P＝{x||x|＞3}，Q＝{x|x2＞4}，则下列结论正确的是（）A．Q⫋P B．P⫋Q C．P＝Q D．P∪Q＝R3．（5分）若，则a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜b＜a D．b＜c＜a4．（5分）若x，y 满足约束条件则z＝x+2y的最大值为（）A．10 B．8 C．5 D．35．（5分）“斗拱”是中国古代建筑中特有的构件，从最初的承重作用，到明清时期集承重与装饰作用于一体．在立柱顶、额枋和檐檩间或构架间，从枋上加的一层层探出成弓形的承重结构叫拱拱与拱之间垫的方形木块叫斗．如图所示，是“散斗”（又名“三才升”）的三视图（三视图中的单位：分米），现计划用一块长方体的海南黄花梨木料加工成该散斗，则长方体木料的最小体积为（）立方分米．A．40 B ．C．30 D ．6．（5分）不透明的袋中装有8个大小质地相同的小球，其中红色的小球6个，白色的小球2个，从袋中任取2个小球，则取出的2个小球中有1个是白色小球另1个是红色小球的概率为（）A ．B ．C ．D ．7．（5分）已知F是抛物线C：y2＝8x的焦点，M是C上一点，MF的延长线交y轴于点N ．若，则|MF|的值为（）A．8 B．6 C．4 D．28．（5分）某函数的部分图象如图，则下列函数中可以作为该函数的解析式的是（）A．y B．yC．y D．y9．（5分）如图，某中学数学兴趣小组要测量底部不能到达的某铁塔AB的高度（如图），铁塔AB垂直于水平面，在塔的同一侧且与塔底部B在同一水平面上选择C，D两观测点，且在C，D两点测得塔顶的仰角分别为45°，30°并测得∠BCD＝120°，C，D两地相距600m，则铁塔AB的高度是（）A．300 m B．600 m C．300m D．60010．（5分）已知函数f（x）＝2|cos x|sin x+sin2x，给出下列三个命题：①函数f（x ）的图象关于直线对称；②函数f（x ）在区间上单调递增；③函数f（x）的最小正周期为π．其中真命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．311．（5分）已知△ABC是由具有公共直角边的两块直角三角板（Rt△ACD与Rt△BCD）组成的三角形，如左图所示．其中，∠CAD＝45°，∠BCD＝60°现将Rt△ACD绕斜边AC旋转至△D1AC处（D1不在平面ABC上）．若M为BC的中点，则在△ACD旋转过程中，直线AD1与DM所成角θ（）A．θ∈（30°，60°）B．θ∈（0°，45°] C．θ∈（0°，60°] D．θ∈（0°，60°）12．（5分）设符号min{x，y，z}表示x，y，z中的最小者，已知函数f（x）＝min{|x﹣2|，x2，|x+2|}则下列结论正确的是（）A．∀x∈[0，+∞），f（x﹣2）＞f（x）B．∀x∈[1，+∞），f（x﹣2）＞f（x）C．∀x∈R，f（f（x））≤f（x）D．∀x∈R，f（f（x））＞f（x）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.13．（5分）函数y＝x+lnx在点（1，1）处的切线方程为．14．（5分）已知向量，满足||＝2，||＝1，若•（）•（）的最大值为1，则向量，的夹角θ的最小值为，|2|的取值范围为．15．（5分）飞镖锦标赛的赛制为投掷飞镖3次为一轮，一轮中投掷3次飞镖至少两次投中9环以上，则评定该轮投掷飞镖的成绩为优秀．某选手投掷飞镖每轮成绩为优秀的概率为，则该选手投掷飞镖共三轮，至少有一轮可以拿到优秀成绩的概率是16．（5分））有一凸透镜其剖面图（如图）是由椭圆1和双曲线1（a＞m＞0）的实线部分组成，已知两曲线有共同焦点M、N；A、B分别在左右两部分实线上运动，则△ANB 周长的最小值为三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（一）必考题：共60分.17．（12分）已知数列{a n}为等差数列，S n是数列{a n}的前n项和，且a2＝2，S3＝a6，数列{b n}满足：b2＝2b1＝4，当n ≥3，n∈N*时，a1b1+a2b2+…+a n b n＝（2n﹣2）b n+2．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）令，证明：c1+c2+…+c n＜2．18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD为直角梯形，∠ABC＝∠BAD，PA＝AD＝2，AB＝BC＝1，点M，E分别是PA，PD的中点．（1）求证：CE∥平面BMD；（2）点Q为线段BP中点，求直线PA与平面CEQ所成角的余弦值．19．（12分）已知椭圆）的左、右顶点分别为A、B，且|AB|＝4，椭圆C的离心率为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知点M（1，m）（m≠0）在椭圆C内，直线AM与BM分别与椭圆C 交于E、F两点，若△AMF面积是△BME面积的5倍，求m的值．20．（12分）BMI指数是用体重公斤数除以身高米数的平方得出的数值，是国际上常用的衡量人体胖瘦程度以及是否健康的一个标准．对于高中男体育特长生而言，当BMI数值大于或等于20.5时，我们说体重较重，当BMI数值小于20.5时，我们说体重较轻，身高大于或等于170cm时，我们说身高较高，身高小于170cm时，我们说身高较矮．某中小学生成长与发展机构从某市的320名高中男体育特长生中随机选取8名，其身高和体重的数据如表所示：编号12345678身高（cm）x i166167160173178169158173体重（kg）5758536166575066y i（1）根据最小二乘法的思想与公式求得线性回归方程．利用已经求得的线性回归方程，请完善下列残差表，并求解释变量（身高）对于预报变量（体重）变化的贡献值R2（保留两位有效数字）；编号12345678身高（cm）x i166167160173178169158173体重（kg）y i5758536166575066残差0.10.30.9﹣1.5﹣0.5（2）通过残差分析，对于残差的最大（绝对值）的那组数据，需要确认在样本点的采集中是否有人为的错误．已知通过重新采集发现，该组数据的体重应该为58（kg）．请重新根据最小二乘法的思想与公式，求出男体育特长生的身高与体重的线性回归方程．参考公式：R2＝1．，．i＝y i x i．参考数据：x i y i＝78880，x226112，168，58.5，（y i）2＝226．21．（12分）已知函数f（x）＝a x（a＞0，a≠1）．（1）当a＝e（e为自然对数的底数）时，（i）若G（x）＝f（x）﹣2x﹣m在[0，2]上恰有两个不同的零点，求实数m的取值范围；（ii）若，求T（x）在[0，1]上的最大值；（2）当，数列{b n}满足．求证：．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4--4：坐标系与参数方程]22．（10分）极坐标系于直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点O为极点，以x正半轴为极轴．已知曲线C1的极坐标方程为ρ＝4cos（θ），曲线C2的极坐标方程为ρcos（θ）＝a，射线θ＝α，θ＝α，θ＝α，θ＝α与曲线C1分别交异于极点O的四点A，B，C，D．（1）若曲线C1关于曲线C2对称，求a的值，并把曲线C1和C2化成直角坐标方程；（2）设f（α）＝|OA|•|OB|+|OC|•|OD|，当α时，求f（α）的值域．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x﹣1|+|x﹣1|．（Ⅰ）求不等式f（x）≤4的解集；（Ⅱ）设函数f（x）的最小值为m，当a，b，c∈R+，且a+b+c＝m时，求的最大值．（注：文档可能无法思考全面，请浏览后下载，供参考。

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第二次循环,sinπ＞sin ,即0＞1不成立,a=0,T=1,k=3,k＜6成立,
第三次循环,sin ＞sinπ,即﹣1＞0不成立,a=0,T=1,k=4,k＜6成立,
第四次循环,sin2π＞sin ,即0＞﹣1成立,a=1,T=1+1=2,k=5,k＜6成立,
第五次循环,sin ＞sin2π,即1＞0成立,a=1,T=2+1=3,k=6,k＜6不成立,输出T=3,
A． B．2C． D．1
【解答】解：∵2πr1= ,∴r1= ,同理 ,
∴r1+r2+r3=1,
故选：D．
6．（5分）（2020•衡中模拟）如图是某算法的程序框图,则程序运行后输出的结果是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【解答】解：第一次循环,sin ＞sin0,即1＞0成立,a=1,T=1,k=2,k＜6成立,
A．（11,25）B．（12,22）C．（12,17）D．（14,20）
【解答】解：∵an﹣bn=﹣2n+p﹣2n﹣4,
∴an﹣bn随着n变大而变小,
又∵an=﹣2n+p随着n变大而变小,
bn=2n﹣4随着n变大而变大,
∴ ,
（1）当
（2）当 ,
综上p∈（14,20）,
故选D．
二、填空题（本大题共4小题,每小题5分,共20分．把答案填在题中的横线上．）
三、解答题（本大题共5小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（12分）（2020•衡中模拟）在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,满足c=1,且cosBsinC+（a﹣sinB）cos（A+B）=0
（1）求C的大小；
（2）求a2+b2的最大值,并求取得最大值时角A,B的值．
当k≥1时,函数f（x）和y=kx有1个交点,满足条件．
综上k的取值范围为k≤0或k≥1,
故选：B．
12．（5分）（2020•衡中模拟）已知数列{an}的通项公式为an=﹣2n+p,数列{bn}的通项公式为bn=2n﹣4,设cn= ,若在数列{cn}中c6＜cn（n∈N*,n≠6）,则p的取值范围（ ）
故选：C
3．（5分）（2020•衡中模拟）已知复数z= （i为虚数单位）,则 3=（ ）
A．1B．﹣1C． D．
【解答】解：复数z= ,
可得 =﹣ =cos +isin ．
则 3=cos4π+isin4π=1．
故选：A．
4．（5分）（2020•衡中模拟）过双曲线 ﹣ =1（a＞0,b＞0）的一个焦点F作两渐近线的垂线,垂足分别为P、Q,若∠PFQ= π,则双曲线的渐近线方程为（ ）
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）当λ变化时,kAB是否为定值？若是,请求出此定值；若不是,请说明理由．
21．（12分）（2020•衡中模拟）已知函数f（x）= ,曲线y=f（x）在点x=e2处的切线与直线x﹣2y+e=0平行．
（Ⅰ）若函数g（x）= f（x）﹣ax在（1,+∞）上是减函数,求实数a的最小值；
A．y=± xB．y=± xC．y=±xD．y=± x
【解答】解：如图若∠PFQ= π,
则由对称性得∠QFO= ,
则∠QOx= ,
即OQ的斜率k= =tan = ,
则双曲线渐近线的方程为y=± x,
故选：B
5．（5分）（2020•衡中模拟）将半径为1的圆分割成面积之比为1：2：3的三个扇形作为三个圆锥的侧面,设这三个圆锥底面半径依次为r1,r2,r3,那么r1+r2+r3的值为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：设右焦点为Q,
由F（﹣3,0）,可得Q（3,0）,
由椭圆的定义可得|PF|+|PQ|=2a,
即|PF|=2a﹣|PQ|,
则|PM|+|PF|=2a+（|PM|﹣|PQ|）≤2a+|MQ|,
当P,M,Q共线时,取得等号,即最大值2a+|MQ|,
由|MQ|= =5,可得2a+5=17,
故选：B
7．（5分）（2020•衡中模拟）等差数列{an}中,a3=7,a5=11,若bn= ,则数列{bn}的前8项和为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：设等差数列{an}的公差为d,a3=7,a5=11,
∴ ,
解得a1=3,d=2,
∴an=3+2（n﹣1）=2n+1,
∴ ,
∴b8= （1﹣ + ﹣ +…+ ﹣ ）= （1﹣ ）=
（Ⅰ）求x＜2且y＞1的概率；
（Ⅱ）求随机变量ξ的分布列与数学期望．
20．（12分）（2020•衡中模拟）已知椭圆E： + =1（a＞b＞0）,倾斜角为45°的直线与椭圆相交于M、N两点,且线段MN的中点为（﹣1, ）．过椭圆E内一点P（1, ）的两条直线分别与椭圆交于点A、C和B、D,且满足 =λ , =λ ,其中λ为实数．当直线AP平行于x轴时,对应的λ= ．
18．（12分）（2020•衡中模拟）如图,在四棱锥P﹣ABCD中,侧棱PA⊥底面ABCD,AD∥BC,∠ABC=90°,PA=AB=BC=2,AD=1,M是棱PB中点．
（Ⅰ）求证：平面PBC⊥平面PCD；
（Ⅱ）设点N是线段CD上一动点,且 =λ ,当直线MN与平面PAB所成的角最大时,求λ的值．
19．（12分）（2020•衡中模拟）如图是两个独立的转盘（A）、（B）,在两个图中三个扇形区域的圆心角分别为60°、120°、180°．用这两个转盘进行游戏,规则是：同时转动两个转盘待指针停下（当两个转盘中任意一个指针恰好落在分界线时,则这次转动无效,重新开始）,记转盘（A）指针所对的区域为x,转盘（B）指针所对的区域为y,x、y∈{1,2,3},设x+y的值为ξ．
衡水中学高考数学全真模拟试卷（理科）
第1卷
一、选择题（本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.）
1．（5分）（2020•衡中模拟）已知集合A={x|x2＜1},B={y|y=|x|},则A∩B=（ ）
A．∅B．（0,1）C．[0,1）D．[0,1]
15．（5分）（2020•衡中模拟）若直线ax+（a﹣2）y+4﹣a=0把区域 分成面积相等的两部分,则 的最大值为．
16．（5分）（2020•衡中模拟）已知函数f（x）=（a+1）lnx+ x2（a＜﹣1）对任意的x1、x2＞0,恒有|f（x1）﹣f（x2）|≥4|x1﹣x2|,则a的取值范围为．
由图象知当k≤0时,函数f（x）和y=kx恒有一个交点,
当x≥0时,函数f（x）=ln（x+1）的导数f′（x）= ,则f′（0）=1,
当x＜0时,函数f（x）=ex﹣1的导数f′（x）=ex,则f′（0）=e0=1,
即当k=1时,y=x是函数f（x）的切线,
则当0＜k＜1时,函数f（x）和y=kx有3个交点,不满足条件．
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.）
1．（5分）（2020•衡中模拟）已知集合A={x|x2＜1},B={y|y=|x|},则A∩B=（ ）
A．∅B．（0,1）C．[0,1）D．[0,1]
【解答】解：A={x|x2＜1}={x|﹣1＜x＜1},B={y|y=|x|≥0},
A．y=± xB．y=± xC．y=±xD．y=± x
5．（5分）（2020•衡中模拟）将半径为1的圆分割成面积之比为1：2：3的三个扇形作为三个圆锥的侧面,设这三个圆锥底面半径依次为r1,r2,r3,那么r1+r2+r3的值为（ ）
A． B．2C． D．1
6．（5分）（2020•衡中模拟）如图是某算法的程序框图,则程序运行后输出的结果是（ ）
A．45B．180C．﹣180D．720
9．（5分）（2020•衡中模拟）如图为三棱锥S﹣ABC的三视图,其表面积为（ ）
A．16B．8 +6 C．16 D．16+6
10．（5分）（2020•衡中模拟）已知椭圆E： + =1（a＞b＞0）的左焦点F（﹣3,0）,P为椭圆上一动点,椭圆内部点M（﹣1,3）满足PF+PM的最大值为17,则椭圆的离心率为（ ）
所以a=6,
则e= = = ,
故选：A．
11．（5分）（2020•衡中模拟）已知f（x）= ,若函数y=f（x）﹣kx恒有一个零点,则k的取值范围为（ ）
A．k≤0B．k≤0或k≥1C．k≤0或k≥eD．k≤0或k≥
【解答】解：由y=f（x）﹣kx=0得f（x）=kx,
作出函数f（x）和y=kx的图象如图,
A．16B．8 +6 C．16 D．16+6
【解答】解：由三视图可知该三棱锥为边长为2,4,4的长方体切去四个小棱锥得到的几何体．
三棱锥的三条边长分别为 ,
∴表面积为4× =16 ．
故选：C．
10．（5分）（2020•衡中模拟）已知椭圆E： + =1（a＞b＞0）的左焦点F（﹣3,0）,P为椭圆上一动点,椭圆内部点M（﹣1,3）满足PF+PM的最大值为17,则椭圆的离心率为（ ）
（Ⅱ）若函数F（x）=f（x）﹣ 无零点,求k的取值范围．
[选修4-1：几何证明选讲]
22．（10分）（2020•衡中模拟）如图所示,AC为⊙O的直径,D为 的中点,E为BC的中点．
（Ⅰ）求证：DE∥AB；
（Ⅱ）求证：AC•BC=2AD•CD．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
23．（2020•衡中模拟）在平面直角坐标系中,直线l的参数方程为 （t为参数）,在以直角坐标系的原点O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C的极坐标方程为ρ=
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