第二章 近世代数简介
Lecture2-近世代数
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同余和剩余类
同余
若整数a和b被同一正整数m除时，有相同的余数，则称 a、b关于模m同余，记为 a b (mod m ) 若 a1 b1 (mod m ), a 2 b2 (mod m ), 则 a1 a 2 b1 b2 (mod m ), a1 a 2 b1 b2 (mod m )
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群的相关概念
群的阶(Order of a Group)
有限群(Finite Group)、无限群(Infinite Group)
加群、乘群 阿贝尔群(Abelian Group)、可换群、交换群：满足交换 律
所有n阶满秩矩阵的全体对矩阵乘法构成的群为非阿贝尔群
半群(Semigroup)(满足前两个条件)
同时被a, b, …, l （不全为0）除尽的最小正整数，记为[a, b, …, l ]或LCM ( a, b, …, l)
Euclidean除法
设b是正整数，则任意正整数a>b皆可唯一地表示成 a=qb+r 0<=r<b
Euclidean算法
对任意给定的正整数a, b,必存在整数A, B使(a, b)=Aa+Bb
几何性质
最小均方距离d min ( ) : 任意两个格点之间的最小均方距 离 格的基本体积Vol( ) : 每一格点在n维空间的体积 See Lecture 1-Slide 18
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结构性质
标量乘；正交变换；笛卡儿(Cartesian)积
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近世代数第二章
m
, , ) 构成有单位元的交换环。
例4. 设 R 是一个有单位元的交换环， x 为 R 上的一个未定元（定义见后面）或字母，
R[ x] {a0 a1x
an x n | ai R，n }
是系数在 R 上的一元多项式的集合。按通常多项式的加法和乘法定义 R[ x ] 中的加法和乘 法，则 R[ x ] 构成一个有单位元的交换环。 例5. 设 R {0} ，规定 0 0 0,0 0 0 ，则 R 构成环，称为零环（zero ring） 。零环是唯 一的一个有单位元且单位元等于零的环，并且零元也可逆的环。零环太简单了，意义不大， 今后在对环讨论时，将其排除在外。 例6. 设 ( A, ) 是任一加群，规定乘法如下：对任意 a, b A ， a b 0 ，则 ( A, ) 作成一个 环。通常也称之为零环。这样的环意义也不大，因为这时 ( A, ,) 的结构主要取决于加群
x [0,1]) ，零元为零函数 0 ，即 0( x) 0( 任 x [0,1]) 。
由于一个环 R 首先是一个加群，因而加法结合律与结合律成立。对于加群 ( R, ) ，存在 零元 0 ，即任 a R ， 0 a a ，且存在 a R 使 a ( a ) 0 。其次，环 R 对乘法是一 个半群，乘法满足结合律以及乘法对加法满足分配律。由这些运算定律可推得环 R 的一些 常用运算性质。 定理 2.1.1. 设 R 是一个环， a, b R ，则 （1） a 0 0 a 0 ； （2） ( a ) a ； （3） a ( b) ( a) b ab ； （4） ( a ) (b) ab ； （5） x a a x 0 ； （6） a x 0 x a ； （7） a b a c b c 。 证明.（1） 因为 a 0 a 0 a (0+0） a 0 a 0 0 ，故由加法消去律得 a 0 0 。同 理可证 0 a 0 。 （2） 因为 a 是 a 的负元，即 a ( a ) 0 ，故 a 也是 a 的负元。即 ( a ) a 。 （3） 因为 a (b) a b a (b b) a 0 0 ，所以， a ( b) 是 a b 的负元。因此， 我们有 a ( b) ab 。 同理可证： ( a ) b ab 。 （4） 由（3）得 (a) (b) ( a (b)) ( ab) ab 。 （5） 、 （6） 、 （7）由加群运算性质可得证。 利用环 R 中加法与乘法运算的性质，还可证明下面一些法则成立。 移项法则： （8） 对任意 a, b, c R ，有 a b c a c b ； （9）乘法对减法满足分配律：对任意 a, b, c R ，我们有
近世代数
近世代数是数学的一个重要分支和学科,是20世纪初期形成的代数学结构体系, 也是当今代数化的最基础的研究对象和研究内容。
它是以基本代数学为工具来进行分析和研究, 以研究代数系统的性质与构造为中心的一门学科, 是现代数学各个分支的基础。
我觉得近世代数的基本思想、基本理论与方法已经渗透到科学领域的各个领域与实际应用的各个方面, 据调查近世代数在编码和信息安全方面的应用更被认为是近几十年来纯粹数学应用的一个成功而光辉的典范。
近世代数是我们大学数学系的重要基础课之一, 它具有严密的逻辑性和特有的抽象性。
从我们师范教育的角度看，中学数学教学内容绝大部分是属于代数的，在一些难题中都必须用到近世代数相关知识。
因此, 近世代数成为数学系数学与应用数学师范与非师范类专业以及信息与计算科学专业的重要的专业必修课程之一。
在大一学习了高等代数后，我觉得近世代数这门课程是继学生学习完了高等代数后一门继续深人的课程。
在这门课程中, 不仅积聚了大量的概念和定理,课后还汇集了大量的证明题。
我觉得学好它有助于完善学生的知识结构体系、培养学生的抽象思维能力和严格的逻辑推理能力、提高学生的综合素质与运用创新能力。
可以让学生展开想象的翅膀, 吸取理论的精华, 培养自己的创造性思维能力。
署名曾凤香 2010-11-24。
第2章 近世代数
– 可以证明，有限域GF(q)的q-1个非0元素，在 模q乘运算下，可以构成一个循环群（幂群）， 即G上的所有非0元素可以由一个元素的各次 幂0， 1， 2 …， q-1生成。
2019/9/15
天津大学电子信息工程学院
r 0, ..., 14, 7,0,7,14,21.... r 1, ..., 13,6,1,8,15,22,... r 2, ..., 12,5,2,9,16,23,... r 3, ..., 11,4,3,10,17,24,... r 4, ..., 10,3,4,11,18,25,... r 5, ..., 9,2,5,12,19,26,... r 6, ..., 8,16,13,20,27,...
2019/9/15
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7. 同余和剩余类
– 定义：若两个整数a、b能被同一整数m整除，余数相同， 即 a q1m r, b q2m r (0 r m)
a b (mod m)
–则称a、b关于模m同余，记为 – 由同余的概念，可以将全体整数加以分类，把余数相
– G1和G2有都是阿贝尔群。
–群将
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和
联系在一起？
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4. 域 (Field)
– 对于非空元素集合F，若在F中定义了加法 (addition)和乘法(multiplication)两种运算， 且满足下面的公理：
（1）F关于加法构成阿贝尔群，其加法恒等 元记为0；
（2）F中非0元素全体对乘法构成阿贝尔群， 其乘法恒等元（单位元）记为1。
近世代数知识点
近世代数知识点近世代数，又称抽象代数，是数学的一个重要分支，它为许多其他数学领域提供了基础和工具。
下面让我们一起来了解一些近世代数的关键知识点。
首先是群的概念。
群是近世代数中最基本的结构之一。
简单来说，一个群就是一个集合 G 以及定义在这个集合上的一种运算“”，满足一些特定的条件。
比如，对于集合中的任意两个元素 a 和 b，运算的结果ab 仍然属于这个集合；存在一个单位元 e，使得对于任意元素 a，都有ae ＝ ea ＝ a；对于每个元素 a，都存在一个逆元 a^（－1)，使得 aa^（－1) ＝ a^（－1)a ＝ e。
群的例子在生活中也有不少，比如整数集合在加法运算下构成一个群。
环也是近世代数中的重要概念。
一个环 R 是一个集合，上面定义了两种运算：加法“＋”和乘法“·”。
加法满足交换律、结合律，有零元，每个元素都有相反数；乘法满足结合律；乘法对加法满足分配律。
常见的环有整数环、多项式环等。
接下来是域。
域是一种特殊的环，它要求非零元素对于乘法运算构成一个群。
比如有理数域、实数域和复数域。
同态和同构是近世代数中用来比较不同代数结构的重要工具。
同态是指两个代数结构之间存在一种保持运算的映射。
如果这个映射还是一一对应的，那就是同构。
同构的两个代数结构在本质上可以看作是相同的。
在近世代数中，子群、子环和理想也具有重要地位。
子群是群的一个子集，在原来的运算下也构成群；子环是环的一个子集，在原来的两种运算下也构成环；理想则是环中的一个特殊子集，对于环中的乘法和加法有特定的性质。
再来说说商群和商环。
以商群为例，给定一个群 G 和它的一个正规子群N，就可以构造出商群G/N。
商群中的元素是由N 的陪集构成的。
近世代数中的重要定理也不少。
比如拉格朗日定理，它对于理解群的结构和性质非常有帮助。
该定理指出，子群的阶整除群的阶。
最后，我们谈谈近世代数的应用。
在密码学中，群和环的理论被广泛用于加密和解密算法的设计。
近世代数文档
近世代数引言近世代数是数学中一个重要的分支，研究代数结构及其性质的理论体系。
通常包括群论、环论、域论等内容。
近世代数的发展对于数学的各个领域产生了深远的影响，也在应用数学和计算机科学中起着重要作用。
群论群论是近世代数的一个基础概念和重要分支。
群由三个基本要素组成：集合、运算和满足一定性质（结合律、封闭性、单位元、逆元）的公理。
群论研究集合中的元素如何进行运算，并研究这些运算的性质。
•子群：给定一个群，若一个集合中的元素满足群的性质和封闭性，则称其为一个子群。
•循环群：由一个元素生成的群称为循环群，循环群的结构相对简单。
•群的同态：将一个群的元素映射到另一个群中，并保持运算结构，称为群的同态。
同态的研究对于理解群之间的关系和性质非常重要。
环论环论是近世代数的另一个重要分支，研究满足特定性质的运算集合和运算规则。
环由两个基本要素组成：集合和满足一定性质（结合律、封闭性、零元、乘法交换律、分配律）的公理。
环论的研究主要关注集合中的元素之间的加法和乘法运算。
•子环：给定一个环，若一个集合中的元素满足环的定义和封闭性，则称其为一个子环。
•理想：一个环中的子集，满足特定运算性质（左右理想、乘法吸收律）的集合。
•商环：对于一个环和其中的一个理想，可以通过模运算构建一个新的环，称为商环。
商环中的元素相当于原环中的一个等价类。
域论域论是近世代数中的一个重要分支，研究满足一定性质的运算集合和运算规则。
域是一个满足加法和乘法交换律、分配律以及存在加法和乘法的单位元和乘法的逆元的环。
域是一种结构相对简单但非常重要的代数结构。
•子域：给定一个域，若一个集合中的元素满足域的定义和封闭性，则称其为一个子域。
•拓展域：给定一个域F，在F中添加一个新的元素，并扩展运算规则，得到的新的集合和运算称为拓展域。
•有限域：域中的元素个数是有限的，则称该域为有限域。
有限域具有特殊的性质和应用。
应用领域近世代数的研究对于数学的各个领域产生了深远的影响，也在应用数学和计算机科学中起着重要作用。
近世代数的基础知识
近世代数的基础知识初等代数、高等代数和线性代数都称为经典代数（Classical algebra ），它的研究对象主要是代数方程和线性方程组）。
近世代数（modern algebra ）又称为抽象代数（abstract algebra ），它的研究对象是代数系，所谓代数系，是由一个集合和定义在这个集合中的一种或若干种运算所构成的一个系统。
近世代数主要包括：群论、环论和域论等几个方面的理论，其中群论是基础。
下面，我们首先简要回顾一下集合、映射和整数等方面的基础知识，然后介绍本文需要用到的近世代数的相关知识。
3．1 集合、映射、二元运算和整数3．1．1 集合集合是指一些对象的总体，这些对象称为集合的元或元素。
“元素a 是集合A 的元”记作“A x ∈”，反之，“A a ∉”表示“x 不是集合A 的元”。
设有两个集合A 和B ，若对A 中的任意一个元素a （记作A a ∈∀）均有B a ∈，则称A 是B 的子集，记作B A ⊆。
若B A ⊆且A B ⊆，即A 和B 有完全相同的元素，则称它们相等，记作B A =。
若B A ⊆，但B A ≠，则称A 是B 的真子集，或称B 真包含A ，记作B A ⊂。
不含任何元素的集合叫空集，空集是任何一个集合的子集。
集合的表示方法通常有两种：一种是直接列出所有的元素，另一种是规定元素所具有的性质。
例如：{}c b a A ,,=；{})(x p x S =，其中)(x p 表示元素x 具有的性质。
本文中常用的集合及记号有：整数集合{} ,3,2,1,0±±±=Z ；非零整数集合{}{} ,3,2,10\±±±==*Z Z ； 正整数（自然数）集合{} ,3,2,1=+Z ；有理数集合Q ，实数集合R ，复数集合C 等。
一个集合A 的元素个数用A 表示。
当A 中有有限个元素时，称为有限集，否则称为无限集。
用∞=A 表示A 是无限集，∞<A 表示A 是有限集。
近世代数引论PPT课件
详细描述
域是一个非空集合，其中定义了两种运算：加法和乘法 ，满足一定的性质。在域中，加法和乘法都是可逆的， 即每个元素都有唯一的加法逆元和乘法逆元。此外，域 中的乘法满足结合律，且每个元素都有乘法单位元。
子域与扩域
环论在几何学中的应用
环论也是近世代数的一个重要分支，它在几何学中也有着广泛的应用。例如，在代数几 何中，环论被用于描述多项式环的结构；在解析几何中，环论也被用于描述函数的性质。
数论中的应用
域论在数论中的应用
域论是近世代数中一个重要的分支，它在数论中有着广泛的应用。例如，在代数数论中，域论被用于描述代数数 的性质；在数论中，域论也被用于研究整数的性质和结构。
分式域与函数域
总结词
分式域和函数域是两种特殊的域，它们在数学和物理 中有广泛的应用。分式域是由其整环的分式组成的域 ，而函数域则是基于函数的定义域和值域形成的域。
详细描述
分式域是由一个整环的分式组成的域。整环是一个只含 有限除数的环，也就是说，如果一个元素在整环中不能 被其他元素整除，则该元素被称为不可约元素。分式环 是由整环中所有分式组成的集合，它构成一个域。函数 域是基于函数的定义域和值域形成的域。具体来说，给 定一个函数f和一个集合D，函数域是由集合D中所有可 能的函数值组成的集合，它也构成一个域。
交叉学科的研究
近世代数与其他学科的交叉研究也是未来的一个重要方向，如 代数几何、代数数论、计算机科学等学科的交叉研究，可以促
进近世代数的发展和应用。
THANKS
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环论
环的定义和性质
要点一
总结词
环是具有加法和乘法两种运算的代数系统，满足一定的性 质。
近世代数
近世代数
近世代数是数学中的一个分支，它研究的对象是代数结构，如群、环、域等，以及它们之间的关系和性质。
这个领域的主要目标是揭示这些结构的本质和共性，并开发出一些通用的技术和方法来处理这些结构和它们之间的关系。
近世代数主要研究群、环、域等代数结构的性质和关系。
群是一种代数结构，它由一个集合以及一个二元运算组成，满足封闭性、结合律、存在单位元素以及每个元素都有逆元素等性质。
环是另一种代数结构，它由一个集合以及两个二元运算组成，分别满足加法和乘法的封闭性、结合律、分配律、存在单位元素和每个元素都有加法和乘法的逆元素等性质。
域是群和环的进一步推广，它不仅满足群和环的所有性质，还满足乘法的交换律。
近世代数的研究方法主要是利用抽象代数的思想，即将一些常见的代数概念抽象出来，从而得到一些通用的性质和方法来处理这些抽象的代数结构。
例如，通过将群、环、域等代数结构抽象出来，我们可以得到一些通用的定理，如拉格朗日定理、卡氏定理、高斯引理等，它们在处理各种具体的代数问题时都具有广泛的应用价值。
总之，近世代数是数学中的一个重要分支，它研究的对象是代数结构及其性质和关系，通过抽象代数的思想和方法，揭示了这些结构的本质和共性，为解决各种具体的代数问题提供了一些通用的技术和方法。
近世代数基础
各种代数系统(代数结构),而对于代数结 构,其基本成分则是集合和集合上的映射. 而近世代数就像古典代数那样,是关 于运算的学说,是计算规则的学说,但它 不把自己局限在研究数的运算的性质上, 而是企图研究更具一般性的元素上运算 的性质,这种趋向是现实中的要求所提示 的.近世代数已广泛应用于近代物理学、 近代科学、计算机科学、数字通讯、系 统工程等领域.
2 初等数学阶段
2 变量数学时 期(高等代数)
2 代数的简 化文字阶段
3 正多面体 的着色问题
4 图的构造 与计数问题
3 各种代数 结构的理论
3 高等数学阶段
3 现代数学时 期(近世代数)
3 符号代数阶段
5 开关线路的构 造与计数问题
6 数字通信 的可靠性问题
4 近代数学阶段
4 结构代数阶段
7 几何作图问题
26
第6讲 群中元素的阶
1 元素阶的定义 2 元素阶的举例 3 元素阶的性质
27
第7讲 循环群
1 循环群的定义及举例 2 循环群与元素阶的关系 3 循环群的一般形式 4 循环群的生成元的个数定理 5 循环群生成元的确定定理
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第8讲 变换群
1 变换、满变换、单变换、一一变换的定义 及符号说明 2 特殊集合关于乘法的结论 3 变换群举例 4 特殊的变换群
8 代数方程根 式 的求解问题
5 现代数学阶段
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一 关于代数的观念 二 数学史的发展阶段 三 代数发展的阶段(数学发展史) 四 代数学发展的四个阶段 五 几类与近世代数的应用有关的实际 问题
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一 关于代数的观念
从人们的观念上来看,人们关于 代数的观念大致有三种理解：
1 用字母的代数 2 解方程 3 各种代数结构的理论
近世代数内容
近世代数内容近世代数是数学发展中的一个重要领域，它涉及到了许多重要的数学概念和定理。
在近世代数的发展中，许多数学家通过研究代数结构的性质和规律，推动了数学的发展。
本文将从多个角度介绍近世代数的一些重要内容。
一、群论群论是近世代数的基石之一，它研究的是集合上的一种代数结构。
群由一个集合和一个运算组成，这个运算满足封闭性、结合律、存在单位元和存在逆元等性质。
群论的研究对象可以是任意集合，如整数集、矩阵集等。
群论的研究内容包括子群、正规子群、同态映射等，它对于研究对称性和变换具有重要的意义。
二、环论环论是近世代数的另一个重要分支，它研究的是集合上的两个运算。
环由一个集合和两个运算组成，这两个运算分别满足封闭性、结合律、交换律和分配律等性质。
环论的研究对象可以是整数集、多项式集等。
环论的研究内容包括理想、素环、域等，它对于研究代数方程和代数几何等领域具有重要的影响。
三、域论域论是近世代数的另一个重要分支，它研究的是集合上的四个运算。
域由一个集合和四个运算组成，这四个运算满足环的所有性质，并且除法运算有定义。
域论的研究对象可以是有理数集、实数集、复数集等。
域论的研究内容包括子域、域扩张、代数闭域等，它对于研究代数方程和代数几何等领域起到了重要的推动作用。
四、线性代数线性代数是近世代数的一个重要分支，它研究的是向量空间和线性变换。
线性代数的研究内容包括向量的线性组合、线性方程组的解、矩阵的特征值和特征向量等。
线性代数在几何学、物理学和工程学等领域有着广泛的应用，它是许多数学分支的基础。
五、代数几何代数几何是近世代数与几何学的结合，它研究的是代数方程的几何性质。
代数几何的研究内容包括代数曲线、代数曲面、射影空间等。
代数几何在解析几何、拓扑学和数论等领域有着广泛的应用，它为研究几何形体和曲线提供了重要的数学工具。
近世代数涵盖了群论、环论、域论、线性代数和代数几何等多个重要的数学分支。
这些数学概念和定理的研究推动了数学的发展，并在实际应用中发挥着重要作用。
近世代数文档
近世代数引言近世代数是数学中的一个分支，是研究代数结构的一种方法。
它主要研究了群、环、域等代数结构，以及它们之间的关系和性质。
本文将介绍近世代数的基本概念和一些重要的定理。
群群是近世代数的基础概念之一，它是一个集合和一个二元运算的组合。
这个二元运算满足封闭性、结合律、单位元存在性和逆元存在性等性质。
封闭性对于群中的任意两个元素a和b，它们的运算结果ab也必须属于群中的元素。
结合律群中的运算满足结合律，即对于群中的任意三个元素a、b 和c，满足(a·b)·c = a·(b·c)。
单位元存在性群中存在一个元素e，称为单位元，对于群中的任意元素a，满足a·e = e·a = a。
逆元存在性对于群中的任意元素a，存在一个元素a’，称为逆元，满足a·a’ = a’·a = e，其中e是单位元。
环环是一种比群更一般的代数结构，它是一个集合和两个运算的组合。
这两个运算分别是加法和乘法，并且满足封闭性、结合律、分配律和单位元存在性等性质。
封闭性对于环中的任意两个元素a和b，它们的加法和乘法结果a+b和a·b也必须属于环中的元素。
结合律环中的加法和乘法满足结合律，即对于环中的任意三个元素a、b和c，满足(a+b)+c = a+(b+c)和(a·b)·c = a·(b·c)。
分配律环中的加法和乘法满足分配律，即对于环中的任意三个元素a、b和c，满足a·(b+c) = a·b + a·c和(b+c)·a = b·a + c·a。
单位元存在性环中存在一个元素0，称为加法的单位元，对于环中的任意元素a，满足a+0 = 0+a = a。
同时，环中存在一个元素1，称为乘法的单位元，对于环中的任意元素a，满足a·1 = 1·a = a。
近世代数
§2.2 子环
• 定理2 设R是一个环,S是R的非空子集, 则S为R的
证明
证明
例3
§2.2 子环
由S关于R的减法封闭, 从而(S,+)是(R,+)的子环. 进一 步由定理条件知, 满足定理1的两个条件, 所以 为 的子环. 于是, 充分性得证, 而必要性是显然的.
近世代数
第二章 群、环、域
基本概念
在普通代数里，我们计算的对象是数， 计算的方法是加、减、乘、除，数学渐渐 进步，我们发现，可以对于若干不是数的 事物，用类似普通计算的方法来加以计算。 这种例子我们在高等代数里已经看到很多， 例如对于向量、矩阵、线性变换等就可 以进行运算。近世代数（或抽象代数）的 主要内容就是研究所谓代数系统，即带有 运算的集合。
定理8
设R是有单位元的交换环, 则R的每个极大理想都是素理想. • 证明 设I为R的极大理想. 设ab~I,a~]I. 令N=(a)+I,则N为R的理想,且 I(a),但I=!(a)+I. 因为I为R的极大理想, 所以N=R. 从而1R~I, 故存在 t~R,c~I,使得1R=at+c,所以,b=b*1R=abt+bc~I.这就证明了I为R的素 理想.
例7
试求Z的所有理想为dZ,d~Z且d>=0
§2.3 理想
定义3
设R为环,I1,I2为R的理想. 集合 I1+I2={a1+a2|a1~I1,a2~I2},I1#I2={a|a~I1,a~I2}分别称为理想 I1,I2的和与交. 定理3 环R的两个理想I1与I2的和I1+I2与交I1#I2都是R的理想. 类似地, 可以定义环R的任意有限多个理想的和与任意多个理想的交的 概念, 并且可以证明: 定理4 环R的任意有限多个理想的和还是理想.环R的任意多个理想的交 还是理想.
近世代数发展简史
近世代数发展简史近世代数发展简史根据课程教学安排，通过查阅近世代数发展历史的相关资料，了解了相关的知识，并对近世代数的知识结构和发展脉络有了更清楚的认识和理解，以下是我将对近世代数及其发展历史的认识。
一、近世代数的定义代数学是以数、多项式、矩阵、变换和它们的运算，以及群、环、域、模等为研究对象的学科，而近世代数（又称抽象代数）是代数学研究的一个重要分支，主要研究群、环、域、模这四种抽象的代数结构，并深入研究了具有一定特性的群、环、域、模及其子结构、商结构、同态和同构、以及作为它们支柱的具体例子，它不仅在代数学中，而且在现代数学的理论与应用中都具有基本的重要性。
二、近世代数的发展代数学的起源较早，在挪威数学家阿贝尔（Abel，.）证明五次以上方程不能用根式求解的进程中就孕育着群的概念；1830年，年仅19岁的伽罗瓦（Galois，E.）彻底解决了代数方程的根式求解问题，从而引进数域的扩张、置换群、可解群等概念；后来，凯莱（Cayley，A.）在1854年的文章中给出有限抽象群；戴德金（Dedekind，）于1858年在代数数域中又引入有限交换群和有限群；克莱因（Klein，.）于1872年建立了埃尔朗根纲领，这些都是抽象群产生的主要源泉。
然而抽象群的公理系统直到1882年凯莱与韦伯（Weber，H.）在的同一期分别给出有限群的公理定义，1893年韦伯又给出无限抽象群的定义。
由于李（Lie，.）对连续群和弗罗贝尼乌斯（Frobenius，.）对群表示的系统研究，对群论发展产生了深刻的影响。
同时，李在研究偏微分方程组解的分类时引入李代数的概念，然而，它的发展却是19世纪末和20世纪初，由基灵（Killing，）、外尔（Weyl，（.）H.）和嘉当（Cartan）等人的卓越工作才建立了系统理论。
域这个名词虽是戴德金较早引入的，但域的公理系统却是迪克森（Dickson，.）与亨廷顿（Huntington，.）于19世纪初才独立给出。
近世代数1
近世代数近世代数是数学中的一个重要分支，它主要研究代数结构及其应用。
近世代数产生于19世纪中叶，一开始被视为是整数理论的一部分，但随着研究的深入，近世代数逐渐发展成为一门独立的数学分支。
在这篇文章中，我们将对近世代数的概念、发展以及主要结论进行探讨。
一、近世代数的概念近世代数是指从巴格-瓦列理公式出发，发展起来的一种代数学，它主要研究代数结构的一般理论。
在近世代数中，我们主要研究群、环和域这三种代数结构，这三种代数结构都可以看作一组数以及对这些数进行运算的一种集合。
群：群是一种代数结构，它包含了一组有限或无限个元素以及一种二元运算。
这种运算满足结合律、单位元素存在和逆元素存在的条件，这里的逆元素指的是一个元素与之相乘可以得到单位元素。
环：环是一种代数结构，它包含了一组有限或无限个元素以及两种二元运算。
这两种运算被称作加法和乘法，加法满足结合律、交换律、单位元素存在以及逆元素存在的条件，乘法满足结合律和分配律。
域：域是一种代数结构，它包含了一组有限或无限个元素以及两种二元运算。
这两种运算被称作加法和乘法，加法满足结合律、交换律、单位元素存在以及逆元素存在的条件，乘法满足结合律、交换律、单位元素存在以及逆元素存在的条件。
此外，对于任意的非零元素，都有其乘法逆元素存在。
二、近世代数的发展1、伽罗华理论伽罗华理论是19世纪中期出现的一种代数理论，该理论最初的研究对象是方程的根式解。
伽罗华理论的主要思想是利用群论的方法研究方程的根的性质。
2、李群和黎曼猜想20世纪初，李群的概念被引入到了数学中。
李群是一种具有光滑结构和群结构的数学对象，它将代数和几何联系起来，是现代微分几何和物理学中不可或缺的数学工具之一。
黎曼猜想是数论中的一个著名猜想，它关于大约150年前被提出，至今尚未证明。
其主要内容是，对于任意正整数n，大于1的所有素数p都满足：p的虚部等于n的平方根。
3、格罗滕迪克定理格罗滕迪克定理是当代近世代数的一个重要定理，该定理表明，任何有限群都可以表示为一些简单有限群的直积。
第二章 近世代数简介
对于元素A ( x ) = ∑ a i x 和
i i=0
n-1
B (x ) =
n -1
∑ b x ，多项式加“+”定义为：
i i i= 0
n-1
A ( x ) + B ( x ) = ∑ ( ai + bi )mod q xi
i =0
(2-2)
多项式modf(x)乘“.”定义为 :
n-1 n−1 j +k A ( x ) ⋅ B ( x ) = ∑∑ ( a j bk ) x (2-3) mod q k = 0 j =0 mod f ( x )
) 多项式剩余类环的环元素是模f(x)乘的产物，即 A ( x ) ⋅ B ( x除以f(x)的余 式。余式也就是“剩余”类环名称的来历。 [ ] deg n 如果f(x)的最高次幂是n，称此f(x)是n次多项式，写做 deg [ f ( x)] =。这 里 表示阶次degree。显然，多项式剩余类环Rq ( x ) f ( x)中所有环元 素的次数不高于n-1次，通式形式为：
∀a, b ∈ I , ∃a − b ∈ I ; ∀a ∈ I , r ∈ R, ∃a r = r a ∈ I ,
则I是R的理想子环，建成理想。 与一般子环相比，理想子环要求更多的条件：R必须是交换环且具 有凝聚力，即任意一个子环元素与任意一个非子环的环元素运算后所得 的元素一定位于子环内。 环R的任意多个理想子环的交集仍是R的理想子环。
②结合性（Associativity），即
∀ a , b ∈ G , ∃ a * (b * c ) = ( a * b ) * c o
③存在惟一的一个单元e（Identity），即
∀a ∈ G ,∃a * e = e * a = a o
近世代数第二章课件
第二章群论 20第二章群论本章讨论具有一个代数运算的代数结构——半群与群，但重点是群的基本知识及典型的两个群-变换群和循环群．群是概括性比较强的一个概念，是近世代数中比较丰富的一个分支，它产生于19世纪初人们对高次方程根号解问题的研究，发展到现在，群论已经应用到数学许多其它分支及一些别的科学领域．如在近世几何中，利用群的观点，把几何加以科学分类；在晶体学中，利用群论的方法，解决了空间晶体的分类问题；在现代通讯理论中，利用群来进行编码，有所谓的群码．我们先从半群开始来研究群．§1 群的定义及基本性质2.1 半群的定义设S是具有一个代数运算的集合，为了方便，将此代数运算叫S的乘法，并且仍用通常的乘法记号“·”来表示，把S的两个元素ba,关于“·”运算结果ba∙简记为ab．当然，这样被叫做乘法不一定就是指数的乘法，还可表示像矩阵、函数、向量的乘法，但一般来说它们都不是数的乘法．定义1如果代数结构（S，·）的乘法适合结合律，即ba∈c∀)有,S,,ab=，则称S关于它的乘法是一个半群，简称Sac(bc()是一个半群．2关于数的乘法是一个半群．关于数的加法也是一例1 偶数集Z个半群．n⨯矩阵作成的集合M n(F)，关于矩阵乘法例2数域F上的所有n是一个半群．例3 A 是一个非空集合，A 的幂集}|{A x x A P ⊆=）（关于∩、∪分别是半群．例4 +Z （正整数）关于数减法不能作成一个半群，因为数的减法不是+Z 的一个代数运算；Z 虽然关于数的减法是Z 的代数运算，但结合律不成立，故),(-Z 不是一个半群．注 由于一个半群),(⋅S 的乘法适合结合律，故可以在半群),(⋅S 中可以引进一个元素a 的正整数次幂的概念，规定：, 个n n a aa a =那么，易见半群里有以下指数运算规律：ba ab b a ab a a a a a n n n nm m n n m n m =⋅===⋅+当,)(,)(,，这里+∈Z n m ,。
近世代数
近世代数又称为抽象代数，最突出的特点是抽象，也是学习中的主要难点。
相对分析而言，近世代数对论证和推导的技巧性要求不高。
因此，在整个学习过程中，主要是要适应抽象思考和表述，为此都要特别注意抽象的代数结构的具体例子，以及随时归纳总结学过具体数学对象(例如高等代数中学过的数域、线性空间、对偶空间等)的代数结构。
下列几点可以在学习和复习时留意。
1 透彻理解运算的概念和性质。
运算的性质是代数的核心，所谓代数结构就是定义了运算的某种集合。
运算的定义很简单但有些抽象，就是集合与自身的直积到该集合的映射。
运算性质中，最重要的应该是结合律，如果结合律不成立，多次运算的结果取决于运算的顺序，这种数学结构很少有实际意义。
因此，结合律往往是近世代数中所研究运算必备的性质。
交换律是种特殊的性质，并非普遍成立，知道矩阵乘法和变换复合的对此应该不陌生；但在学矩阵乘法之前，所有数字的运算都满足交换律，因此有先入为主的误解。
分配律描述2种运算直接关系。
运算的属性还包括特殊元素的存在性，特殊元素指与参与运算后但不改变结果的元素(零元或单位元)，以及与特定元素运算后结果为前述元素的元素(负元或逆元)；注意到交换律不成立时，前述元素有左、右之分。
2 把握住同构和同态。
近世代数只关注代数结构，因此代数结构相同的数学对象，即与运算关联的性质相同，在近世代数中就不必加以区分。
代数结构相同的确切描述就是同构，2个集合间保持运算的双射。
更弱些，只保持运算的映射称为同态。
所谓保持运算，是指先运算再求映射下的像与先求映射的像再运算结果相同。
有些情形，同态满射本身也是个有用的概念。
因为开始时掌握的代数结构比较少，难以理解同构的重要性。
但学了群论就会知道，任何有限群与某个置换群同构，原则上只需要研究具体的置换群就可以得到所有抽象的有限群的性质。
3 对具体数学结构如群、环和域，注重它们的子结构。
子结构的核心要求是运算的封闭性和特殊元的存在性。
与子结构相关的还有等价分类和扩张等。
近世代数前两章知识总结
近世代数论文、上半学期学习总结第一章基本概念1、集合的幕集：以集合A的一切子集为元素构成的集合，记为p（A）或2\ （含n个元素的集合的子集有2•个，即無集中的元素共有2,个）2、积（笛卡尔积）：AXB={ （a, b）|aEA, b€B}叫 A 与 B 的积。
（A XBHBXA）3、A到B的对应法则0为A到B的映射u>①VxWA, x有象②Vxe A, x的象唯一@Vxe A, X的象在B中。
4、若A是含n个元素的集合，则A的映射共有n"个，一一映射共有n!个。
5、代数运算：一个AXB到D的映射叫做一个AXB到D的代数运算。
（。
为AXB到D的代数运算oV（a, b）WAXB, anb有意义，且aob唯一，属于D）。
6、满射：VyG A,设y二0 （x）,求出x （x为y的函数），若x存在且xGA,则0为满射。
（4中的每一个元素都有原象）：单射：Va, beA,若aHb,则0 （a） H0 （b）。
（元素不同象不同）：一一映射：即单•乂满。
（一一映射都有逆映射，若A与B间是一一映射，则A、B有限且元素个数相同）7、一个A到A的映射叫做A的一个变换:有限集A的一个一一变换，叫做A的一个置换。
& 一个A到才的映射叫做一个对于代数运算。
申"来说的，A到才的同态映射，假如满足：Va, b€A, a-> a* b~*b则aob~*aob （运算的象二象的运算）；A与力同态u>A与4存在同态满射0°9、一个A到力的一一映射0，叫做一个对于代数运算。
和0来说的，A到4的同构映射。
（同构映射的逆映射也是同构映射）。
10、若R为法则，若R满足Va, bEA,要么aRb,要么龍乩唯一确定，则称R为A的元间的一个关系；集合A的元间的一个关系~叫做一个等1价关系，假如满足①反射律（VaGA,有a〜a）②对称律③推移律11、A的一个分类即为A的一些子集41、金、…令满足：① A】U 金U ...U A n =A. ®A t r\Aj-（b（iH j ）（不相交）。
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若理想子环的所有元素可由一个元素a的各
次幂或各次幂的线性组合生成，则称该理想子环 主理想子环，简称主理想
10
域（Field)
一个集合，二种运算
一般m 素数q
可能是零因子环 整环
子环（ subring ）
理想子环（强收敛性）
主理想（所有元素是一个元
素幂的线性组合）
9
若集合S是集合R的子集（S R）， 判断(S ,+, ·)是(R ,+, ·) 子环的充要条件是 1． a、b S， a－b S。 2． a、b S， a b S。 上述条件1强调了子环中加法逆元的存在和封闭 性，条件2强调了乘法封闭性。 理想子环的充要条件是：
作为其根。换言之，若deg
i
(x)
=
(x-
20)
(x-
21)
(x-
(i (x))=
22 )…(x-
li，必有
) 2( li1 )
这里，deg(i (x) )= li m，本原元的共轭根系对
(2-4)
这里，
GCD表示最大公约数(Greatest Common Divisor)
推理
循环群中n阶元素的n次幂恒等于1
23
各次幂 k
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
的 多项式
多项式系数 m重
1
(0001)
(0010)
2
(0100)
3
(1000)
+1
(0011)
本原多项式 Primary Polynomials
对于有限域GF(q)上的m次既约多项式P(x)，若能 被它整除的最简首一多项式(x n -1)的次数n qm
–1, 则称该多项式为本原多项式。 本原多项式一定既约；
反之，既约多项式未必本原。
多项式循环群 Cycle Group
由多项式的各次幂所构成的群称为多项式循环群
循环群的构成步骤是： ① 找一个 m 次本原多项式 P(x)
② 取其根及根的各次幂0、…、 qm 2
③ 构成循环群
22
定理2.4 各元素的阶
GF(q m)扩域上非零元素{k} (k=0,1,…, q m-2) 的阶一定是(q m-1)的因子，其值为：
n = (q m-1)/GCD(k, q m-1)
4
例2.3 集合G = {0,1,2 … m-1}在模m加（用符 号表示）运算下构成一个群（G，）。
该加群是m阶有限群，单位元是0。元素0的 逆元是0，1的逆元是m-1, 2的逆元是m-2,…。
例2.4：集合G = {1,2 … q-1}在模q乘（q是素 数）运算下构成一个乘群（G，）。
为什么有限加群对模数m无要求， 而有限乘群要求模数q必须为素数？
(2-5)
25
定理2.6 幂和特性
扩 域GF(qm)上元素和的 ql幂次等于元素 ql 幂次的和
k
ql
i
k
( i )ql
(2-6)
i1
i 1
式中i是GF(qm)域元素。
26
定理2.7 共轭根系
如果是GF (q)上p次多项式f(x)的根，那么的ql
(l=1,2…lj
、 q1、
< p) 次幂也一定是f(x)的根。
一定是既约的。
27
定理2.8 最小多项式因式分解
GF(q)上多项式 ( xqm 1 1) 一定可以分解成
若干最小多项式之积,即
( xqm 1 1) = 1(x) 1(x)… k (x)
k
= i( x )
i 1
(2-8)
28
共轭元与最小多项式关系
li次最小多项式i (x)必然有同一根系的li个共轭元
20
我们看到：
以GF（q）上的多项式f(x)为模的乘运算可 生成剩余类环；以既约多项式PI（x）为模 的乘运算可生成多项式域；而以本原多项式 (x)为模的乘运算所生成的非零域元素可以构 成多项式循环群。可见，模多项式的限制条 件越多，环元素具备的性质也就越多。
21
定理2.3 如何找循环群
GF(2）上本原多项式 P(x）在扩域 GF(2m)上的根一定是本原元。
0,
1,
x,
x+1
2个GF(2)元素的组合：
00， 01，
10，
11
19
定理2.2 循环群的存在性
若P(x)是GF(q)上m次本原多项式，则GF(q m) 域上次数小于m的非零多项式的全体（共q m1个），在模P(x)乘运算下构成一个多项式循 环群。也就是说，扩域GF(qm)里至少存在一 个本原元（代表一个次数小于m的多项式 ），它的各次幂0、1、2、…、构成了扩 域GF(q m)的全部非零域元素。
近世代数简介
群(group): 一个集合，一种运算
满足 G1:封闭性 G2:结合性 G3:单位元存在 G4:逆元存在
交换群 G5:交换性
1
加群一定是交换群，加群一定含零元素
乘群不一定是交换群，乘群一定不含零元素
包含无数个元素的群称为无限群。
包含有限个元素的群称为有限群，有限群元 素的个数称为该群的阶。
q、2
q…3 都是多项式
(
x qm
1
1
)
的根，称
为共轭元，这些共轭元具有相同的基底，构成一个
共轭根系。共轭根系至多包含m个共轭元，以共轭
根系为根的多项式的最高次数不会超过m次。
一个多项式的根可以来自多个根系。如果一个首一
多项式的所有根来自同一个 根系，我们称这样的 多项式为 的最小多项式，最小多项式在GF (q)中
解：多项式系数取自GF(2)={0,1},系数作模2加、模2乘。 第一步是先做一般的多项式乘法运算如下
A(x) B(x) = (x2+x+1) (x2+ 1) = x4+ x3+ x2+ x2+ x+1
= x4+ x3 + x+1 第二步是将结果除以f(x)后
取余式
得（见右边竖式）
x + 1商 x3+x+1 x4+ x3 + 0 + x +1
二元域上的多项式，在模2加、模x2+x+1乘运算
下构成一个多项式扩域 GF(22) = {0, 1, x, x+1 },
该扩域的基域是GF(2) ={0,1}。
基域GF(q)是数域，由q个元素组成；
扩域GF(qm) 则是多项式域，由qm 个元素组成。
我们可以用m个基域元素去对应一个22）的元素：
称a、b为零因子。
有零因子时，乘法消除率不能成立，即 从a b = a c (mod m)不能推得b = c (mod m) ， 因为当 c =0时，前式成立而后式并不成立。带 来的后果是，方程a x = 0无唯一解，因为 x =0和x =b都是解。
8
有限环（Ring)
一个有限集合，模m加，模m乘
一个集合，二种运算
加法成“ 群”
乘法不成
“ 群”
G1:封闭性
G1:封闭性
G2:结合性
G2:结合性
G3:单位元存在 G3:单位元存在
G4:逆元存在
？
分配性
交换环
乘法交换率
7
由于环并不涉及乘法逆元的是否存 在，因此模m不是素数也能构成有限环。
但这是零因子环，乘法消除律不成立。
若 a是m的因子，a b= 0 ，而a0，b 0
x4 + x2 + x
A(x) B(x)] mod f (x) = x2+ x 本题f(x)是3次多项式deg [f(x)]=3, 因此环元素的幂次不会超过2， 环元素的通式可表示为
x3+ x2 + 0 +1
x3 + 0 + x +1 余式x2 + x
a2x2+ a1x+ a0 ，其中a2, a1, a0GF(2)={0,1}, 3系数最多可有8种组合，即该剩余类环至多有8个域元素
2
拉格朗日定理（Lagranges）: 有限群(G，*)的子群(S，*)的阶数一定是群 (G，*)阶数的因子。 若(A, * )，（B, * ）分别是群(G, * )的两个 子群， 则A、B的交集在同样运算下也构成 (G, * )的子群（A∩B，*）。 某一元素a（称作生成元a）的一切乘幂a0, a1, a2,…的全体组成一个群，称为循环群， 写作G ={ a0, a1, a2, …},其中a0= e是单位元。 若序列a0= e，a1, a2, …中没有两个元素是相 等的，称之为无限循环群。
2+
(0110)
3+ 2
(1100)
3++1
(1011)
2+1
(0101)
3+
(1010)
2+ +1
(0111)
3+ 2+ (1110)
3+ 2+ +1 (1111)
3+ 2+1 (1101)
3+1
(1001)
上表利用了关系式4 = +1和15 = 1
元素的阶
15 / GCD(k,15)
1
15
0 1 2 3 的阶 逆元 逆元
1111114 1
2124343 3
3134242 2
4141421 4
13