第二章 近世代数简介
Lecture2-近世代数
4
同余和剩余类
同余
若整数a和b被同一正整数m除时，有相同的余数，则称 a、b关于模m同余，记为 a b (mod m ) 若 a1 b1 (mod m ), a 2 b2 (mod m ), 则 a1 a 2 b1 b2 (mod m ), a1 a 2 b1 b2 (mod m )
14
群的相关概念
群的阶(Order of a Group)
有限群(Finite Group)、无限群(Infinite Group)
加群、乘群 阿贝尔群(Abelian Group)、可换群、交换群：满足交换 律
所有n阶满秩矩阵的全体对矩阵乘法构成的群为非阿贝尔群
半群(Semigroup)(满足前两个条件)
同时被a, b, …, l （不全为0）除尽的最小正整数，记为[a, b, …, l ]或LCM ( a, b, …, l)
Euclidean除法
设b是正整数，则任意正整数a>b皆可唯一地表示成 a=qb+r 0<=r<b
Euclidean算法
对任意给定的正整数a, b,必存在整数A, B使(a, b)=Aa+Bb
几何性质
最小均方距离d min ( ) : 任意两个格点之间的最小均方距 离 格的基本体积Vol( ) : 每一格点在n维空间的体积 See Lecture 1-Slide 18
2
结构性质
标量乘；正交变换；笛卡儿(Cartesian)积
18
近世代数第二章
m
, , ) 构成有单位元的交换环。
例4. 设 R 是一个有单位元的交换环， x 为 R 上的一个未定元（定义见后面）或字母，
R[ x] {a0 a1x
an x n | ai R，n }
是系数在 R 上的一元多项式的集合。按通常多项式的加法和乘法定义 R[ x ] 中的加法和乘 法，则 R[ x ] 构成一个有单位元的交换环。 例5. 设 R {0} ，规定 0 0 0,0 0 0 ，则 R 构成环，称为零环（zero ring） 。零环是唯 一的一个有单位元且单位元等于零的环，并且零元也可逆的环。零环太简单了，意义不大， 今后在对环讨论时，将其排除在外。 例6. 设 ( A, ) 是任一加群，规定乘法如下：对任意 a, b A ， a b 0 ，则 ( A, ) 作成一个 环。通常也称之为零环。这样的环意义也不大，因为这时 ( A, ,) 的结构主要取决于加群
x [0,1]) ，零元为零函数 0 ，即 0( x) 0( 任 x [0,1]) 。
由于一个环 R 首先是一个加群，因而加法结合律与结合律成立。对于加群 ( R, ) ，存在 零元 0 ，即任 a R ， 0 a a ，且存在 a R 使 a ( a ) 0 。其次，环 R 对乘法是一 个半群，乘法满足结合律以及乘法对加法满足分配律。由这些运算定律可推得环 R 的一些 常用运算性质。 定理 2.1.1. 设 R 是一个环， a, b R ，则 （1） a 0 0 a 0 ； （2） ( a ) a ； （3） a ( b) ( a) b ab ； （4） ( a ) (b) ab ； （5） x a a x 0 ； （6） a x 0 x a ； （7） a b a c b c 。 证明.（1） 因为 a 0 a 0 a (0+0） a 0 a 0 0 ，故由加法消去律得 a 0 0 。同 理可证 0 a 0 。 （2） 因为 a 是 a 的负元，即 a ( a ) 0 ，故 a 也是 a 的负元。即 ( a ) a 。 （3） 因为 a (b) a b a (b b) a 0 0 ，所以， a ( b) 是 a b 的负元。因此， 我们有 a ( b) ab 。 同理可证： ( a ) b ab 。 （4） 由（3）得 (a) (b) ( a (b)) ( ab) ab 。 （5） 、 （6） 、 （7）由加群运算性质可得证。 利用环 R 中加法与乘法运算的性质，还可证明下面一些法则成立。 移项法则： （8） 对任意 a, b, c R ，有 a b c a c b ； （9）乘法对减法满足分配律：对任意 a, b, c R ，我们有
近世代数
近世代数是数学的一个重要分支和学科,是20世纪初期形成的代数学结构体系, 也是当今代数化的最基础的研究对象和研究内容。
它是以基本代数学为工具来进行分析和研究, 以研究代数系统的性质与构造为中心的一门学科, 是现代数学各个分支的基础。
我觉得近世代数的基本思想、基本理论与方法已经渗透到科学领域的各个领域与实际应用的各个方面, 据调查近世代数在编码和信息安全方面的应用更被认为是近几十年来纯粹数学应用的一个成功而光辉的典范。
近世代数是我们大学数学系的重要基础课之一, 它具有严密的逻辑性和特有的抽象性。
从我们师范教育的角度看，中学数学教学内容绝大部分是属于代数的，在一些难题中都必须用到近世代数相关知识。
因此, 近世代数成为数学系数学与应用数学师范与非师范类专业以及信息与计算科学专业的重要的专业必修课程之一。
在大一学习了高等代数后，我觉得近世代数这门课程是继学生学习完了高等代数后一门继续深人的课程。
在这门课程中, 不仅积聚了大量的概念和定理,课后还汇集了大量的证明题。
我觉得学好它有助于完善学生的知识结构体系、培养学生的抽象思维能力和严格的逻辑推理能力、提高学生的综合素质与运用创新能力。
可以让学生展开想象的翅膀, 吸取理论的精华, 培养自己的创造性思维能力。
署名曾凤香 2010-11-24。
第2章 近世代数
– 可以证明，有限域GF(q)的q-1个非0元素，在 模q乘运算下，可以构成一个循环群（幂群）， 即G上的所有非0元素可以由一个元素的各次 幂0， 1， 2 …， q-1生成。
2019/9/15
天津大学电子信息工程学院
r 0, ..., 14, 7,0,7,14,21.... r 1, ..., 13,6,1,8,15,22,... r 2, ..., 12,5,2,9,16,23,... r 3, ..., 11,4,3,10,17,24,... r 4, ..., 10,3,4,11,18,25,... r 5, ..., 9,2,5,12,19,26,... r 6, ..., 8,16,13,20,27,...
2019/9/15
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7. 同余和剩余类
– 定义：若两个整数a、b能被同一整数m整除，余数相同， 即 a q1m r, b q2m r (0 r m)
a b (mod m)
–则称a、b关于模m同余，记为 – 由同余的概念，可以将全体整数加以分类，把余数相
– G1和G2有都是阿贝尔群。
–群将
2019/9/15
和
联系在一起？
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4. 域 (Field)
– 对于非空元素集合F，若在F中定义了加法 (addition)和乘法(multiplication)两种运算， 且满足下面的公理：
（1）F关于加法构成阿贝尔群，其加法恒等 元记为0；
（2）F中非0元素全体对乘法构成阿贝尔群， 其乘法恒等元（单位元）记为1。
近世代数知识点
近世代数知识点近世代数，又称抽象代数，是数学的一个重要分支，它为许多其他数学领域提供了基础和工具。
下面让我们一起来了解一些近世代数的关键知识点。
首先是群的概念。
群是近世代数中最基本的结构之一。
简单来说，一个群就是一个集合 G 以及定义在这个集合上的一种运算“”，满足一些特定的条件。
比如，对于集合中的任意两个元素 a 和 b，运算的结果ab 仍然属于这个集合；存在一个单位元 e，使得对于任意元素 a，都有ae ＝ ea ＝ a；对于每个元素 a，都存在一个逆元 a^（－1)，使得 aa^（－1) ＝ a^（－1)a ＝ e。
群的例子在生活中也有不少，比如整数集合在加法运算下构成一个群。
环也是近世代数中的重要概念。
一个环 R 是一个集合，上面定义了两种运算：加法“＋”和乘法“·”。
加法满足交换律、结合律，有零元，每个元素都有相反数；乘法满足结合律；乘法对加法满足分配律。
常见的环有整数环、多项式环等。
接下来是域。
域是一种特殊的环，它要求非零元素对于乘法运算构成一个群。
比如有理数域、实数域和复数域。
同态和同构是近世代数中用来比较不同代数结构的重要工具。
同态是指两个代数结构之间存在一种保持运算的映射。
如果这个映射还是一一对应的，那就是同构。
同构的两个代数结构在本质上可以看作是相同的。
在近世代数中，子群、子环和理想也具有重要地位。
子群是群的一个子集，在原来的运算下也构成群；子环是环的一个子集，在原来的两种运算下也构成环；理想则是环中的一个特殊子集，对于环中的乘法和加法有特定的性质。
再来说说商群和商环。
以商群为例，给定一个群 G 和它的一个正规子群N，就可以构造出商群G/N。
商群中的元素是由N 的陪集构成的。
近世代数中的重要定理也不少。
比如拉格朗日定理，它对于理解群的结构和性质非常有帮助。
该定理指出，子群的阶整除群的阶。
最后，我们谈谈近世代数的应用。
在密码学中，群和环的理论被广泛用于加密和解密算法的设计。
近世代数文档
近世代数引言近世代数是数学中一个重要的分支，研究代数结构及其性质的理论体系。
通常包括群论、环论、域论等内容。
近世代数的发展对于数学的各个领域产生了深远的影响，也在应用数学和计算机科学中起着重要作用。
群论群论是近世代数的一个基础概念和重要分支。
群由三个基本要素组成：集合、运算和满足一定性质（结合律、封闭性、单位元、逆元）的公理。
群论研究集合中的元素如何进行运算，并研究这些运算的性质。
•子群：给定一个群，若一个集合中的元素满足群的性质和封闭性，则称其为一个子群。
•循环群：由一个元素生成的群称为循环群，循环群的结构相对简单。
•群的同态：将一个群的元素映射到另一个群中，并保持运算结构，称为群的同态。
同态的研究对于理解群之间的关系和性质非常重要。
环论环论是近世代数的另一个重要分支，研究满足特定性质的运算集合和运算规则。
环由两个基本要素组成：集合和满足一定性质（结合律、封闭性、零元、乘法交换律、分配律）的公理。
环论的研究主要关注集合中的元素之间的加法和乘法运算。
•子环：给定一个环，若一个集合中的元素满足环的定义和封闭性，则称其为一个子环。
•理想：一个环中的子集，满足特定运算性质（左右理想、乘法吸收律）的集合。
•商环：对于一个环和其中的一个理想，可以通过模运算构建一个新的环，称为商环。
商环中的元素相当于原环中的一个等价类。
域论域论是近世代数中的一个重要分支，研究满足一定性质的运算集合和运算规则。
域是一个满足加法和乘法交换律、分配律以及存在加法和乘法的单位元和乘法的逆元的环。
域是一种结构相对简单但非常重要的代数结构。
•子域：给定一个域，若一个集合中的元素满足域的定义和封闭性，则称其为一个子域。
•拓展域：给定一个域F，在F中添加一个新的元素，并扩展运算规则，得到的新的集合和运算称为拓展域。
•有限域：域中的元素个数是有限的，则称该域为有限域。
有限域具有特殊的性质和应用。
应用领域近世代数的研究对于数学的各个领域产生了深远的影响，也在应用数学和计算机科学中起着重要作用。
近世代数的基础知识
近世代数的基础知识初等代数、高等代数和线性代数都称为经典代数（Classical algebra ），它的研究对象主要是代数方程和线性方程组）。
近世代数（modern algebra ）又称为抽象代数（abstract algebra ），它的研究对象是代数系，所谓代数系，是由一个集合和定义在这个集合中的一种或若干种运算所构成的一个系统。
近世代数主要包括：群论、环论和域论等几个方面的理论，其中群论是基础。
下面，我们首先简要回顾一下集合、映射和整数等方面的基础知识，然后介绍本文需要用到的近世代数的相关知识。
3．1 集合、映射、二元运算和整数3．1．1 集合集合是指一些对象的总体，这些对象称为集合的元或元素。
“元素a 是集合A 的元”记作“A x ∈”，反之，“A a ∉”表示“x 不是集合A 的元”。
设有两个集合A 和B ，若对A 中的任意一个元素a （记作A a ∈∀）均有B a ∈，则称A 是B 的子集，记作B A ⊆。
若B A ⊆且A B ⊆，即A 和B 有完全相同的元素，则称它们相等，记作B A =。
若B A ⊆，但B A ≠，则称A 是B 的真子集，或称B 真包含A ，记作B A ⊂。
不含任何元素的集合叫空集，空集是任何一个集合的子集。
集合的表示方法通常有两种：一种是直接列出所有的元素，另一种是规定元素所具有的性质。
例如：{}c b a A ,,=；{})(x p x S =，其中)(x p 表示元素x 具有的性质。
本文中常用的集合及记号有：整数集合{} ,3,2,1,0±±±=Z ；非零整数集合{}{} ,3,2,10\±±±==*Z Z ； 正整数（自然数）集合{} ,3,2,1=+Z ；有理数集合Q ，实数集合R ，复数集合C 等。
一个集合A 的元素个数用A 表示。
当A 中有有限个元素时，称为有限集，否则称为无限集。
用∞=A 表示A 是无限集，∞<A 表示A 是有限集。
近世代数引论PPT课件
详细描述
域是一个非空集合，其中定义了两种运算：加法和乘法 ，满足一定的性质。在域中，加法和乘法都是可逆的， 即每个元素都有唯一的加法逆元和乘法逆元。此外，域 中的乘法满足结合律，且每个元素都有乘法单位元。
子域与扩域
环论在几何学中的应用
环论也是近世代数的一个重要分支，它在几何学中也有着广泛的应用。例如，在代数几 何中，环论被用于描述多项式环的结构；在解析几何中，环论也被用于描述函数的性质。
数论中的应用
域论在数论中的应用
域论是近世代数中一个重要的分支，它在数论中有着广泛的应用。例如，在代数数论中，域论被用于描述代数数 的性质；在数论中，域论也被用于研究整数的性质和结构。
分式域与函数域
总结词
分式域和函数域是两种特殊的域，它们在数学和物理 中有广泛的应用。分式域是由其整环的分式组成的域 ，而函数域则是基于函数的定义域和值域形成的域。
详细描述
分式域是由一个整环的分式组成的域。整环是一个只含 有限除数的环，也就是说，如果一个元素在整环中不能 被其他元素整除，则该元素被称为不可约元素。分式环 是由整环中所有分式组成的集合，它构成一个域。函数 域是基于函数的定义域和值域形成的域。具体来说，给 定一个函数f和一个集合D，函数域是由集合D中所有可 能的函数值组成的集合，它也构成一个域。
交叉学科的研究
近世代数与其他学科的交叉研究也是未来的一个重要方向，如 代数几何、代数数论、计算机科学等学科的交叉研究，可以促
进近世代数的发展和应用。
THANKS
感谢观看
环论
环的定义和性质
要点一
总结词
环是具有加法和乘法两种运算的代数系统，满足一定的性 质。
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若理想子环的所有元素可由一个元素a的各
次幂或各次幂的线性组合生成，则称该理想子环 主理想子环，简称主理想
10
域（Field)
一个集合，二种运算
一般m 素数q
可能是零因子环 整环
子环（ subring ）
理想子环（强收敛性）
主理想（所有元素是一个元
素幂的线性组合）
9
若集合S是集合R的子集（S R）， 判断(S ,+, ·)是(R ,+, ·) 子环的充要条件是 1． a、b S， a－b S。 2． a、b S， a b S。 上述条件1强调了子环中加法逆元的存在和封闭 性，条件2强调了乘法封闭性。 理想子环的充要条件是：
作为其根。换言之，若deg
i
(x)
=
(x-
20)
(x-
21)
(x-
(i (x))=
22 )…(x-
li，必有
) 2( li1 )
这里，deg(i (x) )= li m，本原元的共轭根系对
(2-4)
这里，
GCD表示最大公约数(Greatest Common Divisor)
推理
循环群中n阶元素的n次幂恒等于1
23
各次幂 k
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
的 多项式
多项式系数 m重
1
(0001)
(0010)
2
(0100)
3
(1000)
+1
(0011)
本原多项式 Primary Polynomials
对于有限域GF(q)上的m次既约多项式P(x)，若能 被它整除的最简首一多项式(x n -1)的次数n qm
–1, 则称该多项式为本原多项式。 本原多项式一定既约；
反之，既约多项式未必本原。
多项式循环群 Cycle Group
由多项式的各次幂所构成的群称为多项式循环群
循环群的构成步骤是： ① 找一个 m 次本原多项式 P(x)
② 取其根及根的各次幂0、…、 qm 2
③ 构成循环群
22
定理2.4 各元素的阶
GF(q m)扩域上非零元素{k} (k=0,1,…, q m-2) 的阶一定是(q m-1)的因子，其值为：
n = (q m-1)/GCD(k, q m-1)
4
例2.3 集合G = {0,1,2 … m-1}在模m加（用符 号表示）运算下构成一个群（G，）。
该加群是m阶有限群，单位元是0。元素0的 逆元是0，1的逆元是m-1, 2的逆元是m-2,…。
例2.4：集合G = {1,2 … q-1}在模q乘（q是素 数）运算下构成一个乘群（G，）。
为什么有限加群对模数m无要求， 而有限乘群要求模数q必须为素数？
(2-5)
25
定理2.6 幂和特性
扩 域GF(qm)上元素和的 ql幂次等于元素 ql 幂次的和
k
ql
i
k
( i )ql
(2-6)
i1
i 1
式中i是GF(qm)域元素。
26
定理2.7 共轭根系
如果是GF (q)上p次多项式f(x)的根，那么的ql
(l=1,2…lj
、 q1、
< p) 次幂也一定是f(x)的根。
一定是既约的。
27
定理2.8 最小多项式因式分解
GF(q)上多项式 ( xqm 1 1) 一定可以分解成
若干最小多项式之积,即
( xqm 1 1) = 1(x) 1(x)… k (x)
k
= i( x )
i 1
(2-8)
28
共轭元与最小多项式关系
li次最小多项式i (x)必然有同一根系的li个共轭元
20
我们看到：
以GF（q）上的多项式f(x)为模的乘运算可 生成剩余类环；以既约多项式PI（x）为模 的乘运算可生成多项式域；而以本原多项式 (x)为模的乘运算所生成的非零域元素可以构 成多项式循环群。可见，模多项式的限制条 件越多，环元素具备的性质也就越多。
21
定理2.3 如何找循环群
GF(2）上本原多项式 P(x）在扩域 GF(2m)上的根一定是本原元。
0,
1,
x,
x+1
2个GF(2)元素的组合：
00， 01，
10，
11
19
定理2.2 循环群的存在性
若P(x)是GF(q)上m次本原多项式，则GF(q m) 域上次数小于m的非零多项式的全体（共q m1个），在模P(x)乘运算下构成一个多项式循 环群。也就是说，扩域GF(qm)里至少存在一 个本原元（代表一个次数小于m的多项式 ），它的各次幂0、1、2、…、构成了扩 域GF(q m)的全部非零域元素。
近世代数简介
群(group): 一个集合，一种运算
满足 G1:封闭性 G2:结合性 G3:单位元存在 G4:逆元存在
交换群 G5:交换性
1
加群一定是交换群，加群一定含零元素
乘群不一定是交换群，乘群一定不含零元素
包含无数个元素的群称为无限群。
包含有限个元素的群称为有限群，有限群元 素的个数称为该群的阶。
q、2
q…3 都是多项式
(
x qm
1
1
)
的根，称
为共轭元，这些共轭元具有相同的基底，构成一个
共轭根系。共轭根系至多包含m个共轭元，以共轭
根系为根的多项式的最高次数不会超过m次。
一个多项式的根可以来自多个根系。如果一个首一
多项式的所有根来自同一个 根系，我们称这样的 多项式为 的最小多项式，最小多项式在GF (q)中
解：多项式系数取自GF(2)={0,1},系数作模2加、模2乘。 第一步是先做一般的多项式乘法运算如下
A(x) B(x) = (x2+x+1) (x2+ 1) = x4+ x3+ x2+ x2+ x+1
= x4+ x3 + x+1 第二步是将结果除以f(x)后
取余式
得（见右边竖式）
x + 1商 x3+x+1 x4+ x3 + 0 + x +1
二元域上的多项式，在模2加、模x2+x+1乘运算
下构成一个多项式扩域 GF(22) = {0, 1, x, x+1 },
该扩域的基域是GF(2) ={0,1}。
基域GF(q)是数域，由q个元素组成；
扩域GF(qm) 则是多项式域，由qm 个元素组成。
我们可以用m个基域元素去对应一个22）的元素：
称a、b为零因子。
有零因子时，乘法消除率不能成立，即 从a b = a c (mod m)不能推得b = c (mod m) ， 因为当 c =0时，前式成立而后式并不成立。带 来的后果是，方程a x = 0无唯一解，因为 x =0和x =b都是解。
8
有限环（Ring)
一个有限集合，模m加，模m乘
一个集合，二种运算
加法成“ 群”
乘法不成
“ 群”
G1:封闭性
G1:封闭性
G2:结合性
G2:结合性
G3:单位元存在 G3:单位元存在
G4:逆元存在
？
分配性
交换环
乘法交换率
7
由于环并不涉及乘法逆元的是否存 在，因此模m不是素数也能构成有限环。
但这是零因子环，乘法消除律不成立。
若 a是m的因子，a b= 0 ，而a0，b 0
x4 + x2 + x
A(x) B(x)] mod f (x) = x2+ x 本题f(x)是3次多项式deg [f(x)]=3, 因此环元素的幂次不会超过2， 环元素的通式可表示为
x3+ x2 + 0 +1
x3 + 0 + x +1 余式x2 + x
a2x2+ a1x+ a0 ，其中a2, a1, a0GF(2)={0,1}, 3系数最多可有8种组合，即该剩余类环至多有8个域元素
2
拉格朗日定理（Lagranges）: 有限群(G，*)的子群(S，*)的阶数一定是群 (G，*)阶数的因子。 若(A, * )，（B, * ）分别是群(G, * )的两个 子群， 则A、B的交集在同样运算下也构成 (G, * )的子群（A∩B，*）。 某一元素a（称作生成元a）的一切乘幂a0, a1, a2,…的全体组成一个群，称为循环群， 写作G ={ a0, a1, a2, …},其中a0= e是单位元。 若序列a0= e，a1, a2, …中没有两个元素是相 等的，称之为无限循环群。
2+
(0110)
3+ 2
(1100)
3++1
(1011)
2+1
(0101)
3+
(1010)
2+ +1
(0111)
3+ 2+ (1110)
3+ 2+ +1 (1111)
3+ 2+1 (1101)
3+1
(1001)
上表利用了关系式4 = +1和15 = 1
元素的阶
15 / GCD(k,15)
1
15
0 1 2 3 的阶 逆元 逆元
1111114 1
2124343 3
3134242 2
4141421 4
13