第2章 近世代数

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2.3
多项式域和循环群
1.既约多项式（Irreducible polynomials）
– 定义： 设 Pl (x)是次数大于0的多项式。如果除常数C和
C Pl (x)之外，不能被域GF(q)上的其它多项式
整除，则称 Pl (x)是域GF(q)上的既约多项式。
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(1) 常数总是多项式的因子。 (2) 一个多项式 f (x) 是否为既约多项式与所 定义的域有关。 (3) 一个多项式既约的充要条件：多项式Pl (x) 不能分解成两个次数低于Pl (x)的多项式的乘 积。 (4) 完全分解：n次多项式最多能分解成n个一 次多项式的乘积，被称为完全分解。 (5) 一次多项式一定是既约的。
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• 定理： – 设p为质数，则整数全体对p取模的剩余类： 0，1，2，…，p-1，在模p的运算下（p模相 加和相乘），构成p阶有限域GF(p)。
例2-4 验证以p=3为模的剩余类全体：0，1，2构 成一个有限域GF(3)。
+ 0 1 2
0 0 1 2
1 1 2 0
2 2 0 1
× 0 1 2
0 0 0 0
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–环将
和
联系在一起？
– What is the relationship with Group, Field and Ring? – What is the difference between Field and Ring?
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2.2
多项式剩余类环
； ；
1.域上多项式的定义
– 多项式与码字的关系：桥梁；
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2. 本原多项式（Primary Polynomials） 定义：对于有限域GF(q)上的m次既约多项式
P(x)，若能被它整除的最简首一多项式（xn - 1）
的次数为：
n qm 1
则称这个多项式P(x)为本原多项式。 – 本原多项式一定是既约的； – 但既约多项式不一定是本原的。
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3. 多项式循环群（Cycle Group）
– G2：实数全体。
• 对加法构成群； • 除0元素之外的全体实数，对乘法构成群。 • 单位元e=1。
– G1和G2有都是阿贝尔群，且都是无限群。 –群将 和 联系在一起？
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4. 域 (Field)
– 对于非空元素集合F，若在F中定义了加法 (addition)和乘法(multiplication)两种运算， 且满足下面的公理： （1）F关于加法构成阿贝尔群，其加法恒等 元记为0； （2）F中非0元素全体对乘法构成阿贝尔群， 其乘法恒等元（单位元）记为1。 （3）加法和乘法之间满足如下分配率 (distributive) ：
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– 若多项式 f (x) 的最高次幂n=m，有限域为GF(q)。
– 多项式剩余环类Rq(x)f(x)中 环元素的最高次数 为 ； – 多项式的一般形式为：
am1 x
m 1Βιβλιοθήκη am 2 xm2 ... a1 x a0
ai GF (q), i 0,1, 2,..., m 1
1 3 2 4
（1）元素的阶（能产生域元素的个数）： （2）2、3都是本原元；
（3）1、4不是本原元（生成元）。
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6. 环（Ring）
– 定义：在非空集合R中，若定义了两种代数运 算加和乘，且满足： （1）集合R在加法运算下构成阿贝尔群； （2）乘法有封闭性，对于任何a,bR，有ab R； （3）乘法结合率成立，且加法和乘法之间分配 率成立，即对任何a,bR，有 a(b+c)=ab+ac (b+c)a=ba+ca 则称R是一个环。
GF(22)={0,1,x,x+1}， – 基域：GF(2)={0,1}
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– 基域GF(q)是数域，有q个域元素； – 扩展域GF(qm)则是多项式域，有qm个域元 素； – m 个 基域的元素对应扩展域的一个元素：
扩展域GF(22)的元素 m (2)个域GF(2)的元素
0 00
1 01
x 10
1 0 1 2
2 0 2 1
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5. 循环群
– 如果一个元素的各次幂0， 1， 2 ，…的 全体构成了一个群，称为循环群（cycle group），元素称为生成元或者本原元 （primitive element） 。
• 记作：G={0， 1， 2 ，…}，其中0 = e 是单 位元。
q m 2
能构成扩展域GF(qm)的全部非0的域元素。
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总 结
GF(q)上多项式若为：
（1）一般多项式 f (x) ，构成qm阶 （2） 既约多项式 Pl (x)，构成qm阶 （3）本原多项式 P(x)，构成qm-1阶 。 。 。
– 对多项式的限制越多，扩展域具备的性质也就越多。 – 如何找到构成循环群的生成元？
–定义：群内的所有元素由多项式的各次幂构
成，称为多项式循环群。
• 多项式是一个群元素，被称为循环群的生成元。
–例2-7，{1， 1， 2， 3， 4， 5，…，}
构成无限循环群；
– 若7 =1，以{1， 1， 2， 3， 4， 5， 6} 为周期，则称{0 =1， 1， 2， 3， 4， 5， 6}为 7阶 有限循环群。
A( x) B( x) ( x x 1)( x 1) x x x x x 1
2 2 4 3 2 2
x 4 x3 x 1
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（2）用f (x)除上面的多项式，有
x 1 x x 1 x x
3 4 4 3
x 1
2 2
x
a (b c) ab ac (b c)a ba ca
则称F是一个域。
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（1）域的阶（针对群中元素的个数），记 为q。
（2）有限域或伽逻华（Galois）域，表示为： GF(q)。
–域将
和
联系在一起？
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例2-3
– F1：有理数全体、实数全体对加法和乘法都 分别构成域，分别称为有理数域和实数域。 – F2：0、1两个元素模2加构成域；由于该域 中只有两个元素，记为GF(2)。
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2.4
循环群的生成元
定理2.3 GF(q)上的m次本原多项式P(x)的根，一 定是扩展域GF(qm)上的本原元。
– 证明： ……
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– 构成循环群的步骤：
• 找到GF(q)上的一个m次本原多项式；
• 取其根，并计算的各次幂
、 ......
0 1
qm -2
• 得到扩展域的所有非0元素，即循环群。
– A(x)、B(x)是两个环元素，
A( x ) ai x i 和B ( x ) bi x i
i 0 i 0 n 1 n 1
–用q模加
A( x ) B ( x) ( ai bi ) mod q x i
i 0 n 1
– 用f(x)模乘
n 1 n 1 i j A( x) B( x) (ai b j ) mod q x j 0 i 0 mod f ( x )
x+1 11
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循环群存在定理
定理2.2
– 若P(x)是GF(q)上m次本原多项式，则GF(qm)
域上幂次小于m的非0多项式的全体（ 共有 qm-1个），在模q加、模P(x)乘运算下构成一 个多项式循环群。 • 在扩展域GF(qm)里，至少存在一个本原元
，其各次幂
、 、 ......
0 1 2
– 这个环中共有 个元素？
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例2-6
– 剩余类环为Rq(x)f(x)，q=2，f (x)=x3+x+1。 – 若A(x)=x2+x+1，B(x)=x2+1是两个多项式。 – 求（1）求对A(x)B(x) 取模的剩余多项式？ （2） A(x)B(x)构成的剩余类环最多有多少个 元素？ – 解： （1）多项式乘法运算
– 可以证明，有限域GF(q)的q-1个非0元素，在 模q乘运算下，可以构成一个循环群（幂群）， 即G上的所有非0元素可以由一个元素的各次 幂0， 1， 2 …， q-1生成。
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–例2-5 – q=5 的伽逻华域GF(5)={0,1,2,3,4}，
• 非零元素为1,2,3,4 • 模5乘运算。 • 恒等元？加法恒等元？乘法恒等元？
n
n1
... f1 x f 0
fi GF(q) (i 0, 1, 2,..., n)
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(1) 多项式两要素：系数和幂次 (2) 多项式幂次 (3) 首一多项式 (4) 最简首一多项式 (5) 多项式的有限性分析
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2. 多项式剩余类环存在定理
– 有限 域GF(q)上 多项式
• 多项式的系数表示 • x的幂次表示
– 域上的多项式
• 针对系数定义； • 例如二进制系数多项式，称为二元域GF(2)上的 多项式。 • q进制系数的多项式，称为q元域GF(q)上的多项 式。
– 群、环、域对多项式也成立。
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域上多项式： – GF(q)上多项式的定义：
f ( x) f n x f n1 x
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2.5
域元素的性质
– 本原元，用表示，各次幂可以生成扩 展域GF(qm)中全部qm-1个非0域元素； – 非本原元，用表示，只能生成部分域元素。
第2章 近世代数简介
– 线性分组码中最重要的一个子类---循环码 (RS、BCH码)，它的结构完全建立在有限域 的基础之上，被称为代数几何码。
– 有限域以近世代数为基础。 – 近世代数的运算对象：整数、多项式、矩阵 等。
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2.1
1. 质数（素数）
几个概念
– 一个大于1的正整数，只能被1和它本身整除。