第2章光的衍射(第2讲)

k 1 1 k ( ) r0 R
2
1 1 1 2 R r0 k / k
令R，可得其焦距为：
k f ' k
2
物像公式也可写成：
1 1 1 R r0 f'
③与透镜相比，波带片制作简便
可将点光源成一十字象（长条形波带片）；面积大、 轻便、可折叠。
§2.2 菲涅耳半波带 菲涅耳衍射
④与透镜相比，波带片具有多个焦距
波带片的焦距有
第二章 光的衍射
f ' / 3;
f ' / 5;
f '/ 7
给定物点，对应不同的焦距，波带片可给出多个像点。
四、直线传播与衍射的联系
●当波面完全不被遮挡时，波面完整，其上所有次波叠加的 结果形成直线传播； ●当波面部分被障碍物遮挡时，波面不完整，叠加中少了这 部分次波的成份，叠加结果便成了明暗相间的衍射花样。 结论：无论是直线传播还是衍射现象，光的传播总是按 惠—菲原理所述方式进行。光的衍射是光传播的最基本的 形式，是光的波动性的最基本的表现。
合振幅的计算 以a1、a2、、ak分别表示各半波带发出的次波在P点 所产生的振幅，则k个波带所发出的次波到达P点叠加后的 合振幅Ak为： Ak=a1-a2+a3-a4++(-1)k+1ak。
§2.2 菲涅耳半波带 菲涅耳衍射
由惠更斯-菲涅耳原理可知:
第二章 光的衍射
ak K ( k )
S k
1 圆孔衍射
（1）装置
（2）结果
§2.2 菲涅耳半波带 菲涅耳衍射
（3） 分析
第二章 光的衍射
关键：计算半波带数
设通过小圆孔的波面对P点恰 好可分为k个整数半波带，则：
1 1 k ( ) r0 R
（4） 结论 1. P点的振幅决定于露出的半波带的数目k。与k为奇数相 对应的那些点，合振幅较大；与k为偶数相对应的那些点， 合振幅则较小。 沿着孔轴线移动时，光强将出现强弱变化。
特点及应用 ①具有强烈的聚焦作用
设某波带片对观察点露出前5个奇数半波带，则
Ak a1 a3 a5 a7 a9 5a1 a1 不用任何光阑时 A'k 2
I : I ' 100 : 1
§2.2 菲涅耳半波带 菲涅耳衍射
②具有会聚透镜一样的功能
第二章 光的衍射
波带片的物距为R，像距为r0，物像关系式为：
Rh
kr0
§2.2 菲涅耳半波带 菲涅耳衍射
2 圆屏衍射
（1）装置 （2）结果 P点永远是亮的 --泊松亮点 （3）分析
第二章 光的衍射
圆屏遮蔽了开始的第1到第k个波带，则P点的合振幅为：
（4） 结论 ①无论圆屏大小（当然要能与波长可比拟）和位置如何，圆 屏几何影子的中心永远有光进入。
a k 1 A ak 1 ak 2 ak 3 2
rk
其中 Sk为第k个半波带的面积， rk为它到P点的距离， K(k)为倾斜因子。 球冠面积S为: S 2R (1 cos )
2
R
R r0
( r 2 r0 )
2
Sk Sk Sk 1
R
R r0
( rk rk 1 )
2 2
R 2 ( R r0 )2 rk2 cos 2 R( R r0 )
rk rk 1 R rk R r0 2 R r0
R
S k
rk

R
R r0
C
§2.2 菲涅耳半波带 菲涅耳衍射 第二章 光的衍射 S k 由于 ak K ( k ) ，同时K(k)随k的变化缓慢，ak为
等差数列：
rk
1 a k ( a k 1 a k 1 ) 2
Ak a2 k 或 Ak a2 k 1 。
k
k
波带片半径满足：
Rh
kr0 R /( r0 R)
§2.2 菲涅耳半波带 菲涅耳衍射
第二章 光的衍射
具体制作波带片方法： （1）在纸上画出半径正比于k 的平方根的一组同心圆， 把相间的波带涂黑，然后用照相机拍摄成底片；
（2）摄制牛顿圈实验的干涉花样，制成底片。
结论 （1）k为奇数，则合振幅为 第一波带和第k波带的振 幅之和—亮点； （2）k为偶数，则合振幅为第一 波带与第k波带的振幅之差—
1 Ak [a1 ( 1)k 1 ak ] 2
k为奇数
k为偶数
暗点。
用振动矢量叠加法
§2.2 菲涅耳半波带 菲涅耳衍射
第二章 光的衍射
二、菲涅耳衍射（圆孔和圆屏）
§2.2 菲涅耳半波带 菲涅耳衍射
第二章 光的衍射
例1 点光源S发出波长λ为550nm的光投射在直径为4.2毫米的 小孔上，孔距光源6米，屏距孔5米。试问 在屏上看到的衍 射图样中，中央亮点的强度比障碍物不存在时大还是小？
解 波面上露出半波带数目：
2 1 1 0.212 1 1 k ( ) ( ) 2.94 3 5 R r0 5.5 10 600 500
§2.2 菲涅耳半波带 菲涅耳衍射
第二章 光的衍射
②圆屏面积越小，被遮挡的半波带数k越少，ak+1就越大，P 点光强越强。
③圆屏面积足够小时，只能遮挡中心带的一小部分，光几乎 全都能绕过它，此时除几何中心为亮点外，没有其它影子。
三、菲涅耳波带片
只能让奇数半波带或偶数半波带通过的光学元件叫做菲 涅耳波带片（简称为波带片）。 考察点P的合振动振幅为：
§2.2 菲涅耳半波带 菲涅耳衍射 一、菲涅耳半波带
以点光源发出的球面 波通过小圆孔为例。 B0：对于P 点波面的极点
B1 P B0 P B2 P B1 P Bk P Bk 1 P
第二章 光的衍射

2
任何相邻两波带对应部分所发出次波到达P点光程差为 /2，这样环形带称菲涅耳半波带。
k 41 时 r0 800(m )
k 45 时 r0 160( m )
800 (m ) k 43 时 r0 3
(2)前三次出现中心暗斑的位置为： k 42 时 r0 400( m ) 400 时 r0 200( m ) (m ) k 44 k 46 时 r0 3
§2.2 菲涅耳半波带 菲涅耳衍射
第二章 光的衍射
Rh
2
§2.2 菲涅耳半波带 菲涅耳衍射
第二章 光的变化。
3. 不用光阑，则最末一个波带的振幅ak为无限小，P点的 a1 R 合振幅为： A K (1 ) 。 2 R r0 随着P点远离光源，a1越小，光强越弱，但不起伏。 4. 半径一定大小的圆孔（光阑），如果观察点P使得波面只 露出一个波面，则A=a1，与不加光阑相比，光强增大到4倍。 5. 实际光源都有一定的大小，其每一点都产生一组衍射花样， 叠加结果使得花样模糊。 6. 若用平行光束入射，R→∞，
k为奇数，故较没有障碍物时的中央亮点强度大。
§2.2 菲涅耳半波带 菲涅耳衍射
第二章 光的衍射
例2 在菲涅耳圆孔衍射实验中，圆孔半径为20mm，光源距 离圆孔20m，波长为500nm，当屏幕由很远的地方向圆孔靠 近时，求：（1）前三次出现中心亮斑的位置；（2）前三次 出现中心暗斑的位置。 波面上露出半波带数目： 解 2 1 1 2 k ( ) kmin 40 R r0 R (1)前三次出现中心亮斑的位置为：