重视数学思想方法的教学和训练

（二）教学中有机结合，训练到位
应用题教学中用画线段图来分析数量关系，实质上是数形对应思想和分析法、综合法的集中训练；而用线段图分析分数、百分数应用题的数量关系又是量率对应思想和分析法、综合法的训练。集合思想和归纳法是概念教学必不可少的理论基础。这些目标，在教学数学知识和技能时必须训练到位，即要多让学生看看、画画、说说、算算。
无论何种版本的现行小学数学教材都从一年级开始，在以阶段呈现数学知识和技能的同时，蕴含着纵向的数学思想和方法。主要的数学思想有符号思想、对应思想（含量量对应、量率对应、数形对应、函数对应）、化归思想、转换思想、结构思想、模型思想、极限思想、统计思想、集合思想和数学美（对称与和谐、简洁与明快、严谨与统一、奇异与突变）的思想等。主要的数学方法有观察方法、实验方法、抽象概括方法、归纳、演绎、类比方法、假设方法、图示方法，以及非逻辑方法（如数学猜想），等等。
由此可知，数学知识、数学思想、数学方法是相互联系、相互依存、相互交融的统一体。数学知识是数学思想、方法的载体。要学习和掌握数学知识必然涉及数学思想、方法的学习和训练；掌握了数学思想、方法又促进了数学知识的学习和掌握。
二、数学思想方法的功用
笔者认为，重视数学思想、方法的教学和训练，有以下几方面的功用。
教学中，教师若能有意识地进行教学，学生在学习数学的同时也受到了数学美的熏陶。
三、数学思想方法的训练
笔者认为，数学思想、方法的教学和训练应与数学知识的教学和训练同步进行。而数学思想、方法的教学和训练具有渗透性的特点，这就要求教师做到：
（一）备课时仔细揣摩，明确目标
附图
并用数学语言表述思维过程，即看到9，想到1，把3分成1和2，9加1等于10，10再加2等于12。当学生掌握了这种凑十法的思维模型后，就可以迁移到8加几、7加几大大发展了学生学习数学的认知能力，提高了学习效率。
（二）有助于构建和完善学生的认知结构
皮亚杰认为，全部数学都可以按照结构的建构来考虑。所以，我们应结合数学教学，将小学数学内容转化为有数学科学顺序的知识结构。在设计教学过程时，将知识结构逐渐转化为学生头脑中的认知结构。而数学思想、方法是构建认知结构的理论武器。
这是转换思想）；然后要将甲乙行走的路程的分率当作他们各自的速度（转换思想和假设方法）；最后列式计算： 3 21.3 2 31.2 14
14［──－─────（───────）］＝14──＝45
5 5 5 5 45
一、数学思想方法的含义
所谓数学方法，是解决数学问题的策略和程序（即解决具体问题所采用的方式、途径、手段），它是学习数学知识、运用数学知识解决实际问题的具体行为（操作技能）。所谓数学思想，是对数学知识、方法、规律的本质认识，是比数学方法更抽象、更概括、更本质的认识。所以，数学思想是数学的灵魂，是数学方法的理论基础。
例如，当学生学习并掌握了枚举归纳法后，就要组织练习这一类的习题。如计算：1 1／21 1／31 1／41 1／991 1／100。解题时先让学生分步举例归纳：
（1）1 1／21 1／3＝3／24／3＝4／2（学生口述积的特点，即规律：积的值是首数的分母作分母，尾数的分子作分子）；
（2）1 1／21 1／31 1／4＝3／24／35／4＝5／2（同上）；
同理：1 1／21 1／31 1／41 1／n＝3／24／35／4n+1／n＝n＋1／2（归纳基本规律）；
所以，1 1／21 1／31 1／41 1／991 1／100＝100＋1／2＝101／2＝501／2（用基本规律解题）。
（一）有助规律、法则等均可视为数学模型。在数学教学中从现实原型出发，运用实验、操作、观察的方法，通过比较、分析与综合、抽象与概括等基本思维方法，并用数学语言表述思维过程，从而使学生获得准确的数学模型，以发展认知能力。
例如教学9加几的加法，师生以计算盒子里有9只杯子，盒子外有3只杯子，一共有几只杯子？为原型，经过操作、观察、 分析与综合、概括，得出了如下图内的数学模型：
例如，我们在教学平面图形求积公式中，就以化归思想、转换思想等为理论武器，实现长方形、正方形、平行四边形、三角形、梯形和圆形的面积计算公式间的同化与顺应（如下图），从而构建和完善了学生的认知结构。
附图
（三）有助于开发和发挥学生的大脑潜能
脑科学和心理学研究表明：人脑的左半球（左脑）主管抽象思维（逻辑思维）；右半球（右脑）主管形象思维。左脑、右脑既有分工，又有合作。它们相辅相成，相得益彰。从而使形象思维和抽象思维得以协调发展。鉴于小学生形象思维占优势（有时要借助动作思维）和逐步向抽象（逻辑）思维发展的特点，教材以图文并茂、数形结合（即知识物化）的形式展示数学知识的形成过程和数学知识的结构，让学生在用多种感觉器官充分感知、形成表象的基础上进行想象、联想（即形象思维）和条分缕析的思维（逻辑思维），并以数学符号表述认知成果，即数学知识。
重视数学思想方法的教学和训练
【作 者】邬墉铨
【作者简介】邬墉铨，浙江省湖州市教委教研室
小学数学是一门学习简单数量关系和几何图形的课程。这门课程编排了较为直观、简易、浅显的数学知识。在这些数学知识中，蕴含着许多与高等数学相通的数学思想、方法。因此，在小学数学教学中，重视和加强数学思想、方法的教学和训练，不但有利于提高数学课堂教学效率，而且有利于提高学生的数学素养，并为学生学习初、高中数学打下了良好的基础。
（四）有助于培养和发展学生的审美情趣
美国数学家克莱因曾对数学美作过描述，音乐能激发或抚慰情怀，绘画使人赏心悦目，诗歌能动人心弦，哲学使人获得智慧，科技可以改善物质生活，但数学却能提供以上一切。数学美包括：（1 ）数学符号、数学公式和数学技巧的简洁美。如75个15相加可以写成1575；正方体体积计算公式可写成S＝a[3]；一个粮食加工厂原来有3台碾米机，4小时可碾米3600千克。照这样计算， 现在的4台碾米机，6小时可以碾米多少千克？一般列式为36004346＝7200（千克），可简化为3600（63）＝7200（千克）。 （2）数学的对称美。几何图形、数学公式等都具有对称性，这是数学对称美的集中表现。如圆形、等边三角形、正方形等都是轴对称图形。加法和乘法运算定律等都是具有对称性的公式（如ab＝ba）。 （3）数学的奇异美。所谓奇异，是指所得出的结果或有关的发展出人意料，从而引起人们极大的惊奇和诧异，甚至叹服。如黄金分割率（即0.618）， 它被美术家誉为解开自然美与艺术美的奥秘所在。这就是数学奇异美的最好例证。服装设计、工艺装饰等都要用到它。
解答这道题先要将A、B间的距离假设为单位1（假设法）； 再将甲乙两人的速度比转换（转化）成相遇时各自行走了全程的几分之几（即甲行走了全程的 3 3
───＝──，
3+2 5
乙行走了全程的 3 2
───＝──。
3+2 5
圆面积计算公式的推导就是一例。在学生把圆平均分成16等分后，请他们动手拼成近似的已学过的平面图形，即用化归思想通过化曲为直来达到化未知为已知。学生可能把它拼成近似的平行四边形、或梯形、或三角形，或把其中的一份再平均分成两份后，拼成近似的长方形等，从而推导出圆面积计算公式：S＝r[2]。 这种殊途同归的推导过程，其理论基础是化整为零、化曲为直、聚零为整等化归思想和等积转换思想。当学生得出圆面积求积公式后，教师不急于要学生应用公式去求圆面积，而应再创设一个将圆平均分成32、64、128、 256、512、1024份的情境，要学生闭着眼睛想象，拼出的图形是否越来越接近标准的长方形、平行四边形、三角形和梯形。学生在这种有限割拼、无限想象的学习中，其形象思维和抽象思维得到了交映生辉的同步发展，大脑潜能得以发挥，并为学习高等数学中的微积分奠定了感性认识的基础。
数学思想、方法的教学和训练的目标隐含在数学知识与技能的教学和训练目标之中，必须同步进行。备课时教师要认真钻研教材，反复揣摩教学目标。如结合认数教学和训练，渗透数形对应思想；结合运算定律的教学和训练，渗透符号思想、等价转换思想和归纳、演绎方法，等等。
例如，教学两数相差多少的应用题的起始课，张大妈养了6头小猪，4头大猪。小猪比大猪多几头？这里，先要把小猪分（转换）成两部分，即与大猪同样多的4头和比大猪多的2头，列式为6－4＝2（头）。当学生学会了求比一个数多几的数后， 紧接着要学习试一试的题，即小军和小红擦桌子。小红擦了16张，小军擦了14张，小军比小红少擦几张？这时又要把小军比小红少擦几张转换成小红比小军多擦几张，将问题同化到原有的认知结构之中，以使问题迎刃而解。以后，在学习求比一个数多（少）几的数的应用题和多步计算应用题时也要进行多次转换。显而易见，转换思想在学习数学中的重要作用不可忽视。#p#分页标题#e#
（千米）。其中计算出中括号内的14／45是14千米的对应分率（对应思想量率对应）。这种训练综合性强，效果好。
（三）精心设计练习题，讲求实效
大家知道，数学思想、方法的训练应与数学知识、技能的训练同步进行。因此，设计好练习题至关重要。数学思想、方法的训练，可以是单项的，也可以是综合的。无论何种训练都要讲求实效。
例如，甲乙两人分别从A、B两地同时出发相向而行。出发时，他们的速度比是3:2。他们相遇后甲的速度提高了20％，乙的速度提高了 30％。这样，当甲到达B地时，乙离A地还有14千米。那么，A、B两地相距__________千米。