7.5_解直角三角形(2)

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苏教版九年级数学下册7.5解直角三角形(第1课时)(优秀教学设计)

课题7.5 解直角三角形（第1课时）主备人执教者课型新授课课时1授课时间教学目标1．使学生了解解直角三角形的概念，能运用直角三角形的角与角、边与边、边与角关系解直角三角形；2．通过学生的探索讨论发现解直角三角形所需的条件，使学生了解体会用化归的思想方法将未知问题转化为已知问题去解决；3．通过问题情境，以及对解直角三角形所需的条件的探究，运用数学知识解决一些简单的实际问题，渗透“数学建模”的思想．教学重难点直角三角形的解法；三角函数在解直角三角形中的灵活运用．教学法指导小组合作讨论、讲练结合法教具准备多媒体课件集体智慧个性设计教学后记新课引入——情景导入五星红旗你是我的骄傲，五星红旗我为你自豪……如何测量旗杆的高度？请同学们说说你的想法．积极思考，回答问题——大多数学生会凭直觉发表自己的观点，有的用尺子度量，有的说我们可以构建直角三角通过身边的情境让学生思考、交流、发言，调动学生的课堂参与的积极性，激发了他们研究的兴趣和探究的激情．实践探索活动一：（课件展示1）如图，有两棵树，一棵高8m，另一棵高2m，两树相距8m，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞多远？活动二：（课件展示2）如图，为测量旗杆的高度，在C点测得A点的仰角为30°，点C到点B的距离56.3，求旗杆的高度（精确到0.1m）．解：略．归纳总结同学们回答的非常好，通过上面的两个活动，若要完整解该直角三角形，还需求出哪些元素？如图，在Rt△ABC中，∠C为直角，其余5个元素之间有以下关系：观察、思考，并归纳、小结得出“在直角三角形中，除直角外，只要知道其中2个元素（至少有一个是边）”．用，把实际问题转化为数学模型解决；（2）巩固解直角三角形的定义和目标，初步体会解直角三角形的方法——直角三角形的边角关系（勾股定理、两锐角互余、锐角三角函数）使学生体会到“在直角三角形中，除直角外，只要知道其中2个元素（至少有一个是边）就可以求出其余的3个元素”交流讨论；归纳总结．AB C（1）三边之间关系： a 2＋b 2＝c 2（勾股定理）．（2）锐角之间的关系： ∠A ＋∠B ＝90°（直角三角形的两个锐角互余）．（3）边角之间的关系：学生交流讨论归纳（课件展示讨论的条件）师总结：解直角三角形，有下面两种情况（其中至少有一边）：（1）已知两条边（一直角边一斜边；两直角边）；（2）已知一条边和一个锐角（一直角边一锐角；一斜边一锐角）．自然就可以得出“定义” ．例题讲解例1 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，a sin cos tan a b a A A A c c b===，，．＝5．解这个直角三角形．例2已知：在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝104，b＝20.49．（1）求c的值（精确到0.01）；（2）求∠A、∠B的大小（精确到0.01°）．知识巩固1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，根据下列条件解直角三角形（边长精确到0.1，角度精确到0.1°）：求：（1）a＝9 ，b＝6；（2）∠A＝18°，∠C＝13．2．如图，某地修建高速公路，要从B地向C地修一座隧道（B、C在同一水平面上）．为了测量B、C两地之间的距离，某工程师乘坐热气球从C地出发，垂直上升100m到达A处，在A处观察B地的俯角为30°，求：B、C两地之间的距离．1．根据解直角三角形定义和方法进行分析．2．思考多种方法，选择最简便的方法．例2由学生独立分析，板练完成，并作自我评价，以掌握方法．练分析问题，掌握所学基础知识及基本方法，并进一步提高学生“执果索因”的能力．使学生巩固利用直角三角形的有关知识解决实际问题，考察建立数学模型的能力，转化的数学思想在学习中的应用，提高学生分析问题、解决问题的能力，以及在学习中还存在哪些问题，及时反馈矫正．课堂小结通过今天的学习，你学会了什么？布置作业（1）必做题：（2）选做题：如图所示，施工队准备在一段斜坡上铺上台阶方便通行．现测得斜坡上铅垂的两棵树间水平距离AB ＝4米，斜面距离BC ＝4.25米，斜坡总长DE ＝85米．（1）求坡角∠D 的度数（结果精确到1°）；（2）若这段斜坡用厚度为17cm 的长方体台阶来铺，需要铺几级台阶？解直角三角（勾股定理）两锐角之间关系边角之间关系简单应用（参考数据：cos20°≈0.94，sin20°≈0.34，sin18°≈0.31， cos18°≈0.95）（赠品，不喜欢可以删除）数学这个家伙即是科学界的“段子手”，又是“心灵导师”一枚。

解直角三角形方法

解直角三角形方法直角三角形是一种特殊的三角形，其中一个角度为90度。

在解直角三角形时，我们需要掌握一些特定的方法和公式。

本文将介绍几种常见的解直角三角形方法，帮助读者更好地理解和应用这些知识。

一、勾股定理勾股定理是解直角三角形最基本的方法之一。

根据勾股定理，直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。

即a^2 + b^2 = c^2，其中a和b分别表示两条直角边的长度，c表示斜边的长度。

例如，已知直角三角形的两条直角边分别为3和4，我们可以使用勾股定理计算斜边的长度。

根据公式，3^2 + 4^2 = c^2，即9 + 16 = c^2。

解方程可得c = √25 = 5。

因此，该直角三角形的斜边长度为5。

二、正弦定理正弦定理是解直角三角形的另一种常用方法。

根据正弦定理，三角形的任意一条边的长度与其对应的角度的正弦值成比例。

即a/sinA = b/sinB = c/sinC，其中a、b、c分别表示三角形的边长，A、B、C分别表示对应的角度。

例如，已知直角三角形的一条直角边为3，斜边为5，我们可以使用正弦定理计算另一条直角边的长度。

根据公式，3/sin90° = b/sinθ，其中θ为直角边对应的角度。

由于sin90° = 1，可得3/1 = b/sinθ，即b = 3sinθ。

由此可见，直角三角形的另一条直角边的长度取决于对应角度的正弦值。

三、余弦定理余弦定理是解直角三角形的另一种常用方法。

根据余弦定理，三角形的任意一条边的平方等于其他两条边的平方和减去这两条边的乘积与对应角度的余弦值的积。

即c^2 = a^2 + b^2 - 2abcosC，其中c表示斜边的长度，a和b表示直角边的长度，C表示斜边对应的角度。

例如，已知直角三角形的两条直角边分别为3和4，我们可以使用余弦定理计算斜边的长度。

根据公式，c^2 = 3^2 + 4^2 - 2(3)(4)cos90°，即c^2 = 9 + 16 -24cos90°。

苏科版,7.5解直角三角形课件

1、课本P53
习题 7.5
2、补充习题P23
O. 72 36 H A B
C
在Rt△AHO中,
∵∠AHO=90 °, ∠AOH=36 °,OA=10, ∴ AH=OA· sin36 °. ∴正五边形ABCDE的边长AB=2AH=2×10× sin36 ° ≈ 11.8
1、在下列直角三角形中不能求解的是（ D ） A、已知一直角边一锐角
B、已知一斜边一锐角
5
30
A
C
2.在Rt△ABC中,∠C=90°,a=104,b=20.49. 求: (1)c的大小（精确到0.01); (2)∠A、∠B的大小（精确到0.01°).
解: (1)c=√a2+b2=√1042+20.492≈106.00
(2) ∵tanA=a/b=104/20.49,
利用计算器计算，得∠A≈78.85°.
10 A B 6 C
8
在直角三角形中，除直角外，其余5个元素之间有什么关系？
在Rt△ABC中，∠C为直角，其余5个元素之间有以下关系:
(1)三边之间关系：
a2+b2=c2 （勾股定理）（2）锐角之间的关系： ∠ A+ ∠ B=90（直角三角形的两个锐角互余）（3）边角之间的关系： B
sinA=a/c cosA=b/c
C、已知两边 D、已知两角
2.已知：在Rt△ABC中，∠C=90，b=2√3,c=4.
求:(1)a= 2 (2) ∠B= 60° ∠A= 30°
B
A C 3.求半径为12的圆的内接正八边形的边长（精确到0.1)
这节课你有哪些收获?
1 、解直角三角形的问题２、体会到数学与生活紧密联系，生活离不开数学

7.5 解直角三角形课件2(苏科版九年级下)

A
45°
C
60° D B
练一练:在某市旧城改造的某一项目中，要将如图所示的一棵没有观赏价值的树放倒，栽上白玉兰。在操作过程中，师傅甲要直接把树放倒，师傅乙不同意，他担心这样会损害这棵树周围4.5米处的花草和动物雕塑。请你根据图中标注的测量数据，通过计算说明：师傅乙的担心是否必要？（计算结果精确到0.1m）
视线
铅直线
仰角俯角
视线水平线
如图，线段AB、CD分别表示甲、乙两幢楼的高，AB⊥BD,CD⊥BD,从甲楼顶部A处测得乙楼顶部C的仰角α=300，测得乙楼底部D的俯角β=450，已知甲乙两楼间的距离 BD=30米，求乙楼的高度。 C
A
α
β
D
B
1、如图，为了测量电线杆的高度AB，在离电线杆30米的C处，用高1.20米的测角仪CD测得电线杆顶端B的仰角 a＝30°，求电线杆AB的高．（精确到0.1米）
小华去实验楼做实验, 两幢实验楼的高度AB=CD=20m, 两楼间的距离 BC=15m，已知太阳光与水平线的夹角为 30°，求南楼的影子在北楼上有多高？
AA
20m
D30 ° 30南来自FF15m北 E E
15m
B
C
小华想:若设计时要求北楼的采光, 不受南楼的影响,请问楼间距BC长至少应为多少米?
如图，线段AB、CD分别表示甲、乙两幢楼的高，AB⊥BD,CD⊥BD,从甲楼顶部A处测得乙楼顶部C的仰角α=300，测得乙楼底部D的俯角β=450，已知甲乙两楼间的距离 BD=30米，求乙楼的高度。 C
A
B
D
在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.

【中小学资料】九年级数学下册第7章锐角三角函数 7.5 解直角三角形 7.5.2 构造直角三角形解题同步练习2

[7.5 第2课时解直角三角形的应用]一、选择题1．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝35°，AB ＝7，则BC 的长为( ) A ．7sin35° B.7cos35°C ．7cos35°D ．7tan35°2．如图K －31－1，点A (3，t )在第一象限，OA 与x 轴所夹的锐角为α，tan α＝32，则t 等于( )图K －31－1A ．0.5B ．1.5C ．4.5D ．23．等腰三角形的顶角为120°，腰长为2 cm ，则它的底边长为链接听课例2归纳总结( )A. 3 cmB.4 33cmC ．2 cmD ．2 3 cm 4．如图K －31－2，⊙O 的直径AB ＝2，弦AC ＝1，点D 在⊙O 上，则∠D 的度数为( )图K－31－2A．30° B．45° C．60° D．75°5．如图K－31－3，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为边AC的中点，DE⊥BC于点E，连接BD，则tan∠DBC的值为( )图K－31－3A.13B.2－1 C．2－ 3 D.14二、填空题6．如图K－31－4，在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，点P的坐标为(5，12)，那么OP与x轴正半轴所夹的锐角为________．(精确到0.1°)图K－31－47．如图K－31－5，在菱形ABCD中，AC＝6，BD＝8，则sin∠ABC＝________．图K－31－58．如图K－31－6，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝2 3，则AB的长为________．图K－31－69．2018·安徽四模如图K－31－7，在△ABC中，AB＝AC，AH⊥BC，垂足为H，如果AH ＝BC，那么tan∠BAH的值是________．图K －31－710．2017·黑龙江在△ABC 中，AB ＝12，AC ＝39，∠B ＝30°，则△ABC 的面积是________．三、解答题11．2018·淮南模拟如图K －31－8，在△ABC 中，∠A ＝30°，cos B ＝45，AC ＝6 3.求AB 的长.链接听课例2归纳总结图K －31－812．如图K －31－9，在平面直角坐标系内，O 为原点，点A 的坐标为(10，0)，点B 在第一象限内，BO ＝5，sin ∠BOA ＝35.求：(1)点B 的坐标； (2)cos ∠BAO 的值．图K －31－913．2018·广安改编如图K －31－10，已知AB 是⊙O 的直径，P 是BA 延长线上一点，PC 切⊙O 于点C ，连接AC ，CG 是⊙O 的弦，CG ⊥AB ，垂足为D .(1)求证：∠PCA ＝∠ABC ；(2)过点A 作AE ∥PC 交⊙O 于点E ，连接BE .若cos P ＝45，PC ＝10，求BE 的长．图K －31－10阅读理解在锐角三角形ABC 中，∠A ，∠B ，∠ACB 的对边分别是a ，b ，c .如图K －31－11所示，过点C 作CD ⊥AB 于点D ，则cos A ＝AD b，即AD ＝b cos A ，图K －31－11∴BD ＝c －AD ＝c －b cos A .在Rt △ADC 和Rt △BDC 中，有CD 2＝AC 2－AD 2＝BC 2－BD 2， ∴b 2－b 2cos 2A ＝a 2－(c －b cos A )2，整理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，(1)同理可得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，(2) c 2＝a 2＋b 2－2ab cos ∠ACB . (3)这个结论就是著名的余弦定理，在以上三个等式中有六个元素a ，b ，c ，∠A ，∠B ，∠ACB ，若已知其中的任意三个元素，可求出其余的另外三个元素．如：在锐角三角形ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别是a ，b ，c ，已知∠A ＝60°，b ＝3，c ＝6，则由(1)式可得a 2＝32＋62－2×3×6cos60°＝27， ∴a ＝3 3，则∠B ，∠C 可由式子(2)，(3)分别求出，在此略．根据以上阅读理解，请你试着解决如下问题：已知锐角三角形ABC 的三边a ，b ，c (a ，b ，c 分别是∠A ，∠B ，∠C 的对边)分别是7，8，9，求∠A ，∠B ，∠C 的度数．(结果精确到1°)详解详析[课堂达标]1．[解析] C 在Rt △ABC 中，cos B ＝BCAB ，所以BC ＝AB ·cos B ＝7cos 35°.故选C .2．[解析] C 如图，过点A 作AB ⊥x 轴于点B.∵点A(3，t)在第一象限， ∴AB ＝t ，OB ＝3. 又∵tan α＝AB OB ＝t 3＝32，∴t ＝4.5. 故选C .3．[解析] D 如图，过点A 作AD ⊥BC 于点D ，则∠BAD ＝∠CAD ＝60°，BD ＝DC.∵AD ⊥BC ，∴∠B ＝30°.∵AB ＝2 cm ， ∴AD ＝1 cm ，BD ＝ 3 cm ， ∴BC ＝2 3 cm .故选D .4．[解析] C ∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°.∵AC ＝1，AB ＝2，∴sin ∠ABC ＝ACAB ＝12，∴∠ABC ＝30°，∠A ＝60°，∴∠D ＝60°，故选C . 5．[解析] A ∵在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ， ∴∠ABC ＝∠C ＝45°，BC ＝2AC. 又∵D 为边AC 的中点， ∴AD ＝DC ＝12AC.∵DE ⊥BC 于点E ， ∴∠CDE ＝∠C ＝45°， ∴DE ＝EC ＝22DC ＝24AC ， ∴tan ∠DBC ＝DEBE ＝24AC 2AC －24AC ＝13. 故选A .6．[答案] 67.4°[解析] 如图，过点P 作PA ⊥x 轴，垂足为A.由勾股定理，得OP ＝122＋52＝13，∴cos ∠POA ＝513，∴∠POA ≈67.4°.7．[答案] 2425[解析] 过点A 作AE ⊥BC ，垂足为E ，由AC ＝6，BD ＝8，根据勾股定理得AB ＝32＋42＝5，菱形ABCD 的面积＝12AC·BD＝BC·AE，即12×6×8＝5×AE ，得AE ＝245，所以sin ∠ABC＝AE AB ＝2455＝2425. 8．[答案] 3＋ 3[解析] 如图，过点C 作CD ⊥AB 于点D ，则∠ADC ＝∠BDC ＝90°. ∵∠B ＝45°，∴∠BCD ＝∠B ＝45°， ∴CD ＝BD.∵∠A ＝30°，AC ＝2 3， ∴CD ＝3， ∴BD ＝CD ＝ 3.由勾股定理，得AD ＝AC 2－CD 2＝3， ∴AB ＝AD ＋BD ＝3＋ 3.9．[答案] 12[解析] 设AH ＝BC ＝2x.∵AB ＝AC ，AH ⊥BC ，∴BH ＝CH ＝12BC ＝x ，∴tan ∠BAH ＝BH AH ＝x 2x ＝12.10．[答案] 21 3或15 3[解析] (1)当∠ACB 为锐角时，如图①，过点A 作AD ⊥BC ，垂足为D.在Rt △ABD 中，∵AB ＝12，∠B ＝30°， ∴AD ＝12AB ＝6，BD ＝AB·cos B ＝12×32＝6 3.在Rt △ACD 中，CD ＝AC 2－AD 2＝（39）2－62＝3， ∴BC ＝BD ＋CD ＝6 3＋3＝7 3，则S △ABC ＝12BC·AD＝12×7 3×6＝21 3；(2)当∠ACB 为钝角时，如图②，过点A 作AD ⊥BC ，交BC 的延长线于点D.由(1)知，AD ＝6，BD ＝6 3，CD ＝3，则BC ＝BD －CD ＝5 3，∴S △ABC ＝12BC·AD＝12×5 3×6＝15 3.故答案为21 3或15 3.11．解：如图，过点C 作CD ⊥AB 于点D.∵∠A ＝30°，∴CD ＝12AC ＝3 3，AD ＝AC ·cos A ＝9.∵cos B ＝45，∴设BD ＝4x ，则BC ＝5x.由勾股定理，得CD ＝3x.由题意，得3x ＝3 3，解得x ＝3， ∴BD ＝4 3，∴AB ＝AD ＋BD ＝9＋4 3.12．解：(1)如图，过点B 作BH ⊥OA ，垂足为H.在Rt △OHB 中，∵BO ＝5，sin ∠BOA ＝35，∴BH ＝BO·sin ∠BOA ＝5×35＝3，∴OH ＝BO 2－BH 2＝4， ∴点B 的坐标为(4，3)．(2)∵OA ＝10，OH ＝4，∴AH ＝6. 在Rt △AHB 中， ∵BH ＝3，AH ＝6， ∴AB ＝BH 2＋AH 2＝3 5， ∴cos ∠BAO ＝AH AB ＝2 55.13．解：(1)证明：连接OC.∵PC 与⊙O 相切于点C ，∴∠PCO ＝90°，∴∠PCA ＋∠OCA ＝90°. ∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°， ∴∠OCB ＋∠OCA ＝90°， ∴∠PCA ＝∠OCB.∵OC ＝OB ，∴∠OCB ＝∠ABC ， ∴∠PCA ＝∠ABC.(2)∵cos P ＝PC OP ＝45，PC ＝10，∴OP ＝252，∴OC ＝OP 2－CP 2＝152，∴AB ＝15.∵AE ∥PC ，∴∠BAE ＝∠P.∵AB 是⊙O 的直径，∴∠E ＝90°， ∴AE ＝AB·cos ∠BAE ＝15×45＝12，∴BE ＝AB 2－AE 2＝9. [素养提升][解析] 此题只要把三边长代入余弦定理公式即可求出三角的余弦值，从而求出三角．解：由(1)得72＝82＋92－2×8×9cos A ，则cos A ＝23，∠A ≈48°.由(2)得82＝72＋92－2×7×9cos B ，则cos B ＝1121，∠B ≈58°，∴∠C ＝180°－∠A －∠B ≈74°.。

解直角三角形ppt课件

经济学中的复利计算
在经济学中，经常需要进行复利计算。虽然复利计算本身与解直角三角形没有直接关系，但是可以通过构造类似直角三角形的数学模型并求解，得到复利计算的精确结果。
06
解直角三角形的拓展与延伸
斜三角形的解法探讨
斜三角形的定义与性质
斜三角形是指一个三角形中不包含直角的情况。其性质包括三角形的内角和为180度，以及三边关系等。
工程问题中的解直角三角形
土木工程中的坡度计算
在土木工程中，经常需要计算坡度，即斜坡的倾斜程度。通过构造直角三角形并求解，可以得到精确的坡度值。
机械工程中的力学分析
在机械工程中，经常需要对物体进行力学分析。通过构造直角三角形并利用三角函数求解，可以得到物体受到的力的大小和方向。
电气工程中的相位差计算
在电气工程中，经常需要计算两个交流信号之间的相位差。通过构造直角三角形并求解，可以得到精确的相位差值。
其他实际问题中的解直角三角形
航海问题中的航向和航程计算
在航海问题中，经常需要计算航向和航程。通过构造直角三角形并求解，可以得到精确的航向和航程值。
物理学中的矢量合成与分解
在物理学中，经常需要对矢量进行合成与分解。通过构造直角三角形并利用三角函数求解，可以得到合成或分解后的矢量的大小和方向。
在直角三角形中，已知任意两边长，可以利用勾股定理求出第三边长。
已知角度和一边求另一边
在直角三角形中，已知一个锐角和一条边长，可以利用三角函数和勾股定理求出另一条边长。
勾股定理在实际问题中的应用
测量问题
在测量问题中，可以利用勾股定理解决距离、高度等测量问题。
工程问题
在工程问题中，可以利用勾股定理解决角度、长度等计算问题。

初三数学家庭作业解直角三角形

初三数学家庭作业第七章锐角三角函数7.5解直角三角形一、知识要点1、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°（1）三边之间的关系＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿（2）锐角之间的关系＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿（3）边角之间的关系＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿利用以上关系，如果知道其中的＿＿＿＿个元素（），那么就可以求出其余的＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿2、＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿叫做解直角三角形.二、基础训练1、若Rt△ABC中，∠C＝90°（1）若已知a，∠A，则∠B＝＿＿＿＿＿，b＝＿＿＿＿＿，c＝＿＿＿＿；（2）若已知c，∠B，则∠A＝＿＿＿＿＿，a＝＿＿＿＿＿，b＝＿＿＿＿；（3）若已知b，∠A，则∠B＝＿＿＿＿＿，a＝＿＿＿＿＿，c＝＿＿＿＿；（4）若已知c，∠A，则∠B＝＿＿＿＿＿，a＝＿＿＿＿＿，b＝＿＿＿＿；2、在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝2，c＝2，则∠A＝＿＿＿＿，∠B＝＿＿＿＿＿，b＝＿＿＿＿3、在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，b＝1，则∠B＝＿＿＿＿，a＝＿＿＿＿＿，c ＝＿＿＿＿5、已知在Rt△ABC中，AD是斜边BC上的高，如果BC＝a，∠B＝α，则AD＝＿＿6、在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，b＝4，则a＝＿＿＿，c＝＿＿＿7、如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD是∠BAC的平分线，已知AB＝43，那么AD＝＿＿＿＿＿9、在下列直角三角形中不能求解的是（）A 、已知一直角边一锐角B 、已知一斜边一锐角C 、已知两边D 、已知两角10、直角三角形的一条直角边比斜边上的中线长2cm ，且斜边长8cm ，则两直角边的长分别为（）11、已知△ABC 的三个内角之比为∠A ：∠B ：∠C ＝1：2：3，则对应的三边之比为（）12、如图，在等腰三角形ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，D是AC 上一点，若tan ∠DBA ＝51，则AD 的长为（）13、已知△ABC 中，∠C ＝90°，b ＋c ＝30，∠A －∠B ＝30°，解这个直角三角形.14、已知△ABC 中，∠C ＝90°，CD 是斜边AB 上的高，AD ：BD ＝1：3，求∠B.15、某地某时刻太阳光线与水平线的夹角为31°，此时在该地测得一幢楼房在水平地面上的影长为30米，求这幢楼房的高AB.（结果精确到1米，参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60）三、能力提升1、如图，在△ABC 中，∠A ＝30°，tanB ＝23，AC ＝23则AB 的长是（）2、（1）如图，在△ABC 中，∠B 、∠C 均为锐角，其对边分别为b 、c.（2）在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，∠B ＝45°，问满足这样条件的△ABC 有几个？并作出来，（不写作法，不述理由）并利用（1）求出∠ACB 的大小.3、如图，∠POQ ＝90°，边长为2cm 的正方形ABCD 的顶点B 在OP 上，C 在OQ 上，且∠OBC ＝30°，分别求点A 、D 到OP 的距离.★4、在一次夏令营活动中，小明从营地A 点出发，沿北偏东60°方向走了5003米到达B 点，然后再沿北偏西30°方向走了500米到达目的地C 点，求：（1）A 、C 两地之间的距离；（2）确定目的地C 在营地A 的什么方向.5、求半径为20的圆的内接正三角形的边长和面积（精确到0.1）.四、预习感知1、阅读课本P542、如图所示，是某超市自动扶梯的示意图，大厅两层之间的距离h＝6.5m，自动扶梯的倾角为30°，若自动扶梯运行速度为V＝0.5m/s，则顾客乘自动扶梯上一层楼的时间为＿＿。

7.5 解直角三角形

生：独立思考后小组交流。师：请同学谈谈自己的做法，后师生共同总结。
题，综合运用解直角三角形知识，既是对所学知识的巩固，更能够培养学生分析问题和解决问题的能力。
七、课后作业八、教学反思
课本 P53 习题 7.5：1，2 本节课主要是让学生掌握直角形中的边角关系，会运用这些关系解直角三角形。例题的难度较小，通过例题的学习，既能够巩固所学知识，更能培养学生分析问题和解决问题的能力。教学中设置的拓展延伸题，虽有一定的难度，但同样能够培养学生用数学知识解决实际问题的能力，还能激发学生学习数学的热情。
课题主备人
§7.5 解直角三角形吴桂余审稿人
课型统稿人
新授
上课日期执教人
教学目标
知识与技能目标 1.理解直角三角形中 5 个元素的关系，会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角之间的关系及锐角三角函数解直角三角形。 2、通过本节课的学习，渗透数形结合的思想，培养学生分析问题和解决问题的能力。过程与方法目标 1、通过探讨直角三角形中 5 个元素的关系，引入解直角形概念； 2、通过具体的例子让学生经历探索分析解直角三角形的过程，进一步体验解直角三角形的方法。情感与态度目标情感与态度目标 1、通过渗透数形结合的思想，对学生进行门辩证唯物主义教育。 2、通过探究活动，让学生明白考虑问题经细致，说理要明确。直角三角形的边角关系及其解法。会运用解直角三角形的知识解决生活中的一些常见问题教材处理情境一：如图，已知直角三角形的边 a、b，你能求出边 c 的长度及∠A 的度数吗？师生活动设计师生活动设计活动师：出示情境一。生：说出解题的思路设计意图情境一的问题一方面是用来巩固勾股定理和直角三角形中的边角关系，二是借此题引入解直角形概念。情境二从实际出发，能激发学生的求知欲，让学生感受学习新知的必要性。引导学生了解解直角三角形的概念，关键问题是让学生认识直角三角形中的边角关系，这是解直角三角形的基础。

解直角三角形的几种方法

解直角三角形的几种方法（二）引言：直角三角形是一种特殊的三角形，其中一个角度为90度。

解直角三角形是高中数学中的重要内容。

本文将介绍几种解直角三角形的方法，包括正弦定理、余弦定理、特殊三角函数值以及特殊角度的计算方法等。

概述：解直角三角形主要涉及到三边的关系、三角函数的计算以及角度的计算。

在本文中，我们将详细讨论这些方法，并给出具体的解题步骤和例题，以帮助读者更好地理解和掌握解直角三角形的技巧。

正文内容：一、正弦定理1.推导正弦定理的原理与公式2.利用正弦定理解直角三角形的方法3.根据已知条件求解角度和边长的具体步骤4.通过示例说明正弦定理在解题中的应用5.注意事项和常见错误分析二、余弦定理1.推导余弦定理的原理与公式2.利用余弦定理解直角三角形的方法3.根据已知条件求解角度和边长的具体步骤4.通过示例说明余弦定理在解题中的应用5.注意事项和常见错误分析三、特殊三角函数值1.讨论特殊角度下正弦、余弦、正切的值2.借助特殊角度的数值计算直角三角形的边长和角度3.解析特殊角度下的直角三角形示例题4.探讨特殊角度对解直角三角形的影响5.实践中注意事项和常见错误分析四、特殊角度的计算方法1.利用标准角度和标准角度的三角函数值2.利用和差角公式计算特殊角度的三角函数值3.根据特殊角度的计算方法确定直角三角形的属性4.通过示例说明特殊角度计算方法在解题中的应用5.注意事项和常见错误分析五、综合运用各个方法1.结合正弦定理、余弦定理和特殊角度的计算方法解直角三角形2.根据题目条件选择合适的解题方法3.通过综合运用不同方法解答综合题目4.分析不同解题方法的优缺点和适用范围5.总结解直角三角形的方法和技巧总结：解直角三角形是数学学科中的基础内容，本文介绍了几种解直角三角形的方法，包括正弦定理、余弦定理、特殊三角函数值以及特殊角度的计算方法等。

对于不同的题目和条件，可以选择合适的方法进行解答。

在解题过程中，需要注意运用正确的公式和计算方法，避免常见的错误和误解。

《解直角三角形》课件

《解直角三角形》PPT课件
欢迎观看《解直角三角形》PPT课件！本课件将帮助您理解直角三角形的定义、性质以及三角函数的计算方法，并探讨了特殊角的三角函数值和应用场景。
一、直角三角形概述
定义
直角三角形是一种具有一个直角（90度）的三角形。
基本性质
直角三角形满足勾股定理，即两个直角边的平方和等于斜边的平方。
2. 45°角的三角函数值
在45°角中，正弦值、余弦值和正切值均相等。
四、应用
1
1. 求边长
根据已知角度及所对边长求斜边长度，可以使用三角函数来计算。
2
2. 求角度
根据已知边长及所对角度求角度的值，可以使用三角函数来计算。
五、总结
直角三角形及其三角函数的基本概念和计算方法
重性及应用场景简述
直角三角形和三角函数在工程、物理和地理等领域中有广泛的应用。
二、直角三角形中的三角函数
1. 正弦函数
正弦函数是一个三角函数，定义为对边与斜边的比值。
2. 余弦函数
余弦函数是一个三角函数，定义为邻边与斜边的比值。
3. 正切函数
正切函数是一个三角函数，定义为对边与邻边的比值。
三、特殊角的三角函数值
1. 30°角和60°角的三角函数值
在30°和60°角中，正弦值、余弦值和正切值具有特殊的数值。

《解直角三角形》PPT课件 (2)

视线
铅仰角直
方向角水平线
北
A
30°
线俯角
西
O
东
45°
视线
B
南
例1、一位同学测河宽,如图,在河岸上一点A观测河对岸边的一小树C,测得AC与河岸边的夹角为45０,沿河岸边向前走200米到达B点,又观测河对岸边的小树C,测得BC与河岸边的夹角为30０,问这位同学能否计算出河宽?若不能,请说明理由;若能,请你计算出河宽.
在北偏东30°方向上，如果渔船不改变航线继续向东航
行，有没有触礁的危险？
A
60°
B 12
30°
DF
1、解直角三角形的关键是找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作辅助线构筑直角三角形（作某边上的高是常用的辅助线）；当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题化归为直角三角形中的边角关系。
例2：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°， AC 2, BC 6
解这个直角三角形
A
解： tan A BC 6 3 AC 2
A 60
2
C
6
B
B 90 A 90 60 30
AB 2AC 2 2
概括
1、在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三形；
2、在解决实际问题时,应“先画图,再求解”；
(精确到1米）
北
西
东
南
图 25.3.2
练习：海船以32.6海里/时的速度向正北方向航行，在A处
看灯塔Q在海船的北偏东30゜处，半小时后航行到B处，
发现此时灯塔Q与海船的距离最短，求
(1)从A处到B处的距离;

第51课时课题：§7.5解直角三角形

例 2．如图，一块四边形的土地 ABCD，测得其中∠ABC＝120° ，AB⊥AD，BC⊥CD，AB ＝60 3m，CD＝100 3m，求这块土地的面积.
A B
D
C
三、归纳与小结：解直角三角形，一般常见两种情况：（1）__ ；（2）__ . 四、【当堂检测】（没有特别说明则 a、b、c 分别是∠A、∠B、∠C 的对边） 1．在 Rt△ABC 中， ∠C=90° ，则下列结论成立的是（ A．c＝a· sinA B．b＝c· cosA C．b＝a· tanA D．a＝c· cosA 2．在 Rt△ABC 中∠C=90° ，c=8，∠B=30°，则∠A=______，a=______，b=______. 3．在 Rt△ABC 中，∠C=90° ，根据下列条件解直角三角形：（1）b=2 3，c=4；（2）c=8，∠A=60° ；
利用以上关系，如果知道其中的
个元素（其中至少有一个是边），那么就可以求出其余．．．．．．．．．
的个未知元素. 由直角三角形中的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形 . ．．．．．．【例题解析】例 1．在 Rt△ABC 中，∠C＝90° ，a、b、c 分别是∠A、∠B、∠C 的对边.解下列直角三角形： (1)已知 a＝3，b＝3； (2)已知 c＝8，b＝4； (3)已知 c＝8，∠A＝45°
）
（3）a=24，b=8 3；
7 （4）a＋b＝28，sinA＋sinB＝ . 5
4．在 Rt△ABC 中，CD 是斜边上的高.若 AC=8，cosA=0.8，求△ABC 的面积.
课后练习： 1．Rt△ABC 中，∠C＝90° ，∠A、∠B、∠C 所对的边分别为 a、b、c，根据下列条件解直角三角形：（1）b＝17，c＝17 2；（2）c＝20，∠A＝60° ；

第6课时7.5解直角三角形(2) Microsoft PowerPoint 演示文稿 (2)

0
由直角三角形中的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形.
一、自主探究：定义导入：坡角、坡度坡度i= tanα
例1：植树节，某班同学决定去坡度为i= 1︰2的山坡上种树，要求株距（相邻两树间的水平距离）是6m，斜坡上相邻两树间的坡面距离为 .
合作交流
2.如图, ⊙O的半径为10，求⊙O的内接正五边形ABCDE的边长.（精确到0.1） D
解：∵五边形ABCDE是正五边形, 360 E ∴∠AOB= =72° 5 作OH⊥AB,垂足为H, 在Rt△AHO中, ∵∠AHO=90 °, ∠AOH=36 °,OA=10, ∴ AH=OA· sin36 °. ∴正五边形ABCDE的边长 AB=2AH=2×10×sin36 °≈ 11.8
这节课你有哪些收获?
1 、在直角三角形中，除直角外还有五个元素，知道两个元素(至少有一个是边)，就可以求出另三个元素．
2、体会到数学与生活紧密联系，生活离不开数学.
.O
A
H B
C
例3：已知△ABC中,∠C=90°,AD是角平分线,且BD:CD=4:3. 求sinB的值.
B
E
D
C
A
B
例4：在△ABC中，∠C=90°，AC=6 ， D是AC上一点，若，tan DBC 1 ， 2 试求AD的长。
C
A D
例5：为了测量汉江某段河南的宽度，秋实同学设计了如下测量方案：先在河的北岸选点A，再在河的南岸边选定相距a米的两点B、C（如图），分别测得ABC ， ACB ，请你根据秋实同学测得的数据，计算出河宽AD（结果用含和、的三角函数表示）。若BC=12M,∠ABC=45°、∠ACB=60º 求两河之间的距离.

苏科版数学九年级下册7.5《解直角三角形》教学设计

苏科版数学九年级下册7.5《解直角三角形》教学设计一. 教材分析苏科版数学九年级下册7.5《解直角三角形》是直角三角形相关知识的学习，这部分内容在初中数学中占有重要地位。

通过本节课的学习，学生将掌握直角三角形的性质，学会使用勾股定理和锐角三角函数解直角三角形，从而为后续学习立体几何和物理学打下基础。

本节课内容分为两个部分：一是直角三角形的性质；二是解直角三角形的方法。

二. 学情分析九年级的学生已经掌握了锐角三角函数、平行线、相似三角形等基础知识，具备一定的逻辑思维能力和空间想象能力。

但学生在学习过程中，对于直角三角形的性质和解直角三角形的方法容易混淆，因此在教学中需要强调直角三角形的特殊性质，以及解直角三角形的具体步骤。

三. 教学目标1.了解直角三角形的性质，掌握勾股定理和锐角三角函数在解直角三角形中的应用。

2.学会使用勾股定理和锐角三角函数解直角三角形，提高解决问题的能力。

3.培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力，提高学生分析问题和解决问题的能力。

四. 教学重难点1.教学重点：直角三角形的性质，勾股定理和锐角三角函数在解直角三角形中的应用。

2.教学难点：解直角三角形的具体步骤和方法。

五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生通过观察、思考、讨论，发现直角三角形的性质和解直角三角形的方法。

2.使用多媒体课件，展示直角三角形的图形，增强学生的空间想象能力。

3.学生进行小组讨论，培养学生的团队协作能力。

4.通过典型例题，讲解解直角三角形的步骤，让学生在实践中掌握方法。

六. 教学准备1.多媒体课件：制作直角三角形的相关图形和典型例题。

2.教学素材：提供一些关于直角三角形的习题，用于巩固所学知识。

3.教学工具：黑板、粉笔、直尺、三角板等。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体课件展示直角三角形的图形，引导学生回顾直角三角形的定义和性质。

提问：你们知道直角三角形有哪些特殊的性质吗？2.呈现（10分钟）展示直角三角形的性质，引导学生观察、思考，发现直角三角形的性质。

解直角三角形的基本类型及解法范本一份

解直角三角形的基本类型及解法范本一份解直角三角形的基本类型及解法 1解直角三角形的基本类型及解法解直角三角形注意事项1.尽量使用原始数据，使计算更加准确.2.有的问题不能直接利用直角三角形内部关系解题，•但可以添加合适的辅助线转化为解直角三角形的问题.3.一些较复杂的解直角三角形的问题可以通过列方程或方程组的方法解题.4.解直角三角形的方法可概括为“有弦(斜边)用弦(正弦、余弦)，无弦有切(正切、余切)，宁乘毋除，取原避中”其意指：当已知或求解中有斜边时，可用正弦或余弦;无斜边时，就用正切或余切;当所求元素既可用乘法又可用除法时，则用乘法，不用除法;既可由已知数据又可用中间数据求解时，则取原始数据，忌用中间数据.5.必要时按照要求画出图形，注明已知和所求，•然后研究它们置于哪个直角三角形中，应当选用什么关系式来进行计算.6.要把添加辅助线的过程准确地写在解题过程之中.7.解含有非基本元素的直角三角形(即直角三角形中中线、高、角平分线、•周长、面积等)，一般将非基本元素转化为基本元素，或转化为元素间的关系式，再通过解方程组来解.直角三角形面积公式因为直角三角形的两条直角边分别相当于三角形的底和高，所以直角三角形的面积，可以用两条直角边的长度相乘再除以2。

s=(1/2)x底x高s=(1/2)xaxbxsinC (C为a,b的夹角)s=1/2acsinBs=1/2bcsinA直角三角形性质1、直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

若∠BAC=90°，则AB2+AC2=BC2(勾股定理)2、在直角三角形中，两个锐角互余。

如图，若∠BAC=90°，则∠B+∠C=90°3、直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半(即直角三角形的外心位于斜边的中点，外接圆半径R=C/2)。

该性质称为直角三角形斜边中线定理。

4、直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积。

5、在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。